परिभाषा 7.1.समतल पर सभी बिंदुओं का समुच्चय जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं F 1 और F 2 की दूरियों का योग एक दिया गया स्थिर मान होता है, कहलाता है दीर्घवृत्त.
दीर्घवृत्त की परिभाषा इसके ज्यामितीय निर्माण की निम्नलिखित विधि देती है। हम समतल पर दो बिंदु F 1 और F 2 निर्धारित करते हैं, और एक गैर-नकारात्मक स्थिर मान को 2a से निरूपित करते हैं। माना बिंदु F 1 और F 2 के बीच की दूरी 2c है। आइए कल्पना करें कि लंबाई 2a का एक अटूट धागा बिंदु F 1 और F 2 पर तय किया गया है, उदाहरण के लिए, दो सुइयों का उपयोग करके। यह स्पष्ट है कि यह केवल ≥ c के लिए ही संभव है। धागे को पेंसिल से खींचकर एक रेखा खींचिए, जो एक दीर्घवृत्त होगी (चित्र 7.1)।
इसलिए, यदि ≥ c है तो वर्णित सेट खाली नहीं है। जब a = c, तो दीर्घवृत्त एक खंड होता है जिसके सिरे F 1 और F 2 होते हैं, और जब c = 0 होता है, अर्थात। यदि दीर्घवृत्त की परिभाषा में निर्दिष्ट निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो यह त्रिज्या a का एक वृत्त है। इन विकृत मामलों को खारिज करते हुए, हम आगे, एक नियम के रूप में, मान लेंगे कि a > c > 0.
दीर्घवृत्त की परिभाषा 7.1 में निश्चित बिंदु F 1 और F 2 कहलाते हैं (चित्र 7.1 देखें) दीर्घवृत्त foci, उनके बीच की दूरी, 2c द्वारा इंगित, - फोकल लम्बाई, और दीर्घवृत्त पर एक मनमाना बिंदु M को उसकी नाभियों से जोड़ने वाले खंड F 1 M और F 2 M हैं फोकल त्रिज्या.
दीर्घवृत्त का आकार पूरी तरह से फोकल लंबाई |F 1 F 2 | द्वारा निर्धारित होता है = 2सी और पैरामीटर ए, और विमान पर इसकी स्थिति - अंक एफ 1 और एफ 2 की एक जोड़ी।
दीर्घवृत्त की परिभाषा से यह पता चलता है कि यह नाभियों F 1 और F 2 से गुजरने वाली रेखा के संबंध में सममित है, साथ ही उस रेखा के संबंध में भी है जो खंड F 1 F 2 को आधे में विभाजित करती है और इसके लंबवत है (चित्र 7.2, ए)। इन पंक्तियों को कहा जाता है दीर्घवृत्त अक्ष. उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O दीर्घवृत्त की समरूपता का केंद्र है, और इसे कहा जाता है दीर्घवृत्त का केंद्र, और समरूपता के अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु (चित्र 7.2, ए में बिंदु ए, बी, सी और डी) - दीर्घवृत्त के शीर्ष.
संख्या a को कहा जाता है दीर्घवृत्त की अर्धप्रमुख धुरी, और b = √(a 2 - c 2) - इसका छोटी धुरी. यह देखना आसान है कि c > 0 के लिए, अर्ध-प्रमुख अक्ष a, दीर्घवृत्त के केंद्र से उसके उन शीर्षों की दूरी के बराबर है जो दीर्घवृत्त की नाभियों (शीर्ष A और B) के साथ एक ही अक्ष पर हैं चित्र 7.2, ए) में, और अर्ध-लघु अक्ष बी केंद्र दीर्घवृत्त से इसके दो अन्य शीर्षों (चित्र 7.2, ए में शीर्ष सी और डी) की दूरी के बराबर है।
दीर्घवृत्त समीकरण.आइए बिंदु F 1 और F 2, प्रमुख अक्ष 2a पर फोकस के साथ समतल पर कुछ दीर्घवृत्त पर विचार करें। मान लीजिए 2c फोकल लंबाई है, 2c = |F 1 F 2 |
आइए हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी चुनें ताकि इसकी उत्पत्ति दीर्घवृत्त के केंद्र के साथ मेल खाए, और इसकी नाभियाँ पर हों X- अक्ष(चित्र 7.2, बी)। ऐसी समन्वय प्रणाली कहलाती है कैनन काप्रश्न में दीर्घवृत्त के लिए, और संबंधित चर हैं कैनन का.
चयनित समन्वय प्रणाली में, foci के निर्देशांक F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) हैं। बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके, हम शर्त लिखते हैं |F 1 M| + |एफ 2 एम| = 2a निर्देशांक में:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
यह समीकरण असुविधाजनक है क्योंकि इसमें दो वर्गमूल शामिल हैं। तो आइए इसे रूपांतरित करें। आइए हम समीकरण (7.2) में दूसरे मूलांक को आगे बढ़ाएं दाहिनी ओरऔर इसे वर्गित करें:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
कोष्ठक खोलने और समान पद लाने पर हमें प्राप्त होता है
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
जहां ε = सी/ए. हम दूसरे रेडिकल को हटाने के लिए स्क्वेरिंग ऑपरेशन दोहराते हैं: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, या, दर्ज किए गए पैरामीटर ε के मान को ध्यान में रखते हुए, (a 2 - c 2 ) एक्स 2 / ए 2 + वाई 2 = ए 2 - सी 2। चूँकि a 2 - c 2 = b 2 > 0, तो
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
समीकरण (7.4) दीर्घवृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होता है। लेकिन इस समीकरण को प्राप्त करते समय, मूल समीकरण (7.2) के गैर-समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग किया गया - दो वर्ग जो वर्गमूल को हटा देते हैं। किसी समीकरण का वर्ग करना एक समतुल्य परिवर्तन है यदि दोनों पक्षों में समान चिन्ह वाली मात्राएँ हों, लेकिन हमने अपने परिवर्तनों में इसकी जाँच नहीं की।
यदि हम निम्नलिखित को ध्यान में रखें तो हम परिवर्तनों की तुल्यता की जाँच से बच सकते हैं। बिंदुओं F 1 और F 2 की एक जोड़ी, |F 1 F 2 | = 2c, समतल पर इन बिंदुओं पर नाभियों वाले दीर्घवृत्तों के एक परिवार को परिभाषित करता है। खंड एफ 1 एफ 2 के बिंदुओं को छोड़कर, विमान का प्रत्येक बिंदु, संकेतित परिवार के कुछ दीर्घवृत्त से संबंधित है। इस मामले में, कोई भी दो दीर्घवृत्त प्रतिच्छेद नहीं करते, क्योंकि फोकल त्रिज्या का योग विशिष्ट रूप से एक विशिष्ट दीर्घवृत्त निर्धारित करता है। तो, चौराहे के बिना दीर्घवृत्त का वर्णित परिवार खंड एफ 1 एफ 2 के बिंदुओं को छोड़कर, पूरे विमान को कवर करता है। आइए उन बिंदुओं के एक समूह पर विचार करें जिनके निर्देशांक पैरामीटर ए के दिए गए मान के साथ समीकरण (7.4) को संतुष्ट करते हैं। क्या इस सेट को कई दीर्घवृत्तों के बीच वितरित किया जा सकता है? समुच्चय के कुछ बिंदु अर्धप्रमुख अक्ष a वाले दीर्घवृत्त से संबंधित हैं। मान लीजिए कि इस सेट में एक बिंदु अर्ध-प्रमुख अक्ष ए के साथ दीर्घवृत्त पर स्थित है। तब इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण का पालन करते हैं
वे। समीकरण (7.4) और (7.5) हैं सामान्य समाधान. हालाँकि, यह सत्यापित करना आसान है कि सिस्टम
ã ≠ a के लिए कोई समाधान नहीं है। ऐसा करने के लिए, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण से x को बाहर करना पर्याप्त है:
जो परिवर्तनों के बाद समीकरण की ओर ले जाता है
जिसका ã ≠ a के लिए कोई समाधान नहीं है, चूँकि। तो, (7.4) अर्ध-प्रमुख अक्ष a > 0 और अर्ध-लघु अक्ष b =√(a 2 - c 2) > 0 के साथ एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसे कहा जाता है विहित दीर्घवृत्त समीकरण.
दीर्घवृत्त दृश्य.ऊपर चर्चा की गई दीर्घवृत्त के निर्माण की ज्यामितीय विधि पर्याप्त विचार देती है उपस्थितिदीर्घवृत्त. लेकिन दीर्घवृत्त के आकार का अध्ययन इसके विहित समीकरण (7.4) का उपयोग करके भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप y ≥ 0 मानते हुए, y को x के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं: y = b√(1 - x 2 /a 2), और, इस फ़ंक्शन का अध्ययन करने के बाद, इसका ग्राफ बना सकते हैं। दीर्घवृत्त बनाने का एक और तरीका है। दीर्घवृत्त (7.4) की विहित समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ त्रिज्या a का एक वृत्त समीकरण x 2 + y 2 = a 2 द्वारा वर्णित है। यदि इसे गुणांक a/b > 1 के साथ संपीड़ित किया जाता है शाफ़्ट, तो आपको एक वक्र मिलता है जो समीकरण x 2 + (ya/b) 2 = a 2, यानी एक दीर्घवृत्त द्वारा वर्णित है।
टिप्पणी 7.1.यदि वही वृत्त किसी कारक a/b द्वारा संपीड़ित होता है
दीर्घवृत्त विलक्षणता. किसी दीर्घवृत्त की फोकस दूरी और उसके प्रमुख अक्ष का अनुपात कहलाता है दीर्घवृत्त की विलक्षणताऔर ε द्वारा निरूपित किया जाता है। एक दीर्घवृत्त के लिए दिया गया
विहित समीकरण (7.4), ε = 2सी/2ए = सी/ए। यदि (7.4) में पैरामीटर ए और बी असमानता ए से संबंधित हैं
जब c = 0, जब दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है, और ε = 0. अन्य मामलों में, 0
समीकरण (7.3) समीकरण (7.4) के समतुल्य है, क्योंकि समीकरण (7.4) और (7.2) समतुल्य हैं। अत: दीर्घवृत्त का समीकरण भी (7.3) है। इसके अलावा, संबंध (7.3) दिलचस्प है क्योंकि यह लंबाई के लिए एक सरल, रेडिकल-मुक्त सूत्र देता है |एफ 2 एम| दीर्घवृत्त के बिंदु M(x; y) की फोकल त्रिज्याओं में से एक: |F 2 M| = ए + εx.
दूसरे फोकल त्रिज्या के लिए एक समान सूत्र समरूपता विचार से या दोहराई गई गणनाओं से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें समीकरण (7.2) को वर्ग करने से पहले, पहला रेडिकल दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, न कि दूसरा। तो, दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु M(x; y) के लिए (चित्र 7.2 देखें)
|एफ 1 एम | = ए - εx, |एफ 2 एम| = ए + εx, (7.6)
और इनमें से प्रत्येक समीकरण एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।
उदाहरण 7.1.आइए अर्धप्रमुख अक्ष 5 और विलक्षणता 0.8 के साथ एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण खोजें और इसकी रचना करें।
दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष a = 5 और विलक्षणता ε = 0.8 को जानकर, हम इसका अर्ध-लघु अक्ष b ज्ञात करेंगे। चूँकि b = √(a 2 - c 2), और c = εa = 4, तो b = √(5 2 - 4 2) = 3. इसलिए विहित समीकरण का रूप x 2 /5 2 + y 2 /3 है 2 = 1. एक दीर्घवृत्त का निर्माण करने के लिए, विहित समन्वय प्रणाली के मूल में एक केंद्र के साथ एक आयत बनाना सुविधाजनक होता है, जिसकी भुजाएँ दीर्घवृत्त की समरूपता अक्षों के समानांतर और उसके संबंधित अक्षों के बराबर होती हैं (चित्र)। 7.4). यह आयत किसके साथ प्रतिच्छेद करता है?
दीर्घवृत्त के अक्ष इसके शीर्षों पर A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) पर हैं, और दीर्घवृत्त स्वयं इसमें अंकित है। चित्र में. 7.4 दीर्घवृत्त का नाभि F 1.2 (±4; 0) भी दर्शाता है।
दीर्घवृत्त के ज्यामितीय गुण.आइए हम (7.6) में पहले समीकरण को |F 1 M| के रूप में फिर से लिखें = (ए/ε - एक्स)ε. ध्यान दें कि a > c के लिए मान a/ε - x सकारात्मक है, क्योंकि फोकस F 1 दीर्घवृत्त से संबंधित नहीं है। यह मान इस रेखा के बाईं ओर स्थित बिंदु M(x; y) से ऊर्ध्वाधर रेखा d: x = a/ε की दूरी दर्शाता है। दीर्घवृत्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
|एफ 1 एम|/(ए/ε - एक्स) = ε
इसका मतलब है कि इस दीर्घवृत्त में विमान के वे बिंदु M(x; y) शामिल हैं जिनके लिए फोकल त्रिज्या F 1 M की लंबाई और सीधी रेखा d की दूरी का अनुपात ε के बराबर एक स्थिर मान है (चित्र)। 7.5).
सीधी रेखा d में एक "डबल" है - एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा d, दीर्घवृत्त के केंद्र के सापेक्ष d के सममित, जो समीकरण x = -a/ε द्वारा दिया गया है, d के संबंध में, दीर्घवृत्त का वर्णन किया गया है उसी तरह जैसे डी के संबंध में। दोनों पंक्तियाँ d और d" कहलाती हैं दीर्घवृत्त की नियताएँ. दीर्घवृत्त की नियताएँ दीर्घवृत्त की समरूपता के अक्ष के लंबवत होती हैं जिस पर इसकी नाभियाँ स्थित होती हैं, और दीर्घवृत्त के केंद्र से a/ε = a 2 /c की दूरी पर स्थित होती हैं (चित्र 7.5 देखें)।
डायरेक्ट्रिक्स से उसके निकटतम फोकस तक की दूरी p कहलाती है दीर्घवृत्त का फोकल पैरामीटर. यह पैरामीटर बराबर है
पी = ए/ε - सी = (ए 2 - सी 2)/सी = बी 2 /सी
दीर्घवृत्त की एक और महत्वपूर्ण ज्यामितीय संपत्ति है: फोकल त्रिज्या एफ 1 एम और एफ 2 एम बिंदु एम पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा के साथ समान कोण बनाते हैं (चित्र 7.6)।
यह संपत्ति स्पष्ट है भौतिक अर्थ. यदि किसी प्रकाश स्रोत को फोकस एफ 1 पर रखा गया है, तो इस फोकस से निकलने वाली किरण, दीर्घवृत्त से परावर्तन के बाद, दूसरे फोकल त्रिज्या के साथ जाएगी, क्योंकि परावर्तन के बाद यह परावर्तन से पहले वक्र के समान कोण पर होगी। इस प्रकार, फोकस F 1 से निकलने वाली सभी किरणें दूसरे फोकस F 2 में केंद्रित होंगी, और इसके विपरीत। इसी व्याख्या के आधार पर इस गुण को कहा जाता है दीर्घवृत्त की ऑप्टिकल संपत्ति.
परिभाषा। दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है, इस तल के दो दिए गए बिंदुओं से प्रत्येक की दूरी का योग, जिसे नाभियाँ कहा जाता है, एक स्थिर मान होता है (बशर्ते कि यह मान नाभियों के बीच की दूरी से अधिक हो) .
आइए हम उनके बीच की दूरी के माध्यम से foci को निरूपित करें - के माध्यम से, और एक स्थिर मूल्य, राशि के बराबरदीर्घवृत्त के प्रत्येक बिंदु से नाभि तक की दूरी, (स्थिति के अनुसार)।
आइए एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का निर्माण करें ताकि नाभियाँ भुज अक्ष पर हों, और निर्देशांक की उत्पत्ति खंड के मध्य के साथ मेल खाती हो (चित्र 44)। तब फोकस में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: बायां फोकस और दायां फोकस। आइए हमारे द्वारा चुनी गई समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करें। इस प्रयोजन के लिए, दीर्घवृत्त के एक मनमाने बिंदु पर विचार करें। दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इस बिंदु से नाभि तक की दूरी का योग बराबर होता है:
दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
इस समीकरण को सरल बनाने के लिए हम इसे इस रूप में लिखते हैं
फिर समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
या, स्पष्ट सरलीकरण के बाद:
अब हम समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्गित करते हैं, जिसके बाद हमारे पास है:
या, समान परिवर्तनों के बाद:
चूँकि, दीर्घवृत्त की परिभाषा में दी गई शर्त के अनुसार, संख्या धनात्मक होती है। आइए हम संकेतन का परिचय दें
तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इसके किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (26) को संतुष्ट करते हैं। लेकिन समीकरण (29) समीकरण (26) का परिणाम है। फलस्वरूप, यह दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के निर्देशांक से भी संतुष्ट होता है।
यह दिखाया जा सकता है कि उन बिंदुओं के निर्देशांक जो दीर्घवृत्त पर नहीं हैं, समीकरण (29) को संतुष्ट नहीं करते हैं। इस प्रकार, समीकरण (29) एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसे दीर्घवृत्त का विहित समीकरण कहा जाता है।
आइए हम इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।
सबसे पहले, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि इस समीकरण में केवल क्या शामिल है सम डिग्रीएक्स और वाई. इसका मतलब यह है कि यदि कोई बिंदु दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो इसमें भुज अक्ष के सापेक्ष बिंदु के साथ सममित बिंदु भी होता है, और कोटि अक्ष के सापेक्ष बिंदु के साथ सममित बिंदु भी होता है। इस प्रकार, दीर्घवृत्त में समरूपता के दो परस्पर लंबवत अक्ष होते हैं, जो हमारे चुने हुए समन्वय प्रणाली में समन्वय अक्षों के साथ मेल खाते हैं। अब से हम दीर्घवृत्त की सममिति अक्षों को दीर्घवृत्त की अक्ष कहेंगे, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को दीर्घवृत्त का केंद्र कहेंगे। वह अक्ष जिस पर दीर्घवृत्त की नाभियाँ (में) स्थित हैं इस मामले में x-अक्ष) को फोकल अक्ष कहा जाता है।
आइए सबसे पहले पहली तिमाही में दीर्घवृत्त का आकार निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, आइए y के लिए समीकरण (28) को हल करें:
यह स्पष्ट है कि यहाँ, चूँकि y काल्पनिक मान लेता है। जैसे-जैसे आप 0 से a तक बढ़ते हैं, y, b से घटकर 0 हो जाता है। पहली तिमाही में स्थित दीर्घवृत्त का भाग बिंदु B (0; b) से घिरा एक चाप होगा और निर्देशांक अक्षों पर स्थित होगा (चित्र 45)। अब दीर्घवृत्त की समरूपता का उपयोग करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि दीर्घवृत्त का आकार चित्र में दिखाया गया है। 45.
अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को दीर्घवृत्त के शीर्ष कहा जाता है। दीर्घवृत्त की समरूपता से यह निष्कर्ष निकलता है कि, शीर्षों के अलावा, दीर्घवृत्त में दो और शीर्ष हैं (चित्र 45 देखें)।
दीर्घवृत्त के खंड और विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले, साथ ही उनकी लंबाई, क्रमशः दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अक्ष कहलाते हैं। संख्या a और b को क्रमशः दीर्घवृत्त का प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष कहा जाता है।
नाभियों और दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और इसे आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है:
चूँकि, दीर्घवृत्त की विलक्षणता एकता से कम है: विलक्षणता दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता बताती है। दरअसल, सूत्र (28) से यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, उसका अर्ध-लघु अक्ष बी, अर्ध-प्रमुख अक्ष ए से उतना ही कम भिन्न होगा, अर्थात, दीर्घवृत्त उतना ही कम लम्बा होगा (फोकल अक्ष के साथ)।
सीमित मामले में, परिणाम त्रिज्या a:, या का एक वृत्त है। उसी समय, दीर्घवृत्त की नाभियाँ एक बिंदु - वृत्त के केंद्र - पर विलीन होती प्रतीत होती हैं। वृत्त की विलक्षणता शून्य है:
दीर्घवृत्त और वृत्त के बीच संबंध दूसरे दृष्टिकोण से स्थापित किया जा सकता है। आइए हम दिखाते हैं कि अर्ध-अक्ष a और b वाले दीर्घवृत्त को त्रिज्या a वाले एक वृत्त का प्रक्षेपण माना जा सकता है।
आइए हम दो समतलों P और Q पर विचार करें, जो आपस में एक ऐसा कोण बनाते हैं, जिसके लिए (चित्र 46)। आइए हम पी विमान में एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करें, और क्यू विमान में एक प्रणाली ऑक्सी का निर्माण करें जिसमें एक सामान्य मूल ओ और एक सामान्य एब्सिस्सा अक्ष है जो विमानों के चौराहे की रेखा के साथ मेल खाता है। समतल P में एक वृत्त पर विचार करें
जिसका केंद्र मूल बिंदु पर और त्रिज्या a के बराबर है। मान लीजिए कि वृत्त पर एक मनमाने ढंग से चुना गया बिंदु है, मान लीजिए कि इसका प्रक्षेपण Q विमान पर है, और मान लीजिए कि बिंदु M का ऑक्स अक्ष पर प्रक्षेपण है। आइए हम दिखाएं कि बिंदु अर्ध-अक्ष ए और बी के साथ एक दीर्घवृत्त पर स्थित है।
दूसरे क्रम के वक्रएक समतल पर समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाएँ होती हैं जिनमें चर का समन्वय होता है एक्सऔर यदूसरी डिग्री में निहित हैं. इनमें दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय शामिल हैं।
दूसरे क्रम के वक्र समीकरण का सामान्य रूप इस प्रकार है:
कहाँ ए, बी, सी, डी, ई, एफ- संख्याएँ और कम से कम एक गुणांक ए, बी, सीशून्य के बराबर नहीं.
दूसरे क्रम के वक्रों के साथ समस्याओं को हल करते समय, दीर्घवृत्त, हाइपरबोला और परबोला के विहित समीकरणों पर अक्सर विचार किया जाता है। सामान्य समीकरणों से उन पर आगे बढ़ना आसान है; दीर्घवृत्त वाली समस्याओं का उदाहरण 1 इसी पर केंद्रित होगा।
विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त
दीर्घवृत्त की परिभाषा.दीर्घवृत्त समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिसके लिए नाभियों कहे जाने वाले बिंदुओं की दूरियों का योग नाभियों के बीच की दूरी से अधिक स्थिर मान होता है।
फोकस को नीचे दिए गए चित्र के अनुसार दर्शाया गया है।
दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप इस प्रकार है:
कहाँ एऔर बी (ए > बी) - अर्ध-अक्षों की लंबाई, यानी समन्वय अक्षों पर दीर्घवृत्त द्वारा काटे गए खंडों की आधी लंबाई।
दीर्घवृत्त की नाभि से गुजरने वाली सीधी रेखा इसकी समरूपता की धुरी है। दीर्घवृत्त की समरूपता की एक अन्य धुरी इस खंड के लंबवत खंड के मध्य से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। डॉट के बारे मेंइन रेखाओं का प्रतिच्छेदन दीर्घवृत्त की समरूपता के केंद्र या केवल दीर्घवृत्त के केंद्र के रूप में कार्य करता है।
दीर्घवृत्त का भुज अक्ष बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है ( ए, के बारे में) और (- ए, के बारे में), और कोटि अक्ष बिंदुओं में है ( बी, के बारे में) और (- बी, के बारे में). इन चार बिंदुओं को दीर्घवृत्त का शीर्ष कहा जाता है। एक्स-अक्ष पर दीर्घवृत्त के शीर्षों के बीच के खंड को इसकी प्रमुख धुरी कहा जाता है, और ऑर्डिनेट अक्ष पर - इसकी छोटी धुरी। दीर्घवृत्त के शीर्ष से केंद्र तक के उनके खंड अर्ध-अक्ष कहलाते हैं।
अगर ए = बी, तो दीर्घवृत्त का समीकरण रूप ले लेता है . यह त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है ए, और वृत्त है विशेष मामलादीर्घवृत्त. त्रिज्या वाले वृत्त से एक दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है ए, यदि आप इसे संपीड़ित करते हैं ए/बीअक्ष के अनुदिश समय ओए .
उदाहरण 1।जांचें कि क्या एक सामान्य समीकरण द्वारा दी गई रेखा है 
, दीर्घवृत्त.
समाधान। हम परिवर्तन करते हैं सामान्य समीकरण. हम मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित करने, समीकरण के पद-दर-पद विभाजन को उसी संख्या से और भिन्नों को घटाने का उपयोग करते हैं:
उत्तर। परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है। अत: यह रेखा एक दीर्घवृत्त है।
उदाहरण 2.किसी दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि उसके अर्ध-अक्ष क्रमशः 5 और 4 हैं।
समाधान। हम दीर्घवृत्त और विकल्प के विहित समीकरण के सूत्र को देखते हैं: अर्धप्रमुख अक्ष है ए= 5, अर्ध लघु अक्ष है बी= 4 . हम दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:
प्रमुख अक्ष पर हरे रंग में दर्शाए गए बिंदु और, कहां
कहा जाता है चाल.
बुलाया सनकदीर्घवृत्त.
नज़रिया बी/एदीर्घवृत्त की "तिरछापन" को दर्शाता है। यह अनुपात जितना छोटा होगा, प्रमुख अक्ष के अनुदिश दीर्घवृत्त उतना ही अधिक लम्बा होगा। हालाँकि, दीर्घवृत्त के बढ़ाव की डिग्री को अक्सर विलक्षणता के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, जिसका सूत्र ऊपर दिया गया है। विभिन्न दीर्घवृत्तों के लिए, विलक्षणता 0 से 1 तक भिन्न होती है, हमेशा एकता से कम रहती है।
उदाहरण 3.यदि नाभियों के बीच की दूरी 8 है और प्रमुख अक्ष 10 है तो दीर्घवृत्त का विहित समीकरण बनाएं।
समाधान। आइए कुछ सरल निष्कर्ष निकालें:
यदि प्रमुख अक्ष 10 के बराबर है, तो इसका आधा भाग, अर्थात् अर्ध-अक्ष ए = 5 ,
यदि नाभियों के बीच की दूरी 8 है, तो संख्या सीफोकल निर्देशांक 4 के बराबर है।
हम स्थानापन्न और गणना करते हैं:
परिणाम दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है:
उदाहरण 4.एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण बनाएं यदि इसका प्रमुख अक्ष 26 है और इसकी विलक्षणता है।
समाधान। दीर्घ अक्ष के आकार और विलक्षणता समीकरण दोनों के अनुसार, दीर्घवृत्त का अर्धप्रमुख अक्ष ए= 13. विलक्षणता समीकरण से हम संख्या व्यक्त करते हैं सी, लघु अर्ध-अक्ष की लंबाई की गणना करने के लिए आवश्यक:
.
हम लघु अर्ध-अक्ष की लंबाई के वर्ग की गणना करते हैं:
हम दीर्घवृत्त का विहित समीकरण बनाते हैं:
उदाहरण 5.विहित समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त की नाभियाँ निर्धारित करें।
समाधान। संख्या ज्ञात करें सी, जो दीर्घवृत्त के नाभियों के प्रथम निर्देशांक निर्धारित करता है:
.
हमें दीर्घवृत्त का फोकस मिलता है:
उदाहरण 6.दीर्घवृत्त की नाभियाँ अक्ष पर स्थित होती हैं बैलमूल के बारे में सममित रूप से। दीर्घवृत्त का विहित समीकरण बनाएं यदि:
1) फोकस के बीच की दूरी 30 है, और प्रमुख अक्ष 34 है
2) लघु अक्ष 24, और एक फोकस बिंदु (-5; 0) पर है
3) विलक्षणता, और एक फोकस बिंदु (6; 0) पर है
आइए साथ मिलकर दीर्घवृत्त समस्याओं को हल करना जारी रखें
यदि दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है (चित्र में दीर्घवृत्त के ऊपरी दाएँ भाग में हरे रंग में दर्शाया गया है) और नाभि से इस बिंदु की दूरी है, तो दूरियों के लिए सूत्र इस प्रकार हैं:
दीर्घवृत्त से संबंधित प्रत्येक बिंदु के लिए, नाभि से दूरियों का योग 2 के बराबर एक स्थिर मान है ए.
समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाएँ
कहा जाता है प्रधानाध्यापिकाएँदीर्घवृत्त (चित्र में किनारों पर लाल रेखाएँ हैं)।
उपरोक्त दो समीकरणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के लिए
,
इस बिन्दु की नियताओं से दूरियाँ कहाँ और हैं।
उदाहरण 7.एक दीर्घवृत्त दिया गया है. इसकी नियताओं के लिए एक समीकरण लिखिए।
समाधान। हम नियता समीकरण को देखते हैं और पाते हैं कि हमें दीर्घवृत्त की विलक्षणता ज्ञात करने की आवश्यकता है, अर्थात। इसका सारा डेटा हमारे पास है. हम गणना करते हैं:
.
हम दीर्घवृत्त की नियताओं का समीकरण प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 8.किसी दीर्घवृत्त का विहित समीकरण बनाएं यदि उसकी नाभियाँ बिंदु हैं और नियताएँ रेखाएँ हैं।
बीजगणित और ज्यामिति पर व्याख्यान। सेमेस्टर 1.
व्याख्यान 15. दीर्घवृत्त.
अध्याय 15. दीर्घवृत्त.
खण्ड 1. बुनियादी परिभाषाएँ.
परिभाषा। एक दीर्घवृत्त एक विमान का GMT है, विमान के दो निश्चित बिंदुओं की दूरी का योग, जिसे नाभि कहा जाता है, एक स्थिर मान है।
परिभाषा। समतल के एक मनमाने बिंदु M से दीर्घवृत्त के फ़ोकस तक की दूरी को बिंदु M की फ़ोकस त्रिज्या कहा जाता है।
पदनाम: 
- दीर्घवृत्त का फोकस, 
-बिंदु एम की फोकल त्रिज्या।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, एक बिंदु M एक दीर्घवृत्त का एक बिंदु है यदि और केवल यदि 
- नियत मान। इस स्थिरांक को आमतौर पर 2a से दर्शाया जाता है:
.
(1)
नोटिस जो 
.
एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इसकी नाभियाँ निश्चित बिंदु होती हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी भी किसी दिए गए दीर्घवृत्त के लिए एक स्थिर मान होती है।
परिभाषा। दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी को फोकल लंबाई कहा जाता है।
पद का नाम: 
.
त्रिकोण से 
उसका अनुसरण करता है 
, अर्थात।
.
आइए हम इसके बराबर संख्या को b से निरूपित करें 
, अर्थात।
.
(2)
परिभाषा। नज़रिया
(3)
दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहलाती है।
आइए हम इस तल पर एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें, जिसे हम दीर्घवृत्त के लिए विहित कहेंगे।
परिभाषा। वह अक्ष जिस पर दीर्घवृत्त का फोकस स्थित होता है, फोकल अक्ष कहलाता है।
आइए दीर्घवृत्त के लिए एक विहित पीडीएससी का निर्माण करें, चित्र 2 देखें।
हम फोकल अक्ष को भुज अक्ष के रूप में चुनते हैं, और खंड के मध्य से होकर कोटि अक्ष खींचते हैं 
फोकल अक्ष के लंबवत.
तब foci के निर्देशांक होते हैं 
,
.
खण्ड 2. एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण.
प्रमेय. किसी दीर्घवृत्त के लिए विहित समन्वय प्रणाली में, दीर्घवृत्त के समीकरण का रूप होता है:
.
(4)
सबूत। हम प्रमाण दो चरणों में पूरा करते हैं। पहले चरण में, हम यह साबित करेंगे कि दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं। दूसरे चरण में हम यह साबित करेंगे कि समीकरण (4) का कोई भी समाधान दीर्घवृत्त पर स्थित एक बिंदु के निर्देशांक देता है। यहां से यह निष्कर्ष निकलेगा कि समीकरण (4) निर्देशांक तल के उन और केवल उन्हीं बिंदुओं से संतुष्ट होता है जो दीर्घवृत्त पर स्थित हैं। इससे और वक्र के समीकरण की परिभाषा से यह पता चलेगा कि समीकरण (4) एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।
1) मान लीजिए कि बिंदु M(x, y) दीर्घवृत्त का एक बिंदु है, अर्थात। इसकी फोकल त्रिज्या का योग 2a है:
.
आइए निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करें और किसी दिए गए बिंदु M की फोकल त्रिज्या ज्ञात करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करें:
,
, हम कहाँ से प्राप्त करते हैं:
आइए एक मूल को समानता के दाईं ओर ले जाएं और इसे वर्गित करें:
घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
हम समान प्रस्तुत करते हैं, 4 से कम करते हैं और रेडिकल हटाते हैं:
.
बराबरी
कोष्ठक खोलें और छोटा करें 
:
हमें कहां मिलता है:
समानता (2) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
.
अंतिम समानता को से विभाजित करना 
, हम समानता (4), आदि प्राप्त करते हैं।
2) अब संख्याओं का एक जोड़ा (x, y) समीकरण (4) को संतुष्ट करता है और निर्देशांक तल ऑक्सी पर M(x, y) को संगत बिंदु मानता है।
फिर (4) से यह इस प्रकार है:
.
हम इस समानता को बिंदु M की फोकल त्रिज्या के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:
.
यहां हमने समानता (2) और (3) का उपयोग किया है।
इस प्रकार, 
. वैसे ही, 
.
अब ध्यान दें कि समानता (4) से यह इस प्रकार है
या 
वगैरह। 
, तो असमानता इस प्रकार है:
.
यहाँ से, बदले में, यह इस प्रकार है
या 
और
,
.
(5)
समानता (5) से यह इस प्रकार है 
, अर्थात। बिंदु M(x, y) दीर्घवृत्त का एक बिंदु है, आदि।
प्रमेय सिद्ध है.
परिभाषा। समीकरण (4) को दीर्घवृत्त का विहित समीकरण कहा जाता है।
परिभाषा। किसी दीर्घवृत्त के लिए विहित निर्देशांक अक्षों को दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष कहा जाता है।
परिभाषा। किसी दीर्घवृत्त के लिए विहित समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है।
खण्ड 3. दीर्घवृत्त के गुण.
प्रमेय. (दीर्घवृत्त के गुण।)
1. एक दीर्घवृत्त के लिए विहित समन्वय प्रणाली में, सब कुछ
दीर्घवृत्त के बिंदु आयत में हैं
,
.
2. बिंदु झूठ बोलते हैं
3. दीर्घवृत्त एक वक्र है जो संबंध में सममित होता है
उनकी मुख्य धुरी.
4. दीर्घवृत्त का केंद्र इसका समरूपता केंद्र है।
सबूत। 1, 2) दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का तुरंत अनुसरण करता है।
3, 4) मान लीजिए M(x, y) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। तब इसके निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं। लेकिन फिर बिंदुओं के निर्देशांक भी समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं, और, इसलिए, दीर्घवृत्त के बिंदु हैं, जहां से प्रमेय के कथन अनुसरण करते हैं।
प्रमेय सिद्ध है.
परिभाषा। मात्रा 2a को दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष कहा जाता है, मात्रा a को दीर्घवृत्त का अर्ध-प्रमुख अक्ष कहा जाता है।
परिभाषा। मात्रा 2बी को दीर्घवृत्त का लघु अक्ष कहा जाता है, मात्रा बी को दीर्घवृत्त का अर्धलघु अक्ष कहा जाता है।
परिभाषा। किसी दीर्घवृत्त के मुख्य अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को दीर्घवृत्त के शीर्ष कहा जाता है।
टिप्पणी। एक दीर्घवृत्त का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है। विमान पर, हम "फोकल बिंदुओं में एक कील ठोकते हैं" और उन पर एक लंबाई का धागा बांधते हैं 
. फिर हम एक पेंसिल लेते हैं और उसका उपयोग धागे को फैलाने के लिए करते हैं। फिर हम पेंसिल लेड को समतल के साथ घुमाते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि धागा तना हुआ है।
विलक्षणता की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है
आइए संख्या a को ठीक करें और संख्या c को शून्य पर निर्देशित करें। तो फिर 
,
और 
. हमें जो सीमा मिलती है
या 
– एक वृत्त का समीकरण.
चलिए अब निर्देशन करते हैं 
. तब 
,
और हम देखते हैं कि सीमा में दीर्घवृत्त एक सीधी रेखा खंड में बदल जाता है 
चित्र 3 के अंकन में.
खण्ड 4. दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण.
प्रमेय. होने देना 
- मनमानी वास्तविक संख्याएँ। फिर समीकरणों की प्रणाली
,
(6)
दीर्घवृत्त के लिए विहित समन्वय प्रणाली में एक दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं।
सबूत। यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि समीकरणों की प्रणाली (6) समीकरण (4) के बराबर है, यानी। उनके पास समाधानों का एक ही सेट है।
1) मान लीजिए (x, y) सिस्टम (6) का एक मनमाना समाधान है। पहले समीकरण को a से विभाजित करें, दूसरे को b से विभाजित करें, दोनों समीकरणों का वर्ग करें और जोड़ें:
.
वे। सिस्टम (6) का कोई भी समाधान (x, y) समीकरण (4) को संतुष्ट करता है।
2) इसके विपरीत, मान लीजिए कि युग्म (x, y) समीकरण (4) का एक हल है, अर्थात्।
.
इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि निर्देशांक वाला बिंदु 
मूल बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई त्रिज्या के एक वृत्त पर स्थित है, अर्थात त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु है जिससे एक निश्चित कोण मेल खाता है 
:
साइन और कोसाइन की परिभाषा से यह तुरंत अनुसरण करता है
,
, कहाँ 
, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि युग्म (x, y) सिस्टम (6) आदि का एक समाधान है।
प्रमेय सिद्ध है.
टिप्पणी। भुज अक्ष की ओर त्रिज्या a के एक वृत्त के एक समान "संपीड़न" के परिणामस्वरूप एक दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है।
होने देना 
- मूल बिंदु पर केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण। भुज अक्ष पर एक वृत्त का "संपीड़न" निम्नलिखित नियम के अनुसार किए गए समन्वय तल के परिवर्तन से अधिक कुछ नहीं है। प्रत्येक बिंदु M(x, y) के लिए हम उसी तल पर एक बिंदु जोड़ते हैं 
, कहाँ 
,
- "संपीड़न" गुणांक.
इस परिवर्तन के साथ, वृत्त का प्रत्येक बिंदु समतल पर दूसरे बिंदु पर "संक्रमण" करता है, जिसका भुज समान होता है, लेकिन कोटि छोटी होती है। आइए एक बिंदु की पुरानी कोटि को नए के माध्यम से व्यक्त करें:
और समीकरण में वृत्त प्रतिस्थापित करें:
.
यहाँ से हमें मिलता है:
.
(7)
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि "संपीड़न" परिवर्तन से पहले बिंदु M(x, y) वृत्त पर स्थित है, अर्थात। इसके निर्देशांक वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, फिर "संपीड़न" परिवर्तन के बाद यह बिंदु बिंदु में "रूपांतरित" हो जाता है 
, जिसके निर्देशांक दीर्घवृत्त समीकरण (7) को संतुष्ट करते हैं। यदि हम अर्ध लघु अक्ष के साथ दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करना चाहते हैं, तो हमें संपीड़न कारक लेने की आवश्यकता है
.
खण्ड 5. एक दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा.
प्रमेय. होने देना 
– दीर्घवृत्त का मनमाना बिंदु
.
फिर इस दीर्घवृत्त के बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण 
इसका रूप है:
.
(8)
सबूत। यह उस मामले पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जब स्पर्शरेखा बिंदु समन्वय तल की पहली या दूसरी तिमाही में स्थित है: 
. ऊपरी आधे तल में दीर्घवृत्त का समीकरण इस प्रकार है:
.
(9)
आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण का उपयोग करें 
बिंदु पर 
:
कहाँ 
- किसी बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान 
. पहली तिमाही में दीर्घवृत्त को फ़ंक्शन (8) का ग्राफ़ माना जा सकता है। आइए स्पर्शरेखा के बिंदु पर इसका व्युत्पन्न और इसका मान ज्ञात करें:
,
. यहां हमने इस तथ्य का लाभ उठाया कि स्पर्शरेखा बिंदु 
दीर्घवृत्त का एक बिंदु है और इसलिए इसके निर्देशांक दीर्घवृत्त समीकरण (9) को संतुष्ट करते हैं, अर्थात
.
हम व्युत्पन्न के पाए गए मान को स्पर्शरेखा समीकरण (10) में प्रतिस्थापित करते हैं:
,
हमें कहां मिलता है:
यह संकेत करता है:
आइए इस समानता को विभाजित करें 
:
.
यह नोट करना बाकी है 
, क्योंकि डॉट 
दीर्घवृत्त से संबंधित है और इसके निर्देशांक इसके समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
स्पर्शरेखा समीकरण (8) को निर्देशांक तल के तीसरे या चौथे चतुर्थांश में स्थित स्पर्शरेखा बिंदु पर इसी प्रकार सिद्ध किया जाता है।
और अंत में, हम आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि समीकरण (8) बिंदुओं पर स्पर्शरेखा समीकरण देता है 
,
:
या 
, और 
या 
.
प्रमेय सिद्ध है.
खण्ड 6. दीर्घवृत्त का दर्पण गुण.
प्रमेय. दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा में स्पर्शरेखा बिंदु की फोकल त्रिज्या के साथ समान कोण होते हैं।
होने देना 
- संपर्क का बिंदु, 
,
- स्पर्शरेखा बिंदु, पी और क्यू की फोकल त्रिज्या - बिंदु पर दीर्घवृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा पर नाभियों का प्रक्षेपण 
.
प्रमेय यह बताता है
.
(11)
इस समानता की व्याख्या उसके फोकस से निकलने वाले दीर्घवृत्त से प्रकाश की किरण के आपतन और परावर्तन के कोणों की समानता के रूप में की जा सकती है। इस गुण को दीर्घवृत्त का दर्पण गुण कहा जाता है:
दीर्घवृत्त के फोकस से निकलने वाली प्रकाश की किरण, दीर्घवृत्त के दर्पण से परावर्तन के बाद, दीर्घवृत्त के दूसरे फोकस से होकर गुजरती है।
प्रमेय का प्रमाण. कोणों (11) की समानता सिद्ध करने के लिए, हम त्रिभुजों की समानता सिद्ध करते हैं 
और 
, जिसमें पार्टियाँ 
और 
समान होगा. चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, इसलिए यह समानता सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है
एक दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है, उनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं F_1 की दूरी का योग है, और F_2 एक स्थिर मान (2a) है जो इनके बीच की दूरी (2c) से अधिक है दिए गए अंक(चित्र 3.36, ए)। यह ज्यामितीय परिभाषा व्यक्त करती है दीर्घवृत्त का फोकल गुण.
दीर्घवृत्त का फोकल गुण
बिंदु F_1 और F_2 को दीर्घवृत्त की नाभियाँ कहा जाता है, उनके बीच की दूरी 2c=F_1F_2 फोकल लंबाई है, खंड F_1F_2 का मध्य O दीर्घवृत्त का केंद्र है, संख्या 2a दीर्घ अक्ष की लंबाई है दीर्घवृत्त (तदनुसार, संख्या a दीर्घवृत्त की अर्ध-प्रमुख धुरी है)। दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु M को उसकी नाभि से जोड़ने वाले खंड F_1M और F_2M को बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहा जाता है। दीर्घवृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को दीर्घवृत्त की जीवा कहा जाता है।
अनुपात e=\frac(c)(a) को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है। परिभाषा (2a>2c) से यह इस प्रकार है कि 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
दीर्घवृत्त की ज्यामितीय परिभाषा, इसकी फोकल संपत्ति को व्यक्त करना, इसकी विश्लेषणात्मक परिभाषा के बराबर है - दीर्घवृत्त के विहित समीकरण द्वारा दी गई रेखा:
वास्तव में, आइए हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली का परिचय दें (चित्र 3.36c)। हम दीर्घवृत्त के केंद्र O को समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में लेते हैं; हम नाभि (फोकल अक्ष या दीर्घवृत्त की पहली धुरी) से गुजरने वाली सीधी रेखा को भुज अक्ष के रूप में लेते हैं (इस पर सकारात्मक दिशा बिंदु F_1 से बिंदु F_2 तक है); आइए हम फोकल अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा लें और कोटि अक्ष के रूप में दीर्घवृत्त के केंद्र (दीर्घवृत्त की दूसरी धुरी) से गुजरें (कोर्डिनेट अक्ष पर दिशा इसलिए चुनी जाती है ताकि आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी सही हो) .
आइए इसकी ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करके दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण बनाएं, जो फोकल संपत्ति को व्यक्त करता है। चयनित समन्वय प्रणाली में, हम foci के निर्देशांक निर्धारित करते हैं F_1(-c,0),~F_2(c,0). दीर्घवृत्त से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x,y) के लिए, हमारे पास है:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
इस समानता को निर्देशांक रूप में लिखने पर, हमें प्राप्त होता है:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
हम दूसरे मूलांक को दाहिनी ओर ले जाते हैं, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं और समान पद लाते हैं:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4 से विभाजित करने पर, हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
नामित होना b=\sqrt(a^2-c^2)>0, हम पाते हैं b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. दोनों पक्षों को a^2b^2\ne0 से विभाजित करने पर, हम पहुंचते हैं विहित समीकरणदीर्घवृत्त:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
इसलिए, चुनी गई समन्वय प्रणाली विहित है।
यदि दीर्घवृत्त की नाभियाँ संपाती हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है (चित्र 3.36,6), क्योंकि a=b। इस मामले में, बिंदु पर मूल के साथ कोई भी आयताकार समन्वय प्रणाली विहित होगी O\equiv F_1\equiv F_2, और समीकरण x^2+y^2=a^2 एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र बिंदु O पर है और त्रिज्या a के बराबर है।
में तर्क करके उल्टे क्रम, यह दिखाया जा सकता है कि वे सभी बिंदु जिनके निर्देशांक समीकरण (3.49) को संतुष्ट करते हैं, और केवल वे, बिंदुओं के ज्यामितीय स्थान से संबंधित हैं जिन्हें दीर्घवृत्त कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, दीर्घवृत्त की विश्लेषणात्मक परिभाषा इसकी ज्यामितीय परिभाषा के बराबर है, जो दीर्घवृत्त की फोकल संपत्ति को व्यक्त करती है।
एक दीर्घवृत्त की निर्देशकीय संपत्ति
एक दीर्घवृत्त की नियताएँ दो सीधी रेखाएँ होती हैं जो विहित समन्वय प्रणाली के कोटि अक्ष के समानांतर उससे समान दूरी \frac(a^2)(c) पर चलती हैं। c=0 पर, जब दीर्घवृत्त एक वृत्त होता है, तो कोई नियताएं नहीं होती हैं (हम मान सकते हैं कि नियताएं अनंत पर हैं)।
विलक्षणता 0 के साथ दीर्घवृत्त
वास्तव में, उदाहरण के लिए, फोकस F_2 और डायरेक्ट्रिक्स d_2 के लिए (चित्र 3.37,6) स्थिति \frac(r_2)(\rho_2)=eसमन्वित रूप में लिखा जा सकता है:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
अतार्किकता से मुक्ति और प्रतिस्थापन e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, हम विहित दीर्घवृत्त समीकरण (3.49) पर पहुंचते हैं। इसी तरह का तर्क फोकस F_1 और निर्देशक के लिए भी किया जा सकता है d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त का समीकरण
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली F_1r\varphi में दीर्घवृत्त का समीकरण (चित्र 3.37, c और 3.37 (2)) का रूप है
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
जहां p=\frac(b^2)(a) दीर्घवृत्त का फोकल पैरामीटर है।
वास्तव में, आइए हम दीर्घवृत्त के बाएं फोकस F_1 को ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के ध्रुव के रूप में चुनें, और किरण F_1F_2 को ध्रुवीय अक्ष के रूप में चुनें (चित्र 3.37, c)। फिर एक मनमाने बिंदु M(r,\varphi) के लिए, एक दीर्घवृत्त की ज्यामितीय परिभाषा (फोकल संपत्ति) के अनुसार, हमारे पास r+MF_2=2a है। हम बिंदु M(r,\varphi) और F_2(2c,0) के बीच की दूरी व्यक्त करते हैं (देखें):
\begin(संरेखित)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(संरेखित)
इसलिए, समन्वय रूप में, दीर्घवृत्त का समीकरण F_1M+F_2M=2a का रूप है
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
हम मूलांक को अलग करते हैं, समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करते हैं, 4 से विभाजित करते हैं और समान पद प्रस्तुत करते हैं:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
ध्रुवीय त्रिज्या r को व्यक्त करें और प्रतिस्थापन करें e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
क्यू.ई.डी.
दीर्घवृत्त समीकरण में गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ
आइए निर्देशांक अक्षों (दीर्घवृत्त के शीर्ष) के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें (चित्र 3.37, ए देखें)। समीकरण में y=0 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम भुज अक्ष (फोकल अक्ष के साथ) के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं: x=\pm a। इसलिए, दीर्घवृत्त के अंदर निहित फोकल अक्ष के खंड की लंबाई 2a के बराबर है। इस खंड को, जैसा कि ऊपर बताया गया है, दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष कहा जाता है, और संख्या a दीर्घवृत्त का अर्ध-प्रमुख अक्ष है। x=0 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=\pm b प्राप्त होता है। इसलिए, दीर्घवृत्त के अंदर निहित दीर्घवृत्त के दूसरे अक्ष के खंड की लंबाई 2b के बराबर है। इस खंड को दीर्घवृत्त का लघु अक्ष कहा जाता है, और संख्या b दीर्घवृत्त का अर्धलघु अक्ष है।
वास्तव में, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, और समानता b=a केवल मामले c=0 में प्राप्त होती है, जब दीर्घवृत्त एक वृत्त होता है। नज़रिया k=\frac(b)(a)\leqslant1दीर्घवृत्त संपीड़न अनुपात कहा जाता है।
नोट्स 3.9
1. सीधी रेखाएँ x=\pm a,~y=\pm b मुख्य आयत को निर्देशांक तल पर सीमित करती हैं, जिसके अंदर एक दीर्घवृत्त होता है (चित्र 3.37, a देखें)।
2. एक दीर्घवृत्त को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है किसी वृत्त को उसके व्यास तक संपीड़ित करके प्राप्त बिंदुओं का स्थान।
दरअसल, आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक वृत्त का समीकरण x^2+y^2=a^2 है। जब 0 के गुणांक के साथ x-अक्ष पर संपीड़ित किया जाता है \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) समीकरण में वृत्त x=x" और y=\frac(1)(k)y" को प्रतिस्थापित करते हुए, हम बिंदु M(x,y) की छवि M"(x",y") के निर्देशांक के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं। ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} चूँकि b=k\cdot a . यह दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है। 3. निर्देशांक अक्ष (विहित समन्वय प्रणाली के) दीर्घवृत्त की समरूपता के अक्ष हैं (जिन्हें दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष कहा जाता है), और इसका केंद्र समरूपता का केंद्र है। वास्तव में, यदि बिंदु M(x,y) दीर्घवृत्त से संबंधित है। फिर बिंदु M"(x,-y) और M""(-x,y), निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष बिंदु M के सममित, भी उसी दीर्घवृत्त से संबंधित हैं। 4. ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में दीर्घवृत्त के समीकरण से r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(चित्र 3.37, सी देखें), फोकल पैरामीटर का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट किया गया है - यह फोकल अक्ष के लंबवत फोकस से गुजरने वाले दीर्घवृत्त के जीवा की आधी लंबाई है (आर=पी पर \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. विलक्षणता ई दीर्घवृत्त के आकार को दर्शाती है, अर्थात् दीर्घवृत्त और वृत्त के बीच का अंतर। e जितना बड़ा होगा, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक लम्बा होगा, और e शून्य के जितना निकट होगा, दीर्घवृत्त वृत्त के उतना ही निकट होगा (चित्र 3.38a)। दरअसल, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि e=\frac(c)(a) और c^2=a^2-b^2 , हमें मिलता है e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} जहां k दीर्घवृत्त संपीड़न अनुपात है, 0 6. समीकरण \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1एक पर 7. समीकरण \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bबिंदु O"(x_0,y_0) पर केंद्र के साथ एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसकी अक्ष समन्वय अक्षों के समानांतर होती है (चित्र 3.38, सी)। समानांतर अनुवाद (3.36) का उपयोग करके इस समीकरण को विहित में घटा दिया गया है। जब a=b=R समीकरण (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2बिंदु O"(x_0,y_0) पर केंद्र के साथ त्रिज्या R के एक वृत्त का वर्णन करता है। दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरणविहित समन्वय प्रणाली में प्रपत्र है \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
दरअसल, इन भावों को समीकरण (3.49) में प्रतिस्थापित करने पर, हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान पर पहुंचते हैं \cos^2t+\sin^2t=1. उदाहरण 3.20.एक दीर्घवृत्त बनाएं \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1विहित समन्वय प्रणाली ऑक्सी में। अर्ध-अक्ष, फोकल लंबाई, विलक्षणता, पहलू अनुपात, फोकल पैरामीटर, डायरेक्ट्रिक्स समीकरण खोजें। समाधान।दिए गए समीकरण की विहित समीकरण से तुलना करते हुए, हम अर्ध-अक्ष निर्धारित करते हैं: a=2 - अर्ध-प्रमुख अक्ष, b=1 - दीर्घवृत्त का अर्ध-लघु अक्ष। हम 2a=4,~2b=2 भुजाओं वाला मुख्य आयत बनाते हैं जिसका केंद्र मूल बिंदु पर होता है (चित्र 3.39)। दीर्घवृत्त की समरूपता को ध्यान में रखते हुए, हम इसे मुख्य आयत में फिट करते हैं। यदि आवश्यक हो, तो दीर्घवृत्त के कुछ बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त के समीकरण में x=1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ क्वाड y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). इसलिए, निर्देशांक वाले अंक \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- दीर्घवृत्त से संबंधित. संपीड़न अनुपात की गणना k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); फोकल लम्बाई 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); सनक e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); फोकल पैरामीटर p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). हम डायरेक्ट्रिक्स समीकरण बनाते हैं: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरण
