عوامل تعیین کننده و خواص آنها تعیین کننده های مرتبه دوم و خواص آنها

درس 2

2.1 تعیین کننده های مرتبه دوم

تعیین کننده مرتبه دوم(مرتبط با این ماتریس

) عدد نامیده می شود

مثال 1: بیایید تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنیم

مثال 2.تعیین کننده های مرتبه دوم را محاسبه کنید:

2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

=

2.2 تعیین کننده های مرتبه سوم

اجازه دهید یک ماتریس مربع مرتبه سوم داده شود:

الف=

تعیین کننده (یا تعیین کننده) مرتبه سوممربوط به یک ماتریس داده شده عدد است

detالف = =

مثال 3

راه حل اول:

فرمول طولانی است و اشتباه کردن به دلیل بی دقتی آسان است. چگونه از اشتباهات آزار دهنده جلوگیری کنیم؟ برای این منظور روش دوم محاسبه دترمینان ابداع شد که در واقع با روش اول منطبق است. روش ساروس یا روش نوارهای موازی نامیده می شود. نکته اصلی این است که در سمت راست تعیین کننده، ستون های اول و دوم را اختصاص دهید و با مداد خطوط را با دقت بکشید:

ضرب کننده های واقع در مورب های "قرمز" در فرمول با علامت "به علاوه" گنجانده شده است. ضرب کننده های واقع در مورب های "آبی" با علامت منفی در فرمول گنجانده شده است:

مثال 3

راه حل دوم:

دو راه حل را با هم مقایسه کنید. به راحتی می توان فهمید که این یک چیز است، فقط در مورد دوم عوامل فرمول کمی تغییر می کنند و مهمتر از همه، احتمال اشتباه بسیار کمتر است.

مثال 4

تعیین کننده مرتبه سوم را محاسبه کنید:

مثال 5

تعیین کننده مرتبه سوم را محاسبه کنید

تمرین 2

وظیفه شماره 1، که…

راه حل:

که

با شرط ، سپس

وظیفه شماره 2موضوع: تعیین کننده های مرتبه دوماگر تعیین کننده مرتبه دوم

، که…

راه حل:

در مورد ما داریم

با شرط ، سپس

وظیفه شماره 3

موضوع: تعیین کننده های مرتبه دوماگر تعیین کننده مرتبه دوم

، که…

راه حل:از آنجایی که تعیین کننده مرتبه دوم برابر است با عددی که توسط قانون به دست می آید:

که

با شرط ، سپس

وظیفه شماره 4موضوع: تعیین کننده های مرتبه دوماگر تعیین کننده درجه دوم باشد، پس...

راه حل:یادآوری می کنیم که تعیین کننده مرتبه دوم برابر با عددی است که توسط قانون به دست می آید:

در مورد ما داریم

با شرط ، سپس

وظیفه شماره 5موضوع: تعیین کننده های مرتبه سوممقدار تعیین کننده مرتبه سوم را می توان با استفاده از "قاعده مثلث ها" محاسبه کرد که به صورت شماتیک در شکل ها نشان داده شده است. سپس تعیین کننده ...

راه حل:

وظیفه شماره 6

موضوع: تعیین کننده های مرتبه سوممقدار تعیین کننده مرتبه سوم را می توان با استفاده از "قاعده مثلث ها" محاسبه کرد که به صورت شماتیک در شکل ها نشان داده شده است. سپس تعیین کننده ...

راه حل:تعیین کننده مرتبه سوم برابر با مجموعشش عبارت، که سه عبارت با علامت "+" و سه عبارت با علامت "-" گرفته شده است. قانون محاسبه عبارات با علامت "+" به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده است. 1. یکی از اصطلاحات برابر است با حاصل ضرب عناصر تعیین کننده که روی قطر اصلی قرار دارد. هر یک از دو مورد دیگر به عنوان حاصلضرب عناصری که روی موازی این قطر قرار دارند، با افزودن عامل سوم از گوشه مقابل تعیین کننده، یافت می شود. عبارات با علامت "-" به همین ترتیب به دست می آیند، اما نسبت به قطر دوم (شکل 2). سپس

کار مستقل 2

وظیفه شماره 1موضوع: تعیین کننده های مرتبه دوماگر تعیین کننده مرتبه دوم ، که…

سخنرانی 2.مقدماتی

تعیین کننده های مرتبه دوم

تعیین کننده های مرتبه سوم

متمم ها و جزئی های جبری

گسترش دترمینان بر اساس سطر یا ستون

خواص عوامل تعیین کننده

ماتریس معکوس

ویژگی های یک ماتریس معکوس

1. تعیین کننده های مرتبه دوم

مفهوم تعیین کننده معرفی شده است فقط برای ماتریس مربع.

تعیین کنندهعددی است که طبق قوانین خاصی محاسبه می شود. ترتیب تعیین کنندهترتیب ماتریس مربع است. اگر از براکت های گرد برای تعیین ماتریس ها استفاده می شد، در تئوری تعیین کننده ها از براکت های مستقیم استفاده می شود.

اجازه دهید هر ماتریس مربع را با یک عدد مشخص مرتبط کنیم که آن را فراخوانی خواهیم کرد تعیین کننده ماتریس،و قاعده محاسبه آن را مشخص کنید. تعیین ها :

.

مثال 1.
.

2. تعیین کننده های مرتبه سوم

هر محصول شامل اعداد یک ستون یا یک ردیف نیست.

بیایید نموداری برای به خاطر سپردن ترتیب به دست آوردن اصطلاحات در تعیین کننده ارائه دهیم.

حاصل ضرب اعداد در یک مورب با علامت "+" گرفته می شود (این مورب اصلی ماتریس است) و از سوی دیگر - با علامت مخالف.

مثال 2.

3. متمم ها و جزئی های جبری

برای محاسبه تعیین کننده های ترتیب بیشتر از سه، از روش های محاسباتی دیگری استفاده می شود.

مثال 3.جزئی
تعیین کننده وجود دارد.

.

یادآوری آن مفید است
و
.

مثال 4.در مثال 3، جمع جبری

4. بسط تعیین کننده در یک ردیف یا ستون

محاسبه تعیین کننده مرتبه ام را می توان به محاسبه تعیین کننده های ترتیب کاهش داد
با استفاده از فرمول های زیر

این عدد برابر است با مجموع محصولات عناصرهر هفتمخطوط روی مکمل های جبری آنها.

مثال 5. تعیین کننده مرتبه سوم را محاسبه کنید
گسترش در امتداد ردیف اول

راه حل

این عدد برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر هر یک ستون بر روی آنها اضافات جبری.

صرف نظر از روش تجزیه، همیشه پاسخ یکسانی به دست می آید.

5. خواص عوامل تعیین کننده

1. هنگام جابجایی یک ماتریس مربع تعیین کننده آن تغییر نمی کند:
.

نتیجه گیریویژگی های تعیین کننده های فرموله شده برای ردیف ها برای ستون ها نیز معتبر است.

2. هنگام تنظیم مجدد دو رشته (ستون ها) تعیین کننده علامت را به عکس تغییر می دهد. به عنوان مثال،
.

3. تعیین کننده صفر است ، اگر:

الف) دارای یک ردیف (ستون) صفر است.
;

ب) دارای ردیف (ستون) متناسب (یکسان) باشد.
.

4. عامل مشترک در ردیف (ستون) می تواند به عنوان یک علامت تعیین کننده خارج شود. به عنوان مثال،
.

5. تعیین کننده تغییر نمی کند ، اگر عناصر مربوط به یک ردیف دیگر را در هر عددی ضرب کنید به عناصر یک ردیف اضافه کنید (کم کنید).

به عنوان مثال،
.

6. اگر در تعیین هر عنصر ردیف مجموع است دو جمله، پس این تعیین کننده برابر است با مجموع دو تعیین کننده:

.

7. تعیین کننده حاصل ضرب دو ماتریس مربع به همان ترتیب برابر است با حاصل ضرب عوامل تعیین کننده این ماتریس ها:

.

8. تعیین کننده یک ماتریس مثلثی مربعی برابر حاصلضرب عناصر روی مورب اصلی:

.

6. ماتریس معکوس

به جای عملیات تقسیم ماتریس، مفهوم معرفی شده است ماتریس معکوس

با ماتریس معکوس نشان داده می شود
, یعنی .

قیاس با اعداد واضح است: برای عدد 2، عدد ½ معکوس است، زیرا
. به همین دلیل است که ماتریس معکوس A نشان داده می شود
.

قضیه «شرط لازم و کافی برای وجود ماتریس معکوس». به منظور ماتریس مربع ماتریس معکوس داشت
، لازم و کافی است که تعیین کننده ماتریس برابر صفر نبود

قانون پیدا کردن ماتریس معکوس

0) بیایید ببینیم که آیا ماتریس مربع است یا خیر. اگر نه، پس ماتریس معکوس وجود ندارد. اگر مربع است، به مرحله 1 بروید.

1) محاسبه دترمینان ماتریس
: اگر صفر نباشد، ماتریس معکوس وجود دارد:
; اگر برابر با صفر باشد، ماتریس معکوس وجود ندارد.

2) برای هر عنصر ماتریس متمم جبری آن را محاسبه می کنیم .

3) ماتریسی از اضافات جبری را می سازیم که سپس آن را جابجا می کنیم:
.

4) هر عنصر ماتریس
تقسیم بر تعیین کننده :
ماتریس معکوس این یکی را بدست می آوریم.

7. یافتن ماتریس معکوس برای ماتریس های مرتبه دوم

مثال 6.با توجه به یک ماتریس
. ماتریس معکوس را پیدا کنید.

راه حل.

معاینه.بیایید مطمئن شویم که ماتریس معکوس واقعاً پیدا شده است. بیایید حاصل ضرب ماتریس ها را پیدا کنیم و
.

8. خواص ماتریس معکوس

1.
,

که در آن A و B ماتریس های مربع غیرمفرد از یک مرتبه هستند.

2.
.

3.
.

4.
.

سوالات امنیتی

تعیین کننده مرتبه دوم چیست؟

چگونه تعیین کننده مرتبه سوم را محاسبه کنیم؟

چگونه با استفاده از قانون مثلث، تعیین کننده مرتبه سوم را محاسبه کنیم؟

مکمل جبری یک عنصر تعیین کننده چیست؟ برای تعیین کننده های مرتبه 2 و 3 مثال بزنید.

بسط های تعیین کننده مرتبه سوم را روی عناصر یک ردیف دلخواه و یک ستون دلخواه بنویسید.

درس عملی

موضوع: محاسبه عوامل تعیین کننده

اهداف:ساعت تقویت مفاهیم تعیین کننده ها و خواص آنها،برای شکل دادن و تثبیت مهارت ها و توانایی ها تعیین کننده های مرتبه 2 و 3 را محاسبه کنید. توانایی جمع بندی دانش کسب شده، انجام تجزیه و تحلیل و مقایسه، ارتقاء توسعه را توسعه دهید تفکر منطقی; پرورش نگرش آگاهانه نسبت به فرآیند یادگیری در دانش آموزان.

ط. اصول نظری کلی

یک تعیین کننده مرتبه دوم یک عدد است

یک تعیین کننده مرتبه سوم یک عدد است

خواص عوامل تعیین کننده

ملک 1.
اگر تمام سطرها با ستون های مربوطه جایگزین شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند و بالعکس.

ملک 2.
هنگامی که هر دو سطر یا ستون مبادله می شود، دترمینان علامت را تغییر می دهد.

ملک 3.
یک تعیین کننده اگر دو ردیف (ستون) مساوی داشته باشد برابر با صفر است.

ملک 4.
یک عامل مشترک برای همه عناصر یک ردیف یا ستون را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

ملک 5.
اگر عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگری به عناصر یک سطر یا ستون اضافه شود، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

نتیجه‌ای از ویژگی‌های 4 و 5: اگر به عناصر یک سطر یا ستون، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر را ضرب در عدد معینی اضافه کنید، تعیین کننده تغییر نمی‌کند.

سوالات امنیتی:

1. تعریف ماتریس را ارائه دهید.
2. نماد به چه معناست؟ ?
3. کدام ماتریس را با توجه به ماتریس A جابجا می کنند؟
4. به چه ماتریسی مربع از مرتبه n می گویند؟
5. تعیین کننده مرتبه دوم را تعریف کنید.

6. تعریف یک تعیین کننده مرتبه 3 را ارائه دهید.

7. تعیین کننده یک ماتریس جابجا شده چیست؟

8. اگر 2 سطر (ستون) در ماتریس جابجا شوند، مقدار دترمینانت چگونه تغییر می کند؟

9. آیا می توان عامل مشترک سطر یا ستون را از علامت تعیین خارج کرد؟

10. اگر همه عناصر یک ردیف (ستون) معین برابر با 0 باشند، تعیین کننده چیست؟

11. اگر دو سطر (ستون) یکسان داشته باشد، تعیین کننده با چه چیزی برابر است؟

12. یک قاعده برای محاسبه تعیین کننده مرتبه 2 فرموله کنید.

13. قاعده ای برای محاسبه تعیین کننده مرتبه 3 تدوین کنید.

II . شکل گیری مهارت ها و توانایی ها.

مثال 1.شما تعیین کننده را شماره می کنید الف) طبق قاعده مثلث ب) طبق قانون ساروس؛

ج) با روش بسط توسط عناصر ردیف اول

راه حل:

ب) دو ستون اول را جمع کنید و حاصل ضرب سه عنصر را در امتداد مورب اصلی و موازی آن با علامت (+) و سپس در امتداد مورب ثانویه و موازی با آن با علامت (-) محاسبه کنید:

دریافت می کنیم:

مثال 2.تعیین کننده را محاسبه کنید به دو صورت: با استفاده از بسط ردیف اول و قانون مثلث.

راه حل:

مثال 3.تعیین کننده را با استفاده از خواص زیر محاسبه کنید:

III .تقویت مواد مورد مطالعه.

شماره 1. محاسبه عوامل تعیین کننده:

№ 2- معادلات را حل کنید:

شماره 4. محاسبه دترمینال ها با استفاده از خواص:

1 .
. 2.
. 3.
. 4 .
.

ادبیات

1. Pismenny, D. T. یادداشت های سخنرانی در مورد ریاضیات عالی: یک دوره کامل توسط D. T. Pismenny. – ویرایش نهم – م.: Iris-press, 2009. 608 p.: ill. – ( آموزش عالی).

2. Lungu, K. N. مجموعه مسائل در ریاضیات عالی. سال اول / K. N. Lungu, D. T. Pismenny, S. N. Fedin, Yu. – ویرایش هفتم – م.: Iris-press, 1387. 576 ص: – (آموزش عالی).

در عمل، یک محقق اغلب باید با کمیت‌های ناشناخته‌ای که با وابستگی‌های از پیش تعیین‌شده خاصی که می‌توانند با هر فرمولی به هم مرتبط هستند، سر و کار داشته باشد. اگر تعدادی از شرایط رعایت شود:

1. ضرایب در فرمول ها ثابت هستند،
2. مجهولات فقط تا درجه اول در فرمول ها گنجانده می شوند،
3. هیچ اثری بین خود مجهولات وجود ندارد،

سپس چنین وابستگی هایی خطی نامیده می شوند.

مثال. در آزمایشگاه، 10 نمونه دارای وزن کلی 280 گرم هستند، اگر ظرف 15 گرم وزن داشته باشد، میانگین وزن یک نمونه را بیابید.

راه حل. برای پاسخ به سوال از یک معادله ساده استفاده می کنیم:

با x وزن متوسط ​​یک نمونه را نشان می دهد. جواب معادله 26.5 گرم خواهد بود.

مثال. در آزمایشگاه 10 نمونه دریافتی از دپارتمان 1 و 10 نمونه دریافتی از دپارتمان 2 دارای وزن کلی 280 گرم بوده و 5 نمونه از مجموعه اول و 2 نمونه از مجموعه دوم دارای وزن کلی 128 گرم هستند میانگین وزن نمونه ها در هر مجموعه

راه حل. برای پاسخ به سوال، دو معادله ایجاد می کنیم که با x میانگین وزن نمونه سنگ 1 و با y میانگین وزن نمونه سنگ 2 را نشان می دهیم.

10x+10y=280; 5x+2y=128،

با حل آن، x=24 g را بدست می آوریم. y=4 گرم

در هر دو مثال در نظر گرفته شده، ما با آن سروکار داشتیم وابستگی های خطی: در حالت اول – با خطی معادله، و در دوم - با خطی سیستم معادلات.

ضرایب را با حروف جایگزین می کنیم و می گیریم سیستم خطیمعادلات:

تعریف 1. ماتریس هر جدول مستطیلی که از اعداد تشکیل شده باشد را فراخوانی می کنیمیک ij

تعریف 2. عناصریک ij که ماتریس از آن تشکیل شده است عناصر این ماتریس نامیده می شوند

تعریف 3. تعیین کننده مرتبه دوم یا تعیین کننده, مربوط به ماتریس (1.2) بیا با شماره تماس بگیریم D به گونه ای که

(1.3)

تعیین کننده با حروف D یا و نوشته می شود

لازم به ذکر است که گرچه تعیین کننده یک عدد است، اما طبق تعریف 3، اما تا زمانی که مقدار آن به صورت یک عدد منفرد (با استفاده از فرمول 1.2 یا روش معتبر دیگری) پیدا شود، به صورت جدول نوشته می شود. سپس می‌توانیم مثلاً در مورد ترتیب مجدد ردیف‌ها یا ستون‌ها در این جدول بگوییم. در این مورد، باید بگوییم "تعیین مربوط به ماتریس". اما در عمل معمولاً قسمت دوم این عبارت برای سادگی حذف می شود و پس از آن فقط یک کلمه باقی می ماند - تعیین کننده. برای تشخیص منظور - خود تعیین کننده به شکل جدول یا مقدار یافت شده آن، در حالت دوم از کلمه تعیین کننده استفاده می شود. بنابراین، اگر آنها مثلاً بگویند "تعداد ردیف های تعیین کننده ..."، منظور آنها تعیین کننده مربوط به ماتریس است، اما هنوز به یک عدد واحد محاسبه نشده است. و اگر می گویند تعیین کننده، منظورشان این است که این تعیین کننده نشان داده شده است مفرد، یا با فرمول یا به روش قابل قبول دیگری محاسبه می شود.

مثال. با توجه به سیستم معادلات

ماتریس سیستم را بسازید و تعیین کننده را محاسبه کنید.

راه حل. از ضرایب سیستمبیایید یک ماتریس ایجاد کنیم: و تعیین کننده مربوط به آن

بیایید محاسبات را با استفاده از فرمول (2) انجام دهیم، دریافت می کنیم

تعریف 4. تعداد سطرها (یا ستون ها) در تعیین کننده نامیده می شود ترتیب تعیین کننده

در مثال، تعیین کننده مرتبه دوم محاسبه شد.

تعیین کننده ها دارای ویژگی های زیر هستند.

ملک 1. اگر سطرهای آن با ستون ها جایگزین شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند و بالعکس.

بیایید آن را نشان دهیم. بگذارید یک تعیین کننده مرتبه دوم داده شود

بیایید ردیف ها را با ستون ها جایگزین کنیم و دوباره تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم

با مقایسه D با D * می بینیم که D = D * .

تعریف 5. عمل جایگزینی سطرها با ستون ها (یا برعکس) در یک دترمینانت را جابجایی می گویند.

ملک 2. هنگامی که دو سطر یا ستون دوباره مرتب می شوند، تعیین کننده علامت خود را تغییر می دهد.

ما این ویژگی را با استفاده از یک مثال تأیید می کنیم، مانند ویژگی 1. اجازه دهید تعیین کننده داده شود

بیایید ستون های موجود در آن را با هم عوض کنیم و تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم.

با مقایسه نتایج، ما متقاعد شدیم که تعیین کننده واقعاً علامت خود را تغییر داده است. اجازه دهید اکنون خطوط را عوض کرده و دوباره اعتبار این ویژگی را بررسی کنیم.

تعیین کننده ماتریس مربع عددی است که به صورت زیر محاسبه می شود:

الف) اگر ترتیب یک ماتریس مربع 1 باشد، یعنی. از 1 عدد تشکیل شده است، سپس تعیین کننده برابر با این عدد است.

ب) اگر ترتیب یک ماتریس مربع 2 باشد، یعنی. از 4 عدد تشکیل شده است ، سپس تعیین کننده برابر است با تفاوت بین حاصلضرب عناصر مورب اصلی و حاصلضرب عناصر مورب ثانویه.

ج) اگر ترتیب یک ماتریس مربع 3 باشد، یعنی. از 9 عدد تشکیل شده است، سپس تعیین کننده برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مورب اصلی و دو مثلث موازی با این قطر که از مجموع حاصلضرب عناصر مورب ثانویه و دو مثلث موازی هستند. به این مورب کم می شود.

نمونه ها

خواص عوامل تعیین کننده

1. اگر سطرها با ستون ها و ستون ها با سطرها جایگزین شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند.

1. یک دترمینان دارای 2 سری یکسان برابر با صفر است
2. عامل مشترک هر سطر (ردیف یا ستون) تعیین کننده را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

4. هنگام بازآرایی دو سری موازی، دترمینان علامت را به علامت مقابل تغییر می دهد

5. اگر عناصر هر سری از یک تعیین کننده مجموع دو جمله باشند، می توان آن را به مجموع دو تعیین کننده متناظر بسط داد.

6. اگر عناصر متناظر یک سری موازی به عناصر یک سری، ضرب در هر عددی اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

عنصر فرعی تعیین کننده و مکمل جبری آن

عنصر جزئی a IJتعیین کننده مرتبه n یک تعیین کننده مرتبه n-1 است که از خط اصلی با خط زدن ردیف i و ستون j به دست می آید.

متمم جبری عنصر a IJدترمینان مینور آن ضرب در (-1) i+j است

مثال

ماتریس معکوس

ماتریس نامیده می شود غیر منحطاگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد، در غیر این صورت، ماتریس منفرد نامیده می شود.

ماتریس نامیده می شود اتحادیه، اگر از متمم های جبری متناظر تشکیل شده باشد و جابجا شود

ماتریس نامیده می شود معکوسبه یک ماتریس معین در صورتی که حاصلضرب آنها برابر با ماتریس هویت از همان ترتیب ماتریس داده شده باشد

قضیه وجود ماتریس معکوس

هر ماتریس غیر مفرد دارای معکوس برابر با ماتریس متحد تقسیم بر تعیین کننده این ماتریس است.

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس A

1. تعیین کننده را محاسبه کنید

1. انتقال ماتریس

1. یک ماتریس اتحاد بسازید، تمام مکمل های جبری ماتریس جابجا شده را محاسبه کنید

1. از فرمول استفاده کنید:

ماتریس مینورتعیین کننده ای متشکل از عناصری است که در تقاطع k ردیف و k ستون انتخابی یک ماتریس معین به اندازه mxn قرار دارند.

رتبه ماتریسیبالاترین مرتبه مینور ماتریس است که غیر صفر است

علامت گذاری r(A)، rangA

رتبهبرابر است با تعداد ردیف های غیر صفر ماتریس گام.

مثال

سیستم ها معادلات خطی.

سیستم معادلات خطی حاوی m معادله و n مجهول را سیستم شکل می گویند

اعداد کجا هستند الف IJ - ضرایب سیستم، اعداد b i - شرایط آزاد

فرم ضبط ماتریسیسیستم های معادلات خطی

راه حل سیستم n مقدار مجهولات c 1, c 2,…, c n نامیده می شود که هنگام جایگزینی آنها در سیستم، تمام معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. راه حل سیستم را می توان به صورت بردار ستونی نوشت.

سیستم معادلات نامیده می شود مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد و غیر مشترک، اگر راه حلی وجود ندارد.

قضیه کرونکر-کاپلی

یک سیستم LU سازگار است اگر و تنها در صورتی که رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد.

روش های حل یک سیستم LU

1. روش گاوس(با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته را به یک ماتریس پله ای و سپس به یک ماتریس متعارف کاهش دهید)

تحولات ابتدایی عبارتند از:

مرتب سازی مجدد ردیف ها (ستون ها)

افزودن به یک سطر (ستون) دیگر، ضرب در عددی غیر از 0.

بیایید یک ماتریس توسعه یافته ایجاد کنیم:

بیایید عنصر اصلی در ستون اول و سطر اول، عنصر 1. را انتخاب کرده و آن را پیشرو بنامیم. خط حاوی عنصر اصلی تغییر نخواهد کرد. بیایید عناصر زیر مورب اصلی را بازنشانی کنیم. برای این کار سطر اول را به خط دوم ضرب در (2-) اضافه کنید. خط اول را با ضرب در (-1) به خط سوم اضافه کنید، به دست می آید:

بیایید خط دوم و سوم را با هم عوض کنیم. ستون اول و سطر اول را به صورت ذهنی خط بکشید و الگوریتم را برای ماتریس باقی مانده ادامه دهید. به خط سوم، 2 را در 5 ضرب می کنیم.

ماتریس توسعه یافته را به شکل پلکانی آوردیم. با بازگشت به معادلات سیستم از خط آخر شروع کرده و به سمت بالا حرکت می کنیم مجهولات را یکی یکی تعیین می کنیم.

2. روش ماتریسی (AX=B، A -1 AX=A -1 B، X=A -1 B؛ ماتریس معکوس به ماتریس اصلی در ستون عبارت‌های آزاد ضرب می‌شود)

3. روش کرامر

راه حل سیستم با فرمول بدست می آید:

تعیین کننده ماتریس اصلی اصلاح شده کجاست که در آن ستون i به ستونی از عبارات آزاد تبدیل می شود و تعیین کننده اصلی است که از ضرایب مجهولات تشکیل شده است.

بردارها

برداریک بخش جهت دار است

هر بردار با طول (مدول) و جهت داده می شود.

نامگذاری: یا

که در آن A ابتدای بردار، B انتهای بردار و طول بردار است.

طبقه بندی برداری

بردار صفربرداری است که طول آن صفر است

بردار واحدبرداری است که طول آن برابر با یک است

بردارهای مساوی– این دو بردار هستند که طول و جهت یکسانی دارند

بردارهای مخالف- این دو بردار هستند که طول آنها مساوی و جهت آنها مخالف است

بردارهای خطی- این دو بردار هستند که روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار دارند

هم جهتیبردارها دو بردار خطی با جهت یکسان هستند

برعکس کارگردانی شده استبردارها دو بردار خطی با جهت مخالف هستند

همسطحبردارها سه بردار هستند که در یک صفحه یا در صفحات موازی قرار دارند

سیستم مستطیل شکلمختصات در یک صفحه دو خط متقابل عمود بر هم با جهت و مبدأ انتخاب شده است که خط افقی آن محور آبسیسا و خط عمودی محور اردینات نامیده می شود.

برای هر نقطه در یک سیستم مختصات مستطیلی دو عدد اختصاص می دهیم: آبسیسا و مختصات

سیستم مستطیل شکلمختصات در فضا سه خط مستقیم عمود بر یکدیگر با جهت و مبدأ انتخابی هستند، در حالی که خط مستقیم افقی که به سمت ما است محور آبسیسا نامیده می شود، خط مستقیم افقی که به سمت راست ما هدایت می شود، محور مختصات و خط مستقیم عمودی است. به سمت بالا، محور کاربردی نامیده می شود

برای هر نقطه در یک سیستم مختصات مستطیلی سه عدد اختصاص می دهیم: ابسیسا، مختصات و اعمال