ضرایب رگرسیون استاندارد. دایره المعارف بزرگ نفت و گاز

در سهم انحراف معیار عامل و ویژگی های حاصل؛

6. اگر پارامتر a در معادله رگرسیون بزرگتر از صفر باشد، آنگاه:

7. وابستگی عرضه به قیمت ها با معادله ای به شکل y = 136 x 1.4 مشخص می شود. این یعنی چی؟

با افزایش قیمت 1٪، عرضه به طور متوسط ​​1.4٪ افزایش می یابد.

8. ب تابع توانپارامتر b عبارت است از:

ضریب الاستیسیته;

9. انحراف استاندارد باقیمانده با فرمول تعیین می شود:

10. معادله رگرسیون که از 15 مشاهده ساخته شده است، به شکل: y = 4 + 3x +?6 t - مقدار معیار 3.0 است ضریب تعیین برای این معادله:

در مرحله شکل گیری مدل، به ویژه در روش غربالگری فاکتور، آنها استفاده می کنند

ضرایب همبستگی جزئی.

12. «متغیرهای ساختاری» نامیده می شود:

متغیرهای ساختگی.

13. با توجه به ماتریسی از ضرایب همبستگی جفت:

U xl x2 x3

U 1.0 - - -

Xl 0.7 1.0 - -

X2 -0.5 0.4 1.0 -

X3 0.4 0.8 -0.1 1.0

چه عواملی خطی هستند؟

14. تابع خودهمبستگی یک سری زمانی به صورت زیر است:

دنباله ای از ضرایب خودهمبستگی سطوح سری زمانی.

15. مقدار پیش بینی سطح سری زمانی در مدل افزایشی عبارت است از:

مجموع مولفه های روند و فصلی.

16. یکی از روش های آزمون فرضیه هم انباشتگی سری های زمانی:

معیار انگل گرنجر;

17. ترکیب سری های زمانی عبارت است از:

رابطه علت و معلولی در سطوح دو (یا چند) سری زمانی؛

18. ضرایب برای متغیرهای برونزا در سیستم معادلات نشان داده شده است:

19. یک معادله بیش از حد قابل شناسایی است اگر:

20. یک مدل غیرقابل شناسایی در نظر گرفته می شود اگر:

حداقل یک معادله از مدل قابل شناسایی نیست.

گزینه 13

1. مرحله اول تحقیق اقتصادسنجی عبارت است از:

فرمول بندی مسئله.

تحت چه وابستگی معانی مختلفآیا یک متغیر با توزیع های مختلف مقادیر متغیر دیگر مطابقت دارد؟

آماری؛

3. اگر ضریب رگرسیون بزرگتر از صفر باشد، آنگاه:

ضریب همبستگی بزرگتر از صفر است.

4. رویکرد کلاسیک برای برآورد ضرایب رگرسیون بر اساس:

روش کمترین مربعات;

آزمون F فیشر مشخص می کند

نسبت عامل و واریانس باقیمانده محاسبه شده به ازای درجه آزادی.

6. ضریب رگرسیون استاندارد شده:

ضریب همبستگی چندگانه;

7. برای ارزیابی اهمیت ضرایب، انجام ندهید رگرسیون خطیمحاسبه:

و - آزمون فیشر;

8. پارامترها با استفاده از روش حداقل مربعات تعیین می شوند:

رگرسیون خطی؛

9. خطای تصادفی ضریب همبستگی با فرمول تعیین می شود:

M= √(1-r 2)/(n-2)

10. داده شده: Dfact = 120; Doct = 51. مقدار واقعی آزمون F فیشر چقدر خواهد بود؟

11. آزمون F جزئی فیشر ارزیابی می کند:

اهمیت آماریوجود عامل مربوطه در معادله رگرسیون چندگانه;

12. برآورد بی طرفانه به این معناست که:

ارزش مورد انتظارباقی مانده صفر است

13. هنگام محاسبه یک مدل رگرسیون و همبستگی چندگانه در اکسل، برای نمایش ماتریسی از ضرایب همبستگی زوجی، از موارد زیر استفاده می شود:

همبستگی ابزار تجزیه و تحلیل داده ها;

14. مجموع مقادیر مولفه فصلی برای همه ربع ها در مدل افزایشی باید برابر با:

15. مقدار پیش بینی سطح سری زمانی در مدل ضربی برابر است با:

محصول روند و اجزای فصلی؛

16. یک همبستگی نادرست ناشی از وجود موارد زیر است:

روندها

17. برای تعیین همبستگی خودکار باقیمانده ها، از:

معیار دوربین واتسون;

18. ضرایب متغیرهای درون زا در سیستم معادلات نشان داده شده است:

19 . شرط این است که رتبه یک ماتریس از ضرایب متغیرها تشکیل شده باشد. گمشده در معادله مورد مطالعه کمتر از تعداد درون زا نیست متغیرهای سیستمدر واحد عبارت است از:

شرط اضافیشناسایی یک معادله در سیستم معادلات

20. از روش حداقل مربعات غیر مستقیم برای حل استفاده می شود:

یک سیستم معادلات قابل شناسایی

گزینه 14

1. عبارات ریاضی و آماری که به طور کمی پدیده ها و فرآیندهای اقتصادی را مشخص می کنند و از درجه اعتبار نسبتاً بالایی برخوردار هستند، نامیده می شوند:

مدل های اقتصاد سنجی

2. هدف از تحلیل رگرسیون:

تعیین نزدیکی رابطه بین ویژگی ها؛

3. ضریب رگرسیون نشان می دهد:

میانگین تغییر در نتیجه با تغییر ضریب یک واحد اندازه گیری آن.

4. میانگین خطاتقریب ها عبارتند از:

میانگین انحراف مقادیر محاسبه شده مشخصه حاصل از مقادیر واقعی؛

5. انتخاب نادرست تابع ریاضی به خطاها اشاره دارد:

مشخصات مدل؛

6. اگر پارامتر a در معادله رگرسیون بزرگتر از صفر باشد، آنگاه:

تغییر نتیجه کمتر از تغییر عامل است.

7. کدام تابع با تغییر متغیرها خطی می شود: x=x1، x2=x2

چند جمله ای درجه دوم;

8. وابستگی تقاضا به قیمت ها با معادله ای به شکل y = 98 x - 2.1 مشخص می شود. این یعنی چی؟

با افزایش قیمت 1٪، تقاضا به طور متوسط ​​2.1٪ کاهش می یابد.

9. میانگین خطای پیش بینی با فرمول تعیین می شود:

- σost=√(∑(у-ỹ) 2 / (n-m-1))

10. فرض کنید یک معادله رگرسیون زوجی وجود داشته باشد: y = 13+6*x، ساخته شده از 20 مشاهده، با r = 0.7. خطای استاندارد ضریب همبستگی را تعیین کنید:

11. ضرایب رگرسیون استاندارد نشان می دهد:

اگر ضریب متناظر با یک سیگما تغییر کند در حالی که سطح متوسط ​​سایر عوامل بدون تغییر باقی بماند، نتیجه میانگین چند سیگما تغییر خواهد کرد.

12. یکی از پنج مقدمه روش حداقل مربعات عبارت است از:

واریانس همسانی؛

13. برای محاسبه ضریب چندگانهاز همبستگی های اکسل استفاده می شود:

ابزار تحلیل داده ها رگرسیون.

14. مجموع مقادیر مولفه فصلی برای همه دوره ها در مدل ضربی در چرخه باید برابر باشد:

چهار

15. هنگام تراز تحلیلی یک سری زمانی، متغیر مستقل عبارت است از:

16. خودهمبستگی در باقیمانده ها نقض فرض OLS در مورد:

تصادفی بودن باقیمانده های بدست آمده از معادله رگرسیون.

در صورت متفاوت بودن واحدهای اندازه گیری متغیرهای مربوطه، نمی توان از ضرایب معادله رگرسیون مانند هر شاخص مطلقی در تحلیل مقایسه ای استفاده کرد. به عنوان مثال، اگر y - مخارج خانواده برای غذا، ایکس 1 - اندازه خانواده، و ایکس 2 کل درآمد خانواده است و ما رابطه ای مانند تعریف می کنیم = a + ب 1 ایکس 1 + ب 2 ایکس 2 و b 2 > b 1 , پس این به این معنی نیست ایکس 2 تاثیر قوی تری بر روی دارد y ، چگونه ایکس 1 ، زیرا ب 2 تغییر در هزینه های خانواده است که درآمد 1 روبل تغییر می کند و ب 1 - تغییر در هزینه ها در صورت تغییر اندازه خانواده توسط 1 نفر.

مقایسه ضرایب معادله رگرسیون با در نظر گرفتن یک معادله رگرسیون استاندارد به دست می آید:

y 0 =  1 x 1 0 +  2 x 2 0 + … +  m x m 0 + e،

که در آن y 0 و ایکس 0 ک – مقادیر متغیر استاندارد شده y و ایکس ک :

S y و S - انحراف استاندارد متغیرها y و ایکس ک ,

 k (k=) – -ضرایب معادله رگرسیون (اما نه پارامترهای معادله رگرسیون، برخلاف نمادهای قبلی). -ضرایب نشان می دهد که چه بخشی از آن است انحراف معیار(S y) متغیر وابسته تغییر خواهد کرد y ، اگر متغیر مستقل باشد ایکس ک با مقدار انحراف معیار آن (S) تغییر خواهد کرد. تخمین پارامترهای معادله رگرسیون به صورت مطلق (b k) و ضرایب β با رابطه:

ضرایب  یک معادله رگرسیون در مقیاس استاندارد شده، نمایشی واقع بینانه از تأثیر متغیرهای مستقل بر شاخص مدل‌سازی شده ارائه می‌کند. اگر مقدار ضریب  برای هر متغیری از مقدار ضریب  متناظر برای متغیر دیگر تجاوز کند، در این صورت تأثیر متغیر اول بر تغییر در شاخص عملکرد باید بیشتر در نظر گرفته شود. باید در نظر داشت که معادله رگرسیون استاندارد شده، به دلیل مرکزیت متغیرها، ترم آزاد بر اساس ساخت ندارد.

برای رگرسیون ساده، ضریب  با ضریب همبستگی جفت منطبق است، که این امکان را فراهم می‌کند که به ضریب همبستگی جفت معنی معنی‌داری بدهد.

هنگام تجزیه و تحلیل تأثیر شاخص های موجود در معادله رگرسیون بر مشخصه مدل شده، همراه با ضرایب ، ضرایب کشش نیز استفاده می شود. به عنوان مثال، شاخص کشش متوسط ​​با فرمول محاسبه می شود

و نشان می دهد که اگر میانگین مقدار متغیر مستقل متناظر یک درصد تغییر کند (همه چیزها مساوی باشند) به طور متوسط ​​متغیر وابسته چقدر تغییر می کند.

2.2.9. متغیرهای گسسته در تحلیل رگرسیون

به طور معمول، متغیرها در مدل های رگرسیون دارای دامنه تغییرات پیوسته هستند. با این حال، این نظریه هیچ محدودیتی بر ماهیت چنین متغیرهایی اعمال نمی کند. اغلب در تحلیل رگرسیون نیاز به در نظر گرفتن تأثیر ویژگی های کیفی و وابستگی آنها به عوامل مختلف وجود دارد. در این حالت، وارد کردن متغیرهای گسسته به مدل رگرسیون ضروری می شود. متغیرهای گسسته می توانند مستقل یا وابسته باشند. بیایید این موارد را جداگانه بررسی کنیم. اجازه دهید ابتدا مورد متغیرهای مستقل گسسته را در نظر بگیریم.

متغیرهای ساختگی در تحلیل رگرسیون

برای گنجاندن ویژگی های کیفی در رگرسیون به عنوان متغیرهای مستقل، باید آنها را دیجیتالی کرد. یک روش برای کمی کردن آنها استفاده از متغیرهای ساختگی است. نام کاملاً مناسب نیست - آنها ساختگی نیستند ، اما برای این اهداف استفاده از متغیرهایی که فقط دو مقدار دارند - صفر یا یک راحت تر است. بنابراین آنها را ساختگی نامیدند. به طور معمول، یک متغیر کیفی می تواند چندین سطح از ارزش ها را داشته باشد. به عنوان مثال، جنسیت - مرد، زن؛ صلاحیت - بالا، متوسط، پایین؛ فصلی - سه ماهه های I، II، III و IV و غیره. قاعده ای وجود دارد که بر اساس آن، برای دیجیتالی کردن چنین متغیرهایی، باید تعداد متغیرهای ساختگی را وارد کنید که تعداد آنها یک عدد کمتر از تعداد سطوح نشانگر مدل شده است. این امر ضروری است تا چنین متغیرهایی به صورت خطی وابسته نباشند.

در مثال‌های ما: جنسیت یک متغیر است که برای مردان برابر با 1 و برای زنان 0 است. صلاحیت دارای سه سطح است، به این معنی که دو متغیر ساختگی مورد نیاز است: به عنوان مثال، z 1 = 1 برای سطح بالا, 0 – برای دیگران؛ z 2 = 1 برای سطح متوسط، 0 برای سایرین. سومین متغیر مشابه را نمی توان معرفی کرد، زیرا در این حالت آنها به صورت خطی وابسته هستند (z 1 + z 2 + z 3 = 1)، تعیین کننده ماتریس (X T X) به صفر تبدیل می شود و نمی شود یافتن ماتریس معکوس (X T X) -1 ممکن است. همانطور که مشخص است، برآورد پارامترهای معادله رگرسیون از رابطه: T X) -1 X T Y) تعیین می شود.

ضرایب روی متغیرهای ساختگی نشان می دهد که مقدار متغیر وابسته در سطح تحلیل شده در مقایسه با سطح گمشده چقدر تفاوت دارد. به عنوان مثال، اگر سطح حقوق و دستمزد بسته به چندین ویژگی و سطح مهارت مدل‌سازی شود، ضریب z 1 نشان می‌دهد که چگونه حقوق متخصصان با سطح صلاحیت بالا با حقوق یک متخصص با حقوق متفاوت است. سطح پایینمدارک تحصیلی، سایر موارد برابر هستند، و ضریب z 2 برای متخصصان با سطح متوسط ​​صلاحیت ها معنای مشابهی دارد. در مورد فصلی بودن، باید سه متغیر ساختگی وارد شود (اگر داده های فصلی در نظر گرفته شود) و ضرایب روی آنها نشان می دهد که چقدر مقدار متغیر وابسته برای سه ماهه مربوطه با سطح متغیر وابسته برای سه ماهه متفاوت است. که هنگام دیجیتالی کردن آنها وارد نشده است.

متغیرهای ساختگی نیز برای مدل‌سازی تغییرات ساختاری در پویایی شاخص‌های مورد مطالعه در هنگام تحلیل سری‌های زمانی معرفی می‌شوند.

مثال 4.معادله رگرسیون استاندارد و متغیرهای ساختگی

بیایید نمونه ای از استفاده از ضرایب استاندارد شده و متغیرهای ساختگی را با استفاده از مثال تحلیل بازار آپارتمان های دو اتاقه بر اساس یک معادله رگرسیون چندگانه با مجموعه متغیرهای زیر در نظر بگیریم:

PRICE - قیمت؛

TOTSP - مساحت کل؛

LIVSP - فضای زندگی؛

KITSP - منطقه آشپزخانه؛

DIST - فاصله تا مرکز شهر؛

پیاده روی - برابر 1 اگر می توانید به ایستگاه مترو بروید و برابر 0 اگر نیاز به استفاده از حمل و نقل عمومی دارید.

آجر - اگر خانه آجری باشد برابر با 1 و اگر تابلویی باشد برابر 0.

FLOOR - اگر آپارتمان در طبقه اول یا آخر نباشد برابر با 1 و در غیر این صورت برابر با 0 است.

TEL - برابر 1 در صورت وجود تلفن در آپارتمان و برابر با 1 در غیر این صورت.

BAL در صورت وجود بالکن برابر با 1 و در صورت عدم وجود بالکن برابر با 0 است.

محاسبات با استفاده از نرم افزار STATISTICA انجام شد (شکل 2.23). وجود ضرایب  به شما این امکان را می دهد که متغیرها را با توجه به میزان تأثیر آنها بر متغیر وابسته مرتب کنید. اجازه دهید تجزیه و تحلیل مختصری از نتایج محاسبات انجام دهیم.

بر اساس آمار فیشر، در مورد اهمیت معادله رگرسیون (سطح p< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.

شکل 2.24 - گزارش بازار آپارتمان بر اساس PPP STATISTICA

ضریب تعیین چندگانه 52 درصد است، بنابراین متغیرهای درج شده در رگرسیون 52 درصد تغییر قیمت را تعیین می کنند و 48 درصد باقیمانده تغییر قیمت آپارتمان به عوامل محاسبه نشده بستگی دارد. از جمله از نوسانات تصادفی قیمت.

هر یک از ضرایب یک متغیر نشان می دهد که در صورت تغییر یک متغیر، قیمت یک آپارتمان چقدر تغییر می کند (همه چیزهای دیگر برابر هستند). بنابراین، به عنوان مثال، زمانی که کل مساحت 1 متر مربع تغییر می کند. متر، قیمت یک آپارتمان به طور متوسط ​​0.791 دلار تغییر می کند و اگر آپارتمان 1 کیلومتر از مرکز شهر حرکت کند، قیمت یک آپارتمان به طور متوسط ​​0.596 دلار کاهش می یابد. و غیره متغیرهای ساختگی (5 مورد آخر) نشان می دهد که اگر از یک سطح این متغیر به سطح دیگری بروید، میانگین قیمت یک آپارتمان چقدر تغییر می کند. بنابراین، به عنوان مثال، اگر خانه آجری است، آپارتمان در آن به طور متوسط ​​3104 دلار هزینه دارد. یعنی گرانتر از همان در خانه پنل و وجود تلفن در آپارتمان قیمت آن را به طور متوسط ​​1493 تومان افزایش می دهد. e.، و غیره

بر اساس ضرایب  می توان نتایج زیر را نتیجه گرفت. بزرگترین -ضریب برابر با 0.514، ضریب متغیر «مساحت کل» است، بنابراین، اول از همه، قیمت یک آپارتمان تحت تأثیر مساحت کل آن تشکیل می‌شود. عامل بعدی از نظر تأثیر در تغییر قیمت آپارتمان، فاصله تا مرکز شهر، سپس متریالی که خانه از آن ساخته شده است، سپس منطقه آشپزخانه و غیره است.

در اقتصاد سنجی، اغلب از یک رویکرد متفاوت برای تعیین پارامترهای رگرسیون چندگانه (2.13) با ضریب حذف شده استفاده می شود:

بیایید هر دو طرف معادله را بر انحراف معیار متغیر توضیح داده شده تقسیم کنیم اس Yو به شکل زیر ارائه کنید:

بیایید هر جمله را در انحراف استاندارد متغیر عامل مربوطه تقسیم و ضرب کنیم تا به متغیرهای استاندارد شده (مرکز و نرمال شده) برسیم:

که در آن متغیرهای جدید به عنوان نشان داده می شوند

.

همه متغیرهای استاندارد شده دارای میانگین صفر و واریانس یکسان هستند.

معادله رگرسیون به شکل استاندارد شده به صورت زیر است:

جایی که
- ضرایب رگرسیون استاندارد.

ضرایب رگرسیون استاندارد با ضرایب متفاوت است شکل عادی و طبیعی به این صورت که مقدار آنها به مقیاس اندازه گیری متغیرهای توضیحی و توضیحی مدل بستگی ندارد. علاوه بر این، یک رابطه ساده بین آنها وجود دارد:

, (3.2)

که راه دیگری برای محاسبه ضرایب می دهد با مقادیر شناخته شده ، برای مثال در مورد دو عاملی راحت تر است مدل رگرسیون.

5.2. سیستم نرمال معادلات حداقل مربعات در استاندارد

متغیرها

به نظر می رسد که برای محاسبه ضرایب رگرسیون استاندارد شده، فقط باید ضرایب همبستگی خطی زوجی را بدانید. برای نشان دادن نحوه انجام این کار، اجازه دهید مجهول را از سیستم معمولی معادلات حداقل مربعات حذف کنیم با استفاده از معادله اول ضرب معادله اول در (
) و با اضافه کردن ترم به ترم با معادله دوم، به دست می آید:

جایگزینی عبارات داخل پرانتز با نمادهای واریانس و کوواریانس

اجازه دهید معادله دوم را به شکلی مناسب برای ساده سازی بیشتر بازنویسی کنیم:

بیایید هر دو طرف این معادله را بر انحراف معیار متغیرها تقسیم کنیم اس Yو ` اس ایکس 1 و هر جمله را تقسیم کنید و در انحراف معیار متغیر مربوط به تعداد عبارت ضرب کنید:

معرفی ویژگی های یک رابطه آماری خطی:

و ضرایب رگرسیون استاندارد

,

ما گرفتیم:

پس از تبدیل های مشابه تمام معادلات دیگر، سیستم نرمال معادلات خطی حداقل مربعات (2.12) شکل ساده تر زیر را به خود می گیرد:

(3.3)

5.3. گزینه های رگرسیون استاندارد شده

ضرایب رگرسیون استاندارد در حالت خاص یک مدل با دو عامل تعیین می شود سیستم بعدیمعادلات:

(3.4)

با حل این سیستم معادلات، متوجه می شویم:

, (3.5)

. (3.6)

با جایگزینی مقادیر یافت شده ضرایب همبستگی زوجی به معادلات (3.4) و (3.5)، به دست می آوریم. و . سپس با استفاده از فرمول (3.2) به راحتی می توان برآورد ضرایب را محاسبه کرد و و سپس در صورت لزوم برآورد را محاسبه کنید طبق فرمول

6. امکانات تحلیل اقتصادی بر اساس مدل چند عاملی

6.1. ضرایب رگرسیون استاندارد

ضرایب رگرسیون استاندارد نشان می دهد که چند انحراف استاندارد وجود دارد میانگین متغیر توضیح داده شده تغییر خواهد کرد Y، اگر متغیر توضیحی مربوطه باشد ایکس من با مقدار تغییر خواهد کرد
یکی از انحرافات استاندارد آن در حالی که سطح متوسط ​​سایر عوامل را بدون تغییر حفظ می کند.

با توجه به اینکه در رگرسیون استاندارد شده تمامی متغیرها به عنوان متغیرهای تصادفی متمرکز و نرمال شده مشخص می شوند، ضرایب قابل مقایسه با یکدیگر با مقایسه آنها با یکدیگر می توانید فاکتورهای مربوط به آنها را رتبه بندی کنید ایکس منبا قدرت تاثیر بر متغیر توضیح داده شده Y. این مزیت اصلی ضرایب رگرسیون استاندارد شده از ضرایب است رگرسیون در فرم طبیعی، که با یکدیگر قابل مقایسه نیستند.

این ویژگی ضرایب رگرسیون استاندارد، امکان استفاده از حداقل را ممکن می سازد عوامل مهم ایکس منبا مقادیر تخمین نمونه آنها نزدیک به صفر است . تصمیم برای حذف آنها از معادله مدل رگرسیون خطی پس از آزمون فرضیه های آماری مبنی بر اینکه مقدار میانگین آن برابر با صفر است، اتخاذ می شود.

برآورد پارامترهای مجهول معادله رگرسیون با استفاده از روش حداقل مربعات تعیین می شود. با این حال، روش دیگری برای تخمین این ضرایب در صورت رگرسیون خطی چندگانه وجود دارد. برای انجام این کار، یک معادله رگرسیون چندگانه در مقیاس استاندارد شده (نرمال شده) ساخته شده است. این بدان معناست که تمامی متغیرهای درگیر در مدل رگرسیون با استفاده از فرمول های خاص استاندارد شده اند. فرآیند استانداردسازی این امکان را فراهم می کند که نقطه مرجع برای هر متغیر نرمال شده به مقدار متوسط ​​آن برای نمونه تنظیم شود. در این حالت واحد اندازه گیری متغیر استاندارد شده به انحراف معیار آن تبدیل می شود. معادله رگرسیون در مقیاس استاندارد:

که در آن، متغیرهای استاندارد شده هستند.

ضرایب رگرسیون استاندارد. آن ها از طریق فرآیند استانداردسازی، نقطه مرجع برای هر متغیر نرمال شده به مقدار میانگین آن بیش از حد تعیین می شود جامعه نمونه. در این حالت انحراف معیار آن به عنوان واحد اندازه گیری متغیر استاندارد در نظر گرفته می شود σ . ضرایب β نشان می دهد، با چند سیگما (انحراف استاندارد) میانگین نتیجه به دلیل تغییر در فاکتور مربوطه تغییر می کند. xIبا یک سیگما، با ثابت ماندن میانگین سطح سایر عوامل. با استفاده از روش حداقل مربعات در معادله رگرسیون چندگانه در مقیاس استاندارد شده، پس از تبدیل های مناسب، سیستمی از معادلات نرمال را برای تعیین ضرایب استاندارد به دست می آوریم. ضرایب رگرسیون β با استفاده از حداقل مربعات از سیستم معادلات زیر با استفاده از روش تعیین تعیین می شود:

لازم به ذکر است که کمیت های r yx 1 و r xixj را ضرایب جفت می گویند. همبستگی و با فرمول تعیین می شود: r yx 1 = yxi میانگین – y ср*хiср/ ǪхǪу; r xixj = хixj میانگین – xi avg*xjcv/ǪхiǪxj. با حل سیستم، ضرایب استاندارد شده را تعیین می کنیم. پسرفت. با مقایسه آنها با یکدیگر، می توانید عوامل را با توجه به قدرت تأثیر آنها بر نتایج رتبه بندی کنید. این مزیت اصلی ضرایب رگرسیون استاندارد شده، برخلاف ضرایب است. رگرسیون محض که با یکدیگر قابل مقایسه نیستند. برای تخمین پارامترها غیر خطیمعادلات رگرسیون چندگانه ابتدا به شکل خطی (با جایگزینی متغیرها) تبدیل می شوند و برای یافتن پارامترها از روش حداقل مربعات استفاده می شود. معادله خطیرگرسیون چندگانه بر روی متغیرهای تبدیل شده چه زمانی وابستگی های غیرخطی داخلیبرای تخمین پارامترها لازم است از روش های بهینه سازی غیرخطی از ضرایب رگرسیون استاندارد استفاده شود βiقابل مقایسه با یکدیگر هستند، که اجازه می دهد تا عوامل بر اساس قدرت تاثیر آنها بر نتیجه رتبه بندی شوند. تأثیر نسبی بیشتر بر تغییر در متغیر نتیجه yتوسط عاملی اعمال می شود که با مقدار مدول بزرگتر ضریب مطابقت دارد βi.در آن مزیت اصلی ضرایب رگرسیون استاندارد شده استبر خلاف ضرایب رگرسیون «خالص» که با یکدیگر قابل مقایسه نیستند.ضرایب رگرسیون "خالص". دوبا شانس βiبا نسبت توصیف شده است.