समीकरण क्या है किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? जब समीकरण के दोनों पक्षों को एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणाम एक ऐसा समीकरण होता है जो मूल के बराबर नहीं होता है

सामान्य तौर पर, कोई भी समीकरण होता है गणित का मॉडलकप स्केल (लीवर, इक्वल-आर्म, रॉकर - कई नाम हैं) का आविष्कार किया गया प्राचीन बेबीलोन 7000 साल पहले या उससे भी पहले. इसके अलावा, मैं तो यह भी सोचता हूं कि यह सबसे प्राचीन बाज़ारों में उपयोग किए जाने वाले कप स्केल थे जो समीकरणों का प्रोटोटाइप बन गए। और यदि आप किसी भी समीकरण को दो समानांतर छड़ियों से जुड़ी संख्याओं और अक्षरों के एक समझ से बाहर सेट के रूप में नहीं, बल्कि तराजू की तरह देखते हैं, तो बाकी सभी चीजों में कोई समस्या नहीं होगी:

कोई भी समीकरण संतुलित तराजू की तरह होता है

ऐसा ही होता है कि हमारे जीवन में हर दिन अधिक से अधिक समीकरण होते हैं, लेकिन समीकरण क्या है और इसका अर्थ क्या है, इसकी समझ कम होती जा रही है। किसी भी मामले में, मुझे यह आभास तब हुआ जब मैं अपनी बड़ी बेटी को एक सरल गणितीय समीकरण का अर्थ समझाने की कोशिश कर रहा था जैसे:

एक्स + 2 = 8 (500.1)

वे। स्कूल में, निश्चित रूप से, वे समझाते हैं कि ऐसे मामलों में, खोजने के लिए एक्स, आपको दाईं ओर से 2 घटाना होगा:

एक्स = 8 - 2 (500.3)

निःसंदेह, यह बिल्कुल है सही कार्रवाई, लेकिन घटाना क्यों आवश्यक है और उदाहरण के लिए, जोड़ना या विभाजित करना क्यों आवश्यक है, इसका स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में कोई स्पष्टीकरण नहीं है। बस एक नियम है जिसे आपको बस सीखना होगा:

जब किसी समीकरण के किसी सदस्य को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाता है, तो उसका चिह्न विपरीत में बदल जाता है.

10 साल के स्कूली बच्चे को इस नियम को कैसे समझना चाहिए और इसका अर्थ क्या है, यह सोचना और निर्णय लेना आपके ऊपर है। इसके अलावा, यह पता चला कि मेरे करीबी रिश्तेदारों ने भी समीकरणों का अर्थ कभी नहीं समझा, बल्कि केवल वही याद किया जो आवश्यक था (और विशेष रूप से उपरोक्त नियम), और उसके बाद ही भगवान की इच्छा के अनुसार इसे लागू किया। मुझे यह स्थिति पसंद नहीं आई, इसलिए मैंने यह लेख लिखने का फैसला किया (मेरा सबसे छोटा बच्चा बड़ा हो रहा है, कुछ वर्षों में उसे इसे फिर से समझाना होगा, और यह मेरी साइट के कुछ पाठकों के लिए भी उपयोगी हो सकता है) .

मैं तुरंत कहना चाहता हूं कि भले ही मैंने 10 साल तक स्कूल में पढ़ाई की, लेकिन मैंने कभी भी तकनीकी विषयों से संबंधित कोई नियम या परिभाषा नहीं सीखी। वे। अगर कुछ स्पष्ट है तो वह याद रहेगा, लेकिन अगर कुछ स्पष्ट नहीं है तो बिना मतलब समझे उसे रटने का क्या मतलब है, अगर वह वैसे भी भूल जाएगा? और इसके अलावा, अगर मुझे कुछ समझ में नहीं आता है, तो इसका मतलब है कि मुझे इसकी आवश्यकता नहीं है (मुझे हाल ही में एहसास हुआ कि अगर मुझे स्कूल में कुछ समझ नहीं आया, तो यह मेरी गलती नहीं थी, बल्कि शिक्षकों, पाठ्यपुस्तकों और की गलती थी) सामान्य रूप से शिक्षा प्रणालियाँ)।

इस दृष्टिकोण ने मुझे बहुत सारा खाली समय प्रदान किया, जिसकी बचपन में सभी प्रकार के खेलों और मनोरंजन के लिए बहुत कमी थी। उसी समय, मैंने भौतिकी और रसायन विज्ञान में विभिन्न ओलंपियाड में भाग लिया, और गणित में एक क्षेत्रीय प्रतियोगिता भी जीती। लेकिन समय बीतता गया, अमूर्त अवधारणाओं पर काम करने वाले विषयों की संख्या बढ़ती गई और, तदनुसार, मेरे ग्रेड कम हो गए। संस्थान के पहले वर्ष में, अमूर्त अवधारणाओं के साथ संचालित होने वाले विषयों की संख्या पूर्ण बहुमत थी और निश्चित रूप से, मैं पूर्ण सी का छात्र था। लेकिन फिर, जब कई कारणों से मुझे व्याख्यानों और नोट्स की मदद के बिना सामग्री की ताकत से निपटना पड़ा और मैंने इसे समझ लिया, तो चीजें आसानी से चल गईं और एक ऑनर्स डिप्लोमा के साथ समाप्त हो गईं। हालाँकि, यह अभी इस बारे में नहीं है, बल्कि इस तथ्य के बारे में है कि निर्दिष्ट विशिष्टताओं के कारण, मेरी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ स्कूल में पढ़ाई जाने वाली अवधारणाओं से काफी भिन्न हो सकती हैं।

अब चलिए जारी रखें

सबसे सरल समीकरण, तराजू के साथ सादृश्य

दरअसल, बच्चों को बचपन से ही विभिन्न वस्तुओं की तुलना करना सिखाया जाता है पूर्वस्कूली उम्र, जब वे अभी भी वास्तव में बोलना नहीं जानते। वे आम तौर पर ज्यामितीय तुलनाओं से शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए, एक बच्चे को दो घन दिखाए जाते हैं और बच्चे को यह निर्धारित करना होगा कि कौन सा घन बड़ा है और कौन सा छोटा है। और यदि वे समान हैं, तो यह आकार में समानता है। तब कार्य और अधिक जटिल हो जाता है, बच्चे को वस्तुएँ दिखाई जाती हैं विभिन्न रूप, अलग-अलग रंग और समान वस्तुओं का चयन करना एक बच्चे के लिए कठिन होता जा रहा है। हालाँकि, हम कार्य को इतना जटिल नहीं करेंगे, बल्कि केवल एक प्रकार की समानता - मौद्रिक-भार पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

जब तराजू एक ही क्षैतिज स्तर पर होते हैं (तराजू के तीर चित्र 500.1 में नारंगी रंग में दिखाए गए हैं और नीला, संयोग, क्षैतिज स्तर को एक काली मोटी रेखा द्वारा दिखाया गया है), इसका मतलब है कि तराजू के दाहिने पलड़े पर उतना ही वजन है जितना बाएं पलड़े पर है। सबसे सरल मामले में, ये 1 किलो वजन वाले वजन हो सकते हैं:

चित्र 500.1.

और फिर हमें सबसे सरल समीकरण 1 = 1 मिलता है। हालाँकि, यह समीकरण सिर्फ मेरे लिए है, गणित में ऐसे भावों को समानता कहा जाता है, लेकिन सार नहीं बदलता है। यदि हम तराजू के बाएं पलड़े से वजन हटा दें और उस पर कुछ भी डाल दें, यहां तक ​​कि सेब भी, यहां तक ​​कि नाखून भी, यहां तक ​​कि लाल कैवियार भी, और साथ ही तराजू एक ही क्षैतिज स्तर पर हैं, तब भी इसका मतलब यह होगा कि 1 कि.ग्रा. संकेतित उत्पादों में से किसी का भी तराजू के दाहिनी ओर शेष 1 किलो वजन के बराबर। विक्रेता द्वारा निर्धारित मूल्य के अनुसार इस किलोग्राम का भुगतान करना बाकी है। एक और बात यह है कि आपको कीमत पसंद नहीं आ सकती है, या तराजू की सटीकता के बारे में संदेह हो सकता है - लेकिन ये आर्थिक और कानूनी संबंधों के मुद्दे हैं जिनका गणित से कोई सीधा संबंध नहीं है।

बेशक, उन दूर के समय में, जब कप स्केल दिखाई दिए, तो सब कुछ बहुत सरल था। सबसे पहले, किलोग्राम के रूप में वजन का ऐसा कोई माप नहीं था, लेकिन वजन के माप के अनुरूप मौद्रिक इकाइयाँ थीं, उदाहरण के लिए, प्रतिभा, शेकेल, पाउंड, रिव्निया, आदि (वैसे, मुझे लंबे समय से आश्चर्य हो रहा है कि वहाँ है) एक पाउंड - एक मौद्रिक इकाई और एक पाउंड - वजन का एक माप, एक रिव्निया है - एक मौद्रिक इकाई, और एक बार रिव्निया वजन का एक उपाय था, और केवल हाल ही में, जब मुझे पता चला कि प्रतिभा केवल मौद्रिक इकाई नहीं है प्राचीन यहूदियों का उल्लेख किया गया है पुराना वसीयतनामा, लेकिन प्राचीन बेबीलोन में अपनाए गए वजन के माप के साथ, सब कुछ ठीक हो गया)।

अधिक सटीक रूप से, सबसे पहले वजन के माप होते थे, आमतौर पर अनाज अनाज की फसलें, और तभी पैसा प्रकट हुआ जो तराजू के इन मापों के अनुरूप था। उदाहरण के लिए, 60 अनाज एक शेकेल के अनुरूप थे, 60 शेकेल एक मीना के अनुरूप थे, और 60 मीना एक प्रतिभा के अनुरूप थे। इसलिए, शुरुआत में तराजू का इस्तेमाल यह जांचने के लिए किया जाता था कि पेश किया गया पैसा नकली है या नहीं, और उसके बाद ही वजन, वजन और गणना, इलेक्ट्रॉनिक तराजू और प्लास्टिक कार्ड के बराबर के रूप में दिखाई देते थे, लेकिन इससे मामले का सार नहीं बदलता है।

उन दूर के समय में, विक्रेता को विस्तार से यह बताने की आवश्यकता नहीं होती थी कि किसी विशेष उत्पाद की लागत कितनी होगी। बेचे जा रहे उत्पाद को पैमाने के एक पलड़े पर रखना और खरीदार को दूसरे पलड़े पर पैसा लगाना पर्याप्त था - यह बहुत सरल और स्पष्ट है, और यहां तक ​​कि स्थानीय बोली के ज्ञान की भी आवश्यकता नहीं है, आप दुनिया में कहीं भी व्यापार कर सकते हैं। लेकिन चलिए समीकरणों पर वापस आते हैं।

यदि हम तराजू की स्थिति से समीकरण (500.1) पर विचार करते हैं, तो इसका मतलब है कि तराजू के बाएं पलड़े पर अज्ञात संख्या में किलोग्राम और अन्य 2 किलोग्राम हैं, और दाहिने पलड़े पर 8 किलोग्राम हैं:

x + 2 किग्रा, = 8 किग्रा, (500.1.2)

टिप्पणी: में इस मामले मेंकागज पर गणना करते समय रेखांकन पैमाने के निचले भाग का प्रतीक है, यह रेखा पैमाने के निचले भाग से अधिक मिलती जुलती हो सकती है। इसके अलावा, गणितज्ञ लंबे समय से विशेष प्रतीकों - कोष्ठक के साथ आए हैं, और इसलिए किसी भी कोष्ठक को तराजू के किनारों के रूप में माना जा सकता है, कम से कम समीकरणों के अर्थ को समझने के पहले चरण में। फिर भी, अधिक स्पष्टता के लिए मैं अंडरस्कोर छोड़ दूँगा।

तो, किलोग्राम की अज्ञात संख्या ज्ञात करने के लिए हमें क्या करने की आवश्यकता है? सही! तराजू के बायीं और दायीं ओर से 2 किलोग्राम हटा दें, तो तराजू एक ही क्षैतिज स्तर पर रहेगा, यानी हमारे पास अभी भी समानता होगी:

x + 2 किग्रा, - 2 किग्रा = 8 किग्रा, - 2 किग्रा (500.2.2)

क्रमश

x, = 8 किग्रा - 2 किग्रा, (500.3.2)

x, = 6 किग्रा, (500.4.2)

चित्र 500.2.

अक्सर गणित किलोग्राम के साथ नहीं, बल्कि कुछ अमूर्त आयामहीन इकाइयों के साथ संचालित होता है, और फिर समीकरण (500.1) का समाधान लिखना, उदाहरण के लिए एक ड्राफ्ट में, इस तरह दिखेगा:

एक्स + 2, = 8, (500.1)

एक्स + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

एक्स, = 8 - 2 , (500.3)

एक्स = 6 (500.4)

जो चित्र 500.2 में परिलक्षित होता है।

टिप्पणी: औपचारिक रूप से, और भी बेहतर समझ के लिए, समीकरण (500.2) के बाद इस प्रकार का एक और समीकरण होना चाहिए: एक्स + 2 - 2, = 8 - 2,इसका मतलब है कि कार्रवाई समाप्त हो गई है और हम फिर से वजन के संतुलन कटोरे से निपट रहे हैं। हालाँकि, मेरी राय में, निर्णय की इतनी संपूर्ण रिकॉर्डिंग की कोई आवश्यकता नहीं है।

साफ-सुथरी किताबों में, आमतौर पर किसी समीकरण के समाधान के संक्षिप्त संकेतन का उपयोग किया जाता है, और न केवल तराजू के प्रतीक, जो समीकरणों के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में मेरी राय में बहुत आवश्यक हैं, बल्कि संपूर्ण समीकरणों को भी संक्षिप्त किया जाता है। तो, पाठ्यपुस्तकों में दिए गए उदाहरणों के अनुसार, एक साफ प्रति में समीकरण (500.1) के समाधान की संक्षिप्त रिकॉर्डिंग इस तरह दिखेगी:

एक्स + 2 = 8 (500.1.1)

एक्स = 8 - 2 (500.3.1)

एक्स = 6 (500.4)

परिणामस्वरूप, तराजू के साथ सादृश्य का उपयोग करते हुए, हमने पाठ्यपुस्तकों में प्रस्तावित की तुलना में एक अतिरिक्त समीकरण (500.2) संकलित किया, या तो समाधान की विधि द्वारा, या इस समाधान को लिखने के रूप में। मेरी राय में, यह एक समीकरण है, इसके अलावा, लगभग इसी रूप में लिखा गया है, अर्थात। तराजू के प्रतीकात्मक पदनाम के साथ - यह गायब लिंक है, जो समीकरणों के अर्थ को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

वे। समीकरणों को हल करते समय, हम विपरीत चिह्न वाली किसी भी चीज़ को कहीं भी स्थानांतरित नहीं करते हैं, बल्कि समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों के साथ समान गणितीय संक्रियाएँ करते हैं।

अब समीकरणों के समाधान को ऊपर दिए गए संक्षिप्त रूप में लिखने की प्रथा है। समीकरण (500.1.1) के तुरंत बाद समीकरण (500.3.1) आता है, इसलिए उलटे चिह्नों का नियम, जो, हालांकि, समीकरणों के अर्थ में गहराई से जाने की तुलना में कई लोगों के लिए याद रखना आसान है।

टिप्पणी: इसके अलावा, मुझे रिकॉर्डिंग के संक्षिप्त रूप से कोई आपत्ति नहीं है। उन्नत उपयोगकर्ता इस फॉर्म को और भी छोटा कर सकते हैं, लेकिन ऐसा तभी किया जाना चाहिए जब समीकरणों का सामान्य अर्थ पहले ही स्पष्ट रूप से समझ लिया गया हो।

और विस्तारित नोटेशन आपको समीकरणों को हल करने के मुख्य नियमों को समझने की अनुमति देता है:

1. यदि हम बायीं ओर से समान गणितीय संक्रियाएँ करते हैं दाहिनी ओरसमीकरण, तो समानता बनी रहती है।

2. इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि विचाराधीन समीकरण में कौन सा भाग बाएँ है और कौन सा दाएँ है, हम स्वतंत्र रूप से उनकी अदला-बदली कर सकते हैं।

ये गणितीय संक्रियाएँ कुछ भी हो सकती हैं। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, हम बाईं ओर से और दाईं ओर से समान संख्या घटा सकते हैं। हम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष में समान संख्या जोड़ सकते हैं, उदाहरण के लिए:

एक्स - 2, = 8, (500.5.1)

एक्स - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

एक्स, = 8 + 2 , (500.5.3)

एक्स = 10 (500.5.4)

हम दोनों पक्षों को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:

3х, = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

एक्स, = 12 : 3 , (500.6.3)

एक्स = 4 (500.6.4)

3x - 6, = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3х, = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

एक्स = 6 (500.7.5)

हम दोनों भागों को एकीकृत या अलग कर सकते हैं। हम बाएँ और दाएँ भागों के साथ जो चाहें कर सकते हैं, लेकिन यदि ये क्रियाएँ बाएँ और दाएँ भागों के लिए समान हैं, तो समानता बनी रहेगी (तराजू समान क्षैतिज स्तर पर रहेगी)।

बेशक, आपको ऐसी कार्रवाइयां चुनने की ज़रूरत है जो आपको अज्ञात मात्रा को यथासंभव शीघ्र और सरलता से निर्धारित करने की अनुमति दें।

इस दृष्टिकोण से, व्युत्क्रम क्रिया की शास्त्रीय विधि सरल प्रतीत होती है, लेकिन क्या होगा यदि बच्चे ने अभी तक ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन नहीं किया है? इस बीच, संकलित समीकरण का निम्नलिखित रूप है:

5 - एक्स = 3 (500.8)

वे। शास्त्रीय विधि का उपयोग करके इस समीकरण को हल करते समय, संभावित समाधानों में से एक, जो सबसे छोटा अंकन देता है, निम्नलिखित है:

- एक्स = 3 - 5 (500.8.2)

- एक्स = - 2 (500.8.3)

एक्स = 2 (500.8.4)

और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि आप किसी बच्चे को यह कैसे समझा सकते हैं कि समीकरण (500.8.3) समीकरण (500.8.4) के समान क्यों है?

इसका मतलब यह है कि इस मामले में, उपयोग करते समय भी शास्त्रीय विधिलिखने पर बचत करने का कोई मतलब नहीं है और सबसे पहले आपको बाईं ओर अज्ञात मान से छुटकारा पाना होगा, जिस पर नकारात्मक चिन्ह है।

5 - एक्स = 3 (500.8)

5 = 3 + एक्स (500.8.5)

3 + एक्स = 5 (500.8.6)

एक्स = 5 - 3 (500.8.7)

एक्स = 2 (500.8.4)

पूरी प्रविष्टि इस तरह दिखेगी:

5 - एक्स, = 3, (500.8)

5 - एक्स, + एक्स = 3, + एक्स (500.9.2)

5, = 3 + एक्स, (500.9.3)

3 + एक्स, = 5, (500.8.6)

3 + एक्स, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

एक्स, = 5 - 3, (500.8.7)

एक्स = 2 (500.8.4)

मैं इसे फिर से जोड़ूंगा. समाधान का पूरा रिकॉर्ड शिक्षकों के लिए नहीं, बल्कि समीकरणों को हल करने की विधि की बेहतर समझ के लिए आवश्यक है। और जब हम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों की अदला-बदली करते हैं, तो ऐसा लगता है कि हम पैमाने के दृश्य को खरीदार के दृष्टिकोण से विक्रेता के दृष्टिकोण में बदल रहे हैं, लेकिन समानता वही रहती है।

दुर्भाग्यवश, मैं कभी भी अपनी बेटी से समाधान पूरी तरह लिखने में सक्षम नहीं हो सका, यहां तक ​​कि ड्राफ्ट में भी नहीं। उनका एक सख्त तर्क है: "हमें इस तरह से नहीं सिखाया गया।" इस बीच, संकलित किए जा रहे समीकरणों की जटिलता बढ़ जाती है, अज्ञात मात्रा निर्धारित करने के लिए क्या कार्रवाई की जानी चाहिए इसका अनुमान लगाने का प्रतिशत कम हो जाता है, और ग्रेड गिर जाते हैं। मुझे नहीं पता कि इसके साथ क्या करना है...

टिप्पणी: आधुनिक गणित में समानता और समीकरण के बीच अंतर करने की प्रथा है, अर्थात। 1 = 1 केवल एक संख्यात्मक समानता है, और यदि समानता के किसी एक भाग में कोई अज्ञात है जिसे खोजने की आवश्यकता है, तो यह पहले से ही एक समीकरण है। जहां तक ​​मेरी बात है, अर्थों के इस तरह के भेदभाव का कोई खास मतलब नहीं है, बल्कि यह केवल सामग्री की धारणा को जटिल बनाता है। मेरा मानना ​​है कि किसी भी समानता को एक समीकरण कहा जा सकता है, और कोई भी समीकरण समानता पर आधारित होता है। और इसके अलावा, प्रश्न उठता है: x = 6, क्या यह पहले से ही एक समानता है या यह अभी भी एक समीकरण है?

सबसे सरल समीकरण, समय के साथ सादृश्य

बेशक, समीकरणों को हल करते समय तराजू के साथ सादृश्य केवल एक ही नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरणों को हल करने पर समय के नजरिए से भी विचार किया जा सकता है। तब समीकरण (500.1) द्वारा वर्णित स्थिति इस प्रकार होगी:

एक अज्ञात मात्रा में जोड़ने के बाद एक्स 2 और इकाइयाँ, अब हमारे पास 8 इकाइयाँ (वर्तमान) हैं। हालाँकि, किसी न किसी कारण से, हमें इसमें रुचि नहीं है कि कितने हैं, बल्कि इसमें रुचि है कि भूतकाल में कितने थे। तदनुसार, यह पता लगाने के लिए कि हमारे पास इनमें से कितनी समान इकाइयाँ थीं, हमें विपरीत क्रिया करने की आवश्यकता है, अर्थात। 8 में से 2 घटाएँ (समीकरण 500.3)। यह दृष्टिकोण बिल्कुल पाठ्यपुस्तकों में प्रस्तुत किए गए दृष्टिकोण से मेल खाता है, लेकिन मेरी राय में, यह तराजू के साथ सादृश्य जितना स्पष्ट नहीं है। हालाँकि, इस मामले पर राय भिन्न हो सकती है।

कोष्ठक वाले समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

मैंने यह लेख गर्मियों में लिखा था, जब मेरी बेटी चौथी कक्षा से स्नातक हुई, लेकिन छह महीने से भी कम समय के बाद, उन्हें स्कूल में निम्नलिखित फॉर्म के समीकरणों को हल करने के लिए कहा गया:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)

कक्षा में कोई भी इस समीकरण को हल करने में सक्षम नहीं था, और फिर भी मेरे द्वारा प्रस्तावित विधि का उपयोग करने पर इसे हल करने में कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन नोटेशन का पूर्ण रूप बहुत अधिक स्थान लेगा:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 50 - 25, (500.10.16)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

एक्स, = 25:5, (500.10.19)

एक्स = 5 (500.10.20)

हालाँकि, इस स्तर पर ऐसे में पूर्ण प्रपत्ररिकॉर्डिंग की कोई जरूरत नहीं है. चूँकि हमें दोहरे कोष्ठक मिल गए हैं, इसलिए बाईं और दाईं ओर गणितीय संक्रियाओं के लिए एक अलग समीकरण बनाना आवश्यक नहीं है, इसलिए ड्राफ्ट में समाधान लिखना इस तरह दिख सकता है:

97 + 75: (50 - 5x), : 3 = 300, : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

एक्स = 5 (500.10.20)

कुल मिलाकर, इस स्तर पर मूल समीकरण को हल करने के लिए 14 समीकरण लिखना आवश्यक था।

इस मामले में, समीकरण का समाधान एक साफ़ प्रतिलिपि में लिखना इस तरह दिख सकता है:

97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)

75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)

25 = 50 - 5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5x = 50 - 25 (500.10.16)

5x = 25 500.10.17)

एक्स = 25:5 (500.10.19)

एक्स = 5 (500.10.20)

वे। संकेतन के संक्षिप्त रूप के साथ, हमें अभी भी 12 समीकरण बनाने हैं। रिकॉर्डिंग में बचत न्यूनतम है, लेकिन पाँचवीं कक्षा के छात्र को वास्तव में आवश्यक क्रियाओं को समझने में समस्या हो सकती है।

पी.एस.जब दोहरे कोष्ठक की बात आई, तभी मेरी बेटी की रुचि समीकरणों को हल करने के लिए मेरे द्वारा प्रस्तावित तरीके में हुई, लेकिन साथ ही, उसके लेखन रूप में, यहां तक ​​कि ड्राफ्ट में भी, अभी भी 2 गुना कम समीकरण हैं, क्योंकि वह फाइनल को छोड़ देती है। (500.10.4), (500.10.7) और इसी तरह के समीकरण, और रिकॉर्डिंग करते समय, तुरंत अगले के लिए जगह छोड़ देते हैं गणितीय कार्य. परिणामस्वरूप, उसके मसौदे में प्रविष्टि कुछ इस तरह दिखी:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

एक्स = 5 (500.10.20)

परिणामस्वरूप, हमें केवल 8 समीकरण प्राप्त हुए, जो कि संक्षिप्त रूप में समाधान लिखते समय आवश्यक से भी कम है। सिद्धांत रूप में, मुझे कोई आपत्ति नहीं है, लेकिन यह उपयोगी होगा।

वास्तव में मैं एक अज्ञात मात्रा वाले सरलतम समीकरणों को हल करने के बारे में बस इतना ही कहना चाहता था। दो अज्ञात मात्राओं वाले समीकरणों को हल करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता होगी

समानताओं का एक सामान्य विचार प्राप्त करने और उनके प्रकारों में से एक - संख्यात्मक समानता से परिचित होने के बाद, आप एक अन्य प्रकार की समानता के बारे में बात करना शुरू कर सकते हैं जो व्यावहारिक दृष्टिकोण से बहुत महत्वपूर्ण है - समीकरण। इस लेख में हम देखेंगे एक समीकरण क्या है, और समीकरण का मूल क्या कहलाता है। यहां हम संबंधित परिभाषाएं देंगे, साथ ही समीकरणों और उनकी जड़ों के विभिन्न उदाहरण भी प्रदान करेंगे।

पेज नेविगेशन.

एक समीकरण क्या है?

समीकरणों का लक्षित परिचय आमतौर पर दूसरी कक्षा के गणित पाठों में शुरू होता है। इस समय निम्नलिखित दिया गया है समीकरण परिभाषा:

परिभाषा।

समीकरणएक समानता है जिसमें एक अज्ञात संख्या होती है जिसे खोजने की आवश्यकता होती है।

समीकरणों में अज्ञात संख्याओं को आमतौर पर छोटी संख्याओं का उपयोग करके दर्शाया जाता है। लैटिन अक्षर, उदाहरण के लिए, पी, टी, यू, आदि, लेकिन सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले अक्षर x, y और z हैं।

इस प्रकार लेखन के स्वरूप की दृष्टि से समीकरण निर्धारित होता है। दूसरे शब्दों में, समानता एक समीकरण है जब यह निर्दिष्ट लेखन नियमों का पालन करता है - इसमें एक अक्षर होता है जिसका मान ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

आइए हम सबसे पहले और सबसे अधिक का उदाहरण दें सरल समीकरण. आइए x=8, y=3, आदि जैसे समीकरणों से शुरुआत करें। जिन समीकरणों में संख्याओं और अक्षरों के साथ चिह्न भी होते हैं वे थोड़े अधिक जटिल लगते हैं अंकगणितीय आपरेशनस, उदाहरण के लिए, x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .

परिचित होने के बाद समीकरणों की विविधता बढ़ती है - कोष्ठक वाले समीकरण सामने आने लगते हैं, उदाहरण के लिए 2·(x−1)=18 और x+3·(x+2·(x−2))=3. किसी समीकरण में एक अज्ञात अक्षर कई बार आ सकता है, उदाहरण के लिए, x+3+3·x−2−x=9, साथ ही अक्षर समीकरण के बाईं ओर, दाईं ओर या दोनों ओर हो सकते हैं समीकरण, उदाहरण के लिए, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 या 3·x−4=2·(x+12) .

पढ़ाई के बाद आगे प्राकृतिक संख्यापूर्णांक, परिमेय, वास्तविक संख्याओं से परिचय होता है, नई गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जाता है: घात, मूल, लघुगणक, आदि, जबकि इन चीजों से युक्त अधिक से अधिक नए प्रकार के समीकरण सामने आते हैं। उनके उदाहरण लेख में देखे जा सकते हैं समीकरणों के मुख्य प्रकारस्कूल में पढ़ रहा हूँ.

7वीं कक्षा में, अक्षरों के साथ, जिसका अर्थ कुछ विशिष्ट संख्याएँ हैं, वे उन अक्षरों पर विचार करना शुरू करते हैं जो विभिन्न मान ले सकते हैं, उन्हें चर कहा जाता है (लेख देखें)। उसी समय, "चर" शब्द को समीकरण की परिभाषा में पेश किया जाता है, और यह इस प्रकार हो जाता है:

परिभाषा।

समीकरणइसे एक समानता कहा जाता है जिसमें एक चर होता है जिसका मान ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x+3=6·x+7 चर x वाला एक समीकरण है, और 3·z−1+z=0 चर z वाला एक समीकरण है।

उसी 7वीं कक्षा में बीजगणित पाठ के दौरान, हमारा सामना ऐसे समीकरणों से होता है जिनमें एक नहीं, बल्कि दो अलग-अलग अज्ञात चर होते हैं। इन्हें दो चर वाले समीकरण कहा जाता है। भविष्य में, समीकरणों में तीन या अधिक चर की उपस्थिति की अनुमति है।

परिभाषा।

एक, दो, तीन, आदि के साथ समीकरण चर- ये वे समीकरण हैं जिनमें क्रमशः एक, दो, तीन, ... अज्ञात चर शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण 3.2 x+0.5=1 एक चर x वाला एक समीकरण है, बदले में, x−y=3 रूप का एक समीकरण दो चर x और y वाला एक समीकरण है। और एक और उदाहरण: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. यह स्पष्ट है कि ऐसा समीकरण तीन अज्ञात चर x, y और z वाला एक समीकरण है।

किसी समीकरण का मूल क्या है?

किसी समीकरण की परिभाषा सीधे तौर पर इस समीकरण के मूल की परिभाषा से संबंधित होती है। आइए कुछ तर्क करें जिससे हमें यह समझने में मदद मिलेगी कि समीकरण का मूल क्या है।

मान लीजिए कि हमारे पास एक अक्षर (चर) वाला एक समीकरण है। यदि इस समीकरण की प्रविष्टि में सम्मिलित एक अक्षर के स्थान पर एक निश्चित संख्या रख दी जाये तो समीकरण संख्यात्मक समानता में बदल जाता है। इसके अलावा, परिणामी समानता या तो सत्य या ग़लत हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि आप समीकरण a+1=5 में अक्षर a के स्थान पर संख्या 2 प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको गलत संख्यात्मक समानता 2+1=5 प्राप्त होगी। यदि हम इस समीकरण में a के स्थान पर संख्या 4 रखें, तो हमें सही समानता 4+1=5 प्राप्त होती है।

व्यवहार में, अधिकांश मामलों में, रुचि चर के उन मूल्यों में होती है जिनका समीकरण में प्रतिस्थापन सही समानता देता है, इन मूल्यों को इस समीकरण के मूल या समाधान कहा जाता है;

परिभाषा।

समीकरण का मूल- यह अक्षर (चर) का मान है, जिसके प्रतिस्थापन पर समीकरण सही संख्यात्मक समानता में बदल जाता है।

ध्यान दें कि एक चर वाले समीकरण के मूल को समीकरण का हल भी कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, किसी समीकरण का हल और समीकरण का मूल एक ही चीज़ है।

आइये इस परिभाषा को एक उदाहरण से समझाते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए a+1=5 के ऊपर लिखे समीकरण पर वापस लौटें। किसी समीकरण के मूल की बताई गई परिभाषा के अनुसार, संख्या 4 इस समीकरण का मूल है, क्योंकि अक्षर a के स्थान पर इस संख्या को प्रतिस्थापित करने पर हमें सही समानता 4+1=5 प्राप्त होती है, और संख्या 2 इसकी नहीं है जड़, क्योंकि यह फॉर्म 2+1= 5 की गलत समानता से मेल खाता है।

इस बिंदु पर, कई स्वाभाविक प्रश्न उठते हैं: "क्या किसी समीकरण का कोई मूल होता है, और किसी दिए गए समीकरण के कितने मूल होते हैं?" हम उन्हें जवाब देंगे.

ऐसे दोनों समीकरण हैं जिनके मूल हैं और ऐसे समीकरण हैं जिनके मूल नहीं हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x+1=5 का मूल 4 है, लेकिन समीकरण 0 x=5 का कोई मूल नहीं है, क्योंकि इस समीकरण में हम चर x के स्थान पर चाहे जो भी संख्या रखें, हमें गलत समानता 0=5 मिलेगी। .

जहाँ तक किसी समीकरण के मूलों की संख्या की बात है, ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें मूलों की एक निश्चित सीमित संख्या (एक, दो, तीन, आदि) होती है और ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें मूलों की अनंत संख्या होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण x−2=4 का एक ही मूल 6 है, समीकरण x 2 =9 के मूल दो संख्याएँ −3 और 3 हैं, समीकरण x·(x−1)·(x−2)=0 इसके तीन मूल 0, 1 और 2 हैं, और समीकरण x=x का हल कोई भी संख्या है, अर्थात इसके मूलों की अनंत संख्या है।

समीकरण के मूलों के लिए स्वीकृत संकेतन के बारे में कुछ शब्द कहे जाने चाहिए। यदि किसी समीकरण का कोई मूल नहीं है, तो वे आमतौर पर "समीकरण का कोई मूल नहीं है" लिखते हैं या खाली सेट चिह्न ∅ का उपयोग करते हैं। यदि समीकरण की जड़ें हैं, तो उन्हें अल्पविराम से अलग करके लिखा जाता है, या इस रूप में लिखा जाता है सेट के तत्वघुंघराले कोष्ठक में. उदाहरण के लिए, यदि समीकरण के मूल संख्याएँ −1, 2 और 4 हैं, तो −1, 2, 4 या (−1, 2, 4) लिखें। समीकरण के मूलों को साधारण समानता के रूप में लिखना भी अनुमत है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण में अक्षर x शामिल है, और इस समीकरण की जड़ें संख्या 3 और 5 हैं, तो आप x=3, x=5 लिख सकते हैं, और सबस्क्रिप्ट x 1 =3, x 2 =5 अक्सर जोड़े जाते हैं चर के लिए, मानो समीकरण की संख्या जड़ों को इंगित कर रहा हो। किसी समीकरण के मूलों का एक अनंत सेट आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है; यदि संभव हो तो, प्राकृतिक संख्या N, पूर्णांक Z और वास्तविक संख्या R के सेट के लिए नोटेशन का भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि चर x वाले समीकरण का मूल कोई पूर्णांक है, तो लिखें, और यदि चर y वाले समीकरण का मूल 1 से 9 सहित कोई वास्तविक संख्या है, तो लिखें।

दो, तीन या अधिक चर वाले समीकरणों के लिए, एक नियम के रूप में, "समीकरण की जड़" शब्द का उपयोग नहीं किया जाता है, इन मामलों में वे "समीकरण का समाधान" कहते हैं; अनेक चर वाले समीकरणों को हल करना क्या कहलाता है? आइए हम संबंधित परिभाषा दें।

परिभाषा।

दो, तीन आदि वाले समीकरण को हल करना। चरएक जोड़ा, तीन आदि कहा जाता है। चरों के मान, इस समीकरण को एक सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

आइए हम व्याख्यात्मक उदाहरण दिखाएं। दो चर x+y=7 वाले एक समीकरण पर विचार करें। आइए x के स्थान पर संख्या 1 और y के स्थान पर संख्या 2 रखें, और हमारे पास समानता 1+2=7 है। जाहिर है, यह गलत है, इसलिए, मानों की जोड़ी x=1, y=2 लिखित समीकरण का समाधान नहीं है। यदि हम मान x=4, y=3 की एक जोड़ी लेते हैं, तो समीकरण में प्रतिस्थापन के बाद हम सही समानता 4+3=7 पर पहुंचेंगे, इसलिए, चर मानों की यह जोड़ी, परिभाषा के अनुसार, एक समाधान है समीकरण x+y=7 के लिए.

कई चर वाले समीकरण, जैसे एक चर वाले समीकरण, में कोई जड़ नहीं हो सकती है, जड़ों की एक सीमित संख्या हो सकती है, या अनंत संख्या में जड़ें हो सकती हैं।

जोड़े, त्रिक, चतुर्भुज, आदि। चर के मानों को अक्सर संक्षेप में लिखा जाता है, उनके मानों को कोष्ठक में अल्पविराम से अलग करके सूचीबद्ध किया जाता है। इस मामले में, कोष्ठक में लिखी संख्याएँ वर्णमाला क्रम में चर के अनुरूप होती हैं। आइए पिछले समीकरण x+y=7 पर लौटकर इस बिंदु को स्पष्ट करें। इस समीकरण x=4, y=3 का हल संक्षेप में (4, 3) के रूप में लिखा जा सकता है।

गणित, बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत के स्कूली पाठ्यक्रम में सबसे अधिक ध्यान एक चर वाले समीकरणों की जड़ों को खोजने पर दिया जाता है। इस प्रक्रिया के नियमों पर हम लेख में विस्तार से चर्चा करेंगे। समीकरण हल करना.

ग्रंथ सूची.

• अंक शास्त्र. 2 वर्ग पाठयपुस्तक सामान्य शिक्षा के लिए adj वाले संस्थान। प्रति इलेक्ट्रॉन वाहक। दोपहर 2 बजे भाग 1 / [एम. आई. मोरो, एम. ए. बंटोवा, जी. वी. बेल्ट्युकोवा, आदि] - तीसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2012. - 96 पी.: बीमार। - (रूस का स्कूल)। - आईएसबीएन 978-5-09-028297-0.
• बीजगणित:पाठयपुस्तक 7वीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 17वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
• बीजगणित: 9वीं कक्षा: शैक्षणिक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2009. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-021134-5।

समीकरण क्या है?

• किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है

• समीकरणों को हल करने के बुनियादी नियम.

• समीकरणों का वर्गीकरण.

• समीकरण एक समानता है जिसमें अज्ञात को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। अक्षर का वह मान जिस पर समीकरण से सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है, समीकरण का मूल कहलाता है।

प्रश्न हल करें

• प्रश्न हल करें - का अर्थ है इसके सभी मूलों को खोजना (या यह सुनिश्चित करना कि समीकरण का एक भी मूल न हो)।

• अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा (यदि a + x = b, तो x = b – a)

• 7 + एक्स = 23

• एक्स = 23 – 7

• एक्स = 16

• अज्ञात मीनूएंड को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड और अंतर को जोड़ना होगा।

• (यदि x – a = d, तो x = a + d)

• x-8 =5

• एक्स = 8+5

• एक्स=13

• अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मीनूएंड से अंतर को घटाना होगा

• (यदि ए - एक्स = बी, तो एक्स = ए-बी)

• 9 का =1.3

• एक्स = 9- 1.3

• एक्स = 7.7

• किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा

• (यदि ax = b, तो x = b: a)

• 0.2x = 6

• एक्स = 6: 0.2

• एक्स=30

• अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा (यदि x: a = b, तो x = ab)

• एक्स: 0.3 = 4

• एक्स = 4 * 0.3

• एक्स = 1.2

• अज्ञात भाजक खोजने के लिए, आपको लाभांश को भागफल से विभाजित करना होगा

• (यदि a: x =b, तो x = a:b)

• 0.8:x=-5

• x=0.8(-5)

• x=-0.16

• यदि किसी पद को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में ले जाया जाए और उसका चिह्न बदल दिया जाए तो समीकरण के मूल नहीं बदलते।

• 3x – 8 = x – 14

• 3x –x = -14 + 8

• 2x = -6

• एक्स = -3

• यदि दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए जो शून्य के बराबर न हो तो समीकरण के मूल नहीं बदलते हैं।

समीकरण का हल x = है

• समीकरण का हल x = है

• समीकरण (जहाँ a 0, a समीकरण f (x) = g (x) के बराबर है

• प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, प्रपत्र के एक समीकरण को द्विघात समीकरण में बदल दिया जाता है

• लघुगणक चिह्न के अंतर्गत एक चर वाले समीकरण को लघुगणक कहा जाता है।

• प्रपत्र के लघुगणकीय समीकरण को हल करना

• इस तथ्य पर आधारित है कि ऐसा समीकरण अतिरिक्त शर्तों f(x) के तहत समीकरण f(x)=g(x) के बराबर है

• लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,

• एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण इस रूप का एक समीकरण है इस समीकरण का हमेशा एक अद्वितीय समाधान होता है:

• एक अज्ञात के साथ एक द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है

• द्विघात समीकरण का विवेचक संख्या है

• यदि D > 0, तो समीकरण का कोई हल नहीं है

• यदि D=0, तो समीकरण का एक अद्वितीय समाधान है:

• यदि D > 0, तो समीकरण के दो समाधान हैं:

• अपूर्ण द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसमें कम से कम एक गुणांक शून्य होता है। C=0 पर समीकरण रूप लेता है

• कम किया गया द्विघात समीकरण एक प्रकार का समीकरण है, अर्थात एक द्विघात समीकरण जिसमें पहला गुणांक एक के बराबर होता है।

• समीकरण के मूलों के चिह्न ज्ञात कीजिए

वियत का प्रमेय

• यदि दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक हैं, तो उनका योग ऋण चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, अर्थात। -r, और उनका उत्पाद मुफ़्त पद q है।

• रूप के समीकरण को द्विघात कहा जाता है।

• ऐसे समीकरण को परिवर्तन विधि द्वारा हल किया जाता है। आइए फिर इसे नामित करें। मूल समीकरण का रूप ले लेगा अर्थात यह एक साधारण द्विघात समीकरण है।

• तीसरी डिग्री का एक सममित समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है ध्यान दें कि

• वे। इस समीकरण का हल समुच्चय के समतुल्य है

• चौथी डिग्री का एक सममित समीकरण निम्नलिखित दो समीकरणों में से कोई एक है:

• पहले समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नया चर पेश करते हैं, और दूसरे को हल करने के लिए -

• परिवर्तनीय हमारे पास है: यानी साधारण द्विघात समीकरण प्राप्त होते हैं।

• यदि किसी संख्या x का मापांक गैर-ऋणात्मक है, तो वह संख्या ही है, या यदि संख्या x ऋणात्मक है, तो संख्या -x है। पद का नाम:

• इस परिभाषा के लिए औपचारिक संकेतन है:

• प्रश्न हल करें:

समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र

• समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र

• पाप x=a() का रूप है

• क्योंकि x=a

• tan x=a

• सीटीजी एक्स=ए

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को परिवर्तनशील परिवर्तन विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है

• प्रपत्र का त्रिकोणमितीय समीकरण

• वे सभी पद, जिनकी घात ज्या और कोज्या के संबंध में समान होती है, कहलाते हैं

• सजातीय. एक सजातीय समीकरण को आसानी से एक सापेक्ष समीकरण में बदला जा सकता है यदि उसके सभी पदों को विभाजित कर दिया जाए। इसके अलावा, यदि, तो इस तरह के विभाजन से समाधानों का नुकसान नहीं होगा, क्योंकि मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। यदि ऐसा है तो इसे कोष्ठक से हटा दिया जाता है।

• फॉर्म का एक समीकरण एक समीकरण के बराबर होता है

• सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि यह है कि दाहिनी ओर के समीकरण के सभी पदों को बायीं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है; जिसके बाद चले गये

• त्रिकोणमितीय कार्यों को एक उत्पाद में विघटित करने के लिए सूत्र, डिग्री को कम करने के लिए सूत्र, और त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को एक प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण के भाग को गुणनखंडित किया जाता है।

भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण

• एक तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण उस रूप का एक समीकरण है जहां और बहुपद हैं।

• शर्त पूरी होने पर ही अभिव्यक्ति सार्थक होती है

• इसका मतलब यह है कि शर्त के तहत तर्कसंगत समीकरण का एक समाधान है

अपरिमेय समीकरण

• दूसरी डिग्री के एक मूलांक वाले समीकरण

• समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाना।

• जब समीकरण के दोनों पक्षों को एक समान घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणाम एक ऐसा समीकरण होता है जो मूल समीकरण के बराबर नहीं होता है। मूल समीकरण में प्राप्त जड़ों की सीधे जांच करने से बाहरी जड़ों से छुटकारा पाने में मदद मिलती है, यानी। मूलों को प्रारंभिक समीकरण में बारी-बारी से प्रतिस्थापित किया जाता है और जाँच की जाती है कि संख्यात्मक समानता सही है या नहीं।

• दो भावों का गुणनफल (भागफल) शून्य के बराबर है।

• दो अभिव्यक्तियों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि उनमें से कम से कम एक अभिव्यक्ति शून्य के बराबर हो और दूसरा अर्थपूर्ण हो। औपचारिक रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

• शून्य के बराबर दो भावों के भागफल के लिए औपचारिक संकेतन:

• दूसरी डिग्री के मूलांक के दो (तीन) चिह्नों वाले समीकरण

• समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग निकालना.

सबसे पहले, समीकरण को बदलना होगा ताकि मूलांक एक भाग में हों, और मूल समीकरण के शेष पद दूसरे भाग में हों। यह तब किया जाता है जब समीकरण में दो मूलांक हों। यदि उनमें से तीन हैं, तो उनमें से दो को समीकरण के एक भाग में छोड़ दिया जाता है, और तीसरे को दूसरे में स्थानांतरित कर दिया जाता है। फिर समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग किया जाता है और आवश्यक परिवर्तन किए जाते हैं। इसके बाद, समीकरण के सभी पद जिनमें मूलांक शामिल नहीं हैं, उन्हें फिर से समीकरण के एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और शेष मूलांक (अब केवल एक ही है!) को दूसरे में स्थानांतरित कर दिया जाता है। परिणामी समीकरण को फिर से वर्गित किया जाता है, और परिणाम एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें रेडिकल शामिल नहीं होते हैं।

तीसरी और उच्चतर डिग्री के मूलांक वाले समीकरण।

• तीसरी डिग्री के मूलांक वाले समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित पहचानों का उपयोग करना उपयोगी हो सकता है:

• प्रश्न हल करें:

• समाधान: आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी घात तक बढ़ाएं और उपरोक्त पहचान का उपयोग करें:

• ध्यान दें कि कोष्ठक में अभिव्यक्ति 1 के बराबर है, जो मूल समीकरण से अनुसरण करता है। इसे ध्यान में रखते हुए और समान शर्तें लाते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

• आइए कोष्ठक खोलें, समान पद जोड़ें और द्विघात समीकरण को हल करें। इसकी जड़ें x=5 और x=-25/2 हैं। यदि हम (परिभाषा के अनुसार) मान लें कि ऋणात्मक संख्याओं से विषम मूल भी निकाले जा सकते हैं, तो दोनों प्राप्त संख्याएँ मूल समीकरण का समाधान हैं।

• उत्तर: 5.-25/2

किन मूल्यों पर ए

• किन मूल्यों पर एक्या समीकरण के दो मूल हैं, जिनमें से एक 1 से बड़ा है और दूसरा कम है?

• समाधान: फ़ंक्शन पर विचार करें:

• और इसके ग्राफ का एक रेखाचित्र बनाएं। पर ए=0फ़ंक्शन रैखिक हो जाता है और अक्ष के साथ इसके दो प्रतिच्छेदन होते हैं ओह(समीकरण की जड़ें y=0) औरइसे सहन नहीं कर सकता.

• पर ए>0फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। जड़ों के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त ऐसी है और इस मामले में यही एकमात्र शर्त है:

• अगर और स्थिति, तदनुसार, (चित्र)

• तो समस्या का समाधान औपचारिक रूप से सेट द्वारा दिया गया है:

• उत्तर:

• समीकरणों की एक प्रणाली में दो या दो से अधिक बीजगणितीय समीकरण होते हैं।

• सिस्टम समाधानचर मानों का एक सेट है, जो प्रतिस्थापन पर, सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संख्यात्मक या शाब्दिक पहचान में बदल देता है।

• सिस्टम का समाधान -इसका अर्थ है इसके सभी समाधान ढूंढना या यह साबित करना कि कोई नहीं है।

सिस्टम का ग्राफिक समाधान

• समीकरणों की प्रणालियों को हल करने का एक ग्राफिकल तरीका इस प्रकार है:

• सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ बनाए गए हैं;

• ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित किए जाते हैं;

• उत्तर दर्ज किया गया है: निर्मित ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक।

• अधिकांश मामलों में समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की ग्राफिकल विधि प्रणाली का सटीक समाधान प्रदान नहीं करती है, लेकिन यह तर्क को स्पष्ट रूप से चित्रित करने के लिए उपयोगी हो सकती है।

समाधान:

• समाधान:पहले और तीसरे समीकरण के ग्राफ़ सीधे हैं; दूसरे समीकरण का ग्राफ एक घन परवलय (अंजीर) है। तीन प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से केवल एक ही सिस्टम के समीकरणों के सभी ग्राफ़ों के लिए सामान्य है।

• उत्तर:(0;0)

समीकरणों की समतुल्यता

• समीकरण समतुल्य (समतुल्य) कहलाते हैं यदि पहले समीकरण के सभी मूल दूसरे समीकरण के मूल हों, और दूसरे समीकरण के सभी मूल पहले समीकरण के मूल हों।

• किसी समीकरण के समतुल्य परिवर्तन वे परिवर्तन होते हैं जो समतुल्य समीकरण की ओर ले जाते हैं:

• 1) एक ही समय में समीकरण के दोनों पक्षों में कोई भी संख्या जोड़ना (विशेष रूप से, चिह्न में परिवर्तन के साथ समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों को स्थानांतरित करना)

• 2) समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से एक साथ गुणा करना (और विभाजित करना)।

• इसके अलावा, वास्तविक संख्या डोमेन में समीकरणों के लिए:

• 3) समीकरण के दोनों पक्षों को किसी भी विषम घात तक बढ़ाकर

• 4) समीकरण के दोनों पक्षों को ऊपर उठाना, बशर्ते कि वे किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए गैर-नकारात्मक हों

यू.एन. मकर्यचेव - "बीजगणित।" स्कूल की पाठ्यपुस्तक के लिए अतिरिक्त अध्याय। 8 वीं कक्षा।" 2003

यू.एन. मकर्यचेव - "बीजगणित।" स्कूल की पाठ्यपुस्तक के लिए अतिरिक्त अध्याय। 9 वां दर्जा।" 2003

प्रस्तुतिकरण तैयार किया जाता है:

• शमानोवा विक्टोरिया

• दीवा एलेक्जेंड्रा

• ग्रेड 11

• नगर शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक विद्यालय नंबर 1"

• शुमिखा

• 2007

• विस्तृत जानकारी दूरभाष 83524521413 पर

• माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 1 के शिक्षकों को विशेष धन्यवाद:

• टेरेगुलोवा इरीना विक्टोरोवना

• श्मानोव अनातोली इवानोविच

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, एक बच्चा पहली बार "समीकरण" शब्द सुनता है। यह क्या है, आइए इसे एक साथ जानने का प्रयास करें। इस लेख में हम समाधान के प्रकार और तरीकों पर गौर करेंगे।

अंक शास्त्र। समीकरण

आरंभ करने के लिए, हमारा सुझाव है कि आप इस अवधारणा को ही समझें कि यह क्या है? जैसा कि कई गणित पाठ्यपुस्तकें कहती हैं, एक समीकरण कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं जिनके बीच एक समान चिह्न होना चाहिए। इन अभिव्यक्तियों में अक्षर, तथाकथित चर होते हैं, जिनका मान ज्ञात किया जाना चाहिए।

यह एक सिस्टम विशेषता है जो इसका मान बदलती है। चरों का एक अच्छा उदाहरण हैं:

• हवा का तापमान;
• बच्चे की ऊंचाई;
• वजन वगैरह.

गणित में उन्हें अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, x, a, b, c... आमतौर पर गणित का कार्य इस प्रकार होता है: समीकरण का मान ज्ञात करें। इसका मतलब यह है कि इन चरों का मान ज्ञात करना आवश्यक है।

किस्मों

समीकरण (यह क्या है, इसकी चर्चा हमने पिछले पैराग्राफ में की थी) निम्नलिखित रूप में हो सकता है:

• रैखिक;
• वर्ग;
• घन;
• बीजीय;
• पारमार्थिक।

सभी प्रकारों से अधिक विस्तृत परिचय के लिए, हम प्रत्येक पर अलग से विचार करेंगे।

रेखीय समीकरण

यह पहली प्रजाति है जिससे स्कूली बच्चों को परिचित कराया गया है। इनका समाधान बहुत जल्दी और आसानी से हो जाता है। तो, एक रैखिक समीकरण क्या है? यह इस रूप की अभिव्यक्ति है: ah=c. यह विशेष रूप से स्पष्ट नहीं है, इसलिए आइए कुछ उदाहरण दें: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

आइए समीकरणों के उदाहरण देखें। ऐसा करने के लिए, हमें सभी ज्ञात डेटा को एक तरफ और अज्ञात को दूसरी तरफ इकट्ठा करना होगा: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. यहां गणित के प्रारंभिक नियमों का उपयोग किया गया: a*c=e, इससे c=e/a; ए=ई/सी. समीकरण के समाधान को पूरा करने के लिए, हम एक क्रिया करते हैं (हमारे मामले में, विभाजन) x = 13; एक्स=8; एक्स=5. ये तो गुणन के उदाहरण थे, अब घटाव और जोड़ पर नजर डालते हैं: x+3=9; 10x-5=15. हम ज्ञात डेटा को एक दिशा में स्थानांतरित करते हैं: x=9-3; x=20/10. अंतिम क्रिया करें: x=6; एक्स=2.

विकल्प भी संभव हैं रेखीय समीकरण, जहां एक से अधिक वेरिएबल का उपयोग किया जाता है: 2x-2y=4. हल करने के लिए, प्रत्येक भाग में 2y जोड़ना आवश्यक है, हमें 2x-2y + 2y = 4-2y मिलता है, जैसा कि हमने देखा, द्वारा बाईं तरफसमान चिह्न -2y और +2y को घटा दिया गया है, जिससे हमारे पास रह गया है: 2x=4-2y। अंतिम चरण प्रत्येक भाग को दो से विभाजित करना है, हमें उत्तर मिलता है: x दो ऋण y के बराबर है।

अहम्स पपीरी पर भी समीकरणों की समस्याएँ पाई जाती हैं। यहां एक समस्या है: एक संख्या और उसके चौथे भाग का योग 15 होता है। इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित समीकरण लिखते हैं: x जोड़ एक-चौथाई x बराबर पंद्रह है। हम समाधान के परिणाम के आधार पर एक और उदाहरण देखते हैं, हमें उत्तर मिलता है: x=12। लेकिन इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, अर्थात् मिस्री या, जैसा कि इसे अलग तरह से कहा जाता है, धारणा की विधि। पपीरस निम्नलिखित समाधान का उपयोग करता है: इसका चार चौथाई हिस्सा लें, यानी एक। कुल मिलाकर वे पाँच देते हैं, अब पंद्रह को योग से विभाजित किया जाना चाहिए, हमें तीन मिलते हैं, अंतिम चरण तीन को चार से गुणा करना है। हमें उत्तर मिलता है: 12. हम समाधान में पंद्रह को पाँच से क्यों विभाजित करते हैं? तो हमें पता चलता है कि पंद्रह का कितना गुना है, यानी हमें जो परिणाम प्राप्त करना है वह पांच से कम है। मध्य युग में समस्याओं को इस प्रकार हल किया जाता था; इसे मिथ्या स्थिति पद्धति के रूप में जाना जाने लगा।

द्विघातीय समीकरण

पहले चर्चा किए गए उदाहरणों के अलावा, अन्य भी हैं। वास्तव में कौन से? द्विघात समीकरण, यह क्या है? वे ax 2 +bx+c=0 जैसे दिखते हैं। उन्हें हल करने के लिए, आपको कुछ अवधारणाओं और नियमों से खुद को परिचित करना होगा।

सबसे पहले, आपको सूत्र का उपयोग करके विवेचक को ढूंढना होगा: b 2 -4ac। निर्णय के तीन संभावित परिणाम हैं:

• विवेचक शून्य से बड़ा है;
• शून्य से कम;
• शून्य के बराबर.

पहले विकल्प में, हम दो जड़ों से उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, जो सूत्र के अनुसार पाए जाते हैं: -बी+-विवेचक की जड़ को पहले गुणांक के दोगुने से विभाजित किया जाता है, यानी 2ए।

दूसरे मामले में, समीकरण की कोई जड़ नहीं है। तीसरे मामले में, मूल सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है: -b/2a।

आइए अधिक विस्तृत परिचय के लिए द्विघात समीकरण का एक उदाहरण देखें: तीन x वर्ग शून्य से चौदह x शून्य पांच शून्य के बराबर है। आरंभ करने के लिए, जैसा कि पहले लिखा गया था, हम एक विवेचक की तलाश कर रहे हैं, हमारे मामले में यह 256 के बराबर है। ध्यान दें कि परिणामी संख्या शून्य से अधिक है, इसलिए, हमें दो जड़ों वाला उत्तर मिलना चाहिए। हम परिणामी विवेचक को मूल खोजने के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास है: x बराबर पाँच और शून्य से एक तिहाई।

द्विघात समीकरणों में विशेष मामले

ये ऐसे उदाहरण हैं जिनमें कुछ मान शून्य (ए, बी या सी) हैं, और संभवतः एक से अधिक हैं।

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित समीकरण लें, जो एक द्विघात है: दो x वर्ग शून्य के बराबर हैं, यहां हम देखते हैं कि b और c शून्य के बराबर हैं। आइए इसे हल करने का प्रयास करें, ऐसा करने के लिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को दो से विभाजित करते हैं, हमारे पास है: x 2 =0। परिणामस्वरूप, हमें x=0 प्राप्त होता है।

दूसरा मामला 16x 2 -9=0 है। यहाँ केवल b=0. आइए समीकरण को हल करें, मुक्त गुणांक को दाईं ओर स्थानांतरित करें: 16x 2 = 9, अब हम प्रत्येक भाग को सोलह से विभाजित करते हैं: x 2 = नौ सोलहवें। चूँकि हमारे पास x का वर्ग है, 9/16 का मूल या तो ऋणात्मक या धनात्मक हो सकता है। हम उत्तर इस प्रकार लिखते हैं: x बराबर प्लस/माइनस तीन-चौथाई है।

एक अन्य संभावित उत्तर यह है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है। आइए इस उदाहरण को देखें: 5x 2 +80=0, यहां b=0। हल करने के लिए, मुक्त सदस्य को इसमें फेंकें दाहिनी ओर, इन क्रियाओं के बाद हमें मिलता है: 5x 2 = -80, अब हम प्रत्येक भाग को पाँच से विभाजित करते हैं: x 2 = शून्य सोलह। यदि हम किसी संख्या का वर्ग करें तो हमें कोई ऋणात्मक मान प्राप्त नहीं होगा। इसलिए, हमारा उत्तर है: समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

त्रिपद विस्तार

द्विघात समीकरणों पर एक कार्य इस तरह भी लग सकता है: विस्तार करें द्विघात त्रिपदगुणक द्वारा. यह निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है: a(x-x 1)(x-x 2)। ऐसा करने के लिए, कार्य के अन्य संस्करण की तरह, एक विवेचक को ढूंढना आवश्यक है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: 3x 2 -14x-5, त्रिपद का गुणनखंड करें। हम पहले से ही ज्ञात सूत्र का उपयोग करके विवेचक को ढूंढते हैं, यह 256 के बराबर होता है। हम तुरंत ध्यान देते हैं कि 256 शून्य से बड़ा है, इसलिए, समीकरण की दो जड़ें होंगी। हम उन्हें ढूंढते हैं, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में है, हमारे पास है: x = पांच और शून्य से एक तिहाई। आइए त्रिपद का गुणनखंड करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: 3(x-5)(x+1/3)। दूसरे कोष्ठक में हमें एक समान चिह्न मिला, क्योंकि सूत्र में एक ऋण चिह्न है, और मूल भी ऋणात्मक है, गणित के बुनियादी ज्ञान का उपयोग करते हुए, योग में हमें एक प्लस चिह्न मिलता है। सरल बनाने के लिए, आइए भिन्न से छुटकारा पाने के लिए समीकरण के पहले और तीसरे पदों को गुणा करें: (x-5)(x+1)।

समीकरण द्विघात में कम हो रहे हैं

इस अनुभाग में हम सीखेंगे कि अधिक जटिल समीकरणों को कैसे हल किया जाए। आइए तुरंत एक उदाहरण से शुरुआत करें:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. हम दोहराए जाने वाले तत्वों को देख सकते हैं: (x 2 - 2x), इसे हल करने के लिए इसे किसी अन्य चर के साथ बदलना हमारे लिए सुविधाजनक है, और फिर सामान्य द्विघात समीकरण को तुरंत हल करें। हम ध्यान दें कि ऐसे कार्य में हमें चार मूल मिलेंगे, इससे आपको डरना नहीं चाहिए। हम चर a की पुनरावृत्ति को निरूपित करते हैं। हमें मिलता है: a 2 -2a-3=0. हमारा अगला कदमएक नए समीकरण का विवेचक ढूंढ रहा है। हमें 16 मिलते हैं, दो मूल मिलते हैं: शून्य से एक और तीन। हमें याद है कि हमने प्रतिस्थापन किया था, इन मानों को प्रतिस्थापित किया था, परिणामस्वरूप हमारे पास समीकरण हैं: x 2 - 2x=-1; एक्स 2 - 2एक्स=3. हम उन्हें पहले उत्तर में हल करते हैं: x एक के बराबर है, दूसरे में: x शून्य से एक और तीन के बराबर है। हम उत्तर इस प्रकार लिखते हैं: प्लस/माइनस एक और तीन। नियमानुसार उत्तर आरोही क्रम में लिखा जाता है।

घन समीकरण

आइए एक और देखें संभावित संस्करण. इसके बारे मेंघन समीकरणों के बारे में. वे इस प्रकार दिखते हैं: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. हम नीचे समीकरणों के उदाहरण देखेंगे, लेकिन पहले, थोड़ा सिद्धांत। उनकी तीन जड़ें हो सकती हैं, और घन समीकरण के लिए विभेदक खोजने का एक सूत्र भी है।

आइए एक उदाहरण देखें: 3x 3 +4x 2 +2x=0. इसे कैसे हल करें? ऐसा करने के लिए, हम बस x को कोष्ठक से बाहर रखते हैं: x(3x 2 +4x+2)=0. हमें बस कोष्ठक में समीकरण के मूलों की गणना करनी है। कोष्ठक में द्विघात समीकरण का विभेदक शून्य से कम है, इसके आधार पर, अभिव्यक्ति का एक मूल है: x=0.

बीजगणित. समीकरण

चलिए अगले दृश्य पर चलते हैं। अब हम संक्षेप में देखेंगे बीजगणितीय समीकरण. कार्यों में से एक इस प्रकार है: कारक 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5। सबसे सुविधाजनक तरीका निम्नलिखित समूहीकरण होगा: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5)। ध्यान दें कि हमने पहली अभिव्यक्ति से 8x 2 को 3x 2 और 5x 2 के योग के रूप में दर्शाया है। अब हम प्रत्येक कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) निकालते हैं। हम देखते हैं कि हमारे पास एक सामान्य गुणनखंड है: x वर्ग प्लस एक, हम इसे कोष्ठक से निकालते हैं: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5)। आगे विस्तार संभव नहीं है क्योंकि दोनों समीकरणों में नकारात्मक विभेदक है।

पारलौकिक समीकरण

हमारा सुझाव है कि आप निम्न प्रकार से निपटें। ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें पारलौकिक कार्य शामिल हैं, अर्थात् लघुगणक, त्रिकोणमितीय या घातांक। उदाहरण: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 इत्यादि। त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम में आप सीखेंगे कि इन्हें कैसे हल किया जाता है।

समारोह

अंतिम चरण किसी फ़ंक्शन के समीकरण की अवधारणा पर विचार करना है। पिछले विकल्पों के विपरीत, इस प्रकार को हल नहीं किया जाता है, लेकिन इसके आधार पर एक ग्राफ़ बनाया जाता है। ऐसा करने के लिए, समीकरण का अच्छी तरह से विश्लेषण करना, निर्माण के लिए सभी आवश्यक बिंदु ढूंढना और न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं की गणना करना उचित है।