صفحه اصلی ارتوپدی همه چیز در هرم درست است. هرم و عناصر آن

ارتوپدی

همه چیز در هرم درست است. هرم و عناصر آن

این آموزش ویدیویی به کاربران کمک می کند تا ایده ای از موضوع Pyramid داشته باشند. هرم درست در این درس با مفهوم هرم آشنا می شویم و تعریفی از آن ارائه می دهیم. بیایید در نظر بگیریم که یک هرم منظم چیست و چه ویژگی هایی دارد. سپس قضیه سطح جانبی یک هرم منظم را اثبات می کنیم.

در این درس با مفهوم هرم آشنا می شویم و تعریفی از آن ارائه می دهیم.

چند ضلعی را در نظر بگیرید A 1 A 2...A n، که در صفحه α و نقطه قرار دارد پ، که در صفحه α قرار ندارد (شکل 1). بیایید نقاط را به هم وصل کنیم پبا قله ها A 1، A 2، A 3, … A n. ما گرفتیم nمثلثها: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rو غیره

تعریف. چند وجهی RA 1 A 2 ...A n، ساخته شده از n-مربع A 1 A 2...A nو nمثلثها RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 نامیده می شود n-هرم زغال سنگ برنج. 1.

برنج. 1

یک هرم چهار گوش را در نظر بگیرید PABCD(شکل 2).

آر- بالای هرم

آ ب پ ت- پایه هرم.

RA- دنده کناری

AB- دنده پایه

از نقطه آربیایید عمود را رها کنیم RNبه هواپیمای پایه آ ب پ ت. عمود ترسیم شده ارتفاع هرم است.

برنج. 2

سطح کامل هرم از سطح جانبی یعنی مساحت تمام وجوه جانبی و مساحت قاعده تشکیل شده است:

S کامل = سمت S + S اصلی

یک هرم درست نامیده می شود اگر:

پایه آن یک چند ضلعی منظم است.
قسمتی که بالای هرم را به مرکز پایه متصل می کند ارتفاع آن است.

توضیح با استفاده از مثال یک هرم چهار گوش منتظم

یک هرم چهار گوش منظم را در نظر بگیرید PABCD(شکل 3).

آر- بالای هرم پایه هرم آ ب پ ت- چهارضلعی منتظم، یعنی مربع. نقطه در بارهنقطه تقاطع مورب ها مرکز مربع است. به معنای، ROارتفاع هرم است.

برنج. 3

توضیح: به درستی nدر یک مثلث، مرکز دایره محاطی و مرکز دایره بر هم منطبق است. این مرکز را مرکز چندضلعی می نامند. گاهی اوقات می گویند که راس به سمت مرکز پیش می رود.

ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از رأس آن کشیده شده است نامیده می شود حکمو تعیین شده است ساعت یک.

1. تمام لبه های جانبی هرم منظم با هم برابر هستند.

2. وجه های جانبی مثلث متساوی الساقین هستند.

ما با استفاده از مثال یک هرم چهارگوش منظم، اثبات این ویژگی ها را ارائه خواهیم کرد.

داده شده: PABCD- هرم چهار گوش منظم،

آ ب پ ت- مربع،

RO- ارتفاع هرم

ثابت كردن:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP به شکل. 4.

برنج. 4

اثبات.

RO- ارتفاع هرم یعنی مستقیم ROعمود بر صفحه ABC، و بنابراین مستقیم JSC، VO، SOو انجام دادندراز کشیده در آن پس مثلث ها ROA، ROV، ROS، ROD- مستطیل شکل.

یک مربع را در نظر بگیرید آ ب پ ت. از خصوصیات مربع چنین برمی آید که AO = VO = CO = انجام دادن.

سپس مثلث های قائم الزاویه ROA، ROV، ROS، RODپا RO- عمومی و پاها JSC، VO، SOو انجام دادنبرابر هستند، یعنی این مثلث ها از دو ضلع برابر هستند. از تساوی مثلث ها برابری پاره ها به دست می آید، RA = PB = RS = PD.نکته 1 ثابت شده است.

