घर रोकथाम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए क्रैमर की विधि। रेखीय समीकरण

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व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए क्रैमर की विधि। रेखीय समीकरण

इस पैराग्राफ में महारत हासिल करने के लिए, आपको "दो बटा दो" और "तीन बटा तीन" निर्धारकों को प्रकट करने में सक्षम होना चाहिए। यदि आप क्वालिफायर में खराब हैं, तो कृपया पाठ का अध्ययन करें निर्धारक की गणना कैसे करें?

सबसे पहले हम दो की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विस्तार से नज़र डालेंगे रेखीय समीकरणदो अज्ञात के साथ. किस लिए? - आख़िरकार सबसे सरल प्रणालीहल किया जा सकता है स्कूल पद्धति, पद-दर-पद जोड़ विधि द्वारा!

तथ्य यह है कि, यद्यपि कभी-कभी, ऐसा कार्य होता है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि क्रैमर के नियम का अधिक उपयोग कैसे करें जटिल मामला- तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली।

इसके अलावा, दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, जिन्हें क्रैमर नियम का उपयोग करके हल करने की सलाह दी जाती है!

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

पहले चरण में, हम निर्धारक की गणना करते हैं, इसे कहा जाता है प्रणाली का मुख्य निर्धारक.

गॉस विधि.

यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए हमें दो और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
और

व्यवहार में, उपरोक्त क्वालीफायर को भी निरूपित किया जा सकता है लैटिन अक्षर.

हम सूत्रों का उपयोग करके समीकरण की जड़ें पाते हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं, दाहिनी ओर हैं दशमलवअल्पविराम के साथ. अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है व्यावहारिक कार्यगणित में, मैंने यह प्रणाली एक अर्थमितीय समस्या से ली है।

ऐसी व्यवस्था का समाधान कैसे करें? आप एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में आप संभवतः भयानक फैंसी अंशों के साथ समाप्त हो जाएंगे जिनके साथ काम करना बेहद असुविधाजनक है, और समाधान का डिज़ाइन बहुत ही भयानक लगेगा। आप दूसरे समीकरण को 6 से गुणा कर सकते हैं और पद दर पद घटा सकते हैं, लेकिन यहां भी वही भिन्न उत्पन्न होंगी।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

उत्तर: ,

दोनों जड़ों में अनंत पूँछें हैं और वे लगभग पाई जाती हैं, जो अर्थमिति समस्याओं के लिए काफी स्वीकार्य (और सामान्य भी) है।

यहां टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कार्य तैयार फ़ार्मुलों का उपयोग करके हल किया गया है, हालांकि, एक चेतावनी है। इस विधि का उपयोग करते समय, अनिवार्यकार्य डिज़ाइन का एक अंश निम्नलिखित अंश है: "इसका मतलब है कि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है". अन्यथा, समीक्षक आपको क्रैमर प्रमेय का अनादर करने के लिए दंडित कर सकता है।

यह जांचना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि कैलकुलेटर पर क्या करना सुविधाजनक है: हम इसमें अनुमानित मान प्रतिस्थापित करते हैं बाईं तरफसिस्टम का प्रत्येक समीकरण. परिणामस्वरूप, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, आपको वे संख्याएँ मिलनी चाहिए जो दाईं ओर हैं।

उदाहरण 8

उत्तर को सामान्य अनुचित भिन्नों में प्रस्तुत करें। जांच करो.

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय(समापन का उदाहरण और पाठ के अंत में उत्तर दें)।

आइए तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विचार करें:

हम सिस्टम का मुख्य निर्धारक पाते हैं:

यदि, तो सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं या असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। इस मामले में, क्रैमर का नियम मदद नहीं करेगा, आपको गॉस विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है और जड़ों को खोजने के लिए हमें तीन और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
, ,

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "तीन बटा तीन" मामला मूल रूप से "दो बटा दो" मामले से अलग नहीं है; मुक्त शब्दों का स्तंभ क्रमिक रूप से मुख्य निर्धारक के स्तंभों के साथ बाएं से दाएं "चलता" है।

उदाहरण 9

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान: आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

उत्तर: .

दरअसल, यहां फिर से टिप्पणी करने के लिए कुछ खास नहीं है, इस तथ्य के कारण कि समाधान तैयार फ़ार्मुलों का पालन करता है। लेकिन कुछ टिप्पणियाँ हैं।

ऐसा होता है कि गणना के परिणामस्वरूप, "खराब" अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए:।
मैं निम्नलिखित "उपचार" एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं। यदि आपके पास कंप्यूटर नहीं है, तो यह करें:

1) गणना में त्रुटि हो सकती है. जैसे ही आपको "खराब" अंश का सामना करना पड़ता है, आपको तुरंत जांच करने की आवश्यकता होती है क्या शर्त सही ढंग से दोबारा लिखी गई है?. यदि स्थिति को त्रुटियों के बिना फिर से लिखा जाता है, तो आपको दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में विस्तार का उपयोग करके निर्धारकों की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है।

2) यदि जाँच के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि नहीं पाई जाती है, तो सबसे अधिक संभावना है कि कार्य शर्तों में कोई त्रुटि थी। इस मामले में, शांति और सावधानी से कार्य को अंत तक पूरा करें, और फिर जाँच अवश्य करेंऔर निर्णय के बाद हम इसे एक साफ़ शीट पर लिखते हैं। बेशक, भिन्नात्मक उत्तर की जाँच करना एक अप्रिय कार्य है, लेकिन यह शिक्षक के लिए एक निहत्था तर्क होगा, जो वास्तव में किसी भी बकवास के लिए माइनस देना पसंद करता है। भिन्नों को कैसे संभालना है इसका उदाहरण 8 के उत्तर में विस्तार से वर्णन किया गया है।

यदि आपके पास कंप्यूटर है, तो जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में ही मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, प्रोग्राम का तुरंत उपयोग करना सबसे अधिक लाभदायक है (समाधान शुरू करने से पहले भी); आप तुरंत मध्यवर्ती चरण देखेंगे जहां आपने गलती की है! वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से सिस्टम के समाधान की गणना करता है मैट्रिक्स विधि.

दूसरी टिप्पणी. समय-समय पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनके समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

यहां पहले समीकरण में कोई चर नहीं है, दूसरे में कोई चर नहीं है। ऐसे मामलों में, मुख्य निर्धारक को सही ढंग से और सावधानीपूर्वक लिखना बहुत महत्वपूर्ण है:
- लुप्त चरों के स्थान पर शून्य रखे गए हैं।
वैसे, जिस पंक्ति (स्तंभ) में शून्य स्थित है, उसके अनुसार शून्य के साथ निर्धारकों को खोलना तर्कसंगत है, क्योंकि इसमें काफी कम गणनाएँ होती हैं।

उदाहरण 10

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है (अंतिम डिजाइन का एक नमूना और पाठ के अंत में उत्तर)।

4 अज्ञात वाले 4 समीकरणों की प्रणाली के मामले में, क्रैमर के सूत्र समान सिद्धांतों के अनुसार लिखे गए हैं। आप निर्धारकों के गुण पाठ में एक जीवंत उदाहरण देख सकते हैं। निर्धारक के क्रम को कम करना - पांच चौथे क्रम के निर्धारक काफी हल करने योग्य हैं। हालाँकि यह कार्य पहले से ही एक भाग्यशाली छात्र की छाती पर प्रोफेसर के जूते की याद दिलाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि अनिवार्य रूप से है विशेष मामला मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण क्रमांक 3 देखें)।

इस अनुभाग का अध्ययन करने के लिए, आपको निर्धारकों का विस्तार करने, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम खोजने और मैट्रिक्स गुणन करने में सक्षम होना चाहिए। स्पष्टीकरण की प्रगति के रूप में प्रासंगिक लिंक प्रदान किए जाएंगे।

उदाहरण 11

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान: आइए सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें:
, कहाँ

कृपया समीकरणों और आव्यूहों की प्रणाली को देखें। मुझे लगता है कि हर कोई उस सिद्धांत को समझता है जिसके द्वारा हम तत्वों को मैट्रिक्स में लिखते हैं। एकमात्र टिप्पणी: यदि समीकरणों से कुछ चर गायब थे, तो शून्य को मैट्रिक्स में संबंधित स्थानों पर रखना होगा।

हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं:
, मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरकों का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक को देखें:

यहां सारणिक का विस्तार पहली पंक्ति पर किया गया है।

ध्यान! यदि, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को अज्ञात को खत्म करने की विधि (गॉस विधि) द्वारा हल किया जाता है।

अब हमें 9 अवयस्कों की गणना करने और उन्हें अवयस्क मैट्रिक्स में लिखने की आवश्यकता है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में दोहरे उपस्क्रिप्ट का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक उस पंक्ति की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

यानी, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति, तीसरे कॉलम में है, और, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति, 2 कॉलम में है

समाधान के दौरान, नाबालिगों की गणना का विस्तार से वर्णन करना बेहतर होता है, हालांकि कुछ अनुभव के साथ आप मौखिक रूप से त्रुटियों के साथ उनकी गणना करने के आदी हो सकते हैं।

पहले भाग में, हमने कुछ सैद्धांतिक सामग्री, प्रतिस्थापन विधि, साथ ही सिस्टम समीकरणों के शब्द-दर-अवधि योग की विधि को देखा। मैं इस पृष्ठ के माध्यम से साइट तक पहुंचने वाले प्रत्येक व्यक्ति को पहला भाग पढ़ने की सलाह देता हूं। शायद कुछ आगंतुकों को सामग्री बहुत सरल लगेगी, लेकिन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की प्रक्रिया में, मैंने सामान्य रूप से गणितीय समस्याओं के समाधान के संबंध में कई महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ और निष्कर्ष निकाले।

अब हम क्रैमर नियम का विश्लेषण करेंगे, साथ ही व्युत्क्रम मैट्रिक्स (मैट्रिक्स विधि) का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करेंगे। सभी सामग्रियां सरलता से, विस्तार से और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत की गई हैं; लगभग सभी पाठक उपरोक्त विधियों का उपयोग करके सिस्टम को हल करने का तरीका सीख सकेंगे।

सबसे पहले, हम दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर करीब से नज़र डालेंगे। किस लिए? – आख़िरकार, सबसे सरल प्रणाली को स्कूल पद्धति, शब्द-दर-चरण जोड़ की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है!

तथ्य यह है कि, यद्यपि कभी-कभी, ऐसा कार्य होता है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि अधिक जटिल मामले के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग कैसे करें - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

गॉस विधि.

व्यवहार में, उपरोक्त क्वालीफायर को लैटिन अक्षर द्वारा भी दर्शाया जा सकता है।

हम सूत्रों का उपयोग करके समीकरण की जड़ें पाते हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं; दाईं ओर अल्पविराम के साथ दशमलव भिन्न हैं। गणित में व्यावहारिक कार्यों में अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है; मैंने इस प्रणाली को एक अर्थमितीय समस्या से लिया है।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

उत्तर: ,

यह जांचना अतिश्योक्ति नहीं होगी, जिसे कैलकुलेटर पर आसानी से किया जा सकता है: हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर अनुमानित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामस्वरूप, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, आपको वे संख्याएँ मिलनी चाहिए जो दाईं ओर हैं।

उदाहरण 8

उत्तर को सामान्य अनुचित भिन्नों में प्रस्तुत करें। जांच करो.

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (अंतिम डिज़ाइन का एक उदाहरण और पाठ के अंत में उत्तर)।

हम सिस्टम का मुख्य निर्धारक पाते हैं:

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण 9

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

उत्तर: .

यदि आपके पास कंप्यूटर है, तो जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में ही मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, प्रोग्राम का तुरंत उपयोग करना सबसे अधिक लाभदायक है (समाधान शुरू करने से पहले भी); आप तुरंत मध्यवर्ती चरण देखेंगे जहां आपने गलती की है! वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम के समाधान की गणना करता है।

उदाहरण 10

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि मूलतः एक विशेष मामला है मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण क्रमांक 3 देखें)।

उदाहरण 11

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान: आइए सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें:
, कहाँ

सबसे पहले, आइए निर्धारक को देखें:

यहां सारणिक का विस्तार पहली पंक्ति पर किया गया है।

2. मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।
3. समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

क्रैमर विधि.

रैखिक की प्रणालियों को हल करने के लिए क्रैमर विधि का उपयोग किया जाता है बीजगणितीय समीकरण (टूटना).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करते हुए सूत्र।
दिया गया:क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

चर के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
आइए निर्धारकों की प्रणाली की गणना के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजें। :

आइए क्रैमर के सूत्र लागू करें और चरों के मान ज्ञात करें:
और .
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:

आइए इस निर्धारक में पहले कॉलम को सिस्टम के दाईं ओर से गुणांक के कॉलम से बदलें और इसका मान ढूंढें:

चलो यह करते हैं समान क्रिया, पहले निर्धारक में दूसरे कॉलम को प्रतिस्थापित करना:

उपयुक्त क्रैमर के सूत्रऔर चरों के मान ज्ञात करें:
और ।
उत्तर:
टिप्पणी:यह विधि उच्च आयामों की प्रणालियों को हल कर सकती है।

टिप्पणी:यदि यह पता चलता है कि, लेकिन इसे शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है, तो वे कहते हैं कि सिस्टम के पास कोई अद्वितीय समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम में या तो अनंत रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 2(समाधान की अनंत संख्या):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
आइए सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजें:

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना।

सिस्टम के समीकरणों में से पहला एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर होता है)। इसका मतलब है कि अब केवल एक ही समीकरण बचा है. यह चरों के बीच संबंध के लिए एक समीकरण है।
हमने पाया कि सिस्टम का समाधान समानता द्वारा एक दूसरे से संबंधित चर के मूल्यों की कोई जोड़ी है।
सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाएगा:
विशेष समाधान y का एक मनमाना मान चुनकर और इस कनेक्शन समानता से x की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है।

वगैरह।
ऐसे अनगिनत समाधान हैं।
उत्तर: सामान्य निर्णय
निजी समाधान:

उदाहरण 3(कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:
आइए सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजें:

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग नहीं किया जा सकता. आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य नहीं है (बेशक, चूंकि -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम का कोई एक समीकरण चर के किसी भी मान के लिए सत्य नहीं है, तो पूरे सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
उत्तर:कोई समाधान नहीं

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में उतने ही समीकरण होते हैं जितनी स्वतंत्र चर की संख्या होती है, अर्थात। की तरह लगता है

रैखिक समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को द्विघात कहा जाता है। स्वतंत्र के लिए गुणांकों से बना एक निर्धारक सिस्टम चर(1.5) को सिस्टम का मुख्य निर्धारक कहा जाता है। हम इसे ग्रीक अक्षर D से निरूपित करेंगे। इस प्रकार,

. (1.6)

यदि मुख्य निर्धारक में एक मनमाना शामिल है ( जेवें) कॉलम, सिस्टम की मुफ्त शर्तों (1.5) के कॉलम से बदलें, फिर आप प्राप्त कर सकते हैं एनसहायक क्वालीफायर:

(जे = 1, 2, …, एन). (1.7)

क्रैमर का नियमरैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को हल करना इस प्रकार है। यदि सिस्टम का मुख्य निर्धारक डी (1.5) शून्य से भिन्न है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, जिसे सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

(1.8)

उदाहरण 1.5.क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें

आइए हम सिस्टम के मुख्य निर्धारक की गणना करें:

D¹0 के बाद से, सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है, जिसे सूत्रों (1.8) का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस प्रकार,

मैट्रिक्स पर कार्रवाई

1. किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना।किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने की प्रक्रिया को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

2. किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको उसके सभी तत्वों को इस संख्या से गुणा करना होगा। वह है

. (1.9)

उदाहरण 1.6. .

मैट्रिक्स जोड़.

यह ऑपरेशन केवल समान क्रम के मैट्रिक्स के लिए पेश किया गया है।

दो आव्यूहों को जोड़ने के लिए, एक आव्यूह के तत्वों में दूसरे आव्यूह के संगत तत्वों को जोड़ना आवश्यक है:

(1.10)
मैट्रिक्स जोड़ के संचालन में साहचर्यता और क्रमविनिमेयता के गुण होते हैं।

उदाहरण 1.7. .

मैट्रिक्स गुणन.

यदि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या एमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या के साथ मेल खाता है में, तो ऐसे आव्यूहों के लिए गुणन संक्रिया शुरू की जाती है:

इस प्रकार, जब एक मैट्रिक्स को गुणा किया जाता है ए DIMENSIONS एम´ एनमैट्रिक्स के लिए में DIMENSIONS एन´ कहमें एक मैट्रिक्स मिलता है साथ DIMENSIONS एम´ क. इस मामले में, मैट्रिक्स तत्व साथनिम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके गणना की जाती है:

समस्या 1.8.यदि संभव हो तो आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए अबऔर बी ० ए।:

समाधान। 1) नौकरी ढूंढने के लिए अब, आपको मैट्रिक्स पंक्तियों की आवश्यकता है एमैट्रिक्स कॉलम से गुणा करें बी:

2) काम बी ० ए।मौजूद नहीं है, क्योंकि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या बीमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल नहीं खाता ए.

उलटा मैट्रिक्स. मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आव्यूह ए- 1 को वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कहा जाता है ए, यदि समानता संतुष्ट है:

कहाँ के माध्यम से मैंमैट्रिक्स के समान क्रम के पहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है ए:

किसी वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका सारणिक शून्य से भिन्न हो। व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

, (1.13)

कहाँ ए आईजे - बीजगणितीय जोड़तत्वों को एक आई.जेमैट्रिक्स ए(ध्यान दें कि मैट्रिक्स पंक्तियों में बीजीय जोड़ एसंगत स्तंभों के रूप में व्युत्क्रम मैट्रिक्स में स्थित हैं)।

उदाहरण 1.9.व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें ए- 1 से मैट्रिक्स

हम सूत्र (1.13) का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं, जो इस मामले के लिए है एन= 3 का रूप है:

आइए इसका पता लगाएं ए = | ए| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. चूँकि मूल मैट्रिक्स का सारणिक अशून्य है, व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।

1) बीजगणितीय पूरक खोजें ए आईजे:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की सुविधा के लिए, हमने मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजीय जोड़ को संबंधित कॉलम में रखा है।

प्राप्त बीजगणितीय योगों से हम एक नया मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे निर्धारक डेट से विभाजित करते हैं ए. इस प्रकार, हमें व्युत्क्रम मैट्रिक्स मिलता है:

गैर-शून्य प्रमुख निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सिस्टम (1.5) को मैट्रिक्स रूप में लिखा गया है:

कहाँ

समानता के दोनों पक्षों (1.14) को बायीं ओर से गुणा करना ए- 1, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है:

, कहाँ

इस प्रकार, एक वर्ग प्रणाली का समाधान खोजने के लिए, आपको सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे दाईं ओर मुक्त पदों के कॉलम मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।

समस्या 1.10.रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करना।

समाधान।आइए सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें: ,

कहाँ - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात का कॉलम और - मुक्त शर्तों का कॉलम। चूँकि व्यवस्था का मुख्य निर्धारक है , फिर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स एएक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है ए-1 . व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए ए-1, हम मैट्रिक्स के सभी तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरकों की गणना करते हैं ए:

प्राप्त संख्याओं से हम एक मैट्रिक्स (और मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजीय जोड़) की रचना करेंगे एइसे उपयुक्त कॉलम में लिखें) और इसे सारणिक डी से विभाजित करें। इस प्रकार, हमने व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाया है:

हम सूत्र (1.15) का उपयोग करके सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं:

इस प्रकार,

साधारण जॉर्डन उन्मूलन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आइए रैखिक समीकरणों की एक मनमानी (जरूरी नहीं कि द्विघात) प्रणाली दी जाए:

(1.16)

सिस्टम का समाधान ढूंढना आवश्यक है, अर्थात। चरों का ऐसा समूह जो सिस्टम की सभी समानताओं को संतुष्ट करता है (1.16)। में सामान्य मामलासिस्टम (1.16) में न केवल एक समाधान हो सकता है, बल्कि अनगिनत समाधान भी हो सकते हैं। इसका कोई समाधान भी नहीं हो सकता है।

ऐसी समस्याओं को हल करते समय, सुप्रसिद्ध स्कूल पाठ्यक्रमअज्ञात को ख़त्म करने की विधि, जिसे साधारण जॉर्डन उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। सार यह विधिइस तथ्य में निहित है कि सिस्टम के समीकरणों में से एक (1.16) में एक चर को अन्य चर के रूप में व्यक्त किया जाता है। फिर इस चर को सिस्टम में अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है। परिणाम एक ऐसी प्रणाली है जिसमें मूल प्रणाली से एक समीकरण और एक चर कम है। जिस समीकरण से चर व्यक्त किया गया था वह याद रहता है।

यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक सिस्टम में एक आखिरी समीकरण शेष न रह जाए। अज्ञात को ख़त्म करने की प्रक्रिया के माध्यम से, कुछ समीकरण वास्तविक पहचान बन सकते हैं, जैसे ऐसे समीकरणों को सिस्टम से बाहर रखा गया है, क्योंकि वे चर के किसी भी मान के लिए संतुष्ट हैं और इसलिए, सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करते हैं। यदि, अज्ञात को समाप्त करने की प्रक्रिया में, कम से कम एक समीकरण एक समानता बन जाता है जिसे चर के किसी भी मान (उदाहरण के लिए) के लिए संतुष्ट नहीं किया जा सकता है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

यदि समाधान के दौरान कोई विरोधाभासी समीकरण उत्पन्न नहीं होता है, तो उसमें शेष बचे चरों में से एक अंतिम समीकरण से पाया जाता है। यदि अंतिम समीकरण में केवल एक चर बचा है, तो इसे एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। यदि अन्य चर अंतिम समीकरण में रहते हैं, तो उन्हें पैरामीटर माना जाता है, और उनके माध्यम से व्यक्त चर इन मापदंडों का एक कार्य होगा। फिर तथाकथित " उलटा स्ट्रोक" पाए गए चर को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और दूसरा चर पाया जाता है। फिर पाए गए दो चर को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और तीसरा चर पाया जाता है, और इसी तरह, पहले याद किए गए समीकरण तक।

परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम का एक समाधान प्राप्त होता है। यदि पाए गए चर संख्याएँ हैं तो यह समाधान अद्वितीय होगा। यदि पहला चर पाया जाता है, और फिर अन्य सभी, मापदंडों पर निर्भर करते हैं, तो सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होंगे (मापदंडों का प्रत्येक सेट एक नए समाधान से मेल खाता है)। वे सूत्र जो आपको मापदंडों के एक विशेष सेट के आधार पर किसी सिस्टम का समाधान खोजने की अनुमति देते हैं, सिस्टम का सामान्य समाधान कहलाते हैं।

उदाहरण 1.11.

एक्स

पहला समीकरण याद करने के बाद और दूसरे और तीसरे समीकरण में समान पद लाते हुए हम सिस्टम पर पहुंचते हैं:

आइए व्यक्त करें यदूसरे समीकरण से और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

आइए हम दूसरे समीकरण को याद करें, और पहले से हम पाते हैं जेड:

पीछे की ओर काम करते हुए, हम लगातार पाते हैं यऔर जेड. ऐसा करने के लिए, हम सबसे पहले अंतिम याद किए गए समीकरण में स्थानापन्न करते हैं, जहाँ से हम पाते हैं य:

फिर हम इसे पहले याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे हम इसे कहां पा सकते हैं एक्स:

समस्या 1.12.अज्ञात को हटाकर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.17)

समाधान।आइए पहले समीकरण से चर को व्यक्त करें एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

आइए पहला समीकरण याद रखें

इस प्रणाली में, पहला और दूसरा समीकरण एक दूसरे का खंडन करते हैं। वास्तव में, व्यक्त करना य , हमें वह 14 = 17 मिलता है। यह समानता चर के किसी भी मान के लिए मान्य नहीं है एक्स, य, और जेड. नतीजतन, सिस्टम (1.17) असंगत है, यानी। कोई समाधान नहीं है.

हम पाठकों को स्वयं जाँचने के लिए आमंत्रित करते हैं कि मूल प्रणाली का मुख्य निर्धारक (1.17) शून्य के बराबर है।

आइए एक ऐसी प्रणाली पर विचार करें जो प्रणाली (1.17) से केवल एक मुक्त पद से भिन्न है।

समस्या 1.13.अज्ञात को हटाकर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.18)

समाधान।पहले की तरह, हम चर को पहले समीकरण से व्यक्त करते हैं एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

आइए पहला समीकरण याद रखें और दूसरे और तीसरे समीकरण में समान पद प्रस्तुत करें। हम सिस्टम पर पहुंचते हैं:

जताते यपहले समीकरण से और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना , हमें पहचान 14 = 14 मिलती है, जो सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करती है, और इसलिए, इसे सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है।

अंतिम स्मरणीय समानता में, चर जेडहम इसे एक पैरामीटर मानेंगे. हमें यकीन है। तब

आइए स्थानापन्न करें यऔर जेडपहली बार याद की गई समानता और खोज में एक्स:

इस प्रकार, सिस्टम (1.18) में अनंत संख्या में समाधान हैं, और पैरामीटर का एक मनमाना मान चुनकर कोई भी समाधान सूत्र (1.19) का उपयोग करके पाया जा सकता है। टी:

(1.19)
इसलिए सिस्टम के समाधान, उदाहरण के लिए, चर के निम्नलिखित सेट हैं (1; 2; 0), (2; 26; 14), आदि। सूत्र (1.19) सिस्टम के सामान्य (किसी भी) समाधान को व्यक्त करते हैं (1.18) ).

ऐसे मामले में जब मूल प्रणाली (1.16) में पर्याप्त संख्या में समीकरण और अज्ञात हैं, सामान्य जॉर्डन उन्मूलन की संकेतित विधि बोझिल लगती है। हालाँकि, ऐसा नहीं है. यह एक चरण में सिस्टम गुणांकों की पुनर्गणना के लिए एक एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है सामान्य रूप से देखेंऔर विशेष जॉर्डन तालिकाओं के रूप में समस्या का समाधान तैयार करें।

आइए रैखिक रूपों (समीकरणों) की एक प्रणाली दी जाए:

, (1.20)
कहाँ एक्स जे- स्वतंत्र (मांगा गया) चर, एक आई.जे- लगातार संभावनाएँ
(मैं = 1, 2,…, एम; जे = 1, 2,…, एन). सिस्टम के सही हिस्से यी (मैं = 1, 2,…, एम) या तो चर (आश्रित) या स्थिरांक हो सकते हैं। अज्ञात को समाप्त करके इस प्रणाली का समाधान खोजने की आवश्यकता है।

आइए हम निम्नलिखित ऑपरेशन पर विचार करें, जिसे अब "सामान्य जॉर्डन उन्मूलन का एक कदम" कहा जाएगा। मनमानी से ( आरवें) समानता हम एक मनमाना चर व्यक्त करते हैं ( एक्स.एस) और अन्य सभी समानताओं में स्थानापन्न करें। निःसंदेह, यह तभी संभव है जब एक रु¹ 0. गुणांक एक रुसमाधान करने वाला (कभी-कभी मार्गदर्शक या मुख्य) तत्व कहा जाता है।

हमें मिल जाएगा निम्नलिखित प्रणाली:

. (1.21)

से एस- सिस्टम की समानता (1.21), हम बाद में वेरिएबल पाते हैं एक्स.एस(शेष चर पाए जाने के बाद)। एस-वीं पंक्ति को याद रखा जाता है और बाद में सिस्टम से बाहर कर दिया जाता है। शेष प्रणाली में मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम स्वतंत्र चर होगा।

आइए हम मूल प्रणाली (1.20) के गुणांकों के माध्यम से परिणामी प्रणाली (1.21) के गुणांकों की गणना करें। चलो साथ - साथ शुरू करते हैं आरवें समीकरण, जो चर को व्यक्त करने के बाद एक्स.एसशेष वेरिएबल्स के माध्यम से यह इस तरह दिखेगा:

इस प्रकार, नए गुणांक आरवें समीकरण की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

(1.23)
आइए अब नए गुणांकों की गणना करें बी आईजे(मैं¹ आर) मनमाना समीकरण. ऐसा करने के लिए, आइए हम (1.22) में व्यक्त चर को प्रतिस्थापित करें एक्स.एसवी मैंसिस्टम का वां समीकरण (1.20):

समान शर्तें लाने के बाद, हमें मिलता है:

(1.24)
समानता (1.24) से हम सूत्र प्राप्त करते हैं जिसके द्वारा सिस्टम के शेष गुणांक (1.21) की गणना की जाती है (अपवाद के साथ) आरवें समीकरण):

(1.25)
साधारण जॉर्डन विलोपन की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का परिवर्तन तालिकाओं (मैट्रिसेस) के रूप में प्रस्तुत किया गया है। इन तालिकाओं को "जॉर्डन तालिकाएँ" कहा जाता है।

इस प्रकार, समस्या (1.20) निम्नलिखित जॉर्डन तालिका से जुड़ी है:

तालिका 1.1

	एक्स 1	एक्स 2	…	एक्स जे	…	एक्स.एस	…	एक्स एन
य 1 =	ए 11	ए 12		ए 1जे		ए 1एस		ए 1एन
…………………………………………………………………..
यी=	एक मैं 1	एक मैं 2		एक आई.जे		एक है		एक में
…………………………………………………………………..
वाई आर=	एक आर 1	एक आर 2		एक आर.जे		एक रु		अर्न
………………………………………………………………….
Y n=	पूर्वाह्न 1	पूर्वाह्न 2		एक एम.जे		एक एमएस		एक एम.एन

जॉर्डन तालिका 1.1 में एक बायाँ हेडर कॉलम है जिसमें सिस्टम के दाएँ भाग (1.20) लिखे गए हैं और एक ऊपरी हेडर पंक्ति है जिसमें स्वतंत्र चर लिखे गए हैं।

तालिका के शेष तत्व सिस्टम (1.20) के गुणांकों का मुख्य मैट्रिक्स बनाते हैं। यदि आप मैट्रिक्स को गुणा करते हैं एशीर्ष शीर्षक पंक्ति के तत्वों से युक्त मैट्रिक्स में, आपको बाएं शीर्षक कॉलम के तत्वों से युक्त एक मैट्रिक्स मिलता है। अर्थात्, अनिवार्य रूप से, जॉर्डन तालिका रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का एक मैट्रिक्स रूप है:। सिस्टम (1.21) निम्नलिखित जॉर्डन तालिका से मेल खाता है:

तालिका 1.2

	एक्स 1	एक्स 2	…	एक्स जे	…	वाई आर	…	एक्स एन
य 1 =	बी 11	बी 12		बी 1 जे		बी 1 एस		बी 1 एन
…………………………………………………………………..
य मैं =	बी मैं 1	बी मैं 2		बी आईजे		बी है		बी में
…………………………………………………………………..
एक्स एस =	बी आर 1	बी आर 2		बी आरजे		बी रु		ब्रन
………………………………………………………………….
य एन =	बी एम 1	बी एम 2		बी एमजे		बीएमएस		बी एमएन

अनुज्ञेय तत्व एक रु हम उन्हें बोल्ड अक्षरों में हाइलाइट करेंगे. याद रखें कि जॉर्डन उन्मूलन के एक चरण को लागू करने के लिए, समाधान तत्व गैर-शून्य होना चाहिए। सक्षम तत्व वाली तालिका पंक्ति को सक्षम पंक्ति कहा जाता है। सक्षम तत्व वाले कॉलम को सक्षम कॉलम कहा जाता है। किसी दी गई तालिका से अगली तालिका में जाने पर, एक चर ( एक्स.एस) तालिका की शीर्ष हेडर पंक्ति से बाएं हेडर कॉलम में ले जाया जाता है और, इसके विपरीत, सिस्टम के मुक्त सदस्यों में से एक ( वाई आर) तालिका के बाएँ शीर्ष स्तंभ से शीर्ष शीर्ष पंक्ति की ओर बढ़ता है।

आइए जॉर्डन तालिका (1.1) से तालिका (1.2) पर जाने पर गुणांकों की पुनर्गणना के लिए एल्गोरिदम का वर्णन करें, जो सूत्र (1.23) और (1.25) से अनुसरण करता है।

1. विभेदक तत्व को व्युत्क्रम संख्या से प्रतिस्थापित किया जाता है:

2. रिज़ॉल्विंग स्ट्रिंग के शेष तत्वों को रिज़ॉल्विंग तत्व में विभाजित किया जाता है और चिह्न को विपरीत में बदल दिया जाता है:

3. रिज़ॉल्यूशन कॉलम के शेष तत्वों को रिज़ॉल्यूशन तत्व में विभाजित किया गया है:

4. वे तत्व जो अनुमति पंक्ति और अनुमति कॉलम में शामिल नहीं हैं, सूत्रों का उपयोग करके पुनर्गणना की जाती है:

अंतिम सूत्र को याद रखना आसान है यदि आप ध्यान दें कि वे तत्व जो भिन्न बनाते हैं , चौराहे पर हैं मैं-ओह, और आरवें पंक्तियाँ और जेवें और एसवें कॉलम (समाधान पंक्ति, समाधान स्तंभ, और पंक्ति और स्तंभ जिसके चौराहे पर पुनर्गणना तत्व स्थित है)। अधिक सटीक रूप से, सूत्र को याद करते समय आप निम्नलिखित चित्र का उपयोग कर सकते हैं:

-21 -26 -13 -37

जॉर्डन अपवादों का पहला चरण निष्पादित करते समय, आप कॉलम में स्थित तालिका 1.3 के किसी भी तत्व को एक समाधान तत्व के रूप में चुन सकते हैं एक्स 1 ,…, एक्स 5 (सभी निर्दिष्ट तत्व शून्य नहीं हैं)। बस अंतिम कॉलम में सक्षम तत्व का चयन न करें, क्योंकि आपको स्वतंत्र चर खोजने की आवश्यकता है एक्स 1 ,…, एक्स 5 . उदाहरण के लिए, हम गुणांक चुनते हैं 1 चर के साथ एक्सतालिका 1.3 की तीसरी पंक्ति में 3 (सक्षम तत्व बोल्ड में दिखाया गया है)। तालिका 1.4 पर जाने पर, चर एक्सशीर्ष हेडर पंक्ति से 3 को बाएं हेडर कॉलम (तीसरी पंक्ति) के स्थिरांक 0 से बदल दिया जाता है। इस मामले में, चर एक्स 3 को शेष चरों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

डोरी एक्स 3 (तालिका 1.4) को पहले से याद रखने के बाद तालिका 1.4 से बाहर किया जा सकता है। शीर्ष शीर्षक पंक्ति में शून्य वाला तीसरा कॉलम भी तालिका 1.4 से बाहर रखा गया है। मुद्दा यह है कि किसी दिए गए कॉलम के गुणांक की परवाह किए बिना बी मैं 3 प्रत्येक समीकरण के सभी संगत पद 0 बी मैं 3 प्रणालियाँ शून्य के बराबर होंगी। इसलिए, इन गुणांकों की गणना की आवश्यकता नहीं है। एक चर को हटाना एक्स 3 और समीकरणों में से एक को याद करते हुए, हम तालिका 1.4 के अनुरूप एक प्रणाली पर पहुंचते हैं (रेखा काट दी गई है) एक्स 3). तालिका 1.4 में समाधान तत्व के रूप में चयन करना बी 14 = -5, तालिका 1.5 पर जाएँ। तालिका 1.5 में, पहली पंक्ति को याद रखें और इसे चौथे कॉलम (शीर्ष पर शून्य के साथ) के साथ तालिका से बाहर कर दें।

तालिका 1.5 तालिका 1.6

अंतिम तालिका 1.7 से हम पाते हैं: एक्स 1 = - 3 + 2एक्स 5 .

याद की गई पंक्तियों में पहले से पाए गए चर को लगातार प्रतिस्थापित करते हुए, हम शेष चर पाते हैं:

इस प्रकार, सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं। चर एक्स 5, मनमाना मान निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह वेरिएबल एक पैरामीटर के रूप में कार्य करता है एक्स 5 = टी. हमने सिस्टम की अनुकूलता साबित की और इसका सामान्य समाधान पाया:

एक्स 1 = - 3 + 2टी

एक्स 2 = - 1 - 3टी

एक्स 3 = - 2 + 4टी . (1.27)
एक्स 4 = 4 + 5टी

एक्स 5 = टी

पैरामीटर दे रहा हूँ टीविभिन्न मूल्यों पर, हम मूल प्रणाली के लिए अनंत संख्या में समाधान प्राप्त करेंगे। इसलिए, उदाहरण के लिए, सिस्टम का समाधान चर का निम्नलिखित सेट है (- 3; - 1; - 2; 4; 0)।

समीकरणों की समान संख्या के साथ मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक के साथ अज्ञात की संख्या, जो शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम के गुणांक (ऐसे समीकरणों के लिए एक समाधान है और केवल एक ही है)।

क्रैमर का प्रमेय.

जब किसी वर्ग प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है, तो इसका मतलब है कि प्रणाली सुसंगत है और इसका एक समाधान है और इसे इसके द्वारा पाया जा सकता है क्रैमर के सूत्र:

कहा पे Δ - सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक,

Δ मैंसिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक है, जिसमें इसके बजाय मैंवें कॉलम में दाहिनी ओर का कॉलम है।

जब किसी प्रणाली का निर्धारक शून्य होता है, तो इसका मतलब है कि प्रणाली सहयोगी या असंगत हो सकती है।

इस विधि का प्रयोग सामान्यतः किया जाता है छोटी प्रणालियाँवॉल्यूमेट्रिक गणना के साथ और यदि अज्ञात में से किसी एक को निर्धारित करना आवश्यक है। विधि की जटिलता यह है कि कई निर्धारकों की गणना करने की आवश्यकता है।

क्रैमर विधि का विवरण.

समीकरणों की एक प्रणाली है:

क्रैमर विधि का उपयोग करके 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जा सकता है, जिसकी चर्चा ऊपर 2 समीकरणों की प्रणाली के लिए की गई थी।

हम अज्ञात के गुणांकों से एक निर्धारक बनाते हैं:

यह सिस्टम निर्धारक. कब डी≠0, जिसका अर्थ है कि सिस्टम सुसंगत है। आइए अब 3 अतिरिक्त निर्धारक बनाएं:

हम सिस्टम को हल करते हैं क्रैमर के सूत्र:

क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1.

दी गई प्रणाली:

आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें।

सबसे पहले आपको सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

क्योंकि Δ≠0, जिसका अर्थ है कि क्रैमर प्रमेय से प्रणाली सुसंगत है और इसका एक समाधान है। हम अतिरिक्त निर्धारकों की गणना करते हैं। निर्धारक Δ 1 को निर्धारक Δ से उसके पहले कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। हम पाते हैं: