ابتدا، اجازه دهید کمی در مورد بیانیه مشکل در صحبت کنیم نمای کلی، و سپس به سراغ نمونه هایی از ادغام با جایگزینی بروید. فرض کنید یک انتگرال معین $\int g(x) \; dx$. با این حال، جدول انتگرال ها حاوی فرمول مورد نیاز نیست و نمی توان یک انتگرال معین را به چندین جدول تقسیم کرد (یعنی انتگرال مستقیم حذف می شود). با این حال، مشکل حل خواهد شد اگر ما موفق به پیدا کردن یک جایگزین خاص $u=\varphi(x)$ شویم که انتگرال $\int g(x) \; dx$ به انتگرال جدول $\int f(u) \; du=F(u)+C$. پس از اعمال فرمول $\int f(u)\; du=F(u)+C$ تنها کاری که باید انجام دهیم این است که متغیر $x$ را به عقب برگردانیم. به طور رسمی، این را می توان اینگونه نوشت:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

مشکل این است که چگونه می توان چنین جایگزینی $u$ را انتخاب کرد. برای انجام این کار، اولاً از جدول مشتقات و توانایی استفاده از آن برای افتراق توابع پیچیده و ثانیاً جدول انتگرال های نامعین نیاز دارید. علاوه بر این، ما شدیداً به یک فرمول نیاز خواهیم داشت که در زیر می نویسم. اگر $y=f(x)$، پس:

\begin(معادله)dy=y"dx\end(معادله)

آن ها دیفرانسیل یک تابع برابر است با مشتق این تابع ضرب در دیفرانسیل متغیر مستقل. این قانون بسیار مهم است و این قانون است که به شما امکان می دهد از روش جایگزینی استفاده کنید. در اینجا به چند مورد خاص اشاره خواهیم کرد که از فرمول (1) به دست می آیند. اجازه دهید $y=x+C$، که در آن $C$ یک ثابت معین است (به بیان ساده، یک عدد). سپس، با جایگزین کردن عبارت $x+C$ در فرمول (1) به جای $y$، به شکل زیر می‌رسیم:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

از آنجایی که $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$، فرمول فوق به صورت زیر خواهد بود:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

اجازه دهید نتیجه به دست آمده را جداگانه بنویسیم، i.e.

\شروع(معادله)dx=d(x+C)\پایان(معادله)

فرمول حاصل به این معنی است که افزودن یک ثابت زیر دیفرانسیل، این دیفرانسیل را تغییر نمی‌دهد، یعنی. $dx=d(x+10)$، $dx=d(x-587)$ و غیره.

بیایید به یکی دیگر نگاه کنیم مورد خاصبرای فرمول (1). اجازه دهید $y=Cx$، که در آن $C$، دوباره مقداری ثابت است. بیایید دیفرانسیل این تابع را با جایگزین کردن عبارت $Cx$ به جای $y$ در فرمول (1) پیدا کنیم:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

از آنجایی که $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$، فرمول فوق $d(Cx)=(Cx)"dx$ خواهد شد: $d(Cx)=Cdx $ اگر هر دو طرف این فرمول را بر $C$ تقسیم کنیم (با فرض $C\neq 0$)، $\frac(d(Cx))(C)=dx$ به دست می‌آید. این نتیجه را می‌توان با کمی متفاوت بازنویسی کرد فرم:

\شروع(معادله)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(معادله)

فرمول به دست آمده نشان می دهد که ضرب عبارت زیر دیفرانسیل در مقداری ثابت غیر صفر مستلزم معرفی یک ضریب متناظر است که چنین ضربی را جبران می کند. برای مثال، $dx=\frac(1)(5) d(5x)$، $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

در مثال های شماره 1 و شماره 2 فرمول های (2) و (3) به تفصیل مورد بررسی قرار خواهند گرفت.

نکته ای در مورد فرمول ها

در این مبحث هم از فرمول های 1-3 و هم از فرمول های جدول انتگرال های نامعین استفاده می شود که اعداد خاص خود را نیز دارند. برای جلوگیری از سردرگمی، اجازه دهید در موارد زیر به توافق برسیم: اگر متن "استفاده از فرمول شماره 1" در تاپیک ظاهر می شود، به معنای واقعی کلمه به این معنی است: "از فرمول شماره 1 استفاده کنید، واقع در این صفحه". اگر به فرمولی از جدول انتگرال ها نیاز داشته باشیم، هر بار این را به طور جداگانه مشخص می کنیم. به عنوان مثال، مانند این: "از فرمول شماره 1 از جدول انتگرال ها استفاده می کنیم."

