صفحه اصلی پالپیت معادلات دیفرانسیل برای تغییر یک ثابت دلخواه. حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه های بالاتر به روش لاگرانژ

پالپیت

معادلات دیفرانسیل برای تغییر یک ثابت دلخواه. حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه های بالاتر به روش لاگرانژ

معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی را در نظر بگیرید ضرایب ثابتمرتبه n دلخواه:
(1) .
روش تغییر یک ثابت که برای یک معادله مرتبه اول در نظر گرفتیم، برای معادلات مرتبه بالاتر نیز قابل استفاده است.

راه حل در دو مرحله انجام می شود. در مرحله اول سمت راست را کنار می گذاریم و معادله همگن را حل می کنیم. در نتیجه راه حلی حاوی n ثابت دلخواه به دست می آوریم. در مرحله دوم ما ثابت ها را تغییر می دهیم. یعنی ما معتقدیم که این ثابت ها توابعی از متغیر مستقل x هستند و شکل این توابع را پیدا می کنند.

اگرچه در اینجا معادلات با ضرایب ثابت را در نظر می گیریم، اما روش لاگرانژ برای حل هر معادله ناهمگن خطی نیز قابل استفاده است. برای انجام این کار، با این حال، سیستم اساسی راه حل های معادله همگن باید شناخته شود.

مرحله 1. حل معادله همگن

همانطور که در مورد معادلات مرتبه اول، ابتدا به دنبال جواب کلی معادله همگن می‌گردیم و ضلع ناهمگن سمت راست را برابر با صفر می‌کنیم:
(2) .
جواب کلی این معادله به صورت زیر است:
(3) .
در اینجا ثابت های دلخواه وجود دارد. - n راه حل مستقل خطی معادله همگن (2) که یک سیستم اساسی از راه حل های این معادله را تشکیل می دهند.

مرحله 2. تغییر ثابت ها - جایگزینی ثابت ها با توابع

در مرحله دوم به تغییرات ثابت ها می پردازیم. به عبارت دیگر، ما ثابت ها را با توابع متغیر مستقل x جایگزین می کنیم:
.
یعنی دنبال راه حل هستیم معادله اصلی(1) به شرح زیر:
(4) .

اگر (4) را به (1) جایگزین کنیم، یک معادله دیفرانسیل برای n تابع بدست می آوریم. در این صورت می توانیم این توابع را با معادلات اضافی به هم وصل کنیم. سپس n معادله ای به دست می آورید که n تابع را می توان تعیین کرد. معادلات اضافی را می توان نوشت راه های مختلف. اما این کار را انجام می دهیم تا راه حل ساده ترین شکل را داشته باشد. برای انجام این کار، هنگام تمایز، باید عبارات حاوی مشتقات توابع را با صفر برابر کنید. بیایید این را نشان دهیم.

برای جایگزینی جواب پیشنهادی (4) به معادله اصلی (1)، باید مشتقات n مرتبه اول تابع را که به شکل (4) نوشته شده است، پیدا کنیم. ما (4) را با استفاده از آن متمایز می کنیم قوانین برای افتراق مبالغو آثار:
.
بیایید اعضا را گروه بندی کنیم. ابتدا اصطلاحات را با مشتقات و سپس اصطلاحات را با مشتقات می نویسیم:

.
بیایید شرط اول را بر توابع اعمال کنیم:
(5.1) .
سپس عبارت اولین مشتق با توجه به شکل ساده تری خواهد داشت:
(6.1) .

با استفاده از همین روش، مشتق دوم را پیدا می کنیم:

.
بیایید شرط دومی را بر توابع اعمال کنیم:
(5.2) .
سپس
(6.2) .
و غیره. که در شرایط اضافی، عبارات حاوی مشتقات توابع را با صفر برابر می کنیم.

بنابراین، اگر معادلات اضافی زیر را برای توابع انتخاب کنیم:
(5.k) ,
سپس اولین مشتقات نسبت به ساده ترین شکل را خواهند داشت:
(6.k) .
اینجا .

مشتق n را پیدا کنید:
(6.n)
.

معادله اصلی (1) را جایگزین کنید:
(1) ;

.
اجازه دهید در نظر بگیریم که همه توابع معادله (2) را برآورده می کنند:
.
سپس مجموع عبارت های حاوی صفر صفر را به دست می دهد. در نتیجه دریافت می کنیم:
(7) .

در نتیجه، سیستمی از معادلات خطی برای مشتقات دریافت کردیم:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

با حل این سیستم، عباراتی برای مشتقات به عنوان تابعی از x پیدا می کنیم. با ادغام، دریافت می کنیم:
.
در اینجا ثابت هایی هستند که دیگر به x وابسته نیستند. با جایگزینی (4)، یک راه حل کلی برای معادله اصلی به دست می آوریم.

توجه داشته باشید که برای تعیین مقادیر مشتقات، هرگز از ثابت بودن ضرایب a i استفاده نکرده ایم. از همین رو روش لاگرانژ برای حل هر معادله ناهمگن خطی قابل استفاده است، اگر سیستم اساسی راه حل های معادله همگن (2) شناخته شده باشد.

مثال ها

حل معادلات با استفاده از روش تغییرات ثابت (لاگرانژ).

اجازه دهید به بررسی ناهمگن خطی بپردازیم معادلات دیفرانسیلنوع

جایی که - تابع مورد نیاز آرگومان و توابع

داده شده و در بازه معینی پیوسته هستند
.

اجازه دهید معادله همگن خطی را در نظر بگیریم، سمت چپکه با سمت چپ منطبق است معادله ناهمگن (2.31),

معادله ای از شکل (2.32) نامیده می شود معادله همگن مربوط به معادله ناهمگن (2.31).

قضیه زیر در مورد ساختار حل کلی معادله خطی ناهمگن صادق است (2.31).

قضیه 2.6.حل کلی معادله ناهمگن خطی (2.31) در منطقه

مجموع هر راه حل خاص آن و جواب کلی معادله همگن مربوطه (2.32) در حوزه (2.33) است، یعنی.

جایی که - حل خاص معادله (2.31)،
سیستم اساسی حل معادله همگن (2.32) است و
- ثابت های دلخواه

اثبات این قضیه را در اینجا خواهید یافت.

با استفاده از مثال معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، روشی را ترسیم می کنیم که به وسیله آن می توان یک راه حل خاص برای یک معادله ناهمگن خطی پیدا کرد. این روش نامیده می شود روش لاگرانژ تغییر ثابت های دلخواه.

بنابراین، اجازه دهید یک معادله خطی ناهمگن به ما داده شود

(2.35)

ضرایب کجاست
و سمت راست
پیوسته در برخی فاصله ها
.

اجازه دهید با نشان دادن
و
سیستم اساسی راه حل های معادله همگن

(2.36)

سپس راه حل کلی آن شکل می گیرد

(2.37)

جایی که و - ثابت های دلخواه

به همین شکل به دنبال جواب معادله (2.35) خواهیم بود , و همچنین حل کلی معادله همگن مربوطه، جایگزینی ثابت های دلخواه با برخی از توابع متمایز پذیر (ما ثابت های دلخواه را تغییر می دهیم)،آن ها

جایی که
و
- برخی از توابع متمایز از ، که هنوز ناشناخته هستند و ما سعی خواهیم کرد آنها را تعیین کنیم تا تابع (2.38) راه حلی برای معادله ناهمگن (2.35) باشد. با تمایز هر دو طرف برابری (2.38)، به دست می آوریم

به طوری که هنگام محاسبه مشتقات مرتبه دوم از
و
، ما در همه جا به آن نیاز داریم
شرط برآورده شد

سپس برای خواهد داشت

بیایید مشتق دوم را محاسبه کنیم

جایگزینی عبارات برای ,,از (2.38)، (2.40)، (2.41) به معادله (2.35)، به دست می آوریم

عبارات داخل پرانتز در هر نقطه برابر با صفر است
، زیرا و - جواب های جزئی معادله (2.36). در این صورت، (2.42) به شکل ترکیب این شرط با شرط (2.39)، سیستمی از معادلات را برای تعیین به دست می آوریم.
و

(2.43)

آخرین سیستم یک سیستم از دو معادله جبری خطی ناهمگن است
و
. تعیین کننده این سیستم، تعیین کننده Wronski برای سیستم اساسی راه حل ها است ,و بنابراین در همه جا غیر صفر است
. این بدان معنی است که سیستم (2.43) یک راه حل منحصر به فرد دارد. به هر طریقی آن را به طور نسبی حل کرده است
,
ما پیدا خواهیم کرد

جایی که
و
- توابع شناخته شده

انجام یکپارچه سازی و در نظر گرفتن اینکه به عنوان
,
باید یک جفت تابع را بگیریم و ثابت های یکپارچه سازی را برابر با صفر قرار دهیم. ما گرفتیم

با جایگزینی عبارات (2.44) به روابط (2.38)، می توانیم جواب مورد نظر را برای معادله ناهمگن (2.35) به شکل بنویسیم.

این روش را می توان برای یافتن یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن خطی تعمیم داد - مرتبه

مثال 2.6. معادله را حل کنید
در
اگر توابع

یک سیستم اساسی از راه حل های معادله همگن مربوطه را تشکیل می دهند.

بیایید یک راه حل خاص برای این معادله پیدا کنیم. برای انجام این کار، مطابق با روش لاگرانژ، ابتدا باید سیستم (2.43) را حل کنیم که در مورد ما دارای شکل است.
کاهش دو طرف هر معادله توسط ما گرفتیم

با تفریق ترم معادله اول از معادله دوم، متوجه می شویم
و سپس از معادله اول به دست می آید
با انجام یکپارچه سازی و صفر کردن ثابت های ادغام، خواهیم داشت

یک راه حل خاص برای این معادله را می توان به صورت

جواب کلی این معادله شکل دارد

جایی که و - ثابت های دلخواه

در نهایت، اجازه دهید به یک ویژگی قابل توجه توجه کنیم که اغلب به آن اصل برهم نهی راه حل ها می گویند و با قضیه زیر توصیف می شود.

قضیه 2.7.اگر در بین
تابع
- راه حل خاص تابع معادله
یک جواب خاص از معادله در همان بازه تابع است
یک راه حل خاص برای معادله وجود دارد

حداقل نظری
در نظریه معادلات دیفرانسیل، روشی وجود دارد که مدعی است درجه نسبتاً بالایی از جهانی بودن برای این نظریه دارد.
ما در مورد روش تغییر یک ثابت دلخواه، قابل استفاده برای راه حل صحبت می کنیم کلاس های مختلفمعادلات دیفرانسیل و آنها
سیستم های این دقیقاً زمانی است که تئوری - اگر شواهد گزاره‌ها را از پرانتز خارج کنیم - حداقل است، اما به ما اجازه می‌دهد به آن دست پیدا کنیم.
نتایج قابل توجهی است، بنابراین تاکید بر مثال ها خواهد بود.
ایده کلی روش برای فرمول بندی بسیار ساده است. حل معادله داده شده (سیستم معادلات) دشوار یا حتی نامفهوم باشد،
چگونه آن را حل کنیم اما واضح است که با حذف برخی اصطلاحات از معادله حل می شود. سپس آنها دقیقاً این را ساده شده حل می کنند
معادله (سیستم)، ما یک راه حل حاوی تعداد معینی از ثابت های دلخواه را به دست می آوریم - بسته به ترتیب معادله (تعداد)
معادلات در سیستم). سپس فرض می‌شود که ثابت‌های موجود در جواب یافت شده در واقع ثابت نیستند، جواب یافت شده
با معادله اصلی (سیستم) جایگزین می شود، یک معادله دیفرانسیل (یا سیستم معادلات) برای تعیین "ثابت" به دست می آید.
در به کارگیری روش تغییر یک ثابت دلخواه برای مسائل مختلف، ویژگی خاصی وجود دارد، اما اینها قبلاً ویژگی هایی هستند که
با مثال نشان داده شده است.
اجازه دهید حل معادلات ناهمگن خطی مرتبه های بالاتر را به طور جداگانه در نظر بگیریم، یعنی. معادلات فرم
.
جواب کلی یک معادله ناهمگن خطی، مجموع جواب کلی معادله همگن مربوطه و یک جواب خاص است.
از این معادله فرض کنید یک راه حل کلی برای معادله همگن قبلاً پیدا شده است، یعنی یک سیستم اساسی از راه حل ها (FSS) ساخته شده است.
. سپس جواب کلی معادله همگن برابر است با .
ما باید هر راه حل خاصی برای معادله ناهمگن پیدا کنیم. برای این منظور، ثابت ها به یک متغیر وابسته در نظر گرفته می شوند.
بعد باید سیستم معادلات را حل کنید
.
تئوری تضمین می کند که این سیستم معادلات جبریدر مورد مشتقات توابع یک راه حل منحصر به فرد وجود دارد.
هنگام یافتن خود توابع، ثابت های ادغام ظاهر نمی شوند: از این گذشته، هر راه حلی جستجو می شود.
در مورد حل سیستم های معادلات مرتبه اول ناهمگن خطی شکل

الگوریتم تقریباً بدون تغییر باقی می ماند. ابتدا باید FSR مربوطه را پیدا کنید سیستم همگنمعادلات، یک ماتریس اساسی ایجاد کنید
سیستمی که ستون های آن نشان دهنده عناصر FSR است. بعد، معادله ترسیم می شود
.
هنگام حل سیستم، توابع را تعیین می کنیم، بنابراین یک راه حل خاص برای سیستم اصلی پیدا می کنیم
(ماتریس اساسی در ستون توابع یافت شده ضرب می شود).
ما آن را به حل کلی سیستم متناظر معادلات همگن اضافه می کنیم که بر اساس FSR از قبل یافت شده ساخته شده است.
راه حل کلی سیستم اصلی به دست می آید.
مثال ها.
مثال 1. معادلات ناهمگن خطی مرتبه اول.
اجازه دهید معادله همگن مربوطه را در نظر بگیریم (ما تابع مورد نظر را نشان می دهیم):
.
این معادله را می توان به راحتی با استفاده از روش جداسازی متغیرها حل کرد:

.
حال بیایید جواب معادله اصلی را به شکل تصور کنیم ، جایی که تابع هنوز پیدا نشده است.
ما این نوع راه حل را با معادله اصلی جایگزین می کنیم:
.
همانطور که می بینید، عبارت دوم و سوم در سمت چپ یکدیگر را خنثی می کنند - این است مشخصهروش تغییر یک ثابت دلخواه

در اینجا از قبل یک ثابت واقعا دلخواه است. بدین ترتیب،
.
مثال 2. معادله برنولی.
ما به طور مشابه به مثال اول ادامه می دهیم - معادله را حل می کنیم

روش جداسازی متغیرها به نظر می رسد، بنابراین ما به دنبال یک راه حل برای معادله اصلی در فرم هستیم
.
این تابع را با معادله اصلی جایگزین می کنیم:
.
و دوباره کاهش ها رخ می دهد:
.
در اینجا باید به یاد داشته باشید که هنگام تقسیم بر راه حل از بین نرود. و راه حل اصلی با مورد مطابقت دارد
معادلات بیایید آن را به خاطر بسپاریم. بنابراین،
.
بیایید آن را بنویسیم.
این راه حل است. هنگام نوشتن پاسخ، باید راه حل قبلی را نیز مشخص کنید، زیرا با هیچ مقدار نهایی مطابقت ندارد
ثابت ها
مثال 3. معادلات ناهمگن خطی از مرتبه بالاتر.
بیایید بلافاصله توجه کنیم که این معادله را می توان ساده تر حل کرد، اما نشان دادن روش با استفاده از آن راحت است. اگرچه برخی از مزایای
روش تنوع در این مثال نیز یک ثابت دلخواه دارد.
بنابراین، باید با FSR معادله همگن مربوطه شروع کنید. به یاد بیاوریم که برای یافتن FSR، یک منحنی مشخصه کامپایل شده است
معادله
.
بنابراین، حل کلی معادله همگن
.
ثابت های موجود در اینجا باید متفاوت باشند. ساختن یک سیستم

روش تغییر ثابت های دلخواه

روش تغییر ثابت های دلخواه برای ساخت راه حل معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی

آ n (تی)z (n) (تی) + آ n − 1 (تی)z (n − 1) (تی) + ... + آ 1 (تی)z"(تی) + آ 0 (تی)z(تی) = f(تی)

شامل جایگزینی ثابت های دلخواه است ج کدر راه حل کلی

z(تی) = ج 1 z 1 (تی) + ج 2 z 2 (تی) + ... + ج n z n (تی)

معادله همگن مربوطه

آ n (تی)z (n) (تی) + آ n − 1 (تی)z (n − 1) (تی) + ... + آ 1 (تی)z"(تی) + آ 0 (تی)z(تی) = 0

برای عملکردهای کمکی ج ک (تی) ، که مشتقات آن سیستم جبری خطی را برآورده می کند

تعیین کننده سیستم (1) ورونسکی توابع است z 1 ,z 2 ,...,z n ، که حلالیت منحصر به فرد آن را با توجه به .

اگر ضد مشتقات برای، در مقادیر ثابت ثابت های ادغام گرفته شده باشند، تابع

راه حلی برای معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی اصلی است. بنابراین، ادغام یک معادله ناهمگن در حضور یک راه حل کلی برای معادله همگن مربوطه به ربع کاهش می یابد.

روش تغییر ثابت های دلخواه برای ساخت راه حل های یک سیستم معادلات دیفرانسیل خطی به صورت عادی برداری

شامل ساخت یک راه حل خاص (1) در فرم است

جایی که ز(تی) پایه راه حل های معادله همگن مربوطه است که به شکل ماتریس نوشته شده است و تابع برداری که جایگزین بردار ثابت های دلخواه شده است با رابطه تعریف می شود. راه حل خاص مورد نیاز (با مقادیر اولیه صفر در تی = تی 0 به نظر می رسد

برای سیستمی با ضرایب ثابت، آخرین عبارت ساده شده است:

ماتریس ز(تی)ز− 1 (τ)تماس گرفت ماتریس کوشیاپراتور L = آ(تی) .

لینک های خارجی

exponenta.ru - اطلاعات نظری با مثال

بنیاد ویکی مدیا 2010.

روش تغییر یک ثابت دلخواه یا روش لاگرانژ روش دیگری برای حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول و معادله برنولی است.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادلاتی به شکل y’+p(x)y=q(x) هستند. اگر یک صفر در سمت راست وجود داشته باشد: y’+p(x)y=0، پس این یک خطی است همگنمعادله مرتبه 1 بر این اساس، معادله ای با سمت راست غیر صفر، y’+p(x)y=q(x) است. ناهمگون معادله خطیسفارش 1.

روش تغییر یک ثابت دلخواه (روش لاگرانژ) به شرح زیر است:

1) ما به دنبال یک راه حل کلی برای معادله همگن y’+p(x)y=0: y=y* هستیم.

2) در جواب کلی، C را نه یک ثابت، بلکه تابعی از x در نظر می گیریم: C = C (x). مشتق راه حل کلی (y*)’ را پیدا می کنیم و عبارت حاصل را برای y* و (y*)’ در شرایط اولیه جایگزین می کنیم. از معادله به دست آمده تابع C(x) را پیدا می کنیم.

3) در حل کلی معادله همگن به جای C عبارت یافت شده را جایگزین C(x) می کنیم.

بیایید نمونه هایی از روش تغییر یک ثابت دلخواه را بررسی کنیم. بیایید همان وظایف را انجام دهیم، پیشرفت راه حل را با هم مقایسه کنیم و مطمئن شویم که پاسخ های به دست آمده با هم مطابقت دارند.

1) y’=3x-y/x

بیایید معادله را به شکل استاندارد بازنویسی کنیم (برخلاف روش برنولی، که در آن فقط برای اینکه ببینیم معادله خطی است، به شکل نمادگذاری نیاز داشتیم).

y’+y/x=3x (I). حالا طبق برنامه پیش می رویم.

1) معادله همگن y’+y/x=0 را حل کنید. این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است. y’=dy/dx را تصور کنید، جایگزین: dy/dx+y/x=0، dy/dx=-y/x. دو طرف معادله را در dx ضرب می کنیم و بر xy≠0 تقسیم می کنیم: dy/y=-dx/x. بیایید ادغام کنیم:

2) در حل کلی معادله همگن، C را نه ثابت، بلکه تابعی از x در نظر می گیریم: C=C(x). از اینجا

عبارات به دست آمده را با شرط (I) جایگزین می کنیم:

بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم:

در اینجا C از قبل مقداری ثابت جدید است.

3) در حل کلی معادله همگن y=C/x که C=C(x) یعنی y=C(x)/x را فرض کردیم به جای C(x) عبارت پیدا شده x3 را جایگزین می کنیم. +C: y=(x³ +C)/x یا y=x²+C/x. ما همان پاسخی را گرفتیم که هنگام حل با روش برنولی.

پاسخ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

در اینجا معادله قبلاً به شکل استاندارد نوشته شده است، نیازی به تبدیل آن نیست.

1) معادله خطی همگن y’+y=0 را حل کنید: dy/dx=-y; dy/y=-dx. بیایید ادغام کنیم:

برای به دست آوردن شکل مناسب‌تری از نمادگذاری، توان C را به عنوان C جدید در نظر می‌گیریم:

این تبدیل برای راحت‌تر کردن یافتن مشتق انجام شد.

2) در جواب کلی معادله همگن خطی، C را نه ثابت، بلکه تابعی از x در نظر می گیریم: C=C(x). تحت این شرایط

عبارات حاصل از y و y را با شرط جایگزین می کنیم:

دو طرف معادله را در ضرب کنید

ما هر دو طرف معادله را با استفاده از فرمول ادغام با قطعات ادغام می کنیم، به دست می آوریم:

در اینجا C دیگر یک تابع نیست، بلکه یک ثابت معمولی است.

3) در حل کلی معادله همگن

تابع یافت شده C(x) را جایگزین کنید:

ما همان پاسخی را گرفتیم که هنگام حل با روش برنولی.

روش تغییر یک ثابت دلخواه نیز برای حل قابل استفاده است.

y'x+y=-xy².

معادله را به نمای استاندارد: y’+y/x=-y² (II).

1) معادله همگن y’+y/x=0 را حل کنید. dy/dx=-y/x. دو طرف معادله را در dx ضرب می کنیم و بر y تقسیم می کنیم: dy/y=-dx/x. حالا بیایید ادغام کنیم:

عبارات به دست آمده را در شرایط (II) جایگزین می کنیم:

بیایید ساده کنیم:

معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک برای C و x به دست آوردیم:

در اینجا C از قبل یک ثابت معمولی است. در طول فرآیند ادغام، ما به جای C(x) به سادگی C نوشتیم، تا نماد بیش از حد بارگذاری نشود. و در پایان به C(x) بازگشتیم تا C(x) را با C جدید اشتباه نگیریم.

3) در حل کلی معادله همگن y=C(x)/x تابع یافت شده C(x) را جایگزین می کنیم: