معادلات ناهمگن مرتبه دوم. معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم

مبانی حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم (LNDU-2) با ضرایب ثابت(کامپیوتر)

یک LDDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت $p$ و $q$ به شکل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، جایی که $f\left(x است. \right)$ یک تابع پیوسته است.

در مورد LNDU 2 با PC، دو عبارت زیر درست است.

اجازه دهید فرض کنیم که برخی از تابع $U$ یک راه حل جزئی دلخواه یک معادله دیفرانسیل ناهمگن است. همچنین فرض کنید که برخی از تابع $Y$ جواب کلی (GS) معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ است. سپس GS از LHDE-2 برابر است با مجموع راه حل های خصوصی و عمومی نشان داده شده، یعنی $y=U+Y$.

اگر سمت راست یک LMDE مرتبه دوم مجموع توابع باشد، یعنی $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$، سپس ابتدا می توانیم PD های $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ را پیدا کنیم. به هر یک از توابع $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ و بعد از آن CR LNDU-2 را به شکل $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ بنویسید.

راه حل LPDE مرتبه دوم با کامپیوتر

واضح است که نوع PD $U$ یک LNDU-2 معین به شکل خاص سمت راست آن $f\left(x\right)$ بستگی دارد. ساده ترین موارد جستجوی PD LNDU-2 در قالب چهار قانون زیر فرموله شده است.

قانون شماره 1.

سمت راست LNDU-2 به شکل $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ است که $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، یعنی a نامیده می شود چند جمله ای درجه $n$. سپس PD $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ جستجو می شود که $Q_(n) \left(x\right)$ دیگری است. چند جمله ای به همان درجه $P_(n) \left(x\right)$ و $r$ تعداد ریشه ها است معادله مشخصهمربوط به LOD-2، برابر با صفر است. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش ضرایب نامعین (UK) یافت می شود.

قانون شماره 2.

سمت راست LNDU-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $n$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(n ) \ left(x\right)$ چند جمله‌ای دیگر با همان درجه $P_(n) \left(x\right)$ است و $r$ تعداد ریشه‌های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. برابر با $\alpha $. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش NC پیدا می شود.

قانون شماره 3.

سمت راست LNDU-2 به شکل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x است. \right) $، که در آن $a$، $b$ و $\beta$ هستند اعداد شناخته شده. سپس PD $U$ آن به شکل $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) جستجو می‌شود. \right )\cdot x^(r) $، که در آن $A$ و $B$ ضرایب مجهول هستند، و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه، برابر با $i\cdot است. \بتا $. ضرایب $A$ و $B$ با استفاده از روش غیر مخرب یافت می شوند.

قانون شماره 4.

سمت راست LNDU-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ است که $P_(n) \left(x\right)$ است. یک چند جمله ای درجه $ n$، و $P_(m) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $m$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $، جایی که $Q_(s) \left(x\right)$ جستجو می‌شود. و $ R_(s) \left(x\right)$ چند جمله ای درجه $s$ هستند، عدد $s$ حداکثر دو عدد $n$ و $m$ است و $r$ تعداد ریشه ها است. معادله مشخصه LODE-2 مربوطه، برابر با $\alpha +i\cdot \beta $. ضرایب چند جمله‌ای $Q_(s) \left(x\right)$ و $R_(s) \left(x\right)$ با روش NC پیدا می‌شوند.

روش NK شامل اعمال قانون زیر است. برای یافتن ضرایب مجهول چند جمله ای که بخشی از حل جزئی معادله دیفرانسیل ناهمگن LNDU-2 هستند، لازم است:

• PD $U$ نوشته شده را جایگزین کنید نمای کلی، V سمت چپ LNDU-2;
• در سمت چپ LNDU-2، ساده‌سازی‌ها را انجام دهید و اصطلاحات را با همان قدرت‌های $x$ گروه‌بندی کنید.
• در هویت به دست آمده، ضرایب عبارت ها را با قدرت های یکسان $x$ سمت چپ و راست برابر کنید.
• سیستم حاصل را حل کنید معادلات خطینسبت به ضرایب مجهول

مثال 1

وظیفه: پیدا کردن OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. همچنین PD را پیدا کنید با شرایط اولیه $y=6$ برای $x=0$ و $y"=1$ برای $x=0$.

LOD-2 مربوطه را یادداشت می کنیم: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

معادله مشخصه: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ریشه های معادله مشخصه عبارتند از: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. این ریشه ها معتبر و متمایز هستند. بنابراین، OR مربوط به LODE-2 شکل دارد: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

سمت راست این LNDU-2 به شکل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است. در نظر گرفتن ضریب توان $\alpha =3$ ضروری است. این ضریب با هیچ یک از ریشه های معادله مشخصه منطبق نیست. بنابراین، PD این LNDU-2 به شکل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است.

ضرایب $A$, $B$ را با استفاده از روش NC جستجو می کنیم.

اولین مشتق جمهوری چک را پیدا می کنیم:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \راست)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

مشتق دوم جمهوری چک را پیدا می کنیم:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما توابع $U""$، $U"$ و $U$ را به جای $y""$، $y"$ و $y$ در NLDE-2 $y""-3\cdot y" جایگزین می کنیم. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $). در تمام مولفه ها، می توان آن را حذف کرد:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

اعمال را در سمت چپ برابری حاصل انجام می دهیم:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ما از روش NDT استفاده می کنیم. ما یک سیستم معادلات خطی با دو مجهول به دست می آوریم:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

راه حل این سیستم این است: $A=-2$، $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ برای مشکل ما به این شکل است: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ برای مشکل ما به این صورت است: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

برای پیدا کردن یک PD که شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند، مشتق $y"$ OP را پیدا می کنیم:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

شرایط اولیه $y=6$ را برای $x=0$ و $y"=1$ را برای $x=0$ با $y$ و $y"$ جایگزین می کنیم:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ما یک سیستم معادلات دریافت کردیم:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

حلش کنیم ما $C_(1) $ را با استفاده از فرمول Cramer پیدا می کنیم و $C_(2) $ را از معادله اول تعیین می کنیم:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

بنابراین، PD این معادله دیفرانسیل شکل دارد: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

در این سخنرانی، LNDE ها مورد مطالعه قرار می گیرند - ناهمگن خطی معادلات دیفرانسیل.

ساختار راه حل کلی در نظر گرفته شده است، راه حل LPDE با روش تغییر ثابت های دلخواه، راه حل LDDE با ضرایب ثابت و سمت راست یک فرم خاص. موضوعات مورد بررسی در مطالعه نوسانات اجباری در فیزیک، مهندسی برق و الکترونیک و تئوری کنترل خودکار استفاده می شود.

1. ساختار حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 2.

اجازه دهید ابتدا یک معادله ناهمگن خطی با نظم دلخواه را در نظر بگیریم:

با در نظر گرفتن نماد، می توانیم بنویسیم:

در این صورت فرض می کنیم که ضرایب و سمت راست این معادله در یک بازه مشخص پیوسته هستند. قضیه.

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی در یک حوزه معین، مجموع هر یک از جواب های آن و حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه است.اثبات

فرض کنید Y حل معادله ناهمگن باشد.

سپس، هنگام جایگزینی این راه حل به معادله اصلی، هویت را به دست می آوریم:
- اجازه دهیدسیستم بنیادی راه حل های خطی
معادله همگن . سپسراه حل کلی

معادله همگن را می توان به صورت زیر نوشت:

به طور خاص، برای یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 2، ساختار جواب کلی به شکل زیر است:
سیستم اساسی حل معادله همگن مربوطه است و
- هر راه حل خاصی از یک معادله ناهمگن.

بنابراین، برای حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی، باید یک راه حل کلی برای معادله همگن مربوطه پیدا کرد و به نحوی یک راه حل خاص پیدا کرد. معادله ناهمگن. معمولاً با انتخاب پیدا می شود. در سوالات زیر روش هایی را برای انتخاب راه حل خصوصی در نظر خواهیم گرفت.

2. روش تنوع

در عمل، استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه راحت است.

برای انجام این کار، ابتدا یک جواب کلی برای معادله همگن مربوطه به شکل زیر پیدا کنید:

سپس ضرایب را تنظیم کنید سی منتوابع از X، یک راه حل برای معادله ناهمگن جستجو می شود:

می توان ثابت کرد که برای یافتن توابع سی من (x) ما باید سیستم معادلات را حل کنیم:

مثال.معادله را حل کنید

حل معادله همگن خطی

جواب معادله ناهمگن به شکل زیر خواهد بود:

بیایید یک سیستم معادلات ایجاد کنیم:

بیایید این سیستم را حل کنیم:

از رابطه تابع را پیدا می کنیم اوه).

حالا پیدا می کنیم B(x).

مقادیر به دست آمده را با فرمول حل کلی معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

پاسخ نهایی:

به طور کلی، روش تغییر ثابت های دلخواه برای یافتن راه حل برای هر معادله ناهمگن خطی مناسب است. اما چون یافتن سیستم اساسی از راه حل های معادله همگن مربوطه می تواند کار بسیار دشواری باشد. این روش عمدتاً برای معادلات ناهمگن با ضرایب ثابت استفاده می شود.

3. معادلات با سمت راست یک فرم خاص

به نظر می رسد می توان نوع یک راه حل خاص را بسته به نوع سمت راست معادله ناهمگن تصور کرد.

موارد زیر متمایز می شوند:

I. سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به شکل زیر است:

که در آن چند جمله ای درجه است متر.

سپس یک راه حل خاص به شکل زیر جستجو می شود:

اینجا س(x) - چند جمله ای با همان درجه پ(x) ، اما با ضرایب نامشخص، و r- عددی که نشان می دهد چند برابر عدد  ریشه معادله مشخصه معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه است.

مثال.معادله را حل کنید
.

اجازه دهید معادله همگن مربوطه را حل کنیم:

حال بیایید یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن اصلی پیدا کنیم.

بیایید سمت راست معادله را با شکل سمت راست که در بالا بحث شد مقایسه کنیم.

ما به دنبال یک راه حل خاص در این شکل هستیم:
، کجا

آن ها

حالا بیایید ضرایب مجهول را تعیین کنیم الفو در.

اجازه دهید راه حل خاص را به شکل کلی با معادله دیفرانسیل ناهمگن اصلی جایگزین کنیم.

راه حل کل، خصوصی:

سپس جواب کلی یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به صورت زیر است:

II.

اینجا سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به شکل زیر است: 1 آر(X) سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به شکل زیر است: 2 آرو متر- چند جمله ای های درجه متر 2 1 و

به ترتیب.

سپس یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن به شکل زیر خواهد بود: rشماره کجاست
چند برابر یک عدد را نشان می دهد س 1 (x) و س 2 (x) ریشه معادله مشخصه معادله همگن مربوطه است و متر- چند جمله‌ای درجه‌ای که بیشتر از آن نباشد متر، کجا متر 1 - بزرگترین درجه متر 2 .

و

جدول خلاصه انواع راه حل های خصوصی

ریشه های معادله تعدد مشخصه هستند

توجه داشته باشید که اگر سمت راست معادله ترکیبی از عباراتی از نوع در نظر گرفته شده در بالا باشد، آنگاه راه حل به صورت ترکیبی از جواب های معادلات کمکی است که هر کدام سمت راستی مطابق با عبارت موجود دارند. در ترکیب
آن ها اگر معادله باشد:
، سپس یک راه حل خاص برای این معادله خواهد بود کجا 1 (X) کجا 2 در

(X)

- راه حل های خاص معادلات کمکی

مثال.معادله را حل کنید

برای توضیح، بیایید مثال بالا را به روش دیگری حل کنیم. اجازه دهید سمت راست معادله دیفرانسیل را به صورت مجموع دو تابع نشان دهیم 1 (x) + اجازه دهید سمت راست معادله دیفرانسیل را به صورت مجموع دو تابع نشان دهیم 2 (x) = x + (- f x).

گناه

بیایید معادله مشخصه را بسازیم و حل کنیم:

می گیریم: یعنی.

مجموع:

آن ها راه حل خاص مورد نیاز به شکل زیر است:

حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن:

بیایید به نمونه هایی از کاربرد روش های توصیف شده نگاه کنیم.معادله را حل کنید

مثال 1..

اجازه دهید یک معادله مشخصه برای معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه بسازیم:

اکنون یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن به شکل زیر پیدا می کنیم:

از روش ضرایب نامشخص استفاده می کنیم.

با جایگزینی معادله اصلی، دریافت می کنیم:

یک راه حل خاص به شکل زیر است:

مثال.معادله را حل کنید

حل کلی معادله ناهمگن خطی:

معادله مشخصه:

حل کلی معادله همگن:
.

حل خاص معادله ناهمگن:

مشتقات را پیدا کرده و آنها را در معادله ناهمگن اصلی جایگزین می کنیم:

ما یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل ناهمگن به دست می آوریم:

ساختار راه حل کلی یک معادله خطی ناهمگن از این نوع به شکل زیر است: کجا ص, q- اعداد ثابت (که می توانند واقعی یا مختلط باشند). برای هر یک از این معادله ها می توانیم معادله مربوطه را بنویسیم: معادله همگنقضیه : جواب کلی یک معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی است 0 (x y : جواب کلی یک معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی است 1 (x) معادله همگن مربوطه و راه حل خاص معادله ناهمگن: در زیر دو روش برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن را در نظر خواهیم گرفت. روش تغییر ثابت ها : جواب کلی یک معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی استاگر راه حل کلی 0 معادله همگن مرتبط شناخته شده است، سپس جواب کلی معادله ناهمگن را می توان با استفاده ازروش تغییرات ثابت . حل کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن به شکل زیر باشد: سیبه جای دائمی سی 1 و سی 1 (x 2 ما توابع کمکی را در نظر خواهیم گرفت سی 2 (x) و ). اجازه دهید سمت راست معادله دیفرانسیل را به صورت مجموع دو تابع نشان دهیم(xما به دنبال این توابع خواهیم بود تا راه حل سی 1 (x 2 ما توابع کمکی را در نظر خواهیم گرفت سی 2 (xمعادله ناهمگن را با سمت راست ارضا کرد ). توابع ناشناخته ) از یک سیستم دو معادله تعیین می شود: اجازه دهید سمت راست معادله دیفرانسیل را به صورت مجموع دو تابع نشان دهیم(xروش ضریب نامشخص سمت راست) یک معادله دیفرانسیل ناهمگن اغلب یک تابع چند جمله ای، نمایی یا مثلثاتی یا ترکیبی از این توابع است. در این مورد، جستجوی راه حل با استفاده از آن راحت تر است روش ضرایب نامشخص. بیایید بر آن تأکید کنیم این روش α فقط برای یک کلاس محدود از توابع در سمت راست کار می کند، مانند در هر دو مورد، انتخاب یک راه حل خاص باید با ساختار سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن مطابقت داشته باشد. در مورد 1، اگر شماره V x تابع نماییبا ریشه معادله مشخصه منطبق است، سپس راه حل خاص حاوی یک عامل اضافی خواهد بود تابع نماییس α ، کجا - تعدد ریشهدر معادله مشخصه در مورد 2، اگر شماره xα + βi با ریشه معادله مشخصه منطبق است، سپس عبارت برای راه حل خاص حاوی یک عامل اضافی خواهد بود . ضرایب ناشناخته را می توان با جایگزین کردن عبارت یافت شده برای یک راه حل خاص در معادله دیفرانسیل ناهمگن اصلی تعیین کرد. اصل برهم نهیاگر سمت راست معادله ناهمگن باشد مقدار

چندین عملکرد فرم

سپس یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل نیز مجموع جواب های جزئی خواهد بود که به طور جداگانه برای هر جمله در سمت راست ساخته شده است. مثال 1حل معادله دیفرانسیل x). y"" + y ابتدا معادله همگن مربوطه را حل می کنیم مثال 1= 0.V در این موردریشه های معادله مشخصه کاملاً تخیلی هستند: در نتیجه، جواب کلی معادله همگن با عبارت داده می شود بیایید دوباره به معادله ناهمگن برگردیم. راه حل آن را در فرم جستجو خواهیم کرد با استفاده از روش تغییرات ثابت توابع سی 1 (x 2 ما توابع کمکی را در نظر خواهیم گرفت سی 2 (x) را می توان از سیستم بعدیمعادلات: بیایید مشتق را بیان کنیم سی 1 " (x) از معادله اول: با جایگزینی معادله دوم، مشتق را پیدا می کنیم سی 2 " (x): به دنبال آن است ادغام عبارات برای مشتقات سی 1 " (x 2 ما توابع کمکی را در نظر خواهیم گرفت سی 2 " (x، دریافت می کنیم: کجا الف 1 , الف 2 - ثابت های ادغام حالا بیایید توابع یافت شده را جایگزین کنیم سی 1 (x 2 ما توابع کمکی را در نظر خواهیم گرفت سی 2 (x) در فرمول برای : جواب کلی یک معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی است 1 (x) و جواب کلی معادله ناهمگن را بنویسید:

مثال 2

جواب کلی معادله را پیدا کنید y"" + y" −6: جواب کلی یک معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی است = 36x. y"" + y از روش ضرایب نامشخص استفاده می کنیم. سمت راست معادله داده شده است اجازه دهید سمت راست معادله دیفرانسیل را به صورت مجموع دو تابع نشان دهیم(x)تابع خطی= تبر + ب . بنابراین، ما به دنبال یک راه حل خاص در فرم خواهیم بود مشتقات برابر هستند: xبا جایگزینی این معادله به معادله دیفرانسیل، دریافت می کنیم: xآخرین معادله یک هویت است، یعنی برای همه معتبر است ، بنابراین ضرایب ترم ها را با درجات یکسان برابر می کنیم الف = −6, در سمت چپ و راست:از سیستم به دست آمده در می یابیم: ب = -1. در نتیجه، راه حل خاص در فرم نوشته می شود حال بیایید جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن را پیدا کنیم. اجازه دهید ریشه های معادله مشخصه کمکی را محاسبه کنیم:

بنابراین، جواب کلی معادله همگن مربوطه به شکل زیر است:

بنابراین، جواب کلی معادله ناهمگن اصلی با فرمول بیان می شود

انتگرال عمومی DE.

حل معادله دیفرانسیل

اما جالب‌ترین چیز این است که پاسخ از قبل مشخص است: به عبارت دقیق‌تر، باید یک ثابت را نیز اضافه کنیم: انتگرال کلی راه‌حلی برای معادله دیفرانسیل است. روش تغییر ثابت های دلخواه نمونه هایی از راه حل هابرای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می شود. این درس برای آن دسته از دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که در حال حاضر کم و بیش به این موضوع مسلط هستند. اگر تازه شروع به آشنایی با کنترل از راه دور کرده اید، یعنی. اگر اهل قوری هستید، توصیه می کنم از درس اول شروع کنید:

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه هایی از راه حل ها

. و اگر در حال اتمام هستید، لطفاً پیش فرض احتمالی دشوار بودن روش را کنار بگذارید. چون ساده است. در چه مواردی از روش تغییرات ثابت دلخواه استفاده می شود؟. از آنجایی که معادله مرتبه اول است، پس ثابت نیز یک است.

2) از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل برخی استفاده می شود معادلات مرتبه دوم ناهمگن خطی. در اینجا دو ثابت متفاوت است.

منطقی است که فرض کنیم درس شامل دو پاراگراف باشد... بنابراین من این جمله را نوشتم و حدود 10 دقیقه به طرز دردناکی به این فکر می کردم که چه مزخرفات هوشمندانه دیگری را می توانم برای انتقال آرام به مثال های عملی اضافه کنم. اما به دلایلی بعد از تعطیلات هیچ فکری نمی کنم، اگرچه به نظر نمی رسد از چیزی سوء استفاده کرده باشم. بنابراین، بیایید مستقیماً به پاراگراف اول برویم.

روش تغییر یک ثابت دلخواه برای یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول

قبل از در نظر گرفتن روش تغییر یک ثابت دلخواه، بهتر است با مقاله آشنا شوید معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول. در آن درس تمرین کردیم راه حل اولناهمگن درجه 1 DE. این اولین راه حل، یادآوری می کنم، نام دارد روش جایگزینییا روش برنولی(با آن اشتباه نشود معادله برنولی!!!)

اکنون نگاه خواهیم کرد راه حل دوم- روش تغییر یک ثابت دلخواه. من فقط سه مثال می زنم و آنها را از درس فوق می گیرم. چرا اینقدر کم؟ زیرا در واقع راه حل در راه دوم بسیار شبیه به راه حل در راه اول خواهد بود. علاوه بر این، با توجه به مشاهدات من، روش تغییر ثابت های دلخواه کمتر از روش جایگزینی استفاده می شود.

مثال 1

جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید (از مثال شماره 2 درس معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)

راه حل:این معادله خطی ناهمگن است و شکلی آشنا دارد:

در مرحله اول، حل یک معادله ساده تر ضروری است: یعنی ما احمقانه سمت راست را صفر می کنیم - به جای آن صفر بنویسیم. من معادله را صدا می زنم معادله کمکی.

در این مثال باید معادله کمکی زیر را حل کنید:

قبل از ما معادله قابل تفکیک، که راه حل آن (امیدوارم) دیگر برای شما سخت نباشد:

بنابراین: – حل کلی معادله کمکی.

در پله دوم جایگزین خواهیم کردمقداری ثابت در حال حاضرتابع ناشناخته که به "x" بستگی دارد:

از این رو نام روش - ما ثابت را تغییر می دهیم. از طرف دیگر، ثابت می تواند تابعی باشد که اکنون باید آن را پیدا کنیم.

در اصلیدر معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

بیایید معادله را جایگزین کنیم:

نقطه کنترل - دو عبارت سمت چپ لغو می شود. اگر این اتفاق نیفتاد، باید به دنبال خطای بالا بگردید.

در نتیجه جایگزینی، معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست آمد. متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم.

چه برکتی است که شارحان نیز لغو می کنند:

یک ثابت "عادی" را به تابع یافت شده اضافه می کنیم:

در مرحله نهایی، جایگزین خود را به یاد می آوریم:

تابع به تازگی پیدا شده است!

بنابراین راه حل کلی این است:

پاسخ:راه حل کلی:

اگر دو راه حل را چاپ کنید، به راحتی متوجه خواهید شد که در هر دو مورد ما انتگرال های یکسانی را پیدا کردیم. تنها تفاوت در الگوریتم حل است.

حالا برای چیز پیچیده تر، در مورد مثال دوم نیز نظر خواهم داد:

مثال 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید (تفاوت از مثال شماره 8 درس معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)

راه حل:بیایید معادله را به شکل زیر در بیاوریم:

بیایید سمت راست را تنظیم مجدد کنیم و معادله کمکی را حل کنیم:

متغیرها را جدا می کنیم و ادغام می کنیم: جواب کلی معادله کمکی:

در معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

طبق قانون تمایز محصول:

اجازه دهید معادله ناهمگن اصلی را جایگزین کنیم:

دو عبارت سمت چپ لغو می شوند، به این معنی که ما در مسیر درستی هستیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم. حرف خوشمزه از فرمول ادغام توسط قطعات قبلاً در راه حل دخیل است ، بنابراین به عنوان مثال از حروف "a" و "be" استفاده می کنیم:

در نتیجه:

حالا بیایید جایگزین را به یاد بیاوریم:

پاسخ:راه حل کلی:

روش تغییر ثابت های دلخواه برای یک معادله خطی ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت

من اغلب این عقیده را شنیده ام که روش تغییر دادن ثابت های دلخواه برای یک معادله مرتبه دوم کار آسانی نیست. اما من موارد زیر را فرض می کنم: به احتمال زیاد، این روش برای بسیاری دشوار به نظر می رسد زیرا اغلب اتفاق نمی افتد. اما در واقعیت هیچ مشکل خاصی وجود ندارد - مسیر تصمیم روشن، شفاف و قابل درک است. و زیبا.

برای تسلط بر روش، مطلوب است که بتوان با انتخاب یک راه حل خاص بر اساس فرم سمت راست، معادلات مرتبه دوم ناهمگن را حل کرد. این روشبه طور مفصل در مقاله مورد بحث قرار گرفته است DEهای مرتبه دوم ناهمگن. به یاد می آوریم که یک معادله ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل زیر است:

روش انتخاب، که در درس بالا مورد بحث قرار گرفت، تنها در موارد محدودی کار می کند که سمت راست شامل چند جمله ای، نمایی، سینوس و کسینوس باشد. اما وقتی در سمت راست، مثلاً کسری، لگاریتم، مماس است، چه باید کرد؟ در چنین شرایطی، روش تغییر ثابت ها به کمک می آید.

مثال 4

جواب کلی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را پیدا کنید

راه حل:کسری در سمت راست این معادله وجود دارد، بنابراین می توان بلافاصله گفت که روش انتخاب یک راه حل خاص کار نمی کند. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

هیچ نشانه ای از رعد و برق وجود ندارد، شروع راه حل کاملاً معمولی است:

پیدا خواهیم کرد راه حل کلیمناسب همگنمعادلات:

گناه - ریشه های پیچیده مزدوج به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

به رکورد راه حل کلی توجه کنید - اگر پرانتز وجود دارد، آنها را باز کنید.

اکنون ما تقریباً همان ترفند معادله مرتبه اول را انجام می دهیم: ثابت ها را تغییر می دهیم و آنها را با توابع مجهول جایگزین می کنیم. یعنی راه حل کلی ناهمگنما به دنبال معادلات به شکل زیر خواهیم بود:

کجا - در حال حاضرتوابع ناشناخته

شبیه محل دفن زباله است زباله های خانگی، اما اکنون همه چیز را مرتب خواهیم کرد.

مجهولات مشتقات توابع هستند. هدف ما یافتن مشتقات است و مشتقات یافت شده باید هر دو معادله اول و دوم سیستم را برآورده کنند.

"یونانی ها" از کجا می آیند؟ لک لک آنها را می آورد. ما به راه حل کلی که قبلاً به دست آمده نگاه می کنیم و می نویسیم:

بیایید مشتقات را پیدا کنیم:

قسمت های سمت چپ پرداخته شده است. سمت راست چیه؟

- این سمت راست است معادله اصلی، در این مورد: