حل سیستم های ماتریسی با استفاده از روش گاوسی. روش گاوسی یا اینکه چرا بچه ها ریاضیات را نمی فهمند

روش گاوسمناسب برای حل سیستم های خطی معادلات جبری(SLAU). در مقایسه با روش های دیگر مزایای زیادی دارد:

• اولاً، نیازی به بررسی سیستم معادلات برای سازگاری نیست.
• ثانیاً، روش گاوس نه تنها می‌تواند SLAEهایی را که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و ماتریس اصلی سیستم غیرمفرد است را حل کند، بلکه سیستم‌هایی از معادلات را نیز می‌تواند حل کند که در آنها تعداد معادلات منطبق با آنها نیست. تعداد متغیرهای مجهول یا تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر است.
• ثالثاً، روش گاوسی منجر به نتایجی با تعداد نسبتاً کمی از عملیات محاسباتی می شود.

مروری کوتاه بر مقاله.

ابتدا تعاریف لازم را ارائه می کنیم و نمادها را معرفی می کنیم.

در ادامه، الگوریتم روش گاوس را برای ساده ترین حالت توصیف می کنیم، یعنی برای سیستم های معادلات جبری خطی، تعداد معادلاتی که در آنها با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر است. برابر با صفر نیست هنگام حل چنین سیستم های معادلات، ماهیت روش گاوس به وضوح قابل مشاهده است، که حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است. بنابراین روش گاوسی را روش حذف متوالی مجهولات نیز می نامند. ما راه حل های مفصل چند نمونه را نشان خواهیم داد.

در خاتمه، حل را با روش گاوس سیستم های معادلات جبری خطی، که ماتریس اصلی آن مستطیل یا منفرد است، در نظر خواهیم گرفت. راه حل چنین سیستم هایی دارای ویژگی هایی است که با استفاده از مثال هایی به بررسی آنها می پردازیم.

پیمایش صفحه.

تعاریف و نمادهای اساسی

سیستمی از p را در نظر بگیرید معادلات خطیبا n مجهول (p می تواند برابر با n باشد):

جایی که متغیرهای مجهول هستند، اعداد (واقعی یا مختلط) و عبارت‌های آزاد هستند.

اگر ، سپس سیستم معادلات جبری خطی نامیده می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول که تمام معادلات سیستم برای آنها هویت می شوند نامیده می شود تصمیم SLAU.

اگر حداقل یک راه حل برای یک سیستم معادلات جبری خطی وجود داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل، در غیر این صورت - غیر مشترک.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود مسلم - قطعی. اگر بیش از یک راه حل وجود داشته باشد، سیستم فراخوانی می شود نا معلوم.

آنها می گویند که سیستم در نوشته شده است فرم مختصات، اگر فرم داشته باشد
.

این سیستم در فرم ماتریسیرکورد دارای فرم Where - ماتریس اصلی SLAE، - ماتریس ستون متغیرهای مجهول، - ماتریس اصطلاحات آزاد.

اگر ماتریس-ستون از عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n+1) به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس توسعه یافتهسیستم های معادلات خطی به طور معمول، یک ماتریس توسعه یافته با حرف T مشخص می شود و ستون عبارت های آزاد با یک خط عمودی از ستون های باقی مانده جدا می شود، یعنی:

ماتریس مربع A نامیده می شود منحط، اگر تعیین کننده آن صفر باشد. اگر، ماتریس A فراخوانی می شود غیر منحط.

نکته زیر باید مورد توجه قرار گیرد.

اگر با سیستم معادلات جبری خطی عمل کنیم اقدامات زیر

• مبادله دو معادله،
• دو طرف هر معادله ای را در یک عدد واقعی (یا مختلط) دلخواه و غیر صفر ضرب کنید،
• به هر دو طرف هر معادله، قسمت های مربوط به معادله دیگر را با عدد دلخواه k ضرب می کنیم،

سپس یک سیستم معادل دریافت می‌کنید که راه‌حل‌های یکسانی دارد (یا درست مانند نمونه اصلی، هیچ راه‌حلی ندارد).

برای یک ماتریس توسعه یافته از یک سیستم معادلات جبری خطی، این اقدامات به معنای انجام تبدیل های ابتدایی با ردیف های زیر است:

• تعویض دو خط
• ضرب تمام عناصر هر ردیف از ماتریس T در عدد غیر صفر k،
• به عناصر هر ردیف از ماتریس، عناصر مربوط به سطر دیگر را که در عدد دلخواه k ضرب می شود، اضافه می کنیم.

حال می توانیم به توضیح روش گاوس برویم.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات و ماتریس اصلی سیستم غیر مفرد است به روش گاوسی.

اگر به ما وظیفه یافتن راه حلی برای یک سیستم معادلات داده شود، در مدرسه چه می کنیم؟ .

برخی این کار را انجام می دهند.

توجه داشته باشید که با اضافه کردن به سمت چپ معادله دوم سمت چپابتدا، و در سمت راست - سمت راست، می توانید از متغیرهای ناشناخته x 2 و x 3 خلاص شوید و بلافاصله x 1 را پیدا کنید:

مقدار پیدا شده x 1 = 1 را در معادلات اول و سوم سیستم جایگزین می کنیم:

اگر هر دو طرف معادله سوم سیستم را در -1 ضرب کنیم و به قسمت های مربوط به معادله اول اضافه کنیم، از متغیر مجهول x 3 خلاص می شویم و می توانیم x 2 را پیدا کنیم:

مقدار x 2 = 2 حاصل را در معادله سوم جایگزین می کنیم و متغیر مجهول باقیمانده x 3 را پیدا می کنیم:

دیگران جور دیگری عمل می کردند.

اجازه دهید معادله اول سیستم را با توجه به متغیر مجهول x 1 حل کنیم و عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم سیستم کنیم تا این متغیر از آنها حذف شود:

حال اجازه دهید معادله دوم سیستم را برای x 2 حل کنیم و نتیجه به دست آمده را با معادله سوم جایگزین کنیم تا متغیر مجهول x 2 را از آن حذف کنیم:

از معادله سوم سیستم مشخص است که x 3 = 3. از معادله دوم پیدا می کنیم ، و از معادله اول بدست می آوریم.

راه حل های آشنا، درست است؟

جالب ترین چیز در اینجا این است که روش حل دوم اساساً روش حذف متوالی مجهولات است، یعنی روش گاوسی. هنگامی که متغیرهای مجهول را بیان کردیم (اول x 1، در مرحله بعدی x 2) و آنها را در معادلات باقیمانده سیستم جایگزین کردیم، در نتیجه آنها را حذف کردیم. حذف را تا زمانی انجام دادیم که تنها یک متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. فرآیند حذف متوالی مجهولات نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. بعد از تمام شدن سکته مغزی به جلواکنون این فرصت را داریم که متغیر مجهول را در آخرین معادله محاسبه کنیم. با کمک آن، متغیر مجهول بعدی را از معادله ماقبل آخر پیدا می کنیم و به همین ترتیب. فرآیند یافتن متوالی متغیرهای مجهول در حین حرکت از آخرین معادله به معادله اول نامیده می شود به صورت معکوسروش گاوس.

لازم به ذکر است که وقتی x 1 را بر حسب x 2 و x 3 در معادله اول بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم می کنیم، اقدامات زیر به همین نتیجه منجر می شود:

در واقع، چنین رویه ای همچنین حذف متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم امکان پذیر می کند:

تفاوت های ظریف با حذف متغیرهای ناشناخته با استفاده از روش گاوسی زمانی به وجود می آیند که معادلات سیستم شامل برخی از متغیرها نباشد.

به عنوان مثال، در SLAU در معادله اول هیچ متغیر مجهولی x 1 وجود ندارد (به عبارت دیگر ضریب مقابل آن صفر است). بنابراین، نمی توانیم معادله اول سیستم را برای x 1 حل کنیم تا این متغیر مجهول را از معادلات باقی مانده حذف کنیم. راه برون رفت از این وضعیت، تعویض معادلات سیستم است. از آنجایی که ما سیستم‌هایی از معادلات خطی را در نظر می‌گیریم که تعیین‌کننده‌های ماتریس‌های اصلی با صفر متفاوت هستند، همیشه معادله‌ای وجود دارد که متغیر مورد نیاز ما در آن وجود دارد و می‌توانیم این معادله را به موقعیتی که نیاز داریم بازآرایی کنیم. برای مثال ما کافی است معادلات اول و دوم سیستم را مبادله کنیم ، سپس می توانید معادله اول را برای x 1 حل کنید و آن را از معادلات باقیمانده سیستم حذف کنید (اگرچه x 1 دیگر در معادله دوم وجود ندارد).

امیدواریم به اصل مطلب پی ببرید.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش گاوسی

فرض کنید باید سیستمی از n معادله جبری خطی با n مجهول حل کنیم متغیرهای فرم و اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت باشد.

ما این را فرض خواهیم کرد، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. بیایید متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف کنیم و از دومی شروع کنیم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولین را با ضرب در، به معادله سوم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، و .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان می کردیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر می کردیم، به همان نتیجه می رسیدیم. بنابراین، متغیر x 1 از تمام معادلات، با شروع از دوم، حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، و . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است، به طور مشابه عمل می کنیم.

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده از x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. .

بیایید با استفاده از یک مثال به الگوریتم نگاه کنیم.

مثال.

روش گاوس

راه حل.

ضریب a 11 غیر صفر است، بنابراین اجازه دهید به پیشرفت مستقیم روش گاوسی ادامه دهیم، یعنی به حذف متغیر مجهول x 1 از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول. برای انجام این کار، به سمت چپ و راست معادله دوم، سوم و چهارم، به ترتیب سمت چپ و راست معادله اول را ضرب کنید. و:

متغیر مجهول x 1 حذف شده است، اجازه دهید به حذف x 2 برویم. به سمت چپ و راست معادلات سوم و چهارم سیستم، سمت چپ و راست معادله دوم را به ترتیب در ضرب می کنیم. و :

برای تکمیل پیشرفت رو به جلو روش گاوسی، باید متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. اجازه دهید به ترتیب به سمت چپ و راست معادله چهارم، سمت چپ و را اضافه کنیم سمت راستمعادله سوم ضرب در :

می توانید برعکس روش گاوسی را شروع کنید.

از آخرین معادله ای که داریم ,
از معادله سوم بدست می آوریم
از دومی،
از اولی

برای بررسی، می توانید مقادیر به دست آمده از متغیرهای مجهول را در سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. همه معادلات به هویت تبدیل می شوند که نشان می دهد راه حل با استفاده از روش گاوس به درستی پیدا شده است.

پاسخ:

حال بیایید با استفاده از روش گاوسی در نمادگذاری ماتریس، برای همان مثال راه حلی ارائه دهیم.

مثال.

جواب سیستم معادلات را پیدا کنید روش گاوس

راه حل.

ماتریس توسعه یافته سیستم دارای فرم است . در بالای هر ستون، متغیرهای ناشناخته ای قرار دارند که با عناصر ماتریس مطابقت دارند.

رویکرد مستقیم روش گاوسی در اینجا شامل کاهش ماتریس توسعه‌یافته سیستم به شکل ذوزنقه‌ای با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی است. این فرآیند شبیه حذف متغیرهای ناشناخته است که با سیستم به صورت مختصات انجام دادیم. حالا شما این را خواهید دید.

اجازه دهید ماتریس را طوری تبدیل کنیم که تمام عناصر ستون اول، از ستون دوم، صفر شوند. برای انجام این کار، به عناصر خط دوم، سوم و چهارم، عناصر مربوط به خط اول را ضرب در و بر این اساس:

در مرحله بعد، ماتریس به دست آمده را به گونه ای تبدیل می کنیم که در ستون دوم همه عناصر، که از ستون سوم شروع می شوند، صفر شوند. این با حذف متغیر مجهول x 2 مطابقت دارد. برای انجام این کار، به عناصر ردیف سوم و چهارم، عناصر مربوط به ردیف اول ماتریس را اضافه می کنیم که به ترتیب ضرب می شوند. و :

باقی مانده است که متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به عناصر آخرین ردیف از ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف ماقبل آخر را اضافه می کنیم، ضرب در :

لازم به ذکر است که این ماتریس مربوط به سیستم معادلات خطی است

که زودتر پس از حرکت رو به جلو به دست آمد.

وقت آن است که به عقب برگردیم. در نمادگذاری ماتریسی، معکوس روش گاوسی شامل تبدیل ماتریس به دست آمده به گونه ای است که ماتریس مشخص شده در شکل

مورب شد، یعنی شکل گرفت

تعدادی اعداد کجا هستند

این تبدیل ها مشابه تبدیل های رو به جلو روش گاوسی است، اما نه از خط اول به آخر، بلکه از آخرین به اول انجام می شود.

به عناصر سطر سوم، دوم و اول، عناصر مربوط به سطر آخر را ضرب کنید ، در و در به ترتیب:

حال بیایید به عناصر خط دوم و اول، عناصر مربوط به خط سوم را که به ترتیب در و در ضرب می شوند، اضافه کنیم:

در آخرین مرحله از روش گاوسی معکوس، به عناصر ردیف اول، عناصر مربوط به ردیف دوم را ضرب می کنیم:

ماتریس حاصل با سیستم معادلات مطابقت دارد ، از جایی که متغیرهای مجهول را پیدا می کنیم.

پاسخ:

توجه داشته باشید.

هنگام استفاده از روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، باید از محاسبات تقریبی خودداری شود، زیرا این امر می تواند منجر به نتایج کاملاً نادرست شود. توصیه می کنیم اعشار را گرد نکنید. بهتر از اعداد اعشاریبه کسرهای معمولی بروید.

مثال.

یک سیستم سه معادله را با استفاده از روش گاوس حل کنید .

راه حل.

توجه داشته باشید که در این مثال، متغیرهای مجهول دارای نام متفاوتی هستند (نه x 1، x 2، x 3، بلکه x، y، z). بریم سراغ کسرهای معمولی:

اجازه دهید x مجهول را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم:

در سیستم به دست آمده، متغیر مجهول y در معادله دوم وجود ندارد، اما y در معادله سوم وجود دارد، بنابراین، اجازه دهید معادله دوم و سوم را مبادله کنیم:

این پیشرفت مستقیم روش گاوس را تکمیل می کند (نیازی به حذف y از معادله سوم نیست، زیرا این متغیر مجهول دیگر وجود ندارد).

بیایید حرکت معکوس را شروع کنیم.

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ,
از ماقبل آخر


از اولین معادله ای که داریم

پاسخ:

X = 10، y = 5، z = -20.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که تعداد معادلات آنها با تعداد مجهولات منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منفرد است با استفاده از روش گاوس.

سیستم های معادله ای که ماتریس اصلی آنها مستطیل یا مربع مفرد است، ممکن است هیچ جوابی نداشته باشند، ممکن است یک جواب واحد داشته باشند یا ممکن است بی نهایت جواب داشته باشند.

اکنون خواهیم فهمید که چگونه روش گاوس به ما اجازه می دهد تا سازگاری یا ناسازگاری یک سیستم معادلات خطی را تعیین کنیم و در صورت سازگاری آن، همه راه حل ها (یا یک راه حل واحد) را تعیین کنیم.

در اصل، روند حذف متغیرهای ناشناخته در مورد چنین SLAE ها یکسان است. با این حال، ارزش آن را دارد که در مورد برخی از موقعیت‌هایی که ممکن است پیش بیاید، به جزئیات بپردازیم.

بیایید به مهمترین مرحله برویم.

بنابراین، فرض کنید که سیستم معادلات جبری خطی، پس از تکمیل پیشروی رو به جلو روش گاوس، به شکل و حتی یک معادله به کاهش نیافت (در این مورد نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است). یک سوال منطقی مطرح می شود: "بعد چه باید کرد"؟

اجازه دهید متغیرهای مجهولی را که در همه معادلات سیستم به دست آمده اول هستند، بنویسیم:

در مثال ما اینها x 1، x 4 و x 5 هستند. در سمت چپ معادلات سیستم فقط عبارت هایی را می گذاریم که حاوی متغیرهای مجهول مکتوب x 1، x 4 و x 5 هستند، بقیه عبارت ها با علامت مخالف به سمت راست معادلات منتقل می شوند:

بیایید به متغیرهای مجهولی که در سمت راست معادلات هستند مقادیر دلخواه بدهیم، جایی که - اعداد دلخواه:

پس از این، سمت راست تمام معادلات SLAE ما حاوی اعداد است و می‌توانیم به سمت معکوس روش گاوسی برویم.

از آخرین معادله سیستمی که داریم، از معادله ماقبل آخری که پیدا می کنیم، از معادله اول به دست می آوریم

راه حل یک سیستم معادلات مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول است

دادن اعداد مقادیر مختلف، راه حل های متفاوتی برای سیستم معادلات به دست خواهیم آورد. یعنی سیستم معادلات ما بی نهایت راه حل دارد.

پاسخ:

جایی که - اعداد دلخواه

برای ادغام مطالب، راه حل های چندین مثال دیگر را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

تصميم گرفتن سیستم همگنمعادلات جبری خطی روش گاوس

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای این کار به سمت چپ و راست معادله دوم به ترتیب سمت چپ و راست معادله اول را ضرب در و به سمت چپ و راست معادله سوم، سمت چپ و راست را اضافه می کنیم. معادله اول ضرب در:

حال بیایید y را از معادله سوم سیستم معادلات حاصل حذف کنیم:

SLAE حاصل معادل سیستم است .

در سمت چپ معادلات سیستم فقط عبارت‌های حاوی متغیرهای مجهول x و y را رها می‌کنیم و عبارت‌های دارای متغیر مجهول z را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید سیستمی از معادلات جبری خطی داده شود که باید حل شود (مقادیر مجهولات xi را بیابید که هر معادله سیستم را به یک برابری تبدیل می کند).

می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:

1) راه حلی نداشته باشید (باشید غیر مشترک).
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) یک راه حل واحد داشته باشید.

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریسیدر مواردی که سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد یا ناسازگار است نامناسب هستند. روش گاوس – قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل برای هر سیستم معادلات خطی، که در هر موردما را به پاسخ می رساند! الگوریتم خود روش در همه سه موردبه همین صورت عمل می کند اگر روش های کرامر و ماتریس نیاز به دانش تعیین کننده ها دارند، برای اعمال روش گاوس فقط به دانش نیاز دارید. عملیات حسابیکه حتی برای دانش آموزان دبستان هم قابل دسترسی است.

تبدیل های ماتریس تقویت شده ( این ماتریس سیستم است - ماتریسی که فقط از ضرایب مجهولات به اضافه ستونی از عبارت های آزاد تشکیل شده است)سیستم های معادلات جبری خطی در روش گاوس:

1) با تروکیماتریس ها می توان تنظیم مجدددر برخی مکان ها.

2) اگر موارد متناسب در ماتریس ظاهر شوند (یا وجود داشته باشند) (مانند مورد خاص- یکسان) خطوط، سپس آن را دنبال می کند حذفهمه این سطرها از ماتریس هستند به جز یک.

3) اگر یک ردیف صفر در ماتریس در طول تبدیل ظاهر می شود، آنگاه نیز باید باشد حذف.

4) یک ردیف از ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر

5) به یک ردیف ماتریسی می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.

در روش گاوس، تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند.

روش گاوس شامل دو مرحله است:

1. "حرکت مستقیم" - با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته یک سیستم معادلات جبری خطی را به شکل مرحله "مثلثی" بیاورید: عناصر ماتریس توسعه یافته که در زیر مورب اصلی قرار دارند برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). به عنوان مثال، به این نوع:

برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:

1) اجازه دهید اولین معادله یک سیستم معادلات جبری خطی را در نظر بگیریم و ضریب x 1 برابر K است. دوم، سوم و غیره. معادلات را به صورت زیر تبدیل می کنیم: هر معادله (ضرایب مجهولات از جمله عبارات آزاد) را بر ضریب مجهول x 1 در هر معادله تقسیم می کنیم و در K ضرب می کنیم. پس از این، معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ضرایب مجهولات و اصطلاحات آزاد). برای x 1 در معادله دوم، ضریب 0 را به دست می آوریم. از معادله تبدیل شده سوم، معادله اول را کم می کنیم تا همه معادلات به جز اولی، برای x 1 مجهول، ضریب 0 داشته باشند.

2) بریم سراغ معادله بعدی. اجازه دهید این معادله دوم و ضریب برای x 2 برابر با M باشد. ما با تمام معادلات "پایین" همانطور که در بالا توضیح داده شد ادامه می دهیم. بنابراین، "زیر" مجهول x 2 در تمام معادلات صفر خواهد بود.

3) به معادله بعدی بروید و به همین ترتیب ادامه دهید تا آخرین مجهول و جمله آزاد تبدیل شده باقی بماند.

1. "حرکت معکوس" روش گاوس به دست آوردن یک راه حل برای یک سیستم معادلات جبری خطی است (حرکت "از پایین به بالا"). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n = B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 = 4. مقدار یافت شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 = 1، یعنی. x 2 = 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.

مثال.

بیایید سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. ما باید یک واحد آنجا داشته باشیم. مشکل این است که در ستون اول هیچ واحدی وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را حل نمی کند. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیا انجامش بدیم:
1 مرحله . به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را اضافه کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک" وجود دارد که به خوبی برای ما مناسب است. هر کسی که بخواهد 1+ را دریافت کند می‌تواند یک عمل اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

گام 2 . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضربدر 3 به سطر سوم اضافه شد.

مرحله 3 . خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر یافت و به رتبه دوم منتقل شد تا در "پله" دوم واحد مورد نیاز را داشته باشیم.

مرحله 4 . خط سوم ضربدر 2 به خط دوم اضافه شد.

مرحله 5 . خط سوم بر 3 تقسیم شد.

نشانه ای که نشان دهنده خطا در محاسبات است (به ندرت اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه (0 0 11 |23) در زیر بدست آوریم، و بر این اساس، 11x 3 = 23، x 3 = 23/11، آنگاه با درجه احتمال بالایی می توانیم بگوییم که در دوره ابتدایی خطایی رخ داده است. تحولات

بیایید در طراحی مثال‌ها برعکس عمل کنیم، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی‌شود، اما معادلات «مستقیماً از ماتریس داده‌شده گرفته می‌شوند». به شما یادآوری می کنم حرکت معکوس از پایین به بالا کار می کند. در این مثال، نتیجه یک هدیه بود:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 = 1، x 1 = -1

پاسخ:x 1 = –1، x 2 = 3، x 3 = 1.

بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

معادله دوم را بر 5 تقسیم کنید و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

با ضرب معادله دوم و سوم در 4 به دست می آید:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

با کم کردن معادله دوم از معادله سوم، ماتریس توسعه یافته "پله ای" را به دست می آوریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

بنابراین، از آنجایی که خطای انباشته شده در طول محاسبات، x 3 = 0.96 یا تقریباً 1 را به دست می آوریم.

x 2 = 3 و x 1 = -1.

با حل این روش هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نمی شوید و با وجود اشتباهات محاسباتی به نتیجه می رسید.

این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و در نظر گرفته نمی شود. ویژگی های خاصضرایب برای مجهولات، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.

آرزو می کنم موفق شوی! در کلاس می بینمت! معلم خصوصی

blog.site، هنگام کپی کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

اجازه دهید سیستم، ∆≠0 داده شود. (1)
روش گاوسروشی برای حذف متوالی مجهولات است.

ماهیت روش گاوس تبدیل (1) به سیستمی با ماتریس مثلثی است که از آن مقادیر همه مجهولات به صورت متوالی (به صورت معکوس) به دست می آید. بیایید یکی از طرح های محاسباتی را در نظر بگیریم. به این مدار مدار تقسیم تک می گویند. پس بیایید به این نمودار نگاه کنیم. اجازه دهید 11≠0 (عنصر اصلی) معادله اول را بر 11 تقسیم کند. ما گرفتیم
(2)
با استفاده از رابطه (2)، به راحتی می توان مجهولات x 1 را از معادلات باقیمانده سیستم حذف کرد (برای انجام این کار، کافی است معادله (2) را از هر معادله که قبلا در ضریب متناظر x 1 ضرب شده است، کم کنیم. ، یعنی در مرحله اول بدست می آوریم
.
به عبارت دیگر، در مرحله 1، هر عنصر از سطرهای بعدی، با شروع از دوم، برابر است با تفاوت بین عنصر اصلی و حاصلضرب "طرح" آن بر روی ستون اول و ردیف اول (تبدیل شده).
به دنبال این، با رها کردن معادله اول، تبدیل مشابهی را بر روی معادلات باقیمانده سیستم به دست آمده در مرحله اول انجام می دهیم: از بین آنها معادله با عنصر اصلی را انتخاب می کنیم و به کمک آن، x 2 را از باقیمانده حذف می کنیم. معادلات (مرحله 2).
بعد از n مرحله به جای (1) یک سیستم معادل بدست می آوریم
(3)
بنابراین در مرحله اول یک سیستم مثلثی به دست می آید (3). به این مرحله سکته مغزی رو به جلو می گویند.
در مرحله دوم (معکوس)، به ترتیب از (3) مقادیر x n، x n -1، ...، x 1 را می یابیم.
اجازه دهید جواب به دست آمده را با x 0 نشان دهیم. سپس تفاوت ε=b-A x 0 باقی مانده نامیده می شود.
اگر ε=0 باشد، جواب یافت شده x 0 صحیح است.

محاسبات با استفاده از روش گاوسی در دو مرحله انجام می شود:

1. مرحله اول روش فوروارد نامیده می شود. در مرحله اول، سیستم اصلی به شکل مثلثی تبدیل می شود.
2. مرحله دوم سکته مغزی معکوس نامیده می شود. در مرحله دوم، یک سیستم مثلثی معادل با سیستم اصلی حل می شود.

ضرایب a 11, a 22, ... را عناصر پیشرو می نامند.
در هر مرحله، عنصر پیشرو غیر صفر در نظر گرفته شد. اگر اینطور نباشد، می توان از هر عنصر دیگری به عنوان عنصر اصلی استفاده کرد، گویی معادلات سیستم را مرتب می کند.

هدف از روش گاوس

روش گاوس برای حل سیستم های معادلات خطی طراحی شده است. به روش های راه حل مستقیم اشاره دارد.

انواع روش گاوسی

1. روش کلاسیک گاوسی؛
2. اصلاحات روش گاوس. یکی از اصلاحات روش گاوسی طرحی با انتخاب عنصر اصلی است. یکی از ویژگی های روش گاوس با انتخاب عنصر اصلی، بازآرایی معادلات به گونه ای است که در مرحله kth عنصر اصلی بزرگترین عنصر در ستون k ام است.
3. روش جردنو گاوس؛

تفاوت بین روش جردنو-گاوس و روش کلاسیک روش گاوسشامل اعمال قانون مستطیل است، زمانی که جهت جستجوی یک راه حل در امتداد مورب اصلی (تبدیل به ماتریس هویت) رخ می دهد. در روش گاوس، جهت جستجوی یک راه حل در امتداد ستون ها اتفاق می افتد (تبدیل به یک سیستم با ماتریس مثلثی).
بیایید تفاوت را نشان دهیم روش جردنو گاوساز روش گاوسی با مثال.

نمونه ای از راه حل با استفاده از روش گاوسی
بیایید سیستم را حل کنیم:

برای سهولت محاسبه، بیایید خطوط را با هم عوض کنیم:

بیایید خط دوم را در (2) ضرب کنیم. خط 3 را به خط 2 اضافه کنید

خط دوم را در (-1) ضرب کنید. خط 2 را به خط 1 اضافه کنید

از خط 1 x 3 را بیان می کنیم:
از خط 2 x 2 را بیان می کنیم:
از خط 3 x 1 را بیان می کنیم:

نمونه ای از یک راه حل با استفاده از روش جردنو-گاوس
اجازه دهید همان SLAE را با استفاده از روش Jordano-Gauss حل کنیم.

ما به ترتیب عنصر تفکیک کننده RE را انتخاب می کنیم که در مورب اصلی ماتریس قرار دارد.
عنصر وضوح برابر با (1) است.



NE = SE - (A*B)/RE
RE - عنصر حل کننده (1)، A و B - عناصر ماتریسی که یک مستطیل را با عناصر STE و RE تشکیل می دهند.
بیایید محاسبه هر عنصر را در قالب یک جدول ارائه دهیم:

x 1	x 2	x 3	ب
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

عنصر تفکیک کننده برابر با (3) است.
به جای عنصر حل، 1 می گیریم و در خود ستون صفر می نویسیم.
تمام عناصر دیگر ماتریس، از جمله عناصر ستون B، توسط قانون مستطیل تعیین می شوند.
برای این کار، چهار عدد را انتخاب می کنیم که در رأس مستطیل قرار دارند و همیشه عنصر حل کننده RE را شامل می شوند.

x 1	x 2	x 3	ب
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

عنصر وضوح (4-) است.
به جای عنصر حل، 1 می گیریم و در خود ستون صفر می نویسیم.
تمام عناصر دیگر ماتریس، از جمله عناصر ستون B، توسط قانون مستطیل تعیین می شوند.
برای این کار، چهار عدد را انتخاب می کنیم که در رأس مستطیل قرار دارند و همیشه عنصر حل کننده RE را شامل می شوند.
بیایید محاسبه هر عنصر را در قالب یک جدول ارائه دهیم:

x 1	x 2	x 3	ب
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

پاسخ: x 1 = 1، x 2 = 1، x 3 = 1

اجرای روش گاوسی

روش گاوسی در بسیاری از زبان‌های برنامه‌نویسی به‌ویژه: پاسکال، سی پلاس پلاس، php، دلفی پیاده‌سازی می‌شود و همچنین پیاده‌سازی آنلاین روش گاوسی نیز وجود دارد.

با استفاده از روش گاوسی

کاربرد روش گاوس در نظریه بازی ها

در تئوری بازی ها، هنگام یافتن حداکثر استراتژی بهینه بازیکن، یک سیستم معادلات تدوین می شود که با روش گاوسی حل می شود.

کاربرد روش گاوس در حل معادلات دیفرانسیل

برای یافتن یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل، ابتدا مشتقاتی با درجه مناسب برای جواب جزئی نوشته شده (y=f(A,B,C,D)) پیدا کنید که به جای آنها جایگزین می شوند. معادله اصلی. بعدی برای پیدا کردن متغیرهای A,B,C,Dیک سیستم معادلات با روش گاوسی تدوین و حل می شود.

کاربرد روش جردنو گاوس در برنامه ریزی خطی

که در برنامه ریزی خطیبه طور خاص، در روش سیمپلکس، از قانون مستطیل که از روش جردنو-گاوس استفاده می کند، برای تبدیل جدول سیمپلکس در هر تکرار استفاده می شود.

کارل فردریش گاوس، بزرگترین ریاضیدان برای مدت طولانیتردید کرد و بین فلسفه و ریاضیات انتخاب کرد. شاید دقیقاً همین طرز فکر بود که به او اجازه داد چنین "میراث" قابل توجهی را در علم جهانی ایجاد کند. به طور خاص، با ایجاد "روش گاوس" ...

تقریباً 4 سال است که مقالاتی در این سایت به آموزش مدرسه می پردازند، عمدتاً از دیدگاه فلسفه، اصول (سوء)فهمی که در ذهن کودکان وارد شده است. زمان برای جزئیات بیشتر، مثال ها و روش ها فرا می رسد... من معتقدم که این دقیقاً همان رویکرد آشنا، گیج کننده و مهمزمینه های زندگی نتایج بهتری می دهد.

ما آدم ها طوری طراحی شده ایم که هر چقدر هم در موردش صحبت کنیم تفکر انتزاعی، ولی درك كردن همیشهاز طریق مثال اتفاق می افتد. اگر مصداق نباشد، درک اصول غیرممکن است... همانطور که رسیدن به بالای کوه غیر ممکن است مگر با پیمودن تمام شیب از روی پا.

در مورد مدرسه هم همینطور: در حال حاضر داستان های زندهاین کافی نیست که ما به طور غریزی به آن به عنوان مکانی که در آن به کودکان آموزش داده می شود درک کنیم، ادامه دهیم.

مثلا آموزش روش گاوسی...

روش گاوس در مدرسه پنجم دبستان

اجازه دهید فوراً یک رزرو انجام دهم: روش گاوسی بسیار بیشتر است کاربرد گستردهمثلاً هنگام حل کردن سیستم های معادلات خطی. آنچه در مورد آن صحبت خواهیم کرد در کلاس پنجم اتفاق می افتد. این آغاز شده، با درک کدامیک ، درک "گزینه های پیشرفته" بسیار ساده تر است. در این مقاله ما در مورد روش (روش) گاوس برای یافتن مجموع یک سری

اینم یه نمونه که از مدرسه آوردم پسر کوچکتر، حضور در کلاس پنجم در یک سالن بدنسازی مسکو.

نمایش مدرسه از روش گاوس

معلم ریاضی با استفاده از تخته سفید تعاملی (روش های مدرنآموزش) به کودکان ارائه ای از تاریخچه "ایجاد روش" توسط گاوس کوچک نشان داد.

معلم مدرسه کارل کوچک را شلاق زد (روشی قدیمی که این روزها در مدارس استفاده نمی شود) زیرا او

به جای اینکه به ترتیب اعداد 1 تا 100 را جمع کنید، مجموع آنها را بیابید متوجه شدکه جفت اعدادی که به طور مساوی از لبه های یک پیشروی حسابی فاصله دارند، به یک عدد می رسند. به عنوان مثال، 100 و 1، 99 و 2. با شمارش تعداد این جفت ها، گاوس کوچک تقریباً بلافاصله مسئله پیشنهاد شده توسط معلم را حل کرد. به همین دلیل او را در مقابل مردم حیرت زده اعدام کردند. تا دیگران از تفکر منصرف شوند.

گاوس کوچک چه کرد؟ توسعه یافته حس عدد? متوجه شدبرخی از ویژگی هاسری اعداد با گام ثابت (پیشرفت حسابی). و دقیقا اینبعدها از او دانشمند بزرگی ساخت، قادر به توجه است، داشتن احساس، غریزه درک.

به همین دلیل است که ریاضیات ارزشمند است و در حال توسعه است توانایی دیدنبه طور کلی به طور خاص - تفکر انتزاعی . بنابراین اکثر والدین و کارفرمایان به طور غریزی ریاضیات را یک رشته مهم در نظر بگیرید ...

"پس باید ریاضیات آموزش داده شود، زیرا ذهن را مرتب می کند.
M.V.Lomonosov".

با این حال، پیروان کسانی که نوابغ آینده را با میله شلاق زدند، روش را به چیزی برعکس تبدیل کردند. همانطور که دوستم 35 سال پیش گفت مشاور علمی: "آنها سوال را یاد گرفتند." یا همانطور که پسر کوچک من دیروز در مورد روش گاوس گفت: "شاید ارزش این را نداشته باشد که یک علم بزرگ از این کار بسازید، نه؟"

پیامدهای خلاقیت "دانشمندان" در سطح ریاضیات فعلی مدرسه، سطح تدریس آن و درک اکثریت از "ملکه علوم" قابل مشاهده است.

با این حال ادامه بدیم...

روش های تبیین روش گاوس در مدرسه پنجم دبستان

یک معلم ریاضیات در یک سالن ورزشی در مسکو، با توضیح روش گاوس به گفته ویلنکین، کار را پیچیده کرد.

اگر تفاوت (مرحله) یک پیشروی حسابی یک نباشد، بلکه عدد دیگری باشد، چه؟ مثلا 20.

مشکلی که او به دانش آموزان کلاس پنجم داد:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

قبل از آشنایی با روش ورزشگاه، بیایید نگاهی به اینترنت بیاندازیم: معلمان مدرسه و معلمان ریاضی چگونه این کار را انجام می دهند؟

روش گاوسی: توضیح شماره 1

یک معلم معروف در کانال یوتیوب خود استدلال زیر را ارائه می دهد:

بیایید اعداد 1 تا 100 را به صورت زیر بنویسیم:

ابتدا یک سری اعداد از 1 تا 50، و دقیقاً در زیر آن یک سری اعداد دیگر از 50 تا 100، اما به ترتیب معکوس"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"لطفا توجه داشته باشید: مجموع هر جفت اعداد از ردیف های بالا و پایین یکسان است و برابر با 101 است! بیایید تعداد جفت ها را بشماریم، 50 است و مجموع یک جفت را در تعداد جفت ها ضرب کنیم! Voila: پاسخ آماده است!"

"اگر نتوانستید متوجه شوید، ناراحت نشوید!" "شما این روش را در کلاس نهم انتخاب خواهید کرد!"

روش گاوسی: توضیح شماره 2

معلم دیگری که کمتر شناخته شده است (با قضاوت بر اساس تعداد بازدیدها)، رویکرد علمی تری را اتخاذ می کند و الگوریتم حل 5 نقطه ای را ارائه می دهد که باید به صورت متوالی تکمیل شود.

برای افراد ناآشنا، 5 یکی از اعداد فیبوناچی است که به طور سنتی جادویی در نظر گرفته می شود. برای مثال، روش 5 مرحله ای همیشه علمی تر از روش 6 مرحله ای است. ...و این به سختی تصادفی است، به احتمال زیاد، نویسنده از طرفداران پنهان نظریه فیبوناچی است.

دانا پیشرفت حسابی: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

الگوریتم یافتن مجموع اعداد در یک سری با استفاده از روش گاوس:

مرحله 1: دنباله اعداد داده شده را به صورت معکوس بازنویسی کنید، دقیقازیر اولی

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

مرحله 2: مجموع جفت اعداد واقع در ردیف های عمودی را محاسبه کنید: 260.

مرحله 3: شمارش کنید که چند جفت در سری اعداد وجود دارد. برای انجام این کار، حداقل را از حداکثر تعداد سری اعداد کم کنید و بر اندازه گام تقسیم کنید: (256 - 4) / 6 = 42.

در عین حال، شما باید به یاد داشته باشید به علاوه یک قانون : باید یک را به ضریب به دست آمده اضافه کنیم: در غیر این صورت به نتیجه ای می رسیم که یک عدد کمتر از تعداد واقعی جفت ها است: 42 + 1 = 43.

مرحله 4: مجموع یک جفت اعداد را در تعداد جفت ها ضرب کنید: 260 x 43 = 11180

مرحله 5: از آنجایی که ما مقدار را محاسبه کرده ایم جفت اعداد، سپس مقدار حاصل باید بر دو تقسیم شود: 11180 / 2 = 5590.

این جمع مورد نیاز پیشروی حسابی از 4 تا 256 با اختلاف 6 است!

روش گاوس: توضیح در کلاس پنجم در یک سالن بدنسازی مسکو

در اینجا نحوه حل مشکل یافتن مجموع یک سری آمده است:

20+40+60+ ... +460+480+500

در کلاس پنجم یک سالن بدنسازی مسکو، کتاب درسی ویلنکین (به گفته پسرم).

پس از نمایش ارائه، معلم ریاضی چند مثال با استفاده از روش گاوسی نشان داد و به کلاس وظیفه داد که مجموع اعداد یک سری را با افزایش 20 پیدا کند.

این امر مستلزم موارد زیر بود:

مرحله 1: حتما تمام اعداد سری را در دفترچه یادداشت کنیداز 20 تا 500 (با افزایش 20).

گام 2: عبارت های متوالی را بنویسید - جفت اعداد:اولی با آخرین، دومی با ماقبل آخر و غیره. و مقدار آنها را محاسبه کنید.

مرحله 3: "مجموع مجموع" را محاسبه کنید و مجموع کل سری را پیدا کنید.

همانطور که می بینید، این فشرده تر است و تکنیک موثر: عدد 3 نیز عضوی از دنباله فیبوناچی است

نظرات من در مورد نسخه مدرسه روش گاوس

ریاضیدان بزرگ اگر پیش بینی می کرد که "روش" او توسط پیروانش به چه چیزی تبدیل می شود، قطعاً فلسفه را انتخاب می کرد. معلم آلمانی، که کارل را با میله شلاق زد. او نمادگرایی، مارپیچ دیالکتیکی و حماقت بی پایان «معلمان» را می دید. تلاش برای سنجش هماهنگی اندیشه های زنده ریاضی با جبر سوء تفاهم ....

در ضمن: آیا می دانستی؟ که سیستم آموزشی ما ریشه در مکتب آلمانی قرن 18 و 19 دارد؟

اما گاوس ریاضیات را انتخاب کرد.

ماهیت روش او چیست؟

که در ساده سازی. که در مشاهده و درکالگوهای ساده اعداد که در تبدیل ریاضی مدرسه خشک به فعالیت جالب و هیجان انگیز به جای مسدود کردن فعالیت ذهنی پر هزینه، میل به ادامه را در مغز فعال می کند.

آیا می توان از یکی از "اصلاحات روش" داده شده گاوس برای محاسبه مجموع اعداد یک پیشروی حسابی تقریباً استفاده کرد؟ فورا? طبق "الگوریتم ها"، کارل کوچولو تضمین می شود که از کتک زدن خودداری کند، از ریاضیات بیزاری کند و انگیزه های خلاقانه خود را در جوانه سرکوب کند.

چرا معلم به طور مداوم به دانش آموزان کلاس پنجم توصیه می کند که "از سوء تفاهم" این روش نترسند و آنها را متقاعد می کند که "چنین" مشکلات را از ابتدای کلاس نهم حل می کنند؟ عمل بی سواد روانی. این حرکت خوبی بود که باید به آن توجه کنید: "به امید دیدار در حال حاضر در کلاس 5 شما می توانیدمشکلاتی را که فقط در 4 سال تکمیل خواهید کرد را حل کنید! چه آدم بزرگی هستی!»

برای استفاده از روش گاوسی، سطح کلاس 3 کافی است، زمانی که کودکان عادی از قبل می دانند چگونه اعداد 2-3 رقمی را جمع، ضرب و تقسیم کنند. مشکلات ناشی از ناتوانی معلمان بزرگسالی است که «خارج از ارتباط» در توضیح ساده ترین چیزها به زبان عادی انسان، و البته ریاضیات... آنها نمی توانند مردم را به ریاضیات علاقه مند کنند و حتی کسانی را که به «ریاضیات» علاقه مند هستند، کاملاً دلسرد می کنند. توانا.»

یا، همانطور که پسرم اظهار داشت: "علم بزرگی از آن درست کردن."

چگونه در مورد کلی) دریابید که از کدام عدد باید برای "بسط" رکورد اعداد در روش شماره 1 استفاده کرد؟

اگر تعداد اعضای سریال مشخص شد چه باید کرد؟ فرد?

چرا تبدیل به "قانون به علاوه 1" چیزی است که یک کودک به سادگی می تواند فرا گرفتنحتی در کلاس اول، اگر "حس اعداد" را توسعه داده بودم، و به یاد نداشت"ده بشم"؟

و در نهایت: ZERO، اختراع درخشانی که بیش از 2000 سال قدمت دارد و معلمان ریاضی مدرن از استفاده از آن اجتناب می کنند، کجا رفته است؟!

روش گاوس، توضیحات من

من و همسرم این "روش" را برای فرزندمان توضیح دادیم، به نظر می رسد حتی قبل از مدرسه ...

سادگی به جای پیچیدگی یا بازی پرسش و پاسخ

"ببینید، این اعداد از 1 تا 100 هستند. چه می بینید؟"

نکته این نیست که کودک دقیقاً چه چیزی می بیند. ترفند این است که او را وادار به نگاه کردن کنید.

"چطور می توانید آنها را کنار هم قرار دهید؟" پسر متوجه شد که چنین سؤالاتی "درست" پرسیده نمی شوند و شما باید به این سوال "به نحوی متفاوت ، متفاوت از آنچه که معمولاً می کند" نگاه کنید.

مهم نیست که کودک فورا راه حل را ببیند، بعید است. مهم است که او دیگر از نگاه کردن نمی ترسم، یا به قول من: "تکلیف را جابجا کردم". این آغاز سفر به درک است

"کدام ساده تر است: اضافه کردن، به عنوان مثال، 5 و 6 یا 5 و 95؟" یک سوال پیشرو ... اما هر آموزشی به "هدایت" شخص به "پاسخ" خلاصه می شود - به هر شکلی که برای او قابل قبول باشد.

در این مرحله، ممکن است حدس هایی در مورد نحوه "صرفه جویی" در محاسبات وجود داشته باشد.

تنها کاری که انجام دادیم این بود که اشاره کنیم: روش شمارش «جلو، خطی» تنها روش ممکن نیست. اگر کودکی این را بفهمد، بعداً روش‌های بسیار دیگری از این دست پیدا خواهد کرد. چون جالبه!!!و او قطعاً از "سوء تفاهم" ریاضیات جلوگیری می کند و از آن احساس انزجار نخواهد کرد. او برنده شد!

اگر کودک کشف کردکه جمع کردن جفت اعدادی که مجموع آنها به صد می رسد یک تکه کیک است "پیشرفت حسابی با اختلاف 1"- یک چیز نسبتاً ترسناک و غیر جالب برای یک کودک - ناگهان برایش زندگی پیدا کرد . نظم از هرج و مرج پدید آمد و این همیشه باعث شور و شوق می شود: ما اینگونه ساخته شده ایم!

سوالی که باید پاسخ داد: چرا پس از دریافت بینش کودک، دوباره باید او را به چارچوب الگوریتم های خشک سوق داد که در این مورد از نظر عملکردی نیز بی فایده هستند؟!

چرا مجبور به بازنویسی احمقانه؟اعداد دنباله ای در دفترچه یادداشت: به طوری که حتی افراد توانا حتی یک شانس برای درک ندارند؟ البته از نظر آماری، اما آموزش انبوه به سمت "آمار" تنظیم شده است...

صفر کجا رفت؟

و با این حال، جمع اعدادی که مجموع آنها به 100 می رسد برای ذهن بسیار قابل قبول تر از اعدادی است که مجموع آنها به 101 می رسد.

"روش مدرسه گاوس" دقیقاً به این نیاز دارد: بی فکر تا کنیدجفت اعداد با فاصله مساوی از مرکز پیشروی، با وجود همه چیز.

اگه نگاه کنی چی؟

با این حال، صفر بزرگترین اختراع بشر است که بیش از 2000 سال قدمت دارد. و معلمان ریاضی همچنان او را نادیده می گیرند.

تبدیل یک سری از اعدادی که با 1 شروع می شوند به سری هایی که با 0 شروع می شوند بسیار ساده تر است. مجموع تغییر نمی کند، اینطور نیست؟ شما باید از "فکر کردن در کتاب های درسی" دست بردارید و شروع به جستجو کنید...و ببینید که جفت هایی با مجموع 101 را می توان به طور کامل با جفت هایی با مجموع 100 جایگزین کرد!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

چگونه قانون به علاوه 1 را لغو کنیم؟

راستش من اولین بار در مورد چنین قانونی از معلم یوتیوب شنیدم ...

وقتی باید تعداد اعضای یک سریال را تعیین کنم هنوز چه کار کنم؟

دنباله رو نگاه میکنم:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

و وقتی کاملا خسته شدید، سپس به یک ردیف ساده تر بروید:

1, 2, 3, 4, 5

و من تصور می کنم: اگر یک را از 5 کم کنید، 4 می گیرید، اما من کاملاً واضح هستم می بینم 5 عدد! بنابراین، شما باید یکی را اضافه کنید! حس عدد توسعه یافته در دبستان، پیشنهاد می کند: حتی اگر یک گوگل کامل از اعضای سری (قدرت 10 تا صدم) وجود داشته باشد، الگوی یکسان باقی می ماند.

لعنتی قوانینش چیه؟..

به طوری که در عرض یکی سه سال می توانید تمام فضای بین پیشانی و پشت سر خود را پر کنید و دیگر فکر نکنید؟ چگونه نان و کره خود را بدست آوریم؟ به هر حال، ما در رده‌های یکسان به عصر اقتصاد دیجیتال حرکت می‌کنیم!

بیشتر در مورد روش مکتب گاوس: "چرا علم را از این کار بسازیم؟..."

بیخود نبود که اسکرین شات از دفترچه یادداشت پسرم گذاشتم...

"در کلاس چه اتفاقی افتاد؟"

"خب، من بلافاصله شمردم، دستم را بالا بردم، اما او نپرسید، بنابراین، در حالی که دیگران در حال شمارش بودند، من شروع به انجام تکالیف به زبان روسی کردم، تا زمانی که دیگران نوشتن را تمام کردند. ???)، او من را به هیئت مدیره صدا زد و من پاسخ را گفتم.

معلم گفت: "درست است، به من نشان بده چگونه آن را حل کردی." من آن را نشان دادم. او گفت: "اشتباه، شما باید همانطور که من نشان دادم حساب کنید!"

"خوب است که او به من نمره بدی نداد و من را وادار کرد که "مسیر راه حل" را به روش خودشان بنویسم؟

جرم اصلی معلم ریاضی

به سختی بعد آن حادثهکارل گاوس برای معلم ریاضی مدرسه خود احساس احترام زیادی داشت. اما اگر می دانست چگونه پیروان آن معلم ماهیت روش را تحریف خواهد کرد... او با خشم و از میان سازمان جهانی غرش می کرد مالکیت معنوی WIPO به ممنوعیت استفاده از نام منصفانه خود در کتاب های درسی مدارس دست یافته است!

در چه اشتباه اصلیرویکرد مدرسه? یا به قول من جرم معلمان ریاضی مدرسه علیه بچه ها؟

الگوریتم سوء تفاهم

روش شناسان مدرسه که اکثریت قریب به اتفاق آنها نمی دانند چگونه فکر کنند، چه می کنند؟

آنها روش ها و الگوریتم ها را ایجاد می کنند (نگاه کنید به). این یک واکنش تدافعی که معلمان را از انتقاد محافظت می کند ("همه چیز طبق ... انجام می شود") و کودکان را از درک محافظت می کند. و بنابراین - از میل به انتقاد از معلمان!(دومین مشتق از «خرد» بوروکراتیک، رویکردی علمی به مسئله). کسی که معنی را درک نمی کند، به جای حماقت سیستم مدرسه، سوء تفاهم خود را مقصر می داند.

این چیزی است که اتفاق می افتد: والدین فرزندان خود را سرزنش می کنند و معلمان ... همین کار را برای کودکانی که "ریاضی نمی دانند!"

آیا باهوش هستی؟

کارل کوچولو چه کرد؟

یک رویکرد کاملاً غیر متعارف به یک کار فرمولی. این جوهر رویکرد اوست. این اصلی ترین چیزی که باید در مدرسه آموزش داده شود این است که نه با کتاب های درسی، بلکه با ذهن خود فکر کنید. البته یک قطعه ابزاری نیز وجود دارد که می توان از ... در جستجوی آن استفاده کرد ساده تر و روش های موثرحساب ها.

روش گاوس از نظر ویلنکین

در مدرسه می آموزند که روش گاوس این است

به صورت جفتمجموع اعداد را در فاصله مساوی از لبه های سری اعداد بیابید، مطمئناً از لبه ها شروع می شود!

تعداد این جفت ها و غیره را بیابید.

چی، اگر تعداد عناصر سریال فرد باشدهمانطور که در مشکلی که به پسرم محول شد؟..

"گرفتن" این است که در این مورد شما باید یک عدد "اضافی" را در سری پیدا کنیدو به مجموع جفت ها اضافه کنید. در مثال ما این عدد 260 است.

چگونه تشخیص دهیم؟ کپی کردن همه جفت اعداد در یک دفترچه!(به همین دلیل است که معلم بچه ها را مجبور به انجام این کار احمقانه می کند که سعی می کنند "خلاقیت" را با استفاده از روش گاوسی آموزش دهند... و به همین دلیل است که چنین "روشی" عملاً برای مجموعه داده های بزرگ قابل اجرا نیست و به همین دلیل است که نه روش گاوسی.)

کمی خلاقیت در روال مدرسه...

پسر جور دیگری عمل کرد.

ابتدا اشاره کرد که ضرب عدد 500 آسانتر است نه 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

سپس محاسبه کرد: تعداد گام ها فرد بود: 500 / 20 = 25.

سپس صفر را به ابتدای سریال اضافه کرد (اگرچه می شد آخرین ترم سریال را کنار گذاشت، که برابری را نیز تضمین می کرد) و اعداد را اضافه کرد که در مجموع 500 می شود.

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 مرحله 13 جفت "پانصد" است: 13 x 500 = 6500..

اگر آخرین ترم سری را کنار بگذاریم، جفت ها 12 می شوند، اما نباید فراموش کنیم که پانصد "دور انداخته شده" را به نتیجه محاسبات اضافه کنیم. سپس: (12*500) + 500 = 6500!

سخت نیست، درست است؟

اما در عمل حتی ساده تر می شود، که به شما امکان می دهد 2-3 دقیقه را برای سنجش از راه دور به زبان روسی اختصاص دهید، در حالی که بقیه "شمارش" هستند. علاوه بر این، تعداد مراحل روش را حفظ می کند: 5، که اجازه نمی دهد رویکرد به دلیل غیرعلمی بودن مورد انتقاد قرار گیرد.

بدیهی است که این رویکرد به سبک روش ساده‌تر، سریع‌تر و جهانی‌تر است. اما... معلم نه تنها تمجید نکرد، بلکه مرا مجبور کرد که آن را "به روش صحیح" بازنویسی کنم (به اسکرین شات مراجعه کنید). یعنی او تلاش مذبوحانه ای برای خفه کردن انگیزه خلاقانه و توانایی درک ریاضیات از ریشه انجام داد! ظاهراً برای اینکه بعداً به عنوان معلم خصوصی استخدام شود ... به شخص اشتباهی حمله کرد ...

همه چیزهایی را که طولانی و خسته کننده توصیف کردم قابل توضیح است به یک کودک عادیحداکثر در نیم ساعت همراه با مثال.

و به گونه ای که هرگز آن را فراموش نکند.

و خواهد شد قدم به سوی درکنه فقط ریاضیدانان.

بپذیرید: چند بار در زندگی خود با استفاده از روش گاوسی اضافه کرده اید؟ و من هرگز انجام ندادم!

ولی غریزه درک، که در فرآیند یادگیری توسعه می یابد (یا خاموش می شود). روش های ریاضیدر مدرسه... اوه!.. این واقعاً یک چیز غیرقابل جایگزین است!

به ویژه در عصر دیجیتالی شدن جهانی که ما بی سر و صدا تحت رهبری سختگیرانه حزب و دولت وارد شده ایم.

چند کلمه در دفاع از معلمان...

این ناعادلانه و اشتباه است که تمام مسئولیت این سبک تدریس را صرفاً بر عهده معلمان مدرسه بگذاریم. سیستم در حال اجرا است.

مقداریمعلمان پوچ بودن آنچه را که اتفاق می افتد می دانند، اما چه باید کرد؟ قانون آموزش، استانداردهای آموزشی ایالتی فدرال، روش ها، نقشه های تکنولوژیکیدرس... همه چیز باید «بر اساس و بر اساس» انجام شود و همه چیز مستند باشد. کنار رفت - در صف ایستاد تا اخراج شود. بیایید ریاکار نباشیم: حقوق معلمان مسکو بسیار خوب است ... اگر شما را اخراج کنند کجا بروید؟

بنابراین این سایت نه در مورد آموزش. او در مورد آموزش فردی، فقط راه ممکناز جمعیت خارج شوید نسل Z ...

در این مقاله روش به عنوان روشی برای حل سیستم های معادلات خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است. این روش تحلیلی است، یعنی به شما امکان می دهد یک الگوریتم راه حل را در آن بنویسید نمای کلیو سپس مقادیری را از نمونه های خاص در آنجا جایگزین کنید. برخلاف روش ماتریسی یا فرمول‌های کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس، می‌توانید با آن‌هایی که تعداد جواب‌های نامحدود دارند نیز کار کنید. یا اصلاً ندارند.

حل با استفاده از روش گاوسی به چه معناست؟

ابتدا باید سیستم معادلات خود را بنویسیم. به نظر می رسد این است. سیستم را بگیرید:

ضرایب به صورت جدول و عبارت های آزاد در ستونی جداگانه در سمت راست نوشته می شوند. ستون با شرایط آزاد برای راحتی از هم جدا شده است.

در مرحله بعد، ماتریس اصلی با ضرایب باید به شکل مثلث بالایی کاهش یابد. این نکته اصلی حل سیستم با استفاده از روش گاوسی است. به عبارت ساده، پس از دستکاری های خاص، ماتریس باید به گونه ای باشد که قسمت پایین سمت چپ آن فقط صفر باشد:

سپس، اگر دوباره ماتریس جدید را به عنوان یک سیستم معادلات بنویسید، متوجه خواهید شد که آخرین ردیف قبلاً حاوی مقدار یکی از ریشه ها است که سپس به معادله بالا جایگزین می شود، ریشه دیگری پیدا می شود و غیره.

این توضیح بیشتر راه حل با روش گاوسی است طرح کلی. اگر ناگهان سیستم راه حلی نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ یا تعداد آنها بی نهایت زیاد است؟ برای پاسخ به این سؤالات و بسیاری از سؤالات دیگر، لازم است تمام عناصر مورد استفاده در حل روش گاوسی را به طور جداگانه در نظر بگیریم.

ماتریس ها، خواص آنها

هیچ یک معنای پنهاندر ماتریس نیست این به سادگی یک راه راحت برای ثبت داده ها برای عملیات بعدی با آن است. حتی بچه های مدرسه هم نیازی به ترس از آنها ندارند.

ماتریس همیشه مستطیل شکل است، زیرا راحت تر است. حتی در روش گاوسی که همه چیز به ساخت ماتریس ختم می شود از نظر ظاهری مثلثی، ورودی حاوی یک مستطیل است که فقط در جایی که عددی وجود ندارد صفر است. صفرها ممکن است نوشته نشوند، اما ضمنی هستند.

ماتریس یک اندازه دارد. "عرض" آن تعداد ردیف ها (m) و "طول" تعداد ستون ها (n) است. سپس اندازه ماتریس A (معمولاً از حروف بزرگ برای نشان دادن آنها استفاده می شود) نامه ها) با A m×n نشان داده می شود. اگر m=n، این ماتریس مربع است و m=n ترتیب آن است. بر این اساس، هر عنصر ماتریس A را می توان با شماره ردیف و ستون آن نشان داد: a xy ; x - شماره ردیف، تغییرات، y - شماره ستون، تغییرات.

ب نقطه اصلی تصمیم گیری نیست. در اصل، تمام عملیات را می توان مستقیماً با خود معادلات انجام داد، اما نمادگذاری بسیار دست و پا گیرتر خواهد بود و در آن گیج شدن بسیار آسان تر خواهد بود.

تعیین کننده

ماتریس یک تعیین کننده نیز دارد. این خیلی مشخصه مهم. اکنون نیازی به یافتن معنای آن نیست، می توانید به سادگی نشان دهید که چگونه محاسبه می شود و سپس بگویید که چه ویژگی هایی از ماتریس تعیین می کند. ساده ترین راه برای یافتن دترمینال از طریق قطرها است. مورب های خیالی در ماتریس رسم می شوند. عناصر واقع در هر یک از آنها ضرب می شوند و سپس محصولات حاصل اضافه می شوند: مورب با شیب به سمت راست - با علامت مثبت، با شیب به سمت چپ - با علامت منفی.

توجه به این نکته بسیار مهم است که تعیین کننده فقط برای یک ماتریس مربع قابل محاسبه است. برای یک ماتریس مستطیلی، می توانید کارهای زیر را انجام دهید: از بین تعداد سطرها و تعداد ستون ها کوچکترین را انتخاب کنید (بگذارید k باشد)، و سپس به طور تصادفی k ستون و k ردیف را در ماتریس علامت گذاری کنید. عناصر در تقاطع ستون ها و ردیف های انتخاب شده یک ماتریس مربع جدید را تشکیل می دهند. اگر تعیین کننده چنین ماتریسی یک عدد غیر صفر باشد، آن را پایه مینور ماتریس مستطیلی اصلی می نامند.

قبل از شروع حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش گاوسی، محاسبه دترمینان ضرری ندارد. اگر معلوم شد که صفر است، بلافاصله می توانیم بگوییم که ماتریس یا تعداد بی نهایت راه حل دارد یا اصلاً هیچ کدام. در چنین مورد غم انگیز، شما باید بیشتر بروید و از رتبه ماتریس مطلع شوید.

طبقه بندی سیستم

چیزی به نام رتبه یک ماتریس وجود دارد. این حداکثر سفارشتعیین کننده آن، متفاوت از صفر (اگر ما در مورد پایه مینور به یاد بیاوریم، می توانیم بگوییم که رتبه ماتریس ترتیب پایه مینور است).

بر اساس موقعیت با رتبه، SLAE را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

• مشترک. Uدر سیستم های مشترک، رتبه ماتریس اصلی (شامل فقط ضرایب) با رتبه ماتریس توسعه یافته (با ستونی از عبارت های آزاد) منطبق است. چنین سیستم هایی یک راه حل دارند، اما نه لزوما یک راه حل، بنابراین سیستم های مشترک علاوه بر این به موارد زیر تقسیم می شوند:
• - مسلم - قطعی- داشتن یک راه حل واحد در سیستم های خاص، رتبه ماتریس و تعداد مجهولات (یا تعداد ستون ها که یکسان است) برابر است.
• - تعریف نشده -با تعداد بی نهایت راه حل رتبه ماتریس ها در چنین سیستم هایی کمتر از تعداد مجهولات است.
• ناسازگار. Uدر چنین سیستم‌هایی، رتبه‌های ماتریس اصلی و توسعه‌یافته بر هم منطبق نیستند. سیستم های ناسازگار راه حلی ندارند.

روش گاوس خوب است زیرا در حین حل به فرد اجازه می دهد یا یک اثبات روشن از ناسازگاری سیستم (بدون محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ) به دست آورد یا یک راه حل به شکل کلی برای سیستمی با تعداد بی نهایت راه حل.

تحولات ابتدایی

قبل از اینکه مستقیماً به حل سیستم بپردازید، می توانید آن را برای محاسبات کمتر و راحت تر کنید. این از طریق دگرگونی های ابتدایی حاصل می شود - به گونه ای که اجرای آنها به هیچ وجه پاسخ نهایی را تغییر نمی دهد. لازم به ذکر است که برخی از تبدیل های ابتدایی داده شده فقط برای ماتریس هایی معتبر هستند که منبع آنها SLAE بوده است. در اینجا لیستی از این تحولات آمده است:

1. تنظیم مجدد خطوط بدیهی است که اگر ترتیب معادلات را در رکورد سیستم تغییر دهید، این امر به هیچ وجه روی جواب تاثیری نخواهد داشت. در نتیجه، ردیف‌های ماتریس این سیستم را نیز می‌توان تعویض کرد، البته ستون عبارت‌های آزاد را فراموش نکردیم.
2. ضرب تمام عناصر یک رشته در یک ضریب معین. بسیار مفید! می توان از آن برای کوتاه کردن استفاده کرد اعداد بزرگدر ماتریس یا حذف صفر. بسیاری از تصمیمات، طبق معمول، تغییر نخواهند کرد، اما عملیات بیشترراحت تر خواهد شد. نکته اصلی این است که ضریب برابر با صفر نیست.
3. حذف ردیف هایی با فاکتورهای متناسب. این تا حدی از پاراگراف قبل ناشی می شود. اگر دو یا چند ردیف در یک ماتریس دارای ضرایب متناسب باشند، آنگاه وقتی یکی از سطرها بر ضریب تناسب ضرب/تقسیم شد، دو (یا دوباره، بیشتر) سطرهای کاملاً یکسان به دست می‌آیند، و ردیف‌های اضافی را می‌توان حذف کرد. فقط یکی
4. حذف یک خط پوچ اگر در حین تبدیل، ردیفی در جایی به دست آید که در آن همه عناصر، از جمله جمله آزاد، صفر باشند، آنگاه می توان چنین ردیفی را صفر نامید و از ماتریس خارج کرد.
5. افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر (در ستون های مربوطه)، ضرب در یک ضریب خاص. نامشخص ترین و مهم ترین تحول از همه. ارزش آن را دارد که با جزئیات بیشتری در مورد آن صحبت کنیم.

اضافه کردن یک رشته ضرب در یک ضریب

برای سهولت درک، ارزش آن را دارد که این فرآیند را مرحله به مرحله تجزیه کنیم. دو ردیف از ماتریس گرفته شده است:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ب 2

فرض کنید باید اولی را به دومی اضافه کنید، ضربدر ضریب "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

سپس ردیف دوم در ماتریس با یک ردیف جدید جایگزین می شود و ردیف اول بدون تغییر باقی می ماند.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

لازم به ذکر است که ضریب ضرب را می توان به گونه ای انتخاب کرد که در نتیجه جمع دو ردیف، یکی از عناصر ردیف جدید برابر با صفر شود. بنابراین، می توان معادله ای را در سیستمی به دست آورد که در آن یک مجهول کمتر وجود داشته باشد. و اگر دو معادله از این قبیل بدست آورید، می توان عملیات را دوباره انجام داد و معادله ای به دست آورد که حاوی دو مجهول کمتر باشد. و اگر هر بار یک ضریب از تمام ردیف هایی که زیر یک اصلی هستند را به صفر تبدیل کنید، می توانید مانند پله ها تا انتهای ماتریس پایین بروید و معادله ای با یک مجهول بدست آورید. به این می گویند حل سیستم با استفاده از روش گاوسی.

به طور کلی

بگذار یک سیستم وجود داشته باشد. دارای m معادله و n ریشه مجهول است. می توانید آن را به صورت زیر بنویسید:

ماتریس اصلی از ضرایب سیستم کامپایل شده است. ستونی از عبارت های آزاد به ماتریس توسعه یافته اضافه می شود و برای راحتی، با یک خط از هم جدا می شود.

• ردیف اول ماتریس با ضریب k = (-a 21 /a 11) ضرب می شود.
• اولین ردیف اصلاح شده و ردیف دوم ماتریس اضافه می شوند.
• به جای ردیف دوم، نتیجه اضافه از پاراگراف قبلی در ماتریس درج می شود.
• اکنون ضریب اول در دوم جدیدخط 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 است.

اکنون همان سری تبدیل ها انجام می شود، فقط ردیف اول و سوم درگیر است. بر این اساس، در هر مرحله از الگوریتم، عنصر a 21 با یک 31 جایگزین می شود. سپس همه چیز برای 41، ... a m1 تکرار می شود. نتیجه ماتریسی است که در آن اولین عنصر در ردیف ها صفر است. اکنون باید خط شماره یک را فراموش کنید و همان الگوریتم را از خط دو شروع کنید:

• ضریب k = (-a 32 /a 22);
• دومین خط اصلاح شده به خط "جاری" اضافه می شود.
• نتیجه اضافه به خطوط سوم، چهارم و غیره جایگزین می شود، در حالی که اولین و دومین بدون تغییر باقی می مانند.
• در ردیف های ماتریس دو عنصر اول از قبل برابر با صفر هستند.

الگوریتم باید تا زمانی که ضریب k = (-a m,m-1 /a mm) ظاهر شود تکرار شود. این بدان معنی است که در آخرین بارالگوریتم فقط برای معادله پایین انجام شد. اکنون ماتریس شبیه یک مثلث است یا شکل پلکانی دارد. در خط پایین برابری a mn × x n = b m وجود دارد. ضریب و جمله آزاد مشخص هستند و ریشه از طریق آنها بیان می شود: x n = b m /a mn. ریشه حاصل در خط بالایی جایگزین می شود تا x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. و به همین ترتیب بر اساس قیاس: در هر خط بعدی یک ریشه جدید وجود دارد و با رسیدن به "بالای" سیستم ، می توانید راه حل های زیادی پیدا کنید. تنها خواهد بود.

زمانی که هیچ راه حلی وجود ندارد

اگر در یکی از ردیف های ماتریس، همه عناصر به جز جمله آزاد برابر با صفر باشند، معادله مربوط به این ردیف مانند 0 = b به نظر می رسد. راه حلی ندارد. و از آنجایی که چنین معادله ای در سیستم گنجانده شده است، پس مجموعه راه حل های کل سیستم خالی است، یعنی منحط است.

زمانی که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد

ممکن است در ماتریس مثلثی داده شده هیچ ردیفی با یک عنصر ضریب معادله و یک جمله آزاد وجود نداشته باشد. فقط خطوطی هستند که وقتی بازنویسی شوند، شبیه معادله ای با دو یا چند متغیر به نظر می رسند. این بدان معنی است که سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است. در این صورت می توان پاسخ را در قالب یک راه حل کلی داد. چگونه انجامش بدهیم؟

تمامی متغیرهای ماتریس به دو دسته اصلی و آزاد تقسیم می شوند. موارد اساسی آنهایی هستند که "در لبه" ردیف ها در ماتریس گام قرار دارند. بقیه رایگان هستند. در حل کلی، متغیرهای پایه از طریق متغیرهای آزاد نوشته می شوند.

برای راحتی، ماتریس ابتدا در یک سیستم معادلات بازنویسی می شود. سپس در آخرین آنها، جایی که دقیقاً فقط یک متغیر اساسی باقی مانده است، در یک طرف باقی می ماند و بقیه چیزها به طرف دیگر منتقل می شود. این برای هر معادله با یک متغیر اساسی انجام می شود. سپس در معادلات باقیمانده، در صورت امکان، عبارت به دست آمده برای آن به جای متغیر پایه جایگزین می شود. اگر نتیجه مجدداً عبارتی باشد که فقط یک متغیر اساسی داشته باشد، دوباره از آنجا بیان می شود و به همین ترتیب تا زمانی که هر متغیر پایه به صورت عبارتی با متغیرهای آزاد نوشته شود. همین است تصمیم مشترک SLAU.

شما همچنین می توانید راه حل اساسی سیستم را پیدا کنید - به متغیرهای رایگان هر مقداری بدهید و سپس برای این مورد خاص مقادیر متغیرهای اساسی را محاسبه کنید. تعداد بی نهایت راه حل خاصی وجود دارد که می توان ارائه داد.

راه حل با مثال های خاص

در اینجا یک سیستم معادلات است.

برای راحتی، بهتر است بلافاصله ماتریس آن را ایجاد کنید

مشخص است که هنگام حل با روش گاوسی، معادله مربوط به ردیف اول در پایان تبدیل ها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اگر عنصر سمت چپ بالای ماتریس کوچکترین باشد، سود بیشتری خواهد داشت - سپس اولین عناصر ردیف های باقی مانده پس از عملیات به صفر تبدیل می شوند. این بدان معنی است که در ماتریس کامپایل شده، قرار دادن ردیف دوم به جای ردیف اول سودمند خواهد بود.

خط دوم: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

خط سوم: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

حال، برای اینکه گیج نشوید، باید یک ماتریس با نتایج میانی تبدیل ها بنویسید.

بدیهی است که چنین ماتریسی را می توان با استفاده از عملیات خاص برای درک راحت تر کرد. به عنوان مثال، می توانید با ضرب هر عنصر در "-1" تمام "منهای" را از خط دوم حذف کنید.

همچنین شایان ذکر است که در خط سوم همه عناصر مضرب سه هستند. سپس می توانید رشته را با این عدد کوتاه کنید و هر عنصر را در "-1/3" ضرب کنید (منهای - در همان زمان، برای حذف مقادیر منفی).

خیلی قشنگتر به نظر میرسه حالا باید خط اول را به حال خود رها کنیم و با خط دوم و سوم کار کنیم. وظیفه این است که خط دوم را به خط سوم اضافه کنیم، در چنین ضریبی ضرب کنیم که عنصر a 32 برابر با صفر شود.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (اگر در طول برخی از تبدیل ها پاسخ یک عدد صحیح نشد، توصیه می شود دقت محاسبات را حفظ کنید تا ترک کنید. آن را "همانطور که هست" به شکل کسر مشترک، و تنها پس از دریافت پاسخ ها، تصمیم بگیرید که آیا گرد و تبدیل به شکل دیگری از ضبط شود)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

ماتریس دوباره با مقادیر جدید نوشته می شود.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

همانطور که می بینید، ماتریس حاصل از قبل یک فرم پلکانی دارد. بنابراین، تغییرات بیشتر سیستم با استفاده از روش گاوسی مورد نیاز نیست. کاری که در اینجا می توان انجام داد حذف از خط سوم است ضریب کلی "-1/7".

حالا همه چیز زیباست. تنها کاری که باید انجام دهید این است که دوباره ماتریس را به شکل یک سیستم معادلات بنویسید و ریشه ها را محاسبه کنید.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

الگوریتمی که اکنون ریشه ها را با آن پیدا می کنند در روش گاوسی حرکت معکوس نامیده می شود. معادله (3) حاوی مقدار z است:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

و معادله اول به ما امکان می دهد x را پیدا کنیم:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

ما حق داریم چنین سیستمی را مشترک و حتی قطعی بنامیم، یعنی داشتن راه حل منحصر به فرد. پاسخ به شکل زیر نوشته شده است:

x 1 = -2/3، y = -65/9، z = 61/9.

نمونه ای از یک سیستم نامطمئن

نوع حل یک سیستم خاص با استفاده از روش گاوس مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

ظاهر سیستم قبلاً هشدار دهنده است ، زیرا تعداد مجهولات n = 5 است و رتبه ماتریس سیستم قبلاً دقیقاً کمتر از این عدد است ، زیرا تعداد ردیف ها m = 4 است ، یعنی بالاترین مرتبه تعیین کننده مربع 4 است. این بدان معنی است که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد و شما باید به دنبال ظاهر کلی آن باشید. روش گاوس برای معادلات خطی این امکان را به شما می دهد.

ابتدا، طبق معمول، یک ماتریس توسعه یافته کامپایل می شود.

خط دوم: ضریب k = (-a 21 /a 11) = -3. در خط سوم، اولین عنصر قبل از تبدیل است، بنابراین شما نیازی به لمس چیزی ندارید، باید آن را همانطور که هست رها کنید. خط چهارم: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

با ضرب عناصر ردیف اول در هر یک از ضرایب آنها و جمع آنها به ردیف های مورد نیاز، ماتریسی به شکل زیر به دست می آید:

همانطور که می بینید، ردیف های دوم، سوم و چهارم از عناصر متناسب با یکدیگر تشکیل شده اند. دوم و چهارم به طور کلی یکسان هستند، بنابراین یکی از آنها را می توان بلافاصله حذف کرد، و باقی مانده را می توان در ضریب "-1" ضرب کرد و خط شماره 3 را به دست آورد. و دوباره، از دو خط یکسان، یکی را ترک کنید.

نتیجه ماتریسی مانند این است. در حالی که سیستم هنوز نوشته نشده است، لازم است متغیرهای اساسی را در اینجا تعیین کنید - آنهایی که در ضرایب 11 = 1 و 22 = 1 ایستاده اند، و متغیرهای آزاد - بقیه.

در معادله دوم فقط یک متغیر اساسی وجود دارد - x 2. به این معنی که می توان آن را از آنجا با نوشتن آن از طریق متغیرهای x 3 , x 4 , x 5 که آزاد هستند بیان کرد.

عبارت به دست آمده را در معادله اول جایگزین می کنیم.

نتیجه معادله ای است که در آن تنها متغیر اصلی x 1 است. بیایید همان کار را با x 2 انجام دهیم.

همه متغیرهای اساسی که دوتا از آنها وجود دارد بر حسب سه متغیر آزاد بیان شده اند.

همچنین می توانید یکی از راه حل های خاص سیستم را مشخص کنید. برای چنین مواردی معمولاً صفرها به عنوان مقادیر متغیرهای آزاد انتخاب می شوند. سپس پاسخ این خواهد بود:

16, 23, 0, 0, 0.

نمونه ای از سیستم غیر تعاونی

حل سیستم های معادلات ناسازگار با استفاده از روش گاوس سریع ترین است. به محض اینکه در یکی از مراحل معادله ای به دست می آید که جواب ندارد، بلافاصله پایان می یابد. یعنی مرحله محاسبه ریشه که کاملا طولانی و خسته کننده است حذف می شود. سیستم زیر در نظر گرفته شده است:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

طبق معمول، ماتریس کامپایل می شود:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

و به شکل گام به گام کاهش می یابد:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

پس از اولین تبدیل، خط سوم شامل یک معادله از فرم است

بدون راه حل در نتیجه، سیستم ناسازگار است و پاسخ مجموعه خالی خواهد بود.

مزایا و معایب روش

اگر روشی را برای حل SLAE روی کاغذ با قلم انتخاب کنید، روشی که در این مقاله مورد بحث قرار گرفت، جذاب ترین به نظر می رسد. گیج شدن در تبدیل های ابتدایی بسیار دشوارتر از این است که مجبور باشید به صورت دستی یک ماتریس معکوس تعیین کننده یا معکوس را جستجو کنید. با این حال، اگر از برنامه هایی برای کار با این نوع داده ها استفاده می کنید، به عنوان مثال، صفحات گسترده، سپس معلوم می شود که چنین برنامه هایی قبلاً حاوی الگوریتم هایی برای محاسبه پارامترهای اصلی ماتریس ها - تعیین کننده ، جزئی ، معکوس و غیره هستند. و اگر مطمئن هستید که ماشین خودش این مقادیر را محاسبه می کند و اشتباه نمی کند، بهتر است از روش ماتریس یا فرمول های کرامر استفاده کنید، زیرا استفاده از آنها با محاسبه عوامل تعیین کننده شروع و پایان می یابد. ماتریس های معکوس.

کاربرد

از آنجایی که راه حل گاوسی یک الگوریتم است و ماتریس در واقع یک آرایه دو بعدی است، می توان از آن در برنامه نویسی استفاده کرد. اما از آنجایی که مقاله خود را به عنوان یک راهنمای "برای ساختگی ها" قرار می دهد، باید گفت که ساده ترین مکان برای قرار دادن روش در صفحات گسترده، به عنوان مثال، اکسل است. مجدداً، هر SLAE که به صورت ماتریس وارد جدول شود، توسط اکسل به عنوان یک آرایه دو بعدی در نظر گرفته می شود. و برای عملیات با آنها دستورات خوبی وجود دارد: جمع (شما فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید!)، ضرب در یک عدد، ضرب ماتریس ها (همچنین با محدودیت های خاص)، پیدا کردن ماتریس های معکوس و جابجا شده و از همه مهمتر ، محاسبه دترمینان. اگر این وظیفه وقت گیر با یک فرمان جایگزین شود، می توان رتبه ماتریس را با سرعت بیشتری تعیین کرد و بنابراین، سازگاری یا ناسازگاری آن را مشخص کرد.