طرح درس.
1. لحظه سازمانی.
2. ارائه مطالب.
3. تکالیف.
4. جمع بندی درس.
در طول کلاس ها
I. لحظه سازمانی.
II. ارائه مطالب.
انگیزه.
بسط مجموعه اعداد حقیقی شامل افزودن اعداد جدید (خیالی) به اعداد حقیقی است. معرفی این اعداد به دلیل عدم امکان استخراج ریشه یک عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی است.
معرفی مفهوم عدد مختلط.
اعداد خیالی که با آنها اعداد حقیقی را تکمیل می کنیم به شکل نوشته می شوند دو، جایی که منیک واحد خیالی است و i 2 = - 1.
بر این اساس تعریف زیر را از عدد مختلط بدست می آوریم.
تعریف. عدد مختلط بیانی از فرم است a+bi، جایی که آو ب- اعداد واقعی. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:
الف) دو عدد مختلط a 1 + b 1 iو a 2 + b 2 iبرابر اگر و فقط اگر a 1 = a 2, b 1 =b 2.
ب) جمع اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
ج) ضرب اعداد مختلط با قاعده تعیین می شود:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
فرم جبریعدد مختلط.
نوشتن یک عدد مختلط در فرم a+biشکل جبری یک عدد مختلط نامیده می شود که در آن آ- بخش واقعی دوقسمت خیالی است و ب- عدد واقعی
عدد مختلط a+biدر صورتی که اجزای واقعی و خیالی آن برابر با صفر باشند برابر با صفر در نظر گرفته می شود: a = b = 0
عدد مختلط a+biدر b = 0به عنوان یک عدد واقعی در نظر گرفته می شود آ: a + 0i = a.
عدد مختلط a+biدر a = 0صرفاً خیالی نامیده می شود و نشان داده می شود دو: 0 + bi = bi.
دو عدد مختلط z = a + biو = a – bi، که فقط در علامت قسمت خیالی تفاوت دارند، مزدوج نامیده می شوند.
عملیات اعداد مختلط به صورت جبری.
می توانید عملیات زیر را روی اعداد مختلط به صورت جبری انجام دهید.
1) اضافه.
تعریف. مجموع اعداد مختلط z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 iعدد مختلط نامیده می شود z، که قسمت واقعی آن برابر است با مجموع اجزای واقعی z 1و z 2، و قسمت خیالی مجموع اجزای خیالی اعداد است z 1و z 2، به این معنا که z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
شماره z 1و z 2اصطلاحات نامیده می شوند.
جمع اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:
1º. جابجایی: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2 درجه. انجمنی: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3 درجه. عدد مختلط –a –biمخالف یک عدد مختلط نامیده می شود z = a + bi. عدد مختلط، مقابل عدد مختلط z، نشان داده شده است -z. مجموع اعداد مختلط zو -zبرابر با صفر: z + (-z) = 0
مثال 1: جمع را انجام دهید (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) تفریق.
تعریف.از یک عدد مختلط کم کنید z 1عدد مختلط z 2 z،چی z + z 2 = z 1.
قضیه. تفاوت بین اعداد مختلط وجود دارد و منحصر به فرد است.
مثال 2: تفریق را انجام دهید (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (2 - 2) i = 7 - 4i.
3) ضرب.
تعریف. حاصل ضرب اعداد مختلط z 1 =a 1 +b 1 iو z 2 =a 2 +b 2 iعدد مختلط نامیده می شود z، با برابری تعریف می شود: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
شماره z 1و z 2عوامل نامیده می شوند.
ضرب اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:
1º. جابجایی: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2 درجه. انجمنی: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3 درجه. توزیع ضرب نسبت به جمع:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4 درجه z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- عدد واقعی
در عمل، ضرب اعداد مختلط طبق قاعده ضرب یک مجموع در مجموع و جداسازی اجزای واقعی و خیالی انجام می شود.
در مثال زیر ضرب اعداد مختلط را به دو صورت در نظر خواهیم گرفت: با قانون و با ضرب مجموع در مجموع.
مثال 3: ضرب را انجام دهید (2 + 3i) (5 - 7i).
1 راه. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2× 5 - 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.
روش 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) تقسیم.
تعریف. یک عدد مختلط را تقسیم کنید z 1به عدد مختلط z 2، یعنی یافتن چنین عدد مختلطی z، چی z z 2 = z 1.
قضیه.ضریب اعداد مختلط وجود دارد و منحصر به فرد است اگر z 2 ≠ 0 + 0i.
در عمل، ضریب اعداد مختلط با ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج به دست می آید.
اجازه دهید z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i، سپس
.
در مثال زیر با استفاده از فرمول و قانون ضرب در عدد مزدوج مخرج تقسیم را انجام خواهیم داد.
مثال 4. ضریب را پیدا کنید 
.
5) افزایش قدرت کل مثبت.
الف) قوای واحد خیالی.
بهره گیری از برابری i 2 = -1، تعریف هر عدد صحیح مثبت واحد خیالی آسان است. ما داریم:
i 3 = i 2 i = -i،
i 4 = i 2 i 2 = 1،
i 5 = i 4 i = i،
i 6 = i 4 i 2 = -1،
i 7 = i 5 i 2 = -i،
i 8 = i 6 i 2 = 1و غیره.
این نشان می دهد که درجه ارزش دارد که در، جایی که n- یک عدد صحیح مثبت که به طور دوره ای با افزایش شاخص تکرار می شود 4 .
بنابراین، برای افزایش تعداد منبه یک توان کلی مثبت، ما باید توان را بر تقسیم کنیم 4 و ساختن منبه توانی که توان آن برابر با باقیمانده تقسیم است.
مثال 5: محاسبه کنید: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1،
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
ب) افزایش یک عدد مختلط به یک عدد صحیح مثبت طبق قانون افزایش یک دو جمله ای به توان مربوطه انجام می شود، زیرا نشان دهنده آن است. مورد خاصضرب عوامل پیچیده یکسان
مثال 6: محاسبه کنید: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
اعداد مختلط امتدادی از مجموعه اعداد حقیقی هستند که معمولاً با نشان داده می شوند. هر عدد مختلط را می توان به عنوان یک مجموع رسمی نشان داد که در آن و اعداد واقعی هستند و واحد خیالی است.
نوشتن یک عدد مختلط به شکل، شکل جبری یک عدد مختلط نامیده می شود.
خواص اعداد مختلط تفسیر هندسی یک عدد مختلط
اعمال بر روی اعداد مختلط به شکل جبری:
بیایید به قوانینی نگاه کنیم که بر اساس آن عملیات حسابیبیش از اعداد مختلط
اگر دو عدد مختلط α = a + bi و β = c + di داده شوند، آنگاه
α + β = (a + bi) + (c + دی) = (a + ج) + (b + d)i،
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (یازده)
این از تعریف عملیات جمع و تفریق دو جفت مرتب شده از اعداد حقیقی ناشی می شود (به فرمول (1) و (3) مراجعه کنید). قوانین جمع و تفریق اعداد مختلط را دریافت کرده ایم: برای جمع کردن دو عدد مختلط، باید اجزای واقعی آنها و بر این اساس قسمت های خیالی آنها را جداگانه جمع کنیم. برای تفریق عددی دیگر از یک عدد مختلط باید به ترتیب قسمت واقعی و خیالی آنها را کم کرد.
عدد – α = – a – بی را متضاد عدد α = a + bi می گویند. مجموع این دو عدد صفر است: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
برای به دست آوردن قانون ضرب اعداد مختلط، از فرمول (6) استفاده می کنیم، یعنی این واقعیت که i2 = -1 است. با در نظر گرفتن این رابطه، (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd را می‌یابیم، یعنی.
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
این فرمول با فرمول (2) مطابقت دارد که ضرب جفت های مرتب شده اعداد حقیقی را تعیین می کند.
توجه داشته باشید که مجموع و حاصل ضرب دو عدد مزدوج مختلط اعداد حقیقی هستند. در واقع، اگر α = a + bi، = a – bi، آنگاه α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2، α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a، i.e.
α + = 2a، α = a2 + b2. (13)
هنگام تقسیم دو عدد مختلط به شکل جبری، باید انتظار داشت که ضریب نیز با عددی از همان نوع بیان شود، یعنی α/β = u + vi، که در آن u، v R. اجازه دهید قانون تقسیم اعداد مختلط را استخراج کنیم. . اجازه دهید اعداد α = a + bi، β = c + di داده شوند، و β ≠ 0، یعنی c2 + d2 ≠ 0. آخرین نابرابری به این معنی است که c و d به طور همزمان ناپدید نمی شوند (این مورد حذف می شود زمانی که c = 0 باشد. d = 0). با استفاده از فرمول (12) و دوم از برابری ها (13)، متوجه می شویم:
بنابراین، ضریب دو عدد مختلط با فرمول تعیین می شود:
مطابق با فرمول (4).
با استفاده از فرمول به دست آمده برای عدد β = c + di، می توانید عدد معکوس آن β-1 = 1/β را پیدا کنید. با فرض a = 1، b = 0 در فرمول (14)، به دست می آوریم
این فرمول معکوس یک عدد مختلط معین غیر از صفر را تعیین می کند. این عدد نیز پیچیده است.
به عنوان مثال: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;
عملیات اعداد مختلط به صورت جبری.
55. استدلال یک عدد مختلط. شکل مثلثاتی نوشتن عدد مختلط (مشتق).
Arg.com.numbers. - بین جهت مثبت محور X واقعی و بردار نشان دهنده عدد داده شده.
فرمول تریگون. شماره: ،
شکل جبری نوشتن اعداد مختلط ...................................... ......... ................... | |||
صفحه اعداد مختلط ..................................................... ...................................................... ............................ | |||
اعداد مزدوج مختلط ..................................................... ................................ ................................ ................................ | |||
عملیات با اعداد مختلط به صورت جبری ...................................... ......... .... | |||
جمع اعداد مختلط ..................................................... .......................................................... ................ | |||
تفریق اعداد مختلط ..................................................... ................................ ................................ ...................... | |||
ضرب اعداد مختلط ...................................................... ...................................................... ................. | |||
تقسیم اعداد مختلط ..................................................... .......................................................... ...................... | |||
شکل مثلثاتی نوشتن اعداد مختلط ...................................... ......... .......... | |||
عملیات با اعداد مختلط به صورت مثلثاتی ...................................... ......... | |||
ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی................................................ ........ | |||
تقسیم اعداد مختلط به صورت مثلثاتی................................................ ........ ... | |||
افزایش یک عدد مختلط به یک عدد صحیح مثبت .......................................... ........... | |||
استخراج ریشه یک درجه صحیح مثبت از یک عدد مختلط ................................... | |||
افزایش یک عدد مختلط به توان گویا ...................................... ...................... | |||
سری پیچیده................................................ ................................................... ...................... | |||
سری اعداد مختلط ...................................... ................................ ................................ ................................ | |||
سری قدرت در صفحه مختلط ...................................... .......................................... | |||
دو طرفه سری پاوردر هواپیمای پیچیده...................................................... ..... | |||
توابع یک متغیر مختلط ...................................... ....................................................... | |||
توابع ابتدایی پایه................................................ .......................................................... . | |||
فرمول های اویلر................................................ ................................................... ...................... | |||
شکل نمایی نمایش یک عدد مختلط ...................................... ...................... | |||
رابطه بین توابع مثلثاتی و هذلولی ................................... | |||
تابع لگاریتمی................................................ ................................................... ......... ... | |||
توابع توان عمومی و نمایی ................................................ ........................... | |||
تمایز توابع یک متغیر مختلط .......................................... ......... ... | |||
شرایط کوشی-ریمان ..................................................... ................................................... ............. | |||
فرمول های محاسبه مشتق ...................................... .......................................... | |||
ویژگی های عملیات تمایز ..................................................... ...................................................... ... | |||
ویژگی های اجزای واقعی و خیالی یک تابع تحلیلی ................................ | |||
بازسازی تابع یک متغیر مختلط از واقعی یا خیالی آن |
|||
روش شماره 1. استفاده از انتگرال منحنی................................................ ......... | |||
روش شماره 2. کاربرد مستقیم شرایط کوشی-ریمان ...................................... | |||
روش شماره 3. از طریق مشتق تابع جستجو شده ...................................... ........ ......... | |||
ادغام توابع یک متغیر مختلط.......................................... ......... .......... | |||
فرمول کوشی انتگرال.......................................... ................................................... ............. | |||
بسط توابع در سری تیلور و لورن .......................................... .......................................... | |||
صفرها و نقاط مفرد تابعی از یک متغیر مختلط .......................................... ...................... | |||
صفرهای تابع یک متغیر مختلط .......................................... .......................................... | |||
نقاط مفرد جدا شده از یک تابع از یک متغیر مختلط................................. | |||
14.3 یک نقطه در بی نهایت به عنوان یک نقطه منفرد تابعی از یک متغیر مختلط
کسر................................................. .......................................................... .......................................................... ... | |||
کسر در نقطه پایانی ...................................... .......................................................... ............. | |||
باقیمانده تابع در نقطه ای در بینهایت ...................................... ........... ............... | |||
محاسبه انتگرال ها با استفاده از باقیمانده ها ...................................... ....................................... | |||
سوالات خودآزمایی................................................ ...................................................... ...................................... | |||
ادبیات................................................. ................................................ .......................................... | |||
نمایه موضوع................................................ ................................................ ........................ | |||
پیشگفتار
توزیع صحیح زمان و تلاش هنگام آماده شدن برای بخش های نظری و عملی یک آزمون یا گواهینامه پودمان بسیار دشوار است، به خصوص که همیشه زمان کافی در طول جلسه وجود ندارد. و همانطور که تمرین نشان می دهد، همه نمی توانند با این کار کنار بیایند. در نتیجه، در طول امتحان، برخی از دانش آموزان مسائل را به درستی حل می کنند، اما پاسخ دادن به ساده ترین آنها دشوار است مسائل نظری، در حالی که دیگران می توانند قضیه را فرموله کنند، اما نمی توانند آن را اعمال کنند.
این دستورالعمل برای آمادگی برای امتحان در درس "نظریه توابع یک متغیر پیچیده" (TFCP) تلاشی برای حل این تناقض و اطمینان از تکرار همزمان مطالب نظری و عملی درس است. با هدایت اصل "تئوری بدون عمل مرده است، عمل بدون نظریه کور است"، آنها شامل مفاد نظری دوره در سطح تعاریف و فرمول‌بندی و همچنین مثال‌هایی هستند که کاربرد هر موقعیت نظری را نشان می‌دهند و در نتیجه تسهیل می‌کنند. به خاطر سپردن و درک آن
هدف از پیشنهاد توصیه های روش شناختی- به دانش آموز کمک کنید تا برای امتحان در سطح پایه آماده شود. به عبارت دیگر، یک کتاب مرجع کار توسعه یافته حاوی نکات اصلی مورد استفاده در کلاس های درس TFKP و ضروری در هنگام اجرا تدوین شده است. مشق شبو آمادگی برای رویدادهای کنترلی بعلاوه کار مستقلدانش آموزان، این نشریه آموزشی الکترونیکی را می توان در هنگام برگزاری کلاس ها استفاده کرد فرم تعاملیبا استفاده از یک برد الکترونیکی یا برای قرار دادن در یک سیستم آموزش از راه دور.
لطفاً توجه داشته باشید که این اثر جایگزین کتاب‌های درسی یا یادداشت‌های سخنرانی نمی‌شود. برای مطالعه عمیق مطالب، توصیه می شود به بخش های مربوطه منتشر شده توسط MSTU مراجعه کنید. N.E. کتاب درسی پایه باومن.
در پایان راهنما فهرستی از ادبیات توصیه شده و فهرست موضوعی وجود دارد که شامل همه موارد برجسته شده در متن است. کج با حروف درشتمقررات. این فهرست شامل پیوندهایی به بخش هایی است که در آنها این اصطلاحات به طور دقیق تعریف یا توصیف شده اند و مثال هایی برای نشان دادن استفاده از آنها ارائه شده است.
این راهنما برای دانشجویان سال دوم تمام دانشکده های MSTU در نظر گرفته شده است. N.E. باومن.
1. شکل جبری نوشتن یک عدد مختلط
علامت گذاری به شکل z = x + iy، که در آن x،y اعداد واقعی هستند، i یک واحد خیالی است (یعنی i 2 = - 1)
شکل جبری نوشتن عدد مختلط z نامیده می شود. در این حالت x را جزء واقعی یک عدد مختلط می نامند و با Re z نشان داده می شود (x = Re z)، y را قسمت خیالی یک عدد مختلط می گویند و با Im z نشان داده می شود (y = Im z).
مثال. عدد مختلط z = 4− 3i دارای یک قسمت واقعی Rez = 4 و یک قسمت خیالی Imz = − 3 است.
2. صفحه اعداد مختلط
که در تئوری های توابع یک متغیر مختلط در نظر گرفته شده استصفحه اعداد مختلط، که با یا با استفاده از حروف نشان دهنده اعداد مختلط z، w و غیره نشان داده می شود.
محور افقی صفحه مختلط نامیده می شود محور واقعیاعداد حقیقی z = x + 0i = x روی آن قرار می گیرند.
محور عمودی صفحه مختلط را محور خیالی می نامند.
3. اعداد مزدوج مختلط
اعداد z = x + iy و z = x − iy نامیده می شوند مزدوج پیچیده. در صفحه مختلط آنها با نقاطی مطابقت دارند که نسبت به محور واقعی متقارن هستند.
4. عملیات با اعداد مختلط به صورت جبری
4.1 جمع اعداد مختلط
مجموع دو عدد مختلط | z 1 = x 1 + iy 1 | و z 2 = x 2 + iy 2 عدد مختلط نامیده می شود |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | عمل | علاوه بر این |
||||||||||
اعداد مختلط شبیه عمل جمع دوجمله ای جبری است. | |||||||||||||
مثال. مجموع دو عدد مختلط z 1 = 3 + 7i و z 2 | = -1 +2 i | یک عدد مختلط خواهد بود |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(-1 +2 i) =(3 −1) +(7 +2) i =2 +9 i. | |||||||||||||
به طور مشخص، | به صورت جامع جمع آوری شود | مزدوج | است | واقعی | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 تفریق اعداد مختلط | |||||||||||||
تفاوت دو عدد مختلط z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | تماس گرفت | جامع |
||||||||||
عدد z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
مثال. تفاوت دو عدد مختلط | z 1 = 3-4 i | و z 2 | = -1 +2 i | جامع وجود خواهد داشت |
|||||||||
عدد z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
با تفاوت | مزدوج پیچیده | است | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 ضرب اعداد مختلط | |||||||||||||
حاصل ضرب دو عدد مختلط | z 1 = x 1 + iy 1 | و z 2= x 2+ iy 2 | پیچیده نامیده می شود |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1) (x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
بنابراین، عملیات ضرب اعداد مختلط مشابه عملیات ضرب دوجمله‌ای جبری است، با در نظر گرفتن این واقعیت که i 2 = - 1 است.
صفحه 2 از 3
شکل جبری یک عدد مختلط.
جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد مختلط.
ما قبلاً با شکل جبری یک عدد مختلط آشنا شده ایم - این شکل جبری یک عدد مختلط است. چرا از فرم صحبت می کنیم؟ واقعیت این است که اشکال مثلثاتی و نمایی اعداد مختلط نیز وجود دارد که در پاراگراف بعدی به آنها پرداخته خواهد شد.
عملیات با اعداد مختلط چندان دشوار نیستند و تفاوت چندانی با جبر معمولی ندارند.
جمع اعداد مختلط
مثال 1
دو عدد مختلط را اضافه کنید،
برای جمع کردن دو عدد مختلط، باید بخش واقعی و تخیلی آنها را اضافه کنید:
ساده است، اینطور نیست؟ این عمل آنقدر واضح است که نیازی به نظرات اضافی ندارد.
به این روش ساده می توانید مجموع هر تعداد عبارت را پیدا کنید: مجموع اجزای واقعی و مجموع اجزای خیالی.
برای اعداد مختلط، قانون کلاس اول معتبر است: 
- تنظیم مجدد شرایط، مجموع را تغییر نمی دهد.
تفریق اعداد مختلط
مثال 2
تفاوت بین اعداد مختلط را بیابید و اگر
عمل شبیه به جمع است، تنها ویژگی این است که زیرنویس باید در پرانتز قرار گیرد و سپس پرانتزها باید به روش استاندارد با تغییر علامت باز شوند:
نتیجه نباید گیج کننده باشد. به سادگی قسمت واقعی ترکیب است: . برای وضوح، پاسخ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: .
بیایید تفاوت دوم را محاسبه کنیم:
در اینجا قسمت واقعی نیز ترکیبی است:
برای جلوگیری از هر گونه کم بیانی، خواهم داد مثال کوتاهبا قسمت خیالی “بد”: . در اینجا دیگر نمی توانید بدون پرانتز انجام دهید.
ضرب اعداد مختلط
زمان آن فرا رسیده است که شما را با برابری معروف آشنا کنیم:
مثال 3
حاصل ضرب اعداد مختلط را پیدا کنید،
بدیهی است که کار باید به این صورت نوشته شود:
این چه چیزی را نشان می دهد؟ التماس می کند که براکت ها را طبق قانون ضرب چندجمله ای ها باز کنید. این چیزی است که شما باید انجام دهید! همه عملیات جبری برای شما آشنا هستند، نکته اصلی این است که آن را به خاطر بسپارید و مراقب باشید.
اجازه دهید، اومگ، قانون مدرسه برای ضرب چند جمله ای ها را تکرار کنیم: برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله چند جمله ای دیگر ضرب کنید.
من آن را با جزئیات می نویسم:
امیدوارم برای همه روشن شده باشد
توجه، و دوباره توجه، اغلب اشتباهات در نشانه ها انجام می شود.
مثل مجموع، حاصل ضرب اعداد مختلط قابل تبدیل است، یعنی برابری صادق است: .
که در ادبیات آموزشیو در اینترنت می توان فرمول خاصی برای محاسبه حاصل ضرب اعداد مختلط پیدا کرد. اگر می خواهید از آن استفاده کنید، اما به نظر من روش ضرب چند جمله ای جهانی تر و واضح تر است. من فرمول را نمی دهم، فکر می کنم که در در این مورد- این سرت پر از خاک اره است.
تقسیم اعداد مختلط
مثال 4
با توجه به اعداد مختلط، . ضریب را پیدا کنید.
بیایید یک ضریب بسازیم:
تقسیم اعداد انجام می شود با ضرب مخرج و صورت در عبارت مزدوج مخرج.
بیایید فرمول ریشو را به یاد بیاوریم و به مخرج خود نگاه کنیم: . مخرج قبلاً دارد، بنابراین عبارت مزدوج در این مورد است، یعنی
طبق قاعده، مخرج باید در ضرب شود، و برای اینکه چیزی تغییر نکند، صورت باید در همان عدد ضرب شود:
من آن را با جزئیات می نویسم:
من یک مثال "خوب" را انتخاب کردم: اگر دو عدد را "از ابتدا" بگیرید، در نتیجه تقسیم تقریبا همیشه کسری خواهید داشت، چیزی شبیه به .
در برخی موارد، قبل از تقسیم کسری، توصیه می شود آن را ساده کنید، به عنوان مثال، ضریب اعداد را در نظر بگیرید: . قبل از تقسیم، از شر منفی های غیر ضروری خلاص می شویم: در صورت و مخرج، منهای را از داخل پرانتز خارج می کنیم و این منفی ها را کاهش می دهیم: 
. برای کسانی که دوست دارند مشکلات را حل کنند، این پاسخ صحیح است:
به ندرت، اما وظیفه زیر رخ می دهد:
مثال 5
یک عدد مختلط داده شده است. این عدد را به صورت جبری (یعنی به شکل) بنویسید.
تکنیک یکسان است - مخرج و صورت را در عبارت مزدوج به مخرج ضرب می کنیم. بیایید دوباره به فرمول نگاه کنیم. مخرج قبلاً حاوی است، بنابراین مخرج و صورت باید در عبارت مزدوج ضرب شوند، یعنی در:
در عمل، آنها به راحتی می توانند یک مثال پیچیده ارائه دهند که در آن شما نیاز به انجام بسیاری از عملیات با اعداد مختلط دارید. وحشت نکنید: مراقب باش، قوانین جبر را، رویه معمول جبری، رعایت کنید و به یاد داشته باشید که .
شکل مثلثاتی و نمایی اعداد مختلط
در این پاراگراف موارد بیشتری وجود دارد صحبت خواهیم کرددر مورد شکل مثلثاتی یک عدد مختلط شکل نمایشی در وظایف عملیبسیار کمتر رخ می دهد. توصیه می کنم جداول مثلثاتی را دانلود و در صورت امکان چاپ کنید. مواد روش شناختیرا می توان در صفحه یافت فرمول های ریاضیو جداول. بدون میز نمی توانید راه زیادی را طی کنید.
هر عدد مختلط (به جز صفر) را می توان به صورت مثلثاتی نوشت: 
، کجاست مدول یک عدد مختلط، آ - آرگومان عدد مختلط. فرار نکنیم، همه چیز ساده تر از چیزی است که به نظر می رسد.
اجازه دهید عدد را در صفحه مختلط نشان دهیم. برای قطعیت و سادگی توضیح، آن را در ربع مختصات اول قرار می دهیم، یعنی. ما معتقدیم که:
مدول یک عدد مختلطفاصله مبدا تا نقطه مربوطه در صفحه مختلط است. به زبان ساده، ماژول طول استبردار شعاع که با رنگ قرمز در نقاشی نشان داده شده است.
مدول یک عدد مختلط معمولاً با: یا نشان داده می شود
با استفاده از قضیه فیثاغورث، به راحتی می توان فرمولی برای یافتن مدول یک عدد مختلط بدست آورد: . این فرمولنمایشگاه برای هرچیبه معنای «الف» و «بودن».
توجه داشته باشید: مدول یک عدد مختلط تعمیم مفهوم است مدول یک عدد واقعی، به عنوان فاصله از یک نقطه تا مبدا.
استدلال یک عدد مختلطتماس گرفت گوشهبین نیم محور مثبتمحور واقعی و بردار شعاع رسم شده از مبدا تا نقطه مربوطه. استدلال برای تعریف نشده است مفرد: .
اصل مورد بحث در واقع مشابه است مختصات قطبی، که در آن شعاع قطبی و زاویه قطبی به طور منحصر به فردی نقطه را مشخص می کند.
آرگومان یک عدد مختلط به طور استاندارد نشان داده می شود: یا
از ملاحظات هندسی، فرمول زیر را برای یافتن استدلال به دست می آوریم:
. توجه!این فرمول فقط در نیم صفحه سمت راست کار می کند! اگر عدد مختلط در ربع مختصات 1 یا 4 قرار نگیرد، فرمول کمی متفاوت خواهد بود. این موارد را نیز تحلیل خواهیم کرد.
اما ابتدا بیایید ساده‌ترین مثال‌ها را در زمانی که اعداد مختلط روی محورهای مختصات قرار دارند، بررسی کنیم.
مثال 7
بیایید نقاشی را انجام دهیم:
در واقع تکلیف شفاهی است. برای وضوح، شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را بازنویسی می کنم: 
بیایید ماژول را محکم به خاطر بسپاریم - طول(که همیشه غیر منفی است)، استدلال است گوشه.
1) عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم. بیایید مدول و آرگومان آن را پیدا کنیم. بدیهی است که. محاسبه رسمی با استفاده از فرمول: .
واضح است که (عدد مستقیماً روی نیم محور مثبت واقعی قرار دارد). بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است: 
.
عمل بررسی معکوس مانند روز واضح است:
2) اجازه دهید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. بیایید مدول و آرگومان آن را پیدا کنیم. بدیهی است که. محاسبه رسمی با استفاده از فرمول: .
بدیهی است (یا 90 درجه). در نقاشی، گوشه با رنگ قرمز نشان داده شده است. بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است: 
.
استفاده از جدول مقادیر توابع مثلثاتی، به راحتی می توان شکل جبری عدد را برگرداند (همزمان با انجام بررسی):
3) عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم. بیایید مدول و آرگومان آن را پیدا کنیم. بدیهی است که. محاسبه رسمی با استفاده از فرمول: .
بدیهی است (یا 180 درجه). در نقاشی گوشه با رنگ آبی نشان داده شده است. بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است: 
.
معاینه:
4) و چهارم مورد جالب. بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. بیایید مدول و آرگومان آن را پیدا کنیم. بدیهی است که محاسبه رسمی با استفاده از فرمول: .
استدلال را می توان به دو صورت نوشت: راه اول: (270 درجه) و بر این اساس: 
. معاینه:
با این حال، قانون زیر استانداردتر است: اگر زاویه بیشتر از 180 درجه باشد، سپس با علامت منفی و جهت مخالف ("پیمایش") زاویه نوشته می شود: (منهای 90 درجه)، زاویه در نقاشی مشخص شده است. سبز. به راحتی می توان آن را دید و همان زاویه است.
بنابراین، ورودی به شکل زیر است: 
توجه!در هیچ موردی نباید از برابری کسینوس، عجیب بودن سینوس استفاده کنید و نماد را "ساده" کنید:
به هر حال، یادآوری آن مفید است ظاهرو خواص توابع مثلثاتی و معکوس، مواد مرجع در آخرین پاراگراف های صفحه می باشد. نمودارها و خواص اصلی توابع ابتدایی . و اعداد مختلط بسیار ساده تر یاد خواهند گرفت!
در طراحی ساده‌ترین مثال‌ها باید نوشت: «معلوم است که ماژول برابر است... واضح است که آرگومان برابر است با...». این واقعا واضح است و به راحتی قابل حل است.
بیایید به بررسی موارد رایج تر بپردازیم. همانطور که قبلاً اشاره کردم، هیچ مشکلی با ماژول وجود ندارد، شما همیشه باید از فرمول استفاده کنید. اما فرمول های پیدا کردن آرگومان متفاوت خواهد بود، بستگی به این دارد که عدد در کدام یک از ربع مختصات قرار دارد. در این مورد، سه گزینه ممکن است (کپی کردن آنها در دفترچه یادداشت مفید است):
1) اگر (ربع مختصات 1 و 4، یا نیمه صفحه راست)، آرگومان باید با استفاده از فرمول پیدا شود.
2) اگر (ربع مختصات دوم)، آرگومان باید با استفاده از فرمول پیدا شود 
.
3) اگر (سه ماهه مختصات 3)، آرگومان باید با استفاده از فرمول پیدا شود 
.
مثال 8
اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی نشان دهید: , , , .
از آنجایی که فرمول های آماده وجود دارد، نیازی به تکمیل نقشه نیست. اما یک نکته وجود دارد: وقتی از شما خواسته می شود که یک عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهید، پس به هر حال بهتر است نقاشی را انجام دهید. واقعیت این است که راه حل بدون نقاشی اغلب توسط معلمان رد می شود.
اوه، من صد سال است که با دست چیزی نکشیده ام، شما بروید:
مثل همیشه کمی کثیف شد =)
من اعداد را ارائه می کنم و به صورت مختلط، اعداد اول و سوم برای حل مستقل خواهد بود.
بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. بیایید مدول و آرگومان آن را پیدا کنیم.
