मैट्रिक्स समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें. मैट्रिक्स विधि ऑनलाइन

मैट्रिक्स विधि एसएलएयू समाधानसमीकरणों की उन प्रणालियों को हल करने के लिए लागू किया जाता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से मेल खाती है। निम्न-क्रम प्रणालियों को हल करने के लिए इस पद्धति का सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की मैट्रिक्स विधि मैट्रिक्स गुणन के गुणों के अनुप्रयोग पर आधारित है।

दूसरे शब्दों में, यह विधि व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि,ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि समाधान एक साधारण मैट्रिक्स समीकरण में बदल जाता है, जिसे हल करने के लिए आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की आवश्यकता होती है।

मैट्रिक्स समाधान विधिशून्य से अधिक या कम निर्धारक वाला एक SLAE इस प्रकार है:

मान लीजिए कि एक SLE (रैखिक समीकरणों की प्रणाली) है एनअज्ञात (एक मनमाने क्षेत्र पर):

इसका मतलब है कि इसे आसानी से मैट्रिक्स फॉर्म में बदला जा सकता है:

एएक्स=बी, कहाँ ए- सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, बीऔर एक्स— सिस्टम के निःशुल्क नियमों और समाधानों के कॉलम, क्रमशः:

आइए इस मैट्रिक्स समीकरण को बाईं ओर से गुणा करें ए−1- मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए: ए −1 (एएक्स)=ए −1 बी.

क्योंकि ए −1 ए=ई, मतलब, एक्स=ए −1 बी. दाहिना भागसमीकरण समाधान कॉलम देता है प्रारंभिक प्रणाली. मैट्रिक्स विधि की प्रयोज्यता के लिए शर्त मैट्रिक्स की गैर-विक्षिप्तता है ए. आवश्यक और पर्याप्त स्थितिइसका मतलब यह है कि मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है ए:

detA≠0.

के लिए रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली, अर्थात। यदि वेक्टर बी=0, विपरीत नियम मानता है: प्रणाली एएक्स=0कोई गैर-तुच्छ (अर्थात शून्य के बराबर नहीं) समाधान केवल तभी होता है detA=0. रैखिक समीकरणों की सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के समाधानों के बीच के इस संबंध को कहा जाता है फ्रेडहोम विकल्प.

इस प्रकार, SLAE का समाधान मैट्रिक्स विधिसूत्र के अनुसार तैयार किया गया है . या, SLAE का समाधान इसका उपयोग करके पाया जाता है उलटा मैट्रिक्स ए−1.

यह ज्ञात है कि एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एआदेश एनपर एनवहाँ है उलटा मैट्रिक्स ए−1केवल यदि इसका सारणिक अशून्य है। इस प्रकार, सिस्टम एनरेखीय बीजगणितीय समीकरणसाथ एनहम मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके अज्ञात को केवल तभी हल करते हैं यदि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

इस तथ्य के बावजूद कि इस पद्धति का उपयोग करने की संभावना की सीमाएँ हैं और गुणांक और प्रणालियों के बड़े मूल्यों के लिए गणना कठिनाइयाँ हैं उच्च स्तर, विधि को कंप्यूटर पर आसानी से लागू किया जा सकता है।

एक गैर-सजातीय SLAE को हल करने का एक उदाहरण।

सबसे पहले, आइए जांचें कि क्या अज्ञात SLAE के गुणांक मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

अब हम पाते हैं संघ मैट्रिक्स, इसे स्थानांतरित करें और व्युत्क्रम मैट्रिक्स निर्धारित करने के लिए इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

चरों को सूत्र में रखें:

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स और मुक्त पदों के कॉलम को गुणा करके अज्ञात ज्ञात करते हैं।

इसलिए, एक्स=2; y=1; z=4.

SLAE के सामान्य रूप से मैट्रिक्स रूप में जाते समय, सिस्टम के समीकरणों में अज्ञात चर के क्रम से सावधान रहें। उदाहरण के लिए:

आप इसे इस प्रकार नहीं लिख सकते:

सबसे पहले, सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में अज्ञात चर को क्रमबद्ध करना आवश्यक है और उसके बाद ही मैट्रिक्स नोटेशन के लिए आगे बढ़ें:

इसके अलावा, आपको अज्ञात चर के पदनाम से सावधान रहने की आवश्यकता है एक्स 1, एक्स 2 , …, एक्स एनअन्य पत्र भी हो सकते हैं. उदाहरण के लिए:

मैट्रिक्स रूप में हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना बेहतर है रेखीय समीकरण, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। जब सिस्टम में 3 से अधिक समीकरण होते हैं, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए अधिक कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होगी, इसलिए, इस मामले में, हल करने के लिए गाऊसी विधि का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

सेवा का उद्देश्य. इस ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके, समीकरणों की एक प्रणाली में अज्ञात (x 1, x 2, ..., x n) की गणना की जाती है। निर्णय क्रियान्वित किया जाता है व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि. जिसमें:

• मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना की जाती है;
• के माध्यम से बीजगणितीय जोड़व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 पाया जाता है;
• Excel में एक समाधान टेम्पलेट बनाया जाता है;

निर्णय सीधे वेबसाइट (ऑनलाइन) पर किया जाता है और निःशुल्क है। गणना परिणाम वर्ड रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाते हैं (नमूना प्रारूप देखें)।

निर्देश। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको मैट्रिक्स का आयाम निर्दिष्ट करना होगा। इसके बाद, एक नए संवाद बॉक्स में, मैट्रिक्स ए और परिणामों के वेक्टर बी भरें।

चरों की संख्या 2 3 4 5 6 7 8 9 10

मैट्रिक्स समीकरणों को हल करना भी देखें।

समाधान एल्गोरिथ्म

1. मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना की जाती है। यदि सारणिक शून्य है, तो समाधान समाप्त हो गया है। सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।
2. जब सारणिक शून्य से भिन्न होता है, तो बीजगणितीय योगों के माध्यम से व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 पाया जाता है।
3. समाधान वेक्टर X =(x 1, x 2, ..., x n) व्युत्क्रम मैट्रिक्स को परिणाम वेक्टर B से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण। मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम का समाधान खोजें। आइए मैट्रिक्स को इस रूप में लिखें:
बीजगणितीय जोड़.

ए 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

ए 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

ए 1.3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

ए 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

ए 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

ए 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

ए 3.1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

एक्स टी = (1,0,1)
x 1 = -21/-21 = 1
एक्स 2 = 0/-21 = 0
x 3 = -21/-21 = 1
इंतिहान:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। मैट्रिक्स विधि आपको किसी भी जटिलता के SLAE (रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली) का समाधान खोजने की अनुमति देती है। SLAE को हल करने की पूरी प्रक्रिया दो मुख्य क्रियाओं पर आधारित होती है:

मुख्य मैट्रिक्स के आधार पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्धारण:

परिणामी व्युत्क्रम मैट्रिक्स को समाधानों के कॉलम वेक्टर से गुणा करना।

मान लीजिए हमें निम्नलिखित फॉर्म का SLAE दिया गया है:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

आइए सिस्टम मैट्रिक्स लिखकर इस समीकरण को हल करना शुरू करें:

दाईं ओर का मैट्रिक्स:

आइए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को परिभाषित करें। आप दूसरे क्रम का मैट्रिक्स इस प्रकार पा सकते हैं: 1 - मैट्रिक्स स्वयं गैर-एकवचन होना चाहिए; 2 - इसके तत्व जो मुख्य विकर्ण पर हैं, उनकी अदला-बदली की जाती है, और द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के लिए हम चिह्न को विपरीत में बदलते हैं, जिसके बाद हम परिणामी तत्वों को मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित करते हैं। हम पाते हैं:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ प्रारंभ(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 आव्यूहों को समान माना जाता है यदि उनके संगत अवयव समान हों। परिणामस्वरूप, हमारे पास SLAE समाधान के लिए निम्नलिखित उत्तर हैं:

मैं मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?

आप हमारी वेबसाइट पर समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं। मुफ़्त ऑनलाइन सॉल्वर आपको किसी भी जटिलता के ऑनलाइन समीकरण को कुछ ही सेकंड में हल करने की अनुमति देगा। आपको बस सॉल्वर में अपना डेटा दर्ज करना है। आप हमारी वेबसाइट पर यह भी जान सकते हैं कि समीकरण को कैसे हल किया जाए। और यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे VKontakte समूह में पूछ सकते हैं।

चलो गौर करते हैं रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली(एसएलएयू) अपेक्षाकृत एनअज्ञात एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :

इस प्रणाली को "संक्षिप्त" रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एस एन मैं=1 ए आईजे एक्स जे = बी मैं , मैं=1,2, ..., एन.

मैट्रिक्स गुणन नियम के अनुसार, रैखिक समीकरणों की मानी गई प्रणाली को लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी=बी, कहाँ

, ,.

आव्यूह ए, जिसके स्तंभ संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियाँ संबंधित समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक हैं, कहलाती हैं सिस्टम का मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिसके तत्व सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर हैं, उन्हें दाईं ओर का मैट्रिक्स या बस कहा जाता है सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स , जिसके तत्व अज्ञात अज्ञात हों, कहलाते हैं सिस्टम समाधान.

प्रपत्र में लिखी गई रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली कुल्हाड़ी=बी, है मैट्रिक्स समीकरण.

यदि सिस्टम मैट्रिक्स गैर पतित, तो इसका एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और फिर सिस्टम का समाधान है कुल्हाड़ी=बीसूत्र द्वारा दिया गया है:

एक्स=ए -1 बी.

उदाहरणसिस्टम को हल करें मैट्रिक्स विधि.

समाधानआइए सिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

आइए पहली पंक्ति के साथ विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:

क्योंकि Δ ≠ 0 , वह ए -1 मौजूद।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स सही पाया गया.

आइए सिस्टम का समाधान खोजें

इस तरह, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, एक्स 3 = 3 .

इंतिहान:

7. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता पर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणालीइसका रूप है:

ए 21 x 1 + ए 22 x 2 +... + ए 2एन एक्स एन = बी 2, (5.1)

ए एम1 एक्स 1 + ए एम1 एक्स 2 +... + ए एमएन एक्स एन = बी एम।

यहां a i j और b i (i = ; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएं हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं:

जहां A = (a i j) एक मैट्रिक्स है जिसमें सिस्टम (5.1) के अज्ञात के लिए गुणांक शामिल हैं, जिसे कहा जाता है सिस्टम का मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बने स्तंभ सदिश हैं।

संग्रह का आदेश दिया एनवास्तविक संख्याएँ (c 1 , c 2 ,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1), यदि संगत चर x 1, x 2,..., x n के स्थान पर इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के परिणामस्वरूप, सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि कोई सदिश C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T है जिससे AC  B.

सिस्टम (5.1) कहा जाता है संयुक्त,या हल करने योग्य,यदि इसका कम से कम एक समाधान है. सिस्टम कहा जाता है असंगत,या न सुलझा हुआ, यदि इसका कोई समाधान नहीं है।

,

मैट्रिक्स ए के दाईं ओर मुक्त पदों का एक कॉलम निर्दिष्ट करके गठित ए कहा जाता है सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स।

सिस्टम की अनुकूलता (5.1) का प्रश्न निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत होती है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स ए और ए की रैंक मेल खाती है, यानी। आर(ए) = आर(ए) = आर.

सिस्टम (5.1) के समाधान के सेट एम के लिए तीन संभावनाएँ हैं:

1) एम =  (इस मामले में सिस्टम असंगत है);

2) M में एक तत्व शामिल है, अर्थात। सिस्टम का एक अनोखा समाधान है (इस मामले में सिस्टम को कहा जाता है)। निश्चित);

3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब सिस्टम कहा जाता है ढुलमुल). तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान केवल तभी होता है जब r(A) = n हो। इस मामले में, समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या (mn) से कम नहीं है; यदि m>n, तो एम-एन समीकरणदूसरों के परिणाम हैं. यदि 0

रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली को हल करने के लिए, आपको उन प्रणालियों को हल करने में सक्षम होने की आवश्यकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है - तथाकथित क्रैमर प्रकार की प्रणालियाँ:

ए 11 एक्स 1 + ए 12 एक्स 2 +... + ए 1 एन एक्स एन = बी 1,

ए 21 x 1 + ए 22 x 2 +... + ए 2एन एक्स एन = बी 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

ए एन1 एक्स 1 + ए एन1 एक्स 2 +... + ए एनएन एक्स एन = बी एन।

सिस्टम (5.3) को निम्नलिखित तरीकों में से एक में हल किया जाता है: 1) गॉस विधि, या अज्ञात को खत्म करने की विधि; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि.

उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली का अन्वेषण करें और यदि यह सुसंगत है तो इसे हल करें:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

समाधान।हम सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स लिखते हैं:

 .

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक की गणना करें। यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ कोने में दूसरे क्रम का नाबालिग = 7  0; इसमें शामिल तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं:

इसलिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 है, यानी। r(A) = 2. विस्तारित मैट्रिक्स A की रैंक की गणना करने के लिए, बॉर्डरिंग माइनर पर विचार करें

इसका मतलब है कि विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक r(A) = 3. चूँकि r(A)  r(A), सिस्टम असंगत है।

सामान्य तौर पर समीकरण, रैखिक बीजगणितीय समीकरण और उनकी प्रणालियाँ, साथ ही उन्हें हल करने की विधियाँ, सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों तरह से गणित में एक विशेष स्थान रखती हैं।

यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश भौतिक, आर्थिक, तकनीकी और यहां तक ​​कि शैक्षणिक समस्याओं का वर्णन और समाधान विभिन्न समीकरणों और उनकी प्रणालियों का उपयोग करके किया जा सकता है। हाल ही में, गणितीय मॉडलिंग ने लगभग सभी विषय क्षेत्रों में शोधकर्ताओं, वैज्ञानिकों और चिकित्सकों के बीच विशेष लोकप्रियता हासिल की है, जिसे विभिन्न प्रकृति की वस्तुओं, विशेष रूप से तथाकथित जटिल, के अध्ययन के लिए अन्य प्रसिद्ध और सिद्ध तरीकों पर इसके स्पष्ट लाभों द्वारा समझाया गया है। सिस्टम. अलग-अलग समय पर वैज्ञानिकों द्वारा दी गई गणितीय मॉडल की विभिन्न परिभाषाओं की एक बड़ी विविधता है, लेकिन हमारी राय में, निम्नलिखित कथन सबसे सफल है। गणितीय मॉडल एक समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया एक विचार है। इस प्रकार, समीकरणों और उनकी प्रणालियों को बनाने और हल करने की क्षमता एक आधुनिक विशेषज्ञ की एक अभिन्न विशेषता है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए, सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ क्रैमर, जॉर्डन-गॉस और मैट्रिक्स विधि हैं।

मैट्रिक्स समाधान विधि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक विधि है।

यदि हम मैट्रिक्स A में अज्ञात मात्राओं xi के लिए गुणांक लिखते हैं, वेक्टर कॉलम निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण ए · एक्स = बी, जिसका एक अद्वितीय समाधान केवल तभी होता है जब मैट्रिक्स ए का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होता है। इस स्थिति में, समीकरणों की प्रणाली का समाधान निम्नलिखित तरीके से पाया जा सकता है एक्स = ए-1· बी, कहाँ ए-1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है.

मैट्रिक्स समाधान विधि इस प्रकार है.

आइए हमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए एनअज्ञात:

इसे मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ ए- सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, बीऔर एक्स- निःशुल्क सदस्यों के कॉलम और सिस्टम के समाधान, क्रमशः:

आइए इस मैट्रिक्स समीकरण को बाईं ओर से गुणा करें ए-1 - मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए: ए -1 (कुल्हाड़ी) = ए -1 बी

क्योंकि ए -1 ए = इ, हम पाते हैं एक्स= ए -1 बी. इस समीकरण का दाहिना भाग मूल प्रणाली का समाधान स्तंभ देगा। इस पद्धति की प्रयोज्यता (साथ ही सामान्य रूप से समाधान के अस्तित्व) के लिए कोई शर्त नहीं है सजातीय प्रणालीअज्ञातों की संख्या के बराबर समीकरणों की संख्या के साथ रैखिक समीकरण) मैट्रिक्स की गैर-अपघटन है ए. इसके लिए एक आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त यह है कि मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर न हो ए:det ए≠ 0.

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के लिए, अर्थात्, जब वेक्टर बी = 0 , वास्तव में विपरीत नियम: प्रणाली कुल्हाड़ी = 0 का एक गैर-तुच्छ (अर्थात, गैर-शून्य) समाधान केवल तभी होता है जब det ए= 0. रैखिक समीकरणों की सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के समाधानों के बीच इस तरह के संबंध को फ्रेडहोम विकल्प कहा जाता है।

उदाहरण रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली का समाधान.

आइए सुनिश्चित करें कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के अज्ञात के गुणांकों से बना मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

अगला कदम अज्ञात के गुणांकों से युक्त मैट्रिक्स के तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरकों की गणना करना है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए उनकी आवश्यकता होगी।