و یک یادداشت کوچک دیگر

قبل از شروع کار با مثال ها، توصیه می شود با مطالب ارائه شده در مباحث قبلی که به مفهوم انتگرال نامشخص و اختصاص داده شده است، آشنا شوید. ارائه مطالب در این تاپیک بر اساس اطلاعات ارائه شده در موضوعات ذکر شده می باشد.

مثال شماره 1

$\int \frac(dx)(x+4)$ را پیدا کنید.

اگر به را روی آوریم، نمی‌توانیم فرمولی را پیدا کنیم که دقیقاً با $\int \frac(dx)(x+4)$ انتگرال مطابقت داشته باشد. فرمول شماره 2 جدول انتگرال ها نزدیک ترین به این انتگرال است یعنی. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. مشکل این است: فرمول $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ فرض می‌کند که در انتگرال $\int \frac(du)(u)$ عبارات مخرج و تحت دیفرانسیل باید یکسان باشند (هر دو حرف یکسان $u$ دارند). در مورد ما، در $\int \frac(dx)(x+4)$، حرف $x$ زیر دیفرانسیل است، و عبارت $x+4$ در مخرج، یعنی. اختلاف آشکاری با فرمول جدولی وجود دارد. بیایید سعی کنیم انتگرال خود را با جدول "مطابق" کنیم. اگر $x+4$ را به جای $x$ جایگزین دیفرانسیل کنیم چه اتفاقی می افتد؟ برای پاسخ به این سوال، اجازه دهید از عبارت $x+4$ به جای $y$ استفاده کنیم:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

از آنجایی که $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$، پس برابری $ d(x+4)=(x+4)"dx $ می شود:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

بنابراین $dx=d(x+4)$. صادقانه بگویم، همین نتیجه را می‌توانست با جایگزین کردن عدد $4$ به جای ثابت $C$ بدست آورد. در آینده این کار را انجام خواهیم داد، اما برای اولین بار روش به دست آوردن برابری $dx=d(x+4)$ را با جزئیات بررسی کردیم. اما برابری $dx=d(x+4)$ به ما چه می دهد؟

و نتیجه زیر را به ما می دهد: اگر $dx=d(x+4)$، در انتگرال $\int \frac(dx)(x+4)$ به جای $dx$ می توانیم $d(x را جایگزین کنیم. +4)$، و در نتیجه انتگرال تغییر نخواهد کرد:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

ما این تبدیل را فقط به این دلیل انجام دادیم که انتگرال حاصل کاملاً با فرمول جدولی $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ مطابقت داشته باشد. برای اینکه این مطابقت کاملاً واضح باشد، اجازه دهید عبارت $x+4$ را با حرف $u$ جایگزین کنیم (یعنی ما می سازیم جایگزینی$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

در واقع مشکل از قبل حل شده است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که متغیر $x$ را برگردانیم. با یادآوری اینکه $u=x+4$، دریافت می کنیم: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. راه حل کاملبدون توضیح به این شکل است:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

پاسخ: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

مثال شماره 2

$\int e^(3x) dx$ را پیدا کنید.

اگر به جدول انتگرال های نامعین رجوع کنیم، نمی توانیم فرمولی را پیدا کنیم که دقیقاً با انتگرال $\int e^(3x) dx$ مطابقت داشته باشد. فرمول شماره 4 از جدول انتگرال ها نزدیک ترین به این انتگرال است، یعنی. $\int e^u du=e^u+C$. مشکل این است: فرمول $\int e^u du=e^u+C$ فرض می‌کند که در انتگرال $\int e^u du$، عبارات در توان $e$ و زیر دیفرانسیل باید برابر باشد. یکسان (هر دو یک حرف $u$ وجود دارد). در مورد ما، در $\int e^(3x) dx$، زیر دیفرانسیل حرف $x$ و در توان $e$ عبارت $3x$ وجود دارد، یعنی. اختلاف آشکاری با فرمول جدولی وجود دارد. بیایید سعی کنیم انتگرال خود را با جدول "مطابق" کنیم. اگر $3x$ را به جای $x$ جایگزین دیفرانسیل کنید چه اتفاقی می افتد؟ برای پاسخ به این سوال، بیایید از عبارت $3x$ به جای $y$ استفاده کنیم:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

از آنجایی که $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$، پس برابری $d(3x)=(3x)"dx$ می شود:

$$ d(3x)=3dx $$

با تقسیم دو طرف برابری حاصل بر $3$، خواهیم داشت: $\frac(d(3x))(3)=dx$، یعنی. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. در واقع، برابری $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ را می‌توان با جایگزین کردن عدد $3$ به جای ثابت $C$ بدست آورد. در آینده این کار را انجام خواهیم داد، اما برای اولین بار روش به دست آوردن برابری $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ را با جزئیات بررسی کردیم.

برابری حاصل $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ چه چیزی را به ما داد؟ به این معنی که به جای $dx$، $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ را می توان در انتگرال $\int e^(3x) dx$ جایگزین کرد و انتگرال تغییر نخواهد کرد:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

اجازه دهید ثابت $\frac(1)(3)$ را از علامت انتگرال خارج کنیم و عبارت $3x$ را با حرف $u$ جایگزین کنیم (یعنی ما می سازیم جایگزینی$u=3x$)، پس از آن فرمول جدولی $\int e^u du=e^u+C$ را اعمال می کنیم:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

مانند مثال قبلی، باید متغیر اصلی $x$ را به عقب برگردانیم. از آنجایی که $u=3x$، سپس $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. راه حل کامل بدون نظر به صورت زیر است:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

پاسخ: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

مثال شماره 3

$\int (3x+2)^2 dx$ را پیدا کنید.

برای یافتن این انتگرال از دو روش استفاده می کنیم. راه اول باز کردن براکت ها و ادغام مستقیم است. روش دوم استفاده از روش جایگزینی است.

راه اول

از آنجایی که $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$، پس $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. با نمایش انتگرال $\int (9x^2+12x+4)dx$ به صورت مجموع سه انتگرال و خارج کردن ثابت ها از علائم انتگرال های مربوطه، به دست می آوریم:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

برای یافتن $\int x^2 dx$، $u=x$ و $\alpha=2$ را در فرمول شماره 1 جدول انتگرال ها جایگزین می کنیم: $\int x^2 dx=\frac(x^(2 +1))(2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. به طور مشابه، با جایگزین کردن $u=x$ و $\alpha=1$ در یک فرمول از جدول، خواهیم داشت: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. از آنجایی که $\int 1 dx=x+C$ است، پس:

$9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

راه دوم

پرانتز را باز نمی کنیم. بیایید سعی کنیم عبارت $3x+2$ را به جای $x$ در زیر دیفرانسیل نمایان کنیم. این به شما امکان می دهد یک متغیر جدید وارد کنید و فرمول صفحه گسترده را اعمال کنید. ما به فاکتور $3$ نیاز داریم تا در زیر دیفرانسیل ظاهر شود، بنابراین با جایگزینی $C=3$ به مقدار، $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ را دریافت می کنیم. علاوه بر این، عبارت $2$ در زیر دیفرانسیل وجود ندارد. با توجه به اضافه شدن یک ثابت زیر علامت دیفرانسیل، این دیفرانسیل تغییر نمی کند، یعنی. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. از شرایط $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ و $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ داریم: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

اجازه دهید توجه داشته باشم که برابری $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ را می توان به روش دیگری نیز به دست آورد:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

ما از برابری $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ استفاده می کنیم و عبارت $\frac(1)(3)d(3x) را به انتگرال $\int (3x+2) جایگزین می کنیم. )^2 dx$ +2)$ به جای $dx$. اجازه دهید ثابت $\frac(1)(3)$ را به عنوان علامت انتگرال حاصل خارج کنیم:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

راه حل دیگر انجام جایگزینی $u=3x+2$ و اعمال فرمول شماره 1 از جدول انتگرال ها است:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

با برگرداندن عبارت $3x+2$ به جای $u$، دریافت می کنیم:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

راه حل کامل بدون توضیح این است:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

من چند سوال را پیش بینی می کنم، بنابراین سعی می کنم آنها را فرموله کنم و پاسخ بدهم.

سوال شماره 1

اینجا چیزی جمع نمی شود. وقتی به روش اول حل کردیم، به آن $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$ رسیدیم. هنگام حل راه دوم، پاسخ به این صورت بود: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. با این حال نمی توان از پاسخ دوم به پاسخ اول رفت! اگر پرانتزها را باز کنیم، نتیجه زیر را به دست می آوریم:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ سی. $$

پاسخ ها مطابقت ندارند! کسر اضافی $\frac(8)(9)$ از کجا آمده است؟

این سوال پیشنهاد می کند که باید به مباحث قبلی مراجعه کنید. موضوع مفهوم انتگرال نامعین (با توجه به توجه ویژهسوال شماره 2 در انتهای صفحه) و ادغام مستقیم (به سوال شماره 4 توجه شود). این موضوعات به طور مفصل به این موضوع می پردازند. به طور خلاصه، ثابت انتگرال $C$ را می توان در آن نشان داد اشکال مختلف. به عنوان مثال، در مورد ما، با طراحی مجدد $C_1=C+\frac(8)(9)$، دریافت می کنیم:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

بنابراین هیچ تناقضی وجود ندارد، پاسخ را می توان یا به شکل $3x^3+6x^2+4x+C$ یا به شکل $\frac((3x+2)^3)(9)+ نوشت. C$.

سوال شماره 2

چرا باید از راه دوم تصمیم گرفت؟ این یک عارضه غیر ضروری است! چرا برای یافتن پاسخی که با استفاده از روش اول در چند مرحله به دست می آید از یکسری فرمول های غیر ضروری استفاده کنید؟ تنها چیزی که لازم بود باز کردن پرانتزها با استفاده از فرمول مدرسه بود.

خب، اولاً، این چنین عارضه ای نیست. وقتی روش جایگزینی را فهمیدید، شروع به حل مثال های مشابه در یک خط خواهید کرد: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. با این حال، اجازه دهید به این مثال متفاوت نگاه کنیم. تصور کنید که باید نه $\int (3x+2)^2 dx$، بلکه $\int (3x+2)^(200) dx$ را محاسبه کنید. هنگام حل به روش دوم فقط باید درجه ها را کمی تنظیم کنید و پاسخ آماده خواهد بود:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

حال تصور کنید که همان انتگرال $\int (3x+2)^(200) dx$ باید به روش اول گرفته شود. ابتدا باید براکت $(3x+2)^(200)$ را باز کنید و به این ترتیب مجموع دویست و یک عبارت را بدست آورید! و سپس هر اصطلاح نیز باید یکپارچه شود. بنابراین، نتیجه گیری در اینجا این است: برای قدرت های بزرگ، روش ادغام مستقیم مناسب نیست. روش دوم با وجود پیچیدگی ظاهری، کاربردی تر است.

مثال شماره 4

$\int \sin2x dx$ را پیدا کنید.

این مثال را به سه روش مختلف حل خواهیم کرد.

راه اول

بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم. فرمول شماره 5 از این جدول به مثال ما نزدیک است، i.e. $\int \sin u du=-\cos u+C$. برای جا دادن انتگرال $\int \sin2x dx$ در شکل $\int \sin u du$، از ضریب $2$ در زیر علامت دیفرانسیل استفاده می‌کنیم. در واقع، ما قبلاً این کار را در مثال شماره 2 انجام دادیم، بنابراین می توانیم بدون نظرات دقیق انجام دهیم:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

پاسخ: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

راه دوم

برای حل روش دوم، یک روش ساده را اعمال می کنیم فرمول مثلثاتی: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. اجازه دهید عبارت $2 \sin x \cos x$ را به جای $\sin 2x$ جایگزین کنیم و ثابت $2$ را از علامت انتگرال خارج کنیم:

هدف از چنین تحولی چیست؟ هیچ $\int \sin x\cos x dx$ انتگرالی در جدول وجود ندارد، اما می‌توانیم $\int \sin x\cos x dx$ را کمی تبدیل کنیم تا بیشتر شبیه جدول یک به نظر برسد. برای انجام این کار، اجازه دهید $d(\cos x)$ را با استفاده از . اجازه دهید $\cos x$ را به جای $y$ در فرمول ذکر شده جایگزین کنیم:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

از آنجایی که $d(\cos x)=-\sin x dx$، سپس $\sin x dx=-d(\cos x)$. از آنجایی که $\sin x dx=-d(\cos x)$، می‌توانیم $-d(\cos x)$ را به جای $\sin x dx$ در $\int \sin x\cos x dx$ جایگزین کنیم. مقدار انتگرال تغییر نخواهد کرد:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

به عبارت دیگر ما در زیر دیفرانسیل اضافه شده است$\cos x$. اکنون با انجام جایگزینی $u=\cos x$، می توانیم فرمول شماره 1 را از جدول انتگرال ها اعمال کنیم:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

پاسخ دریافت شده است. به طور کلی، لازم نیست حرف $u$ را وارد کنید. هنگامی که در حل این نوع انتگرال ها مهارت کافی به دست آورید، نیاز به علامت گذاری اضافی از بین می رود. راه حل کامل بدون توضیح این است:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

پاسخ: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

راه سوم

برای حل به روش سوم، همان فرمول مثلثاتی را اعمال می کنیم: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. اجازه دهید عبارت $2 \sin x \cos x$ را به جای $\sin 2x$ جایگزین کنیم و ثابت $2$ را از علامت انتگرال خارج کنیم:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

بیایید $d(\sin x)$ را با استفاده از . بیایید $\sin x$ را به جای $y$ در فرمول ذکر شده جایگزین کنیم:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

بنابراین $d(\sin x)=\cos x dx$. از برابری به دست آمده نتیجه می شود که می توانیم $d(\sin x)$ را به جای $\cos x dx$ در $\int \sin x\cos x dx$ جایگزین کنیم. مقدار انتگرال تغییر نخواهد کرد:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

به عبارت دیگر ما در زیر دیفرانسیل اضافه شده است$\sin x$. اکنون با انجام جایگزینی $u=\sin x$، می‌توانیم فرمول شماره 1 را از جدول انتگرال‌ها اعمال کنیم:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

پاسخ دریافت شده است. راه حل کامل بدون توضیح این است:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

پاسخ: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

ممکن است پس از مطالعه این مثال، به خصوص سه پاسخ متفاوت (در نگاه اول) سوالی پیش بیاید. بیایید آن را در نظر بگیریم.

سوال شماره 3

صبر کن. پاسخ ها باید یکسان باشند، اما متفاوت هستند! در مثال شماره 3، تفاوت فقط در ثابت $\frac(8)(9)$ بود، اما در اینجا پاسخ ها حتی از نظر ظاهری مشابه هم نیستند: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $، $-\ cos^2x+C$، $\sin^2x+C$. آیا واقعاً دوباره همه چیز در مورد ثابت انتگرال $C$ است؟

بله، دقیقاً همین ثابت است که اهمیت دارد. بیایید همه پاسخ ها را به یک شکل کاهش دهیم، پس از آن این تفاوت در ثابت ها کاملاً مشخص می شود. بیایید با $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ شروع کنیم. ما از یک برابری مثلثاتی ساده استفاده می کنیم: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. سپس عبارت $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ تبدیل خواهد شد:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

حالا بیایید با پاسخ دوم کار کنیم، i.e. $-\cos^2x+C$. از آنجایی که $\cos^2 x=1-\sin^2x$، پس:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

سه پاسخی که در مثال شماره 4 دریافت کردیم عبارتند از: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$، $\sin^2x+C-1$، $\sin^2x+ C$. من فکر می کنم اکنون مشخص است که آنها فقط در یک تعداد خاص با یکدیگر تفاوت دارند. آن ها این ماده دوباره ثابت شد. همانطور که می بینید، یک تفاوت کوچک در ثابت انتگرال، در اصل، می تواند تا حد زیادی تغییر کند ظاهرپاسخ - اما این مانع درستی پاسخ نمی شود. آنچه من به آن می پردازم: اگر در مجموعه مشکلات پاسخی می بینید که با پاسخ شما همخوانی ندارد، این به هیچ وجه به این معنی نیست که پاسخ شما نادرست است. این امکان وجود دارد که شما به سادگی به روشی متفاوت از آنچه نویسنده مشکل مد نظر داشته به پاسخ رسیده باشید. و بررسی بر اساس تعریف انتگرال نامعین به شما در تأیید صحت پاسخ کمک می کند. برای مثال، اگر انتگرال $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ به درستی پیدا شود، آنگاه برابری $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. بنابراین بیایید بررسی کنیم که آیا مشتق $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ با انتگرال برابر است یا خیر. از $\sin 2x $:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

بررسی با موفقیت انجام شد. برابری $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ برآورده می شود، بنابراین فرمول $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ صحیح است در مثال شماره 5 نیز نتیجه را بررسی می کنیم تا از صحت آن مطمئن شویم وجود چک اجباری نیست اگرچه در برخی از محاسبات معمولی تست هاآه، نیاز به بررسی نتیجه وجود دارد.

قرار دادن عدد در زیر علامت دیفرانسیل

این قسمت پایانی درس است، با این حال، انتگرال های این نوع بسیار رایج هستند! اگر خسته هستید، شاید بهتر باشد فردا بخوانید؟ ;)

انتگرال هایی که در نظر خواهیم گرفت مشابه انتگرال های پاراگراف قبل هستند، شکل: یا دارند (ضرایب و برابر با صفر نیستند).

یعنی در صورتگر ما داریم تابع خطی. چگونه می توان چنین انتگرال هایی را حل کرد؟

مثال 14

لطفا مراقب باشید، اکنون به یک الگوریتم معمولی نگاه خواهیم کرد.

1) هنگامی که یک انتگرال از فرم یا (ضرایب، و برابر با صفر نیستند)، سپس اولین کاری که انجام می دهیم این است که ... یک پیش نویس برداریم. واقعیت این است که اکنون باید یک انتخاب کوچک انجام دهیم.

2) عبارتی را که در مخرج است (مهم نیست - زیر ریشه یا بدون ریشه) در زیر علامت دیفرانسیل نتیجه می گیریم، در این مثال:

3) دیفرانسیل را باز کنید:

بیایید به عدد انتگرال خود نگاه کنیم:

اوضاع کمی متفاوت شد... و اکنون باید یک ضریب برای دیفرانسیل انتخاب کنیم، به طوری که وقتی باز می شود، حداقل دریافت کنیم. که در در این موردیک ضریب مناسب:

4) برای کنترل خود، دیفرانسیل خود را دوباره باز می کنیم:

بیایید دوباره به عدد انتگرال خود نگاه کنیم: .
این نزدیکتر است، اما ما اصطلاح اشتباهی داریم:

5) به دیفرانسیل ما:
- اصطلاحی را که در ابتدا در انتگرال داشتیم اختصاص می دهیم:

- تفریق کردن ( در این مورد، ما کم می کنیم؛ گاهی اوقات، برعکس، باید اضافه کنیم)اصطلاح "اشتباه" ما:
- هر دو ثابت را در پرانتز قرار می دهیم و یک نماد دیفرانسیل را به سمت راست اختصاص می دهیم:

- تفریق کردن (در برخی از مثال ها باید اضافه کنید)ثابت ها:

6) بررسی می کنیم:

دقیقاً عدد انتگرال را بدست آوردیم، یعنی انتخاب موفقیت آمیز بود.

طراحی نهایی راه حل چیزی شبیه به این است:

(1) ما شمارنده روی پیش نویس را طبق الگوریتم مورد بحث در بالا انتخاب می کنیم. ما مطمئن می شویم که بررسی می کنیم که آیا انتخاب به درستی انجام شده است یا خیر. با کمی تجربه در حل انتگرال ها، انجام انتخاب در ذهن شما دشوار نیست.

(2) صورت را بر مخرج جمله بر جمله تقسیم کنید. در حل عملی مسئله می توان این مرحله را حذف کرد

(3) با استفاده از خاصیت خطی بودن، انتگرال ها را جدا می کنیم. توصیه می شود همه ثابت ها را به خارج از علائم انتگرال منتقل کنید.

(4) انتگرال اول در واقع یک انتگرال جدولی است؛ ما از فرمول استفاده می کنیم (بعداً وقتی انتگرال دوم را می گیریم یک ثابت اضافه می کنیم). در انتگرال دوم انتخاب می کنیم مربع کامل(این نوع انتگرال ها را در پاراگراف قبل بررسی کردیم).

بقیه مسائل مربوط به تکنیک است.

و برای شروع، چند مثال برای تصمیم مستقل- یکی ساده تر است، دیگری دشوارتر است.

مثال 15

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

مثال 16

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

برای حل این مثال ها، یک مورد خاص از ادغام مفید خواهد بود تابع توانکه در جدول من نیست:

همانطور که می بینید، ادغام کسرها یک کار پر دردسر است؛ اغلب باید از تکنیک ها و انتخاب های مصنوعی استفاده کنید. اما چه باید کرد…

انواع دیگری از کسرها وجود دارد که به اصطلاح توابع کسری - گویا نامیده می شود، آنها با روش حل می شوند. ضرایب نامشخص. اما این قبلاً موضوع درس است ادغام توابع کسری گویا.

§ 5. انتگرال ها و کاربردهای آنها

.

5.1. تعاریف و فرمول های اساسیتابع اف(ایکس) است عملکرد ضد مشتق f(ایکس), اگر در برخی از مجموعه ایکسبرابری برقرار است اف (ایکس)= f(ایکس). مجموعه ای از تمام آنتی مشتقات برای f(ایکس) تماس گرفت انتگرال نامعینو تعیین شده است. در عین حال، اگر اف(ایکس) - هر یک از موارد اولیه f(ایکس), که
، ثابت سیاز کل مجموعه اعداد واقعی عبور می کند. جدول 2 فرمول های اساسی را نشان می دهد که در آن تو= تو(ایکس).

جدول 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

بدیهی است که فرمول ها 10), 12) و 14) موارد خاصی از فرمول ها هستند 11), 13) و 15) به ترتیب.

اگر f(ایکس) - عملکرد پیوسته روی قطعه [ آ; ب], سپس وجود دارد انتگرال معیناز این تابع، که می توان آن را محاسبه کرد فرمول نیوتن لایب نیتس:

, (5.1)

جایی که اف(ایکس) - هر ضد مشتق برای f(ایکس). بر خلاف انتگرال نامعین (که مجموعه ای از توابع است)، انتگرال معین عدد معینی است.

هر دو انتگرال نامعین و معین دارای خاصیت هستند خطی بودن(انتگرال مجموع توابع برابر با مجموعانتگرال ها، و عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد):

.

مثال 5.1. پیدا کردن یک)
; ب)
.

راه حل.طبق وظیفه آ)ابتدا انتگرال را با تقسیم ترم به جمله هر جمله از صورت بر مخرج ساده می کنیم، سپس از ویژگی استفاده می کنیم. خطی بودنو فرمول های "جدولی". 1)-3):

طبق وظیفه ب)بعلاوه خطی بودنو فرمول های "جدولی". 3), 9), 1), ما از فرمول نیوتن لایب نیتس استفاده می کنیم (5.1):

5.2. وارد کردن زیر علامت دیفرانسیل و جایگزینی متغیر.ممکن است متوجه شوید که گاهی اوقات بخشی از انتگرال دیفرانسیل برخی از عبارت ها را تشکیل می دهد که امکان استفاده از فرمول های جدولی را فراهم می کند.

مثال 5.2پیدا کردن یک)
; ب)
.

راه حل.در مثال آ)می توانید متوجه شوید که
و سپس از فرمول استفاده کنید 5) در تو=ln ایکس:

چه زمانی ب)
، و بنابراین به دلیل 11) در
ما گرفتیم:

یادداشت 1.هنگام وارد کردن علامت دیفرانسیل، همراه با موارد استفاده شده در بالا، در نظر گرفتن روابط زیر مفید است:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

تبصره 2.انتگرال از مثال 5.2.همچنین می توان با استفاده از تغییر متغیر پیدا کرد. در همان زمان، در انتگرال معینحدود ادغام نیز باید تغییر کند. تبدیل به 5.2.b)برای مثال به این صورت خواهد بود:

که در مورد کلیانتخاب جایگزین بر اساس نوع انتگرال تعیین می شود. در برخی موارد، جایگزینی ویژه توصیه می شود. به عنوان مثال، اگر عبارت حاوی غیر منطقی بودن شکل باشد
، سپس می توانیم قرار دهیم
یا
.

مثال 5.3پیدا کردن یک)
; ب)
.

راه حل.چه زمانی آ)ما داریم

(پس از جایگزینی فرمول جدولی را اعمال کردیم 11 )).

هنگام تصمیم گیری ب)ما مطمئن می شویم که محدودیت های یکپارچه سازی را جایگزین می کنیم.

5.3. یکپارچه سازی توسط قطعاتدر برخی موارد، "یکپارچه سازی با فرمول قطعات" کمک می کند. برای انتگرال نامعین شکل دارد

, (5.2)

برای یک معین

, (5.3)

توجه به موارد زیر ضروری است.

1) اگر انتگرال حاوی حاصل ضرب چند جمله ای از ایکسروی توابع
, سپس به عنوان تویک چند جمله ای انتخاب می شود و عبارت باقی مانده در زیر علامت انتگرال به آن اشاره دارد dv.

2) اگر انتگرال دارای مثلثات معکوس باشد ( ) یا لگاریتمی (
) توابع، سپس به عنوان تو یکی از آنها انتخاب می شود.

مثال 5.4.پیدا کردن یک)
; ب)
.

راه حل.چه زمانی آ)فرمول را اعمال کنید (5.2) و قانون دوم. دقیقا، ما معتقدیم
. سپس
. به علاوه،
، و بنابراین
. از این رو، . در انتگرال حاصل، کل قسمت انتگرال را انتخاب می کنیم (این کار زمانی انجام می شود که درجه صورتگر از درجه مخرج کمتر نباشد):

.

راه حل نهایی به این صورت است:

در مثال ب)ما استفاده می کنیم (5.3) و اول از قوانین.

5.4. ادغام عبارات حاوی یک مثلث درجه دوم. ایده های اصلی جداسازی یک مربع کامل در یک مثلث درجه دوم و انجام یک جایگزینی خطی است که امکان کاهش انتگرال اصلی را به شکل جدولی فراهم می کند. 10 )-16 ).

مثال 5.5.پیدا کردن یک)
; ب)
; V)
.

راه حل.چه زمانی آ)به صورت زیر عمل کنید:

بنابراین (با در نظر گرفتن 13) )

هنگام حل مثال ب)تبدیل های اضافی مربوط به حضور یک متغیر در صورت حساب انتگرال مورد نیاز خواهد بود. با انتخاب مربع کامل در مخرج ()، به دست می آوریم:

برای دوم از انتگرال ها، به دلیل 11) (جدول 2) داریم:
. در انتگرال اول زیر علامت دیفرانسیل وارد خواهیم شد:

بنابراین، همه چیز را کنار هم قرار دهید و به متغیر برگردید ایکس، ما گرفتیم:

در مثال V)همچنین ابتدا یک مربع کامل را انتخاب می کنیم:

5.5. ادغام توابع مثلثاتی سادههنگام ادغام عبارات فرم
(جایی که مترو n – اعداد صحیح) توصیه می شود قوانین زیر را در نظر بگیرید.

1) اگر هر دو درجه زوج باشند، فرمول "کاهش درجه" اعمال می شود: ; .

2) فرض کنید هر یک از اعداد متر و n- فرد. مثلا، n=2 ک+1. در این حالت یکی از درجات تابع cosx "Split off" را به زیر علامت دیفرانسیل (از زمانی که). در بیان باقی مانده
با استفاده از هویت مثلثاتی پایه
بیان شده از طریق
(). پس از تبدیل انتگرال (و با در نظر گرفتن خاصیت خطی بودن)، یک مجموع جبری از انتگرال های شکل به دست می آوریم.
، که هر کدام را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد 2) از جدول 2:
.

علاوه بر این، در برخی موارد فرمول ها نیز مفید هستند

مثال 5.6.پیدا کردن یک)
; ب)
; V)
.

راه حل. آ)انتگرال شامل یک درجه فرد (5) است سینکس, بنابراین ما طبق آن عمل می کنیم قانون دومبا توجه به اینکه .

در مثال ب)بیایید از فرمول استفاده کنیم (5.4 ), خطی بودنانتگرال نامعین، برابری
و فرمول جدولی 4):

چه زمانی V)به صورت متوالی درجه را پایین بیاور، ما خطی بودن، امکان معرفی یک ثابت زیر علامت دیفرانسیل و فرمول های جدولی لازم را در نظر می گیریم:

5.6. کاربردهای یک انتگرال معینهمانطور که مشخص است، یک ذوزنقه منحنی متناظر با یک غیر منفی و پیوسته بر روی قطعه است [ آ; ب] کارکرد f(ایکس), ناحیه محدود شده توسط نمودار یک تابع نامیده می شود y= f(ایکس), محور گاو نرو دو خط عمودی ایکس= آ, ایکس= ب. به طور خلاصه می توان آن را به صورت زیر نوشت: (نگاه کنید به. شکل 3). و کجا

همانطور که می گویند هنگام حل برخی از انواع انتگرال، تبدیل انجام می شود وارد شدن زیر علامت دیفرانسیل. این کار برای به دست آوردن یک انتگرال جدولی و سهولت گرفتن آن انجام می شود. برای انجام این کار، از فرمول استفاده کنید: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

من می خواهم به این نکته توجه کنم تفاوت ظریف مهمکه دانش آموزان به آن فکر می کنند. این روش چه تفاوتی با روش جایگزینی یک متغیر (جایگزینی) دارد؟ این همان چیزی است، فقط در ضبط ها متفاوت به نظر می رسد. هر دو درست است.

فرمول

اگر انتگرال حاصل ضرب دو تابع را نشان دهد که یکی از آنها دیفرانسیل دیگری است، تابع مورد نظر را زیر علامت دیفرانسیل وارد کنید. به نظر می رسد این است:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

خلاصه کردن توابع اصلی

برای استفاده موفقیت آمیز از این روش حل، باید جداول مشتق و ادغام را بدانید. فرمول های زیر از آنها به دست می آید:

$ dx = d(x+c)، c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) f(kx+b) + دلار کانادا

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1

انتگرال $$ \int \sin x \cos x dx $$ را پیدا کنید

راه حل

در این مثال می توانید هر یک از توابع پیشنهادی را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهید، حتی سینوس یا کسینوس. برای اینکه با تغییر علائم اشتباه نشوید، وارد کردن $ \cos x $ راحت تر است. با استفاده از فرمول هایی که داریم: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

بنابراین، در مقاله به چگونگی حل برخی از انواع انتگرال با وارد کردن آنها در علامت دیفرانسیل نگاه کردیم. ما تفاوت های اغلب رایج را به یاد آوردیم توابع ابتدایی. اگر نمی توانید یا زمان کافی برای حل تکالیف تست را ندارید، ما به شما کمک خواهیم کرد. در اسرع وقت. فقط فرم سفارش را پر کنید تا با شما تماس بگیریم.