افزایش می یابددر بازه \(X\) اگر برای هر \(x_1، x_2\در X\) به طوری که \(x_1 تابع فراخوانی می شود بدون کاهش \(\blacktriangleright\) تابع \(f(x)\) فراخوانی می شود در حال کاهش استدر بازه \(X\) اگر برای هر \(x_1، x_2\در X\) به طوری که \(x_1 تابع فراخوانی می شود غیر افزایشیدر بازه \(X\) اگر برای هر \(x_1، x_2\در X\) به طوری که \(x_1 \(\blacktriangleright\) توابع افزایش و کاهش نامیده می شوند کاملا یکنواخت، و غیر افزایشی و غیر کاهشی به سادگی است یکنواخت. \(\مثلث سیاه\) خواص اصلی: مناگر تابع \(f(x)\) روی \(X\) کاملاً یکنواخت باشد، پس از برابری \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\در X\)) \(f( x_1)= f(x_2)\) و بالعکس. مثال: تابع \(f(x)=\sqrt x\) به شدت برای همه \(x\in \) در حال افزایش است، بنابراین معادله \(x^2=9\) حداکثر یک جواب در این بازه دارد. یا بهتر بگوییم یکی: \(x=-3\) . تابع \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) به شدت برای همه \(x\in (-1;+\infty)\) در حال افزایش است، بنابراین معادله \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) بیش از یک راه حل در این بازه ندارد، یا بهتر است بگوییم هیچ، زیرا عدد سمت چپ هرگز نمی تواند برابر با صفر باشد. III.اگر تابع \(f(x)\) غیر کاهشی (غیر افزایشی) و پیوسته در قطعه \(\) باشد و در انتهای قطعه مقادیر \(f(a)= را بگیرد. A، f(b)=B\)، سپس برای \(C\in \) (\(C\in \) ) معادله \(f(x)=C\) همیشه حداقل یک جواب دارد. مثال: تابع \(f(x)=x^3\) به شدت افزایش می‌یابد (یعنی کاملاً یکنواخت) و برای همه \(x\in\mathbb(R)\) پیوسته است، بنابراین برای هر \(C\ در ( -\infty;+\infty)\) معادله \(x^3=C\) دقیقاً یک راه حل دارد: \(x=\sqrt(C)\) . وظیفه 1 #3153 سطح وظیفه: آسان تر از آزمون دولتی واحد دقیقا دو ریشه دارد بیایید معادله را به صورت زیر بنویسیم: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]تابع \(f(t)=t^3+t\) را در نظر بگیرید. سپس معادله به این شکل بازنویسی می شود: \ بیایید تابع \(f(t)\) را مطالعه کنیم. \ در نتیجه، تابع \(f(t)\) برای همه \(t\) افزایش می یابد. این بدان معناست که هر مقدار تابع \(f(t)\) دقیقاً با یک مقدار آرگومان \(t\) مطابقت دارد. بنابراین، برای اینکه معادله دارای ریشه باشد، لازم است: \
برای اینکه معادله حاصل دو ریشه داشته باشد، ممیز آن باید مثبت باشد: \
پاسخ: \(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\) وظیفه 2 #2653 سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی تمام مقادیر پارامتر \(a\) را که معادله آن است را بیابید \
دو ریشه دارد (تکلیف از مشترکین.) بیایید جایگزینی ایجاد کنیم: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . سپس معادله به شکل زیر در می آید: \
تابع \(f(w)=7^w+\sqrtw\) را در نظر بگیرید. سپس معادله ما به شکل زیر در می آید: \ بیایید مشتق را پیدا کنیم \
توجه داشته باشید که برای همه \(w\ne 0\) مشتق \(f"(w)>0\) است، زیرا \(7^w>0\) , \(w^6>0\). همچنین توجه داشته باشید که تابع \(f(w)\) برای همه \(w\) تعریف شده است، از آنجایی که \(f(w)\) نیز پیوسته است، می توانیم نتیجه بگیریم که \(f (w)\) در قسمت افزایش می یابد. کل \(\mathbb(R)\) . \
برای اینکه این معادله دو ریشه داشته باشد باید مربع و ممیز آن مثبت باشد: \[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
پاسخ: \((-\infty;1)\ cup(1;2)\) وظیفه 3 #3921 سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی تمام مقادیر مثبت پارامتر \(a\) که معادله آن است را بیابید حداقل \(2\) راه حل دارد. بیایید تمام عبارات حاوی \(ax\) را به سمت چپ و موارد حاوی \(x^2\) را به سمت راست منتقل کنیم و تابع را در نظر بگیریم. سپس معادله اصلی به شکل زیر در می آید: بیایید مشتق را پیدا کنیم: چون \((t-2)^2 \geqslant 0، \e^t>0، \1+\cos(2t) \geqslant 0\)، سپس \(f"(t)\geqslant 0\) برای هر \(t\in \mathbb(R)\) . علاوه بر این، \(f"(t)=0\) اگر \((t-2)^2=0\) و \(1+\cos(2t)=0\) همزمان باشد، که درست نیست برای هر \ (t\) بنابراین، \(f"(t)> 0\) برای هر \(t\in \mathbb(R)\). بنابراین، تابع \(f(t)\) به شدت برای همه \(t\in \mathbb(R)\) در حال افزایش است. این بدان معنی است که معادله \(f(ax)=f(x^2)\) معادل معادله \(ax=x^2\) است. معادله \(x^2-ax=0\) برای \(a=0\) یک ریشه \(x=0\) و برای \(a\ne 0\) دو ریشه دارد. ریشه های مختلف\(x_1=0\) و \(x_2=a\) . پاسخ: \((0;+\infty)\) . وظیفه 4 #1232 سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \
راه حل منحصر به فردی دارد بیایید سمت راست و چپ معادله را در \(2^(\sqrt(x+1))\) ضرب کنیم (از آنجایی که \(2^(\sqrt(x+1))>0\)) و معادله را دوباره بنویسیم. به شکل: \
تابع را در نظر بگیرید \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)برای \(t\geqslant 0\) (از آنجا که \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\)). مشتق \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\). چون \(2^t>0، \ \dfrac(1)(t+2)>0، \ \ln((t+2))>0\)برای همه \(t\geqslant 0\) و سپس \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. در نتیجه، با \(t\geqslant 0\) تابع \(y\) به طور یکنواخت کاهش می یابد. معادله را می توان به شکل \(y(t)=y(z)\) در نظر گرفت که در آن \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . از یکنواختی تابع نتیجه می شود که برابری تنها در صورتی امکان پذیر است که \(t=z\) . این به این معنی است که معادله معادل معادله \(ax=\sqrt(x+1)\) است که به نوبه خود معادل سیستم است: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\] وقتی \(a=0\) سیستم یک راه حل \(x=-1\) دارد که شرط \(ax\geqslant 0\) را برآورده می کند. مورد \(a\ne 0\) را در نظر بگیرید. ممیز معادله اول سیستم \(D=1+4a^2>0\) برای همه \(a\) . در نتیجه، معادله همیشه دارای دو ریشه \(x_1\) و \(x_2\) است و آنها دارای علائم مختلف هستند (زیرا طبق قضیه ویتا \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). این بدان معنی است که برای \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) شرط با یک ریشه مثبت ارضا می شود. بنابراین، سیستم همیشه یک راه حل منحصر به فرد دارد. بنابراین، \(a\in \mathbb(R)\) . پاسخ: \(a\in \mathbb(R)\) . وظیفه 5 #1234 سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \
حداقل یک ریشه از بخش \([-1;0]\) دارد. تابع را در نظر بگیرید \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)برای برخی ثابت \(a\) . بیایید مشتق آن را پیدا کنیم: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). توجه داشته باشید که \(f"(x)\geqslant 0\) برای همه مقادیر \(x\) و \(a\) و فقط برای \(x=a=1) برابر است با \(0\) اما برای \(a=1\) : این بدان معنی است که برای همه \(a\ne 1\) تابع \(f(x)\) به شدت در حال افزایش است، بنابراین، معادله \(f(x)=0\) نمی تواند بیش از یک ریشه داشته باشد. با در نظر گرفتن ویژگی های تابع مکعب، نمودار \(f(x)\) برای برخی از \(a\) ثابت به صورت زیر خواهد بود: به این معنی که برای اینکه معادله یک ریشه از قطعه \([-1;0]\ داشته باشد، لازم است: \[\begin(موارد) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] بنابراین، \(a\in [-2;0]\) . پاسخ: \(a\in [-2;0]\) . وظیفه 6 #2949 سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] ریشه دارد (تکلیف از مشترکین) معادلات ODZ: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\فلش راست چپ\چهار x\in \). بنابراین برای اینکه یک معادله ریشه داشته باشد، لازم است حداقل یکی از معادلات \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(یا)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\]تصمیماتی در مورد ODZ داشت. 1) معادله اول را در نظر بگیرید \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(جمع شده)\begin(تراز شده) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end (تراز شده) \end (جمع شده)\راست. \quad\Leftright arrow\quad \sin x=2a+2\]این معادله باید ریشه در \(\) داشته باشد. دایره ای را در نظر بگیرید: بنابراین، می بینیم که برای هر \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) معادله یک جواب خواهد داشت و برای بقیه هیچ جوابی نخواهد داشت. بنابراین، زمانی که \(a\in \ چپ[-1;-1+\sin 1\راست]\)معادله راه حل دارد 2) معادله دوم را در نظر بگیرید \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] تابع \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) را در نظر بگیرید. بیایید مشتق آن را پیدا کنیم: \
در ODZ، مشتق یک صفر دارد: \(x=\frac34\) که همچنین حداکثر نقطه تابع \(f(x)\) است. بنابراین برای اینکه معادله جواب داشته باشد، لازم است نمودار \(f(x)\) با خط مستقیم \(y=-a\) قطع شود (شکل یکی از گزینه های مناسب را نشان می دهد). یعنی لازم است که \
. برای این \(x\): تابع \(y_1=\sqrt(x-1)\) به شدت در حال افزایش است. نمودار تابع \(y_2=5x^2-9x\) سهمی است که راس آن در نقطه \(x=\dfrac(9)(10)\) است. در نتیجه، برای همه \(x\geqslant 1\)، تابع \(y_2\) نیز به شدت در حال افزایش است (شاخه سمت راست سهمی). چون مجموع توابع به شدت افزایشی به شدت افزایش می یابد، سپس \(f_a(x)\) به شدت افزایش می یابد (ثابت \(3a+8\) بر یکنواختی تابع تأثیر نمی گذارد). تابع \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) برای همه \(x\geqslant 1\) بخشی از شاخه سمت راست هذلولی را نشان می دهد و به شدت در حال کاهش است. حل معادله \(f_a(x)=g_a(x)\) به معنای یافتن نقاط تقاطع توابع \(f\) و \(g\) است. از یکنواختی متضاد آنها نتیجه می شود که معادله حداکثر می تواند یک ریشه داشته باشد. وقتی \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4، \ \\ 0 \\ فنجان پاسخ: \(a\in (-\infty;-1]\ فنجان ,
محدود در این بخش؛ · مجموع توابع افزایشی (کاهشی) تابع افزایشی (کاهشی) است. · اگر تابع fافزایش (کاهش) و n- یک عدد فرد، همچنین افزایش می یابد (کاهش می یابد). · اگر f"(x)>0برای همه xO(a,b)سپس تابع y=f(x)در بازه زمانی افزایش می یابد (الف، ب)؛ · اگر f"(x)<0
برای همه xO(a,b)سپس تابع y=f(x)در بازه زمانی کاهش می یابد (الف، ب)؛ · اگر f(x) -عملکرد پیوسته و یکنواخت روی مجموعه X، سپس معادله f(x)=C، کجا با- این ثابت ممکن است داشته باشد Xبیش از یک راه حل نیست؛ · اگر در حوزه تعریف معادله باشد f(x)=g(x)تابع f(x)افزایش می یابد و عملکرد g(x)کاهش می یابد، سپس معادله نمی تواند بیش از یک راه حل داشته باشد. قضیه. (شرط کافی برای یکنواختی یک تابع). اگر پیوسته روی قطعه [ الف، ب] عملکرد y = f(X) در هر نقطه از بازه ( الف، ب) دارای مشتق مثبت (منفی) است، سپس این تابع در بخش [ افزایش (کاهش) می یابد. الف، ب]. اثبات اجازه دهید > 0 برای همه xО(الف، ب).
دو مقدار دلخواه x 2 را در نظر بگیرید > x 1،متعلق به [ الف، ب]. طبق فرمول لاگرانژ x 1<с < х 2
.
(با) > 0
و x 2 - x 1 > 0,
بنابراین > 0,
از آنجا >، یعنی تابع f(x) در بازه [ افزایش می یابد الف، ب]. قسمت دوم قضیه نیز به روشی مشابه اثبات می شود. قضیه 3. (نشان ضروری وجود یک تابع). اگر تابع متمایز در نقطه c در=f(X) در این مرحله یک اکستروم دارد، سپس . اثبات اجازه دهید، برای مثال، تابع در= f(X) در نقطه c دارای حداکثر است. این بدان معنی است که یک همسایگی سوراخ شده از نقطه c وجود دارد که برای همه نقاط xاین محله راضی است f(x) < f
(ج),
یعنی f(ج) بزرگترین مقدار تابع در این محله است. سپس با قضیه فرما. مورد حداقل در نقطه c نیز به روشی مشابه اثبات می شود. نظر دهید. یک تابع ممکن است در نقطه‌ای که مشتق آن وجود نداشته باشد، اکستروم داشته باشد. به عنوان مثال، یک تابع در نقطه x یک حداقل دارد =
0، اگرچه وجود ندارد. نقاطی که مشتق یک تابع در آنها صفر است یا وجود ندارد، نقاط بحرانی تابع نامیده می شوند. با این حال، تابع در تمام نقاط بحرانی یک اکسترموم ندارد. به عنوان مثال، تابع y = x 3هیچ افراطی ندارد، اگرچه مشتق آن است
=0. قضیه 4. (نشان کافی از وجود افراط). اگر عملکرد پیوسته y = f(x) در تمام نقاط یک بازه معین حاوی نقطه بحرانی C (به جز، شاید خود این نقطه) مشتق است، و اگر مشتق، زمانی که آرگومان از چپ به راست از نقطه بحرانی C عبور می کند، علامت مثبت را از نقطه مثبت به C تغییر می دهد. منهای، سپس تابع در نقطه C دارای حداکثر است، و زمانی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، حداقل است. اثبات فرض کنید c یک نقطه بحرانی باشد و مثلاً وقتی آرگومان از نقطه c می گذرد علامت مثبت به منفی را تغییر دهد. این بدان معنی است که در برخی از فاصله (ج-ه؛ ج)تابع افزایش می یابد، و در فاصله (ج؛ ج+ه)- کاهش می یابد (در ه> 0). بنابراین، در نقطه c تابع دارای حداکثر است. مورد حداقل نیز به روشی مشابه اثبات می شود. نظر دهید. اگر هنگام عبور آرگومان از نقطه بحرانی، مشتق علامت تغییر ندهد، تابع در این نقطه اکسترموم ندارد. از آنجایی که تعاریف حد و پیوستگی برای تابعی از چندین متغیر عملاً با تعاریف مربوطه برای تابعی از یک متغیر منطبق است، پس برای توابع چند متغیر، تمام خصوصیات حدود و توابع پیوسته حفظ می‌شود. ©2015-2019 سایت قضیه حد تابع یکنواخت. اثبات قضیه با استفاده از دو روش ارائه می شود. تعاریفی از توابع به شدت افزایشی، غیر کاهشی، شدیداً کاهشی و غیرافزاینده نیز ارائه شده است. تعریف تابع یکنواخت تعاریف توابع افزایش و کاهش نتیجه این است که یک تابع کاملاً افزایشی نیز غیر کاهشی است. یک تابع کاملاً کاهشی نیز غیرافزاینده است. تعریف تابع یکنواخت برای مطالعه یکنواختی یک تابع در یک مجموعه خاص X، باید تفاوت مقادیر آن را در دو نقطه دلخواه متعلق به این مجموعه پیدا کنید. اگر، پس تابع به شدت در حال افزایش است. اگر ، آنگاه تابع کاهش نمی یابد. اگر ، پس به شدت کاهش می یابد. اگر، پس افزایش نمی یابد. اگر در یک مجموعه خاص تابع مثبت باشد: ، برای تعیین یکنواختی می توانید ضریب تقسیم مقادیر آن را در دو نقطه دلخواه از این مجموعه مطالعه کنید. اگر، پس تابع به شدت در حال افزایش است. اگر ، آنگاه تابع کاهش نمی یابد. اگر ، پس به شدت کاهش می یابد. اگر، پس افزایش نمی یابد. قضیه اگر f اگر نقاط a و b در بی نهایت باشند، در عبارات علائم حد به این معنی است که . (x)در بازه زمانی کاهش نمی یابد (الف، ب)این قضیه را می توان فشرده تر فرموله کرد. اجازه دهید تابع f ، کجا سپس در نقاط a و b محدودیت های یک طرفه وجود دارد: یک قضیه مشابه برای یک تابع غیر افزایشی. عملکرد کاهش نمی یابد در . "تعریف حدود یک طرفه یک تابع در یک نقطه پایانی"). در . 1.1.2. اجازه دهید تابع در بالا محدود نباشد. این بدان معنی است که حد سمت چپ در نقطه b است (به "تعریف حدود نامتناهی یک طرفه یک تابع در یک نقطه پایانی مراجعه کنید"). b اوایل به اضافه بی نهایت در . شرایط زیر از آنجایی که تابع کاهش نمی یابد، پس زمانی که . سپس در . عملکرد افزایش نمی یابد حال حالتی را در نظر بگیرید که تابع افزایش نیابد. همانطور که در بالا گفته شد می توانید هر گزینه را جداگانه در نظر بگیرید. اما ما فورا آنها را پوشش خواهیم داد. برای این ما استفاده می کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که در این مورد محدودیت وجود دارد. برای هر همسایگی نقطه B استدلالی برای آن وجود دارد از آنجایی که تابع افزایش نمی یابد، پس زمانی که . بنابراین، ما دریافتیم که برای هر همسایگی نقطه، یک همسایگی سمت چپ سوراخ شده از نقطه b وجود دارد به طوری که این بدان معنی است که حد سمت چپ در نقطه b است: -1
(به تعریف جهانی حد یک تابع طبق کوشی مراجعه کنید). محدودیت در نقطه a بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. با توجه به شرایط قضیه، تابع یکنواخت است. و با تغییر ترتیب آنها به این نتیجه می رسیم که تابع برای . اکنون باید نشان دهیم که اگر یک حد برای تابع در وجود داشته باشد، یک محدودیت برای تابع در وجود دارد، و این حدود برابر هستند: بنابراین، ما متوجه شدیم که برای هر کسی چنین چیزی وجود دارد قضیه ثابت شده است. مواد اضافی دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین Integral برای درجه 10 از 1C
آنچه ما مطالعه خواهیم کرد: بچه ها، قبلاً به موارد زیادی نگاه کردیم توابع مختلفو نمودارهای آنها را ساختند. حال بیایید قوانین جدیدی را معرفی کنیم که برای همه عملکردهایی که در نظر گرفته ایم و به آنها ادامه خواهیم داد، کار می کنند. یک تابع یک تناظر y=f(x) است که در آن هر مقدار x با یک مقدار y مرتبط است. بیایید به نمودار یک تابع نگاه کنیم: نمودار ما نشان می دهد: هر چه x بزرگتر، y کوچکتر باشد. بنابراین بیایید یک تابع کاهشی تعریف کنیم. یک تابع در صورتی کاهنده نامیده می شود که مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت داشته باشد. اگر x2 > x1، پس f(x2) حالا بیایید به نمودار این تابع نگاه کنیم: اگر تابعی در یک بازه زمانی معین کم یا زیاد شود، می گویند در این بازه یکنواخت است. اگر به مماس های ما نگاه کنید یا به صورت بصری هر مماس دیگری را ترسیم کنید، متوجه خواهید شد که زاویه بین مماس و جهت مثبت محور x حاد خواهد بود. این بدان معنی است که مماس دارای شیب مثبت است. شیب مماس برابر با ارزشمشتق در ابسیسا نقطه مماس. بنابراین، مقدار مشتق در تمام نقاط نمودار ما مثبت است. برای یک تابع افزایشی، نابرابری زیر برقرار است: f"(x) ≥ 0، برای هر نقطه x. بچه ها حالا بیایید به نمودار چند تابع کاهشی نگاه کنیم و مماس هایی بر نمودار تابع بسازیم. بیایید به مماس ها نگاه کنیم و هر تانژانت دیگری را به صورت بصری ترسیم کنیم. متوجه خواهیم شد که زاویه بین مماس و جهت مثبت محور x مات است، به این معنی که مماس شیب منفی دارد. بنابراین، مقدار مشتق در تمام نقاط نمودار ما منفی است. برای یک تابع نزولی، نابرابری زیر برقرار است: f"(x) ≤ 0، برای هر نقطه x. بنابراین، یکنواختی یک تابع به علامت مشتق بستگی دارد: اگر تابعی در یک بازه افزایش یابد و در این بازه مشتق داشته باشد، این مشتق منفی نخواهد بود. اگر تابعی در بازه ای کاهش یابد و در این بازه مشتق داشته باشد، این مشتق مثبت نخواهد بود. مهم است، به طوری که بازه هایی که تابع را در نظر می گیریم باز باشد! قضیه 1. اگر نابرابری f'(x) ≥ 0 در تمام نقاط بازه باز X برقرار باشد (و تساوی مشتق به صفر یا برقرار نیست یا فقط در یک مجموعه محدود از نقاط برقرار است)، آنگاه تابع y= f(x) در بازه X افزایش می یابد. قضیه 2. اگر نابرابری f'(x) ≤ 0 در تمام نقاط بازه باز X برقرار باشد (و تساوی مشتق به صفر یا برقرار نیست یا فقط در یک مجموعه محدود از نقاط برقرار است)، آنگاه تابع y=f(x) در بازه X کاهش می یابد. قضیه 3. اگر در تمام نقاط بازه باز X برابر باشد 1) ثابت کنید که تابع y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 در کل خط اعداد در حال افزایش است. راه حل: بیایید مشتق تابع خود را پیدا کنیم: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. از آنجایی که درجه در x زوج است، پس تابع قدرتفقط ارزش های مثبت را می گیرد. سپس y" > 0 برای هر x، به این معنی که با قضیه 1، تابع ما در کل خط اعداد افزایش می یابد. 2) ثابت کنید که تابع در حال کاهش است: y= sin(2x) - 3x. بیایید مشتق تابع خود را پیدا کنیم: y"= 2cos(2x) - 3. 3) یکنواختی تابع را بررسی کنید: y= x 2 + 3x - 1. راه حل: بیایید مشتق تابع خود را پیدا کنیم: y" = 2x + 3. 4) یکنواختی تابع را بررسی کنید: y= $\sqrt(3x - 1)$. راه حل: بیایید مشتق تابع خود را پیدا کنیم: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$. نابرابری ما بزرگتر یا مساوی صفر است: $\sqrt(3x-1)$ ≤ 0، یافتن فواصل افزایش، کاهش و افراط یک تابع هم وظیفه ای مستقل و هم بخشی ضروری از وظایف دیگر است، به ویژه مطالعه عملکرد کامل. اطلاعات اولیه در مورد افزایش، کاهش و حداکثر عملکرد در اینجا آورده شده است فصل نظری مشتقکه برای مطالعه مقدماتی آن را به شدت توصیه می کنم (یا تکرار)- همچنین به این دلیل که مطالب زیر بر اساس بسیار است اساسا مشتق،ادامه هماهنگ این مقاله است. اگر چه، اگر زمان کوتاه باشد، تمرین صرفاً رسمی از نمونه های درس امروز نیز امکان پذیر است. و امروز روحیه وحدت نادری در هوا موج می زند و من مستقیماً می توانم احساس کنم که همه حاضران از اشتیاق می سوزند. یاد بگیرید که یک تابع را با استفاده از مشتق آن کشف کنید. بنابراین، اصطلاحات معقول، خوب و ابدی بلافاصله بر روی صفحه نمایش مانیتور شما ظاهر می شود. برای چی؟ یکی از دلایل کاربردی ترین آن است: به طوری که مشخص شود که در یک کار خاص به طور کلی چه چیزی از شما خواسته می شود! بیایید برخی از عملکردها را در نظر بگیریم. به بیان ساده، ما فرض می کنیم که او مستمردر کل خط شماره: در هر صورت، بیایید فوراً از توهمات احتمالی خلاص شویم، به ویژه برای آن دسته از خوانندگانی که اخیراً با آنها آشنا شده اند. فواصل علامت ثابت تابع. حالا ما علاقه مند نیستنحوه قرارگیری نمودار تابع نسبت به محور (بالا، پایین، محل تقاطع محور). برای قانع شدن، محورها را به صورت ذهنی پاک کنید و یک نمودار بگذارید. زیرا علاقه در اینجاست. تابع افزایش می یابددر یک بازه اگر برای هر دو نقطه از این بازه که با رابطه به هم متصل شوند، نابرابری درست است. یعنی مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتری تابع مطابقت دارد و نمودار آن از پایین به بالا می رود. تابع نمایش در بازه زمانی رشد می کند. به همین ترتیب، تابع کاهش می یابددر یک بازه اگر برای هر دو نقطه از یک بازه معین به طوری که، نابرابری درست باشد. یعنی مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچک‌تری از تابع مطابقت دارد و نمودار آن «از بالا به پایین» می‌رود. عملکرد ما در فواصل زمانی کاهش می یابد اگر تابعی در یک بازه کم یا زیاد شود، آن را فراخوانی می‌کنیم کاملا یکنواختدر این فاصله یکنواختی چیست؟ آن را به معنای واقعی کلمه بگیرید - یکنواختی. شما هم می توانید تعریف کنید بدون کاهشتابع (شرایط آرام در تعریف اول) و غیر افزایشیتابع (شرایط نرم شده در تعریف دوم). تابع غیر کاهشی یا غیرافزاینده در یک بازه، تابع یکنواخت در بازه معین نامیده می شود. (یکنواختی شدید - مورد خاص"فقط" یکنواختی). این تئوری همچنین رویکردهای دیگری را برای تعیین افزایش/کاهش یک تابع در نظر می‌گیرد، از جمله در نیم‌بازه‌ها، بخش‌ها، اما برای اینکه روغن-روغن-روغن روی سر شما نریزیم، موافقت می‌کنیم که با فواصل باز با تعاریف طبقه‌بندی شده عمل کنیم. - این واضح تر است و برای حل بسیاری از مشکلات عملی کاملاً کافی است. بنابراین، در مقالات من عبارت "یکنواختی یک تابع" تقریباً همیشه پنهان خواهد بود فواصل یکنواختی شدید
(عملکرد به شدت افزایش یا کاهش شدید). همسایگی یک نقطه کلماتی که پس از آن دانش آموزان هر کجا که می توانند فرار می کنند و با وحشت در گوشه و کنار پنهان می شوند. ... هر چند بعد از پست محدودیت های کوشیآنها احتمالاً دیگر پنهان نمی شوند، اما فقط اندکی می لرزند =) نگران نباشید، اکنون هیچ اثباتی برای قضایا وجود نخواهد داشت. تجزیه و تحلیل ریاضی- من به محیط اطراف نیاز داشتم تا تعاریف را دقیق تر بیان کنم نقاط افراطی. به یاد داشته باشیم: همسایگی یک نقطهفاصله ای که شامل می شود نامیده می شود این نقطه، در حالی که برای راحتی، فاصله اغلب متقارن فرض می شود. به عنوان مثال، یک نقطه و همسایگی استاندارد آن: نقطه نامیده می شود حداکثر نقطه دقیق، اگر وجود داردمحله او، برای همهمقادیری که به جز خود نقطه، نابرابری . در مثال خاص ما، این یک نقطه است. نقطه نامیده می شود حداقل نقطه دقیق، اگر وجود داردمحله او، برای همهمقادیری که به جز خود نقطه، نابرابری . در نقاشی نقطه "الف" وجود دارد. توجه داشته باشید
: الزام تقارن همسایگی اصلا ضروری نیست. علاوه بر این، مهم است حقیقت وجودهمسایگی (چه کوچک یا میکروسکوپی) که شرایط مشخص شده را برآورده کند نقاط نامیده می شود نقاط به شدت افراطییا فقط نقاط افراطیتوابع یعنی یک اصطلاح تعمیم یافته برای حداکثر امتیاز و حداقل امتیاز است. چگونه کلمه "افراطی" را درک کنیم؟ بله، دقیقاً به اندازه یکنواختی. نقاط افراطی ترن هوایی. همانطور که در مورد یکنواختی، فرضیه های سست وجود دارند و حتی در تئوری رایج تر هستند (که البته موارد سختگیرانه در نظر گرفته شده در آن قرار می گیرند!): نقطه نامیده می شود حداکثر امتیاز، اگر وجود دارداطراف آن به گونه ای است که برای همه توجه داشته باشید که طبق دو تعریف آخر، هر نقطه از یک تابع ثابت (یا یک "قطع مسطح" یک تابع) هم نقطه حداکثر و هم یک نقطه حداقل در نظر گرفته می شود! به هر حال، تابع هم غیر افزایشی است و هم غیر کاهشی، یعنی یکنواخت. با این حال، ما این ملاحظات را به نظریه پردازان واگذار می کنیم، زیرا در عمل ما تقریباً همیشه "تپه ها" و "حفره ها" سنتی (نگاه کنید به نقاشی) با یک "پادشاه تپه" یا "شاهزاده باتلاق" منحصر به فرد در نظر می گیریم. به عنوان یک تنوع، رخ می دهد نکته، به سمت بالا یا پایین هدایت می شود، برای مثال، حداقل تابع در نقطه. اوه، و صحبت از سلطنت: نام مشترک – افراطتوابع لطفا مواظب حرفاتون باش! نقاط افراطی- این مقادیر "X" هستند. ! توجه داشته باشید
: گاهی اوقات عبارات فهرست شده به نقاط "X-Y" اشاره دارد که مستقیماً بر روی نمودار خود تابع قرار دارد. یک تابع می تواند چند عدد افراطی داشته باشد؟ هیچ، 1، 2، 3، ... و غیره بی نهایت به عنوان مثال، سینوس دارای حداقل و حداکثر بی نهایت است. مهم!اصطلاح "حداکثر عملکرد" یکسان نیستعبارت "حداکثر مقدار یک تابع". به راحتی می توان متوجه شد که این مقدار فقط در یک محله محلی حداکثر است و "رفقای خنک تر" در بالا سمت چپ وجود دارد. به همین ترتیب، "حداقل یک تابع" با "حداقل مقدار یک تابع" یکی نیست و در نقاشی می بینیم که مقدار فقط در یک منطقه خاص حداقل است. در این راستا نقاط اکسترموم نیز نامیده می شود نقاط افراطی محلیو افراطی - افراط های محلی
. آنها راه می روند و در این نزدیکی پرسه می زنند و جهانی استبرادران بنابراین، هر سهمی در راس خود قرار دارد حداقل جهانییا حداکثر جهانی. علاوه بر این، من بین انواع افراط ها تمایز قائل نمی شوم و توضیح بیشتر برای اهداف آموزشی عمومی بیان می شود - صفت های اضافی "محلی"/"جهانی" نباید شما را غافلگیر کند. بیایید گشت و گذار کوتاه خود را در تئوری با یک عکس آزمایشی خلاصه کنیم: وظیفه "یافتن فواصل یکنواختی و نقاط انتهایی تابع" به چه معناست؟ عبارت شما را تشویق می کند که پیدا کنید: - فواصل عملکرد افزایش/کاهش (غیر کاهشی، غیر افزایشی خیلی کمتر ظاهر می شود)؛ - حداکثر و/یا حداقل امتیاز (در صورت وجود). خوب، برای جلوگیری از شکست، بهتر است حداقل ها/حداکثرها را خودشان پیدا کنید ;-) چگونه می توان همه اینها را تعیین کرد؟با استفاده از تابع مشتق! بسیاری از قوانین، در واقع، از قبل شناخته شده و درک شده اند درس در مورد معنای مشتق. مشتق مماس با کوتانژانت و مشتق آن آرکسین در طول بازه افزایش می یابد - مشتق در اینجا مثبت است: من فکر می کنم انجام استدلال مشابه برای کسینوس قوس و مشتق آن برای شما چندان دشوار نخواهد بود. همه موارد فوق که بسیاری از آنها هستند مشتقات جدولی، یادآوری می کنم، مستقیماً از تعاریف مشتق. برای درک بهتر نمودار این تابع چگونه است: جایی که "پایین به بالا" می رود، جایی که "بالا به پایین"، جایی که به حداقل ها و حداکثرها می رسد (اگر اصلاً برسد). همه توابع به این سادگی نیستند - در بیشتر موارد ما اصلاً در مورد نمودار یک تابع خاص ایده ای نداریم. وقت آن است که به سراغ مثال های معنادارتر برویم و در نظر بگیریم الگوریتمی برای یافتن فواصل یکنواختی و اکسترنال یک تابع: مثال 1 فواصل افزایش/کاهش و حداکثر تابع را بیابید راه حل: 1) اولین قدم پیدا کردن است دامنه یک تابع، و همچنین به نقاط شکست (در صورت وجود) توجه داشته باشید. در در این موردتابع در کل خط اعداد پیوسته است و این عمل تا حدی رسمی است. اما در تعدادی از موارد، احساسات جدی در اینجا شعله ور می شود، بنابراین بیایید با این پاراگراف بدون تحقیر رفتار کنیم. 2) نکته دوم الگوریتم به دلیل است اگر در یک نقطه یک اکسترموم وجود داشته باشد، یا مقدار آن وجود ندارد. با پایان گیج شده اید؟ حداکثر تابع "مدول x". .
شرط لازم است اما کافی نیستو برعکس همیشه صادق نیست. بنابراین، هنوز از تساوی نتیجه نمی شود که تابع در نقطه به حداکثر یا حداقل می رسد. یک مثال کلاسیک قبلاً در بالا برجسته شده است - این یک سهمی مکعبی و نقطه بحرانی آن است. اما هر طور که باشد، شرط لازم extremum نیاز به یافتن نقاط مشکوک را دیکته می کند. برای انجام این کار، مشتق را پیدا کنید و معادله را حل کنید: در ابتدای مقاله اول در مورد نمودارهای تابعمن به شما گفتم چگونه با استفاده از یک مثال به سرعت یک سهمی بسازید مثال 2 فواصل یکنواختی و حداکثری تابع را بیابید این یک مثال برای تصمیم مستقل. راه حل کاملو نمونه نهایی تقریبی کار در پایان درس. لحظه انتظار طولانی ملاقات با توابع کسری - عقلی فرا رسیده است: مثال 3 یک تابع را با استفاده از مشتق اول کاوش کنید به این نکته توجه کنید که چگونه می توان یک کار واحد را به صورت متغیر فرموله کرد. راه حل: 1) تابع در نقاطی دچار ناپیوستگی های بی نهایت می شود. 2) ما نقاط بحرانی را تشخیص می دهیم. بیایید اولین مشتق را پیدا کرده و آن را با صفر برابر کنیم: بیایید معادله را حل کنیم. کسری وقتی صفر است که عدد آن صفر باشد: بنابراین، ما سه نقطه مهم را دریافت می کنیم: 3) تمام نقاط شناسایی شده را روی خط عدد رسم می کنیم و روش فاصلهما نشانه های DERIVATIV را تعریف می کنیم: عمل، همانطور که می دانید، باید برای هر یک از شش بازه زمانی انجام شود. به هر حال، توجه داشته باشید که فاکتور صورت و مخرج برای هر نقطه در هر بازه ای کاملاً مثبت است، که کار را بسیار ساده می کند. بنابراین، مشتق به ما گفت که خود تابع افزایش می یابد در نقطه ای که تابع به حداکثر خود می رسد: به این فکر کنید که چرا مجبور نیستید مقدار دوم را دوباره محاسبه کنید ;-) هنگام عبور از یک نقطه، مشتق علامت تغییر نمی کند، بنابراین تابع در آنجا EXTREMUM ندارد - هم کاهش می یابد و هم کاهش می یابد. ! بیایید تکرار کنیم نکته مهم
: نقاط بحرانی در نظر گرفته نمی شوند - آنها حاوی یک تابع هستند تعریف نشده است. بر این اساس، در اینجا در اصل هیچ افراطی نمی تواند وجود داشته باشد(حتی اگر مشتق تغییر علامت دهد). پاسخ دهید: تابع افزایش می یابد آگاهی از فواصل یکنواختی و افراط، همراه با ثابت مجانبیدر حال حاضر ایده بسیار خوبی از ظاهرگرافیک تابع فردی با تمرین متوسط می تواند به صورت شفاهی تشخیص دهد که نمودار یک تابع دارای دو مجانب عمودی و یک مجانب مایل است. قهرمان ما اینجاست: مثال 4 منتهی الیه تابع را پیدا کنید مثال 5 فواصل یکنواختی، ماکزیمم و مینیمم تابع را بیابید ... امروز تقریباً شبیه نوعی تعطیلات "X در مکعب" است .... هر کار دارای تفاوت های ظریف و ظرافت های فنی خاص خود است که در پایان درس در مورد آنها توضیح داده می شود.
این بدان معنی است که برابری \(f(t)=f(u)\) ممکن است اگر و فقط اگر \(t=u\) باشد. بیایید به متغیرهای اصلی برگردیم و معادله حاصل را حل کنیم:
\
\
\
ما باید مقادیر \(a\) را پیدا کنیم که معادله آنها حداقل دو ریشه داشته باشد، همچنین با در نظر گرفتن این واقعیت که \(a>0\) .
بنابراین، پاسخ این است: \(a\in (0;+\infty)\) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)معادله \(2(x-1)^3=0\) یک ریشه دارد \(x=1\) که شرط را برآورده نمی کند. بنابراین، \(a\) نمی تواند برابر با \(1\) باشد.
توجه داشته باشید که \(f(0)=f(1)=0\) . بنابراین، به طور شماتیک نمودار \(f(x)\) به شکل زیر است: 
تمامی حقوق متعلق به نویسندگان آنها می باشد. این سایت ادعای نویسندگی ندارد، اما ارائه می دهد استفاده رایگان.
تاریخ ایجاد صفحه: 2016-02-12تعاریف
اجازه دهید تابع f (x)بر روی مجموعه ای از اعداد واقعی X تعریف شده است.
تابع فراخوانی می شود به شدت افزایش (به شدت کاهش)، اگر برای همه x′, x′′ ∈ Xطوری که x'< x′′
выполняется неравенство:
f (x')< f(x′′)
(ف (x′) > f(x′′) )
.
تابع فراخوانی می شود بدون کاهش (غیر افزایشی)، اگر برای همه x′, x′′ ∈ Xطوری که x'< x′′
выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(ف (x′) ≥ f(x′′) )
.
تابع فراخوانی می شود یکنواخت، اگر غیر کاهشی یا غیر افزایشی باشد.
اجازه دهید تابع f (x)در بازه زمانی کاهش نمی یابد (الف، ب)، کجا
اگر در بالا با عدد M: محدود شود، در نقطه b: یک حد چپ محدود وجود دارد. (x)اگر f
از بالا محدود نمی شود، پس . (x)اگر f (x)در زیر با عدد m محدود می شود، سپس یک حد راست محدود در نقطه a: وجود دارد.
پس از آن به زیر محدود نمی شود.
;
.
;
.
اجازه دهید تابع در بازه زمانی که .
سپس محدودیت های یک طرفه وجود دارد:نتیجه
بگذارید تابع روی بازه یکنواخت باشد.
سپس در هر نقطه از این بازه، محدودیت های محدود یک طرفه تابع وجود دارد:
و .
اثبات قضیه
.
;
.
ب - عدد نهایی
عملکرد از بالا محدود شده است
;
;
.
1.1.1. اجازه دهید تابع از بالا با عدد M محدود شود: برای.
ب - عدد نهایی
ب - عدد نهایی
از آنجایی که تابع کاهش نمی یابد، پس زمانی که .سپس
بیایید آخرین نابرابری را تبدیل کنیم:
چون پس .
سپس
.
ب - عدد نهایی
ب - عدد نهایی
عملکرد از بالا محدود نمی شود1. اجازه دهید تابع در بازه کاهش نمی یابد.
و .
1.1. عدد b متناهی باشد: .
سپس
.
اجازه دهید ثابت کنیم که در این مورد محدودیت وجود دارد. بیایید نشان دهیم.:
;
سپس برای هر کسی وجود دارد، بنابراین
.
ب - عدد نهایی
ب - عدد نهایی
1.2.1. اجازه دهید تابع از بالا با عدد M محدود شود: برای.سپس
از آنجایی که تابع در بالا محدود شده است، یک برتری محدود وجود دارد
با توجه به تعریف کران بالایی،
سپس
.
ب - عدد نهایی
بنابراین برای هر یک عدد وجود دارد، بنابرایناین بدان معنی است که حد در برابر است با (به "تعریف حدهای بی نهایت یک طرفه در بی نهایت" مراجعه کنید).
.
انتها متناهی مجموعه مقادیر تابع را در نظر بگیرید:
;
در اینجا B می تواند یک عدد محدود یا یک نقطه در بی نهایت باشد.
.
با توجه به تعریف یک کران پایینی دقیق، شرایط زیر برآورده می شود:
ب - عدد نهایی
با توجه به شرایط قضیه، .
ب - عدد نهایی
به همین دلیل است.
ب - عدد نهایی
از آن زمان
یابعد، توجه می کنیم که نابرابری همسایگی سوراخ شده سمت چپ نقطه b را تعیین می کند.
.
اکنون نشان خواهیم داد که در نقطه a حدی وجود دارد و مقدار آن را پیدا می کنیم.
.
.
(1)
.
بیایید متغیر x را با - x جایگزین کنیم (یا یک جایگزین انجام دهیم و سپس متغیر t را با x جایگزین کنیم). سپس تابع یکنواخت برای .
.
ضرب نابرابری ها در
ب - عدد نهایی
ب - عدد نهایی
به روشی مشابه به راحتی می توان نشان داد که اگر کاهش نیابد، افزایش نمی یابد. سپس با توجه به آنچه در بالا ثابت شد، حدی وجود دارد
ب - عدد نهایی
اگر زیاد نشود کاهش نمی یابد. در این مورد محدودیت وجود دارد
ب - عدد نهایی
اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:
اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:
اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:
ب - عدد نهایی
ب - عدد نهایی
این به این معنی است که
.
درس و ارائه جبر پایه دهم با موضوع: "تحقیق یک تابع برای یکنواختی. الگوریتم تحقیق"
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.
مسائل جبری با پارامترها، نمرات 9-11
محیط نرم افزار "1C: Mathematical Constructor 6.1"
1. کاهش و افزایش توابع.
2. رابطه مشتق و یکنواختی یک تابع.
3. دو قضیه مهم در مورد یکنواختی.
4. مثال ها.کاهش و افزایش توابع
بیایید به مفهوم افزایش و کاهش توابع نگاه کنیم. بچه ها تابع چیه؟ 
این نمودار نشان می دهد که هر چه x بزرگتر باشد، y بزرگتر است. بنابراین بیایید یک تابع افزایشی تعریف کنیم. اگر مقدار بزرگتری از آرگومان با مقدار بزرگتری از تابع مطابقت داشته باشد، تابعی افزایش نامیده می شود.
اگر x2 > x1، آنگاه f(x2 > f(x1) یا: هر چه x بزرگتر باشد، y بزرگتر است.رابطه مشتق و یکنواختی یک تابع
بچه ها، حالا بیایید به این فکر کنیم که چگونه می توانید مفهوم مشتق را هنگام مطالعه نمودارهای تابع به کار ببرید. بیایید نموداری از یک تابع متمایز فزاینده رسم کنیم و چند مماس بر نمودار خود رسم کنیم. 
دو قضیه مهم در مورد یکنواختی
f’(x)= 0، سپس تابع y= f(x) در این بازه ثابت است.نمونه هایی از مطالعه یک تابع برای یکنواختی
بیایید نابرابری را حل کنیم:
2cos(2x) - 3 ≤ 0،
2cos(2x) ≤ 3،
cos(2x) ≤ 3/2.
چون -1 ≤ cos(x) ≤ 1، به این معنی که نابرابری ما برای هر x ارضا می شود، سپس با قضیه 2 تابع y= sin(2x) - 3x کاهش می یابد.
بیایید نابرابری را حل کنیم:
2x + 3 ≥ 0،
x ≥ -3/2.
سپس تابع ما برای x ≥ -3/2 افزایش می یابد و برای x ≤ -3/2 کاهش می یابد.
پاسخ: برای x ≥ -3/2، تابع افزایش می یابد، برای x ≤ -3/2، تابع کاهش می یابد.
بیایید نابرابری را حل کنیم: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0،
3x - 1 ≥ 0،
x ≥ 1/3.
بیایید نابرابری را حل کنیم:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0،
3x - 1≤ 0.
اما این غیر ممکن است، زیرا ریشه مربعفقط برای عبارات مثبت تعریف شده است، به این معنی که تابع ما هیچ بازه کاهشی ندارد.
پاسخ: برای x ≥ 1/3 تابع افزایش می یابد.مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند
الف) ثابت کنید که تابع y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 در طول کل خط اعداد در حال افزایش است.
ب) ثابت کنید که تابع در حال کاهش است: y= cos(5x) - 7x.
ج) یکنواختی تابع را بررسی کنید: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
د) یکنواختی تابع را بررسی کنید: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$. افزایش، کاهش و افراطی یک تابع
یکنواختی تابع. نقاط افراطی و منتهی الیه یک تابع
.
در واقع تعاریف:
نقطه نامیده می شود حداقل امتیاز، اگر وجود دارداطراف آن به گونه ای است که برای همهارزش های این محله، نابرابری را حفظ می کند.
- معنی نامیده می شود حداکثرتوابع؛
- معنی نامیده می شود حداقلتوابع
افراطی ها- معانی "بازی".چگونه فواصل افزایش، کاهش،
نقاط افراطی و مادون تابع؟
خبرهای شادی به ارمغان می آورد که عملکرد در سراسر آن در حال افزایش است حوزه تعریف.
وضعیت دقیقا برعکس است
.
زمانی که تابع تعریف شده است، اما قابل تمایز نیست. با این حال، در نقطه بحرانی یک مشتق راست و یک مماس راست وجود دارد و در لبه دیگر همتایان چپ دست آنها وجود دارد.چرا یک تابع را با استفاده از مشتق آن بررسی کنید؟
شرط لازم برای افراط:
: «... مشتق اول را می گیریم و آن را با صفر برابر می کنیم: ... پس جواب معادله ما: - در این نقطه است که راس سهمی قرار می گیرد...». حالا فکر می کنم همه متوجه شده اند که چرا راس سهمی دقیقاً در این نقطه قرار دارد =) به طور کلی در اینجا باید با یک مثال مشابه شروع کنیم اما خیلی ساده است (حتی برای یک قوری). علاوه بر این، یک آنالوگ در انتهای درس در مورد وجود دارد مشتق یک تابع. بنابراین، بیایید درجه را افزایش دهیم:
به شما یادآوری می کنم که باید مقداری از فاصله را بگیرید و مقدار مشتق را در آن محاسبه کنید 
و علامت آن را مشخص کنید. حتی شمردن نكردن، بلكه «برآورد» شفاهی سودآورتر است. به عنوان مثال، یک نقطه متعلق به بازه را در نظر می گیریم و جایگزینی را انجام می دهیم: 
. 
دو "معلوم" و یک "منهای" یک "منهای" می دهند، بنابراین، به این معنی که مشتق در کل بازه منفی است.
و کاهش می یابد. اتصال فواصل از همان نوع با نماد پیوستن راحت است.
در نقطه ای که تابع به حداقل می رسد: 
و در نقطه ای که به حداکثر تابع می رسد کاهش می یابد: 
و در نقطه – حداقل: .
یک بار دیگر سعی کنید نتایج مطالعه را با نمودار این تابع مرتبط کنید.
هیچ افراطی در نقطه بحرانی وجود ندارد، اما وجود دارد عطف نمودار(که قاعدتاً در موارد مشابه اتفاق می افتد).
سوو، چه کسی در گالری پیشنهاد نوشیدن برای این؟ =)
>
