عوامل تعیین کننده و خواص آنها عوامل درجه دوم و خواص آنها

مبحث 1. ماتریس ها و سیستم ها

مفهوم ماتریس

تعریف 1.ماتریس

.

اینجا، a i j (من=1,2,...,متر; j=1,2,...n) - عناصر ماتریس، من- شماره خط، j m=nماتریس نامیده می شود مربعماتریس سفارش n

i¹jبرابر با صفر هستند، نامیده می شود مورب:

تنها

خالیو با θ نشان داده می شود.

- ردیف ماتریس; - ستون ماتریس.

تعیین کننده(یا تعیین کننده).

تعیین کننده های مرتبه دوم

تعریف 2. در باره محدود کننده مرتبه دومماتریس ها ، به این معنا که

. (3)

سایر نامگذاری ها: , .

بنابراین، مفهوم یک تعیین کننده به طور همزمان روشی را برای محاسبه آن پیش‌فرض می‌گیرد. اعداد را عناصر تعیین کننده می نامند. مورب تشکیل شده توسط عناصر نامیده می شود اصلیو عناصر - سمت

مثال 1.تعیین کننده ماتریس برابر است با

.

تعیین کننده های مرتبه سوم

تعریف 2. در باره محدود کننده مرتبه سومعددی است که با نماد نشان داده می شود

,

و با برابری تعریف می شود

شماره - عناصرتعیین کننده عناصر تشکیل می شود خانهمورب، عناصر - سمت.

هنگام محاسبه تعیین کننده، برای اینکه به خاطر بسپارید کدام عبارت در سمت راست برابری (4) با علامت "+" و کدام با علامت "-" گرفته شده است، از قانون نمادین مثلث ها (قانون ساروس) استفاده کنید:

با علامت "+"، محصولات عناصر مورب اصلی و عناصر واقع در رئوس مثلث هایی با پایه های موازی با قطر اصلی گرفته می شود. پس از آن علامت "-" - حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه و عناصر واقع در راس مثلث هایی با پایه های موازی با قطر ثانویه.

محاسبه دترمینانت با استفاده از قانون تخصیص ستون.

1. ستون اول و دوم را به ترتیب به سمت راست تعیین کننده اختصاص می دهیم.

2. ما محصولات سه عنصر را به صورت مورب از چپ به راست، از بالا به پایین از محاسبه می کنیم آ 11 تا آ 13 و آنها را با علامت "+" بگیرید. سپس حاصل ضربات سه عنصر را به صورت مورب از چپ به راست، از پایین به بالا از بالا محاسبه می کنیم آ 31 تا آ 13 و آنها را با علامت "-" بگیرید.

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

مثال 2. تعیین کننده را با استفاده از قانون تخصیص ستون محاسبه کنید.

3. عوامل تعیین کننده n- مرتبه خردسالان و اضافات جبری. محاسبه دترمیناتورها با بسط سطر (ستون).

بیایید مفهوم یک تعیین کننده را در نظر بگیریم n-بدون سفارش تعیین کننده n-مرتبه بالا عدد مرتبط با ماتریس است n-از ترتیب معین و بر اساس قانون معین محاسبه می شود.

,

در اینجا عناصر تعیین کننده هستند. برای نشان دادن قاعده ای که با آن تعیین کننده آشکار می شود n- سفارش دهید، بیایید به برخی از مفاهیم نگاه کنیم.

تعریف 4. جزئیعنصر تعیین کننده nمرتبه را تعیین کننده می نامند ( n- 1) ترتیبی که با خط زدن ردیف و ستون تعیین کننده ای که این عنصر در تقاطع آن قرار دارد به دست می آید.

تعریف 5. متمم جبریبرخی از عناصر تعیین کننده nمرتبه هفتم را مینور این عنصر در ضرب می گویند، یعنی .

در یک تعیین کننده مرتبه سوم می توان به عنوان مثال،

, .

, .

تعریف 6. تعیین کننده n-مرتبه بالاتر عددی است برابر با مجموع حاصل ضرب عناصر ردیف اول تعیین کننده در متمم های جبری آنها.

این قانون برای محاسبه دترمینان نامیده می شود گسترش در امتداد ردیف اول.

قضیه (درباره بسط تعیین کننده).تعیین کننده را می توان با بسط دادن روی هر سطر یا ستون محاسبه کرد.

- مجموع حاصل ضرب عناصر ستون 1 توسط مکمل های جبری ستون 2.

مثال 3. تعیین کننده مرتبه چهارم را محاسبه کنید .

راه حل.خط سوم را در (-1) ضرب می کنیم و به خط چهارم اضافه می کنیم، سپس تعیین کننده را در امتداد خط چهارم گسترش می دهیم:

تعیین کننده مرتبه سوم در امتداد ردیف اول گسترش یافت.

روش گاوس

روش گاوساین است که سیستم اصلی، با حذف مجهول، تبدیل به گام به گامذهن در این حالت، تبدیل‌ها بر روی ردیف‌های ماتریس توسعه‌یافته انجام می‌شوند، زیرا تبدیل‌هایی که مجهولات را حذف می‌کنند، معادل تبدیل‌های ابتدایی ردیف‌های ماتریس هستند.

روش گاوسی شامل سکته مغزی به جلو و معکوس. رویکرد مستقیم روش گاوسی کاهش ماتریس توسعه یافته سیستم (1) به شکل گام به گام با استفاده از تبدیل های ابتدایی بر روی ردیف ها است. پس از آن سیستم از نظر ثبات و قطعیت بررسی می شود. سپس سیستم معادلات با استفاده از ماتریس گام بازسازی می شود. راه حل این سیستم معادلات گام به گام برعکس روش گاوسی است که در آن، با شروع از آخرین معادله، مجهولات با بزرگ شماره سریال، و مقادیر آنها به معادله قبلی سیستم جایگزین می شود.

مطالعه سیستم در انتهای حرکت رو به جلو با توجه به قضیه کرونکر-کاپلی با مقایسه رتبه‌های ماتریس سیستم A و ماتریس توسعه‌یافته A´ انجام می‌شود. موارد زیر ممکن است.

1) اگر ، پس سیستم ناسازگار است (طبق قضیه کرونکر-کاپلی).

2) اگر سیستم (1) قطعی است و بالعکس (بدون اثبات).

3) اگر سیستم (1) نامشخص است و بالعکس (بدون اثبات).

نابرابری از آنجایی که ماتریس A بخشی از ماتریس A' است، نابرابری برقرار نیست، زیرا تعداد ستون های ماتریس A برابر است. پ. علاوه بر این، برای یک سیستم با ماتریس مربع، یعنی اگر پ = تی، برابری ها معادل این واقعیت است که .

اگر سیستم نامشخص باشد، یعنی اجرا شود، برخی از مجهولات آن آزاد اعلام می شود و بقیه از طریق آنها بیان می شود. تعداد مجهولات رایگان است . هنگام اجرای معکوس روش گاوسی، اگر در معادله بعدی، پس از جایگزینی متغیرهای قبلاً یافت شده، بیش از یک مجهول باقی بماند، هر مجهولی به جز یکی مجهول آزاد اعلام می شود.

بیایید پیاده سازی روش گاوس را با استفاده از مثال ها بررسی کنیم.

مثال 4. حل سیستم معادلات

راه حل.بیایید سیستم را با استفاده از روش گاوسی حل کنیم. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با تبدیل ردیف های ابتدایی (حرکت مستقیم) آن را به شکل گام به گام کاهش دهیم.

~ ~ ~

~ ~ .

بنابراین، سیستم سازگار است و یک راه حل منحصر به فرد دارد، یعنی. مسلم است

بیایید یک سیستم گام به گام ایجاد کنیم و آن را حل کنیم (معکوس).

بررسی را می توان به راحتی با تعویض انجام داد.

پاسخ: .

مبحث 2. جبر برداری.

طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور.

تعریف 2. طرح ریزی برداریدر هر محور لعددی برابر با طول قطعه است ABاین محور، محصور بین پیش بینی های ابتدا و انتهای بردار، با علامت "+" گرفته شده است، اگر بخش ABجهت دار (شمارش از آبه که در) V جنبه مثبتتبرها لو علامت "-" - در غیر این صورت (شکل 2 را ببینید).

تعیین: .

قضیه 1.طرح ریزی یک بردار بر روی محور برابر است با حاصل ضرب مدول آن و کسینوس زاویه بین بردار و جهت مثبت محور (شکل 3):

. (1)

شکل 3. شکل 4.

اثبات. از (شکل 3) به دست می آوریم. جهت قطعه با جهت مثبت محور منطبق است، بنابراین برابری درست است. در مورد جهت مخالف (شکل 4) داریم . قضیه ثابت شده است.

بیایید ویژگی های پیش بینی ها را در نظر بگیریم.

ویژگی 1. پیش بینی مجموع دو بردار و بر روی محور برابر است با مجموع برآمدگی های آنها بر روی همان محور، یعنی.

شکل 5.

اثبات در مورد یکی از ترتیبات ممکن بردارها از شکل 5 به دست می آید. در واقع، طبق تعریف 2

خاصیت 1 برای هر تعداد محدودی از بردارها صادق است.

ویژگی 2. وقتی یک بردار در عدد l ضرب می شود، طرح آن در این عدد ضرب می شود

. (2)

بیایید برابری را ثابت کنیم (2). هنگامی که بردارها و زاویه یکسانی را با محور تشکیل می دهند. توسط قضیه 1

هنگامی که بردارها و به ترتیب زاویه و با محور تشکیل می دهند. قضیه 1

برای، برابری آشکار را بدست می آوریم

نتیجه از خواص 1 و 2. طرح یک ترکیب خطی از بردارها برابر است با همان ترکیب خطی برآمدگی های این بردارها، یعنی.

مبحث 1. ماتریس ها و سیستم ها

مفهوم ماتریس

تعریف 1.ماتریساندازه یک جدول مستطیل شکل از اعداد یا عبارات الفبایی است که به شکل نوشته شده است

.

اینجا، a i j (من=1,2,...,متر; j=1,2,...n) - عناصر ماتریس، من- شماره خط، j- شماره ستون ماتریس ها معمولا با حروف بزرگ نشان داده می شوند الفبای لاتین A، B، C، و غیره، و همچنین یا . در m=nماتریس نامیده می شود مربعماتریس سفارش n

یک ماتریس مربع که در آن همه عناصر دارای شاخص های نابرابر هستند i¹jبرابر با صفر هستند، نامیده می شود مورب:

اگر همه عناصر غیر صفر یک ماتریس مورب برابر با یک باشند، ماتریس نامیده می شود. تنها. ماتریس هویت معمولا با حرف E نشان داده می شود.

ماتریسی که همه عناصر آن صفر هستند نامیده می شود خالیو با θ نشان داده می شود.

همچنین ماتریس هایی متشکل از یک سطر یا یک ستون وجود دارد.

- ردیف ماتریس; - ستون ماتریس.

مشخصه عددی یک ماتریس مربع است تعیین کننده(یا تعیین کننده).

تعیین کننده های مرتبه 2 و مرتبه 3، ویژگی های آنها.

تعیین کننده های مرتبه دوم

تعریف 2. در باره محدود کننده مرتبه دومماتریس ها (یا به سادگی یک تعیین کننده مرتبه دوم) عددی است که با یک نماد مشخص می شود و با تساوی تعریف می شود. ، به این معنا که

. (3)

سایر نامگذاری ها: , .

برای یافتن تعیین کننده یک ماتریس، باید از فرمول هایی استفاده کنید که برای تعیین کننده های مرتبه 2 و 3 معتبر هستند.

فرمول

اجازه دهید یک ماتریس مرتبه دوم $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $ داده شود. سپس تعیین کننده آن با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$

از حاصل ضرب عناصر واقع در مورب اصلی $ a_(11)\cdot a_(22) $، حاصلضرب عناصر واقع در مورب ثانویه $ a_(12)\cdot a_(21) $ کم می شود. این قانون فقط (!) برای یک تعیین کننده مرتبه دوم صادق است.

اگر ماتریس مرتبه سوم داده شود $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $، سپس تعیین کننده آن باید با استفاده از فرمول محاسبه شود:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1

اجازه دهید یک ماتریس $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $ داده شود.

راه حل

چگونه تعیین کننده یک ماتریس را پیدا کنیم؟ بیایید به این نکته توجه کنیم که ماتریس مربع مرتبه دوم است، یعنی تعداد ستون ها برابر با تعداد ردیف ها است و هر کدام شامل 2 عنصر هستند. بنابراین، بیایید فرمول اول را اعمال کنیم. بیایید عناصر روی قطر اصلی را ضرب کرده و حاصل ضرب عناصر روی قطر ثانویه را از آنها کم کنیم: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ \Delta = -2 $$

مثال 2

با توجه به یک ماتریس $ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $. باید تعیین کننده را محاسبه کنیم.

راه حل

از آنجایی که مسئله یک ماتریس مربع درجه 3 است، تعیین کننده باید با استفاده از فرمول دوم پیدا شود. برای ساده کردن حل مسئله، کافی است به جای متغیرهای $ a_(ij) $ در فرمول، مقادیر ماتریس مسئله خود را جایگزین کنیم: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ شایان ذکر است که وقتی محصولات عناصر را در مورب ثانویه و موارد مشابه پیدا می کنیم، علامت منفی در جلوی محصولات قرار می گیرد.

پاسخ

$$ \Delta = 31 $$

تعریف 6. تعیین کننده مرتبه سوم مربوط به ماتریس سیستم (1.4) عدد D برابر است با

برای محاسبه تعیین کننده مرتبه سوم، از دو طرح محاسباتی استفاده می شود که امکان محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم را بدون دردسر زیاد فراهم می کند. این طرح ها به عنوان " قانون مثلث" (یا "قاعده ستاره") و " حکومت ساروس ".

طبق قانون مثلث ابتدا عناصری که در نمودار با خطوط به هم متصل شده اند ضرب و جمع می شوند

آن ها مجموع محصولات را بدست می آوریم: a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 13 a 32.

لطفا توجه داشته باشید که عناصر متصل به یک خط، مستقیم یا شکسته، ضرب می شوند و سپس محصولات حاصل اضافه می شوند.

سپس عناصر متصل شده در نمودار ضرب و جمع می شوند

آن ها ما مجموع دیگری از محصولات را دریافت می کنیم a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32. و در نهایت برای محاسبه دترمین، دومی از مجموع اول کم می شود. سپس فرمول محاسبه دترمینان مرتبه سوم را به دست می آوریم:

D=(a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32).

طبق قانون ساروس، دو ستون اول به تعیین کننده سمت راست اضافه می شود و سپس مجموع حاصلضرب عناصر تعیین کننده در یک جهت و مجموع حاصلضرب عناصر در جهت دیگر محاسبه می شود. از آن کم می شود (نمودار را ببینید):

می توانید مطمئن باشید که نتیجه با استفاده از قانون مثلث مشابه محاسبه دترمینان خواهد بود.

مثال. تعیین کننده را محاسبه کنید

راه حل. بیایید تعیین کننده را با استفاده از قانون ستاره محاسبه کنیم

و طبق قاعده ساروس

آن ها همانطور که انتظار می رود، برای هر دو طرح محاسباتی نتیجه یکسانی به دست می آوریم.

توجه داشته باشید که تمام خصوصیات فرموله‌شده برای تعیین‌کننده‌های مرتبه دوم برای تعیین‌کننده‌های مرتبه سوم معتبر هستند، زیرا می‌توانید خودتان تأیید کنید. بر اساس این ویژگی ها، ما ویژگی های کلی را برای تعیین کننده های هر مرتبه فرموله می کنیم.

تعیین کننده ماتریس مربع عددی است که به صورت زیر محاسبه می شود:

الف) اگر ترتیب یک ماتریس مربع 1 باشد، یعنی. از 1 عدد تشکیل شده است، سپس تعیین کننده برابر با این عدد است.

ب) اگر ترتیب یک ماتریس مربع 2 باشد، یعنی. از 4 عدد تشکیل شده است ، سپس تعیین کننده برابر است با تفاوت بین حاصلضرب عناصر مورب اصلی و حاصلضرب عناصر مورب ثانویه.

ج) اگر ترتیب یک ماتریس مربع 3 باشد، یعنی. از 9 عدد تشکیل شده است، سپس تعیین کننده برابر با مجموعحاصل ضرب عناصر مورب اصلی و دو مثلث موازی با این قطر که از مجموع حاصلضرب عناصر مورب ثانویه و دو مثلث موازی با این قطر کسر می شود.

مثال ها

خواص عوامل تعیین کننده

1. اگر سطرها با ستون ها و ستون ها با سطرها جایگزین شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند.

1. یک دترمینان دارای 2 سری یکسان برابر با صفر است
2. عامل مشترک هر سطر (ردیف یا ستون) تعیین کننده را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

4. هنگام بازآرایی دو سری موازی، دترمینان علامت را به علامت مقابل تغییر می دهد

5. اگر عناصر هر سری از یک تعیین کننده مجموع دو جمله باشند، می توان آن را به مجموع دو تعیین کننده متناظر تبدیل کرد.

6. اگر عناصر مربوط به یک سری موازی به عناصر یک سری، ضرب در هر عددی اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

عنصر فرعی تعیین کننده و مکمل جبری آن

عنصر جزئی a IJتعیین کننده مرتبه n یک تعیین کننده مرتبه n-1 است که از خط اصلی با خط زدن ردیف i و ستون j به دست می آید.

متمم جبری عنصر a IJدترمینان مینور آن ضرب در (-1) i+j است

مثال

ماتریس معکوس

ماتریس نامیده می شود غیر منحطاگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد، در غیر این صورت، ماتریس منفرد نامیده می شود.

ماتریس نامیده می شود اتحاد. اتصال، اگر از متمم های جبری متناظر تشکیل شده باشد و جابجا شود

ماتریس نامیده می شود معکوسبه یک ماتریس معین در صورتی که حاصلضرب آنها برابر با ماتریس هویتی با همان ترتیب ماتریس داده شده باشد

قضیه هستی ماتریس معکوس

هر ماتریس غیر مفرد دارای معکوس برابر با ماتریس اتحادیه تقسیم بر تعیین کننده این ماتریس است.

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس A

1. تعیین کننده را محاسبه کنید

1. انتقال ماتریس

1. یک ماتریس اتحاد بسازید، تمام مکمل های جبری ماتریس جابجا شده را محاسبه کنید

1. از فرمول استفاده کنید:

ماتریس مینوریک تعیین کننده متشکل از عناصری است که در تقاطع k ردیف و k ستون انتخابی یک ماتریس معین به اندازه mxn قرار دارند.

رتبه ماتریسیبالاترین مرتبه مینور ماتریس است که غیر صفر است

علامت گذاری r(A)، rangA

رتبهبرابر است با تعداد ردیف های غیر صفر ماتریس گام.

مثال

سیستم های معادلات خطی.

سیستم معادلات خطی حاوی m معادله و n مجهول را سیستم شکل می گویند

اعداد کجا هستند آ IJ - ضرایب سیستم، اعداد b i - شرایط آزاد

فرم ضبط ماتریسیسیستم های معادلات خطی

راه حل سیستم n مقدار مجهولات c 1, c 2,…, c n نامیده می شود که هنگام جایگزینی آنها در سیستم، تمام معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. راه حل سیستم را می توان به صورت بردار ستونی نوشت.

سیستم معادلات نامیده می شود مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد و غیر مشترک، اگر راه حلی وجود ندارد.

قضیه کرونکر-کاپلی

یک سیستم LU سازگار است اگر و تنها در صورتی که رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد.

روش های حل یک سیستم LU

1. روش گاوس(با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته را به یک ماتریس پله ای و سپس به یک ماتریس متعارف کاهش دهید)

تحولات ابتدایی عبارتند از:

مرتب سازی مجدد ردیف ها (ستون ها)

افزودن به یک سطر (ستون) دیگر، ضرب در عددی غیر از 0.

بیایید یک ماتریس توسعه یافته ایجاد کنیم:

بیایید عنصر اصلی در ستون اول و سطر اول، عنصر 1. را انتخاب کرده و آن را پیشرو بنامیم. خط حاوی عنصر اصلی تغییر نخواهد کرد. بیایید عناصر زیر مورب اصلی را بازنشانی کنیم. برای این کار سطر اول را به خط دوم ضرب در (2-) اضافه کنید. خط اول را با ضرب در (-1) به خط سوم اضافه کنید، به دست می آید:

بیایید خط دوم و سوم را با هم عوض کنیم. ستون اول و سطر اول را به صورت ذهنی خط بکشید و الگوریتم را برای ماتریس باقی مانده ادامه دهید. به خط سوم، 2 را در 5 ضرب می کنیم.

ماتریس توسعه یافته را به شکل پلکانی آوردیم. با بازگشت به معادلات سیستم از خط آخر شروع کرده و به سمت بالا حرکت می کنیم مجهولات را یکی یکی تعیین می کنیم.

2. روش ماتریسی (AX=B، A -1 AX=A -1 B، X=A -1 B؛ ماتریس معکوس به ماتریس اصلی ضرب در ستون عبارات آزاد)

3. روش کرامر

راه حل سیستم با فرمول بدست می آید:

تعیین کننده ماتریس اصلی اصلاح شده کجاست که در آن ستون i به ستونی از عبارات آزاد تبدیل می شود و تعیین کننده اصلی است که از ضرایب مجهولات تشکیل شده است.

بردارها

برداریک بخش جهت دار است

هر بردار با طول (مدول) و جهت داده می شود.

نامگذاری: یا

جایی که A ابتدای بردار، B انتهای بردار و طول بردار است.

طبقه بندی برداری

بردار صفربرداری است که طول آن صفر است

بردار واحدبرداری است که طول آن برابر با یک است

بردارهای مساوی– این دو بردار هستند که طول و جهت یکسانی دارند

بردارهای مخالف- این دو بردار هستند که طول آنها مساوی و جهت آنها مخالف است

بردارهای خطی– این دو بردار هستند که روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار دارند

هم جهتیبردارها دو بردار خطی با جهت یکسان هستند

برعکس کارگردانی شده استبردارها دو بردار خطی با جهت مخالف هستند

هم صفحهبردارها سه بردار هستند که در یک صفحه یا در صفحات موازی قرار دارند

سیستم مستطیلیمختصات در یک صفحه دو خط متقابل عمود بر هم با جهت و مبدأ انتخاب شده است که خط افقی آن محور آبسیسا و خط عمودی محور اردینات نامیده می شود.

برای هر نقطه در یک سیستم مختصات مستطیلی دو عدد اختصاص می دهیم: ابسیسا و مختصات

سیستم مستطیلیمختصات در فضا سه خط مستقیم عمود بر یکدیگر با جهت و مبدأ انتخابی هستند، در حالی که خط مستقیم افقی که به سمت ما است محور آبسیسا نامیده می شود، خط مستقیم افقی که به سمت راست ما هدایت می شود، محور مختصات و خط مستقیم عمودی است. به سمت بالا، محور کاربردی نامیده می شود

برای هر نقطه در یک سیستم مختصات مستطیلی سه عدد اختصاص می دهیم: ابسیسا، ترتیب و اعمال