घर मुंह सामान्य समाधान ढूंढें और इसे एफएसआर के संदर्भ में लिखें। सिस्टम और एफएसआर का सामान्य समाधान खोजें

मुंह

सामान्य समाधान ढूंढें और इसे एफएसआर के संदर्भ में लिखें। सिस्टम और एफएसआर का सामान्य समाधान खोजें

सजातीय प्रणाली रेखीय समीकरणमैदान के ऊपर

परिभाषा। समीकरणों की प्रणाली (1) के समाधान की एक मौलिक प्रणाली इसके समाधानों की एक गैर-रिक्त रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली है, जिसका रैखिक विस्तार सिस्टम (1) के सभी समाधानों के सेट के साथ मेल खाता है।

ध्यान दें कि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली जिसमें केवल शून्य समाधान होता है, में समाधान की कोई मौलिक प्रणाली नहीं होती है।

प्रस्ताव 3.11. रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान की किन्हीं दो मूलभूत प्रणालियों में समान संख्या में समाधान होते हैं।

सबूत। वास्तव में, समीकरणों की सजातीय प्रणाली (1) के समाधान की कोई भी दो मूलभूत प्रणालियाँ समतुल्य और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, प्रस्ताव 1.12 के अनुसार, उनकी रैंक बराबर हैं। इसलिए, एक में शामिल समाधानों की संख्या मौलिक प्रणाली, समाधान की किसी अन्य मूलभूत प्रणाली में शामिल समाधानों की संख्या के बराबर है।

यदि समीकरणों की सजातीय प्रणाली (1) का मुख्य मैट्रिक्स ए शून्य है, तो कोई भी वेक्टर सिस्टम (1) का समाधान है; इस मामले में, कोई भी संग्रह रैखिक है स्वतंत्र वैक्टरसमाधान की एक मौलिक प्रणाली है. यदि मैट्रिक्स ए का कॉलम रैंक बराबर है, तो सिस्टम (1) का केवल एक समाधान है - शून्य; इसलिए, इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली (1) में समाधान की कोई मौलिक प्रणाली नहीं है।

प्रमेय 3.12. यदि रैखिक समीकरणों (1) की एक सजातीय प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक चर की संख्या से कम है, तो सिस्टम (1) में समाधानों से युक्त एक मौलिक समाधान प्रणाली होती है।

सबूत। यदि सजातीय प्रणाली (1) के मुख्य मैट्रिक्स ए की रैंक शून्य या के बराबर है, तो यह ऊपर दिखाया गया था कि प्रमेय सत्य है। इसलिए, नीचे यह माना गया है कि मान लें कि मैट्रिक्स ए के पहले कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इस मामले में, मैट्रिक्स ए पंक्तिवार कम चरणबद्ध मैट्रिक्स के बराबर है, और सिस्टम (1) समीकरणों की निम्नलिखित कम चरणबद्ध प्रणाली के बराबर है:

यह जांचना आसान है कि मुक्त मूल्यों की कोई भी प्रणाली सिस्टम चर(2) सिस्टम (2) के एक और केवल एक समाधान से मेल खाता है और इसलिए, सिस्टम (1) से मेल खाता है। विशेष रूप से, सिस्टम (2) और सिस्टम (1) का केवल शून्य समाधान ही शून्य मानों वाले सिस्टम से मेल खाता है।

सिस्टम (2) में हम मुफ़्त में से एक असाइन करेंगे चर मान, 1 के बराबर है, और शेष चरों का मान शून्य है। परिणामस्वरूप, हमें समीकरणों की प्रणाली (2) का समाधान मिलता है, जिसे हम निम्नलिखित मैट्रिक्स C की पंक्तियों के रूप में लिखते हैं:

इस मैट्रिक्स की पंक्ति प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वास्तव में, समानता से किसी भी अदिश के लिए

समानता आती है

और, इसलिए, समानता

आइए हम साबित करें कि मैट्रिक्स सी की पंक्तियों की प्रणाली का रैखिक विस्तार सिस्टम (1) के सभी समाधानों के सेट के साथ मेल खाता है।

व्यवस्था का मनमाना समाधान (1). फिर वेक्टर

सिस्टम (1) का भी एक समाधान है, और

आप अपनी समस्या का विस्तृत समाधान ऑर्डर कर सकते हैं!!!

यह समझने के लिए कि यह क्या है मौलिक निर्णय प्रणालीआप क्लिक करके उसी उदाहरण के लिए एक वीडियो ट्यूटोरियल देख सकते हैं। अब आइए समग्र के विवरण पर आगे बढ़ें आवश्यक कार्य. इससे आपको इस मुद्दे के सार को और अधिक विस्तार से समझने में मदद मिलेगी।

एक रैखिक समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली कैसे खोजें?

आइए उदाहरण के लिए रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली लें:

आइए समीकरणों की इस रैखिक प्रणाली का समाधान खोजें। आरंभ करने के लिए, हम आपको सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स लिखना होगा।

आइए इस मैट्रिक्स को त्रिकोणीय में बदलें।हम बिना किसी बदलाव के पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं। और $a_(11)$ के अंतर्गत आने वाले सभी तत्वों को शून्य बनाया जाना चाहिए। तत्व $a_(21)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए, आपको पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाना होगा, और अंतर को दूसरी पंक्ति में लिखना होगा। तत्व $a_(31)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए, आपको पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से घटाना होगा और अंतर को तीसरी पंक्ति में लिखना होगा। तत्व $a_(41)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए, आपको चौथी पंक्ति से पहले गुणा 2 को घटाना होगा और अंतर को चौथी पंक्ति में लिखना होगा। तत्व $a_(31)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए, आपको पांचवीं पंक्ति से पहले गुणा 2 को घटाना होगा और अंतर को पांचवीं पंक्ति में लिखना होगा।

हम बिना किसी बदलाव के पहली और दूसरी पंक्तियों को फिर से लिखते हैं। और $a_(22)$ के अंतर्गत आने वाले सभी तत्वों को शून्य बनाया जाना चाहिए। तत्व $a_(32)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए, आपको तीसरी पंक्ति से 2 से गुणा किए गए दूसरे को घटाना होगा और अंतर को तीसरी पंक्ति में लिखना होगा। तत्व $a_(42)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए, आपको चौथी पंक्ति से 2 से गुणा किए गए दूसरे को घटाना होगा और अंतर को चौथी पंक्ति में लिखना होगा। तत्व $a_(52)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए, आपको पांचवीं पंक्ति से 3 से गुणा किए गए दूसरे को घटाना होगा और अंतर को पांचवीं पंक्ति में लिखना होगा।

हमने देखा कि अंतिम तीन पंक्तियाँ समान हैं, इसलिए यदि आप चौथे और पांचवें में से तीसरा घटा दें, तो वे शून्य हो जाएंगे।

इस मैट्रिक्स के अनुसार लिखो नई प्रणालीसमीकरण.

हम देखते हैं कि हमारे पास केवल तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र समीकरण हैं, और पांच अज्ञात हैं, इसलिए समाधान की मूल प्रणाली में दो वैक्टर शामिल होंगे। सो ऽहम् हमें अंतिम दो अज्ञात को दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है.

अब, हम उन अज्ञात को व्यक्त करना शुरू करते हैं जो बाईं ओर हैं उन अज्ञात को जो दाईं ओर हैं। हम अंतिम समीकरण से शुरू करते हैं, पहले हम $x_3$ व्यक्त करते हैं, फिर हम परिणामी परिणाम को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और $x_2$ व्यक्त करते हैं, और फिर पहले समीकरण में और यहां हम $x_1$ व्यक्त करते हैं। इस प्रकार, हमने बाईं ओर मौजूद सभी अज्ञात को दाईं ओर मौजूद अज्ञात के माध्यम से व्यक्त किया।

फिर $x_4$ और $x_5$ के बजाय, हम किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और $x_1$, $x_2$ और $x_3$ ढूंढ सकते हैं। इनमें से प्रत्येक पाँच संख्याएँ हमारे समीकरणों की मूल प्रणाली की जड़ें होंगी। उन सदिशों को ढूँढ़ने के लिए जो इसमें शामिल हैं एफएसआरहमें $x_4$ के स्थान पर 1 प्रतिस्थापित करना होगा, और $x_5$ के स्थान पर 0 प्रतिस्थापित करना होगा, $x_1$, $x_2$ और $x_3$ ढूंढना होगा, और फिर इसके विपरीत $x_4=0$ और $x_5=1$ ढूंढना होगा।

हम अपनी प्रौद्योगिकी को निखारना जारी रखेंगे प्राथमिक परिवर्तनपर रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली.
पहले पैराग्राफ के आधार पर, सामग्री उबाऊ और औसत दर्जे की लग सकती है, लेकिन यह धारणा भ्रामक है। तकनीकी तकनीकों के और विकास के अलावा और भी बहुत कुछ होगा नई जानकारी, इसलिए कृपया इस आलेख में उदाहरणों की उपेक्षा न करने का प्रयास करें।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली क्या है?

उत्तर स्वयं ही सुझाता है। यदि मुक्त पद हो तो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सजातीय होती है सब लोगसिस्टम का समीकरण शून्य है. उदाहरण के लिए:

यह तो बिल्कुल स्पष्ट है एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, यानी इसका हमेशा एक समाधान होता है। और, सबसे पहले, जो चीज़ आपकी नज़र में आती है वह तथाकथित है मामूलीसमाधान . जो लोग विशेषण का अर्थ बिल्कुल नहीं समझते उनके लिए तुच्छ का अर्थ बिना दिखावे के होता है। अकादमिक रूप से नहीं, निश्चित रूप से, लेकिन समझदारी से =) ...इधर-उधर क्यों घूमें, आइए जानें कि क्या इस प्रणाली के पास कोई अन्य समाधान है:

उदाहरण 1

समाधान: एक सजातीय प्रणाली को हल करने के लिए लिखना आवश्यक है सिस्टम मैट्रिक्सऔर प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से इसे चरणबद्ध रूप में लाएँ। कृपया ध्यान दें कि यहां ऊर्ध्वाधर पट्टी और मुक्त पदों के शून्य कॉलम को लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है - आखिरकार, आप शून्य के साथ कुछ भी करें, वे शून्य ही रहेंगे:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(2) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करने का कोई खास मतलब नहीं है।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समतुल्य सजातीय प्रणाली प्राप्त होती है , और, आवेदन करना उलटा स्ट्रोकगॉस की विधि से यह सत्यापित करना आसान है कि समाधान अद्वितीय है।

उत्तर:

आइए हम एक स्पष्ट मानदंड तैयार करें: रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली है बस एक तुच्छ समाधान, अगर सिस्टम मैट्रिक्स रैंक(वी इस मामले में 3) चरों की संख्या के बराबर (इस मामले में - 3 टुकड़े)।

आइए अपने रेडियो को प्रारंभिक परिवर्तनों की लहर के अनुरूप तैयार करें और ट्यून करें:

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें

एल्गोरिदम को अंतिम रूप से समेकित करने के लिए, आइए अंतिम कार्य का विश्लेषण करें:

उदाहरण 7

एक सजातीय प्रणाली को हल करें, उत्तर वेक्टर रूप में लिखें।

समाधान: आइए सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

(1) प्रथम पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया है। एक बार फिर मैं एक ऐसी तकनीक की ओर ध्यान आकर्षित करता हूं जिसका कई बार सामना किया जा चुका है, जो आपको अगली कार्रवाई को काफी सरल बनाने की अनुमति देती है।

(1) पहली पंक्ति को दूसरी और तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को 2 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, उनमें से दो हटा दी गई हैं।

परिणामस्वरूप, एक मानक चरण मैट्रिक्स प्राप्त होता है, और समाधान घुमावदार ट्रैक के साथ जारी रहता है:

- बुनियादी चर;
- मुक्त चर.

आइए हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करें। दूसरे समीकरण से:

- पहले समीकरण में स्थानापन्न करें:

इस प्रकार, सामान्य निर्णय:

चूँकि विचाराधीन उदाहरण में तीन मुक्त चर हैं, मौलिक प्रणाली में तीन वैक्टर हैं।

आइए मानों के त्रिगुण को प्रतिस्थापित करें सामान्य समाधान में और एक वेक्टर प्राप्त करें जिसके निर्देशांक सजातीय प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करते हैं। और फिर, मैं दोहराता हूं कि प्रत्येक प्राप्त वेक्टर की जांच करना अत्यधिक उचित है - इसमें अधिक समय नहीं लगेगा, लेकिन यह आपको त्रुटियों से पूरी तरह से बचाएगा।

मूल्यों के त्रिगुण के लिए वेक्टर खोजें

और अंत में तीनों के लिए हमें तीसरा वेक्टर मिलता है:

उत्तर: , कहाँ

जो लोग भिन्नात्मक मानों से बचना चाहते हैं वे त्रिगुणों पर विचार कर सकते हैं और उत्तर को समकक्ष रूप में प्राप्त कर सकते हैं:

भिन्नों की बात हो रही है. आइए समस्या में प्राप्त मैट्रिक्स को देखें और आइए हम खुद से पूछें: क्या आगे के समाधान को सरल बनाना संभव है? आख़िरकार, यहाँ हमने पहले मूल चर को भिन्नों के माध्यम से व्यक्त किया, फिर भिन्नों के माध्यम से मूल चर को, और, मुझे कहना होगा, यह प्रक्रिया सबसे सरल और सबसे सुखद नहीं थी।

दूसरा उपाय:

विचार प्रयास करने का है अन्य आधार चर चुनें. आइए मैट्रिक्स को देखें और तीसरे कॉलम में दो पर ध्यान दें। तो शीर्ष पर शून्य क्यों नहीं? आइए एक और प्राथमिक परिवर्तन करें:

रैखिक समीकरणों की वह प्रणाली जिसमें सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों, कहलाती है सजातीय :

कोई भी सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि वह हमेशा सुसंगत होती है शून्य (मामूली ) समाधान। सवाल उठता है कि किन परिस्थितियों में एक सजातीय प्रणाली का गैर-तुच्छ समाधान होगा।

प्रमेय 5.2.एक सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान होता है यदि और केवल तभी जब अंतर्निहित मैट्रिक्स की रैंक उसके अज्ञात की संख्या से कम हो।

परिणाम. एक वर्ग सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान होता है यदि और केवल तभी जब सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर न हो।

उदाहरण 5.6.पैरामीटर एल के मान निर्धारित करें जिस पर सिस्टम में गैर-तुच्छ समाधान हैं, और ये समाधान खोजें:

समाधान. जब मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर हो तो इस प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान होगा:

इस प्रकार, सिस्टम गैर-तुच्छ है जब l=3 या l=2। l=3 के लिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 1 है। फिर, केवल एक समीकरण छोड़कर यह मान लें य=एऔर जेड=बी, हम पाते हैं एक्स=बी-ए, अर्थात।

l=2 के लिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 है। फिर, माइनर को आधार के रूप में चुनें:

हमें एक सरलीकृत प्रणाली मिलती है

यहां से हमें वह मिलता है एक्स=जेड/4, y=z/2. विश्वास जेड=4ए, हम पाते हैं

एक सजातीय प्रणाली के सभी समाधानों का सेट बहुत महत्वपूर्ण है रैखिक संपत्ति : यदि कॉलम X 1 और एक्स 2 - एक सजातीय प्रणाली AX = 0 का समाधान, फिर उनका कोई रैखिक संयोजनए एक्स 1 + बी एक्स 2 इस प्रणाली का समाधान भी होगा. दरअसल, तब से कुल्हाड़ी 1 = 0 और कुल्हाड़ी 2 = 0 , वह ए(ए एक्स 1 + बी एक्स 2) = ए कुल्हाड़ी 1 + बी कुल्हाड़ी 2 = a · 0 + b · 0 = 0. यह इस गुण के कारण है कि यदि एक रैखिक प्रणाली में एक से अधिक समाधान हैं, तो इन समाधानों की संख्या अनंत होगी।

रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभ इ 1 , इ 2 , इक, जो एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, कहलाते हैं समाधान की मौलिक प्रणाली रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली यदि इस प्रणाली का सामान्य समाधान इन स्तंभों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:

यदि एक सजातीय प्रणाली है एनचर, और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक बराबर है आर, वह क = एन आर.

उदाहरण 5.7.समाधान की मूलभूत प्रणाली खोजें अगली प्रणालीरेखीय समीकरण:

समाधान. आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक खोजें:

इस प्रकार, समीकरणों की इस प्रणाली के समाधानों का सेट आयाम का एक रैखिक उपस्थान बनाता है एन आर= 5 - 2 = 3। आइए आधार के रूप में लघु को चुनें

फिर, केवल मूल समीकरणों (बाकी इन समीकरणों का एक रैखिक संयोजन होगा) और मूल चर (हम बाकी, तथाकथित मुक्त चर को दाईं ओर ले जाते हैं) को छोड़कर, हम समीकरणों की एक सरलीकृत प्रणाली प्राप्त करते हैं:

विश्वास एक्स 3 = ए, एक्स 4 = बी, एक्स 5 = सी, हम देखतें है

, .

विश्वास ए= 1, बी = सी= 0, हमें पहला मूल समाधान प्राप्त होता है; विश्वास बी= 1, ए = सी= 0, हमें दूसरा मूल समाधान प्राप्त होता है; विश्वास सी= 1, ए = बी= 0, हमें तीसरा मूल समाधान प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, समाधान की सामान्य मौलिक प्रणाली का रूप ले लेगी

मौलिक प्रणाली का उपयोग करते हुए, एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है

एक्स = ऐ 1 + होना 2 + सीई 3. ए

आइए रैखिक समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली के समाधान के कुछ गुणों पर ध्यान दें एएक्स=बीऔर समीकरणों की संगत सजातीय प्रणाली के साथ उनका संबंध कुल्हाड़ी = 0.

एक विषमांगी प्रणाली का सामान्य समाधानसंगत सजातीय प्रणाली AX = 0 के सामान्य समाधान और अमानवीय प्रणाली के एक मनमाना विशेष समाधान के योग के बराबर है. वास्तव में, चलो वाई 0 एक अमानवीय प्रणाली का एक मनमाना विशेष समाधान है, अर्थात। एय 0 = बी, और वाई- एक विषम प्रणाली का सामान्य समाधान, अर्थात्। अय=बी. एक समानता को दूसरे से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
ए(Y Y 0) = 0, अर्थात Y Y 0 संगत सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान है कुल्हाड़ी=0. इस तरह, Y Y 0 = एक्स, या वाई=वाई 0 + एक्स. क्यू.ई.डी.

मान लीजिए कि अमानवीय प्रणाली का रूप AX = B है 1 + बी 2 . तब ऐसी प्रणाली का सामान्य समाधान X = X के रूप में लिखा जा सकता है 1 + एक्स 2 , जहां कुल्हाड़ी 1 = बी 1 और कुल्हाड़ी 2 = बी 2. यह गुण किसी की सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करता है रैखिक प्रणाली(बीजगणितीय, अंतर, कार्यात्मक, आदि)। भौतिकी में इस गुण को कहा जाता है सुपरपोजिशन सिद्धांत, इलेक्ट्रिकल और रेडियो इंजीनियरिंग में - सुपरपोजिशन का सिद्धांत. उदाहरण के लिए, रैखिक विद्युत सर्किट के सिद्धांत में, किसी भी सर्किट में धारा को प्रत्येक ऊर्जा स्रोत के कारण अलग-अलग धाराओं के बीजगणितीय योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है और इसका एक तुच्छ समाधान होता है
. एक गैर-तुच्छ समाधान के अस्तित्व के लिए, मैट्रिक्स की रैंक आवश्यक है अज्ञातों की संख्या से कम थी:

समाधान की मौलिक प्रणाली सजातीय प्रणाली
कॉलम वैक्टर के रूप में समाधानों की एक प्रणाली को कॉल करें
, जो विहित आधार के अनुरूप है, अर्थात। आधार जिसमें मनमाना स्थिरांक
बारी-बारी से एक के बराबर सेट किया जाता है, जबकि बाकी को शून्य पर सेट किया जाता है।

तब सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का रूप होता है:

कहाँ
- मनमाना स्थिरांक. दूसरे शब्दों में, समग्र समाधान समाधान की मौलिक प्रणाली का एक रैखिक संयोजन है।

इस प्रकार, सामान्य समाधान से बुनियादी समाधान प्राप्त किया जा सकता है यदि मुक्त अज्ञात को बदले में एक का मान दिया जाए, अन्य सभी को शून्य के बराबर सेट किया जाए।

उदाहरण. आइए सिस्टम का समाधान खोजें

आइए स्वीकार करें, फिर हमें इस रूप में एक समाधान मिलता है:

आइए अब हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें:

सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाएगा:

सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान में निम्नलिखित गुण होते हैं:

दूसरे शब्दों में, एक सजातीय प्रणाली के समाधानों का कोई भी रैखिक संयोजन फिर से एक समाधान है।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में कई शताब्दियों से गणितज्ञों की रुचि रही है। पहला परिणाम 18वीं शताब्दी में प्राप्त हुआ। 1750 में, जी. क्रेमर (1704-1752) ने वर्ग आव्यूह के निर्धारकों पर अपना काम प्रकाशित किया और व्युत्क्रम आव्यूह खोजने के लिए एक एल्गोरिदम प्रस्तावित किया। 1809 में, गॉस ने एक नई समाधान विधि की रूपरेखा तैयार की जिसे उन्मूलन की विधि के रूप में जाना जाता है।

गॉस विधि, या अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि, इस तथ्य में निहित है कि, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरण (या त्रिकोणीय) रूप की समकक्ष प्रणाली में घटा दिया जाता है। ऐसी प्रणालियाँ एक निश्चित क्रम में सभी अज्ञात को क्रमिक रूप से खोजना संभव बनाती हैं।

आइए मान लें कि सिस्टम (1) में
(जो सदैव संभव है)।

(1)

पहले समीकरण को तथाकथित से एक-एक करके गुणा करना उपयुक्त संख्याएँ

और सिस्टम के संगत समीकरणों के साथ गुणन के परिणाम को जोड़ने पर, हमें एक समतुल्य सिस्टम प्राप्त होता है जिसमें पहले को छोड़कर सभी समीकरणों में कोई अज्ञात नहीं होगा एक्स 1

(2)

आइए अब यह मानते हुए सिस्टम (2) के दूसरे समीकरण को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करें

और इसे निचले वाले के साथ जोड़कर, हम वेरिएबल को खत्म कर देते हैं सभी समीकरणों से, तीसरे से शुरू करके।

इसके बाद भी यह प्रक्रिया जारी रहेगी
चरण हमें मिलता है:

(3)

यदि संख्याओं में से कम से कम एक
शून्य के बराबर नहीं है, तो संगत समानता विरोधाभासी है और प्रणाली (1) असंगत है। इसके विपरीत, किसी भी संयुक्त संख्या प्रणाली के लिए
शून्य के बराबर हैं. संख्या सिस्टम (1) के मैट्रिक्स की रैंक से अधिक कुछ नहीं है।