حل یک سیستم معادلات ماتریسی. روش ماتریسی آنلاین

روش ماتریسی راه حل های SLAUبرای حل سیستم های معادلات که در آن تعداد معادلات با تعداد مجهولات مطابقت دارد، استفاده می شود. این روش به بهترین وجه برای حل سیستم های مرتبه پایین استفاده می شود. روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات خطی مبتنی بر کاربرد خواص ضرب ماتریس است.

این روش، به عبارت دیگر روش ماتریس معکوس،به این دلیل که راه حل به یک معادله ماتریسی معمولی کاهش می یابد که برای حل آن باید ماتریس معکوس را پیدا کنید.

روش حل ماتریسییک SLAE با یک دترمینان بزرگتر یا کوچکتر از صفر به شرح زیر است:

فرض کنید یک SLE (سیستم معادلات خطی) با nناشناخته (در یک زمینه دلخواه):

این بدان معنی است که می توان آن را به راحتی به فرم ماتریس تبدیل کرد:

AX=B، جایی که آ- ماتریس اصلی سیستم، بو ایکس- ستون‌هایی از شرایط رایگان و راه‌حل‌های سیستم، به ترتیب:

بیایید این معادله ماتریسی را از سمت چپ در ضرب کنیم A-1- ماتریس معکوس به ماتریس A: A -1 (AX)=A -1 B.

زیرا A-1 A=E، به معنای، X=A −1 B. قسمت راستمعادله ستون راه حل ها را می دهد سیستم اولیه. شرط کاربردی بودن روش ماتریس، عدم انحطاط ماتریس است آ. لازم و شرایط کافیاین بدان معنی است که تعیین کننده ماتریس برابر با صفر نیست آ:

detA≠0.

برای سیستم همگن معادلات خطی، یعنی اگر بردار B=0، قانون مخالف برقرار است: سیستم AX=0یک راه حل غیر پیش پا افتاده (یعنی مساوی با صفر نیست) تنها زمانی وجود دارد که detA=0. این ارتباط بین راه حل های سیستم های همگن و ناهمگن معادلات خطی نامیده می شود جایگزین فردهولم

بنابراین، راه حل SLAE روش ماتریسیطبق فرمول تولید می شود . یا راه حل SLAE با استفاده از آن پیدا می شود ماتریس معکوس A-1.

مشخص است که برای یک ماتریس مربع آسفارش nبر nوجود دارد ماتریس معکوس A-1فقط در صورتی که تعیین کننده آن غیر صفر باشد. بنابراین، سیستم nخطی معادلات جبریبا nمجهولات را با استفاده از روش ماتریسی تنها در صورتی حل می کنیم که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نباشد.

علیرغم اینکه امکان استفاده از این روش محدودیت هایی دارد و برای مقادیر زیاد ضرایب و سیستم ها مشکلات محاسباتی وجود دارد. نظم بالا، این روش را می توان به راحتی در رایانه پیاده سازی کرد.

مثالی از حل یک SLAE غیر همگن.

ابتدا، بیایید بررسی کنیم که آیا تعیین کننده ماتریس ضریب SLAEهای مجهول برابر با صفر نیست.

حالا پیدا می کنیم ماتریس اتحادیه، آن را جابجا کرده و در فرمول برای تعیین ماتریس معکوس جایگزین کنید.

متغیرها را در فرمول جایگزین کنید:

اکنون مجهولات را با ضرب ماتریس معکوس و ستون عبارات آزاد می یابیم.

بنابراین، x=2; y=1; z=4.

هنگام حرکت از شکل معمول SLAE به فرم ماتریس، مراقب ترتیب متغیرهای مجهول در معادلات سیستم باشید. مثلا:

نمی توان آن را به صورت زیر نوشت:

لازم است ابتدا متغیرهای مجهول را در هر معادله سیستم مرتب کنید و تنها پس از آن به نمادگذاری ماتریسی بروید:

علاوه بر این، در عوض باید در تعیین متغیرهای ناشناخته دقت کنید x 1، x 2، …، x nممکن است حروف دیگری وجود داشته باشد به عنوان مثال:

به شکل ماتریس آن را به صورت زیر می نویسیم:

بهتر است سیستم ها را با استفاده از روش ماتریسی حل کنیم معادلات خطی، که در آن تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نیست. هنگامی که بیش از 3 معادله در سیستم وجود دارد، یافتن ماتریس معکوس نیاز به تلاش محاسباتی بیشتری دارد، بنابراین، در این مورد، استفاده از روش گاوسی برای حل توصیه می شود.

هدف از خدمات. با استفاده از این ماشین حساب آنلاین، مجهولات (x 1، x 2، ...، x n) در یک سیستم معادلات محاسبه می شوند. تصمیم اجرا می شود روش ماتریس معکوس. که در آن:

• تعیین کننده ماتریس A محاسبه می شود.
• از طریق اضافات جبریماتریس معکوس A -1 یافت می شود.
• یک الگوی راه حل در اکسل ایجاد می شود.

تصمیم گیری مستقیماً در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش Word ارائه شده است (به فرمت نمونه مراجعه کنید).

دستورالعمل ها. برای به دست آوردن جواب با استفاده از روش ماتریس معکوس، باید ابعاد ماتریس را مشخص کنید. سپس در یک کادر محاوره ای جدید، ماتریس A و بردار نتایج B را پر کنید.

تعداد متغیرها 2 3 4 5 6 7 8 9 10

حل معادلات ماتریسی را نیز ببینید.

الگوریتم حل

1. تعیین کننده ماتریس A محاسبه می شود. اگر دترمینان صفر باشد، جواب تمام شده است. این سیستم بی نهایت راه حل دارد.
2. هنگامی که تعیین کننده با صفر متفاوت است، ماتریس معکوس A -1 از طریق جمع های جبری پیدا می شود.
3. بردار حل X =(x 1, x 2, ..., x n) با ضرب ماتریس معکوس در بردار نتیجه B به دست می آید.

مثال. با استفاده از روش ماتریسی راه حلی برای سیستم پیدا کنید. بیایید ماتریس را به شکل زیر بنویسیم:
اضافات جبری

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1.3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3.1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1،0،1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
معاینه:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. روش ماتریسی به شما امکان می دهد راه حل هایی برای SLAE (سیستم معادلات جبری خطی) با هر پیچیدگی پیدا کنید. کل فرآیند حل SLAE به دو عمل اصلی خلاصه می شود:

تعیین ماتریس معکوس بر اساس ماتریس اصلی:

ضرب ماتریس معکوس حاصل در بردار ستونی از راه حل ها.

فرض کنید یک SLAE به شکل زیر به ما داده می شود:

\[\left\(\begin(ماتریس) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end (ماتریس)\راست.\]

بیایید حل این معادله را با نوشتن ماتریس سیستم شروع کنیم:

ماتریس سمت راست:

بیایید ماتریس معکوس را تعریف کنیم. شما می توانید یک ماتریس مرتبه دوم را به صورت زیر بیابید: 1 - خود ماتریس باید غیر مفرد باشد. 2 - عناصر آن که روی مورب اصلی قرار دارند با هم عوض می شوند و برای عناصر قطر ثانویه علامت را به سمت مقابل تغییر می دهیم و پس از آن عناصر به دست آمده را بر تعیین کننده ماتریس تقسیم می کنیم. ما گرفتیم:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\arrow arrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ شروع (pmatrix) -11 \\ 31 \end (pmatrix) \]

2 ماتریس در صورتی برابر در نظر گرفته می شوند که عناصر متناظر آنها برابر باشند. در نتیجه، ما پاسخ زیر را برای راه حل SLAE داریم:

کجا می توانم یک سیستم معادلات را با استفاده از روش ماتریسی به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادلات آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیابید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه VKontakte ما بپرسید.

در نظر بگیریم سیستم معادلات جبری خطی(SLAU) نسبتاً nناشناخته ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n :

این سیستم به شکل "فرسوده" را می توان به صورت زیر نوشت:

اس n i=1 آ ij ایکس j = ب من , i=1,2, ..., n.

مطابق با قانون ضرب ماتریس، سیستم معادلات خطی در نظر گرفته شده را می توان در آن نوشت فرم ماتریسی تبر = ب، جایی که

, ,.

ماتریس آکه ستون های آن ضرایب مجهولات مربوطه و سطرها ضرایب مجهولات در معادله مربوطه نامیده می شود. ماتریس سیستم. ماتریس ستونی بکه عناصر آن سمت راست معادلات سیستم هستند، ماتریس سمت راست یا به سادگی نامیده می شود. سمت راست سیستم. ماتریس ستونی ایکس ، که عناصر آن مجهولات مجهول هستند، نامیده می شود راه حل سیستم.

سیستمی از معادلات جبری خطی که به شکل نوشته شده است تبر = ب، است معادله ماتریسی.

اگر ماتریس سیستم غیر منحط، سپس دارای یک ماتریس معکوس است و سپس راه حل سیستم است تبر = ببا فرمول داده می شود:

x=A -1 ب.

مثالسیستم را حل کنید روش ماتریسی

راه حلبیایید ماتریس معکوس را برای ماتریس ضرایب سیستم پیدا کنیم

بیایید با بسط دادن در امتداد خط اول، تعیین کننده را محاسبه کنیم:

از آنجا که Δ ≠ 0 ، آن آ -1 وجود دارد.

ماتریس معکوس به درستی پیدا شد.

بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

از این رو، ایکس 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3 .

معاینه:

7. قضیه کرونکر-کاپلی در مورد سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی.

سیستم معادلات خطیدارای فرم:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

در اینجا a i j و b i (i = ; j = ) داده می شود و x j اعداد حقیقی مجهول هستند. با استفاده از مفهوم حاصلضرب ماتریس ها می توان سیستم (5.1) را به شکل زیر بازنویسی کرد:

که در آن A = (a i j) ماتریسی متشکل از ضرایب مجهولات سیستم (5.1) است که نامیده می شود. ماتریس سیستم, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T بردارهای ستونی هستند که به ترتیب از مجهولات x j و عبارات آزاد b i تشکیل شده اند.

مجموعه سفارش داده شده nاعداد حقیقی (c 1, c 2,..., c n) نامیده می شود راه حل سیستم(5.1)، اگر در نتیجه جایگزینی این اعداد به جای متغیرهای متناظر x 1، x 2،...، x n، هر معادله سیستم به یک هویت حسابی تبدیل شود. به عبارت دیگر، اگر بردار C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T وجود داشته باشد به طوری که AC  B.

سیستم (5.1) نامیده می شود مفصل،یا قابل حل،اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم نامیده می شود ناسازگار،یا غیر قابل حل، اگر راه حلی نداشته باشد.

,

که با اختصاص ستونی از عبارت های آزاد به سمت راست ماتریس A تشکیل می شود، نامیده می شود ماتریس توسعه یافته سیستم

مسئله سازگاری سیستم (5.1) با قضیه زیر حل می شود.

قضیه کرونکر-کاپلی . سیستم معادلات خطی اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه‌های ماتریس‌های A و A با هم منطبق باشند، یعنی. r(A) = r(A) = r.

برای مجموعه M از راه حل های سیستم (5.1) سه احتمال وجود دارد:

1) M =  (در این مورد سیستم ناسازگار است).

2) M از یک عنصر تشکیل شده است، یعنی. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (در این مورد سیستم نامیده می شود مسلم - قطعی);

3) M از بیش از یک عنصر تشکیل شده است (سپس سیستم فراخوانی می شود نا معلوم). در حالت سوم، سیستم (5.1) دارای بی نهایت جواب است.

سیستم تنها در صورتی که r(A) = n راه حل منحصر به فردی دارد. در این حالت، تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات (mn) نیست. اگر m>n، پس معادلات m-nپیامدهای دیگران هستند اگر 0

برای حل یک سیستم دلخواه از معادلات خطی، باید بتوانید سیستم هایی را حل کنید که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است - به اصطلاح سیستم های نوع کرامر:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

سیستم های (5.3) به یکی از روش های زیر حل می شوند: 1) روش گاوس، یا روش حذف مجهولات. 2) طبق فرمول های کرامر؛ 3) روش ماتریسی.

مثال 2.12. سیستم معادلات را کاوش کنید و در صورت سازگاری آن را حل کنید:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7،

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

راه حل.ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم:

 .

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم. واضح است که مثلاً مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالا = 7  0; مینورهای مرتبه سوم حاوی آن برابر با صفر هستند:

در نتیجه، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است، یعنی. r(A) = 2. برای محاسبه رتبه ماتریس توسعه یافته A، مینور مرزی را در نظر بگیرید.

این بدان معنی است که رتبه ماتریس توسعه یافته r(A) = 3. از آنجایی که r(A)  r(A)، سیستم ناسازگار است.

معادلات به طور کلی، معادلات جبری خطی و سیستم های آنها و همچنین روش های حل آنها، جایگاه ویژه ای را در ریاضیات، چه به صورت نظری و چه کاربردی، به خود اختصاص داده اند.

این به این دلیل است که اکثریت قریب به اتفاق مسائل فیزیکی، اقتصادی، فنی و حتی آموزشی را می توان با استفاده از انواع معادلات و سیستم های آنها توصیف و حل کرد. اخیراً مدل‌سازی ریاضی در بین محققان، دانشمندان و پزشکان تقریباً در تمام زمینه‌های موضوعی محبوبیت خاصی پیدا کرده است، که با مزایای آشکار آن نسبت به سایر روش‌های شناخته شده و اثبات شده برای مطالعه اشیاء با طبیعت‌های مختلف، به ویژه، به اصطلاح پیچیده توضیح داده می‌شود. سیستم های. تعاریف مختلفی از یک مدل ریاضی توسط دانشمندان در زمان‌های مختلف ارائه شده است، اما به نظر ما موفق‌ترین آنها عبارت زیر است. مدل ریاضی ایده ای است که با یک معادله بیان می شود. بنابراین، توانایی ترکیب و حل معادلات و سیستم های آنها از ویژگی های جدایی ناپذیر یک متخصص مدرن است.

برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، متداول ترین روش های مورد استفاده کرامر، جردن-گاوس و روش ماتریسی است.

روش حل ماتریسی روشی برای حل سیستم معادلات جبری خطی با تعیین کننده غیر صفر با استفاده از ماتریس معکوس است.

اگر ضرایب کمیت های مجهول xi را در ماتریس A بنویسیم، کمیت های مجهول را در ستون بردار X و عبارات آزاد را در ستون برداری B جمع آوری کنیم، سیستم معادلات جبری خطی را می توان به شکل زیر نوشت: زیر معادله ماتریس A · X = B، که تنها زمانی یک راه حل منحصر به فرد دارد که تعیین کننده ماتریس A برابر با صفر نباشد. در این صورت جواب سیستم معادلات را می توان به صورت زیر یافت ایکس = آ-1 · ب، جایی که آ-1 ماتریس معکوس است.

روش حل ماتریسی به شرح زیر است.

اجازه دهید به ما یک سیستم معادلات خطی داده شود nناشناخته:

می توان آن را به صورت ماتریسی بازنویسی کرد: تبر = ب، جایی که آ- ماتریس اصلی سیستم، بو ایکس- ستون هایی از شرایط رایگان و راه حل های سیستم به ترتیب:

بیایید این معادله ماتریسی را از سمت چپ در ضرب کنیم آ-1 - ماتریس معکوس ماتریس آ: آ -1 (تبر) = آ -1 ب

زیرا آ -1 آ = E، ما گرفتیم ایکس= A -1 ب. سمت راست این معادله ستون حل سیستم اصلی را نشان می دهد. شرط کاربردی بودن این روش (و همچنین وجود راه حل به طور کلی) نیست سیستم همگنمعادلات خطی با تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات) عدم انحطاط ماتریس است. آ. شرط لازم و کافی برای این کار این است که تعیین کننده ماتریس برابر با صفر نباشد آ:det آ≠ 0.

برای یک سیستم همگن از معادلات خطی، یعنی زمانی که بردار ب = 0 ، در واقع قانون مخالف: سیستم تبر = 0 یک راه حل غیر ضروری (یعنی غیر صفر) دارد فقط در صورتی که det باشد آ= 0. چنین ارتباطی بین راه حل های سیستم های همگن و ناهمگن معادلات خطی جایگزین فردهولم نامیده می شود.

مثال راه حل های یک سیستم ناهمگن معادلات جبری خطی.

اجازه دهید مطمئن شویم که تعیین کننده ماتریس، متشکل از ضرایب مجهولات سیستم معادلات جبری خطی، برابر با صفر نیست.

مرحله بعدی محاسبه مکمل های جبری برای عناصر ماتریس متشکل از ضرایب مجهولات است. آنها برای یافتن ماتریس معکوس مورد نیاز خواهند بود.