सबसे पहले, आइए दो चर वाले फ़ंक्शन के मामले पर विचार करें। किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम $z=f(x,y)$ बिंदु $M_0(x_0;y_0)$ पर इस फ़ंक्शन का चरम है, जो इस शर्त के तहत प्राप्त किया जाता है कि चर $x$ और $y$ में हैं इस बिंदु के आसपास कनेक्शन समीकरण $\ varphi (x,y)=0$ को संतुष्ट करता है।

"सशर्त" चरम नाम इस तथ्य के कारण है कि चर पर एक अतिरिक्त शर्त $\varphi(x,y)=0$ लगाई गई है। यदि एक चर को कनेक्शन समीकरण से दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, तो सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या एक चर के फ़ंक्शन के सामान्य चरम को निर्धारित करने की समस्या में कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि कनेक्शन समीकरण $y=\psi(x)$ को दर्शाता है, तो $y=\psi(x)$ को $z=f(x,y)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक वेरिएबल $z का एक फ़ंक्शन प्राप्त होता है =f\बाएं (x,\psi(x)\दाएं)$. में सामान्य मामलाहालाँकि, यह विधि बहुत कम उपयोग की है, इसलिए एक नए एल्गोरिदम की शुरूआत की आवश्यकता है।

दो चरों के कार्यों के लिए लैग्रेंज गुणक विधि।

लैग्रेंज गुणक विधि में एक सशर्त चरम को खोजने के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन का निर्माण शामिल है: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ पैरामीटर कहा जाता है लैग्रेंज गुणक)। चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्तें समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं जिससे स्थिर बिंदु निर्धारित होते हैं:

$$ \left \( \begin(aline) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(संरेखित) \right. $$

एक पर्याप्त स्थिति जिससे कोई चरम की प्रकृति निर्धारित कर सकता है वह चिह्न है $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. यदि एक स्थिर बिंदु पर $d^2F > 0$, तो फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का इस बिंदु पर एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, то условный максимум.

चरम की प्रकृति को निर्धारित करने का एक और तरीका है। युग्मन समीकरण से हमें प्राप्त होता है: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, इसलिए किसी भी स्थिर बिंदु पर हमारे पास है:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \दाएं)$$

दूसरा कारक (कोष्ठक में स्थित) इस रूप में दर्शाया जा सकता है:

निर्धारक $\left| के तत्वों को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (सरणी)\दाएं|$, जो लैग्रेंज फ़ंक्शन का हेसियन है। यदि $H > 0$, तो $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, यानि हमारे पास फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का एक सशर्त न्यूनतम है।

निर्धारक $H$ के अंकन के संबंध में एक नोट। छिपा हुया दिखाओ

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") और F_(xy)^("") \\ varphi_(y)^(") और F_(xy)^("") और F_(yy)^("") \ अंत(सरणी) \दाएँ| $$

इस स्थिति में, ऊपर बनाया गया नियम इस प्रकार बदल जाएगा: यदि $H > 0$, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, और यदि $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

एक सशर्त चरम सीमा के लिए दो चर के एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम

1. लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. सिस्टम को हल करें $ \left \( \begin(allined) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(संरेखित) \right.$
3. पिछले पैराग्राफ में पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, निम्न में से किसी एक विधि का उपयोग करें:
   • $H$ का सारणिक लिखें और उसका चिह्न ज्ञात करें
   • युग्मन समीकरण को ध्यान में रखते हुए, $d^2F$ के चिह्न की गणना करें

n चरों के कार्यों के लिए लैग्रेंज गुणक विधि

मान लें कि हमारे पास $n$ वेरिएबल्स $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ और $m$ युग्मन समीकरण ($n > m$) का एक फ़ंक्शन है:

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों को $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ के रूप में दर्शाते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाते हैं:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

एक सशर्त चरम की उपस्थिति के लिए आवश्यक शर्तें समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती हैं, जहां से स्थिर बिंदुओं के निर्देशांक और लैग्रेंज गुणक के मान पाए जाते हैं:

$$\left\(\begin(align) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ओवरलाइन(1,एम)) \अंत(संरेखित) \दाएं.$$

आप $d^2F$ चिह्न का उपयोग करके पहले की तरह पता लगा सकते हैं कि किसी फ़ंक्शन में पाए गए बिंदु पर सशर्त न्यूनतम या सशर्त अधिकतम है या नहीं। यदि पाए गए बिंदु पर $d^2F > 0$, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

मैट्रिक्स का निर्धारक $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(1)\आंशिक x_(3)) और\ldots और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(1)\आंशिक x_(n)) \\ \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(2)\आंशिक x_1) और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(2)^(2)) और \frac(\आंशिक^2F )(\आंशिक x_(2)\आंशिक x_(3)) &\ldots और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(2)\आंशिक x_(n))\\ \frac(\आंशिक^2F )(\आंशिक x_(3) \आंशिक x_(1)) और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(3)\आंशिक x_(2)) और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(3)\आंशिक x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(n)\आंशिक x_(1)) और \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(n)\आंशिक x_(2)) और \ frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(n)\आंशिक x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, मैट्रिक्स $L$ में लाल रंग में हाइलाइट किया गया, लैग्रेंज फ़ंक्शन का हेसियन है। हम निम्नलिखित नियम का उपयोग करते हैं:

• यदि कोणीय अवयस्कों के चिह्न $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ आव्यूह $L$ $(-1)^m$ के चिह्न के साथ मेल खाते हैं, तो अध्ययन के तहत स्थिर बिंदु फ़ंक्शन $ का सशर्त न्यूनतम बिंदु है z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• यदि कोणीय अवयस्कों के चिह्न $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ वैकल्पिक, और लघु $H_(2m+1)$ का चिह्न संख्या $(-1)^(m+1) के चिह्न के साथ मेल खाता है )$, तो स्थिर बिंदु फ़ंक्शन $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ का सशर्त अधिकतम बिंदु है।

उदाहरण क्रमांक 1

$x^2+y^2=10$ शर्त के तहत फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ का सशर्त चरम ज्ञात करें।

इस समस्या की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है: सिलेंडर $x^2+y के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं के लिए विमान $z=x+3y$ के अनुप्रयोग के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को ढूंढना आवश्यक है। ^2=10$.

युग्मन समीकरण से एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना और इसे फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ में प्रतिस्थापित करना कुछ हद तक कठिन है, इसलिए हम लैग्रेंज विधि का उपयोग करेंगे।

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ को दर्शाते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाते हैं:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\आंशिक x)=1+2\lambda x; \frac(\आंशिक F)(\आंशिक y)=3+2\lambda y. $$

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली लिखें:

$$ \left \( \begin(aline) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (संरेखित)\दाएं.$$

यदि हम $\lambda=0$ मान लें, तो पहला समीकरण बन जाता है: $1=0$। परिणामी विरोधाभास इंगित करता है कि $\lambda\neq 0$। शर्त $\lambda\neq 0$ के तहत, पहले और दूसरे समीकरण से हमारे पास है: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. प्राप्त मानों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(संरेखित) और \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(संरेखित) \दाएं.\\ \begin(संरेखित) और \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(संरेखित) $$

तो, सिस्टम के दो समाधान हैं: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ और $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. आइए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं: $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु पर $H$ के निर्धारक की गणना करते हैं।

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 और \varphi_(x)^(") और \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") और F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ varphi_(y)^(") और F_(xy)^("") और F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

बिंदु $M_1(1;3)$ पर हमें मिलता है: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, तो बिंदु $M_1(1;3)$ फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ की एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

इसी प्रकार, बिंदु $M_2(-1,-3)$ पर हम पाते हैं: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. चूँकि $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

मैं ध्यान देता हूं कि प्रत्येक बिंदु पर निर्धारक $H$ के मूल्य की गणना करने के बजाय, इसे इसमें विस्तारित करना अधिक सुविधाजनक है सामान्य रूप से देखें. विवरण के साथ पाठ को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैं इस विधि को एक नोट के नीचे छिपाऊंगा।

निर्धारक $H$ को सामान्य रूप में लिखना। छिपा हुया दिखाओ

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

सिद्धांत रूप में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि $H$ का चिन्ह क्या है। चूँकि $M_1$ या $M_2$ में से कोई भी बिंदु मूल बिंदु से मेल नहीं खाता है, तो $y^2+x^2>0$। इसलिए, $H$ का चिन्ह $\lambda$ के चिन्ह के विपरीत है। आप गणना पूरी कर सकते हैं:

$$ \begin(संरेखित) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(संरेखित) $$

स्थिर बिंदुओं $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$ पर चरम की प्रकृति के बारे में प्रश्न को निर्धारक $H$ का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है। आइए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $d^2F$ का चिह्न ढूंढें:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

मुझे ध्यान दें कि नोटेशन $dx^2$ का मतलब बिल्कुल $dx$ है जिसे दूसरी घात तक बढ़ाया गया है, यानी। $\left(dx \right)^2$. इसलिए हमारे पास है: $dx^2+dy^2>0$, इसलिए, $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ के साथ हमें $d^2F मिलता है< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

उत्तर: बिंदु $(-1;-3)$ पर फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम $z_(\min)=-10$ है। बिंदु $(1;3)$ पर फ़ंक्शन की एक सशर्त अधिकतम सीमा होती है, $z_(\max)=10$

उदाहरण क्रमांक 2

$x+y=0$ शर्त के तहत फ़ंक्शन $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ का सशर्त चरम ज्ञात करें।

पहली विधि (लैग्रेंज गुणक विधि)

$\varphi(x,y)=x+y$ को दर्शाते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाते हैं: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\आंशिक F)(\आंशिक x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(allined) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ Lambda=0; \\ & x+y=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

सिस्टम को हल करने के बाद, हमें मिलता है: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ और $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. हमारे पास दो स्थिर बिंदु हैं: $M_1(0;0)$ और $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. आइए निर्धारक $H$ का उपयोग करके प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं।

$$H=\बाएँ| \begin(array) (ccc) 0 और \varphi_(x)^(") और \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") और F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ varphi_(y)^(") और F_(xy)^("") और F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

बिंदु पर $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, इसलिए इस बिंदु पर फ़ंक्शन का एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

हम $d^2F$ के चिह्न के आधार पर, एक अलग विधि का उपयोग करके प्रत्येक बिंदु पर चरम की प्रकृति की जांच करते हैं:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

कनेक्शन समीकरण $x+y=0$ से हमारे पास है: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$।

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

चूँकि $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, तो $M_1(0;0)$ फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु है $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. इसी प्रकार, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

दूसरा तरीका

कनेक्शन समीकरण $x+y=0$ से हमें मिलता है: $y=-x$. फ़ंक्शन $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ में $y=-x$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें वेरिएबल $x$ का कुछ फ़ंक्शन प्राप्त होता है। आइए इस फ़ंक्शन को $u(x)$ के रूप में निरूपित करें:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

इस प्रकार, हमने दो चर वाले फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने की समस्या को एक चर के फ़ंक्शन के चरम को निर्धारित करने की समस्या में कम कर दिया है।

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

हमें अंक $M_1(0;0)$ और $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ प्राप्त हुए। आगे के शोध को एक चर के कार्यों के अंतर कलन के पाठ्यक्रम से जाना जाता है। प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $u_(xx)^("")$ के चिह्न की जांच करके या पाए गए बिंदुओं पर $u_(x)^(")$ के चिह्न में परिवर्तन की जांच करके, हम वही निष्कर्ष प्राप्त करते हैं जब पहली विधि को हल करना। उदाहरण के लिए, हम चिह्न $u_(xx)^("")$ की जाँच करेंगे:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

चूँकि $u_(xx)^("")(M_1)>0$, तो $M_1$ फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु $u(x)$ है, और $u_(\min)=u(0)=0 $ . चूँकि $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

किसी दिए गए कनेक्शन स्थिति के लिए फ़ंक्शन $u(x)$ के मान फ़ंक्शन $z(x,y)$ के मानों से मेल खाते हैं, अर्थात। फ़ंक्शन $u(x)$ का पाया गया एक्स्ट्रेमा फ़ंक्शन $z(x,y)$ का मांगा गया सशर्त एक्स्ट्रेमा है।

उत्तर: बिंदु $(0;0)$ पर फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम $z_(\min)=0$ है। बिंदु $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ पर फ़ंक्शन का एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें जिसमें हम $d^2F$ का चिह्न निर्धारित करके चरम की प्रकृति को स्पष्ट करेंगे।

उदाहरण संख्या 3

फ़ंक्शन $z=5xy-4$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें यदि चर $x$ और $y$ सकारात्मक हैं और युग्मन समीकरण $\frac(x^2)(8)+\frac( को संतुष्ट करते हैं) y^2)(2) -1=0$.

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाएं: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु खोजें:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(align) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

आगे के सभी परिवर्तन $x > 0 को ध्यान में रखते हुए किए जाते हैं; \; y > 0$ (यह समस्या विवरण में निर्दिष्ट है)। दूसरे समीकरण से हम $\lambda=-\frac(5x)(y)$ व्यक्त करते हैं और पाए गए मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. तीसरे समीकरण में $x=2y$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $य =1$.

चूँकि $y=1$, तो $x=2$, $\lambda=-10$। हम $d^2F$ के चिह्न के आधार पर बिंदु $(2;1)$ पर चरम की प्रकृति निर्धारित करते हैं।

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

चूँकि $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, तो:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

सिद्धांत रूप में, यहां आप तुरंत स्थिर बिंदु $x=2$, $y=1$ और पैरामीटर $\lambda=-10$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, प्राप्त करते हुए:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

हालाँकि, सशर्त चरम पर अन्य समस्याओं में कई स्थिर बिंदु हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, सामान्य रूप में $d^2F$ का प्रतिनिधित्व करना बेहतर होता है, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति में प्रत्येक पाए गए स्थिर बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना बेहतर होता है:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

चूँकि $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

उत्तर: बिंदु $(2;1)$ पर फ़ंक्शन की सशर्त अधिकतम सीमा $z_(\max)=6$ है।

अगले भाग में हम बड़ी संख्या में चर वाले कार्यों के लिए लैग्रेंज विधि के अनुप्रयोग पर विचार करेंगे।

अनेक चरों के कार्यों की चरम सीमा। चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त. चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति. सशर्त चरम. लैग्रेंज गुणक विधि. सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ढूँढना।

व्याख्यान 5.

परिभाषा 5.1.डॉट म 0 (x 0, y 0)बुलाया अधिकतम बिंदुकार्य जेड = एफ (एक्स, वाई),अगर एफ (एक्स ओ , वाई ओ) > एफ(एक्स,वाई)सभी बिंदुओं के लिए (एक्स, वाई) म 0.

परिभाषा 5.2.डॉट म 0 (x 0, y 0)बुलाया न्यूनतम बिंदुकार्य जेड = एफ (एक्स, वाई),अगर एफ (एक्स ओ , वाई ओ) < एफ(एक्स,वाई)सभी बिंदुओं के लिए (एक्स, वाई)किसी बिंदु के किसी पड़ोस से म 0.

नोट 1. अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदुअनेक चरों के कार्य.

टिप्पणी 2. किसी भी संख्या में चर वाले फ़ंक्शन के लिए चरम बिंदु समान तरीके से निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय 5.1(एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें)। अगर म 0 (x 0, y 0)- फ़ंक्शन का चरम बिंदु जेड = एफ (एक्स, वाई),तो इस बिंदु पर इस फ़ंक्शन के प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

सबूत।

आइए वेरिएबल का मान ठीक करें पर, गिनती य = य 0. फिर फ़ंक्शन एफ (एक्स, वाई 0)एक वेरिएबल का एक फ़ंक्शन होगा एक्स, जिसके लिए एक्स = एक्स 0चरम बिंदु है. इसलिए, फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार, या अस्तित्व में नहीं है। के लिए भी यही कथन इसी प्रकार सिद्ध होता है।

परिभाषा 5.3.कई चर वाले किसी फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित बिंदु, जिस पर फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं, कहलाते हैं स्थिर बिंदुयह फ़ंक्शन.

टिप्पणी। इस प्रकार, चरम सीमा तक केवल स्थिर बिंदुओं पर ही पहुंचा जा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह उनमें से प्रत्येक पर देखा जाए।

प्रमेय 5.2(चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थितियाँ)। चलो बिंदु के कुछ पड़ोस में म 0 (x 0, y 0), जो फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु है जेड = एफ (एक्स, वाई),इस फ़ंक्शन में तीसरे क्रम तक निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं। आइए फिर निरूपित करें:

1) एफ(एक्स,वाई)बिंदु पर है म 0अधिकतम यदि एसी-बी² > 0, ए < 0;

2) एफ(एक्स,वाई)बिंदु पर है म 0न्यूनतम यदि एसी-बी² > 0, ए > 0;

3) यदि क्रांतिक बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है एसी-बी² < 0;

4) यदि एसी-बी² = 0, आगे शोध की आवश्यकता है।

सबूत।

आइए फ़ंक्शन के लिए दूसरे क्रम का टेलर सूत्र लिखें एफ(एक्स,वाई),याद रखें कि एक स्थिर बिंदु पर प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं:

कहाँ यदि खंड के बीच का कोण म0 म, कहाँ एम (x 0 +Δ एक्स, वाई 0 +Δ पर), और O अक्ष एक्सनिरूपित करें φ, फिर Δ एक्स =Δ ρ ओल φ, Δ य =Δρsinφ. इस मामले में, टेलर का सूत्र यह रूप लेगा:। मान लीजिए फिर हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को विभाजित और गुणा कर सकते हैं ए. हम पाते हैं:

आइए अब हम चार पर विचार करें संभावित मामले:

1) एसी-बी² > 0, ए < 0. Тогда , и पर्याप्त रूप से छोटे Δρ पर। इसलिए, कुछ पड़ोस में म 0 च (x 0 + Δ एक्स, वाई 0 +Δ य)< एफ (एक्स 0 , वाई 0), वह है म 0– अधिकतम बिंदु.

2) चलो एसी-बी² > 0, ए > 0.तब , और म 0– न्यूनतम बिंदु.

3) चलो एसी-बी² < 0, ए> 0. किरण φ = 0 के अनुदिश तर्कों की वृद्धि पर विचार करें। फिर (5.1) से यह निष्कर्ष निकलता है कि , अर्थात् इस किरण के अनुदिश गति करने पर कार्य बढ़ जाता है। यदि हम एक किरण के अनुदिश इस प्रकार चलें कि tg φ 0 = -ए/बी,वह , इसलिए, इस किरण के साथ चलते समय, कार्य कम हो जाता है। तो, अवधि म 0चरम बिंदु नहीं है.

3`) कब एसी-बी² < 0, ए < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

पिछले वाले के समान.

3``) यदि एसी-बी² < 0, ए= 0, फिर . वहीं . फिर पर्याप्त रूप से छोटे φ के लिए अभिव्यक्ति 2 बी cosφ + सीसिनφ 2 के करीब है में, अर्थात, यह एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है, लेकिन बिंदु के आसपास के क्षेत्र में synφ चिह्न बदल देता है म 0.इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन की वृद्धि एक स्थिर बिंदु के आसपास के क्षेत्र में संकेत बदलती है, जो इसलिए एक चरम बिंदु नहीं है।

4) यदि एसी-बी² = 0, और , , अर्थात वृद्धि का चिन्ह 2α 0 के चिन्ह से निर्धारित होता है। साथ ही, एक चरम के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए और अधिक शोध आवश्यक है।

उदाहरण। आइए फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें जेड = एक्स² - 2 xy + 2य²+2 एक्स।स्थिर बिंदु खोजने के लिए, हम सिस्टम को हल करते हैं . तो, स्थिर बिंदु (-2,-1) है। जिसमें ए = 2, में = -2, साथ= 4. फिर एसी-बी² = 4 > 0, इसलिए, एक स्थिर बिंदु पर एक चरम, अर्थात न्यूनतम (चूंकि) पहुंच जाता है ए > 0).

परिभाषा 5.4.यदि फ़ंक्शन तर्क देता है एफ (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन)जुड़े हुए अतिरिक्त शर्तोंजैसा एमसमीकरण ( एम< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ मी ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

जहां फ़ंक्शन φ i में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होते हैं, तो समीकरण (5.2) कहलाते हैं कनेक्शन समीकरण.

परिभाषा 5.5.समारोह का चरम एफ (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन)जब शर्तें (5.2) पूरी हो जाती हैं, तो इसे कहा जाता है सशर्त चरम.

टिप्पणी। हम दो चर वाले फ़ंक्शन के सशर्त चरम की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या की पेशकश कर सकते हैं: फ़ंक्शन के तर्क दें एफ(एक्स,वाई)समीकरण φ से संबंधित (एक्स,वाई)= 0, जो O तल में कुछ वक्र को परिभाषित करता है xy. इस वक्र के प्रत्येक बिंदु से समतल O पर लंबों का पुनर्निर्माण करना xyजब तक यह सतह के साथ अंतरित न हो जाए जेड = एफ (एक्स,वाई),हमें वक्र φ के ऊपर सतह पर स्थित एक स्थानिक वक्र प्राप्त होता है (एक्स,वाई)= 0. कार्य परिणामी वक्र के चरम बिंदुओं को ढूंढना है, जो निश्चित रूप से, सामान्य स्थिति में फ़ंक्शन के बिना शर्त चरम बिंदुओं से मेल नहीं खाता है एफ(एक्स,वाई).

आइए पहले निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत करके दो चरों के एक फ़ंक्शन के लिए सशर्त चरम के लिए आवश्यक शर्तें निर्धारित करें:

परिभाषा 5.6.समारोह एल (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन) = एफ (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन) + λ 1 φ 1 (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

कहाँ मैं -कुछ स्थिर हैं, कहलाते हैं लैग्रेंज फ़ंक्शन, और संख्याएँ मैं– अनिश्चितकालीन लैग्रेंज गुणक.

प्रमेय 5.3(सशर्त चरम के लिए आवश्यक शर्तें)। किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम जेड = एफ (एक्स, वाई)युग्मन समीकरण की उपस्थिति में φ ( एक्स, वाई)= 0 केवल लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं पर ही प्राप्त किया जा सकता है एल (एक्स, वाई) = एफ (एक्स, वाई) + λφ (एक्स, वाई)।

सबूत। युग्मन समीकरण एक अंतर्निहित संबंध निर्दिष्ट करता है परसे एक्स, इसलिए हम यह मान लेंगे परसे एक फ़ंक्शन है एक्स: वाई = वाई(एक्स).तब जेडवहाँ है जटिल कार्यसे एक्स, और इसके महत्वपूर्ण बिंदु स्थिति द्वारा निर्धारित होते हैं: . (5.4) युग्मन समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है . (5.5)

आइए समानता (5.5) को किसी संख्या λ से गुणा करें और इसे (5.4) में जोड़ें। हम पाते हैं:

, या ।

अंतिम समानता स्थिर बिंदुओं पर संतुष्ट होनी चाहिए, जिससे यह निम्नानुसार है:

(5.6)

तीन अज्ञातों के लिए तीन समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है: एक्स, वाईऔर λ, और पहले दो समीकरण लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु के लिए स्थितियां हैं। सिस्टम (5.6) से सहायक अज्ञात λ को बाहर करके, हम उन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं जिन पर मूल फ़ंक्शन में एक सशर्त चरम हो सकता है।

टिप्पणी 1. पाए गए बिंदु पर एक सशर्त चरम की उपस्थिति को प्रमेय 5.2 के अनुरूप लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न का अध्ययन करके जांचा जा सकता है।

टिप्पणी 2. वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम तक पहुंचा जा सकता है एफ (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन)जब शर्तें (5.2) पूरी हो जाती हैं, तो इसे सिस्टम के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (5.7)

उदाहरण। आइए फ़ंक्शन का सशर्त चरम खोजें z = xyमान लें कि एक्स + वाई= 1. आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). सिस्टम (5.6) इस तरह दिखता है:

जहाँ -2λ=1, λ=-0.5, एक्स = वाई = -λ = 0.5. जिसमें एल(एक्स,वाई)रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है एल(एक्स, वाई) = - 0,5 (एक्स-y)² + 0.5 ≤ 0.5, इसलिए पाए गए स्थिर बिंदु पर एल(एक्स,वाई)अधिकतम है, और जेड = एक्सवाई -सशर्त अधिकतम.

परिभाषा1: किसी फ़ंक्शन को किसी बिंदु पर स्थानीय अधिकतम कहा जाता है यदि उस बिंदु का पड़ोस किसी भी बिंदु के लिए होता है एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता रखती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि< 0.

परिभाषा2: किसी फ़ंक्शन को किसी बिंदु पर स्थानीय न्यूनतम कहा जाता है यदि उस बिंदु का पड़ोस किसी भी बिंदु के लिए होता है एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता रखती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि > 0.

परिभाषा 3: स्थानीय न्यूनतम एवं अधिकतम के बिंदु कहलाते हैं चरम बिंदु.

सशर्त चरम

कई चर वाले किसी फ़ंक्शन के चरम की खोज करते समय, तथाकथित से संबंधित समस्याएं अक्सर उत्पन्न होती हैं सशर्त चरम.इस अवधारणा को दो चर वाले फ़ंक्शन के उदाहरण का उपयोग करके समझाया जा सकता है।

मान लीजिए एक फ़ंक्शन और एक लाइन दी गई है एलसतह पर 0xy. कार्य लाइन पर आना है एलऐसा कोई बिंदु खोजो पी(एक्स, वाई),जिसमें किसी फ़ंक्शन का मान रेखा पर बिंदुओं पर इस फ़ंक्शन के मानों की तुलना में सबसे बड़ा या सबसे छोटा होता है एल, बिंदु के पास स्थित है पी. ऐसे बिंदु पीकहा जाता है सशर्त चरम बिंदुऑनलाइन कार्य करता है एल. सामान्य चरम बिंदु के विपरीत, सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की तुलना उसके पड़ोस के सभी बिंदुओं पर नहीं, बल्कि केवल उन बिंदुओं पर की जाती है जो लाइन पर स्थित हैं एल.

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य चरम की बात (वे भी कहते हैं बिना शर्त चरम) इस बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए एक सशर्त चरम बिंदु भी है। निस्संदेह, इसका विपरीत सत्य नहीं है: सशर्त चरम बिंदु सामान्य चरम बिंदु नहीं हो सकता है। मैंने जो कहा उसे एक सरल उदाहरण से समझाता हूँ। फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊपरी गोलार्ध है (परिशिष्ट 3 (चित्र 3))।

इस फ़ंक्शन के मूल में अधिकतम है; शीर्ष इससे मेल खाता है एमगोलार्ध यदि रेखा एलबिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा है एऔर में(उसका समीकरण x+y-1=0), तो यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि इस रेखा के बिंदुओं के लिए उच्चतम मूल्यकार्यों को बिंदुओं के मध्य में स्थित एक बिंदु पर प्राप्त किया जाता है एऔर में।यह इस रेखा पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम (अधिकतम) का बिंदु है; यह गोलार्ध पर बिंदु एम 1 से मेल खाता है, और चित्र से यह स्पष्ट है कि यहां किसी भी सामान्य चरम की कोई बात नहीं हो सकती है।

ध्यान दें कि समस्या के अंतिम भाग में फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को ढूंढना है बंद क्षेत्रहमें इस क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के चरम मान खोजने होंगे, अर्थात। किसी पंक्ति पर, और इस प्रकार सशर्त चरम समस्या का समाधान करें।

आइए अब हम फ़ंक्शन Z= f(x, y) के सशर्त चरम बिंदुओं की व्यावहारिक खोज के लिए आगे बढ़ें, बशर्ते कि चर x और y समीकरण (x, y) = 0 से संबंधित हों। हम इस संबंध को कहेंगे कनेक्शन समीकरण. यदि युग्मन समीकरण से y को x: y=(x) के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है, तो हमें एक चर Z= f(x, (x)) = Ф(x) का एक फ़ंक्शन प्राप्त होता है।

वह मान x ज्ञात करने के बाद जिस पर यह फ़ंक्शन चरम सीमा तक पहुंचता है, और फिर कनेक्शन समीकरण से संबंधित y मान निर्धारित करते हैं, हम सशर्त चरम के वांछित बिंदु प्राप्त करते हैं।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, संबंध समीकरण x+y-1=0 से हमारे पास y=1-x है। यहाँ से

यह जाँचना आसान है कि z x = 0.5 पर अपनी अधिकतम सीमा तक पहुँच जाता है; लेकिन फिर कनेक्शन समीकरण y = 0.5 से, और हमें बिल्कुल बिंदु P मिलता है, जो ज्यामितीय विचारों से पाया जाता है।

सशर्त चरम की समस्या बहुत आसानी से हल हो जाती है, भले ही कनेक्शन समीकरण का प्रतिनिधित्व किया जा सके पैरामीट्रिक समीकरण x=x(t), y=y(t). इस फ़ंक्शन में x और y के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम फिर से एक चर के फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या पर आते हैं।

यदि युग्मन समीकरण से अधिक है जटिल रूपऔर हम या तो एक चर को दूसरे के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त करने में असमर्थ हैं, या इसे पैरामीट्रिक समीकरणों के साथ प्रतिस्थापित करने में असमर्थ हैं, तो सशर्त चरम को खोजने का कार्य अधिक कठिन हो जाता है। हम यह मानते रहेंगे कि फ़ंक्शन z= f(x, y) की अभिव्यक्ति में चर (x, y) = 0 है। फ़ंक्शन z= f(x, y) का कुल व्युत्पन्न इसके बराबर है:

जहां अंतर्निहित फ़ंक्शन के विभेदन के नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न y` पाया जाता है। सशर्त चरम के बिंदुओं पर, पाया गया कुल व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए; यह x और y से संबंधित एक समीकरण देता है। चूँकि उन्हें युग्मन समीकरण को भी संतुष्ट करना होगा, हमें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है

आइए पहले समीकरण को अनुपात के रूप में लिखकर और एक नया सहायक अज्ञात प्रस्तुत करके इस प्रणाली को और अधिक सुविधाजनक में बदल दें:

(सामने ऋण चिह्न सुविधा के लिए है)। इन समानताओं से निम्नलिखित प्रणाली में जाना आसान है:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

जो, कनेक्शन समीकरण (x, y) = 0 के साथ, अज्ञात x, y और के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली बनाता है।

इन समीकरणों (*) को निम्नलिखित नियम का उपयोग करके याद रखना सबसे आसान है: उन बिंदुओं को खोजने के लिए जो फ़ंक्शन के सशर्त चरम के बिंदु हो सकते हैं

Z= f(x, y) कनेक्शन समीकरण (x, y) = 0 के साथ, आपको एक सहायक फ़ंक्शन बनाने की आवश्यकता है

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

कुछ स्थिरांक कहां है, और इस फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने के लिए समीकरण बनाएं।

समीकरणों की संकेतित प्रणाली, एक नियम के रूप में, केवल आवश्यक शर्तें प्रदान करती है, अर्थात। इस प्रणाली को संतुष्ट करने वाले x और y मानों की प्रत्येक जोड़ी आवश्यक रूप से एक सशर्त चरम बिंदु नहीं है। मैं सशर्त चरम के बिंदुओं के लिए पर्याप्त शर्तें नहीं दूंगा; अक्सर समस्या की विशिष्ट सामग्री ही बताती है कि पाया गया बिंदु क्या है। सशर्त चरम पर समस्याओं को हल करने के लिए वर्णित तकनीक को लैग्रेंज गुणक विधि कहा जाता है।

उदाहरण

बशर्ते कि फलन का चरम ज्ञात करें एक्सऔर परसंबंध से संबंधित हैं: . ज्यामितीय रूप से, समस्या का अर्थ निम्नलिखित है: एक दीर्घवृत्त पर
विमान
.

इस समस्या को इस प्रकार हल किया जा सकता है: समीकरण से
हम देखतें है
एक्स:

उसे उपलब्ध कराया
, अंतराल पर एक चर के फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या को कम कर दिया गया
.

ज्यामितीय रूप से, समस्या का अर्थ निम्नलिखित है: एक दीर्घवृत्त पर , सिलेंडर को पार करके प्राप्त किया गया
विमान
, आपको आवेदन का अधिकतम या न्यूनतम मूल्य ज्ञात करना होगा (चित्र.9)। इस समस्या को इस प्रकार हल किया जा सकता है: समीकरण से
हम देखतें है
. समतल के समीकरण में y के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक चर का एक फलन प्राप्त होता है एक्स:

इस प्रकार, फ़ंक्शन का चरम खोजने की समस्या
उसे उपलब्ध कराया
, एक अंतराल पर एक चर के फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या को कम कर दिया गया।

इसलिए, एक सशर्त चरम सीमा खोजने की समस्या- यह वस्तुनिष्ठ फलन का चरम ज्ञात करने की समस्या है
, बशर्ते कि चर एक्सऔर परप्रतिबंध के अधीन
, बुलाया कनेक्शन समीकरण.

चलिए ऐसा कहते हैं डॉट
, युग्मन समीकरण को संतुष्ट करते हुए, स्थानीय सशर्त अधिकतम (न्यूनतम) का बिंदु है), अगर कोई पड़ोस है
ऐसा कि किसी भी बिंदु के लिए
, जिनके निर्देशांक कनेक्शन समीकरण को संतुष्ट करते हैं, असमानता संतुष्ट होती है।

यदि युग्मन समीकरण से कोई व्यंजक पा सकता है पर, फिर इस अभिव्यक्ति को मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करके, हम बाद वाले को एक चर के जटिल फ़ंक्शन में बदल देते हैं एक्स।

सशर्त चरम समस्या को हल करने की सामान्य विधि है लैग्रेंज गुणक विधि. आइए एक सहायक फ़ंक्शन बनाएं, जहां ─ कुछ संख्या. इस फ़ंक्शन को कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन, ए ─ लैग्रेंज गुणक। इस प्रकार, सशर्त चरम सीमा को खोजने का कार्य लैग्रेंज फ़ंक्शन के लिए स्थानीय चरम बिंदुओं को खोजने तक कम कर दिया गया है। संभावित चरम बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है एक्स, वाईऔर।

फिर आपको चरम सीमा के लिए निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति का उपयोग करना चाहिए।

प्रमेय. मान लीजिए कि यह बिंदु लैग्रेंज फ़ंक्शन के लिए एक संभावित चरम बिंदु है। आइए मान लें कि बिंदु के आसपास
कार्यों के दूसरे क्रम के निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होते हैं और . चलो निरूपित करें

तो अगर
, वह
─ फ़ंक्शन का सशर्त चरम बिंदु
युग्मन समीकरण के साथ
इस मामले में, यदि
, वह
─ सशर्त न्यूनतम बिंदु, यदि
, वह
─ सशर्त अधिकतम बिंदु।

§8. ग्रेडियेंट और दिशात्मक व्युत्पन्न

कार्य करने दो
कुछ (खुले) क्षेत्र में परिभाषित। किसी भी बिंदु पर विचार करें
यह क्षेत्र और कोई निर्देशित सीधी रेखा (अक्ष) , इस बिंदु से गुजरते हुए (चित्र 1)। होने देना
- इस अक्ष पर कोई अन्य बिंदु,
- बीच के खंड की लंबाई
और
, यदि दिशा हो तो धन चिह्न के साथ लिया जाता है
अक्ष की दिशा से मेल खाता है , और यदि उनकी दिशाएं विपरीत हैं तो ऋण चिह्न के साथ।

होने देना
अनिश्चितकाल तक पहुँचता है
. आप LIMIT

बुलाया किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
की ओर (या अक्ष के साथ ) और इसे इस प्रकार दर्शाया गया है:

.

यह व्युत्पन्न बिंदु पर फ़ंक्शन की "परिवर्तन की दर" को दर्शाता है
की ओर . विशेष रूप से, साधारण आंशिक व्युत्पन्न ,इसे "दिशा के संबंध में" व्युत्पन्न के रूप में भी सोचा जा सकता है।

आइए अब मान लें कि फ़ंक्शन
विचाराधीन क्षेत्र में निरंतर आंशिक डेरिवेटिव हैं। चलो अक्ष निर्देशांक अक्षों के साथ कोण बनाता है
और . बनाई गई धारणाओं के तहत, दिशात्मक व्युत्पन्न मौजूद है और सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

.

यदि वेक्टर
इसके निर्देशांक द्वारा दिया गया
, फिर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
वेक्टर की दिशा में
सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

.

निर्देशांक के साथ वेक्टर
बुलाया ग्रेडिएंट वेक्टरकार्य
बिंदु पर
. ग्रेडिएंट वेक्टर किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन में सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा को इंगित करता है।

उदाहरण

एक फ़ंक्शन, बिंदु A(1, 1) और वेक्टर दिया गया है
. खोजें: 1)बिंदु A पर ग्रेड z; 2) वेक्टर की दिशा में बिंदु A पर व्युत्पन्न .

किसी बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न
:

;
.

फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट वेक्टर है:
. ग्रेडिएंट वेक्टर को वेक्टर अपघटन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है और :

. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न वेक्टर की दिशा में :

इसलिए,
,
.◄

सशर्त चरम.

अनेक चरों वाले किसी फलन की एक्स्ट्रेमा

न्यूनतम वर्ग विधि.

स्थानीय चरमएफएनपी

फ़ंक्शन दिया जाए और= एफ(पी), РÎDÌR एनऔर मान लीजिए बिंदु P 0 ( ए 1 , ए 2 , ..., एक पी) –आंतरिकसेट का बिंदु डी.

परिभाषा 9.4.

1)बिंदु पी0 कहलाता है अधिकतम बिंदु कार्य और= एफ(P), यदि इस बिंदु U(P 0) М D का कोई पड़ोस ऐसा है कि किसी भी बिंदु P( के लिए) एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन)ओ यू(पी 0) , आरपी 0 , शर्त पूरी हो गई एफ(पी)£ एफ(पृ0) . अर्थ एफ(पी 0) फ़ंक्शन को अधिकतम बिंदु पर कहा जाता है फ़ंक्शन का अधिकतम और नामित किया गया है एफ(पी0) = अधिकतम एफ(पी) ।

2)बिंदु पी 0 कहलाता है न्यूनतम बिंदु कार्य और= एफ(पी), यदि इस बिंदु यू (पी 0)Ì डी का कोई पड़ोस है जैसे कि किसी भी बिंदु पी के लिए( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन)OU(P 0), Р¹Р 0 , शर्त संतुष्ट है एफ(पी)³ एफ(पृ0) . अर्थ एफ(पी0) न्यूनतम बिंदु पर फलन कहलाता है न्यूनतम कार्य और नामित किया गया है एफ(प0)=मिन एफ(पी)।

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम बिंदु कहलाते हैं चरम बिंदु, चरम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान कहलाते हैं समारोह की चरम सीमा.

परिभाषा के अनुसार, असमानताएँ एफ(पी)£ एफ(प0) , एफ(पी)³ एफ(पी 0) केवल बिंदु पी 0 के एक निश्चित पड़ोस में संतुष्ट होना चाहिए, न कि फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे क्षेत्र में, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन में एक ही प्रकार के कई चरम हो सकते हैं (कई मिनीमा, कई मैक्सिमा) . इसलिए, ऊपर परिभाषित एक्स्ट्रेमा कहलाते हैं स्थानीय(स्थानीय) चरम.

प्रमेय 9.1.( आवश्यक शर्तएफएनपी का चरम)

यदि फ़ंक्शन और= एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन) का बिंदु P 0 पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर इसका प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न या तो शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

सबूत।माना बिंदु P 0 पर ( ए 1 , ए 2 , ..., एक पी) समारोह और= एफ(पी) का एक चरम है, उदाहरण के लिए, अधिकतम। आइए तर्कों को ठीक करें एक्स 2 , ..., एक्स एन, डालना एक्स 2 =ए 2 ,..., एक्स एन = एक पी. तब और= एफ(पी) = एफ 1 ((एक्स 1 , ए 2 , ..., एक पी) एक वेरिएबल का एक फ़ंक्शन है एक्स 1 . चूँकि यह फ़ंक्शन है एक्स 1 = ए 1 चरम (अधिकतम), फिर एफ 1 ¢=0या कब अस्तित्व में नहीं है एक्स 1 =ए 1 (एक चर के फलन के चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)। लेकिन, इसका मतलब है या बिंदु P 0 - चरम बिंदु पर मौजूद नहीं है। इसी प्रकार, हम अन्य चरों के संबंध में आंशिक व्युत्पन्नों पर विचार कर सकते हैं। सीटीडी.

किसी फ़ंक्शन के डोमेन में वे बिंदु जिन पर प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु यह फ़ंक्शन.

प्रमेय 9.1 के अनुसार, फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच एफएनपी के चरम बिंदुओं की तलाश की जानी चाहिए। लेकिन, जहां तक ​​एक चर के फ़ंक्शन का सवाल है, प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है।

प्रमेय 9.2. (एफएनपी के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति)

मान लीजिए P 0 फ़ंक्शन का क्रांतिक बिंदु है और= एफ(पी) और इस फ़ंक्शन का दूसरा क्रम अंतर है। तब

और अगर डी 2 यू(P 0) > 0 पर, तो P 0 एक बिंदु है न्यूनतमकार्य और= एफ(पी);

बी) यदि डी 2 यू(प0)< 0 при , то Р 0 – точка अधिकतमकार्य और= एफ(पी);

ग) यदि डी 2 यू(पी 0) संकेत द्वारा परिभाषित नहीं है, तो पी 0 एक चरम बिंदु नहीं है;

हम इस प्रमेय पर बिना प्रमाण के विचार करेंगे।

ध्यान दें कि प्रमेय उस मामले पर विचार नहीं करता है जब डी 2 यू(पी 0) = 0 या अस्तित्व में नहीं है। इसका मतलब यह है कि ऐसी परिस्थितियों में बिंदु P 0 पर एक चरम की उपस्थिति का प्रश्न खुला रहता है - हमें इसकी आवश्यकता है अतिरिक्त शोधउदाहरण के लिए, इस बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि का अध्ययन करना।

अधिक विस्तृत गणित पाठ्यक्रमों में यह सिद्ध होता है कि, विशेष रूप से फ़ंक्शन के लिए जेड = एफ(एक्स,य) दो चरों का, दूसरे क्रम का अंतर, फॉर्म का योग है

क्रांतिक बिंदु P 0 पर एक चरम की उपस्थिति के अध्ययन को सरल बनाया जा सकता है।

आइए निरूपित करें , , . आइए एक निर्धारक की रचना करें

.

पता चला है:

डी 2 जेड> 0 बिंदु P 0 पर, अर्थात्। पी 0 - न्यूनतम बिंदु, यदि ए(पी 0) > 0 और डी (पी 0) > 0;

डी 2 जेड < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ए(प0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

यदि डी(पी0)< 0, то डी 2 जेडबिंदु P 0 के आसपास यह संकेत बदलता है और बिंदु P 0 पर कोई चरम सीमा नहीं है;

यदि D(Р 0) = 0, तो क्रांतिक बिंदु Р 0 के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन का अतिरिक्त अध्ययन भी आवश्यक है।

इस प्रकार, समारोह के लिए जेड = एफ(एक्स,य) दो चरों में से एक चरम खोजने के लिए हमारे पास निम्नलिखित एल्गोरिदम है (चलिए इसे "एल्गोरिदम डी" कहते हैं):

1) परिभाषा D का डोमेन खोजें( एफ) कार्य.

2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात। डी से अंक( एफ), जिसके लिए और शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

3) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पी 0 पर, चरम के लिए पर्याप्त स्थितियों की जांच करें। ऐसा करने के लिए, खोजें , कहां , , और डी (पी 0) और की गणना करें ए(प0) फिर:

यदि D(P 0) >0, तो बिंदु P 0 पर एक चरम है, और यदि ए(पी 0) > 0 - तो यह न्यूनतम है, और यदि ए(प0)< 0 – максимум;

यदि डी(पी0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

यदि डी(पी 0) = 0, तो अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

4) पाए गए चरम बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

उदाहरण 1।

फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें जेड = एक्स 3 + 8य 3 – 3xy .

समाधान।इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण समन्वय तल है। आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

, , Þ पी 0 (0,0) , .

आइए जाँच करें कि चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थितियाँ संतुष्ट हैं या नहीं। हम ढूंढ लेंगे

6एक्स, = -3, = 48परऔर = 288xy – 9.

तब D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

डी(पी 1) = 36-9>0 - बिंदु पी 1 पर एक चरम है, और चूंकि ए(पी 1) = 3 >0, तो यह चरम न्यूनतम है। तो मि जेड=जेड(प 1)= .

उदाहरण 2.

फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें .

समाधान: डी( एफ) =आर 2 . महत्वपूर्ण बिंदु: ; अस्तित्व में नहीं है जब पर= 0, जिसका अर्थ है कि P 0 (0,0) इस फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु है।

2, = 0, = , = , लेकिन D(P 0) परिभाषित नहीं है, इसलिए इसके चिह्न का अध्ययन करना असंभव है।

इसी कारण से, प्रमेय 9.2 को सीधे लागू करना असंभव है - डी 2 जेडइस बिंदु पर मौजूद नहीं है.

आइए फ़ंक्शन की वृद्धि पर विचार करें एफ(एक्स, य) बिंदु P 0 पर। यदि डी एफ =एफ(पी) - एफ(पी 0)>0 "पी, तो पी 0 न्यूनतम बिंदु है, लेकिन यदि डी एफ < 0, то Р 0 – точка максимума.

हमारे मामले में हमारे पास है

डी एफ = एफ(एक्स, य) – एफ(0, 0) = एफ(0+डी एक्स,0+डी य) – एफ(0, 0) = .

डी पर एक्स= 0.1 और डी य= -0.008 हमें D प्राप्त होता है एफ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dएक्स= 0.1 और डी य= 0.001 डी एफ= 0.01 + 0.1 > 0, अर्थात बिंदु P 0 के आसपास कोई भी शर्त D संतुष्ट नहीं है एफ <0 (т.е. एफ(एक्स, य) < एफ(0, 0) और इसलिए पी 0 अधिकतम बिंदु नहीं है), न ही स्थिति डी एफ>0 (अर्थात् एफ(एक्स, य) > एफ(0, 0) और फिर P 0 न्यूनतम बिंदु नहीं है)। तो, एक चरम की परिभाषा के अनुसार, यह फ़ंक्शनकोई चरम नहीं है.

सशर्त चरम.

फ़ंक्शन के सुविचारित चरम को कहा जाता है बिना शर्त, क्योंकि फ़ंक्शन तर्कों पर कोई प्रतिबंध (शर्तें) नहीं लगाया गया है।

परिभाषा 9.2.समारोह का चरम और = एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन), इस शर्त के तहत पाया गया कि इसके तर्क एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एनसमीकरणों को संतुष्ट करें जे 1 ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0, …, जे टी(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0, जहां पी ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) ओ डी( एफ), बुलाया सशर्त चरम .

समीकरण जे क(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0 , क = 1, 2,..., एम, कहा जाता है कनेक्शन समीकरण.

आइए कार्यों पर नजर डालें जेड = एफ(एक्स,य) दो चर। यदि कनेक्शन समीकरण एक है, अर्थात , तो एक सशर्त चरम सीमा खोजने का मतलब है कि चरम सीमा फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे क्षेत्र में नहीं, बल्कि डी में स्थित कुछ वक्र पर मांगी गई है। एफ) (अर्थात, यह सतह का उच्चतम या निम्नतम बिंदु नहीं है जिसे खोजा गया है जेड = एफ(एक्स,य), और सिलेंडर के साथ इस सतह के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच उच्चतम या निम्नतम बिंदु, चित्र 5)।

किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम जेड = एफ(एक्स,य) दो वेरिएबल्स को निम्नलिखित तरीके से पाया जा सकता है( उन्मूलन विधि). समीकरण से, एक चर को दूसरे के एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त करें (उदाहरण के लिए, लिखें ) और, चर के इस मान को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हुए, बाद वाले को एक चर के एक फ़ंक्शन के रूप में लिखें (मामले में विचार किया गया है) ). एक चर के परिणामी फलन का चरम ज्ञात कीजिए।