गाऊसी विधि समाधान एल्गोरिथ्म। गाऊसी विधि (अज्ञात का क्रमिक उन्मूलन)

ऑनलाइन कैलकुलेटरसिस्टम का समाधान ढूंढता है रेखीय समीकरण(एसएलएन) गाऊसी विधि द्वारा। विस्तृत समाधान दिया गया है. गणना करने के लिए, चरों की संख्या और समीकरणों की संख्या का चयन करें। फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 = = =

संख्या प्रतिनिधित्व:

पूर्णांक और/या सामान्य भिन्न
पूर्ण संख्याएँ और/या दशमलव

दशमलव विभाजक के बाद स्थानों की संख्या

×

चेतावनी

सभी कक्ष साफ़ करें?

साफ़ बंद करें

डाटा प्रविष्टि निर्देश.संख्याएँ पूर्णांक (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव (उदा. 67., 102.54, आदि) या भिन्न के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए, जहाँ a और b (b>0) पूर्णांक हैं या दशमलव संख्याएं. उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

गॉस विधि

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली (समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करके) से एक ऐसी प्रणाली में संक्रमण की एक विधि है जिसे हल करना मूल प्रणाली की तुलना में आसान है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समतुल्य परिवर्तन हैं:

• सिस्टम में दो समीकरणों की अदला-बदली,
• सिस्टम में किसी भी समीकरण को गैर-शून्य वास्तविक संख्या से गुणा करना,
• एक समीकरण में दूसरे समीकरण को जोड़ने पर एक मनमानी संख्या से गुणा किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

(1)

आइए सिस्टम (1) को मैट्रिक्स रूप में लिखें:

कुल्हाड़ी=बी

(2)

(3)

ए- सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स कहा जाता है, बी− प्रतिबंधों का दाहिना भाग, एक्स- पाए जाने वाले चरों का सदिश। चलो रैंक( ए)=पी.

समतुल्य परिवर्तन गुणांक मैट्रिक्स की रैंक और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक को नहीं बदलते हैं। समतुल्य परिवर्तनों के तहत सिस्टम के समाधानों का सेट भी नहीं बदलता है। गॉस विधि का सार गुणांकों के मैट्रिक्स को कम करना है एविकर्ण या चरणबद्ध करना।

आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं:

अगले चरण में, हम तत्व के नीचे, कॉलम 2 के सभी तत्वों को रीसेट करते हैं। यदि यह तत्व शून्य है, तो इस पंक्ति को इस पंक्ति के नीचे वाली पंक्ति से बदल दिया जाता है और दूसरे कॉलम में एक गैर-शून्य तत्व होता है। इसके बाद, प्रमुख तत्व के नीचे कॉलम 2 के सभी तत्वों को रीसेट करें ए 22. ऐसा करने के लिए, पंक्तियाँ 3 जोड़ें,... एमस्ट्रिंग 2 को - से गुणा करके ए 32 /ए 22 , ..., −एएम2/ एक्रमशः 22. प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें विकर्ण या चरणबद्ध रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है। मान लीजिए कि परिणामी विस्तारित मैट्रिक्स का रूप इस प्रकार है:

(7)

क्योंकि रंगा=रंग(ए|बी), तो समाधान का सेट (7) है ( n−p)− विविधता. इस तरह n−pअज्ञात को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। सिस्टम (7) से शेष अज्ञात की गणना निम्नानुसार की जाती है। अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एक्सशेष चर के माध्यम से पी और पिछले अभिव्यक्तियों में डालें। आगे, अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एक्सशेष चरों के माध्यम से p−1 डालें और पिछले भावों आदि में डालें। आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके गॉस विधि पर विचार करें।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. खोजें सामान्य निर्णयगॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ:

आइए हम इसे निरूपित करें एआईजे तत्व मैं-वीं पंक्ति और जेवां स्तंभ.

एग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2,3 को पंक्ति 1 के साथ जोड़ें, क्रमशः -2/3,-1/2 से गुणा करें:

मैट्रिक्स रिकॉर्डिंग प्रकार: कुल्हाड़ी=बी, कहाँ

आइए हम इसे निरूपित करें एआईजे तत्व मैं-वीं पंक्ति और जेवां स्तंभ.

आइए तत्व के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को बाहर करें एग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2,3 को पंक्ति 1 के साथ जोड़ें, क्रमशः -1/5,-6/5 से गुणा करें:

हम मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को संबंधित अग्रणी तत्व से विभाजित करते हैं (यदि अग्रणी तत्व मौजूद है):

कहाँ एक्स 3 , एक्स

ऊपरी भावों को निचले भावों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समाधान प्राप्त होता है।

तब वेक्टर समाधान को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

कहाँ एक्स 3 , एक्स 4 मनमानी वास्तविक संख्याएँ हैं।

रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों को हल करने के लिए सार्वभौमिक और प्रभावी तरीकों में से एक है गाऊसी विधि , जिसमें अज्ञात का क्रमिक उन्मूलन शामिल है।

याद रखें कि दो प्रणालियों को कहा जाता है समकक्ष (समतुल्य) यदि उनके समाधान के सेट मेल खाते हैं। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है और इसके विपरीत। समतुल्य प्रणालियाँ तब प्राप्त होती हैं जब प्राथमिक परिवर्तन सिस्टम के समीकरण:

समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

किसी समीकरण में किसी अन्य समीकरण के संगत भागों को जोड़ना, शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

दो समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना।

मान लीजिए समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है

गाऊसी विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करने की प्रक्रिया में दो चरण होते हैं। पहले चरण (प्रत्यक्ष गति) में, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए सिस्टम को कम कर दिया जाता है चरणबद्ध , या त्रिकोणीय मन, और दूसरे चरण में ( उलटा स्ट्रोक) अंतिम चर संख्या से प्रारंभ करके, परिणामी चरण प्रणाली से अज्ञात का क्रमिक निर्धारण होता है।

आइए मान लें कि इस प्रणाली का गुणांक
, अन्यथा सिस्टम में पहली पंक्ति को किसी अन्य पंक्ति के साथ बदला जा सकता है ताकि गुणांक पर हो शून्य से भिन्न था.

आइए अज्ञात को ख़त्म करके सिस्टम को बदलें पहले को छोड़कर सभी समीकरणों में। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ पद दर पद जोड़ें। फिर पहले समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें और इसे सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ें। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है

यहाँ
- गुणांकों और मुक्त पदों के नए मान जो पहले चरण के बाद प्राप्त होते हैं।

इसी प्रकार मूल तत्व पर विचार करें
, अज्ञात को बाहर करें पहले और दूसरे को छोड़कर सिस्टम के सभी समीकरणों से। आइए इस प्रक्रिया को यथासंभव लंबे समय तक जारी रखें और परिणामस्वरूप हमें एक चरणबद्ध प्रणाली प्राप्त होगी

,

कहाँ ,
,…,- सिस्टम के मुख्य तत्व
.

यदि, सिस्टम को चरणबद्ध रूप में कम करने की प्रक्रिया में, समीकरण प्रकट होते हैं, यानी, फॉर्म की समानताएं
, चूंकि वे संख्याओं के किसी भी सेट से संतुष्ट होते हैं, इसलिए उन्हें खारिज कर दिया जाता है
.
मैं मोटा दिखाई देगाप्रपत्र का समीकरण

, जिसका कोई समाधान नहीं है, तो यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है। रिवर्स स्ट्रोक के दौरान, पहले अज्ञात को परिवर्तित चरण प्रणाली के अंतिम समीकरण से व्यक्त किया जाता है
अन्य सभी अज्ञात के माध्यम से जिन्हें कहा जाता है . मुक्त फिर परिवर्तनशील अभिव्यक्ति
सिस्टम के अंतिम समीकरण को अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और चर को इससे व्यक्त किया जाता है
. वेरिएबल्स को एक समान तरीके से क्रमिक रूप से परिभाषित किया गया है
. चर , मुक्त चर के माध्यम से व्यक्त, कहा जाता है बुनियादी

(आश्रित)। परिणाम रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक सामान्य समाधान है। ढूँढ़ने के लिए निजी समाधान
सिस्टम, मुक्त अज्ञात
.

सामान्य समाधान में मनमाना मान निर्दिष्ट किए जाते हैं और चर के मानों की गणना की जाती है

.

यह तकनीकी रूप से अधिक सुविधाजनक है कि प्राथमिक परिवर्तनों को स्वयं सिस्टम समीकरणों के अधीन नहीं किया जाए, बल्कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के अधीन किया जाए
गॉस विधि एक सार्वभौमिक विधि है जो आपको न केवल वर्गाकार, बल्कि आयताकार प्रणालियों को भी हल करने की अनुमति देती है जिसमें अज्ञात की संख्या होती है
.

समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं
इस पद्धति का लाभ यह भी है कि हल करने की प्रक्रिया में हम एक साथ संगतता के लिए सिस्टम की जांच करते हैं, क्योंकि, विस्तारित मैट्रिक्स दिया गया है चरणबद्ध रूप से, मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना आसान है
और विस्तारित मैट्रिक्स और आवेदन करें .

उदाहरण 2.1गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान. समीकरणों की संख्या
और अज्ञात की संख्या
.

आइए मैट्रिक्स के दाईं ओर गुणांक निर्दिष्ट करके सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं निःशुल्क सदस्य कॉलम .

आइए मैट्रिक्स प्रस्तुत करें को त्रिकोणीय दृश्य; ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मुख्य विकर्ण पर स्थित तत्वों के नीचे "0" प्राप्त करेंगे।

पहले कॉलम की दूसरी स्थिति में "0" प्राप्त करने के लिए, पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करें और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ें।

हम इस परिवर्तन को पहली पंक्ति के सामने संख्या (-1) के रूप में लिखते हैं और इसे पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति तक जाने वाले तीर से दर्शाते हैं।

पहले कॉलम की तीसरी स्थिति में "0" प्राप्त करने के लिए, पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें; आइए इस क्रिया को पहली पंक्ति से तीसरी तक जाने वाले तीर का उपयोग करके दिखाएं।

.

परिणामी मैट्रिक्स में, मैट्रिक्स की श्रृंखला में दूसरे स्थान पर लिखे जाने पर, हमें दूसरे कॉलम में तीसरे स्थान पर "0" मिलता है। ऐसा करने के लिए, हमने दूसरी पंक्ति को (-4) से गुणा किया और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ दिया। परिणामी मैट्रिक्स में, दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें, और तीसरी को (-8) से विभाजित करें। इस मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों के नीचे स्थित सभी तत्व शून्य हैं।

क्योंकि , सिस्टम सहयोगात्मक और परिभाषित है।

अंतिम मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली का त्रिकोणीय रूप है:

अंतिम (तीसरे) समीकरण से
. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें
.

आइए स्थानापन्न करें
और
पहले समीकरण में, हम पाते हैं


.

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करना जारी रखते हैं। यह पाठ इस विषय पर तीसरा है। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि सामान्य रूप से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली क्या है, यदि आप एक चायदानी की तरह महसूस करते हैं, तो मैं अगले पृष्ठ पर मूल बातें शुरू करने की सलाह देता हूं, पाठ का अध्ययन करना उपयोगी है।

गाऊसी विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस को अपने जीवनकाल के दौरान सर्वकालिक महान गणितज्ञ, प्रतिभाशाली और यहां तक ​​कि "गणित के राजा" उपनाम से मान्यता मिली। और जैसा कि आप जानते हैं, हर सरल चीज़ सरल है!वैसे, न केवल मूर्खों को पैसा मिलता है, बल्कि प्रतिभाओं को भी मिलता है - गॉस का चित्र 10 Deutschmark बैंकनोट (यूरो की शुरूआत से पहले) पर था, और गॉस अभी भी साधारण डाक टिकटों से जर्मनों को रहस्यमय ढंग से मुस्कुराते हैं।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि पांचवीं कक्षा के छात्र का ज्ञान इसमें महारत हासिल करने के लिए पर्याप्त है। आपको जोड़ना और गुणा करना आना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि शिक्षक अक्सर स्कूली गणित ऐच्छिक में अज्ञात को क्रमिक रूप से बाहर करने की विधि पर विचार करते हैं। यह एक विरोधाभास है, लेकिन छात्रों को गाऊसी पद्धति सबसे कठिन लगती है। आश्चर्य की कोई बात नहीं - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिदम के बारे में सुलभ रूप में बात करने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में थोड़ा ज्ञान व्यवस्थित करें। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) एक अनोखा समाधान रखें। 2) अनंत रूप से अनेक समाधान हों। 3) कोई समाधान नहीं है (होना गैर संयुक्त).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और सार्वभौमिक उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली. जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिऐसे मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम में असीमित रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। और अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि फिर भीहमें उत्तर तक ले जाएगा! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, एक लेख बिंदु नंबर 2-3 की स्थितियों के लिए समर्पित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि का एल्गोरिदम स्वयं तीनों मामलों में समान काम करता है।

चलिए वापस चलते हैं सबसे सरल प्रणालीकक्षा से रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?और इसे गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स: . मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है कि गुणांक किस सिद्धांत से लिखे गए हैं। मैट्रिक्स के अंदर की ऊर्ध्वाधर रेखा का कोई गणितीय अर्थ नहीं है - यह केवल डिज़ाइन की आसानी के लिए एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ : मेरा सुझाव है कि आप याद रखें शर्तें लीनियर अलजेब्रा। सिस्टम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जो केवल अज्ञात के गुणांकों से बना है, इस उदाहरण में सिस्टम का मैट्रिक्स: . विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स - इस मामले में, यह सिस्टम का वही मैट्रिक्स और मुफ़्त शब्दों का एक कॉलम है: . संक्षिप्तता के लिए, किसी भी मैट्रिक्स को केवल मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन मौजूद हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स कर सकना को पुनर्व्यवस्थितकुछ स्थानों में। उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को दर्द रहित तरीके से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स आनुपातिक है (या प्रकट हुआ है)। विशेष मामला– समरूप) पंक्तियाँ, तो यह अनुसरण करता है मिटानाएक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ मैट्रिक्स से हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी होनी चाहिए मिटाना. बेशक, मैं नहीं खींचूंगा, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें सभी शून्य.

4) मैट्रिक्स पंक्ति हो सकती है गुणा करना (विभाजित करना)किसी भी संख्या में शून्येतर. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहां पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करने और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . यह क्रिया बहुत उपयोगी है क्योंकि यह मैट्रिक्स के आगे के परिवर्तनों को सरल बनाती है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति के लिए आप कर सकते हैं किसी संख्या से गुणा करके एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। के हमारे मैट्रिक्स पर विचार करें व्यावहारिक उदाहरण: . सबसे पहले मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूँगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , और दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं: . अब पहली पंक्ति को "वापस" -2: से विभाजित किया जा सकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, जो लाइन ADD है ली – नहीं बदला है. हमेशाजिस पंक्ति में जोड़ा गया है वह बदल जाती है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, बेशक, वे इसे इतने विस्तार से नहीं लिखते हैं, लेकिन इसे संक्षेप में लिखते हैं: एक बार फिर: दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ा गया. एक पंक्ति को आमतौर पर मौखिक रूप से या ड्राफ्ट पर गुणा किया जाता है, जिसमें मानसिक गणना प्रक्रिया कुछ इस तरह होती है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं: »

“पहला कॉलम. सबसे नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं शीर्ष पर वाले को -2: से गुणा करता हूं, और पहले वाले को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

“अब दूसरा कॉलम. शीर्ष पर, मैं -1 को -2 से गुणा करता हूँ:। मैं पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

“और तीसरा कॉलम। शीर्ष पर मैं -5 को -2 से गुणा करता हूं:। मैं पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण को ध्यान से समझें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गाऊसी विधि व्यावहारिक रूप से आपकी जेब में है। लेकिन, निश्चित रूप से, हम अभी भी इस परिवर्तन पर काम करेंगे।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान: जोड़-तोड़ पर विचार किया गया उपयोग नहीं कर सकते, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहां मैट्रिक्स "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "शास्त्रीय" के साथ मैट्रिक्स के साथ संचालनकिसी भी परिस्थिति में आपको मैट्रिक्स के अंदर कुछ भी पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए! आइए अपने सिस्टम पर वापस लौटें। इसे व्यावहारिक रूप से टुकड़ों में ले जाया जाता है।

आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया। और फिर: हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा क्यों करते हैं? नीचे शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य – मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करें: . कार्य के डिज़ाइन में, वे बस एक साधारण पेंसिल से "सीढ़ियों" को चिह्नित करते हैं, और "कदमों" पर स्थित संख्याओं पर भी गोला बनाते हैं। शब्द "स्टेप्ड व्यू" अपने आप में पूरी तरह से सैद्धांतिक नहीं है, वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्यइसे अक्सर कहा जाता है समलम्बाकार दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया समकक्षसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनवाइंड" करने की आवश्यकता है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.

निचले समीकरण में हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है:।

आइए सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और इसमें "y" के पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें:

आइए सबसे आम स्थिति पर विचार करें, जब गाऊसी विधि को तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स लिखें:

अब मैं तुरंत वह परिणाम निकालूंगा जिस पर हम समाधान के दौरान पहुंचेंगे: और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में लाना है। कहां से शुरू करें?

सबसे पहले, शीर्ष बाएँ नंबर को देखें: लगभग हमेशा यहीं रहना चाहिए इकाई. आम तौर पर कहें तो, -1 (और कभी-कभी अन्य संख्याएं) भी काम करेंगी, लेकिन पारंपरिक रूप से ऐसा होता आया है कि आमतौर पर एक को वहां रखा जाता है। किसी इकाई को कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक तैयार इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. अब ठीक है.

ऊपरी बाएँ कोने में इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन स्थानों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

हमें "कठिन" परिवर्तन का उपयोग करके शून्य मिलते हैं। पहले हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। शून्य को प्रथम स्थान पर लाने के लिए क्या करना होगा? करने की जरूरत है दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: (-2, -4, 2, -18)। और हम लगातार (फिर से मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर) जोड़-तोड़ करते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे पहले से ही -2 से गुणा किया गया है:

हम परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखते हैं:

हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से भी इसी तरह निपटते हैं। प्रथम स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, पहली पंक्ति को -3 से गुणा करें: (-3, -6, 3, -27)। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ते हैं:

हम परिणाम को तीसरी पंक्ति में लिखते हैं:

व्यवहार में, ये क्रियाएं आमतौर पर मौखिक रूप से की जाती हैं और एक चरण में लिखी जाती हैं:

हर चीज़ को एक बार में और एक ही समय में गिनने की ज़रूरत नहीं है. गणनाओं का क्रम और परिणामों को "लिखना"। सुसंगतऔर आमतौर पर यह इस तरह होता है: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और धीरे-धीरे खुद पर कश लगाते हैं - लगातार और ध्यानपूर्वक:
और गणनाओं की मानसिक प्रक्रिया पर मैं पहले ही ऊपर चर्चा कर चुका हूँ।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है; हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (क्योंकि वहां सभी संख्याएं बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य हैं)। साथ ही, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्याएँ जितनी छोटी होंगी, समाधान उतना ही सरल होगा:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, आपको यहां एक और शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं:
इस क्रिया को स्वयं समझने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ करें।

अंतिम क्रिया परिणाम का केश विन्यास है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त हुई: ठंडा।

अब गाऊसी पद्धति का उल्टा चलन में आता है। समीकरण नीचे से ऊपर तक "खुलते" हैं।

तीसरे समीकरण में हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण पर नजर डालें: . "ज़ेट" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "इग्रेक" और "ज़ेट" ज्ञात हैं, यह केवल छोटी चीज़ों की बात है:

उत्तर:

जैसा कि पहले ही कई बार नोट किया जा चुका है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए पाए गए समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह आसान और त्वरित है।

उदाहरण 2

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण, अंतिम डिज़ाइन का एक नमूना और पाठ के अंत में एक उत्तर है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका निर्णय की प्रगतिहो सकता है कि यह मेरी निर्णय प्रक्रिया से मेल न खाए, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन उत्तर वही होने चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। हमारे पास वहां एक होना चाहिए. समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई इकाइयाँ ही नहीं हैं, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ भी हल नहीं होगा। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। मैंने यह किया: (1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है. यानी हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमारे लिए काफी उपयुक्त है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त गतिविधि कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (उसका चिह्न बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और इसे दूसरे स्थान पर ले जाया गया, ताकि दूसरे "चरण" पर हमारे पास आवश्यक इकाई हो।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो गणना में त्रुटि का संकेत देता है (अधिक दुर्लभ रूप से, एक टाइपो) एक "खराब" निचली रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिलता है, और, तदनुसार, , तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्रारंभिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि हुई थी।

हम इसके विपरीत चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिज़ाइन में वे अक्सर सिस्टम को फिर से नहीं लिखते हैं, लेकिन समीकरण "सीधे दिए गए मैट्रिक्स से लिए जाते हैं।" मैं आपको याद दिला दूं कि रिवर्स स्ट्रोक नीचे से ऊपर की ओर काम करता है। हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है, यह कुछ हद तक अधिक जटिल है। अगर कोई भ्रमित हो जाए तो कोई बात नहीं. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और नमूना डिज़ाइन। आपका समाधान मेरे समाधान से भिन्न हो सकता है.

अंतिम भाग में हम गॉसियन एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं को देखेंगे। पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम समीकरणों से कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए: विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स को सही ढंग से कैसे लिखें? मैंने पहले ही कक्षा में इस बिंदु के बारे में बात की थी। क्रैमर का नियम. मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लुप्त चर के स्थान पर शून्य डालते हैं: वैसे, यह एक काफी आसान उदाहरण है, क्योंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और प्रदर्शन करने के लिए कम प्राथमिक परिवर्तन हैं।

दूसरी विशेषता यह है. विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने "चरणों" पर या तो -1 या +1 रखा है। क्या वहां अन्य संख्याएं भी हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं. सिस्टम पर विचार करें: .

यहां ऊपर बाईं ओर "चरण" में दो हैं। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 2 से विभाज्य हैं - और दूसरे में दो और छह हैं। और ऊपर बाईं ओर के दो हमारे लिए उपयुक्त होंगे! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने होंगे: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें। इस प्रकार हमें पहले कॉलम में आवश्यक शून्य प्राप्त होंगे।

या इस तरह का कुछ सशर्त उदाहरण: . यहां दूसरे "चरण" पर तीन भी हमारे लिए उपयुक्त है, क्योंकि 12 (वह स्थान जहां हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है) शेषफल के बिना 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें आवश्यक शून्य प्राप्त होगा।

गॉस की विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक विशिष्टता भी है। अन्य तरीकों (क्रैमर विधि,) का उपयोग करके सिस्टम को हल करना आत्मविश्वास से सीखें मैट्रिक्स विधि) आप सचमुच पहली बार ऐसा कर सकते हैं - एक बहुत सख्त एल्गोरिदम है। लेकिन गॉसियन पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपने दाँत लगाने चाहिए" और कम से कम 5-10 दस प्रणालियों को हल करना चाहिए। इसलिए, सबसे पहले गणना में भ्रम और त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम.... इसलिए, उन सभी के लिए जो स्वयं हल करने के लिए अधिक जटिल उदाहरण चाहते हैं:

उदाहरण 5

गॉस विधि का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ 4 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि यहां तक ​​कि एक चायदानी जिसने इस पृष्ठ का पूरी तरह से अध्ययन किया है, वह ऐसी प्रणाली को सहजता से हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझ जाएगा। मूलतः सब कुछ वैसा ही है - बस अधिक क्रियाएँ हैं।

ऐसे मामले जब सिस्टम में कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीमित रूप से कई समाधान हैं, तो पाठ में चर्चा की गई है एक समान समाधान के साथ असंगत प्रणालियाँ और प्रणालियाँ. वहां आप गॉसियन विधि के सुविचारित एल्गोरिदम को ठीक कर सकते हैं।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान : आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं।
प्राथमिक परिवर्तन किए गए: (1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। ध्यान! यहां आप तीसरी पंक्ति से पहली को घटाने के लिए प्रलोभित हो सकते हैं; मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि इसे न घटाएं - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। बस इसे मोड़ो! (2) दूसरी पंक्ति का चिह्न बदल दिया गया (-1 से गुणा किया गया)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली कर दी गई है। टिप्पणी , कि "कदमों" पर हम न केवल एक से संतुष्ट हैं, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है। (3) दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। (4) दूसरी पंक्ति का चिह्न बदल दिया गया (-1 से गुणा किया गया)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

रिवर्स:

उत्तर : .

उदाहरण 4: समाधान : आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

किए गए रूपांतरण: (1) पहली पंक्ति में एक दूसरी पंक्ति जोड़ी गई। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "चरण" पर व्यवस्थित होती है। (2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" से सब कुछ खराब हो जाता है , इसके लिए "उम्मीदवार" संख्या 17 और 23 हैं, और हमें या तो एक या -1 की आवश्यकता है। परिवर्तन (3) और (4) का उद्देश्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा (3) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। (4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरे चरण पर आवश्यक वस्तु प्राप्त हो गई है। . (5) दूसरी पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। (6) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया गया, तीसरी पंक्ति को -83 से विभाजित किया गया।

रिवर्स:

उत्तर :

उदाहरण 5: समाधान : आइए सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

किए गए रूपांतरण: (1) पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली कर दी गई है। (2) पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया। (3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, 4 से गुणा किया गया। दूसरी पंक्ति को चौथी पंक्ति में जोड़ा गया, -1 से गुणा किया गया। (4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया। चौथी पंक्ति को 3 से विभाजित करके तीसरी पंक्ति के स्थान पर रखा गया। (5) तीसरी पंक्ति को -5 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

रिवर्स:

उत्तर :

मान लीजिए कि सिस्टम दिया गया है, ∆≠0. (1)
गॉस विधिअज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की एक विधि है।

गॉस विधि का सार (1) को त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ एक प्रणाली में बदलना है, जिससे सभी अज्ञात के मान क्रमिक रूप से (उल्टे) प्राप्त होते हैं। आइए कम्प्यूटेशनल योजनाओं में से एक पर विचार करें। इस सर्किट को सिंगल डिवीजन सर्किट कहा जाता है। तो आइए इस आरेख को देखें। मान लीजिए कि 11 ≠0 (अग्रणी तत्व) पहले समीकरण को 11 से विभाजित करता है। हम पाते हैं
(2)
समीकरण (2) का उपयोग करके, सिस्टम के शेष समीकरणों से अज्ञात x 1 को हटाना आसान है (ऐसा करने के लिए, प्रत्येक समीकरण से समीकरण (2) को घटाना पर्याप्त है, पहले x 1 के लिए संबंधित गुणांक से गुणा किया गया था) , अर्थात्, पहले चरण में हम प्राप्त करते हैं
.
दूसरे शब्दों में, चरण 1 पर, बाद की पंक्तियों का प्रत्येक तत्व, दूसरे से शुरू होकर, मूल तत्व और पहले कॉलम और पहली (रूपांतरित) पंक्ति पर उसके "प्रक्षेपण" के उत्पाद के बीच अंतर के बराबर है।
इसके बाद, पहले समीकरण को अकेला छोड़कर, हम पहले चरण में प्राप्त सिस्टम के शेष समीकरणों पर एक समान परिवर्तन करते हैं: हम उनमें से अग्रणी तत्व वाले समीकरण का चयन करते हैं और, इसकी मदद से, शेष से x 2 को बाहर कर देते हैं। समीकरण (चरण 2)।
n चरणों के बाद, (1) के बजाय, हमें एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है
(3)
इस प्रकार, पहले चरण में हमें एक त्रिकोणीय प्रणाली (3) प्राप्त होती है। इस चरण को फॉरवर्ड स्ट्रोक कहा जाता है।
दूसरे चरण (रिवर्स) में, हम क्रमिक रूप से (3) से x n, x n -1, ..., x 1 मान पाते हैं।
आइए हम परिणामी समाधान को x 0 के रूप में निरूपित करें। फिर अंतर ε=b-A x 0 अवशिष्ट कहा जाता है.
यदि ε=0, तो पाया गया समाधान x 0 सही है।

गाऊसी पद्धति का उपयोग करके गणना दो चरणों में की जाती है:

1. पहले चरण को आगे की विधि कहा जाता है। पहले चरण में, मूल प्रणाली को त्रिकोणीय रूप में परिवर्तित किया जाता है।
2. दूसरे चरण को रिवर्स स्ट्रोक कहा जाता है। दूसरे चरण में, मूल के समतुल्य एक त्रिकोणीय प्रणाली को हल किया जाता है।

गुणांक a 11, a 22, ... को अग्रणी तत्व कहा जाता है।
प्रत्येक चरण में, अग्रणी तत्व को गैर-शून्य माना गया था। यदि यह मामला नहीं है, तो किसी अन्य तत्व को अग्रणी तत्व के रूप में उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना।

गॉस विधि का उद्देश्य

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए डिज़ाइन की गई है। प्रत्यक्ष समाधान विधियों को संदर्भित करता है।

गाऊसी विधि के प्रकार

1. शास्त्रीय गाऊसी विधि;
2. गॉस विधि का संशोधन. गाऊसी विधि के संशोधनों में से एक मुख्य तत्व की पसंद के साथ एक योजना है। मुख्य तत्व की पसंद के साथ गॉस विधि की एक विशेषता समीकरणों की ऐसी पुनर्व्यवस्था है ताकि kth चरण पर अग्रणी तत्व kth कॉलम में सबसे बड़ा तत्व बन जाए।
3. जॉर्डनो-गॉस विधि;

जॉर्डनो-गॉस पद्धति और शास्त्रीय पद्धति के बीच अंतर गॉस विधिइसमें आयत नियम को लागू करना शामिल है, जब समाधान की खोज की दिशा मुख्य विकर्ण (पहचान मैट्रिक्स में परिवर्तन) के साथ होती है। गॉस विधि में, समाधान की खोज की दिशा स्तंभों के साथ होती है (त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले सिस्टम में परिवर्तन)।
आइए अंतर स्पष्ट करें जॉर्डनो-गॉस विधिगॉसियन विधि से उदाहरण सहित।

गाऊसी विधि का उपयोग करके समाधान का उदाहरण
आइए सिस्टम को हल करें:

गणना में आसानी के लिए, आइए पंक्तियों की अदला-बदली करें:

आइए दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ें

पहली पंक्ति से हम x 3 व्यक्त करते हैं:
दूसरी पंक्ति से हम x 2 व्यक्त करते हैं:
तीसरी पंक्ति से हम x 1 व्यक्त करते हैं:

जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करके समाधान का एक उदाहरण
आइए हम जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करके उसी SLAE को हल करें।

हम क्रमिक रूप से समाधान तत्व आरई का चयन करेंगे, जो मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर स्थित है।
संकल्प तत्व (1) के बराबर है।



एनई = एसई - (ए*बी)/आरई
आरई - समाधान तत्व (1), ए और बी - मैट्रिक्स तत्व एसटीई और आरई तत्वों के साथ एक आयत बनाते हैं।
आइए प्रत्येक तत्व की गणना एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें:

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	बी
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

समाधान करने वाला तत्व (3) के बराबर है।
समाधान करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 मिलता है, और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व, आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, हम चार संख्याओं का चयन करते हैं जो आयत के शीर्षों पर स्थित हैं और हमेशा समाधान करने वाला तत्व RE शामिल करते हैं।

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	बी
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

रिज़ॉल्यूशन तत्व (-4) है।
समाधान करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 मिलता है, और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व, आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, हम चार संख्याओं का चयन करते हैं जो आयत के शीर्षों पर स्थित हैं और हमेशा समाधान करने वाला तत्व RE शामिल करते हैं।
आइए प्रत्येक तत्व की गणना एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें:

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	बी
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

उत्तर: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

गाऊसी पद्धति का कार्यान्वयन

गॉसियन पद्धति कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू की जाती है, विशेष रूप से: पास्कल, सी++, पीएचपी, डेल्फ़ी, और गॉसियन पद्धति का एक ऑनलाइन कार्यान्वयन भी है।

गाऊसी पद्धति का उपयोग करना

गेम थ्योरी में गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

गेम थ्योरी में, किसी खिलाड़ी की मैक्सिमम इष्टतम रणनीति का पता लगाते समय, समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे गाऊसी विधि द्वारा हल किया जाता है।

विभेदक समीकरणों को हल करने में गॉस विधि का अनुप्रयोग

किसी अवकल समीकरण का विशेष समाधान खोजने के लिए, पहले लिखित आंशिक समाधान (y=f(A,B,C,D)) के लिए उचित डिग्री के व्युत्पन्न खोजें, जिन्हें इसमें प्रतिस्थापित किया जाता है मूल समीकरण. खोजने के लिए अगला चर ए, बी, सी, डीगाऊसी विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली संकलित और हल की जाती है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में जॉर्डनो-गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

में रैखिक प्रोग्रामिंग, विशेष रूप से, सिंप्लेक्स विधि में, आयत नियम, जो जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करता है, का उपयोग प्रत्येक पुनरावृत्ति पर सिंप्लेक्स तालिका को बदलने के लिए किया जाता है।

गाऊसी पद्धति की परिभाषा एवं विवरण

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गाऊसी परिवर्तन विधि (जिसे समीकरण या मैट्रिक्स से अज्ञात चर के अनुक्रमिक उन्मूलन की विधि के रूप में भी जाना जाता है) है क्लासिक विधिओम सिस्टम समाधान बीजगणितीय समीकरण(एसएलएयू)। इस शास्त्रीय विधि का उपयोग प्राप्त करने जैसी समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है व्युत्क्रम आव्यूहऔर मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना।

गॉसियन विधि का उपयोग करके परिवर्तन में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली में छोटे (प्राथमिक) अनुक्रमिक परिवर्तन करना शामिल है, जिससे समीकरणों की एक नई त्रिकोणीय प्रणाली के गठन के साथ ऊपर से नीचे तक चर का उन्मूलन होता है जो मूल के बराबर होता है एक।

परिभाषा 1

समाधान के इस भाग को कहा जाता है आगे का स्ट्रोकगाऊसी समाधान, चूंकि पूरी प्रक्रिया ऊपर से नीचे तक की जाती है।

समीकरणों की मूल प्रणाली को त्रिकोणीय बनाने के बाद, हम सभी पाते हैं सिस्टम चरनीचे से ऊपर तक (अर्थात, पाया गया पहला चर सिस्टम या मैट्रिक्स की बिल्कुल अंतिम पंक्तियों पर कब्जा कर लेता है)। समाधान के इस भाग को गाऊसी समाधान के व्युत्क्रम के रूप में भी जाना जाता है। उनका एल्गोरिथ्म इस प्रकार है: सबसे पहले, समीकरणों या मैट्रिक्स की प्रणाली के निचले भाग के निकटतम चर की गणना की जाती है, फिर परिणामी मानों को उच्चतर प्रतिस्थापित किया जाता है और इस प्रकार एक और चर पाया जाता है, और इसी तरह।

गाऊसी विधि एल्गोरिथ्म का विवरण

गॉसियन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली के सामान्य समाधान के लिए क्रियाओं के अनुक्रम में SLAE के आधार पर मैट्रिक्स पर आगे और पीछे के स्ट्रोक को वैकल्पिक रूप से लागू करना शामिल है। मान लीजिए कि समीकरणों की प्रारंभिक प्रणाली का रूप निम्नलिखित है:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \... \ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(मामले)$

गॉसियन पद्धति का उपयोग करके SLAE को हल करने के लिए, समीकरणों की मूल प्रणाली को मैट्रिक्स के रूप में लिखना आवश्यक है:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & ... & a_(1n) \\ \vdots & ... & \vdots \\ a_(m1) & ... & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

मैट्रिक्स $A$ को मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है और क्रम में लिखे गए चर के गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है, और $b$ को इसके मुक्त शब्दों का कॉलम कहा जाता है। मुक्त पदों के एक कॉलम के साथ एक बार के माध्यम से लिखे गए मैट्रिक्स $A$ को विस्तारित मैट्रिक्स कहा जाता है:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & ... & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & ... & \vdots & ...\\ a_(m1) & ... & a_( एमएन) और बी_एम \end(सरणी)$

अब समीकरणों की प्रणाली (या मैट्रिक्स पर, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक है) पर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे निम्नलिखित रूप में लाना आवश्यक है:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \ ...\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

समीकरण (1) के परिवर्तित सिस्टम के गुणांकों से प्राप्त मैट्रिक्स को स्टेप मैट्रिक्स कहा जाता है, स्टेप मैट्रिक्स आमतौर पर इस तरह दिखते हैं:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) और b_3 \end(सरणी)$

इन मैट्रिक्स को गुणों के निम्नलिखित सेट द्वारा दर्शाया गया है:

1. इसकी सभी शून्य रेखाएँ गैर-शून्य रेखाओं के बाद आती हैं
2. यदि $k$ संख्या वाले मैट्रिक्स की कुछ पंक्ति गैर-शून्य है, तो उसी मैट्रिक्स की पिछली पंक्ति में $k$ संख्या वाले इस मैट्रिक्स की तुलना में कम शून्य हैं।

चरण मैट्रिक्स प्राप्त करने के बाद, परिणामी चर को शेष समीकरणों (अंत से शुरू) में प्रतिस्थापित करना और चर के शेष मान प्राप्त करना आवश्यक है।

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय बुनियादी नियम और अनुमत परिवर्तन

इस पद्धति का उपयोग करके मैट्रिक्स या समीकरणों की प्रणाली को सरल बनाते समय, आपको केवल प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

ऐसे परिवर्तनों को ऐसे ऑपरेशन माना जाता है जिन्हें मैट्रिक्स या समीकरणों की प्रणाली पर इसका अर्थ बदले बिना लागू किया जा सकता है:

• कई पंक्तियों की पुनर्व्यवस्था,
• किसी मैट्रिक्स की एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति जोड़ना या घटाना,
• किसी स्ट्रिंग को शून्य के बराबर न होने वाले स्थिरांक से गुणा या विभाजित करना,
• सिस्टम की गणना और सरलीकरण की प्रक्रिया में प्राप्त केवल शून्य वाली एक पंक्ति को हटा दिया जाना चाहिए,
• आपको अनावश्यक आनुपातिक रेखाओं को हटाने की भी आवश्यकता है, सिस्टम के लिए केवल वही गुणांक चुनें जो आगे की गणना के लिए अधिक उपयुक्त और सुविधाजनक हो।

सभी प्राथमिक परिवर्तन प्रतिवर्ती हैं।

सरल गॉस परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करते समय उत्पन्न होने वाले तीन मुख्य मामलों का विश्लेषण

सिस्टम को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय तीन मामले सामने आते हैं:

1. जब कोई प्रणाली असंगत होती है, अर्थात उसका कोई समाधान नहीं होता है
2. समीकरणों की प्रणाली में एक समाधान होता है, और एक अद्वितीय होता है, और मैट्रिक्स में गैर-शून्य पंक्तियों और स्तंभों की संख्या एक दूसरे के बराबर होती है।
3. सिस्टम में एक निश्चित मात्रा या सेट होता है संभव समाधान, और इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से कम है।

एक असंगत प्रणाली के साथ समाधान का परिणाम

इस विकल्प के लिए, हल करते समय मैट्रिक्स समीकरणगॉस विधि को समानता को पूरा करने की असंभवता के साथ कुछ रेखा प्राप्त करने की विशेषता है। इसलिए, यदि कम से कम एक गलत समानता होती है, तो परिणामी और मूल प्रणालियों में समाधान नहीं होते हैं, भले ही उनमें अन्य समीकरण हों। असंगत मैट्रिक्स का एक उदाहरण:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

अंतिम पंक्ति में एक असंभव समानता है: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

समीकरणों की एक प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है

ये सिस्टम, एक चरण मैट्रिक्स में कम होने और शून्य वाली पंक्तियों को हटाने के बाद, मुख्य मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या रखते हैं। यहाँ सबसे सरल उदाहरणऐसी व्यवस्था:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

आइए इसे मैट्रिक्स के रूप में लिखें:

$\begin(सरणी)(cc|c) 1 और -1 और -5 \\ 2 और 1 और -7 \end(सरणी)$

दूसरी पंक्ति की पहली सेल को शून्य पर लाने के लिए, हम शीर्ष पंक्ति को $-2$ से गुणा करते हैं और इसे मैट्रिक्स की निचली पंक्ति से घटाते हैं, और शीर्ष पंक्ति को उसके मूल रूप में छोड़ देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें निम्नलिखित मिलता है :

$\begin(सरणी)(cc|c) 1 और -1 और -5 \\ 0 और 3 और 10 \end(सरणी)$

इस उदाहरण को एक सिस्टम के रूप में लिखा जा सकता है:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

निचला समीकरण $x$ के लिए निम्नलिखित मान उत्पन्न करता है: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. इस मान को ऊपरी समीकरण में रखें: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, हमें $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ मिलता है।

कई संभावित समाधानों वाली एक प्रणाली

इस प्रणाली की विशेषता इसमें स्तंभों की संख्या की तुलना में महत्वपूर्ण पंक्तियों की कम संख्या है (मुख्य मैट्रिक्स की पंक्तियों को ध्यान में रखा जाता है)।

ऐसी प्रणाली में चर को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है: मूल और मुफ़्त। ऐसी प्रणाली को परिवर्तित करते समय, इसमें मौजूद मुख्य चर को बाएं क्षेत्र में "=" चिह्न तक छोड़ दिया जाना चाहिए, और शेष चर को स्थानांतरित किया जाना चाहिए दाहिनी ओरसमानता.

ऐसी प्रणाली का केवल एक निश्चित सामान्य समाधान होता है।

आइए इसे सुलझाएं निम्नलिखित प्रणालीसमीकरण:

$\शुरू(मामले) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \अंत(मामले)$

आइए इसे मैट्रिक्स के रूप में लिखें:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

हमारा कार्य सिस्टम का सामान्य समाधान खोजना है। इस मैट्रिक्स के लिए, आधार चर $y_1$ और $y_3$ होंगे ($y_1$ के लिए - क्योंकि यह पहले आता है, और $y_3$ के मामले में - यह शून्य के बाद स्थित है)।

आधार चर के रूप में, हम बिल्कुल उन्हीं को चुनते हैं जो पंक्ति में पहले हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं।

शेष चरों को मुक्त कहा जाता है; हमें उनके माध्यम से मूल चरों को व्यक्त करने की आवश्यकता है।

तथाकथित रिवर्स स्ट्रोक का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम का नीचे से ऊपर तक विश्लेषण करते हैं, ऐसा करने के लिए, हम पहले सिस्टम की निचली पंक्ति से $y_3$ व्यक्त करते हैं:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

अब हम व्यक्त $y_3$ को सिस्टम के ऊपरी समीकरण $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ में प्रतिस्थापित करते हैं: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) +y_4 = 1$

हम $y_1$ को निःशुल्क चर $y_2$ और $y_4$ के रूप में व्यक्त करते हैं:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

समाधान तैयार है.

उदाहरण 1

गॉसियन विधि का उपयोग करके स्लॉ को हल करें। उदाहरण। गॉसियन विधि का उपयोग करके 3 बटा 3 मैट्रिक्स द्वारा दिए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

$\begin(केस) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(केस)$

आइए अपने सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में लिखें:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

अब, सुविधा और व्यावहारिकता के लिए, आपको मैट्रिक्स को बदलने की आवश्यकता है ताकि $1$ सबसे बाहरी कॉलम के ऊपरी कोने में हो।

ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति में आपको मध्य से रेखा को $-1$ से गुणा करके जोड़ना होगा, और मध्य रेखा को वैसे ही लिखना होगा जैसे वह है:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

शीर्ष और अंतिम पंक्तियों को $-1$ से गुणा करें, और अंतिम और मध्य पंक्तियों को भी स्वैप करें:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

और अंतिम पंक्ति को $3$ से विभाजित करें:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

हमें मूल समीकरण के समतुल्य समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

$\begin(केस) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(केस)$

ऊपरी समीकरण से हम $x_1$ व्यक्त करते हैं:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

उदाहरण 2

गॉसियन विधि का उपयोग करके 4 बाय 4 मैट्रिक्स का उपयोग करके परिभाषित प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

$\begin(array)(cccc|c) 2 और 5 और 4 और 1 और 20 \\ 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 2 और 10 और 9 और 7 और 40\\ 3 और 8 और 9 और 2 और 37 \\ \end(सरणी)$।

शुरुआत में, हम ऊपरी बाएँ कोने में $1$ प्राप्त करने के लिए इसके बाद की शीर्ष पंक्तियों को स्वैप करते हैं:

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 2 और 5 और 4 और 1 और 20 \\ 2 और 10 और 9 और 7 और 40\\ 3 और 8 और 9 और 2 और 37 \\ \end(सरणी)$।

अब शीर्ष पंक्ति को $-2$ से गुणा करें और दूसरे और तीसरे में जोड़ें। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे $-3$ से गुणा किया जाता है:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 और 3 और -1 और 4 \\ \end(सरणी)$

अब पंक्ति संख्या 3 में हम पंक्ति 2 को $4$ से गुणा करके जोड़ते हैं, और पंक्ति 4 में हम पंक्ति 2 को $-1$ से गुणा करके जोड़ते हैं।

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और -1 और 0 और -1 और -2 \\ 0 और 0 और 5 और 1 और 10\\ 0 और 0 और 3 और 0 और 6 \\ \end(सरणी)$

हम पंक्ति 2 को $-1$ से गुणा करते हैं, और पंक्ति 4 को $3$ से विभाजित करते हैं और पंक्ति 3 को प्रतिस्थापित करते हैं।

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और 1 और 0 और 1 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और 2\\ 0 और 0 और 5 और 1 और 10 \\ \end(सरणी)$

अब हम अंतिम पंक्ति में $-5$ से गुणा करके अंतिम पंक्ति जोड़ते हैं।

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और 1 और 0 और 1 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और 2\\ 0 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ \end(सरणी)$

हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं:

$\begin(केस) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(केस)$