برآورد انتظارات ریاضی و واریانس در نمونه. برآورد انتظارات و پراکندگی ریاضی، خواص آنها

انتظار توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

انتظارات ریاضی، تعریف، انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته، نمونه، انتظار شرطی، محاسبه، خواص، مسائل، تخمین انتظار، پراکندگی، تابع توزیع، فرمول‌ها، مثال‌های محاسبه

مطالب را گسترش دهید

جمع کردن محتوا

انتظار ریاضی تعریف است

یکی از مهمترین مفاهیم در آمار ریاضیو نظریه احتمال، که توزیع مقادیر یا احتمالات یک متغیر تصادفی را مشخص می کند. به طور معمول به عنوان میانگین وزنی تمام پارامترهای ممکن یک متغیر تصادفی بیان می شود. به طور گسترده در تحلیل تکنیکال، مطالعه سری های اعداد و مطالعه فرآیندهای مستمر و وقت گیر استفاده می شود. این دارد مهمهنگام ارزیابی ریسک ها، پیش بینی شاخص های قیمت هنگام معامله در بازارهای مالی، در توسعه استراتژی ها و روش های تاکتیک های بازی در تئوری قمار استفاده می شود.

انتظار ریاضی استمقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود.

انتظار ریاضی استاندازه گیری مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. انتظار یک متغیر تصادفی ایکسنشان داده شده با M(x).

انتظار ریاضی است

انتظار ریاضی استدر تئوری احتمال، میانگین وزنی تمام مقادیر ممکنی که این می تواند بگیرد مقدار تصادفی.

انتظار ریاضی استمجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر.

انتظار ریاضی استمیانگین سود از یک تصمیم خاص، مشروط بر اینکه چنین تصمیمی در چارچوب تئوری قابل بررسی باشد اعداد بزرگو مسافت طولانی

انتظار ریاضی استدر تئوری قمار، میزان بردی که یک بازیکن می تواند به طور متوسط ​​برای هر شرط به دست آورد یا از دست بدهد. در اصطلاح قمار، گاهی اوقات به آن "لبه بازیکن" (اگر برای بازیکن مثبت باشد) یا "لبه خانه" (اگر برای بازیکن منفی باشد) می گویند.

انتظار ریاضی استدرصد سود به ازای هر برد ضرب در سود متوسط، منهای احتمال ضرر ضرب در میانگین ضرر.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی در نظریه ریاضی

یکی از ویژگی های عددی مهم یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی آن است. اجازه دهید مفهوم سیستم متغیرهای تصادفی را معرفی کنیم. بیایید مجموعه ای از متغیرهای تصادفی را در نظر بگیریم که نتایج همان آزمایش تصادفی هستند. اگر یکی از مقادیر ممکن سیستم باشد، آنگاه رویداد با احتمال خاصی مطابقت دارد که بدیهیات کولموگروف را برآورده می کند. تابعی که برای هر مقدار ممکن از متغیرهای تصادفی تعریف می شود، قانون توزیع مشترک نامیده می شود. این تابع به شما امکان می دهد تا احتمالات هر رویدادی را از آن محاسبه کنید. به طور خاص، قانون توزیع مشترک متغیرهای تصادفی و که مقادیری از مجموعه و با احتمالات داده می شود.

اصطلاح "انتظار ریاضی" توسط پیر سیمون مارکیز د لاپلاس (1795) معرفی شد و از مفهوم "ارزش مورد انتظار برنده" می آید که برای اولین بار در قرن هفدهم در نظریه قمار در آثار بلز پاسکال و کریستیان ظاهر شد. هویگنس. با این حال، اولین درک نظری و ارزیابی کامل از این مفهوم توسط پافنوتی لوویچ چبیشف (اواسط قرن نوزدهم) ارائه شد.

قانون توزیع متغیرهای عددی تصادفی (تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل، دانستن برخی از خصوصیات عددی کمیت مورد مطالعه (مثلاً مقدار متوسط ​​آن و انحراف احتمالیاز او) برای پاسخ به سوال مطرح شده. ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی عبارتند از انتظار ریاضی، واریانس، حالت و میانه.

انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است. گاهی اوقات انتظارات ریاضی را میانگین وزنی می نامند، زیرا تقریباً برابر است با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی در تعداد زیادی آزمایش. از تعریف انتظارات ریاضینتیجه می شود که مقدار آن از کوچکترین مقدار ممکن متغیر تصادفی کمتر و از بزرگترین آن بیشتر نیست. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی یک متغیر غیر تصادفی (ثابت) است.

انتظارات ریاضی ساده است معنای فیزیکی: اگر یک واحد جرم را روی یک خط مستقیم قرار دهید، مقداری جرم را در برخی نقاط (برای توزیع گسسته) یا آن را با چگالی معینی (برای یک توزیع کاملاً پیوسته) "لکه کردن" کنید، سپس نقطه مربوط به انتظار ریاضی مختصات "مرکز ثقل" خط خواهد بود.

مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی عدد معینی است که همان طور که گفته شد «نماینده» آن است و در محاسبات تقریباً تقریبی جایگزین آن می‌شود. وقتی می گوییم: "متوسط ​​زمان کارکرد لامپ 100 ساعت است" یا "متوسط ​​نقطه ضربه نسبت به هدف 2 متر به سمت راست جابه جا شده است"، مشخصه عددی خاصی از یک متغیر تصادفی را نشان می دهیم که مکان آن را توصیف می کند. روی محور عددی، یعنی. "ویژگی های موقعیت".

از ویژگی های موقعیت در نظریه احتمال نقش حیاتیانتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بازی می کند که گاهی اوقات به سادگی مقدار متوسط ​​متغیر تصادفی نامیده می شود.

متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکس، داشتن مقادیر ممکن x1، x2، …، xnبا احتمالات p1, p2, …, pn. ما باید موقعیت مقادیر یک متغیر تصادفی را در محور x با مقداری مشخص کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که این مقادیر احتمالات متفاوتی دارند. برای این منظور، طبیعی است که از به اصطلاح «میانگین وزنی» مقادیر استفاده شود xi، و هر مقدار xi در طول میانگین گیری باید با "وزن" متناسب با احتمال این مقدار در نظر گرفته شود. بنابراین، میانگین متغیر تصادفی را محاسبه خواهیم کرد ایکس، که به آن اشاره می کنیم M |X|:

این میانگین وزنی را انتظار ریاضی از متغیر تصادفی می نامند. بنابراین، ما یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال - مفهوم انتظار ریاضی را در نظر گرفتیم. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر است.

ایکسبا یک وابستگی عجیب با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده متغیر تصادفی در تعداد زیادی آزمایش مرتبط است. این وابستگی از همان نوع وابستگی بین فرکانس و احتمال است، یعنی: با تعداد زیادی آزمایش، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). از وجود ارتباط بین فرکانس و احتمال، می توان به عنوان یک نتیجه، وجود یک ارتباط مشابه بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی را نتیجه گرفت. در واقع، متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکسبا یک سری توزیع مشخص می شود:

بگذارید تولید شود نآزمایش های مستقل، که در هر یک از آنها ارزش ایکسارزش خاصی به خود می گیرد. بیایید فرض کنیم که ارزش x1ظاهر شد m1بار، ارزش x2ظاهر شد متر مربعیک بار به معنای عام xiبارها ظاهر شد اجازه دهید میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از مقدار X را محاسبه کنیم که بر خلاف انتظارات ریاضی M|X|نشان می دهیم M*|X|:

با افزایش تعداد آزمایشات نفرکانس ها پیبه احتمالات مربوطه نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). در نتیجه، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از متغیر تصادفی M|X|با افزایش تعداد آزمایش‌ها، به انتظارات ریاضی خود نزدیک می‌شود (احتمال همگرایی). ارتباط بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی فرمول‌بندی‌شده در بالا، محتوای یکی از اشکال قانون اعداد بزرگ را تشکیل می‌دهد.

ما قبلاً می دانیم که همه اشکال قانون اعداد بزرگ این واقعیت را بیان می کنند که برخی از میانگین ها در تعداد زیادی آزمایش پایدار هستند. در اینجا ما در مورد پایداری میانگین حسابی از یک سری مشاهدات با همان کمیت صحبت می کنیم. با تعداد کمی آزمایش، میانگین حسابی نتایج آنها تصادفی است. با افزایش کافی در تعداد آزمایش ها، "تقریبا غیر تصادفی" می شود و با تثبیت به یک مقدار ثابت - انتظار ریاضی نزدیک می شود.

پایداری میانگین ها در تعداد زیادی آزمایش را می توان به راحتی به صورت تجربی تأیید کرد. به عنوان مثال، هنگام توزین یک بدن در آزمایشگاه بر روی ترازوهای دقیق، در نتیجه توزین هر بار مقدار جدیدی به دست می آید. برای کاهش خطای مشاهده، بدن را چندین بار وزن کرده و از میانگین حسابی مقادیر به دست آمده استفاده می کنیم. به راحتی می توان دریافت که با افزایش بیشتر تعداد آزمایش ها (توزین)، میانگین حسابی کمتر و کمتر به این افزایش واکنش نشان می دهد و با تعداد کافی آزمایش، عملاً تغییر نمی کند.

لازم به ذکر است که مهمترین ویژگیموقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - برای همه متغیرهای تصادفی وجود ندارد. می توان نمونه هایی از چنین متغیرهای تصادفی را که انتظار ریاضی برای آنها وجود ندارد، ایجاد کرد، زیرا مجموع یا انتگرال مربوطه واگرا می شود. با این حال، چنین مواردی برای تمرین جالب نیست. به طور معمول، متغیرهای تصادفی که با آنها سروکار داریم، محدوده محدودی از مقادیر ممکن و البته انتظار ریاضی دارند.

علاوه بر مهمترین ویژگی های موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - در عمل، گاهی اوقات از سایر ویژگی های موقعیت به ویژه حالت و میانه متغیر تصادفی استفاده می شود.

حالت یک متغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. اصطلاح "محتمل ترین مقدار" به طور دقیق فقط در مورد کمیت های ناپیوسته کاربرد دارد. برای مقدار پیوستهحالت مقداری است که در آن چگالی احتمال حداکثر است. شکل ها به ترتیب حالت متغیرهای تصادفی ناپیوسته و پیوسته را نشان می دهند.

اگر چندضلعی توزیع (منحنی توزیع) بیش از یک ماکزیمم داشته باشد، توزیع «چند وجهی» نامیده می شود.

گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارند که یک حداقل در وسط دارند نه حداکثر. چنین توزیع هایی "ضد وجهی" نامیده می شوند.

که در مورد کلیحالت و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی با هم مطابقت ندارند. در حالت خاص، وقتی توزیع متقارن و مدال است (یعنی حالت دارد) و انتظار ریاضی وجود دارد، آنگاه با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.

یکی دیگر از مشخصه های موقعیت اغلب استفاده می شود - به اصطلاح میانه یک متغیر تصادفی. این مشخصه معمولاً فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته استفاده می شود، اگرچه می توان آن را به طور رسمی برای یک متغیر ناپیوسته تعریف کرد. از نظر هندسی، میانه آبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محصور شده توسط منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود.

در مورد توزیع مودال متقارن، میانه با انتظار و حالت ریاضی منطبق است.

انتظارات ریاضی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی است - یک مشخصه عددی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی. در کلی ترین حالت، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی است X(w)به عنوان انتگرال Lebesgue با توجه به اندازه گیری احتمال تعریف می شود آردر فضای احتمال اصلی:

انتظارات ریاضی را می توان به عنوان انتگرال Lebesgue نیز محاسبه کرد ایکسبا توزیع احتمال pxمقادیر ایکس:

مفهوم متغیر تصادفی با انتظارات ریاضی بی نهایت را می توان به روشی طبیعی تعریف کرد. یک مثال معمولیبه عنوان زمان بازگشت در برخی از پیاده روی های تصادفی خدمت می کنند.

با کمک انتظارات ریاضی، بسیاری از عددی و ویژگی های عملکردیتوزیع ها (به عنوان انتظار ریاضی توابع متناظر از یک متغیر تصادفی)، به عنوان مثال، تابع تولید، تابع مشخصه، گشتاورهای هر مرتبه، به ویژه پراکندگی، کوواریانس.

انتظارات ریاضی مشخصه مکان مقادیر یک متغیر تصادفی (مقدار متوسط ​​توزیع آن) است. در این ظرفیت، انتظار ریاضی به عنوان برخی از پارامترهای توزیع "معمولی" عمل می کند و نقش آن مشابه نقش لحظه ایستا - مختصات مرکز ثقل توزیع جرم - در مکانیک است. از دیگر ویژگی های مکان که با کمک آنها توزیع به طور کلی توصیف می شود - میانه ها، حالت ها، انتظارات ریاضی در مقدار بیشتری که آن و مشخصه پراکندگی مربوطه - پراکندگی - در قضایای حدی نظریه احتمال دارند متفاوت است. معنای انتظار ریاضی به طور کامل توسط قانون اعداد بزرگ (نابرابری چبیشف) و قانون تقویت شده اعداد بزرگ آشکار می شود.

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته

اجازه دهید یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد که بتواند یکی از چندین مقدار عددی را بگیرد (به عنوان مثال، تعداد امتیازها هنگام پرتاب تاس می تواند 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 باشد). اغلب در عمل، برای چنین مقداری، این سوال مطرح می شود: با تعداد زیادی تست، چه مقداری به طور متوسط ​​می گیرد؟ میانگین درآمد (یا ضرر) ما از هر یک از معاملات پرخطر چقدر خواهد بود؟

فرض کنید نوعی قرعه کشی وجود دارد. ما می خواهیم بفهمیم که آیا شرکت در آن سودآور است یا نه (یا حتی شرکت مکرر و منظم). بیایید بگوییم که هر بلیط چهارم برنده است، جایزه 300 روبل و قیمت هر بلیط 100 روبل خواهد بود. با تعداد بی نهایت زیاد مشارکت، این اتفاق می افتد. در سه چهارم موارد ما ضرر خواهیم کرد، هر سه ضرر 300 روبل هزینه خواهد داشت. در هر چهارمین مورد 200 روبل برنده خواهیم شد. (جایزه منهای هزینه)، یعنی برای چهار شرکت به طور متوسط ​​100 روبل از دست می دهیم، برای یک - به طور متوسط ​​25 روبل. در مجموع، میانگین نرخ خرابی ما برای هر بلیط 25 روبل خواهد بود.

پرتاب می کنیم تاس. اگر تقلب نباشد (بدون جابجایی مرکز ثقل و غیره)، پس به طور میانگین در یک زمان چند امتیاز خواهیم داشت؟ از آنجایی که احتمال هر گزینه به یک اندازه است، به سادگی میانگین حسابی را می گیریم و 3.5 می گیریم. از آنجایی که این میانگین است، نیازی به عصبانیت نیست که هیچ رول خاصی 3.5 امتیاز نمی دهد - خوب، این مکعب با چنین عددی صورت ندارد!

حالا بیایید مثال های خود را خلاصه کنیم:

بیایید به تصویر ارائه شده نگاه کنیم. در سمت چپ جدولی از توزیع یک متغیر تصادفی وجود دارد. مقدار X می تواند یکی از n مقدار ممکن را بگیرد (نشان داده شده در خط بالا). معانی دیگری نمی تواند وجود داشته باشد. زیر هر کدام معنی ممکناحتمال آن در زیر نوشته شده است. در سمت راست فرمول است که در آن M(X) انتظار ریاضی نامیده می شود. معنای این مقدار این است که با تعداد زیادی آزمون (با نمونه بزرگ)، مقدار متوسط ​​به همان انتظار ریاضی تمایل پیدا می کند.

بیایید دوباره به همان مکعب بازی برگردیم. انتظار ریاضی تعداد امتیازها هنگام پرتاب 3.5 است (اگر باور ندارید، خودتان آن را با استفاده از فرمول محاسبه کنید). فرض کنید شما آن را چند بار پرتاب کردید. نتایج 4 و 6 بود. میانگین 5 بود که با 3.5 فاصله زیادی دارد. یه بار دیگه انداختن 3 یعنی به طور متوسط ​​(4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... یه جورایی دور از انتظار ریاضی. اکنون یک آزمایش دیوانه انجام دهید - مکعب را 1000 بار بچرخانید! و حتی اگر میانگین دقیقاً 3.5 نباشد، نزدیک به آن خواهد بود.

بیایید انتظارات ریاضی برای قرعه کشی که در بالا توضیح داده شد را محاسبه کنیم. صفحه به شکل زیر خواهد بود:

سپس انتظارات ریاضی همانطور که در بالا مشخص کردیم خواهد بود:

چیز دیگر این است که انجام آن "روی انگشتان" بدون فرمول، در صورت وجود گزینه های بیشتر دشوار خواهد بود. خوب، بیایید بگوییم که 75 درصد بلیت های از دست رفته، 20 درصد بلیت های برنده و 5 درصد به ویژه بلیت های برنده وجود دارد.

در حال حاضر برخی از ویژگی های انتظار ریاضی.

اثبات آن آسان است:

عامل ثابت را می توان به عنوان نشانه ای از انتظار ریاضی خارج کرد، یعنی:

این یک مورد خاص از ویژگی خطی بودن انتظار ریاضی است.

پیامد دیگر خطی بودن انتظار ریاضی:

یعنی انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی.

اجازه دهید X، Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند، سپس:

این نیز به راحتی قابل اثبات است) کار کنید XYخود یک متغیر تصادفی است، و اگر مقادیر اولیه می تواند باشد nو متربر این اساس ارزش ها را دارد XYمی تواند مقادیر nm را بگیرد. احتمال هر مقدار بر اساس چند برابر شدن احتمالات رویدادهای مستقل محاسبه می شود. در نتیجه این را دریافت می کنیم:

انتظار یک متغیر تصادفی پیوسته

متغیرهای تصادفی پیوسته دارای ویژگی هایی مانند چگالی توزیع (چگالی احتمال) هستند. اساساً وضعیتی را مشخص می کند که یک متغیر تصادفی مقادیری را از مجموعه اعداد واقعی اغلب و برخی دیگر را کمتر می گیرد. برای مثال این نمودار را در نظر بگیرید:

اینجا ایکس- متغیر تصادفی واقعی، f(x)- چگالی توزیع با قضاوت در این نمودار، در طول آزمایش مقدار ایکساغلب عددی نزدیک به صفر خواهد بود. شانس بیش از حد است 3 یا کوچکتر باشد -3 نه صرفا نظری

به عنوان مثال، یک توزیع یکنواخت وجود داشته باشد:

این کاملاً با درک شهودی سازگار است. فرض کنید، اگر تعداد زیادی اعداد واقعی تصادفی با توزیع یکنواخت دریافت کنیم، هر یک از بخش ها |0; 1| ، پس میانگین حسابی باید حدود 0.5 باشد.

ویژگی‌های انتظار ریاضی - خطی بودن و غیره که برای متغیرهای تصادفی گسسته قابل اعمال است، در اینجا نیز قابل استفاده است.

رابطه بین انتظارات ریاضی و سایر شاخص های آماری

در تجزیه و تحلیل آماری، همراه با انتظارات ریاضی، سیستمی از شاخص‌های وابسته به هم وجود دارد که همگنی پدیده‌ها و پایداری فرآیندها را منعکس می‌کند. اغلب، شاخص های تنوع معنای مستقلی ندارند و برای تجزیه و تحلیل بیشتر داده ها استفاده می شوند. استثنا ضریب تغییرات است که مشخص کننده همگنی داده ها است که یک مشخصه آماری ارزشمند است.

درجه تغییرپذیری یا پایداری فرآیندها در علم آمار را می توان با استفاده از چند شاخص اندازه گیری کرد.

اکثر شاخص مهم، مشخص کننده تغییرپذیری یک متغیر تصادفی است پراکندگیکه نزدیک ترین و مستقیم ترین ارتباط را با انتظارات ریاضی دارد. این پارامتر به طور فعال در انواع دیگر تحلیل های آماری (آزمایش فرضیه، تجزیه و تحلیل روابط علت و معلولی و غیره) استفاده می شود. مانند میانگین انحراف خطی، واریانس نیز میزان پراکندگی داده ها در اطراف مقدار میانگین را منعکس می کند.

ترجمه زبان نشانه ها به زبان کلمات مفید است. معلوم می شود که پراکندگی میانگین مربعات انحرافات است. یعنی ابتدا مقدار میانگین محاسبه می شود، سپس تفاوت بین هر مقدار اصلی و میانگین گرفته شده، مربع، اضافه شده و سپس بر تعداد مقادیر موجود در جامعه تقسیم می شود. تفاوت بین یک مقدار فردی و میانگین نشان دهنده اندازه گیری انحراف است. مجذور آن طوری است که همه انحرافات منحصراً به اعداد مثبت تبدیل می شوند و هنگام جمع کردن آنها از تخریب متقابل انحرافات مثبت و منفی جلوگیری می شود. سپس با توجه به مجذور انحرافات، به سادگی میانگین حسابی را محاسبه می کنیم. میانگین - مربع - انحرافات. انحرافات مجذور و میانگین محاسبه می شود. پاسخ به کلمه جادویی "پراکندگی" فقط در سه کلمه نهفته است.

با این حال، در شکل خالص، مانند میانگین حسابی، یا شاخص، واریانس استفاده نمی شود. این بیشتر یک شاخص کمکی و میانی است که برای انواع دیگر تحلیل های آماری استفاده می شود. حتی یک واحد اندازه گیری معمولی هم ندارد. با قضاوت بر اساس فرمول، این مربع واحد اندازه گیری داده اصلی است.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی را اندازه گیری کنیم نبرای مثال سرعت باد را ده بار اندازه می گیریم و می خواهیم مقدار متوسط ​​را پیدا کنیم. مقدار متوسط ​​چگونه با تابع توزیع مرتبط است؟

یا تاس را چند بار می اندازیم. تعداد نقاطی که در هر پرتاب روی تاس ظاهر می شود یک متغیر تصادفی است و می تواند هر مقدار طبیعی را از 1 تا 6 بگیرد. نبه یک عدد بسیار خاص تمایل دارد - انتظار ریاضی Mx. که در در این مورد Mx = 3.5.

چگونه به این مقدار رسیدید؟ بگذار وارد شود نتست ها n1 1 امتیاز یک بار رول می شود n2یک بار - 2 امتیاز و غیره. سپس تعداد نتایجی که در آنها یک امتیاز کاهش یافته است:

به طور مشابه برای نتایج زمانی که 2، 3، 4، 5 و 6 امتیاز داده می شود.

حال فرض می کنیم قانون توزیع متغیر تصادفی x را می دانیم، یعنی می دانیم که متغیر تصادفی x می تواند مقادیر x1، x2، ...، xk را با احتمالات p1، p2، ​​...، بگیرد. pk.

انتظار ریاضی Mx از یک متغیر تصادفی x برابر است با:

انتظارات ریاضی همیشه تخمین معقولی از برخی متغیرهای تصادفی نیست. بنابراین، برای تخمین میانگین دستمزداستفاده از مفهوم میانه، یعنی مقداری که تعداد افرادی که حقوق کمتر از میانه و بزرگتر دریافت می کنند، مطابقت داشته باشند، منطقی تر است.

احتمال p1 که متغیر تصادفی x کمتر از x1/2 باشد و احتمال p2 که متغیر تصادفی x بزرگتر از x1/2 باشد، یکسان و برابر با 1/2 است. میانه به طور منحصر به فرد برای همه توزیع ها تعیین نمی شود.

استاندارد یا انحراف استاندارددر آمار به درجه انحراف داده ها یا مجموعه های مشاهده ای از مقدار AVERAGE گفته می شود. با حروف s یا s مشخص می شود. یک انحراف معیار کوچک نشان می دهد که داده ها در اطراف میانگین خوشه می شوند، در حالی که یک انحراف استاندارد بزرگ نشان می دهد که داده های اولیه دور از آن قرار دارند. انحراف معیاربرابر است ریشه دومکمیتی به نام پراکندگی میانگین مجموع مجذور اختلاف داده های اولیه است که از مقدار متوسط ​​منحرف می شود. انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی جذر واریانس است:

مثال. در شرایط آزمایش هنگام شلیک به یک هدف، پراکندگی و انحراف استاندارد متغیر تصادفی را محاسبه کنید:

تغییر- نوسان، تغییرپذیری ارزش یک مشخصه در بین واحدهای جمعیت. مقادیر عددی منفرد یک مشخصه که در جمعیت مورد مطالعه یافت می شود، انواع مقادیر نامیده می شود. مقدار متوسط ​​ناکافی برای مشخصات کاملجمعیت ما را وادار می کند که مقادیر متوسط ​​را با شاخص هایی تکمیل کنیم که به ما امکان می دهد با اندازه گیری تغییرپذیری (تغییر) مشخصه مورد مطالعه، معمولی بودن این میانگین ها را ارزیابی کنیم. ضریب تغییرات با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

محدوده تنوع(R) نشان دهنده تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل ویژگی در جمعیت مورد مطالعه است. این شاخص بیشترین را می دهد ایده کلیدر مورد تغییرپذیری مشخصه مورد مطالعه، زیرا تنها تفاوت بین مقادیر محدود کننده گزینه ها را نشان می دهد. وابستگی به مقادیر شدید یک مشخصه به دامنه تغییرات یک شخصیت ناپایدار و تصادفی می دهد.

میانگین انحراف خطیمیانگین حسابی انحرافات مطلق (مدول) همه مقادیر جمعیت مورد تجزیه و تحلیل را از مقدار متوسط ​​آنها نشان می دهد:

انتظار در نظریه قمار

انتظار ریاضی استمیانگین مقدار پولی که یک قمارباز می تواند در یک شرط بندی برنده یا ببازد. این یک مفهوم بسیار مهم برای بازیکن است زیرا برای ارزیابی بیشتر موقعیت های بازی اساسی است. انتظارات ریاضی نیز ابزار بهینه برای تجزیه و تحلیل طرح‌بندی کارت‌ها و موقعیت‌های بازی است.

فرض کنید در حال انجام یک بازی سکه ای با یک دوست هستید و هر بار به اندازه یک دلار شرط بندی می کنید، مهم نیست چه اتفاقی می افتد. دم به معنای برنده شدن است، سر یعنی باخت. شانس بالا رفتن یک به یک است، بنابراین شما 1 دلار به 1 دلار شرط می بندید. بنابراین، انتظارات ریاضی شما صفر است، زیرا از نقطه نظر ریاضی، شما نمی توانید بدانید که آیا بعد از دو پرتاب پیشروی می کنید یا می بازید یا بعد از 200.

سود ساعتی شما صفر است. برنده های ساعتی مقدار پولی است که انتظار دارید در یک ساعت برنده شوید. شما می توانید یک سکه را 500 بار در یک ساعت پرتاب کنید، اما نه برنده می شوید و نه می بازید زیرا... شانس شما نه مثبت است و نه منفی. اگر به آن نگاه کنید، از دید یک بازیکن جدی، این سیستم شرط بندی بد نیست. اما این به سادگی اتلاف وقت است.

اما فرض کنید شخصی می خواهد در همان بازی 2 دلار در برابر 1 دلار شما شرط بندی کند. سپس شما بلافاصله یک انتظار مثبت 50 سنت از هر شرط دارید. چرا 50 سنت؟ به طور متوسط، یک شرط را برنده می شوید و شرط دوم را می بازید. دلار اول را شرط بندی کنید و 1 دلار از دست بدهید، دومی را شرط بندی کنید و 2 دلار برنده شوید. شما دوبار 1 دلار شرط می بندید و 1 دلار جلوتر هستید. بنابراین هر شرط یک دلاری شما 50 سنت به شما داد.

اگر یک سکه 500 بار در یک ساعت ظاهر شود، برنده ساعتی شما در حال حاضر 250 دلار خواهد بود، زیرا ... به طور متوسط، شما یک دلار را 250 بار باختید و دو دلار را 250 بار بردید. 500 دلار منهای 250 دلار معادل 250 دلار است که کل بردها است. لطفاً توجه داشته باشید که ارزش مورد انتظار، که میانگین مبلغی است که در هر شرط برنده می‌شوید، 50 سنت است. شما با 500 بار شرط‌بندی یک دلار، 250 دلار بردید، که معادل 50 سنت در هر شرط است.

انتظارات ریاضی ربطی به نتایج کوتاه مدت ندارد. حریف شما که تصمیم گرفته 2 دلار علیه شما شرط بندی کند، می تواند شما را در ده رول اول متوالی شکست دهد، اما شما با داشتن مزیت شرط بندی 2 به 1، در شرایطی که همه چیزها برابر باشند، در هر شرط 1 دلاری، 50 سنت به دست خواهید آورد. موقعیت. فرقی نمی‌کند که یک شرط برنده شوید یا ببازید یا چند شرط، تا زمانی که پول نقد کافی برای پوشش راحت هزینه‌ها داشته باشید. اگر به شرط بندی به همان روش ادامه دهید، پس برای یک دوره طولانیبا گذشت زمان، برنده های شما به مجموع مقادیر مورد انتظار در رول های فردی نزدیک می شود.

هر بار که بهترین شرط بندی را انجام می دهید (شرطی که ممکن است در درازمدت سودآور باشد)، زمانی که شانس به نفع شما باشد، مطمئناً چیزی را برنده خواهید شد، مهم نیست که آن را ببازید یا نه. دست داده شده برعکس، اگر در زمانی که احتمالات علیه شما وجود دارد، یک شرط بندی ضعیف انجام دهید (شرطی که در درازمدت سودآور نیست)، بدون در نظر گرفتن اینکه برنده شوید یا ببازید، چیزی را از دست می دهید.

اگر انتظارات شما مثبت باشد، شرط بندی می کنید که بهترین نتیجه را داشته باشد، و اگر شانس به سمت شما باشد، این شرط بندی مثبت است. وقتی شرط بندی می کنید که بدترین نتیجه را داشته باشد، یک انتظار منفی دارید، که زمانی اتفاق می افتد که شانس با شما مخالف باشد. بازیکنان جدی فقط بر روی بهترین نتیجه شرط می‌بندند، اگر بدترین اتفاق بیفتد، آنها را فولد می‌کنند. شانس به نفع شما به چه معناست؟ ممکن است در نهایت بیشتر از شانس های واقعی برنده شوید. شانس واقعی فرود هد 1 به 1 است، اما به دلیل نسبت شانس، 2 به 1 می گیرید. در این مورد، شانس به نفع شماست. شما قطعا بهترین نتیجه را با انتظار مثبت 50 سنت در هر شرط می گیرید.

در اینجا یک مثال پیچیده تر از انتظارات ریاضی وجود دارد. یکی از دوستان اعداد یک تا پنج را یادداشت می کند و 5 دلار در برابر 1 دلار شما شرط می بندد که عدد پنهان را حدس نزنید. آیا باید با چنین شرط بندی موافقت کنید؟ در اینجا چه انتظاری وجود دارد؟

به طور متوسط ​​چهار بار اشتباه خواهید کرد. بر این اساس، احتمال اینکه شما عدد را حدس بزنید 4 به 1 است. احتمال از دست دادن یک دلار در یک بار تلاش وجود دارد. با این حال، شما 5 بر 1 برنده می شوید، با احتمال باخت 4 بر 1. بنابراین شانس به نفع شما است، می توانید شرط را بپذیرید و به بهترین نتیجه امیدوار باشید. اگر این شرط را پنج بار انجام دهید، به طور متوسط ​​1 دلار چهار بار باخت و 5 دلار یک بار برنده خواهید شد. بر این اساس، برای هر پنج تلاش، 1 دلار با انتظار ریاضی مثبت 20 سنت در هر شرط به دست خواهید آورد.

بازیکنی که انتظار برد بیشتر از شرط بندی را دارد، مانند مثال بالا، در حال گرفتن شانس است. برعکس، زمانی که انتظار دارد کمتر از آنچه شرط بندی می کند، برنده شود، شانس خود را از بین می برد. یک شرط‌بند می‌تواند انتظار مثبت یا منفی داشته باشد، که بستگی به برنده شدن یا خراب کردن شانس دارد.

اگر 50 دلار برای برنده شدن 10 دلار با شانس 4 به 1 شرط بندی کنید، انتظار منفی 2 دلار خواهید داشت زیرا به طور متوسط، چهار بار 10 دلار برنده می شوید و یک بار 50 دلار از دست می دهید، که نشان می دهد ضرر هر شرط 10 دلار خواهد بود. اما اگر 30 دلار برای بردن 10 دلار شرط بندی کنید، با همان شانس 4 بر 1 برنده شدن، در این صورت انتظار مثبت 2 دلار دارید، زیرا شما دوباره 10 دلار چهار بار برنده می شوید و یک بار 30 دلار از دست می دهید، برای سود 10 دلار. این مثال ها نشان می دهد که شرط اول بد است و شرط دوم خوب است.

انتظارات ریاضی مرکز هر موقعیت بازی است. زمانی که یک شرط‌بند هواداران فوتبال را تشویق می‌کند که ۱۱ دلار شرط ببندند تا ۱۰ دلار برنده شوند، انتظار مثبت ۵۰ سنت از هر ۱۰ دلار دارد. اگر کازینو حتی پولی را از خط پاس به صورت craps پرداخت کند، انتظار مثبت کازینو تقریباً 1.40 دلار برای هر 100 دلار خواهد بود، زیرا ساختار این بازی به گونه ای است که هر کسی که روی این خط شرط بندی می کند به طور متوسط ​​50.7 درصد بازنده است و 49.3 درصد از کل زمان برنده می شود. بدون شک، همین انتظارات مثبت به ظاهر حداقلی است که سود هنگفتی را برای صاحبان کازینو در سراسر جهان به ارمغان می آورد. همانطور که باب استوپاک، صاحب کازینو وگاس ورلد اشاره کرد، "یک هزارم یک درصد احتمال منفی در یک مسافت به اندازه کافی طولانی، خراب خواهد شد. ثروتمندترین مرددر جهان".

انتظارات هنگام بازی پوکر

بازی پوکر گویاترین و گویاترین مثال از منظر استفاده از تئوری و خواص انتظارات ریاضی است.

ارزش مورد انتظار در پوکر میانگین سود حاصل از یک تصمیم خاص است، مشروط بر اینکه چنین تصمیمی در چارچوب تئوری اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفته شود. یک بازی پوکر موفق این است که همیشه حرکاتی را با ارزش مورد انتظار مثبت بپذیرید.

معنای ریاضی انتظارات ریاضی هنگام بازی پوکر این است که ما اغلب هنگام تصمیم گیری با متغیرهای تصادفی مواجه می شویم (ما نمی دانیم که حریف چه کارت هایی در دست دارد، چه کارت هایی در دورهای بعدی شرط بندی خواهد آمد). ما باید هر یک از راه حل ها را از دیدگاه نظریه اعداد بزرگ در نظر بگیریم، که بیان می کند که با یک نمونه به اندازه کافی بزرگ، مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن تمایل دارد.

در میان فرمول های خاص برای محاسبه انتظارات ریاضی، موارد زیر در پوکر بیشتر کاربرد دارند:

هنگام بازی پوکر، ارزش مورد انتظار را می توان برای شرط ها و تماس ها محاسبه کرد. در مورد اول، برابری سهام باید در نظر گرفته شود، در مورد دوم، شانس خود بانک. هنگام ارزیابی انتظارات ریاضی از یک حرکت خاص، باید به یاد داشته باشید که یک فولد همیشه انتظار صفر دارد. بنابراین، دور انداختن کارت‌ها همیشه یک تصمیم سودآورتر از هر حرکت منفی خواهد بود.

انتظارات به شما می گوید که برای هر دلاری که ریسک می کنید چه انتظاری دارید (سود یا ضرر). کازینوها پول در می آورند زیرا انتظارات ریاضی از همه بازی هایی که در آنها انجام می شود به نفع کازینو است. با یک سری بازی به اندازه کافی طولانی، می توانید انتظار داشته باشید که مشتری پول خود را از دست بدهد، زیرا "شانس" به نفع کازینو است. با این حال، بازیکنان حرفه‌ای کازینو بازی‌های خود را به دوره‌های زمانی کوتاه محدود می‌کنند و در نتیجه شانس‌ها را به نفع خود جمع می‌کنند. در مورد سرمایه گذاری هم همینطور. اگر انتظارات شما مثبت است، می توانید با انجام معاملات زیاد در مدت زمان کوتاه، درآمد بیشتری کسب کنید. انتظار عبارت است از درصد سود در هر برد ضربدر میانگین سود شما، منهای احتمال ضرر ضربدر میانگین ضرر شما.

پوکر را می توان از نقطه نظر انتظارات ریاضی نیز در نظر گرفت. ممکن است تصور کنید که یک حرکت خاص سودآور است، اما در برخی موارد ممکن است بهترین نباشد زیرا حرکت دیگری سودآورتر است. فرض کنید در پوکر پنج کارتی به یک خانه کامل رسیدید. حریف شما شرط بندی می کند. شما می دانید که اگر شرط را افزایش دهید، او پاسخ خواهد داد. بنابراین به نظر می رسد بالا بردن بهترین تاکتیک باشد. اما اگر شرط را افزایش دهید، دو بازیکن باقیمانده قطعا تا می شوند. اما اگر تماس بگیرید، اطمینان کامل دارید که دو بازیکن دیگر پشت سر شما نیز همین کار را خواهند کرد. زمانی که شرط خود را افزایش می دهید یک واحد دریافت می کنید و زمانی که فقط تماس می گیرید دو واحد دریافت می کنید. بنابراین، تماس، ارزش مورد انتظار مثبت بالاتری به شما می دهد و بهترین تاکتیک خواهد بود.

انتظارات ریاضی همچنین می‌تواند ایده‌ای درباره اینکه کدام تاکتیک‌های پوکر سود کمتری دارند و کدامیک سودآورتر هستند، به دست دهد. به عنوان مثال، اگر یک دست خاص بازی می کنید و فکر می کنید ضرر شما به طور متوسط ​​75 سنت با احتساب آنت است، باید آن دست را بازی کنید زیرا این بهتر از تا کردن زمانی است که آنت 1 دلار است.

یکی دیگر دلیل مهمبرای درک ماهیت انتظارات ریاضی این است که چه برنده شدن در شرط بندی یا نه به شما احساس آرامش می دهد: اگر شرط بندی خوبی انجام داده اید یا به موقع انجام داده اید، می دانید که مقدار مشخصی پول به دست آورده یا پس انداز کرده اید. بازیکن ضعیفتر قادر به ذخیره نیست. اگر ناراحت هستید، فولد کردن بسیار سخت تر است زیرا حریف شما دست قوی تری کشید. با همه اینها، پولی که با بازی نکردن به جای شرط بندی پس انداز می کنید، به بردهای شما در شب یا ماه اضافه می شود.

فقط به یاد داشته باشید که اگر دست خود را تغییر می دادید، حریف شما را صدا می زد و همانطور که در مقاله قضیه اساسی پوکر خواهید دید، این تنها یکی از مزایای شماست. وقتی این اتفاق می افتد باید خوشحال باشید. حتی می توانید یاد بگیرید که از از دست دادن یک دست لذت ببرید زیرا می دانید که بازیکنان دیگر در موقعیت شما بسیار بیشتر از این دست را از دست داده اند.

همانطور که در مثال بازی سکه در ابتدا بحث شد، نسبت سود ساعتی با انتظارات ریاضی مرتبط است و این مفهومبه ویژه برای بازیکنان حرفه ای مهم است. وقتی به بازی پوکر می روید، باید به طور ذهنی تخمین بزنید که در یک ساعت بازی چقدر می توانید برنده شوید. در بیشتر موارد باید به شهود و تجربه خود تکیه کنید، اما می توانید از ریاضیات نیز استفاده کنید. به عنوان مثال، شما در حال بازی کردن در لوبال هستید و می بینید که سه بازیکن 10 دلار شرط بندی می کنند و سپس دو کارت را مبادله می کنند که تاکتیک بسیار بدی است، می توانید بفهمید که هر بار که 10 دلار شرط بندی می کنند، حدود 2 دلار از دست می دهند. هر کدام از آنها این کار را هشت بار در ساعت انجام می دهند، به این معنی که هر سه آنها تقریباً 48 دلار در ساعت ضرر می کنند. شما یکی از چهار بازیکن باقیمانده هستید که تقریباً برابر هستند، بنابراین این چهار بازیکن (و شما در میان آنها) باید 48 دلار تقسیم کنید و هر ساعت سودی معادل 12 دلار داشته باشد. شانس ساعتی شما در این مورد به سادگی برابر با سهم شما از مقدار پولی است که سه بازیکن بد در یک ساعت از دست داده اند.

در یک دوره زمانی طولانی، کل بردهای بازیکن مجموع انتظارات ریاضی او در دستان فردی است. هر چه دست های بیشتری با انتظارات مثبت بازی کنید، بیشتر برنده می شوید و بالعکس، هر چه دست های بیشتری با انتظارات منفی بازی کنید، بیشتر بازنده می شوید. در نتیجه، باید بازی ای را انتخاب کنید که بتواند انتظارات مثبت شما را به حداکثر برساند یا انتظارات منفی شما را خنثی کند تا بتوانید برنده ساعتی خود را به حداکثر برسانید.

انتظارات ریاضی مثبت در استراتژی بازی

اگر می‌دانید چگونه کارت‌ها را بشمارید، می‌توانید نسبت به کازینو برتری داشته باشید، اگر متوجه نشوند و شما را بیرون نکنند. کازینوها عاشق بازیکنان مست هستند و نمی توانند بازیکنان شمارش کارت را تحمل کنند. یک مزیت به شما این امکان را می دهد که بیشتر از آنچه در طول زمان باختید، برنده شوید. مدیریت خوبسرمایه در هنگام استفاده از محاسبات ارزش مورد انتظار می تواند به شما کمک کند سود بیشتری را از مزیت خود استخراج کرده و زیان خود را کاهش دهید. بدون مزیت، بهتر است پول را به خیریه بدهید. در بازی در بورس، مزیت سیستم بازی است که نسبت به ضرر، اختلاف قیمت و پورسانت سود بیشتری ایجاد می کند. هیچ مقدار مدیریت پول نمی تواند یک سیستم بازی بد را نجات دهد.

انتظار مثبت به عنوان مقداری بزرگتر از صفر تعریف می شود. هر چه این عدد بزرگتر باشد، انتظارات آماری قوی تر است. اگر مقدار کمتر از صفر باشد، انتظار ریاضی نیز منفی خواهد بود. هرچه ماژول مقدار منفی بزرگتر باشد، وضعیت بدتر است. اگر نتیجه صفر باشد، انتظار به سر می‌رسد. شما فقط زمانی می توانید برنده شوید که یک انتظار ریاضی مثبت و یک سیستم بازی معقول داشته باشید. بازی با شهود منجر به فاجعه می شود.

انتظارات ریاضی و معاملات سهام

انتظارات ریاضی یک شاخص آماری نسبتاً پرکاربرد و محبوب در هنگام انجام معاملات مبادلاتی در بازارهای مالی است. اول از همه، این پارامتر برای تجزیه و تحلیل موفقیت معاملات استفاده می شود. حدس زدن اینکه هر چه این مقدار بالاتر باشد، دلایل بیشتری برای موفقیت آمیز بودن تجارت مورد مطالعه دشوار نیست. البته، تجزیه و تحلیل کار یک معامله گر را نمی توان به تنهایی با استفاده از این پارامتر انجام داد. با این حال، مقدار محاسبه شده، در ترکیب با سایر روش های ارزیابی کیفیت کار، می تواند دقت تجزیه و تحلیل را به میزان قابل توجهی افزایش دهد.

انتظارات ریاضی اغلب در خدمات نظارت بر حساب معاملاتی محاسبه می شود که به شما امکان می دهد به سرعت کار انجام شده روی سپرده را ارزیابی کنید. استثناها شامل استراتژی هایی می شود که از معاملات بی سود «نشستن» استفاده می کنند. یک معامله گر ممکن است برای مدتی خوش شانس باشد و بنابراین ممکن است هیچ ضرری در کار او وجود نداشته باشد. در این صورت نمی توان تنها با انتظارات ریاضی هدایت کرد، زیرا ریسک های به کار رفته در کار در نظر گرفته نمی شود.

در معاملات بازار، انتظارات ریاضی اغلب هنگام پیش‌بینی سودآوری هر استراتژی معاملاتی یا پیش‌بینی درآمد معامله‌گر بر اساس داده‌های آماری از معاملات قبلی او استفاده می‌شود.

با توجه به مدیریت پول، درک این نکته بسیار مهم است که هنگام انجام معاملات با انتظارات منفی، هیچ طرح مدیریت پولی وجود ندارد که مطمئناً بتواند سود بالایی به همراه داشته باشد. اگر تحت این شرایط به بازی در بازار سهام ادامه دهید، بدون در نظر گرفتن اینکه چگونه پول خود را مدیریت می کنید، کل حساب خود را از دست خواهید داد، مهم نیست که در ابتدا چقدر بزرگ باشد.

این اصل نه تنها برای بازی ها یا معاملات با انتظارات منفی صادق است، بلکه برای بازی هایی با شانس برابر نیز صادق است. بنابراین، تنها زمانی که فرصتی برای سود در بلندمدت دارید این است که معاملاتی با ارزش مورد انتظار مثبت انجام دهید.

تفاوت بین انتظار منفی و انتظار مثبت تفاوت بین زندگی و مرگ است. مهم نیست انتظارات چقدر مثبت یا منفی هستند. تنها چیزی که مهم است مثبت یا منفی بودن آن است. بنابراین، قبل از در نظر گرفتن مدیریت پول، باید یک بازی با انتظارات مثبت پیدا کنید.

اگر آن بازی را نداشته باشید، پس تمام مدیریت پول در جهان شما را نجات نخواهد داد. از سوی دیگر، اگر انتظار مثبتی دارید، می توانید با مدیریت صحیح پول، آن را به یک تابع رشد تصاعدی تبدیل کنید. مهم نیست توقع مثبت چقدر کوچک باشد! به عبارت دیگر، مهم نیست که یک سیستم معاملاتی بر اساس یک قرارداد چقدر سودآور باشد. اگر سیستمی دارید که در هر معامله 10 دلار در هر قرارداد برنده می شود (پس از کمیسیون و لغزش)، می توانید از تکنیک های مدیریت پول برای سودآوری بیشتر از سیستمی استفاده کنید که میانگین آن 1000 دلار در هر معامله است (پس از کسر کمیسیون و لغزش).

مهم این نیست که سیستم چقدر سودآور بوده است، بلکه این است که چقدر می توان گفت که سیستم حداقل سود را در آینده نشان می دهد. بنابراین، مهم ترین آماده سازی که یک معامله گر می تواند انجام دهد این است که اطمینان حاصل کند که سیستم ارزش مورد انتظار مثبتی را در آینده نشان خواهد داد.

