صفحه اصلی درد دندان بسط یک تابع تناوبی به یک سری مثلثاتی فوریه. بسط سری فوریه در کسینوس

درد دندان

بسط یک تابع تناوبی به یک سری مثلثاتی فوریه. بسط سری فوریه در کسینوس

که در حال حاضر بسیار خسته کننده هستند. و من احساس می کنم لحظه ای فرا رسیده است که زمان آن فرا رسیده است که کنسروهای جدید را از ذخایر استراتژیک تئوری استخراج کنیم. آیا می توان تابع را به روش دیگری به یک سری گسترش داد؟ مثلاً پاره خط مستقیم را بر حسب سینوس و کسینوس بیان کنید؟ باورنکردنی به نظر می رسد، اما چنین عملکردهای به ظاهر دوری می تواند باشد
"اتحاد مجدد". علاوه بر درجات آشنا در تئوری و عمل، رویکردهای دیگری برای گسترش یک تابع به یک سری وجود دارد.

در این درس با مثلثات آشنا می شویم. نزدیک فوریه، به بحث همگرایی و جمع آن می پردازیم و البته نمونه های متعددی از بسط توابع در یک سری فوریه را تحلیل می کنیم. من صمیمانه می‌خواستم مقاله را «سری فوریه برای آدمک‌ها» بنامم، اما این بی‌معنی است، زیرا حل مسائل مستلزم دانش سایر شاخه‌های تحلیل ریاضی و تجربه عملی است. بنابراین، مقدمه شبیه آموزش فضانوردان خواهد بود =)

در مرحله اول، شما باید به مطالعه مطالب صفحه در فرم عالی نزدیک شوید. خواب آلود، استراحت و هوشیار. بدون احساسات شدید در مورد پنجه همستر شکسته و افکار وسواسیدر مورد سختی های زندگی ماهی آکواریومی. با این حال، درک سری فوریه دشوار نیست وظایف عملیآنها به سادگی نیاز به تمرکز بیشتر دارند - در حالت ایده آل، شما باید کاملاً خود را از محرک های خارجی جدا کنید. شرایط بدتر از این است که هیچ راه آسانی برای بررسی راه حل و پاسخ وجود ندارد. بنابراین، اگر سلامتی شما کمتر از حد متوسط است، بهتر است کار ساده‌تری انجام دهید. آیا حقیقت دارد.

در مرحله دوم، قبل از پرواز به فضا، باید صفحه ابزار را مطالعه کنید سفینه فضایی. بیایید با مقادیر توابعی که باید روی دستگاه کلیک کنید شروع کنیم:

برای هر ارزش طبیعی:

1) . در واقع، سینوسی محور x را از طریق هر pi می‌بیند:
. در مورد مقادیر منفی آرگومان، البته نتیجه یکسان خواهد بود: .

2) . اما همه این را نمی دانستند. کسینوس "pi" معادل "چشمک زن" است:

استدلال منفی موضوع را تغییر نمی دهد: .

شاید همین کافی باشد.

و ثالثاً سپاه کیهان نوردان عزیز باید بتوانید... ادغام کنید.
به ویژه، یک تابع را با اطمینان زیر علامت دیفرانسیل قرار دهید، با قطعات ادغام کنید و با فرمول نیوتن-لایب نیتس هماهنگ باشید. بیایید تمرینات مهم قبل از پرواز را شروع کنیم. من قاطعانه توصیه نمی کنم از آن بگذرید تا بعداً دچار بی وزنی نشوید:

مثال 1

انتگرال های معین را محاسبه کنید

جایی که ارزش های طبیعی را می گیرد.

راه حل: ادغام روی متغیر x انجام می شود و در این مرحله متغیر گسسته en ثابت در نظر گرفته می شود. در همه انتگرال ها تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار می دهیم:

یک نسخه کوتاه از راه حلی که هدف گذاری آن خوب است به این صورت است:

بیایید به آن عادت کنیم:

چهار امتیاز باقی مانده به تنهایی است. سعی کنید با وجدان به کار نزدیک شوید و انتگرال ها را به صورت کوتاه بنویسید. نمونه راه حل در پایان درس.

بعد از انجام تمرینات QUALITY، لباس فضایی به تن می کنیم
و آماده شدن برای شروع!

بسط یک تابع به یک سری فوریه در بازه

بیایید تابعی را در نظر بگیریم که حداقل در یک بازه (و احتمالاً در یک بازه بزرگتر) تعریف شده است. اگر این تابع در بازه قابل ادغام باشد، می توان آن را به یک سری فوریه مثلثاتی گسترش داد:
، به اصطلاح کجا هستند ضرایب فوریه.

در این صورت عدد را دوره تجزیه و عدد را نیمه دوره تجزیه می نامند.

بدیهی است که در حالت کلی سری فوریه از سینوس و کسینوس تشکیل شده است:

در واقع، بیایید آن را با جزئیات بنویسیم:

عبارت صفر سری معمولاً به شکل نوشته می شود.

ضرایب فوریه با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

من به خوبی درک می کنم که کسانی که شروع به مطالعه این موضوع می کنند هنوز در مورد اصطلاحات جدید نامشخص هستند: دوره تجزیه, نیم چرخه, ضرایب فوریهو غیره. نترسید، این با هیجان قبل از رفتن به فضا قابل مقایسه نیست. بیایید همه چیز را در مثال زیر درک کنیم، قبل از اجرای آن، منطقی است که سوالات عملی فوری بپرسیم:

در وظایف زیر چه کاری باید انجام دهید؟

تابع را به یک سری فوریه بسط دهید. علاوه بر این، اغلب لازم است نمودار یک تابع، نمودار مجموع یک سری، مجموع جزئی به تصویر کشیده شود، و در مورد فانتزی های استادانه پیچیده، کار دیگری انجام شود.

چگونه یک تابع را به یک سری فوریه گسترش دهیم؟

در اصل، شما باید پیدا کنید ضرایب فوریهیعنی سه انتگرال معین را بنویسید و محاسبه کنید.

لطفا فرم کلی سری فوریه و سه فرمول کاری را در دفترچه خود کپی کنید. من بسیار خوشحالم که برخی از بازدیدکنندگان سایت در حال تحقق رویای کودکی خود برای فضانورد شدن در مقابل چشمان من هستند =)

مثال 2

تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهید. یک نمودار بسازید، نموداری از مجموع سری و مجموع جزئی.

راه حل: بخش اول کار، گسترش تابع به یک سری فوریه است.

شروع استاندارد است، حتما یادداشت کنید که:

در این مشکل، دوره گسترش نیم دوره است.

اجازه دهید تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهیم:

با استفاده از فرمول های مناسب می یابیم ضرایب فوریه. اکنون باید سه انتگرال معین را بنویسید و محاسبه کنید. برای راحتی، نکات را شماره گذاری می کنم:

1) انتگرال اول ساده ترین است، اما به کره چشم نیز نیاز دارد:

2) از فرمول دوم استفاده کنید:

این انتگرال به خوبی شناخته شده است و در بخش های زیر گرفته شده است:

هنگام یافتن، از روش قرار دادن تابع تحت علامت دیفرانسیل استفاده شد.

در کار مورد بررسی، راحت تر است که فوراً از فرمول ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین استفاده کنید. :

چند نکته فنی در مرحله اول، پس از اعمال فرمول، کل عبارت باید در براکت های بزرگ محصور شود، زیرا در مقابل انتگرال اصلی یک ثابت وجود دارد. او را از دست ندهیم! این پرانتز را می توان در هر مرحله بعدی گسترش داد. در اولین "قطعه" همانطور که می بینید، در جایگزینی دقت زیادی نشان می دهیم، از ثابت استفاده نمی شود و محدودیت های یکپارچه سازی در محصول جایگزین می شود. این عمل در پرانتز مربع مشخص شده است. خوب، شما با انتگرال دومین "قطعه" فرمول از کار آموزشی آشنا هستید؛-)

و مهمتر از همه - تمرکز شدید!

3) ما به دنبال سومین ضریب فوریه هستیم:

یک نسبی از انتگرال قبلی به دست می آید که می تواند توسط قطعات ادغام شود:

این نمونه کمی پیچیده تر است، من در مورد مراحل بعدی گام به گام نظر خواهم داد:

(1) کل عبارت را در پرانتزهای بزرگ قرار می دهیم. من نمی خواستم خسته کننده به نظر برسم، آنها اغلب ثابت را از دست می دهند.

(2) V در این موردبلافاصله آن پرانتزهای بزرگ را باز کردم. توجه ویژهما خود را وقف اولین "قطعه" می کنیم: ثابت دود در حاشیه است و در جایگزینی محدودیت های ادغام (و) در محصول شرکت نمی کند. با توجه به شلوغی رکورد، مجدداً توصیه می شود این عمل را با براکت های مربع برجسته کنید. با "قطعه" دوم همه چیز ساده تر است: در اینجا کسری پس از باز کردن براکت های بزرگ ظاهر شد و ثابت - در نتیجه ادغام انتگرال آشنا؛-)

(3) در براکت های مربع، تبدیل ها را انجام می دهیم، و در انتگرال راست - جایگزینی محدودیت های ادغام.

(4) "چراغ چشمک زن" را از روی براکت های مربع بردارید: و سپس براکت های داخلی را باز کنید: .

(5) ما 1 و -1 را در پرانتز لغو می کنیم و ساده سازی های نهایی را انجام می دهیم.

در نهایت، هر سه ضریب فوریه یافت می شود:

بیایید آنها را در فرمول جایگزین کنیم :

در عین حال، تقسیم به نصف را فراموش نکنید. در مرحله آخر، ثابت ("منهای دو")، که به "en" بستگی ندارد، خارج از جمع گرفته می شود.

بنابراین، ما بسط تابع را به یک سری فوریه در بازه به دست آورده‌ایم:

اجازه دهید موضوع همگرایی سری فوریه را بررسی کنیم. من به طور خاص نظریه را توضیح خواهم داد قضیه دیریکله، به معنای واقعی کلمه "روی انگشتان" است، بنابراین اگر به فرمول بندی دقیق نیاز دارید، لطفاً به کتاب درسی مراجعه کنید تجزیه و تحلیل ریاضی (مثلاً جلد دوم بوهان؛ یا جلد سوم فیشتنهولتز، اما دشوارتر است).

بخش دوم مسئله مستلزم ترسیم یک نمودار، یک نمودار از مجموع یک سری و یک نمودار از یک جمع جزئی است.

نمودار تابع یک خط مستقیم معمولی در صفحه است که با یک خط نقطه سیاه ترسیم شده است:

بیایید مجموع سریال را دریابیم. همانطور که می دانید سری های تابع به توابع همگرا می شوند. در مورد ما، سری فوریه ساخته شده است برای هر مقدار "x"به تابعی که با رنگ قرمز نشان داده شده است همگرا می شود. این تابعدر نقاط دچار ناپیوستگی هایی از نوع اول می شود، اما در آنها نیز مشخص می شود (نقاط قرمز در نقاشی)

بدین ترتیب: . به راحتی می توان فهمید که تفاوت قابل توجهی با عملکرد اصلی دارد، به همین دلیل در ورودی به جای علامت تساوی، از تایلد استفاده می شود.

بیایید الگوریتمی را مطالعه کنیم که برای ساخت مجموع یک سری مناسب است.

در بازه مرکزی، سری فوریه به خود تابع همگرا می شود (قسمت قرمز مرکزی با خط نقطه چین سیاه تابع خطی منطبق است).

حال اجازه دهید کمی در مورد ماهیت بسط مثلثاتی مورد بررسی صحبت کنیم. سری فوریه فقط توابع تناوبی (ثابت، سینوس و کسینوس) گنجانده شده است، بنابراین مجموع سری همچنین یک تابع تناوبی است.

این در مثال خاص ما به چه معناست؟ و این یعنی مجموع سریال – مطمئناً تناوبی است و قسمت قرمز فاصله باید بی‌وقفه در سمت چپ و راست تکرار شود.

من فکر می کنم که معنای عبارت "دوره تجزیه" بالاخره مشخص شده است. به بیان ساده، هر بار که وضعیت دوباره و دوباره تکرار می شود.

در عمل، معمولاً به تصویر کشیدن سه دوره تجزیه کافی است، همانطور که در نقاشی انجام می شود. خوب، و همچنین "کاخه" دوره های همسایه - به طوری که واضح است که نمودار ادامه دارد.

نقاط ناپیوستگی از نوع 1 مورد توجه خاص است. در چنین نقاطی، سری فوریه به مقادیر جدا شده همگرا می شود، که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی قرار دارند (نقاط قرمز در نقاشی). چگونه می توان ترتیب این نقاط را فهمید؟ اول، بیایید ترتیب "طبقه بالا" را پیدا کنیم: برای انجام این کار، مقدار تابع را در سمت راست ترین نقطه دوره مرکزی گسترش محاسبه می کنیم: . برای محاسبه ترتیب "طبقه پایین" ساده ترین راه این است که افراط کنید مقدار سمت چپهمان دوره: . ترتیب مقدار میانگین، میانگین حسابی مجموع «بالا و پایین» است: . یک واقعیت خوشایند این است که هنگام ساخت یک نقاشی، بلافاصله خواهید دید که آیا وسط به درستی یا نادرست محاسبه شده است.

بیایید یک مجموع جزئی از سری بسازیم و در همان زمان معنای اصطلاح "همگرایی" را تکرار کنیم. موتیف از درس مجموع یک سری اعداد نیز مشخص است. اجازه دهید ثروت خود را با جزئیات شرح دهیم:

برای ایجاد یک جمع جزئی، باید صفر + دو عبارت دیگر از سری را بنویسید. به این معنا که،

نقاشی نمودار تابع را نشان می دهد سبز، و همانطور که می بینید، مقدار کامل را کاملاً محکم می بندد. اگر مجموع جزئی از پنج عبارت از سری را در نظر بگیریم، نمودار این تابع خطوط قرمز را با دقت بیشتری تقریب می‌کند، اگر صد جمله وجود داشته باشد، در واقع "مار سبز" به طور کامل با بخش‌های قرمز ادغام می‌شود. و غیره. بنابراین، سری فوریه به مجموع آن همگرا می شود.

جالب است بدانید که هر مجموع جزئی یک تابع پیوسته است، اما مجموع کل سری هنوز ناپیوسته است.

در عمل، ساختن نمودار مجموع جزئی چندان نادر نیست. چگونه انجامش بدهیم؟ در مورد ما، لازم است تابع را در بخش در نظر بگیریم، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقاط میانی محاسبه کنیم (هر چه نقاط بیشتری را در نظر بگیرید، نمودار دقیق تر خواهد بود). سپس باید این نقاط را روی نقاشی علامت بزنید و نموداری را با دقت روی نقطه بکشید و سپس آن را در فواصل مجاور "تکرار" کنید. دیگر چگونه؟ به هر حال، تقریب نیز یک تابع تناوبی است... ...از برخی جهات نمودار آن من را به یاد ریتم یکنواخت قلب در نمایشگر یک دستگاه پزشکی می اندازد.

البته انجام ساخت و ساز خیلی راحت نیست، زیرا باید بسیار مراقب باشید و دقت کمتر از نیم میلی متر را حفظ کنید. با این حال، من از خوانندگانی که با ترسیم راحت نیستند خوشحال خواهم شد - در یک مشکل "واقعی" همیشه لازم نیست که یک نقاشی در حدود 50٪ موارد گسترش یابد و این کار به یک سری فوریه تبدیل شود .

پس از اتمام نقاشی، کار را تکمیل می کنیم:

پاسخ :

در بسیاری از مشکلات، این تابع دقیقاً در دوره گسترش از نوع اول ناپیوستگی رنج می برد:

مثال 3

تابع داده شده در بازه را به یک سری فوریه بسط دهید. نموداری از تابع و مجموع کل سری رسم کنید.

تابع پیشنهادی به صورت تکه ای مشخص می شود (و توجه داشته باشید، فقط در بخش)و دچار ناپیوستگی از نوع اول در نقطه می شود. آیا می توان ضرایب فوریه را محاسبه کرد؟ مشکلی نیست هر دو سمت چپ و راست تابع در فواصل خود قابل انتگرال هستند، بنابراین انتگرال های هر یک از سه فرمول باید به صورت مجموع دو انتگرال نشان داده شوند. برای مثال، بیایید ببینیم که چگونه این کار برای یک ضریب صفر انجام می شود:

انتگرال دوم برابر با صفر بود که کار را کاهش داد، اما همیشه اینطور نیست.

دو ضریب فوریه دیگر به طور مشابه توضیح داده شده اند.

چگونه مجموع یک سریال را نشان دهیم؟ در فاصله سمت چپ یک بخش خط مستقیم و در فاصله - یک بخش خط مستقیم ترسیم می کنیم (بخش محور را به صورت پررنگ و پررنگ برجسته می کنیم). یعنی در بازه گسترش، مجموع سری با تابع در همه جا منطبق است به جز سه نقطه "بد". در نقطه ناپیوستگی تابع، سری فوریه به یک مقدار جدا شده همگرا می شود که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی قرار دارد. دیدن شفاهی آن دشوار نیست: حد چپ: , حد راست: و بدیهی است که ترتیب نقطه میانی 0.5 است.

به دلیل تناوب بودن مجموع، تصویر باید در دوره های مجاور "ضرب" شود، به ویژه، همان چیزی باید در فواصل و . در همان زمان، در نقاط سری فوریه به مقادیر میانه همگرا می شود.

در واقع هیچ چیز جدیدی در اینجا وجود ندارد.

سعی کنید خودتان با این کار کنار بیایید. نمونه تقریبی طرح نهایی و نقاشی در پایان درس.

بسط یک تابع به یک سری فوریه در یک دوره دلخواه

برای یک دوره بسط دلخواه، جایی که "el" هر عدد مثبتی است، فرمول های سری فوریه و ضرایب فوریه با استدلال کمی پیچیده تر برای سینوس و کسینوس متمایز می شوند:

اگر , سپس فرمول های فاصله ای را که با آن شروع کردیم به دست می آوریم.

الگوریتم و اصول حل مسئله کاملاً حفظ شده است، اما پیچیدگی فنی محاسبات افزایش می یابد:

مثال 4

تابع را به یک سری فوریه بسط دهید و مجموع آن را رسم کنید.

راه حل: در واقع یک آنالوگ از مثال شماره 3 با ناپیوستگی از نوع 1 در نقطه. در این مشکل، دوره گسترش نیم دوره است. تابع فقط در نیم فاصله تعریف می شود، اما این موضوع را تغییر نمی دهد - مهم است که هر دو قطعه تابع قابل ادغام باشند.

بیایید تابع را به یک سری فوریه گسترش دهیم:

از آنجایی که تابع در مبدأ ناپیوسته است، هر ضریب فوریه باید به صورت مجموع دو انتگرال نوشته شود:

1) من اولین انتگرال را تا حد امکان با جزئیات بیشتر می نویسم:

2) ما با دقت به سطح ماه نگاه می کنیم:

انتگرال دوم را بر اساس قطعات می گیریم:

بعد از اینکه ادامه راه حل را با ستاره باز کردیم به چه نکاتی توجه کنیم؟

اولا، ما انتگرال اول را از دست نمی دهیم ، جایی که بلافاصله علامت دیفرانسیل را اعمال می کنیم. ثانیاً، ثابت بدبخت را قبل از براکت های بزرگ فراموش نکنید و هنگام استفاده از فرمول در علائم اشتباه نگیرید. . براکت های بزرگ هنوز هم راحت تر هستند که بلافاصله در مرحله بعد باز شوند.

بقیه مسائل مربوط به تکنیک است.

بله، بیخود نبود که همکاران برجسته ریاضیدان فرانسوی فوریه خشمگین شدند - او چگونه جرات کرد توابع را در سری های مثلثاتی ترتیب دهد؟! =) اتفاقاً همه احتمالاً به معنای عملی کار مورد نظر علاقه دارند. خود فوریه روی آن کار کرد مدل ریاضیهدایت حرارتی، و متعاقباً سری به نام او برای مطالعه بسیاری از فرآیندهای دوره ای، که در دنیای اطراف قابل مشاهده و نامرئی هستند، مورد استفاده قرار گرفت. حالا اتفاقاً به این فکر افتادم که تصادفی نیست که نمودار مثال دوم را با ریتم تناوبی قلب مقایسه کردم. علاقه مندان می توانند با کاربرد عملی آشنا شوند تبدیل فوریهدر منابع شخص ثالث ...اگرچه بهتر است این کار را نکنیم - به عنوان عشق اول به خاطر سپرده می شود =)

3) با در نظر گرفتن پیوندهای ضعیف مکرر ذکر شده، اجازه دهید به ضریب سوم نگاه کنیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم:

اجازه دهید ضرایب فوریه پیدا شده را در فرمول جایگزین کنیم ، فراموش نکنید که ضریب صفر را به نصف تقسیم کنید:

بیایید مجموع سریال را ترسیم کنیم. اجازه دهید به طور خلاصه این روش را تکرار کنیم: یک خط مستقیم در یک بازه و یک خط مستقیم در یک فاصله ایجاد می کنیم. اگر مقدار "x" صفر باشد، نقطه ای را در وسط "پرش" شکاف قرار می دهیم و نمودار را برای دوره های مجاور "تکرار" می کنیم:

در "اتصالات" دوره ها، مجموع نیز برابر با نقاط میانی "پرش" شکاف خواهد بود.

آماده. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که خود تابع با شرط فقط در یک نیمه بازه تعریف می شود و بدیهی است که با مجموع سری ها در فواصل منطبق است.

پاسخ :

گاهی اوقات یک تابع به صورت تکه ای در طول دوره گسترش پیوسته است. ساده ترین مثال: . راه حل (رجوع کنید به Bohan جلد 2)مانند دو مثال قبلی: با وجود پیوستگی تابع در نقطه، هر ضریب فوریه به صورت مجموع دو انتگرال بیان می شود.

در بازه گسترش، ممکن است نقاط ناپیوستگی بیشتری از نوع اول و/یا نقاط «مشترک» نمودار (دو، سه و به طور کلی هر نهاییتعداد). اگر یک تابع در هر قسمت قابل ادغام باشد، در سری فوریه نیز قابل گسترش است. اما از تجربه عملی چنین چیز بی رحمانه ای را به خاطر نمی آورم. با این حال، وظایف دشوارتر از آنچه که در نظر گرفته شد وجود دارد، و در پایان مقاله پیوندهایی به سری فوریه با پیچیدگی افزایش یافته برای همه وجود دارد.

در این میان، بیایید استراحت کنیم، به صندلی هایمان تکیه دهیم و به وسعت بی پایان ستاره ها فکر کنیم:

مثال 5

تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهید و مجموع سری را رسم کنید.

در این مسئله تابع در نیم بازه انبساط پیوسته است که حل را ساده می کند. همه چیز بسیار شبیه به مثال شماره 2 است. هیچ راه فراری از سفینه فضایی وجود ندارد - شما باید تصمیم بگیرید =) یک نمونه طراحی تقریبی در پایان درس، یک برنامه پیوست شده است.

بسط سری فوریه توابع زوج و فرد

با توابع زوج و فرد، روند حل مسئله به طور قابل توجهی ساده شده است. و به همین دلیل. اجازه دهید به بسط یک تابع در یک سری فوریه با دوره "دو پی" بازگردیم. و دوره دلخواه "دو ال" .

بیایید فرض کنیم که تابع ما زوج است. اصطلاح کلی سریال همانطور که می بینید شامل کسینوس های زوج و سینوس های فرد است. و اگر در حال گسترش یک تابع زوج هستیم، پس چرا به سینوس های فرد نیاز داریم؟! بیایید ضریب غیر ضروری را تنظیم مجدد کنیم: .

بنابراین، یک تابع زوج را می توان به یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط داد:

از آنجایی که انتگرال های توابع زوج روی یک بخش انتگرال گیری که با توجه به صفر متقارن است را می توان دو برابر کرد، ضرایب فوریه باقی مانده نیز ساده می شوند.

برای شکاف:

برای یک فاصله دلخواه:

نمونه‌های کتاب درسی که تقریباً در هر کتاب درسی تحلیل ریاضی یافت می‌شود شامل بسط توابع زوج است. . علاوه بر این، چندین بار در تمرین شخصی من با آنها برخورد شده است:

مثال 6

تابع داده شده است. ضروری:

1) تابع را به یک سری فوریه با نقطه بسط دهید، جایی که یک عدد مثبت دلخواه است.

2) بسط را روی بازه یادداشت کنید، یک تابع بسازید و مجموع کل سری را رسم کنید.

راه حل: در پاراگراف اول پیشنهاد شده است که مشکل را در نمای کلی، و بسیار راحت است! اگر نیاز دارید، فقط ارزش خود را جایگزین کنید.

1) در این مشکل، دوره گسترش نیم دوره است. در حین اقدامات بعدی، به ویژه در طول ادغام، "el" یک ثابت در نظر گرفته می شود

تابع زوج است، به این معنی که می توان آن را به یک سری فوریه فقط در کسینوس گسترش داد: .

با استفاده از فرمول ها به دنبال ضرایب فوریه می گردیم . به مزایای بی قید و شرط آنها توجه کنید. اولا، ادغام در بخش مثبت توسعه انجام می شود، به این معنی که ما با خیال راحت از شر ماژول خلاص می شویم. ، فقط "X" دو قطعه را در نظر می گیریم. و در مرحله دوم، یکپارچگی به طور قابل توجهی ساده شده است.

دو:

بیایید با قطعات ادغام کنیم:

بدین ترتیب:
، در حالی که ثابت، که به "en" بستگی ندارد، خارج از مجموع گرفته می شود.

پاسخ :

2) اجازه دهید بسط را روی بازه بنویسیم، برای این منظور در فرمول کلیجایگزین مقدار مورد نظرنیم سیکل:

سری های فوریه نمایشی از یک تابع دلخواه با یک دوره خاص در قالب یک سری هستند. به طور کلی، این محلول را تجزیه یک عنصر در امتداد یک پایه متعامد می نامند. بسط توابع به سری فوریه به دلیل ویژگی های این تبدیل در حین ادغام، تمایز و همچنین جابجایی عبارات توسط استدلال و کانولوشن، ابزار نسبتاً قدرتمندی برای حل مسائل مختلف است.

فردی که با ریاضیات عالی و همچنین با کارهای دانشمند فرانسوی فوریه آشنا نیست، به احتمال زیاد متوجه نخواهد شد که این "سری ها" چیست و برای چه چیزی مورد نیاز است. در همین حال، این دگرگونی کاملاً در زندگی ما ادغام شده است. این نه تنها توسط ریاضیدانان، بلکه توسط فیزیکدانان، شیمیدانان، پزشکان، ستاره شناسان، زلزله شناسان، اقیانوس شناسان و بسیاری دیگر استفاده می شود. اجازه دهید نگاهی دقیق‌تر به آثار دانشمند بزرگ فرانسوی بیندازیم که به کشفی جلوتر از زمان خود دست یافت.

انسان و فوریه تبدیل می شوند

سری های فوریه یکی از روش ها هستند (همراه با تحلیل و روش های دیگر این فرآیند با هر بار شنیدن صدایی اتفاق می افتد). گوش ما به طور خودکار تحول را انجام می دهد ذرات بنیادیدر یک محیط الاستیک در ردیف‌هایی (در امتداد طیف) مقادیر سطح بلندی پی در پی برای زنگ‌هایی با ارتفاع‌های مختلف قرار می‌گیرد. بعد، مغز این داده ها را به صداهایی تبدیل می کند که برای ما آشنا هستند. همه اینها خارج از میل یا آگاهی ما به خودی خود اتفاق می افتد، اما برای درک این فرآیندها، چندین سال طول می کشد تا ریاضیات عالی را مطالعه کنیم.

اطلاعات بیشتر در مورد تبدیل فوریه

تبدیل فوریه را می توان با استفاده از روش های تحلیلی، عددی و غیره انجام داد. سری فوریه به روش عددی تجزیه هر گونه فرآیند نوسانی - از جزر و مد اقیانوس ها و امواج نور تا چرخه های فعالیت خورشیدی (و سایر اجرام نجومی) اشاره دارد. با استفاده از این تکنیک‌های ریاضی، می‌توانید توابع را تجزیه و تحلیل کنید و هر فرآیند نوسانی را به‌عنوان مجموعه‌ای از اجزای سینوسی که از حداقل به حداکثر حرکت می‌کنند و به عقب نشان می‌دهند، نشان می‌دهند. تبدیل فوریه تابعی است که فاز و دامنه سینوسی های مربوط به یک فرکانس خاص را توصیف می کند. از این فرآیند می توان برای حل معادلات بسیار پیچیده ای استفاده کرد که فرآیندهای دینامیکی را که تحت تأثیر گرما، نور یا انرژی الکتریکی. همچنین سری فوریه جداسازی اجزای ثابت در سیگنال‌های نوسانی پیچیده را امکان‌پذیر می‌سازد و تفسیر صحیح مشاهدات تجربی به‌دست‌آمده در پزشکی، شیمی و نجوم را ممکن می‌سازد.

مرجع تاریخی

بنیانگذار این نظریه، ژان باپتیست ژوزف فوریه، ریاضیدان فرانسوی است. این تحول متعاقباً به نام او نامگذاری شد. در ابتدا، دانشمند از روش خود برای مطالعه و توضیح مکانیسم های هدایت حرارتی - انتشار گرما در مواد جامد. فوریه پیشنهاد کرد که توزیع نامنظم اولیه را می توان به سینوسی های ساده تجزیه کرد، که هر کدام حداقل و حداکثر دمای خود و همچنین فاز خاص خود را دارند. در این حالت، هر یک از این اجزاء از حداقل به حداکثر و به عقب اندازه گیری می شود. تابع ریاضی که قله های بالایی و پایینی منحنی و همچنین فاز هر یک از هارمونیک ها را توصیف می کند، تبدیل فوریه بیان توزیع دما نامیده می شود. نویسنده نظریه را گرد هم آورد عملکرد کلیتوزیع، که توصیف ریاضی آن دشوار است، به یک سری بسیار راحت از کسینوس و سینوس، که با هم توزیع اصلی را می دهند.

اصل تحول و دیدگاه معاصران

معاصران دانشمند - ریاضیدانان برجسته اوایل قرن نوزدهم - این نظریه را نپذیرفتند. ایراد اصلی ادعای فوریه بود که یک تابع ناپیوسته، که یک خط مستقیم یا یک منحنی ناپیوسته را توصیف می کند، می تواند به عنوان مجموع عبارات سینوسی که پیوسته هستند نشان داده شود. به عنوان مثال، مرحله Heaviside را در نظر بگیرید: مقدار آن در سمت چپ ناپیوستگی صفر و در سمت راست یک است. این تابع وابستگی جریان الکتریکی به یک متغیر موقت را هنگامی که مدار بسته است، توصیف می کند. معاصران این نظریه در آن زمان هرگز با وضعیت مشابهی مواجه نشده بودند که در آن یک عبارت ناپیوسته با ترکیبی از توابع پیوسته و معمولی مانند نمایی، سینوسی، خطی یا درجه دوم توصیف شود.

چه چیزی ریاضیدانان فرانسوی را در مورد نظریه فوریه گیج کرد؟

به هر حال، اگر ریاضیدان در اظهارات خود درست گفته باشد، با جمع کردن سری فوریه مثلثاتی بی نهایت، می توان نمایش دقیقی از عبارت گام به دست آورد، حتی اگر مراحل مشابه زیادی داشته باشد. در آغاز قرن نوزدهم، چنین اظهاراتی پوچ به نظر می رسید. اما علیرغم همه تردیدها، بسیاری از ریاضیدانان دامنه مطالعه این پدیده را گسترش دادند و آن را فراتر از مطالعه هدایت حرارتی بردند. با این حال، اکثر دانشمندان همچنان با این سوال عذاب می‌کشیدند: «آیا مجموع یک سری سینوسی می‌تواند به ارزش دقیقعملکرد ناپیوسته؟

همگرایی سری فوریه: یک مثال

مسئله همگرایی هر زمان که لازم باشد مجموعه های نامتناهی از اعداد را جمع کنیم، مطرح می شود. برای درک این پدیده، یک مثال کلاسیک را در نظر بگیرید. اگر اندازه هر مرحله بعدی نصف مرحله قبلی باشد، هرگز قادر خواهید بود به دیوار برسید؟ فرض کنید دو متر با هدف فاصله دارید، مرحله اول شما را به نیمه راه می برد، مرحله بعدی شما را به نقطه سه چهارم می رساند و بعد از پنجمین قدم تقریباً 97 درصد مسیر را طی کرده اید. با این حال، مهم نیست که چند قدم بردارید، به معنای دقیق ریاضی به هدف مورد نظر خود نخواهید رسید. با استفاده از محاسبات عددی می توان ثابت کرد که در نهایت می توان به اندازه یک فاصله معین نزدیک شد. این برهان معادل نشان دادن این است که مجموع یک دوم، یک چهارم و غیره به وحدت گرایش دارد.

پرسش همگرایی: آمدن ثانوی یا ابزار لرد کلوین

این موضوع دوباره در اواخر قرن نوزدهم مطرح شد، زمانی که آنها سعی کردند از سری فوریه برای پیش بینی شدت جزر و مد استفاده کنند. در این زمان لرد کلوین دستگاهی را اختراع کرد که آنالوگ بود دستگاه محاسباتی، که به ملوانان دریایی نظامی و تجاری اجازه داد تا این پدیده طبیعی را ردیابی کنند. این مکانیسم مجموعه‌ای از فازها و دامنه‌ها را از جدول ارتفاع جزر و مد و نقاط زمانی مربوطه تعیین می‌کند که به دقت در یک بندر معین در طول سال اندازه‌گیری می‌شوند. هر پارامتر یک جزء سینوسی از بیان ارتفاع جزر و مد و یکی از اجزای منظم بود. اندازه‌گیری‌ها به ابزار محاسباتی لرد کلوین وارد شد، که منحنی را سنتز کرد که ارتفاع آب را به عنوان تابعی از زمان برای سال بعد پیش‌بینی می‌کرد. خیلی زود منحنی های مشابهی برای تمام بندرهای جهان ترسیم شد.

اگر فرآیند توسط یک عملکرد ناپیوسته مختل شود چه؟

در آن زمان بدیهی به نظر می رسید که یک پیش بینی کننده موج جزر و مد با تعداد زیادی عناصر شمارش می تواند تعداد زیادی فاز و دامنه را محاسبه کند و در نتیجه پیش بینی های دقیق تری ارائه دهد. با این حال، مشخص شد که این الگو در مواردی مشاهده نمی شود که بیان جزر و مدی که باید سنتز شود حاوی یک پرش شدید است، یعنی ناپیوسته بود. اگر داده های جدول لحظه های زمانی وارد دستگاه شود، چندین ضریب فوریه را محاسبه می کند. عملکرد اصلی به لطف اجزای سینوسی (مطابق با ضرایب یافت شده) بازیابی می شود. اختلاف بین عبارت اصلی و بازسازی شده را می توان در هر نقطه اندازه گیری کرد. هنگام انجام محاسبات و مقایسه های مکرر، واضح است که مقدار بزرگترین خطا کاهش نمی یابد. با این حال، آنها در منطقه مربوط به نقطه ناپیوستگی موضعی هستند و در هر نقطه دیگری به سمت صفر تمایل دارند. در سال 1899، این نتیجه به طور نظری توسط جاشوا ویلارد گیبس از دانشگاه ییل تأیید شد.

همگرایی سری های فوریه و توسعه ریاضیات به طور کلی

تحلیل فوریه برای عباراتی که دارای تعداد نامتناهی اسپک در یک بازه زمانی معین هستند، قابل استفاده نیست. به طور کلی، سری فوریه، اگر تابع اصلی با نتیجه واقعی نشان داده شود بعد فیزیکی، همیشه همگرا هستند. سؤالاتی در مورد همگرایی این فرآیند برای کلاس های خاصی از توابع منجر به ظهور شاخه های جدیدی در ریاضیات شد، به عنوان مثال، نظریه توابع تعمیم یافته. او با نام هایی مانند L. Schwartz، J. Mikusinski و J. Temple مرتبط است. در چارچوب این نظریه، واضح و دقیق مبنای نظریتحت عباراتی مانند تابع دلتای دیراک (ناحیه ای از یک ناحیه متمرکز در یک همسایگی بینهایت کوچک از یک نقطه را توصیف می کند) و «گام» هیوساید. به لطف این کار، سری فوریه برای حل معادلات و مسائل مربوط به مفاهیم شهودی: بار نقطه ای، جرم نقطه ای، دوقطبی های مغناطیسی و بار متمرکز روی یک پرتو قابل استفاده شد.

روش فوریه

سری های فوریه، مطابق با اصول تداخل، با تجزیه اشکال پیچیده به شکل های ساده تر شروع می شود. به عنوان مثال، تغییر در جریان گرما با عبور آن از موانع مختلف ساخته شده از مواد عایق حرارتی با شکل نامنظم یا تغییر در سطح زمین - زلزله، تغییر در مدار توضیح داده می شود. جسم آسمانی- نفوذ سیارات به عنوان یک قاعده، چنین معادلاتی که سیستم های کلاسیک ساده را توصیف می کنند، می توانند به راحتی برای هر موج جداگانه حل شوند. فوریه این را نشان داد راه حل های سادههمچنین می توان برای دستیابی به راه حل هایی برای مسائل پیچیده تر جمع کرد. در اصطلاح ریاضی، سری فوریه تکنیکی برای نمایش یک عبارت به عنوان مجموع هارمونیک ها - کسینوس و سینوس است. از همین رو این تحلیلهمچنین به عنوان آنالیز هارمونیک شناخته می شود.

سری فوریه - یک تکنیک ایده آل قبل از "عصر کامپیوتر"

قبل از خلقت تجهیزات کامپیوترتکنیک فوریه بهترین سلاح در زرادخانه دانشمندان هنگام کار با ماهیت موجی جهان ما بود. سری فوریه فرم پیچیدهبه شما اجازه می دهد تا نه تنها تصمیم بگیرید کارهای ساده، که قابل استفاده مستقیم از قوانین مکانیک نیوتن و همچنین معادلات اساسی هستند. بیشتر اکتشافات علم نیوتنی در قرن نوزدهم تنها با تکنیک فوریه امکان پذیر شد.

سریال فوریه امروز

با توسعه کامپیوترها، تبدیل فوریه به سطح کیفی جدیدی ارتقا یافته است. این تکنیک تقریباً در تمام زمینه‌های علم و فناوری به‌طور محکمی تثبیت شده است. به عنوان مثال صدا و تصویر دیجیتال است. اجرای آن تنها به لطف نظریه ای که توسط یک ریاضیدان فرانسوی در آغاز قرن نوزدهم ایجاد شد امکان پذیر شد. بنابراین، سری فوریه در شکل پیچیده ای امکان دستیابی به موفقیت در مطالعه فضای بیرونی را فراهم کرد. علاوه بر این، مطالعه فیزیک مواد نیمه هادی و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار و زلزله شناسی را تحت تاثیر قرار داد.

سری فوریه مثلثاتی

در ریاضیات، سری فوریه راهی برای نمایش دلخواه است توابع پیچیدهمجموع ساده ترها که در موارد کلیتعداد چنین عباراتی می تواند بی نهایت باشد. علاوه بر این، هرچه تعداد آنها در محاسبه بیشتر در نظر گرفته شود، نتیجه نهایی دقیق تر است. اغلب به عنوان تک یاخته استفاده می شود توابع مثلثاتیکسینوس یا سینوس در این حالت سری های فوریه را مثلثاتی و حل چنین عباراتی را بسط هارمونیک می نامند. این روش بازی می کند نقش مهمدر ریاضیات اول از همه، سری مثلثاتی ابزاری برای به تصویر کشیدن و همچنین مطالعه توابع فراهم می کند. علاوه بر این، به شما امکان می دهد تعدادی از مسائل در فیزیک ریاضی را حل کنید. در نهایت، این نظریه به توسعه کمک کرد و تعدادی بخش بسیار مهم را زنده کرد علوم ریاضی(نظریه انتگرال ها، نظریه توابع تناوبی). علاوه بر این، به عنوان نقطه شروع برای توسعه توابع زیر یک متغیر واقعی عمل کرد و همچنین پایه و اساس تحلیل هارمونیک را گذاشت.

سری فوریه از توابع تناوبی با دوره 2π.

سری فوریه به ما این امکان را می دهد که توابع تناوبی را با تجزیه آنها به اجزاء مطالعه کنیم. جریان ها و ولتاژهای متناوب، جابجایی ها، سرعت و شتاب مکانیزم های میل لنگ و امواج صوتی معمولی هستند. نمونه های عملیکاربرد توابع تناوبی در محاسبات مهندسی

بسط سری فوریه بر این فرض استوار است که تمام توابع با اهمیت عملی در بازه -π≤x≤ π را می توان به صورت سری مثلثاتی همگرا بیان کرد (یک سری همگرا در نظر گرفته می شود اگر دنباله ای از مجموع جزئی از جمله های آن تشکیل شده باشد. همگرا می شود):

نماد استاندارد (= معمولی) از طریق مجموع sinx و cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...،

که در آن o، a 1، a 2،...، b 1، b 2، .. ثابت های واقعی هستند، یعنی.

جایی که برای محدوده -π تا π، ضرایب سری فوریه با استفاده از فرمول‌های زیر محاسبه می‌شوند:

ضرایب a o، a n و b n را ضرایب فوریه می نامند و اگر بتوان آنها را یافت، سری (1) را سری فوریه مربوط به تابع f (x) می نامند. برای سری (1)، اصطلاح (a 1 cosx+b 1 sinx) هارمونیک اول یا بنیادی نامیده می شود.

روش دیگر برای نوشتن یک سری، استفاده از رابطه acosx+bsinx=csin(x+α) است.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

در جایی که a o یک ثابت است، با 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2، با n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - دامنه های اجزای مختلف، و برابر با a n =arctg است. a n /b n.

برای سری (1)، عبارت (a 1 cosx+b 1 sinx) یا c 1 sin(x+α 1) هارمونیک اول یا بنیادی، (a 2 cos2x+b 2 sin2x) یا c 2 sin(2x) نامیده می شود. +α 2) هارمونیک دوم و غیره نامیده می شود.

برای نمایش دقیق یک سیگنال پیچیده معمولاً به تعداد نامتناهی اصطلاح نیاز است. با این حال، در بسیاری از مسائل عملی، تنها در نظر گرفتن چند عبارت اول کافی است.

سری فوریه توابع غیر تناوبی با دوره 2π.

بسط توابع غیر تناوبی.

اگر تابع f(x) غیر تناوبی باشد، به این معنی است که نمی توان آن را به یک سری فوریه برای تمام مقادیر x گسترش داد. با این حال، می توان یک سری فوریه تعریف کرد که تابعی را در هر محدوده ای از عرض 2π نشان می دهد.

با توجه به یک تابع غیر تناوبی، یک تابع جدید را می توان با انتخاب مقادیر f(x) در یک محدوده خاص و تکرار آنها در خارج از آن محدوده در فواصل 2π ساخت. از آنجایی که تابع جدید با دوره 2π تناوبی است، می توان آن را به یک سری فوریه برای تمام مقادیر x گسترش داد. برای مثال تابع f(x)=x تناوبی نیست. با این حال، اگر لازم باشد آن را به یک سری فوریه در بازه o تا 2π گسترش دهیم، خارج از این بازه یک تابع تناوبی با دوره 2π ساخته می شود (همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است).

برای توابع غیر تناوبی مانند f(x)=x، مجموع سری فوریه برابر با مقدار f(x) در تمام نقاط یک محدوده معین است، اما برای نقاط برابر با f(x) نیست. خارج از محدوده برای یافتن سری فوریه یک تابع غیر تناوبی در محدوده 2π از همان فرمول ضرایب فوریه استفاده می شود.

توابع زوج و فرد.

آنها می گویند یک تابع y=f(x) حتی اگر f(-x)=f(x) برای تمام مقادیر x باشد. نمودارهای توابع زوج همیشه نسبت به محور y متقارن هستند (یعنی تصاویر آینه ای هستند). دو مثال از توابع زوج: y=x2 و y=cosx.

تابع y=f(x) فرد گفته می شود اگر f(-x)=-f(x) برای تمام مقادیر x. نمودارهای توابع فرد همیشه نسبت به مبدا متقارن هستند.

بسیاری از توابع نه زوج هستند و نه فرد.

بسط سری فوریه در کسینوس

سری فوریه یک تابع تناوبی زوج f(x) با دوره 2π فقط شامل عبارات کسینوس (یعنی بدون ترم سینوسی) است و ممکن است شامل یک جمله ثابت باشد. از این رو،

ضرایب سری فوریه کجاست

سری فوریه یک تابع تناوبی فرد f(x) با دوره 2π فقط شامل جمله هایی با سینوس است (یعنی شامل جمله هایی با کسینوس نیست).

از این رو،

ضرایب سری فوریه کجاست

سری فوریه در نیم سیکل.

اگر یک تابع برای یک محدوده تعریف شود، مثلاً از 0 تا π، و نه فقط از 0 تا 2π، می توان آن را در یک سری فقط در سینوس یا فقط در کسینوس گسترش داد. سری فوریه حاصل را سری فوریه نیم چرخه می نامند.

اگر می خواهید یک بسط فوریه نیم چرخه کسینوس های تابع f(x) در محدوده 0 تا π بدست آورید، باید یک تابع تناوبی زوج بسازید. در شکل در زیر تابع f(x)=x است که بر اساس بازه x=0 تا x=π ساخته شده است. از آنجا که حتی عملکردبه صورت متقارن حول محور f(x)، خط AB را ترسیم کنید، همانطور که در شکل نشان داده شده است. زیر اگر فرض کنیم خارج از بازه در نظر گرفته شده به دست می آید شکل مثلثیتناوبی با دوره 2π است، سپس نمودار نهایی به نظر می رسد، نشان می دهد. در شکل زیر از آنجایی که باید بسط فوریه را در کسینوس به دست آوریم، مانند قبل، ضرایب فوریه a o و a n را محاسبه می کنیم.

اگر می خواهید یک بسط فوریه نیم چرخه بر حسب سینوس های تابع f(x) در محدوده 0 تا π بدست آورید، باید یک تابع تناوبی فرد بسازید. در شکل در زیر تابع f(x)=x است که بر اساس بازه x=0 تا x=π ساخته شده است. از آنجایی که تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است، همانطور که در شکل نشان داده شده است، خط CD را می سازیم. اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده سیگنال دندان اره ای به صورت تناوبی با دوره 2π باشد، نمودار نهایی شکل نشان داده شده در شکل را دارد. از آنجایی که باید بسط فوریه نیم سیکل را بر حسب سینوس بدست آوریم، مانند قبل، ضریب فوریه را محاسبه می کنیم. ب

سری فوریه برای یک بازه دلخواه.

بسط یک تابع تناوبی با دوره L.

تابع تناوبی f(x) با افزایش x با L تکرار می شود، یعنی. f(x+L)=f(x). انتقال از توابع در نظر گرفته شده قبلی با دوره 2π به توابع با دوره L بسیار ساده است، زیرا می توان با استفاده از تغییر متغیر انجام داد.

برای یافتن سری فوریه تابع f(x) در محدوده -L/2≤x≤L/2، یک متغیر جدید u معرفی می کنیم تا تابع f(x) نسبت به u دارای دوره 2π باشد. اگر u=2πx/L، آنگاه x=-L/2 برای u=-π و x=L/2 برای u=π. همچنین اجازه دهید f(x)=f(Lu/2π)=F(u). سری فوریه F(u) دارای فرم است

(محدودیت های ادغام را می توان با هر فاصله ای به طول L جایگزین کرد، به عنوان مثال، از 0 تا L)

سری فوریه در نیم چرخه برای توابع مشخص شده در بازه L≠2π.

برای جانشینی u=πх/L، بازه از x=0 تا x=L مربوط به فاصله u=0 تا u=π است. در نتیجه، تابع را می توان به یک سری فقط در کسینوس یا فقط در سینوس، یعنی. به یک سری فوریه در نیم سیکل.

انبساط کسینوس در محدوده 0 تا L شکل دارد

توابع، تجزیه آنها به اجزاء. جریان ها و ولتاژهای متناوب، جابجایی ها، سرعت و شتاب مکانیزم های میل لنگ و امواج صوتی نمونه های عملی معمولی از استفاده از توابع دوره ای در محاسبات مهندسی هستند.

نماد استاندارد (= معمولی) از طریق مجموع sinx و cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...،

که در آن o، a 1، a 2،...، b 1، b 2، .. ثابت های واقعی هستند، یعنی.

جایی که، برای محدوده از -π تا π، ضرایب سری فوریه با استفاده از فرمول‌های زیر محاسبه می‌شوند:

روش دیگر برای نوشتن یک سری، استفاده از رابطه acosx+bsinx=csin(x+α) است.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

در جایی که a o یک ثابت است، با 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2، با n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - دامنه های اجزای مختلف، و برابر با a n =arctg است. a n /b n.

سری فوریه توابع غیر تناوبی با دوره 2π.بسط توابع غیر تناوبی به سری فوریه.

توابع زوج و فرد.

تابع y=f(x) فرد گفته می شود اگر f(-x)=-f(x) برای تمام مقادیر x. نمودارهای توابع فرد همیشه نسبت به مبدا متقارن هستند.

بسیاری از توابع نه زوج هستند و نه فرد.

بسط سری فوریه در کسینوس

ضرایب سری فوریه کجاست

سری فوریه یک تابع تناوبی فرد f(x) با دوره 2π فقط شامل جمله هایی با سینوس است (یعنی شامل جمله هایی با کسینوس نیست).

از این رو،

ضرایب سری فوریه کجاست

سری فوریه در نیم سیکل.

اگر می خواهید یک بسط فوریه نیم چرخه کسینوس های تابع f(x) در محدوده 0 تا π بدست آورید، باید یک تابع تناوبی زوج بسازید. در شکل در زیر تابع f(x)=x است که بر اساس بازه x=0 تا x=π ساخته شده است. از آنجایی که تابع زوج نسبت به محور f(x) متقارن است، همانطور که در شکل نشان داده شده است، خط AB را رسم می کنیم. زیر اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده، شکل مثلثی به دست آمده تناوبی با دوره 2π باشد، نمودار نهایی به شکل زیر است: در شکل زیر از آنجایی که باید بسط فوریه را در کسینوس به دست آوریم، مانند قبل، ضرایب فوریه a o و a n را محاسبه می کنیم.

اگر می خواهید توابع f(x) را در محدوده 0 تا π بدست آورید، باید یک تابع دوره ای فرد بسازید. در شکل در زیر تابع f(x)=x است که بر اساس بازه x=0 تا x=π ساخته شده است. از آنجایی که تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است، خط CD را همانطور که در شکل نشان داده شده است می سازیم. اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده سیگنال دندانه اره ای به دست آمده تناوبی با دوره 2π باشد، نمودار نهایی شکل نشان داده شده در شکل را دارد. از آنجایی که باید بسط فوریه نیم سیکل را بر حسب سینوس بدست آوریم، مانند قبل، ضریب فوریه را محاسبه می کنیم. ب

سری فوریه برای یک بازه دلخواه.

بسط یک تابع تناوبی با دوره L.

ضرایب سری فوریه کجاست؟

با این حال، اغلب فرمول فوق منجر به وابستگی به x می شود. از آنجایی که u=2πx/L به معنای du=(2π/L)dx است و حدود ادغام از -L/2 تا L/2 به جای -π تا π است. در نتیجه، سری فوریه برای وابستگی به x شکل دارد

که در محدوده L/2- تا L/2 ضرایب سری فوریه قرار دارند،

(محدودیت های ادغام را می توان با هر فاصله ای به طول L جایگزین کرد، به عنوان مثال، از 0 تا L)

سری فوریه در نیم چرخه برای توابع مشخص شده در بازه L≠2π.

انبساط کسینوس در محدوده 0 تا L شکل دارد

نحوه درج فرمول های ریاضیبه وب سایت؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانطور که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که به طور خودکار توسط Wolfram Alpha تولید می شوند در سایت قرار می گیرند. . علاوه بر سادگی، این روش جهانی به بهبود دید سایت در داخل کمک خواهد کرد موتورهای جستجو. برای مدت طولانی کار کرده است (و، من فکر می کنم، برای همیشه کار خواهد کرد)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.

اگر به طور مرتب از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید - یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به وب سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود دانلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم - پیچیده تر و وقت گیرتر - باعث افزایش سرعت بارگذاری صفحات سایت شما می شود و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، این به هیچ وجه روی سایت شما تأثیر نخواهد گذاشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم زیرا ساده تر، سریع تر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از من پیروی کنید و تنها در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا در صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر لود می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند بی پایان، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.