गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल करें। गाऊसी पद्धति का उलटा

यहां आप फ्री में सिस्टम का समाधान कर सकते हैं रेखीय समीकरण गॉस विधि ऑनलाइन बड़े आकारबहुत विस्तृत समाधान के साथ सम्मिश्र संख्याओं में। हमारा कैलकुलेटर गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की सामान्य निश्चित और अनिश्चित दोनों प्रणालियों को ऑनलाइन हल कर सकता है, जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस मामले में, उत्तर में आपको कुछ चरों की निर्भरता अन्य, मुक्त चरों के माध्यम से प्राप्त होगी। आप गॉसियन समाधान का उपयोग करके स्थिरता के लिए समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन भी जांच सकते हैं।

मैट्रिक्स आकार: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

विधि के बारे में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय ऑनलाइन विधिगॉस द्वारा निम्नलिखित चरण निष्पादित किये जाते हैं।

1. हम विस्तारित मैट्रिक्स लिखते हैं.
2. वास्तव में, समाधान को गॉसियन विधि के आगे और पीछे के चरणों में विभाजित किया गया है। गॉसियन विधि का सीधा दृष्टिकोण एक मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करना है। गॉसियन विधि का उलटा एक मैट्रिक्स को एक विशेष चरणबद्ध रूप में कम करना है। लेकिन व्यवहार में, प्रश्न में तत्व के ऊपर और नीचे दोनों जगह जो स्थित है उसे तुरंत शून्य करना अधिक सुविधाजनक है। हमारा कैलकुलेटर बिल्कुल इसी दृष्टिकोण का उपयोग करता है।
3. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करते समय, मैट्रिक्स में शून्य नहीं के साथ कम से कम एक शून्य पंक्ति की उपस्थिति होती है दाहिनी ओर(मुक्त सदस्यों का कॉलम) सिस्टम की असंगति को इंगित करता है। समाधान रैखिक प्रणालीइस मामले में यह अस्तित्व में नहीं है.

यह समझने के लिए कि गाऊसी एल्गोरिदम ऑनलाइन कैसे काम करता है, कोई भी उदाहरण दर्ज करें, "बहुत विस्तृत समाधान" चुनें और इसका समाधान ऑनलाइन देखें।

गॉस विधि, जिसे विधि भी कहा जाता है क्रमिक उन्मूलनअज्ञात इस प्रकार है. प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को ऐसे रूप में लाया जाता है कि इसके गुणांकों का मैट्रिक्स बन जाता है समलम्बाकार (त्रिकोणीय या चरणबद्ध के समान) या ट्रैपेज़ॉइडल के करीब (गॉसियन विधि का सीधा स्ट्रोक, इसके बाद बस सीधा स्ट्रोक)। ऐसी प्रणाली और उसके समाधान का एक उदाहरण ऊपर चित्र में है।

ऐसी प्रणाली में, अंतिम समीकरण में केवल एक चर होता है और इसका मान स्पष्ट रूप से पाया जा सकता है। इस चर का मान फिर पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है ( गाऊसी पद्धति का उलटा , फिर ठीक इसके विपरीत), जिससे पिछला चर पाया जाता है, इत्यादि।

एक समलम्बाकार (त्रिकोणीय) प्रणाली में, जैसा कि हम देखते हैं, तीसरे समीकरण में अब चर नहीं होते हैं यऔर एक्स, और दूसरा समीकरण चर है एक्स .

सिस्टम के मैट्रिक्स के एक समलम्बाकार आकार लेने के बाद, सिस्टम की अनुकूलता के मुद्दे को समझना, समाधानों की संख्या निर्धारित करना और स्वयं समाधान ढूंढना मुश्किल नहीं रह गया है।

विधि के लाभ:

1. तीन से अधिक समीकरणों और अज्ञात वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि क्रैमर विधि जितनी बोझिल नहीं होती है, क्योंकि गॉस विधि से हल करने के लिए कम गणना की आवश्यकता होती है;
2. गॉस विधि का उपयोग करके, आप रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणालियों को हल कर सकते हैं, अर्थात सामान्य निर्णय(और हम उन्हें इस पाठ में देखेंगे), लेकिन क्रैमर की विधि का उपयोग करके, हम केवल यह बता सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है;
3. आप रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल कर सकते हैं जिनमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं है (हम इस पाठ में उनका भी विश्लेषण करेंगे);
4. यह विधि प्राथमिक (स्कूल) विधियों पर आधारित है - अज्ञात को प्रतिस्थापित करने की विधि और समीकरण जोड़ने की विधि, जिसे हमने संबंधित लेख में छुआ है।

सभी के लिए यह समझने के लिए कि रैखिक समीकरणों की समलम्बाकार (त्रिकोणीय, चरणबद्ध) प्रणालियों को किस सरलता से हल किया जाता है, हम रिवर्स मोशन का उपयोग करके ऐसी प्रणाली का समाधान प्रस्तुत करते हैं। त्वरित निर्णयइस प्रणाली को पाठ की शुरुआत में चित्र में दिखाया गया था।

उदाहरण 1।व्युत्क्रम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। इस समलम्बाकार प्रणाली में चर जेडतीसरे समीकरण से विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है। हम इसके मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं य:

अब हम दो वेरिएबल्स के मान जानते हैं - जेडऔर य. हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं एक्स:

पिछले चरणों से हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान लिखते हैं:

रैखिक समीकरणों की ऐसी समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसे हमने बहुत सरलता से हल किया है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तनों से जुड़े फॉरवर्ड स्ट्रोक का उपयोग करना आवश्यक है। यह बहुत कठिन भी नहीं है.

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन

किसी सिस्टम के समीकरणों को बीजगणितीय रूप से जोड़ने की स्कूल पद्धति को दोहराते हुए, हमें पता चला कि सिस्टम के समीकरणों में से एक में हम सिस्टम का एक और समीकरण जोड़ सकते हैं, और प्रत्येक समीकरण को कुछ संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें इसके समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है। इसमें, एक समीकरण में पहले से ही केवल एक चर होता है, जिसके मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, हम एक समाधान पर आते हैं। ऐसा जोड़ प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन के प्रकारों में से एक है। गॉसियन पद्धति का उपयोग करते समय, हम कई प्रकार के परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं।

ऊपर दिया गया एनीमेशन दिखाता है कि कैसे समीकरणों की प्रणाली धीरे-धीरे एक समलम्बाकार प्रणाली में बदल जाती है। यानी वह जिसे आपने पहले एनीमेशन में देखा और खुद को आश्वस्त किया कि इससे सभी अज्ञात के मूल्यों को ढूंढना आसान है। इस तरह का परिवर्तन कैसे करें और निश्चित रूप से, उदाहरणों पर आगे चर्चा की जाएगी।

समीकरणों की प्रणाली में और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में किसी भी संख्या में समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय कर सकना:

1. पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें (इसका उल्लेख इस लेख की शुरुआत में ही किया गया था);
2. यदि अन्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समान या आनुपातिक पंक्तियाँ बनती हैं, तो एक को छोड़कर, उन्हें हटाया जा सकता है;
3. "शून्य" पंक्तियों को हटा दें जहां सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
4. किसी स्ट्रिंग को किसी निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित करना;
5. किसी भी पंक्ति में एक निश्चित संख्या से गुणा करके दूसरी पंक्ति जोड़ें।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें इसके समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।

गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम के वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के एल्गोरिदम और उदाहरण

आइए पहले हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने पर विचार करें जिनमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है। ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, अर्थात इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2.गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

स्कूल पद्धतियों का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, हमने एक समीकरण को पद दर पद गुणा किया, ताकि दोनों समीकरणों में पहले चर के गुणांक विपरीत संख्याएँ हों। समीकरण जोड़ते समय, यह चर समाप्त हो जाता है। गॉस विधि इसी तरह काम करती है।

सरल करने के लिए उपस्थितिसमाधान आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं:

इस मैट्रिक्स में, अज्ञात के गुणांक ऊर्ध्वाधर रेखा से पहले बाईं ओर स्थित होते हैं, और मुक्त पद ऊर्ध्वाधर रेखा के बाद दाईं ओर स्थित होते हैं।

चरों के लिए गुणांकों को विभाजित करने की सुविधा के लिए (एकता से विभाजन प्राप्त करने के लिए) आइए सिस्टम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें. हमें इसके समतुल्य एक प्रणाली प्राप्त होती है, क्योंकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है:

नए प्रथम समीकरण का उपयोग करना वैरिएबल को खत्म करें एक्सदूसरे और उसके बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (हमारे मामले में, द्वारा) से गुणा किया जाता है, तीसरी पंक्ति में - पहली पंक्ति, जिसे (हमारे मामले में, द्वारा) से गुणा किया जाता है।

ऐसा इसलिए संभव है क्योंकि

यदि हमारे समीकरणों की प्रणाली होती तीन से अधिक, तो बाद के सभी समीकरणों में ऋण चिह्न के साथ ली गई संबंधित गुणांकों के अनुपात से गुणा की गई पहली पंक्ति को जोड़ना आवश्यक होगा।

परिणामस्वरूप, हमें समीकरणों की एक नई प्रणाली के इस सिस्टम के समतुल्य एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है, जिसमें दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरण होते हैं कोई वेरिएबल नहीं है एक्स :

परिणामी प्रणाली की दूसरी पंक्ति को सरल बनाने के लिए, इसे गुणा करें और फिर से इस प्रणाली के समतुल्य समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करें:

अब, परिणामी प्रणाली के पहले समीकरण को अपरिवर्तित रखते हुए, दूसरे समीकरण का उपयोग करके हम चर को हटा देते हैं य बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, सिस्टम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (हमारे मामले में) से गुणा किया जाता है।

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण होते, तो हमें बाद के सभी समीकरणों में एक दूसरी पंक्ति जोड़नी होती, जिसे ऋण चिह्न के साथ लिए गए संबंधित गुणांकों के अनुपात से गुणा किया जाता।

परिणामस्वरूप, हम फिर से रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली के समतुल्य प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

हमने रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त की है:

यदि समीकरणों और चरों की संख्या हमारे उदाहरण से अधिक है, तो चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सिस्टम मैट्रिक्स समलम्बाकार न हो जाए, जैसा कि हमारे डेमो उदाहरण में है।

हम "अंत से" समाधान ढूंढेंगे - विपरीत कदम. इसके लिए अंतिम समीकरण से हम निर्धारित करते हैं जेड:
.
इस मान को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम ढूंढ लेंगे य:

पहले समीकरण से हम ढूंढ लेंगे एक्स:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का हल है .

: इस मामले में वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम के पास कोई अद्वितीय समाधान है। यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, तो यह उत्तर होगा, और यह इस पाठ के पांचवें भाग का विषय है।

गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

यहां फिर से हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत और निश्चित प्रणाली का उदाहरण है, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है। एल्गोरिदम से हमारे डेमो उदाहरण में अंतर यह है कि पहले से ही चार समीकरण और चार अज्ञात हैं।

उदाहरण 4.गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को हटाने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। आइए अमल करें प्रारंभिक कार्य. गुणांकों के अनुपात के साथ इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, आपको दूसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम में एक प्राप्त करना होगा। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति से तीसरी घटाएं, और परिणामी दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें।

आइए अब हम तीसरे और चौथे समीकरण से चर का वास्तविक निष्कासन करें। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को, से गुणा करके, तीसरी पंक्ति में जोड़ें, और दूसरी, को, से गुणा करके, चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चौथे समीकरण से चर को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को चौथी पंक्ति से गुणा करके जोड़ें। हमें एक विस्तारित समलम्बाकार मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

हमने समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है जो इसके समतुल्य है यह प्रणाली:

नतीजतन, परिणामी और दी गई प्रणालियाँ संगत और निश्चित हैं। अंतिम निर्णयहम "अंत से" पाते हैं। चौथे समीकरण से हम सीधे चर "x-चार" का मान व्यक्त कर सकते हैं:

हम इस मान को सिस्टम के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

,

,

अंत में, मूल्य प्रतिस्थापन

पहला समीकरण देता है

,

हमें "x प्रथम" कहां मिलेगा:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है .

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच भी कर सकते हैं: इस मामले में, यदि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है तो वही उत्तर दिया जाएगा।

मिश्र धातुओं पर एक समस्या के उदाहरण का उपयोग करके गॉस विधि का उपयोग करके लागू समस्याओं को हल करना

भौतिक दुनिया में वास्तविक वस्तुओं को मॉडल करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग किया जाता है। आइए इन समस्याओं में से एक को हल करें - मिश्र धातु। समान समस्याएँ - मिश्रण, लागत या पर समस्याएँ विशिष्ट गुरुत्व व्यक्तिगत सामानकिसी उत्पाद समूह वगैरह में.

उदाहरण 5.मिश्र धातु के तीन टुकड़ों का कुल द्रव्यमान 150 किलोग्राम है। पहले मिश्र धातु में 60% तांबा होता है, दूसरे में - 30%, तीसरे में - 10%। इसके अलावा, दूसरे और तीसरे मिश्रधातु को मिलाकर पहले मिश्रधातु की तुलना में 28.4 किलोग्राम कम तांबा है, और तीसरे मिश्रधातु में दूसरे की तुलना में 6.2 किलोग्राम कम तांबा है। मिश्रधातु के प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

हम दूसरे और तीसरे समीकरण को 10 से गुणा करते हैं, हमें रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है:

हम सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं:

ध्यान दें, सीधे आगे। किसी संख्या से गुणा की गई एक पंक्ति को जोड़ने (हमारे मामले में, घटाने) से (हम इसे दो बार लागू करते हैं), सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:

सीधी चाल ख़त्म हो गई है. हमने एक विस्तारित ट्रैपेज़ॉइडल मैट्रिक्स प्राप्त किया।

हम विपरीत चाल लागू करते हैं। हम अंत से समाधान ढूंढते हैं। हमने देखा कि।

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं

तीसरे समीकरण से -

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच भी कर सकते हैं: इस मामले में, यदि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है तो वही उत्तर दिया जाएगा।

गॉस की विधि की सरलता का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस को इसका आविष्कार करने में केवल 15 मिनट लगे। उनके नाम पर नामित विधि के अलावा, गॉस के कार्यों से यह कहावत ज्ञात होती है कि "हमें जो अविश्वसनीय और अप्राकृतिक लगता है उसे बिल्कुल असंभव के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए" - एक प्रकार का संक्षिप्त निर्देशखोज करने के लिए.

कई लागू समस्याओं में कोई तीसरी बाधा नहीं हो सकती है, यानी, तीसरा समीकरण, तो आपको गॉसियन विधि का उपयोग करके तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना होगा, या, इसके विपरीत, समीकरणों की तुलना में कम अज्ञात हैं। अब हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करना शुरू करेंगे।

गॉसियन विधि का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई सिस्टम संगत या असंगत है एनके साथ रैखिक समीकरण एनचर।

गॉस विधि और अनंत संख्या में समाधानों के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत लेकिन अनिश्चित प्रणाली है, जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद (पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करना, पंक्तियों को एक निश्चित संख्या से गुणा करना और विभाजित करना, एक पंक्ति में दूसरी संख्या जोड़ना), फॉर्म की पंक्तियाँ दिखाई दे सकती हैं

यदि सभी समीकरणों का रूप है

मुक्त पद शून्य के बराबर हैं, इसका मतलब है कि प्रणाली अनिश्चित है, यानी इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं, और इस प्रकार के समीकरण "अनावश्यक" हैं और हम उन्हें प्रणाली से बाहर कर देते हैं।

उदाहरण 6.

समाधान। आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं। फिर, पहले समीकरण का उपयोग करके, हम बाद के समीकरणों से चर को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में पहली पंक्ति को इससे गुणा करके जोड़ें:

अब दूसरी पंक्ति को तीसरी और चौथी में जोड़ते हैं।

परिणामस्वरूप, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

अंतिम दो समीकरण रूप के समीकरण में बदल गए। ये समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट हैं और इन्हें खारिज किया जा सकता है।

दूसरे समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, हम और के लिए मनमाना मान चुन सकते हैं, फिर मान विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा: . पहले समीकरण से इसका मान भी विशिष्ट रूप से पाया जाता है: .

दी गई और अंतिम दोनों प्रणालियाँ सुसंगत, लेकिन अनिश्चित और सूत्र हैं

मनमानी के लिए और हमें किसी दिए गए सिस्टम के सभी समाधान दें।

गॉस विधि और समाधान रहित रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक असंगत प्रणाली है, जिसका कोई समाधान नहीं है। ऐसी समस्याओं का उत्तर इस प्रकार तैयार किया जाता है: सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

जैसा कि पहले उदाहरण के संबंध में पहले ही उल्लेख किया गया है, परिवर्तन करने के बाद, फॉर्म की पंक्तियाँ सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में दिखाई दे सकती हैं

प्रपत्र के एक समीकरण के अनुरूप

यदि उनमें शून्येतर मुक्त पद (अर्थात) वाला कम से कम एक समीकरण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है और इसका समाधान पूर्ण है।

उदाहरण 7.गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं। पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चर को बाद के समीकरणों से बाहर कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से गुणा करें, पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से गुणा करें और पहली पंक्ति को चौथी पंक्ति से गुणा करें।

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को हटाने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। गुणांकों के पूर्णांक अनुपात प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं।

तीसरे और चौथे समीकरण को बाहर करने के लिए, दूसरे को से गुणा करके, तीसरी पंक्ति में जोड़ें, और दूसरे को, से गुणा करके, चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चौथे समीकरण से चर को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को चौथी पंक्ति से गुणा करके जोड़ें।

इसलिए दी गई प्रणाली निम्नलिखित के बराबर है:

परिणामी प्रणाली असंगत है, क्योंकि इसका अंतिम समीकरण अज्ञात के किसी भी मान से संतुष्ट नहीं हो सकता है। इसलिए, इस प्रणाली के पास कोई समाधान नहीं है.

गॉस विधिरैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए बिल्कुल सही। अन्य तरीकों की तुलना में इसके कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, स्थिरता के लिए समीकरणों की प्रणाली की पहले जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरे, गॉस विधि न केवल SLAE को हल कर सकती है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी जिसमें समीकरणों की संख्या मेल नहीं खाती है अज्ञात चर या मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की संख्या शून्य के बराबर है;
• तीसरा, गॉसियन विधि अपेक्षाकृत कम संख्या में कम्प्यूटेशनल संचालन के साथ परिणाम देती है।

लेख का संक्षिप्त अवलोकन.

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएँ देते हैं और संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिदम का वर्णन करेंगे, यानी, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ मेल खाता है शून्य के बराबर नहीं. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जो अज्ञात चर का क्रमिक उन्मूलन है। इसलिए, गॉसियन विधि को अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। हम कई उदाहरणों के विस्तृत समाधान दिखाएंगे.

अंत में, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के गॉस विधि द्वारा समाधान पर विचार करेंगे, जिसका मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या एकवचन है। ऐसी प्रणालियों के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं, जिन्हें हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से जांचेंगे।

पेज नेविगेशन.

बुनियादी परिभाषाएँ और संकेतन.

n अज्ञात के साथ p रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें (p, n के बराबर हो सकता है):

अज्ञात चर कहां हैं, संख्याएं (वास्तविक या जटिल) हैं, और स्वतंत्र पद हैं।

अगर , तो रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली कहलाती है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चरों के मानों का वह समुच्चय जिसके लिए सिस्टम के सभी समीकरण पहचान बन जाते हैं, कहलाता है एसएलएयू का निर्णय.

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का कम से कम एक समाधान है, तो इसे कहा जाता है संयुक्त, अन्यथा - गैर संयुक्त.

यदि किसी SLAE के पास कोई अद्वितीय समाधान है, तो उसे कॉल किया जाता है निश्चित. यदि एक से अधिक समाधान हैं, तो सिस्टम को कॉल किया जाता है ढुलमुल.

उनका कहना है कि सिस्टम में लिखा हुआ है समन्वय प्रपत्र, यदि इसका स्वरूप है
.

इस प्रणाली में मैट्रिक्स फॉर्मअभिलेखों का रूप है, जहाँ - SLAE का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के स्तंभ का मैट्रिक्स, - मुक्त पदों का मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n+1)वें कॉलम के रूप में मुक्त पदों का एक मैट्रिक्स-कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली. आमतौर पर, एक विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है, और मुक्त शब्दों के कॉलम को शेष कॉलम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है पतित, यदि इसका सारणिक शून्य है। यदि , तो मैट्रिक्स ए कहा जाता है गैर पतित.

निम्नलिखित बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए.

यदि हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के साथ प्रदर्शन करते हैं निम्नलिखित क्रियाएं

• दो समीकरण बदलें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक मनमाना और गैर-शून्य वास्तविक (या जटिल) संख्या k से गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को जोड़ें, एक मनमानी संख्या k से गुणा करें,

तब आपको एक समतुल्य प्रणाली मिलती है जिसमें समान समाधान होते हैं (या, मूल प्रणाली की तरह, कोई समाधान नहीं होता है)।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन क्रियाओं का अर्थ पंक्तियों के साथ प्रारंभिक परिवर्तन करना होगा:

• दो पंक्तियों की अदला-बदली,
• मैट्रिक्स T की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या k से गुणा करना,
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़कर, एक मनमानी संख्या k से गुणा किया जाता है।

अब हम गॉस विधि के विवरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन होता है।

यदि हमें समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने का काम दिया जाए तो हम स्कूल में क्या करेंगे? .

कुछ लोग ऐसा करेंगे.

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के बायीं ओर जोड़ने पर बाईं तरफसबसे पहले, और दाईं ओर - दाईं ओर, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 पा सकते हैं:

हम सिस्टम के पहले और तीसरे समीकरण में पाए गए मान x 1 =1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि हम सिस्टम के तीसरे समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संगत भागों में जोड़ते हैं, तो हम अज्ञात चर x 3 से छुटकारा पाते हैं और x 2 पा सकते हैं:

हम परिणामी मान x 2 = 2 को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर x 3 पाते हैं:

दूसरों ने अलग तरीके से काम किया होगा.

आइए हम अज्ञात चर x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और इस चर को उनमें से बाहर करने के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

आइए अब x 2 के लिए सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करें और अज्ञात चर x 2 को हटाने के लिए परिणामी परिणाम को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

निकाय के तीसरे समीकरण से यह स्पष्ट है कि x 3 =3. दूसरे समीकरण से हम पाते हैं , और पहले समीकरण से हमें मिलता है .

परिचित समाधान, सही?

यहां सबसे दिलचस्प बात यह है कि दूसरी समाधान विधि अनिवार्य रूप से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है, यानी गाऊसी विधि। जब हमने अज्ञात चरों को व्यक्त किया (पहले x 1, अगले चरण x 2 पर) और उन्हें सिस्टम के शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर कर दिया। हमने तब तक उन्मूलन किया जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात चर नहीं बचा। अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. खत्म करने के बाद आगे का स्ट्रोकअब हमारे पास अंतिम समीकरण में अज्ञात चर की गणना करने का अवसर है। इसकी मदद से, हम अंतिम समीकरण से अगला अज्ञात चर ढूंढते हैं, इत्यादि। अंतिम समीकरण से पहले समीकरण की ओर बढ़ते हुए अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से खोजने की प्रक्रिया कहलाती है गाऊसी पद्धति का उलटा.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 1 को x 2 और x 3 के संदर्भ में व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं समान परिणाम देती हैं:

दरअसल, ऐसी प्रक्रिया सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x 1 को खत्म करना भी संभव बनाती है:

गॉसियन विधि का उपयोग करके अज्ञात चर के उन्मूलन के साथ बारीकियां तब उत्पन्न होती हैं जब सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर शामिल नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, SLAU में पहले समीकरण में कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम शेष समीकरणों से इस अज्ञात चर को हटाने के लिए x 1 के लिए सिस्टम के पहले समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता सिस्टम के समीकरणों को बदलना है। चूँकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं जिनके मुख्य आव्यूहों के निर्धारक शून्य से भिन्न हैं, हमेशा एक समीकरण होता है जिसमें हमें जिस चर की आवश्यकता होती है वह मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। हमारे उदाहरण के लिए, सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण को स्वैप करना पर्याप्त है , तो आप x 1 के लिए पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और इसे सिस्टम के शेष समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालाँकि x 1 अब दूसरे समीकरण में मौजूद नहीं है)।

हमें आशा है कि आपको सार समझ आ गया होगा।

चलिए वर्णन करते हैं गाऊसी विधि एल्गोरिथ्म.

मान लीजिए हमें n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है प्रपत्र के चर , और मान लीजिए कि इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। आइए दूसरे से शुरू करते हुए, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को हटा दें। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां .

यदि हमने सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 को व्यक्त किया होता और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया होता तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, चौथे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, हम अज्ञात x 3 को खत्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ भी इसी तरह कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से हम गॉसियन विधि का उलटा शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, x n के प्राप्त मान का उपयोग करके हम अंतिम समीकरण से x n-1 पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले समीकरण से x 1 पाते हैं .

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके एल्गोरिदम को देखें।

उदाहरण।

गॉस विधि.

समाधान।

गुणांक 11 शून्य से भिन्न है, तो आइए गॉसियन विधि की प्रत्यक्ष प्रगति पर आगे बढ़ें, यानी, पहले को छोड़कर सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को बाहर करना। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमशः से गुणा करके जोड़ें। और :

अज्ञात चर x 1 को हटा दिया गया है, चलिए x 2 को हटाने की ओर बढ़ते हैं। सिस्टम के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में हम दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमशः गुणा करके जोड़ते हैं और :

गॉसियन विधि की आगे की प्रगति को पूरा करने के लिए, हमें सिस्टम के अंतिम समीकरण से अज्ञात चर x 3 को हटाने की आवश्यकता है। आइए चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमशः तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों से गुणा करके जोड़ें :

आप गाऊसी पद्धति का उल्टा प्रारंभ कर सकते हैं।

पिछले समीकरण से हमारे पास है ,
तीसरे समीकरण से हमें प्राप्त होता है,
दूसरे से,
पहले वाले से.

जाँच करने के लिए, आप अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, जो इंगित करता है कि गॉस विधि का उपयोग करके समाधान सही पाया गया था।

उत्तर:

आइए अब मैट्रिक्स नोटेशन में गॉसियन विधि का उपयोग करके उसी उदाहरण का समाधान दें।

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें गॉस विधि.

समाधान।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है . प्रत्येक कॉलम के शीर्ष पर अज्ञात चर हैं जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप हैं।

यहां गॉसियन पद्धति के प्रत्यक्ष दृष्टिकोण में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक ट्रैपेज़ॉइडल रूप में कम करना शामिल है। यह प्रक्रिया अज्ञात चरों के उन्मूलन के समान है जो हमने समन्वय रूप में सिस्टम के साथ किया था। अब आप ये देखेंगे.

आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि पहले कॉलम के सभी तत्व, दूसरे से शुरू होकर, शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में हम पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं, और तदनुसार:

इसके बाद, हम परिणामी मैट्रिक्स को बदलते हैं ताकि दूसरे कॉलम में तीसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाएं। यह अज्ञात चर x 2 को ख़त्म करने के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को क्रमशः गुणा करके जोड़ते हैं और :

सिस्टम के अंतिम समीकरण से अज्ञात चर x 3 को बाहर करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों में हम अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाता है

जो पहले आगे बढ़ने के बाद प्राप्त किया गया था।

अब वापस मुड़ने का समय आ गया है. मैट्रिक्स नोटेशन में, गॉसियन विधि के व्युत्क्रम में परिणामी मैट्रिक्स को इस तरह बदलना शामिल है कि चित्र में चिह्नित मैट्रिक्स

विकर्ण हो गया अर्थात् रूप धारण कर लिया

कुछ संख्याएँ कहाँ हैं.

ये परिवर्तन गॉसियन विधि के अग्रवर्ती परिवर्तनों के समान हैं, लेकिन पहली पंक्ति से अंतिम तक नहीं, बल्कि अंतिम से पहली तक किए जाते हैं।

तीसरी, दूसरी और पहली पंक्ति के तत्वों में अंतिम पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें , इत्यादि क्रमश:

अब दूसरी और पहली पंक्ति के तत्वों में तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को क्रमशः और से गुणा करके जोड़ें:

रिवर्स गॉसियन विधि के अंतिम चरण में, पहली पंक्ति के तत्वों में हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाता है , जहां से हमें अज्ञात चर मिलते हैं।

उत्तर:

टिप्पणी।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि का उपयोग करते समय, अनुमानित गणनाओं से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे पूरी तरह से गलत परिणाम हो सकते हैं। हम दशमलव को पूर्णांकित न करने की सलाह देते हैं। से बेहतर दशमलवजाओ साधारण अंश.

उदाहरण।

गॉस विधि का उपयोग करके तीन समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें .

समाधान।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में अज्ञात चर का एक अलग पदनाम है (x 1, x 2, x 3 नहीं, बल्कि x, y, z)। आइए सामान्य भिन्नों की ओर चलें:

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात x को बाहर करें:

परिणामी प्रणाली में, अज्ञात चर y दूसरे समीकरण में अनुपस्थित है, लेकिन y तीसरे समीकरण में मौजूद है, इसलिए, आइए दूसरे और तीसरे समीकरण को स्वैप करें:

यह गॉस विधि की सीधी प्रगति को पूरा करता है (तीसरे समीकरण से y को बाहर करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब मौजूद नहीं है)।

चलिए उल्टी चाल शुरू करते हैं.

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं ,
अंतिम से


हमारे पास पहले समीकरण से

उत्तर:

एक्स = 10, वाई = 5, जेड = -20।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स एकवचन है।

समीकरणों की प्रणाली, जिसका मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्गाकार एकवचन है, का कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि कैसे गॉस विधि हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता या असंगतता स्थापित करने की अनुमति देती है, और इसकी अनुकूलता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) निर्धारित करती है।

सिद्धांत रूप में, ऐसे SLAE के मामले में अज्ञात चर को समाप्त करने की प्रक्रिया समान रहती है। हालाँकि, उत्पन्न होने वाली कुछ स्थितियों के बारे में विस्तार से जाना उचित है।

आइए सबसे महत्वपूर्ण चरण पर चलते हैं।

तो, आइए मान लें कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली, गॉस विधि की आगे की प्रगति को पूरा करने के बाद, रूप लेती है और एक भी समीकरण कम नहीं किया गया (इस मामले में हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि सिस्टम असंगत है)। एक तार्किक प्रश्न उठता है: "आगे क्या करें"?

आइए हम उन अज्ञात चरों को लिखें जो परिणामी प्रणाली के सभी समीकरणों में सबसे पहले आते हैं:

हमारे उदाहरण में ये x 1, x 4 और x 5 हैं। सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर हम केवल उन्हीं पदों को छोड़ते हैं जिनमें लिखित अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, शेष पदों को विपरीत चिह्न के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है:

आइए उन अज्ञात चरों को दें जो समीकरणों के दाईं ओर मनमाना मान हैं, जहां - मनमानी संख्याएँ:

इसके बाद, हमारे SLAE के सभी समीकरणों के दाएँ हाथ में संख्याएँ होती हैं और हम गॉसियन विधि के विपरीत आगे बढ़ सकते हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं, पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता है

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान अज्ञात चर के मूल्यों का एक सेट है

नंबर दे रहे हैं विभिन्न मूल्यों पर, हम समीकरणों की प्रणाली के लिए अलग-अलग समाधान प्राप्त करेंगे। अर्थात्, हमारी समीकरण प्रणाली के अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं।

उत्तर:

कहाँ - मनमानी संख्या.

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कई और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

तय करना सजातीय प्रणालीरैखिक बीजगणितीय समीकरण गॉस विधि.

समाधान।

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x को बाहर कर दें। ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, हम क्रमशः, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करके जोड़ते हैं, और तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, हम बाएँ और जोड़ते हैं। पहले समीकरण के दाएं पक्षों को इससे गुणा किया जाता है:

आइए अब समीकरणों की परिणामी प्रणाली के तीसरे समीकरण से y को बाहर करें:

परिणामी SLAE सिस्टम के समतुल्य है .

हम सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर केवल अज्ञात चर x और y वाले पदों को छोड़ते हैं, और अज्ञात चर z वाले पदों को दाईं ओर ले जाते हैं:

रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियाँ समतुल्य कहलाती हैं यदि उनके सभी समाधानों का समुच्चय मेल खाता हो।

समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1. सिस्टम से तुच्छ समीकरणों को हटाना, अर्थात वे जिनके लिए सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
2. किसी भी समीकरण को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
3. किसी भी i-वें समीकरण में किसी भी j-वें समीकरण को जोड़ने पर किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

एक चर x i को मुफ़्त कहा जाता है यदि इस चर की अनुमति नहीं है, लेकिन समीकरणों की पूरी प्रणाली की अनुमति है।

प्रमेय. प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की एक प्रणाली को एक समतुल्य प्रणाली में बदल देते हैं।

गॉसियन विधि का अर्थ समीकरणों की मूल प्रणाली को बदलना और एक समतुल्य हल या समकक्ष असंगत प्रणाली प्राप्त करना है।

तो, गाऊसी विधि में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1. आइए पहले समीकरण पर नजर डालें। आइए पहला गैर-शून्य गुणांक चुनें और पूरे समीकरण को इससे विभाजित करें। हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जिसमें कुछ चर x i 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
2. आइए इस समीकरण को अन्य सभी से घटाएं, इसे ऐसी संख्याओं से गुणा करें कि शेष समीकरणों में चर x i के गुणांक शून्य हो जाएं। हमें वेरिएबल x i के संबंध में और मूल सिस्टम के समतुल्य एक सिस्टम प्राप्त होता है;
3. यदि तुच्छ समीकरण उत्पन्न होते हैं (शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है; उदाहरण के लिए, 0 = 0), तो हम उन्हें सिस्टम से बाहर कर देते हैं। परिणामस्वरूप, एक समीकरण कम हो गया है;
4. हम पिछले चरणों को n से अधिक बार नहीं दोहराते हैं, जहाँ n सिस्टम में समीकरणों की संख्या है। हर बार हम "प्रसंस्करण" के लिए एक नया चर चुनते हैं। यदि असंगत समीकरण उत्पन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 0 = 8), तो सिस्टम असंगत है।

परिणामस्वरूप, कुछ चरणों के बाद हम या तो एक हल की गई प्रणाली (संभवतः मुक्त चर के साथ) या एक असंगत प्रणाली प्राप्त करेंगे। अनुमत सिस्टम दो मामलों में आते हैं:

1. चरों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है। इसका मतलब है कि सिस्टम परिभाषित है;
2. चरों की संख्या अधिक संख्यासमीकरण. हम दाईं ओर सभी मुक्त चर एकत्र करते हैं - हमें अनुमत चर के लिए सूत्र मिलते हैं। ये सूत्र उत्तर में लिखे गए हैं।

बस इतना ही! रैखिक समीकरणों की प्रणाली हल हो गई! यह एक काफी सरल एल्गोरिदम है, और इसमें महारत हासिल करने के लिए आपको किसी उच्च गणित शिक्षक से संपर्क करने की आवश्यकता नहीं है। आइए एक उदाहरण देखें:

काम। समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरणों का विवरण:

1. पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे से घटाएं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. हम दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करते हैं, और तीसरे समीकरण को (−3) से विभाजित करते हैं - हमें दो समीकरण मिलते हैं जिनमें चर x 2 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
3. हम दूसरे समीकरण को पहले में जोड़ते हैं, और तीसरे से घटाते हैं। हमें अनुमत चर x 2 मिलता है;
4. अंत में, हम तीसरे समीकरण को पहले से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 3 मिलता है;
5. हमें एक अनुमोदित प्रणाली प्राप्त हुई है, प्रतिक्रिया लिखें।

रैखिक समीकरणों की एक युगपत प्रणाली का सामान्य समाधान है नई प्रणाली, मूल चर के समतुल्य, जिसमें सभी अनुमत चर मुक्त चर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।

सामान्य समाधान की आवश्यकता कब हो सकती है? यदि आपको k से कम चरण करने हैं (k का अर्थ है कि कितने समीकरण हैं)। हालाँकि, जिन कारणों से प्रक्रिया किसी चरण पर समाप्त होती है< k , может быть две:

1. पांचवें चरण के बाद, हमें एक ऐसी प्रणाली प्राप्त हुई जिसमें संख्या (l + 1) वाला कोई समीकरण नहीं है। वास्तव में, यह अच्छा है, क्योंकि... अधिकृत प्रणाली अभी भी प्राप्त है - कुछ कदम पहले भी।
2. पांचवें चरण के बाद, हमें एक समीकरण प्राप्त हुआ जिसमें चर के सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, और मुक्त गुणांक शून्य से भिन्न है। यह एक विरोधाभासी समीकरण है, और इसलिए, प्रणाली असंगत है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि गॉसियन विधि का उपयोग करके असंगत समीकरण का उद्भव असंगतता के लिए पर्याप्त आधार है। साथ ही, हम ध्यान दें कि पांचवें चरण के परिणामस्वरूप, कोई भी तुच्छ समीकरण नहीं रह सकता है - वे सभी प्रक्रिया में ही काट दिए जाते हैं।

चरणों का विवरण:

1. पहले समीकरण को, 4 से गुणा करके, दूसरे से घटाएँ। हम पहले समीकरण को तीसरे में भी जोड़ते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. तीसरे समीकरण को 2 से गुणा करके दूसरे समीकरण से घटाएँ - हमें विरोधाभासी समीकरण 0 = −5 प्राप्त होता है।

तो, प्रणाली असंगत है क्योंकि एक असंगत समीकरण की खोज की गई है।

काम। अनुकूलता का अन्वेषण करें और सिस्टम का सामान्य समाधान खोजें:

चरणों का विवरण:

1. हम पहले समीकरण को दूसरे (दो से गुणा करने के बाद) और तीसरे से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाएँ। चूँकि इन समीकरणों में सभी गुणांक समान हैं, इसलिए तीसरा समीकरण तुच्छ हो जाएगा। साथ ही, दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करें;
3. पहले समीकरण से दूसरे को घटाएं - हमें अनुमत चर x 2 मिलता है। समीकरणों की पूरी प्रणाली भी अब हल हो गई है;
4. चूँकि चर x 3 और x 4 स्वतंत्र हैं, हम अनुमत चर को व्यक्त करने के लिए उन्हें दाईं ओर ले जाते हैं। यह उत्तर है.

इसलिए, प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है, क्योंकि इसमें दो अनुमत चर (x 1 और x 2) और दो मुक्त (x 3 और x 4) हैं।