امروز در درس یاد خواهیم گرفت که پیدا کنیم مشروطیا همانطور که به آنها نیز گفته می شود افراط نسبیتوابع چندین متغیر، و، اول از همه، ما، البته، در مورد اکسترم های شرطی صحبت خواهیم کرد توابع دوو سه متغیر، که در اکثریت قریب به اتفاق مسائل موضوعی یافت می شود.

آنچه شما باید بدانید و بتوانید انجام دهید این لحظه? علیرغم این واقعیت که این مقاله "در حومه" موضوع است، برای تسلط موفقیت آمیز به مطالب چیز زیادی لازم نیست. در این مرحله باید از اصول اولیه آگاه باشید سطوح فضا، بتوانید پیدا کنید مشتقات جزئی (حداقل در سطح متوسط)و همانطور که منطق بی رحم حکم می کند، برای درک افراط های بی قید و شرط. اما حتی اگر شما سطح پایینآماده سازی، برای ترک عجله نکنید - تمام دانش/مهارت های از دست رفته را واقعا می توان "در طول راه" و بدون هیچ ساعت عذابی برداشت.

ابتدا، بیایید خود مفهوم را تجزیه و تحلیل کنیم و در عین حال یک تکرار سریع از رایج ترین ها انجام دهیم سطوح. پس آن چیست افراطی مشروط? ...منطق در اینجا کمتر از بی رحمی نیست =) افراط شرطی یک تابع یک افراط به معنای معمول کلمه است که زمانی به دست می آید که یک شرط (یا شرایط) خاص محقق شود.

یک "مورب" دلخواه را تصور کنید سطح V سیستم دکارتی. هیچ یک نقاط بحرانیاینجا اثری از آن نیست اما این فعلا است. در نظر بگیریم استوانه بیضوی، برای سادگی - یک "لوله" گرد بی پایان موازی با محور. بدیهی است که این "لوله" از هواپیمای ما "قطع" خواهد شد بیضی، در نتیجه در نقطه بالایی آن حداکثر و در نقطه پایین آن حداقل وجود خواهد داشت. به عبارت دیگر، تابعی که صفحه را تعریف می کند به اکستریم می رسد با توجه به اینکهکه توسط یک استوانه دایره ای معین عبور کرده است. دقیقاً "ارائه شده"! استوانه بیضوی دیگری که این صفحه را قطع می کند تقریباً به طور قطع مقادیر حداقل و حداکثر متفاوتی را تولید می کند.

اگر خیلی واضح نیست، می توان موقعیت را به صورت واقع بینانه شبیه سازی کرد (هر چند در به صورت برعکس) : یک تبر بگیرید، بروید بیرون و قطع کنید... نه، صلح سبز بعدا شما را نخواهد بخشید - بهتر است لوله فاضلاب را با آسیاب برش دهید =). حداقل مشروط و حداکثر مشروط به این بستگی دارد که در چه ارتفاعی و زیر چه چیزی (غیر افقی)برش در یک زاویه ساخته شده است.

زمان آن رسیده است که محاسبات را با لباس ریاضی بپوشانیم. در نظر بگیریم پارابولوئید بیضوی، که دارای حداقل مطلقدر نقطه . حالا بیایید افراطی را پیدا کنیم با توجه به اینکه. این سطحبه موازات محور، به این معنی که از پارابولوئید "بریده" می شود سهمی. بالای این سهمی حداقل مشروط خواهد بود. علاوه بر این، هواپیما از مبدا مختصات عبور نمی کند، بنابراین، نقطه بی ربط باقی می ماند. عکسی ارائه نکردید؟ بیایید بلافاصله پیوندها را دنبال کنیم! چندین و چند بار دیگر طول خواهد کشید.

سوال: چگونه می توان این افراط مشروط را پیدا کرد؟ ساده ترین راهراه حل این است که از معادله (که نامیده می شود - وضعیتیا معادله اتصال) بیان کنید، برای مثال: – و آن را با تابع جایگزین کنید:

نتیجه تابعی از یک متغیر است که سهمی را تعریف می کند، راس آن با چشمان بسته محاسبه می شود. بیایید پیدا کنیم نقاط بحرانی:

- نقطه بحرانی.

ساده ترین چیز بعدی برای استفاده این است دومین شرط کافی برای افراط:

به طور خاص: این بدان معنی است که تابع در نقطه به حداقل می رسد. می توان آن را به طور مستقیم محاسبه کرد: ، اما ما مسیر آکادمیک تری را در پیش خواهیم گرفت. بیایید مختصات "بازی" را پیدا کنیم:
,

حداقل نقطه شرطی را بنویسید، مطمئن شوید که واقعاً در هواپیما قرار دارد (معادله جفت را برآورده می کند):

و حداقل شرطی تابع را محاسبه کنید:
با توجه به اینکه ("افزودنی" مورد نیاز است!!!).

روش در نظر گرفته شده را می توان در عمل بدون هیچ تردیدی مورد استفاده قرار داد، با این حال، دارای معایبی است. اولاً، هندسه مسئله همیشه واضح نیست، و ثانیاً، بیان «x» یا «y» از معادله اتصال اغلب بی‌فایده است. (اگر اصلاً راهی برای بیان چیزی وجود دارد). و اکنون یک روش جهانی برای یافتن اکسترم های شرطی به نام در نظر خواهیم گرفت روش ضریب لاگرانژ:

مثال 1

انتهای شرطی تابع را با معادله مشخص شده اتصال به آرگومان ها پیدا کنید.

آیا سطوح را تشخیص می دهید؟ ;-) ...از دیدن چهره های شاد شما خوشحالم =)

به هر حال، از فرمول این مشکل مشخص می شود که چرا شرایط نامیده می شود معادله اتصال- آرگومان های تابع متصلیک شرط اضافی، یعنی نقاط انتهایی یافت شده لزوماً باید به یک استوانه دایره ای تعلق داشته باشند.

راه حل: در مرحله اول باید معادله اتصال را به صورت ارائه و انشا ارائه دهید تابع لاگرانژ:
، به اصطلاح ضریب لاگرانژ کجاست.

در مورد ما و:

الگوریتم برای یافتن اکسترم های شرطی بسیار شبیه به طرح یافتن "معمولی" است. افراط. بیایید پیدا کنیم مشتقات جزئیتوابع لاگرانژ، در حالی که "لامبدا" باید به عنوان یک ثابت در نظر گرفته شود:

بسازیم و حل کنیم سیستم زیر:

گره به صورت استاندارد باز می شود:
از اولین معادله ای که بیان می کنیم ;
از معادله دومی که بیان می کنیم .

بیایید اتصالات را در معادله جایگزین کنیم و ساده سازی ها را انجام دهیم:

در نتیجه دو نقطه ثابت به دست می آوریم. اگر پس از آن:

اگر پس از آن:

به راحتی می توان فهمید که مختصات هر دو نقطه معادله را برآورده می کند . افراد دقیق نیز می توانند یک بررسی کامل انجام دهند: برای این کار باید جایگزین کنید وارد معادلات اول و دوم سیستم شوید و سپس همین کار را با مجموعه انجام دهید . همه چیز باید "با هم جمع شود".

بیایید اجرا را بررسی کنیم شرایط کافیحداکثر برای نقاط ثابت یافت شده. من در مورد سه رویکرد برای حل این مشکل بحث خواهم کرد:

1) روش اول یک توجیه هندسی است.

بیایید مقادیر تابع را در نقاط ثابت محاسبه کنیم:

در مرحله بعد، عبارتی با محتوای تقریباً زیر می نویسیم: قسمتی از صفحه توسط یک استوانه دایره ای یک بیضی است که در راس بالایی آن حداکثر و در راس پایین به حداقل می رسد. بنابراین، یک مقدار بزرگتر، یک حداکثر شرطی است، و یک مقدار کوچکتر، یک حداقل شرطی است.

در صورت امکان، بهتر است از این روش استفاده کنید - ساده است و این تصمیم توسط معلمان محاسبه می شود (یک مزیت بزرگ این است که شما درک خود را نشان دادید معنی هندسیوظایف). با این حال، همانطور که قبلا ذکر شد، همیشه مشخص نیست که چه چیزی با چه چیزی و کجا تلاقی می کند، و سپس تأیید تحلیلی به نجات می رسد:

2) روش دوم مبتنی بر استفاده از علائم دیفرانسیل مرتبه دوم است. اگر معلوم شد که در یک نقطه ثابت، آنگاه تابع در آنجا به حداکثر می رسد، اما اگر برسد، به حداقل می رسد.

بیایید پیدا کنیم مشتقات جزئی مرتبه دوم:

و این دیفرانسیل را ایجاد کنید:

وقتی , این بدان معنی است که تابع در نقطه به حداکثر خود می رسد ;
در، یعنی تابع در نقطه به حداقل می رسد .

روش در نظر گرفته شده بسیار خوب است، اما این عیب را دارد که در برخی موارد تعیین علامت دیفرانسیل 2 تقریبا غیرممکن است. (معمولاً این اتفاق می افتد اگر و/یا علائم متفاوتی داشته باشند). و سپس "توپخانه سنگین" به نجات می رسد:

3) بیایید معادله اتصال را با "X" و "Y" متمایز کنیم:

و موارد زیر را بنویسید متقارن ماتریس:

اگر در یک نقطه ثابت باشد، تابع به آنجا می رسد ( توجه) حداقل، اگر – سپس حداکثر.

بیایید ماتریس مقدار و نقطه مربوطه را بنویسیم:

بیایید آن را محاسبه کنیم تعیین کننده:
، بنابراین تابع در نقطه حداکثر دارد.

به همین ترتیب برای ارزش و نقطه:

بنابراین، تابع در نقطه یک حداقل دارد.

پاسخ: با توجه به اینکه:

پس از تجزیه و تحلیل کامل مطالب، من به سادگی نمی توانم به شما یک زوج پیشنهاد کنم وظایف معمولیبرای خودآزمایی:

مثال 2

در صورتی که آرگومان های تابع با معادله به هم مرتبط باشند، حد فاصل شرطی تابع را بیابید

مثال 3

حداکثر تابع را با توجه به شرط پیدا کنید

و دوباره، من قویاً توصیه می کنم ماهیت هندسی کارها را درک کنید، به ویژه در آخرین مثال، که در آن تأیید تحلیلی یک شرط کافی یک هدیه نیست. یادت باشه چی خط سفارش 2معادله را تنظیم می کند و چیست سطحاین خط در فضا تولید می کند. تجزیه و تحلیل کنید که استوانه در امتداد کدام منحنی صفحه را قطع می کند و در کجای این منحنی حداقل و کجا حداکثر وجود خواهد داشت.

راه حل و پاسخ در پایان درس.

مشکل مورد نظر پیدا می شود کاربرد گستردهدر زمینه های مختلف، به ویژه - ما در هندسه زیاد نخواهیم رفت. بیایید مشکل مورد علاقه همه در مورد بطری نیم لیتری را حل کنیم (نمونه 7 مقاله را ببینیدچالش های شدید ) راه دوم:

مثال 4

ابعاد قوطی حلبی استوانه ای چقدر باید باشد تا کمترین مواد برای ساخت قوطی مصرف شود در صورتی که حجم قوطی برابر با

راه حل: شعاع پایه متغیر، ارتفاع متغیر را در نظر بگیرید و تابعی از مساحت سطح کل قوطی بسازید:
(مساحت دو پوشش + سطح جانبی)

• آموزش

هر کس روز خوب. در این مقاله می خواهم یکی از آنها را نشان دهم روش های گرافیکیساخت و ساز مدل های ریاضیبرای سیستم های پویا که نامیده می شود نمودار اوراق قرضه("پیوند" - اتصالات، "گراف" - نمودار). در ادبیات روسی، من توصیفات این روش را فقط در کتاب درسی تامسکی یافتم دانشگاه پلی تکنیک، A.V. Voronin "Modeling OF MECHATRONIC SYSTEMS" 2008 همچنین نشان دهید روش کلاسیکاز طریق معادله لاگرانژ از نوع 2.

روش لاگرانژ

من تئوری را شرح نمی دهم، مراحل محاسبات را با چند نظر نشان می دهم. شخصا، یادگیری از مثال ها برای من آسان تر از خواندن 10 بار تئوری است. به نظر من در ادبیات روسی، توضیح این روش، و در واقع ریاضیات یا فیزیک به طور کلی، بسیار غنی است. فرمول های پیچیده، که بر این اساس نیاز به یک پیش زمینه جدی ریاضی دارد. در حین مطالعه روش لاگرانژ (من در دانشگاه پلی تکنیک تورین ایتالیا تحصیل می کنم) ادبیات روسی را برای مقایسه روش های محاسباتی مطالعه کردم و پیگیری روند حل این روش برایم سخت بود. حتی با یادآوری دوره های مدل سازی در موسسه هوانوردی خارکف، استخراج چنین روش هایی بسیار دست و پا گیر بود و هیچ کس خود را در تلاش برای درک این موضوع اذیت نمی کرد. این همان چیزی است که تصمیم گرفتم بنویسم ، کتابچه راهنمای ساخت مدل های ریاضی طبق لاگرانژ ، همانطور که معلوم شد اصلاً دشوار نیست ، کافی است بدانید که چگونه مشتقات را با توجه به زمان و مشتقات جزئی محاسبه کنید. برای مدل های پیچیده تر، ماتریس های چرخشی نیز اضافه می شوند، اما هیچ چیز پیچیده ای نیز در آنها وجود ندارد.

ویژگی های روش های مدل سازی:

• نیوتن اویلر: معادلات برداری بر اساس تعادل دینامیکی زورو لحظات
• لاگرانژ: معادلات اسکالر مبتنی بر توابع حالت مرتبط با جنبشی و پتانسیل انرژی ها
• تعداد اوراق قرضه: روش مبتنی بر جریان قدرتبین عناصر سیستم

بیا شروع کنیم با مثال ساده. جرم با فنر و دمپر. ما نیروی جاذبه را نادیده می گیریم.

عکس. 1. جرم با فنر و دمپر

اول از همه تعیین می کنیم:

• سیستم اولیهمختصات(NSK) یا sk ثابت R0(i0,j0,k0). جایی که؟ شما می توانید انگشت خود را به سمت آسمان بگیرید، اما با تکان دادن نوک نورون های مغز، ایده قرار دادن NSC روی خط حرکت بدن M1 به ذهنتان خطور می کند.
• سیستم های مختصات برای هر جسم با جرم(ما M1 داریم R1(i1,j1,k1)، جهت گیری می تواند دلخواه باشد، اما چرا زندگی خود را پیچیده می کنید، آن را با حداقل تفاوت از NSC تنظیم کنید.
• مختصات تعمیم یافته q_i(حداقل تعداد متغیرهایی که می توانند حرکت را توصیف کنند)، در این مثال یک مختصات تعمیم یافته وجود دارد، حرکت فقط در امتداد محور j

شکل 2. ما سیستم های مختصات و مختصات تعمیم یافته را قرار دادیم

شکل 3. موقعیت و سرعت بدنه M1

سپس انرژی‌های جنبشی (C) و پتانسیل (P) و تابع اتلاف (D) را برای دمپر با استفاده از فرمول‌ها پیدا می‌کنیم:

شکل 4. فرمول کاملانرژی جنبشی

در مثال ما هیچ چرخشی وجود ندارد، جزء دوم برابر با 0 است.

شکل 5. محاسبه تابع جنبشی، انرژی پتانسیل و اتلاف

معادله لاگرانژ به شکل زیر است:

شکل 6. معادله لاگرانژ و لاگرانژ

دلتا W_iاین کار مجازی است که توسط نیروها و لحظات اعمال شده انجام می شود. بیایید او را پیدا کنیم:

شکل 7. محاسبه کار مجازی

جایی که دلتا q_1حرکت مجازی

ما همه چیز را در معادله لاگرانژ جایگزین می کنیم:

شکل 8. مدل جرم حاصل با فنر و دمپر

اینجاست که روش لاگرانژ به پایان رسید. همانطور که می بینید، آنقدرها هم پیچیده نیست، اما هنوز هم یک مثال بسیار ساده است، که به احتمال زیاد روش نیوتن اویلر حتی ساده تر است. برای سیستم‌های پیچیده‌تر، که در آن چندین جسم نسبت به یکدیگر در زوایای مختلف چرخانده می‌شوند، روش لاگرانژ آسان‌تر خواهد بود.

روش نمودار پیوند

برای مثالی با جرم، فنر و دمپر، فوراً به شما نشان خواهم داد که مدل در نمودار پیوند چگونه است:

شکل 9. جرم های نمودار پیوند با فنر و دمپر

در اینجا شما باید یک نظریه کوچک بگویید که برای ساختن آن کافی است مدل های ساده. اگر کسی علاقه مند است می تواند کتاب را مطالعه کند ( روش شناسی نمودار اوراق قرضه) یا ( Voronin A.V. مدل سازی سیستم های مکاترونیک: آموزش. – تامسک: انتشارات دانشگاه پلی تکنیک تومسک، 2008).

اجازه دهید ابتدا آن را تعیین کنیم سیستم های پیچیدهاز چندین دامنه تشکیل شده است. به عنوان مثال، یک موتور الکتریکی از قطعات یا دامنه های الکتریکی و مکانیکی تشکیل شده است.

نمودار اوراق قرضهبر اساس تبادل قدرت بین این حوزه ها، زیرسیستم ها. توجه داشته باشید که تبادل توان، به هر شکلی که باشد، همیشه توسط دو متغیر تعیین می شود ( توان متغیر) که به کمک آن می توانیم تعامل زیرسیستم های مختلف را در یک سیستم پویا مطالعه کنیم (جدول را ببینید).

همانطور که از جدول پیداست، بیان قدرت در همه جا تقریباً یکسان است. به طور خلاصه، قدرت- این کار " جریان - f" بر " تلاش - ه».

یک تلاش(انگلیسی) تلاش) در حوزه الکتریکی این ولتاژ (e) است، در حوزه مکانیکی نیرو (F) یا گشتاور (T) و در هیدرولیک فشار (p) است.

جریان(انگلیسی) جریان) در حوزه الکتریکی جریان (i)، در حوزه مکانیکی سرعت (v) یا است سرعت زاویهای(امگا)، در هیدرولیک - جریان سیال یا نرخ جریان (Q).

با در نظر گرفتن این نمادها، یک عبارت برای قدرت به دست می آوریم:

شکل 10. فرمول قدرت از طریق متغیرهای توان

در زبان باند-گراف، ارتباط بین دو زیرسیستم که قدرت را مبادله می کنند با یک پیوند نشان داده می شود. رابطه، رشته). به همین دلیل این روش نامیده می شود باند-گرافیا g اتصالات raf، نمودار متصل. در نظر بگیریم نمودار بلوکیاتصالات در یک مدل با موتور الکتریکی (این هنوز یک نمودار پیوند نیست):

شکل 11. بلوک دیاگرام جریان قدرت بین دامنه ها

اگر منبع ولتاژ داشته باشیم، بر این اساس ولتاژ تولید می کند و آن را برای سیم پیچی به موتور منتقل می کند (به همین دلیل است که فلش به سمت موتور هدایت می شود)، بسته به مقاومت سیم پیچ، جریانی مطابق قانون اهم ظاهر می شود (جهت داده شده). از موتور تا منبع). بر این اساس، یک متغیر ورودی زیرسیستم است و متغیر دوم باید باشد خروجاز زیر سیستم در اینجا ولتاژ ( تلاش) - جریان ورودی ( جریان) - خروج.

اگر از منبع فعلی استفاده کنید، نمودار چگونه تغییر می کند؟ درست. جریان به موتور و ولتاژ به منبع هدایت می شود. سپس جریان ( جریان) - ولتاژ ورودی ( تلاش) - خروج.

بیایید به یک مثال در مکانیک نگاه کنیم. نیرویی که بر روی یک جرم وارد می شود.

شکل 12. نیروی اعمال شده به جرم

بلوک دیاگرام به صورت زیر خواهد بود:

شکل 13. نمودار بلوکی

در این مثال، قدرت ( تلاش) – متغیر ورودی برای جرم. (نیروی اعمال شده بر جرم)
طبق قانون دوم نیوتن:

توده با سرعت پاسخ می دهد:

در این مثال، اگر یک متغیر ( زور - تلاش) است ورودبه حوزه مکانیکی، سپس یک متغیر قدرت دیگر ( سرعت - جریان) – به طور خودکار تبدیل می شود خروج.

برای تشخیص محل ورودی و محل خروجی، از یک خط عمودی در انتهای فلش (اتصال) بین عناصر استفاده می شود، این خط نامیده می شود. نشانه علیت یا علیت (علیت). معلوم می شود: نیروی اعمال شده علت است و سرعت معلول است. این علامت برای ساخت صحیح یک مدل سیستم بسیار مهم است، زیرا علیت یک پیامد است رفتار فیزیکیو مبادله قوای دو زیر سیستم، بنابراین انتخاب مکان علامت علیت نمی تواند دلبخواه باشد.

شکل 14. تعیین علیت

این خط عمودی نشان می دهد که کدام زیر سیستم نیرو را دریافت می کند ( تلاش) و در نتیجه یک جریان ( جریان). در مثال با جرم، به این صورت خواهد بود:

شکل 14. رابطه علی برای نیروی وارد بر جرم

از فلش مشخص است که ورودی جرم برابر است با - زور، و خروجی است سرعت. این کار به گونه ای انجام می شود که نمودار با فلش شلوغ نشود و ساخت مدل نظام مند نشود.

بعد نکته مهم. تکانه تعمیم یافته(میزان حرکت) و در حال حرکت(متغیرهای انرژی).

جدول متغیرهای توان و انرژی در حوزه های مختلف

جدول بالا دو کمیت فیزیکی اضافی مورد استفاده در روش باند گراف را معرفی می کند. آنها نامیده می شوند تکانه تعمیم یافته (آر) و حرکت عمومی (q) یا متغیرهای انرژی، و آنها را می توان با ادغام متغیرهای توان در طول زمان به دست آورد:

شکل 15. رابطه بین متغیرهای توان و انرژی

در حوزه برق :

بر اساس قانون فارادی، ولتاژدر انتهای هادی برابر است با مشتق شار مغناطیسی از طریق این هادی.

آ قدرت فعلی - کمیت فیزیکی، برابر با نسبت مقدار بار Q عبور از مدتی t سطح مقطعهادی، به ارزش این دوره زمانی.

حوزه مکانیکی:

از قانون دوم نیوتن، زور- مشتق زمانی تکانه

و به همین ترتیب، سرعت- مشتق زمانی جابجایی:

بیایید خلاصه کنیم:

عناصر اساسی

تمام عناصر در سیستم های دینامیکی را می توان به اجزای دو قطبی و چهار قطبی تقسیم کرد.
در نظر بگیریم اجزای دوقطبی:

منابع
هم منابع تلاش و هم جریان وجود دارد. قیاس در حوزه الکتریکی: منبع تلاش – منبع ولتاژ, منبع جریان – منبع فعلی. علائم علی برای منابع فقط باید اینگونه باشد.

شکل 16. ارتباط علّی و تعیین منابع

جزء R - عنصر اتلاف کننده

جزء I - عنصر اینرسی

جزء C - عنصر خازنی

همانطور که از شکل ها مشخص است، عناصر مختلف یکسان هستند نوع R,C,Iبا همان معادلات توصیف شده است. فقط برای ظرفیت الکتریکی تفاوت وجود دارد، فقط باید آن را به خاطر بسپارید!

اجزای چهار قطبی:

بیایید به دو جزء نگاه کنیم: ترانسفورماتور و گیراتور.

آخرین اجزای مهم در روش باند-گراف، اتصالات هستند. دو نوع گره وجود دارد:

در مورد اجزا همین است.

مراحل اصلی برای ایجاد روابط علی پس از ساختن نمودار پیوند:

1. به همه پیوندهای علّی بدهید منابع
2. تمام گره ها را مرور کنید و بعد از نقطه 1 روابط علی را کنار بگذارید
3. برای اجزای Iیک رابطه علی ورودی (تلاش در این جزء گنجانده شده است)، برای اجزای Cنسبت علیت خروجی (تلاش از این مؤلفه خارج می شود)
4. نقطه 2 را تکرار کنید
5. درج اتصالات علی برای اجزای R

این مینی دوره تئوری را به پایان می رساند. اکنون ما همه چیزهایی را که برای ساخت مدل نیاز داریم در اختیار داریم.
بیایید یکی دو مثال را حل کنیم. بیایید با یک مدار الکتریکی شروع کنیم.

مثال 1

بیایید شروع به ساختن یک نمودار پیوند با منبع ولتاژ کنیم. فقط Se را بنویسید و یک فلش قرار دهید.

ببینید، همه چیز ساده است! بیایید بیشتر نگاه کنیم، R و L به صورت سری به هم متصل هستند، به این معنی که جریان یکسانی در آنها جریان می یابد، اگر در متغیرهای توان صحبت کنیم - جریان یکسان. کدام گره جریان یکسانی دارد؟ پاسخ صحیح 1 گره است. منبع، مقاومت (کامپوننت - R) و اندوکتانس (کامپوننت - I) را به گره 1 وصل می کنیم.

بعد، ما ظرفیت و مقاومت را به صورت موازی داریم، به این معنی که ولتاژ یا نیروی یکسانی دارند. 0-node مانند هیچ گره دیگری مناسب است. خازن (جزء C) و مقاومت (جزء R) را به گره 0 وصل می کنیم.

گره های 1 و 0 را نیز به یکدیگر متصل می کنیم. جهت فلش ها به صورت دلخواه انتخاب می شود.

نمودار اتصال زیر را دریافت خواهید کرد:

اکنون باید روابط علی را برقرار کنیم. با پیروی از دستورالعمل ها برای توالی قرار دادن آنها، اجازه دهید با منبع شروع کنیم.

1. ما یک منبع ولتاژ (تلاش) داریم، چنین منبعی فقط یک گزینه علیت دارد - خروجی. بگذار آن را بپوشانیم.
2. بعد جزء I وجود دارد، بیایید ببینیم آنها چه چیزی را توصیه می کنند. ما گذاشتیم
3. ما آن را برای 1-node می گذاریم. بخور
4. یک گره 0 باید یک ورودی و همه اتصالات علی خروجی داشته باشد. فعلا یک روز مرخصی داریم ما به دنبال اجزای C یا I هستیم. ما آن را پیدا کردیم. ما گذاشتیم
5. بیایید فهرستی از آنچه باقی مانده است

همین. نمودار باند ساخته شده است. هورای، رفقا!

تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن معادلاتی است که سیستم ما را توصیف می کند. برای این کار یک جدول با 3 ستون ایجاد کنید. اولی شامل تمام اجزای سیستم، دومی شامل متغیر ورودی برای هر عنصر و سومی شامل متغیر خروجی برای همان جزء است. ما قبلاً ورودی و خروجی را با روابط علی تعریف کرده ایم. بنابراین نباید هیچ مشکلی وجود داشته باشد.

برای سهولت در ضبط سطوح، هر اتصال را شماره گذاری می کنیم. معادلات هر عنصر را از لیست اجزای C, R, I می گیریم.

پس از جمع آوری یک جدول، متغیرهای حالت را تعریف می کنیم، در این مثال 2 عدد از آنها، p3 و q5 وجود دارد. بعد باید معادلات حالت را بنویسید:

همین، مدل آماده است.

مثال 2. من می خواهم بلافاصله بابت کیفیت عکس عذرخواهی کنم، نکته اصلی این است که می توانید بخوانید

بیایید مثال دیگری را برای یک سیستم مکانیکی حل کنیم، همان مثالی که با روش لاگرانژ حل کردیم. من راه حل را بدون نظر نشان خواهم داد. بیایید بررسی کنیم که کدام یک از این روش ها ساده تر و راحت تر است.

در متبالا، هر دو مدل ریاضی با پارامترهای یکسان، با روش لاگرانژ و نمودار پیوند به دست آمدند. نتیجه زیر است: اضافه کردن برچسب

ابتدا، اجازه دهید حالت تابعی از دو متغیر را در نظر بگیریم. حداکثر شرطی یک تابع $z=f(x,y)$ در نقطه $M_0(x_0;y_0)$ حد فاصل این تابع است که تحت شرایطی به دست می آید که متغیرهای $x$ و $y$ در در مجاورت این نقطه معادله اتصال $\ varphi (x,y)=0$ را برآورده می کند.

نام افراطی «شرطی» به این دلیل است که متغیرها تابع آن هستند شرط اضافی$\varphi(x,y)=0$. اگر بتوان یک متغیر را از طریق معادله اتصال از طریق دیگری بیان کرد، در آن صورت مسئله تعیین حد فاصل شرطی به مسئله تعیین حد اکثر یک تابع از یک متغیر کاهش می یابد. برای مثال، اگر معادله اتصال دلالت بر $y=\psi(x)$ داشته باشد، سپس با جایگزینی $y=\psi(x)$ به $z=f(x,y)$، تابعی از یک متغیر $z به دست می آوریم. =f\ چپ (x,\psi(x)\راست)$. که در مورد کلیبا این حال، این روش کاربرد کمی دارد، بنابراین معرفی یک الگوریتم جدید ضروری است.

روش ضریب لاگرانژ برای توابع دو متغیر.

روش ضریب لاگرانژ از ساخت تابع لاگرانژ برای یافتن یک اکسترم شرطی تشکیل شده است: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (پارامتر $\lambda$ نامیده می شود. ضریب لاگرانژ). شرایط لازم برای اکسترموم توسط سیستمی از معادلات مشخص می شود که از آن نقاط ثابت تعیین می شوند:

$$ \left \( \begin(تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.

یک شرط کافی که از آن بتوان ماهیت افراط را تعیین کرد، علامت $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) است. ^("" )dy^2$. اگر در یک نقطه ثابت $d^2F > 0$ باشد، تابع $z=f(x,y)$ در این نقطه حداقل شرطی دارد، اما اگر $d^2F< 0$, то условный максимум.

راه دیگری برای تعیین ماهیت اکستروم وجود دارد. از معادله جفت بدست می آوریم: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$، بنابراین در هر نقطه ثابتی داریم:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\راست)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \راست)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \راست)$$

عامل دوم (واقع در پرانتز) را می توان به این شکل نشان داد:

عناصر تعیین کننده $\left| با رنگ قرمز مشخص شده اند. \begin(آرایه) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (آرایه)\right|$ که هسین تابع لاگرانژ است. اگر $H > 0$، سپس $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 دلار، یعنی ما یک حداقل شرطی از تابع $z=f(x,y)$ داریم.

نکته ای در رابطه با علامت تعیین کننده $H$. نمایش/پنهان کردن

$$ H=-\left|\begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

در این شرایط، قانون فرمول‌بندی‌شده در بالا به صورت زیر تغییر می‌کند: اگر $H > 0$ باشد، تابع یک حداقل شرطی دارد و اگر $H باشد.< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

الگوریتم مطالعه تابعی از دو متغیر برای یک اکستروم شرطی

1. تابع لاگرانژ را بنویسید $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. حل سیستم $ \left \( \begin(تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(تراز شده) \right.$
3. ماهیت اکسترموم را در هر یک از نقاط ثابت موجود در پاراگراف قبل تعیین کنید. برای این کار از یکی از روش های زیر استفاده کنید:
   • تعیین کننده $H$ را بنویسید و علامت آن را پیدا کنید
   • با در نظر گرفتن معادله جفت، علامت $d^2F$ را محاسبه کنید

روش ضریب لاگرانژ برای توابع n متغیر

فرض کنید تابعی از $n$ متغیرهای $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ و $m$ معادلات جفتی داریم ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

با نشان دادن ضریب های لاگرانژ به صورت $\lambda_1،\lambda_2،\ldots،\lambda_m$، تابع لاگرانژ را می سازیم:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

شرایط لازم برای حضور یک اکستروم مشروط توسط یک سیستم معادلات ارائه می شود که از آن مختصات نقاط ثابت و مقادیر ضرب کننده های لاگرانژ پیدا می شود:

$$\left\(\begin (تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(تراز شده) \right.$$

می توانید مانند قبل با استفاده از علامت $d^2F$ متوجه شوید که آیا یک تابع در نقطه پیدا شده دارای حداقل شرطی یا حداکثر شرطی است. اگر در نقطه پیدا شده $d^2F > 0$ باشد، تابع یک حداقل شرطی دارد، اما اگر $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

تعیین کننده ماتریس $\left| \begin(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\ partial x_(1)\ partial x_(2) ) & \frac(\جزئی^2F)(\x_(1)\جزئی x_(3)) &\ldots & \frac(\جزئی^2F)(\بخشی x_(1)\جزئی x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\ x_(2) \ x_(3) جزئی )(\بخشی x_(3) \جزئی x_(1)) & \frac(\جزئی^2F)(\بخشی x_(3)\بخشی x_(2)) & \frac(\جزئی^2F)(\جزئی x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\جزئی x_(3)\جزئی x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(1)) & \frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(2)) و \ frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\x_(n)^(2))\\ \end( آرایه) \right|$ که با رنگ قرمز در ماتریس $L$ مشخص شده است، هسین تابع لاگرانژ است. ما از قانون زیر استفاده می کنیم:

• اگر نشانه های مینورهای زاویه ای $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ماتریس $L$ با علامت $(-1)^m$ منطبق است، سپس نقطه ثابت مورد مطالعه حداقل نقطه شرطی تابع $ است. z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• اگر نشانه های مینورهای زاویه ای $H_(2m+1),\; H_(2m+2)،\ldots،H_(m+n)$ متناوب، و علامت جزئی $H_(2m+1)$ با علامت عدد $(-1)^(m+1 منطبق است )$، سپس نقطه ثابت حداکثر نقطه شرطی تابع $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ است.

مثال شماره 1

حداکثر شرطی تابع $z(x,y)=x+3y$ را تحت شرط $x^2+y^2=10$ پیدا کنید.

تفسیر هندسی این مسئله به شرح زیر است: شما باید بزرگترین و را پیدا کنید کوچکترین ارزشکاربردهای صفحه $z=x+3y$ برای نقاط تقاطع آن با استوانه $x^2+y^2=10$.

بیان یک متغیر از طریق متغیر دیگر از معادله جفت و جایگزینی آن با تابع $z(x,y)=x+3y$ تا حدودی دشوار است، بنابراین از روش لاگرانژ استفاده خواهیم کرد.

با نشان دادن $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$، تابع لاگرانژ را می سازیم:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\x جزئی)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\جزئی y)=3+2\lambda y. $$

اجازه دهید یک سیستم معادلات برای تعیین نقاط ثابت تابع لاگرانژ بنویسیم:

$$ \left \( \begin(تراز شده) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \پایان (تراز شده)\right.$$

اگر $\lambda=0$ را فرض کنیم، اولین معادله می شود: $1=0$. تناقض حاصل نشان می دهد که $\lambda\neq 0$. تحت شرط $\lambda\neq 0$، از معادلات اول و دوم داریم: $x=-\frac(1)(2\lambda)$، $y=-\frac(3)(2\lambda) $. با جایگزینی مقادیر به دست آمده در معادله سوم، به دست می آید:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(تراز شده) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end (تراز شده) $$

بنابراین، سیستم دو راه حل دارد: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ and $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. اجازه دهید ماهیت اکسترموم را در هر نقطه ثابت دریابیم: $M_1(1;3)$ و $M_2(-1;-3)$. برای انجام این کار، تعیین کننده $H$ را در هر نقطه محاسبه می کنیم.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\ چپ| \begin(آرایه) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(آرایه) \right|= \چپ| \begin(array) (cccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

در نقطه $M_1(1;3)$ دریافت می کنیم: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$، بنابراین در نقطه تابع $M_1(1;3)$$z(x,y)=x+3y$ دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=z(1;3)=10$.

به طور مشابه، در نقطه $M_2(-1,-3)$ پیدا می کنیم: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. از آنجایی که $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

توجه داشته باشم که به جای محاسبه مقدار تعیین کننده $H$ در هر نقطه، بسیار راحت تر است که آن را در نمای کلی. برای اینکه متن با جزئیات شلوغ نشود، این روش را زیر یک یادداشت پنهان می کنم.

نوشتن دترمینان $H$ به صورت کلی. نمایش/پنهان کردن

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

اصولاً مشخص است که $H$ چه علامتی دارد. از آنجایی که هیچ یک از نقاط $M_1$ یا $M_2$ با مبدا منطبق نیست، پس $y^2+x^2>0$. بنابراین علامت $H$ مخالف علامت $\lambda$ است. می توانید محاسبات را کامل کنید:

$$ \begin(تراز شده) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\راست)=-40. \end (تراز شده) $$

سوال در مورد ماهیت انتها در نقاط ثابت $M_1(1;3)$ و $M_2(-1;-3)$ را می توان بدون استفاده از تعیین کننده $H$ حل کرد. بیایید علامت $d^2F$ را در هر نقطه ثابت پیدا کنیم:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

اجازه دهید توجه داشته باشم که علامت $dx^2$ دقیقاً به معنای $dx$ است که به توان دوم افزایش یافته است. $\left(dx \راست)^2$. از این رو داریم: $dx^2+dy^2>0$، بنابراین، با $\lambda_1=-\frac(1)(2)$، $d^2F دریافت می کنیم< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

پاسخ: در نقطه $(-1;-3)$ تابع دارای حداقل شرطی، $z_(\min)=-10$ است. در نقطه $(1;3)$ تابع دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=10$

مثال شماره 2

حداکثر شرطی تابع $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ را تحت شرط $x+y=0$ پیدا کنید.

روش اول (روش ضرب لاگرانژ)

با نشان دادن $\varphi(x,y)=x+y$، تابع لاگرانژ را می سازیم: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\جزئی F)(\ x جزئی)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(تراز شده) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.

پس از حل سیستم، دریافت می کنیم: $x_1=0$، $y_1=0$، $\lambda_1=0$ و $x_2=\frac(10)(9)$، $y_2=-\frac(10)( 9) $، $\lambda_2=-10$. ما دو نقطه ثابت داریم: $M_1(0;0)$ و $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. اجازه دهید ماهیت انتها را در هر نقطه ثابت با استفاده از تعیین کننده $H$ دریابیم.

$$H=\ چپ| \begin(آرایه) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(آرایه) \right|= \چپ| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

در نقطه $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$، بنابراین در این مرحله تابع حداکثر شرطی دارد، $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

ما ماهیت اکسترموم را در هر نقطه با استفاده از روش متفاوتی بر اساس علامت $d^2F$ بررسی می کنیم:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^ 2 دلار

از معادله اتصال $x+y=0$ داریم: $d(x+y)=0$، $dx+dy=0$، $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

از آنجایی که $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$، پس $M_1(0;0)$ حداقل نقطه شرطی تابع $z(x,y)=3y^3+ است. 4x^ 2-xy$. به طور مشابه، $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

راه دوم

از معادله اتصال $x+y=0$ به دست می آید: $y=-x$. با جایگزینی $y=-x$ به تابع $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$، تابعی از متغیر $x$ را بدست می آوریم. بیایید این تابع را به صورت $u(x)$ نشان دهیم:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

بنابراین، مشکل یافتن حد فاصل یک تابع از دو متغیر را به مسئله تعیین حد فاصل یک تابع از یک متغیر کاهش دادیم.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

امتیازهای $M_1(0;0)$ و $M_2\left(\frac(10)(9)؛ -\frac(10)(9)\right)$ را به دست آوردیم. تحقیقات بیشتر از سیر حساب دیفرانسیل توابع یک متغیر شناخته شده است. با بررسی علامت $u_(xx)^("")$ در هر نقطه ثابت یا بررسی تغییر در علامت $u_(x)^(")$ در نقاط یافت شده، نتایج مشابهی را به دست می آوریم. حل کردن روش اول برای مثال، علامت $u_(xx)^(")$ را بررسی می کنیم.

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

از آنجایی که $u_(xx)^("")(M_1)>0$، پس $M_1$ حداقل نقطه تابع $u(x)$، و $u_(\min)=u(0)=0 است. دلار از $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

مقادیر تابع $u(x)$ برای یک شرط اتصال معین با مقادیر تابع $z(x,y)$ منطبق است، یعنی. اکرام یافت شده تابع $u(x)$، منتهیات شرطی تابع $z(x,y)$ هستند.

پاسخ: در نقطه $(0;0)$ تابع دارای حداقل شرطی، $z_(\min)=0$ است. در نقطه $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ تابع حداکثر شرطی است، $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم که در آن ماهیت اکستروم را با تعیین علامت $d^2F$ روشن خواهیم کرد.

مثال شماره 3

اگر متغیرهای $x$ و $y$ مثبت باشند بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع $z=5xy-4$ را بیابید و معادله جفتی $\frac(x^2)(8)+\frac( را برآورده کنید. y^2)(2) -1=0$.

بیایید تابع لاگرانژ را بسازیم: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. بیایید نقاط ثابت تابع لاگرانژ را پیدا کنیم:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \چپ \( \begin(تراز شده) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > y > 0.

تمام تبدیل های بعدی با در نظر گرفتن $x > 0 انجام می شود. \; y > 0$ (این در بیانیه مشکل مشخص شده است). از معادله دوم $\lambda=-\frac(5x)(y)$ را بیان می کنیم و مقدار پیدا شده را به معادله اول جایگزین می کنیم: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$، $4y^2-x^2=0$، $x=2y$. با جایگزینی $x=2y$ در معادله سوم، دریافت می کنیم: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$، $y^2=1$، $y = 1$.

از آنجایی که $y=1$، سپس $x=2$، $\lambda=-10$. ماهیت اکسترموم را در نقطه $(2;1)$ بر اساس علامت $d^2F$ تعیین می کنیم.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

از آنجایی که $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$، پس:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

در اصل، در اینجا می توانید بلافاصله مختصات نقطه ثابت $x=2$، $y=1$ و پارامتر $\lambda=-10$ را جایگزین کنید و به دست آورید:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \راست)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

با این حال، در مشکلات دیگر در یک اکستروم مشروط ممکن است چندین نقطه ثابت وجود داشته باشد. در چنین مواردی، بهتر است $d^2F$ را به صورت کلی نشان دهیم و سپس مختصات هر یک از نقاط ثابت یافت شده را در عبارت حاصل جایگزین کنیم:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \راست)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \راست)\cdot dx^2 $$

با جایگزینی $x=2$، $y=1$، $\lambda=-10$، دریافت می کنیم:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \راست)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

از آنجایی که $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

پاسخ: در نقطه $(2;1)$ تابع دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=6$.

در قسمت بعدی کاربرد روش لاگرانژ برای توابع تعداد بیشتری از متغیرها را در نظر خواهیم گرفت.

روش ضریب لاگرانژ.

روش ضریب لاگرانژ یکی از روش هایی است که به شما امکان می دهد مسائل را بدون مشکل حل کنید برنامه ریزی خطی.

برنامه‌نویسی غیرخطی شاخه‌ای از برنامه‌ریزی ریاضی است که روش‌هایی را برای حل مسائل فوق‌العاده با تابع هدف غیرخطی و ناحیه‌ای از راه‌حل‌های امکان‌پذیر تعریف شده توسط محدودیت‌های غیرخطی مطالعه می‌کند. در اقتصاد، این با این واقعیت مطابقت دارد که نتایج (کارایی) به طور نامتناسبی با تغییرات در مقیاس استفاده از منابع (یا همان مقیاس تولید) افزایش یا کاهش می یابد: به عنوان مثال، به دلیل تقسیم هزینه های تولید در شرکت ها به متغیر و نیمه ثابت. به دلیل اشباع تقاضا برای کالا، زمانی که فروش هر واحد بعدی دشوارتر از واحد قبلی است و غیره.

مسئله برنامه ریزی غیرخطی به عنوان مسئله یافتن بهینه یک معین مطرح می شود تابع هدف

F(x 1،…x n)، اف (ایکس) → حداکثر

زمانی که شرایط برآورده شود

g j (x 1،…x n)≥0، g (ایکس) ≤ ب , ایکس ≥ 0

جایی که ایکس-بردار متغیرهای مورد نیاز.

اف (ایکس) -تابع هدف؛

g (ایکس) - تابع محدودیت (به طور مداوم قابل تمایز).

ب - بردار ثابت های محدودیت.

راه‌حل یک مسئله برنامه‌ریزی غیرخطی (حداکثر یا حداقل جهانی) می‌تواند به مرز یا داخل مجموعه قابل قبول تعلق داشته باشد.

بر خلاف یک مسئله برنامه ریزی خطی، در یک مسئله برنامه ریزی غیرخطی، بهینه لزوماً در مرز منطقه ای که توسط محدودیت ها تعریف شده است، قرار نمی گیرد. به عبارت دیگر، وظیفه انتخاب چنین مقادیر غیر منفی متغیرها، مشروط به سیستمی از محدودیت ها به شکل نابرابری است که تحت آن حداکثر (یا حداقل) یک تابع معین به دست می آید. در این حالت، اشکال تابع هدف و نابرابری ها مشخص نمی شود. می تواند باشد موارد مختلف: تابع هدف غیر خطی است و محدودیت ها خطی هستند. تابع هدف خطی است و محدودیت ها (حداقل یکی از آنها) غیر خطی هستند. هم تابع هدف و هم قیود غیرخطی هستند.

مشکل برنامه ریزی غیرخطی در علوم طبیعی، فناوری، اقتصاد، ریاضیات و در زمینه روابط تجاریو در علم حکومت.

به عنوان مثال، برنامه نویسی غیرخطی به یک مشکل اساسی اقتصادی مرتبط است. بنابراین، در مسئله تخصیص منابع محدود، یا کارایی و یا در صورت مطالعه مصرف کننده، در صورت وجود محدودیت هایی که بیانگر شرایط کمبود منابع است، مصرف به حداکثر می رسد. در چنین فرمول بندی کلی، فرمول ریاضی مسئله ممکن است غیرممکن باشد، اما در کاربردهای خاص، شکل کمی همه توابع را می توان مستقیماً تعیین کرد. مثلا، بنگاه صنعتیمحصولات پلاستیکی تولید می کند. راندمان تولید در اینجا با سود اندازه گیری می شود و محدودیت ها به عنوان پول نقد تفسیر می شوند نیروی کار، مناطق تولید، عملکرد تجهیزات و غیره

روش مقرون به صرفه نیز در طرح برنامه ریزی غیرخطی قرار می گیرد. این روشبرای استفاده در تصمیم گیری در دولت توسعه داده شد. یک تابع مشترک کارایی رفاه است. در اینجا دو مشکل برنامه‌ریزی غیرخطی ایجاد می‌شود: اولی به حداکثر رساندن اثر با هزینه‌های محدود، دومی به حداقل رساندن هزینه‌ها به شرطی که اثر بالاتر از حداقل سطح معینی باشد. این مشکل معمولاً با استفاده از برنامه ریزی غیرخطی به خوبی مدل سازی می شود.

نتایج حل یک مسئله برنامه ریزی غیرخطی در تصمیم گیری دولت کمک کننده است. راه حل به دست آمده، البته توصیه می شود، بنابراین لازم است پیش از تصمیم گیری نهایی، مفروضات و دقت مسئله برنامه ریزی غیرخطی بررسی شود.

مسائل غیرخطی پیچیده هستند. برای انجام این کار، به طور معمول فرض می شود که در یک منطقه خاص، تابع هدف متناسب با تغییر متغیرهای مستقل افزایش یا کاهش می یابد. این روش، روش تقریب خطی تکه ای نامیده می شود، اما فقط برای انواع خاصی از مسائل غیرخطی قابل اجرا است.

مسائل غیر خطی تحت شرایط خاص با استفاده از تابع لاگرانژ حل می شوند: با یافتن نقطه زینی آن، راه حل مسئله به این ترتیب پیدا می شود. در میان الگوریتم های محاسباتی N. p. مکان عالیرا اشغال کند روش های گرادیان. هیچ روش جهانی برای مسائل غیرخطی وجود ندارد و ظاهراً ممکن است وجود نداشته باشد، زیرا آنها بسیار متنوع هستند. حل مشکلات چند اکسترمال به ویژه دشوار است.

یکی از روش هایی که به شما امکان می دهد یک مسئله برنامه ریزی غیرخطی را به حل یک سیستم معادلات تقلیل دهید، روش ضریب های نامشخص لاگرانژ است.

با استفاده از روش ضریب لاگرانژ، اساساً ایجاد می کنیم شرایط لازم، امکان شناسایی نقاط بهینه در مسائل بهینه سازی با محدودیت ها را در قالب برابری ها فراهم می کند. در این حالت، مشکل محدودیت ها به یک مشکل معادل تبدیل می شود بهینه سازی بی قید و شرط، که شامل برخی از پارامترهای ناشناخته به نام ضریب لاگرانژ است.

روش ضریب لاگرانژ شامل کاهش مشکلات در یک انتها مشروط به مشکلات در انتها غیرشرطی یک تابع کمکی است - به اصطلاح. توابع لاگرانژ

برای مشکل انتها یک تابع f(x 1، x 2،...، x n) تحت شرایط (معادلات محدودیت) φ من(x 1، x 2، ...، x n) = 0, من= 1, 2,..., متر، تابع لاگرانژ شکل دارد

L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,… λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

ضرب کننده ها λ 1، λ 2، ...، λmتماس گرفت ضرب کننده های لاگرانژ

اگر مقادیر x 1، x 2، ...، x n، λ 1، λ 2، ...، λmماهیت راه حل های معادلاتی که نقاط ثابت تابع لاگرانژ را تعیین می کنند، یعنی برای توابع متمایز، راه حل هایی برای سیستم معادلات هستند.

سپس تحت فرضیات نسبتاً کلی x 1 , x 2 , ..., x n یک انتها از تابع f را ارائه می دهد.

مسئله کمینه کردن تابعی از n متغیر را که تحت یک قید به شکل برابری در نظر می گیرند، در نظر بگیرید:

به حداقل رساندن f(x 1، x 2… x n) (1)

تحت محدودیت h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

با توجه به روش ضریب لاگرانژ، این مسئله به مسئله بهینه سازی نامحدود زیر تبدیل می شود:

کوچک کردن L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

که در آن تابع L(x;λ) تابع لاگرانژ نامیده می شود،

λ یک ثابت مجهول است که به آن ضریب لاگرانژ می گویند. هیچ الزامی برای علامت λ وجود ندارد.

اجازه دهید، برای یک مقدار معین λ=λ 0، حداقل نامشروط تابع L(x,λ) نسبت به x در نقطه x=x 0 حاصل شود و x 0 معادله h 1 (x 0)=0 را برآورده کند. . سپس، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، x 0 با در نظر گرفتن (2) (1) را به حداقل می رساند، زیرا برای تمام مقادیر x رضایت بخش (2)، h 1 (x)=0 و L(x,λ)=min f(x).

البته باید مقدار λ=λ 0 را انتخاب کرد تا مختصات نقطه حداقل نامشروط x 0 برابری (2) را برآورده کند. اگر با در نظر گرفتن λ به عنوان یک متغیر، مینیمم نامشروط تابع (3) را در قالب تابع λ در نظر بگیریم، و سپس مقدار λ را انتخاب کنیم که برابری (2) در آن برآورده شود. بیایید این را با یک مثال مشخص توضیح دهیم.

f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0 را به حداقل برسانید

تحت محدودیت h 1 (x)=2x 1 +x2 -2=0=0

مسئله بهینه سازی نامحدود مربوطه به صورت زیر نوشته شده است:

کوچک کردن L(x,λ)=x 1 2 + x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

راه حل. با برابر کردن دو جزء گرادیان L با صفر، به دست می آوریم

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

برای بررسی اینکه آیا نقطه ثابت x° با حداقل مطابقت دارد یا خیر، عناصر ماتریس هسین تابع L(x;u) را محاسبه می کنیم که به عنوان تابعی از x در نظر گرفته می شود.

که معلوم می شود مثبت قطعی است.

این بدان معنی است که L(x,u) تابع محدب x است. در نتیجه، مختصات x 1 0 =λ، ​​x 2 0 =λ/2 نقطه حداقل جهانی را تعیین می کند. مقدار بهینهλ با جایگزین کردن مقادیر x 1 0 و x 2 0 در معادله 2x 1 + x 2 =2 یافت می شود که از آن 2λ+λ/2=2 یا λ 0 =4/5 است. بنابراین، حداقل شرطی در x 1 0 = 4/5 و x 2 0 = 2/5 به دست می آید و برابر است با min f(x) = 4/5.

هنگام حل مسئله مثال، L(x;λ) را تابعی از دو متغیر x 1 و x 2 در نظر گرفتیم و علاوه بر این، فرض کردیم که مقدار پارامتر λ طوری انتخاب شده است که محدودیت برآورده شود. اگر راه حل سیستم

J=1,2,3,…,n

λ را نمی توان به صورت توابع صریح به دست آورد، سپس مقادیر x و λ با حل سیستم زیر متشکل از n+1 معادله با n+1 مجهول پیدا می شود:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

برای پیدا کردن همه راه حل های امکان پذیراین سیستم می تواند از روش های جستجوی عددی (مثلاً روش نیوتن) استفاده کند. برای هر یک از جواب ها () باید عناصر ماتریس هسین تابع L را که تابعی از x در نظر گرفته شده است محاسبه کنیم و بفهمیم که آیا این ماتریس معین مثبت (کمینه محلی) است یا معین منفی (حداکثر محلی). ).

روش ضریب لاگرانژ را می توان به مواردی تعمیم داد که مسئله دارای چندین محدودیت در قالب برابری ها باشد. یک مشکل کلی را در نظر بگیرید که نیاز دارد

به حداقل رساندن f(x)

تحت محدودیت h k = 0، k = 1، 2، ...، K.

تابع لاگرانژ به شکل زیر است:

اینجا λ 1، λ 2، ...، λk-ضریب لاگرانژ، یعنی. پارامترهای ناشناخته ای که مقادیر آنها باید تعیین شود. با معادل سازی مشتقات جزئی L نسبت به x به صفر، سیستم n معادله زیر را با n مجهول به دست می آوریم:

اگر یافتن راه حلی برای سیستم فوق در قالب توابع بردار λ دشوار است، می توانید با گنجاندن محدودیت هایی در قالب برابری، سیستم را گسترش دهید.

راه حل سیستم توسعه یافته، متشکل از n + K معادلات با مجهولات n + K، نقطه ثابت تابع L را تعیین می کند. سپس روشی برای بررسی حداقل یا حداکثر اجرا می شود که بر اساس محاسبه انجام می شود. عناصر ماتریس هسین تابع L که به عنوان تابعی از x در نظر گرفته می شود، مشابه همان چیزی است که در مورد مسئله ای با یک محدودیت انجام شد. برای برخی از مسائل، سیستم توسعه یافته معادلات n+K با مجهولات n+K ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشد و روش ضرب لاگرانژ غیرقابل اجرا باشد. البته باید توجه داشت که چنین کارهایی در عمل بسیار نادر است.

در نظر بگیریم مورد خاص وظیفه مشترکبرنامه نویسی غیرخطی، با فرض اینکه سیستم محدودیت ها فقط شامل معادلات باشد، هیچ شرایطی برای منفی نبودن متغیرها وجود ندارد و و - توابع به همراه مشتقات جزئی آنها پیوسته هستند. بنابراین، با حل سیستم معادلات (7) تمام نقاطی را که تابع (6) می تواند مقادیر افراطی داشته باشد به دست می آوریم.

الگوریتم روش ضریب لاگرانژ

1. تابع لاگرانژ را بنویسید.

2. مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به متغیرهای x J ,λ i بیابید و آنها را با صفر برابر کنید.

3. سیستم معادلات (7) را حل می کنیم، نقاطی را می یابیم که تابع هدف مسئله می تواند در آن ها اکسترموم داشته باشد.

4. در میان نقاط مشکوک برای یک اکسترموم، نقاطی را می یابیم که در آنها به اکسترموم رسیده است و مقادیر تابع (6) را در این نقاط محاسبه می کنیم.

مثال.

اطلاعات اولیه:طبق برنامه تولید، این شرکت نیاز به تولید 180 محصول دارد. این محصولات را می توان به دو روش تکنولوژیکی تولید کرد. هنگام تولید محصولات x 1 با استفاده از روش اول، هزینه ها 4x 1 + x 1 2 روبل و هنگام تولید محصولات x 2 با استفاده از روش دوم، 8x 2 + x 2 2 روبل است. تعیین کنید با استفاده از هر روش چه تعداد محصول باید تولید شود تا هزینه تولید حداقل باشد.

تابع هدف برای مسئله بیان شده دارای فرم است
® دقیقهتحت شرایط x 1 + x 2 = 180، x 2 ≥0.
1. تابع لاگرانژ را بنویسید
.
2. مشتقات جزئی را با توجه به x 1، x 2، λ محاسبه می کنیم و آنها را با صفر برابر می کنیم:

3. با حل سیستم معادلات حاصل، x 1 = 91، x 2 = 89 را پیدا می کنیم

4. پس از جایگزینی در تابع هدف x 2 = 180-x 1، تابعی از یک متغیر به دست می آوریم، یعنی f 1 = 4 x 1 + x 1 2 + 8 (180-x 1) + (180-x 1) ) 2

ما محاسبه می کنیم یا 4x 1 -364=0،

از این رو x 1 * = 91، x 2 * = 89 داریم.

پاسخ: تعداد محصولات تولید شده با روش اول x 1 = 91، به روش دوم x 2 = 89 است، در حالی که مقدار تابع هدف برابر با 17278 روبل است.

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n - 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

شامل جایگزینی ثابت های دلخواه ck در جواب کلی است

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

معادله همگن مربوطه

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n - 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

به توابع کمکی ck(t)، که مشتقات آنها سیستم جبری خطی را برآورده می کند

تعیین کننده سیستم (1) Wronskian توابع z1,z2,...,zn است که حلالیت منحصر به فرد آن را با توجه به .

اگر ضد مشتقات برای، در مقادیر ثابت ثابت های ادغام گرفته شده باشند، تابع

راه حلی برای معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی اصلی است. ادغام معادله ناهمگندر حضور یک راه حل کلی برای معادله همگن مربوطه، بنابراین به ربع کاهش می یابد.

روش لاگرانژ (روش تغییرات ثابت دلخواه)

روشی برای به دست آوردن یک جواب کلی برای یک معادله ناهمگن، دانستن جواب کلی یک معادله همگن بدون یافتن جواب خاصی.

برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0،

که در آن y = y(x) یک تابع مجهول است، a1(x)، a2(x)، ...، an-1(x)، an(x) شناخته شده هستند، پیوسته، درست: 1) n به صورت خطی وجود دارد. حل های مستقل معادلات y1(x)، y2(x)، ...، yn(x); 2) برای هر مقدار از ثابت های c1، c2، ...، cn، تابع y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) یک حل معادله؛ 3) برای هر مقدار اولیه x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 مقادیر c*1, c*n, ..., c*n وجود دارد به طوری که جواب y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) در x = x0 شرایط اولیه y*(x0)=y0, (y) را برآورده می کند *)"(x0) =y0،1، ...،(y*)(n-1)(x0)=y0،n-1.

عبارت y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) نامیده می شود. تصمیم کلیمعادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه n.

به مجموعه n راه حل مستقل خطی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه nام y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) سیستم بنیادی جواب های معادله گفته می شود.

برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابتیک الگوریتم ساده برای ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها وجود دارد. ما به دنبال حل معادله به شکل y(x) = exp(lx) خواهیم بود: exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0، یعنی عدد l ریشه است معادله مشخصه ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. سمت چپ معادله مشخصه را چند جمله ای مشخصه معادله دیفرانسیل خطی می گویند: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. بنابراین، مسئله حل معادله همگن خطی مرتبه n با ضرایب ثابت به حل یک معادله جبری کاهش می یابد.

اگر معادله مشخصه دارای n ریشه واقعی متفاوت l1№ l2 № ... № ln باشد، سیستم اساسی راه حل ها از توابع y1(x) = exp(l1x)، y2(x) = exp(l2x)، تشکیل شده است. ..، yn (x) = exp(lnx) و جواب کلی معادله همگن است: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

یک سیستم اساسی از راه حل ها و یک راه حل کلی برای مورد ریشه های واقعی ساده.

اگر هر یک از ریشه های واقعی معادله مشخصه r بار (r-چند ریشه) تکرار شود، در سیستم اساسی راه حل ها، توابع r مربوط به آن وجود دارد. اگر lk=lk+1 = ... = lk+r-1، سپس در سیستم بنیادیراه حل های معادله شامل توابع r است: yk(x) = exp(lkx)، yk+1(x) = xexp(lkx)، yk+2(x) = x2exp(lkx)، ...، yk+r- 1( x) =xr-1 exp(lnx).

مثال 2. سیستم اساسی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های واقعی چندگانه.

اگر معادله مشخصه دارای ریشه های پیچیده باشد، آنگاه هر جفت ریشه های ساده (با تعدد 1) lk,k+1=ak ± ibk در سیستم اصلی راه حل ها با یک جفت تابع yk(x) = exp(akx) مطابقت دارد. cos(bkx)، yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

مثال 4. سیستم بنیادی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های پیچیده ساده. ریشه های خیالی

اگر یک جفت ریشه مختلط دارای تعدد r باشد، چنین جفتی lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk، در سیستم بنیادی راه حل ها با توابع exp(akx)cos( bkx)، exp(akx)sin(bkx)، xexp(akx)cos(bkx)، xexp(akx)sin(bkx)، x2exp(akx)cos(bkx)، x2exp(akx)sin(bkx)، .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx)، xr-1exp(akx)sin(bkx).

مثال 5. سیستم اساسی راه حل ها و راه حل کلی برای مورد ریشه های پیچیده چندگانه.

بنابراین، برای یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت، باید: معادله مشخصه را یادداشت کنید. همه ریشه های معادله مشخصه l1, l2, ... , ln; سیستم اساسی راه حل های y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) را بنویسید. عبارت حل کلی را بنویسید y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). برای حل مسئله کوشی، باید عبارت را برای جواب کلی در شرایط اولیه جایگزین کنید و مقادیر ثابت های c1,..., cn را که راه حل های سیستم خطی هستند تعیین کنید. معادلات جبری c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

برای یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی از مرتبه n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x)،

که در آن y = y(x) یک تابع مجهول است، a1(x)، a2(x)، ...، an-1(x)، an(x)، f(x) شناخته شده، پیوسته، معتبر هستند: 1 اگر y1(x) و y2(x) دو راه حل برای یک معادله غیر همگن باشند، تابع y(x) = y1(x) - y2(x) راه حلی برای معادله همگن مربوطه است. 2) اگر y1(x) حل معادله ناهمگن باشد و y2(x) جواب معادله همگن مربوطه باشد، تابع y(x) = y1(x) + y2(x) راه حلی است برای معادله ناهمگن؛ 3) اگر y1(x)، y2(x)، ...، yn(x) n راه حل مستقل خطی یک معادله همگن باشند و ych(x) - تصمیم خودسرانهمعادله ناهمگن، سپس برای هر مقدار اولیه x0، y0، y0،1، ...، y0،n-1 مقادیر c*1، c*n، ...، c*n وجود دارد به طوری که راه حل y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) شرایط اولیه را برآورده می کند y*(x0)=y0 , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

عبارت y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) را حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه n می گویند.

برای یافتن راه حل های خاص ناهمگن معادلات دیفرانسیلبا ضرایب ثابت با سمت راست شکل: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx)، که در آن Pk(x)، Qm(x) چند جمله‌ای هستند از درجه k و m بر این اساس، یک الگوریتم ساده برای ساخت یک راه حل خاص وجود دارد که روش انتخاب نامیده می شود.

روش انتخاب یا روش ضرایب نامشخص، به شرح زیر است. راه حل مورد نیاز معادله به شکل زیر نوشته می شود: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs، که در آن Pr(x)، Qr(x ) چند جمله ای درجه r = max(k, m) با ضرایب مجهول pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 هستند. عامل xs را عامل تشدید می نامند. رزونانس در مواردی رخ می دهد که در بین ریشه های معادله مشخصه یک ریشه l =a ± ib از تعدد s وجود دارد. آن ها اگر در بین ریشه های معادله مشخصه معادله همگن متناظر، یکی وجود داشته باشد که قسمت واقعی آن با ضریب توان توان منطبق باشد و قسمت خیالی آن با ضریب استدلال منطبق باشد. تابع مثلثاتیدر سمت راست معادله، و تعدد این ریشه s است، سپس جواب جزئی مورد نیاز حاوی یک عامل تشدید xs است. اگر چنین تصادفی وجود نداشته باشد (s=0)، هیچ عامل تشدید کننده ای وجود ندارد.

جایگزینی عبارت برای راه حل خاص در سمت چپمعادله، یک چند جمله ای تعمیم یافته به همان شکل چند جمله ای سمت راست معادله به دست می آوریم که ضرایب آن ناشناخته است.

دو چند جمله‌ای تعمیم‌یافته اگر و فقط در صورتی برابر هستند که ضرایب عوامل شکل xtexp(ax)sin(bx)، xtexp(ax)cos(bx) با توان‌های t یکسان با هم برابر باشند. با معادل سازی ضرایب چنین عواملی، سیستمی از معادلات جبری خطی 2(r+1) برای مجهولات 2(r+1) بدست می آوریم. می توان نشان داد که چنین سیستمی سازگار است و راه حل منحصر به فردی دارد.