गॉसियन पद्धति का उपयोग करके मैट्रिक्स सिस्टम को हल करना। गाऊसी पद्धति या बच्चे गणित क्यों नहीं समझते

गॉस विधिरैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए बिल्कुल सही बीजगणितीय समीकरण(एसएलएयू)। अन्य तरीकों की तुलना में इसके कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, स्थिरता के लिए समीकरणों की प्रणाली की पहले जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरे, गॉस विधि न केवल SLAE को हल कर सकती है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी जिसमें समीकरणों की संख्या मेल नहीं खाती है अज्ञात चर या मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की संख्या शून्य के बराबर है;
• तीसरा, गॉसियन विधि अपेक्षाकृत कम संख्या में कम्प्यूटेशनल संचालन के साथ परिणाम देती है।

लेख का संक्षिप्त अवलोकन.

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएँ देते हैं और संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिदम का वर्णन करेंगे, यानी, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ मेल खाता है शून्य के बराबर नहीं. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जो अज्ञात चर का क्रमिक उन्मूलन है। इसलिए, गॉसियन विधि को अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। हम कई उदाहरणों के विस्तृत समाधान दिखाएंगे.

अंत में, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के गॉस विधि द्वारा समाधान पर विचार करेंगे, जिसका मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या एकवचन है। ऐसी प्रणालियों के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं, जिन्हें हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से जांचेंगे।

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बुनियादी परिभाषाएँ और संकेतन.

पी की एक प्रणाली पर विचार करें रेखीय समीकरण n अज्ञात के साथ (p, n के बराबर हो सकता है):

अज्ञात चर कहां हैं, संख्याएं (वास्तविक या जटिल) हैं, और स्वतंत्र पद हैं।

अगर , तो रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली कहलाती है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चरों के मानों का वह समुच्चय जिसके लिए सिस्टम के सभी समीकरण पहचान बन जाते हैं, कहलाता है एसएलएयू का निर्णय.

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का कम से कम एक समाधान है, तो इसे कहा जाता है संयुक्त, अन्यथा - गैर संयुक्त.

यदि किसी SLAE के पास कोई अद्वितीय समाधान है, तो उसे कॉल किया जाता है निश्चित. यदि एक से अधिक समाधान हैं, तो सिस्टम को कॉल किया जाता है ढुलमुल.

उनका कहना है कि सिस्टम में लिखा हुआ है समन्वय प्रपत्र, यदि इसका स्वरूप है
.

इस प्रणाली में मैट्रिक्स फॉर्मअभिलेखों का रूप है, जहाँ - SLAE का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के स्तंभ का मैट्रिक्स, - मुक्त पदों का मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n+1)वें कॉलम के रूप में मुक्त पदों का एक मैट्रिक्स-कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली. आमतौर पर, एक विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है, और मुक्त शब्दों के कॉलम को शेष कॉलम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है पतित, यदि इसका सारणिक शून्य है। यदि , तो मैट्रिक्स ए कहा जाता है गैर पतित.

निम्नलिखित बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए.

यदि हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के साथ प्रदर्शन करते हैं निम्नलिखित क्रियाएं

• दो समीकरण बदलें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक मनमाना और गैर-शून्य वास्तविक (या जटिल) संख्या k से गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को जोड़ें, एक मनमानी संख्या k से गुणा करें,

तब आपको एक समतुल्य प्रणाली मिलती है जिसमें समान समाधान होते हैं (या, मूल प्रणाली की तरह, कोई समाधान नहीं होता है)।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन क्रियाओं का अर्थ पंक्तियों के साथ प्रारंभिक परिवर्तन करना होगा:

• दो पंक्तियों की अदला-बदली,
• मैट्रिक्स T की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या k से गुणा करना,
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़कर, एक मनमानी संख्या k से गुणा किया जाता है।

अब हम गॉस विधि के विवरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन होता है।

यदि हमें समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने का काम दिया जाए तो हम स्कूल में क्या करेंगे? .

कुछ लोग ऐसा करेंगे.

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के बायीं ओर जोड़ने पर बाईं तरफसबसे पहले, और दाईं ओर - दाईं ओर, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 पा सकते हैं:

हम सिस्टम के पहले और तीसरे समीकरण में पाए गए मान x 1 =1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि हम सिस्टम के तीसरे समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संगत भागों में जोड़ते हैं, तो हम अज्ञात चर x 3 से छुटकारा पाते हैं और x 2 पा सकते हैं:

हम परिणामी मान x 2 = 2 को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर x 3 पाते हैं:

दूसरों ने अलग तरीके से काम किया होगा.

आइए हम अज्ञात चर x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और इस चर को उनमें से बाहर करने के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

आइए अब x 2 के लिए सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करें और अज्ञात चर x 2 को हटाने के लिए प्राप्त परिणाम को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

निकाय के तीसरे समीकरण से यह स्पष्ट है कि x 3 =3. दूसरे समीकरण से हम पाते हैं , और पहले समीकरण से हमें मिलता है .

परिचित समाधान, सही?

यहां सबसे दिलचस्प बात यह है कि दूसरी समाधान विधि अनिवार्य रूप से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है, यानी गाऊसी विधि। जब हमने अज्ञात चरों को व्यक्त किया (पहले x 1, अगले चरण x 2 पर) और उन्हें सिस्टम के शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर कर दिया। हमने तब तक उन्मूलन किया जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात चर नहीं बचा। अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. खत्म करने के बाद आगे का स्ट्रोकअब हमारे पास अंतिम समीकरण में अज्ञात चर की गणना करने का अवसर है। इसकी मदद से, हम अंतिम समीकरण से अगला अज्ञात चर ढूंढते हैं, इत्यादि। अंतिम समीकरण से पहले समीकरण की ओर बढ़ते हुए अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से खोजने की प्रक्रिया कहलाती है गाऊसी पद्धति का उलटा.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 1 को x 2 और x 3 के संदर्भ में व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं समान परिणाम देती हैं:

दरअसल, ऐसी प्रक्रिया सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x 1 को खत्म करना भी संभव बनाती है:

गॉसियन विधि का उपयोग करके अज्ञात चर के उन्मूलन के साथ बारीकियां तब उत्पन्न होती हैं जब सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर शामिल नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, SLAU में पहले समीकरण में कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम शेष समीकरणों से इस अज्ञात चर को हटाने के लिए x 1 के लिए सिस्टम के पहले समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता सिस्टम के समीकरणों को बदलना है। चूँकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं जिनके मुख्य आव्यूहों के निर्धारक शून्य से भिन्न हैं, हमेशा एक समीकरण होता है जिसमें हमें जिस चर की आवश्यकता होती है वह मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। हमारे उदाहरण के लिए, सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण को स्वैप करना पर्याप्त है , तो आप x 1 के लिए पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और इसे सिस्टम के शेष समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालाँकि x 1 अब दूसरे समीकरण में मौजूद नहीं है)।

हमें आशा है कि आपको सार समझ आ गया होगा।

चलिए वर्णन करते हैं गाऊसी विधि एल्गोरिथ्म.

मान लीजिए हमें n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है प्रपत्र के चर , और मान लीजिए कि इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। आइए दूसरे से शुरू करते हुए, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को हटा दें। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां .

यदि हमने सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 को व्यक्त किया होता और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया होता तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, चौथे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, हम अज्ञात x 3 को खत्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से हम गॉसियन विधि का उलटा शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, x n के प्राप्त मान का उपयोग करके हम अंतिम समीकरण से x n-1 पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले समीकरण से x 1 पाते हैं .

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके एल्गोरिदम को देखें।

उदाहरण।

गॉस विधि.

समाधान।

गुणांक 11 गैर-शून्य है, तो आइए गॉसियन विधि की प्रत्यक्ष प्रगति पर आगे बढ़ें, यानी, पहले को छोड़कर सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को बाहर करना। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमशः से गुणा करके जोड़ें। और :

अज्ञात चर x 1 को हटा दिया गया है, चलिए x 2 को हटाने की ओर बढ़ते हैं। सिस्टम के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में हम दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमशः गुणा करके जोड़ते हैं और :

गॉसियन विधि की आगे की प्रगति को पूरा करने के लिए, हमें सिस्टम के अंतिम समीकरण से अज्ञात चर x 3 को हटाने की आवश्यकता है। आइए हम चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में क्रमशः बाएँ और जोड़ें दाहिनी ओरतीसरे समीकरण से गुणा किया गया :

आप गाऊसी पद्धति का उल्टा प्रारंभ कर सकते हैं।

पिछले समीकरण से हमारे पास है ,
तीसरे समीकरण से हमें प्राप्त होता है,
दूसरे से,
पहले वाले से.

जाँच करने के लिए, आप अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, जो इंगित करता है कि गॉस विधि का उपयोग करके समाधान सही पाया गया था।

उत्तर:

आइए अब मैट्रिक्स नोटेशन में गॉसियन विधि का उपयोग करके उसी उदाहरण का समाधान दें।

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें गॉस विधि.

समाधान।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है . प्रत्येक कॉलम के शीर्ष पर अज्ञात चर हैं जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप हैं।

यहां गॉसियन पद्धति के प्रत्यक्ष दृष्टिकोण में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक ट्रैपेज़ॉइडल रूप में कम करना शामिल है। यह प्रक्रिया अज्ञात चरों के उन्मूलन के समान है जो हमने समन्वय रूप में सिस्टम के साथ किया था। अब आप ये देखेंगे.

आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि पहले कॉलम के सभी तत्व, दूसरे से शुरू होकर, शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में हम पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं, और तदनुसार:

इसके बाद, हम परिणामी मैट्रिक्स को बदलते हैं ताकि दूसरे कॉलम में तीसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाएं। यह अज्ञात चर x 2 को ख़त्म करने के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को क्रमशः गुणा करके जोड़ते हैं और :

सिस्टम के अंतिम समीकरण से अज्ञात चर x 3 को बाहर करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों में हम अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाता है

जो पहले आगे बढ़ने के बाद प्राप्त किया गया था।

अब वापस मुड़ने का समय आ गया है. मैट्रिक्स नोटेशन में, गॉसियन विधि के व्युत्क्रम में परिणामी मैट्रिक्स को इस तरह बदलना शामिल है कि चित्र में चिह्नित मैट्रिक्स

विकर्ण हो गया अर्थात् रूप धारण कर लिया

कुछ संख्याएँ कहाँ हैं.

ये परिवर्तन गॉसियन विधि के अग्रवर्ती परिवर्तनों के समान हैं, लेकिन पहली पंक्ति से अंतिम तक नहीं, बल्कि अंतिम से पहली तक किए जाते हैं।

तीसरी, दूसरी और पहली पंक्ति के तत्वों में अंतिम पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें , इत्यादि क्रमश:

अब दूसरी और पहली पंक्ति के तत्वों में तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को क्रमशः और से गुणा करके जोड़ें:

रिवर्स गॉसियन विधि के अंतिम चरण में, पहली पंक्ति के तत्वों में हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाता है , जहां से हमें अज्ञात चर मिलते हैं।

उत्तर:

टिप्पणी।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि का उपयोग करते समय, अनुमानित गणनाओं से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे पूरी तरह से गलत परिणाम हो सकते हैं। हम दशमलव को पूर्णांकित न करने की सलाह देते हैं। से बेहतर दशमलवसाधारण भिन्नों की ओर बढ़ें।

उदाहरण।

गॉस विधि का उपयोग करके तीन समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें .

समाधान।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में अज्ञात चर का एक अलग पदनाम है (x 1, x 2, x 3 नहीं, बल्कि x, y, z)। आइए सामान्य भिन्नों की ओर चलें:

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात x को बाहर करें:

परिणामी प्रणाली में, अज्ञात चर y दूसरे समीकरण में अनुपस्थित है, लेकिन y तीसरे समीकरण में मौजूद है, इसलिए, आइए दूसरे और तीसरे समीकरण को स्वैप करें:

यह गॉस विधि की सीधी प्रगति को पूरा करता है (तीसरे समीकरण से y को बाहर करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब मौजूद नहीं है)।

चलिए उल्टी चाल शुरू करते हैं.

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं ,
अंतिम से


हमारे पास पहले समीकरण से

उत्तर:

एक्स = 10, वाई = 5, जेड = -20।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स एकवचन है।

समीकरणों की प्रणाली, जिसका मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्गाकार एकवचन है, का कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि कैसे गॉस विधि हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता या असंगतता स्थापित करने की अनुमति देती है, और इसकी अनुकूलता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) निर्धारित करती है।

सिद्धांत रूप में, ऐसे SLAE के मामले में अज्ञात चर को समाप्त करने की प्रक्रिया समान रहती है। हालाँकि, उत्पन्न होने वाली कुछ स्थितियों के बारे में विस्तार से जाना उचित है।

आइए सबसे महत्वपूर्ण चरण पर चलते हैं।

तो, आइए मान लें कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली, गॉस विधि की आगे की प्रगति को पूरा करने के बाद, रूप लेती है और एक भी समीकरण कम नहीं किया गया (इस मामले में हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि सिस्टम असंगत है)। एक तार्किक प्रश्न उठता है: "आगे क्या करें"?

आइए हम उन अज्ञात चरों को लिखें जो परिणामी प्रणाली के सभी समीकरणों में सबसे पहले आते हैं:

हमारे उदाहरण में ये x 1, x 4 और x 5 हैं। सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर हम केवल उन्हीं पदों को छोड़ते हैं जिनमें लिखित अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, शेष पदों को विपरीत चिह्न के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है:

आइए उन अज्ञात चरों को दें जो समीकरणों के दाईं ओर मनमाना मान हैं, जहां - मनमानी संख्याएँ:

इसके बाद, हमारे SLAE के सभी समीकरणों के दाएँ हाथ में संख्याएँ होती हैं और हम गॉसियन विधि के विपरीत आगे बढ़ सकते हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं, पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता है

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान अज्ञात चर के मूल्यों का एक सेट है

नंबर दे रहे हैं विभिन्न मूल्यों पर, हम समीकरणों की प्रणाली के लिए अलग-अलग समाधान प्राप्त करेंगे। अर्थात्, हमारी समीकरण प्रणाली के अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं।

उत्तर:

कहाँ - मनमानी संख्या.

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कई और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

तय करना सजातीय प्रणालीरैखिक बीजगणितीय समीकरण गॉस विधि.

समाधान।

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x को बाहर कर दें। ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, हम क्रमशः, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करके जोड़ते हैं, और तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, हम बाएँ और जोड़ते हैं। पहले समीकरण के दाएं पक्षों को इससे गुणा किया जाता है:

आइए अब समीकरणों की परिणामी प्रणाली के तीसरे समीकरण से y को बाहर करें:

परिणामी SLAE सिस्टम के समतुल्य है .

हम सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर केवल अज्ञात चर x और y वाले पदों को छोड़ते हैं, और अज्ञात चर z वाले पदों को दाईं ओर ले जाते हैं:

मान लीजिए कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है जिसे हल करने की आवश्यकता है (अज्ञात xi के ऐसे मान खोजें जो प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (होना गैर संयुक्त).
2) अनंत रूप से अनेक समाधान हों।
3) एक ही समाधान रखें.

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिऐसे मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम में असीमित रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली का समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, कौन प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर तक ले जाएगा! सभी में विधि का एल्गोरिदम ही तीन मामलेवही काम करता है. यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों को निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस विधि को लागू करने के लिए आपको केवल ज्ञान की आवश्यकता होती है अंकगणितीय आपरेशनस, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

संवर्धित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह सिस्टम का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांकों से बना है, साथ ही मुक्त शब्दों का एक कॉलम है)गॉस विधि में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ:

1) साथ ट्रॉकीमैट्रिक्स कर सकना को पुनर्व्यवस्थितकुछ स्थानों में।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ दिखाई देती हैं (या मौजूद हैं), तो आपको ऐसा करना चाहिए मिटानाएक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ मैट्रिक्स से हैं।

3) यदि परिवर्तनों के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी होनी चाहिए मिटाना.

4) मैट्रिक्स की एक पंक्ति हो सकती है गुणा करना (विभाजित करना)शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के लिए.

5) मैट्रिक्स की एक पंक्ति में आप कर सकते हैं किसी संख्या से गुणा करके एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरण के रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य (ऊपर से नीचे की चाल) के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित चरण निष्पादित करें:

1) आइए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 का गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को इस प्रकार बदलते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में है, और K से गुणा करते हैं। इसके बाद, हम पहले को घटाते हैं दूसरा समीकरण (अज्ञात और मुक्त पदों के गुणांक)। दूसरे समीकरण में x 1 के लिए हमें गुणांक 0 प्राप्त होता है। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को तब तक घटाते हैं जब तक कि अज्ञात x 1 के लिए पहले को छोड़कर सभी समीकरणों का गुणांक 0 न हो जाए।

2) आइए अगले समीकरण पर चलते हैं। मान लीजिए कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 का गुणांक M के बराबर है। हम ऊपर वर्णित सभी "निचले" समीकरणों के साथ आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, अज्ञात x 2 के "अंडर" सभी समीकरणों में शून्य होंगे।

3) अगले समीकरण पर आगे बढ़ें और इसी तरह जब तक एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त पद शेष न रह जाए।

1. गॉस विधि की "रिवर्स चाल" रैखिक बीजगणितीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है। अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान प्राप्त होता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n = B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 = 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 – 4 = 1, अर्थात्। x 2 = 5. और इसी तरह जब तक हमें सभी अज्ञात नहीं मिल जाते।

उदाहरण।

आइए गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें, जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं:

आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। हमारे पास वहां एक होना चाहिए. समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई इकाइयाँ ही नहीं हैं, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ भी हल नहीं होगा। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आओ इसे करें:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यानी, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमारे लिए काफी उपयुक्त है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त कार्रवाई कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (उसका चिह्न बदलें)।

चरण दो . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

चरण 3 . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और इसे दूसरे स्थान पर ले जाया गया, ताकि दूसरे "चरण" पर हमारे पास आवश्यक इकाई हो।

चरण 4 . तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

चरण 5 . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि दर्शाता है (अधिक दुर्लभ रूप से, एक टाइपो) एक "खराब" निचली रेखा है। अर्थात्, यदि हमें नीचे (0 0 11 |23) जैसा कुछ मिलता है, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्रारंभिक के दौरान एक त्रुटि हुई थी परिवर्तन.

आइए इसके विपरीत करें; उदाहरणों के डिज़ाइन में, सिस्टम को अक्सर दोबारा नहीं लिखा जाता है, लेकिन समीकरण "सीधे दिए गए मैट्रिक्स से लिए जाते हैं।" मैं आपको याद दिला दूं कि उल्टी चाल नीचे से ऊपर की ओर काम करती है। इस उदाहरण में, परिणाम एक उपहार था:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, इसलिए x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

उत्तर:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिथम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से विभाजित करें। हमें मिलता है:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर, हमें मिलता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएँ, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे को घटाने पर, हमें एक "स्टेप्ड" विस्तारित मैट्रिक्स प्राप्त होता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना के दौरान जमा हुई त्रुटि के बाद, हमें x 3 = 0.96 या लगभग 1 प्राप्त होता है।

x 2 = 3 और x 1 = -1.

इस प्रकार हल करने से आप कभी भी गणना में भ्रमित नहीं होंगे और गणना में त्रुटि होने पर भी आपको परिणाम प्राप्त होगा।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने की यह विधि प्रोग्राम करना आसान है और इसमें ध्यान नहीं दिया जाता है विशिष्ट लक्षणअज्ञात के लिए गुणांक, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं! कक्षा में मिलेंगे! कोई विषय पढ़ाना।

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मान लीजिए कि सिस्टम दिया गया है, ∆≠0. (1)
गॉस विधिअज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की एक विधि है।

गॉस विधि का सार (1) को त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ एक प्रणाली में बदलना है, जिससे सभी अज्ञात के मान क्रमिक रूप से (उल्टे) प्राप्त होते हैं। आइए कम्प्यूटेशनल योजनाओं में से एक पर विचार करें। इस सर्किट को सिंगल डिवीजन सर्किट कहा जाता है। तो आइए इस आरेख को देखें। मान लीजिए कि 11 ≠0 (अग्रणी तत्व) पहले समीकरण को 11 से विभाजित करता है। हम पाते हैं
(2)
समीकरण (2) का उपयोग करके, सिस्टम के शेष समीकरणों से अज्ञात x 1 को हटाना आसान है (ऐसा करने के लिए, प्रत्येक समीकरण से समीकरण (2) को घटाना पर्याप्त है, पहले x 1 के लिए संबंधित गुणांक से गुणा किया गया था) , अर्थात्, पहले चरण में हम प्राप्त करते हैं
.
दूसरे शब्दों में, चरण 1 पर, बाद की पंक्तियों का प्रत्येक तत्व, दूसरे से शुरू होकर, मूल तत्व और पहले कॉलम और पहली (रूपांतरित) पंक्ति पर उसके "प्रक्षेपण" के उत्पाद के बीच अंतर के बराबर है।
इसके बाद, पहले समीकरण को अकेला छोड़कर, हम पहले चरण में प्राप्त सिस्टम के शेष समीकरणों पर एक समान परिवर्तन करते हैं: हम उनमें से अग्रणी तत्व वाले समीकरण का चयन करते हैं और, इसकी मदद से, शेष से x 2 को बाहर कर देते हैं। समीकरण (चरण 2)।
n चरणों के बाद, (1) के बजाय, हमें एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है
(3)
इस प्रकार, पहले चरण में हमें एक त्रिकोणीय प्रणाली (3) प्राप्त होती है। इस चरण को फॉरवर्ड स्ट्रोक कहा जाता है।
दूसरे चरण (रिवर्स) में, हम क्रमिक रूप से (3) से x n, x n -1, ..., x 1 मान पाते हैं।
आइए हम परिणामी समाधान को x 0 के रूप में निरूपित करें। फिर अंतर ε=b-A x 0 अवशिष्ट कहा जाता है.
यदि ε=0, तो पाया गया समाधान x 0 सही है।

गाऊसी पद्धति का उपयोग करके गणना दो चरणों में की जाती है:

1. पहले चरण को आगे की विधि कहा जाता है। पहले चरण में, मूल प्रणाली को त्रिकोणीय रूप में परिवर्तित किया जाता है।
2. दूसरे चरण को रिवर्स स्ट्रोक कहा जाता है। दूसरे चरण में, मूल प्रणाली के समतुल्य एक त्रिकोणीय प्रणाली को हल किया जाता है।

गुणांक a 11, a 22, ... को अग्रणी तत्व कहा जाता है।
प्रत्येक चरण में, अग्रणी तत्व को गैर-शून्य माना गया था। यदि यह मामला नहीं है, तो किसी अन्य तत्व को अग्रणी तत्व के रूप में उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना।

गॉस विधि का उद्देश्य

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए डिज़ाइन की गई है। प्रत्यक्ष समाधान विधियों को संदर्भित करता है।

गाऊसी विधि के प्रकार

1. शास्त्रीय गाऊसी विधि;
2. गॉस पद्धति में संशोधन. गाऊसी विधि के संशोधनों में से एक मुख्य तत्व की पसंद के साथ एक योजना है। मुख्य तत्व की पसंद के साथ गॉस विधि की एक विशेषता समीकरणों की ऐसी पुनर्व्यवस्था है ताकि kth चरण पर अग्रणी तत्व kth कॉलम में सबसे बड़ा तत्व बन जाए।
3. जॉर्डनो-गॉस विधि;

जॉर्डनो-गॉस पद्धति और शास्त्रीय पद्धति के बीच अंतर गॉस विधिइसमें आयत नियम को लागू करना शामिल है, जब समाधान की खोज की दिशा मुख्य विकर्ण (पहचान मैट्रिक्स में परिवर्तन) के साथ होती है। गॉस विधि में, समाधान की खोज की दिशा स्तंभों के साथ होती है (त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले सिस्टम में परिवर्तन)।
आइए अंतर स्पष्ट करें जॉर्डनो-गॉस विधिगॉसियन विधि से उदाहरण सहित।

गाऊसी विधि का उपयोग करके समाधान का उदाहरण
आइए सिस्टम को हल करें:

गणना में आसानी के लिए, आइए पंक्तियों की अदला-बदली करें:

आइए दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ें

पहली पंक्ति से हम x 3 व्यक्त करते हैं:
दूसरी पंक्ति से हम x 2 व्यक्त करते हैं:
तीसरी पंक्ति से हम x 1 व्यक्त करते हैं:

जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करके समाधान का एक उदाहरण
आइए हम जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करके उसी SLAE को हल करें।

हम क्रमिक रूप से समाधान तत्व आरई का चयन करेंगे, जो मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर स्थित है।
संकल्प तत्व (1) के बराबर है।



एनई = एसई - (ए*बी)/आरई
आरई - समाधान तत्व (1), ए और बी - मैट्रिक्स तत्व एसटीई और आरई तत्वों के साथ एक आयत बनाते हैं।
आइए प्रत्येक तत्व की गणना एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें:

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	बी
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

समाधान करने वाला तत्व (3) के बराबर है।
समाधान करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 मिलता है, और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व, आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, हम चार संख्याओं का चयन करते हैं जो आयत के शीर्षों पर स्थित हैं और हमेशा समाधान करने वाला तत्व RE शामिल करते हैं।

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	बी
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

रिज़ॉल्यूशन तत्व (-4) है।
समाधान करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 मिलता है, और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व, आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, हम चार संख्याओं का चयन करते हैं जो आयत के शीर्षों पर स्थित हैं और हमेशा समाधान करने वाला तत्व RE शामिल करते हैं।
आइए प्रत्येक तत्व की गणना एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें:

एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	बी
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

उत्तर: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

गाऊसी पद्धति का कार्यान्वयन

गॉसियन पद्धति कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू की जाती है, विशेष रूप से: पास्कल, सी++, पीएचपी, डेल्फ़ी, और गॉसियन पद्धति का एक ऑनलाइन कार्यान्वयन भी है।

गाऊसी पद्धति का उपयोग करना

गेम थ्योरी में गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

गेम थ्योरी में, किसी खिलाड़ी की अधिकतम इष्टतम रणनीति का पता लगाते समय, समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे गाऊसी विधि द्वारा हल किया जाता है।

विभेदक समीकरणों को हल करने में गॉस विधि का अनुप्रयोग

किसी अवकल समीकरण का विशेष समाधान खोजने के लिए, पहले लिखित आंशिक समाधान (y=f(A,B,C,D)) के लिए उचित डिग्री के व्युत्पन्न खोजें, जिन्हें इसमें प्रतिस्थापित किया जाता है मूल समीकरण. खोजने के लिए अगला चर ए, बी, सी, डीगाऊसी विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली संकलित और हल की जाती है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में जॉर्डनो-गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

में रैखिक प्रोग्रामिंग, विशेष रूप से, सिंप्लेक्स विधि में, आयत नियम, जो जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करता है, का उपयोग प्रत्येक पुनरावृत्ति पर सिंप्लेक्स तालिका को बदलने के लिए किया जाता है।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस, महानतम गणितज्ञ कब कादर्शनशास्त्र और गणित के बीच चयन करने में झिझक हुई। शायद यही मानसिकता थी जिसने उन्हें विश्व विज्ञान में इतनी उल्लेखनीय "विरासत" बनाने की अनुमति दी। विशेष रूप से, "गॉस विधि" बनाकर...

लगभग 4 वर्षों तक, इस साइट पर लेख मुख्य रूप से दर्शनशास्त्र के दृष्टिकोण से, बच्चों के दिमाग में पेश की गई (गलत) समझ के सिद्धांतों, स्कूली शिक्षा से संबंधित थे। अधिक विशिष्टताओं, उदाहरणों और विधियों का समय आ रहा है... मेरा मानना ​​है कि यह वास्तव में परिचित, भ्रमित करने वाला और दृष्टिकोण है महत्वपूर्णजीवन के क्षेत्र बेहतर परिणाम देते हैं।

हम लोगों को इस तरह से डिजाइन किया गया है कि हम कितनी भी बातें कर लें सामान्य सोच, लेकिन समझ हमेशाउदाहरणों के माध्यम से होता है. यदि उदाहरण नहीं हैं, तो सिद्धांतों को समझना असंभव है... ठीक उसी प्रकार जैसे किसी पहाड़ की चोटी पर पैदल चलकर पूरी ढलान पार करने के अलावा असंभव है।

स्कूल के साथ भी ऐसा ही: अभी के लिए जीवित कहानियाँयह पर्याप्त नहीं है कि हम सहज रूप से इसे एक ऐसी जगह मानते रहें जहां बच्चों को समझना सिखाया जाता है।

उदाहरण के लिए, गाऊसी पद्धति पढ़ाना...

5वीं कक्षा के स्कूल में गॉस विधि

मुझे तुरंत आरक्षण करने दें: गाऊसी पद्धति में और भी बहुत कुछ है व्यापक अनुप्रयोग, उदाहरण के लिए, हल करते समय रैखिक समीकरणों की प्रणाली. हम जिस बारे में बात करेंगे वह 5वीं कक्षा में घटित होता है। यह शुरू कर दिया, जिसे समझने के बाद, अधिक "उन्नत विकल्पों" को समझना बहुत आसान हो जाता है। इस आर्टिकल में हम बात कर रहे हैं किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करने की गॉस विधि (विधि)।

यहाँ एक उदाहरण है जो मैं स्कूल से लाया हूँ छोटा बेटा, मास्को व्यायामशाला में 5वीं कक्षा में भाग ले रहा हूँ।

गॉस पद्धति का स्कूल प्रदर्शन

गणित शिक्षक उपयोग कर रहे हैं संवादात्मक सफेद पटल (आधुनिक तरीकेप्रशिक्षण) ने बच्चों को छोटे गॉस द्वारा "विधि के निर्माण" के इतिहास की एक प्रस्तुति दिखाई।

स्कूल शिक्षक ने नन्हें कार्ल को कोड़े मारे (एक पुराना तरीका, जो आजकल स्कूलों में इस्तेमाल नहीं होता) क्योंकि वह

1 से 100 तक की संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ने के बजाय उनका योग ज्ञात कीजिए ध्यान दियाअंकगणितीय प्रगति के किनारों से समान दूरी पर स्थित संख्याओं के जोड़े का योग एक ही संख्या में होता है। उदाहरण के लिए, 100 और 1, 99 और 2। ऐसे जोड़ियों की संख्या गिनने के बाद, छोटे गॉस ने शिक्षक द्वारा प्रस्तावित समस्या को लगभग तुरंत हल कर दिया। जिसके लिए उन्हें चकित जनता के सामने फाँसी दे दी गई। ताकि दूसरों को सोचने से हतोत्साहित किया जा सके.

छोटे गॉस ने क्या किया? विकसित संख्या समझ? ध्यान दियाकुछ विशेषताएक स्थिर चरण (अंकगणितीय प्रगति) के साथ संख्या श्रृंखला। और बिलकुल यहीबाद में उन्हें एक महान वैज्ञानिक बनाया, जो लोग नोटिस करना जानते हैं, होना भावना, समझने की प्रवृत्ति.

यही कारण है कि गणित मूल्यवान है, विकासशील है देखने की क्षमतासामान्य विशेष रूप से - सामान्य सोच . इसलिए, अधिकांश माता-पिता और नियोक्ता सहज रूप से गणित को एक महत्वपूर्ण अनुशासन मानते हैं ...

“तब आपको गणित सीखने की ज़रूरत है, क्योंकि यह आपके दिमाग को व्यवस्थित रखता है।
एम.वी.लोमोनोसोव"।

हालाँकि, भविष्य की प्रतिभाओं को डंडों से पीटने वालों के अनुयायियों ने इस पद्धति को कुछ विपरीत बना दिया। जैसा कि मेरे मित्र ने 35 वर्ष पहले कहा था वैज्ञानिक सलाहकार: "उन्होंने प्रश्न सीख लिया।" या जैसा कि मेरे सबसे छोटे बेटे ने गॉस की पद्धति के बारे में कल कहा था: "शायद इससे कोई बड़ा विज्ञान बनाना उचित नहीं है, हुह?"

"वैज्ञानिकों" की रचनात्मकता के परिणाम वर्तमान स्कूली गणित के स्तर, इसके शिक्षण के स्तर और बहुमत द्वारा "विज्ञान की रानी" की समझ में दिखाई देते हैं।

हालाँकि, आइए जारी रखें...

5वीं कक्षा के स्कूल में गॉस पद्धति को समझाने की विधियाँ

मॉस्को व्यायामशाला में गणित के एक शिक्षक ने विलेनकिन के अनुसार गॉस पद्धति की व्याख्या करते हुए कार्य को जटिल बना दिया।

क्या होगा यदि अंकगणितीय प्रगति का अंतर (चरण) एक नहीं, बल्कि एक अन्य संख्या है? उदाहरण के लिए, 20.

उन्होंने पाँचवीं कक्षा के विद्यार्थियों को जो समस्या दी:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

व्यायामशाला पद्धति से परिचित होने से पहले, आइए इंटरनेट पर एक नज़र डालें: स्कूल के शिक्षक और गणित के शिक्षक इसे कैसे करते हैं?..

गाऊसी विधि: स्पष्टीकरण संख्या 1

एक जाने-माने ट्यूटर अपने यूट्यूब चैनल पर निम्नलिखित तर्क देते हैं:

"आइए 1 से 100 तक की संख्याओं को इस प्रकार लिखें:

पहले 1 से 50 तक की संख्याओं की एक श्रृंखला, और उसके ठीक नीचे 50 से 100 तक की संख्याओं की एक और श्रृंखला, लेकिन विपरीत क्रम में"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"कृपया ध्यान दें: ऊपर और नीचे की पंक्तियों से संख्याओं के प्रत्येक जोड़े का योग समान है और 101 के बराबर है! आइए जोड़ों की संख्या गिनें, यह 50 है और एक जोड़े के योग को जोड़ों की संख्या से गुणा करें! वोइला: उत्तर तैयार है!"

शिक्षक ने स्पष्टीकरण के दौरान तीन बार दोहराया, "यदि आप नहीं समझ सके, तो परेशान न हों!" "आप यह विधि 9वीं कक्षा में अपनाएँगे!"

गाऊसी विधि: स्पष्टीकरण संख्या 2

एक अन्य ट्यूटर, जो कम प्रसिद्ध है (विचारों की संख्या को देखते हुए), अधिक वैज्ञानिक दृष्टिकोण अपनाता है, 5 बिंदुओं का एक समाधान एल्गोरिदम पेश करता है जिसे क्रमिक रूप से पूरा किया जाना चाहिए।

शुरुआती लोगों के लिए, 5 पारंपरिक रूप से जादुई मानी जाने वाली फाइबोनैचि संख्याओं में से एक है। उदाहरण के लिए, 5 चरणों वाली विधि हमेशा 6 चरणों वाली विधि से अधिक वैज्ञानिक होती है। ...और यह शायद ही कोई दुर्घटना है, सबसे अधिक संभावना है, लेखक फाइबोनैचि सिद्धांत का एक छिपा हुआ अनुयायी है

दाना अंकगणितीय प्रगति: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

गॉस विधि का उपयोग करके किसी श्रृंखला में संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम:

चरण 1: संख्याओं के दिए गए क्रम को उल्टा लिखें, बिल्कुलपहले वाले के तहत.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

चरण 2: ऊर्ध्वाधर पंक्तियों में स्थित संख्याओं के जोड़े के योग की गणना करें: 260।

चरण 3: गिनें कि संख्या श्रृंखला में ऐसे कितने जोड़े हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या श्रृंखला की अधिकतम संख्या से न्यूनतम घटाएं और चरण आकार से विभाजित करें: (256 - 4) / 6 = 42।

साथ ही आपको याद रखने की जरूरत है प्लस एक नियम : हमें परिणामी भागफल में एक जोड़ना होगा: अन्यथा हमें ऐसा परिणाम मिलेगा जो जोड़ों की वास्तविक संख्या से एक कम है: 42 + 1 = 43।

चरण 4: संख्याओं के एक जोड़े के योग को जोड़े की संख्या से गुणा करें: 260 x 43 = 11,180

चरण5: चूँकि हमने राशि की गणना कर ली है संख्याओं के जोड़े, तो परिणामी राशि को दो से विभाजित किया जाना चाहिए: 11,180 / 2 = 5590।

यह 6 के अंतर के साथ 4 से 256 तक अंकगणितीय प्रगति का आवश्यक योग है!

गॉस विधि: मास्को व्यायामशाला में 5वीं कक्षा में स्पष्टीकरण

किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करने की समस्या को हल करने का तरीका यहां दिया गया है:

20+40+60+ ... +460+480+500

मॉस्को व्यायामशाला की 5वीं कक्षा में, विलेनकिन की पाठ्यपुस्तक (मेरे बेटे के अनुसार)।

प्रेजेंटेशन दिखाने के बाद, गणित शिक्षक ने गॉसियन पद्धति का उपयोग करके कुछ उदाहरण दिखाए और कक्षा को 20 की वृद्धि में एक श्रृंखला में संख्याओं का योग खोजने का कार्य दिया।

इसके लिए निम्नलिखित की आवश्यकता थी:

स्टेप 1: श्रृंखला के सभी नंबरों को अपनी नोटबुक में अवश्य लिखें 20 से 500 तक (20 की वृद्धि में)।

चरण दो: अनुक्रमिक पद लिखिए - संख्याओं के जोड़े:पहला अंतिम के साथ, दूसरा अंतिम के साथ, आदि। और उनकी मात्रा की गणना करें।

चरण 3: "योग के योग" की गणना करें और पूरी श्रृंखला का योग ज्ञात करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह अधिक कॉम्पैक्ट और है प्रभावी तकनीक: संख्या 3 भी फाइबोनैचि अनुक्रम का सदस्य है

गॉस पद्धति के स्कूल संस्करण पर मेरी टिप्पणियाँ

महान गणितज्ञ ने निश्चित रूप से दर्शनशास्त्र को चुना होता यदि उन्होंने यह अनुमान लगाया होता कि उनकी "विधि" को उनके अनुयायी क्या बना देंगे जर्मन शिक्षक, जिसने कार्ल को डंडों से पीटा। उन्होंने "शिक्षकों" की प्रतीकात्मकता, द्वंद्वात्मक सर्पिल और अमर मूर्खता को देखा होगा। ग़लतफ़हमी के बीजगणित के साथ जीवंत गणितीय विचार के सामंजस्य को मापने की कोशिश की जा रही है ....

वैसे: क्या आप जानते हैं. कि हमारी शिक्षा प्रणाली 18वीं और 19वीं शताब्दी के जर्मन स्कूल में निहित है?

लेकिन गॉस ने गणित को चुना।

उसकी पद्धति का सार क्या है?

में सरलीकरण. में अवलोकन करना और समझनासंख्याओं के सरल पैटर्न. में शुष्क विद्यालय अंकगणित में बदलना दिलचस्प और रोमांचक गतिविधि , उच्च लागत वाली मानसिक गतिविधि को अवरुद्ध करने के बजाय, मस्तिष्क में जारी रखने की इच्छा को सक्रिय करना।

क्या अंकगणितीय प्रगति की संख्याओं के योग की गणना करने के लिए "गॉस की विधि के दिए गए संशोधनों" में से किसी एक का उपयोग करना संभव है? तुरन्त? "एल्गोरिदम" के अनुसार, छोटे कार्ल को पिटाई से बचने, गणित के प्रति घृणा विकसित करने और शुरुआत में ही अपने रचनात्मक आवेगों को दबाने की गारंटी दी जाएगी।

ट्यूटर ने पाँचवीं कक्षा के छात्रों को इस पद्धति के बारे में "गलतफहमी से न डरने" की इतनी दृढ़ता से सलाह क्यों दी, और उन्हें आश्वस्त किया कि वे "ऐसी" समस्याओं को 9वीं कक्षा में ही हल कर देंगे? मनोवैज्ञानिक रूप से निरक्षर कार्रवाई. यह ध्यान देने योग्य एक अच्छा कदम था: "फिर मिलते हैं आप पहले से ही 5वीं कक्षा में कर सकते हैंउन समस्याओं का समाधान करें जिन्हें आप केवल 4 वर्षों में पूरा करेंगे! आप कितने महान व्यक्ति हैं!”

गाऊसी पद्धति का उपयोग करने के लिए कक्षा 3 का स्तर पर्याप्त है, जबकि सामान्य बच्चे पहले से ही जानते हैं कि 2-3 अंकों की संख्याओं को कैसे जोड़ना, गुणा करना और विभाजित करना है। समस्याएँ उन वयस्क शिक्षकों की असमर्थता के कारण उत्पन्न होती हैं जो सामान्य मानव भाषा में सबसे सरल चीजों को समझाने में "संपर्क से बाहर" हैं, गणितीय का तो जिक्र ही नहीं... वे लोगों को गणित में रुचि लेने में असमर्थ हैं और यहां तक ​​कि उन लोगों को भी पूरी तरह से हतोत्साहित करते हैं जो "संपर्क से बाहर" हैं। काबिल।"

या, जैसा कि मेरे बेटे ने टिप्पणी की: "इससे एक बड़ा विज्ञान बनाना।"

कैसे अंदर सामान्य मामला) पता लगाएं कि विधि संख्या 1 में संख्याओं के रिकॉर्ड को "विस्तारित" करने के लिए किस संख्या का उपयोग किया जाना चाहिए?

यदि किसी शृंखला के सदस्यों की संख्या हो जाए तो क्या करें? विषम?

जिसे एक बच्चा आसानी से कर सकता है उसे "नियम प्लस 1" में क्यों बदलें सीखनापहली कक्षा में भी, अगर मुझमें "संख्याओं की समझ" विकसित हो गई होती, और याद नहीं आया"दस तक गिनें"?

और अंत में: जीरो कहां चला गया, एक शानदार आविष्कार जो 2,000 साल से भी अधिक पुराना है और जिसे आधुनिक गणित शिक्षक उपयोग करने से बचते हैं?!

गॉस विधि, मेरी व्याख्याएँ

मैंने और मेरी पत्नी ने अपने बच्चे को यह "तरीका" समझाया, ऐसा लगता है, स्कूल जाने से पहले ही...

जटिलता की जगह सरलता या सवाल-जवाब का खेल

"देखो, यहाँ 1 से 100 तक की संख्याएँ हैं। तुम्हें क्या दिख रहा है?"

मुद्दा यह नहीं है कि बच्चा वास्तव में क्या देखता है। चाल उसे देखने के लिए प्रेरित करने की है।

"आप उन्हें एक साथ कैसे रख सकते हैं?" बेटे को एहसास हुआ कि ऐसे प्रश्न "यूं ही" नहीं पूछे जाते हैं और आपको प्रश्न को "किसी तरह अलग, उससे अलग जो वह आमतौर पर करता है" देखने की ज़रूरत है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि बच्चा तुरंत समाधान देख लेता है, इसकी संभावना नहीं है। यह महत्वपूर्ण है कि वह देखने से डरना बंद कर दिया, या जैसा कि मैं कहता हूं: "कार्य को आगे बढ़ाया". यह समझने की यात्रा की शुरुआत है

"क्या आसान है: उदाहरण के लिए, 5 और 6 या 5 और 95 जोड़ना?" एक प्रमुख प्रश्न... लेकिन कोई भी प्रशिक्षण किसी व्यक्ति को "उत्तर" के लिए "मार्गदर्शन" करने के लिए आता है - किसी भी तरह से उसे स्वीकार्य।

इस स्तर पर, गणनाओं पर "बचाव" कैसे करें, इसके बारे में पहले से ही अनुमान लगाया जा सकता है।

हमने केवल संकेत दिया था: गिनती की "फ्रंटल, लीनियर" पद्धति एकमात्र संभव नहीं है। अगर बच्चा ये समझ लेगा तो आगे चलकर उसे ऐसे और भी कई तरीके आ जाएंगे, क्योंकि यह दिलचस्प है!!!और वह निश्चित रूप से गणित को "गलतफहमी" से बचाएगा और इससे घृणा महसूस नहीं करेगा। उसे जीत मिल गई!

अगर बच्चे का पता चलातो फिर, उन संख्याओं के जोड़े जोड़ने पर जिनका योग सौ बनता है, आसान हो जाता है "अंतर 1 के साथ अंकगणितीय प्रगति"- एक बच्चे के लिए एक बहुत ही नीरस और अरुचिकर चीज़ - अचानक उसके लिए जीवन पाया . अराजकता से निकली व्यवस्था, और यह हमेशा उत्साह जगाती है: हम इसी तरह बने हैं!

उत्तर देने के लिए एक प्रश्न: एक बच्चे को प्राप्त अंतर्दृष्टि के बाद, उसे फिर से शुष्क एल्गोरिदम के ढांचे में क्यों मजबूर किया जाना चाहिए, जो इस मामले में कार्यात्मक रूप से बेकार भी हैं?!

मूर्खतापूर्ण पुनर्लेखन के लिए बाध्य क्यों करें?एक नोटबुक में अनुक्रम संख्याएँ: ताकि सक्षम लोगों को भी समझने का एक भी मौका न मिले? बेशक, सांख्यिकीय रूप से, लेकिन जन शिक्षा "सांख्यिकी" की ओर उन्मुख है...

शून्य कहाँ गया?

और फिर भी, 101 तक जुड़ने वाली संख्याओं को जोड़ने की तुलना में 100 तक पहुंचने वाली संख्याओं को जोड़ना दिमाग के लिए अधिक स्वीकार्य है...

"गॉस स्कूल विधि" के लिए बिल्कुल यही आवश्यक है: बिना सोचे-समझे मोड़ोप्रगति के केंद्र से समान दूरी पर संख्याओं के जोड़े, सब कुछ के बावजूद.

यदि आप देखें तो क्या होगा?

फिर भी शून्य मानव जाति का सबसे महान आविष्कार है, जो 2,000 वर्ष से भी अधिक पुराना है। और गणित के शिक्षक उसकी उपेक्षा करते रहे।

1 से शुरू होने वाली संख्याओं की श्रृंखला को 0 से शुरू होने वाली श्रृंखला में बदलना बहुत आसान है। योग नहीं बदलेगा, है ना? आपको "पाठ्यपुस्तकों में सोचना" बंद करना होगा और देखना शुरू करना होगा...और देखें कि 101 के योग वाले जोड़ों को 100 के योग वाले जोड़ों से पूरी तरह से बदला जा सकता है!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

"प्लस 1 नियम" को कैसे समाप्त करें?

सच कहूँ तो, मैंने पहली बार ऐसे नियम के बारे में उस YouTube ट्यूटर से सुना था...

जब मुझे किसी शृंखला के सदस्यों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता हो तब भी मैं क्या करूँ?

मैं अनुक्रम को देखता हूं:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

और जब आप पूरी तरह से थक जाएं, तो एक सरल पंक्ति पर आगे बढ़ें:

1, 2, 3, 4, 5

और मेरा अनुमान है: यदि आप 5 में से एक घटाते हैं, तो आपको 4 मिलता है, लेकिन मैं बिल्कुल स्पष्ट हूं अच्छा ऐसा है 5 नंबर! इसलिए, आपको एक जोड़ने की आवश्यकता है! में संख्या बोध का विकास हुआ प्राथमिक स्कूल, सुझाव देता है: भले ही श्रृंखला के सदस्यों की एक पूरी Google (10 से सौवीं शक्ति) हो, पैटर्न वही रहेगा।

नियम क्या हैं?...

ताकि एक दो या तीन साल में आप अपने माथे और सिर के पिछले हिस्से के बीच की सारी जगह भर सकें और सोचना बंद कर सकें? अपनी रोटी और मक्खन कैसे कमाएं? आख़िरकार, हम डिजिटल अर्थव्यवस्था के युग में समान स्तर पर आगे बढ़ रहे हैं!

गॉस की स्कूल पद्धति के बारे में अधिक जानकारी: "इससे विज्ञान क्यों बनाया जाए?"

यह अकारण नहीं था कि मैंने अपने बेटे की नोटबुक से एक स्क्रीनशॉट पोस्ट किया...

"कक्षा में क्या हुआ?"

"ठीक है, मैंने तुरंत गिना, अपना हाथ उठाया, लेकिन उसने नहीं पूछा। इसलिए, जब बाकी लोग गिनती कर रहे थे, मैंने समय बर्बाद न करने के लिए रूसी में होमवर्क करना शुरू कर दिया। फिर, जब दूसरों ने लिखना समाप्त कर लिया (? ??), उसने मुझे बोर्ड पर बुलाया। मैंने उत्तर कहा।"

"यह सही है, मुझे दिखाओ कि तुमने इसे कैसे हल किया," शिक्षक ने कहा। मैंने इसे दिखाया. उसने कहा: "गलत, आपको गिनने की ज़रूरत है जैसा मैंने दिखाया!"

"यह अच्छा है कि उसने खराब ग्रेड नहीं दिया। और उसने मुझे अपनी नोटबुक में अपने तरीके से "समाधान का पाठ्यक्रम" लिखने को कहा। इससे एक बड़ा विज्ञान क्यों बनाया जाए?.."

एक गणित शिक्षक का मुख्य अपराध

शायद ही बाद में वह घटनाकार्ल गॉस ने अपने स्कूल के गणित शिक्षक के प्रति उच्च सम्मान की भावना का अनुभव किया। लेकिन अगर वह जानता था कि कैसे उस शिक्षक के अनुयायी विधि के सार को ही विकृत कर देगा...वह आक्रोश से दहाड़ेगा और विश्व संगठन के माध्यम से बौद्धिक संपदा WIPO ने स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में अपने उचित नाम के उपयोग पर प्रतिबंध लगा दिया है!

में क्या मुख्य गलतीस्कूल दृष्टिकोण? या, जैसा कि मैंने कहा, बच्चों के प्रति स्कूली गणित शिक्षकों का अपराध?

ग़लतफ़हमी का एल्गोरिदम

स्कूल पद्धतिविज्ञानी क्या करते हैं, जिनमें से अधिकांश नहीं जानते कि कैसे सोचना है?

वे विधियाँ और एल्गोरिदम बनाते हैं (देखें)। यह एक रक्षात्मक प्रतिक्रिया जो शिक्षकों को आलोचना से बचाती है ("सब कुछ इसके अनुसार किया जाता है...") और बच्चों को समझने से। और इस प्रकार - शिक्षकों की आलोचना करने की इच्छा से!(नौकरशाही "ज्ञान" का दूसरा व्युत्पन्न, समस्या का वैज्ञानिक दृष्टिकोण)। जो व्यक्ति अर्थ नहीं समझता, वह स्कूल प्रणाली की मूर्खता के बजाय अपनी ग़लतफ़हमी को दोष देगा।

ऐसा ही होता है: माता-पिता अपने बच्चों को दोष देते हैं, और शिक्षक... उन बच्चों के लिए भी ऐसा ही करते हैं जो "गणित नहीं समझते हैं!"

क्या आप स्मार्ट हैं?

छोटे कार्ल ने क्या किया?

किसी फार्मूलाबद्ध कार्य के लिए पूरी तरह से अपरंपरागत दृष्टिकोण. यही उनके दृष्टिकोण का सार है. यह मुख्य बात जो स्कूल में सिखाई जानी चाहिए वह है पाठ्यपुस्तकों से नहीं, बल्कि अपने दिमाग से सोचना. बेशक, एक वाद्य घटक भी है जिसका उपयोग किया जा सकता है...खोज में सरल और प्रभावी तरीकेहिसाब किताब.

विलेंकिन के अनुसार गॉस विधि

स्कूल में वे पढ़ाते हैं कि गॉस की विधि क्या है

जोंड़ों मेंसंख्या श्रृंखला के किनारों से समान दूरी पर स्थित संख्याओं का योग ज्ञात करें, निश्चित रूप से किनारों से शुरू हो रहा है!

ऐसे युग्मों की संख्या आदि ज्ञात कीजिए।

क्या, यदि श्रृंखला के तत्वों की संख्या विषम है, जैसा कि उस समस्या में है जो मेरे बेटे को सौंपी गई थी?..

इस मामले में "पकड़" यही है आपको श्रृंखला में एक "अतिरिक्त" संख्या ढूंढनी चाहिएऔर इसे जोड़ियों के योग में जोड़ें। हमारे उदाहरण में यह संख्या 260 है.

कैसे पता लगाएं? संख्याओं के सभी जोड़ों को एक नोटबुक में कॉपी करना!(यही कारण है कि शिक्षक ने बच्चों से गॉसियन विधि का उपयोग करके "रचनात्मकता" सिखाने का यह मूर्खतापूर्ण काम किया... और यही कारण है कि ऐसी "विधि" बड़ी डेटा श्रृंखला के लिए व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त है, और यही कारण है गॉसियन विधि नहीं।)

स्कूल की दिनचर्या में थोड़ी रचनात्मकता...

बेटे ने अलग तरह से काम किया.

सबसे पहले उन्होंने नोट किया कि संख्या 500 को गुणा करना आसान है, 520 को नहीं

(20 + 500, 40 + 480 ...).

फिर उसने गणना की: चरणों की संख्या विषम निकली: 500 / 20 = 25।

फिर उन्होंने श्रृंखला की शुरुआत में शून्य जोड़ा (हालाँकि श्रृंखला के अंतिम पद को हटाना संभव था, जिससे समता भी सुनिश्चित होगी) और कुल 500 देने वाली संख्याएँ जोड़ दीं।

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 चरण "पांच सौ" के 13 जोड़े हैं: 13 x 500 = 6500..

यदि हमने श्रृंखला के अंतिम पद को हटा दिया है, तो जोड़े 12 होंगे, लेकिन हमें गणना के परिणाम में "खारिज किए गए" पांच सौ को जोड़ना नहीं भूलना चाहिए। फिर: (12 x 500) + 500 = 6500!

मुश्किल नहीं है, है ना?

लेकिन व्यवहार में इसे और भी आसान बना दिया गया है, जो आपको रूसी में रिमोट सेंसिंग के लिए 2-3 मिनट निकालने की अनुमति देता है, जबकि बाकी "गिनती" में हैं। इसके अलावा, यह विधि के चरणों की संख्या को बरकरार रखता है: 5, जो अवैज्ञानिक होने के कारण दृष्टिकोण की आलोचना की अनुमति नहीं देता है।

जाहिर तौर पर यह दृष्टिकोण विधि की शैली में सरल, तेज और अधिक सार्वभौमिक है। लेकिन... शिक्षक ने न केवल प्रशंसा नहीं की, बल्कि मुझे इसे "सही तरीके से" फिर से लिखने के लिए भी मजबूर किया (स्क्रीनशॉट देखें)। यानी, उसने रचनात्मक आवेग और गणित को समझने की क्षमता को मूल रूप से दबाने का बेताब प्रयास किया! जाहिरा तौर पर, ताकि उसे बाद में एक ट्यूटर के रूप में काम पर रखा जा सके... उसने गलत व्यक्ति पर हमला किया...

जो कुछ भी मैंने इतने लंबे और कठिन तरीके से वर्णित किया है उसे समझाया जा सकता है एक सामान्य बच्चे कोअधिकतम आधे घंटे में. उदाहरण सहित.

और इस तरह कि वह इसे कभी नहीं भूलेगा.

और यह होगा समझने की ओर कदम...सिर्फ गणितज्ञ ही नहीं।

इसे स्वीकार करें: आपने अपने जीवन में कितनी बार गॉसियन विधि का उपयोग करके जोड़ा है? और मैंने कभी नहीं किया!

लेकिन समझने की प्रवृत्ति, जो सीखने की प्रक्रिया में विकसित होता है (या समाप्त हो जाता है)। गणितीय तरीकेस्कूल में... ओह!.. यह सचमुच एक अपूरणीय चीज़ है!

विशेष रूप से सार्वभौमिक डिजिटलीकरण के युग में, जिसमें हम पार्टी और सरकार के सख्त नेतृत्व में चुपचाप प्रवेश कर चुके हैं।

शिक्षकों के बचाव में कुछ शब्द...

शिक्षण की इस शैली की सारी जिम्मेदारी केवल स्कूली शिक्षकों पर डालना अनुचित और गलत है। व्यवस्था प्रभावी है.

कुछशिक्षक जो कुछ हो रहा है उसकी बेतुकीता को समझते हैं, लेकिन क्या करें? शिक्षा पर कानून, संघीय राज्य शैक्षिक मानक, विधियाँ, तकनीकी मानचित्रपाठ... सब कुछ "के अनुरूप और उसके आधार पर" किया जाना चाहिए और हर चीज़ का दस्तावेजीकरण किया जाना चाहिए। एक तरफ हटो - नौकरी से निकाले जाने की कतार में खड़ा था। आइए पाखंडी न बनें: मॉस्को के शिक्षकों का वेतन बहुत अच्छा है... अगर वे आपको निकाल दें, तो कहां जाएं?..

इसलिए यह साइट शिक्षा के बारे में नहीं. वह के बारे में है व्यक्तिगत शिक्षा, केवल संभव तरीकाभीड़ से बाहर निकलो पीढ़ी Z ...

इस आलेख में, विधि को रैखिक समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने की एक विधि के रूप में माना जाता है। यह विधि विश्लेषणात्मक है, अर्थात यह आपको समाधान एल्गोरिदम लिखने की अनुमति देती है सामान्य रूप से देखें, और फिर वहां विशिष्ट उदाहरणों से मानों को प्रतिस्थापित करें। मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों के विपरीत, गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप उन लोगों के साथ भी काम कर सकते हैं जिनके पास अनंत संख्या में समाधान हैं। या फिर उनके पास ये है ही नहीं.

गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करने का क्या मतलब है?

सबसे पहले, हमें अपने समीकरणों की प्रणाली को इस तरह लिखना होगा। सिस्टम लें:

गुणांकों को एक तालिका के रूप में लिखा जाता है, और मुक्त पदों को दाईं ओर एक अलग कॉलम में लिखा जाता है। मुफ़्त शर्तों वाले कॉलम को सुविधा के लिए अलग किया गया है। जिस मैट्रिक्स में यह कॉलम शामिल है उसे विस्तारित कहा जाता है।

इसके बाद, गुणांक वाले मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय रूप में घटाया जाना चाहिए। गाऊसी विधि का उपयोग करके प्रणाली को हल करने का यह मुख्य बिंदु है। सीधे शब्दों में कहें तो, कुछ जोड़तोड़ के बाद, मैट्रिक्स को ऐसा दिखना चाहिए कि उसके निचले बाएँ भाग में केवल शून्य हों:

फिर, यदि आप नए मैट्रिक्स को फिर से समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम पंक्ति में पहले से ही जड़ों में से एक का मान शामिल है, जिसे बाद में उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और रूट पाया जाता है, और इसी तरह।

यह अधिकतर गॉसियन विधि द्वारा समाधान का विवरण है सामान्य रूपरेखा. यदि अचानक सिस्टम के पास कोई समाधान न हो तो क्या होगा? अथवा उनमें से अनन्त संख्या में हैं? इन और कई अन्य प्रश्नों का उत्तर देने के लिए, गॉसियन विधि को हल करने में उपयोग किए गए सभी तत्वों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स, उनके गुण

कोई नहीं छिपे अर्थमैट्रिक्स में नहीं. यह इसके साथ बाद के कार्यों के लिए डेटा रिकॉर्ड करने का एक सुविधाजनक तरीका है। इनसे स्कूली बच्चों को भी डरने की जरूरत नहीं है।

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक होता है। यहां तक ​​कि गॉसियन पद्धति में भी, जहां सब कुछ एक मैट्रिक्स के निर्माण पर निर्भर करता है दिखने में त्रिकोणीय, प्रविष्टि में एक आयत है, केवल उस स्थान पर शून्य है जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य लिखे नहीं जा सकते, लेकिन वे निहित हैं।

मैट्रिक्स का एक आकार होता है. इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों की संख्या (एम) है, "लंबाई" स्तंभों की संख्या (एन) है। फिर मैट्रिक्स ए का आकार (आमतौर पर बड़े अक्षरों का उपयोग उन्हें दर्शाने के लिए किया जाता है) पत्र) को A m×n के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि m=n, तो यह मैट्रिक्स वर्ग है, और m=n इसका क्रम है। तदनुसार, मैट्रिक्स A के किसी भी तत्व को उसकी पंक्ति और स्तंभ संख्याओं द्वारा दर्शाया जा सकता है: a xy ; x - पंक्ति संख्या, परिवर्तन, y - स्तंभ संख्या, परिवर्तन।

बी निर्णय का मुख्य बिंदु नहीं है. सिद्धांत रूप में, सभी ऑपरेशन सीधे समीकरणों के साथ ही किए जा सकते हैं, लेकिन अंकन बहुत अधिक बोझिल होगा, और इसमें भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

सिद्ध

मैट्रिक्स का एक निर्धारक भी होता है। ये बहुत महत्वपूर्ण विशेषता. अब इसका अर्थ जानने की कोई आवश्यकता नहीं है; आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर बताएं कि यह मैट्रिक्स के कौन से गुण निर्धारित करता है। सारणिक ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका विकर्णों के माध्यम से है। मैट्रिक्स में काल्पनिक विकर्ण खींचे जाते हैं; उनमें से प्रत्येक पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है: दाईं ओर ढलान वाले विकर्ण - प्लस चिह्न के साथ, बाईं ओर ढलान के साथ - ऋण चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निर्धारक की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है। एक आयताकार मैट्रिक्स के लिए, आप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या में से सबसे छोटा चुनें (इसे k होने दें), और फिर मैट्रिक्स में k स्तंभों और k पंक्तियों को यादृच्छिक रूप से चिह्नित करें। चयनित स्तंभों और पंक्तियों के प्रतिच्छेदन पर मौजूद तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक एक गैर-शून्य संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स का आधार लघु कहा जाता है।

इससे पहले कि आप गॉसियन पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना शुरू करें, निर्धारक की गणना करने में कोई हर्ज नहीं है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं या कोई भी नहीं है। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे जाकर मैट्रिक्स की रैंक के बारे में पता लगाना होगा।

सिस्टम वर्गीकरण

मैट्रिक्स की रैंक जैसी कोई चीज़ होती है। यह अधिकतम आदेशइसका निर्धारक, शून्य से भिन्न है (यदि हमें आधार लघु के बारे में याद है, तो हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स की रैंक आधार लघु का क्रम है)।

रैंक की स्थिति के आधार पर, SLAE को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• संयुक्त। यूसंयुक्त प्रणालियों में, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक (केवल गुणांकों से मिलकर) विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक (मुक्त शर्तों के एक कॉलम के साथ) के साथ मेल खाती है। ऐसी प्रणालियों में एक समाधान होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही हो, इसलिए, अतिरिक्त संयुक्त प्रणालियों को इसमें विभाजित किया गया है:
• - निश्चित- एक ही समाधान होना। कुछ प्रणालियों में, मैट्रिक्स की रैंक और अज्ञात की संख्या (या स्तंभों की संख्या, जो एक ही चीज़ है) बराबर हैं;
• - अपरिभाषित -समाधानों की अनंत संख्या के साथ. ऐसी प्रणालियों में मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या से कम होती है।
• असंगत. यूऐसी प्रणालियों में, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक मेल नहीं खाती है। असंगत प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है.

गॉस विधि अच्छी है क्योंकि समाधान के दौरान यह या तो सिस्टम की असंगतता का एक स्पष्ट प्रमाण प्राप्त करने की अनुमति देता है (बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना किए बिना), या अनंत संख्या में समाधान वाले सिस्टम के लिए सामान्य रूप में एक समाधान प्राप्त करने की अनुमति देता है।

प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, आप इसे कम बोझिल और गणना के लिए अधिक सुविधाजनक बना सकते हैं। यह प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनका कार्यान्वयन किसी भी तरह से अंतिम उत्तर को नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दिए गए कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल मैट्रिक्स के लिए मान्य हैं, जिसका स्रोत SLAE था। यहां इन परिवर्तनों की एक सूची दी गई है:

1. पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करना. जाहिर है, यदि आप सिस्टम रिकॉर्ड में समीकरणों का क्रम बदलते हैं, तो यह किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। नतीजतन, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में पंक्तियों को भी स्वैप किया जा सकता है, बिना भूले, निश्चित रूप से, मुक्त शब्दों के कॉलम को।
2. किसी स्ट्रिंग के सभी तत्वों को एक निश्चित गुणांक से गुणा करना। बहुत उपयोगी! इसका उपयोग छोटा करने के लिए किया जा सकता है बड़ी संख्यामैट्रिक्स में या शून्य हटा दें। कई निर्णय, हमेशा की तरह, नहीं बदलेंगे, लेकिन आगे की कार्रवाईयह और अधिक सुविधाजनक हो जाएगा. मुख्य बात यह है कि गुणांक शून्य के बराबर नहीं है.
3. आनुपातिक कारकों वाली पंक्तियाँ हटाना. यह आंशिक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। यदि किसी मैट्रिक्स में दो या दो से अधिक पंक्तियों में आनुपातिक गुणांक होते हैं, तो जब पंक्तियों में से एक को आनुपातिकता गुणांक से गुणा/विभाजित किया जाता है, तो दो (या, फिर से, अधिक) बिल्कुल समान पंक्तियाँ प्राप्त होती हैं, और अतिरिक्त पंक्तियों को हटाया जा सकता है, छोड़कर केवल एक।
4. एक शून्य रेखा हटाना. यदि, परिवर्तन के दौरान, कहीं एक पंक्ति प्राप्त होती है जिसमें मुक्त सदस्य सहित सभी तत्व शून्य हैं, तो ऐसी पंक्ति को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर निकाला जा सकता है।
5. एक पंक्ति के तत्वों को दूसरे के तत्वों (संबंधित कॉलम में) जोड़कर, एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है। सभी में से सबसे स्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। इस पर अधिक विस्तार से ध्यान देना उचित है।

एक स्ट्रिंग को एक कारक से गुणा करके जोड़ना

समझने में आसानी के लिए, इस प्रक्रिया को चरण दर चरण तोड़ना उचित है। मैट्रिक्स से दो पंक्तियाँ ली गई हैं:

ए 11 ए 12 ... ए 1 एन | बी 1

ए 21 ए 22 ... ए 2 एन | बी 2

मान लीजिए कि आपको पहले को दूसरे में जोड़ना होगा, गुणांक "-2" से गुणा करना होगा।

ए" 21 = ए 21 + -2×ए 11

ए" 22 = ए 22 + -2×ए 12

ए" 2एन = ए 2एन + -2×ए 1एन

फिर मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति को एक नई पंक्ति से बदल दिया जाता है, और पहली पंक्ति अपरिवर्तित रहती है।

ए 11 ए 12 ... ए 1 एन | बी 1

ए" 21 ए" 22 ...ए" 2एन | बी 2

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणन गुणांक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो पंक्तियों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, नई पंक्ति के तत्वों में से एक शून्य के बराबर हो। नतीजतन, ऐसी प्रणाली में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है जहां एक कम अज्ञात होगा। और यदि आपको ऐसे दो समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन दोबारा किया जा सकता है और एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जिसमें दो कम अज्ञात होंगे। और यदि हर बार आप मूल पंक्ति के नीचे की सभी पंक्तियों के लिए एक गुणांक को शून्य में बदल देते हैं, तो आप सीढ़ियों की तरह, मैट्रिक्स के बहुत नीचे तक जा सकते हैं और एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसे गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना कहा जाता है।

सामान्य रूप में

एक व्यवस्था बने. इसमें m समीकरण और n अज्ञात मूल हैं। आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स सिस्टम गुणांकों से संकलित किया गया है। विस्तारित मैट्रिक्स में मुक्त शब्दों का एक कॉलम जोड़ा जाता है और, सुविधा के लिए, एक पंक्ति द्वारा अलग किया जाता है।

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को गुणांक k = (-a 21 /a 11) से गुणा किया जाता है;
• मैट्रिक्स की पहली संशोधित पंक्ति और दूसरी पंक्ति जोड़ी जाती है;
• दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले पैराग्राफ से जोड़ का परिणाम मैट्रिक्स में डाला गया है;
• अब पहला गुणांक नया दूसरारेखा 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 है।

अब परिवर्तनों की वही श्रृंखला निष्पादित की गई है, केवल पहली और तीसरी पंक्तियाँ शामिल हैं। तदनुसार, एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में, तत्व 21 को 31 से बदल दिया जाता है। फिर सब कुछ 41, ... एम1 के लिए दोहराया जाता है। परिणाम एक मैट्रिक्स है जहां पंक्तियों में पहला तत्व शून्य है। अब आपको लाइन नंबर एक के बारे में भूलने और लाइन दो से शुरू करके वही एल्गोरिदम निष्पादित करने की आवश्यकता है:

• गुणांक k = (-a 32 /a 22);
• दूसरी संशोधित पंक्ति को "वर्तमान" पंक्ति में जोड़ा गया है;
• जोड़ के परिणाम को तीसरी, चौथी, इत्यादि पंक्तियों में प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की पंक्तियों में पहले दो तत्व पहले से ही शून्य के बराबर हैं।

एल्गोरिथ्म को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि गुणांक k = (-a m,m-1 /a मिमी) प्रकट न हो जाए। इसका मतलब यह है कि में पिछली बारएल्गोरिथम केवल निम्न समीकरण के लिए निष्पादित किया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिकोण जैसा दिखता है, या एक चरणबद्ध आकार है। निचली पंक्ति में समानता a mn × x n = b m है। गुणांक और मुक्त पद ज्ञात हैं, और मूल उनके माध्यम से व्यक्त किया जाता है: x n = b m /a mn। परिणामी मूल को x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 खोजने के लिए शीर्ष पंक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है। और इसी तरह सादृश्य द्वारा: प्रत्येक अगली पंक्ति में एक नई जड़ होती है, और, सिस्टम के "शीर्ष" पर पहुंचकर, आप कई समाधान पा सकते हैं। यह एकमात्र होगा.

जब कोई समाधान न हो

यदि मैट्रिक्स पंक्तियों में से किसी एक में मुक्त पद को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो इस पंक्ति से संबंधित समीकरण 0 = बी जैसा दिखता है। इसका कोई समाधान नहीं है. और चूंकि इस तरह के समीकरण को सिस्टम में शामिल किया गया है, तो पूरे सिस्टम के समाधान का सेट खाली है, यानी यह पतित है।

जब समाधानों की संख्या अनंत हो

ऐसा हो सकता है कि दिए गए त्रिकोणीय मैट्रिक्स में समीकरण के एक गुणांक तत्व और एक मुक्त पद वाली कोई पंक्तियाँ न हों। केवल ऐसी पंक्तियाँ हैं, जिन्हें दोबारा लिखे जाने पर, दो या दो से अधिक चर वाले समीकरण की तरह दिखाई देंगी। इसका मतलब है कि सिस्टम है असीमित संख्यानिर्णय. इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। इसे कैसे करना है?

मैट्रिक्स में सभी चर मूल और मुक्त में विभाजित हैं। बुनियादी वे हैं जो चरण मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे पर" खड़े हैं। बाकी सब मुफ़्त हैं. सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त चर के माध्यम से लिखे जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स को पहले समीकरणों की प्रणाली में फिर से लिखा जाता है। फिर उनमें से आखिरी में, जहां वास्तव में केवल एक मूल चर बचा है, वह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है। यह एक मूल चर वाले प्रत्येक समीकरण के लिए किया जाता है। फिर, शेष समीकरणों में, जहां संभव हो, मूल चर के स्थान पर इसके लिए प्राप्त अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि परिणाम फिर से एक अभिव्यक्ति है जिसमें केवल एक मूल चर होता है, तो इसे फिर से वहां से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में नहीं लिखा जाता है। यह वही है सामान्य निर्णय SLAU.

आप सिस्टम का मूल समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर को कोई भी मान दें, और फिर इस विशिष्ट मामले के लिए मूल चर के मानों की गणना करें। ऐसे अनंत संख्या में विशेष समाधान हैं जो दिए जा सकते हैं।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान

यहाँ समीकरणों की एक प्रणाली है.

सुविधा के लिए तुरंत इसका मैट्रिक्स बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि जब गाऊसी विधि द्वारा हल किया जाता है, तो परिवर्तनों के अंत में पहली पंक्ति के अनुरूप समीकरण अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का ऊपरी बायां तत्व सबसे छोटा है - तो संचालन के बाद शेष पंक्तियों के पहले तत्व शून्य हो जाएंगे। इसका मतलब यह है कि संकलित मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के स्थान पर दूसरी पंक्ति रखना फायदेमंद होगा।

दूसरी पंक्ति: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

ए" 21 = ए 21 + के×ए 11 = 3 + (-3)×1 = 0

ए" 22 = ए 22 + के×ए 12 = -1 + (-3)×2 = -7

ए" 23 = ए 23 + के×ए 13 = 1 + (-3)×4 = -11

बी" 2 = बी 2 + के×बी 1 = 12 + (-3)×12 = -24

तीसरी पंक्ति: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

ए" 3 1 = ए 3 1 + के×ए 11 = 5 + (-5)×1 = 0

ए" 3 2 = ए 3 2 + के×ए 12 = 1 + (-5)×2 = -9

ए" 3 3 = ए 33 + के×ए 13 = 2 + (-5)×4 = -18

बी" 3 = बी 3 + के×बी 1 = 3 + (-5)×12 = -57

अब, भ्रमित न होने के लिए, आपको परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ एक मैट्रिक्स लिखने की आवश्यकता है।

जाहिर है, ऐसे मैट्रिक्स को कुछ परिचालनों का उपयोग करके धारणा के लिए अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक तत्व को "-1" से गुणा करके दूसरी पंक्ति से सभी "माइनस" हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व तीन के गुणज हैं। फिर आप इस संख्या से स्ट्रिंग को छोटा कर सकते हैं, प्रत्येक तत्व को "-1/3" से गुणा कर सकते हैं (शून्य - एक ही समय में, नकारात्मक मानों को हटाने के लिए)।

बहुत अच्छा लग रहा है. अब हमें पहली पंक्ति को अकेला छोड़ना होगा और दूसरी और तीसरी के साथ काम करना होगा। कार्य दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ना है, जिसे ऐसे गुणांक से गुणा किया जाता है कि तत्व 32 शून्य के बराबर हो जाता है।

के = (-ए 32 /ए 22) = (-3/7) = -3/7 (यदि कुछ परिवर्तनों के दौरान उत्तर पूर्णांक नहीं बनता है, तो गणना की सटीकता बनाए रखने की सिफारिश की जाती है यह "जैसा है" रूप में है सामान्य अंश, और उसके बाद ही, जब उत्तर प्राप्त हो जाएं, तो तय करें कि क्या गोल करना है और रिकॉर्डिंग के किसी अन्य रूप में परिवर्तित करना है)

ए" 32 = ए 32 + के×ए 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

ए" 33 = ए 33 + के×ए 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

बी" 3 = बी 3 + के×बी 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

मैट्रिक्स को नए मानों के साथ फिर से लिखा जाता है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी मैट्रिक्स का पहले से ही एक चरणबद्ध रूप है। इसलिए, गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम में और परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। आप यहां जो कर सकते हैं वह तीसरी पंक्ति से समग्र गुणांक "-1/7" को हटाना है।

अब सब कुछ सुंदर है. बस इतना करना बाकी है कि समीकरणों की प्रणाली के रूप में मैट्रिक्स को फिर से लिखें और जड़ों की गणना करें

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

वह एल्गोरिथ्म जिसके द्वारा अब जड़ें पाई जाएंगी, गॉसियन विधि में रिवर्स मूव कहलाती है। समीकरण (3) में z मान शामिल है:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

और पहला समीकरण हमें x खोजने की अनुमति देता है:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

हमें ऐसी प्रणाली को संयुक्त या यहां तक ​​कि निश्चित भी कहने का अधिकार है, अर्थात इसका एक अनूठा समाधान है। उत्तर निम्नलिखित रूप में लिखा गया है:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9।

अनिश्चित प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि का उपयोग करके एक निश्चित प्रणाली को हल करने के प्रकार का विश्लेषण किया गया है; अब इस मामले पर विचार करना आवश्यक है यदि प्रणाली अनिश्चित है, अर्थात, इसके लिए अनंत रूप से कई समाधान पाए जा सकते हैं।

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

सिस्टम की उपस्थिति पहले से ही चिंताजनक है, क्योंकि अज्ञात की संख्या n = 5 है, और सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक पहले से ही इस संख्या से बिल्कुल कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या m = 4 है, अर्थात, निर्धारक-वर्ग का सबसे बड़ा क्रम 4 है। इसका मतलब है कि समाधानों की अनंत संख्या है, और आपको इसके सामान्य स्वरूप को देखने की आवश्यकता है। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि आपको ऐसा करने की अनुमति देती है।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, एक विस्तारित मैट्रिक्स संकलित किया जाता है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक k = (-a 21 /a 11) = -3. तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तनों से पहले है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की ज़रूरत नहीं है, आपको इसे वैसे ही छोड़ने की ज़रूरत है। चौथी पंक्ति: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

पहली पंक्ति के तत्वों को उनके प्रत्येक गुणांक द्वारा बारी-बारी से गुणा करके और उन्हें आवश्यक पंक्तियों में जोड़कर, हम निम्नलिखित रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में एक दूसरे के समानुपाती तत्व शामिल हैं। दूसरी और चौथी आम तौर पर समान होती हैं, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और शेष को गुणांक "-1" से गुणा किया जा सकता है और पंक्ति संख्या 3 प्राप्त की जा सकती है। और फिर, दो समान रेखाओं में से, एक को छोड़ दें।

परिणाम इस प्रकार एक मैट्रिक्स है. हालाँकि सिस्टम अभी तक लिखा नहीं गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - जो गुणांक 11 = 1 और 22 = 1 पर खड़े हैं, और मुक्त वाले - बाकी सभी।

दूसरे समीकरण में केवल एक मूल चर है - x 2। इसका मतलब यह है कि इसे वहां से वेरिएबल x 3, x 4, x 5 के माध्यम से लिखकर व्यक्त किया जा सकता है, जो मुफ़्त हैं।

हम परिणामी अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

परिणाम एक समीकरण है जिसमें एकमात्र मूल चर x 1 है। आइए इसके साथ भी वैसा ही करें जैसा x 2 के साथ करते हैं।

सभी मूल चर, जिनमें से दो हैं, तीन मुक्त चर के रूप में व्यक्त किए गए हैं; अब हम उत्तर को सामान्य रूप में लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के किसी विशेष समाधान को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, शून्य को आमतौर पर मुक्त चर के मान के रूप में चुना जाता है। तो उत्तर होगा:

16, 23, 0, 0, 0.

असहयोगी व्यवस्था का उदाहरण

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की असंगत प्रणालियों को हल करना सबसे तेज़ है। जैसे ही किसी चरण पर कोई ऐसा समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई हल नहीं है, यह तुरंत समाप्त हो जाता है। यानी जड़ों की गणना करने का चरण, जो काफी लंबा और थकाऊ होता है, समाप्त हो जाता है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार किया जाता है:

एक्स + वाई - जेड = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और इसे चरणबद्ध रूप में घटाया गया है:

के 1 = -2के 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

पहले परिवर्तन के बाद, तीसरी पंक्ति में फॉर्म का एक समीकरण होता है

बिना समाधान के. नतीजतन, सिस्टम असंगत है, और उत्तर खाली सेट होगा।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप कागज पर पेन से SLAE को हल करने की कौन सी विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर चर्चा की गई थी वह सबसे आकर्षक लगती है। यदि आपको किसी निर्धारक या कुछ पेचीदा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को मैन्युअल रूप से खोजना पड़े तो प्राथमिक परिवर्तनों में भ्रमित होना कहीं अधिक कठिन है। हालाँकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए प्रोग्राम का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट, तो यह पता चलता है कि ऐसे कार्यक्रमों में पहले से ही मैट्रिक्स के मुख्य मापदंडों की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं - निर्धारक, लघु, व्युत्क्रम, और इसी तरह। और यदि आप आश्वस्त हैं कि मशीन इन मूल्यों की गणना स्वयं करेगी और गलतियाँ नहीं करेगी, तो मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करना अधिक उचित है, क्योंकि उनका अनुप्रयोग निर्धारकों की गणना के साथ शुरू और समाप्त होता है और व्युत्क्रम आव्यूह.

आवेदन

चूँकि गॉसियन समाधान एक एल्गोरिथ्म है, और मैट्रिक्स वास्तव में एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख खुद को "डमीज़ के लिए" एक मार्गदर्शक के रूप में रखता है, इसलिए यह कहा जाना चाहिए कि विधि को डालने का सबसे आसान स्थान स्प्रेडशीट है, उदाहरण के लिए, एक्सेल। फिर, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में दर्ज किए गए किसी भी SLAE को एक्सेल द्वारा दो-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए कई अच्छे कमांड हैं: जोड़ (आप केवल एक ही आकार के मैट्रिक्स जोड़ सकते हैं!), एक संख्या से गुणा, मैट्रिक्स का गुणा (कुछ प्रतिबंधों के साथ भी), व्युत्क्रम और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ढूंढना और, सबसे महत्वपूर्ण बात , निर्धारक की गणना। यदि इस समय लेने वाले कार्य को एकल कमांड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स की रैंक को अधिक तेज़ी से निर्धारित करना संभव है और इसलिए, इसकी अनुकूलता या असंगति स्थापित करना संभव है।