ऑनलाइन समीकरण समाधान सेवा आपको किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करेगी। हमारी वेबसाइट का उपयोग करके, आप न केवल समीकरण का उत्तर प्राप्त करेंगे, बल्कि एक विस्तृत समाधान भी देखेंगे, यानी परिणाम प्राप्त करने की प्रक्रिया का चरण-दर-चरण प्रदर्शन। हमारी सेवा हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी होगी माध्यमिक स्कूलोंऔर उनके माता-पिता. छात्र परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी कर सकेंगे, अपने ज्ञान का परीक्षण कर सकेंगे और माता-पिता अपने बच्चों द्वारा गणितीय समीकरणों के समाधान की निगरानी कर सकेंगे। स्कूली बच्चों के लिए समीकरणों को हल करने की क्षमता एक अनिवार्य आवश्यकता है। यह सेवा आपको खुद को शिक्षित करने और गणितीय समीकरणों के क्षेत्र में अपने ज्ञान को बेहतर बनाने में मदद करेगी। इसकी सहायता से आप किसी भी समीकरण को हल कर सकते हैं: द्विघात, घन, अपरिमेय, त्रिकोणमितीय, आदि। लाभ ऑनलाइन सेवाऔर अमूल्य है, क्योंकि सही उत्तर के अलावा, आपको प्रत्येक समीकरण का विस्तृत समाधान भी मिलता है। समीकरणों को ऑनलाइन हल करने के लाभ. आप हमारी वेबसाइट पर किसी भी समीकरण को बिल्कुल निःशुल्क ऑनलाइन हल कर सकते हैं। सेवा पूरी तरह से स्वचालित है, आपको अपने कंप्यूटर पर कुछ भी इंस्टॉल करने की ज़रूरत नहीं है, आपको बस डेटा दर्ज करना होगा और प्रोग्राम आपको समाधान देगा। गणना या टाइपो में किसी भी त्रुटि को बाहर रखा गया है। हमारे साथ, किसी भी समीकरण को ऑनलाइन हल करना बहुत आसान है, इसलिए किसी भी प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए हमारी साइट का उपयोग करना सुनिश्चित करें। आपको केवल डेटा दर्ज करना होगा और गणना कुछ ही सेकंड में पूरी हो जाएगी। कार्यक्रम मानवीय हस्तक्षेप के बिना स्वतंत्र रूप से काम करता है, और आपको एक सटीक और विस्तृत उत्तर मिलता है। में समीकरण को हल करना सामान्य रूप से देखें. ऐसे समीकरण में, चर गुणांक और वांछित मूल आपस में जुड़े हुए हैं। किसी चर की उच्चतम शक्ति ऐसे समीकरण का क्रम निर्धारित करती है। इसके आधार पर, समीकरणों के लिए उपयोग करें विभिन्न तरीकेऔर समाधान खोजने के लिए प्रमेय। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने का अर्थ है सामान्य रूप में आवश्यक मूल ज्ञात करना। हमारी सेवा आपको सबसे जटिल बीजगणितीय समीकरण को भी ऑनलाइन हल करने की अनुमति देती है। आप जैसे पा सकते हैं सामान्य निर्णयसमीकरण, और आपके द्वारा बताए गए समीकरणों का भागफल संख्यात्मक मूल्यगुणांकों वेबसाइट पर बीजगणितीय समीकरण को हल करने के लिए, केवल दो फ़ील्ड को सही ढंग से भरना पर्याप्त है: दिए गए समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष। चर गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरणों में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, और कुछ शर्तों को निर्धारित करके, समाधानों के सेट से आंशिक समाधानों का चयन किया जाता है। द्विघात समीकरण। द्विघात समीकरण का रूप a>0 के लिए ax^2+bx+c=0 है। समीकरण हल करना चौकोर लुकइसका तात्पर्य x के उन मानों को खोजना है जिन पर समानता ax^2+bx+c=0 कायम है। ऐसा करने के लिए, सूत्र D=b^2-4ac का उपयोग करके विभेदक मान ज्ञात करें। यदि विवेचक शून्य से कम है, तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है (मूल सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र से हैं), यदि यह शून्य के बराबर है, तो समीकरण का एक वास्तविक मूल है, और यदि विवेचक शून्य से बड़ा है , तो समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, जो सूत्र द्वारा पाए जाते हैं: D = -b+-sqrt/2a। द्विघात समीकरण को ऑनलाइन हल करने के लिए, आपको बस समीकरण के गुणांक (पूर्णांक, भिन्न या दशमलव) दर्ज करने होंगे। यदि किसी समीकरण में घटाव चिह्न हैं, तो आपको समीकरण के संगत पदों के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा। आप पैरामीटर, यानी समीकरण के गुणांकों में चर के आधार पर द्विघात समीकरण को ऑनलाइन हल कर सकते हैं। सामान्य समाधान खोजने के लिए हमारी ऑनलाइन सेवा इस कार्य को अच्छी तरह से करती है। रेखीय समीकरण। समाधान के लिए रेखीय समीकरण(या समीकरणों की प्रणाली) व्यवहार में उपयोग की जाने वाली चार मुख्य विधियाँ हैं। हम प्रत्येक विधि का विस्तार से वर्णन करेंगे। प्रतिस्थापन विधि. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के लिए एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करने की आवश्यकता होती है। इसके बाद, व्यंजक को सिस्टम के अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है। इसलिए समाधान विधि का नाम, अर्थात् एक चर के स्थान पर उसकी अभिव्यक्ति को शेष चर के माध्यम से प्रतिस्थापित किया जाता है। व्यवहार में, विधि को जटिल गणनाओं की आवश्यकता होती है, हालांकि इसे समझना आसान है, इसलिए ऐसे समीकरण को ऑनलाइन हल करने से समय बचाने में मदद मिलेगी और गणना आसान हो जाएगी। आपको बस समीकरण में अज्ञात की संख्या इंगित करने और रैखिक समीकरणों से डेटा भरने की आवश्यकता है, फिर सेवा गणना करेगी। गॉस विधि. समतुल्य प्रणाली पर पहुंचने के लिए यह विधि प्रणाली के सबसे सरल परिवर्तनों पर आधारित है दिखने में त्रिकोणीय. इससे एक-एक करके अज्ञात का निर्धारण होता है। व्यवहार में, ऐसे समीकरण को ऑनलाइन हल करना आवश्यक है विस्तृत विवरण, जिसकी बदौलत आपको रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गाऊसी विधि की अच्छी समझ होगी। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को सही प्रारूप में लिखें और प्रणाली को सही ढंग से हल करने के लिए अज्ञात की संख्या को ध्यान में रखें। क्रैमर विधि. यह विधि उन मामलों में समीकरणों की प्रणालियों को हल करती है जहां सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान होता है। मुख्य गणितीय कार्ययहां मैट्रिक्स निर्धारकों की गणना है। क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना ऑनलाइन किया जाता है, आपको पूर्ण और विस्तृत विवरण के साथ तुरंत परिणाम प्राप्त होता है। सिस्टम को गुणांकों से भरना और अज्ञात चर की संख्या का चयन करना ही पर्याप्त है। मैट्रिक्स विधि. इस विधि में मैट्रिक्स ए में अज्ञात के गुणांक, कॉलम एक्स में अज्ञात और कॉलम बी में मुक्त शब्दों को एकत्रित करना शामिल है। इस प्रकार, रैखिक समीकरणों की प्रणाली कम हो जाती है मैट्रिक्स समीकरण AxX=B टाइप करें। इस समीकरण का एक अद्वितीय समाधान केवल तभी होता है जब मैट्रिक्स ए का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अन्यथा सिस्टम में कोई समाधान नहीं होता है, या अनंत संख्या में समाधान होते हैं। समीकरण हल करना मैट्रिक्स विधिखोजना है उलटा मैट्रिक्सएक।
इस वीडियो में हम रैखिक समीकरणों के पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे जिन्हें एक ही एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किया जाता है - यही कारण है कि उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।
सबसे पहले, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और किसे सबसे सरल कहा जाता है?
एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री तक।
सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:
एल्गोरिथ्म का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम में घटा दिया गया है:
- कोष्ठक, यदि कोई हो, विस्तृत करें;
- एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक ओर ले जाएँ, और बिना चर वाले पदों को दूसरी ओर ले जाएँ;
- समान चिह्न के बाएँ और दाएँ के लिए समान पद दीजिए;
- परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।
बेशक, यह एल्गोरिथम हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी इन सभी साजिशों के बाद चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:
- समीकरण का कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, जब $0\cdot x=8$ जैसा कुछ निकलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में हम कई कारणों पर गौर करेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
- समाधान सभी संख्याएँ हैं। यह एकमात्र मामला है जब यह संभव है जब समीकरण को $0\cdot x=0$ की संरचना में घटा दिया गया हो। यह काफी तर्कसंगत है कि चाहे हम $x$ को किसी भी स्थान पर रखें, फिर भी यह "शून्य, शून्य के बराबर है" ही निकलेगा, यानी। सही संख्यात्मक समानता.
अब आइए देखें कि वास्तविक जीवन के उदाहरणों का उपयोग करके यह सब कैसे काम करता है।
समीकरण हल करने के उदाहरण
आज हम रैखिक समीकरणों और केवल सबसे सरल समीकरणों से निपट रहे हैं। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का मतलब किसी भी समानता से होता है जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।
ऐसे निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:
- सबसे पहले, आपको कोष्ठक का विस्तार करना होगा, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
- फिर समान मिला लें
- अंत में, वेरिएबल को अलग करें, यानी वेरिएबल से जुड़ी हर चीज को - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ ले जाएं, और जो कुछ भी इसके बिना रहता है उसे दूसरी तरफ ले जाएं।
फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद जो कुछ बचा है उसे "x" के गुणांक से विभाजित करना है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।
सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आक्रामक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, त्रुटियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय या "प्लस" और "माइनस" की गणना करते समय की जाती हैं।
इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई समाधान नहीं होता है, या समाधान पूरी संख्या रेखा होती है, यानी। कोई संख्या। आज के पाठ में हम इन सूक्ष्मताओं पर गौर करेंगे। लेकिन हम शुरुआत करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, उसी से सरल कार्य.
सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना
सबसे पहले, मैं एक बार फिर सबसे सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखूंगा:
- कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
- हम चरों को अलग करते हैं, अर्थात्। हम हर उस चीज़ को एक तरफ ले जाते हैं जिसमें "X" है, और हर चीज़ को बिना "X" के दूसरी तरफ ले जाते हैं।
- हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं।
- हम हर चीज़ को "x" के गुणांक से विभाजित करते हैं।
बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है; इसमें कुछ बारीकियाँ और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।
सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना
कार्य संख्या 1
पहले चरण में हमें कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में हमें वेरिएबल्स को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शब्दों के बारे में बात कर रहे हैं। आइए इसे लिखें:
हम बाएँ और दाएँ समान शब्द प्रस्तुत करते हैं, लेकिन यह यहाँ पहले ही किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: गुणांक से विभाजित करें:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
तो हमें जवाब मिल गया.
कार्य क्रमांक 2
हम इस समस्या में कोष्ठक देख सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:
बाईं ओर और दाईं ओर दोनों पर हम लगभग एक ही डिज़ाइन देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। चरों को अलग करना:
यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:
यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए. इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।
कार्य क्रमांक 3
तीसरा रैखिक समीकरण अधिक दिलचस्प है:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जाता है, उनके पहले बस अलग-अलग चिह्न होते हैं। आइए उन्हें तोड़ें:
हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण निष्पादित करते हैं:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
आइए गणित करें:
हम अंतिम चरण अपनाते हैं - हर चीज़ को "x" के गुणांक से विभाजित करते हैं:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें
यदि हम बहुत सरल कार्यों को नजरअंदाज करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:
- जैसा कि मैंने ऊपर कहा, प्रत्येक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल ही नहीं होता;
- यदि जड़ें हैं भी, तो उनमें शून्य भी हो सकता है - इसमें कुछ भी गलत नहीं है।
शून्य अन्य संख्याओं के समान ही है; आपको इसके साथ किसी भी तरह का भेदभाव नहीं करना चाहिए या यह नहीं मानना चाहिए कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।
एक अन्य विशेषता कोष्ठक के खुलने से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम का उपयोग करके खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।
इस सरल तथ्य को समझने से आपको हाई स्कूल में मूर्खतापूर्ण और दुखद गलतियाँ करने से बचने में मदद मिलेगी, जब ऐसी चीजें करने को हल्के में लिया जाता है।
जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना
आइए अधिक जटिल समीकरणों की ओर बढ़ते हैं। अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात फलन दिखाई देगा। हालाँकि, हमें इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक की योजना के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल कर रहे हैं, तो परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान द्विघात फलन वाले सभी एकपदी अनिवार्य रूप से रद्द हो जाएंगे।
उदाहरण क्रमांक 1
जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:
आइए अब गोपनीयता पर एक नजर डालते हैं:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:
जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, इसलिए हम इसे उत्तर में लिखेंगे:
\[\कुछ भी नहीं\]
या कोई जड़ें नहीं हैं.
उदाहरण क्रमांक 2
हम वही क्रियाएं करते हैं. पहला कदम:
आइए एक वेरिएबल के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:
यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:
जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिखेंगे:
\[\कुछ नहीं\],
या कोई जड़ें नहीं हैं.
समाधान की बारीकियां
दोनों समीकरण पूर्णतः हल हो गये हैं। उदाहरण के तौर पर इन दो अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हुए, हम एक बार फिर आश्वस्त हो गए कि सबसे सरल रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक, या कोई नहीं, या अनंत रूप से कई जड़ें हो सकती हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों का कोई मूल नहीं है।
लेकिन मैं आपका ध्यान एक अन्य तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठकों के साथ कैसे काम करें और यदि उनके सामने ऋण चिह्न हो तो उन्हें कैसे खोलें। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:
खोलने से पहले, आपको हर चीज़ को "X" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करता है प्रत्येक व्यक्तिगत पद. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा।
और इन प्रतीत होने वाले प्राथमिक, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, क्या आप इस तथ्य के दृष्टिकोण से ब्रैकेट खोल सकते हैं कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हाँ, हाँ: केवल अब, जब परिवर्तन पूरा हो जाता है, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि नीचे सब कुछ बस चिह्न बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।
हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:
यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, महत्वहीन लगने वाले तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा प्रारंभिक परिवर्तनों का एक क्रम होता है, जहां स्पष्ट रूप से और सक्षम रूप से सरल कार्यों को करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और फिर से ऐसे सरल समीकरणों को हल करना सीखते हैं।
निःसंदेह, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता की हद तक निखार लेंगे। अब आपको हर बार इतने सारे परिवर्तन नहीं करने पड़ेंगे, आप सब कुछ एक ही पंक्ति में लिखेंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।
और भी अधिक जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना
अब हम जो हल करने जा रहे हैं उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।
कार्य संख्या 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
आइए पहले भाग के सभी तत्वों को गुणा करें:
आइए कुछ गोपनीयता बरतें:
यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:
आइए अंतिम चरण पूरा करें:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है. और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फलन वाले गुणांक थे, उन्होंने एक-दूसरे को रद्द कर दिया, जो समीकरण को द्विघात नहीं बल्कि रैखिक बनाता है।
कार्य क्रमांक 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
आइए पहले चरण को ध्यानपूर्वक पूरा करें: पहले ब्रैकेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे ब्रैकेट के प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल चार नए पद होने चाहिए:
आइए अब प्रत्येक पद में सावधानीपूर्वक गुणन करें:
आइए "X" वाले शब्दों को बाईं ओर और बिना वाले शब्दों को दाईं ओर ले जाएं:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
यहाँ समान शब्द हैं:
एक बार फिर हमें अंतिम उत्तर मिल गया है.
समाधान की बारीकियां
इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण नोट निम्नलिखित है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें एक से अधिक पद होते हैं, यह निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: हम पहले से पहला पद लेते हैं और प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं दूसरा; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे तत्व से प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास चार पद होंगे।
बीजगणितीय योग के बारे में
इस अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा तात्पर्य एक साधारण निर्माण से है: एक में से सात घटाएँ। बीजगणित में, इससे हमारा तात्पर्य निम्नलिखित है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम है "शून्य से सात"। इस प्रकार एक बीजगणितीय योग एक सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।
जैसे ही, सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणन करते समय, आपको ऊपर वर्णित संरचनाओं के समान संरचनाएं दिखाई देने लगती हैं, आपको बहुपदों और समीकरणों के साथ काम करते समय बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।
अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा अभी देखे गए से भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए हमें अपने मानक एल्गोरिदम को थोड़ा विस्तारित करना होगा।
भिन्न वाले समीकरणों को हल करना
ऐसे कार्यों को हल करने के लिए हमें अपने एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं आपको हमारे एल्गोरिदम की याद दिला दूं:
- कोष्ठक खोलना।
- अलग चर.
- समान लाओ.
- अनुपात से विभाजित करें.
अफसोस, यह अद्भुत एल्गोरिदम, अपनी सभी प्रभावशीलता के बावजूद, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं साबित होता है जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, उसमें दोनों समीकरणों में बाएँ और दाएँ दोनों तरफ एक भिन्न है।
इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ने की आवश्यकता है, जिसे पहली क्रिया से पहले और बाद में दोनों किया जा सकता है, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाना। तो एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:
- भिन्नों से छुटकारा पाएं.
- कोष्ठक खोलना।
- अलग चर.
- समान लाओ.
- अनुपात से विभाजित करें.
"भिन्नों से छुटकारा पाने" का क्या मतलब है? और यह पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों समय क्यों किया जा सकता है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न अपने हर में संख्यात्मक हैं, अर्थात। हर जगह हर एक संख्या ही है. इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों को इस संख्या से गुणा करें, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिल जाएगा।
उदाहरण क्रमांक 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
कृपया ध्यान दें: प्रत्येक चीज़ को एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो कोष्ठक हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। चलो लिखते है:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
अब आइए विस्तार करें:
हम चर को अलग करते हैं:
हम समान शर्तों की कमी करते हैं:
\[-4x=-1\बाएँ| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
हमें मिला अंतिम निर्णय, चलिए दूसरे समीकरण पर चलते हैं।
उदाहरण क्रमांक 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
यहां हम वही सभी क्रियाएं करते हैं:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
समस्या सुलझ गई है।
वास्तव में, मैं आज आपको बस यही बताना चाहता था।
प्रमुख बिंदु
मुख्य निष्कर्ष हैं:
- रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
- कोष्ठक खोलने की क्षमता.
- यदि आप देखें तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में वे कम हो जाएंगे।
- रैखिक समीकरणों में तीन प्रकार की जड़ें होती हैं, यहां तक कि सबसे सरल भी: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, और कोई जड़ नहीं होती।
मुझे आशा है कि यह पाठ आपको संपूर्ण गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय पर महारत हासिल करने में मदद करेगा। यदि कुछ स्पष्ट नहीं है तो साइट पर जाएं और वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, कई और दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!
समीकरण
समीकरण कैसे हल करें?
इस अनुभाग में हम सबसे प्राथमिक समीकरणों को याद करेंगे (या अध्ययन करेंगे, यह इस पर निर्भर करता है कि आप किसे चुनते हैं)। तो समीकरण क्या है? मानव भाषा में, यह एक प्रकार की गणितीय अभिव्यक्ति है जहाँ एक समान चिह्न और एक अज्ञात होता है। जिसे सामान्यतः अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है "एक्स". प्रश्न हल करें- यह x के ऐसे मान ज्ञात करना है, जिन्हें प्रतिस्थापित करने पर मूलअभिव्यक्ति ही हमें सही पहचान दिलाएगी. मैं आपको याद दिला दूं कि पहचान एक ऐसी अभिव्यक्ति है जो उस व्यक्ति के लिए भी संदेह से परे है जिस पर गणितीय ज्ञान का बोझ बिल्कुल नहीं है। जैसे 2=2, 0=0, ab=ab इत्यादि। तो समीकरण कैसे हल करें?आइए इसका पता लगाएं।
सभी प्रकार के समीकरण हैं (मैं आश्चर्यचकित हूं, ठीक है?)। लेकिन उनकी सारी अनंत विविधता को केवल चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है।
4. अन्य।)
बाकी सभी, निश्चित रूप से, सबसे अधिक, हाँ...) इसमें घन, घातीय, लघुगणक, त्रिकोणमितीय और अन्य सभी प्रकार शामिल हैं। हम उचित अनुभागों में उनके साथ मिलकर काम करेंगे।
मैं तुरंत कहूंगा कि कभी-कभी पहले के समीकरण तीन प्रकारवे तुम्हें इतना धोखा देंगे कि तुम उन्हें पहचान भी नहीं पाओगे... कुछ नहीं। हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे शांत किया जाए।
और हमें इन चार प्रकारों की आवश्यकता क्यों है? और फिर क्या रेखीय समीकरणएक तरह से हल किया गया वर्गअन्य, भिन्नात्मक परिमेय - तीसरा,ए आरामउनमें बिल्कुल भी हिम्मत नहीं है! खैर, ऐसा नहीं है कि वे बिल्कुल निर्णय नहीं ले सकते, बात यह है कि मैं गणित में गलत था।) यह सिर्फ इतना है कि उनके लिए अपने स्वयं के हैं विशेष चालेंऔर तरीके.
लेकिन किसी के लिए (मैं दोहराता हूं - के लिए कोई भी!) समीकरण हल करने के लिए एक विश्वसनीय और असफल-सुरक्षित आधार प्रदान करते हैं। हर जगह और हमेशा काम करता है. यह फाउंडेशन - डरावना लगता है, लेकिन यह बहुत सरल है। और बहुत (बहुत!)महत्वपूर्ण।
दरअसल, समीकरण के समाधान में ये ही परिवर्तन शामिल हैं। 99% सवाल का जवाब है: " समीकरण कैसे हल करें?" सटीक रूप से इन परिवर्तनों में निहित है। क्या संकेत स्पष्ट है?)
समीकरणों के समान परिवर्तन।
में कोई समीकरणअज्ञात को खोजने के लिए, आपको मूल उदाहरण को बदलने और सरल बनाने की आवश्यकता है। और इसलिए कि बदलते समय उपस्थिति समीकरण का सार नहीं बदला है.ऐसे परिवर्तन कहलाते हैं समानया उसके बराबर।
ध्यान दें कि ये परिवर्तन लागू होते हैं विशेष रूप से समीकरणों के लिए.गणित में पहचान परिवर्तन भी होते हैं भाव.यह दूसरा विषय है.
अब हम सब, सब, सब मूल दोहराएँगे समीकरणों के समान परिवर्तन.
बुनियादी क्योंकि उन्हें लागू किया जा सकता है कोईसमीकरण - रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक, त्रिकोणमितीय, घातांकीय, लघुगणक, आदि। और इसी तरह।
पहला पहचान परिवर्तन: आप किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़ (घटा) सकते हैं कोई(लेकिन एक ही!) संख्या या अभिव्यक्ति (किसी अज्ञात के साथ अभिव्यक्ति सहित!)। इससे समीकरण का सार नहीं बदलता.
वैसे, आपने लगातार इस परिवर्तन का उपयोग किया, आपने बस यह सोचा कि आप चिह्न परिवर्तन के साथ कुछ पदों को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित कर रहे हैं। प्रकार:
मामला परिचित है, हम दोनों को दाईं ओर ले जाते हैं, और हमें मिलता है:
दरअसल आप दूर ले जाया गयासमीकरण के दोनों ओर से दो है. नतीजा वही है:
एक्स+2 - 2 = 3 - 2
चिह्न परिवर्तन के साथ शब्दों को बाएँ और दाएँ घुमाना पहले पहचान परिवर्तन का एक संक्षिप्त संस्करण है। और हमें इतने गहन ज्ञान की आवश्यकता क्यों है? - आप पूछना। समीकरणों में कुछ भी नहीं. भगवान के लिए, इसे सहन करो। बस चिह्न बदलना न भूलें. लेकिन असमानताओं में स्थानांतरण की आदत अंत की ओर ले जा सकती है...
दूसरा पहचान परिवर्तन: समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही चीज़ से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है शून्येतरसंख्या या अभिव्यक्ति. यहां एक समझने योग्य सीमा पहले से ही दिखाई देती है: शून्य से गुणा करना मूर्खतापूर्ण है, और विभाजित करना पूरी तरह से असंभव है। यह वह परिवर्तन है जिसका उपयोग आप तब करते हैं जब आप किसी बढ़िया चीज़ को हल करते हैं
यह स्पष्ट है एक्स= 2. आपको यह कैसे मिला? चयन द्वारा? या यह बस आप पर ही हावी हो गया? चयन न करने और अंतर्दृष्टि की प्रतीक्षा न करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि आप न्यायपूर्ण हैं समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित किया 5 से विभाजित करते समय बायीं ओर (5x) से पांच कम हो गया, शुद्ध एक्स रह गया। जिसकी हमें बिल्कुल आवश्यकता थी। और (10) के दाएँ पक्ष को पाँच से विभाजित करने पर, आप जानते हैं, हमें दो मिलते हैं।
बस इतना ही।
यह हास्यास्पद है, लेकिन ये दो (केवल दो!) समान परिवर्तन समाधान का आधार हैं गणित के सभी समीकरण.बहुत खूब! क्या और कैसे के उदाहरणों को देखना समझ में आता है, है ना?)
समीकरणों के समान परिवर्तनों के उदाहरण. मुख्य समस्याएँ.
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं पहलापहचान परिवर्तन. बाएँ-दाएँ स्थानांतरित करें।
छोटों के लिए एक उदाहरण।)
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:
3-2x=5-3x
आइए मंत्र याद रखें: "एक्स के साथ - बाईं ओर, एक्स के बिना - दाईं ओर!"यह मंत्र पहले पहचान परिवर्तन का उपयोग करने के लिए निर्देश है।) दाईं ओर एक्स के साथ अभिव्यक्ति क्या है? 3x? उत्तर ग़लत है! हमारे दाहिनी ओर - 3x! ऋणतीन एक्स! इसलिए, बाईं ओर जाने पर चिह्न प्लस में बदल जाएगा। यह निकलेगा:
3-2x+3x=5
तो, एक्स को ढेर में एकत्र किया गया। आइए संख्याओं पर गौर करें। बाईं ओर तीन है. किस चिन्ह से? उत्तर "किसी के साथ" स्वीकार नहीं किया जाता है!) तीनों के सामने, वास्तव में, कुछ भी नहीं खींचा गया है। और इसका मतलब यह है कि तीन से पहले वहाँ है प्लस.तो गणितज्ञ सहमत हो गए। कुछ भी नहीं लिखा है, जिसका मतलब है प्लस.इसलिए, में दाहिनी ओरट्रोइका को स्थानांतरित कर दिया जाएगा माइनस के साथ.हम पाते हैं:
-2x+3x=5-3
बस छोटी-छोटी बातें ही बची हैं. बाईं ओर - समान लाएँ, दाईं ओर - गिनें। उत्तर तुरंत आता है:
इस उदाहरण में, एक पहचान परिवर्तन पर्याप्त था। दूसरे की जरूरत नहीं थी. अच्छी तरह से ठीक है।)
बड़े बच्चों के लिए एक उदाहरण।)
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समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। घातांकीय या घातांकीय समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें चर घातों में होते हैं और आधार एक संख्या होती है। उदाहरण के लिए:
घातांकीय समीकरण का हल घटकर 2 हो जाता है सरल क्रियाएं:
1. आपको यह जांचना होगा कि दाएं और बाएं समीकरण के आधार समान हैं या नहीं। यदि कारण समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्प तलाशते हैं।
2. आधार समान हो जाने के बाद, हम अंशों को बराबर करते हैं और परिणामी नए समीकरण को हल करते हैं।
मान लीजिए हमें निम्नलिखित रूप का एक घातीय समीकरण दिया गया है:
इस समीकरण का समाधान आधार के विश्लेषण से शुरू करना उचित है। आधार अलग-अलग हैं - 2 और 4, लेकिन हल करने के लिए हमें उनका समान होना आवश्यक है, इसलिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके 4 को रूपांतरित करते हैं -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
इसमें जोड़ें मूल समीकरण:
आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें \
आइए व्यक्त करें \
चूँकि डिग्रियाँ समान हैं, हम उन्हें त्याग देते हैं:
उत्तर: \
मैं ऑनलाइन सॉल्वर का उपयोग करके घातीय समीकरण को कहां हल कर सकता हूं?
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