یک نقطه M در صورتی که به همراه مقداری از همسایگی آن به این مجموعه تعلق داشته باشد، درون یک مجموعه خاص G نامیده می شود. نقطه N را در صورتی نقطه مرزی برای مجموعه G می نامند که در هر همسایگی کامل آن نقاطی وجود داشته باشد که هم متعلق به G و هم به آن نیست.

مجموعه تمام نقاط مرزی یک مجموعه G را مرز G می نامند.

مجموعه G در صورتی منطقه نامیده می شود که تمام نقاط آن داخلی باشند (مجموعه باز). به مجموعه G با مرز مرتبط Г، ناحیه بسته می گویند. ناحیه ای محدود نامیده می شود که به طور کامل در دایره ای با شعاع به اندازه کافی بزرگ قرار گیرد.

کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک ناحیه معین را حد مطلق تابع در این ناحیه می نامند.

قضیه وایرشتراس: تابع پیوسته در یک و محدود منطقه بسته، در این منطقه به حداقل و حداکثر مقدار خود می رسد.

نتیجه. حداکثر مطلق یک تابع در یک منطقه داده شده یا در نقطه بحرانی تابع متعلق به این منطقه به دست می آید، یا برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک منطقه بسته G، لازم است تمام نقاط بحرانی آن در این ناحیه، مقادیر تابع را در این نقاط (از جمله مرزی) محاسبه کرده و با مقایسه اعداد به دست آمده، بزرگترین و کوچکترین آنها را انتخاب کنید.

مثال 4.1.حداکثر مطلق تابع (بزرگترین و کوچکترین مقدار) را پیدا کنید.
در یک منطقه مثلثی D با رئوس
,
,
(عکس. 1).

;
,

یعنی نقطه O(0, 0) یک نقطه بحرانی متعلق به منطقه D است. z(0,0)=0.

بیایید مرز را بررسی کنیم:

الف) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1، 0)=0،

ب) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0، 2)=0،

تاکسی: ؛
,

مثال 4.2.بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را در یک ناحیه بسته که با محورهای مختصات و خط مستقیم محدود شده است را بیابید.
.

1) نقاط بحرانی موجود در منطقه را پیدا کنید:

,
,

.

بیایید مرز را بررسی کنیم. زیرا مرز شامل یک قطعه OA از محور Ox، یک قطعه OB از محور Oy و یک قطعه AB است، سپس بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع z را در هر یک از این بخش ها تعیین می کنیم.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3،7/3)، z(5/3، 7/3)=–10/3.

از بین تمام مقادیر یافت شده، z max =z(4, 0)=13 را انتخاب کنید. z naim =z(1, 2)=–4.

5. افراط مشروط. روش ضریب لاگرانژ

اجازه دهید یک مشکل خاص برای توابع چندین متغیر را در نظر بگیریم، زمانی که حداکثر آن را نه در کل دامنه تعریف، بلکه در مجموعه ای جستجو کنیم که شرایط خاصی را برآورده می کند.

اجازه دهید تابع را در نظر بگیریم
، استدلال ها و که شرایط را برآورده می کند
، معادله جفت نامیده می شود.

نقطه
اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد که برای همه نقاط، حداکثر شرطی (حداقل) نقطه نامیده می شود
از این محله شرایط را ارضا می کند
، نابرابری برقرار است
یا
.

شکل 2 حداکثر نقطه مشروط را نشان می دهد
. بدیهی است که نقطه منتهی الیه تابع نیست
(در شکل 2 این نکته است
).

ساده ترین راه برای یافتن حد فاصل یک تابع از دو متغیر این است که مسئله را به یافتن حد فاصل یک تابع از یک متغیر کاهش دهیم. اجازه دهید معادله اتصال را فرض کنیم
موفق به حل با توجه به یکی از متغیرها، به عنوان مثال، به بیان از طریق :
. با جایگزینی عبارت به دست آمده با تابعی از دو متغیر، دریافت می کنیم

آن ها تابع یک متغیر حداكثر آن، حداكثر مشروط تابع خواهد بود
.

مثال 5.1.حداکثر و حداقل نقاط یک تابع را بیابید
با توجه به اینکه
.

راه حل. اجازه دهید از معادله بیان کنیم
متغیر از طریق متغیر و عبارت حاصل را جایگزین کنید
به یک تابع . ما گرفتیم
یا
. این تابع دارای حداقل منحصر به فرد در است
. مقدار تابع مربوطه
. بدین ترتیب،
– نقطه حدی مشروط (حداقل).

در مثال در نظر گرفته شده، معادله جفت
خطی بود، بنابراین با توجه به یکی از متغیرها به راحتی حل شد. با این حال، در موارد پیچیده تر نمی توان این کار را انجام داد.

برای یافتن یک اکستروم شرطی در حالت کلی، از روش ضرب کننده لاگرانژ استفاده می شود. تابعی از سه متغیر را در نظر بگیرید. این تابع تابع لاگرانژ و – ضریب لاگرانژ قضیه زیر درست است.

قضیه.اگر نکته
نقطه منتهی شرطی تابع است
با توجه به اینکه
، سپس یک مقدار وجود دارد چنین نقطه ای
نقطه منتهی تابع است
.

بنابراین، برای یافتن حد اخر شرطی تابع
با توجه به اینکه
باید راه حلی برای سیستم پیدا کرد

پ آخرین مورد از این معادلات با معادله جفت منطبق است. دو معادله اول سیستم را می توان به این شکل بازنویسی کرد. در نقطه منتهی الیه شرطی، گرادیان های تابع
و
خطی در شکل شکل 3 معنای هندسی شرایط لاگرانژ را نشان می دهد. خط
نقطه چین، خط تراز
کارکرد
جامد. از شکل نتیجه آن این است که در نقطه منتهی الیه شرطی خط سطح تابع
خط را لمس می کند
.

مثال 5.2. نقاط انتهایی تابع را پیدا کنید
با توجه به اینکه
، با استفاده از روش ضرب لاگرانژ.

راه حل. تابع لاگرانژ را می نویسیم. با برابر کردن مشتقات جزئی آن با صفر، سیستمی از معادلات را به دست می آوریم:

تنها راه حل او بنابراین، نقطه افراطی مشروط فقط می تواند نقطه (3؛ 1) باشد. بررسی اینکه در این مرحله تابع آسان است
حداقل مشروط دارد. اگر تعداد متغیرها بیش از دو باشد، می توان چندین معادله جفت را در نظر گرفت. بر این اساس، در این حالت چندین ضریب لاگرانژ وجود خواهد داشت.

مشکل یافتن اکستریم مشروط در حل مشکلات اقتصادی مانند یافتن تخصیص بهینه منابع، انتخاب سبد بهینه اوراق بهادار و غیره استفاده می شود.

جوزف لویی لاگرانژ در تورین (ایتالیا) در خانواده ای ایتالیایی-فرانسوی به دنیا آمد. تحصیل کرد و سپس در دانشکده توپخانه به تدریس پرداخت. در سال 1759، به توصیه اویلر، لاگرانژ 23 ساله به عضویت آکادمی علوم برلین انتخاب شد. در سال 1766 او قبلاً رئیس جمهور آن شد. فردریک دوم لاگرانژ را به برلین دعوت کرد. پس از مرگ فردریک دوم در سال 1786، لاگرانژ به پاریس نقل مکان کرد. از سال 1722 او عضو آکادمی علوم پاریس بود، در سال 1795 به عضویت دفتر طول جغرافیایی منصوب شد و در ایجاد سیستم اندازه گیری متریک مشارکت فعال داشت. دایره تحقیق علمیلاگرانژ به طور غیرعادی پهن بود. آنها به مکانیک، هندسه، تجزیه و تحلیل ریاضی، جبر، نظریه اعداد و ستاره شناسی نظری اختصاص داده شده اند. جهت اصلی تحقیق لاگرانژ، ارائه طیف گسترده ای از پدیده ها در مکانیک از یک دیدگاه واحد بود. او معادله ای استخراج کرد که رفتار هر سیستمی را تحت تأثیر نیروها توصیف می کند. در زمینه نجوم، لاگرانژ کارهای زیادی برای حل مشکل پایداری انجام داد منظومه شمسی; موارد خاصی از حرکت پایدار را به‌ویژه برای اجسام کوچکی که در نقاط به اصطلاح مثلثی قرار دارند، ثابت کرد.

روش لاگرانژ─ این یک روش برای حل یک مشکل است بهینه سازی شرطیکه در آن قیودها که به صورت توابع ضمنی نوشته شده اند، با تابع هدف در قالب یک معادله جدید ترکیب می شوند. لاگرانژی.

در نظر بگیریم مورد خاص وظیفه مشترکنه برنامه ریزی خطی:

با توجه به سیستم معادلات غیر خطی (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m)،

کوچکترین (یا بزرگترین) مقدار تابع (2) را پیدا کنید.

(2) f (x1,x2,…,xn)

اگر شرایطی برای غیر منفی بودن متغیرها وجود نداشته باشد و f(x1,x2,…,xn) و gi(x1,x2,…,xn) توابعی هستند که همراه با مشتقات جزئی خود پیوسته هستند.

برای یافتن راه حلی برای این مشکل می توانید استفاده کنید روش بعدی: 1. مجموعه ای از متغیرهای λ1, λ2,…, λm را وارد کنید که ضریب لاگرانژ نامیده می شوند، تابع لاگرانژ را بنویسید (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به متغیرهای xi و λi بیابید و آنها را با صفر برابر کنید.

3. حل سیستم معادلات، نقاطی را که در آن تابع هدفمشکل ممکن است افراطی داشته باشد.

4. در بین نقاط مشکوک و نه اکستریم، نقاطی را که در آنها به اکستروم رسیده است، پیدا کنید و مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنید. .

4. مقادیر به دست آمده از تابع f را مقایسه کنید و بهترین را انتخاب کنید.

طبق برنامه تولید، این شرکت نیاز به تولید 180 محصول دارد. این محصولات را می توان به دو روش تکنولوژیکی تولید کرد. هنگام تولید محصولات x1 با استفاده از روش I، هزینه ها 4*x1+x1^2 روبل و هنگام تولید محصولات x2 با استفاده از روش II، 8*x2+x2^2 روبل است. تعیین کنید با استفاده از هر روش چه تعداد محصول باید تولید شود تا هزینه کل تولید حداقل باشد.

راه حل: فرمول ریاضی مسئله برای تعیین است کمترین مقدارتوابع دو متغیر:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2، ارائه x1 +x2 = 180.

بیایید تابع لاگرانژ را بسازیم:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

بیایید مشتقات جزئی آن را با توجه به x1، x2، λ محاسبه کنیم و آنها را با 0 برابر کنیم:

بیایید λ را به سمت راست دو معادله اول حرکت دهیم و سمت چپ آنها را با هم برابر کنیم، 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 یا x1 − x2 = 2 به دست می آوریم.

با حل آخرین معادله به همراه معادله x1 + x2 = 180، x1 = 91، x2 = 89 را پیدا می کنیم، یعنی راه حلی به دست آورده ایم که شرایط را برآورده کند:

بیایید مقدار تابع هدف f را برای این مقادیر متغیرها پیدا کنیم:

F(x1، x2) = 17278

این نقطه برای یک نقطه افراطی مشکوک است. با استفاده از مشتقات جزئی دوم، می توانیم نشان دهیم که در نقطه (91.89) تابع f دارای حداقل است.

شرح روش

جایی که .

بنیاد و پایه

توجیه زیر برای روش ضریب لاگرانژ دلیل دقیقی برای آن نیست. این شامل استدلال اکتشافی برای کمک به درک است معنی هندسیروش.

کیس دو بعدی

خطوط تراز و منحنی.

اجازه دهید برای یافتن حد فاصل برخی از تابع دو متغیر در شرایطی که توسط معادله مشخص شده است لازم باشد. . ما فرض می کنیم که همه توابع به طور پیوسته قابل تمایز هستند و این معادله یک منحنی صاف را تعریف می کند اسروی سطح . سپس مشکل به یافتن حداکثر تابع کاهش می یابد fروی منحنی اس. ما نیز آن را فرض خواهیم کرد اساز نقاطی که در آن شیب است عبور نمی کند fبه 0 تبدیل می شود.

بیایید خطوط سطح تابع را روی صفحه رسم کنیم f(یعنی منحنی ها). از ملاحظات هندسی مشخص است که حداکثر تابع fروی منحنی اسفقط می تواند نقاطی وجود داشته باشد که در آنها مماس وجود داشته باشد اسو خط سطح مربوطه منطبق است. در واقع، اگر منحنی اساز خط تراز عبور می کند fدر یک نقطه به صورت عرضی (یعنی در یک زاویه غیر صفر)، سپس در امتداد منحنی حرکت می کند اساز یک نقطه می توانیم به خطوط سطح مربوط به مقدار بزرگتر برسیم f، و کمتر. بنابراین چنین نقطه ای نمی تواند نقطه افراطی باشد.

بنابراین، شرط لازم برای افراط در مورد ما، همزمانی مماس ها خواهد بود. برای نوشتن آن به صورت تحلیلی، توجه داشته باشید که معادل موازی بودن گرادیان توابع است. fو ψ در یک نقطه معین، زیرا بردار گرادیان عمود بر مماس بر خط تراز است. این شرایط به شکل زیر بیان می شود:

که در آن λ یک عدد غیر صفر است که ضریب لاگرانژ است.

حال بیایید در نظر بگیریم تابع لاگرانژبسته به و λ:

شرط لازم برای اکستریم آن این است که گرادیان برابر با صفر باشد. مطابق با قواعد تمایز، در فرم نوشته شده است

ما سیستمی به دست آوردیم که دو معادله اول آن معادل شرط لازم است افراطی موضعی(1)، و سوم - به معادله . می توانید آن را از آن پیدا کنید. علاوه بر این، از آنجایی که در غیر این صورت گرادیان تابع fدر نقطه ناپدید می شود ، که با فرضیات ما در تضاد است. لازم به ذکر است که نقاطی که از این طریق یافت می شوند ممکن است نقاط مورد نظر اکستروم مشروط نباشند - شرط در نظر گرفته شده لازم است، اما کافی نیست. یافتن یک اکستروم شرطی با استفاده از یک تابع کمکی Lو اساس روش ضریب لاگرانژ را تشکیل می دهد که در اینجا برای ساده ترین حالت دو متغیر به کار می رود. به نظر می رسد که استدلال فوق را می توان به تعداد دلخواه متغیرها و معادلاتی که شرایط را مشخص می کنند تعمیم داد.

بر اساس روش ضریب لاگرانژ می توان برخی را اثبات کرد شرایط کافیبرای یک اکستروم شرطی، نیاز به تجزیه و تحلیل مشتقات دوم تابع لاگرانژ دارد.

کاربرد

• روش ضریب لاگرانژ برای حل مسائل برنامه ریزی غیرخطی که در بسیاری از زمینه ها (مثلاً در اقتصاد) بوجود می آیند استفاده می شود.
• روش اصلی برای حل مشکل بهینه سازی کیفیت رمزگذاری داده های صوتی و تصویری با نرخ بیت متوسط ​​معین (بهینه سازی اعوجاج - انگلیسی. بهینه سازی Rate-Distortion).

همچنین ببینید

پیوندها

• زوریچ وی. تجزیه و تحلیل ریاضی. قسمت 1. - ویرایش. دوم، برگردان و اضافی - م.: فازیس، 1376.

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید «ضریب‌کننده‌های لاگرانژ» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

ضرب کننده های لاگرانژ- عوامل اضافی که هنگام حل آن با استفاده از یکی از روش های کلاسیک، روش حل ضرایب، تابع هدف یک مسئله فوق العاده برنامه ریزی محدب (به ویژه برنامه ریزی خطی) را تغییر می دهد. فرهنگ لغت اقتصادی-ریاضی

ضرب کننده های لاگرانژ- عوامل اضافی که تابع هدف یک مسئله برنامه ریزی محدب اکستریمال (به ویژه برنامه ریزی خطی) را در هنگام حل آن با استفاده از یکی از روش های کلاسیک، روش حل ضریب (روش لاگرانژ) تغییر می دهد. راهنمای مترجم فنی

مکانیک. 1) معادلات لاگرانژ از نوع اول، معادلات دیفرانسیل حرکت مکانیکی. سیستم هایی که به صورت پیش بینی بر روی محورهای مختصات مستطیلی داده می شوند و به اصطلاح حاوی مواردی هستند. ضرب کننده های لاگرانژ در سال 1788 توسط J. Lagrange به دست آمد. برای یک سیستم هولونومیک، ... ... دایره المعارف فیزیکی

مکانیک معمولی معادلات دیفرانسیلمرتبه دوم، حرکات مکانیکی را توصیف می کند. سیستم های تحت تأثیر نیروهای اعمال شده به آنها. لو. محدوده J. Lag به دو شکل ایجاد شده است: L. u. نوع اول یا معادلات در مختصات دکارتی با... ... دایره المعارف ریاضی

1) در هیدرومکانیک معادله حرکت سیال (گاز) در متغیرهای لاگرانژ که مختصات محیط هستند. فرانسوی دریافت کرد دانشمند J. Lagrange (تقریباً 1780). از L.u. قانون حرکت محیط به شکل وابستگی ها تعیین می شود... ... دایره المعارف فیزیکی

روش ضریب لاگرانژ، روشی برای یافتن منتهی الیه شرطی تابع f(x)، که در آن، نسبت به قیود m، i از یک تا m متغیر است. مطالب 1 شرح روش ... ویکی پدیا

تابعی که در حل مسائل بر روی حد فاصل توابع شرطی بسیاری از متغیرها و تابع ها استفاده می شود. با کمک L.f. ثبت می شوند شرایط لازمبهینه بودن در مسائل در حد شرطی در این صورت نیازی به بیان تنها متغیرها نیست... دایره المعارف ریاضی

روش برای حل مسائل در اکسترم شرطی. L.M.M عبارت است از کاهش این مشکلات به مشکلات در حد غیرشرطی یک تابع کمکی، به اصطلاح. توابع لاگرانژ برای مسئله حد اخر تابع f (x1, x2,..., xn) برای... ...

متغیرهایی که با کمک آنها تابع لاگرانژ هنگام مطالعه مسائل در یک اکستروم شرطی ساخته می شود. استفاده از روش های خطی و تابع لاگرانژ به ما این امکان را می دهد که شرایط بهینه لازم را در مسائل مربوط به یک اکسترمم شرطی به صورت یکنواخت بدست آوریم. دایره المعارف ریاضی

1) در هیدرومکانیک معادلات حرکت یک محیط سیال با متغیرهای لاگرانژ نوشته می شود که مختصات ذرات محیط است. از L.u. قانون حرکت ذرات محیط به شکل وابستگی مختصات به زمان تعیین می شود و از آنها... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

• آموزش

هر کس روز خوب. در این مقاله می خواهم یکی از آنها را نشان دهم روش های گرافیکیساخت و ساز مدل های ریاضیبرای سیستم های پویا که نامیده می شود نمودار اوراق قرضه("پیوند" - اتصالات، "گراف" - نمودار). در ادبیات روسی، من توصیفات این روش را فقط در کتاب درسی تامسکی یافتم دانشگاه پلی تکنیک، A.V. Voronin "Modeling OF MECHATRONIC SYSTEMS" 2008 همچنین نشان دهید روش کلاسیکاز طریق معادله لاگرانژ از نوع دوم.

روش لاگرانژ

من تئوری را شرح نمی دهم، مراحل محاسبات را با چند نظر نشان می دهم. شخصا، یادگیری از مثال ها برای من آسان تر از خواندن 10 بار تئوری است. به نظر من در ادبیات روسی، توضیح این روش، و در واقع ریاضیات یا فیزیک به طور کلی، بسیار غنی است. فرمول های پیچیده، که بر این اساس نیاز به یک پیش زمینه جدی ریاضی دارد. در حین مطالعه روش لاگرانژ (من در دانشگاه پلی تکنیک تورین ایتالیا تحصیل می کنم) ادبیات روسی را برای مقایسه روش های محاسباتی مطالعه کردم و پیگیری روند حل این روش برایم سخت بود. حتی با یادآوری دوره های مدل سازی در موسسه هوانوردی خارکف، استخراج چنین روش هایی بسیار دست و پا گیر بود و هیچ کس خود را در تلاش برای درک این موضوع اذیت نمی کرد. این همان چیزی است که تصمیم گرفتم بنویسم ، کتابچه راهنمای ساخت مدل های ریاضی طبق لاگرانژ ، همانطور که معلوم شد اصلاً دشوار نیست ، کافی است بدانید که چگونه مشتقات را با توجه به زمان و مشتقات جزئی محاسبه کنید. برای مدل های پیچیده تر، ماتریس های چرخشی نیز اضافه می شوند، اما هیچ چیز پیچیده ای نیز در آنها وجود ندارد.

ویژگی های روش های مدل سازی:

• نیوتن اویلر: معادلات برداری بر اساس تعادل دینامیکی زورو لحظات
• لاگرانژ: معادلات اسکالر مبتنی بر توابع حالت مرتبط با جنبشی و پتانسیل انرژی ها
• تعداد اوراق قرضه: روش مبتنی بر جریان قدرتبین عناصر سیستم

بیا شروع کنیم با مثال ساده. جرم با فنر و دمپر. ما نیروی جاذبه را نادیده می گیریم.

عکس. 1. جرم با فنر و دمپر

اول از همه، ما تعیین می کنیم:

• سیستم اولیهمختصات(NSK) یا sk ثابت R0(i0,j0,k0). جایی که؟ شما می توانید انگشت خود را به سمت آسمان بگیرید، اما با انقباض نوک نورون های مغز، ایده قرار دادن NSC روی خط حرکت بدن M1 به ذهنتان خطور می کند.
• سیستم های مختص هر بدن با جرم(ما M1 داریم R1(i1,j1,k1)، جهت گیری می تواند دلخواه باشد، اما چرا زندگی شما را پیچیده می کند، آن را با حداقل تفاوت از NSC تنظیم کنید.
• مختصات تعمیم یافته q_i(حداقل تعداد متغیرهایی که می توانند حرکت را توصیف کنند)، در این مثال یک مختصات تعمیم یافته وجود دارد، حرکت فقط در امتداد محور j

شکل 2. ما سیستم های مختصات و مختصات تعمیم یافته را قرار می دهیم

شکل 3. موقعیت و سرعت بدنه M1

سپس انرژی‌های جنبشی (C) و پتانسیل (P) و تابع اتلاف (D) را برای دمپر با استفاده از فرمول‌ها پیدا می‌کنیم:

شکل 4. فرمول کاملانرژی جنبشی

در مثال ما هیچ چرخشی وجود ندارد، جزء دوم برابر با 0 است.

شکل 5. محاسبه تابع جنبشی، انرژی پتانسیل و اتلاف

معادله لاگرانژ به شکل زیر است:

شکل 6. معادله لاگرانژ و لاگرانژ

دلتا W_iاین کار مجازی است که توسط نیروها و لحظات اعمال شده انجام می شود. بیایید او را پیدا کنیم:

شکل 7. محاسبه کار مجازی

جایی که دلتا q_1حرکت مجازی

ما همه چیز را در معادله لاگرانژ جایگزین می کنیم:

شکل 8. مدل جرم حاصل با فنر و دمپر

اینجاست که روش لاگرانژ به پایان رسید. همانطور که می بینید، آنقدرها هم پیچیده نیست، اما هنوز هم یک مثال بسیار ساده است، که به احتمال زیاد روش نیوتن اویلر حتی ساده تر است. برای سیستم‌های پیچیده‌تر، که در آن چندین جسم نسبت به یکدیگر در زوایای مختلف چرخانده می‌شوند، روش لاگرانژ آسان‌تر خواهد بود.

روش باندنمودار

برای مثالی با جرم، فنر و دمپر، فوراً به شما نشان خواهم داد که مدل در نمودار پیوند چگونه است:

شکل 9. جرم های نمودار پیوند با فنر و دمپر

در اینجا شما باید یک نظریه کوچک بگویید که برای ساختن کافی است مدل های ساده. اگر کسی علاقه مند است می تواند کتاب را بخواند ( روش شناسی نمودار اوراق قرضه) یا ( Voronin A.V. مدل سازی سیستم های مکاترونیک: آموزش. – تامسک: انتشارات دانشگاه پلی تکنیک تومسک، 2008).

اجازه دهید ابتدا آن را تعیین کنیم سیستم های پیچیدهاز چندین دامنه تشکیل شده است. به عنوان مثال، یک موتور الکتریکی از قطعات یا دامنه های الکتریکی و مکانیکی تشکیل شده است.

نمودار اوراق قرضهبر اساس تبادل قدرت بین این حوزه ها، زیرسیستم ها. توجه داشته باشید که تبادل توان، به هر شکلی که باشد، همیشه توسط دو متغیر تعیین می شود ( توان متغیر) که به کمک آن می توانیم تعامل زیرسیستم های مختلف را در یک سیستم پویا مطالعه کنیم (جدول را ببینید).

همانطور که از جدول مشخص است، بیان قدرت تقریباً در همه جا یکسان است. به طور خلاصه، قدرت- این کار " جریان - f" بر " تلاش - ه».

یک تلاش(انگلیسی) تلاش) در حوزه الکتریکی این ولتاژ (e) است، در حوزه مکانیکی نیرو (F) یا گشتاور (T) و در هیدرولیک فشار (p) است.

جریان(انگلیسی) جریان) در حوزه الکتریکی جریان (i)، در حوزه مکانیکی سرعت (v) یا است سرعت زاویهای(امگا)، در هیدرولیک - جریان سیال یا سرعت جریان (Q).

با در نظر گرفتن این نمادها، یک عبارت برای قدرت به دست می آوریم:

شکل 10. فرمول قدرت از طریق متغیرهای توان

در زبان باند-گراف، ارتباط بین دو زیرسیستم که قدرت را مبادله می کنند با یک پیوند نشان داده می شود. رابطه، رشته). به همین دلیل به آن می گویند این روش باند-گرافیا g اتصالات raf، نمودار متصل. در نظر بگیریم نمودار بلوکیاتصالات در یک مدل با موتور الکتریکی (این هنوز یک نمودار پیوند نیست):

شکل 11. بلوک دیاگرام جریان قدرت بین دامنه ها

اگر منبع ولتاژ داشته باشیم، بر این اساس، ولتاژ تولید می کند و آن را برای سیم پیچی به موتور منتقل می کند (به همین دلیل است که فلش به سمت موتور هدایت می شود)، بسته به مقاومت سیم پیچ، جریانی مطابق قانون اهم ظاهر می شود. از موتور تا منبع). بر این اساس، یک متغیر ورودی زیرسیستم است و متغیر دوم باید باشد خروجاز زیر سیستم در اینجا ولتاژ ( تلاش) - جریان ورودی ( جریان) - خروج.

اگر از منبع فعلی استفاده کنید، نمودار چگونه تغییر می کند؟ درست. جریان به موتور و ولتاژ به منبع هدایت می شود. سپس جریان ( جریان) - ولتاژ ورودی ( تلاش) - خروج.

بیایید به یک مثال در مکانیک نگاه کنیم. نیرویی که بر روی یک جرم عمل می کند.

شکل 12. نیروی اعمال شده به جرم

بلوک دیاگرام به صورت زیر خواهد بود:

شکل 13. نمودار بلوکی

در این مثال، قدرت ( تلاش) – متغیر ورودی برای جرم. (نیروی اعمال شده بر جرم)
طبق قانون دوم نیوتن:

توده با سرعت پاسخ می دهد:

در این مثال، اگر یک متغیر ( زور - تلاش) است ورودبه حوزه مکانیکی، سپس یک متغیر قدرت دیگر ( سرعت - جریان) – به طور خودکار تبدیل می شود خروج.

برای تشخیص محل ورودی و محل خروجی، از یک خط عمودی در انتهای فلش (اتصال) بین عناصر استفاده می شود، این خط نامیده می شود. نشانه علیت یا علیت (علیت). معلوم می شود: نیروی اعمال شده علت است و سرعت معلول است. این علامت برای ساخت صحیح یک مدل سیستم بسیار مهم است، زیرا علیت یک پیامد است رفتار فیزیکیو مبادله قوای دو زیر سیستم، بنابراین انتخاب مکان علامت علیت نمی تواند دلخواه باشد.

شکل 14. تعیین علیت

این خط عمودی نشان می دهد که کدام زیر سیستم نیرو را دریافت می کند ( تلاش) و در نتیجه یک جریان ( جریان). در مثال با جرم، به این صورت خواهد بود:

شکل 14. رابطه علی برای نیروی وارد بر جرم

از فلش مشخص است که ورودی برای جرم - زور، و خروجی است سرعت. این کار به گونه ای انجام می شود که نمودار با فلش شلوغ نشود و ساخت مدل نظام مند نشود.

بعد نکته مهم. تکانه تعمیم یافته(میزان حرکت) و در حال حرکت(متغیرهای انرژی).

جدول متغیرهای توان و انرژی در حوزه های مختلف

جدول بالا دو کمیت فیزیکی اضافی مورد استفاده در روش باند گراف را معرفی می کند. آنها نامیده می شوند تکانه تعمیم یافته (آر) و حرکت عمومی (q) یا متغیرهای انرژی، و آنها را می توان با ادغام متغیرهای توان در طول زمان به دست آورد:

شکل 15. رابطه بین متغیرهای توان و انرژی

در حوزه برق :

بر اساس قانون فارادی، ولتاژدر انتهای هادی برابر با مشتق شار مغناطیسی از طریق این هادی است.

آ قدرت فعلی - کمیت فیزیکی، برابر با نسبت مقدار بار Q عبور از مدتی t سطح مقطعهادی، به ارزش این دوره زمانی.

حوزه مکانیکی:

از قانون دوم نیوتن، زور- مشتق زمانی تکانه

و به همین ترتیب، سرعت- مشتق زمانی جابجایی:

بیایید خلاصه کنیم:

عناصر اساسی

تمام عناصر در سیستم های دینامیکی را می توان به اجزای دو قطبی و چهار قطبی تقسیم کرد.
در نظر بگیریم اجزای دوقطبی:

منابع
هم منابع تلاش و هم جریان وجود دارد. قیاس در حوزه الکتریکی: منبع تلاش – منبع ولتاژ, منبع جریان – منبع فعلی. علائم علی برای منابع فقط باید اینگونه باشد.

شکل 16. ارتباط علّی و تعیین منابع

جزء R - عنصر اتلاف کننده

جزء I - عنصر اینرسی

جزء C - عنصر خازنی

همانطور که از شکل ها مشخص است، عناصر مختلف یکسان هستند نوع R,C,Iبا همان معادلات توصیف شده است. فقط برای ظرفیت الکتریکی تفاوت وجود دارد، فقط باید آن را به خاطر بسپارید!

اجزای چهار قطبی:

بیایید به دو جزء نگاه کنیم: یک ترانسفورماتور و یک گیراتور.

آخرین اجزای مهم در روش پیوند گراف، اتصالات هستند. دو نوع گره وجود دارد:

در مورد اجزا همین است.

مراحل اصلی برای ایجاد روابط علی پس از ساختن نمودار پیوند:

1. به همه پیوندهای علّی بدهید منابع
2. تمام گره ها را مرور کنید و بعد از نقطه 1 روابط علی را کنار بگذارید
3. برای اجزای Iیک رابطه علی ورودی (تلاش در این جزء گنجانده شده است) برای اجزای Cنسبت علیت خروجی (تلاش از این مؤلفه خارج می شود)
4. نقطه 2 را تکرار کنید
5. درج اتصالات علی برای اجزای R

این مینی دوره تئوری را به پایان می رساند. اکنون ما همه چیزهایی را که برای ساخت مدل نیاز داریم در اختیار داریم.
بیایید یکی دو مثال را حل کنیم. بیایید با یک مدار الکتریکی شروع کنیم.

مثال 1

بیایید شروع به ساختن یک نمودار پیوند با منبع ولتاژ کنیم. فقط Se را بنویسید و یک فلش قرار دهید.

ببینید، همه چیز ساده است! بیایید بیشتر نگاه کنیم، R و L به صورت سری به هم متصل هستند، به این معنی که جریان یکسانی در آنها جریان می یابد، اگر در متغیرهای توان صحبت کنیم - جریان یکسان. کدام گره جریان یکسانی دارد؟ پاسخ صحیح 1 گره است. منبع، مقاومت (کامپوننت - R) و اندوکتانس (کامپوننت - I) را به گره 1 وصل می کنیم.

بعد، ما ظرفیت و مقاومت را به صورت موازی داریم، به این معنی که ولتاژ یا نیروی یکسانی دارند. 0-node مانند هیچ گره دیگری مناسب است. خازن (جزء C) و مقاومت (جزء R) را به گره 0 وصل می کنیم.

گره های 1 و 0 را نیز به یکدیگر متصل می کنیم. جهت فلش ها به صورت دلخواه انتخاب می شود.

نمودار اتصال زیر را دریافت خواهید کرد:

اکنون باید روابط علی را برقرار کنیم. با پیروی از دستورالعمل های مربوط به ترتیب قرار دادن آنها، اجازه دهید با منبع شروع کنیم.

1. ما یک منبع ولتاژ (تلاش) داریم، چنین منبعی فقط یک گزینه علیت دارد - خروجی. بگذار آن را بپوشانیم.
2. بعد جزء I وجود دارد، بیایید ببینیم آنها چه چیزی را توصیه می کنند. ما گذاشتیم
3. ما آن را برای 1-node می گذاریم. بخور
4. یک گره 0 باید یک ورودی و همه اتصالات علی خروجی داشته باشد. فعلا یک روز مرخصی داریم ما به دنبال اجزای C یا I هستیم. ما آن را پیدا کردیم. ما گذاشتیم
5. بیایید فهرستی از آنچه باقی مانده است

همین. نمودار باند ساخته شده است. هورای، رفقا!

تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن معادلاتی است که سیستم ما را توصیف می کند. برای این کار یک جدول با 3 ستون ایجاد کنید. اولی شامل تمام اجزای سیستم، دومی شامل متغیر ورودی برای هر عنصر و سومی شامل متغیر خروجی برای همان جزء است. ما قبلاً ورودی و خروجی را با روابط علی تعریف کرده ایم. بنابراین نباید هیچ مشکلی وجود داشته باشد.

بیایید برای سهولت در ضبط سطوح، هر اتصال را شماره گذاری کنیم. معادلات هر عنصر را از لیست اجزای C, R, I می گیریم.

پس از جمع آوری یک جدول، متغیرهای حالت را تعریف می کنیم، در این مثال 2 عدد از آنها، p3 و q5 وجود دارد. بعد باید معادلات حالت را بنویسید:

همین، مدل آماده است.

مثال 2. من می خواهم بلافاصله بابت کیفیت عکس عذرخواهی کنم، نکته اصلی این است که می توانید بخوانید

بیایید مثال دیگری را برای یک سیستم مکانیکی حل کنیم، همان مثالی که با روش لاگرانژ حل کردیم. من راه حل را بدون نظر نشان خواهم داد. بیایید بررسی کنیم که کدام یک از این روش ها ساده تر و راحت تر است.

در متبالا، هر دو مدل ریاضی با پارامترهای یکسان، با روش لاگرانژ و نمودار پیوند به دست آمدند. نتیجه زیر است: اضافه کردن برچسب

روش تعیین یک اکستروم شرطی با ساخت یک تابع لاگرانژ کمکی آغاز می شود که در منطقه راه حل های امکان پذیر برای همان مقادیر متغیرها به حداکثر می رسد. ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n که همان تابع هدف است z . اجازه دهید مشکل تعیین حداکثر شرطی تابع حل شود z = f (X) تحت محدودیت φ من ( ایکس 1 , ایکس 2 , ..., ایکس n ) = 0, من = 1, 2, ..., متر , متر < n

بیایید یک تابع بسازیم

که نامیده می شود تابع لاگرانژ. ایکس ، - عوامل ثابت ( ضرب کننده های لاگرانژ). توجه داشته باشید که ضرب کننده های لاگرانژ می توانند معنای اقتصادی داشته باشند. اگر f(x 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) - درآمد مطابق با برنامه X = (x 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) ، و عملکرد φ من (ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n ) - هزینه های منبع i-ام مربوط به این طرح، سپس ایکس ، قیمت (تخمین) منبع i است که تغییر در مقدار شدید تابع هدف بسته به تغییر اندازه منبع iام (برآورد نهایی) را مشخص می کند. L (X) - تابع n+m متغیرها (ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . تعیین نقاط ثابت این تابع منجر به حل سیستم معادلات می شود

دیدن آن آسان است . بنابراین، وظیفه یافتن حداکثر شرطی تابع z = f(X) به یافتن قسمت انتهایی محلی تابع کاهش می یابد L (X) . اگر یک نقطه ثابت پیدا شود، آنگاه مسئله وجود یک اکستریم در ساده ترین موارد بر اساس شرایط کافی برای اکستروم حل می شود - مطالعه علامت دیفرانسیل دوم. د 2 L (X) در یک نقطه ثابت، به شرطی که متغیر افزایش یابد Δx من - با روابط مرتبط است

با تفکیک معادلات جفت به دست می آید.

حل یک سیستم معادلات غیرخطی در دو مجهول با استفاده از ابزار Solution Finder

تنظیمات یافتن راه حلبه شما امکان می دهد برای یک سیستم معادلات غیر خطی با دو مجهول راه حل پیدا کنید:

جایی که
- تابع غیر خطی متغیرها ایکس و y ,
- ثابت دلخواه

مشخص است که زوج ( ایکس , y ) جوابی است برای سیستم معادلات (10) اگر و فقط در صورتی که جواب معادله زیر با دو مجهول باشد:

بااز سوی دیگر، راه حل سیستم (10) نقاط تقاطع دو منحنی است: f ] (ایکس, y) = سی و f 2 (x، y) = C 2 روی سطح XOY.

این منجر به روشی برای یافتن ریشه های سیستم می شود. معادلات غیر خطی:

فاصله وجود یک راه حل برای سیستم معادلات (10) یا معادله (11) را (حداقل تقریباً) تعیین کنید. در اینجا لازم است نوع معادلات موجود در سیستم، دامنه تعریف هر یک از معادلات آنها و غیره را در نظر گرفت.

حل معادله (11) را برای متغیرهای x و y در بازه انتخاب شده جدول بندی کنید یا نمودارهایی از توابع بسازید. f 1 (ایکس, y) = ج، و f 2 (x,y) = C 2 (سیستم (10)).

ریشه های فرضی سیستم معادلات را بومی سازی کنید - چندین مقدار حداقل را از جدول جدول بندی ریشه های معادله (11) بیابید، یا نقاط تقاطع منحنی های موجود در سیستم (10) را تعیین کنید.

4. ریشه های سیستم معادلات (10) را با استفاده از افزونه پیدا کنید یافتن راه حل.