برای داشتن ارزش مورد انتظار مثبت در آینده، بسیار مهم است که درجات آزادی سیستم خود را محدود نکنید. این امر نه تنها با حذف یا کاهش تعداد پارامترهایی که باید بهینه شوند، بلکه با کاهش هر چه بیشتر قوانین سیستم به دست می آید. هر پارامتری که اضافه می کنید، هر قانونی که ایجاد می کنید، هر تغییر کوچکی که در سیستم ایجاد می کنید، تعداد درجات آزادی را کاهش می دهد. در حالت ایده آل، شما باید یک و نسبتاً ابتدایی بسازید سیستم ساده، که به طور مداوم تقریباً در هر بازاری سود کمی ایجاد می کند. باز هم، برای شما مهم است که درک کنید که سودآوری سیستم تا زمانی که سودآور باشد، مهم نیست. پولی که از معامله به دست می آورید از طریق آن به دست خواهد آمد مدیریت موثرپول

یک سیستم معاملاتی به سادگی ابزاری است که ارزش مورد انتظار مثبتی را به شما می دهد تا بتوانید از مدیریت پول استفاده کنید. سیستم‌هایی که فقط در یک یا چند بازار کار می‌کنند (حداقل حداقل سود را نشان می‌دهند)، یا قوانین یا پارامترهای متفاوتی برای بازارهای مختلف دارند، به احتمال زیاد برای مدت طولانی در زمان واقعی کار نخواهند کرد. مشکل اکثر معامله‌گران فنی این است که زمان و تلاش زیادی را صرف بهینه‌سازی می‌کنند قوانین مختلفو مقادیر پارامترهای سیستم معاملاتی این نتایج کاملاً متضاد می دهد. به جای هدر دادن انرژی و زمان رایانه ای برای افزایش سود سیستم معاملاتی، انرژی خود را به سمت افزایش سطح اطمینان کسب حداقل سود هدایت کنید.

با علم به اینکه مدیریت پول فقط یک بازی اعدادی است که مستلزم استفاده از انتظارات مثبت است، یک معامله گر می تواند جستجوی "جام مقدس" معاملات سهام را متوقف کند. در عوض، او می تواند شروع به آزمایش روش معاملاتی خود کند، بفهمد این روش چقدر منطقی است و آیا انتظارات مثبتی را به همراه دارد یا خیر. روش های صحیحمدیریت پول، که برای هر روش تجاری، حتی بسیار متوسطی اعمال می شود، بقیه کار را خودش انجام خواهد داد.

برای اینکه هر معامله گر در کار خود موفق شود، باید سه مورد را حل کند وظایف مهم: . برای اطمینان از اینکه تعداد تراکنش های موفق بیش از اشتباهات و محاسبات نادرست اجتناب ناپذیر است. سیستم معاملاتی خود را طوری تنظیم کنید که تا حد امکان فرصت کسب درآمد داشته باشید. به نتایج مثبت پایدار از عملیات خود دست یابید.

و در اینجا، برای ما تاجران شاغل، انتظارات ریاضی می تواند کمک بزرگی باشد. این اصطلاح یکی از موارد کلیدی در نظریه احتمال است. با کمک آن می توانید یک تخمین متوسط ​​از مقداری تصادفی ارائه دهید. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی مشابه مرکز ثقل است، اگر همه احتمالات ممکن را به صورت نقاطی با جرم های مختلف تصور کنید.

در رابطه با یک استراتژی معاملاتی، انتظار ریاضی سود (یا زیان) اغلب برای ارزیابی اثربخشی آن استفاده می شود. این پارامتر به عنوان مجموع محصولات سطوح معین سود و زیان و احتمال وقوع آنها تعریف می شود. به عنوان مثال، استراتژی تجاری توسعه یافته فرض می کند که 37٪ از کل معاملات سود را به همراه خواهد داشت و قسمت باقی مانده - 63٪ - بی سود خواهد بود. در عین حال، میانگین درآمد حاصل از یک تراکنش موفق 7 دلار و میانگین ضرر آن 1.4 دلار خواهد بود. بیایید انتظارات ریاضی معامله را با استفاده از این سیستم محاسبه کنیم:

این عدد به چه معناست؟ می گوید که با رعایت قوانین این سیستم، به طور متوسط ​​از هر تراکنش بسته 1708 دلار دریافت خواهیم کرد. از آنجایی که رتبه بازده حاصل بیشتر از صفر است، می توان از چنین سیستمی برای کار واقعی استفاده کرد. اگر در نتیجه محاسبه، انتظار ریاضی منفی باشد، این نشان دهنده ضرر متوسط ​​است و چنین معاملاتی منجر به خرابی می شود.

مقدار سود هر تراکنش را نیز می توان به صورت یک مقدار نسبی در قالب % بیان کرد. مثلا:

- درصد درآمد به ازای هر تراکنش - 5٪؛

- درصد عملیات تجاری موفق - 62%؛

– درصد ضرر در هر 1 تراکنش - 3%؛

- درصد تراکنش های ناموفق - 38٪؛

یعنی میانگین تجارت 1.96 درصد به ارمغان خواهد آورد.

می توان سیستمی را توسعه داد که علیرغم غلبه معاملات بی سود، به آن کمک کند نتیجه مثبت، از آنجایی که آن MO>0 است.

با این حال، انتظار به تنهایی کافی نیست. اگر سیستم سیگنال های معاملاتی بسیار کمی بدهد، کسب درآمد دشوار است. در این صورت سودآوری آن با سود بانکی قابل مقایسه خواهد بود. بگذارید هر عملیات به طور متوسط ​​فقط 0.5 دلار تولید کند، اما اگر سیستم شامل 1000 عملیات در سال باشد، چه؟ این مبلغ در مدت نسبتاً کوتاهی مبلغ بسیار جدی خواهد بود. منطقاً از این نتیجه می شود که دیگری انگیک سیستم معاملاتی خوب را می توان در نظر گرفت کوتاه مدتداشتن مناصب

منابع و لینک ها

dic.academic.ru – فرهنگ لغت آنلاین آکادمیک

mathematics.ru – وب سایت آموزشی ریاضیات

nsu.ru - وب سایت آموزشی نووسیبیرسک دانشگاه دولتی

webmath.ru – پورتال آموزشیبرای دانش آموزان، متقاضیان و دانش آموزان.

وب سایت ریاضی آموزشی exponenta.ru

ru.tradimo.com – آموزشگاه تجارت آنلاین رایگان

crypto.hut2.ru - چند رشته ای منبع اطلاعاتی

poker-wiki.ru – دایره المعارف رایگان پوکر

sernam.ru – کتابخانه علوممنتخب انتشارات علوم طبیعی

reshim.su – وب سایت ما مشکلات دروس آزمون را حل خواهیم کرد

unfx.ru – فارکس در UNFX: آموزش، سیگنال های تجاری، مدیریت اعتماد

slovopedia.com – بزرگ فرهنگ لغت دایره المعارفیاسلووپدیا

pokermansion.3dn.ru – راهنمای شما در دنیای پوکر

statanaliz.info – وبلاگ اطلاعاتی “تجزیه و تحلیل داده های آماری”

forex-trader.rf – پورتال Forex-Trader

megafx.ru – تجزیه و تحلیل فعلی فارکس

fx-by.com - همه چیز برای یک معامله گر

توزیع یک متغیر تصادفی (توزیع جمعیت) معمولاً با تعدادی ویژگی عددی مشخص می شود:

• برای توزیع نرمال N(a, σ) انتظار ریاضی a و انحراف استاندارد σ است.
• برای توزیع یکنواخت R(a,b) مرزهای فاصله ای هستند که مقادیر این متغیر تصادفی در آن مشاهده می شود.

چنین ویژگی های عددی، معمولا ناشناخته، نامیده می شوند پارامترهای جمعیت . تخمین پارامتر - مشخصه عددی مربوطه که از نمونه محاسبه شده است. تخمین پارامترهای جمعیت به دو دسته تقسیم می شود: نقطهو فاصله.

هنگامی که یک امتیاز با یک عدد مشخص می شود، آن را فراخوانی می کنند تخمین نقطه ای. برآورد نقطه ای، به عنوان تابعی از نمونه، یک متغیر تصادفی است و از نمونه ای به نمونه دیگر با آزمایش های مکرر متفاوت است.
برآوردهای نقطه‌ای الزاماتی دارند که باید آن‌ها را برآورده کنند تا از هر نظر «خوش‌خیم» باشند. این جابجا نشده, بهره وریو ثروت.

تخمین فاصله زمانیتوسط دو عدد تعیین می شوند - انتهای بازه ای که پارامتر تخمین زده شده را پوشش می دهد. برخلاف تخمین‌های نقطه‌ای، که تصوری از فاصله‌ی پارامتر تخمین زده‌شده از آنها نمی‌دهند، تخمین‌های بازه‌ای به ما امکان می‌دهند تا دقت و قابلیت اطمینان تخمین‌ها را تعیین کنیم.

به عنوان تخمین نقطه ای انتظار ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار، ویژگی های نمونه به ترتیب از میانگین نمونه، پراکندگی نمونه و انحراف استاندارد نمونه استفاده می شود.

خاصیت برآورد بی طرفانه.
یک شرط مطلوب برای ارزیابی عدم وجود خطای سیستماتیک است، به عنوان مثال. هنگامی که به طور مکرر به جای پارامتر θ تخمین زده می شود، میانگین مقدار خطای تقریب صفر است - این ویژگی تخمین بی طرفانه.

تعریف. تخمینی بدون تعصب نامیده می شود که انتظارات ریاضی آن برابر با مقدار واقعی پارامتر برآورد شده باشد:

میانگین حسابی نمونه یک تخمین بی طرفانه از انتظارات ریاضی و واریانس نمونه است. - برآورد مغرضانه واریانس عمومی D. یک تخمین بی طرفانه از واریانس کلی، برآورد است

خاصیت سازگاری ارزیابی.
شرط دوم برای برآورد - ثبات آن - به این معنی است که تخمین با افزایش حجم نمونه بهبود می یابد.

تعریف. مقطع تحصیلی اگر به احتمال زیاد به پارامتر θ به صورت n→∞ همگرا شود سازگار نامیده می شود.

همگرایی در احتمال به این معنی است که با حجم نمونه بزرگ، احتمال انحرافات بزرگ برآورد از مقدار واقعی کم است.

ویژگی برآورد موثر.
شرط سوم به شما امکان می دهد بهترین تخمین را از چندین تخمین از یک پارامتر انتخاب کنید.

تعریف. یک برآوردگر بی طرف در صورتی کارآمد است که کمترین واریانس را در بین همه برآوردگرهای بی طرف داشته باشد.

این بدان معناست که تخمین موثر دارای حداقل پراکندگی نسبت به مقدار واقعی پارامتر است. توجه داشته باشید که یک تخمین مؤثر همیشه وجود ندارد، اما از بین دو تخمین معمولاً می توان مؤثرتر را انتخاب کرد. با واریانس کمتر به عنوان مثال، برای یک پارامتر ناشناخته a از یک جمعیت عادی N(a,σ)، هم میانگین حسابی نمونه و هم میانه نمونه را می توان به عنوان یک تخمین بی طرفانه در نظر گرفت. اما واریانس میانه نمونه تقریباً 1.6 برابر بیشتر از واریانس میانگین حسابی است. بنابراین، برآورد مؤثرتر، میانگین حسابی نمونه است.

مثال شماره 1. تخمین بی طرفانه ای از واریانس اندازه گیری های برخی از متغیرهای تصادفی را با استفاده از یک دستگاه (بدون خطاهای سیستماتیک) بیابید که نتایج اندازه گیری آن (بر حسب میلی متر): 13،15،17.
راه حل. جدول برای محاسبه شاخص ها.

ایکس	|x - x av |	(x - x میانگین) 2
13	2	4
15	0	0
17	2	4
45	4	8

میانگین حسابی ساده(برآورد بی طرفانه از انتظارات ریاضی)


پراکندگی- اندازه گیری پراکندگی را در اطراف مقدار متوسط ​​آن مشخص می کند (معیار پراکندگی، یعنی انحراف از میانگین - برآورد مغرضانه).


برآوردگر واریانس بی طرفانه- برآورد ثابت واریانس (واریانس تصحیح شده).

مثال شماره 2. یک تخمین بی طرفانه از انتظارات ریاضی اندازه گیری یک متغیر تصادفی خاص توسط یک دستگاه (بدون خطاهای سیستماتیک) پیدا کنید که نتایج اندازه گیری آن (بر حسب میلی متر): 4،5،8،9،11.
راه حل. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4

مثال شماره 3. اگر واریانس نمونه D = 180 باشد، واریانس اصلاح شده S2 را برای حجم نمونه 10=n بیابید.
راه حل. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200

اجازه دهید نمونه تصادفی توسط متغیر تصادفی مشاهده شده ξ، انتظارات ریاضی و واریانس تولید شود. که ناشناخته هستند. پیشنهاد شد از میانگین نمونه به عنوان تخمین برای این ویژگی ها استفاده شود

و واریانس نمونه

. (3.14)

بیایید برخی از ویژگی های تخمین های انتظار و پراکندگی ریاضی را در نظر بگیریم.

1. انتظارات ریاضی میانگین نمونه را محاسبه کنید:

بنابراین، میانگین نمونه یک برآوردگر بی طرفانه برای .

2. به یاد بیاورید که نتایج مشاهدات متغیرهای تصادفی مستقلی هستند که هر کدام از آنها قانون توزیع یکسانی با مقدار دارند، به این معنی , ، . فرض می کنیم که واریانس متناهی است. سپس، طبق قضیه چبیشف در مورد قانون اعداد بزرگ، برای هر ε > 0 برابری برقرار است. ,

که می توان اینگونه نوشت: . (3.16) با مقایسه (3.16) با تعریف خاصیت سازگاری (3.11)، می بینیم که برآورد یک برآورد سازگار از انتظارات ریاضی است.

3. واریانس میانگین نمونه را بیابید:

. (3.17)

بنابراین، واریانس برآورد انتظارات ریاضی به نسبت معکوس با حجم نمونه کاهش می یابد.

می توان ثابت کرد که اگر متغیر تصادفی ξ به طور نرمال توزیع شود، میانگین نمونه تخمین مؤثری از انتظارات ریاضی است، یعنی واریانس طول می کشد. کوچکترین ارزشدر مقایسه با هر برآورد دیگری از انتظارات ریاضی. برای سایر قوانین توزیع ξ این ممکن است صادق نباشد.

واریانس نمونه یک برآورد مغرضانه از واریانس است زیرا . (3.18)

در واقع، با استفاده از ویژگی های انتظار ریاضی و فرمول (3.17)، متوجه می شویم

.

برای به دست آوردن یک تخمین بی طرفانه از واریانس، تخمین (3.14) باید تصحیح شود، یعنی در . سپس واریانس نمونه بی طرفانه را بدست می آوریم

. (3.19)

توجه داشته باشید که فرمول‌های (3.14) و (3.19) فقط در مخرج متفاوت هستند و برای مقادیر بزرگ، واریانس‌های نمونه و بی‌طرف کمی تفاوت دارند. با این حال، با حجم نمونه کوچک، باید از رابطه (3.19) استفاده شود.

برای تخمین انحراف معیار یک متغیر تصادفی از انحراف استاندارد به اصطلاح تصحیح شده استفاده می شود که برابر با جذر واریانس بی طرف است: .

تخمین فاصله زمانی

در آمار، دو رویکرد برای تخمین پارامترهای ناشناخته توزیع وجود دارد: نقطه و فاصله. مطابق با تخمین نقطه ای که در قسمت قبل مورد بحث قرار گرفت، تنها نقطه ای که پارامتر تخمین زده شده در اطراف آن قرار دارد نشان داده شده است. با این حال، مطلوب است که بدانیم این پارامتر واقعاً تا چه اندازه ممکن است با برآوردهای احتمالی در سری های مختلف مشاهدات فاصله داشته باشد.

پاسخ به این سوال - همچنین تقریبی - با روش دیگری برای تخمین پارامترها - فاصله داده می شود. مطابق با این روش تخمین، بازه‌ای پیدا می‌شود که با احتمال نزدیک به وحدت، مجهول را پوشش می‌دهد. مقدار عددیپارامتر.

مفهوم تخمین فاصله

برآورد نقطه ای یک متغیر تصادفی است و برای اجرای نمونه ممکن مقادیری را فقط تقریباً برابر با مقدار واقعی پارامتر می گیرد. هرچه این اختلاف کمتر باشد، تخمین دقیق تر است. بنابراین، یک عدد مثبت که برای ، دقت برآورد را مشخص می کند و نامیده می شود خطای تخمین (یا خطای حاشیه ای).

احتمال اطمینان(یا قابلیت اطمینان)احتمال نامیده می شود β ، که با آن نابرابری محقق می شود ، یعنی

. (3.20)

جایگزینی نابرابری نابرابری مضاعف معادل ، یا ، ما گرفتیم

فاصله ، پوشش با احتمال β ، پارامتر ناشناخته فراخوانی می شود فاصله اطمینان (یا تخمین بازه)،احتمال اطمینان مربوطه β .

یک متغیر تصادفی نه تنها یک تخمین، بلکه یک خطا نیز است: مقدار آن به احتمال بستگی دارد β و به عنوان یک قاعده از نمونه. بنابراین، فاصله اطمینان تصادفی است و عبارت (3.21) باید به صورت زیر خوانده شود: «فاصله پارامتر را با احتمال پوشش می دهد. β "، و نه مانند این: "پارامتر در بازه احتمالی قرار می گیرد β ”.

معنی فاصله اطمیناناین است که هنگام تکرار یک حجم نمونه بارها در نسبت نسبی موارد برابر است β ، فاصله اطمینان مربوط به احتمال اطمینان β ، مقدار واقعی پارامتر برآورد شده را پوشش می دهد. بدین ترتیب، احتمال اطمینان β مشخص می کند قابلیت اطمینانارزیابی اطمینان: هر چه بیشتر β ، احتمال بیشتری وجود دارد که اجرای فاصله اطمینان حاوی یک پارامتر ناشناخته باشد.

برای اینکه تخمین های آماری تقریب خوبی از پارامترهای برآورد شده ارائه دهند، باید بی طرفانه، کارآمد و سازگار باشند.

بی طرفانهبرآورد پارامتر آماری نامیده می شود ، که انتظار ریاضی آن برابر با پارامتر تخمین زده شده برای هر حجم نمونه است.

آوارهتخمین آماری نامیده می شود
پارامتر ، که انتظار ریاضی آن با پارامتر برآورد شده برابر نیست.

تاثير گذارتخمین آماری نامیده می شود
پارامتر ، که برای یک حجم نمونه معین کمترین پراکندگی را دارد.

ثروتمندتخمین آماری نامیده می شود
پارامتر ، که در
به احتمال زیاد به پارامتر برآورد شده تمایل دارد.

یعنی برای هر

.

برای نمونه هایی با اندازه های مختلف، مقادیر متفاوتی از میانگین حسابی و پراکندگی آماری به دست می آید. بنابراین میانگین حسابی و واریانس آماری متغیرهای تصادفی هستند که برای آنها انتظار و واریانس ریاضی وجود دارد.

بیایید انتظار ریاضی میانگین حسابی و واریانس را محاسبه کنیم. اجازه دهید با نشان دادن انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی

در اینجا موارد زیر به عنوان متغیرهای تصادفی در نظر گرفته می شوند: - S.V. که مقادیر آن برابر با اولین مقادیر به دست آمده برای نمونه های حجمی مختلف است. از جمعیت عمومی،
– S.V. که مقادیر آن برابر با مقادیر دوم بدست آمده برای نمونه های حجمی مختلف است. از جمعیت عمومی، ...،
- S.V. که مقادیر آن برابر است -ام مقادیر به دست آمده برای نمونه های حجمی مختلف از جمعیت عمومی همه این متغیرهای تصادفی بر اساس یک قانون توزیع شده اند و انتظارات ریاضی یکسانی دارند.

از فرمول (1) به دست می آید که میانگین حسابی یک تخمین بی طرفانه از انتظارات ریاضی است، زیرا انتظار ریاضی از میانگین حسابی برابر با انتظار ریاضی متغیر تصادفی است. این ارزیابی نیز معتبر است. اثربخشی این برآورد به نوع توزیع متغیر تصادفی بستگی دارد
. اگر مثلاً
به طور معمول توزیع می شود، برآورد انتظارات ریاضی با استفاده از میانگین حسابی موثر خواهد بود.

اجازه دهید اکنون یک برآورد آماری از پراکندگی پیدا کنیم.

عبارت برای واریانس آماری را می توان به صورت زیر تبدیل کرد

(2)

اجازه دهید اکنون انتظارات ریاضی پراکندگی آماری را پیدا کنیم

. (3)

با توجه به اینکه
(4)

ما از (3) بدست می آوریم -

از فرمول (6) واضح است که انتظارات ریاضی پراکندگی آماری با یک عامل با پراکندگی متفاوت است، یعنی. یک برآورد مغرضانه از واریانس جمعیت است. این به دلیل این واقعیت است که به جای ارزش واقعی
که ناشناخته است، در تخمین واریانس از میانگین آماری استفاده شده است .

بنابراین، ما واریانس آماری تصحیح شده را معرفی می کنیم

(7)

سپس انتظار ریاضی از واریانس آماری تصحیح شده برابر است با

آن ها واریانس آماری تصحیح شده یک برآورد بی طرفانه از واریانس جامعه است. برآورد حاصل نیز سازگار است.

نیاز به تخمین انتظار ریاضی بر اساس نتایج آزمون زمانی در مسائل ظاهر می شود که نتیجه آزمایش توسط یک متغیر تصادفی توصیف شود و انتظار ریاضی از این متغیر تصادفی به عنوان شاخص کیفیت شی مورد مطالعه در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، به عنوان شاخص قابلیت اطمینان، انتظار ریاضی از زمان عملکرد بدون خرابی یک سیستم را می توان در نظر گرفت و هنگام ارزیابی کارایی تولید محصول، انتظار ریاضی تعداد محصولات قابل استفاده و غیره را می توان در نظر گرفت.

مسئله برآورد انتظارات ریاضی به صورت زیر فرموله می شود. بگذارید برای تعیین آن فرض کنیم مقدار ناشناختهمتغیر تصادفی X قرار است n اندازه گیری مستقل و عاری از خطاهای سیستماتیک ساخته شود. X v X 2 ,..., X p.شما باید بهترین برآورد از انتظارات ریاضی را انتخاب کنید.

بهترین و رایج ترین برآورد انتظارات ریاضی در عمل، میانگین حسابی نتایج آزمون است.

همچنین به نام آمارییا میانگین نمونه

اجازه دهید نشان دهیم که برآورد t xتمام الزامات برای ارزیابی هر پارامتر را برآورده می کند.

1. از عبارت (5.10) چنین بر می آید که

یعنی ارزیابی t" x- برآورد بی طرفانه

2. طبق قضیه چبیشف، میانگین حسابی نتایج آزمون از نظر احتمال به انتظارات ریاضی همگرا می شود، یعنی.

در نتیجه، برآورد (5.10) تخمین ثابتی از انتظارات ریاضی است.

3. واریانس تخمینی t xبرابر

با افزایش حجم نمونه، n بدون محدودیت کاهش می یابد. ثابت شده است که اگر یک متغیر تصادفی X تابع قانون توزیع نرمال باشد، برای هر کدام پپراکندگی (5.11) حداقل خواهد بود، و برآورد t x- برآورد مؤثر انتظارات ریاضی. دانستن واریانس یک برآورد به شخص اجازه می دهد تا در مورد دقت تعیین مقدار مجهول انتظار ریاضی با استفاده از این تخمین قضاوت کند.

اگر نتایج اندازه‌گیری به یک اندازه دقیق باشند، میانگین حسابی به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی استفاده می‌شود (واریانس‌های D، من = 1, 2, ..., پدر هر بعد یکسان است). با این حال، در عمل باید با مشکلاتی برخورد کرد که در آنها نتایج اندازه گیری نابرابر است (به عنوان مثال، در طول آزمایش، اندازه گیری ها توسط ابزارهای مختلف انجام می شود). در این حالت، تخمین برای انتظار ریاضی شکل دارد

جایی که - وزن بعد zth.

در فرمول (5.12)، نتیجه هر اندازه گیری با وزن خود درج شده است با.. بنابراین ارزیابی نتایج اندازه گیری t xتماس گرفت میانگین وزنی

می توان نشان داد که برآورد (5.12) یک تخمین بی طرفانه، سازگار و کارآمد از انتظارات ریاضی است. حداقل واریانس تخمین توسط

هنگام انجام آزمایش‌ها با مدل‌ها بر روی رایانه، مشکلات مشابه زمانی ایجاد می‌شوند که تخمین‌هایی از نتایج چندین سری آزمایش پیدا شود و تعداد آزمایش‌ها در هر سری متفاوت باشد. به عنوان مثال، دو سری آزمایش با حجم انجام شد n 1و p 2 که بر اساس نتایج آن برآوردهایی به دست آمد تی xi و t x_.به منظور افزایش دقت و پایایی در تعیین انتظارات ریاضی، نتایج این سری از آزمون ها ترکیب شده است. برای این کار از عبارت (5.12) استفاده کنید.

هنگام محاسبه ضرایب C، به جای واریانس D، تخمین آنها از نتایج آزمایش در هر سری جایگزین می شود.

رویکرد مشابهی برای تعیین احتمال وقوع یک رویداد تصادفی بر اساس نتایج یک سری آزمایش استفاده می شود.

برای تخمین انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی X، علاوه بر میانگین نمونه، می توان از آمارهای دیگری نیز استفاده کرد. اعضا اغلب برای این اهداف استفاده می شوند. سری تغییرات، یعنی آمارهای ترتیبی که بر اساس آنها تخمین زده می شود،

ارضای الزامات اصلی، یعنی سازگاری و بی طرفی.

اجازه دهید فرض کنیم که سری تغییرات شامل n = 2kاعضا. سپس هر یک از میانگین ها را می توان به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی در نظر گرفت:

که در آن k-eمیانگین

چیزی بیش از میانه آماری توزیع متغیر تصادفی X نیست، زیرا یک برابری آشکار وجود دارد.

مزیت میانه آماری این است که از تأثیر نتایج مشاهدات غیرعادی عاری است، که هنگام استفاده از میانگین اول، یعنی میانگین کوچکترین و بیشترین تعداد سری تغییرات اجتناب ناپذیر است.

برای اندازه نمونه عجیب و غریب پ = 2k- 1 میانه آماری عنصر میانی آن است، یعنی. بهعضو سری تغییرات من = x k.

توزیع هایی وجود دارد که میانگین حسابی آنها تخمین مؤثری از انتظارات ریاضی نیست، به عنوان مثال، توزیع لاپلاس. می توان نشان داد که برای توزیع لاپلاس، یک تخمین موثر از انتظارات ریاضی، میانه نمونه است.

ثابت شده است که اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال باشد، پس با حجم نمونه به اندازه کافی بزرگ، قانون توزیع میانه آماری نزدیک به نرمال با ویژگی های عددی است.

از مقایسه فرمول های (5.11) و (5.14) نتیجه می شود که پراکندگی میانه آماری 1.57 برابر بیشتر از پراکندگی میانگین حسابی است. در نتیجه، میانگین حسابی به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی چندین برابر موثرتر از میانه آماری است. با این حال، به دلیل سادگی محاسبات و عدم حساسیت به نتایج اندازه گیری غیرعادی ("آلودگی" نمونه)، در عمل، میانگین آماری با این وجود به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی استفاده می شود.

لازم به ذکر است که برای توزیع های متقارن پیوسته انتظار ریاضی و میانه یکسان است. بنابراین، میانه آماری تنها در صورتی می تواند به عنوان تخمین خوبی از انتظارات ریاضی عمل کند که توزیع متغیر تصادفی متقارن باشد.

برای توزیع های نامتقارن، میانه آماری مندارای سوگیری قابل توجهی نسبت به انتظارات ریاضی است، بنابراین برای ارزیابی آن نامناسب است.