اهداف:
- نظام‌بندی و تعمیم دانش و مهارت در موضوع: حل معادلات درجه سوم و چهارم.
- دانش خود را با انجام تعدادی کار، که برخی از آنها از نظر نوع یا روش حل ناآشنا هستند، عمیق تر کنید.
- ایجاد علاقه به ریاضیات از طریق مطالعه فصول جدید ریاضیات، پرورش فرهنگ گرافیکی از طریق ساخت نمودارهای معادلات.
نوع درس: ترکیبی
تجهیزات:پروژکتور گرافیکی
دید:جدول "قضیه ویت".
پیشرفت درس
1. شمارش شفاهی
الف) باقیمانده تقسیم چند جمله ای p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 بر دو جمله ای x-a چقدر است؟
ب) یک معادله مکعبی چند ریشه می تواند داشته باشد؟
ج) چگونه معادلات درجه سوم و چهارم را حل کنیم؟
د) اگر b یک عدد زوج در یک معادله درجه دوم باشد، آنگاه مقدار D و x 1 چقدر است
2. کار مستقل(به صورت گروهی)
معادله بنویسید اگر ریشه ها مشخص باشد (پاسخ به کارها کدگذاری شده است) از «قضیه ویتا» استفاده می شود.
1 گروه
ریشه ها: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
معادله بسازید:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(این معادله توسط گروه 2 روی تخته حل می شود)
راه حل . ما در میان مقسوم‌کننده‌های عدد 36 به دنبال ریشه‌های کامل می‌گردیم.
р = 1±;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 عدد 1 معادله را برآورده می کند، بنابراین =1 ریشه معادله است. طبق طرح هورنر
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0، x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 =-3، x 4 =6
پاسخ: 1;-2;-3;6 مجموع ریشه های 2 (P)
گروه 2
ریشه ها: x 1 = -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 = 5
معادله بسازید:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (گروه 3 این معادله را روی تخته حل می کند)
р = 1±;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x 2 = 5
پاسخ: -1;2;2;5 مجموع ریشه 8(P)
3 گروه
ریشه ها: x 1 = -1; x 2 = 1; x 3 = -2; x 4 = 3
معادله بسازید:
=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(گروه 4 این معادله را بعداً روی تخته حل می کند)
راه حل. ما در بین مقسوم‌کننده‌های عدد 6 به دنبال ریشه‌های کامل می‌گردیم.
р = 1±;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 = 3
پاسخ: -1;1;-2;3 مجموع ریشه های 1(O)
4 گروه
ریشه ها: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
معادله بسازید:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(این معادله توسط گروه 5 روی تخته حل می شود)
راه حل. ما در میان مقسوم‌کننده‌های عدد -36 به دنبال ریشه‌های کامل می‌گردیم
р = 1±;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 + 2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
پاسخ: -2; -2 -3 3 مجموع ریشه ها-4 (F)
5 گروه
ریشه ها: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
یک معادله بنویسید
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(این معادله توسط گروه 6 روی تخته حل می شود)
راه حل . ما در میان مقسوم‌کننده‌های عدد 24 به دنبال ریشه‌های کامل می‌گردیم.
р = 1±;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
پاسخ: -1;-2;-3;-4 مجموع-10 (I)
6 گروه
ریشه ها: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
یک معادله بنویسید
B=1+1-3+8=7؛b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (سپس این معادله توسط گروه 1 روی تخته حل می شود)
راه حل . ما در میان مقسوم‌کننده‌های عدد -24 به دنبال ریشه‌های کامل می‌گردیم.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) = x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3، x 4 =8
پاسخ: 1؛ 1؛ 3؛ 8 مجموع 7 (L)
3. حل معادلات با یک پارامتر
1. معادله x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 را حل کنید. اگر یکی از ریشه ها برابر با (-1) باشد.
پاسخ را به ترتیب صعودی بنویسید
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
با شرط x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 + 2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
پاسخ: - 1; 3
به ترتیب صعودی: -5;-1;3. (b N S)
2. تمام ریشه های چند جمله ای x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 را بیابید، اگر باقیمانده تقسیم آن به دو جمله ای x-1 و x +2 برابر باشد.
راه حل: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6 (x-3) = 0
(x-3) (x 2 -6) = 0
3) a=0، x 2 -0 * x 2 +0 = 0; x 2 = 0; x 4 = 0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. یک معادله بنویسید
1 گروه. ریشه: -4; -2 1 7;
گروه 2. ریشه: -3; -2 1 2
3 گروه. ریشه ها: -1; 2 6; 10;
4 گروه. ریشه: -3; 2 2 5
5 گروه. ریشه: -5; -2 2 4;
6 گروه. ریشه: -8; -2 6; 7.
در این مقاله با حل معادلات دو درجه ای آشنا می شویم.
بنابراین، چه نوع معادلاتی دو درجه ای نامیده می شوند؟
همه معادلات فرم آه 4 +
bx
2
+
ج
= 0
، کجا a ≠ 0، که نسبت به x 2 مربع هستند و دوطرفه نامیده می شوندمعادلات همانطور که می بینید، این ورودی بسیار شبیه به ورودی است معادله درجه دومبنابراین، با استفاده از فرمول هایی که برای حل معادله درجه دوم استفاده کردیم، معادلات دو درجه دوم را حل خواهیم کرد.
فقط ما نیاز به معرفی یک متغیر جدید داریم، یعنی نشان می دهیم x 2 برای مثال متغیر دیگری در یا تی (یا هر حرف دیگری از الفبای لاتین).
به عنوان مثال، بیایید معادله را حل کنیم x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.
بیایید نشان دهیم x 2
از طریق در
(x 2 = y
) و معادله y 2 + 4y – 5 = 0 را بدست می آوریم.
همانطور که می بینید، شما از قبل می دانید که چگونه چنین معادلاتی را حل کنید.
معادله حاصل را حل می کنیم:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36، √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10/2 = ‒ 5،
y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2/2 = 1.
بیایید به متغیر x خود برگردیم.
دریافتیم که x 2 = ‒ 5 و x 2 = 1.
توجه می کنیم که معادله اول هیچ جوابی ندارد و دومی دو راه حل به دست می دهد: x 1 = 1 و x 2 = ‒1. مراقب باشید ریشه منفی را از دست ندهید (اغلب آنها پاسخ x = 1 را دریافت می کنند، اما این درست نیست).
پاسخ:- 1 و 1.
برای درک بهتر موضوع، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم.
مثال 1.معادله را حل کنید 2 x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.
اجازه دهید x 2 = y، سپس 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.
D = (‒ 5) 2 - 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1، √D = √1 = 1.
y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4/4 =1، y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6/4 =1.5.
سپس x 2 = 1 و x 2 = 1.5.
ما x 1 = ‒1، x 2 = 1، x 3 = ‒ √1.5، x 4 = √1.5 را دریافت می کنیم.
پاسخ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
مثال 2.معادله را حل کنید 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2 سال 2 + 5 سال + 2 = 0.
D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9، √D = √9 = 3.
y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8/4 = ‒2، y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2/4 = ‒ 0.5.
سپس x 2 = - 2 و x 2 = - 0.5. لطفا توجه داشته باشید که هیچ یک از این معادلات راه حل ندارند.
پاسخ:هیچ راه حلی وجود ندارد
معادلات دو درجه ای ناقص- این زمانی است ب = 0 (ax 4 + c = 0) یا ج = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) مانند معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند.
مثال 3.معادله را حل کنید x 4 ‒ 25 x 2 = 0
بیایید فاکتورسازی کنیم، x 2 را خارج از پرانتز قرار دهیم و سپس x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.
x 2 = 0 یا x 2 ‒ 25 = 0، x 2 = 25 می گیریم.
سپس ریشه 0 داریم. 5 و - 5.
پاسخ: 0; 5; – 5.
مثال 4.معادله را حل کنید 5 x 4 ‒ 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (راه حلی ندارد)
x 2 = √9، x 1 = ‒ 3، x 2 = 3.
همانطور که می بینید، اگر می توانید معادلات درجه دوم را حل کنید، می توانید معادلات دو درجه دوم را نیز حل کنید.
اگر هنوز سوالی دارید، در درس های من ثبت نام کنید. معلم والنتینا گالینفسایا.
وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.
مفهوم معادلات با دو متغیر ابتدا در درس ریاضی پایه هفتم شکل می گیرد. مسائل خاصی در نظر گرفته شده است که فرآیند حل آنها منجر به این نوع معادلات می شود.
با این حال، آنها نسبتاً سطحی مطالعه می شوند. این برنامه بر روی سیستم های معادلات با دو مجهول تمرکز می کند.
به همین دلیل است که مسائلی که در آن محدودیت‌های خاصی بر ضرایب معادله اعمال می‌شود، عملاً در نظر گرفته نمی‌شوند. توجه کافی به روش‌هایی برای حل کارهایی مانند «حل معادله در اعداد طبیعی یا صحیح» نمی‌شود. معلوم است که مواد آزمون دولتی یکپارچهو برگه های کنکور اغلب حاوی چنین تمرین هایی هستند.
کدام معادلات به عنوان معادلات دارای دو متغیر تعریف می شوند؟
xy = 8، 7x + 3y = 13 یا x 2 + y = 7 نمونه هایی از معادلات با دو متغیر هستند.
معادله x – 4y = 16 را در نظر بگیرید. اگر x = 4 و y = -3 باشد، معادله صحیحی خواهد بود. این بدان معنی است که این جفت مقدار راه حل این معادله است.
راه حل هر معادله ای با دو متغیر، مجموعه ای از جفت اعداد (x; y) است که این معادله را برآورده می کند (آن را به یک برابری واقعی تبدیل می کند).
اغلب معادله تبدیل می شود تا بتوان از آن برای به دست آوردن سیستمی برای یافتن مجهولات استفاده کرد.
نمونه ها
معادله xy – 4 = 4x – y را حل کنید.
در این مثال می توانید از روش فاکتورسازی استفاده کنید. برای انجام این کار، باید اصطلاحات را گروه بندی کنید و عامل مشترک را از پرانتز خارج کنید:
xy – 4 = 4x – y;
xy – 4 – 4x + y = 0;
(xy + y) - (4x + 4) = 0;
y (x + 1) - 4 (x + 1) = 0;
(x + 1) (y - 4) = 0.
پاسخ: همه جفت ها (x؛ 4)، که در آن x هر کدام است عدد گویاو (-1؛ y)، که در آن y هر عدد گویا است.
معادله را حل کنید: 4x 2 + y 2 + 2 = 2 (2x - y).
مرحله اول گروه بندی است.
4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;
4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;
(4x 2 - 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.
با استفاده از فرمول اختلاف مجذور، بدست می آوریم:
(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.
هنگام جمع کردن دو عبارت غیر منفی، صفر تنها در صورتی به دست می آید که 2x – 1 = 0 و y + 1 = 0 باشد.
جواب: (1/2؛ -1).
معادله (x 2 – 6x + 10) (y 2 + 10y + 29) = 4 را حل کنید.
منطقی است که از روش ارزیابی، برجسته کردن استفاده کنید مربع های کاملدر پرانتز
((x - 3) 2 + 1) ((y + 5) 2 + 4) = 4.
علاوه بر این، (x - 3) 2 + 1 ≥ 1، و (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. سپس سمت چپمعادلات همیشه حداقل 4 هستند. برابری در مورد ممکن است
(x - 3) 2 + 1 = 1 و (y + 5) 2 + 4 = 4. بنابراین، x = 3، y = -5.
پاسخ: (3؛ -5).
معادله را با اعداد صحیح حل کنید: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.
این معادله را می توان به صورت زیر نوشت:
x 2 = -10y 2 + 15x + 3. اگر سمت راستتساوی تقسیم بر 5، سپس 3 باقی مانده است. از این نتیجه می شود که x 2 بر 5 بخش پذیر نیست. مشخص است که مربع عددی که بر 5 بخش پذیر نیست باید 1 یا 4 باقی بماند. این به این معنی است که معادله ریشه ندارد.
پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.
از دشواری یافتن راه حل مناسب برای معادله ای با دو متغیر ناامید نشوید. پشتکار و تمرین قطعا به ثمر خواهد رسید.
ما به شما یک رایگان راحت ارائه می دهیم ماشین حساب آنلاینبرای حل معادلات درجه دومبا استفاده از مثال‌های واضح، می‌توانید به سرعت آنها را دریافت و درک کنید.
برای تولید حل معادله درجه دوم به صورت آنلاین، ابتدا معادله را به کاهش دهید ظاهر کلی:
تبر 2 + bx + c = 0
فیلدهای فرم را بر این اساس پر کنید:
چگونه یک معادله درجه دوم را حل کنیم
| چگونه یک معادله درجه دوم را حل کنیم: | انواع ریشه: |
|
1.
معادله درجه دوم را به شکل کلی آن کاهش دهید: نمای کلی Аx 2 +Bx+C=0 مثال: 3x - 2x 2 +1=-1 کاهش به -2x 2 +3x+2=0 2.
متمایز D را پیدا کنید. 3.
پیدا کردن ریشه های معادله. |
1.
ریشه های واقعی علاوه بر این. x1 برابر x2 نیست وضعیت زمانی رخ می دهد که D>0 و A برابر 0 نباشد. 2.
ریشه های واقعی یکسان است. x1 برابر x2 است 3.
دو ریشه پیچیده x1=d+ei، x2=d-ei، که در آن i=-(1) 1/2 5.
معادله راه حل های بی شماری دارد. 6.
معادله هیچ راه حلی ندارد. |
برای تجمیع الگوریتم، در اینجا چند مورد دیگر وجود دارد مثال های گویا از راه حل های معادلات درجه دوم.
مثال 1. حل یک معادله درجه دوم معمولی با ریشه های واقعی مختلف.
x 2 + 3x -10 = 0
در این معادله
A=1، B=3، C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
ریشه مربعما آن را به عنوان عدد 1/2 نشان می دهیم!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
برای بررسی، بیایید جایگزین کنیم:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
مثال 2. حل یک معادله درجه دوم با تطبیق ریشه های واقعی.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1، B = -8، C=16
D = k 2 - AC = 16 - 16 = 0
X = -k/A = 4
جایگزین کنیم
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
مثال 3. حل یک معادله درجه دوم با ریشه های مختلط.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1، B = -4، C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
تمایز منفی است - ریشه ها پیچیده هستند.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
، جایی که من جذر -1 است
همین موارد احتمالیحل معادلات درجه دوم
ما امیدواریم که ما ماشین حساب آنلاینبرای شما بسیار مفید خواهد بود.
اگر مطالب مفید بود، می توانید
