অর্ধ বিভাজন পদ্ধতি(অন্য নামগুলো: দ্বিখণ্ডিত পদ্ধতি, দ্বিমুখী পদ্ধতি) সমীকরণ সমাধান করতে চ(এক্স) = 0 নিম্নরূপ। এটি জানা যাক যে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন এবং সেগমেন্টের প্রান্তে লাগে
[ক, খ] বিভিন্ন চিহ্নের মান, তারপর রুটটি ব্যবধানে থাকে ( ক, খ) ব্যবধানটিকে দুটি অর্ধে ভাগ করা যাক এবং তারপরে আমরা অর্ধেকটি বিবেচনা করব যার শেষে ফাংশনটি বিভিন্ন চিহ্নের মান নেয়। আমরা আবার এই নতুন সেগমেন্টটিকে দুটি সমান ভাগে ভাগ করে রুট ধারণ করে একটি নির্বাচন করি। পরবর্তী সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য প্রয়োজনীয় ত্রুটি মানের থেকে কম না হওয়া পর্যন্ত এই প্রক্রিয়া চলতে থাকে। দ্বিখণ্ডন পদ্ধতির জন্য অ্যালগরিদমের আরও কঠোর উপস্থাপনা:
1) আসুন গণনা করা যাক এক্স = (ক+ খ)/2; আসুন গণনা করা যাক চ(এক্স);
2) যদি চ(এক্স) = 0, তারপর ধাপ 5 এ যান;
3) যদি চ(এক্স)∙চ(ক) < 0, то খ = এক্স, অন্যথায় ক = এক্স;
4) যদি | খ – ক| > ε, পয়েন্ট 1 এ যান;
5) মান আউটপুট এক্স;
উদাহরণ 2.4।দ্বিখণ্ডন পদ্ধতি ব্যবহার করে, সমীকরণের মূলটি পরিমার্জন করুন ( এক্স– 1) 3 = 0, সেগমেন্টের অন্তর্গত।
প্রোগ্রামে সমাধান এক্সেল:
1) কোষে ক 1:চ 4 আমরা স্বরলিপি, প্রাথমিক মান এবং সূত্রগুলি প্রবর্তন করি, যেমনটি সারণি 2.3 এ দেখানো হয়েছে।
2) দশম লাইন পর্যন্ত একটি ফিল মার্কার সহ নিম্ন কক্ষে প্রতিটি সূত্র অনুলিপি করুন, যেমন খ 4 - পর্যন্ত খ 10, গ 4 - পর্যন্ত গ 10, ডি 3 - পর্যন্ত ডি 10, ই 4 - পর্যন্ত ই 10, চ 3 - পর্যন্ত চ 10.
টেবিল 2.3
| ক | খ | গ | ডি | ই | চ | |
| f(a)= | =(1-B3)^3 | |||||
| k | ক | এক্স | f(x) | খ | বি। এ | |
| 0,95 | =(B3+E3)/2 | =(1-C3)^3 | 1,1 | =E3-B3 | ||
| =IF(D3=0,C3; IF(C$1*D3<0;B3;C3)) | =IF(C$1*D3>0; E3;C3) |
গণনার ফলাফল টেবিলে দেওয়া হয়. 2.4। কলামে চব্যবধানের দৈর্ঘ্যের মান পরীক্ষা করা হচ্ছে খ – ক. যদি মান 0.01-এর কম হয়, তাহলে এই লাইনে একটি নির্দিষ্ট ত্রুটি সহ রুটের একটি আনুমানিক মান পাওয়া যায়। প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা অর্জনের জন্য 5টি পুনরাবৃত্তি লেগেছে। তিন দশমিক স্থানে রাউন্ডিং করার পর 0.01 এর নির্ভুলতা সহ মূলটির আনুমানিক মান হল 1.0015625 ≈ 1.00।
টেবিল 2.4
| ক | খ | গ | ডি | ই | চ | |
| f(a)= | 0,000125 | |||||
| k | ক | এক্স | f(x) | খ | বি। এ | |
| 0,95 | 1,025 | -2E-05 | 1,1 | 0,15 | ||
| 0,95 | 0,9875 | 2E-06 | 1,025 | 0,075 | ||
| 0,9875 | 1,00625 | -2E-07 | 1,025 | 0,0375 | ||
| 0,9875 | 0,996875 | 3.1E-08 | 1,00625 | 0,0187 | ||
| 0,996875 | 1,0015625 | -4E-09 | 1,00625 | 0,0094 | ||
| 0,996875 | 0,9992188 | 4.8E-10 | 1,0015625 | 0,0047 | ||
| 0,99921875 | 1,0003906 | -6E-11 | 1,0015625 | 0,0023 | ||
| 0,99921875 | 0,9998047 | 7.5E-12 | 1,000390625 | 0,0012 |
প্রদত্ত অ্যালগরিদম অ্যাকাউন্টে লাগে সম্ভাব্য ক্ষেত্রে"মূলে আঘাত করা", যেমন সমতা চ(এক্স) পরবর্তী পর্যায়ে শূন্য। উদাহরণে যদি 2.3 আমরা সেগমেন্ট নিই, তাহলে প্রথম ধাপেই আমরা মূলে চলে আসি এক্স= 1. প্রকৃতপক্ষে, আসুন ঘরে লিখি খ 3 মান 0.9। তারপর ফলাফল টেবিলটি 2.5 ফর্ম নেবে (শুধু 2টি পুনরাবৃত্তি দেওয়া হয়েছে)।
টেবিল 2.5
| ক | খ | গ | ডি | ই | চ | |
| f(a)= | 0,001 | |||||
| k | ক | এক্স | f(x) | খ | বি। এ | |
| 0,9 | 1,1 | 0,2 | ||||
এর প্রোগ্রামে এটি তৈরি করা যাক এক্সেলকাস্টম ফাংশন f(x) এবং bisect(a, b, eps) বিল্ট-ইন ল্যাঙ্গুয়েজ ব্যবহার করে bisect পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধানের জন্য ভিজ্যুয়াল বেসিক. তাদের বর্ণনা নীচে দেওয়া হল:
ফাংশন f(বাইভাল x)
ফাংশন দ্বিখণ্ডিত (a, b, eps)
1 x = (a + b) / 2
যদি f(x) = 0 হয় তাহলে GoTo 5
যদি f(x) * f(a)< 0 Then
যদি Abs(a - b) > eps হয় তাহলে GoTo 1
ফাংশন f(x) নির্ধারণ করে বাম পাশেসমীকরণ, এবং ফাংশন
bisect(a, b, eps) bisect পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের মূল গণনা করে চ(এক্স) = 0. লক্ষ্য করুন যে ফাংশনটি দ্বিখণ্ডিত (a, b, eps) ফাংশন f(x) এর অ্যাক্সেস ব্যবহার করে। এখানে একটি কাস্টম ফাংশন তৈরি করার জন্য অ্যালগরিদম:
1) মেনু কমান্ড চালান “Tools - Macro - Editor ভিজ্যুয়াল বেসিক" জানালা " মাইক্রোসফট ভিজ্যুয়াল বেসিক" যদি ইন এই নথিপ্রোগ্রাম এক্সেলম্যাক্রো বা ব্যবহারকারীর ফাংশন বা পদ্ধতি এখনও তৈরি করা হয়নি, এই উইন্ডোটি চিত্র 2.4-এ দেখানো মত দেখাবে।
2) "ঢোকান - মডিউল" মেনু কমান্ডটি চালান এবং চিত্র 2.5-এ দেখানো প্রোগ্রাম ফাংশনের পাঠ্য লিখুন।
এখন প্রোগ্রাম শীট কোষে এক্সেলআপনি সূত্রে তৈরি ফাংশন ব্যবহার করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আসুন একটি ঘরে প্রবেশ করি ডি 18 সূত্র
দ্বিখণ্ডিত(0.95;1;0.00001),
তারপর আমরা 0.999993896 মান পাই।
অন্য একটি সমীকরণ (একটি ভিন্ন বাম দিকে সহ) সমাধান করতে আপনাকে "সরঞ্জাম - ম্যাক্রো - সম্পাদক" কমান্ডটি ব্যবহার করে সম্পাদক উইন্ডোতে যেতে হবে ভিজ্যুয়াল বেসিক” এবং সহজভাবে f(x) ফাংশনের বিবরণ পুনরায় লিখুন। উদাহরণস্বরূপ, আসুন 0.001 এর নির্ভুলতার সাথে, sin5 সমীকরণের মূল খুঁজে বের করা যাক x + x 2 – 1 = 0, ব্যবধানের অন্তর্গত (0.4; 0.5)। এটি করার জন্য, এর ফাংশনের বর্ণনা পরিবর্তন করা যাক
একটি নতুন বর্ণনার জন্য
f = পাপ(5 * x) + x^2 - 1
তারপর সেলে ডি 18 আমরা 0.441009521 মান পাই (উদাহরণ 2.3 এ পাওয়া ব্যবধানের (0.4; 0.5) মূলের মানের সাথে এই ফলাফলের তুলনা করুন!)
প্রোগ্রামে অর্ধ বিভাগ পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমীকরণ সমাধান করতে ম্যাথক্যাডএকটি সাবরুটিন ফাংশন তৈরি করা যাক বাইসেক(চ, ক, খ, ε), যেখানে:
চ-সমীকরণের বাম দিকের সাথে সম্পর্কিত ফাংশনের নাম চ(এক্স) = 0;
ক, খ- সেগমেন্টের বাম এবং ডান প্রান্ত [ ক, খ];
ε - মূলের আনুমানিক মানের নির্ভুলতা।
প্রোগ্রামে উদাহরণের সমাধান ম্যাথক্যাড:
1) প্রোগ্রাম চালু করুন ম্যাথক্যাড।আসুন ফাংশনের সংজ্ঞা প্রবর্তন করি বাইসেক(চ, ক, খ, ε)। এটি করার জন্য, কীবোর্ড এবং "গ্রীক প্রতীক" টুলবার ব্যবহার করে, টাইপ করুন বাইসেক(চ, ক, খ, ε):=। "প্রোগ্রামিং" টুলবারে অ্যাসাইনমেন্ট সাইন ":=" পরে, "লাইন যোগ করুন" বাম-ক্লিক করতে মাউস পয়েন্টার ব্যবহার করুন। অ্যাসাইনমেন্ট চিহ্নের পরে একটি উল্লম্ব লাইন প্রদর্শিত হবে। এরপর, লুপ অপারেটর, "←" চিহ্নটি প্রবেশ করতে "প্রোগ্রামিং" টুলবার ব্যবহার করে নীচে দেখানো প্রোগ্রাম পাঠ্যটি প্রবেশ করান যখন, অপারেটর বিরতিএবং শর্তসাপেক্ষ অপারেটর যদি অন্যথায়.
2) আসুন ফাংশনের সংজ্ঞা প্রবর্তন করি চ(এক্স):=sin(5*x)+x^2–1, এবং তারপর ফাংশন ব্যবহার করে রুটের মান গণনা করুন বাইসেকপ্রদত্ত মানগুলিতে:
বাইসেক(চ, –0.8,–0.7,0.0001)=। “=” চিহ্নের পরে, প্রোগ্রাম -0.7266601563 দ্বারা গণনা করা রুট মান স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রদর্শিত হবে। চলুন একইভাবে অবশিষ্ট শিকড় গণনা করা যাক।
নীচে শীট আছে ম্যাথক্যাডফাংশন সংজ্ঞা সহ বাইসেক(চ, ক, খ, ε) এবং গণনা:
ভাষায় একটা প্রোগ্রাম দেই গ++ সমীকরণ সমাধান করতে চ(এক্স) = 0 অর্ধেক পদ্ধতি দ্বারা:
#অন্তর্ভুক্ত
#অন্তর্ভুক্ত
ডবল এফ (ডাবল এক্স);
typedef double (*PF)(ডবল);
ডবল বাইসেক (পিএফ এফ, ডাবল এ, ডাবল বি, ডাবল ইপিএস);
ডবল a, b, x, eps;PF pf;
cout<< "\n a = "; cin >> a;
cout<< "\n b = "; cin >>b;
cout<< "\n eps = "; cin >> ইপিএস;
x = bisec(pf,a,b,eps); cout<< "\n x = " << x;
cout<< "\n Press any key & Enter "; cin >> a;
ডবল f(ডবল এক্স)(
r = sin(5*x)+x*x-1;
ডাবল বাইসেক (পিএফ এফ, ডাবল এ, ডাবল বি, ডাবল ইপিএস)(
do( x = (a + b)/2;
যদি (f(x) == 0) বিরতি;
যদি (f(x)*f(a)<0) b = x;
)যখন (fabs(b-a) > eps);
প্রোগ্রামে ফাংশন চ(এক্স) সমীকরণ সমাধানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়
sin5 x + x 2 – 1 = 0
উদাহরণ 2.3 থেকে। 0.00001 এর নির্ভুলতার সাথে ব্যবধানের মূল (0.4; 0.5) নির্ধারণের জন্য প্রোগ্রামের ফলাফল নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে (কম্পিউটার স্ক্রীন):
যেকোনো কী চাপুন এবং এন্টার করুন
ফলাফল দেখার জন্য একটি বিরতি সংগঠিত করার জন্য শেষ লাইনটি প্রয়োজন।
অরৈখিক সমীকরণগুলিকে 2টি শ্রেণীতে ভাগ করা যায় - বীজগণিতীয় এবং ট্রান্সসেন্ডেন্টাল। বীজগণিতীয় সমীকরণশুধুমাত্র বীজগণিতীয় ফাংশন (পূর্ণসংখ্যা, মূলদ, অযৌক্তিক) সমন্বিত সমীকরণ বলা হয়। বিশেষ করে, একটি বহুপদী একটি সম্পূর্ণ বীজগণিতীয় ফাংশন। অন্যান্য ফাংশন সমন্বিত সমীকরণ (ত্রিকোণমিতিক, সূচকীয়, লগারিদমিক, ইত্যাদি) বলা হয়। অতীন্দ্রিয়
অরৈখিক সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতি দুটি গ্রুপে বিভক্ত:
- সুনির্দিষ্ট পদ্ধতি ;
- পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি .
সঠিক পদ্ধতিগুলি কিছু সসীম সম্পর্কের (সূত্র) আকারে শিকড় লেখা সম্ভব করে। স্কুল বীজগণিত কোর্স থেকে, এই জাতীয় পদ্ধতিগুলি ত্রিকোণমিতিক, লগারিদমিক, সূচকীয়, পাশাপাশি সরল বীজগণিতীয় সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য পরিচিত।
যেমনটি পরিচিত, অনেক সমীকরণ এবং সমীকরণের সিস্টেমের বিশ্লেষণাত্মক সমাধান নেই। এটি প্রাথমিকভাবে অধিকাংশ অতীন্দ্রিয় সমীকরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এটাও প্রমাণিত হয়েছে যে এমন একটি সূত্র তৈরি করা অসম্ভব যেটি চারের চেয়ে বেশি ডিগ্রীর একটি নির্বিচারে বীজগণিত সমীকরণ সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উপরন্তু, কিছু ক্ষেত্রে সমীকরণে সহগ থাকে যা কেবলমাত্র প্রায় পরিচিত, এবং সেইজন্য, সমীকরণের মূলগুলি সঠিকভাবে নির্ধারণ করার কাজটি তার অর্থ হারায়। তাদের সমাধান করতে আমরা ব্যবহার করি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতিনির্ভুলতা একটি প্রদত্ত ডিগ্রী সঙ্গে.
সমীকরণ দেওয়া যাক
- ফাংশন চ(এক্স) বিরতিতে একটানা থাকে [ ক, খ] এর ১ম এবং ২য় ক্রম ডেরিভেটিভ সহ।
- মূল্যবোধ চ(এক্স) সেগমেন্টের শেষে বিভিন্ন চিহ্ন রয়েছে ( চ(ক) * চ(খ) < 0).
- প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ চ"(এক্স) এবং চ""(এক্স) সমগ্র সেগমেন্ট জুড়ে একটি নির্দিষ্ট চিহ্ন ধরে রাখুন।
শর্ত 1) এবং 2) গ্যারান্টি যে বিরতিতে [ একটি, খ] অন্তত একটি মূল আছে, এবং 3 থেকে) এটি অনুসরণ করে চ(এক্স) এই ব্যবধানে একঘেয়ে এবং তাই মূলটি অনন্য হবে।
সমীকরণ সমাধান করুন (1) পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতিএর অর্থ হল এটির শিকড় আছে কি না, কতগুলি শিকড় আছে তা নির্ধারণ করা এবং প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার সাথে শিকড়ের মান খুঁজে বের করা।
যে কোনো মান যে একটি ফাংশন বিপরীত চ(এক্স) থেকে শূন্য, অর্থাৎ যেমন যে:
ডাকা মূল সমীকরণ(1) বা শূন্যফাংশন চ(এক্স).
একটি সমীকরণের মূল খোঁজার সমস্যা চ(এক্স) = 0 পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি দ্বারা দুটি পর্যায় গঠিত:
- মূল বিচ্ছেদ - রুট বা এটি ধারণকারী একটি অংশের একটি আনুমানিক মান খুঁজে বের করা;
- আনুমানিক শিকড় পরিশোধন - তাদের একটি নির্দিষ্ট মাত্রার নির্ভুলতায় নিয়ে আসা।
মূল বিভাজনের প্রক্রিয়াটি ফাংশনের লক্ষণগুলি প্রতিষ্ঠার সাথে শুরু হয় চ(এক্স) সীমানায় এক্স=কএবং এক্স=খতার অস্তিত্বের অঞ্চলে পয়েন্ট।
উদাহরণ 1 . সমীকরণের মূল আলাদা করুন:
|
চ( এক্স) є এক্স 3 - 6x + 2 = 0. |
আসুন একটি আনুমানিক চিত্র তৈরি করি:
ফলস্বরূপ, সমীকরণ (2) এর তিনটি প্রকৃত মূল রয়েছে ব্যবধানে [-3, -1], এবং .
শিকড়ের আনুমানিক মান ( প্রাথমিক অনুমান) সমস্যাটির শারীরিক অর্থ থেকেও জানা যেতে পারে, বিভিন্ন প্রাথমিক ডেটার সাথে একই সমস্যা সমাধান করা থেকে বা গ্রাফিকভাবে পাওয়া যেতে পারে।
ইঞ্জিনিয়ারিং অনুশীলনে সাধারণ গ্রাফিক পদ্ধতিআনুমানিক শিকড় নির্ধারণ।
বিবেচনায় নেওয়া যে সমীকরণের আসল মূল (1) হল ফাংশনের গ্রাফের ছেদ বিন্দু চ(এক্স) x-অক্ষের সাথে, এটি ফাংশনটি প্লট করার জন্য যথেষ্ট চ(এক্স) এবং ছেদ বিন্দু চিহ্নিত করুন চ(এক্স) এক্সেল সহ উহু,বা অক্ষের উপর চিহ্ন দিন উহুএকটি রুট ধারণকারী অংশ। সমীকরণ (1) প্রতিস্থাপন করে গ্রাফের নির্মাণ প্রায়শই ব্যাপকভাবে সরল করা যায় সমতুল্যতাকে সমীকরণ সহ:
সমীকরণ (4) সুবিধাজনকভাবে একটি সমতা হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:
এটি থেকে স্পষ্ট যে সমীকরণ (4) এর মূলগুলি লগারিদমিক বক্ররেখার ছেদ বিন্দুগুলির অবসিসাস হিসাবে পাওয়া যেতে পারে y= লগ এক্সএবং হাইপারবোলস y = . এই বক্ররেখাগুলি তৈরি করার পরে, আমরা প্রায় সমীকরণের একমাত্র মূল (4) খুঁজে পাব বা এটি ধারণকারী সেগমেন্ট নির্ধারণ করব।
পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া প্রাথমিক আনুমানিক অনুক্রমিক পরিমার্জন নিয়ে গঠিত এক্স 0 এই ধরনের প্রতিটি পদক্ষেপ বলা হয় পুনরাবৃত্তি. পুনরাবৃত্তির ফলস্বরূপ, আনুমানিক মূল মানগুলির একটি ক্রম পাওয়া যায় এক্স 1 , এক্স 2 , ..., xn.যদি এই মানগুলি পুনরাবৃত্তির সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে থাকে nরুট এর প্রকৃত মূল্যের কাছে যান, তারপর আমরা বলি যে পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া একত্রিত হয়.
সেগমেন্টের অন্তর্গত সমীকরণ (1) এর মূল বের করতে [ একটি, খ], এই অংশটিকে অর্ধেক ভাগ করুন। যদি চ= 0, তারপর x = সমীকরণের মূল। যদি চ 0 এর সমান নয় (যা, অনুশীলনে, সম্ভবত সম্ভবত), তারপর আমরা অর্ধেক বা যার শেষে ফাংশনটি বেছে নিই চ(এক্স) বিপরীত লক্ষণ আছে। নতুন সংকীর্ণ অংশ [ ক 1 , খ 1] আবার অর্ধেক ভাগ এবং একই কর্ম সঞ্চালন.
একটি প্রদত্ত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার জন্য অর্ধেক পদ্ধতিটি ব্যবহার করা সহজ এবং নির্ভরযোগ্য এবং সর্বদা একত্রিত হয়।
উদাহরণ 3. সমীকরণের মূলটি স্পষ্ট করতে অর্ধেক পদ্ধতি ব্যবহার করুন
চ( এক্স) = এক্স 4 + 2 এক্স 3 - এক্স - 1 = 0
সেগমেন্টে শুয়ে থাকা [0, 1]।
ধারাবাহিকভাবে আমাদের আছে:
f(0) = - 1; চ(1) = 1; চ(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;
f(0.75) = 0.32 + 0.84 - 0.75 - 1 = - 0.59;
f(0.875) = 0.59 + 1.34 - 0.88 - 1 = + 0.05;
f(0.8125) = 0.436 + 1.072 - 0.812 - 1 = - 0.304;
f(0.8438) = 0.507 + 1.202 - 0.844 - 1 = - 0.135;
f(0.8594) = 0.546 + 1.270 - 0.859 - 1 = - 0.043, ইত্যাদি।
মেনে নেওয়া যায়
x = (0.859 + 0.875) = 0.867
এই পদ্ধতিতে, পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়াটি সমীকরণ (1) এর মূলের অনুমান হিসাবে নিম্নলিখিত মানগুলি গ্রহণ করে: এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x nজ্যা ছেদ বিন্দু এবি x-অক্ষ সহ (চিত্র 3)। প্রথমে আমরা জ্যার সমীকরণ লিখি এবি:
.
জ্যা ছেদ বিন্দু জন্য এবি x-অক্ষ সহ ( x = x 1 ,y= 0) আমরা সমীকরণ পাই:
নিশ্চিত করার জন্য যাক চ""(এক্স) > 0 এ a x খ(ঘটছে চ""(এক্স) < সমীকরণটি আকারে লিখলে 0 আমাদের থেকে কমে যায় - চ(এক্স) = 0)। তারপর বক্ররেখা এ = চ(এক্স) নিচের দিকে উত্তল হবে এবং তাই এর জ্যার নিচে অবস্থিত এবি. দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে আছে: 1) চ(ক) > 0 (চিত্র 3, ক) এবং 2) চ(খ) < 0 (Рисунок 3, খ).
চিত্র 3, a, b.
প্রথম ক্ষেত্রে শেষ কগতিহীন এবং ধারাবাহিক অনুমান: এক্স 0 = খ;x, যেখানে ফাংশন চ (এক্স) এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের চিহ্নের বিপরীতে একটি চিহ্ন রয়েছে চ""(এক্স).
এটি পাওয়া না যাওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়া চলতে থাকে
| x i - x i - 1 |< e ,
যেখানে e নির্দিষ্ট সর্বোচ্চ পরম ত্রুটি।
উদাহরণ 4. সমীকরণের ধনাত্মক মূল খুঁজুন
চ( এক্স) = এক্স 3 - 0,2 এক্স 2 - 0,2 এক্স - 1,2 = 0
e = 0.01 এর নির্ভুলতার সাথে।
প্রথমত, আমরা মূলটি আলাদা করি। কারণ
f(1) = -0.6< 0 и চ (2) = 5,6 > 0,
তারপর প্রয়োজনীয় রুট x ব্যবধানে থাকে। ফলস্বরূপ ব্যবধানটি বড়, তাই আমরা এটিকে অর্ধেক ভাগ করি। কারণ
f (1.5) = 1.425 > 0, তারপর 1< x < 1,5.
কারণ চ""(এক্স) = 6 এক্স- 0.4 > 0 1 এ< এক্স < 1,5 и চ(1.5) > 0, তারপর আমরা সমস্যা সমাধানের জন্য সূত্র (5) ব্যবহার করি:
= 1,15;
| এক্স 1- এক্স 0 | = 0.15 > e,
অতএব, আমরা গণনা চালিয়ে যাচ্ছি;
চ ( এক্স 1) = -0,173;
= 1,190;
|x 2- এক্স 1 | = 0.04 > e,
চ (এক্স 2) = -0,036;
= 1,198;
| এক্স 3- এক্স 2 | = 0,008 < e .
সুতরাং, আমরা e = 0.01 এর নির্ভুলতার সাথে x = 1.198 নিতে পারি।
উল্লেখ্য যে সমীকরণটির সঠিক মূল হল x = 1.2।
দিন চ(এক্স) – অনবরত ফাংশন [ ক; খ], .
নিউটনের পদ্ধতি (স্পর্শক পদ্ধতি)
দিন চ(এক্স)
ব্যবধানে একটি দ্বিগুণ ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য ফাংশন [ ক;
খ],
,
এবং 
চিহ্ন পরিবর্তন করবেন না [ ক;
খ].
আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক 
সেগমেন্টের শেষ যেখানে চিহ্ন 
এবং 
মেলে সঠিক মূলের ধারাবাহিক অনুমান গসূত্র দ্বারা খুঁজুন
জন্য 
.
তারপর 
সমীকরণের সঠিক মূল (1)।
কম্পিউটিং প্রক্রিয়া সাধারণত বন্ধ হয় যখন 
নির্দিষ্ট নির্ভুলতা কম হতে সক্রিয় আউট ε
. যাইহোক, এই শর্তটি কঠোরভাবে নিশ্চিত করতে পারে না যে নির্দিষ্ট নির্ভুলতা অর্জন করা হয়েছে। সম্পূর্ণ আশ্বাসের জন্য, আপনি এই বিভাগের শুরুতে বর্ণিত একটি নির্ভুলতা পরীক্ষা করতে পারেন। যদি নির্ভুলতা অর্জিত না হয়, তাহলে আপনাকে আরও কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করতে হবে।
সেক্যান্ট পদ্ধতি
কিছু প্রাথমিক আনুমানিক হতে দিন 
. সূত্র ব্যবহার করে আমরা আরও একটি পয়েন্ট পাই 
, কোথায় জ- একটি ছোট সংখ্যা। আমরা ধরে নেব যে আমরা পদ্ধতির বেশ কয়েকটি ধাপ সম্পন্ন করেছি, এবং এই মুহুর্তে আমাদের দুটি ধারাবাহিক অনুমান রয়েছে 
এবং 
সঠিক মূলে (প্রাথমিক পর্যায়ে এটি 
এবং 
) তারপরে আমরা সূত্রটি ব্যবহার করে পরবর্তী অনুমান খুঁজে পাই
,
প্রক্রিয়াটি নিউটনের পদ্ধতির মতো একই মানদণ্ড অনুসারে বন্ধ হয়ে যায়।
পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি
পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিতে, মূল সমীকরণ (1) সমতুল্য সমীকরণে রূপান্তরিত হয় 
. প্রাথমিক আনুমানিক নির্বাচন করা হয় 
. প্রতিটি পরবর্তী অনুমান সূত্র দ্বারা প্রাপ্ত হয় 
,
প্রক্রিয়াটি নিউটনের পদ্ধতির মতো একই মানদণ্ড অনুসারে বন্ধ হয়ে যায়। পদ্ধতিটি একত্রিত হবে, যেমন সীমা 
যদি অসমতা মূলের আশেপাশে ধরে থাকে তাহলে মূলের সঠিক মানের সমান 
এবং প্রাথমিক অনুমানটি মূলের বেশ কাছাকাছি।
পদ্ধতির সুবিধা এবং অসুবিধা
দ্বিখণ্ডন পদ্ধতিতে মূলকে আলাদা করতে হবে এবং উচ্চ নির্ভুলতা অর্জনের জন্য ফাংশনটিকে বহুবার মূল্যায়ন করতে হবে। এই পদ্ধতিতে নির্দিষ্ট নির্ভুলতা অর্জন নিশ্চিত করা হয়।
নিউটনের পদ্ধতিতে খুব দ্রুত অভিসারী (চতুর্মুখী অভিসারন), অর্থাৎ
,
কোথায় গ- মূলের সঠিক মান; এম- ফাংশনের উপর নির্ভর করে কিছু ধ্রুবক। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, একটি নির্দিষ্ট পুনরাবৃত্তি থেকে শুরু করে, প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে সঠিক দশমিক স্থানের সংখ্যা দ্বিগুণ হবে।
নিউটনের পদ্ধতির মিলনের নিশ্চয়তা দিতে, বেশ কয়েকটি শর্ত পূরণ করতে হবে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, আপনি এই শর্তগুলি পরীক্ষা না করেই নিউটনের পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা শুরু করতে পারেন, কিন্তু তারপরে অভিন্নতা লক্ষ্য করা যাবে না।
সেক্যান্ট পদ্ধতিটি মসৃণ ফাংশনগুলির জন্য নিউটনের পদ্ধতির অভিসারী হারের কাছাকাছি একটি অভিসারী হার সরবরাহ করে। এটি একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করার প্রয়োজন নেই। যদি প্রারম্ভিক বিন্দুটি মূল থেকে অনেক দূরে নেওয়া হয়, তাহলে কোন অভিসারী হতে পারে না।
পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি নিউটনের পদ্ধতির তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে কম একটি অভিসারী হার দেয়। অভিন্নতা থাকলে, অনুমান প্রযোজ্য 
, কোথায় 
- সংখ্যা, 
,
;গ- মূলের সঠিক মান। পরিমাণ এম,
qফাংশনের উপর নির্ভর করে এবং পুনরাবৃত্তি সংখ্যার উপর নির্ভর করে না। যদি 
তাহলে 1 এর কাছাকাছি qএছাড়াও 1 এর কাছাকাছি এবং পদ্ধতির অভিসরণ ধীর হবে। পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা চালু করা শর্তগুলি পরীক্ষা না করেই শুরু করা যেতে পারে 
এবং 
. এই ক্ষেত্রে, প্রক্রিয়া ভিন্ন হতে পারে, এবং তারপর উত্তর পাওয়া যাবে না।
তালিকাভুক্ত ব্যতীত অরৈখিক সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য অনেকগুলি পদ্ধতি রয়েছে। ম্যাথক্যাডে, রুট ফাংশন ফরম্যাটে থাকে 
সেক্যান্ট পদ্ধতি ব্যবহার করে, এবং যদি এটি পছন্দসই ফলাফলের দিকে পরিচালিত না করে তবে মুলার পদ্ধতি। পরবর্তীতে, সেকেন্ট পদ্ধতির বিপরীতে, প্রতিটি ধাপে দুটি অতিরিক্ত বিন্দু নেওয়া হয়, ফাংশনের গ্রাফটি তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি প্যারাবোলা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুটি হিসাবে নেওয়া হয়। পরবর্তী আনুমানিক বলদ. রুট ফাংশনে রুট ফরম্যাটে( চ(এক্স),
এক্স,
ক,
খ) রাইডার এবং ব্রেন্ট পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। MATHCAD-এ বহুপদীর শিকড় খুঁজে পেতে, Laguerre পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।
ডিকোটমি পদ্ধতিপ্রাচীন গ্রীক শব্দ থেকে এর নাম এসেছে, যার অনুবাদ অর্থ দুই ভাগে ভাগ করা। এই কারণেই এই পদ্ধতির একটি দ্বিতীয় নামও রয়েছে: অর্ধেক পদ্ধতি। আমরা এটি প্রায়শই ব্যবহার করি। ধরা যাক "সংখ্যা অনুমান করুন" গেমটি খেলতে, যেখানে একজন খেলোয়াড় 1 থেকে 100 পর্যন্ত একটি সংখ্যা অনুমান করে এবং অন্যজন এটি অনুমান করার চেষ্টা করে, "এর চেয়ে বেশি" বা "কম" সূত্র দ্বারা পরিচালিত। এটি অনুমান করা যৌক্তিক যে প্রথম সংখ্যাটিকে 50 বলা হবে, এবং দ্বিতীয়টি যদি কম হয় - 25, যদি এটি বেশি হয় - 75। এভাবে, প্রতিটি পর্যায়ে (পুনরাবৃত্তি) অজানাটির অনিশ্চয়তা 2 গুণ কমে যায়। সেগুলো। এমনকি বিশ্বের সবচেয়ে দুর্ভাগা ব্যক্তিও 100টি এলোমেলো বক্তব্যের পরিবর্তে 7টি অনুমানে এই পরিসরে লুকানো সংখ্যাটি অনুমান করবে।
সমীকরণ সমাধানে অর্ধ ভাগের পদ্ধতি
অর্ধেক পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমীকরণের সঠিক সমাধান তখনই সম্ভব যদি এটি জানা যায় যে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি মূল আছে এবং এটি অনন্য। এর মানে এই নয় যে ডিকোটমি পদ্ধতি শুধুমাত্র রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। দ্বিখণ্ডন পদ্ধতি ব্যবহার করে উচ্চ-ক্রম সমীকরণের শিকড় খুঁজে পেতে, আপনাকে প্রথমে শিকড়গুলিকে খণ্ডে আলাদা করতে হবে। মূলকে আলাদা করার প্রক্রিয়াটি ফাংশনের প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করে এবং তাদের শূন্য f"(x)=0 এবং f""(x)=0 এর সমান করে সম্পাদিত হয়। এরপর, f(x) এর চিহ্নগুলি গুরুত্বপূর্ণ এবং সীমানা বিন্দুতে নির্ধারিত হয় যেখানে ফাংশন চিহ্ন |a,b| পরিবর্তন করে, যেখানে f(a)*f(b)< 0.
ডিকোটমি পদ্ধতির অ্যালগরিদম
ডিকোটমি পদ্ধতির অ্যালগরিদম খুবই সহজ। সেগমেন্ট |a,b| বিবেচনা করুন যার মধ্যে একটি মূল x 1 আছে
প্রথম পর্যায়ে, x 0 =(a+b)/2 গণনা করা হয়
এর পরে, এই পয়েন্টে ফাংশনের মান নির্ধারণ করা হয়: যদি f(x 0)< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.
যখন পার্থক্য b-a প্রয়োজনীয় ত্রুটির চেয়ে কম হয় তখন গণনা বন্ধ হয়ে যায়।
অর্ধ বিভাজন পদ্ধতি ব্যবহার করার উদাহরণ হিসাবে, আমরা 10 -3 এর নির্ভুলতার সাথে x 3 -3*x+1=0 সমীকরণের ব্যবধানে মূলটি খুঁজে পাব।
টেবিল থেকে দেখা যায়, রুট হল 0.347। পুনরাবৃত্তির সংখ্যা 10। সমাপ্তির শর্ত: a-b=0.0009< 10 -3
অর্ধেক পদ্ধতি বা দ্বিমুখী পদ্ধতিসংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধানের জন্য সবচেয়ে সহজ।
ডাউনলোড করুন:
ডিকোটমি পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমীকরণ সমাধান করা - প্যাসকেলে দ্বিখণ্ডন পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমীকরণ সমাধান করা।
একে দ্বিমুখী পদ্ধতিও বলা হয়। সমীকরণ সমাধানের এই পদ্ধতিটি উপরে আলোচিত পদ্ধতির থেকে আলাদা যে এটির শর্ত পূরণের প্রয়োজন নেই যে প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি ব্যবধানে তাদের চিহ্ন ধরে রাখে। দ্বিখণ্ডিত পদ্ধতি যে কোনো অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f(x) এর জন্য একত্রিত হয়, অ-পার্থক্য সহ।
একটি বিন্দু দিয়ে সেগমেন্টটিকে অর্ধেক ভাগ করুন। যদি (যা ব্যবহারিকভাবে সবচেয়ে বেশি সম্ভব), তাহলে দুটি ক্ষেত্রে সম্ভব: হয় f(x) সেগমেন্টে চিহ্ন পরিবর্তন করে (চিত্র 3.8), অথবা সেগমেন্টে (চিত্র 3.9)
প্রতিটি ক্ষেত্রে যে সেগমেন্টের উপর ফাংশনটি সাইন পরিবর্তন করে তা বেছে নিয়ে এবং আরও অর্ধেক করার প্রক্রিয়া চালিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে, কেউ একটি নির্বিচারে ছোট সেগমেন্টে পৌঁছাতে পারে যার মধ্যে সমীকরণের মূল রয়েছে।
উদাহরণ 4. সমীকরণ 5x - 6x -3 = 0 ব্যবধানে একটি একক মূল রয়েছে। অর্ধ বিভাজন পদ্ধতি ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করুন।
সমাধান: একটি প্যাসকেল প্রোগ্রাম এইরকম দেখতে পারে:
ফাংশন f(x: বাস্তব): বাস্তব;
f:=exp(x*ln(5))-6*x-3;
a, b, e, c, x: real;
যখন abs(b-a)>e করে
যদি f(a)*f(c)<0 then
writeln("x=",x:3:3," f(x)=",f(x):4:4);
প্রোগ্রাম সম্পাদনের ফলাফল:
e=0.001 x=1.562 f(x)=-0.0047
20. অর্ধেক বিভাজন পদ্ধতির অ্যালগরিদম।
1. একটি নতুন রুট আনুমানিক নির্ধারণ করুন এক্সসেগমেন্টের মাঝখানে [a,b]: x=(a+b)/2।
2. পয়েন্টে ফাংশনের মান খুঁজুন কএবং এক্স: F(a)এবং F(x).
3. শর্ত চেক করুন F(a)*F(x)< 0 . যদি শর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে মূল অংশে অবস্থিত [উহু] খপয়েন্টে সরান x (b=x). যদি শর্ত পূরণ না হয়, তাহলে মূল অংশে অবস্থিত [এক্স, খ]. এই ক্ষেত্রে, আপনি একটি পয়েন্ট প্রয়োজন কপয়েন্টে সরান x (a=x).
4. ধাপ 1 এ যান এবং আবার অংশটিকে অর্ধেক ভাগ করুন। শর্ত পূরণ না হওয়া পর্যন্ত অ্যালগরিদম চলতে থাকে /F(x)/< e (নির্দিষ্ট নির্ভুলতা)।
21. শিকড় খোঁজার জন্য সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি। জ্যামিতিক ব্যাখ্যা.
আসল সমীকরণ f(x)=0 সমতুল্য রূপান্তর দ্বারা বাম পাশের অজানা সহ ফর্মে হ্রাস করা হয়, অর্থাৎ x=φ(x), যেখানে φ(x) হল মূল ফাংশনের সাথে যুক্ত কিছু ফাংশন (এক্স)। সমীকরণ লেখার এই ফর্মটি প্রাথমিক অনুমান x 0 দিলে পরবর্তী, প্রথম অনুমান x 1 =φ(x 0), তারপর দ্বিতীয় আনুমানিক x 2 =φ(x 1) এবং x n +1 পেতে দেয়। =φ(x n)…. ক্রম (x n )= x 0, x 1, x 2, …, x n,…কে বলা হয় পুনরাবৃত্তির একটি ক্রম বা প্রাথমিক মান x 0 সহ অনুমান। যদি ফাংশন φ(x) অবিচ্ছিন্ন না হয় এবং একটি সীমা থাকে ξ = lim x n হিসাবে n→∞, তারপর, সমতার সীমাতে চলে গেলে x n +1 =φ(x n), আমরা দেখতে পাই যে n→ ∞: lim x n +1 =lim φ(x n)=φ(lim x n) ), অর্থাৎ, ξ=φ(ξ) ফলস্বরূপ, যদি অনুমানগুলির ক্রম একত্রিত হয়, তাহলে এটি সমীকরণ (2) এর মূলে একত্রিত হয় এবং তাই সমীকরণ (1)। পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়ার একত্রিত হওয়ার কারণে, এই মূলটি যথেষ্ট পরিমাণে বড় হিসাবে গণনা করা যেতে পারে nযে কোনো প্রদত্ত নির্ভুলতার সাথে। যাইহোক, কোন পরিস্থিতিতে ক্রম (x n) অভিসারী হবে তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন। আসুন আমরা দুটি প্রতিবেশী অনুমানগুলির ত্রুটিগুলির মধ্যে একটি সংযোগ পাই - ε n এবং ε n +1: x n =ξ+ε n, x n +1 =ξ+ε n +1। আসুন এই উপস্থাপনাগুলিকে x n +1 =φ(x n) তে প্রতিস্থাপন করি এবং মূলের আশেপাশে একটি টেলর সিরিজে ফাংশনটি প্রসারিত করি:ξ+ε n +1 =φ(ξ+ε n)=φ(ξ)+ε n φ'(ξ)+ (ε n 2 /2!)φ''(η), যেখানে η О [ξ; ξ+ε n ] М যেহেতু ξ একটি মূল, তারপর ξ=φ(ξ), আমরা পাই: ε n +1 =ε n φ'(ξ)+(φ''(η)/2)ε n 2 ε থেকে<1, то ε n 2 <<ε n . Поэтому если φ’(ξ) ¹ 0,то основной вклад в погрешность дает первое слагаемое, а слагаемым (φ’’(η)/2)ε n 2 можно пренебречь, то есть ε n +1 » ε n φ’(ξ).Это означает, что погрешность будет уменьшаться на каждом последующем шаге, если |φ’(ξ)|<1, тогда для любого n|ε n +1 |<|ε n |. Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, дающую достаточные условия сходимости.
সরল পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির অভিসারে উপপাদ্য।ধরা যাক ξ হল সমীকরণ x=φ(x), ফাংশন φ(x) সংজ্ঞায়িত এবং ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য, এবং x О ফাংশনের সমস্ত মান φ(x) О এর জন্য। তারপর, যদি এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা থাকে q<1, что при x Î выполняется неравенство |φ’(ξ)|≤q<1, то на отрезке уравнение x=φ(x) имеет единственный корень x=ξ и процесс итераций, выраженный формулой x n +1 =φ(x n), где n=1,2,3… , сходится к этому корню независимо от выбора начального приближения x 0 Î .Таким образом, последовательность {x n },начинающаяся с любого x 0 Î , сходится к корню ξ со скоростью геометрической прогрессии, причем скорость сходимости тем выше, чем меньше величина q Î (1;0).Если функция φ(х) монотонно возрастает и 0<φ’(х)<1, то все приближения лежат по одну сторону от корня - такую сходимость называют монотонной (или ступенчатой) – рис.1. Если функция φ(х) монотонно убывает и 0>φ'(x)>-1, তাহলে প্রতিবেশী অনুমানগুলি মূলের বিপরীত দিকে থাকে - এই ধরনের অভিসারকে দ্বিমুখী (বা সর্পিল) বলা হয় - চিত্র 2। যেহেতু এই ক্ষেত্রে রুটটি ব্যবধানে রয়েছে, যার প্রান্তগুলি প্রতিবেশী অনুমান – ξÎ(x n ,x n +1), তারপর শর্তের পূর্ণতা |x n +1 -x n |<ε обеспечивает выполнение условия |ξ-x n +1 |<ε.
অভিসারী গতির পরিপ্রেক্ষিতে পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতিগুলি তুলনা করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, নিম্নলিখিত ধারণাগুলি চালু করা হয়েছে:
সংজ্ঞা 1:একটি ক্রম (x n) থেকে ξ এর অভিসরণকে বলে রৈখিক(তদনুসারে, পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া হল রৈখিকভাবে অভিসারী), যদি একটি ধ্রুবক CО(0,1) এবং একটি সংখ্যা n 0 থাকে যাতে অসমতা |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | n≥n 0 এর জন্য।
আগে প্রবর্তিত ত্রুটিগুলির জন্য এর অর্থ হল |ε n+1 |≤C|ε n |। সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিতে, ধ্রুবক C হল মান q, অর্থাৎ, পদ্ধতিটি রৈখিকভাবে একত্রিত হয়।
সংজ্ঞা 2:অনুমানগুলির ক্রম (x n ) কমপক্ষে ξ এর সাথে একত্রিত হয় আরতম ক্রম (তদনুসারে, পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়াটিতে কমপক্ষে পি-ম ক্রম), যদি এরকম ধ্রুবক থাকে C>0, পি≥1 এবং n 0 , যে সকল n≥n 0 এর জন্য শর্ত |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | p (অথবা অন্যান্য স্বরলিপিতে |ε n+1 |≤C|ε n | p)।
