یک متغیر تصادفی پیوسته x داده می شود. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته

9. مستمر مقدار تصادفی، مشخصات عددی آن

یک متغیر تصادفی پیوسته را می توان با استفاده از دو تابع مشخص کرد. تابع توزیع احتمال انتگرالی متغیر تصادفی Xتابعی است که با تساوی تعریف شده است
.

تابع انتگرال می دهد روش کلیتخصیص متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته. در مورد متغیر تصادفی پیوسته. همه رویدادها: احتمال یکسانی دارند، برابر با افزایش تابع انتگرال در این بازه، به عنوان مثال، برای متغیر تصادفی گسسته مشخص شده در مثال 26، داریم:

بنابراین، نمودار تابع انتگرال تابع مورد بررسی، اتحاد دو پرتو و سه قطعه موازی با محور Ox است.

مثال 27. متغیر تصادفی پیوسته X توسط تابع توزیع احتمال انتگرال مشخص می شود

.

نموداری از تابع انتگرال بسازید و این احتمال را بیابید که در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی X مقداری در بازه (0.5;1.5) بگیرد.

راه حل. در فاصله زمانی
نمودار خط مستقیم y = 0 است. در فاصله 0 تا 2 سهمی وجود دارد که توسط معادله داده می شود.
. در فاصله زمانی
نمودار خط مستقیم y = 1 است.

احتمال اینکه متغیر تصادفی X در نتیجه آزمون مقداری در بازه (0.5;1.5) بگیرد با استفاده از فرمول پیدا می شود.

بدین ترتیب، .

ویژگی های تابع توزیع احتمال انتگرال:

به راحتی می توان قانون توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته را با استفاده از تابع دیگری مشخص کرد، یعنی: توابع چگالی احتمال
.

احتمال اینکه مقدار فرض شده توسط متغیر تصادفی X در بازه قرار گیرد
، با برابری تعیین می شود
.

نمودار تابع نامیده می شود منحنی توزیع. از نظر هندسی، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی X در بازه برابر است با مساحت ذوزنقه منحنی خطی مربوطه که توسط منحنی توزیع، محور Ox و خطوط مستقیم محدود شده است.
.

ویژگی های تابع چگالی احتمال:

9.1. ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظار(مقدار متوسط) یک متغیر تصادفی پیوسته X با برابری تعیین می شود
.

M(X) با نشان داده می شود آ. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته مشابه است کمیت گسسته، خواص:

واریانسمتغیر تصادفی گسسته X نامیده می شود ارزش مورد انتظارمربع انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن، یعنی. . برای یک متغیر تصادفی پیوسته، واریانس با فرمول داده می شود
.

پراکندگی دارای خواص زیر است:

استفاده از آخرین ویژگی برای یافتن واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته بسیار راحت است.

مفهوم انحراف معیار نیز به همین ترتیب معرفی شده است. انحراف معیار پیوستهمتغیر تصادفی X را جذر واریانس می نامند، یعنی.
.

مثال 28. یک متغیر تصادفی پیوسته X با تابع چگالی احتمال مشخص می شود
در بازه (10;12)، خارج از این بازه مقدار تابع 0 است. 1) مقدار پارامتر را پیدا کنید. آ، 2) انتظار ریاضی M(X)، واریانس
، انحراف معیار، 3) تابع انتگرال
و نمودارهایی از توابع انتگرال و دیفرانسیل بسازید.

1). برای پیدا کردن یک پارامتر آاز فرمول استفاده کنید
. ما آن را دریافت می کنیم. بدین ترتیب،
.

2). برای یافتن انتظارات ریاضی، از فرمول: استفاده می کنیم که از آن نتیجه می شود
.

واریانس را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:
، یعنی .

بیایید با استفاده از فرمول: انحراف معیار را پیدا کنیم، که از آن به دست می آوریم
.

3). تابع انتگرال از طریق تابع چگالی احتمال به صورت زیر بیان می شود:
. از این رو،
در
، = 0 در
u = 1 در
.

نمودارهای این توابع در شکل 1 ارائه شده است. 4. و شکل 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. توزیع احتمال یکنواخت یک متغیر تصادفی پیوسته

توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X به طور مساویدر بازه ای که چگالی احتمال آن در این بازه ثابت و در خارج از این بازه برابر با صفر باشد، یعنی. . نشان دادن آن در این مورد آسان است
.

اگر فاصله
پس از آن در بازه موجود است
.

مثال 29.یک رویداد سیگنال آنی باید بین ساعت یک تا پنج رخ دهد. زمان انتظار سیگنال یک متغیر تصادفی X است. احتمال تشخیص سیگنال بین ساعت دو و سه بعد از ظهر را پیدا کنید.

راه حل. متغیر تصادفی X توزیع یکنواختی دارد و با استفاده از فرمول در می یابیم که احتمال اینکه سیگنال بین ساعت 2 تا 3 بعد از ظهر باشد برابر است با
.

در ادبیات آموزشی و دیگر ادبیات اغلب در ادبیات از طریق نشان داده می شود
.

9.3. توزیع احتمال عادی یک متغیر تصادفی پیوسته

توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته نرمال نامیده می شود اگر قانون توزیع احتمال آن توسط چگالی احتمال تعیین شود.
. برای چنین مقادیری آ- ارزش مورد انتظار،
- انحراف معیار.

قضیه. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی پیوسته با توزیع نرمال در یک بازه معین
با فرمول تعیین می شود
، جایی که
- تابع لاپلاس.

نتیجه این قضیه است قانون سهسیگما، یعنی تقریباً مطمئن است که یک متغیر تصادفی پیوسته و معمولی توزیع شده X مقادیر خود را در بازه زمانی می گیرد.
. این قانون را می توان از فرمول استخراج کرد
، که یک مورد خاص از قضیه فرمول بندی شده است.

مثال 30.طول عمر تلویزیون یک متغیر تصادفی X است که تابع قانون توزیع عادی است دوره ضمانت 15 سال و انحراف معیار 3 سال. احتمال دوام تلویزیون از 10 تا 20 سال را پیدا کنید.

راه حل. با توجه به شرایط مسئله، انتظار ریاضی آ= 15، انحراف استاندارد.

بیایید پیدا کنیم . بنابراین، احتمال کارکرد تلویزیون از 10 تا 20 سال بیش از 0.9 است.

9.4 نابرابری چبیشف

رخ می دهد لم چبیشف. اگر یک متغیر تصادفی X فقط مقادیر غیر منفی را بگیرد و انتظار ریاضی داشته باشد، برای هر مثبت V
.

با در نظر گرفتن اینکه به عنوان مجموع احتمالات رویدادهای متضاد، آن را به دست می آوریم
.

قضیه چبیشف. اگر متغیر تصادفی X دارای واریانس محدود باشد
و انتظار ریاضی M(X)، سپس برای هر مثبت نابرابری درست است
.

از آنجا نتیجه می گیرد که
.

مثال 31.دسته ای از قطعات تولید شده است. طول متوسط ​​قطعات 100 سانتی متر و انحراف استاندارد 0.4 سانتی متر است. احتمال اینکه طول قطعه ای که به طور تصادفی گرفته می شود حداقل 99 سانتی متر باشد را از زیر تخمین بزنید. و بیش از 101 سانتی متر نیست.

راه حل. واریانس. انتظار ریاضی 100 است. بنابراین، برای تخمین از زیر احتمال رویداد مورد نظر
اجازه دهید نابرابری چبیشف را اعمال کنیم که در آن
، سپس
.

10. عناصر آمار ریاضی

مجموع آماریمجموعه ای از اشیاء یا پدیده های همگن را نام ببرید. عدد پعناصر این مجموعه را حجم مجموعه می نامند. مقادیر مشاهده شده صفت X نامیده می شود گزینه ها. اگر گزینه ها به ترتیب فزاینده چیده شوند، دریافت می کنیم سری تغییرات گسسته. در مورد گروه بندی، گزینه بر اساس فواصل مشخص می شود سری تغییرات بازه ای. زیر فرکانس tمقادیر مشخصه تعداد اعضای جمعیت را با یک نوع معین درک می کند.

نسبت فراوانی به حجم یک جامعه آماری نامیده می شود فراوانی نسبیامضا کردن:
.

رابطه بین گزینه ها سری تغییراتو فرکانس آنها نامیده می شود توزیع آماری نمونه. یک نمایش گرافیکی از توزیع آماری می تواند باشد چند ضلعیفرکانس

مثال 32.با بررسی 25 دانش آموز سال اول، اطلاعات زیر در مورد سن آنها به دست آمد:
. ساختن توزیع آماریدانش‌آموزان بر حسب سن، دامنه تغییرات را پیدا کرده، یک چندضلعی فرکانس بسازند و یک سری از توزیع‌های فرکانس‌های نسبی را جمع‌آوری کنند.

راه حل. با استفاده از داده های به دست آمده از نظرسنجی، توزیع آماری نمونه را ایجاد می کنیم

محدوده نمونه تغییرات 23 – 17 = 6 است. برای ساختن چند ضلعی فرکانس، نقاطی را با مختصات بسازید.
و آنها را به صورت سری وصل کنید.

سری توزیع فرکانس نسبی به شکل زیر است:

10.1. مشخصات عددی سری تغییرات

اجازه دهید نمونه با یک سری توزیع فرکانس ویژگی X داده شود:

مجموع همه فرکانس ها برابر است پ.

میانگین حسابی نمونهمقدار را نام ببرید
.

واریانسیا اندازه پراکندگی مقادیر یک مشخصه X نسبت به میانگین حسابی آن مقدار نامیده می شود.
. انحراف معیار جذر واریانس است، یعنی. .

نسبت انحراف معیار به میانگین حسابی نمونه که به صورت درصد بیان می شود، نامیده می شود. ضریب تغییر:
.

تابع توزیع فرکانس نسبی تجربیتابعی را فراخوانی می کند که برای هر مقدار فرکانس نسبی رویداد را تعیین می کند
، یعنی
، جایی که - تعداد گزینه ها، کوچکتر ایکس، آ پ- اندازهی نمونه.

مثال 33.در شرایط مثال 32 مشخصه های عددی را پیدا کنید
.

راه حل. بیایید میانگین حسابی نمونه را با استفاده از فرمول پیدا کنیم، سپس .

واریانس صفت X با فرمول بدست می آید: , i.e. انحراف معیار نمونه است
. ضریب تغییرات است
.

10.2. تخمین احتمال با فرکانس نسبی. فاصله اطمینان

بگذار اجرا شود پآزمایشات مستقلی که در هر یک از آنها احتمال وقوع رویداد A ثابت و برابر است آر. در این حالت، احتمال اینکه فرکانس نسبی با احتمال وقوع رویداد A در هر آزمایش در مقدار مطلق متفاوت باشد، تقریباً برابر با دو برابر مقدار تابع انتگرال لاپلاس نیست:
.

تخمین فاصلهچنین تخمینی را فراخوانی کنید، که توسط دو عدد تعیین می شود که انتهای بازه ای هستند که پارامتر تخمین زده شده جامعه آماری را پوشش می دهند.

فاصله اطمینانفاصله ای نامیده می شود که با یک داده شده احتمال اطمینان پارامتر برآوردی جامعه آماری را پوشش می دهد. با توجه به فرمولی که در آن کمیت مجهول را جایگزین می کنیم آربه مقدار تقریبی آن به دست آمده از داده های نمونه، به دست می آوریم:
. این فرمول برای تخمین احتمال با فرکانس نسبی استفاده می شود. شماره
و
به ترتیب پایین و بالا نامیده می شود مرزهای اعتماد، - حداکثر خطا برای یک احتمال اطمینان معین
.

مثال 34. کارگاه کارخانه لامپ تولید می کند. هنگام بررسی 625 لامپ، 40 لامپ معیوب بودند. با احتمال اطمینان 0.95 مرزهایی که درصد لامپ های معیوب تولید شده توسط کارگاه کارخانه در آن قرار دارد را بیابید.

راه حل. با توجه به شرایط تکلیف. ما از فرمول استفاده می کنیم
. با استفاده از جدول 2 پیوست، مقدار آرگومان را پیدا می کنیم که در آن مقدار تابع انتگرال لاپلاس برابر با 0.475 است. ما آن را دریافت می کنیم
. بدین ترتیب، . بنابراین با احتمال 0.95 می توان گفت که سهم عیوب تولید شده توسط کارگاه زیاد است یعنی از 6.2% تا 6.6% متغیر است.

10.3. تخمین پارامتر در آمار

اجازه دهید مشخصه کمی X کل جمعیت مورد مطالعه ( جمعیت) این دارد توزیع نرمال.

اگر انحراف معیار مشخص باشد، پس فاصله اطمینان، انتظارات ریاضی را پوشش می دهد آ

، جایی که پ- اندازهی نمونه، - میانگین حسابی نمونه، تیآرگومان تابع انتگرال لاپلاس است که در آن
. در این مورد، شماره
به نام دقت تخمین.

اگر انحراف معیار ناشناخته باشد، از داده های نمونه می توان یک متغیر تصادفی ساخت که دارای توزیع دانشجویی با پ– 1 درجه آزادی که تنها با یک پارامتر تعیین می شود پو به مجهولات وابسته نیست آو . توزیع تی دانشجویی حتی برای نمونه های کوچک
رتبه های کاملا رضایت بخشی می دهد. سپس فاصله اطمینانی که انتظارات ریاضی را پوشش می دهد آاین ویژگی با احتمال اطمینان داده شده از شرط پیدا می شود

، جایی که S میانگین مربع تصحیح شده است، - ضریب دانش آموز، از داده ها پیدا شده است
از جدول 3 پیوست

فاصله اطمینانی که انحراف استاندارد این مشخصه را با احتمال اطمینان پوشش می دهد با استفاده از فرمول های زیر پیدا می شود: و، که در آن
از جدول مقادیر پیدا شده است q مطابق با .

10.4. روش های آماری برای بررسی وابستگی بین متغیرهای تصادفی

وابستگی همبستگی Y به X وابستگی عملکردی میانگین شرطی است از جانب ایکس.معادله
معادله رگرسیون Y روی X را نشان می دهد و
- معادله رگرسیون X روی Y.

وابستگی همبستگی می تواند خطی یا منحنی باشد. در مورد وابستگی همبستگی خطی، معادله خط رگرسیون مستقیم به شکل زیر است:
، جایی که شیب آخط مستقیم رگرسیون Y روی X را ضریب رگرسیون نمونه Y روی X می نامند و نشان داده می شود
.

برای نمونه های کوچک، داده ها گروه بندی نمی شوند، پارامترها
بر اساس روش یافت می شوند کمترین مربعاتاز سیستم معادلات نرمال:

، جایی که پ- تعداد مشاهدات مقادیر جفت کمیت های مرتبط.

انتخابی ضریب خطیهمبستگی ها رابطه نزدیک بین Y و X را نشان می دهد. ضریب همبستگی با استفاده از فرمول بدست می آید
، و
، برای مثال:

معادله نمونه خط رگرسیون مستقیم Y روی X به شکل زیر است:

.

با تعداد زیادی مشاهدات از ویژگی های X و Y، یک جدول همبستگی با دو ورودی، با مقدار یکسان، گردآوری می شود. ایکسمشاهده شده بارها به همین معنا درمشاهده شده بار، همان جفت
مشاهده شده یک بار.

مثال 35.جدول مشاهدات علائم X و Y ارائه شده است.

معادله نمونه خط رگرسیون مستقیم Y روی X را پیدا کنید.

راه حل. رابطه بین ویژگی های مورد مطالعه را می توان با معادله یک خط مستقیم رگرسیون Y بر روی X بیان کرد: . برای محاسبه ضرایب معادله، بیایید یک جدول محاسبه ایجاد کنیم:

مشاهده شماره

فصل 6. متغیرهای تصادفی پیوسته.

§ 1. تابع چگالی و توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته.

مجموعه مقادیر یک متغیر تصادفی پیوسته غیرقابل شمارش است و معمولاً مقداری بازه محدود یا نامتناهی را نشان می دهد.

یک متغیر تصادفی x(w) تعریف شده در فضای احتمال (W, S, P) نامیده می شود مداوم(کاملاً پیوسته) W، اگر یک تابع غیر منفی وجود داشته باشد به طوری که برای هر x تابع توزیع Fx(x) را می توان به عنوان یک انتگرال نشان داد.

تابع نامیده می شود چگالی توزیع احتمال.

این تعریف بر ویژگی های تابع چگالی توزیع دلالت دارد:

1..gif" width="97" height="51">

3. در نقاط پیوستگی، چگالی توزیع برابر است با مشتق تابع توزیع: .

4. چگالی توزیع قانون توزیع یک متغیر تصادفی را تعیین می کند، زیرا احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه را تعیین می کند:

5. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقدار مشخصی بگیرد صفر است: . بنابراین، برابری های زیر معتبر است:

نمودار تابع چگالی توزیع نامیده می شود منحنی توزیع، و مساحت محدود شده توسط منحنی توزیع و محور x برابر با واحد است. سپس، از نظر هندسی، مقدار تابع توزیع Fx(x) در نقطه x0 ناحیه ای است که توسط منحنی توزیع و محور x محدود شده و در سمت چپ نقطه x0 قرار دارد.

وظیفه 1.تابع چگالی یک متغیر تصادفی پیوسته به شکل زیر است:

ثابت C را تعیین کنید، تابع توزیع Fx(x) را بسازید و احتمال را محاسبه کنید.

راه حل.ثابت C از شرطی که داریم به دست می آید:

از آنجا C=3/8.

برای ساخت تابع توزیع Fx(x)، توجه داشته باشید که بازه، محدوده مقادیر آرگومان x (محور عددی) را به سه قسمت تقسیم می کند: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

زیرا چگالی x در نیم محور صفر است. در مورد دوم

در نهایت، در آخرین مورد، زمانی که x>2،

از آنجایی که چگالی در نیم محور ناپدید می شود. بنابراین، تابع توزیع به دست می آید

احتمال بیایید با استفاده از فرمول محاسبه کنیم. بدین ترتیب،

§ 2. ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظاربرای متغیرهای تصادفی توزیع شده پیوسته با فرمول https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> تعیین می شود.

اگر انتگرال سمت راست کاملاً همگرا شود.

پراکندگی x را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد ، و همچنین، مانند حالت گسسته، طبق فرمول https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

تمام ویژگی های انتظار و پراکندگی ریاضی که در فصل 5 برای متغیرهای تصادفی گسسته ارائه شده است برای متغیرهای تصادفی پیوسته نیز معتبر است.

مشکل 2. برای متغیر تصادفی x از مسئله 1، انتظار و واریانس ریاضی را محاسبه کنید .

راه حل.

و این یعنی

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

نمودار چگالی توزیع یکنواختشکل را ببینید .

شکل 6.2. تابع توزیع و چگالی توزیع. قانون یکسان

تابع توزیع Fx(x) یک متغیر تصادفی با توزیع یکنواخت برابر است

Fx(x)=

انتظارات و واریانس؛ .

توزیع نمایی (نمایی).یک متغیر تصادفی پیوسته x که مقادیر غیر منفی را می گیرد دارای توزیع نمایی با پارامتر l>0 است اگر توزیع چگالی احتمال متغیر تصادفی برابر باشد.

рx(x)=

برنج. 6.3. تابع توزیع و چگالی توزیع قانون نمایی.

تابع توزیع توزیع نمایی شکل دارد

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> و اگر چگالی توزیع آن برابر باشد

.

Through مجموعه ای از همه متغیرهای تصادفی را نشان می دهد که طبق یک قانون عادی با پارامترهای پارامترها و .

تابع توزیع یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال برابر است با

.

برنج. 6.4. تابع توزیع و چگالی توزیع نرمال

پارامترهای توزیع نرمال عبارتند از انتظارات ریاضی https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

در حالت خاص که https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> توزیع نرمال نامیده می شود استاندارد، و کلاس چنین توزیع هایی با https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> نشان داده می شود،

و تابع توزیع

چنین انتگرالی را نمی توان به صورت تحلیلی محاسبه کرد (در "تربیعات" گرفته نمی شود)، و بنابراین جداول برای تابع جمع آوری شده است. تابع مربوط به تابع لاپلاس است که در فصل 4 معرفی شد

,

توسط رابطه زیر . در مورد مقادیر پارامتر دلخواه https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> تابع توزیع یک متغیر تصادفی با استفاده از رابطه به تابع لاپلاس مرتبط است:

.

بنابراین، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

.

یک متغیر تصادفی غیرمنفی x در صورتی که لگاریتم آن h=lnx از قانون نرمال تبعیت کند، به صورت لگاریتم توزیع شده نامیده می شود. مقدار و واریانس مورد انتظار یک متغیر تصادفی با توزیع منطقی Mx= و Dx= است.

وظیفه 3.اجازه دهید یک متغیر تصادفی داده شود https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

راه حل.اینجا https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

توزیع لاپلاسبا تابع fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> داده می شود و کشش gx=3 است.

شکل 6.5. تابع چگالی توزیع لاپلاس.

متغیر تصادفی x بر روی آن توزیع می شود قانون وایبل، اگر تابع چگالی توزیع برابر با https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> داشته باشد.

توزیع Weibull زمان عملکرد بدون خرابی بسیاری از دستگاه های فنی را کنترل می کند. در وظایف این پروفایل مشخصه مهممیزان شکست (میزان مرگ و میر) l(t) عناصر مورد مطالعه سن t است که با رابطه l(t)= تعیین می شود. اگر a=1 باشد، توزیع وایبول به توزیع نمایی تبدیل می شود و اگر a=2 به توزیع به اصطلاح تبدیل می شود. ریلی.

انتظارات ریاضی از توزیع Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">، جایی که Г(а) اویلر است. تابع. .

که در وظایف مختلفدر آمارهای کاربردی، اغلب با توزیع‌های به اصطلاح «قطع‌شده» مواجه می‌شویم. به عنوان مثال، مقامات مالیاتی علاقه مند به توزیع درآمد آن دسته از افرادی هستند که درآمد سالانه آنها از آستانه مشخص c0 که توسط قوانین مالیاتی تعیین شده است، تجاوز می کند. این توزیع‌ها تقریباً با توزیع پارتو منطبق هستند. توزیع پارتوتوسط توابع داده شده است

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> یک متغیر تصادفی x و یک تابع متمایز یکنواخت ..gif" width="200" height="51">

اینجا https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

وظیفه 4.متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بخش توزیع می شود. چگالی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.

راه حل.از شرایط مشکل نتیجه می شود که

بعد، تابع یک تابع یکنواخت و قابل تمایز در یک بازه است و تابع معکوس دارد ، که مشتق آن برابر است با بنابراین،

§ 5. جفت متغیرهای تصادفی پیوسته

اجازه دهید دو متغیر تصادفی پیوسته x و h داده شوند. سپس جفت (x, h) یک نقطه "تصادفی" را در صفحه تعریف می کند. جفت (x,h) نامیده می شود بردار تصادفییا متغیر تصادفی دو بعدی

تابع توزیع مشترکمتغیرهای تصادفی x و h و تابع F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> نامیده می شود. تراکم مفصلتوزیع احتمال متغیرهای تصادفی x و h تابعی نامیده می شود که .

منظور از این تعریف از چگالی توزیع مشترک به شرح زیر است. احتمال اینکه یک "نقطه تصادفی" (x, h) به منطقه ای در یک صفحه بیفتد به عنوان حجم یک شکل سه بعدی محاسبه می شود - یک استوانه "منحنی" محدود به سطح https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">

ساده ترین مثال از توزیع مشترک دو متغیر تصادفی، دو بعدی است توزیع یکنواخت روی مجموعهآ. اجازه دهید یک مجموعه محدود M با مساحت داده شود که به عنوان توزیع جفت (x, h) تعریف می شود که با چگالی مشترک زیر تعریف می شود:

وظیفه 5.بگذارید یک بردار تصادفی دو بعدی (x,h) به طور یکنواخت در داخل مثلث توزیع شود. احتمال نامساوی x>h را محاسبه کنید.

راه حل.مساحت مثلث نشان داده شده برابر است با (شکل شماره؟ را ببینید). بر اساس تعریف توزیع یکنواخت دو بعدی، چگالی مشترک متغیرهای تصادفی x,h برابر است با

یک رویداد با یک مجموعه مطابقت دارد در هواپیما، یعنی نیمه هواپیما. سپس احتمال

در نیم صفحه B، چگالی اتصال در خارج از مجموعه صفر است https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. بنابراین، نیم صفحه B به دو مجموعه تقسیم می شود و https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> و انتگرال دوم برابر است با صفر، زیرا چگالی اتصال در آنجا برابر با صفر است. از همین رو

اگر چگالی توزیع مشترک برای یک جفت (x, h) داده شود، چگالی هر دو جزء x و h نامیده می شود. تراکم های خصوصیو با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شوند:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

برای متغیرهای تصادفی توزیع شده پیوسته با چگالی рx(х)، рh(у)، استقلال به این معنی است که

وظیفه 6.در شرایط مسئله قبلی مشخص کنید که آیا اجزای بردار تصادفی x و h مستقل هستند؟

راه حل. اجازه دهید چگالی جزئی و . ما داریم:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

بدیهی است که در مورد ما https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> چگالی مشترک مقادیر x و h و j( x، y) تابعی از دو آرگومان است

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

وظیفه 7.در شرایط مسئله قبلی محاسبه کنید.

راه حل.طبق فرمول بالا داریم:

.

مثلث را به عنوان نشان می دهد

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. چگالی مجموع دو متغیر تصادفی پیوسته

بگذارید x و h متغیرهای تصادفی مستقل با چگالی باشند https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. چگالی متغیر تصادفی x + h با فرمول محاسبه می شود پیچیدگی

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. چگالی جمع را محاسبه کنید.

راه حل.از آنجایی که x و h بر اساس قانون نمایی با پارامتر توزیع می شوند، چگالی آنها برابر است.

از این رو،

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

اگر x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">منفی است و بنابراین . بنابراین، اگر https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

به این ترتیب جواب گرفتیم:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> معمولاً با پارامترهای 0 و 1 توزیع می شود. متغیرهای تصادفی x1 و x2 مستقل و نرمال هستند. توزیع هایی با پارامترهای a1 و a2 به ترتیب ثابت کنید که x1 + x2 دارای توزیع نرمال است.

.

تابع توزیع و چگالی توزیع مقادیر را بیابید:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; ب) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

متغیرهای تصادفی x1, x2, ... xn مستقل هستند و به طور یکنواخت در بازه [a, b] توزیع می شوند. توابع توزیع و توابع چگالی توزیع مقادیر را بیابید

x(1) = min (x1,x2, ... xn) و x(2)= max(x1, x2, ...xn).

ثابت کنید که Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

متغیر تصادفی بر اساس قانون کوشی توزیع می شود پیدا کنید: a) ضریب a; ب) تابع توزیع؛ ج) احتمال افتادن در بازه (-1، 1). نشان دهید که انتظار ریاضی x وجود ندارد. متغیر تصادفی تابع قانون لاپلاس با پارامتر l (l>0): ضریب a را بیابید. ساخت نمودارهای چگالی توزیع و تابع توزیع. Mx و Dx را پیدا کنید. احتمالات وقایع را بیابید (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

فرمولی برای چگالی توزیع بنویسید، Mx و Dx را پیدا کنید.

وظایف محاسباتی

یک نقطه تصادفی A دارای توزیع یکنواخت در دایره ای به شعاع R است. انتظار ریاضی و واریانس فاصله r نقطه تا مرکز دایره را پیدا کنید. نشان دهید که مقدار r2 به طور یکنواخت روی قطعه توزیع شده است.

چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

ثابت C، تابع توزیع F(x) و احتمال را محاسبه کنید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

ثابت C، تابع توزیع F(x) و احتمال را محاسبه کنید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:
ثابت C، تابع توزیع F(x)، واریانس و احتمال را محاسبه کنید. یک متغیر تصادفی تابع توزیع دارد

محاسبه چگالی یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی، واریانس و احتمال بررسی کنید که تابع =
ممکن است تابع توزیع یک متغیر تصادفی باشد. مشخصه های عددی این کمیت را پیدا کنید: Mx و Dx. متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بخش توزیع می شود. چگالی توزیع را بنویسید. تابع توزیع را پیدا کنید. احتمال افتادن یک متغیر تصادفی روی قطعه و روی قطعه را بیابید. چگالی توزیع x برابر است

.

ثابت c، چگالی توزیع h = و احتمال را بیابید

P (0.25

زمان کار بدون خرابی یک کامپیوتر طبق یک قانون نمایی با پارامتر l = 0.05 (شکست در ساعت) توزیع می شود، یعنی تابع چگالی دارد.

p(x) = .

حل یک مشکل خاص نیاز به کارکرد بدون مشکل دستگاه به مدت 15 دقیقه دارد. اگر در حین حل یک مشکل خرابی رخ دهد، خطا تنها پس از تکمیل راه حل شناسایی می شود و مشکل دوباره حل می شود. پیدا کنید: الف) احتمال اینکه در حین حل مشکل حتی یک شکست رخ ندهد. ب) میانگین زمانی که مشکل در آن حل خواهد شد.

یک میله به طول 24 سانتی متر به دو قسمت تقسیم می شود. فرض می کنیم که نقطه شکست به طور مساوی در تمام طول میله توزیع شده است. طول متوسط ​​بیشتر میله چقدر است؟ یک قطعه به طول 12 سانتی متر به طور تصادفی به دو قسمت تقسیم می شود. نقطه برش به طور مساوی در طول کل بخش توزیع می شود. طول متوسط ​​بخش کوچکی از قطعه چقدر است؟ متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بخش توزیع می شود. چگالی توزیع متغیر تصادفی را بیابید a) h1 = 2x + 1; ب) h2 =-ln(1-x); ج) h3 = .

نشان دهید که اگر x تابع توزیع پیوسته دارد

F(x) = P(x

تابع چگالی و تابع توزیع مجموع دو کمیت مستقل x و h را با قوانین توزیع یکنواخت بر روی قطعات و به ترتیب بیابید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب بر روی بخش ها و به طور یکنواخت توزیع شده اند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب بر روی بخش ها و به طور یکنواخت توزیع شده اند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب بر روی بخش ها و به طور یکنواخت توزیع شده اند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی مستقل هستند و دارای توزیع نمایی با چگالی هستند . چگالی توزیع مجموع آنها را بیابید. توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل x و h را بیابید، که در آن x توزیع یکنواخت در بازه، و h دارای توزیع نمایی با پارامتر l است. P را پیدا کنید اگر x دارای: الف) توزیع نرمال با پارامترهای a و s2 باشد. ب) توزیع نمایی با پارامتر l. ج) توزیع یکنواخت روی قطعه [-1;1]. توزیع مشترک x,h مربع یکنواخت است
K = (x, y): |x| +|y| £ 2). احتمال را بیابید . آیا x و h مستقل هستند؟ یک جفت متغیر تصادفی x و h به طور یکنواخت در داخل مثلث K= توزیع شده اند. چگالی x و h را محاسبه کنید. آیا این متغیرهای تصادفی مستقل هستند؟ احتمال را پیدا کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به طور یکنواخت روی بخش ها توزیع می شوند و [-1،1]. احتمال را پیدا کنید. یک متغیر تصادفی دو بعدی (x, h) به طور یکنواخت در یک مربع با رئوس (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) توزیع شده است. مقدار تابع توزیع مشترک را در نقطه (1، -1) بیابید. یک بردار تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در داخل دایره‌ای به شعاع 3 که در مرکز مبدا قرار دارد، توزیع می‌شود. یک عبارت برای چگالی توزیع مشترک بنویسید. تعیین کنید که آیا این متغیرهای تصادفی وابسته هستند یا خیر. محاسبه احتمال یک جفت متغیر تصادفی x و h به طور یکنواخت در داخل یک ذوزنقه با رئوس در نقاط (6،0-)، (3،4-)، (3،4)، (6،0) توزیع شده اند. چگالی توزیع مشترک برای این جفت متغیر تصادفی و چگالی اجزا را بیابید. آیا x و h وابسته هستند؟ یک جفت تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در داخل یک نیم دایره توزیع شده است. چگالی x و h را بیابید، وابستگی آنها را بررسی کنید. چگالی مشترک دو متغیر تصادفی x و h برابر است .
چگالی های x,h را پیدا کنید. سوال وابستگی x و h را بررسی کنید. یک جفت تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در مجموعه توزیع شده است. چگالی x و h را بیابید، وابستگی آنها را بررسی کنید. M(xh) را پیدا کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و بر اساس یک قانون نمایی با پارامتر Find توزیع می شوند.

تابع توزیعمتغیر تصادفی ایکستابع نامیده می شود اف(ایکس) برای هر یک بیان می کند ایکساحتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقدار کمتر از ایکس:.

تابع اف(ایکس) گاهی نامیده می شود تابع توزیع انتگرال،یا قانون انتگرال توزیع.

مقدار تصادفی ایکستماس گرفت مداوم، اگر تابع توزیع آن در هر نقطه ای پیوسته و در همه جا قابل تمایز باشد، به جز، شاید، در نقاط منفرد.

مثال هامتغیرهای تصادفی پیوسته: قطر قطعه ای که ترنر به اندازه معینی تبدیل می کند، قد یک فرد، برد پرواز پرتابه و غیره.

قضیه.احتمال هر مقدار جداگانه یک متغیر تصادفی پیوسته صفر است

.

نتیجه.اگر ایکسیک متغیر تصادفی پیوسته است، سپس احتمال سقوط متغیر تصادفی در بازه است
به باز یا بسته بودن این بازه بستگی ندارد، یعنی.

اگر یک متغیر تصادفی پیوسته باشد ایکسفقط می تواند مقادیر بین را بگیرد آقبل از ب(جایی که آو ب- برخی از ثابت ها)، سپس تابع توزیع آن برای همه مقادیر برابر با صفر است
و واحد برای مقادیر
.

برای یک متغیر تصادفی پیوسته

تمام ویژگی‌های توابع توزیع متغیرهای تصادفی گسسته نیز برای توابع توزیع متغیرهای تصادفی پیوسته برآورده می‌شوند.

تعیین یک متغیر تصادفی پیوسته با استفاده از تابع توزیع تنها راه نیست.

چگالی احتمالی (چگالی توزیعیا تراکم) آر(ایکس) متغیر تصادفی پیوسته ایکسمشتق تابع توزیع آن نامیده می شود

.

چگالی احتمالی آر(ایکس) و همچنین تابع توزیع اف(ایکس)، یکی از اشکال قانون توزیع است، اما بر خلاف تابع توزیع، فقط برای وجود دارد مداوممتغیرهای تصادفی.

گاهی اوقات چگالی احتمال نامیده می شود تابع دیفرانسیل یا قانون توزیع دیفرانسیل.

نمودار چگالی احتمال را منحنی توزیع می نامند.

خواصچگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته:

برنج. 8.1

برنج. 8.2

4.
.

از نظر هندسی، ویژگی‌های چگالی احتمال به این معنی است که نمودار آن - منحنی توزیع - زیر محور آبسیسا قرار ندارد و مساحت کل شکل محدود شده توسط منحنی توزیع و محور آبسیسا برابر با یک است.

مثال 8.1.عقربه دقیقه یک ساعت الکتریکی در هر دقیقه به صورت جهشی حرکت می کند. نگاهی به ساعتت انداختی دارند نشان می دهند آدقایق. سپس برای شما زمان واقعی در یک لحظه معین یک متغیر تصادفی خواهد بود. تابع توزیع آن را پیدا کنید.

راه حل.بدیهی است که تابع توزیع زمان واقعی برابر با 0 برای همه است
و واحد برای
. زمان به طور مساوی در جریان است. بنابراین، احتمال اینکه زمان واقعی کمتر است آ+ 0.5 دقیقه، برابر با 0.5، زیرا به همان اندازه احتمال دارد که آیا بعد از آن گذشت یا خیر آکمتر یا بیشتر از نیم دقیقه احتمال اینکه زمان واقعی کمتر است آ+ 0.25 دقیقه، برابر با 0.25 (احتمال این زمان سه برابر کمتر از احتمال بیشتر بودن زمان واقعی است. آ+ 0.25 دقیقه، و مجموع آنها برابر با یک است، به عنوان مجموع احتمالات رویدادهای مخالف). با استدلال مشابه، متوجه می شویم که احتمال اینکه زمان واقعی کمتر است آ+ 0.6 دقیقه، برابر با 0.6. به طور کلی، احتمال اینکه زمان واقعی کمتر است آ + + α دقیقه
، برابر است α . بنابراین، تابع توزیع زمان واقعی عبارت زیر را دارد:

در باره on در همه جا پیوسته است و مشتق آن در همه نقاط پیوسته است، به استثنای دو مورد: x = aو x = a+ 1. نمودار این تابع به نظر می رسد (شکل 8.3):

برنج. 8.3

مثال 8.2.آیا تابع توزیع برخی از متغیرهای تصادفی تابع است

راه حل.

تمام مقادیر این تابع متعلق به بخش است
، یعنی
. تابع اف(ایکس) غیر کاهشی است: در فاصله
ثابت است، برابر با صفر، در بازه
در این بین افزایش می یابد
همچنین ثابت است، برابر با وحدت (شکل 8.4 را ببینید). تابع در هر نقطه پیوسته است ایکس 0 منطقه از تعریف آن - فاصله
، بنابراین در سمت چپ پیوسته است، یعنی. برابری برقرار است

,
.

برابری‌ها همچنین وجود دارد:

,
.

بنابراین، تابع
تمام خصوصیات مشخصه تابع توزیع را برآورده می کند. بنابراین این تابع
تابع توزیع برخی از متغیرهای تصادفی است ایکس.

مثال 8.3.آیا تابع توزیع برخی از متغیرهای تصادفی تابع است

راه حل.این تابع تابع توزیع یک متغیر تصادفی نیست، زیرا بین
کاهش می یابد و پیوسته نیست. نمودار تابع در شکل نشان داده شده است. 8.5.

برنج. 8.5

مثال 8.4.مقدار تصادفی ایکستوسط تابع توزیع داده می شود

ضریب را پیدا کنید آو چگالی احتمال متغیر تصادفی ایکس. احتمال نابرابری را تعیین کنید
.

راه حل.چگالی توزیع برابر با اولین مشتق تابع توزیع است

ضریب آبا استفاده از برابری تعیین می شود

,

.

همین نتیجه را می توان با استفاده از تداوم تابع به دست آورد
در نقطه

,
.

از این رو،
.

بنابراین چگالی احتمال شکل دارد

احتمال
ضربه های یک متغیر تصادفی ایکسدر یک دوره معین با فرمول محاسبه می شود

مثال 8.5.مقدار تصادفی ایکسدارای چگالی احتمال (قانون کوشی)

.

ضریب را پیدا کنید آو احتمال اینکه متغیر تصادفی باشد ایکسمقداری از فاصله را می گیرد
. تابع توزیع این متغیر تصادفی را پیدا کنید.

راه حل.بیایید ضریب را پیدا کنیم آاز برابری

,

از این رو،
.

بنابراین،
.

احتمال اینکه یک متغیر تصادفی باشد ایکسمقداری از فاصله را می گیرد
، برابر است

بیایید تابع توزیع این متغیر تصادفی را پیدا کنیم

پ مثال 8.6.نمودار چگالی احتمال یک متغیر تصادفی ایکسدر شکل نشان داده شده است. 8.6 (قانون سیمپسون). عبارتی برای چگالی احتمال و تابع توزیع این متغیر تصادفی بنویسید.

برنج. 8.6

راه حل.با استفاده از نمودار، عبارت تحلیلی را برای چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی می نویسیم.

بیایید تابع توزیع را پیدا کنیم.

اگر
، آن
.

اگر
، آن

اگر
، آن

اگر
، آن

بنابراین تابع توزیع فرم دارد

فصل 1. متغیر تصادفی گسسته

§ 1. مفاهیم یک متغیر تصادفی.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته.

تعریف : تصادفی کمیتی است که در نتیجه آزمایش تنها یک مقدار از مجموعه مقادیر احتمالی خود را از پیش ناشناخته و بسته به دلایل تصادفی می گیرد.

دو نوع متغیر تصادفی وجود دارد: گسسته و پیوسته.

تعریف : متغیر تصادفی X نامیده می شود گسسته (ناپیوسته) اگر مجموعه مقادیر آن متناهی یا نامتناهی اما قابل شمارش باشد.

به عبارت دیگر، مقادیر ممکنیک متغیر تصادفی گسسته می تواند مجددا شماره گذاری شود.

یک متغیر تصادفی را می توان با استفاده از قانون توزیع آن توصیف کرد.

تعریف : قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته مطابقت بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات آنها را فراخوانی کنید.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X را می توان به صورت جدولی مشخص کرد که در ردیف اول تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی به ترتیب صعودی و در ردیف دوم احتمالات مربوط به آن ها نشان داده شده است. ارزش ها، یعنی

که در آن р1+ р2+…+ рn=1

به چنین جدولی سری توزیع یک متغیر تصادفی گسسته می گویند.

اگر مجموعه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی بینهایت باشد، سری p1+ p2+…+ pn+… همگرا شده و مجموع آن برابر با 1 است.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X را می توان به صورت گرافیکی ترسیم کرد، که برای آن یک خط شکسته در یک سیستم مختصات مستطیلی شکل ساخته شده است که به ترتیب نقاط را با مختصات (xi; pi)، i=1،2،…n به هم متصل می کند. خط حاصل نامیده می شود چند ضلعی توزیع (عکس. 1).

شیمی آلی" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">شیمی آلی به ترتیب 0.7 و 0.8 است. یک قانون توزیع برای متغیر تصادفی X - تعداد امتحاناتی که دانش آموز قبول می کند، ترسیم کنید.

راه حل. متغیر تصادفی X در نتیجه امتحان می تواند یکی از مقادیر زیر را بگیرد: x1=0، x2=1، x3=2.

بیایید احتمال این مقادیر را پیدا کنیم.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

بنابراین، قانون توزیع متغیر تصادفی X توسط جدول داده شده است:

کنترل: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. تابع توزیع

توضیح کاملی از یک متغیر تصادفی نیز توسط تابع توزیع ارائه شده است.

تعریف: تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X تابع F(x) نامیده می شود که برای هر مقدار x احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری کمتر از x بگیرد را تعیین می کند:

F(x)=P(X<х)

از نظر هندسی، تابع توزیع به عنوان احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری را که در خط عددی با نقطه ای در سمت چپ نقطه x نشان داده شده است را بگیرد، تفسیر می شود.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) یک تابع غیر نزولی در (-∞;+∞) است.

3) F(x) - پیوسته در سمت چپ در نقاط x= xi (i=1,2,...n) و پیوسته در تمام نقاط دیگر.

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

اگر قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X به شکل جدول داده شود:

سپس تابع توزیع F(x) با فرمول تعیین می شود:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 برای x≤ x1،

р1 در x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 در x2< х≤ х3

1 برای x>xn.

نمودار آن در شکل 2 نشان داده شده است:

§ 3. ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی گسسته.

یکی از ویژگی های عددی مهم، انتظار ریاضی است.

تعریف: انتظارات ریاضی M(X) متغیر تصادفی گسسته X مجموع حاصل از همه مقادیر آن و احتمالات مربوط به آنها است:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

انتظارات ریاضی به عنوان مشخصه مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی عمل می کند.

ویژگی های انتظار ریاضی:

1)M(C)=C، که در آن C یک مقدار ثابت است.

2)M(C X)=C M(X)،

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4) M(X Y)=M(X) M(Y)، که در آن X، Y متغیرهای تصادفی مستقل هستند.

5)M(X±C)=M(X)±C، که در آن C یک مقدار ثابت است.

برای مشخص کردن درجه پراکندگی مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته در اطراف مقدار میانگین آن، از پراکندگی استفاده می شود.

تعریف: واریانس D ( ایکس ) متغیر تصادفی X انتظار ریاضی انحراف مجذور متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است:

خواص پراکندگی:

1)D(C)=0، که در آن C یک مقدار ثابت است.

2)D(X)>0، که در آن X یک متغیر تصادفی است.

3)D(C X)=C2 D(X)، که در آن C یک مقدار ثابت است.

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)، که در آن X، Y متغیرهای تصادفی مستقل هستند.

برای محاسبه واریانس اغلب استفاده از فرمول راحت است:

D(X)=M(X2)-(M(X))2،

جایی که M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

واریانس D(X) دارای ابعاد یک متغیر تصادفی مربعی است که همیشه راحت نیست. بنابراین، مقدار √D(X) نیز به عنوان نشانگر پراکندگی مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی استفاده می شود.

تعریف: انحراف معیار σ(X) متغیر تصادفی X جذر واریانس نامیده می شود:

وظیفه شماره 2.متغیر تصادفی گسسته X توسط قانون توزیع مشخص می شود:

P2، تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و نمودار آن و همچنین M(X)، D(X)، σ(X) را رسم کنید.

راه حل: از آنجایی که مجموع احتمالات مقادیر ممکن متغیر تصادفی X برابر با 1 است، پس

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

بیایید تابع توزیع F(x)=P(X را پیدا کنیم

از نظر هندسی، این برابری را می توان به صورت زیر تفسیر کرد: F(x) احتمالی است که متغیر تصادفی مقداری را که در محور عددی با نقطه واقع در سمت چپ نقطه x نشان داده می شود، بگیرد.

اگر x≤-1، آنگاه F(x)=0، زیرا یک مقدار واحد از این متغیر تصادفی در (-∞;x) وجود ندارد.

اگر -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

اگر 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) دو مقدار x1=-1 و x2=0 وجود دارد.

اگر 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

اگر 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

اگر x>3، آنگاه F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1، زیرا چهار مقدار x1=-1، x2=0، x3=1، x4=2 در بازه (-∞;x) و x5=3 قرار می گیرند.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 در x≤-1،

0.1 در -1<х≤0,

0.2 در 0<х≤1,

F(x)= 0.5 در 1<х≤2,

0.7 در 2<х≤3,

1 در x> 3

بیایید تابع F(x) را به صورت گرافیکی نشان دهیم (شکل 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. قانون توزیع دوجمله ای

متغیر تصادفی گسسته، قانون پواسون.

تعریف: دو جمله ای قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X نامیده می شود - تعداد وقوع رویداد A در n آزمایش تکراری مستقل، که در هر یک از آنها رویداد A ممکن است با احتمال p رخ دهد یا با احتمال q = 1-p رخ ندهد. سپس P(X=m) - احتمال وقوع رویداد A دقیقاً m بار در n آزمایش با استفاده از فرمول برنولی محاسبه می شود:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

انتظارات ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی X توزیع شده بر اساس یک قانون باینری به ترتیب با استفاده از فرمول های زیر بدست می آیند:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> احتمال رویداد A - "پرداخت یک پنج" در هر آزمایش یکسان و برابر با 1/6 است. ، یعنی P(A)=p=1/6، سپس P(A)=1-p=q=5/6، که در آن

- "عدم دریافت A."

متغیر تصادفی X می تواند مقادیر زیر را بگیرد: 0;1;2;3.

احتمال هر یک از مقادیر ممکن X را با استفاده از فرمول برنولی پیدا می کنیم:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

که قانون توزیع متغیر تصادفی X به شکل زیر است:

کنترل: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

بیایید ویژگی های عددی متغیر تصادفی X را پیدا کنیم:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2،

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12،

وظیفه شماره 4.یک دستگاه اتوماتیک قطعات را مهر می کند. احتمال معیوب بودن قطعه تولید شده 0.002 است. این احتمال را پیدا کنید که در بین 1000 قسمت انتخاب شده وجود داشته باشد:

الف) 5 معیوب؛

ب) حداقل یکی معیوب باشد.

راه حل: عدد n=1000 بزرگ است، احتمال تولید یک قطعه معیوب p=0.002 کم است، و رویدادهای مورد بررسی (قطعه معیوب است) مستقل هستند، بنابراین فرمول پواسون صادق است:

Рn(m)= ه- λ λm

بیایید λ=np=1000 0.002=2 را پیدا کنیم.

الف) احتمال وجود 5 قطعه معیوب را پیدا کنید (m=5):

Р1000(5)= ه-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

ب) احتمال وجود حداقل یک قطعه معیوب را پیدا کنید.

رویداد A - "حداقل یکی از قسمت های انتخاب شده معیوب است" است رویداد مخالف- "همه قطعات انتخاب شده معیوب نیستند، بنابراین، P(A) = 1-P(). بنابراین احتمال مورد نظر برابر است با: P(A)=1-P1000(0)=1- ه-2 20 = 1- e-2=1-0.13534≈0.865.

وظایف برای کار مستقل.

1.1

1.2. متغیر تصادفی پراکنده X توسط قانون توزیع مشخص می شود:

p4، تابع توزیع F(X) را پیدا کنید و نمودار آن و همچنین M(X)، D(X)، σ(X) را رسم کنید.

1.3. 9 نشانگر در جعبه وجود دارد که 2 تای آنها دیگر نوشته نمی شود. 3 نشانگر را به طور تصادفی بردارید. متغیر تصادفی X تعداد نشانگرهای نوشتاری در بین موارد گرفته شده است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را ترسیم کنید.

1.4. 6 کتاب درسی به صورت تصادفی در قفسه کتابخانه چیده شده است که 4 کتاب صحافی شده است. کتابدار 4 کتاب درسی را به صورت تصادفی می گیرد. متغیر تصادفی X تعداد کتاب‌های درسی صحافی شده در بین کتاب‌های گرفته شده است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را ترسیم کنید.

1.5. دو وظیفه در بلیط وجود دارد. احتمال حل صحیح مسئله اول 0.9 و دومی 0.7 است. متغیر تصادفی X تعداد مسائلی است که به درستی در تیکت حل شده اند. یک قانون توزیع ترسیم کنید، انتظارات ریاضی و واریانس این متغیر تصادفی را محاسبه کنید و همچنین تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.

1.6. سه تیرانداز به یک هدف شلیک می کنند. احتمال اصابت به هدف با یک شلیک برای تیرانداز اول 0.5، برای تیراندازی دوم 0.8 و برای سومین 0.7 است. متغیر تصادفی X تعداد ضربه به هدف است اگر تیراندازان یک بار شلیک کنند. قانون توزیع M(X)D(X) را پیدا کنید.

1.7. یک بسکتبالیست توپ را با احتمال 0.8 زدن هر ضربه به داخل سبد می اندازد. به ازای هر ضربه 10 امتیاز دریافت می کند و در صورت از دست دادن امتیازی به او تعلق نمی گیرد. یک قانون توزیع برای متغیر تصادفی X ترسیم کنید - تعداد امتیازهای دریافت شده توسط یک بسکتبالیست در 3 ضربه. M(X),D(X) و همچنین احتمال کسب بیش از 10 امتیاز را پیدا کنید.

1.8. حروف روی کارت ها نوشته شده است، در مجموع 5 مصوت و 3 صامت. 3 کارت به صورت تصادفی انتخاب می شوند و هر بار کارت گرفته شده برگردانده می شود. متغیر تصادفی X تعداد حروف صدادار در میان آنهایی است که گرفته شده است. یک قانون توزیع ترسیم کنید و M(X)،D(X)،σ(X) را پیدا کنید.

1.9. به طور متوسط ​​60 درصد قراردادها شرکت بیمهمبالغ بیمه را در رابطه با وقوع یک رویداد بیمه شده پرداخت می کند. یک قانون توزیع برای متغیر تصادفی X - تعداد قراردادهایی که مبلغ بیمه برای آنها از بین چهار قرارداد انتخاب شده به طور تصادفی پرداخت شده است، تهیه کنید. مشخصه های عددی این کمیت را بیابید.

1.10. ایستگاه رادیویی علائم تماس (بیش از چهار) را در فواصل زمانی معین ارسال می کند تا زمانی که ارتباط دو طرفه برقرار شود. احتمال دریافت پاسخ به علامت تماس 0.3 است. متغیر تصادفی X تعداد علائم تماس ارسال شده است. یک قانون توزیع ترسیم کنید و F(x) را پیدا کنید.

1.11. 3 کلید وجود دارد که تنها یکی از آنها برای قفل مناسب است. قانونی برای توزیع متغیر تصادفی X-تعداد تلاش‌ها برای باز کردن قفل، در صورتی که کلید امتحان شده در تلاش‌های بعدی شرکت نکند، ترسیم کنید. M(X)،D(X) را پیدا کنید.

1.12. آزمایشات مستقل متوالی از سه دستگاه برای قابلیت اطمینان انجام شده است. هر دستگاه بعدی فقط در صورتی آزمایش می شود که دستگاه قبلی قابل اعتماد باشد. احتمال قبولی در آزمون برای هر دستگاه 0.9 است. یک قانون توزیع برای متغیر تصادفی X-تعداد دستگاه های آزمایش شده ترسیم کنید.

1.13 متغیر تصادفی گسسته X دارای سه مقدار ممکن است: x1=1، x2، x3 و x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. بلوک دستگاه الکترونیکی شامل 100 عنصر یکسان است. احتمال خرابی هر عنصر در زمان T 0.002 است. عناصر به طور مستقل کار می کنند. احتمال خراب شدن بیش از دو عنصر در طول زمان T را پیدا کنید.

1.15. کتاب درسی در تیراژ 50000 نسخه منتشر شد. احتمال صحافی نادرست کتاب درسی 0002/0 است. احتمال این که گردش حاوی آن باشد را پیدا کنید:

الف) چهار کتاب معیوب،

ب) کمتر از دو کتاب معیوب.

1 .16. تعداد تماس هایی که در هر دقیقه به سانترال می رسد طبق قانون پواسون با پارامتر λ=1.5 توزیع می شود. این احتمال را پیدا کنید که در عرض یک دقیقه موارد زیر می رسد:

الف) دو تماس؛

ب) حداقل یک تماس.

1.17.

اگر Z=3X+Y M(Z)،D(Z) را پیدا کنید.

1.18. قوانین توزیع دو متغیر تصادفی مستقل آورده شده است:

اگر Z=X+2Y M(Z)،D(Z) را پیدا کنید.

پاسخ ها:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; 0 در x≤-2،

0.3 در -2<х≤0,

F(x)= 0.5 در 0<х≤2,

0.9 در 2<х≤5,

1 در x> 5

1.2. p4=0.1; 0 در x≤-1،

0.3 در -1<х≤0,

0.4 در 0<х≤1,

F(x)= 0.6 در 1<х≤2,

0.7 در 2<х≤3,

1 در x> 3

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 در x≤0،

0.03 در 0<х≤1,

F(x)= 0.37 در 1<х≤2,

1 برای x>2

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48، P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22 e-0.2≈0.999

1.15. الف) 0.0189; ب) 0.00049

1.16. الف) 0.0702; ب) 0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

فصل 2. متغیر تصادفی پیوسته

تعریف: مداوم آنها مقداری را همه مقادیر ممکن می نامند که یک بازه محدود یا نامتناهی از خط اعداد را کاملاً پر می کند.

بدیهی است که تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت است.

یک متغیر تصادفی پیوسته را می توان با استفاده از یک تابع توزیع مشخص کرد.

تعریف:اف تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته X تابع F(x) نامیده می شود که برای هر مقدار xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> تعیین می کند. آر

تابع توزیع گاهی اوقات تابع توزیع تجمعی نامیده می شود.

ویژگی های تابع توزیع:

1) 1≤ F(x) ≤1

2) برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تابع توزیع در هر نقطه پیوسته و در همه جا قابل تمایز است، به جز، شاید، در نقاط منفرد.

3) احتمال سقوط یک متغیر تصادفی X در یکی از بازه های (a;b)، [a;b]، [a;b] برابر است با تفاوت بین مقادیر تابع F(x) در نقاط a و b، یعنی. R(a)<Х

4) احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته X یک مقدار جداگانه بگیرد 0 است.

5) F(-∞)=0، F(+∞)=1

تعیین یک متغیر تصادفی پیوسته با استفاده از تابع توزیع تنها راه نیست. اجازه دهید مفهوم چگالی توزیع احتمال (چگالی توزیع) را معرفی کنیم.

تعریف : چگالی توزیع احتمال f ( ایکس ) یک متغیر تصادفی پیوسته X مشتق تابع توزیع آن است، یعنی:

تابع چگالی احتمال گاهی اوقات تابع توزیع تفاضلی یا قانون توزیع دیفرانسیل نامیده می شود.

نمودار توزیع چگالی احتمال f(x) نامیده می شود منحنی توزیع احتمال .

خواص توزیع چگالی احتمال:

1) f(x) ≥0، در xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 در x≤2،

f(x)= c(x-2) در 2<х≤6,

0 برای x>6.

پیدا کنید: a) مقدار c; ب) تابع توزیع F(x) و آن را رسم کنید. ج) P(3≤x<5)

راه حل:

+ ∞

الف) مقدار c را از شرط نرمال سازی بدست می آوریم: ∫ f(x)dx=1.

بنابراین، -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

اگر 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 در x≤2،

F(x)= (x-2)2/16 در 2<х≤6,

1 برای x>6.

نمودار تابع F(x) در شکل 3 نشان داده شده است

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 در x≤0،

F(x)= (3 آرکتان x)/π در 0<х≤√3,

1 برای x>√3.

تابع توزیع دیفرانسیل f(x) را پیدا کنید

راه حل: از آنجایی که f(x)= F’(x)، پس

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

تمام ویژگی‌های انتظار و پراکندگی ریاضی که قبلاً برای متغیرهای تصادفی پراکنده بحث شد، برای متغیرهای پیوسته نیز معتبر هستند.

وظیفه شماره 3.متغیر تصادفی X با تابع دیفرانسیل f(x) مشخص می شود:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18،

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

مشکلات برای راه حل مستقل

2.1. یک متغیر تصادفی پیوسته X توسط تابع توزیع مشخص می شود:

0 در x≤0،

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 برای x≤ π/6،

F(x)= - cos 3x در π/6<х≤ π/3,

1 برای x> π/3.

تابع توزیع دیفرانسیل f(x) و همچنین را بیابید

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 در x≤2،

f(x)= c x در 2<х≤4,

0 برای x>4.

2.4. یک متغیر تصادفی پیوسته X با چگالی توزیع مشخص می شود:

0 در x≤0،

f(x)= c √x در 0<х≤1,

0 برای x>1.

پیدا کنید: الف) عدد ج؛ ب) M(X)، D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> در x،

0 در x.

F(x) را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید. ب) M(X)،D(X)، σ(X); ج) احتمال اینکه در چهار تست های مستقلمقدار X دقیقاً 2 برابر مقدار مربوط به بازه (1;4) خواهد بود.

2.6. چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X داده شده است:

f(x)= 2(x-2) در x،

0 در x.

F(x) را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید. ب) M(X)، D(X)، σ (X); ج) احتمال اینکه در سه آزمایش مستقل مقدار X دقیقاً 2 برابر مقدار متعلق به بخش باشد.

2.7. تابع f(x) به صورت زیر داده می شود:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. تابع f(x) به صورت زیر داده می شود:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

پیدا کنید: الف) مقدار ثابت c که تابع چگالی احتمال برخی از متغیرهای تصادفی X خواهد بود. ب) تابع توزیع F(x).

2.9. متغیر تصادفی X، متمرکز بر بازه (3;7)، توسط تابع توزیع F(x)= مشخص می شود. احتمال آن را پیدا کنید

متغیر تصادفی X مقدار: الف) کمتر از 5، ب) کمتر از 7 را خواهد گرفت.

2.10. متغیر تصادفی X، متمرکز بر بازه (-1;4)،

توسط تابع توزیع F(x)= داده می شود. احتمال آن را پیدا کنید

متغیر تصادفی X مقدار خواهد داشت: الف) کمتر از 2، ب) کمتر از 4 نیست.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

پیدا کنید: الف) عدد ج؛ ب) M(X); ج) احتمال P(X> M(X)).

2.12. متغیر تصادفی با تابع توزیع دیفرانسیل مشخص می شود:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

پیدا کنید: الف) M(X); ب) احتمال P(X≤M(X))

2.13. توزیع Rem با چگالی احتمال داده می شود:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> برای x ≥0.

ثابت کنید که f(x) در واقع یک تابع چگالی احتمال است.

2.14. چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X داده شده است:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(شکل 4) (شکل 5)

2.16. متغیر تصادفی X طبق قانون توزیع شده است. راست گوشه"در فاصله (0;4) (شکل 5). یک عبارت تحلیلی برای چگالی احتمال f(x) در کل خط عددی پیدا کنید.

پاسخ ها

0 در x≤0،

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 برای x≤ π/6،

F(x)= 3sin 3x در π/6<х≤ π/3,

0 برای x> π/3. یک متغیر تصادفی پیوسته X دارد قانون یکسانتوزیع در یک بازه معین (a;b)، که شامل تمام مقادیر ممکن X است، اگر چگالی توزیع احتمال f(x) در این بازه ثابت و برابر با 0 در خارج از آن باشد، یعنی.

0 برای x≤a،

f(x)= برای a<х

0 برای x≥b.

نمودار تابع f(x) در شکل نشان داده شده است. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 برای x≤a،

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">، D(X)=، σ(X)=.

وظیفه شماره 1.متغیر تصادفی X به طور یکنواخت در بخش توزیع شده است. پیدا کردن:

الف) چگالی توزیع احتمال f(x) و آن را رسم کنید.

ب) تابع توزیع F(x) و رسم آن.

ج) M(X)، D(X)، σ(X).

راه حل: با استفاده از فرمول های مورد بحث در بالا، با a=3، b=7، متوجه می شویم:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> در 3≤х≤7،

0 برای x> 7

بیایید نمودار آن را بسازیم (شکل 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 در x≤3،

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">شکل 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 در x<0,

f(x)= λε-λх برای x≥0.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی X که بر اساس قانون نمایی توزیع شده است با فرمول به دست می آید:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30">، D(X)=، σ (Х)=

بنابراین، انتظار ریاضی و انحراف معیار توزیع نمایی با یکدیگر برابر هستند.

احتمال سقوط X به بازه (a;b) با فرمول محاسبه می شود:

P(a<Х

وظیفه شماره 2.میانگین زمان کارکرد بدون خرابی دستگاه 100 ساعت است با فرض اینکه زمان کار بدون خرابی دستگاه دارای قانون توزیع نمایی است، پیدا کنید:

الف) چگالی توزیع احتمال؛

ب) تابع توزیع؛

ج) احتمال اینکه زمان کار بدون خرابی دستگاه از 120 ساعت بیشتر شود.

راه حل: با توجه به شرط، توزیع ریاضی M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 در x<0,

الف) f(x)= 0.01e -0.01x برای x≥0.

ب) F(x)= 0 در x<0,

1-e -0.01x در x≥0.

ج) با استفاده از تابع توزیع، احتمال مورد نظر را پیدا می کنیم:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3. قانون توزیع عادی

تعریف: یک متغیر تصادفی پیوسته X دارد قانون توزیع نرمال (قانون گاوس)، اگر چگالی توزیع آن به شکل زیر باشد:

,

که در آن m=M(X)، σ2=D(X)، σ>0.

منحنی توزیع نرمال نامیده می شود منحنی نرمال یا گاوسی (شکل 7)

منحنی نرمال با توجه به خط مستقیم x=m متقارن است، حداکثر در x=a برابر با .

تابع توزیع یک متغیر تصادفی X که طبق قانون عادی توزیع شده است، از طریق تابع لاپلاس Ф (x) مطابق فرمول بیان می شود:

,

تابع لاپلاس کجاست

اظهار نظر: تابع Ф(x) فرد است (Ф(-х)=-Ф(х))، علاوه بر این، برای x>5 می توانیم Ф(х) ≈1/2 را فرض کنیم.

نمودار تابع توزیع F(x) در شکل نشان داده شده است. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

احتمال اینکه قدر مطلقانحرافات کمتر از عدد مثبت δ با فرمول محاسبه می شوند:

به طور خاص، برای m=0 برابری زیر برقرار است:

"قانون سه سیگما"

اگر یک متغیر تصادفی X دارای قانون توزیع نرمال با پارامترهای m و σ باشد، تقریباً مطمئن است که مقدار آن در بازه (a-3σ؛ a+3σ) قرار دارد، زیرا

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

ب) از فرمول استفاده می کنیم:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

از جدول مقادیر تابع Ф(х) Ф(1.5)=0.4332، Ф(1)=0.3413 را پیدا می کنیم.

بنابراین، احتمال مورد نظر:

P(28

وظایف برای کار مستقل

3.1. متغیر تصادفی X به طور یکنواخت در بازه (5;3-) توزیع شده است. پیدا کردن:

ب) تابع توزیع F(x);

ج) خصوصیات عددی؛

د) احتمال P(4<х<6).

3.2. متغیر تصادفی X به طور یکنواخت در بخش توزیع شده است. پیدا کردن:

الف) چگالی توزیع f(x)؛

ب) تابع توزیع F(x);

ج) خصوصیات عددی؛

د) احتمال P(3≤х≤6).

3.3. یک چراغ راهنمایی اتوماتیک در بزرگراه تعبیه شده است که چراغ سبز برای وسایل نقلیه 2 دقیقه، زرد 3 ثانیه و قرمز 30 ثانیه و غیره روشن می شود. خودرو در یک لحظه تصادفی در طول بزرگراه حرکت می کند. احتمال اینکه خودرو بدون توقف از چراغ راهنمایی عبور کند را بیابید.

3.4. قطارهای مترو به طور منظم در فواصل 2 دقیقه ای حرکت می کنند. مسافری در زمان تصادفی وارد سکو می شود. احتمال اینکه یک مسافر باید بیش از 50 ثانیه برای قطار صبر کند چقدر است؟ انتظارات ریاضی متغیر تصادفی X - زمان انتظار برای قطار را پیدا کنید.

3.5. واریانس و انحراف معیار توزیع نمایی داده شده توسط تابع توزیع را بیابید:

F(x)= 0 در x<0,

1-8x برای x≥0.

3.6. یک متغیر تصادفی پیوسته X با چگالی توزیع احتمال مشخص می شود:

f(x)= 0 در x<0,

0.7 e-0.7x در x≥0.

الف) قانون توزیع متغیر تصادفی مورد نظر را نام ببرید.

ب) تابع توزیع F(X) و مشخصه های عددی متغیر تصادفی X را بیابید.

3.7. متغیر تصادفی X بر اساس قانون نمایی مشخص شده توسط چگالی توزیع احتمال توزیع می شود:

f(x)= 0 در x<0,

0.4 e-0.4 x در x≥0.

این احتمال را پیدا کنید که در نتیجه آزمایش X مقداری از بازه (2.5;5) بگیرد.

3.8. یک متغیر تصادفی پیوسته X طبق قانون نمایی مشخص شده توسط تابع توزیع توزیع می شود:

F(x)= 0 در x<0,

1-0.6x در x≥0

این احتمال را بیابید که در نتیجه آزمایش، X مقداری از قطعه بگیرد.

3.9. مقدار مورد انتظار و انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی معمولی به ترتیب 8 و 2 است.

الف) چگالی توزیع f(x)؛

ب) احتمال اینکه در نتیجه آزمایش X مقداری از بازه (10;14) بگیرد.

3.10. متغیر تصادفی X معمولاً با انتظارات ریاضی 3.5 و واریانس 0.04 توزیع می شود. پیدا کردن:

الف) چگالی توزیع f(x)؛

ب) احتمال اینکه در نتیجه آزمایش X مقداری از قطعه بگیرد.

3.11. متغیر تصادفی X معمولاً با M(X)=0 و D(X)=1 توزیع می شود. کدام یک از رویدادها: |X|≤0.6 یا |X|≥0.6 محتمل تر است؟

3.12. متغیر تصادفی X به طور معمول با M(X)=0 و D(X)=1 از کدام بازه (-0.5;-0.1) یا (1;2) بیشتر در یک آزمون توزیع می شود؟

3.13. قیمت فعلی هر سهم را می توان با استفاده از قانون توزیع عادی با M(X)=10 den مدل کرد. واحدها و σ (X)=0.3 den. واحدها پیدا کردن:

الف) احتمال اینکه قیمت فعلی سهم از 9.8 den باشد. واحدها تا 10.4 روز واحدها

ب) با استفاده از "قانون سه سیگما"، مرزهایی را که قیمت فعلی سهام در آن قرار می گیرد، بیابید.

3.14. این ماده بدون خطاهای سیستماتیک وزن می شود. خطاهای توزین تصادفی تابع قانون نرمال با نسبت مربع میانگین σ=5g می باشد. این احتمال را بیابید که در چهار آزمایش مستقل، خطا در سه توزین در مقدار مطلق 3r رخ ندهد.

3.15. متغیر تصادفی X معمولاً با M(X)=12.6 توزیع می شود. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه (11.4;13.8) 0.6826 است. انحراف معیار σ را پیدا کنید.

3.16. متغیر تصادفی X به طور نرمال با M(X)=12 و D(X)=36 توزیع می شود.

3.17. اگر انحراف X پارامتر کنترل شده آن از مقدار اسمی بیشتر از مدول 2 واحد اندازه گیری باشد، قطعه ای که توسط یک ماشین اتوماتیک ساخته می شود، معیوب در نظر گرفته می شود. فرض بر این است که متغیر تصادفی X به طور نرمال با M(X)=0 و σ(X)=0.7 توزیع شده است. دستگاه چند درصد قطعات معیوب تولید می کند؟

3.18. پارامتر X قطعه به طور نرمال با انتظار ریاضی 2 برابر با مقدار اسمی و انحراف استاندارد 0.014 توزیع می شود. این احتمال را پیدا کنید که انحراف X از مقدار اسمی از 1% مقدار اسمی تجاوز نکند.

پاسخ ها

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

ب) 0 برای x≤-3،

F(x)= چپ">

3.10. a)f(x)=،

ب) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. الف) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

ارزش مورد انتظار

پراکندگیمتغیر تصادفی پیوسته X که مقادیر ممکن آن به کل محور Ox تعلق دارد با برابری تعیین می شود:

هدف از خدمات. ماشین حساب آنلاین برای حل مسائلی طراحی شده است که در آن ها یا چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x) (به مثال مراجعه کنید). معمولاً در چنین کارهایی باید پیدا کنید انتظارات ریاضی، انحراف معیار، توابع نمودار f(x) و F(x).

دستورالعمل ها. نوع داده منبع را انتخاب کنید: چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x).

چگالی توزیع f(x) داده شده است.

چگالی توزیع f(x) داده شده است:

تابع توزیع F(x) داده می شود:

یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی احتمال مشخص می شود
(قانون توزیع رایلی - مورد استفاده در مهندسی رادیو). M(x)، D(x) را پیدا کنید.

متغیر تصادفی X نامیده می شود مداوم ، اگر تابع توزیع آن F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته برای محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه معین استفاده می شود:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
علاوه بر این، برای یک متغیر تصادفی پیوسته، مهم نیست که مرزهای آن در این بازه گنجانده شود یا خیر:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته تابع نامیده می شود
f(x)=F’(x)، مشتق تابع توزیع.

ویژگی های چگالی توزیع

1. چگالی توزیع متغیر تصادفی غیر منفی است (f(x) ≥ 0) برای همه مقادیر x.
2. شرایط عادی سازی:

معنای هندسی شرط نرمال سازی: مساحت زیر منحنی چگالی توزیع برابر با واحد است.
3. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی X در بازه α تا β را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

از نظر هندسی، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی پیوسته X در بازه (α، β) برابر با مساحت ذوزنقه منحنی زیر منحنی چگالی توزیع بر اساس این بازه است.
4. تابع توزیع بر حسب چگالی به صورت زیر بیان می شود:

مقدار چگالی توزیع در نقطه x برابر با احتمال پذیرش این مقدار برای یک متغیر تصادفی پیوسته نیست. اجازه دهید )