প্রাথমিক গণিত শিক্ষায় ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা
এই নিবন্ধটি প্রাথমিক গ্রেডে গণিত শেখানোর জন্য একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা উচিত কিনা এবং কীভাবে এটি বুদ্ধিমানের সাথে ব্যবহার করা যায় তা নিয়ে আলোচনা করে।
ক্যালকুলেটর ব্যবহার নিয়ে "যুদ্ধ"
কিছু লোক বলে যে একটি ক্যালকুলেটর বাচ্চাদের ক্লান্তিকর গণনায় সময় ব্যয় করার পরিবর্তে বোঝার এবং গাণিতিক ধারণাগুলিতে মনোনিবেশ করতে সক্ষম করে। তারা বলে যে একটি ক্যালকুলেটর সংখ্যা জ্ঞান বিকাশে সহায়তা করে এবং শিক্ষার্থীদের তাদের গণিত দক্ষতা সম্পর্কে আরও আত্মবিশ্বাসী করে তোলে।
অন্যরা নিম্ন স্তরের গণিত শিক্ষায় ক্যালকুলেটর ব্যবহারের বিরুদ্ধে বলে যে এটি বাচ্চাদের তাদের মৌলিক তথ্যগুলি শিখতে পারে না, শিক্ষার্থীদের অন্তর্নিহিত গাণিতিক ধারণাগুলি আবিষ্কার এবং বুঝতে বাধা দেয় এবং পরিবর্তে তারা কী করছে তা না বুঝে এলোমেলোভাবে বিভিন্ন অপারেশন চেষ্টা করতে উত্সাহিত করে।
তারা বলে যে ক্যালকুলেটরগুলি শিক্ষার্থীদের গণিত শেখার অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ কারণ থেকে উপকৃত হওয়া থেকে বিরত রাখে: মনকে প্রশিক্ষিত করা এবং শৃঙ্খলাবদ্ধ করা এবং যৌক্তিক যুক্তি প্রচার করা।
একটি ভারসাম্য আছে
আমার মতে, একটি ক্যালকুলেটর একটি ভাল উপায়ে বা একটি খারাপ উপায়ে ব্যবহার করা যেতে পারে - এটি সম্পূর্ণরূপে শিক্ষকের পদ্ধতির উপর নির্ভর করে - এটি শুধুমাত্র একটি সরঞ্জাম আজকের সমাজে, তাই শিক্ষার্থীদের স্কুল শেষ করার সময় এটি ব্যবহার করতে শিখতে হবে।
একই সময়ে, বাচ্চাদের তাদের মৌলিক তথ্যগুলি শিখতে হবে, মানসিক গণনা করতে সক্ষম হতে হবে এবং দীর্ঘ বিভাজন এবং অন্যান্য মৌলিক কাগজ-পেন্সিল অ্যালগরিদমগুলিতে দক্ষতা অর্জন করতে হবে। গণিত হল অধ্যয়নের একটি ক্ষেত্র যা পূর্বে প্রতিষ্ঠিত তথ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করে। একটি শিশু যে মৌলিক গুণ (এবং ভাগ) তথ্য জানে না তার ফ্যাক্টরিং, প্রাইম, ভগ্নাংশ সরলীকরণ এবং অন্যান্য ভগ্নাংশ অপারেশন, বন্টনমূলক সম্পত্তি ইত্যাদি শিখতে কঠিন সময় লাগবে। ইত্যাদি বীজগণিতের বহুপদ সহ সংশ্লিষ্ট ক্রিয়াকলাপ বোঝার জন্য পাটিগণিতের মৌলিক অ্যালগরিদম একটি প্রয়োজনীয় ভিত্তি। ভগ্নাংশগুলি কীভাবে পুনরাবৃত্তি করা (অ-সমাপ্ত) দশমিকের সাথে মিলে যায় তা বুঝতে দীর্ঘ পূর্ববর্তী বিভাগগুলি আয়ত্ত করা, যা তারপরে অমূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যা বোঝার পথ তৈরি করে। এটা সব একসাথে সংযোগ!
এই কারণে, নিম্ন গ্রেডে ক্যালকুলেটর ব্যবহার সীমিত করার পরামর্শ দেওয়া হয়, যতক্ষণ না বাচ্চারা তাদের মৌলিক তথ্যগুলি জানে এবং পেন্সিল ও কাগজ দিয়ে এমনকি বড় সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করতে পারে। এটি, আমার মতে, মানসিক গণনার মতো সংখ্যার বোধ তৈরি করে।
এর অর্থ এই নয় যে আপনি বিশেষ প্রকল্পের জন্য প্রাথমিক গ্রেডে মাঝে মাঝে ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেননি, নির্দিষ্ট ধারণা শেখানোর সময়, বা কিছু মজার জন্য এটি ব্যবহার করা যেতে পারে যেমন বিজ্ঞান বা ভূগোল প্রকল্পে, কিছু নতুন ধারণা অন্বেষণের জন্য সংখ্যা গেম, বা হোমওয়ার্ক পরীক্ষা কিছু ধারণা জন্য নিচে দেখুন.
এখানে আলোচনা হাই স্কুলের গ্রাফিকাল ক্যালকুলেটরের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। গ্রাফিং এবং ক্যালকুলাস অধ্যয়ন করার সময় আমি গ্রাফিকাল ক্যালকুলেটর বা গ্রাফিং সফ্টওয়্যার ব্যবহার করার পক্ষে দৃঢ়ভাবে। যদিও সেখানে, একজনকে অবশ্যই কাগজে গ্রাফিং কীভাবে করা হয় তার প্রাথমিক ধারণা শিখতে হবে।
ক্যালকুলেটর ব্যবহার করার সময় যে বিষয়গুলো মাথায় রাখতে হবে
যখন ক্যালকুলেটর আরও অবাধে ব্যবহার করা হয়, তখন নিম্নলিখিত বিষয়গুলিতে মনোযোগ দেওয়া উচিত:
- ক্যালকুলেটর হল a টুলগণনা করতে। মানুষের মন, কাগজ ও পেন্সিলও তাই। শিশুদের শেখাতে হবে কখনএকটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে এবং যখন মানসিক কম্পিউটিং (বা এমনকি কাগজ এবং পেন্সিল) আরও কার্যকর বা উপযুক্ত। সঠিক "সরঞ্জাম" নির্বাচন করা একটি কার্যকর সমস্যা-সমাধান প্রক্রিয়ার অংশ।
- এটা ছাত্রদের জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ কিভাবে অনুমান করতে শিখুনগণনা করার আগে ফলাফল। একটি ক্যালকুলেটরে সংখ্যাগুলি পাঞ্চ করার সময় ভুল করা খুব সহজ। উত্তরটি যুক্তিসঙ্গত কিনা তা পরীক্ষা না করে একজন শিক্ষার্থীকে অবশ্যই ক্যালকুলেটরের উপর নির্ভর করতে শিখতে হবে না।
- এলোমেলোভাবে সমস্ত সম্ভাব্য ক্রিয়াকলাপ চেষ্টা করার জন্য এবং কোনটি সঠিক উত্তর তৈরি করে তা পরীক্ষা করার জন্য একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা উচিত নয়। এটা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে শিক্ষার্থীরা বিভিন্ন গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ শিখে এবং বোঝে যাতে তারা জানে কোনটি কখন ব্যবহার করতে হবে — এবং প্রকৃত গণনা মানসিকভাবে, কাগজে বা একটি ক্যালকুলেটর দিয়ে করা হয় কিনা তা সত্য।
প্রাথমিক গণিতে ক্যালকুলেটর ব্যবহারের জন্য ধারণা
আপনি যদি এই ধারণাগুলি ব্যবহার করেন তবে নিশ্চিত করুন যে শিশুরা এই ধারণাটি পায় না যে একটি ক্যালকুলেটর মানসিক গণিত শেখার প্রয়োজনীয়তা কেড়ে নেয়৷ এটি শিশুদের অন্বেষণ এবং পর্যবেক্ষণ করতে দেওয়ার একটি হাতিয়ার হিসাবে কাজ করতে পারে, তবে পরে শিক্ষকের উচিত ধারণাগুলি ব্যাখ্যা করা, ন্যায়সঙ্গত করা গণিতের নিয়ম, এবং সব একসাথে রাখুন।
- কিন্ডারগার্টনার এবং প্রথম গ্রেডাররা এর দ্বারা নম্বরগুলি অন্বেষণ করতে পারে৷ বারবার 1 যোগ করা হচ্ছে(যা প্রথমে 1 + 1 = এবং তারপরে বারবার = বোতাম টিপুন) বা 1 বারবার বিয়োগ করার মাধ্যমে করা যেতে পারে। তারা নেতিবাচক সংখ্যা আঘাত যখন তাদের মুখ পর্যবেক্ষণ! অথবা, আপনি একটি সংখ্যার সাথে শূন্য যোগ করলে কী ঘটে তা তাদের তদন্ত করতে দিন।
- ক্যালকুলেটর প্যাটার্ন ধাঁধা: এটি উপরের ধারণার একটি এক্সটেনশন, যেখানে প্রথম থেকে তৃতীয় শ্রেণির শিশুরা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে বারবার একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করে। আপনি বারবার 2, 5, 10, বা 100 যোগ করার সময় শিশুরা এমন নিদর্শনগুলি পর্যবেক্ষণ করবে যা উদ্ভূত হয়। উদাহরণস্বরূপ, তারা 17 এ শুরু করতে পারে এবং বারবার 10 যোগ করতে পারে বা 149 এ শুরু করতে পারে এবং 10 বারবার বিয়োগ করতে পারে। আরেকটি ধারণা হল বাচ্চাদের তাদের নিজস্ব "প্যাটার্ন পাজল" তৈরি করতে দেওয়া, যেটি এমন একটি প্যাটার্ন সহ সংখ্যা ক্রম যেখানে কিছু সংখ্যা বাদ দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ 7, 14, __, __, 35, __, 49। কার্যকলাপটি ধারণার সাথে সংযোগ করতে পারে খুব সহজে গুণন।
- একটি ক্যালকুলেটর দিয়ে মূল্য ক্রিয়াকলাপ স্থাপন করুন : শিক্ষার্থীরা ক্যালকুলেটর দিয়ে সংখ্যা তৈরি করে, উদাহরণস্বরূপ:
দশের জায়গায় একটি 6 সহ একটি তিন-সংখ্যার সংখ্যা তৈরি করুন; অথবা একটি চার-অঙ্কের সংখ্যা 3,500-এর চেয়ে বড় করুন এবং এক জায়গায় চারটি বসান; অথবা দশের মধ্যে একটি 3 এবং শত জায়গায় একটি 9 দিয়ে একটি চার-সংখ্যার সংখ্যা তৈরি করুন; ইত্যাদি
পরে শিক্ষক বোর্ডে বেশ কয়েকটি সংখ্যার তালিকা করেন এবং ছাত্ররা যে সংখ্যাগুলিকে সাধারণ করেছে তা নিয়ে আলোচনা করেন, যেমন: সমস্ত সংখ্যা ষাট-কিছু। - বোর্ডে এক মিলিয়ন নম্বর লিখুন। শিক্ষার্থীদের একটি নম্বর বাছাই করতে বলুন যা তারা ক্যালকুলেটরের সাথে বারবার যোগ করবে যাতে তারা একটি যুক্তিসঙ্গত ক্লাস সময়ের মধ্যে এক মিলিয়নে পৌঁছাতে পারে। যদি তারা ছোট সংখ্যা বাছাই করে, যেমন 68 বা 125, তারা এটিতে পৌঁছাতে পারবে না এটি শিশুদের শেখাতে পারে যে সংখ্যাটি এক মিলিয়ন কতটা বিশাল!
- পাই প্রবর্তন করার সময়, ছাত্রদেরকে বেশ কয়েকটি বৃত্তাকার বস্তুর পরিধি এবং ব্যাস পরিমাপ করতে বলুন এবং একটি ক্যালকুলেটর দিয়ে তাদের অনুপাত গণনা করুন (যা সময় বাঁচায় এবং ধারণার উপর ফোকাস রাখতে সাহায্য করতে পারে)।
দ্য ইউজ অফ ক্যালকুলেটর গেটস অ্যাট দ্য হার্ট অফ গুড টিচিং - সুসান রে এর একটি প্রবন্ধ; আর অনলাইন নেই
মন্তব্য
আমি একটি খুব ছোট স্কুলে পড়াই এবং আমি বর্তমানে বীজগণিত 1, 8ম গ্রেডের বিজ্ঞান এবং তারপর সিনিয়রদের কাছে পদার্থবিদ্যা শেখাই এবং আমার একটি ছোট দল আছে যারা হাই স্কুল ক্যালকুলাস সম্পন্ন করেছে এবং আমরা কিছু লিনিয়ার অ্যালজেব্রা করছি। আমি নিজেও পদার্থবিদ্যায় মাস্টার্স।আমি এই পোস্টগুলির কিছু পড়ার আগে, আমি অনুভব করেছি যে আমি বেশ র্যাডিড অ্যান্টি-ক্যালকুলেটর, কিন্তু এখন আমি মনে করি আমি রাস্তার মাঝখানে আছি।
কাগজে বর্গমূল করার বিষয়ে মন্তব্য একটি ভাল এক. না, আমাদের আর ভালো সূক্ষ্মতার সাথে এটি কীভাবে করা যায় তা জানার দরকার নেই৷ যাইহোক, আমি সত্যিই চাই যে আমার সমস্ত ছাত্র আপনাকে বলতে পারবে এটি কোন দুটি সংখ্যার মধ্যে রয়েছে৷ উদাহরণ: 8
মাত্র গত বছর আমি আবিষ্কার করেছি কিভাবে একটি TI-83-এ ডেটা ইনপুট করতে হয় এবং এটিকে গড় এবং মানক বিচ্যুতি বের করে দিতে হয়। একটি পদার্থবিদ্যার ক্লাসের প্রেক্ষাপটে, আমি পরিসংখ্যান ক্লাসে যে বিষয়গুলি শিখতে হবে সেগুলির জন্য আমি খুব বেশি সময় ব্যয় করতে চাই না৷ কিন্তু যদি ক্যালকুলেটর এটি সহজে করে, তবে আমি আস্তে আস্তে ধারণাটি উপস্থাপন করতে পারি এবং আশা করি প্রাথমিক এক্সপোজার তাদের পরিসংখ্যানে যা শিখতে হবে তার জন্য প্রস্তুত করেছে।বীজগণিত 1-এ, যাইহোক, আমি শিক্ষার্থীদের ক্যালকুলেটর ব্যবহার করার অনুমতি দিই না। এবং, এটি আমার স্কুল, আমি দেখতে পাই যে বেশিরভাগ বাচ্চারা ক্যালকুলেটর ছাড়াই আমার কোর্সে আসে বা এটি ব্যবহার করার প্রবণতা নেই। আমি অনুভব করি যে মৌলিক রানডাউন বীজগণিত 1-এ গণিত হওয়া উচিত: 12x12 গুণের সারণীতে 80% সংখ্যার প্রাথমিক তথ্য ব্যবহার করা উচিত যা শিশুদের 15% সীমার বাইরে যেতে হবে। এবং শেষ 5% এমন জিনিস হওয়া উচিত যেগুলির জন্য তাদের একটি ক্যালকুলেটর প্রয়োজন।
আমার মতে, আপনি সংখ্যা সম্পর্কে কিছু শিখবেন যখন আপনাকে সেগুলি আপনার মাথায় করতে হবে। আপনি যদি 357 এর প্রাইম ফ্যাক্টরগুলি করতে চান, আপনি এই ধারণা দিয়ে শুরু করতে পারেন যে এটি 400 এর কম, তাই আপনাকে শুধুমাত্র 20 পর্যন্ত পরীক্ষা করতে হবে। আপনি এটাও জানেন যে এটি বিজোড়, তাই আপনাকে এটি করতে হবে না 2 বা কোন ঘটনা চেক করুন। তাহলে আপনি বুঝতে পারবেন যে আপনাকে 1 থেকে 20 এর মধ্যে কোনো নন-প্রাইম নম্বর চেক করতে হবে না। তাই, আপনাকে শুধুমাত্র 3, 5, 7, 11, 13, 17 চেক করতে হবে।
এটি শিক্ষার্থীদের সেট সম্পর্কিত কিছু মৌলিক ধারণা তৈরি করতে সাহায্য করে। সংখ্যার গোষ্ঠী রয়েছে যেগুলি সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি ভাগ করে, যেমন জোড় এবং বিজোড় এবং মৌলিক। এটি একটি গভীর ধারণা যা আপনি নাও পেতে পারেন যদি আপনাকে নিজের জন্য একটি প্রক্রিয়া সহজ করতে না হয়।
কিন্তু, এছাড়াও, নিজের জন্য একটি প্রক্রিয়া সরল করা সত্যিই গুরুত্বপূর্ণ। ধরুন আপনি একটি স্প্রিন্ট কাপ NASCAR গাড়িতে হেড মেকানিক। তারা সব সময় বিরতি. আপনি তাদের ঠিক করতে কি করতে হবে? সমস্যা বহিরাগত কি? আপনার পরীক্ষা/সমাধান করার জন্য সবচেয়ে ছোট সংখ্যক জিনিস কী, এবং কোন ক্রমে আপনার সেগুলি চেষ্টা করা উচিত? উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিত ক্লাসে অ্যালগরিদমিক চিন্তাভাবনার বিকাশ থেকে এটি একটি দীর্ঘ এক্সটেনশন৷ কিন্তু আমি যুক্তি দেব যে যদি আপনাকে সারাজীবন একটি মেশিন দ্বারা উত্তর দেওয়া হয় তবে সেখানে পৌঁছানো আরও কঠিন৷
আমি জানি এই দীর্ঘ চলমান. আরও দুটি পয়েন্ট... আসলে গ্রাফ করার জন্য আমি কখনই গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করব না। আমার ল্যাপটপে আমার $100 সফ্টওয়্যার আছে যেটি যে কোনো হাতে ধরা গ্রাফিং ক্যালকুলেটরকে পানি থেকে উড়িয়ে দেয়।
অবশেষে, স্টোর ক্লার্ক এবং ক্যালকুলেটরদের মন্তব্য আমার দৃষ্টি আকর্ষণ করেছে। ডিপার্টমেন্টাল স্টোরগুলিতে নগদ রেজিস্টার চালানোর জন্য বিশ্বের অবশ্যই মানুষের প্রয়োজন। কিন্তু একরকম আমি অনুভব করি যে একটি ভাল শিক্ষা অর্জনের লক্ষ্য হল যাতে আপনি পরবর্তীতে এমন একটি পেশা বেছে নিতে পারেন যা সম্পর্কে আপনি উত্সাহী। ক্যাশিয়ার যারা খুচরো সম্পর্কে উত্সাহী হয় কম এবং অনেক দূরে। আমি আশা করব যে আমার ছাত্ররা যখন স্কুল শেষ করবে তখন তাদের পছন্দের একটি বিস্তৃত সেট থাকবে।
ডেভিড আইভারসন
আমি মনে করি উভয়ই ব্যবহার করা উচিত। আমি সম্মত হই যে আমাদের প্রাথমিক বিদ্যালয়ে মৌলিক বিষয়গুলি শিখতে হবে, যোগ, বিয়োগ, ইত্যাদি) যাইহোক, আপনি যখন ম্যাসি, অলিভ গার্ডেন বা ম্যাক ডোনাল্ডে যান, তখন ক্যাশিয়ার কাগজ এবং পেন্সিল ব্যবহার করেন না (ক্যালকুলেটর)। আমরা একটি কম্পিউটার যুগে বাস করি আমরা আর শিল্প বিপ্লবে নেই, তাই আসুন 21 শতকে আসা যাক।
হাই আমি কেলি। আমি সেন্ট পার্সোনা কলেজের একজন নবীন। মিসৌরিতে চার্লস কমিউনিটি কলেজ। আপনার সাইট বিস্ময়কর. আমি আমার ছোট বোনের জন্য এটি খুঁজছিলাম. আমি সত্যিই সবাইকে বলতে চাই এবং যে কেউ কলেজে যাওয়ার পরিকল্পনা করে তা হল অবিলম্বে একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার বন্ধ করা। শুধুমাত্র গ্রাফিং লগ এবং এর মতো প্রয়োজনীয় জিনিসগুলির জন্য এটি ব্যবহার করুন। আমি একটি ক্যালকুলাস ক্লাসে একটি ক্যালকুলাস ক্লাস শেষ করেছি এমনকি সহজতম গুণ এবং ভাগ সমস্যার জন্যও ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে, এবং যখন আমি কলেজে উঠি তখন আমাকে শুরু করতে হয়েছিল বীজগণিত থেকে শুরু করতে কারণ আমি জানতাম না কিভাবে ক্যালকুলেটর ছাড়া গুন এবং ভাগ করতে হয়। তাই অনুগ্রহ করে সবাইকে বলুন বা ক্যালকুলেটর ব্যবহার বন্ধ করতে বলুন তারা পরে আমাকে ধন্যবাদ জানাবে।
হ্যালো আমার নাম রফিক এবং আমি জেনেভা, এনওয়াই-এর হোবার্ট এবং উইলিয়াম স্মিথ কলেজের একজন নবীন। আমি প্রযুক্তি এবং এর প্রভাবগুলির উপর একটি কাগজ করছি, তাই আমি ক্যালকুলেটর বাছাই করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। আমি আমার গবেষণা এই সাইট জুড়ে এসেছি. কেলি যা বলেছে তা আমি জোর দিতে চাই। আমার সাথেও একই ঘটনা ঘটেছিল, আমি হাই স্কুলের গণিতে দুর্দান্ত ছিলাম, কার্যত সমস্ত গণিত পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছিলাম, তারপর আমি এখানে ওরিয়েন্টেশনের জন্য এসেছি এবং তারা আমাকে বলেছিল যে আমাকে একটি গণিত প্লেসমেন্ট পরীক্ষা দিতে হবে। আমি বুঝতে পারিনি যে আমি অনেক সাধারণ সমস্যা করতে পারব না কারণ আমি সবসময় এটি আমার ক্যাল্কে প্লাগ করেছি এবং উত্তর পেয়েছি। এটি গুরুতর কিছু হয়ে উঠছে, আমি ইতিমধ্যে আমার ছোট ভাই এবং বোনের ক্যালক কেড়ে নিয়েছি। এবং তাদের বলেছিল যতক্ষণ না তারা কলেজে থাকবে তারা একটি ক্যালক ব্যবহার করবে না (অন্তত আমার সামনে নয়)। এখন আমি প্রি-ক্যালক নিচ্ছি। এবং আমার লক্ষ্য হল একটি ক্যালক ব্যবহার না করা। আপনার ক্যালকুলেটরের উপর নির্ভর করবেন না!!!
বিশ্ববিদ্যালয়ে যখন আমার বিম্যাথের জন্য গণিত কোর্স নেওয়ার সময় আমাদের অনেক পরীক্ষার জন্য ক্যালকুলেটর দেওয়া হয়নি (পকেট কম্পিউটিং ডিভাইসে লোকেদের পাচার প্রতিরোধ করার জন্য) আমি বলব যে কাগজে অঙ্ক করতে সক্ষম হওয়া অপরিহার্য .এমিলি বেল
আমি কখনই গণিতে ভাল ছিলাম না এবং তাই যখন আমি আমার ক্যালকুলেটরটি ধরলাম এবং হাইস্কুলে এটি কতটা উত্সাহজনক ছিল আমি এটির প্রেমে পড়ে গিয়েছিলাম। এটি আমার কলেজ প্লেসমেন্ট পরীক্ষা না দেওয়া পর্যন্ত। আমি ভয়ানক করেছি। আমি পারিনি এমনকি মনে রাখবেন কিভাবে মানসিকভাবে একটি সাধারণ বিভাজন সমস্যা করতে হয়। বর্তমানে স্কুলগুলির সমস্যা হল যে তারা ক্যালকুলেটর সম্পর্কে খুব বেশি উদ্বিগ্ন এবং উত্সাহিত করে। ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে শেখার আগে ছাত্রদের মানসিক গণিতের একটি ভাল মজবুত ভিত্তি থাকা উচিত এবং আপনি যদি আমাকে জিজ্ঞাসা করেন K-3 গ্রেড যথেষ্ট নয় কলেজ পর্যন্ত এটির অনুমতি দেওয়া উচিত নয়।
আমি একটি সাম্প্রতিক কলেজ স্নাতক. আমার প্রধান ছিল ইলেক্ট্রিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারিং। যেহেতু আমার অধ্যয়নের কোর্সে প্রচুর পরিমাণে গণিত জড়িত, তাই আমি এই গুরুত্বপূর্ণ বিষয়ে কথা বলতে বাধ্য বোধ করি। আমার মতে, কোনো গণিত ক্লাসের জন্য, এমনকি কলেজ পর্যায়েও ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা উচিত নয়। যেকোন বিষয়ের জন্য ক্যালকুলেটর ব্যবহার করলে ব্যবহারকারী মানসিকভাবে অলস হয়ে পড়বে এবং মৌলিক গণিত দক্ষতা অর্জনে অক্ষম হবে। কিভাবে গুণ করতে হয়, দীর্ঘ বিভাজন করতে হয়, এমনকি কোনো ফাংশন গ্রাফ করতে হয় তা শেখার সময় আপনার কখনই ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা উচিত নয়।"কিছু লোক বলে যে ক্যালকুলেটর বাচ্চাদের ক্লান্তিকর গণনায় সময় ব্যয় করার পরিবর্তে গাণিতিক ধারণাগুলি বোঝার এবং অধ্যয়নে মনোনিবেশ করতে সক্ষম করে। তারা বলে ক্যালকুলেটর সংখ্যার জ্ঞান বিকাশে সহায়তা করে এবং শিক্ষার্থীদের তাদের গণিত ক্ষমতা সম্পর্কে আরও আত্মবিশ্বাসী করে তোলে।"
উপরোক্ত বিবৃতি টোটাল হগওয়াশ। সংখ্যা জ্ঞান বিকাশ এবং গাণিতিক ধারণাগুলি বোঝার একমাত্র উপায় হল ঘন্টার বেশি ক্লান্তিকর গণনা করা। একজনের গণিতের ক্ষমতায় আত্মবিশ্বাস গড়ে তোলার একমাত্র উপায় হল যখনই আপনি গণিতের সমস্যার মুখোমুখি হন, তাহলে তাকে অবিলম্বে এনসিটিএম-এর অপমান করা উচিত এই ধরনের ধ্বংসাত্মক আদর্শের সাথে চলার জন্য।
আপনি যখন 4 টিরও বেশি উল্লেখযোগ্য সংখ্যা সহ সংখ্যার গণনা করছেন তখন পরীক্ষাগার ক্লাসে স্কুলে শুধুমাত্র সময় ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা উচিত। অন্যথায়, শিক্ষার্থীর একটি কাগজ, একটি পেন্সিল এবং তার মস্তিষ্কের উপর নির্ভর করা উচিত।
ক্যালকুলেটরের কোনো স্থান নেই; কোন স্থান; একটি প্রাথমিক বিদ্যালয়ের শ্রেণীকক্ষে। সময়কাল। আমি একজন উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতের শিক্ষক এবং আমার বেশিরভাগ ছাত্রেরই একেবারে শূন্য নম্বর জ্ঞান আছে। তারা "ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে একক-সংখ্যার গুণনের সমস্যাগুলি করতে পারে যা তাদের তৃতীয় গ্রেডে সঠিকভাবে মুখস্ত করা উচিত ছিল৷ তারা ছাড়া অসহায়৷ আমি প্রাথমিক গ্রেডে ক্যালকুলেটর ব্যবহারের 100% দোষ রাখি।
আমার সন্তানের বয়স 4 এবং 2। আমার মেয়ে পরের বছর কিন্ডারগার্টেনে যাচ্ছে, এবং আমি প্রতি বছর তার শিক্ষকদের নির্দেশ দিতে যাচ্ছি, এবং পর্যায়ক্রমে সারা বছর ধরে, সে না হওয়া পর্যন্ত তার যেকোনো কাজের জন্য ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে নিষেধ করা হয়েছে উচ্চ বিদ্যালয়ের প্রাথমিক বা মাধ্যমিক পাঠ্যক্রমে এমন কিছুই নেই যার জন্য ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা প্রয়োজন।
এই বিবৃতিতে AS "ন্যাশনাল কাউন্সিল অফ টিচার্স অফ ম্যাথমেটিক্স (1989) সুপারিশ করেছে যে দীর্ঘ বিভাজন এবং "ক্লান্তিক পেন্সিল-এবং-কাগজ গণনার অনুশীলন করা" স্কুলগুলিতে মনোযোগ হ্রাস পাবে এবং ক্যালকুলেটরগুলি সর্বদা সমস্ত ছাত্রদের জন্য উপলব্ধ থাকবে।" আমার বোধগম্য হল যে এটি শ্রেণীকক্ষে গণিত বিষয়গুলিতে ব্যয় করা সময়ের একটি সমীক্ষার প্রতিক্রিয়া এবং চতুর্থ এবং পঞ্চম শ্রেণির প্রায় এক তৃতীয়াংশ দশমিক এবং দ্বি-অঙ্কের ভাজক (অর্থাৎ 340/.15 বা) দিয়ে ভাগ করতে শেখার জন্য ব্যয় করেছিল 500/15) হ্যাঁ শিক্ষকরা এর প্রতিটিতে দুই মাসের বেশি সময় ব্যয় করছেন! এটি বর্তমান বিশ্বের গণিতের পরিস্থিতিকে প্রতিফলিত করেনি।
ব্যক্তিগতভাবে, আমি ক্যালকুলেটরের জন্য অনেক দুর্দান্ত ব্যবহার দেখেছি। তারা ত্রুটিমুক্ত পুনরাবৃত্তির অনুমতি দেয় যাতে আমি নিদর্শনগুলি আবিষ্কার করতে পারি। অনেক রূপান্তর এবং দ্রুত কৌশল আমি করতে পারি কারণ আমার কাছে প্রিক্যালকুলাসের মাধ্যমে শুধুমাত্র একটি মৌলিক ক্যালকুলেটর ছিল। BTW, NCMT দ্বিতীয় এবং চতুর্থ গ্রেডে গণিতের তথ্যের জন্য সাবলীলতা অন্তর্ভুক্ত করার জন্য তার মানগুলিও আপডেট করেছে। একজন গণিত শিক্ষক হিসেবে আমি অভিভাবকদের কাছ থেকে সব সময় শুনে আসছিলাম যে শিশুরা প্রাথমিক সত্য মুখস্থ করতে স্কুলে কোনো সময় ব্যয় করছে না।
আমি সম্ভবত এটি পছন্দ করতাম যদি আমাকে কমপক্ষে উচ্চ বিদ্যালয় পর্যন্ত ক্যালকুলেটর ব্যবহার করার অনুমতি না দেওয়া হয় (আমার জন্য জ্যামিতি) আপনি সেই নিন্টেন্ডো ডিএস ব্রেনেজ গেমগুলিকে বুঝতে পেরেছিলেন যে আমি কতটা ভয়ঙ্কর গণিত আমি এটা করতে পারি, শুধু আমাকে অনেক বেশি সময় লাগে, আমি খুব কমই দীর্ঘ বিভাজন করতে পারি।
গণিত, প্রাক-বীজগণিত এবং বীজগণিত I এর জুনিয়র হাই এবং হাই স্কুল শিক্ষক হিসাবে, আমি নিজেকে প্রতি বছর এই যুদ্ধে লড়তে দেখি। যদিও হ্যাঁ, ক্যালকুলেটরগুলি উত্তর খোঁজার একটি দ্রুত উপায় অফার করে, আমি বর্তমানে যে তিনটি পাঠ্যপুস্তক ব্যবহার করছি তার মধ্যে কোনো সমস্যা সম্পর্কে জানি না যার জন্য শিক্ষার্থীকে দশমিকের পিছনে ঊর্ধ্বতম স্থানে দীর্ঘ বিভাজনের সমস্যা সমাধান করতে হবে (যা একটি সাধারণ যুক্তি)।
তবে আমি আশা করি আমার ছাত্ররা ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে মৌলিক গণিত ফাংশন করতে সক্ষম হবে। তারা যখন বীজগণিতে প্রবেশ করে, তারা ক্যালকুলেটরে এমন জিনিসগুলি কীভাবে করা যায় যা তাদের কাছে থাকা ক্যালকুলেটরগুলির সাথে সম্ভব নয় তা বোঝার চেষ্টা করার জন্য আমি তাদের পরীক্ষা এবং কুইজেও তাদের কাজ দেখাতে আশা করি আংশিক পয়েন্টের জন্য রাষ্ট্রীয় পরীক্ষা) যাতে আমি জানি যে তারা "আমি একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করেছি" আমার কাছে প্রমান করে না যে তারা প্রক্রিয়া এবং নিয়ম বা "কেন" এটি কাজ করে "আমি কি খুঁজে পেয়েছি"। এবং গণিতের "আহ-হা"।
আমি প্রায়ই ছাত্রদের মনে করিয়ে দিই যে ক্যালকুলেটরগুলি গাণিতিক নিয়ম শুরু হওয়ার অনেক পরে উদ্ভাবিত হয়েছিল; সুতরাং, সমস্ত গণিত একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার ছাড়াই করা যেতে পারে। মহান মন, সহজ উপায় অবলম্বন করে মহান হয়ে উঠবেন না।
খুচরা কর্মীদের বিষয়ে, যখন লাইনে দাঁড়িয়ে থাকা অনেক গ্রাহক অধৈর্য হয়ে পড়েন যে বিক্রয়কর্মী হাত দিয়ে সবকিছু বের করে, একজন শিক্ষক হিসাবে যখন আমি একটি খাদ্য প্রতিষ্ঠানে যাই, এবং আমার সেই দুর্ভাগা ছাত্রটি হল ওয়েটার/ওয়েট্রেস/ইত্যাদি। আমি আশা করি তারা আমার কাছে ফিরে আসা পরিবর্তন গণনা করবে। আমি যখন এই "চেক" করি তখন আমি সচেতন থাকি এবং বেশিরভাগ পরিচালকরা (আপনি জানেন যারা ক্যালকুলেটর ছাড়াই গণিত করতে পারেন) সাধারণত কৃতজ্ঞ যে তাদের কর্মীরা জানেন কিভাবে পরিবর্তন গণনা করতে হয়।
"ম্যাসির ক্যাশিয়ার, অলিভ গার্ডেন, ম্যাকডোনাল্ডস... ক্যালকুলেটর, কম্পিউটার ব্যবহার করুন" সম্পর্কিত মন্তব্যে আমাকে একটু হাসতে হয়েছিল৷ সত্য, তবে এটি তাদের ব্যবহারের পক্ষে কোনও যুক্তি নয়৷ আপনি কি কখনও এর মধ্যে একটিতে ছিলেন? যখন "কম্পিউটার ডাউন হয়?" তখন অনেক ক্যাশিয়ার টোটাল ফিগার করতে পারে না, পরিবর্তন করতে পারে না আমাদের যুবকরা একটি সত্যিকারের বিপর্যয়/জরুরী অবস্থার মুখোমুখি হবে যখন সেখানে পাওয়ার, সেল ফোন, কম্পিউটার, ইন্টারনেট সক্ষমতা ইত্যাদি নাও থাকতে পারে৷ একজন হোমস্কুলিং অভিভাবক হিসাবে আমার লক্ষ্যগুলির মধ্যে একটি হল আমার সন্তানের জন্য ভাল মৌলিক দক্ষতাগুলি দৃঢ়ভাবে স্থাপন করা যাতে তারা ইলেকট্রনিক সাহায্য ছাড়াই যেকোনো বিষয়ে ভালোভাবে কাজ করতে পারে।
আমার একটি ছেলে তৃতীয় শ্রেণীতে পড়ছে, এবং আমি তাকে একটি অত্যন্ত সাধারণ ক্যালকুলেটর কিনে দিয়েছি (শুধু +,-,*,/)। সে সমস্যা সমাধানে বেশ পারদর্শী, সে তার গুণের সারণী জানে, কাগজে 12টি সংখ্যার সাথে যোগ এবং বিয়োগ করতে পারে, কাগজে কীভাবে গুণ করতে হয় তা শিখছে ইত্যাদি... এবং আমি আসলে সমাধান করার জন্য কিছু অর্থপূর্ণ সমস্যা খুঁজছিলাম একটি ক্যালকুলেটর দিয়ে যখন আমি এই আবেগপূর্ণ বিতর্ক খুঁজে পেয়েছি।
এখন, আমি সম্পূর্ণরূপে একমত যে একটি ক্যালকুলেটর মানসিক ক্রিয়াকলাপগুলি শেখার জন্য এবং কাগজে কীভাবে এটি করতে হয় তা শেখার বিকল্প হওয়া উচিত নয়। আপনার নিজের উপর এই জিনিসগুলি করতে সক্ষম হওয়া উচিত, এমনকি যদি এটি আনাড়ি হয়।কিন্তু কথা হলো, সমাজ এগিয়ে যাচ্ছে। যেখানে একটি ছোট নোটে 20টি সংখ্যার যোগফল সঠিকভাবে করা উপযোগী ছিল এবং 40 বছর আগে লোকেরা আপনাকে সেই দক্ষতার জন্য অর্থ প্রদান করেছিল, আমাদের মধ্যে বেশিরভাগই খরগোশকে মারতে শেখে না ধনুক এবং তীর দিয়ে - যখন গুহায় বসবাসকারী আমাদের পূর্বপুরুষদের জন্য এটি একটি অপরিহার্য দক্ষতা ছিল।
যখন আমি এখানে মন্তব্যগুলি দেখি, তখন মনে হয় যে ক্যালকুলেটর ব্যতীত গণনা করতে না পারার সময় লোকেরা যে সমস্যার মুখোমুখি হয়েছিল তা ছিল একটি কৃত্রিম সেটিং যেখানে এটি একটি স্পষ্টভাবে পরীক্ষিত দক্ষতা ছিল। তীর এবং ধনুক দিয়ে খরগোশ শিকার করাও সমস্যা তৈরি করবে যদি এটি শেখানো না হয়, এবং স্পষ্টভাবে এক বা অন্য পরীক্ষার জন্য পরীক্ষা করা হয়। আমি মনে করি "বাস্তব জীবনে" এখন একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা গুরুত্বপূর্ণ - যদিও একজন অবশ্যই এটি ছাড়া করতে সক্ষম হবেন, তবে এটি দক্ষতার সাথে, সঠিকভাবে এবং দ্রুত করার জন্য * ড্রিল * করা যাবে না।
BTW, কে এখনও কাগজে বর্গমূল নিতে জানে? এটি কি একটি গুরুত্বপূর্ণ দক্ষতা নয় এবং কীভাবে গুণন করার জন্য একটি লগারিদম সারণী ব্যবহার করতে হয়, এবং এখন তারা খুব কার্যকর ছিল? আমি বলব না যে কাগজে কীভাবে সংযোজন করতে হয় তা জানা লোককাহিনী, এটি কীভাবে করা যায় তা জানা উচিত, তবে আমি ভাবছি যে এটি দ্রুত এবং দক্ষতার সাথে করতে সক্ষম হওয়ার কারণ কী (এবং তাই) এটির জন্য প্রশিক্ষণের ঘন্টা ব্যয় করুন। কেউ কি এখন সেই সময়টিকে আরও দরকারী জিনিস করতে ব্যবহার করতে পারে না?
আমি বলব, এখনও একটি ব্যবহারিক দক্ষতা হল *মানসিক* গণনা, সুনির্দিষ্ট মানসিক গণনা এবং মাত্রার ক্রম সম্পর্কে ধারণা পাওয়ার জন্য আনুমানিক গণনা। 6 বা 7 সংখ্যার সাথে দুটি সংখ্যার গুণন করা এখনও একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। প্রশিক্ষণের জন্য দরকারী দক্ষতা, আমার সন্দেহ আছে - যদিও, আবার, এটি কীভাবে করা হয় তা জানতে সক্ষম হওয়া উচিত।
ক্যালকুলেটরগুলির সাথে যে জিনিসগুলি আকর্ষণীয় হয়, তা হল প্যাসকেলের ত্রিভুজ বা ফিবোনাচ্চির সিরিজের মতো নির্মাণ, বা ফ্যাক্টরিয়াল, সংমিশ্রণ এবং এই জাতীয় জিনিসগুলি, এবং যা হাত দিয়ে করা খুব ক্লান্তিকর।
প্যাট্রিক ভ্যান এসচ
প্রশ্নঃমাধ্যমিক বিদ্যালয়ের এক থেকে তিনটি ফর্মে ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করার প্রধান কারণ কী?এক থেকে তিনটি ফর্ম কী তা আমি পুরোপুরি নিশ্চিত নই, তবে আমার ধারণা আপনি উচ্চ বিদ্যালয়ের কথা বলছেন।
আমি ব্যক্তিগতভাবে উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের ক্যালকুলেটর ব্যবহার অস্বীকার করব না। বাচ্চাদের ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা শিখতে হবে, এবং এটি বুদ্ধিমানের সাথে ব্যবহার করতে হবে - যার অর্থ তাদের শেখা উচিত কখন এটি ব্যবহার করা ভাল এবং কখন নয়৷ যদি একজন ছাত্র ক্রমাগত এটির অপব্যবহার করে থাকে তবে সম্ভবত কেউ উচ্চ বিদ্যালয়ে ক্যালকুলেটর ব্যবহার অস্বীকার করবে। 6 x 7 ইত্যাদির জন্য এটি ব্যবহার করা শব্দ, যে ক্ষেত্রে এই ধরনের একজন শিক্ষার্থীকে নিম্ন গ্রেডের গণিত পর্যালোচনা করতে হতে পারে।
আমি একজন বর্তমান ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্র, আমি জানি আমার বয়সের বেশিরভাগ বাচ্চারা সেখানে কাজ পরীক্ষা করার জন্য ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পছন্দ করে না, কিন্তু তাদের একটি বড় অংশ ক্যালকুলেটর দিয়ে গণিত করে। ক্যালকুলেটরটি শুধুমাত্র কাজ পরীক্ষা করার জন্য ব্যবহার করা উচিত, সম্প্রতি আমার গণিত শেখানো হয়েছে কার্যত আমাদের TI30 xa ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে বাধ্য করা হয়েছে, আপনি জানেন, স্কুল এমন একটি ক্যালকুলেটর সরবরাহ করে যা যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করতে পারে এবং এটিই যথেষ্ট বলে মনে হচ্ছে। ইদানীং আমি আমার সমস্ত কাজ করার জন্য ক্যালকুলেটরের উপর নির্ভর করে নিজেকে ধরছি কাজ, কিন্তু আজ আমার গণিত ক্লাসের সময় আমি আর কোন ক্যালকুলেটর না করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি, একটি সমস্যা আমাকে 3.8892 কে 3 দিয়ে ভাগ করতে হবে এবং আমি এটি কীভাবে করব তা মনে করতে পারছিলাম না। এবং অন্য দিন আমার মা গ্যাস পাওয়ার সময় আমাকে একটি সাধারণ গণিত সমস্যা দিয়েছিলেন এবং এই মৌলিক সংযোজন সমস্যাটি করতে আমার 5 মিনিট সময় লেগেছিল। আমার বাবা-মা স্কুলে থাকাকালীন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতেন না এবং যদি তাদের প্রয়োজন না হয় তবে আমরা তাও করি না। কিন্তু একবার আমাদের বর্তমান মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের সবাই পূর্ণ বয়স্ক হয়ে গেলে, আমাদের স্কুল সিস্টেম দেখবে যে প্রাপ্তবয়স্করা হবে গণিতে অনেক পিছিয়ে থাকাকালীন কম্পিউটার এবং ক্যালকুলেটরের উপর নির্ভর করে সব কাজ করার জন্য আমি সরকারীভাবে অ্যান্টি ক্যালকুলেটর!
আমি 8ম গ্রেডে ক্যালকুলেটর পাওয়ার আগে মৌলিক গণিত তথ্য (গুণ, ভাগ, ভগ্নাংশ, অনুমান, ইত্যাদি) শিখতে যথেষ্ট ভাগ্যবান, কিন্তু আমি আমার হাই স্কুল বীজগণিত/প্রিক্যাল্ক ক্লাসের জন্য আমার TI 83 গ্রাফিং ইউটিলিটির উপর সত্যিই নির্ভরশীল হয়েছি। আমি দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার পরিবর্তে শূন্য খুঁজে বের করার জন্য ফাংশনটি গ্রাফ করব।আমার ফ্রেশম্যান ক্যালকুলাস ক্লাস ক্যালকুলেটরদের অনুমতি দেয়নি, এবং আমি এটিতে ব্যর্থ হয়েছিলাম অনার্স হাই স্কুল প্রি-ক্যালকুলাসের জন্য একটি সহজ জীবন/সামাজিক বিজ্ঞান সিরিজে (এখনও B"s/C" এর জন্য সংগ্রাম করতে হয়েছিল যখন আমি হাই স্কুলে সহজে A" ছিলাম) এবং শেষ পর্যন্ত কঠিন ক্যালকুলাস ক্লাসের পুনরাবৃত্তি করেছিলাম, আমার জীবন/সামাজিক বিজ্ঞান সিরিজের ক্লাসগুলি 4-ফাংশনের অনুমতি দেয় কিন্তু গ্রাফিং ইউটিলিটি না, এছাড়াও, কলেজে আমাকে আমার কাজ দেখাতে হয়েছিল। কোনো ক্রেডিট পেতে, এমনকি যদি উত্তরটি সঠিক ছিল আমি মনে করি একটি সমস্যা হল যে আমি প্রক্রিয়াটি শেখার পরিবর্তে উত্তরগুলি খুঁজে পেতে খুব বেশি স্তব্ধ হয়ে গেছি।
অন্যদিকে আমার বোনের কাছে 3য় শ্রেণী থেকে একটি ক্যালকুলেটর রয়েছে, এবং সে আক্ষরিক অর্থে ক্যালকুলেটর ছাড়া 6*7 গুণ করতে পারে না বা একটি শব্দ সমস্যা করতে পারে না, যদিও সে উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতে B's পেয়েছে।
প্রারম্ভিক শৈশব/প্রাথমিক শিক্ষার একজন সিনিয়র মেজরিং হিসাবে, আমি কীভাবে ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে হয় সে সম্পর্কে জ্ঞান থাকার গুরুত্ব বুঝতে পারি, কারণ হ্যাঁ, আমরা এমন একটি যুগে বাস করি যেখানে প্রযুক্তি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। যাইহোক, আপনাদের অনেকের মতো, আমি যখন প্রথম কলেজে এসে ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে পরীক্ষা দিতে হয়েছিল, তখন আমি বড় সমস্যায় পড়েছিলাম! আমি এখনও খুব ভাল করেছি, কিন্তু গণিতের সমস্ত মৌলিক ফাংশন পুনরায় শিখতে আমার অনেক সময় লেগেছে। ক্ষেত্র এবং আমার নিজস্ব কোর্সের মাধ্যমে আমার নিজের ব্যক্তিগত অভিজ্ঞতা থেকে, আমি দুটি পদ্ধতির মধ্যে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ভারসাম্যের সুপারিশ করছি!!
আমি একটি কলেজে গণিত পড়াই যেখানে ক্যালকুলেটর নিষিদ্ধ। দুর্ভাগ্যবশত অনেক শিক্ষার্থী ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে নষ্ট হয়ে গেছে। এমনকি সহজ বীজগণিত করতেও তাদের সমস্যা হয়। এটি সর্বত্র কলেজগুলিতে প্রতিকারমূলক গণিতের 95% পর্যন্ত বৃদ্ধির কারণ হয়েছে৷ ডিপার্টমেন্ট ও এডুকেশনের একজন প্রাক্তন হুইসেল ব্লোয়ারের লেখা "দ্য ডেলিবারেট ডাম্বিং ডাউন অফ আমেরিকা" নামে একটি বই আছে (এটি ডিওই নামেও পরিচিত যা ডোপস অফ এডুকেশনের পক্ষে দাঁড়ানো উচিত)
গণিত পাঠের মেনু
|
|
|
ক্যাটালগ তথ্য
শিরোনাম
প্রাথমিক রৈখিক বীজগণিত।
(ক্রেডিট ঘন্টা: বক্তৃতা ঘন্টা: ল্যাব ঘন্টা)
অফার করা হয়েছে
পূর্বশর্ত
ন্যূনতম শিক্ষার ফলাফল
এই কোর্সটি শেষ করার পরে, সফল শিক্ষার্থী সক্ষম হবে:
- নিম্নলিখিত সব করার জন্য গাউসিয়ান এলিমিনেশন ব্যবহার করুন: হ্রাসকৃত সারি ইকেলন ফর্ম সহ একটি রৈখিক সিস্টেম সমাধান করুন, সারি ইকেলন ফর্ম এবং ব্যাকওয়ার্ড প্রতিস্থাপন সহ একটি রৈখিক সিস্টেম সমাধান করুন, একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত খুঁজুন এবং একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজুন।
- ম্যাট্রিক্স বীজগণিতে দক্ষতা প্রদর্শন করুন। ম্যাট্রিক্স গুণের জন্য সহযোগী আইন, বিপরীত এবং ট্রান্সপোজের জন্য বিপরীত ক্রম আইন, এবং পরিবর্তনমূলক আইন এবং বাতিলকরণ আইনের ব্যর্থতা প্রদর্শন করে।
- একটি রৈখিক সিস্টেম সমাধান করতে ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করুন।
- একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত এবং একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজে পেতে সহ-ফ্যাক্টর ব্যবহার করুন।
- যোগ এবং স্কেলার গুণের প্রদত্ত ধারণা সহ একটি সেট একটি ভেক্টর স্থান কিনা তা নির্ধারণ করুন। এখানে, এবং নীচে প্রাসঙ্গিক সংখ্যায়, উভয় সসীম এবং অসীম মাত্রিক উদাহরণের সাথে পরিচিত হন।
- একটি ভেক্টর স্থানের একটি প্রদত্ত উপসেট একটি সাবস্পেস কিনা তা নির্ধারণ করুন।
- ভেক্টরের একটি প্রদত্ত সেট রৈখিকভাবে স্বাধীন, স্প্যান বা ভিত্তি কিনা তা নির্ধারণ করুন।
- একটি প্রদত্ত ভেক্টর স্থান বা একটি প্রদত্ত সাবস্পেসের মাত্রা নির্ধারণ করুন।
- প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের নাল স্পেস, সারি স্পেস এবং কলাম স্পেসের জন্য বেস খুঁজুন এবং এর র্যাঙ্ক নির্ধারণ করুন।
- র্যাঙ্ক-নলিটি থিওরেম এবং এর প্রয়োগ সম্পর্কে বোঝার প্রদর্শন করুন।
- একটি রৈখিক রূপান্তরের একটি বর্ণনা দেওয়া হলে, প্রদত্ত বেসের সাথে সম্পর্কিত এর ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা খুঁজুন।
- সাদৃশ্য এবং ভিত্তি পরিবর্তনের মধ্যে সম্পর্ক বোঝার প্রদর্শন করুন।
- একটি ভেক্টরের আদর্শ এবং একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থানের মধ্যে দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ খুঁজুন।
- ভেক্টরের একটি অর্থোগোনাল সেটের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের জায়গায় একটি ভেক্টরকে প্রকাশ করতে অভ্যন্তরীণ পণ্যটি ব্যবহার করুন।
- একটি প্রদত্ত সাবস্পেসের অর্থোগোনাল পরিপূরক খুঁজুন।
- অর্থোগোনাল পরিপূরকের মাধ্যমে একটি ম্যাট্রিক্সের (এবং এর স্থানান্তর) সারি স্থান, কলামের স্থান এবং নালস্পেসের সম্পর্ক বোঝার প্রদর্শন করুন।
- Cauchy-Schwartz অসমতা এবং এর প্রয়োগ সম্পর্কে বোঝার প্রদর্শন করুন।
- একটি (sesquilinear) ফর্ম সহ একটি ভেক্টর স্থান একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান কিনা তা নির্ধারণ করুন।
- একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থানের একটি অর্থনরমাল ভিত্তি খুঁজে পেতে গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া ব্যবহার করুন। উভয় ক্ষেত্রেই এটি করতে সক্ষম হন আর n এবং ফাংশন স্পেস যে অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান.
- একটি লাইন ফিট করার জন্য সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করুন ( y = কুঠার + খ) ডেটার টেবিলে, লাইন এবং ডেটা পয়েন্টগুলি প্লট করুন এবং অর্থোগোনাল প্রজেকশনের ক্ষেত্রে সর্বনিম্ন বর্গগুলির অর্থ ব্যাখ্যা করুন।
- সাবস্পেসগুলিতে অর্থোগোনাল অনুমান খুঁজে পেতে এবং বহুপদী বক্ররেখা ফিটিং এর জন্য সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রের ধারণাটি ব্যবহার করুন।
- 2 × 2 বা 3 × 3 ম্যাট্রিসের eigenvalues এবং eigenvectors (বাস্তব এবং জটিল) খুঁজুন।
- একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স তির্যক কিনা তা নির্ধারণ করুন। যদি তাই হয়, এমন একটি ম্যাট্রিক্স খুঁজুন যা সাদৃশ্যের মাধ্যমে এটিকে তির্যক করে।
- একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের ইজেন ভ্যালু এবং এর নির্ধারক, এর ট্রেস এবং এর ইনভার্টিবিলিটি/সিঙ্গুলারিটির মধ্যে সম্পর্ক বোঝার প্রদর্শন করুন।
- সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স এবং অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স সনাক্ত করুন।
- এমন একটি ম্যাট্রিক্স খুঁজুন যা একটি প্রদত্ত প্রতিসম ম্যাট্রিক্সকে অর্থোগোনালি তির্যক করে।
- সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্সের জন্য বর্ণালী উপপাদ্য জানুন এবং প্রয়োগ করতে সক্ষম হন।
- জানুন এবং একক মান পচন প্রয়োগ করতে সক্ষম হন।
- সঠিকভাবে শর্তাবলী সংজ্ঞায়িত করুন এবং উপরের ধারণাগুলির সাথে সম্পর্কিত উদাহরণ দিন।
- উপরের ধারণাগুলি সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্যগুলি প্রমাণ করুন।
- উপরের ধারণাগুলির সাথে সম্পর্কিত বিবৃতিগুলি প্রমাণ করুন বা অস্বীকার করুন।
- সারি হ্রাস, ম্যাট্রিক্স ইনভার্সন এবং অনুরূপ সমস্যার জন্য হ্যান্ড কম্পিউটেশনে পারদর্শী হন; এছাড়াও, লিনিয়ার বীজগণিত সমস্যার জন্য MATLAB বা অনুরূপ প্রোগ্রাম ব্যবহার করুন।
ভ্রমণ বিক্রয়কর্মী সমস্যায়, n শহরের চারপাশে একটি সর্বোত্তম রুট তৈরি করতে, আপনাকে (n-1) থেকে সেরাটি বেছে নিতে হবে! সময়, খরচ বা রুটের দৈর্ঘ্যের উপর ভিত্তি করে বিকল্প। এই সমস্যাটির সাথে ন্যূনতম দৈর্ঘ্যের একটি হ্যামিলটোনিয়ান চক্র নির্ধারণ করা জড়িত। এই ধরনের ক্ষেত্রে, সমস্ত সম্ভাব্য সমাধানের সেট একটি গাছের আকারে উপস্থাপন করা উচিত - একটি সংযুক্ত গ্রাফ যাতে চক্র বা লুপ থাকে না। গাছের মূল বিকল্পগুলির সম্পূর্ণ সেটকে একত্রিত করে, এবং গাছের শীর্ষগুলি আংশিকভাবে অর্ডার করা সমাধান বিকল্পগুলির উপসেট।
সেবার উদ্দেশ্য. পরিষেবাটি ব্যবহার করে, আপনি আপনার সমাধান পরীক্ষা করতে পারেন বা দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করে ভ্রমণ বিক্রয়কর্মী সমস্যার একটি নতুন সমাধান পেতে পারেন: শাখা এবং আবদ্ধ পদ্ধতি এবং হাঙ্গেরিয়ান পদ্ধতি।
ভ্রমণ বিক্রয়কর্মী সমস্যার গাণিতিক মডেল
প্রণয়ন সমস্যা একটি পূর্ণসংখ্যা সমস্যা। ধরুন x ij =1 যদি ভ্রমণকারী i-th শহর থেকে j-th-এ চলে যায় এবং x ij =0 যদি এটি না হয়।আনুষ্ঠানিকভাবে, আমরা প্রথম শহরের মতো একই জায়গায় অবস্থিত একটি শহর (n+1) পরিচয় করিয়ে দিই, অর্থাৎ (n+1) শহর থেকে প্রথমটি ছাড়া অন্য যেকোনো শহরের দূরত্ব প্রথম শহর থেকে দূরত্বের সমান। তাছাড়া, আপনি যদি শুধুমাত্র প্রথম শহর ছেড়ে যেতে পারেন, তাহলে আপনি শুধুমাত্র (n+1) শহরে আসতে পারবেন।
চলুন পথ ধরে এই শহরে পরিদর্শন সংখ্যার সমান অতিরিক্ত পূর্ণসংখ্যা ভেরিয়েবল প্রবর্তন করা যাক। u 1 =0, u n +1 = n। বন্ধ পথ এড়াতে, প্রথম শহর ছেড়ে (n+1) এ ফিরে আসুন, আমরা x ij ভেরিয়েবল এবং u i (u i অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা) ভেরিয়েবলের সাথে সংযোগ করার জন্য অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা প্রবর্তন করি।
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, i=1 j≠n+1 সহ
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
ভ্রমণ বিক্রয়কর্মী সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি
- শাখা এবং আবদ্ধ পদ্ধতি (লিটলস অ্যালগরিদম বা সাবসাইকেল নির্মূল)। একটি শাখা এবং আবদ্ধ সমাধান একটি উদাহরণ;
- হাঙ্গেরিয়ান পদ্ধতি। হাঙ্গেরিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সমাধানের উদাহরণ।
লিটলস অ্যালগরিদম বা সাবসাইকেল নির্মূল
- সারি বরাবর হ্রাস অপারেশন: ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারিতে, ন্যূনতম উপাদান d মিন পাওয়া যায় এবং সংশ্লিষ্ট সারির সমস্ত উপাদান থেকে বিয়োগ করা হয়। নিম্ন সীমা: H=∑d মিনিট।
- কলাম দ্বারা হ্রাস অপারেশন: ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি কলামে, ন্যূনতম উপাদান d মিন নির্বাচন করুন এবং সংশ্লিষ্ট কলামের সমস্ত উপাদান থেকে এটি বিয়োগ করুন। নিম্ন সীমা: H=H+∑d মিনিট।
- হ্রাস ধ্রুবক H হল সমস্ত গ্রহণযোগ্য হ্যামিল্টোনিয়ান কনট্যুরের সেটের নিম্ন সীমা।
- সারি এবং কলাম দ্বারা প্রদত্ত একটি ম্যাট্রিক্সের জন্য শূন্যের ডিগ্রি অনুসন্ধান করুন। এটি করার জন্য, সাময়িকভাবে ম্যাট্রিক্সের শূন্যগুলিকে "∞" চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন এবং এই শূন্যের সাথে সম্পর্কিত সারি এবং কলামের ন্যূনতম উপাদানগুলির যোগফল খুঁজে বের করুন৷
- চাপ (i,j) নির্বাচন করুন যার জন্য শূন্য উপাদানের ডিগ্রী সর্বাধিক মান পর্যন্ত পৌঁছেছে।
- সমস্ত হ্যামিল্টোনিয়ান কনট্যুরগুলির সেট দুটি উপসেটে বিভক্ত: হ্যামিলটোনিয়ান কনট্যুরগুলির উপসেট যাতে চাপ (i,j) থাকে এবং যেগুলি এটি ধারণ করে না (i*,j*)। আর্ক (i,j) সহ কনট্যুরগুলির একটি ম্যাট্রিক্স পেতে, ম্যাট্রিক্সে সারি i এবং কলাম j ক্রস আউট করুন। একটি নন-হ্যামিল্টোনিয়ান কনট্যুর গঠন প্রতিরোধ করতে, প্রতিসম উপাদান (j,i)টিকে "∞" চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। ম্যাট্রিক্সের উপাদানটিকে ∞ দিয়ে প্রতিস্থাপন করে চাপ নির্মূল করা হয়।
- H(i,j) এবং H(i*,j*) হ্রাস ধ্রুবকের জন্য অনুসন্ধানের সাথে হ্যামিলটোনিয়ান কনট্যুরগুলির ম্যাট্রিক্স হ্রাস করা হয়।
- হ্যামিলটোনিয়ান কনট্যুর H(i,j) এবং H(i*,j*) এর উপসেটের নিম্ন সীমা তুলনা করা হয়। যদি H(i,j)
- যদি, শাখা করার ফলে, একটি (2x2) ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত হয়, তাহলে শাখা দ্বারা প্রাপ্ত হ্যামিলটোনিয়ান কনট্যুর এবং এর দৈর্ঘ্য নির্ধারিত হয়।
- হ্যামিল্টোনিয়ান কনট্যুরের দৈর্ঘ্য ঝুলন্ত শাখাগুলির নীচের সীমানার সাথে তুলনা করা হয়। যদি কনট্যুরের দৈর্ঘ্য তাদের নিম্ন সীমানা অতিক্রম না করে, তাহলে সমস্যাটি সমাধান করা হয়। অন্যথায়, সংক্ষিপ্ত দৈর্ঘ্যের একটি রুট না পাওয়া পর্যন্ত ফলস্বরূপ কনট্যুরের চেয়ে কম আবদ্ধ উপসেটের শাখাগুলি তৈরি করা হয়।
উদাহরণ। লিটলস অ্যালগরিদম ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে ভ্রমণকারী বিক্রয়কর্মী সমস্যার সমাধান করুন
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
সমাধান. চলুন একটি নির্বিচারে রুট হিসাবে নেওয়া যাক: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1)। তারপর F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
সেটের নিম্ন সীমা নির্ধারণ করতে, আমরা ব্যবহার করি হ্রাস অপারেশনবা সারিতে ম্যাট্রিক্স সারি কমানো, যার জন্য ম্যাট্রিক্স ডি-এর প্রতিটি সারিতে ন্যূনতম উপাদান খুঁজে বের করা প্রয়োজন: d i = min(j) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | এম | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | এম | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | এম | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | এম | 5 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | এম | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | এম | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | এম | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | এম | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | এম |
d j = min(i) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | এম | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | এম | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | এম | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | এম | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | এম |
| ডিজে | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | এম | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | এম | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | এম | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | এম | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | এম |
ম্যাট্রিক্স d ij এর উপাদানগুলি বিন্দু i থেকে j বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের সাথে মিলে যায়।
যেহেতু ম্যাট্রিক্সে n শহর রয়েছে, তাই D হল একটি nxn ম্যাট্রিক্স যার অ-নেতিবাচক উপাদান রয়েছে d ij ≥ 0
প্রতিটি বৈধ রুট একটি চক্রের প্রতিনিধিত্ব করে যেখানে ভ্রমণকারী বিক্রয়কর্মী শুধুমাত্র একবার শহরে যান এবং আসল শহরে ফিরে আসেন।
রুটের দৈর্ঘ্য অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়: F(M k) = ∑d ij
তাছাড়া, প্রতিটি সারি এবং কলাম শুধুমাত্র একবার d ij উপাদানের সাথে রুটে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।
ধাপ 1.
শাখা প্রান্ত নির্ধারণ
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | এম | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | এম | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | এম | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | এম | 0 |
| ডিজে | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
হ্রাস ধ্রুবকের বৃহত্তম যোগফল হল (0 + 6) = 6 প্রান্তের জন্য (5,2), অতএব, সেটটি দুটি উপসেটে বিভক্ত (5,2) এবং (5*,2*)।
প্রান্ত বর্জন(5.2) d 52 = 0 উপাদানটিকে M দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সঞ্চালিত হয়, এর পরে আমরা ফলস্বরূপ উপসেটের (5*,2*) জন্য দূরত্ব ম্যাট্রিক্সের পরবর্তী হ্রাস সম্পাদন করি, ফলস্বরূপ আমরা একটি হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্স পাই।
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | এম | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | এম | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | এম | 1 | 0 |
| 5 | 0 | এম | 0 | 0 | এম | 0 |
| ডিজে | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
একটি প্রান্ত সক্রিয় করা হচ্ছে(5.2) 5ম সারি এবং 2য় কলামের সমস্ত উপাদানগুলিকে বাদ দিয়ে সঞ্চালিত হয়, যেখানে একটি নন-হ্যামিল্টনিয়ান চক্রের গঠন বাদ দেওয়ার জন্য d 25 উপাদানটি M দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | এম | 0 |
| 3 | 6 | এম | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | এম | 1 | 0 |
| ডিজে | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
উপসেটের নিম্ন সীমা (5,2) সমান: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
যেহেতু এই উপসেটের নিম্ন সীমানা (5,2) উপসেটের (5*,2*) থেকে কম, তাই আমরা একটি নতুন সীমানা H = 35 সহ রুটে প্রান্ত (5,2) অন্তর্ভুক্ত করি।
ধাপ ২.
শাখা প্রান্ত নির্ধারণএবং এই প্রান্তের সাথে সম্পর্কিত রুটের সম্পূর্ণ সেটটিকে দুটি উপসেটে (i,j) এবং (i*,j*) ভাগ করুন।
এই উদ্দেশ্যে, শূন্য উপাদান সহ ম্যাট্রিক্সের সমস্ত কোষের জন্য, আমরা শূন্যগুলিকে একের পর এক M (অনন্ত) দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং তাদের জন্য ফলস্বরূপ হ্রাস ধ্রুবকের যোগফল নির্ধারণ করি, সেগুলি বন্ধনীতে দেওয়া হয়।
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | এম | 2 |
| 3 | 6 | এম | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | এম | 1 | 0 |
| ডিজে | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
হ্রাস ধ্রুবকের বৃহত্তম যোগফল হল (0 + 9) = 9 প্রান্তের জন্য (4,3), অতএব, সেটটি দুটি উপসেটে বিভক্ত (4,3) এবং (4*,3*)।
প্রান্ত বর্জন(4.3) d 43 = 0 মৌলটিকে M দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সঞ্চালিত হয়, এর পরে আমরা ফলস্বরূপ উপসেটের (4*,3*) জন্য দূরত্ব ম্যাট্রিক্সের পরবর্তী হ্রাস সম্পাদন করি, ফলস্বরূপ আমরা একটি হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্স পাই।
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | এম | 0 |
| 3 | 6 | এম | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | এম | এম | 1 | 0 |
| ডিজে | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
একটি প্রান্ত সক্রিয় করা হচ্ছে(4.3) 4র্থ সারি এবং 3য় কলামের সমস্ত উপাদান বাদ দিয়ে সঞ্চালিত হয়, যেখানে একটি নন-হ্যামিল্টনিয়ান চক্রের গঠন বাদ দেওয়ার জন্য d 34 উপাদান M দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।
হ্রাস অপারেশনের পরে, হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্সটি এর মতো দেখাবে:
| i j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | এম | 0 |
| 3 | 6 | এম | 5 | 5 |
| ডিজে | 0 | 2 | 0 | 7 |
উপসেটের নিম্ন সীমা (4,3) সমান: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
42 > 41 থেকে, আমরা আরও শাখার জন্য উপসেট (5,2) বাদ দিই।
আমরা আগের প্ল্যান এক্স 1 এ ফিরে আসি।
প্ল্যান এক্স 1।
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | এম | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | এম | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | এম | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | এম | 1 |
| 5 | 0 | এম | 0 | 0 | এম |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | এম | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | এম | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | এম | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | এম | 1 |
| 5 | 0 | এম | 0 | 0 | এম |
শাখা প্রান্ত নির্ধারণএবং এই প্রান্তের সাথে সম্পর্কিত রুটের সম্পূর্ণ সেটটিকে দুটি উপসেটে (i,j) এবং (i*,j*) ভাগ করুন।
এই উদ্দেশ্যে, শূন্য উপাদান সহ ম্যাট্রিক্সের সমস্ত কোষের জন্য, আমরা শূন্যগুলিকে একের পর এক M (অনন্ত) দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং তাদের জন্য ফলস্বরূপ হ্রাস ধ্রুবকের যোগফল নির্ধারণ করি, সেগুলি বন্ধনীতে দেওয়া হয়।
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | এম | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | এম | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | এম | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | এম | 0(0) | 0(0) | এম | 0 |
| ডিজে | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
হ্রাস ধ্রুবকের বৃহত্তম যোগফল হল (0 + 6) = 6 প্রান্তের জন্য (4,2), অতএব, সেটটি দুটি উপসেটে বিভক্ত (4,2) এবং (4*,2*)।
প্রান্ত বর্জন(4.2) d 42 = 0 উপাদানটিকে M দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সঞ্চালিত হয়, এর পরে আমরা ফলস্বরূপ উপসেটের (4*,2*) জন্য দূরত্ব ম্যাট্রিক্সের পরবর্তী হ্রাস সম্পাদন করি, ফলস্বরূপ আমরা একটি হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্স পাই।
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | এম | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | এম | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | এম | 0 | এম | 1 | 0 |
| 5 | 0 | এম | 0 | 0 | এম | 0 |
| ডিজে | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
একটি প্রান্ত সক্রিয় করা হচ্ছে(4.2) 4র্থ সারি এবং 2য় কলামের সমস্ত উপাদান বাদ দিয়ে সঞ্চালিত হয়, যেখানে একটি নন-হ্যামিল্টনিয়ান চক্রের গঠন বাদ দেওয়ার জন্য d 24 উপাদান M দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।
ফলাফল হল আরেকটি হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্স (4 x 4), যা হ্রাস অপারেশন সাপেক্ষে।
হ্রাস অপারেশনের পরে, হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্সটি এর মতো দেখাবে:
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | এম | 6 | 0 |
| 3 | 6 | এম | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | এম | 0 |
| ডিজে | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
উপসেটের নিম্ন সীমা (4,2) সমান: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
যেহেতু এই উপসেটের নিম্ন সীমানা (4,2) উপসেট (4*,2*) থেকে কম, তাই আমরা একটি নতুন সীমানা H = 41 সহ রুটে প্রান্ত (4,2) অন্তর্ভুক্ত করি।
ধাপ ২.
শাখা প্রান্ত নির্ধারণএবং এই প্রান্তের সাথে সম্পর্কিত রুটের সম্পূর্ণ সেটটিকে দুটি উপসেটে (i,j) এবং (i*,j*) ভাগ করুন।
এই উদ্দেশ্যে, শূন্য উপাদান সহ ম্যাট্রিক্সের সমস্ত কোষের জন্য, আমরা শূন্যগুলিকে একের পর এক M (অনন্ত) দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং তাদের জন্য ফলস্বরূপ হ্রাস ধ্রুবকের যোগফল নির্ধারণ করি, সেগুলি বন্ধনীতে দেওয়া হয়।
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | এম | 6 | 6 |
| 3 | 6 | এম | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | এম | 0 |
| ডিজে | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
হ্রাস ধ্রুবকের বৃহত্তম যোগফল হল (4 + 5) = 9 প্রান্তের জন্য (1,5), অতএব, সেটটি দুটি উপসেটে বিভক্ত (1,5) এবং (1*,5*)।
প্রান্ত বর্জন(1.5) d 15 = 0 মৌলটিকে M দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সঞ্চালিত হয়, তারপরে আমরা ফলস্বরূপ উপসেটের (1*,5*) জন্য দূরত্ব ম্যাট্রিক্সের পরবর্তী হ্রাস সম্পাদন করি, ফলস্বরূপ আমরা একটি হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্স পাই।
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | এম | 10 | 4 | এম | 4 |
| 2 | 0 | 9 | এম | 6 | 0 |
| 3 | 6 | এম | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | এম | 0 |
| ডিজে | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
একটি প্রান্ত সক্রিয় করা হচ্ছে(1.5) 1ম সারি এবং 5ম কলামের সমস্ত উপাদান বাদ দিয়ে বাহিত হয়, যেখানে একটি নন-হ্যামিল্টনিয়ান চক্রের গঠন বাদ দেওয়ার জন্য d 51 উপাদান M দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।
ফলস্বরূপ, আমরা আরেকটি হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্স (3 x 3) পাই, যা হ্রাস অপারেশন সাপেক্ষে।
হ্রাস অপারেশনের পরে, হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্সটি এর মতো দেখাবে:
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | এম | 0 |
| 3 | 6 | এম | 0 | 0 |
| 5 | এম | 0 | 0 | 0 |
| ডিজে | 0 | 0 | 0 | 0 |
উপসেটের নিম্ন সীমা (1,5) সমান: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
যেহেতু এই উপসেটের নিম্ন সীমানা (1,5) উপসেট (1*,5*) থেকে কম, তাই আমরা একটি নতুন সীমানা H = 41 সহ রুটে প্রান্ত (1,5) অন্তর্ভুক্ত করি।
ধাপ 3.
শাখা প্রান্ত নির্ধারণএবং এই প্রান্তের সাথে সম্পর্কিত রুটের সম্পূর্ণ সেটটিকে দুটি উপসেটে (i,j) এবং (i*,j*) ভাগ করুন।
এই উদ্দেশ্যে, শূন্য উপাদান সহ ম্যাট্রিক্সের সমস্ত কোষের জন্য, আমরা শূন্যগুলিকে একের পর এক M (অনন্ত) দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং তাদের জন্য ফলস্বরূপ হ্রাস ধ্রুবকের যোগফল নির্ধারণ করি, সেগুলি বন্ধনীতে দেওয়া হয়।
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | এম | 9 |
| 3 | 6 | এম | 0(6) | 6 |
| 5 | এম | 0(9) | 0(0) | 0 |
| ডিজে | 6 | 9 | 0 | 0 |
হ্রাস ধ্রুবকের বৃহত্তম যোগফল হল (9 + 6) = 15 প্রান্তের জন্য (2,1), অতএব, সেটটি দুটি উপসেটে বিভক্ত (2,1) এবং (2*,1*)।
প্রান্ত বর্জন(2.1) d 21 = 0 উপাদানটিকে M দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সঞ্চালিত হয়, এর পরে আমরা ফলাফলের উপসেটের (2*,1*) জন্য দূরত্ব ম্যাট্রিক্সের পরবর্তী হ্রাস সম্পাদন করি, ফলস্বরূপ আমরা একটি হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্স পাই।
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | এম | 9 | এম | 9 |
| 3 | 6 | এম | 0 | 0 |
| 5 | এম | 0 | 0 | 0 |
| ডিজে | 6 | 0 | 0 | 15 |
একটি প্রান্ত সক্রিয় করা হচ্ছে(2.1) 2য় সারি এবং 1ম কলামের সমস্ত উপাদান বাদ দিয়ে সঞ্চালিত হয়, যেখানে একটি নন-হ্যামিল্টনিয়ান চক্রের গঠন বাদ দেওয়ার জন্য d 12 উপাদান M দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।
ফলস্বরূপ, আমরা আরেকটি হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্স (2 x 2) পাই, যা হ্রাস অপারেশনের সাপেক্ষে।
হ্রাস অপারেশনের পরে, হ্রাসকৃত ম্যাট্রিক্সটি এর মতো দেখাবে:
| i j | 3 | 4 | d i |
| 3 | এম | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| ডিজে | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
উপসেটের নিম্ন সীমা (2,1) সমান: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
যেহেতু এই উপসেটের নিম্ন সীমানা (2,1) উপসেটের (2*,1*) থেকে কম, তাই আমরা একটি নতুন সীমানা H = 41 সহ রুটে প্রান্ত (2,1) অন্তর্ভুক্ত করি।
এই ম্যাট্রিক্স অনুসারে, আমরা হ্যামিলটোনিয়ান রুটে প্রান্ত (3,4) এবং (5,3) অন্তর্ভুক্ত করি।
ফলস্বরূপ, হ্যামিলটোনিয়ান চক্রের শাখা গাছ বরাবর, প্রান্তগুলি গঠন করে:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4)। রুটের দৈর্ঘ্য হল F(Mk) = 41
সিদ্ধান্ত গাছ।
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), H=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
এই ক্যালকুলেটরের সাথে নিম্নলিখিতগুলিও ব্যবহার করা হয়:
ZLP সমাধানের জন্য গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি
ZLP সমাধানের জন্য সিমপ্লেক্স পদ্ধতি
একটি ম্যাট্রিক্স খেলা সমাধান
অনলাইন পরিষেবা ব্যবহার করে, আপনি একটি ম্যাট্রিক্স গেমের (নিম্ন এবং উপরের সীমানা) মূল্য নির্ধারণ করতে পারেন, একটি স্যাডল পয়েন্টের উপস্থিতি পরীক্ষা করতে পারেন, নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে একটি মিশ্র কৌশলের সমাধান খুঁজে পেতে পারেন: মিনিম্যাক্স, সিমপ্লেক্স পদ্ধতি, গ্রাফিক্যাল (জ্যামিতিক ) পদ্ধতি, ব্রাউনের পদ্ধতি।
দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিম
ডায়নামিক প্রোগ্রামিং সমস্যা
পরিবহন সমস্যা সমাধানের প্রথম ধাপএর ধরন নির্ধারণ করা (খোলা বা বন্ধ, বা অন্যথায় সুষম বা ভারসাম্যহীন)। আনুমানিক পদ্ধতি ( একটি রেফারেন্স পরিকল্পনা খোঁজার জন্য পদ্ধতি) অনুমতির জন্য সমাধানের দ্বিতীয় পর্যায়েঅল্প সংখ্যক পদক্ষেপে একটি গ্রহণযোগ্য, কিন্তু সর্বদা সর্বোত্তম নয়, সমস্যার সমাধান পাওয়া যায়। পদ্ধতির এই গ্রুপে নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:
- মুছে ফেলা (ডবল পছন্দ পদ্ধতি);
- উত্তর-পশ্চিম কোণ;
- সর্বনিম্ন উপাদান;
- ভোগেল অনুমান।
পরিবহন সমস্যার রেফারেন্স সমাধান
পরিবহন সমস্যার রেফারেন্স সমাধানকোন সম্ভাব্য সমাধান যার জন্য ধনাত্মক স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। একটি গ্রহণযোগ্য সমাধানের স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত অবস্থার ভেক্টরগুলির রৈখিক স্বাধীনতা পরীক্ষা করতে, চক্রগুলি ব্যবহার করা হয়।সাইকেলএকটি ট্রান্সপোর্ট টাস্ক টেবিলের কোষগুলির একটি ক্রম বলা হয় যেখানে দুটি এবং শুধুমাত্র সংলগ্ন কোষ একই সারি বা কলামে অবস্থিত এবং প্রথম এবং শেষটি একই সারি বা কলামে অবস্থিত। পরিবহন সমস্যা অবস্থার ভেক্টরগুলির একটি সিস্টেম রৈখিকভাবে স্বাধীন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি টেবিলের সংশ্লিষ্ট কোষগুলি থেকে কোন চক্র গঠিত না হয়। অতএব, পরিবহন সমস্যার একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n শুধুমাত্র একটি রেফারেন্স যদি এটি দ্বারা দখলকৃত টেবিল কোষ থেকে কোন চক্র তৈরি করা না যায়।
পরিবহন সমস্যা সমাধানের জন্য আনুমানিক পদ্ধতি।
ক্রস-আউট পদ্ধতি (ডবল পছন্দ পদ্ধতি). যদি সারণির একটি সারি বা কলামে একটি দখল করা ঘর থাকে, তবে এটিকে কোনো চক্রে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে না, যেহেতু একটি চক্রের প্রতিটি কলামে দুটি এবং মাত্র দুটি ঘর থাকে। অতএব, আপনি টেবিলের সমস্ত সারিগুলিকে ক্রস আউট করতে পারেন যেখানে একটি দখল করা ঘর রয়েছে, তারপরে একটি দখল করা ঘর রয়েছে এমন সমস্ত কলামগুলিকে ক্রস আউট করতে পারেন, তারপর সারিতে ফিরে যান এবং সারি এবং কলামগুলি ক্রস করা চালিয়ে যেতে পারেন৷ যদি, মুছে ফেলার ফলস্বরূপ, সমস্ত সারি এবং কলামগুলি ক্রস করা হয়, এর অর্থ হল টেবিলের দখলকৃত কক্ষগুলি থেকে এমন একটি অংশ নির্বাচন করা অসম্ভব যা একটি চক্র গঠন করে এবং শর্তগুলির সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলির সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং সমাধান একটি রেফারেন্স এক. যদি, মুছে ফেলার পরে, কিছু কোষ থেকে যায়, তাহলে এই কোষগুলি একটি চক্র তৈরি করে, শর্তগুলির সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলির সিস্টেমটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং সমাধানটি একটি রেফারেন্স নয়।
উত্তর-পশ্চিম কোণ পদ্ধতিক্রমানুসারে পরিবহন টেবিলের সারি এবং কলামের মধ্য দিয়ে যাওয়া, বাম কলাম এবং উপরের লাইন থেকে শুরু করে এবং টেবিলের সংশ্লিষ্ট কক্ষে সর্বাধিক সম্ভাব্য চালান লিখতে যাতে সরবরাহকারীর ক্ষমতা বা ভোক্তার চাহিদা উল্লেখ করা হয়। টাস্ক অতিক্রম করা হয় না. এই পদ্ধতিতে, ডেলিভারি মূল্যের দিকে কোন মনোযোগ দেওয়া হয় না, যেহেতু চালানের আরও অপ্টিমাইজেশন অনুমান করা হয়।
ন্যূনতম উপাদান পদ্ধতি. এর সরলতা সত্ত্বেও, এই পদ্ধতিটি এখনও আরও কার্যকর, উদাহরণস্বরূপ, উত্তর-পশ্চিম কোণ পদ্ধতি। অধিকন্তু, ন্যূনতম উপাদান পদ্ধতিটি পরিষ্কার এবং যৌক্তিক। এর সারমর্ম হ'ল পরিবহন টেবিলে, সর্বনিম্ন শুল্ক সহ কক্ষগুলি প্রথমে ভরা হয়, এবং তারপরে উচ্চ শুল্কের ঘরগুলি। অর্থাৎ, আমরা কার্গো ডেলিভারির ন্যূনতম খরচ দিয়ে পরিবহন বেছে নিই। এটি একটি সুস্পষ্ট এবং যৌক্তিক পদক্ষেপ। সত্য, এটি সর্বদা সর্বোত্তম পরিকল্পনার দিকে পরিচালিত করে না।
ভোগেল আনুমানিক পদ্ধতি. ভোগেল আনুমানিক পদ্ধতির সাথে, প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে, তাদের মধ্যে লিখিত দুটি ন্যূনতম শুল্কের মধ্যে পার্থক্য সমস্ত কলাম এবং সমস্ত সারির জন্য পাওয়া যায়। এই পার্থক্যগুলি সমস্যা অবস্থার সারণীতে একটি বিশেষভাবে মনোনীত সারি এবং কলামে রেকর্ড করা হয়েছে। নির্দেশিত পার্থক্যগুলির মধ্যে, সর্বনিম্নটি বেছে নেওয়া হয়। যে সারিতে (বা কলাম) এই পার্থক্যের সাথে মিল রয়েছে, ন্যূনতম ট্যারিফ নির্ধারণ করা হয়। যে ঘরে এটি লেখা আছে তা এই পুনরাবৃত্তিতে পূর্ণ হয়।
উদাহরণ নং 1। ট্যারিফ ম্যাট্রিক্স (এখানে সরবরাহকারীর সংখ্যা 4, দোকানের সংখ্যা 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | রিজার্ভ | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| চাহিদা | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
ভারসাম্য শর্ত পূরণ করা হয়. সমান চাহিদা সরবরাহ করে। তাই পরিবহন সমস্যার মডেল বন্ধ রয়েছে। মডেল খোলা থাকলে, অতিরিক্ত সরবরাহকারী বা ভোক্তাদের পরিচয় করিয়ে দিতে হবে।
চালু দ্বিতীয় পর্যায়রেফারেন্স প্ল্যানটি উপরে দেওয়া পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে অনুসন্ধান করা হয় (সবচেয়ে সাধারণ হল সর্বনিম্ন খরচের পদ্ধতি)।
অ্যালগরিদম প্রদর্শন করতে, আমরা শুধুমাত্র কয়েকটি পুনরাবৃত্তি উপস্থাপন করি।
পুনরাবৃত্তি নং 1। ন্যূনতম ম্যাট্রিক্স উপাদান শূন্য। এই উপাদানটির জন্য, জায় 60 এবং প্রয়োজনীয়তা 30। আমরা তাদের থেকে সর্বনিম্ন সংখ্যা 30 নির্বাচন করি এবং এটি বিয়োগ করি (সারণী দেখুন)। একই সময়ে, আমরা টেবিল থেকে ষষ্ঠ কলামটি অতিক্রম করি (এর চাহিদা 0 এর সমান)।
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | এক্স | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | এক্স | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | এক্স | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
পুনরাবৃত্তি নং 2। আবার আমরা সর্বনিম্ন (0) খুঁজছি। জোড়া (60;50) থেকে আমরা ন্যূনতম সংখ্যা 50 নির্বাচন করি। পঞ্চম কলামটি অতিক্রম করুন।
| 3 | 20 | 8 | এক্স | 4 | এক্স | 80 |
| 4 | 4 | 18 | এক্স | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | এক্স | 6 | এক্স | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | এক্স | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
পুনরাবৃত্তি নং 3। আমরা সমস্ত প্রয়োজনীয়তা এবং সরবরাহ নির্বাচন না করা পর্যন্ত আমরা প্রক্রিয়া চালিয়ে যাই।
পুনরাবৃত্তি নম্বর এন আপনি যে উপাদানটি খুঁজছেন তা হল 8৷ এই উপাদানটির জন্য, সরবরাহগুলি প্রয়োজনীয়তার সমান (40)৷
| 3 | এক্স | 8 | এক্স | 4 | এক্স | 40 - 40 = 0 |
| এক্স | এক্স | এক্স | এক্স | 3 | 0 | 0 |
| এক্স | 4 | এক্স | এক্স | এক্স | এক্স | 0 |
| এক্স | এক্স | এক্স | 0 | 1 | এক্স | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | রিজার্ভ | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| চাহিদা | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
আসুন টেবিলের দখলকৃত কক্ষের সংখ্যা গণনা করি, তাদের মধ্যে 8টি আছে, তবে এটি m + n - 1 = 9 হওয়া উচিত। অতএব, সমর্থন পরিকল্পনাটি অধঃপতিত। আমরা নতুন পরিকল্পনা করছি। কখনও কখনও আপনাকে একটি নন-ডিজেনারেট খুঁজে পাওয়ার আগে বেশ কয়েকটি রেফারেন্স পরিকল্পনা তৈরি করতে হবে।
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | রিজার্ভ | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| চাহিদা | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
ফলস্বরূপ, প্রথম সমর্থন পরিকল্পনা প্রাপ্ত হয়, যা বৈধ, যেহেতু টেবিলের দখলকৃত কক্ষের সংখ্যা 9 এবং সূত্র m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9 এর সাথে মিলে যায়, i.e. রেফারেন্স পরিকল্পনা হয় অধঃপতিত.
তৃতীয় পর্যায়পাওয়া রেফারেন্স প্ল্যানের উন্নতিতে গঠিত। এখানে তারা সম্ভাব্য পদ্ধতি বা বিতরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে। এই পর্যায়ে, খরচ ফাংশন F(x) এর মাধ্যমে সমাধানের সঠিকতা নিরীক্ষণ করা যেতে পারে। যদি এটি হ্রাস পায় (খরচ কম করা সাপেক্ষে), তবে সমাধানটি সঠিক।
উদাহরণ নং 2। ন্যূনতম ট্যারিফ পদ্ধতি ব্যবহার করে, একটি পরিবহন সমস্যা সমাধানের জন্য একটি প্রাথমিক পরিকল্পনা উপস্থাপন করুন। সম্ভাব্য পদ্ধতি ব্যবহার করে সর্বোত্তমতা পরীক্ষা করুন।
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
উদাহরণ নং 3। চারটি মিষ্টান্ন কারখানা তিন ধরনের মিষ্টান্ন পণ্য তৈরি করতে পারে। প্রতিটি কারখানার এক কুইন্টাল (কুইন্টাল) মিষ্টান্ন পণ্যের উৎপাদন খরচ, কারখানার উৎপাদন ক্ষমতা (প্রতি মাসে কুইন্টাল) এবং মিষ্টান্ন পণ্যের দৈনিক প্রয়োজনীয়তা (প্রতি মাসে কুইন্টাল) টেবিলে নির্দেশিত হয়েছে। একটি মিষ্টান্ন উৎপাদন পরিকল্পনা আঁকুন যা মোট উৎপাদন খরচ কমিয়ে দেয়।
বিঃদ্রঃ. এখানে, আপনি প্রথমে খরচের টেবিলটি স্থানান্তর করতে পারেন, যেহেতু পরিবহন সমস্যার শাস্ত্রীয় প্রণয়নের জন্য, ক্ষমতা (উৎপাদন) প্রথমে আসে এবং তারপরে ভোক্তারা।
উদাহরণ নং 4। সুবিধা নির্মাণের জন্য, তিনটি (I, II, III) কারখানা থেকে ইট সরবরাহ করা হয়। কারখানার গুদামে যথাক্রমে 50, 100 এবং 50 হাজার ইউনিট রয়েছে। ইট বস্তুর জন্য যথাক্রমে 50, 70, 40 এবং 40 হাজার টুকরা প্রয়োজন। ইট ট্যারিফ (ডেন. ইউনিট/হাজার ইউনিট) টেবিলে দেওয়া আছে। একটি পরিবহন পরিকল্পনা তৈরি করুন যা মোট পরিবহন খরচ কমিয়ে দেয়।
বন্ধ করা হবে যদি:ক) a=40, b=45
খ) a=45, b=40
খ) a=11, b=12
বন্ধ পরিবহন সমস্যার অবস্থা: ∑a = ∑b
আমরা খুঁজে পাই, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
আমরা পাই: 55+b = 60+a
সমতা তখনই পরিলক্ষিত হবে যখন a=40, b=45