بخش ها ABو آفتابمساوی هستند زیرا اضلاع یک مربع هستند، RA = PB = RS. پس مثلث ها AVRو VSR -متساوی الساقین و از سه طرف مساوی است.

به روشی مشابه آن مثلث ها را پیدا می کنیم ABP، VCP، CDP، DAPهمانطور که در بند 2 باید ثابت شود متساوی الساقین و مساوی هستند.

مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم است:

برای اثبات این موضوع، بیایید یک هرم مثلثی منظم را انتخاب کنیم.

داده شده: RAVS- هرم مثلثی منظم

AB = BC = AC.

RO- ارتفاع

ثابت كردن: . شکل را ببینید. 5.

برنج. 5

اثبات

RAVS- هرم مثلثی منظم به این معنا که AB= AC = قبل از میلاد. اجازه دهید در باره- مرکز مثلث ABC، سپس ROارتفاع هرم است. در قاعده هرم یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارد ABC. توجه کنید که .

مثلثها RAV، RVS، RSA- مثلث متساوی الساقین مساوی (بر حسب ویژگی). هرم مثلثی دارای سه وجه است: RAV، RVS، RSA. این بدان معنی است که مساحت سطح جانبی هرم عبارت است از:

سمت S = 3S RAW

قضیه ثابت شده است.

شعاع دایره ای که در قاعده یک هرم چهار گوش منظم حک شده است 3 متر است، ارتفاع هرم 4 متر است مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.

داده شده: هرم چهار گوش منظم آ ب پ ت,

آ ب پ ت- مربع،

r= 3 متر،

RO- ارتفاع هرم،

RO= 4 متر

پیدا کردن: سمت S. شکل را ببینید. 6.

برنج. 6

راه حل.

با توجه به قضیه اثبات شده، .

بیایید ابتدا سمت پایه را پیدا کنیم AB. می دانیم که شعاع دایره ای که در قاعده یک هرم چهار گوش منتظم محاط شده است 3 متر است.

سپس، م.

محیط مربع را پیدا کنید آ ب پ تبا ضلع 6 متر:

مثلثی را در نظر بگیرید BCD. اجازه دهید م- وسط پهلو دی سی. زیرا در باره- وسط BD، آن (متر).

مثلث DPC- متساوی الساقین م- وسط دی سی. به این معنا که، RM- میانه و در نتیجه ارتفاع در مثلث DPC. سپس RM- شعار هرم.

RO- ارتفاع هرم سپس، مستقیم ROعمود بر صفحه ABC، و بنابراین مستقیم OM، در آن دراز کشیده است. بیایید ابهام را پیدا کنیم RMاز مثلث قائم الزاویه رام.

اکنون می توانیم سطح جانبی هرم را پیدا کنیم:

پاسخ: 60 متر مربع

شعاع دایره ای که در اطراف قاعده یک هرم مثلثی منتظم قرار گرفته است برابر با متر مربع است. طول کلمه را پیدا کنید.

داده شده: ABCP- هرم مثلثی منظم،

AB = BC = SA،

آر= متر،

ضلع S = 18 متر مربع.

پیدا کردن: . شکل را ببینید. 7.

برنج. 7

راه حل.

در یک مثلث قائم الزاویه ABCشعاع دایره محدود داده شده است. یک طرف پیدا کنیم ABاین مثلث با استفاده از قانون سینوس ها.

با دانستن ضلع یک مثلث منتظم (m)، محیط آن را پیدا می کنیم.

با قضیه روی سطح جانبی یک هرم منظم، که در آن ساعت یک- شعار هرم. سپس:

پاسخ: 4 متر

بنابراین، ما به این موضوع پرداختیم که یک هرم چیست، یک هرم منتظم چیست، و قضیه سطح جانبی یک هرم منظم را اثبات کردیم. در درس بعدی با هرم ناقص آشنا می شویم.

کتابشناسی - فهرست کتب

هندسه. کلاس 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی(سطوح پایه و مشخصات) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، برگردان و اضافی - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
هندسه. پایه 10-11: کتاب درسی آموزش عمومی موسسات آموزشی/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
هندسه. پایه دهم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی با مطالعه عمیق و تخصصی ریاضی / E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - ویرایش ششم، کلیشه. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: ill.

پورتال اینترنتی "Yaklass" ()
پورتال اینترنتی "جشنواره ایده های آموزشی "اول سپتامبر" ()
پورتال اینترنتی "Slideshare.net" ()

مشق شب

آیا یک چندضلعی منتظم می تواند قاعده یک هرم نامنظم باشد؟
ثابت کنید که لبه های ناهمگون یک هرم منظم عمود هستند.
مقدار زاویه دو وجهی را در ضلع قاعده یک هرم چهار گوش منتظم در صورتی بیابید که اثنای هرم برابر با ضلع قاعده آن باشد.
RAVS- هرم مثلثی منظم زاویه خطی زاویه دو وجهی را در قاعده هرم بسازید.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبه منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما.
اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف بهداشت عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی را درباره شما فاش کنیم. موارد مهم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

در اینجا می توانید اطلاعات اولیه در مورد اهرام و فرمول ها و مفاهیم مرتبط را بیابید. همه آنها برای آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه با یک معلم خصوصی ریاضی مطالعه می شوند.

یک صفحه، یک چند ضلعی را در نظر بگیرید ، در آن خوابیده و یک نقطه S، نه در آن خوابیده است. بیایید S را به تمام رئوس چندضلعی وصل کنیم. چندوجهی به دست آمده هرم نامیده می شود. قطعات را دنده های جانبی می نامند. چند ضلعی قاعده نامیده می شود و نقطه S بالای هرم است. بسته به عدد n، هرم را مثلثی (n=3)، چهار گوش (n=4)، پنج ضلعی (n=5) و غیره می نامند. یک نام جایگزین برای هرم مثلثی شکل است چهار وجهی. ارتفاع هرم عمود نزول از بالای آن به صفحه قاعده است.

هرم اگر منظم نامیده می شود یک چند ضلعی منتظم، و قاعده ارتفاع هرم (پایه عمود) مرکز آن است.

نظر استاد راهنما:
مفاهیم "هرم منظم" و "چهاروجهی منظم" را اشتباه نگیرید. در هرم منظم، لبه های کناری لزوماً با لبه های قاعده برابر نیستند، اما در چهار وجهی منظم، هر 6 یال با هم برابرند. این تعریف اوست. به راحتی می توان ثابت کرد که تساوی دلالت بر منطبق بودن مرکز P چند ضلعی دارد با ارتفاع پایه، بنابراین یک چهار وجهی منظم یک هرم منظم است.

آپوتم چیست؟
علامت هرم ارتفاع وجه جانبی آن است. اگر هرم منتظم باشد، پس تمام اثار آن برابر است. عکس این قضیه درست نیست.

یک معلم ریاضی در مورد اصطلاحات خود: 80٪ کار با اهرام از طریق دو نوع مثلث ساخته می شود:
1) حاوی آپوتم SK و ارتفاع SP
2) حاوی لبه جانبی SA و PA برآمدگی آن

برای ساده کردن ارجاعات به این مثلث ها، برای معلم ریاضی راحت تر است که اولین آنها را فراخوانی کند. بی روح، و دوم ساحلی. متأسفانه در هیچ یک از کتاب های درسی این اصطلاح را پیدا نمی کنید و معلم باید آن را یک طرفه معرفی کند.

فرمول حجم هرم:
1) ، مساحت قاعده هرم کجاست و ارتفاع هرم است
2) که شعاع کره محاطی است و مساحت کل سطح هرم است.
3) ، که در آن MN فاصله بین هر دو یال متقاطع است و مساحت متوازی الاضلاع است که توسط نقاط میانی چهار یال باقی مانده تشکیل شده است.

ویژگی قاعده ارتفاع هرم:

نقطه P (نگاه کنید به شکل) با مرکز دایره محاطی شده در قاعده هرم منطبق است اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:
1) همه ابهام ها برابرند
2) تمام وجوه جانبی به یک اندازه به پایه متمایل هستند
3) همه آپوتم ها به یک اندازه به ارتفاع هرم تمایل دارند
4) ارتفاع هرم به یک اندازه به تمام وجوه جانبی متمایل است

نظر معلم ریاضی: لطفاً توجه داشته باشید که همه نقاط با یک ویژگی مشترک متحد می شوند: به هر شکلی، چهره های جانبی در همه جا درگیر هستند (آپوتم ها عناصر آنها هستند). بنابراین، معلم می‌تواند فرمول‌بندی کمتر دقیق‌تر، اما راحت‌تر برای یادگیری ارائه دهد: نقطه P با مرکز دایره محاط شده، پایه هرم منطبق است، اگر اطلاعات مساوی در مورد وجوه جانبی آن وجود داشته باشد. برای اثبات آن کافی است نشان دهیم که همه مثلث های آپوتم برابر هستند.

نقطه P منطبق بر مرکز دایره ای است که در نزدیکی قاعده هرم احاطه شده است اگر یکی از سه شرط درست باشد:
1) تمام لبه های جانبی برابر هستند
2) همه دنده های جانبی به یک اندازه به پایه متمایل هستند
3) همه دنده های جانبی به یک اندازه به ارتفاع متمایل می شوند

هرم یک چندوجهی است که در قاعده آن یک چندضلعی قرار دارد. همه وجوه به نوبه خود مثلث هایی را تشکیل می دهند که در یک راس همگرا می شوند. اهرام مثلثی، چهار گوش و غیره هستند. برای اینکه مشخص کنید کدام هرم در مقابل شما قرار دارد، کافی است تعداد زوایای قاعده آن را بشمارید. تعریف "ارتفاع یک هرم" اغلب در مسائل هندسه یافت می شود برنامه آموزشی مدرسه. در مقاله سعی خواهیم کرد در نظر بگیریم راه های مختلفمکان او

بخش هایی از هرم

هر هرم از عناصر زیر تشکیل شده است:

وجه های جانبی که سه گوشه دارند و در راس همگرا هستند.
آپوتم نشان دهنده ارتفاعی است که از راس آن پایین می آید.
بالای هرم نقطه ای است که دنده های جانبی را به هم متصل می کند ، اما در صفحه پایه قرار ندارد.
پایه یک چند ضلعی است که راس روی آن قرار ندارد.
ارتفاع هرم قطعه ای است که بالای هرم را قطع می کند و با قاعده آن زاویه قائمه تشکیل می دهد.

چگونه می توان ارتفاع یک هرم را در صورتی که حجم آن مشخص باشد، پیدا کرد

از طریق فرمول V = (S*h)/3 (در فرمول V حجم است، S مساحت قاعده، h ارتفاع هرم است) در می یابیم که h = (3*V)/ اس. برای ادغام مواد، بیایید بلافاصله مشکل را حل کنیم. پایه مثلثی 50 سانتی متر مربع است در حالی که حجم آن 125 سانتی متر مکعب است. ارتفاع هرم مثلثی ناشناخته است، این همان چیزی است که باید پیدا کنیم. همه چیز در اینجا ساده است: ما داده ها را در فرمول خود وارد می کنیم. h = (3*125)/50 = 7.5 سانتی متر بدست می آوریم.

اگر طول قطر و لبه های آن مشخص باشد چگونه ارتفاع هرم را پیدا کنیم؟

همانطور که به یاد داریم، ارتفاع هرم با قاعده آن یک زاویه قائمه تشکیل می دهد. این بدان معنی است که ارتفاع، لبه و نیمی از قطر با هم تشکیل می دهند، البته بسیاری از قضیه فیثاغورث را به یاد دارند. با دانستن دو بعد، یافتن کمیت سوم دشوار نخواهد بود. اجازه دهید قضیه شناخته شده a² = b² + c² را به یاد بیاوریم، که در آن a فرضیه و در مورد ما لبه هرم است. ب - پایه اول یا نیمه مورب و ج - به ترتیب پایه دوم یا ارتفاع هرم. از این فرمول c² = a² - b².

اکنون مشکل: در یک هرم معمولی قطر آن 20 سانتی متر است، زمانی که طول لبه 30 سانتی متر است، باید ارتفاع را پیدا کنید. ما حل می کنیم: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. بنابراین c = √ 500 = حدود 22.4.

چگونه ارتفاع یک هرم کوتاه را پیدا کنیم؟

این یک چند ضلعی است که مقطعی موازی با قاعده آن دارد. ارتفاع هرم ناقص قسمتی است که دو پایه آن را به هم متصل می کند. اگر طول قطرهای هر دو قاعده و همچنین لبه هرم مشخص باشد، ارتفاع را می توان برای یک هرم منظم پیدا کرد. فرض کنید مورب پایه بزرگتر d1 باشد، در حالی که قطر پایه کوچکتر d2 است و یال دارای طول l است. برای یافتن ارتفاع، می توانید ارتفاعات را از دو نقطه مقابل بالای نمودار تا پایه آن پایین بیاورید. می بینیم که دوتا داریم راست گوشه، باقی مانده است که طول پاهای آنها را پیدا کنیم. برای انجام این کار، کوچکتر را از قطر بزرگتر کم کنید و بر 2 تقسیم کنید. بنابراین یک پا را خواهیم یافت: a = (d1-d2)/2. پس از آن، طبق قضیه فیثاغورث، تنها کاری که باید انجام دهیم این است که پای دوم را که ارتفاع هرم است، پیدا کنیم.

حالا بیایید در عمل به کل این موضوع نگاه کنیم. ما وظیفه ای در پیش داریم. هرم ناقص دارای یک مربع در پایه است، طول مورب پایه بزرگتر 10 سانتی متر است، در حالی که هرم کوچکتر 6 سانتی متر است و لبه آن 4 سانتی متر است. ابتدا یک پا را می یابیم: a = (10-6)/2 = 2 سانتی متر یک پا برابر است با 2 سانتی متر، و ضخامت آن 4 سانتی متر است. 4 = 12، یعنی h = √12 = حدود 3.5 سانتی متر.

یک شکل سه بعدی که اغلب در مسائل هندسی ظاهر می شود هرم است. ساده ترین شکل در این کلاس مثلثی است. در این مقاله ما به طور مفصل به تجزیه و تحلیل فرمول های اساسی و خواص صحیح می پردازیم

ایده های هندسی در مورد شکل

قبل از اینکه به بررسی ویژگی‌های یک هرم مثلثی منظم بپردازیم، بیایید نگاه دقیق‌تری به نوع شکلی بیندازیم.

فرض کنید یک مثلث دلخواه در آن وجود دارد فضای سه بعدی. اجازه دهید هر نقطه ای از این فضا را که در صفحه مثلث نباشد انتخاب کرده و آن را به سه رأس مثلث متصل کنیم. ما یک هرم مثلثی شکل گرفتیم.

از 4 ضلع تشکیل شده است که همه آنها مثلث هستند. به نقاطی که سه وجه به هم می رسند راس می گویند. شکل نیز دارای چهار مورد از آنها است. خطوط تقاطع دو وجه لبه هستند. هرم مورد نظر دارای 6 یال است. شکل زیر نمونه ای از این شکل را نشان می دهد.

از آنجایی که این شکل از چهار ضلع تشکیل شده است، به آن چهار وجهی نیز می گویند.

هرم درست

در بالا یک شکل دلخواه با پایه مثلثی در نظر گرفتیم. حال فرض کنید از بالای هرم به قاعده آن یک پاره عمود بکشیم. این بخش ارتفاع نامیده می شود. بدیهی است که می توانید 4 ارتفاع مختلف برای شکل بکشید. اگر ارتفاع قاعده مثلثی را در مرکز هندسی قطع کند، چنین هرمی مستقیم نامیده می شود.

هرم مستقیم که قاعده آن مثلث متساوی الاضلاع است منظم نامیده می شود. برای او، هر سه مثلثی که سطح جانبی شکل را تشکیل می دهند، متساوی الساقین و مساوی با یکدیگر هستند. یک مورد خاص از هرم منتظم وضعیتی است که هر چهار ضلع مثلث های متساوی الاضلاع باشند.

بیایید ویژگی های یک هرم مثلثی منظم را در نظر بگیریم و فرمول های مربوطه را برای محاسبه پارامترهای آن ارائه دهیم.

سمت پایه، ارتفاع، لبه جانبی و آپوتم

هر دو از پارامترهای ذکر شده به طور منحصر به فرد دو ویژگی دیگر را تعیین می کنند. اجازه دهید فرمول هایی را ارائه کنیم که این مقادیر را به هم مرتبط می کند.

فرض کنید ضلع قاعده یک هرم مثلثی منتظم a است. طول لبه جانبی آن b است. ارتفاع هرم مثلثی منتظم و پیام آن چقدر خواهد بود؟

برای ارتفاع h عبارت زیر را بدست می آوریم:

این فرمول از قضیه فیثاغورث که لبه جانبی، ارتفاع و 2/3 ارتفاع پایه برای آن است، به دست می آید.

علامت هرم، ارتفاع هر مثلث ضلعی است. طول حرف a b برابر است با:

a b = √(b 2 - a 2/4)

از این فرمول ها مشخص می شود که ضلع قاعده یک هرم منتظم مثلثی و طول لبه کناری آن هر چه باشد، ابهام همیشه بزرگتر از ارتفاع هرم خواهد بود.

دو فرمول ارائه شده شامل هر چهار مشخصه خطی شکل مورد نظر است. بنابراین، با توجه به دو مورد شناخته شده، می توانید بقیه را با حل سیستم برابری های نوشتاری بیابید.

حجم شکل

برای مطلقاً هر هرمی (از جمله هرم شیبدار)، مقدار حجم فضای محدود شده توسط آن را می توان با دانستن ارتفاع شکل و مساحت پایه آن تعیین کرد. فرمول مربوطه این است:

با اعمال این عبارت در شکل مورد نظر، فرمول زیر را بدست می آوریم:

جایی که ارتفاع هرم مثلثی منظم h و ضلع قاعده آن a است.

به دست آوردن فرمولی برای حجم یک چهار وجهی که در آن همه اضلاع با هم برابر باشند و مثلث متساوی الاضلاع را نشان دهند، کار دشواری نیست. در این مورد، حجم شکل با فرمول تعیین می شود:

یعنی به طور منحصر به فرد با طول ضلع a تعیین می شود.

مساحت سطح

بیایید به بررسی مثلثی منظم ادامه دهیم. مساحت کل تمام وجوه یک شکل را مساحت سطح آن می نامند. مورد دوم را می توان به راحتی با در نظر گرفتن توسعه مربوطه مطالعه کرد. شکل زیر نشان می دهد که توسعه یک هرم مثلثی منظم چگونه به نظر می رسد.

فرض کنید ارتفاع h و ضلع قاعده a شکل را می دانیم. سپس مساحت پایه آن برابر خواهد بود با:

هر دانش آموزی می تواند این عبارت را به دست آورد اگر به یاد آورد که چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کند و همچنین در نظر بگیرد که ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع نیز نیمساز و میانه است.

سطح جانبی تشکیل شده توسط سه مثلث متساوی الساقین یکسان عبارت است از:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

این تساوی از بیان ابهام هرم بر حسب ارتفاع و طول قاعده به دست می آید.

مساحت کل شکل عبارت است از:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

توجه داشته باشید که برای چهار وجهی که هر چهار ضلع آن مثلث متساوی الاضلاع یکسان هستند، مساحت S برابر است با:

ویژگی های یک هرم مثلثی بریده منتظم

اگر بالای هرم مثلثی در نظر گرفته شده با صفحه ای موازی با قاعده بریده شود، باقیمانده قسمت پایینهرم کوتاه نامیده خواهد شد.

در مورد پایه مثلثی، نتیجه روش برش توصیف شده، مثلث جدیدی است که آن هم متساوی الاضلاع است، اما طول ضلع آن کوتاهتر از ضلع پایه است. یک هرم مثلثی کوتاه در زیر نشان داده شده است.

می بینیم که این رقم در حال حاضر به دو محدود شده است پایه های مثلثیو سه ذوزنقه متساوی الساقین.

فرض کنید ارتفاع شکل حاصل برابر h باشد، طول اضلاع پایه های پایینی و بالایی به ترتیب a 1 و a 2 باشد و آپوتم (ارتفاع ذوزنقه) برابر با b باشد. سپس سطح هرم کوتاه شده را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: