Conferencia: Líneas que se cruzan, paralelas y que se cruzan; perpendicularidad de lineas

Líneas secantes

Si hay varias líneas rectas en un plano, tarde o temprano se cruzarán arbitrariamente, formarán ángulos rectos o serán paralelas. Veamos cada caso.

Aquellas rectas que tienen al menos un punto de intersección se pueden llamar intersecantes.

Quizás te preguntes por qué al menos una línea recta no puede cruzar a otra línea recta dos o tres veces. ¡Tienes razón! Pero las líneas rectas pueden coincidir completamente entre sí. En este caso, habrá una infinidad de puntos en común.

Paralelismo

Paralelo Puedes nombrar aquellas líneas que nunca se cruzarán, ni siquiera en el infinito.

Es decir, paralelos son aquellos que no tienen un único punto en común. Tenga en cuenta que esta definición es válida solo si las líneas están en el mismo plano, pero si no tienen puntos comunes, al estar en diferentes planos, entonces se consideran que se cruzan.

Ejemplos de líneas paralelas en la vida: dos bordes opuestos de la pantalla de un monitor, líneas en cuadernos y muchas otras partes de cosas que tienen formas cuadradas, rectangulares y otras.

Cuando quieren demostrar por escrito que una recta es paralela a otra, utilizan la siguiente notación a||b. Esta entrada dice que la línea a es paralela a la línea b.

Al estudiar este tema, es importante comprender una afirmación más: a través de un cierto punto del plano que no pertenece a una línea dada, se puede trazar una sola línea paralela. Pero atención, nuevamente la corrección está en el avión. Si consideramos el espacio tridimensional, entonces podemos dibujar un número infinito de líneas que no se cruzarán, pero se cruzarán.

La declaración que se describió anteriormente se llama axioma de rectas paralelas.

Perpendicularidad

Sólo se puede llamar a líneas directas si perpendicular, si se cruzan en un ángulo igual a 90 grados.

En el espacio, a través de un determinado punto de una recta, se pueden trazar un número infinito de rectas perpendiculares. Sin embargo, si hablamos de un plano, entonces a través de un punto de una recta se puede trazar una única recta perpendicular.

Líneas rectas cruzadas. Secante

Si algunas rectas se cruzan en un punto determinado formando un ángulo arbitrario, se las puede llamar mestizaje.

Cualquier línea que se cruce tiene ángulos verticales y adyacentes.

Si los ángulos formados por dos rectas que se cruzan tienen un lado en común, entonces se llaman adyacentes:

Los ángulos adyacentes suman 180 grados.

Teorema. Si una línea se encuentra en un plano dado y otra línea corta este plano en un punto que no pertenece a la primera línea, entonces estas dos líneas se cruzan. Signo de cruce de líneas Prueba. Supongamos que la línea a se encuentra en el plano y la línea b corta al plano en el punto B, que no pertenece a la línea a. Si las rectas a y b estuvieran en el mismo plano, entonces también estaría en este plano el punto B. Como solo hay un plano que pasa por la recta y un punto fuera de esta recta, entonces este plano debe ser un plano. Pero entonces la recta b estaría en el plano, lo que contradice la condición. En consecuencia, las rectas a y b no se encuentran en el mismo plano, es decir cruzarse.

¿Cuántos pares de líneas oblicuas hay que contienen las aristas de un prisma triangular regular? Solución: Para cada borde de las bases hay tres bordes que se cruzan con él. Para cada borde lateral hay dos nervaduras que se cruzan con él. Por lo tanto, el número requerido de pares de líneas oblicuas es el Ejercicio 5

¿Cuántos pares de líneas oblicuas hay que contienen las aristas de un prisma hexagonal regular? Solución: Cada borde de las bases participa en 8 pares de líneas que se cruzan. Cada borde lateral participa en 8 pares de líneas que se cruzan. Por lo tanto, el número requerido de pares de líneas oblicuas es el Ejercicio 6

La posición relativa de dos líneas en el espacio.

La posición relativa de dos líneas en el espacio se caracteriza por las tres posibilidades siguientes.

Las rectas se encuentran en el mismo plano y no tienen puntos comunes: rectas paralelas.

Las líneas se encuentran en el mismo plano y tienen un punto común: las líneas se cruzan.

En el espacio también se pueden ubicar dos líneas rectas de tal manera que no se encuentren en ningún plano. Estas líneas se llaman sesgadas (no se cruzan ni son paralelas).

EJEMPLO:

PROBLEMA 434 El triángulo ABC se encuentra en un plano, a

El triángulo ABC está en el plano, pero el punto D no está en este plano. Los puntos M, N y K son respectivamente los puntos medios de los segmentos DA, DB y DC

Teorema. Si una de dos rectas se encuentra en un determinado plano y la otra cruza este plano en un punto que no se encuentra en la primera recta, entonces estas rectas se cruzan.

En la Fig. 26 la línea recta a se encuentra en el plano y la línea recta c se cruza en el punto N. Las líneas a y c se cruzan.

Teorema. Por cada una de las dos rectas que se cruzan pasa sólo un plano paralelo a la otra recta.

En la Fig. 26 líneas a y b se cruzan. Se traza una recta y se traza un plano (alfa) || b (en el plano B (beta) se indica la recta a1 || b).

Teorema 3.2.

Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas.

Esta propiedad se llama transitividad paralelismo de rectas.

Prueba

Sean las líneas a y b simultáneamente paralelas a la línea c. Supongamos que a no es paralela a b, entonces la línea a corta a la línea b en algún punto A, que no se encuentra en la línea c por condición. En consecuencia, tenemos dos rectas a y b, que pasan por un punto A, que no se encuentran en una recta dada c, y al mismo tiempo paralelas a ella. Esto contradice el axioma 3.1. El teorema ha sido demostrado.

Teorema 3.3.

A través de un punto que no se encuentra en una recta dada, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada.

Prueba

Sea (AB) una recta dada y C un punto que no se encuentra sobre ella. La línea AC divide el plano en dos semiplanos. El punto B se encuentra en uno de ellos. De acuerdo con el axioma 3.2, es posible depositar un ángulo (ACD) del rayo C A igual al ángulo (CAB) en otro semiplano. ACD y CAB son iguales internas transversalmente situadas con las rectas AB y CD y la secante (AC) Entonces, según el teorema 3.1 (AB) || (CD). Teniendo en cuenta el axioma 3.1. El teorema ha sido demostrado.

La propiedad de las rectas paralelas viene dada por el siguiente teorema, contrario al teorema 3.1.

Teorema 3.4.

Si dos rectas paralelas son intersecadas por una tercera recta, entonces los ángulos interiores que se cruzan son iguales.

Prueba

Sea (AB) || (CD). Supongamos que ACD ≠ BAC. Por el punto A trazamos la recta AE de modo que EAC = ACD. Pero entonces, según el teorema 3.1 (AE ) || (CD ), y por condición – (AB ) || (CD). De acuerdo con el Teorema 3.2 (AE ) || (AB). Esto contradice el teorema 3.3, según el cual a través de un punto A que no se encuentra en la recta CD se puede trazar una única recta paralela a él. El teorema ha sido demostrado.

Figura 3.3.1.

Con base en este teorema, las siguientes propiedades pueden justificarse fácilmente.

Si dos rectas paralelas son intersecadas por una tercera recta, entonces los ángulos correspondientes son iguales.

Si dos rectas paralelas son intersecadas por una tercera recta, entonces la suma de los ángulos interiores unilaterales es 180°.

Corolario 3.2.

Si una recta es perpendicular a una de las paralelas, entonces también lo es a la otra.

El concepto de paralelismo nos permite introducir el siguiente concepto nuevo, que será necesario más adelante en el Capítulo 11.

Los dos rayos se llaman igualmente dirigido, si hay una línea tal que, en primer lugar, son perpendiculares a esta línea y, en segundo lugar, los rayos se encuentran en el mismo semiplano con respecto a esta línea.

Los dos rayos se llaman dirigido de manera opuesta, si cada uno de ellos está igualmente dirigido con un rayo complementario al otro.

Denotaremos los rayos AB y CD con direcciones idénticas: y los rayos AB y CD con direcciones opuestas -

Figura 3.3.2.

Señal de cruce de líneas.

Si una de dos rectas se encuentra en un determinado plano y la otra recta corta este plano en un punto que no se encuentra en la primera recta, entonces estas rectas se cruzan.

Casos de disposición mutua de líneas en el espacio.

1. Hay cuatro casos diferentes de disposición de dos líneas en el espacio:

   
   

   – cruce recto, es decir no se acueste en el mismo plano;

   – las líneas rectas se cruzan, es decir se encuentran en el mismo plano y tienen un punto común;

   – líneas paralelas, es decir se encuentran en el mismo plano y no se cruzan;

   - las líneas coinciden.

   
   

   Obtengamos las características de estos casos de posición relativa de rectas dadas por las ecuaciones canónicas.

   
   
   Dónde — puntos pertenecientes a líneas Y en consecuencia, un— vectores de dirección (figura 4.34). Denotemos porun vector que conecta puntos dados.
   
   

   Las siguientes características corresponden a los casos de posición relativa de líneas enumerados anteriormente:

   
   

   – los vectores rectos y transversales no son coplanares;

   
   

   – las líneas rectas y los vectores que se cruzan son coplanares, pero los vectores no son colineales;

   
   

   – los vectores directos y paralelos son colineales, pero los vectores no son colineales;

   
   

   – las rectas y los vectores coincidentes son colineales.

   
   

   Estas condiciones se pueden escribir utilizando las propiedades de productos mixtos y vectoriales. Recuerde que el producto mixto de vectores en el sistema de coordenadas rectangular derecho se encuentra mediante la fórmula:

   
   
   y el determinante que se cruza es cero, y su segunda y tercera filas no son proporcionales, es decir
   

   – La segunda y tercera líneas rectas y paralelas del determinante son proporcionales, es decir y las dos primeras líneas no son proporcionales, es decir

   
   

   – las rectas y todas las rectas del determinante coinciden y son proporcionales, es decir

Prueba de la prueba de la línea oblicua.

Si una de dos rectas se encuentra en un plano y la otra corta a este plano en un punto que no pertenece a la primera recta, entonces estas dos rectas se cruzan.

Prueba

Sea a pertenece a α, b intersecta a α = A, A no pertenece a a (Dibujo 2.1.2). Supongamos que las líneas a y b no se cruzan, es decir, se cruzan. Entonces existe un plano β al que pertenecen las rectas a y b. En este plano β se encuentran una línea a y un punto A. Dado que la línea a y el punto A fuera de ella definen un solo plano, entonces β = α. Pero b impulsa a β y b no pertenece a α, por lo tanto la igualdad β = α es imposible.

Si dos líneas en el espacio tienen un punto común, entonces se dice que estas dos líneas se cruzan. En la siguiente figura, las líneas a y b se cruzan en el punto A. Las líneas a y c no se cruzan.

Dos líneas rectas cualesquiera tienen un solo punto en común o no tienen puntos en común.

Lineas paralelas

Dos rectas en el espacio se llaman paralelas si se encuentran en el mismo plano y no se cruzan. Para indicar líneas paralelas, use un icono especial - ||.

La notación a||b significa que la línea a es paralela a la línea b. En la figura presentada arriba, las líneas a y c son paralelas.

Teorema de líneas paralelas

Por cualquier punto del espacio que no se encuentre en una recta dada, pasa una recta paralela a la dada y, además, una sola.

Líneas que se cruzan

Dos rectas que se encuentran en el mismo plano pueden cruzarse o ser paralelas. Pero en el espacio dos líneas rectas no pertenecen necesariamente a este plano. Se pueden ubicar en dos planos diferentes.

Es obvio que las rectas ubicadas en diferentes planos no se cruzan y no son rectas paralelas. Dos rectas que no están en el mismo plano se llaman cruzando lineas rectas.

La siguiente figura muestra dos líneas rectas a y b que se cruzan y que se encuentran en planos diferentes.

Prueba y teorema sobre líneas oblicuas.

Si una de dos rectas se encuentra en un determinado plano y la otra recta corta este plano en un punto que no se encuentra en la primera recta, entonces estas rectas se cruzan.

Teorema sobre líneas oblicuas: por cada una de las dos rectas que se cruzan pasa un plano paralelo a la otra recta y, además, sólo una.

Así, hemos considerado todos los casos posibles de posiciones relativas de líneas en el espacio. Sólo hay tres de ellos.

1. Las líneas se cruzan. (Es decir, sólo tienen un punto en común).

2. Las rectas son paralelas. (Es decir, no tienen puntos comunes y se encuentran en el mismo plano).

3. Las líneas rectas se cruzan. (Es decir, están ubicados en diferentes planos).