গবেষণা দক্ষতা সাধারণ এবং নির্দিষ্ট বিভক্ত করা যেতে পারে। সাধারণ গবেষণা দক্ষতা, যা গঠন এবং বিকাশ পরামিতিগুলির সাথে সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়াতে ঘটে, এর মধ্যে রয়েছে: একটি প্রদত্ত সমীকরণের পিছনে একটি পরামিতি সহ বিভিন্ন শ্রেণির সমীকরণ দেখার ক্ষমতা, সংখ্যা এবং প্রকারের সাধারণ উপস্থিতি দ্বারা চিহ্নিত শিকড় বিশ্লেষণাত্মক এবং গ্রাফিক-বিশ্লেষণীয় পদ্ধতি আয়ত্ত করার ক্ষমতা....
7-9 গ্রেডের শিক্ষার্থীদের গবেষণা দক্ষতা বিকাশের উপায় হিসাবে একটি প্যারামিটার সহ সমীকরণ এবং অসমতা (প্রবন্ধ, কোর্সওয়ার্ক, ডিপ্লোমা, পরীক্ষা)
স্নাতক কাজ
পৃবিষয় সম্পর্কে: গবেষণা গঠনের উপায় হিসাবে একটি প্যারামিটার সহ সমীকরণ এবং অসমতা 7 - 9 গ্রেডের শিক্ষার্থীদের দক্ষতা
সৃজনশীল চিন্তার ক্ষমতার বিকাশ সমস্যা পরিস্থিতির বাইরে অসম্ভব, তাই অ-মানক কাজগুলি শেখার ক্ষেত্রে বিশেষ গুরুত্ব বহন করে। এর মধ্যে একটি প্যারামিটার সম্বলিত কাজগুলিও অন্তর্ভুক্ত। এই সমস্যাগুলির গাণিতিক বিষয়বস্তু প্রোগ্রামের সুযোগের বাইরে যায় না, তবে, তাদের সমাধান করা, একটি নিয়ম হিসাবে, শিক্ষার্থীদের জন্য অসুবিধা সৃষ্টি করে।
60-এর দশকে স্কুলের গণিত শিক্ষার সংস্কারের আগে, স্কুলের পাঠ্যক্রম এবং পাঠ্যপুস্তকগুলিতে বিশেষ বিভাগ ছিল: রৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণের অধ্যয়ন, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির অধ্যয়ন। যেখানে কাজটি ছিল কোন শর্ত বা পরামিতির উপর নির্ভর করে সমীকরণ, অসমতা এবং সিস্টেমগুলি অধ্যয়ন করা।
প্রোগ্রামটিতে বর্তমানে সমীকরণ বা অসমতার অধ্যয়ন বা পরামিতিগুলির নির্দিষ্ট উল্লেখ নেই। কিন্তু তারা অবিকল গণিতের একটি কার্যকর উপায় যা প্রোগ্রাম দ্বারা সেট করা একটি বুদ্ধিজীবী ব্যক্তিত্ব গঠনের সমস্যা সমাধানে সহায়তা করে। এই দ্বন্দ্ব দূর করার জন্য, "পরামিতির সাথে সমীকরণ এবং অসমতা" বিষয়ের উপর একটি নির্বাচনী কোর্স তৈরি করা প্রয়োজন হয়ে পড়ে। এটিই এই কাজের প্রাসঙ্গিকতা নির্ধারণ করে।
পরামিতিগুলির সাথে সমীকরণ এবং অসমতা বাস্তব গবেষণা কাজের জন্য চমৎকার উপাদান, কিন্তু স্কুল পাঠ্যক্রম একটি পৃথক বিষয় হিসাবে পরামিতিগুলির সমস্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত করে না।
একটি স্কুলের গণিত কোর্সের বেশিরভাগ সমস্যা সমাধানের লক্ষ্য হল স্কুলশিশুদের মধ্যে বর্তমান প্রোগ্রামগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নিয়ম এবং অ্যালগরিদম কর্মের দক্ষতা এবং মৌলিক গবেষণা পরিচালনা করার ক্ষমতার মতো গুণাবলী বিকাশ করা।
বিজ্ঞানের গবেষণা বলতে একটি বস্তুর ঘটনা, বিকাশ এবং রূপান্তরের ধরণগুলি সনাক্ত করার জন্য অধ্যয়ন করাকে বোঝায়। গবেষণা প্রক্রিয়ায়, সঞ্চিত অভিজ্ঞতা, বিদ্যমান জ্ঞান, সেইসাথে বস্তু অধ্যয়নের পদ্ধতি এবং পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। গবেষণার ফলাফল নতুন জ্ঞান অর্জন করা উচিত। শিক্ষাগত গবেষণার প্রক্রিয়ায়, গাণিতিক বস্তুর অধ্যয়নে শিক্ষার্থীর দ্বারা সঞ্চিত জ্ঞান এবং অভিজ্ঞতা সংশ্লেষিত হয়।
প্যারামেট্রিক সমীকরণ এবং অসমতার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হলে, নিম্নলিখিত গবেষণা দক্ষতাগুলিকে আলাদা করা যেতে পারে:
1) একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর সমীকরণের অন্তর্গত একটি প্রদত্ত প্যারামেট্রিক সমীকরণের শর্তগুলি একটি প্যারামিটারের মাধ্যমে প্রকাশ করার ক্ষমতা;
2) সমীকরণের ধরন নির্ধারণ এবং পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে সহগগুলির ধরণ নির্দেশ করার ক্ষমতা;
3) পরামিতিগুলির মাধ্যমে প্রকাশ করার ক্ষমতা, একটি প্যারামেট্রিক সমীকরণের সমাধানের উপস্থিতির শর্ত;
4) শিকড় (সমাধান) উপস্থিতির ক্ষেত্রে, নির্দিষ্ট সংখ্যক শিকড়ের উপস্থিতির শর্তগুলি প্রকাশ করতে সক্ষম হবেন (সমাধান);
5) প্যারামিটারের মাধ্যমে প্যারামেট্রিক সমীকরণের (বৈষম্যের সমাধান) মূল প্রকাশ করার ক্ষমতা।
পরামিতিগুলির সাথে সমীকরণ এবং বৈষম্যের বিকাশের প্রকৃতি তাদের শিক্ষার্থীদের বিভিন্ন ধরণের মানসিক কার্যকলাপ বাস্তবায়নের ক্ষমতা দ্বারা নির্ধারিত হয়:
নির্দিষ্ট চিন্তার অ্যালগরিদমের বিকাশ, শিকড়ের উপস্থিতি এবং সংখ্যা নির্ধারণ করার ক্ষমতা (একটি সমীকরণ, সিস্টেমে);
সমীকরণের পরিবারগুলি সমাধান করা যা এটির পরিণতি;
একটি পরিবর্তনশীলকে অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা;
একটি সমীকরণের সংজ্ঞার ডোমেইন খোঁজা;
সমাধান করার সময় বৃহৎ আকারের সূত্রের পুনরাবৃত্তি;
উপযুক্ত সমাধান পদ্ধতির জ্ঞান;
মৌখিক এবং গ্রাফিক যুক্তির ব্যাপক ব্যবহার;
শিক্ষার্থীদের গ্রাফিক সংস্কৃতির বিকাশ;
উপরের সমস্তগুলি আমাদের স্কুলের গণিত কোর্সে পরামিতিগুলির সাথে সমীকরণ এবং অসমতাগুলি অধ্যয়নের প্রয়োজনীয়তা সম্পর্কে কথা বলার অনুমতি দেয়।
বর্তমানে, পরামিতিগুলির সাথে সমস্যাগুলির শ্রেণি এখনও পরিষ্কারভাবে পদ্ধতিগতভাবে কাজ করা হয়নি। "একটি প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা" নির্বাচনী পাঠ্যক্রমের বিষয় নির্বাচনের প্রাসঙ্গিকতা স্কুলের গণিত কোর্সে "চতুর্মুখী ত্রিনয়িক এবং এর বৈশিষ্ট্য" বিষয়ের গুরুত্ব দ্বারা এবং একই সময়ে, অভাব দ্বারা নির্ধারিত হয় সময়
আমাদের কাজে, আমরা দেখাতে চাই যে প্যারামিটার সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করা মূল উপাদানগুলির সাথে একটি কঠিন সংযোজন হওয়া উচিত নয়, যা শুধুমাত্র দক্ষ শিশুরাই আয়ত্ত করতে পারে, তবে একটি সাধারণ শিক্ষা বিদ্যালয়ে ব্যবহার করা উচিত এবং করা উচিত, যা নতুন পদ্ধতির সাথে শিক্ষাকে সমৃদ্ধ করবে। এবং ধারণা এবং ছাত্রদের তাদের চিন্তাভাবনা বিকাশে সহায়তা করে।
কাজের উদ্দেশ্য হল 7-9 গ্রেডের বীজগণিত কোর্সে পরামিতিগুলির সাথে সমীকরণ এবং অসমতার স্থান অধ্যয়ন করা, একটি বৈকল্পিক কোর্স "প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা" এবং এটি বাস্তবায়নের জন্য পদ্ধতিগত সুপারিশগুলি বিকাশ করা।
অধ্যয়নের উদ্দেশ্য হল একটি মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের 7-9 গ্রেডে গণিত শেখানোর প্রক্রিয়া।
গবেষণার বিষয়বস্তু, ফর্ম, পদ্ধতি এবং একটি মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে পরামিতি সহ সমীকরণ এবং অসমতা সমাধানের উপায়, একটি বৈকল্পিক কোর্সের বিকাশ নিশ্চিত করে "একটি প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা।"
গবেষণা অনুমান হল যে এই নির্বাচনী কোর্সটি গণিত বিভাগের বিষয়বস্তু "প্যারামিটারগুলির সাথে সমীকরণ এবং অসমতা" এর বিষয়বস্তু সম্পর্কে আরও গভীরভাবে অধ্যয়ন করতে সাহায্য করবে, স্কুল স্নাতক এবং বিশ্ববিদ্যালয়ের আবেদনকারীদের প্রস্তুতির জন্য গণিতের প্রয়োজনীয়তার অসঙ্গতি দূর করবে এবং মানসিক ক্রিয়াকলাপের শিক্ষার্থীদের বিকাশের সুযোগগুলি প্রসারিত করুন, যদি এটি অধ্যয়নের প্রক্রিয়ায় নিম্নলিখিতগুলি ব্যবহার করা হবে:
· শিক্ষামূলক সাহিত্যের সাথে স্কুলশিশুদের কাজ ব্যবহার করে একটি প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা সমাধানের জন্য গ্রাফিকাল কৌশলগুলির বিবেচনা;
· স্কুলছাত্রদের আত্মনিয়ন্ত্রণ এবং পারস্পরিক নিয়ন্ত্রণ ব্যবহার করে একটি প্যারামিটার সম্বলিত একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক অধ্যয়নের সমস্যা সমাধান করা;
· "একটি বর্গক্ষেত্রের শিকড়ের চিহ্ন", "অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে সম্পর্কিত একটি প্যারাবোলার অবস্থান" বিষয়গুলির উপর উপাদানগুলির সংক্ষিপ্তসারের জন্য টেবিল;
· শেখার ফলাফল এবং একটি ক্রমবর্ধমান পয়েন্ট সিস্টেম মূল্যায়নের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতির ব্যবহার;
· কোর্সের সমস্ত বিষয় অধ্যয়ন করা, শিক্ষার্থীকে স্বাধীনভাবে সমস্যা সমাধানের উপায় খুঁজে বের করার সুযোগ দেওয়া।
অধ্যয়নের উদ্দেশ্য, বিষয়, বিষয় এবং অনুমান অনুসারে, নিম্নলিখিত গবেষণা উদ্দেশ্যগুলি সামনে রাখা হয়েছে:
· গ্রেড 7-9-এ পরামিতি সহ সমীকরণ এবং অসমতার অধ্যয়নের জন্য সাধারণ বিধানগুলি বিবেচনা করুন;
বীজগণিতের একটি ইলেকটিভ কোর্স তৈরি করুন "একটি প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা" এবং এটি বাস্তবায়নের জন্য একটি পদ্ধতি।
অধ্যয়নের সময় নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়েছিল:
সাহিত্য বিশ্লেষণ;
· ঐচ্ছিক কোর্স বিকাশে অভিজ্ঞতার বিশ্লেষণ।
অধ্যায় 1. মনস্তাত্ত্বিক এবং শিক্ষাগত বৈশিষ্ট্য অধ্যয়নরত বিষয় « পরামিতি সহ সমীকরণ এবং অসমতা" বীজগণিত 7−9 এর কোর্সে ক্লাস
§ 1। বয়স-সম্পর্কিত, শারীরবৃত্তীয় এবং মনস্তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য7-9 গ্রেডে স্কুলছাত্রীদের সুবিধা
মধ্য বিদ্যালয় বয়স (বয়ঃসন্ধিকাল) সমগ্র জীবের দ্রুত বৃদ্ধি এবং বিকাশ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। দৈর্ঘ্যে শরীরের একটি নিবিড় বৃদ্ধি রয়েছে (ছেলেদের মধ্যে প্রতি বছর 6-10 সেন্টিমিটার এবং মেয়েদের মধ্যে 6-8 সেন্টিমিটার পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়)। কঙ্কালের অসিফিকেশন চলতে থাকে, হাড় স্থিতিস্থাপকতা এবং কঠোরতা অর্জন করে এবং পেশী শক্তি বৃদ্ধি পায়। যাইহোক, অভ্যন্তরীণ অঙ্গগুলির বিকাশ অসমভাবে ঘটে, রক্তনালীগুলির বৃদ্ধি হৃৎপিণ্ডের বৃদ্ধির পিছনে পিছিয়ে যায়, যা এর কার্যকলাপের ছন্দে ব্যাঘাত ঘটাতে পারে এবং হৃদস্পন্দন বৃদ্ধি করতে পারে। পালমোনারি যন্ত্রপাতি বিকশিত হয়, এই বয়সে শ্বাস দ্রুত হয়। মস্তিষ্কের আয়তন একটি প্রাপ্তবয়স্ক মানুষের মস্তিষ্কের কাছাকাছি। প্রবৃত্তি এবং আবেগের উপর সেরিব্রাল কর্টেক্সের নিয়ন্ত্রণ উন্নত হয়। যাইহোক, উত্তেজনা প্রক্রিয়াগুলি এখনও বাধা প্রক্রিয়াগুলির উপর প্রাধান্য পায়। সহযোগী ফাইবারগুলির বর্ধিত কার্যকলাপ শুরু হয়।
এই বয়সে, বয়ঃসন্ধি ঘটে। অন্তঃস্রাব গ্রন্থিগুলির কার্যকলাপ, বিশেষ করে যৌন গ্রন্থিগুলি বৃদ্ধি পায়। সেকেন্ডারি যৌন বৈশিষ্ট্য উপস্থিত হয়। কিশোরীর শরীরে নাটকীয় পরিবর্তনের কারণে বেশি ক্লান্তি দেখা দেয়। একজন কিশোরের উপলব্ধি একটি ছোট স্কুলছাত্রের চেয়ে বেশি মনোযোগী, সংগঠিত এবং পরিকল্পিত। পর্যবেক্ষিত বস্তুর প্রতি কিশোরের মনোভাব নিষ্পত্তিমূলক গুরুত্বপূর্ণ। মনোযোগ স্বেচ্ছায়, নির্বাচনী। একটি কিশোর একটি দীর্ঘ সময়ের জন্য আকর্ষণীয় উপাদান ফোকাস করতে পারেন। ধারণার মুখস্থ করা, সরাসরি বোঝার সাথে সম্পর্কিত, তথ্যের বিশ্লেষণ এবং পদ্ধতিগতকরণ, সামনে আসে। কৈশোর সমালোচনামূলক চিন্তা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই বয়সের ছাত্ররা প্রদত্ত তথ্যের উপর বৃহত্তর চাহিদা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। বিমূর্ত চিন্তা করার ক্ষমতা উন্নত হয়। কিশোর-কিশোরীদের মধ্যে আবেগের প্রকাশ প্রায়ই বেশ হিংস্র হয়। রাগ বিশেষ করে শক্তিশালী। এই বয়সটি বেশ জেদ, স্বার্থপরতা, নিজের মধ্যে প্রত্যাহার, আবেগের তীব্রতা এবং অন্যদের সাথে দ্বন্দ্ব দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই প্রকাশগুলি শিক্ষক এবং মনোবিজ্ঞানীদের বয়ঃসন্ধিকালীন সংকট সম্পর্কে কথা বলার অনুমতি দেয়। পরিচয় গঠনের জন্য একজন ব্যক্তির অন্যদের সাথে তার সংযোগ, অন্যান্য মানুষের মধ্যে তার স্থান পুনর্বিবেচনা করতে হবে। বয়ঃসন্ধিকালে ব্যক্তিত্বের নিবিড় নৈতিক ও সামাজিক গঠন ঘটে। নৈতিক আদর্শ ও নৈতিক প্রত্যয় গঠনের প্রক্রিয়া চলছে। তাদের প্রায়ই একটি অস্থির, পরস্পরবিরোধী চরিত্র থাকে।
প্রাপ্তবয়স্কদের সাথে কিশোর-কিশোরীদের যোগাযোগ অল্পবয়সী স্কুলছাত্রীদের যোগাযোগ থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা। কিশোর-কিশোরীরা প্রায়শই মুক্ত যোগাযোগের জন্য প্রাপ্তবয়স্কদের সম্ভাব্য অংশীদার হিসাবে বিবেচনা করে না; তারা প্রাপ্তবয়স্কদেরকে তাদের জীবনের জন্য সংগঠন এবং সমর্থনের উত্স হিসাবে দেখে এবং প্রাপ্তবয়স্কদের সাংগঠনিক কাজকে প্রায়শই শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ এবং নিয়ন্ত্রক হিসাবে বিবেচনা করা হয়।
শিক্ষকদের উদ্দেশে প্রশ্নের সংখ্যা কমে গেছে। জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নগুলি প্রথমত, কিশোর-কিশোরীদের জীবন ক্রিয়াকলাপের সংগঠন এবং বিষয়বস্তুর সাথে সম্পর্কিত যে ক্ষেত্রে তারা প্রাপ্তবয়স্কদের প্রাসঙ্গিক তথ্য এবং নির্দেশাবলী ছাড়া করতে পারে না। নৈতিক সমস্যা সংখ্যা হ্রাস করা হয়. পূর্ববর্তী বয়সের তুলনায়, সামাজিক নিয়মের বাহক এবং জটিল জীবনের সমস্যাগুলি সমাধানে সম্ভাব্য সহকারী হিসাবে শিক্ষকের কর্তৃত্ব উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পেয়েছে।
§ 2. শিক্ষাগত কার্যক্রমের বয়সের বৈশিষ্ট্য
শিক্ষকতা একটি কিশোরের জন্য প্রধান কার্যকলাপ। একটি কিশোর-কিশোরীর শিক্ষাগত কার্যকলাপের নিজস্ব অসুবিধা এবং দ্বন্দ্ব রয়েছে, তবে এমন সুবিধাও রয়েছে যা একজন শিক্ষক নির্ভর করতে পারেন এবং তার উপর নির্ভর করা উচিত। একজন কিশোর-কিশোরীর বড় সুবিধা হল সব ধরনের শিক্ষামূলক ক্রিয়াকলাপের জন্য তার প্রস্তুতি, যা তাকে নিজের চোখে একজন প্রাপ্তবয়স্ক করে তোলে। তিনি শ্রেণীকক্ষে পাঠ সংগঠিত করার স্বাধীন রূপ, জটিল শিক্ষামূলক উপাদান এবং স্কুলের বাইরে স্বাধীনভাবে তার জ্ঞানীয় কার্যকলাপ গড়ে তোলার সুযোগ দ্বারা আকৃষ্ট হন। যাইহোক, কিশোর এই প্রস্তুতিটি কীভাবে উপলব্ধি করতে হয় তা জানে না, যেহেতু সে জানে না কীভাবে নতুন ধরণের শিক্ষামূলক কার্যকলাপ চালাতে হয়।
একজন কিশোর একটি নতুন একাডেমিক বিষয়ে আবেগগতভাবে প্রতিক্রিয়া দেখায় এবং কারো কারো জন্য এই প্রতিক্রিয়াটি খুব দ্রুত অদৃশ্য হয়ে যায়। প্রায়শই শেখার এবং স্কুলের প্রতি তাদের সাধারণ আগ্রহও কমে যায়। মনস্তাত্ত্বিক গবেষণা যেমন দেখায়, মূল কারণটি শিক্ষার্থীদের মধ্যে শেখার দক্ষতার বিকাশের অভাবের মধ্যে রয়েছে, যা বর্তমান বয়সের প্রয়োজন মেটানো সম্ভব করে না - স্ব-নিশ্চিতকরণের প্রয়োজন।
শেখার কার্যকারিতা বাড়ানোর অন্যতম উপায় হল শেখার উদ্দেশ্যের উদ্দেশ্যমূলক গঠন। এটি সরাসরি বয়সের বিদ্যমান চাহিদার সন্তুষ্টির সাথে সম্পর্কিত। এই চাহিদাগুলির মধ্যে একটি হল জ্ঞানীয়। যখন এটি সন্তুষ্ট হয়, তখন তিনি স্থিতিশীল জ্ঞানীয় আগ্রহ বিকাশ করেন, যা একাডেমিক বিষয়গুলির প্রতি তার ইতিবাচক মনোভাব নির্ধারণ করে। কিশোর-কিশোরীরা তাদের জ্ঞানকে প্রসারিত করার, সমৃদ্ধ করার, অধ্যয়ন করা ঘটনাটির সারমর্মের মধ্যে প্রবেশ করার এবং কারণ-ও-প্রভাব সম্পর্ক স্থাপনের সুযোগ দ্বারা খুব আকৃষ্ট হয়। গবেষণা কার্যক্রম থেকে তারা দারুণ মানসিক তৃপ্তি অনুভব করে। জ্ঞানীয় চাহিদা এবং জ্ঞানীয় আগ্রহগুলি পূরণ করতে ব্যর্থতা কেবল একঘেয়েমি এবং উদাসীনতার অবস্থাই নয়, তবে কখনও কখনও "অরুচিহীন বিষয়গুলির" প্রতি তীব্রভাবে নেতিবাচক মনোভাব সৃষ্টি করে। এই ক্ষেত্রে, বিষয়বস্তু এবং জ্ঞান অর্জনের প্রক্রিয়া, পদ্ধতি এবং কৌশল উভয়ই সমান গুরুত্বপূর্ণ।
কিশোর-কিশোরীদের আগ্রহ তাদের জ্ঞানীয় কার্যকলাপের দিক থেকে ভিন্ন। কিছু শিক্ষার্থী বর্ণনামূলক উপাদান পছন্দ করে, তারা স্বতন্ত্র ঘটনা দ্বারা আকৃষ্ট হয়, অন্যরা অধ্যয়ন করা ঘটনার সারমর্ম বোঝার চেষ্টা করে, তত্ত্বের দৃষ্টিকোণ থেকে তাদের ব্যাখ্যা করে, অন্যরা ব্যবহারিক ক্রিয়াকলাপে জ্ঞান ব্যবহারে আরও সক্রিয়, অন্যরা - সৃজনশীল , গবেষণা কার্যক্রম. 15]
জ্ঞানীয় আগ্রহের পাশাপাশি, শিক্ষার প্রতি কিশোর-কিশোরীদের ইতিবাচক মনোভাবের জন্য জ্ঞানের তাৎপর্য বোঝা অপরিহার্য। তাদের জন্য জ্ঞানের গুরুত্বপূর্ণ তাৎপর্য এবং সর্বোপরি, ব্যক্তিগত বিকাশের জন্য এর তাত্পর্য উপলব্ধি করা এবং বোঝা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। একজন কিশোর অনেক শিক্ষাগত বিষয় পছন্দ করে কারণ সেগুলি একটি ব্যাপকভাবে উন্নত ব্যক্তি হিসাবে তার চাহিদা পূরণ করে। বিশ্বাস এবং আগ্রহ, একত্রিত হয়ে, কিশোর-কিশোরীদের মধ্যে একটি বর্ধিত মানসিক স্বর তৈরি করে এবং শেখার প্রতি তাদের সক্রিয় মনোভাব নির্ধারণ করে।
যদি একজন কিশোর-কিশোরী জ্ঞানের অত্যাবশ্যক গুরুত্ব দেখতে না পায়, তাহলে সে বিদ্যমান একাডেমিক বিষয়ের প্রতি নেতিবাচক বিশ্বাস এবং নেতিবাচক মনোভাব গড়ে তুলতে পারে। যখন কিশোর-কিশোরীরা শেখার প্রতি নেতিবাচক মনোভাব পোষণ করে তখন তাৎপর্যপূর্ণ গুরুত্ব হল তাদের সচেতনতা এবং নির্দিষ্ট শিক্ষাগত বিষয়ে দক্ষতা অর্জনে ব্যর্থতার অভিজ্ঞতা। ব্যর্থতার ভয়, পরাজয়ের ভয় কখনও কখনও কিশোর-কিশোরীদের স্কুলে না যাওয়ার বা ক্লাস না করার যুক্তিসঙ্গত কারণ খুঁজতে নিয়ে যায়। একজন কিশোরের মানসিক সুস্থতা মূলত প্রাপ্তবয়স্কদের দ্বারা তার শিক্ষামূলক কার্যকলাপের মূল্যায়নের উপর নির্ভর করে। প্রায়শই একটি কিশোর-কিশোরীর মূল্যায়নের অর্থ হল শিক্ষাগত প্রক্রিয়ায় সাফল্য অর্জনের আকাঙ্ক্ষা এবং এর ফলে তাদের ক্ষমতা এবং সামর্থ্যের উপর আস্থা অর্জন করা। এটি একজন ব্যক্তি হিসাবে নিজেকে, একজনের শক্তি এবং দুর্বলতাগুলি উপলব্ধি এবং মূল্যায়ন করার প্রয়োজনীয়তার মতো বয়সের এমন প্রভাবশালী প্রয়োজনের কারণে। গবেষণা দেখায় যে বয়ঃসন্ধিকালে আত্মসম্মান একটি প্রভাবশালী ভূমিকা পালন করে। এটি একটি কিশোরের মানসিক সুস্থতার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে মূল্যায়ন এবং আত্মসম্মান মিলে যায়। অন্যথায়, অভ্যন্তরীণ এবং কখনও কখনও বহিরাগত বিরোধ দেখা দেয়।
মধ্যম গ্রেডে, শিক্ষার্থীরা অধ্যয়ন করতে শুরু করে এবং বিজ্ঞানের মৌলিক বিষয়গুলো আয়ত্ত করতে শুরু করে। শিক্ষার্থীদের প্রচুর পরিমাণে জ্ঞান আয়ত্ত করতে হবে। একদিকে আয়ত্ত করার উপাদানটির জন্য আগের তুলনায় উচ্চ স্তরের শিক্ষাগত, জ্ঞানীয় এবং মানসিক ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন এবং অন্যদিকে, তাদের বিকাশের লক্ষ্য। শিক্ষার্থীদের অবশ্যই বৈজ্ঞানিক ধারণা এবং শর্তাবলীর সিস্টেম আয়ত্ত করতে হবে, তাই নতুন একাডেমিক বিষয়গুলি জ্ঞান অর্জনের পদ্ধতিগুলিতে নতুন দাবি করে এবং উচ্চ-স্তরের বুদ্ধিমত্তা বিকাশের লক্ষ্যে - তাত্ত্বিক, আনুষ্ঠানিক, প্রতিফলিত চিন্তাভাবনা। এই ধরনের চিন্তাভাবনা বয়ঃসন্ধিকালের জন্য সাধারণ, তবে এটি অল্প বয়স্ক কিশোর-কিশোরীদের মধ্যে বিকশিত হতে শুরু করে।
কিশোর-কিশোরীর চিন্তাভাবনার বিকাশে নতুন যা রয়েছে তা বুদ্ধিবৃত্তিক কাজগুলির প্রতি তার মনোভাবের মধ্যে রয়েছে যার জন্য তাদের প্রাথমিক মানসিক সমাধান প্রয়োজন। বৌদ্ধিক সমস্যা সমাধানে অনুমানের সাথে কাজ করার ক্ষমতা হল বাস্তবতা বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে একজন কিশোরের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অর্জন। অনুমানমূলক চিন্তা বৈজ্ঞানিক যুক্তির একটি স্বতন্ত্র হাতিয়ার, তাই একে প্রতিফলিত চিন্তা বলা হয়। যদিও স্কুলে বৈজ্ঞানিক ধারণাগুলির আত্তীকরণ নিজেই স্কুলছাত্রীদের মধ্যে তাত্ত্বিক চিন্তাভাবনা গঠনের জন্য বেশ কয়েকটি উদ্দেশ্যমূলক পরিস্থিতি তৈরি করে, তবে, এটি প্রত্যেকের মধ্যে গঠিত হয় না: বিভিন্ন ছাত্রদের বিভিন্ন স্তর এবং এর প্রকৃত গঠনের গুণমান থাকতে পারে।
তাত্ত্বিক চিন্তা শুধুমাত্র স্কুল জ্ঞান আয়ত্ত দ্বারা গঠিত হতে পারে না. বক্তৃতা নিয়ন্ত্রিত এবং পরিচালনাযোগ্য হয়ে ওঠে এবং কিছু ব্যক্তিগতভাবে উল্লেখযোগ্য পরিস্থিতিতে, কিশোর-কিশোরীরা বিশেষ করে সুন্দর এবং সঠিকভাবে কথা বলার চেষ্টা করে। প্রক্রিয়ায় এবং বৈজ্ঞানিক ধারণার আত্তীকরণের ফলে, চিন্তার নতুন বিষয়বস্তু, বৌদ্ধিক কার্যকলাপের নতুন রূপ তৈরি হয়। তাত্ত্বিক জ্ঞানের অপর্যাপ্ত আত্তীকরণের একটি উল্লেখযোগ্য সূচক হল এই জ্ঞানের ব্যবহার প্রয়োজন এমন সমস্যাগুলি সমাধান করতে একজন কিশোরের অক্ষমতা।
কেন্দ্রীয় স্থানটি উপাদানের বিষয়বস্তু, এর মৌলিকতা এবং অভ্যন্তরীণ যুক্তি বিশ্লেষণের দ্বারা দখল করা শুরু করে। কিছু কিশোর-কিশোরী শেখার উপায় বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে নমনীয়তার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, অন্যরা একটি পদ্ধতি পছন্দ করে এবং কেউ কেউ কোনো উপাদানকে সংগঠিত এবং যৌক্তিকভাবে প্রক্রিয়া করার চেষ্টা করে। যৌক্তিকভাবে উপাদান প্রক্রিয়া করার ক্ষমতা প্রায়ই কিশোর-কিশোরীদের মধ্যে স্বতঃস্ফূর্তভাবে বিকশিত হয়। শুধু একাডেমিক পারফরম্যান্স, জ্ঞানের গভীরতা এবং শক্তিই নয়, কিশোরের বুদ্ধিমত্তা এবং দক্ষতার আরও বিকাশের সম্ভাবনাও এর উপর নির্ভর করে।
§ 3. শিক্ষা কার্যক্রমের সংগঠন7-9 গ্রেডের স্কুলছাত্রীদের বৈশিষ্ট্য
কিশোর-কিশোরীদের শিক্ষামূলক কার্যক্রম সংগঠিত করা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং জটিল কাজ। একজন মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের ছাত্র একজন শিক্ষক বা পিতামাতার যুক্তি বুঝতে এবং যুক্তিসঙ্গত যুক্তিগুলির সাথে একমত হতে যথেষ্ট সক্ষম। যাইহোক, এই বয়সের চিন্তাভাবনার বৈশিষ্ট্যের কারণে, একজন কিশোর আর একটি তৈরি, সম্পূর্ণ আকারে তথ্য যোগাযোগের প্রক্রিয়ার সাথে সন্তুষ্ট হবে না। তিনি তাদের নির্ভরযোগ্যতা পরীক্ষা করতে চাইবেন, নিশ্চিত করতে চান যে তার রায় সঠিক। শিক্ষক, পিতামাতা এবং বন্ধুদের সাথে বিরোধ এই বয়সের একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্য। তাদের গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা হল যে তারা আপনাকে একটি বিষয়ে মতামত বিনিময় করতে, আপনার মতামত এবং সাধারণত গৃহীত মতামতের সত্যতা যাচাই করতে এবং নিজেকে প্রকাশ করার অনুমতি দেয়। বিশেষ করে, শিক্ষাদানে, সমস্যা-ভিত্তিক কাজের প্রবর্তন একটি দুর্দান্ত প্রভাব ফেলে। শিক্ষাদানের এই পদ্ধতির ভিত্তি 20 শতকের 60 এবং 70 এর দশকে গার্হস্থ্য শিক্ষকদের দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। সমস্যা-ভিত্তিক পদ্ধতির সমস্ত কর্মের ভিত্তি হ'ল নির্দিষ্ট সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য জ্ঞানের অভাব সম্পর্কে সচেতনতা এবং দ্বন্দ্বের সমাধান। আধুনিক পরিস্থিতিতে, এই পদ্ধতিটি আধুনিক বিজ্ঞানের কৃতিত্বের স্তর এবং শিক্ষার্থীদের সামাজিকীকরণের কাজের পরিপ্রেক্ষিতে প্রয়োগ করা উচিত।
স্বাধীন চিন্তাভাবনাকে উত্সাহিত করা গুরুত্বপূর্ণ, শিক্ষার্থী তার নিজস্ব দৃষ্টিভঙ্গি প্রকাশ করে, তুলনা করার ক্ষমতা, সাধারণ এবং স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করে, মূল জিনিসটি হাইলাইট করে, কারণ-এবং-প্রভাব সম্পর্ক স্থাপন করে এবং সিদ্ধান্তে আঁকতে পারে।
একটি কিশোরের জন্য, আকর্ষণীয়, আকর্ষণীয় তথ্য যা তার কল্পনাকে উদ্দীপিত করে এবং তাকে ভাবতে বাধ্য করে যে এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ হবে। একটি ভাল প্রভাব পর্যায়ক্রমে ক্রিয়াকলাপের ধরন পরিবর্তন করে অর্জন করা হয় - শুধুমাত্র ক্লাসে নয়, বাড়ির কাজ প্রস্তুত করার সময়ও। বিভিন্ন ধরণের কাজ মনোযোগ বাড়ানোর একটি খুব কার্যকর উপায় এবং সাধারণ শারীরিক ক্লান্তি প্রতিরোধের একটি গুরুত্বপূর্ণ উপায় হয়ে উঠতে পারে, যা শিক্ষাগত বোঝার সাথে এবং বয়ঃসন্ধির সময় শরীরের আমূল পুনর্গঠনের সাধারণ প্রক্রিয়ার সাথে জড়িত। 20]
স্কুল পাঠ্যক্রমের প্রাসঙ্গিক বিভাগগুলি অধ্যয়ন করার আগে, শিক্ষার্থীদের প্রায়শই কিছু দৈনন্দিন ধারণা এবং ধারণা থাকে যা তাদের দৈনন্দিন অনুশীলনে মোটামুটি ভালভাবে নেভিগেট করতে দেয়। এই পরিস্থিতিতে, বাস্তব জীবনের সাথে তারা যে জ্ঞান অর্জন করে তার সংযোগের প্রতি তাদের মনোযোগ বিশেষভাবে আকৃষ্ট হয় না, অনেক শিক্ষার্থীকে নতুন জ্ঞান অর্জন ও আত্মীকরণের প্রয়োজনীয়তা থেকে বঞ্চিত করে, যেহেতু পরবর্তীটির তাদের জন্য কোন ব্যবহারিক অর্থ নেই।
কিশোর-কিশোরীদের নৈতিক আদর্শ এবং নৈতিক বিশ্বাসগুলি অসংখ্য কারণের প্রভাবে গঠিত হয়, বিশেষ করে, শেখার শিক্ষাগত সম্ভাবনাকে শক্তিশালী করে। জটিল জীবনের সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষেত্রে, কিশোর-কিশোরীদের চেতনাকে প্রভাবিত করার পরোক্ষ পদ্ধতিগুলিতে আরও মনোযোগ দেওয়া উচিত: একটি তৈরি নৈতিক সত্য উপস্থাপন না করা, তবে এটির দিকে পরিচালিত করা এবং কিশোর-কিশোরীরা প্রতিকূলতার সাথে উপলব্ধি করতে পারে এমন স্পষ্ট রায় প্রকাশ না করা।
§ 4. গাণিতিক শিক্ষার বিষয়বস্তু এবং শিক্ষার্থীদের প্রস্তুতির স্তরের জন্য প্রাথমিক প্রয়োজনীয়তার সিস্টেমে শিক্ষামূলক গবেষণা
পরামিতি সহ সমীকরণ এবং অসমতা বাস্তব গবেষণা কাজের জন্য চমৎকার উপাদান। কিন্তু স্কুল পাঠ্যক্রম একটি পৃথক বিষয় হিসাবে প্যারামিটারের সমস্যা অন্তর্ভুক্ত করে না।
আসুন পরামিতিগুলির সাথে সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য শেখার সাথে সম্পর্কিত সমস্যাগুলি চিহ্নিত করার দৃষ্টিকোণ থেকে রাশিয়ান স্কুলগুলির শিক্ষাগত মানের বিভিন্ন বিভাগগুলি বিশ্লেষণ করি।
প্রোগ্রামের বিষয়বস্তু অধ্যয়ন করা প্রাথমিক বিদ্যালয়ের ছাত্রদের "পরামিটারগুলির সাথে একটি সমস্যা সম্পর্কে প্রাথমিক ধারণা পেতে পারে যা রৈখিক এবং চতুর্ঘাতে হ্রাস করা যেতে পারে" এবং কীভাবে ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করতে হয় তা শিখতে এবং স্থানাঙ্ক সমতলে এই গ্রাফগুলির অবস্থান অন্বেষণ করতে পারে সূত্রে অন্তর্ভুক্ত পরামিতিগুলির মান।
"ফাংশন" লাইনটি "প্যারামিটার" শব্দটি উল্লেখ করে না কিন্তু বলে যে ছাত্রদের "ফাংশনের জ্ঞান সংগঠিত এবং বিকাশ করার সুযোগ রয়েছে; একটি গ্রাফিক সংস্কৃতি বিকাশ করুন, গ্রাফগুলিকে সাবলীলভাবে "পড়তে" শিখুন, গ্রাফে একটি ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রতিফলিত করুন৷
আলিমভ শ এট আল সামান্য মনোযোগ দেওয়া হয়েছে। 7 ম শ্রেণীর পাঠ্যপুস্তকে একটি রৈখিক সমীকরণের মূল সংখ্যার প্রশ্ন অধ্যয়ন করার জন্য, মানগুলির উপর নির্ভর করে একটি রৈখিক ফাংশন y = kh এবং y = kh + b এর গ্রাফের অবস্থানের নির্ভরতা অধ্যয়ন করার জন্য বেশ কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে। k এর 8-9 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তকগুলিতে, "পাঠ্যক্রম বহির্ভূত কাজের সমস্যা" বা "পুনরাবৃত্তি অনুশীলন" এর মতো বিভাগে, 2-3টি কাজ দেওয়া হয়েছে পরামিতি সহ দ্বিঘাত এবং দ্বি-বিভক্ত সমীকরণের মূল অধ্যয়নের জন্য, একটি গ্রাফের অবস্থান পরামিতিগুলির মানের উপর নির্ভর করে দ্বিঘাত ফাংশন।
গভীরভাবে অধ্যয়ন সহ স্কুল এবং ক্লাসগুলির জন্য গণিত প্রোগ্রামে, ব্যাখ্যামূলক নোটে বলা হয়েছে ""শিক্ষার্থীদের গাণিতিক প্রস্তুতির জন্য প্রয়োজনীয়তা" বিভাগটি আনুমানিক পরিমাণ জ্ঞান, দক্ষতা এবং দক্ষতা নির্ধারণ করে যা স্কুলছাত্রীদের অবশ্যই আয়ত্ত করতে হবে। এই সুযোগের মধ্যে অবশ্যই সেইসব জ্ঞান, ক্ষমতা এবং দক্ষতা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যেগুলো বাধ্যতামূলক অর্জন সকল শিক্ষার্থীর জন্য সাধারণ শিক্ষা স্কুল প্রোগ্রামের প্রয়োজনীয়তা দ্বারা সরবরাহ করা হয়; যাইহোক, তাদের গঠনের একটি ভিন্ন, উচ্চ মানের প্রস্তাব করা হয়েছে। শিক্ষার্থীদের অবশ্যই জটিলতার প্রয়োজনীয় স্তরের চেয়ে উচ্চ স্তরের জটিলতার সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা অর্জন করতে হবে, তারা যে তাত্ত্বিক নীতিগুলি অধ্যয়ন করেছে তা সঠিকভাবে এবং দক্ষতার সাথে প্রণয়ন করতে হবে এবং সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় তাদের নিজস্ব যুক্তি উপস্থাপন করতে হবে..."
গণিতের উন্নত অধ্যয়নের শিক্ষার্থীদের জন্য কিছু পাঠ্যপুস্তক বিশ্লেষণ করা যাক।
এই ধরনের সমস্যাগুলির প্রণয়ন এবং তাদের সমাধানগুলি স্কুল পাঠ্যক্রমের সীমার বাইরে যায় না, তবে শিক্ষার্থীরা যে সমস্যার সম্মুখীন হয় তা ব্যাখ্যা করা হয়, প্রথমত, একটি প্যারামিটারের উপস্থিতি দ্বারা এবং দ্বিতীয়ত, সমাধান এবং উত্তরগুলির শাখা দ্বারা। যাইহোক, পরামিতিগুলির সাথে সমস্যা সমাধানের অনুশীলনটি স্বাধীন যৌক্তিক চিন্তাভাবনা এবং গাণিতিক সংস্কৃতিকে সমৃদ্ধ করার ক্ষমতা বিকাশ এবং শক্তিশালী করার জন্য দরকারী।
স্কুলে সাধারণ শিক্ষার ক্লাসে, একটি নিয়ম হিসাবে, এই জাতীয় কাজগুলিতে নগণ্য মনোযোগ দেওয়া হয়। যেহেতু পরামিতিগুলির সাথে সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করা, সম্ভবত, প্রাথমিক গণিতের একটি কোর্সের সবচেয়ে কঠিন অধ্যায়, তাই স্কুলছাত্রদের জন্য প্যারামিটারের সাহায্যে এই জাতীয় সমস্যাগুলি সমাধান করা শেখানো খুব কমই যুক্তিযুক্ত, তবে শক্তিশালী ছাত্র যারা আগ্রহ, প্রবণতা এবং দক্ষতা দেখায়। গণিত, যারা স্বাধীনভাবে কাজ করার চেষ্টা করে, শেখায় এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য এটি অবশ্যই প্রয়োজন। কাজেই, স্কুলের গণিতের কোর্সের ক্রিয়ামূলক, সংখ্যাসূচক, জ্যামিতিক, সমীকরণের রেখা এবং অভিন্ন রূপান্তরের রেখার মতো ঐতিহ্যগত বিষয়বস্তু-পদ্ধতিগত রেখাগুলির সাথে, পরামিতিগুলির লাইনকেও একটি নির্দিষ্ট অবস্থান নিতে হবে। বিষয়বস্তুর বিষয়বস্তু এবং "প্যারামিটারের সমস্যা" বিষয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য প্রয়োজনীয়তা অবশ্যই, পুরো ক্লাসের এবং প্রতিটি ব্যক্তির গাণিতিক প্রস্তুতির স্তর দ্বারা নির্ধারিত হওয়া উচিত।
শিক্ষককে অবশ্যই স্কুলছাত্রদের চাহিদা এবং অনুরোধ মেটাতে সাহায্য করতে হবে যারা এই বিষয়ে আগ্রহ, যোগ্যতা এবং দক্ষতা দেখায়। শিক্ষার্থীদের আগ্রহের বিষয়ে, পরামর্শ, ক্লাব, অতিরিক্ত ক্লাস এবং ইলেকটিভের আয়োজন করা যেতে পারে। এটি পরামিতিগুলির সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে সম্পূর্ণরূপে প্রযোজ্য।
§ 5. স্কুলছাত্রীদের জ্ঞানীয় কার্যকলাপের কাঠামোতে শিক্ষাগত গবেষণা
এই মুহুর্তে, একজন শিক্ষার্থীকে প্রস্তুত করার বিষয় যিনি শিক্ষকের প্রয়োজনীয়তার বাইরে স্বাধীনভাবে কাজ করার চেষ্টা করেন, যিনি তার আগ্রহ এবং সক্রিয় গবেষণার পরিধি তাকে দেওয়া শিক্ষাগত উপাদানের মধ্যে সীমাবদ্ধ করেন না, যিনি কীভাবে উপস্থাপন করতে এবং যুক্তিযুক্তভাবে জানেন। একটি নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য তার সমাধানকে রক্ষা করুন, যিনি জানেন কিভাবে নির্দিষ্ট করতে বা, বিপরীতভাবে, বিবেচনাধীন ফলাফলকে সাধারণীকরণ করতে, কারণ-এবং-প্রভাব সম্পর্ক সনাক্তকরণ ইত্যাদি। -বয়সী শিশুরা, শিক্ষার্থীদের মানসিক ক্রিয়াকলাপের প্রক্রিয়া পরিচালনার সমস্যাটি পরীক্ষা করে, স্বাধীনভাবে জ্ঞান অর্জনের জন্য তাদের দক্ষতা গঠন এবং বিকাশ করে, জ্ঞান প্রয়োগ করে, এটি পুনরায় পূরণ করে এবং এটিকে পদ্ধতিগত করে, স্কুলছাত্রীদের জ্ঞানীয় ক্রিয়াকলাপের ক্রিয়াকলাপ বাড়ানোর সমস্যা (এলএস ভাইগোটস্কি, P. Ya Krutetsky, N.A. Menchinskaya, S.L. Rubinstein, L.M. Friedman, ইত্যাদি)।
শিক্ষাদানের গবেষণা পদ্ধতিতে দুটি গবেষণা পদ্ধতি রয়েছে: শিক্ষামূলক এবং বৈজ্ঞানিক।
একটি স্কুল গণিত কোর্সের সমস্যাগুলির একটি উল্লেখযোগ্য অংশের সমাধান অনুমান করে যে ছাত্ররা বর্তমান প্রোগ্রামগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নিয়ম এবং অ্যালগরিদমগুলির দক্ষতা এবং মৌলিক গবেষণা পরিচালনা করার ক্ষমতার মতো গুণাবলী বিকাশ করেছে। বিজ্ঞানের গবেষণা বলতে বোঝায় কোনো বস্তুর অধ্যয়ন যাতে তার সংঘটনের ধরণ এবং রূপান্তরের বিকাশ। গবেষণা প্রক্রিয়ায়, জমে থাকা পূর্ববর্তী অভিজ্ঞতা, বিদ্যমান জ্ঞান, সেইসাথে বস্তু অধ্যয়নের পদ্ধতি এবং পদ্ধতি (কৌশল) ব্যবহার করা হয়। গবেষণার ফলাফল নতুন বৈজ্ঞানিক জ্ঞান অর্জন করা উচিত।
মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে গণিত শেখানোর প্রক্রিয়াতে প্রয়োগ করার সময়, নিম্নলিখিতগুলি লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ: শিক্ষাগত গবেষণার প্রধান উপাদানগুলির মধ্যে রয়েছে একটি গবেষণা সমস্যা প্রণয়ন, এর লক্ষ্য সম্পর্কে সচেতনতা, বিবেচনাধীন ইস্যুতে উপলব্ধ তথ্যের প্রাথমিক বিশ্লেষণ, গবেষণা সমস্যার কাছাকাছি সমস্যা সমাধানের জন্য শর্ত এবং পদ্ধতি, প্রাথমিক অনুমান প্রস্তাব করা এবং প্রণয়ন করা, অধ্যয়নের সময় প্রাপ্ত ফলাফলের বিশ্লেষণ এবং সাধারণীকরণ, প্রাপ্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে প্রাথমিক অনুমানের যাচাইকরণ, নতুন ফলাফলের চূড়ান্ত প্রণয়ন, নিদর্শন, বৈশিষ্ট্য , বিদ্যমান জ্ঞানের সিস্টেমে উদ্ভূত সমস্যার সমাধানের স্থান নির্ধারণ। শিক্ষাগত গবেষণার বিষয়গুলির মধ্যে প্রধান স্থানটি স্কুলের গণিত কোর্সের সেই ধারণাগুলি এবং সম্পর্কগুলির দ্বারা দখল করা হয়, যা অধ্যয়নের প্রক্রিয়াতে তাদের পরিবর্তন এবং রূপান্তরের নিদর্শনগুলি, তাদের বাস্তবায়নের শর্তগুলি, স্বতন্ত্রতা ইত্যাদি প্রকাশিত হয়।
উদ্দেশ্যমূলকভাবে পর্যবেক্ষণ করার, তুলনা করার, সামনে রাখা, একটি অনুমানকে প্রমাণ বা খণ্ডন করার ক্ষমতা, সাধারণীকরণ করার ক্ষমতা ইত্যাদির মতো গবেষণা দক্ষতা গঠনে গুরুতর সম্ভাবনা রয়েছে, একটি জ্যামিতি কোর্স, সমীকরণ এবং পরামিতিগুলির সাথে অসমতা তৈরি করার কাজ রয়েছে। একটি বীজগণিত কোর্স, তথাকথিত গতিশীল সমস্যা, যার সমাধানের প্রক্রিয়ায় শিক্ষার্থীরা মানসিক ক্রিয়াকলাপের প্রাথমিক কৌশলগুলি আয়ত্ত করে: বিশ্লেষণ, সংশ্লেষণ (সংশ্লেষণের মাধ্যমে বিশ্লেষণ, বিশ্লেষণের মাধ্যমে সংশ্লেষণ), সাধারণীকরণ, স্পেসিফিকেশন ইত্যাদি উদ্দেশ্যমূলকভাবে পরিবর্তনশীল বস্তুগুলি পর্যবেক্ষণ করে। , সামনে রাখে এবং বিবেচনাধীন বস্তুর বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত একটি অনুমান প্রণয়ন করে, সামনে রাখা অনুমান পরীক্ষা করে, পূর্বে অর্জিত জ্ঞানের সিস্টেমে শেখা ফলাফলের স্থান নির্ধারণ করে, এর ব্যবহারিক তাত্পর্য। শিক্ষক দ্বারা শিক্ষাগত গবেষণার সংগঠন নিষ্পত্তিমূলক গুরুত্ব। মানসিক ক্রিয়াকলাপের শিক্ষণ পদ্ধতি, গবেষণার উপাদানগুলি সম্পাদন করার ক্ষমতা - এই লক্ষ্যগুলি ক্রমাগত শিক্ষকের দৃষ্টি আকর্ষণ করে, তাকে বিবেচনাধীন সমস্যা সমাধানের সাথে সম্পর্কিত অনেক পদ্ধতিগত প্রশ্নের উত্তর খুঁজে পেতে উত্সাহিত করে।
প্রোগ্রামের অনেক বিষয় অধ্যয়ন একটি নির্দিষ্ট সমস্যা বিবেচনার সাথে যুক্ত একটি আরও সামগ্রিক এবং সম্পূর্ণ চিত্র তৈরি করার জন্য চমৎকার সুযোগ প্রদান করে।
শিক্ষাগত গবেষণার প্রক্রিয়ায়, গাণিতিক বস্তুর অধ্যয়নে শিক্ষার্থীর দ্বারা সঞ্চিত জ্ঞান এবং অভিজ্ঞতা সংশ্লেষিত হয়। একজন শিক্ষার্থীর শিক্ষাগত গবেষণা সংগঠিত করার ক্ষেত্রে সিদ্ধান্তমূলক গুরুত্ব হল তার মনোযোগ আকর্ষণ করা (প্রথমে অনিচ্ছাকৃত এবং তারপরে স্বেচ্ছায়), পর্যবেক্ষণের জন্য শর্ত তৈরি করা: গভীর সচেতনতা নিশ্চিত করা, কাজের প্রতি শিক্ষার্থীর প্রয়োজনীয় মনোভাব, অধ্যয়নের উদ্দেশ্য ("https:/ /সাইট", 9)।
স্কুলের গণিত শিক্ষায়, শিক্ষাগত গবেষণার দুটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত স্তর রয়েছে: অভিজ্ঞতামূলক এবং তাত্ত্বিক। প্রথমটি পৃথক ঘটনা পর্যবেক্ষণ, তাদের শ্রেণীবিভাগ এবং তাদের মধ্যে একটি যৌক্তিক সংযোগ স্থাপনের দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা অভিজ্ঞতা দ্বারা যাচাইযোগ্য। শিক্ষাগত গবেষণার তাত্ত্বিক স্তর ভিন্ন যে ফলস্বরূপ শিক্ষার্থী সাধারণ গাণিতিক আইন প্রণয়ন করে, যার ভিত্তিতে কেবল নতুন তথ্যই নয়, অভিজ্ঞতামূলক স্তরে প্রাপ্ত বিষয়গুলিও আরও গভীরভাবে ব্যাখ্যা করা হয়।
শিক্ষাগত গবেষণা পরিচালনার জন্য শিক্ষার্থীর উভয় নির্দিষ্ট পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে, শুধুমাত্র গণিতের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত এবং সাধারণ পদ্ধতি; বিশ্লেষণ, সংশ্লেষণ, আনয়ন, কর্তন, ইত্যাদি, বিভিন্ন স্কুল শাখার বস্তু এবং ঘটনা অধ্যয়নে ব্যবহৃত হয়।
শিক্ষক দ্বারা শিক্ষাগত গবেষণার সংগঠন নিষ্পত্তিমূলক গুরুত্ব। মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে গণিত শেখানোর প্রক্রিয়ার প্রয়োগে, নিম্নলিখিতগুলি লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ: শিক্ষাগত গবেষণার প্রধান উপাদানগুলির মধ্যে রয়েছে একটি গবেষণা সমস্যা প্রণয়ন, এর লক্ষ্য সম্পর্কে সচেতনতা, বিবেচনাধীন সমস্যাটির উপর উপলব্ধ তথ্যের প্রাথমিক বিশ্লেষণ, গবেষণা সমস্যার কাছাকাছি সমস্যা সমাধানের শর্ত এবং পদ্ধতি, প্রাথমিক অনুমান প্রস্তাব করা এবং প্রণয়ন করা, অধ্যয়নের সময় প্রাপ্ত ফলাফলের বিশ্লেষণ এবং সাধারণীকরণ, প্রাপ্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে প্রাথমিক অনুমানের যাচাইকরণ, নতুন ফলাফলের চূড়ান্ত প্রণয়ন, নিদর্শন, বৈশিষ্ট্য, বিদ্যমান জ্ঞান ব্যবস্থায় উদ্ভূত সমস্যার সমাধানের স্থান নির্ধারণ। শিক্ষাগত গবেষণার বিষয়গুলির মধ্যে প্রধান স্থানটি স্কুলের গণিত কোর্সের সেই ধারণাগুলি এবং সম্পর্কগুলির দ্বারা দখল করা হয়, যা অধ্যয়নের প্রক্রিয়াতে তাদের পরিবর্তন এবং রূপান্তরের নিদর্শনগুলি, তাদের বাস্তবায়নের শর্তগুলি, স্বতন্ত্রতা ইত্যাদি প্রকাশিত হয়।
বীজগণিত কোর্সে অধ্যয়নকৃত ফাংশনগুলির অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত উপাদান শিক্ষাগত গবেষণার জন্য উপযুক্ত। একটি উদাহরণ হিসাবে, একটি লিনিয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন।
অ্যাসাইনমেন্ট: জোড় এবং বিজোড়ের জন্য একটি রৈখিক ফাংশন পরীক্ষা করুন। ইঙ্গিত: নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন:
2) a = 0 এবং b? 0;
3) ক? 0 এবং b = 0;
4) ক? 0 এবং খ?
গবেষণার ফলস্বরূপ, সারি এবং কলামের সংযোগস্থলে প্রাপ্ত ফলাফল নির্দেশ করে, টেবিলটি পূরণ করুন।
সমাধানের ফলস্বরূপ, শিক্ষার্থীদের নিম্নলিখিত সারণী পাওয়া উচিত:
এমনকি বিজোড় | ||
অস্বাভাবিক | জোড় বা বিজোড়ও নয় |
এর প্রতিসাম্য ভরাটের সঠিকতায় সন্তুষ্টি এবং আত্মবিশ্বাসের অনুভূতি জাগিয়ে তোলে।
মানসিক ক্রিয়াকলাপের পদ্ধতিগুলির গঠন স্কুলছাত্রীদের সামগ্রিক বিকাশে এবং তাদের মধ্যে শিক্ষাগত গবেষণা পরিচালনার দক্ষতা (সাধারণভাবে বা টুকরো টুকরো) গড়ে তোলার জন্য উভয় ক্ষেত্রেই একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
শিক্ষাগত গবেষণার ফলাফল বিবেচনাধীন বস্তুর বৈশিষ্ট্য (সম্পর্ক) এবং তাদের ব্যবহারিক প্রয়োগ সম্পর্কে বিষয়গতভাবে নতুন জ্ঞান। এই বৈশিষ্ট্যগুলি উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিত পাঠ্যক্রমের অন্তর্ভুক্ত হতে পারে বা নাও থাকতে পারে। এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে একজন শিক্ষার্থীর কার্যকলাপের ফলাফলের অভিনবত্ব ক্রিয়াকলাপ চালানোর উপায় অনুসন্ধানের প্রকৃতি, ক্রিয়াকলাপের পদ্ধতি এবং জ্ঞান ব্যবস্থায় প্রাপ্ত ফলাফলের স্থান উভয় দ্বারা নির্ধারিত হয়। সেই ছাত্রের।
শিক্ষাগত গবেষণা ব্যবহার করে গণিত শেখানোর পদ্ধতিকে গবেষণা বলা হয়, শিক্ষামূলক গবেষণা প্রকল্পটি সম্পূর্ণ বা খণ্ডিতভাবে বাস্তবায়িত হোক না কেন।
শিক্ষাগত গবেষণার প্রতিটি পর্যায় বাস্তবায়ন করার সময়, কার্য সম্পাদন এবং সৃজনশীল উভয় ক্রিয়াকলাপের উপাদান অপরিহার্যভাবে উপস্থিত থাকে। একজন ছাত্র স্বাধীনভাবে একটি নির্দিষ্ট অধ্যয়ন পরিচালনা করার ক্ষেত্রে এটি সবচেয়ে স্পষ্টভাবে পরিলক্ষিত হয়। এছাড়াও, শিক্ষাগত গবেষণার সময়, কিছু পর্যায় শিক্ষক দ্বারা বাস্তবায়ন করা যেতে পারে, অন্যটি ছাত্র নিজেই। স্বাধীনতার স্তরটি অনেকগুলি কারণের উপর নির্ভর করে, বিশেষত, গঠনের স্তরের উপর, একটি নির্দিষ্ট বস্তু (প্রক্রিয়া) পর্যবেক্ষণ করার ক্ষমতা, একই বিষয়ে মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করার ক্ষমতা, কখনও কখনও বেশ দীর্ঘ সময়ের জন্য, ক্ষমতা। একটি সমস্যা দেখুন, স্পষ্টভাবে এবং দ্ব্যর্থহীনভাবে প্রণয়ন করুন, উপযুক্ত (কখনও কখনও অপ্রত্যাশিত) সমিতিগুলি খুঁজে বের করার এবং ব্যবহার করার ক্ষমতা, প্রয়োজনীয় তথ্য নির্বাচন করার জন্য বিদ্যমান জ্ঞানকে কেন্দ্রীভূতভাবে বিশ্লেষণ করার ক্ষমতা ইত্যাদি।
তার গবেষণা কার্যক্রমের সাফল্যের উপর একজন শিক্ষার্থীর কল্পনা, অন্তর্দৃষ্টি, অনুপ্রেরণা, ক্ষমতা (এবং সম্ভবত প্রতিভা বা প্রতিভা) এর প্রভাবকে অত্যধিক মূল্যায়ন করাও অসম্ভব।
§ 6 . শিক্ষাদান পদ্ধতি পদ্ধতিতে গবেষণা
এক ডজনেরও বেশি মৌলিক অধ্যয়ন শিক্ষণ পদ্ধতিতে নিবেদিত হয়েছে, যার উপর শিক্ষক এবং স্কুলের কাজের যথেষ্ট সাফল্য নির্ভর করে। এবং, এই সত্ত্বেও, শিক্ষার তত্ত্ব এবং শিক্ষাগত অনুশীলন উভয় ক্ষেত্রেই শিক্ষার পদ্ধতির সমস্যাটি খুব প্রাসঙ্গিক থেকে যায়। শিক্ষাদান পদ্ধতির ধারণাটি বেশ জটিল। এটি প্রক্রিয়াটির ব্যতিক্রমী জটিলতার কারণে যা এই বিভাগটি প্রতিফলিত করার উদ্দেশ্যে করা হয়েছে। অনেক লেখক শিক্ষণ পদ্ধতিকে শিক্ষার্থীদের শিক্ষাগত এবং জ্ঞানীয় কার্যকলাপ সংগঠিত করার একটি উপায় বলে মনে করেন।
"পদ্ধতি" শব্দটি গ্রীক উত্সের এবং রাশিয়ান ভাষায় অনুবাদের অর্থ গবেষণা, পদ্ধতি। "পদ্ধতি - সবচেয়ে সাধারণ অর্থে - একটি লক্ষ্য অর্জনের একটি উপায়, ক্রিয়াকলাপ অর্ডার করার একটি নির্দিষ্ট উপায়।" এটা স্পষ্ট যে শেখার প্রক্রিয়ায় পদ্ধতিটি নির্দিষ্ট শিক্ষাগত লক্ষ্য অর্জনের জন্য শিক্ষক এবং ছাত্রদের কার্যকলাপের মধ্যে একটি সংযোগ হিসাবে কাজ করে। এই দৃষ্টিকোণ থেকে, প্রতিটি শিক্ষণ পদ্ধতিতে শিক্ষকের শিক্ষার কাজ (উপস্থাপনা, অধ্যয়ন করা উপাদানের ব্যাখ্যা) এবং শিক্ষার্থীদের সক্রিয় শিক্ষাগত এবং জ্ঞানীয় কার্যকলাপের সংগঠন অন্তর্ভুক্ত থাকে। সুতরাং, শিক্ষণ পদ্ধতির ধারণাটি প্রতিফলিত করে:
1. শিক্ষকের শিক্ষাদানের পদ্ধতি এবং তাদের পারস্পরিক সম্পর্কের মধ্যে শিক্ষার্থীদের শিক্ষামূলক কাজের পদ্ধতি।
2. বিভিন্ন শিক্ষার লক্ষ্য অর্জনের জন্য তাদের কাজের সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য। এইভাবে, শিক্ষণ পদ্ধতি হল শিক্ষক এবং ছাত্রদের মধ্যে যৌথ কার্যকলাপের উপায় যা শেখার সমস্যা সমাধানের লক্ষ্যে, অর্থাৎ শিক্ষামূলক কাজগুলি।
অর্থাৎ, শিক্ষাদানের পদ্ধতিগুলিকে শিক্ষকের শিক্ষাদানের কাজের পদ্ধতি এবং অধ্যয়ন করা বিষয়বস্তুকে আয়ত্ত করার লক্ষ্যে বিভিন্ন শিক্ষামূলক কাজগুলি সমাধান করার জন্য শিক্ষার্থীদের শিক্ষাগত এবং জ্ঞানীয় ক্রিয়াকলাপের সংগঠন হিসাবে বোঝা উচিত। আধুনিক শিক্ষাবিজ্ঞানের একটি গুরুতর সমস্যা হল শিক্ষা পদ্ধতির শ্রেণীবিভাগের সমস্যা। বর্তমানে এই বিষয়ে কোন একক দৃষ্টিভঙ্গি নেই। এই কারণে যে বিভিন্ন লেখক বিভিন্ন মানদণ্ডের ভিত্তিতে শিক্ষণ পদ্ধতির গোষ্ঠী এবং উপগোষ্ঠীতে বিভাজন করেছেন, সেখানে বেশ কয়েকটি শ্রেণিবিন্যাস রয়েছে। কিন্তু সোভিয়েত শিক্ষাবিদ্যায় 20 এর দশকে পুরানো স্কুলে বিকশিত স্কলাস্টিক শিক্ষাদান এবং যান্ত্রিক রোট শেখার পদ্ধতিগুলির বিরুদ্ধে লড়াই হয়েছিল এবং এমন পদ্ধতিগুলির জন্য একটি অনুসন্ধান করা হয়েছিল যা শিক্ষার্থীদের সচেতন, সক্রিয় এবং সৃজনশীল জ্ঞান অর্জন নিশ্চিত করবে। সেই বছরগুলিতেই শিক্ষক বি.ভি. ভিয়েভিয়াটস্কি এই অবস্থানটি বিকাশ করেছিলেন যে শিক্ষাদানে কেবল দুটি পদ্ধতি থাকতে পারে: গবেষণা পদ্ধতি এবং তৈরি জ্ঞানের পদ্ধতি। রেডিমেড জ্ঞানের পদ্ধতি স্বাভাবিকভাবেই সমালোচিত হয়েছিল। গবেষণা পদ্ধতি, যার সারমর্মটি এই সত্যে ফুটে উঠেছে যে শিক্ষার্থীদের অধ্যয়ন করা ঘটনাটির পর্যবেক্ষণ এবং বিশ্লেষণের ভিত্তিতে, স্বাধীনভাবে প্রয়োজনীয় সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর ভিত্তিতে সমস্ত কিছু শিখতে হবে, এটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ শিক্ষার পদ্ধতি হিসাবে স্বীকৃত হয়েছিল। শ্রেণীকক্ষে একই গবেষণা পদ্ধতি সব বিষয়ে প্রয়োগ নাও হতে পারে।
এছাড়াও, এই পদ্ধতির সারমর্ম হল যে শিক্ষক একটি সমস্যাযুক্ত সমস্যাটিকে উপ-সমস্যাগুলিতে ভেঙে দেন এবং শিক্ষার্থীরা এর সমাধান খুঁজে বের করার জন্য পৃথক পদক্ষেপগুলি চালায়। প্রতিটি ধাপে সৃজনশীল ক্রিয়াকলাপ জড়িত, কিন্তু এখনও সমস্যার কোনো সামগ্রিক সমাধান নেই। গবেষণার সময়, শিক্ষার্থীরা বৈজ্ঞানিক জ্ঞানের পদ্ধতিগুলি আয়ত্ত করে এবং গবেষণা কার্যক্রমে অভিজ্ঞতা বিকাশ করে। এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে প্রশিক্ষিত ছাত্রদের কার্যকলাপ হল স্বাধীনভাবে সমস্যা প্রকাশ করার, তাদের সমাধানের উপায় খুঁজে বের করার, গবেষণার কাজগুলি, শিক্ষকদের তাদের কাছে যে সমস্যাগুলি উপস্থাপন করে তা প্রকাশ করা এবং বিকাশ করার কৌশলগুলি আয়ত্ত করা।
এটাও লক্ষ করা যায় যে মনোবিজ্ঞান উন্নয়নমূলক মনোবিজ্ঞানের সাথে কিছু নিদর্শন স্থাপন করে। আপনি পদ্ধতি ব্যবহার করে শিক্ষার্থীদের সাথে কাজ শুরু করার আগে, আপনাকে তাদের উন্নয়নমূলক মনোবিজ্ঞান অধ্যয়নের পদ্ধতিগুলি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে অধ্যয়ন করতে হবে। এই পদ্ধতিগুলির সাথে পরিচিতি এই প্রক্রিয়াটির সংগঠকদের জন্য সরাসরি ব্যবহারিক সুবিধার হতে পারে, যেহেতু এই পদ্ধতিগুলি শুধুমাত্র নিজের বৈজ্ঞানিক গবেষণার জন্যই নয়, ব্যবহারিক শিক্ষাগত উদ্দেশ্যে শিশুদের গভীরভাবে অধ্যয়নের আয়োজন করার জন্যও উপযুক্ত। প্রশিক্ষণ এবং শিক্ষার জন্য একটি স্বতন্ত্র দৃষ্টিভঙ্গি শিক্ষার্থীদের স্বতন্ত্র মনস্তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য এবং তাদের ব্যক্তিত্বের স্বতন্ত্রতা সম্পর্কে ভাল জ্ঞান এবং বোঝার অনুমান করে। ফলস্বরূপ, শিক্ষককে ছাত্রদের অধ্যয়ন করার ক্ষমতা আয়ত্ত করতে হবে, একটি ধূসর, একজাতীয় শিক্ষার্থীর ভর নয়, বরং একটি সমষ্টিগত যা প্রত্যেকে বিশেষ, স্বতন্ত্র এবং অনন্য কিছু প্রতিনিধিত্ব করে। এই ধরনের অধ্যয়ন প্রতিটি শিক্ষকের কাজ, কিন্তু এটি এখনও সঠিকভাবে সংগঠিত করা প্রয়োজন।
সংগঠনের অন্যতম প্রধান পদ্ধতি হল পর্যবেক্ষণ পদ্ধতি। অবশ্যই, মানসিকতা সরাসরি পর্যবেক্ষণ করা যায় না। এই পদ্ধতিতে তার আচরণের অধ্যয়নের মাধ্যমে মানুষের মানসিকতার স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্যের পরোক্ষ জ্ঞান জড়িত। অর্থাৎ, এখানে শিক্ষার্থীর স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য (ক্রিয়া, কাজ, বক্তৃতা, চেহারা ইত্যাদি), শিক্ষার্থীর মানসিক অবস্থা (উপলব্ধি, স্মৃতি, চিন্তাভাবনা, কল্পনা ইত্যাদি) এবং এর দ্বারা বিচার করা প্রয়োজন। তার ব্যক্তিত্বের বৈশিষ্ট্য, মেজাজ, চরিত্র। এই সব ছাত্রের জন্য প্রয়োজনীয় যার সাথে শিক্ষক কিছু কাজ সম্পাদন করার সময় শিক্ষাদানের গবেষণা পদ্ধতি ব্যবহার করে কাজ করেন।
একটি স্কুলের গণিত কোর্সের সমস্যাগুলির একটি উল্লেখযোগ্য অংশের সমাধান অনুমান করে যে ছাত্ররা বর্তমান প্রোগ্রামগুলির সাথে সামঞ্জস্য রেখে নিয়ম এবং অ্যালগরিদমের কার্যকারিতা এবং মৌলিক গবেষণা পরিচালনা করার ক্ষমতার মতো গুণাবলী বিকাশ করেছে। বিজ্ঞানে গবেষণা বলতে একটি বস্তুর ঘটনা, বিকাশ এবং রূপান্তরের ধরণ সনাক্ত করার জন্য অধ্যয়ন করাকে বোঝায়। গবেষণা প্রক্রিয়ায়, জমে থাকা পূর্ববর্তী অভিজ্ঞতা, বিদ্যমান জ্ঞান, সেইসাথে বস্তু অধ্যয়নের পদ্ধতি এবং পদ্ধতি (কৌশল) ব্যবহার করা হয়। গবেষণার ফলাফল নতুন বৈজ্ঞানিক জ্ঞান অর্জন করা উচিত। মানসিক ক্রিয়াকলাপের শিক্ষণ পদ্ধতি, গবেষণার উপাদানগুলি সম্পাদন করার ক্ষমতা - এই লক্ষ্যগুলি ক্রমাগত শিক্ষকের দৃষ্টি আকর্ষণ করে, তাকে বিবেচনাধীন সমস্যা সমাধানের সাথে সম্পর্কিত অনেক পদ্ধতিগত প্রশ্নের উত্তর খুঁজে পেতে উত্সাহিত করে। প্রোগ্রামের অনেকগুলি বিষয় অধ্যয়ন করা একটি নির্দিষ্ট কাজের বিবেচনার সাথে যুক্ত আরও সামগ্রিক এবং সম্পূর্ণ চিত্র তৈরি করার দুর্দান্ত সুযোগ দেয়। গণিত শেখানোর গবেষণা পদ্ধতি স্বাভাবিকভাবেই শিক্ষার্থীদের কার্যকলাপের প্রকৃতি এবং তাদের জ্ঞানীয় স্বাধীনতার মাত্রার উপর নির্ভর করে শিক্ষণ পদ্ধতির শ্রেণীবিভাগের সাথে খাপ খায়। একজন শিক্ষার্থীর গবেষণা কার্যক্রম সফলভাবে সংগঠিত করার জন্য, শিক্ষককে অবশ্যই তার ব্যক্তিগত গুণাবলী এবং এই ধরনের কার্যকলাপের পদ্ধতিগত বৈশিষ্ট্য, সেইসাথে অধ্যয়ন করা কোর্সের উপাদানে শিক্ষার্থীর দক্ষতার স্তর উভয়ই বুঝতে হবে এবং বিবেচনা করতে হবে। একজন ছাত্রের কল্পনা, অন্তর্দৃষ্টি, অনুপ্রেরণা, এবং তার গবেষণা কার্যক্রমের সাফল্যের উপর ক্ষমতার প্রভাবকে অত্যধিক মূল্যায়ন করা অসম্ভব।
গবেষণা পদ্ধতিতে কাজের ফর্ম ভিন্ন হতে পারে। এগুলি এমন কাজ হতে পারে যা ক্লাসে এবং বাড়িতে দ্রুত সমাধান করা যেতে পারে, অথবা এমন কাজগুলি যেগুলির জন্য একটি সম্পূর্ণ পাঠের প্রয়োজন। বেশিরভাগ গবেষণা কার্যগুলি ছোট অনুসন্ধান অ্যাসাইনমেন্ট হওয়া উচিত যেগুলির জন্য গবেষণা প্রক্রিয়ার সমস্ত বা সর্বাধিক ধাপগুলি সম্পূর্ণ করা প্রয়োজন৷ তাদের সম্পূর্ণ সমাধান নিশ্চিত করবে যে গবেষণা পদ্ধতিটি তার কার্যাবলী পূরণ করে। গবেষণা প্রক্রিয়ার পর্যায়গুলি নিম্নরূপ:
1 উদ্দেশ্যপূর্ণ পর্যবেক্ষণ এবং ঘটনা এবং ঘটনা তুলনা.
অজানা ঘটনা সনাক্তকরণ তদন্ত করা হবে.
বিবেচনাধীন ইস্যুতে উপলব্ধ তথ্যের প্রাথমিক বিশ্লেষণ।
4. একটি অনুমানের প্রস্তাবনা এবং প্রণয়ন।
5. একটি গবেষণা পরিকল্পনা নির্মাণ।
পরিকল্পনার বাস্তবায়ন, অন্যদের সাথে অধ্যয়ন করা ঘটনার সংযোগগুলি স্পষ্ট করে।
বিদ্যমান জ্ঞানের সিস্টেমে নির্ধারিত গবেষণার জন্য নতুন ফলাফল, নিদর্শন, বৈশিষ্ট্য, প্রাপ্ত সমাধানের স্থান নির্ধারণ।
খুঁজে পাওয়া সমাধান পরীক্ষা.
নতুন জ্ঞানের সম্ভাব্য প্রয়োগ সম্পর্কে ব্যবহারিক সিদ্ধান্ত।
§ 7 . সিস্টেমে গবেষণা করার ক্ষমতাআমাদের বিশেষ জ্ঞান আছে
দক্ষতা হল শিক্ষার্থীর জ্ঞান এবং দক্ষতার সচেতন প্রয়োগ যা বিভিন্ন পরিস্থিতিতে জটিল ক্রিয়া সম্পাদন করার জন্য, অর্থাৎ প্রাসঙ্গিক সমস্যা সমাধানের জন্য, কারণ প্রতিটি জটিল ক্রিয়া সম্পাদন ছাত্রের জন্য সমস্যার সমাধান হিসাবে কাজ করে।
গবেষণা দক্ষতা সাধারণ এবং নির্দিষ্ট বিভক্ত করা যেতে পারে। সাধারণ গবেষণা দক্ষতা, যা গঠন এবং বিকাশ পরামিতিগুলির সাথে সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়াতে ঘটে, এর মধ্যে রয়েছে: একটি প্রদত্ত সমীকরণের পিছনে একটি পরামিতি সহ বিভিন্ন শ্রেণির সমীকরণ দেখার ক্ষমতা, সংখ্যা এবং প্রকারের সাধারণ উপস্থিতি দ্বারা চিহ্নিত শিকড় বিশ্লেষণাত্মক এবং গ্রাফিক-বিশ্লেষণমূলক পদ্ধতি ব্যবহার করার ক্ষমতা।
বিশেষ গবেষণার দক্ষতার মধ্যে এমন দক্ষতা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ায় গঠিত এবং বিকশিত হয়।
একটি প্যারামিটার ধারণকারী রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, নিম্নলিখিত বিশেষ দক্ষতাগুলি গঠিত হয়:
§ বিশেষ প্যারামিটার মান সনাক্ত করার ক্ষমতা যেখানে একটি প্রদত্ত রৈখিক সমীকরণ রয়েছে:
একক মূল;
একটি অসীম সংখ্যক শিকড়;
3) কোন শিকড় নেই;
মূল কাজের ভাষায় উত্তর ব্যাখ্যা করার ক্ষমতা। বিশেষ গবেষণা দক্ষতা, যার গঠন এবং বিকাশ একটি প্যারামিটার ধারণকারী রৈখিক অসমতা সমাধানের প্রক্রিয়ায় ঘটে, এর মধ্যে রয়েছে:
§ অজানা সহগ দেখার ক্ষমতা এবং প্যারামিটারের একটি ফাংশন হিসাবে মুক্ত পদ;
§ বিশেষ প্যারামিটার মান সনাক্ত করার ক্ষমতা যেখানে একটি প্রদত্ত রৈখিক অসমতা একটি সমাধান হিসাবে রয়েছে:
1) ব্যবধান;
2) কোন সমাধান নেই;
§ উত্তরটি মূল কাজের ভাষায় ব্যাখ্যা করার ক্ষমতা, যার গঠন এবং বিকাশ একটি প্যারামিটার সমন্বিত দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের প্রক্রিয়ায় ঘটে:
§ একটি প্যারামিটারের একটি বিশেষ মান সনাক্ত করার ক্ষমতা যেখানে অগ্রণী সহগ শূন্য হয়ে যায়, অর্থাত্ সমীকরণটি রৈখিক হয়ে যায় এবং প্যারামিটারের চিহ্নিত বিশেষ মানের জন্য ফলাফলের সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করার ক্ষমতা;
§ বৈষম্যকারীর চিহ্নের উপর নির্ভর করে প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের উপস্থিতি এবং শিকড়ের সংখ্যার প্রশ্নটি সমাধান করার ক্ষমতা;
§ একটি প্যারামিটারের মাধ্যমে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল প্রকাশ করার ক্ষমতা (যদি পাওয়া যায়);
বিশেষ গবেষণা দক্ষতার মধ্যে, যার গঠন এবং বিকাশ ঘটে একটি প্যারামিটার সমন্বিত ভগ্নাংশ-যুক্তিযুক্ত সমীকরণগুলি সমাধান করার প্রক্রিয়ায় যাকে দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে, এর মধ্যে রয়েছে:
§ একটি প্যারামিটার সম্বলিত ভগ্নাংশের মূলদ সমীকরণকে একটি পরামিতি ধারণকারী দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করার ক্ষমতা।
বিশেষ গবেষণা দক্ষতা, যার গঠন এবং বিকাশ একটি পরামিতি ধারণকারী দ্বিঘাত অসমতা সমাধানের প্রক্রিয়ায় ঘটে:
§ একটি প্যারামিটারের একটি বিশেষ মান সনাক্ত করার ক্ষমতা যেখানে অগ্রণী গুণাঙ্কটি শূন্য হয়ে যায়, অর্থাৎ, অসমতা রৈখিক হয়ে যায় এবং প্যারামিটারের বিশেষ মানের জন্য ফলাফল বৈষম্যের অনেক সমাধান খুঁজে বের করার ক্ষমতা;
§ একটি পরামিতির মাধ্যমে দ্বিঘাত অসমতার সমাধানের সেট প্রকাশ করার ক্ষমতা।
নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে শিক্ষাগত দক্ষতা যা শিক্ষাদান এবং গবেষণার পাশাপাশি গবেষণা দক্ষতায় অনুবাদ করে।
6-7 গ্রেড:
- নতুন অর্জনের পরিস্থিতিতে দ্রুত পুরানো জ্ঞান ব্যবহার করুন;
- অবাধে মানসিক ক্রিয়াগুলির জটিলতা এক উপাদান থেকে অন্য উপাদানে, এক বিষয় থেকে অন্য বিষয়ে স্থানান্তর করা;
অর্জিত জ্ঞান বস্তুর একটি বড় সেট বিতরণ;
জ্ঞানের "পতন" এবং "উন্মোচন" প্রক্রিয়াকে একত্রিত করুন;
উদ্দেশ্যমূলকভাবে এর অংশ এবং অংশে প্রধান চিন্তা হাইলাইট করে পাঠ্যের ধারণাগুলিকে সংক্ষিপ্ত করুন;
তথ্য পদ্ধতিগত এবং শ্রেণীবদ্ধ করা;
— বৈশিষ্ট্যের সিস্টেমের তথ্য তুলনা করুন, মিল এবং পার্থক্য হাইলাইট করুন;
- লিখিত এবং মৌখিক বক্তৃতার সাথে প্রতীকী ভাষা সংযোগ করতে সক্ষম হবেন;
- ভবিষ্যতের কাজের জন্য পদ্ধতিগুলি বিশ্লেষণ এবং পরিকল্পনা করুন;
নতুন জ্ঞানের উপাদানগুলিকে দ্রুত এবং অবাধে "সংযোগ করুন";
পাঠ্যের মূল চিন্তাভাবনা এবং তথ্যগুলি সংক্ষিপ্তভাবে উপস্থাপন করতে সক্ষম হবেন;
- ডায়াগ্রাম, টেবিল, নোট, ইত্যাদির সাহায্যে সিস্টেম-গঠন জ্ঞান থেকে নির্দিষ্ট জ্ঞানে যাওয়ার মাধ্যমে নতুন জ্ঞান অর্জন করুন;
একটি দীর্ঘ শ্রবণ প্রক্রিয়া চলাকালীন রেকর্ডিং বিভিন্ন ফর্ম ব্যবহার করুন;
সর্বোত্তম সমাধান নির্বাচন করুন;
আন্তঃসম্পর্কিত কৌশল ব্যবহার করে প্রমাণ বা খণ্ডন করা;
- বিভিন্ন ধরণের বিশ্লেষণ এবং সংশ্লেষণ ব্যবহার করুন;
- বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্যা বিবেচনা করুন;
- চিন্তার একটি অ্যালগরিদম আকারে একটি রায় প্রকাশ করুন।
শিক্ষার্থীদের চিন্তাভাবনা বা মানসিক বিকাশের প্রক্রিয়াগুলিতে গাণিতিক শিক্ষাকে একটি বিশেষ স্থান দেওয়া উচিত এবং দেওয়া উচিত, কারণ গণিত শেখানোর মাধ্যমগুলি সামগ্রিক ব্যক্তিত্বের অনেকগুলি মৌলিক উপাদান এবং সর্বোপরি চিন্তাভাবনাকে সবচেয়ে কার্যকরভাবে প্রভাবিত করে।
এইভাবে, ছাত্রের চিন্তার বিকাশের দিকে বিশেষ মনোযোগ দেওয়া হয়, যেহেতু এটি অবিকল অন্যান্য সমস্ত মানসিক ক্রিয়াকলাপের সাথে যুক্ত: কল্পনা, মনের নমনীয়তা, চিন্তার প্রশস্ততা এবং গভীরতা ইত্যাদি। আসুন আমরা লক্ষ করি যে, বিবেচনা করার সময় ছাত্র-কেন্দ্রিক শিক্ষার প্রেক্ষাপটে চিন্তার বিকাশ, একজনকে মনে রাখা উচিত যে এই জাতীয় বিকাশ বাস্তবায়নের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল শিক্ষার স্বতন্ত্রীকরণ। এটিই নিশ্চিত করে যে বিভিন্ন বিভাগের শিক্ষার্থীদের মানসিক কার্যকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনায় নেওয়া হয়।
সৃজনশীলতার পথটি স্বতন্ত্র। একই সময়ে, গণিত অধ্যয়নের প্রক্রিয়ায় থাকা সমস্ত শিক্ষার্থীর তার সৃজনশীল প্রকৃতি অনুভব করা উচিত, সৃজনশীল কার্যকলাপের কিছু দক্ষতার সাথে গণিত শেখার প্রক্রিয়ার সাথে পরিচিত হওয়া উচিত যা তাদের ভবিষ্যতের জীবন এবং ক্রিয়াকলাপে প্রয়োজন হবে। এই জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য, গণিতের পাঠদান অবশ্যই এমনভাবে কাঠামোগত হতে হবে যাতে শিক্ষার্থী প্রায়ই নতুন সমন্বয়, রূপান্তরকারী জিনিস, ঘটনা, বাস্তবতার প্রক্রিয়া এবং বস্তুর মধ্যে অজানা সংযোগের সন্ধান করে।
গণিত শেখানোর সময় শিক্ষার্থীদের সৃজনশীল ক্রিয়াকলাপের সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়ার একটি দুর্দান্ত উপায় হল এর সমস্ত রূপ এবং প্রকাশের স্বাধীন কাজ। এই বিষয়ে শিক্ষাবিদ পি.এল. কাপিতসার বক্তব্য খুবই মৌলিক যে স্বাধীনতা হল একজন সৃজনশীল ব্যক্তিত্বের অন্যতম মৌলিক গুণ, যেহেতু একজন ব্যক্তির মধ্যে সৃজনশীল ক্ষমতার বিকাশ স্বাধীন চিন্তার বিকাশের উপর ভিত্তি করে।
স্বাধীন সৃজনশীল কার্যকলাপের জন্য ছাত্র এবং অধ্যয়ন গোষ্ঠীর প্রস্তুতির স্তর নিম্নলিখিত প্রশ্নের উত্তর দিয়ে নির্ধারণ করা যেতে পারে:
স্কুলছাত্রীরা কতটা কার্যকরভাবে নোট, রেফারেন্স নোট ব্যবহার করতে পারে এবং ডায়াগ্রাম এবং বিভিন্ন ধরনের টেবিল পড়তে পারে?
শিক্ষার্থীরা কি জানে কিভাবে শিক্ষকের দ্বারা একটি সমস্যা সমস্যা সমাধানের সময় প্রস্তাবিত ধারণাগুলিকে বস্তুনিষ্ঠভাবে মূল্যায়ন করতে হয় এবং তাদের আবেদনের সম্ভাবনা বিবেচনা করে? 3) স্কুলছাত্রীরা কত দ্রুত একটি সমস্যা সমাধানের এক উপায় থেকে অন্য উপায়ে চলে যায়? 4) স্বাধীন কাজের স্ব-সংগঠনের পাঠের সময় শিক্ষার্থীদের অভিমুখী করার কার্যকারিতা বিশ্লেষণ করুন; 5) শিক্ষার্থীদের নমনীয়ভাবে মডেল এবং সমস্যা সমাধান করার ক্ষমতা অন্বেষণ করুন।
অধ্যায় 2. "পরামিটার সহ সমীকরণ এবং অসমতা" বিষয়ের পদ্ধতিগত বিশ্লেষণ এবং একটি বিকল্প কোর্সের বিকাশ "একটি প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা"
§ 1। ভূমিকা এবং স্থান প্যারামেট্রিক সমীকরণ এবং অসমতা গঠনে গবেষণা দক্ষতাম ছাত্র
মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের গণিত পাঠ্যক্রমটি পরামিতিগুলির সাথে সমস্যাগুলি স্পষ্টভাবে উল্লেখ না করা সত্ত্বেও, এটি বলা ভুল হবে যে প্যারামিটারগুলির সাথে সমস্যাগুলি সমাধানের বিষয়টি স্কুলের গণিত কোর্সে কোনওভাবেই সম্বোধন করা হয়নি৷ স্কুলের সমীকরণগুলি স্মরণ করার জন্য এটি যথেষ্ট: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, যেখানে a, b, c, k প্যারামিটার ছাড়া আর কিছুই নয়। কিন্তু স্কুল কোর্সের কাঠামোর মধ্যে, মনোযোগ এই ধরনের একটি ধারণা, পরামিতি, কিভাবে এটি অজানা থেকে ভিন্ন তার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা হয় না।
অভিজ্ঞতা দেখায় যে প্যারামিটারের সমস্যাগুলি হল লজিক্যাল এবং টেকনিক্যাল পরিভাষায় প্রাথমিক গণিতের সবচেয়ে জটিল বিভাগ, যদিও আনুষ্ঠানিক দৃষ্টিকোণ থেকে এই ধরনের সমস্যার গাণিতিক বিষয়বস্তু প্রোগ্রামের সীমার বাইরে যায় না। এটি প্যারামিটারে বিভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গির কারণে ঘটে। একদিকে, একটি প্যারামিটারকে একটি পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যা সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করার সময় একটি ধ্রুবক মান হিসাবে বিবেচিত হয়, একটি প্যারামিটার হল একটি পরিমাণ যার সংখ্যাসূচক মান দেওয়া হয় না, তবে এটি অবশ্যই পরিচিত হিসাবে বিবেচিত হয় এবং প্যারামিটারটি নির্বিচারে মান নিতে পারে, যেমন প্যারামিটার, একটি নির্দিষ্ট কিন্তু অজানা সংখ্যা, একটি দ্বৈত প্রকৃতি আছে। প্রথমত, অনুমানকৃত পরিচিতি প্যারামিটারটিকে একটি সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করার অনুমতি দেয় এবং দ্বিতীয়ত, স্বাধীনতার মাত্রা তার অজানা দ্বারা সীমাবদ্ধ।
পরামিতিগুলির প্রকৃতির প্রতিটি বর্ণনায়, অনিশ্চয়তা রয়েছে - সমাধানের কোন পর্যায়ে প্যারামিটারটিকে একটি ধ্রুবক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং কখন এটি একটি পরিবর্তনশীলের ভূমিকা পালন করে। প্যারামিটারের এই সমস্ত পরস্পরবিরোধী বৈশিষ্ট্যগুলি তাদের পরিচিতির একেবারে শুরুতে ছাত্রদের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট মানসিক বাধা সৃষ্টি করতে পারে।
এই বিষয়ে, প্যারামিটারটি জানার প্রাথমিক পর্যায়ে, যতবার সম্ভব প্রাপ্ত ফলাফলগুলির একটি ভিজ্যুয়াল এবং গ্রাফিক্যাল ব্যাখ্যা অবলম্বন করা খুব দরকারী। এটি শিক্ষার্থীদের শুধুমাত্র প্যারামিটারের স্বাভাবিক অনিশ্চয়তা কাটিয়ে উঠতে দেয় না, বরং শিক্ষককেও সুযোগ দেয়, সমান্তরালভাবে, প্রোপেডিউটিক্স হিসাবে, ছাত্রদের সমস্যা সমাধানের সময় প্রমাণের গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি ব্যবহার করতে শেখানোর। আমাদের এও ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে কিছু ক্ষেত্রে অন্তত পরিকল্পিত গ্রাফিক চিত্রের ব্যবহার গবেষণার দিক নির্ধারণ করতে সহায়তা করে এবং কখনও কখনও আমাদের সমস্যা সমাধানের জন্য অবিলম্বে কী নির্বাচন করতে দেয়। প্রকৃতপক্ষে, নির্দিষ্ট ধরণের সমস্যার জন্য, এমনকি একটি আদিম অঙ্কন, বাস্তব গ্রাফ থেকে অনেক দূরে, বিভিন্ন ধরণের ত্রুটি এড়ানো এবং একটি সহজ উপায়ে একটি সমীকরণ বা অসমতার উত্তর পাওয়া সম্ভব করে তোলে।
সাধারণভাবে গাণিতিক সমস্যাগুলি সমাধান করা স্কুলছাত্রদের ক্রিয়াকলাপের সবচেয়ে কঠিন অংশ যখন গণিত অধ্যয়ন করা হয় এবং এটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয় যে সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য উচ্চ স্তরের বুদ্ধিমত্তার মোটামুটি উচ্চ স্তরের বিকাশ প্রয়োজন, যেমন তাত্ত্বিক, আনুষ্ঠানিক এবং প্রতিফলিত চিন্তাভাবনা এবং এই জাতীয় চিন্তাভাবনা, যেমনটি ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, এখনও বয়ঃসন্ধিকালে বিকাশ লাভ করে।
রাজ্য বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠান
সামারা অঞ্চলের মাধ্যমিক সাধারণ শিক্ষা
স্কুল নং 2 এর নামকরণ করা হয়েছে। V. মাসকিনা রেলওয়ে শিল্প. ক্ল্যাভলিনো
Klyavlinsky পৌর জেলা
সামারা অঞ্চল
"সমীকরণ
এবং
অসমতা
পরামিতি সহ"
টিউটোরিয়াল
ক্ল্যাভলিনো
টিউটোরিয়াল
"পরামিটার সহ সমীকরণ এবং অসমতা" 10-11 গ্রেডের ছাত্রদের জন্য
এই ম্যানুয়ালটি "পরামিটার সহ সমীকরণ এবং বৈষম্য" বিকল্পের কোর্সের একটি পরিশিষ্ট, যা একটি বাহ্যিক পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে (সামারা অঞ্চলের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রকের বৈজ্ঞানিক এবং পদ্ধতিগত বিশেষজ্ঞ কাউন্সিল 19 ডিসেম্বর, 2008 তারিখের জন্য সুপারিশ করেছে। সামারা অঞ্চলের শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে ব্যবহার করুন)
লেখক
রোমাদানোভা ইরিনা ভ্লাদিমিরোভনা
ক্ল্যাভলিনস্কায়া মাধ্যমিক শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে গণিতের শিক্ষক
স্কুল নং 2 এর নামকরণ করা হয়েছে। ভি. মাসকিনা, ক্ল্যাভলিনস্কি জেলা, সামারা অঞ্চল
সার্বায়েভা ইরিনা আলেকসিভনা
ভূমিকা ………………………………………………………………
রৈখিক সমীকরণ এবং পরামিতি সহ অসমতা………………..4-7
পরামিতি সহ দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা………………7-9
পরামিতি সহ ভগ্নাংশ-মূলদ সমীকরণ………………..১০-১১
অযৌক্তিক সমীকরণ এবং পরামিতিগুলির সাথে অসমতা……11-13
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং প্যারামিটার সহ অসমতা।14-15
পরামিতি সহ সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতা………16-17
লগারিদমিক সমীকরণ এবং প্যারামিটার সহ অসমতা......16-18
ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার উদ্দেশ্য……………………………………………………….১৮-২০
স্বাধীন কাজের জন্য কাজ ……………………………… ২১-২৮
ভূমিকা.
পরামিতি সহ সমীকরণ এবং অসমতা।
যদি একটি সমীকরণ বা অসমতার মধ্যে কিছু সহগকে নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান দেওয়া না হয়, তবে অক্ষর দ্বারা মনোনীত করা হয়, তবে তাদের বলা হয় পরামিতি,এবং সমীকরণ বা অসমতা নিজেই প্যারামেট্রিক
পরামিতিগুলির সাথে একটি সমীকরণ বা অসমতা সমাধান করার জন্য আপনাকে এটি করতে হবে:
নির্বাচন করুন বিশেষ অর্থ- এটি সেই প্যারামিটারের মান যেখানে বা যাওয়ার সময় সমীকরণ বা অসমতার সমাধান পরিবর্তিত হয়।
সংজ্ঞায়িত করুন বৈধ মান– এগুলি সেই প্যারামিটারের মান যেখানে সমীকরণ বা অসমতা বোঝা যায়।
পরামিতি সহ একটি সমীকরণ বা অসমতা সমাধান করার অর্থ হল:
1) কোন প্যারামিটার মান সমাধান বিদ্যমান তা নির্ধারণ করুন;
2) প্যারামিটার মানগুলির প্রতিটি গ্রহণযোগ্য সিস্টেমের জন্য, সমাধানগুলির সংশ্লিষ্ট সেটটি খুঁজুন।
আপনি নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে একটি প্যারামিটার সহ একটি সমীকরণ সমাধান করতে পারেন: বিশ্লেষণাত্মক বা গ্রাফিক্যাল।
বিশ্লেষণী পদ্ধতি বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করে একটি সমীকরণ অধ্যয়ন করার কাজ জড়িত, যার কোনটি মিস করা যাবে না।
একটি বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রতিটি প্রকারের পরামিতিগুলির সাথে সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করার জন্য পরিস্থিতির একটি বিশদ বিশ্লেষণ এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ গবেষণা জড়িত, যার সময় প্রয়োজন দেখা দেয় "সতর্ক হ্যান্ডলিং"প্যারামিটার সহ।
গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি সমীকরণের একটি গ্রাফ তৈরি করা জড়িত, যেখান থেকে একজন নির্ধারণ করতে পারে কিভাবে পরামিতির পরিবর্তন যথাক্রমে সমীকরণের সমাধানকে প্রভাবিত করে। গ্রাফটি কখনও কখনও আপনাকে সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তগুলি বিশ্লেষণাত্মকভাবে তৈরি করতে দেয়। গ্রাফিকাল সমাধান পদ্ধতিটি বিশেষভাবে কার্যকর যখন আপনাকে একটি প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে একটি সমীকরণের কতগুলি শিকড় রয়েছে এবং এটি পরিষ্কারভাবে দেখার নিঃসন্দেহে সুবিধা রয়েছে তা নির্ধারণ করতে হবে।
§ 1. রৈখিক সমীকরণ এবং অসমতা।
একঘাত সমীকরণ ক এক্স = খ , সাধারণ আকারে লিখিত, পরামিতি সহ একটি সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে এক্স - অজানা , ক , খ - বিকল্প। এই সমীকরণের জন্য, প্যারামিটারের বিশেষ বা নিয়ন্ত্রণ মান হল একটি যেখানে অজানা সহগ শূন্য হয়ে যায়।
একটি প্যারামিটারের সাথে একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করার সময়, প্যারামিটারটি তার বিশেষ মানের সমান এবং এটি থেকে ভিন্ন হলে কেসগুলি বিবেচনা করা হয়।
বিশেষ পরামিতি মান ক মান হয় ক = 0.
খ = 0 একটি বিশেষ প্যারামিটার মান খ .
এ খ ¹ 0 সমীকরণের কোন সমাধান নেই।
এ খ = 0 সমীকরণটি ফর্মটি গ্রহণ করবে: 0x = 0. এই সমীকরণের সমাধান হল যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
ফর্মের অসমতা আহ > খ এবং কুঠার < খ (a ≠ 0)রৈখিক অসমতা বলা হয়। অসমতার সমাধানের সেট আহ >খ- অন্তর
(; +
),
যদি ক
> 0
, এবং (-;)
, যদি ক< 0
. একইভাবে অসমতার জন্যও
উহু<
খ
সমাধানের সেট - ব্যবধান(-;),
যদি ক
> 0,
এবং (; +),
যদি ক< 0.
উদাহরণ 1. সমীকরণটি সমাধান করুন ax = 5
সমাধান: এটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
যদি a = 0, তারপর সমীকরণ 0 × x = 5কোন সমাধান নেই।
যদি ক¹ 0, x =- সমীকরণের সমাধান।
উত্তর: এ ক¹ 0, x=
a = 0 এর জন্য কোন সমাধান নেই।
উদাহরণ 2। সমীকরণটি সমাধান করুন ax – 6 = 2a – 3x।
সমাধান:এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, ax – 6 = 2a – 3x (1)
ax + 3x = 2a +6
হিসাবে সমীকরণ পুনর্লিখন (a+3)x = 2(a+3)দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন:
a= -3এবং ক¹ -3.
যদি a= -3, তারপর কোনো বাস্তব সংখ্যা এক্সসমীকরণের মূল (1)। যদি ক¹ -3 , সমীকরণ (1) এর একটি একক মূল আছে x = 2।
উত্তর:এ a = -3, x 
আর
;
এ ক
¹
-3, x = 2।
উদাহরণ 3. কি প্যারামিটার মান এ কসমীকরণের মূলের মধ্যে
2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0আরো শিকড় আছে 1 ?
সমাধান: আসুন সমীকরণটি সমাধান করি 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0- একঘাত সমীকরণ
2(a - 2) x = a 2 – 4a +4
2(a - 2) x = (a - 2) 2
এ a = 2সমীকরণ সমাধান 0x = 0 1 এর চেয়ে বড় একটি সহ যেকোনো সংখ্যা হবে।
এ ক¹
2 x = 
.
শর্ত অনুসারে x > 1, এটাই >1, এবং >4।
উত্তর:এ ক (2) U (4;∞)।
উদাহরণ 4 . প্রতিটি পরামিতি মান জন্য কসমীকরণের মূল সংখ্যা নির্ণয় কর ah=8।
সমাধান। ax = 8- একঘাত সমীকরণ.
y = ক- অনুভূমিক রেখার পরিবার;
y = - গ্রাফটি একটি হাইপারবোলা। আসুন এই ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করি।
উত্তরঃ যদি a =0, তাহলে সমীকরণের কোন সমাধান নেই। যদি a ≠ 0, তাহলে সমীকরণের একটি সমাধান আছে।
উদাহরণ 5 . গ্রাফ ব্যবহার করে, সমীকরণটির কতগুলি শিকড় রয়েছে তা খুঁজে বের করুন:
|x| = আহ – ১।
y =| x | ,
y = আহ – ১- গ্রাফ একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা (0;-1).
আসুন এই ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করি।
উত্তরঃ কখন |a|>1- একটি মূল
এ | a|≤1 - সমীকরণের কোন শিকড় নেই।
উদাহরণ 6 . বৈষম্য সমাধান করুন ax + 4 > 2x + a 2
সমাধান
:
ax + 4 > 2x + a
2
(a – 2) x >ক
2
- 4. তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।
উত্তর. x > a + 2এ a > 2; এক্স<а + 2, এ ক< 2; এ a=2কোন সমাধান আছে.
§ 2। দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা
দ্বিঘাত সমীকরণফর্মের একটি সমীকরণ উহু ² + খ x + c = 0 , কোথায় a≠ 0,
ক, খ , সঙ্গে - বিকল্প।
একটি প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে, আপনি নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে মানক সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন:
1
)
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী:
ডি
=
খ
² - 4
এসি
,
(
²-
এসি)
2)
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের জন্য সূত্র:এক্স
1
=
, এক্স
2
=
,
(এক্স
1,2 =
)
দ্বিঘাত অসমতা বলা হয়
ক এক্স 2 + খ x + c > 0,ক এক্স 2 + খ x + গ< 0, (1), (2)
ক এক্স 2 + খ x + c ≥ 0,ক এক্স 2 + খ x + c ≤ 0,(3), (4)
অসমতার সমাধানের সেট (3) পাওয়া যায় অসমতার সমাধানের সেট (1) এবং সমীকরণের সমন্বয়ে , ক এক্স 2 + খ x + c = 0।অসমতার সমাধানের সেট (4) একইভাবে পাওয়া যাবে।
দ্বিঘাত ত্রিনামীর বৈষম্যকারী হলে
ক
এক্স
2
+
খ
x + গ
শূন্যের চেয়ে কম, তারপর একটি > 0 এর জন্য সব x এর জন্য ত্রিনয়ক ধনাত্মক আর.
যদি একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়কের মূল থাকে (x 1
< х
2
), তারপর a > 0 এর জন্য এটি সেটে ধনাত্মক(-;
x 2 )
(এক্স 2;
+)
এবং ব্যবধানে নেতিবাচক
(x 1; x 2 ) যদি একটি< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1; x 2 ) এবং সমস্ত x এর জন্য ঋণাত্মক (-;
x 1 )(এক্স 2;
+).
উদাহরণ 1. সমীকরণটি সমাধান করুন ax² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
সমাধান: বিশেষ অর্থ a = 0।
এ a = 0আমরা একটি রৈখিক সমীকরণ পাই 2x – 4 = 0. এর একটি একক মূল রয়েছে x = 2।
এ a ≠ 0।আসুন বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করি।
ডি = (a-1)² + 4a = (a+1)²
যদি a = -1,যে ডি = 0 - একটি মূল।
প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে মূল খুঁজে বের করা যাক a = -1।
-x² + 4x – 4= 0,এটাই x² -4x + 4 = 0,আমরা যে খুঁজে x=2।
যদি a ≠ - 1, যে ডি
>0
. মূল সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:x= 
;
এক্স 1 =2, x 2 = -.
উত্তর:এ a=0 এবং a= -1সমীকরণের একটি মূল আছে x = 2;এ a ≠ 0 এবং
ক ≠ - 1 সমীকরণের দুটি মূল আছেএক্স 1 =2, x 2 =-.
উদাহরণ 2। এই সমীকরণের মূল সংখ্যা নির্ণয় কর x²-2x-8-a=0পরামিতি মান উপর নির্ভর করে ক.
সমাধান। আসুন এই সমীকরণটি আকারে আবার লিখি x²-2x-8=a
y = x²-2x-8- গ্রাফ একটি প্যারাবোলা;
y =a- অনুভূমিক রেখার একটি পরিবার।
এর ফাংশন গ্রাফ নির্মাণ করা যাক.
উত্তরঃ কখন ক<-9 , সমীকরণের কোন সমাধান নেই; যখন a=-9, সমীকরণের একটি সমাধান থাকে; এ a>-9, সমীকরণ দুটি সমাধান আছে.
উদাহরণ 3. কি এ কঅসমতা (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 x এর সমস্ত মানের জন্য ধরে?
সমাধান।একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক যদি x এর সমস্ত মানের জন্য ধনাত্মক
a-3 > 0 এবং ডি<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
যেখান থেকে এটি অনুসরণ করেক
> 6
.
উত্তর.ক > 6
§ 3। প্যারামিটার সহ ভগ্নাংশ মূলদ সমীকরণ,
রৈখিক থেকে হ্রাসযোগ্য
ভগ্নাংশের সমীকরণগুলি সমাধান করার প্রক্রিয়াটি স্বাভাবিক স্কিম অনুসারে সঞ্চালিত হয়: ভগ্নাংশটি তার বাম এবং ডান দিকের সাধারণ হর দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষকে গুণ করে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এর পরে সম্পূর্ণ সমীকরণটি সমাধান করা হয়, বহিরাগত মূল বাদ দিয়ে, অর্থাৎ, সংখ্যাগুলি যা হরকে শূন্যে পরিণত করে।
প্যারামিটার সহ সমীকরণের ক্ষেত্রে, এই সমস্যাটি আরও জটিল। এখানে, বহিরাগত শিকড়গুলিকে "নির্মূল" করার জন্য, প্যারামিটারের মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন যা সাধারণ হরকে শূন্যে পরিণত করে, অর্থাৎ, প্যারামিটারের জন্য সংশ্লিষ্ট সমীকরণগুলি সমাধান করতে।
উদাহরণ 1.
সমীকরণটি সমাধান করুন 
= 0
সমাধান: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – a = 0, x = a।
উত্তর:এ a ≠ - 2, x=a
এ a = -2কোন শিকড় আছে
উদাহরণ 2
.
সমীকরণটি সমাধান করুন 
- 
= 
(1)
এটি একটি ভগ্নাংশের যৌক্তিক সমীকরণ
সমাধান:অর্থ a = 0বিশেষ এ a = 0সমীকরণের কোন অর্থ নেই এবং তাই এর কোন শিকড় নেই। যদি a ≠ 0,তারপর রূপান্তরের পরে সমীকরণটি রূপ নেবে: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- দ্বিঘাত সমীকরণ.
আসুন বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করি 
= (1 - a)² - (a² - 2a - 3) = 4,
সমীকরণের মূল খুঁজুনএক্স
1
= a + 1, x
2
= a - 3।
সমীকরণ (1) থেকে সমীকরণ (2) এ যাওয়ার সময়, সমীকরণ (1) এর সংজ্ঞার ডোমেন প্রসারিত হয়, যা বহিরাগত শিকড়ের চেহারা হতে পারে। অতএব, যাচাইকরণ প্রয়োজন।
পরীক্ষা।এর পাওয়া মান থেকে বাদ দেওয়া যাক এক্সযারা
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0।
যদি এক্স 1 +1=0, এটাই (a+1) + 1= 0, যে a= -2।এইভাবে,
এ a= -2 , এক্স 1 -
যদি এক্স 1 +2=0, এটাই (a+1)+2=0,যে a = - 3. এইভাবে, যখন a = - 3, x 1 - সমীকরণের বহিরাগত মূল। (1)।
যদি এক্স 2 +1=0, এটাই (a – 3) + 1= 0, যে a = 2. এইভাবে, যখন a = 2 x 2 - সমীকরণের বহিরাগত মূল (1)।
যদি এক্স 2 +2=0, এটাই ( a – 3) + 2 = 0,যে a=1. এইভাবে, যখন a = 1,
এক্স 2 - সমীকরণের বহিরাগত মূল (1)।
এই অনুযায়ী, যখন a = - 3আমরা পেতে x = - 3 – 3 = -6;
এ a = - 2 x = -2 – 3= - 5;
এ a = 1 x = 1 + 1 = 2;
এ a = 2 x = 2+1 = 3।
আপনি উত্তর লিখতে পারেন।
উত্তর: 1) যদি a= -3,যে x= -6; 2) যদি a= -2, যে x= -5; 3) যদি a=0, তাহলে কোন শিকড় নেই; 4) যদি a=1, যে x=2; 5) যদি a=2, যে x=3; 6) যদি a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, তারপর x 1 = a + 1, x 2 = a-3.
§4। অযৌক্তিক সমীকরণ এবং অসমতা
সমীকরণ এবং অসমতা যেখানে চলকটি মূল চিহ্নের নীচে থাকে তাকে বলা হয় অযৌক্তিক.
অযৌক্তিক সমীকরণগুলি সমাধান করা সমীকরণের উভয় দিকের ব্যাখ্যা করে বা একটি পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন করে একটি অযৌক্তিক থেকে একটি যৌক্তিক সমীকরণে যাওয়ার জন্য নেমে আসে। যখন সমীকরণের উভয় দিক একটি সমান শক্তিতে উত্থাপিত হয়, তখন বহিরাগত শিকড় উপস্থিত হতে পারে। অতএব, এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার সময়, আপনাকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত সমস্ত শিকড়গুলি পরীক্ষা করা উচিত, প্যারামিটারের মানগুলির পরিবর্তনগুলি বিবেচনা করে।
ফর্মের সমীকরণ 
=g (x) সিস্টেমের সমতুল্য 
অসমতা f (x) ≥ 0 সমীকরণ f (x) = g 2 (x) থেকে অনুসরণ করে।
অযৌক্তিক অসমতা সমাধান করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত সমতুল্য রূপান্তরগুলি ব্যবহার করব:
≤ g(x) 
≥g(x) 
উদাহরণ 1.
সমীকরণটি সমাধান করুন 
= x + 1 (3)
এটি একটি অযৌক্তিক সমীকরণ
সমাধান:
একটি গাণিতিক মূলের সংজ্ঞা অনুসারে, সমীকরণ (3) সিস্টেমের সমতুল্য 
.
এ a = 2সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ ফর্ম আছে 0 x = 5, অর্থাৎ এর কোন সমাধান নেই।
এ a≠ 2 x= 
.
চলুন জেনে নেওয়া যাক কি কি মানক
পাওয়া মানএক্স
অসমতা সন্তুষ্ট করেx ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
কোথায় একটি ≤বা a > 2।
উত্তর:এ a≤, a > 2 x= ,
এ < а ≤ 2
সমীকরণের কোন সমাধান নেই।
উদাহরণ 2।
সমীকরণটি সমাধান করুন 
= ক
(পরিশিষ্ট 4)
সমাধান। y
=
y = ক- অনুভূমিক রেখার একটি পরিবার।
এর ফাংশন গ্রাফ নির্মাণ করা যাক.
উত্তর: এ ক<0 - কোন সমাধান নেই;
এ ক≥ 0 - একটি সমাধান।
উদাহরণ 3
. আসুন বৈষম্যের সমাধান করি(a+1) 
<1.
সমাধান। O.D.Z. x ≤ 2. যদি a+1 ≤0, তাহলে অসমতা সমস্ত গ্রহণযোগ্য মানগুলির জন্য ধারণ করে৷ এক্স. যদি a+1>0, যে
(a+1) <1.<
কোথায় এক্স (2- 
2
উত্তর.
এক্স (- ;2এ (-;-1,
এক্স (2- 2
এ ক
(-1;+).
§ 5. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং অসমতা।
সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য এখানে সূত্রগুলি রয়েছে:
Sinx = a x= (-1) n arcsin a+πn, n জেড, 
≤1, (1)
Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, n জেড, ≤1.
(2)
যদি
>1, তারপর সমীকরণ (1) এবং (2) এর কোনো সমাধান নেই।
tan x = a x= arctan a + πn, n জেড, ক আর
ctg x = a x = arcctg a + πn, n জেড, ক আর
প্রতিটি মানক অসমতার জন্য আমরা সমাধানের সেট নির্দেশ করি:
1.
sin x > a arcsin a + 2 πn
জেড,
এ ক
<-1,
এক্স আর
;
এ ক
≥ 1,
কোন সমাধান আছে.
2. পাপ x< a π - arcsin a + 2 πnZ,
a≤-1 এর জন্য, কোন সমাধান নেই; একটি > 1 এর জন্য,এক্স আর
3.
কারণ
এক্স
>
ক
-
আর্কোস
ক
+ 2
πn
<
এক্স
<
আর্কোস
ক
+ 2
πn
,
n
জেড
,
এ ক<-1,
এক্স আর
; এ ক
≥ 1
, কোন সমাধান আছে.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
এ a≤-1
কোন সমাধান নেই; এক
> 1,
এক্স
আর
5. tan x > a, arctan a + πnZ
6.tg x< a, -π/2 + πn Z
উদাহরণ 1. অনুসন্ধান ক, যার জন্য এই সমীকরণের একটি সমাধান আছে:
Cos 2 x + 2(a-2) cosx + a 2 – 4a – 5 =0।
সমাধান।আকারে সমীকরণ লিখি
সঙ্গেos 2 এক্স + (2 ক -4) cosx +(ক – 5)(a+1) =0,একটি দ্বিঘাত হিসাবে এটি সমাধান, আমরা পেতে cosx = 5-কএবং cosx = -a-1.
সমীকরণটি cosx
= 5-
ক
সমাধান দেওয়া আছে -1≤ 5-ক
≤1
4≤
ক≤ 6, এবং Eq. cosx
= -
a-1
প্রদান করা হয়েছে -1≤ -1-ক
≤ 1
-2 ≤
ক
≤0.
উত্তর.
ক
-2; 0 4; 6
উদাহরণ 2।
কি এ খঅসমতা আছে 
+
খ> সকল x ≠ এর জন্য 0 ধরেπn
,
n
জেড
.
সমাধান।চল রাখি ক= 0. অসমতা b >0 এর জন্য ধারণ করে। এখন দেখা যাক যে কোন b ≤0 সমস্যার শর্ত পূরণ করে না। প্রকৃতপক্ষে, x = বসানোই যথেষ্ট π /2, যদি ক <0, и х = - π /2 এ ক ≥0.
উত্তর.b>0
§ 6. সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতা
1. সমীকরণ জ(এক্স)
চ ( এক্স )
=
জ(এক্স)
g ( এক্স) এ জ(এক্স) > 0 দুটি সিস্টেমের একটি সংগ্রহের সমতুল্য 
এবং 
2. বিশেষ ক্ষেত্রে (h (x)= ক ) সমীকরণটি ক f(x) = ক g(x) এ ক> 0, দুটি সিস্টেমের একটি সংগ্রহের সমতুল্য
এবং 
3. সমীকরণ ক f(x) = খ , কোথায় ক > 0, ক ≠1, খ>0, সমীকরণের সমতুল্য
f (x ) = লগ a b . ঘটছে ক=1 আলাদাভাবে বিবেচনা করা হয়।
সহজতম সূচকীয় অসমতার সমাধান পাওয়ার সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে। ফর্মের অসমতাচ(ক
এক্স ) > 0 পরিবর্তনশীল পরিবর্তন ব্যবহার করেt=
ক
এক্স বৈষম্যের ব্যবস্থা সমাধানে হ্রাস পায় 
এবং তারপর সংশ্লিষ্ট সরল সূচকীয় অসমতা সমাধানের জন্য।
একটি অ-কঠোর অসমতা সমাধান করার সময়, কঠোর অসমতার সমাধানের সেটে সংশ্লিষ্ট সমীকরণের মূল যোগ করা প্রয়োজন। অভিব্যক্তি ধারণকারী সমস্ত উদাহরণে সমীকরণ সমাধানের মতো ক f (x), আমরা অনুমান করি ক> 0. কেস ক= 1 আলাদাভাবে বিবেচনা করা হয়।
উদাহরণ 1
.
কি এ কসমীকরণ 8 x = 
শুধুমাত্র ইতিবাচক শিকড় আছে?
সমাধান।
একের বেশি বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য দ্বারা, আমাদের আছে x>0 8
এক্স >1 >1
>0, কোথা থেকেক
(1,5;4).
উত্তর.
ক
(1,5;4).
উদাহরণ 2। বৈষম্য সমাধান করুন ক 2 ∙2 এক্স > ক
সমাধান. আসুন তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:
1.
ক< 0
. যেহেতু অসমতার বাম দিকটি ইতিবাচক এবং ডান দিকটি নেতিবাচক, তাই অসমতা যেকোনো x এর জন্যই ধারণ করে আর.
2. ক=0। কোন সমাধান আছে.
3.
ক
> 0
.
ক
2
∙2
এক্স
> ক
2
এক্স
>
x> -লগ 2
ক
উত্তর.
এক্স আরএ ক
> 0; জন্য কোন সমাধান আছে
ক
=0; এক্স (-
লগ 2
ক; +) এa> 0
.
§ 7. লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা
সমাধানে ব্যবহৃত কিছু সমতা উপস্থাপন করা যাক লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা।
1. সমীকরণ লগ f (x) g (x) = লগ f (x) h (x) সিস্টেমের সমতুল্য
বিশেষ করে, যদি ক >0, ক≠1, তারপর
লগ ক
g(x)= লগ ক
h(x) 
2.
সমীকরণটি লগ ক
g(x)=b g(x)=ক
খ (
ক
>0,
একটি ≠
1, g(x) >0)।
3. অসমতা লগ চ ( এক্স )
g (এক্স) ≤
লগ চ ( এক্স )
জ(এক্স) দুটি সিস্টেমের সমন্বয়ের সমতুল্য: 
এবং 
যদি একটি, b হল সংখ্যা, a >0, a ≠1, তারপর
লগ ক
f(x) ≤ খ 
লগ ক
f(x)>খ 
উদাহরণ 1.
সমীকরণটি সমাধান করুন 
সমাধান. আসুন ODZ খুঁজে বের করি: x > 0, x ≠ ক 4 , ক > 0, ক≠ 1. সমীকরণটি রূপান্তর করুন
লগ 
x – 2 = 4 – লগ ক
এক্স লগ x + লগ ক
এক্স– 6 = 0, কোথা থেকে লগ ক
এক্স = - 3
x = ক-3 এবং লগ ক
এক্স = 2
x = ক 2. শর্ত x = ক
4
ক
– 3
=
ক 4 বা ক
2
=
ক
4
ODZ এ সঞ্চালিত হয় না।
উত্তর: x = ক-3, x = ক 2 এ ক
(0; 1) 
(1; ).
উদাহরণ 2 . সর্বশ্রেষ্ঠ মান খুঁজুন ক, যার জন্য সমীকরণ
2
লগ 
-
+
ক
= 0 এর সমাধান আছে।
সমাধান।
আমরা একটি প্রতিস্থাপন করব =
tএবং আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ 2 পাইt 2
–
t +
ক
= 0. সমাধান, আমরা খুঁজেডি = 1-8
ক
. চলো বিবেচনা করি ডি≥0, 1-8
ক
≥0 
ক
≤.
এ ক = দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল আছেt= >0.
উত্তর. ক =
উদাহরণ 3 . বৈষম্য সমাধান করুনলগ(এক্স 2 – 2 এক্স + ক ) > - 3
সমাধান।
আসুন বৈষম্যের ব্যবস্থা সমাধান করি 
বর্গাকার ত্রিনয়কের মূল x 1,2
= 1 ± 
তাদের 3,4
= 1 ± 
.
সমালোচনামূলক পরামিতি মান: ক= 1 এবং ক= 9.
X 1 এবং X 2 হল প্রথম এবং দ্বিতীয় অসমতার সমাধানের সেট
X 1 
এক্স 2
= X – মূল অসমতার সমাধান।
0 এ<
ক
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), এক> 1 X 1 = (-;+).
0 এ<
ক
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), এক≥9 X 2 - কোন সমাধান নেই।
আসুন তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:
1. 0<
ক
≤1 X = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
ক
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. ক≥ 9 X - কোন সমাধান নেই।
ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার উদ্দেশ্য
উচ্চ স্তরের C1, C2
উদাহরণ 1. সব মান খুঁজুন আর, যার জন্য সমীকরণ
আর ∙ ctg 2x+2sinx+ পি= 3 এর অন্তত একটি মূল আছে।
সমাধান।এর সমীকরণ রূপান্তর করা যাক
আর ∙ (
- 1) + 2sinx + পি= 3, sinx =t, t 
,টি 
0.
-
পি+2t+ পি
= 3,
+ 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = পি
.
দিন চ(y) = 3
t 2
– 2
t 3
. চলুন ফাংশন মান সেট খুঁজে বের করা যাকচ(এক্স) চালু 
. এ /
= 6
t – 6
t 2
, 6
t - 6
t 2
= 0,
t 1
=0,
t 2
= 1.
চ(-1) = 5,
চ(1) = 1.
এ t ,
ই(চ) =
,
এ t ,
ই(চ) =
, ওটা যখন t ,
ই(চ) =
.
সমীকরণ 3 তেt 2
– 2
t 3
=
পি
(অতএব প্রদত্ত) অন্তত একটি রুট প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট ছিলপি
ই(চ), এটাই পি
.
উত্তর.
.
উদাহরণ 2।
কি প্যারামিটার মান একসমীকরণটি লগ 
(4
এক্স 2
– 4
ক
+
ক
2
+7) = 2 এর ঠিক একটি মূল আছে?
সমাধান।এর সমীকরণটিকে এর সমতুল্য একটিতে রূপান্তর করা যাক:
4x 2 – 4 ক + ক 2 +7 = (x 2 + 2) 2।
লক্ষ্য করুন যে যদি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা x ফলস্বরূপ সমীকরণের মূল হয়, তবে সংখ্যা – xও এই সমীকরণের মূল। শর্ত অনুসারে, এটি সম্ভব নয়, তাই একমাত্র মূল হল সংখ্যা 0।
আমরা খুঁজে নেব ক.
4∙ 0 2 - 4ক + ক 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
ক 2 - 4ক +7 = 4, ক 2 - 4ক +3 = 0, ক 1 = 1, ক 2 = 3.
পরীক্ষা।
1)
ক
1
= 1. তাহলে সমীকরণটি এরকম দেখায়:লগ (4
এক্স 2
+4) =2। এর সমাধান করা যাক
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 একমাত্র মূল।
2)
ক
2
= 3. সমীকরণটি এরকম দেখাচ্ছে:লগ (4
এক্স 2
+4) =2 x = 0 একমাত্র মূল।
উত্তর. 1; 3
উচ্চ স্তরের C4, C5
উদাহরণ 3. সব মান খুঁজুন আর,যার জন্য সমীকরণ
x 2 - ( আর+ 3) x + 1 = 0 এর পূর্ণসংখ্যার মূল রয়েছে এবং এই মূলগুলি অসমতার সমাধান: x 3 - 7 আর x 2 + 2x 2 – 14 আর x - 3x +21 আর ≤ 0.
সমাধান।
যাক x 1,
এক্স 2
– সমীকরণ x এর পূর্ণসংখ্যার মূল 2
– (আর
+ 3) x + 1 = 0। তারপর, ভিয়েটার সূত্র অনুসারে, সমতা x 1
+ x 2
=
আর
+ 3, x 1
∙ x 2
= 1. দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল x 1
, এক্স 2
শুধুমাত্র দুটি ক্ষেত্রে একের সমান হতে পারে: x 1
= x 2
= 1 বা x 1
= x 2
= - 1. যদি x 1
= x 2
= 1, তারপরআর
+ 3 = 1+1 = 2আর
= - 1; যদি x 1
= x 2
= - 1, তারপরআর
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 আর
= - 5. পরীক্ষা করা যাক x সমীকরণের মূল কি না 2
– (আর
এই অসমতার সমাধান দ্বারা বর্ণিত ক্ষেত্রে + 3) x + 1 = 0। অনুষ্ঠানের জন্যআর
=- 1, x 1
= x 2
= 1 আমাদের আছে
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – সত্য; অনুষ্ঠানের জন্য আর= - 5, x 1 = x 2 = - 1 আমাদের আছে (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – সঠিক। সুতরাং, সমস্যার শর্তগুলি কেবলমাত্র সন্তুষ্ট আর=- 1 এবং আর = - 5.
উত্তর.আর 1 =- 1 এবং আর 2 = - 5.
উদাহরণ 4. প্যারামিটারের সমস্ত ইতিবাচক মান খুঁজুন ক, যার জন্য সংখ্যা 1 ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত
এ
= (ক 
-
ক 
).
ক্লাস: 11
লক্ষ্য:
শিক্ষাগত:
- একটি প্যারামিটার সহ একটি সমীকরণ সমাধান সম্পর্কে জ্ঞানকে পদ্ধতিগত এবং সাধারণীকরণ করুন;
- এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের প্রাথমিক কৌশল দেখাও।
উন্নয়নমূলক: একটি প্যারামিটার সহ সমীকরণ সমাধানের জন্য বিভিন্ন কৌশলগুলির অধ্যয়নকে প্রসারিত এবং গভীর করুন।
শিক্ষাগত: প্যারামিটারের নির্বাচিত মানের একটি প্যারামিটারের সাথে একটি সমস্যায় উত্তরের নির্ভরতার তাত্পর্য দেখান।
ব্যবহৃত শিক্ষণ পদ্ধতি - তাদের প্রয়োগ.
- ব্যাখ্যামূলক এবং দৃষ্টান্তমূলক।
- সাধারণীকরণ, উপমা এবং তুলনা।
- UDE - মূল কাজ তৈরি করা, সমতলে চিত্রের সাদৃশ্য।
- সমন্বিত - বীজগণিত ম্যাপিং এবং জ্যামিতিক ব্যাখ্যা, স্লাইড।
সাধারণ শিক্ষাগত দক্ষতা গঠন:
- অধ্যয়নের অধীনে বস্তুর অপরিহার্য বৈশিষ্ট্য সনাক্তকরণ;
- ব্যবহারিক দক্ষতার বিকাশ;
- শ্রোতাদের সাথে কাজ করার জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতি: সংলাপ মোডে কাজ করুন;
- পাঠের মনস্তাত্ত্বিক দিক;
- একটি আরামদায়ক কাজের পরিবেশ তৈরি করা;
- সক্রিয় সংলাপ উত্সাহিত.
ক্লাস চলাকালীন
ভূমিকা. শিক্ষকের উদ্বোধনী বক্তৃতা.
সমীকরণগুলি USE প্রবেশিকা পরীক্ষার বিকল্পগুলির একটি সাধারণ অংশ হয়ে উঠেছে।
একটি প্যারামিটার সহ সমীকরণ গুরুতর যৌক্তিক অসুবিধা সৃষ্টি করে।
এই জাতীয় প্রতিটি সমীকরণ মূলত সমীকরণের পরিবারের একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ। এটা স্পষ্ট যে একটি অসীম পরিবার থেকে প্রতিটি সমীকরণ লেখা অসম্ভব, কিন্তু তবুও, তাদের প্রতিটি সমাধান করা আবশ্যক। অতএব, ধারণার সিস্টেমটি বিবেচনা করা এবং প্যারামিটার (রৈখিক, যুক্তিযুক্ত, ইত্যাদি) সহ সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য পদ্ধতিগুলি অনুসন্ধান করা দরকার।
সমীকরণটি F(x;a) = 0 দেওয়া যাক যদি আমরা প্যারামিটারটিকে একটি নির্দিষ্ট মান দেই, তাহলে এই সমীকরণটিকে একটি চলক সহ একটি "সাধারণ" সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।
এর টাস্ক সেট করা যাক: নির্বাচিত প্যারামিটার মান নিয়ে পরিস্থিতি কী হতে পারে তা খুঁজে বের করুন?
একটি সংলাপ মোডে ছাত্রদের সাথে কাজ করা.
আসুন প্রধান সমস্যাগুলির রূপরেখা দেওয়া যাক:
- পরামিতি সহ সমীকরণের প্রাথমিক ধারণাগুলি স্থাপন করুন।
- একটি স্কুল গণিত কোর্সে প্রতিটি ধরণের সমীকরণের জন্য, পরামিতিগুলির সাথে সংশ্লিষ্ট সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি সাধারণ পদ্ধতি স্থাপন করুন - এক এবং দুটি পরামিতির জন্য একই।
- সমীকরণ অধ্যয়নের জন্য কাজের উদাহরণ বিবেচনা করুন।
- সমীকরণের মূল সংখ্যা নির্ণয় করা হয় কি?
- দুটি সমীকরণের সাধারণ মূল খুঁজে বের করা - এর সারমর্ম কী?
- জ্যামিতিক ব্যাখ্যা।
আমিপর্যায় - প্রথম সমস্যা সমাধান.
ইন্টারেক্টিভভাবে শিক্ষার্থীদের সাথে কাজ করা.
মৌলিক ধারণাগুলি প্রতিষ্ঠা করতে আপনি নিজেকে কী প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করবেন?
|
স্লাইড এবং সারাংশ প্রদর্শিত হবে
টাইপ II এর সমস্যাগুলিতে, নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করা হয় এমন সমস্ত প্যারামিটার মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে। |
উদাহরণ স্বরূপ.
1) a (a – 1) = a – 1 সমীকরণটি সমাধান করুন।
সমাধান. আমাদের সামনে একটি রৈখিক সমীকরণ রয়েছে যা a-এর সমস্ত অনুমোদিত মানগুলির জন্য উপলব্ধি করে। আমরা এটিকে "স্বাভাবিকভাবে" সমাধান করব: আমরা সমীকরণের উভয় দিককে অজানা সহগ দ্বারা ভাগ করি। কিন্তু বিভাজন কি সবসময় সম্ভব?
আপনি শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারবেন না। অজানা সহগ o এর সমান হলে আমাদের আলাদাভাবে বিবেচনা করতে হবে। আমরা পেতে:
উত্তর: 1) যদি a 0, a 1 হয়, তাহলে x = ;
2) যদি a = 1 হয়, তাহলে x যেকোনো সংখ্যা;
3) যদি a = 0 হয়, তাহলে কোন মূল নেই।
2) সমীকরণটি সমাধান করুন (a – 1)x 2 + 2 (2a – 1)x + 4 a + 3 = 0।
সমাধান. আসুন দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:
বৈষম্যকারী বিবেচনা করুন: D = (2a - 1) 2 – (a – 1)(4a + 3) = - 3a + 4।
যদি a, তাহলে x 1.2 = 
.
উত্তর: 1) যদি a >, তাহলে কোন শিকড় নেই;
2) যদি a = 1, তাহলে x = - 3.5;
3) যদি a এবং a1, তাহলে x 1.2 = 
.
২পর্যায় - দ্বিতীয় সমস্যা সমাধান.
একটি সাধারণ সমাধান মডেল ব্যবহার করে আংশিক সমীকরণ শ্রেণীবদ্ধ করার একটি উপায় বিবেচনা করা যাক।
একটি স্লাইড প্রদর্শিত হবে.
উদাহরণ স্বরূপ. যৌক্তিক সমীকরণে 
ফাংশন f 1 (a) = সেই প্যারামিটার মানের জন্য একটি সাধারণ সমাধান যার জন্য 
. কারন
A f1 =) সমীকরণের সাধারণ সমাধান।
ফাংশন f 2 (a) = A f2 = সেটের সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান।
আসুন নিম্নলিখিত আকারে সাধারণ সমাধানগুলির একটি মডেল তৈরি করি
মডেলটিতে আমরা সমস্ত ধরণের আংশিক সমীকরণ হাইলাইট করি: 
; 
; 
.
সুতরাং, প্যারামিটার সহ সমীকরণের প্রাথমিক ধারণাগুলি উদাহরণ ব্যবহার করে বিবেচনা করা হয়: অনুমোদিত মানগুলির পরিসর; ডোমেইন; সাধারণ সমাধান; পরামিতি নিয়ন্ত্রণ মান; আংশিক সমীকরণের প্রকার।
প্রবর্তিত পরামিতিগুলির উপর ভিত্তি করে, আমরা প্যারামিটার a সহ যেকোন সমীকরণ F(a;x) = 0 সমাধানের জন্য একটি সাধারণ স্কিম সংজ্ঞায়িত করি (দুটি প্যারামিটারের ক্ষেত্রে স্কিমটি একই রকম):
- প্যারামিটারের অনুমতিযোগ্য মানের পরিসীমা এবং সংজ্ঞার সুযোগ প্রতিষ্ঠিত হয়;
- প্যারামিটারের নিয়ন্ত্রণ মানগুলি নির্ধারিত হয়, অনুমতিযোগ্য প্যারামিটার মানগুলির অঞ্চলকে আংশিক সমীকরণের সাদৃশ্যের অঞ্চলে ভাগ করে;
- প্যারামিটারের নিয়ন্ত্রণ মানগুলির জন্য, সংশ্লিষ্ট আংশিক সমীকরণগুলি আলাদাভাবে অধ্যয়ন করা হয়;
- সাধারণ সমাধান x = f 1 (a), ..., f k (a) সমীকরণ F(a;x) = 0 অনুরূপ সেটগুলিতে পাওয়া যায় A f1, ......, পরামিতি মানের A fk ;
- সাধারণ সমাধান এবং নিয়ন্ত্রণ পরামিতি মানগুলির একটি মডেল নিম্নলিখিত আকারে সংকলিত হয় (স্লাইডে);
- মডেলটি অভিন্ন সমাধানের সাথে পরামিতি মানগুলির ব্যবধানগুলি সনাক্ত করে (অভিন্নতার ক্ষেত্রগুলি);
- প্যারামিটারের নিয়ন্ত্রণ মান এবং অভিন্নতার নির্বাচিত ক্ষেত্রগুলির জন্য, সমস্ত ধরণের নির্দিষ্ট সমাধানের বৈশিষ্ট্যগুলি রেকর্ড করা হয়।
পর্যায় III - সমীকরণ অধ্যয়নের জন্য কাজের উদাহরণ।
আসুন টাইপ 2 প্যারামিটারের সাথে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখি।
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের অবস্থান জড়িত সমস্যাগুলি বিশেষত সাধারণ। তাদের সমাধান করার সময়, গ্রাফিক চিত্রগুলি ভাল কাজ করে। সমতল দ্বারা প্রদত্ত বিন্দুর সাপেক্ষে শিকড়ের অবস্থান সংশ্লিষ্ট প্যারাবোলার শাখার দিক, শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক, সেইসাথে প্রদত্ত বিন্দুতে মান দ্বারা নির্ধারিত হয়।
উদাহরণ স্বরূপ.
1) a প্যারামিটারের কোন মানের জন্য সমীকরণটি করে (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 এর দুটি মূল রয়েছে, যার একটি 1 এর চেয়ে বড় এবং অন্য কম 1?
সমাধান. ধরুন f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5। যেহেতু a 2 + a + 1 >0, তারপর দ্বিঘাত ফাংশন f(x) এর জন্য সমস্যা অবস্থা শুধুমাত্র f (x) শর্তে পূরণ করা যেতে পারে< 1.
অসমতা সমাধান করা f(1) = a 2 + 4a – 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
উত্তর: -2 - < а < - 2 + .
2) কি প্যারামিটার মান এm সমীকরণের মূল (m – 1) x 2 – 2mx +m + 3 = 0 ধনাত্মক?
সমাধান. ধরুন f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3 তারপর:
1) যদি m = 1 হয়, তাহলে -2x + 4 = 0, x = 2 - মূলটি ধনাত্মক;
2) যদি m 1 হয়, তাহলে চিত্রটি ব্যবহার করে আপনি নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি পেতে পারেন: 
আসুন 2 টি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:
1) যদি 1.5 m > 0, তাহলে শেষ সিস্টেমের অসমতা 2 এবং 3 থেকে আমরা সেই m > 1 পাই, অর্থাৎ অবশেষে 1.5 m > 1;
2) যদি মি< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 আমরা সেই m-1 পাই< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
উত্তর: মি (-; -3)
IVপর্যায় - সমীকরণের শিকড়ের সংখ্যা প্রতিষ্ঠার কাজটি বিবেচনা করুন।
উদাহরণ 1. প্যারামিটারের কোন মান এবং সমীকরণ 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 এর কোন মূল নেই।
সমাধান।ধরুন y = cosх, তাহলে মূল সমীকরণটি 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0 রূপ নেবে, যার মূল y 1 = a, y 2 = 4.5। cosх = 4.5 সমীকরণের কোনো মূল নেই, এবং সমীকরণ cosх = a এর কোনো মূল নেই যদি > 1।
উত্তর: (- ; -1) (1; ).
উদাহরণ 2.
একটি প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য সমীকরণ 
কোন শিকড় নেই
সমাধান. এই সমীকরণটি সিস্টেমের সমতুল্য: 
.
দুটি ক্ষেত্রে সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই: a = এবং
উদাহরণ 3
. a প্যারামিটারের কোন মানগুলিতে সমীকরণটি করে 
একটি একক সমাধান আছে?
সমাধান. x = 0 হলেই সমীকরণের সমাধান অনন্য হতে পারে। x = 0 হলে, a 2 -1 = 0, এবং a = 1।
আসুন 2 টি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:
1) যদি a = 1 হয়, তাহলে x 2 - = 0 - তিনটি মূল;
2)। যদি a = -1 হয়, তাহলে x 2 + = 0, x = 0 হল একমাত্র মূল।
উদাহরণ 4. প্যারামিটার a এর কোন মানের জন্য সমীকরণটির 2টি মূল আছে?
সমাধান।এই সমীকরণটি সিস্টেমের সমতুল্য: . চলুন জেনে নেওয়া যাক কখন দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 – x – a = 0 এর 2টি অ-ঋণাত্মক মূল থাকে।
1+ 4a > 0 হলে প্রাপ্ত সমীকরণের দুটি মূল আছে; তারা অ নেতিবাচক যদি
0 > a > -।
উত্তর: (- ; 0] .
অনেক ক্ষেত্রে, একটি সমীকরণের মূল সংখ্যা স্থাপন করার সময়, প্রতিসাম্য বিষয়।
ভিপর্যায় - দুটি সমীকরণের সাধারণ মূল খুঁজে বের করা।
উদাহরণ 1. প্যারামিটার a এর কোন মানের সমীকরণ x 2 + 3x + 7a -21 =0 এবং x 2 +6x +5a -6 =0 এর একটি সাধারণ মূল আছে?
সমাধান।এর ফলে সিস্টেম থেকে প্যারামিটার a বাদ দেওয়া যাক। এটি করার জন্য, প্রথম সমীকরণটিকে -5 দ্বারা, দ্বিতীয়টি 7 দ্বারা গুণ করুন এবং ফলাফল যোগ করুন। আমরা পাই: 2x 2 + 27x +63 = 0, যার মূলগুলি হল x 1 = -3, x 2 = -10.5। আসুন মূলগুলিকে একটি সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং প্যারামিটার a-এর মান বের করি।
উত্তর: 3 এবং – 8.25।
উদাহরণ 2। প্যারামিটার a-এর কোন মানের জন্য x 2 – ax + 2 = 0 এবং 3x 2 + (a - 9)x + 3=0 সমীকরণ?
সমাধান. আপনি জানেন, সমীকরণগুলি সমতুল্য যদি তাদের অনেকগুলি শিকড় মিলে যায়। আসুন 2 টি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।
1) সমীকরণের কোন শিকড় নেই (মূলের সেট খালি)। তারপর তাদের বৈষম্য নেতিবাচক:
বৈষম্যের ব্যবস্থার কোনো সমাধান নেই।
2) সমীকরণের সাধারণ শিকড় রয়েছে। তারপর 
ফলস্বরূপ, এই সমীকরণগুলির সাধারণ মূল থাকতে পারে শুধুমাত্র যখন a = 3 বা a =।
এটি নিজেই পরীক্ষা করুন!
VIপর্যায় - জ্যামিতিক ব্যাখ্যা।
পরামিতিগুলির সাথে সমস্যাগুলি সমাধান করা গ্রাফগুলিকে আরও সহজ করে তুলতে পারে।
উদাহরণ 1
. পরামিতি a এর উপর নির্ভর করে সমীকরণটি সমাধান করুন: 
.
সমাধান। এটা স্পষ্ট যে একটি 0 এর জন্য:
সব শিকড় উপযুক্ত? খুঁজে বের করতে, ফাংশন a = প্লট করা যাক।
চিত্রে শিকড়ের সংখ্যা দেখা যেতে পারে:
- যদি একটি< 0, то корней нет;
- যদি a = 0 এবং a > 0 হয়, তাহলে 2টি মূল আছে।
আসুন এই শিকড় খুঁজে বের করা যাক.
যখন a = 0 আমরা পাই x 2 – 2x – 3 = 0 এবং x 1 = -1, x 2 = 3; a > 4 এর জন্য এগুলি হল x 2 – 2x – 3 – a = 0 সমীকরণের মূল।
যদি 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
যদি a = 4 – তিনটি মূল:
উত্তর: 1) যদি ক< 0, то корней нет;
2) যদি a = 0, তাহলে x 1 = -1, x 2 = 3;
3) যদি 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) যদি a = 4, তাহলে x 1 = 1; x 2.3 = 1;
5) যদি a > 4 হয়, তাহলে x 1,2 = 1।
উদাহরণ 2 . a-এর কোন মানের জন্য সমীকরণের দুটির বেশি মূল আছে?
সমাধান. যদি আমরা মূল সমীকরণে x = 0 প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা 6 = 6 পাব, যার মানে হল x = 0 হল যেকোনো a-এর সমীকরণের সমাধান।
এখন x 0 দিন, তারপর আমরা লিখতে পারি 
. আসুন 2x + 3 এবং 2x – 3 রাশির চিহ্নগুলি খুঁজে বের করি।
মডিউলগুলি প্রসারিত করা যাক: a = 
(1)
x0a সমতলে আমরা বিন্দুগুলির একটি সেট তৈরি করব (x;a), যার স্থানাঙ্কগুলি সম্পর্ককে (1) সন্তুষ্ট করে।
যদি a = 0 হয়, তাহলে সমীকরণের ব্যবধানে অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে;
উত্তর: a = 0।
পরীক্ষা নিয়ন্ত্রণ
1 বিকল্প |
বিকল্প 2 |
1) সমীকরণটি সমাধান করুন: 0 x = a উত্তর |
1) সমীকরণটি সমাধান করুন: a x = a। উত্তর: a) a ≠ 0 এর জন্য, x = 1, a = 0, x R এর জন্য b) a = 0, x R এর জন্য, একটি ≠ 0 এর জন্য কোন মূল নেই c) a = 0 এর জন্য কোন মূল নেই, একটি ≠ x = এর জন্য |
2) সমীকরণটি সমাধান করুন: (в – 2) x = 5 + в। উত্তর: |
2) সমীকরণটি সমাধান করুন (b + 1) x = 3 – b. উত্তর: ক) β = 2 এর জন্য কোন শিকড় নেই; β ≠2, x = ; b) β = -2 এর জন্য কোন শিকড় নেই, β ≠-2 x = এর জন্য c) β = -1 এর জন্য কোন শিকড় নেই, একটি ≠ - 1 এর জন্য |
3) c প্যারামিটারের কোন মানের জন্য সমীকরণটিতে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে? c (c + 1) x = c 2 – 1. উত্তর: ক) সঙ্গে c = -1, x R, ; |
ইলেকটিভ কোর্সের পাঠ
এই বিষয়ে: "পরামিতির সাথে সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করা"
(সাধারণকরণ এবং পুনরাবৃত্তির পাঠ)
লক্ষ্য: 1. পরামিতিগুলির সাথে সমীকরণ এবং অসমতা সমাধানের জন্য পদ্ধতিগুলির বিষয়ে ছাত্রদের জ্ঞান পুনরাবৃত্তি করুন এবং সাধারণীকরণ করুন; নির্দিষ্ট কাজগুলি সমাধান করার সময় জ্ঞান প্রয়োগ করার ক্ষমতা একত্রিত করুন; 2. যৌক্তিক চিন্তাভাবনা বিকাশ করুন; 3. মনোযোগ এবং নির্ভুলতা চাষ.
পাঠ পরিকল্পনা: I. সাংগঠনিক মুহূর্ত______________________________2 মিনিট।
২. মৌলিক জ্ঞান আপডেট করা:
- পুনরাবৃত্তি_________________________________3 মিনিট।
- মৌখিক কাজ________________________________3 মিনিট।
- কার্ডের সাথে কাজ করা (1 এবং 2 এর সময়)
III. ব্যায়ামের সমাধান_________________________________২২ মিনিট।
আইওয়াই। পরীক্ষা সম্পাদন______________________________8 মিনিট।
Y. সংক্ষিপ্তকরণ, হোমওয়ার্ক সেট করা__2 মিনিট।
ক্লাস চলাকালীন:
আমি আয়োজনের সময়.
শিক্ষক: - হ্যালো বন্ধুরা. আপনাদের সবাইকে দেখে ভালো লাগছে, আমরা আমাদের পাঠ শুরু করছি। আজকের পাঠে আমাদের লক্ষ্য হল এই বিষয় অধ্যয়ন করার সময় পূর্ববর্তী পাঠে অর্জিত জ্ঞান, দক্ষতা এবং ক্ষমতার পুনরাবৃত্তি এবং অনুশীলন করা।
২ . মৌলিক জ্ঞান আপডেট করা:
1) পুনরাবৃত্তি।
শিক্ষক: - তাহলে, আসুন পুনরাবৃত্তি করি।
পরামিতি সহ রৈখিক সমীকরণকে কী বলা হয়?
এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় আমরা কোন ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছি?
প্যারামিটার সহ রৈখিক সমীকরণের উদাহরণ দাও।
প্যারামিটার সহ রৈখিক অসমতার উদাহরণ দাও।
2) মৌখিক কাজ।
টাস্ক: এই সমীকরণটিকে লিনিয়ার ফর্মে আনুন।
ডেস্কের উপর:
ক) 3a x – 1 =2 x;
খ) 2+5 x = 5a x;
গ) 2 x – 4 = a x + 1।
3) কার্ড ব্যবহার করে কাজ.
III . ব্যায়াম সমাধান.
অনুশীলনী 1. প্যারামিটার সহ সমীকরণ সমাধান করুনক.
3(ax + 1) + 1 = 2(a – x) + 1।
কাজটি বোর্ডে এবং নোটবুকে সম্পন্ন হয়।
টাস্ক 2। কি মূল্যে a, সরলরেখা y = 7ax + 9, এর মধ্য দিয়ে যায়
t. A(-3;2)?
কাজটি একজন ছাত্র দ্বারা বোর্ডে স্বাধীনভাবে সম্পন্ন হয়। বাকিগুলো নোটবুকে কাজ করে, তারপর বোর্ড দিয়ে চেক করুন।
শারীরিক শিক্ষা এক মিনিট.
টাস্ক 3। কি মূল্যে a, সমীকরণ 3(ax – a) = x – 1 আছে
অসীম অনেক সমাধান?
ছাত্রদের তাদের নোটবুকে স্বাধীনভাবে এই কাজটি সমাধান করতে বলা হয়। তারপর উত্তর চেক করুন.
টাস্ক 4। কি প্যারামিটার মানক , সমীকরণের মূলের সমষ্টি
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 1 এর সমান?
ঘটনাস্থল থেকে মন্তব্য করে কাজটি সম্পন্ন করা হয়।
টাস্ক 5। পরামিতি দিয়ে অসমতা সমাধান করুনআর:
р(5х - 2)
এই কাজটি বোর্ডে এবং নোটবুকে সম্পন্ন হয়।
আইওয়াই। পরীক্ষা নির্বাহ করা।
শিক্ষার্থীদের কাজ সহ পৃথক শীট দেওয়া হয়:
1) হল সমীকরণ6(ax + 1) + a = 3(a – x) + 7রৈখিক?
ক) হ্যাঁ; খ) না; গ) রৈখিক হ্রাস করা যেতে পারে
2) সমীকরণ (2ax + 1)a = 5a – 1 একটি রৈখিক সমীকরণ আকারে হ্রাস
ক) না; খ) হ্যাঁ;
3) প্যারামিটারের মান কতএবং সরলরেখা y = ax – 3 এর মধ্য দিয়ে যায়
T. A(-2;9)?
ক) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6।
4) 2ax + 1 = x কোন সমীকরণে -1 এর সমান একটি রুট আছে?
ক) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2।
5) দ্বিঘাত সমীকরণ হলে ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 নির্ভর করে
ক) মান ; খ) a এর মান; গ) মান -v/a;
d) কোন সমাধান নেই।
পরীক্ষার উত্তর:ভি; ক; ভি; ভি; খ.
YII. পাঠের সারসংক্ষেপ। হোমওয়ার্ক সেট করা।
শিক্ষক: - আজ পাঠে আমরা পূর্ববর্তী পাঠে অর্জিত জ্ঞানের পুনরাবৃত্তি এবং একীভূত করেছি, বিভিন্ন কাজ সম্পাদন করার সময় প্রয়োজনীয় দক্ষতা অনুশীলন করেছি। আমি মনে করি আপনি একটি ভাল কাজ করেছেন, ভাল করেছেন।
পাঠের জন্য নির্ধারিত গ্রেডগুলি ছাড়াও, আপনি পাঠের অন্যান্য অনেক শিক্ষার্থীর কাজের মূল্যায়ন করতে পারেন।
শিক্ষক :- আপনার বাড়ির কাজ লিখুন:
ডেস্কের উপর:
বৈষম্য সমাধান: x² - 2ax + 4 > 0।
পাঠ শেষ।
ভ্লাদিমির অঞ্চলের শিক্ষা বিভাগ
সুডোগোডস্কি জেলার শিক্ষা বিভাগ
পৌর শিক্ষা প্রতিষ্ঠান
"মশোক মাধ্যমিক বিদ্যালয়"
«
সমাধান সমীকরণ এবং অসমতা সঙ্গে প্যারামিটার»
বিকাশকারী: গ্যাভ্রিলোভা জিভি।
গণিত শিক্ষক
পৌর শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "মোশোকস্কায়া গড়"
ব্যাপক স্কুল"
2009 সাল
পরামিতি সহ সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করা
ব্যাখ্যামূলক টীকা
প্যারামিটারের ধারণা একটি গাণিতিক ধারণা যা প্রায়শই স্কুলের গণিত এবং সংশ্লিষ্ট শাখায় ব্যবহৃত হয়।
7ম গ্রেড - যখন একটি রৈখিক ফাংশন এবং একটি চলকের সাথে একটি রৈখিক সমীকরণ অধ্যয়ন করা হয়।
8 ম শ্রেণী - দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যয়ন করার সময়।
স্কুল গণিত কোর্সের সাধারণ শিক্ষা পাঠ্যক্রম পরামিতিগুলির সাথে সমস্যার সমাধানের জন্য সরবরাহ করে না এবং বিশ্ববিদ্যালয়গুলির প্রবেশিকা পরীক্ষায় এবং গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় পরামিতিগুলির সাথে সমস্যা রয়েছে, যার সমাধান শিক্ষার্থীদের জন্য অনেক সমস্যা সৃষ্টি করে প্যারামিটারগুলির সাথে ডায়গনিস্টিক এবং প্রগনোস্টিক মান রয়েছে, যা আপনাকে প্রধান বিভাগগুলির স্কুল গণিত কোর্স, যৌক্তিক চিন্তার স্তর, প্রাথমিক গবেষণা দক্ষতার জ্ঞান পরীক্ষা করতে দেয়।
কোর্সের মূল উদ্দেশ্য হল ছাত্রদের প্যারামিটারের সমস্যা সমাধানের সাধারণ পদ্ধতির সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া, শিক্ষার্থীদের এমনভাবে প্রস্তুত করা যাতে তারা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার পরিবেশে পরামিতি সমন্বিত সমস্যাগুলির সাথে সফলভাবে মোকাবেলা করতে পারে।
একটি সমীকরণ সমাধান করুন, সমাধানের সংখ্যা নির্ধারণ করুন, একটি সমীকরণ অনুসন্ধান করুন, ইতিবাচক মূল খুঁজুন, প্রমাণ করুন যে একটি অসমতার কোনো সমাধান নেই, ইত্যাদি - এই সবই প্যারামেট্রিক উদাহরণের বিকল্প। অতএব, উদাহরণগুলি সমাধানের জন্য সর্বজনীন নির্দেশনা দেওয়া অসম্ভব এই কোর্সটি সমাধান সহ বিভিন্ন উদাহরণ পরীক্ষা করে। কোর্সের উপাদান নিম্নলিখিত স্কিম অনুযায়ী উপস্থাপন করা হয়: পটভূমি তথ্য, সমাধান সহ উদাহরণ, স্বাধীন কাজের উদাহরণ, উপাদান আয়ত্ত করার সাফল্য নির্ধারণের উদাহরণ।
পরামিতি সহ কাজগুলি সমাধান করা গবেষণা দক্ষতা এবং বুদ্ধিবৃত্তিক বিকাশে অবদান রাখে।
কোর্সের উদ্দেশ্য:
রৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতাগুলি সমাধান করার সময় গ্রেড 7 এবং 8-এ অর্জিত জ্ঞান ছাত্রদের পদ্ধতিগত করা;
তাদের গাণিতিক ক্ষমতা সনাক্ত এবং বিকাশ;
রৈখিক সমীকরণ এবং পরামিতি সমন্বিত অসমতা সমাধানের একটি সামগ্রিক বোঝাপড়া তৈরি করুন;
দ্বিঘাত সমীকরণ এবং পরামিতি সমন্বিত অসমতা সমাধানের একটি সামগ্রিক বোঝাপড়া তৈরি করুন;
গণিতের জ্ঞানকে গভীর করা, বিষয়ের প্রতি শিক্ষার্থীদের টেকসই আগ্রহ তৈরি করা;
উচ্চ গাণিতিক সংস্কৃতির প্রয়োজন পেশাদার ক্রিয়াকলাপের জন্য প্রস্তুতি প্রদান করুন।
শিক্ষাগত এবং বিষয়ভিত্তিক পরিকল্পনা
|
№ p/p
|
বিষয় |
পরিমাণ ঘন্টার
|
কার্যক্রম |
|
1. |
|
|
কর্মশালা |
|
2. |
একটি প্যারামিটার সহ কাজ সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য। |
সেমিনার |
|
|
3. |
প্যারামিটার ধারণকারী রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা। |
|
|
|
4. |
পরামিতি ধারণকারী রৈখিক অসমতা সমাধান করা। |
গবেষণা কাজ; দক্ষতা প্রশিক্ষণ; স্বাধীন কাজ. |
|
|
5. |
দ্বিঘাত সমীকরণ. ভিয়েতার উপপাদ্য। |
3 |
গবেষণা কাজ; দক্ষতা প্রশিক্ষণ; স্বাধীন কাজ. |
|
6. |
কোর্সের সফল সমাপ্তি |
1 |
চূড়ান্ত পরীক্ষা |
বিষয় 1।রৈখিক সমীকরণ এবং অসমতা, দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করা, ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করা।
বিষয় 2. একটি প্যারামিটার সহ কাজ সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য।
একটি প্যারামিটারের ধারণা। "একটি পরামিতি দিয়ে একটি সমস্যা সমাধান" এর অর্থ কী? একটি প্যারামিটারের সাথে প্রাথমিক ধরনের সমস্যা। একটি প্যারামিটার দিয়ে সমস্যা সমাধানের জন্য মৌলিক পদ্ধতি।
একটি প্যারামিটার সহ রৈখিক সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ।
বিষয় 4. পরামিতি ধারণকারী রৈখিক অসমতা সমাধান করা।
একটি প্যারামিটার দিয়ে রৈখিক অসমতা সমাধানের উদাহরণ।
বিষয় 5. দ্বিঘাত সমীকরণ। ভিয়েতার উপপাদ্য।
একটি প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ।
ইলেকটিভ কোর্সের জন্য শিক্ষামূলক উপাদান
"সমাধান সমীকরণ এবং
পরামিতি সহ অসমতা"
বিষয় 1।এই বিষয়ের জন্য উদাহরণ.
বিষয় 2।উদাহরণ যেখানে শিক্ষার্থীরা ইতিমধ্যে প্যারামিটারের সম্মুখীন হয়েছে:
সরাসরি আনুপাতিকতা ফাংশন: y = kx (x এবং y ভেরিয়েবল; k একটি প্যারামিটার, k ≠ 0);
বিপরীত আনুপাতিকতা ফাংশন: y = k / x (x এবং y ভেরিয়েবল, k একটি প্যারামিটার, k ≠ 0)
লিনিয়ার ফাংশন: y = kh + b (x এবং y ভেরিয়েবল; k এবং b প্যারামিটার);
রৈখিক সমীকরণ: ax + b = 0 (x একটি পরিবর্তনশীল; a এবং b পরামিতি);
দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0 (x একটি চলক; a, b এবং c পরামিতি,
একটি প্যারামিটার কি?
যদি একটি সমীকরণ বা অসমতার মধ্যে কিছু সহগ নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় না, কিন্তু অক্ষর দ্বারা মনোনীত হয়, তাহলে সেগুলিকে পরামিতি বলা হয় এবং সমীকরণ বা অসমতা হল প্যারামেট্রিক।
প্যারামিটারগুলি সাধারণত ল্যাটিন বর্ণমালার প্রথম অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: a, b, c, ... বা a 1, a 2, a 3, ..., এবং অজানা ল্যাটিন বর্ণমালা x, y, এর শেষ অক্ষর দ্বারা। z, ... এই উপাধিগুলি বাধ্যতামূলক নয়, তবে যদি শর্তে এটি নির্দেশিত না হয় যে কোন অক্ষরগুলি পরামিতি এবং কোনটি অজানা -
mi, তারপর নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়.
উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি সমাধান করুন (4x – ax)a = 6x – 10। এখানে x হল অজানা এবং a হল প্যারামিটার।
"একটি পরামিতি দিয়ে একটি সমস্যা সমাধান" এর অর্থ কী?
একটি প্যারামিটারের সাথে একটি সমস্যা সমাধানের অর্থ হল, প্যারামিটার a-এর প্রতিটি মানের জন্য, এই সমস্যাটিকে সন্তুষ্ট করে এমন মান x খুঁজে বের করুন, যেমন এটা সমস্যার প্রশ্নের উপর নির্ভর করে।
পরামিতি সহ একটি সমীকরণ বা অসমতা সমাধান করার অর্থ হল:
কোন প্যারামিটার মান সমাধান বিদ্যমান তা নির্ধারণ করুন;
প্যারামিটার মানগুলির প্রতিটি গ্রহণযোগ্য সিস্টেমের জন্য, সমাধানগুলির সংশ্লিষ্ট সেটটি খুঁজুন।
একটি পরামিতি সঙ্গে সমস্যা প্রধান ধরনের কি কি?
ধরন 1.সমীকরণ, অসমতা যেগুলি অবশ্যই যে কোনও প্যারামিটার মানের জন্য বা পূর্বনির্ধারিত সেটের অন্তর্গত প্যারামিটার মানের জন্য সমাধান করতে হবে। "প্যারামিটারগুলির সাথে সমস্যা" বিষয়টি আয়ত্ত করার সময় এই ধরণের কাজটি মৌলিক।
টাইপ 2।সমীকরণ, অসমতা যার জন্য প্যারামিটারের মানের উপর নির্ভর করে সমাধানের সংখ্যা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।
টাইপ 3।সমীকরণ, অসমতা যার জন্য সেই সমস্ত প্যারামিটার মানগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন যার জন্য নির্দিষ্ট সমীকরণ এবং অসমতার একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক সমাধান রয়েছে (বিশেষত, তাদের অসীম সংখ্যক সমাধান নেই বা নেই)। টাইপ 3 এর সমস্যাগুলি কিছু অর্থে টাইপ 2 এর সমস্যার বিপরীত।
টাইপ 4।সমীকরণ, অসমতা যার জন্য, প্যারামিটারের প্রয়োজনীয় মানগুলির জন্য, সমাধানের সেট সংজ্ঞার ডোমেনে নির্দিষ্ট শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে।
উদাহরণস্বরূপ, প্যারামিটারের মানগুলি সন্ধান করুন যেখানে:
1) একটি প্রদত্ত ব্যবধান থেকে চলকের যেকোনো মানের জন্য সমীকরণটি সন্তুষ্ট;
2) প্রথম সমীকরণের সমাধানের সেট হল দ্বিতীয় সমীকরণের সমাধানের সেটের একটি উপসেট, ইত্যাদি।
একটি প্যারামিটার দিয়ে সমস্যা সমাধানের জন্য মৌলিক পদ্ধতি।
পদ্ধতি 1. (বিশ্লেষণমূলক) এই পদ্ধতিটি তথাকথিত সরাসরি সমাধান, একটি প্যারামিটার ছাড়াই সমস্যার উত্তর খোঁজার মানক পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি।
পদ্ধতি 2. (গ্রাফিক্যাল) টাস্কের উপর নির্ভর করে, স্থানাঙ্ক সমতল (x; y) বা স্থানাঙ্ক সমতলে (x; a) গ্রাফগুলি বিবেচনা করা হয়।
পদ্ধতি 3. (একটি পরামিতি সংক্রান্ত সিদ্ধান্ত) এই পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করার সময়, x এবং a ভেরিয়েবল সমান বলে ধরে নেওয়া হয়, এবং যে পরিবর্তনশীলটি বিশ্লেষণাত্মক সমাধানটিকে সহজ বলে বিবেচনা করা হয় তা নির্বাচন করা হয়। প্রাকৃতিক সরলীকরণের পরে, আমরা x এবং a ভেরিয়েবলের আসল অর্থে ফিরে আসি এবং সমাধানটি সম্পূর্ণ করি।
মন্তব্য করুন। পরামিতিগুলির সাথে সমস্যা সমাধানের একটি অপরিহার্য পদক্ষেপ হল উত্তর লেখা। এটি বিশেষত সেই উদাহরণগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেখানে প্যারামিটারের মানগুলির উপর নির্ভর করে সমাধানটি "শাখা" বলে মনে হয়। এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি প্রতিক্রিয়া রচনা করা হল পূর্বে প্রাপ্ত ফলাফলের একটি সংগ্রহ। এবং এখানে সমাধানের সমস্ত পর্যায়ে উত্তরে প্রতিফলিত করতে ভুলবেন না খুব গুরুত্বপূর্ণ।
এর উদাহরণ তাকান. 2.1। তুলনা করুন -a এবং 5a।
সমাধান। এটি তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা প্রয়োজন: যদি একটি 5a;
যদি a = 0, তাহলে –a = 5a;
যদি a > 0, তাহলে -a
উত্তর. যখন একটি 5a; a = 0, –a = 5a; a > 0, -a এর জন্য
সমীকরণ ax = 1 সমাধান করুন।
যদি a ≠ 0 হয়, তাহলে x = 1/a.
উত্তর. a = 0 এর জন্য কোন সমাধান নেই; একটি ≠ 0, x = 1 / a এর জন্য।
সাথে তুলনা করুন এবং – 7c।
cx = 10 সমীকরণটি সমাধান কর
বিষয় 3।
রৈখিক সমীকরণ
ফর্মের সমীকরণ
যেখানে a, b বাস্তব সংখ্যার সেটের অন্তর্গত, এবং x একটি অজানা, x এর সাপেক্ষে একটি রৈখিক সমীকরণ বলা হয়।
রৈখিক সমীকরণ অধ্যয়নের জন্য পরিকল্পনা (1)।
1.যদি একটি ≠ 0, b হল যেকোনো বাস্তব সংখ্যা। সমীকরণটির একটি অনন্য সমাধান আছে x = b/a।
2. যদি a=0, b=0 হয়, তাহলে সমীকরণটি 0 ∙ x = 0 রূপ নেবে, সমীকরণের সমাধান হবে সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট।
3. যদি a=0, b ≠ 0 হয়, তাহলে সমীকরণ 0 ∙ x = b এর কোনো সমাধান নেই।
মন্তব্য করুন। যদি রৈখিক সমীকরণটি (1) আকারে উপস্থাপিত না হয় তবে আপনাকে প্রথমে এটিকে (1) ফর্মে আনতে হবে এবং শুধুমাত্র তারপর অধ্যয়নটি চালাতে হবে।
উদাহরণ। 3.1 সমীকরণটি সমাধান করুন (a -3)x = b+2a
সমীকরণটি (1) হিসাবে লেখা হয়।
সমাধান: যদি a≠ 3 হয়, তাহলে সমীকরণটিতে যেকোনো b-এর জন্য x = b+2a/ a-3 সমাধান আছে।
এর মানে হল a এর একমাত্র মান যেখানে সমীকরণের কোনো সমাধান নাও হতে পারে তা হল a = 3। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ (a -3)x = b+2a রূপ নেয়
0 ∙ x = b+6। (2)
যদি β≠ - 6 হয়, তাহলে সমীকরণ (2) এর কোনো সমাধান নেই।
যদি β = - 6 হয়, তাহলে যেকোনো x হল (2) এর সমাধান।
ফলস্বরূপ, β = - 6 হল প্যারামিটার β এর একমাত্র মান যার জন্য সমীকরণ (1) যেকোন a এর জন্য একটি সমাধান রয়েছে (x=2 একটি ≠3 এর জন্য এবং x একটি = 3 এর জন্য বাস্তব সংখ্যার সেটের অন্তর্গত)।
উত্তরঃ b = -6.
3.2। 3(x-2a) = 4(1-x) সমীকরণটি সমাধান করুন।
3.3। 3/kx-12=1/3x-k সমীকরণটি সমাধান কর
3.4। সমীকরণটি সমাধান করুন (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5। x 2 + (2a +4)x +8a+1=0 সমীকরণটি সমাধান করুন
স্বাধীন কাজ.
বিকল্প 1. সমীকরণগুলি সমাধান করুন: ক) ইনপুট + 2 = - 1;
খ) (a – 1) x = a – 2;
গ) (a 2 – 1) x – a 2 + 2a – 1 = 0।
বিকল্প 2. সমীকরণগুলি সমাধান করুন: a) – 8 = in + 1;
খ) (a + 1) x = a – 1;
গ) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0।
বিষয় 4।
প্যারামিটার সহ রৈখিক অসমতা
অসমতা
আহ > ইন, আহ
যেখানে a, b প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে এক্সপ্রেশন, এবং x অজানা,পরামিতি সহ রৈখিক অসমতা বলা হয়।
পরামিতিগুলির সাথে একটি অসমতা সমাধান করার অর্থ হল সমস্ত প্যারামিটার মানগুলির জন্য অসমতার সমাধানগুলির একটি সেট খুঁজে বের করা৷
বৈষম্য সমাধানের পরিকল্পনা কএক্স > গ.
a > 0 হলে, x > b/a.
যদি একটি
যদি a = 0 হয়, তাহলে অসমতা 0 ∙ x > b রূপ নেবে। β ≥ 0 এর জন্য অসমতার কোন সমাধান নেই; এ
উদাহরণ। 4.1। অসমতা a(3x-1)>3x – 2 সমাধান করুন।
সমাধান: a(3x-1)>3x – 2, যার অর্থ 3x(a-1)>a-2।
আসুন তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।
a=1, সমাধান 0 ∙ x > -1 হল যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
a>1, 3x(a-1)>a-2, যার অর্থ x>a-2/3 (a-1)।
এবং a-2 মানে x
2ax +5 > a+10x।
(a + 1) x – 3a + 1 ≤ 0।
X 2 + ax +1 > 0।
স্বাধীন কাজ.
বিকল্প 1.অসমতা সমাধান: ক) ( ক- 1) এক্স ≤ ক 2 – 1;
খ) 3x-a > ah – 2।
বিকল্প 2।অসমতা সমাধান করুন: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;
b) akh-2v
টপিক 5।
পরামিতি ধারণকারী দ্বিঘাত সমীকরণ। ভিয়েতার উপপাদ্য।
ফর্মের সমীকরণ
ax 2 +in + c = 0, (1)
যেখানে a, b, c হল পরামিতির উপর নির্ভর করে রাশি, a ≠ 0, x একটি অজানা, যাকে প্যারামিটার সহ দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।
দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যয়নের জন্য পরিকল্পনা (1)।
যদি a = 0 হয়, তাহলে আমাদের রৈখিক সমীকরণ আছে inx + c = 0।
যদি a ≠ 0 এবং D = 2 – 4ac সমীকরণের বৈষম্য
যদি একটি ≠ 0 এবং D = 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির একটি অনন্য সমাধান আছে x = - B / 2a বা, যেমন তারা বলে, মিলিত মূল x 1 = x 2 = - B / 2a।
যদি একটি ≠ 0 এবং D > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি ভিন্ন মূল আছে এক্স 1.2 = (- V ± √D) / 2a
উদাহরণ। 5.1। প্যারামিটার a এর সমস্ত মানের জন্য, সমীকরণটি সমাধান করুন
(a – 1) x 2 – 2ax + a + 2 = 0।
সমাধান। 1. a – 1 = 0, i.e. a = 1. তারপর সমীকরণটি রূপ নেবে -2x + 3 = 0, x = 3 / 2।
2. a ≠ 1. চলুন D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8 সমীকরণের বৈষম্য নির্ণয় করি।
নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সম্ভব: a) D 8, a > 2. সমীকরণটি নেই
b) D = 0, i.e. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2। সমীকরণটির একটি আছে
root x = a / (a – 1) = 2 / (2 – 1) = 2।
গ) D > 0, অর্থাৎ -4a + 8 > 0.4a
root x 1.2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a – 1)
উত্তর. যখন a = 1 x = 3 / 2;
যখন a =2 x = 2;
একটি > 2 এর জন্য কোন শিকড় নেই;
সমস্ত প্যারামিটার মানের জন্য, সমীকরণগুলি সমাধান করুন:
ax 2 + 3ax – a – 2 = 0;
ax 2 +6x – 6 = 0;
2-এ (+1) x +1 = 0;
(b + 1) x 2 – 2x + 1 – b = 0।
স্বাধীন কাজ.
বিকল্প 1. সমীকরণ ax 2 - (a+3)x + 3 = 0 সমাধান করুন।
বিকল্প 2. a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।
কাজ.
. প্যারামিটার a এর সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ
সমাধান। এই সমীকরণটি শর্ত দ্বারা দ্বিঘাত, যার অর্থ
a – 1 ≠ 0, অর্থাৎ a ≠ 1. আসুন বৈষম্যকারী D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) = বের করি
4(4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4(5a + 4)।
আমাদের আছে: 1) একটি ≠ 1 এবং D > 0 এর জন্য, অর্থাৎ 4(5a + 4) > 0, a > - 4 / 5 সমীকরণ দুটি আছে
বিভিন্ন শিকড়।
2) একটি ≠ 1 এবং D এর জন্য
3) একটি ≠ 1 এবং D = 0 এর জন্য, i.e. a = - 4/5 সমীকরণটির একটি মূল আছে।
উত্তর. যদি a > - 4 / 5 এবং a ≠ 1 হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি ভিন্ন মূল আছে;
যদি a = - 4/5 হয়, তাহলে সমীকরণটির একটি মূল আছে।
.প্যারামিটারের কোন মানের জন্য সমীকরণ (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 এর একটি অনন্য সমাধান আছে?
.প্যারামিটার a এর কোন মানের জন্য সমীকরণ (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 এর কোন সমাধান নেই?
a প্যারামিটারের কোন মানের জন্য সমীকরণ ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 এর দুটি ভিন্ন মূল আছে?
স্বাধীন কাজ.
বিকল্প 1.সমস্ত প্যারামিটার মান খুঁজুন ক, যার জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ (2 ক – 1)এক্স 2 +2এক্স- 1 = 0 এর দুটি ভিন্ন মূল আছে; কোন শিকড় নেই; একটি মূল আছে।
বিকল্প 2।. একটি প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন যার জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ (1 – ক)এক্স 2 +4এক্স- 3 = 0 এর দুটি ভিন্ন মূল আছে; কোন শিকড় নেই; একটি মূল আছে।
ভিয়েতার উপপাদ্য।
নিম্নলিখিত উপপাদ্যগুলি পরামিতি সমন্বিত দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে জড়িত অনেক সমস্যার সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।
ভিয়েতার উপপাদ্য।যদি x 1, x 2 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল হয় ax 2 + bx + c = 0, a≠0, তাহলে x 1 + x 2 = - B/a এবং x 1 ∙ x 2 = C/a।
উপপাদ্য ঘ.বর্গাকার ত্রিনয়ক ax 2 + bx + c এর শিকড়গুলি বাস্তব হওয়ার জন্য এবং একই চিহ্নগুলির জন্য, নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C/A > 0।
এই ক্ষেত্রে, x 1 + x 2 = - B /a > 0 হলে উভয় মূলই ধনাত্মক হবে এবং x 1 + x 2 = - B /a হলে উভয় মূলই ঋণাত্মক হবে
উপপাদ্য 2।বর্গাকার ত্রিনয়ক ax 2 + bx + c এর শিকড় বাস্তব এবং অ-নেতিবাচক বা উভয়ই অ-ধনাত্মক হওয়ার জন্য, নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0।
এই ক্ষেত্রে, x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0 হলে উভয় মূলই অ-ঋণাত্মক হবে এবং x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0 হলে উভয় মূলই অ-ধনাত্মক হবে।
উপপাদ্য 3.চতুর্মুখী ত্রিনয়ক ax 2 + bx + c এর শিকড়গুলি বাস্তব হতে এবং বিভিন্ন চিহ্নের জন্য, নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট: x 1 ∙ x 2 = C /a এই ক্ষেত্রে, শর্ত D = b 2 – 4ac > 0 স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট।
বিঃদ্রঃ.এই উপপাদ্যগুলি ax 2 + bx + c = 0 সমীকরণের শিকড়গুলির চিহ্নগুলির অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
দরকারী সমতা: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a – 1) x 2 – 2ax + a +1 = 0 আছে: a) দুটি ধনাত্মক মূল; খ) দুটি নেতিবাচক শিকড়; গ) বিভিন্ন লক্ষণের শিকড়?
সমাধান। সমীকরণটি দ্বিঘাত, যার অর্থ হল একটি ≠ 1। ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে আমাদের আছে
x 1 + x 2 = 2a / (a – 1), x 1 x 2 = (a + 1) / (a – 1)।
আসুন বৈষম্যকারী D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4 গণনা করি।
ক) উপপাদ্য 1 অনুসারে, সমীকরণটির ধনাত্মক মূল আছে যদি
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, i.e. (a + 1) / (a – 1) > 0, 2a / (a – 1) > 0।
তাই a є (-1; 0)।
b) উপপাদ্য 1 অনুসারে, সমীকরণের ঋণাত্মক মূল আছে যদি
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a – 1)
তাই a є (0; 1)।
গ) উপপাদ্য 3 অনুসারে, x 1 x 2 হলে সমীকরণটির বিভিন্ন চিহ্নের মূল রয়েছে
(a + 1) / (a – 1) উত্তর। ক) একটি є (-1; 0) সমীকরণটির ধনাত্মক মূল রয়েছে;
b) একটি є (0; 1) এর জন্য সমীকরণটির নেতিবাচক মূল রয়েছে;
গ) একটি є (-1; 1) এর জন্য সমীকরণটিতে বিভিন্ন চিহ্নের মূল রয়েছে।
5.11.
প্যারামিটার a এর কোন মানের সাথে দ্বিঘাত সমীকরণ
(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 আছে: a) দুটি ধনাত্মক মূল; খ) দুটি নেতিবাচক শিকড়; গ) বিভিন্ন লক্ষণের শিকড়?
5. 12. 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0 সমীকরণটি সমাধান না করে, x 1 -1 + x 2 -1 খুঁজুন, যেখানে x 1, x 2 হল সমীকরণের মূল।
5.13। a প্যারামিটারের কোন মানের জন্য সমীকরণটি x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 এর মূল রয়েছে যার বর্গের সমষ্টি 4।
পরীক্ষা।
বিকল্প 1. 1. সমীকরণটি সমাধান করুন (a 2 + 4a)x = 2a + 8।
2. অসমতা (+ 1) x ≥ (2 – 1-এ) সমাধান করুন।
3. a প্যারামিটারের কোন মানের সাথে সমীকরণ করে
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 আছে: a) দুটি ধনাত্মক মূল; খ) দুটি নেতিবাচক শিকড়; গ) বিভিন্ন লক্ষণের শিকড়?
বিকল্প 2. 1. সমীকরণটি সমাধান করুন (a 2 – 2a)x = 3a।
2. অসমতা (a + 2) x ≤ a 2 – 4 সমাধান করুন।
3. সমীকরণে প্যারামিটারের কোন মান
x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 আছে: a) দুটি ধনাত্মক মূল; খ) দুটি নেতিবাচক মূল; গ) বিভিন্ন লক্ষণের শিকড়?
সাহিত্য।
ভি.ভি. মোচালভ, ভি.ভি. সিলভেস্ট্রভ। পরামিতি সহ সমীকরণ এবং অসমতা। Ch.: ChSU পাবলিশিং হাউস, 2004. – 175 p.
ইয়াস্ট্রেবিনস্কি জি.এ. পরামিতি সঙ্গে সমস্যা. এম.: শিক্ষা, 1986, - 128 পি।
বাশমাকভ এম.আই. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনা। মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের 10 - 11 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তক। এম.: শিক্ষা, 1991। - 351 পি।
টি. পেসকোভা। সমীকরণে পরামিতিগুলির প্রথম ভূমিকা। শিক্ষাগত এবং পদ্ধতিগত সংবাদপত্র "গণিত"। নং 36, 1999।
টি. কোস্যাকোভা। পরামিতি ধারণকারী রৈখিক এবং দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করা। 9 ম গ্রেড শিক্ষাগত এবং পদ্ধতিগত সংবাদপত্র "গণিত" নং 25 - 26, নং 27 - 28. 2004।
টি. গোর্শেনিনা। একটি পরামিতি সঙ্গে সমস্যা. ৮ম শ্রেণী শিক্ষাগত এবং পদ্ধতিগত সংবাদপত্র "গণিত"। নং 16। 2004।
শ। বর্গাকার ট্রিনোমিয়াল এবং প্যারামিটার। শিক্ষাগত এবং পদ্ধতিগত সংবাদপত্র "গণিত"। নং 5। 1999।
এস নেদেলিয়ায়েভা। একটি প্যারামিটার দিয়ে সমস্যা সমাধানের বৈশিষ্ট্য। শিক্ষাগত এবং পদ্ধতিগত সংবাদপত্র "গণিত"। নং 34। 1999।
