एक त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। सही त्रिकोण

विभिन्न तरीकेपाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण

9वीं "ए" कक्षा का छात्र

नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय संख्या 8

वैज्ञानिक सलाहकार:

गणित शिक्षक,

नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय संख्या 8

कला। नोवोरोझडेस्टेवेन्स्काया

क्रास्नोडार क्षेत्र.

कला। नोवोरोझडेस्टेवेन्स्काया

एनोटेशन.

पाइथागोरस प्रमेय को ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण माना जाता है और यह ध्यान देने योग्य है। यह कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने का आधार है, भविष्य में सैद्धांतिक और व्यावहारिक ज्यामिति पाठ्यक्रमों के अध्ययन का आधार है। यह प्रमेय इसके स्वरूप और प्रमाण के तरीकों से संबंधित ऐतिहासिक सामग्री से घिरा हुआ है। ज्यामिति के विकास के इतिहास का अध्ययन करने से इस विषय के प्रति प्रेम पैदा होता है, संज्ञानात्मक रुचि, सामान्य संस्कृति और रचनात्मकता के विकास को बढ़ावा मिलता है और अनुसंधान कौशल भी विकसित होता है।

खोज गतिविधि के परिणामस्वरूप, कार्य का लक्ष्य प्राप्त किया गया, जो पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण पर ज्ञान को फिर से भरना और सामान्यीकृत करना था। स्कूल की पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे जाकर, प्रमाण के विभिन्न तरीकों को खोजना और उन पर विचार करना और विषय पर ज्ञान को गहरा करना संभव था।

एकत्रित सामग्री हमें यह भी आश्वस्त करती है कि पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति का एक महान प्रमेय है और इसका अत्यधिक सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व है।

परिचय। ऐतिहासिक सन्दर्भ 5 मुख्य भाग 8

3. निष्कर्ष 19

4. प्रयुक्त साहित्य 20
1 परिचय। ऐतिहासिक संदर्भ.

सत्य का सार यह है कि यह हमारे लिए सदैव है,

जब कम से कम एक बार उसकी अंतर्दृष्टि में हम प्रकाश देखते हैं,

और इतने वर्षों के बाद पाइथागोरस प्रमेय

हमारे लिए, उनके लिए, यह निर्विवाद, त्रुटिहीन है।

आनन्दित होने के लिए, पाइथागोरस ने देवताओं से प्रतिज्ञा की:

अनंत ज्ञान को छूने के लिए,

उस ने अनन्त बैलों के कारण सौ बैलों का वध किया;

उन्होंने पीड़ित के बाद प्रार्थना और स्तुति की।

तब से जब बैलों को इसकी गंध आती है तो वे धक्का देते हैं,

वह राह फिर से लोगों को एक नये सत्य की ओर ले जाती है,

वे उग्र रूप से दहाड़ते हैं, इसलिए सुनने का कोई मतलब नहीं है,

ऐसे पाइथागोरस ने उनमें हमेशा के लिए आतंक पैदा कर दिया।

बैल, नई सच्चाई का विरोध करने में शक्तिहीन,

क्या बचा है? - बस अपनी आँखें बंद कर रहा हूँ, दहाड़ रहा हूँ, काँप रहा हूँ।

यह ज्ञात नहीं है कि पाइथागोरस ने अपने प्रमेय को कैसे सिद्ध किया। यह निश्चित है कि उन्होंने इसकी खोज मिस्र के विज्ञान के प्रबल प्रभाव में की थी। पाइथागोरस प्रमेय का एक विशेष मामला - 3, 4 और 5 भुजाओं वाले त्रिभुज के गुण - पाइथागोरस के जन्म से बहुत पहले पिरामिड बनाने वालों को ज्ञात थे, और उन्होंने स्वयं 20 से अधिक वर्षों तक मिस्र के पुजारियों के साथ अध्ययन किया था। एक किंवदंती संरक्षित की गई है जो कहती है कि, अपने प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध करने के बाद, पाइथागोरस ने देवताओं को एक बैल की बलि दी, और अन्य स्रोतों के अनुसार, यहां तक ​​​​कि 100 बैल भी। हालाँकि, यह पाइथागोरस के नैतिक और धार्मिक विचारों के बारे में जानकारी का खंडन करता है। साहित्यिक स्रोतों में आप पढ़ सकते हैं कि उन्होंने "जानवरों को मारना तो दूर, उन्हें खाना भी मना किया था, क्योंकि जानवरों में भी हमारी तरह ही आत्माएँ होती हैं।" पाइथागोरस केवल शहद, रोटी, सब्जियाँ और कभी-कभी मछली खाता था। इस सब के संबंध में, निम्नलिखित प्रविष्टि को अधिक प्रशंसनीय माना जा सकता है: "... और जब उन्हें पता चला कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पैरों से मेल खाता है, तो उन्होंने गेहूं के आटे से बने एक बैल की बलि दी।"

पाइथागोरस प्रमेय की लोकप्रियता इतनी अधिक है कि इसके प्रमाण कल्पना में भी पाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध अंग्रेजी लेखक हक्सले की कहानी "यंग आर्किमिडीज़" में। वही प्रमाण, लेकिन समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के विशेष मामले के लिए, प्लेटो के संवाद "मेनो" में दिया गया है।

परी कथा "होम"।

“बहुत दूर, जहां हवाई जहाज़ भी नहीं उड़ते, ज्यामिति का देश है। इस असामान्य देश में एक अद्भुत शहर था - टेओरेम शहर। एक दिन मैं इस शहर में आया सुंदर लड़कीकर्ण नाम दिया गया। उसने एक कमरा किराए पर लेने की कोशिश की, लेकिन चाहे उसने कहीं भी आवेदन किया हो, उसे अस्वीकार कर दिया गया। आख़िरकार वह उस जर्जर घर के पास पहुँची और दस्तक दी। एक आदमी जो खुद को राइट एंगल कहता था, उसने उसके लिए दरवाज़ा खोला और उसने हाइपोटेन्यूज़ को अपने साथ रहने के लिए आमंत्रित किया। कर्ण उस घर में बना रहा जिसमें राइट एंगल और केटेस नाम के उसके दो छोटे बेटे रहते थे। तब से, राइट एंगल हाउस में जीवन एक नए तरीके से बदल गया है। कर्ण ने खिड़की पर फूल लगाए और सामने के बगीचे में लाल गुलाब के फूल लगाए। घर ने समकोण त्रिभुज का आकार ले लिया। दोनों पैरों को कर्ण बहुत पसंद आया और उन्होंने उसे हमेशा के लिए अपने घर में रहने के लिए कहा। शाम को, यह मिलनसार परिवार परिवार की मेज पर इकट्ठा होता है। कभी-कभी राइट एंगल अपने बच्चों के साथ लुका-छिपी खेलता है। अक्सर उसे देखना पड़ता है, और कर्ण इतनी कुशलता से छिप जाता है कि उसे ढूंढना बहुत मुश्किल हो सकता है। एक दिन, खेलते समय, राइट एंगल ने एक दिलचस्प गुण देखा: यदि वह पैरों को ढूंढने में कामयाब हो जाता है, तो कर्ण को ढूंढना मुश्किल नहीं है। तो राइट एंगल इस पैटर्न का उपयोग करता है, मुझे कहना होगा, बहुत सफलतापूर्वक। पाइथागोरस प्रमेय इस समकोण त्रिभुज के गुण पर आधारित है।”

(ए. ओकुनेव की पुस्तक "पाठ के लिए धन्यवाद, बच्चों") से।

प्रमेय का एक विनोदी सूत्रीकरण:

यदि हमें एक त्रिभुज दिया गया है

और, इसके अलावा, एक समकोण के साथ,

वह कर्ण का वर्ग है

हम हमेशा आसानी से पा सकते हैं:

हम पैर चौकोर रखते हैं,

हम शक्तियों का योग ज्ञात करते हैं -

और इतने सरल तरीके से

हम नतीजे पर आएंगे.

10वीं कक्षा में बीजगणित और विश्लेषण और ज्यामिति की शुरुआत का अध्ययन करते समय, मुझे विश्वास हो गया कि 8वीं कक्षा में चर्चा की गई पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने की विधि के अलावा, प्रमाण की अन्य विधियाँ भी हैं। मैं उन्हें आपके विचारार्थ प्रस्तुत करता हूँ।
2. मुख्य भाग.

प्रमेय. एक समकोण त्रिभुज में एक वर्ग होता है

कर्ण पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।

1 विधि.

बहुभुजों के क्षेत्रफलों के गुणों का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पादों के बीच एक उल्लेखनीय संबंध स्थापित करेंगे।

सबूत।

एसीऔर कर्ण साथ(चित्र 1, ए)।

आइए इसे साबित करें c²=a²+b².

सबूत।

आइए त्रिभुज को भुजा वाले एक वर्ग में पूरा करें ए + बीजैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1, बी. इस वर्ग का क्षेत्रफल S (a + b)² है। दूसरी ओर, यह वर्ग चार समान समकोण त्रिभुजों से बना है, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल ½ है अरे  , और भुजा वाला एक वर्ग साथ,इसलिए एस = 4 * ½ अउ + सी² = 2अउ + सी².

इस प्रकार,

(ए + बी)² = 2 अउ + सी²,

c²=a²+b².

प्रमेय सिद्ध है.
2 विधि.

"समान त्रिभुज" विषय का अध्ययन करने के बाद, मुझे पता चला कि आप पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए त्रिभुजों की समानता को लागू कर सकते हैं। अर्थात्, मैंने इस कथन का उपयोग किया कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर के बीच घिरे कर्ण के खंड और शीर्ष से खींची गई ऊंचाई का माध्य आनुपातिक है। समकोण.

समकोण C, CD-ऊंचाई वाले एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (चित्र 2)। आइए इसे साबित करें एसी² +एनई² = एबी² .

सबूत।

समकोण त्रिभुज के पाद के बारे में कथन के आधार पर:

एसी = , एसवी = .

आइए हम वर्ग करें और परिणामी समानताएँ जोड़ें:

एसी² = एबी * एडी, सीबी² = एबी * डीबी;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), जहां AD+DB=AB, फिर

AC² + CB² = एबी * एबी,

AC² + CB² = AB².

सबूत पूरा है.
3 विधि.

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, आप एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या की परिभाषा को लागू कर सकते हैं। आइए चित्र देखें। 3.

सबूत:

मान लीजिए ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है। आइए समकोण C के शीर्ष से ऊंचाई CD निकालें।

किसी कोण की कोज्या की परिभाषा के अनुसार:

क्योंकि ए = एडी/एसी = एसी/एबी। अत: AB * AD = AC²

वैसे ही,

क्योंकि B = ВD/ВС = ВС/АВ.

अत: एबी * बीडी = बीसी²।

परिणामी समानताओं को पद दर पद जोड़ने पर और ध्यान देने पर कि AD + DB = AB, हमें प्राप्त होता है:

एसी² + सूर्य² = एबी (एडी + डीबी) = अब²

सबूत पूरा है.
4 विधि.

"एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध" विषय का अध्ययन करने के बाद, मुझे लगता है कि पाइथागोरस प्रमेय को दूसरे तरीके से सिद्ध किया जा सकता है।

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें एसीऔर कर्ण साथ. (चित्र 4)।

आइए इसे साबित करें c²=a²+b².

सबूत।

पाप बी=उच्च गुणवत्ता ; ओल बी=एसी , फिर, परिणामी समानताओं का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप² बी= in²/s²; cos² में= a²/c².

उन्हें जोड़ने पर, हमें मिलता है:

पाप² में+cos² बी=в²/с²+ а²/с², जहां पाप² में+cos² बी=1,

1= (в²+ а²) / с², इसलिए,

c²= a² + b².

सबूत पूरा है.

5 विधि.

यह प्रमाण पैरों पर बने वर्गों को काटने (चित्र 5) और परिणामी हिस्सों को कर्ण पर बने वर्ग पर रखने पर आधारित है।

6 विधि.

पक्ष में प्रमाण के लिए सूरजहम निर्माण कर रहे हैं बीसीडी एबीसी(चित्र 6)। हम जानते हैं कि समान आकृतियों के क्षेत्रफल उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं:

पहली समानता में से दूसरी घटाने पर हमें प्राप्त होता है

सी2 = ए2 + बी2.

सबूत पूरा है.

7 विधि.

दिया गया(चित्र 7):

एबीसी,= 90° , सूरज= ए, एसी=बी, एबी = सी.

सिद्ध करना:सी2 = ए2 +बी2.

सबूत।

चलो पैर बी एक।आइए खंड को जारी रखें पूर्वोत्तरप्रति बिंदु मेंऔर एक त्रिकोण बनाएं बीएमडीताकि अंक एमऔर एसीधी रेखा के एक तरफ लेटें सीडीके अतिरिक्त, बीडी =बी, बीडीएम= 90°, डीएम= ए, फिर बीएमडी= एबीसीदो तरफ और उनके बीच का कोण। अंक ए और एमखंडों से जुड़ें पूर्वाह्न।हमारे पास है एम.डी. सीडीऔर एसी। सीडी,इसका मतलब यह सीधा है एसीरेखा के समानांतर एम.डी.क्योंकि एम.डी.< АС, फिर सीधा सीडीऔर पूर्वाह्न।समानांतर नहीं. इसलिए, एएमडीसी-आयताकार समलम्बाकार.

समकोण त्रिभुज ABC और में बीएमडी 1 + 2 = 90° और 3 + 4 = 90°, लेकिन चूँकि = =, तो 3 + 2 = 90°; तब एवीएम=180° - 90° = 90°. यह पता चला कि ट्रैपेज़ॉइड एएमडीसीको तीन गैर-अतिव्यापी समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया गया है, फिर क्षेत्रफल अभिगृहीतों द्वारा

(ए+बी)(ए+बी)

असमानता के सभी पदों को से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

एबी + सी2 + एबी = (ए +बी) , 2 अब+ सी2 = ए2+ 2एबी+ बी2,

सी2 = ए2 + बी2.

सबूत पूरा है.

8 विधि.

यह विधि समकोण त्रिभुज के कर्ण और पादों पर आधारित है एबीसी.वह संगत वर्गों का निर्माण करता है और साबित करता है कि कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर है (चित्र 8)।

सबूत।

1) डीबीसी= एफ बी ए= 90°;

डीबीसी+ एबीसी= एफबीए+ एबीसी,मतलब, एफबीसी = डीबीए.

इस प्रकार, एफबीसी=अब्द(दो तरफ और उनके बीच का कोण)।

2) , जहां AL DE, चूँकि BD एक सामान्य आधार है, डीएलकुल ऊंचाई।

3) चूँकि FB एक आधार है, अब- कुल ऊंचाई।

4)

5) इसी प्रकार यह भी सिद्ध किया जा सकता है

6) पद दर पद जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

, BC2 = एबी2 + एसी2 . सबूत पूरा है.

9 विधि.

सबूत।

1) चलो ए.बी.डी.ई- एक वर्ग (चित्र 9), जिसकी भुजा एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के बराबर है एबीसी= एस, बीसी = ए, एसी =बी)।

2) चलो डीके ईसा पूर्वऔर डीके = सूरज,चूँकि 1 + 2 = 90° (एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों की तरह), 3 + 2 = 90° (एक वर्ग के कोण की तरह), अब= बी.डी(वर्ग की भुजाएँ)।

मतलब, एबीसी= भडक(कर्ण और न्यून कोण द्वारा)।

3) चलो ईएल डी.के., ए.एम. ई.एल.यह आसानी से सिद्ध किया जा सकता है कि ABC = BDK = DEL = EAM (पैरों के साथ)। एऔर बी)।तब केएस= सेमी= एम.एल.= एल.के.= ए -बी।

4) एसकेबी = 4एस+एसकेएलएमसी= 2ab+ (ए - बी),साथ2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,सी2 = ए2 + बी2.

सबूत पूरा है.

10 विधि.

इसका प्रमाण एक चित्र पर किया जा सकता है जिसे मजाक में "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता है (चित्र 10)। इसका विचार भुजाओं पर बने वर्गों को समान त्रिभुजों में बदलना है जो मिलकर कर्ण का वर्ग बनाते हैं।

एबीसीइसे तीर द्वारा दिखाए अनुसार घुमाएँ, और यह स्थिति ले लेता है केडीएन.शेष चित्र एकेडीसीबीवर्ग का क्षेत्रफल बराबर एकेडीसीयह एक समांतर चतुर्भुज है एकेएनबी.

एक समांतर चतुर्भुज मॉडल बनाया गया है एकेएनबी. हम कार्य की सामग्री में दर्शाए अनुसार समांतर चतुर्भुज को पुनर्व्यवस्थित करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज को एक समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज में बदलने को दिखाने के लिए, छात्रों की आंखों के सामने, हम मॉडल पर एक त्रिभुज काटते हैं और उसे नीचे ले जाते हैं। इस प्रकार, वर्ग का क्षेत्रफल एकेडीसीआयत के क्षेत्रफल के बराबर निकला। इसी प्रकार, हम एक वर्ग के क्षेत्रफल को एक आयत के क्षेत्रफल में परिवर्तित करते हैं।

आइए एक किनारे पर बने वर्ग का रूपांतरण करें ए(चित्र 11,ए):

a) वर्ग एक समान समांतर चतुर्भुज में बदल जाता है (चित्र 11.6):

बी) समांतर चतुर्भुज एक चौथाई मोड़ पर घूमता है (चित्र 12):

ग) समांतर चतुर्भुज एक समान आयत में बदल जाता है (चित्र 13): 11 विधि.

सबूत:

पीसीएल-सीधा (चित्र 14);

KLOA= ए.सी.पी.एफ= ACED= ए2;

एलजीबीओ= एसवीएमआर =सीबीएनक्यू= बी 2;

एकेजीबी= एकेएलओ+एलजीबीओ= सी2;

सी2 = ए2 + बी2.

सबूत ख़त्म हो गया है .

12 विधि.

चावल। चित्र 15 पाइथागोरस प्रमेय का एक और मूल प्रमाण दिखाता है।

यहाँ: समकोण C वाला त्रिभुज ABC; रेखा खंड बी.एफ.सीधा पूर्वोत्तरऔर इसके बराबर, खंड होनासीधा अबऔर इसके बराबर, खंड विज्ञापनसीधा एसीऔर उसके बराबर; अंक एफ, सी,डीएक ही पंक्ति के हैं; चतुर्भुज एडीएफबीऔर ASVEआकार में बराबर, चूँकि एबीएफ = ईसीबी;त्रिभुज एडीएफऔर ऐसआकार में बराबर; दोनों समान चतुर्भुजों में से उनके द्वारा साझा किए गए त्रिभुज को घटाएँ एबीसी,हम पाते हैं

, सी2 = ए2 + बी2.

सबूत पूरा है.

13 विधि.

किसी दिए गए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, एक तरफ, के बराबर होता है , दूसरे के साथ, ,

3. निष्कर्ष.

खोज गतिविधि के परिणामस्वरूप, कार्य का लक्ष्य प्राप्त किया गया, जो पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण पर ज्ञान को फिर से भरना और सामान्यीकृत करना था। इसे साबित करने और स्कूल की पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे जाकर, विषय पर ज्ञान को गहरा करने के विभिन्न तरीकों को खोजना और उन पर विचार करना संभव था।

मैंने जो सामग्री एकत्र की है, वह मुझे और भी आश्वस्त करती है कि पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति का एक महान प्रमेय है और इसका अत्यधिक सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व है। अंत में, मैं कहना चाहूंगा: पाइथागोरस त्रिगुण प्रमेय की लोकप्रियता का कारण इसकी सुंदरता, सरलता और महत्व है!

4. प्रयुक्त साहित्य।

1. मनोरंजक बीजगणित. . मॉस्को "विज्ञान", 1978।

2. समाचार पत्र "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", 24/2001 का साप्ताहिक शैक्षिक और पद्धतिपरक पूरक।

3. ज्यामिति 7-9. और आदि।

4. ज्यामिति 7-9. और आदि।

(बर्लिन संग्रहालय के पपीरस 6619 के अनुसार)। कैंटर के अनुसार, हार्पेडोनैप्टेस, या "रस्सी खींचने वालों" ने 3, 4 और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण बनाया।

उनकी निर्माण पद्धति को पुन: प्रस्तुत करना बहुत आसान है। आइए 12 मीटर लंबी एक रस्सी लें और उसके एक सिरे से 3 मीटर और दूसरे सिरे से 4 मीटर की दूरी पर एक रंगीन पट्टी बांधें। समकोण 3 और 4 मीटर लंबी भुजाओं के बीच होगा। हार्पेडोनैप्टियंस को इस बात पर आपत्ति हो सकती है कि यदि कोई, उदाहरण के लिए, एक लकड़ी के वर्ग का उपयोग करता है, जिसका उपयोग सभी बढ़ई करते हैं, तो निर्माण की उनकी पद्धति अनावश्यक हो जाती है। दरअसल, मिस्र के चित्र ज्ञात हैं जिनमें ऐसा उपकरण पाया जाता है, उदाहरण के लिए, बढ़ईगीरी कार्यशाला को दर्शाने वाले चित्र।

बेबीलोनियों के बीच पाइथागोरस प्रमेय के बारे में कुछ अधिक जानकारी है। एक पाठ में हम्मूराबी के समय का, यानी 2000 ईसा पूर्व का समय बताया गया है। इ। , एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना दी गई है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मेसोपोटामिया में वे कम से कम कुछ मामलों में समकोण त्रिभुजों के साथ गणना करने में सक्षम थे। एक ओर, मिस्र और बेबीलोनियाई गणित के बारे में ज्ञान के वर्तमान स्तर के आधार पर, और दूसरी ओर, ग्रीक स्रोतों के एक महत्वपूर्ण अध्ययन के आधार पर, वान डेर वेर्डन (एक डच गणितज्ञ) ने निष्कर्ष निकाला कि इस बात की बहुत अधिक संभावना है कि कर्ण के वर्ग पर प्रमेय भारत में 18वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास ही ज्ञात था। इ।

लगभग 400 ई.पू. ईसा पूर्व, प्रोक्लस के अनुसार, प्लेटो ने बीजगणित और ज्यामिति को मिलाकर पायथागॉरियन त्रिक खोजने की एक विधि दी। लगभग 300 ई.पू. इ। पाइथागोरस प्रमेय का सबसे पुराना स्वयंसिद्ध प्रमाण यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दिया।

योगों

ज्यामितीय सूत्रीकरण:

प्रमेय मूल रूप से इस प्रकार तैयार किया गया था:

बीजगणितीय सूत्रीकरण:

अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को , और पैरों की लंबाई को और द्वारा निरूपित करना:

प्रमेय के दोनों सूत्रीकरण समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है; अर्थात्, दूसरे कथन को क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और केवल एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई मापकर सत्यापित किया जा सकता है।

व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय:

सबूत

पर इस पलइस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किये गये हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाणों वाला एकमात्र प्रमेय है। ऐसी विविधता को केवल ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व द्वारा ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, का उपयोग करके)। विभेदक समीकरण).

समरूप त्रिभुजों के माध्यम से

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण, स्वयंसिद्धों से सीधे निर्मित, सबसे सरल प्रमाण है। विशेष रूप से, यह किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीसमकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊँचाई खींचिए सीऔर इसके आधार को निरूपित करें एच. त्रिकोण आकएक त्रिकोण के समान एबीसीदो कोनों पर. इसी प्रकार, त्रिकोण सीबीएचसमान एबीसी. संकेतन का परिचय देकर

हम पाते हैं

समतुल्य क्या है

इसे जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है

क्षेत्र विधि का उपयोग कर प्रमाण

नीचे दिए गए प्रमाण, अपनी स्पष्ट सरलता के बावजूद, बिल्कुल भी इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्रफल के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से भी अधिक जटिल है।

समसंपूरकता के माध्यम से प्रमाण

1. आइए चित्र 1 में दिखाए अनुसार चार समान समकोण त्रिभुजों की व्यवस्था करें।
2. भुजाओं वाला चतुर्भुज सीएक वर्ग है, क्योंकि दो न्यून कोणों का योग 90° होता है, और सीधा कोण 180° होता है।
3. संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल, एक ओर, भुजा (a + b) वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और दूसरी ओर, चारों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है और भीतरी वर्ग का क्षेत्रफल.

क्यू.ई.डी.

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग का आधा क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के योग के बराबर है, और फिर क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं।

आइए बाईं ओर के चित्र को देखें। इस पर हमने एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर वर्ग बनाए और समकोण C के शीर्ष से कर्ण AB के लंबवत एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों - BHJI और HAKJ में काटती है, क्रमश। इससे पता चलता है कि इन आयतों का क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बिल्कुल बराबर है।

आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करेंगे: समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया गया आयत दिए गए आयत के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। यह एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK के क्षेत्रफल के बराबर है (चित्र में नहीं दिखाया गया है), जो बदले में आयत AHJK के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है।

आइए अब सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। इसके लिए केवल एक चीज जो करने की जरूरत है वह है त्रिभुज ACK और BDA की समानता सिद्ध करना (चूंकि त्रिभुज BDA का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति के अनुसार वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है: त्रिभुजों की दोनों भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर होता है। अर्थात् - AB=AK, AD=AC - कोण CAK और BAD की समानता को गति की विधि से सिद्ध करना आसान है: हम त्रिभुज CAK को 90° वामावर्त घुमाते हैं, तो यह स्पष्ट है कि दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ प्रश्न संपाती होगा (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)।

वर्ग बीसीएफजी और आयत बीएचजीआई के क्षेत्रफलों की समानता का तर्क पूरी तरह समान है।

इस प्रकार, हमने साबित किया कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल से बना होता है। इस प्रमाण के पीछे का विचार उपरोक्त एनीमेशन द्वारा और भी स्पष्ट किया गया है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

आइए ड्राइंग पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड वर्ग को दो समान भागों में काटता है (क्योंकि त्रिकोण निर्माण में समान हैं)।

बिंदु के चारों ओर 90-डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करके, हम छायांकित आकृतियों की समानता देखते हैं।

अब यह स्पष्ट है कि जिस आकृति को हमने छायांकित किया है उसका क्षेत्रफल छोटे वर्गों (पैरों पर बने) के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह बड़े वर्ग (कर्ण पर निर्मित) के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इस प्रकार, छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का आधा योग बड़े वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है, और इसलिए पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर होता है कर्ण.

अनन्तिमल विधि द्वारा प्रमाण

विभेदक समीकरणों का उपयोग करते हुए निम्नलिखित प्रमाण का श्रेय अक्सर प्रसिद्ध अंग्रेजी गणितज्ञ हार्डी को दिया जाता है, जो 20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में रहते थे।

चित्र में दिखाए गए चित्र को देखें और पार्श्व में परिवर्तन का अवलोकन करें ए, हम अपरिमित पार्श्व वृद्धि के लिए निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं साथऔर ए(त्रिभुज समानता का उपयोग करके):

चरों को अलग करने की विधि का उपयोग करके, हम पाते हैं

अधिक सामान्य अभिव्यक्तिदोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

इस प्रकार हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं

जैसा कि देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज की भुजाओं और वेतन वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान से जुड़ा होता है।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मान लें कि पैरों में से किसी एक में वृद्धि (इंच) का अनुभव नहीं होता है इस मामले मेंटांग)। फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हमें प्राप्त होता है

विविधताएं और सामान्यीकरण

तीन तरफ समान ज्यामितीय आकृतियाँ

समरूप त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण, हरी आकृतियों का क्षेत्रफल A + B = नीले C का क्षेत्रफल

समान समकोण त्रिभुजों का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय

यूक्लिड ने अपने काम में पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण किया शुरुआत, समान ज्यामितीय आकृतियों के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों का विस्तार करना:

यदि आप समान निर्माण करते हैं ज्यामितीय आंकड़े(यूक्लिडियन ज्यामिति देखें) एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर, तो दो छोटी आकृतियों का योग बड़ी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होगा।

इस सामान्यीकरण का मुख्य विचार यह है कि ऐसी ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल उसके किसी भी रैखिक आयाम के वर्ग और विशेष रूप से, किसी भी भुजा की लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है। इसलिए, क्षेत्रफल वाले समान आंकड़ों के लिए ए, बीऔर सीलम्बाई के साथ किनारों पर निर्मित ए, बीऔर सी, हमारे पास है:

लेकिन, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, ए 2 + बी 2 = सी 2 तो ए + बी = सी.

इसके विपरीत, यदि हम यह सिद्ध कर सकें ए + बी = सीपाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किए बिना तीन समान ज्यामितीय आकृतियों के लिए, हम विपरीत दिशा में चलते हुए, प्रमेय को स्वयं सिद्ध कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक केंद्र त्रिभुज को त्रिभुज के रूप में पुन: उपयोग किया जा सकता है सीकर्ण पर, और दो समान समकोण त्रिभुज ( एऔर बी), अन्य दो भुजाओं पर निर्मित, जो केंद्रीय त्रिभुज को उसकी ऊंचाई से विभाजित करके बनाई गई हैं। इस प्रकार, दो छोटे त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग स्पष्ट रूप से तीसरे के क्षेत्रफल के बराबर होता है ए + बी = सीऔर, पिछले प्रमाण को पूरा करते हुए उल्टे क्रम, हम पाइथागोरस प्रमेय a 2 + b 2 = c 2 प्राप्त करते हैं।

कोसाइन प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय है विशेष मामलाकोसाइन का एक अधिक सामान्य प्रमेय, जो एक मनमाना त्रिभुज में भुजाओं की लंबाई से संबंधित है:

जहाँ θ भुजाओं के बीच का कोण है एऔर बी.

यदि θ 90 डिग्री है तो cos θ = 0 और सूत्र सामान्य पायथागॉरियन प्रमेय को सरल बनाता है।

मुक्त त्रिभुज

भुजाओं वाले एक मनमाना त्रिभुज के किसी भी चयनित कोने पर ए, बी, सीआइए हम एक समद्विबाहु त्रिभुज को इस प्रकार अंकित करें कि इसके आधार θ पर समान कोण चुने गए कोण के बराबर हों। आइए मान लें कि चयनित कोण θ निर्दिष्ट पक्ष के विपरीत स्थित है सी. परिणामस्वरूप, हमें कोण θ वाला त्रिभुज ABD प्राप्त हुआ, जो भुजा के विपरीत स्थित है एऔर पार्टियां आर. दूसरा त्रिभुज कोण θ से बनता है, जो भुजा के विपरीत स्थित है बीऔर पार्टियां साथलंबाई एस, जैसा कि चित्र पर दिखाया गया है। थाबित इब्न कुर्रा ने तर्क दिया कि इन तीन त्रिभुजों की भुजाएँ इस प्रकार संबंधित हैं:

जैसे-जैसे कोण θ π/2 के करीब पहुंचता है, समद्विबाहु त्रिभुज का आधार छोटा होता जाता है और दोनों भुजाएँ r और s एक-दूसरे को कम और कम ओवरलैप करते हैं। जब θ = π/2, ADB एक समकोण त्रिभुज बन जाता है, आर + एस = सीऔर हम प्रारंभिक पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त करते हैं।

आइए एक तर्क पर विचार करें। त्रिभुज ABC के कोण त्रिभुज ABD के समान हैं, लेकिन विपरीत क्रम में। (दो त्रिभुज हैं सामान्य कोणशीर्ष B पर, दोनों का एक कोण θ है और त्रिभुज के कोणों के योग के आधार पर तीसरा कोण भी समान है) तदनुसार, ABC त्रिभुज DBA के प्रतिबिंब ABD के समान है, जैसा कि निचले चित्र में दिखाया गया है। आइए हम सम्मुख भुजाओं और कोण θ के निकटवर्ती भुजाओं के बीच संबंध लिखें,

साथ ही एक अन्य त्रिभुज का प्रतिबिंब,

आइए भिन्नों को गुणा करें और इन दो अनुपातों को जोड़ें:

क्यू.ई.डी.

समांतर चतुर्भुज के माध्यम से मनमाना त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण

मनमाना त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण,
हरित क्षेत्र प्लॉट = क्षेत्रफलनीला

थीसिस का प्रमाण उपरोक्त चित्र में है

आइए वर्गों के बजाय तीन भुजाओं पर समांतर चतुर्भुजों का उपयोग करके गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए एक और सामान्यीकरण करें। (वर्ग एक विशेष मामला है।) शीर्ष आकृति से पता चलता है कि एक न्यून त्रिभुज के लिए, लंबी भुजा पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर समांतर चतुर्भुज के योग के बराबर होता है, बशर्ते कि लंबी भुजा पर समांतर चतुर्भुज जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, किनारे का निर्माण किया गया है (तीर द्वारा दर्शाए गए आयाम समान हैं और निचले समांतर चतुर्भुज के किनारों को निर्धारित करते हैं)। समांतर चतुर्भुज के साथ वर्गों का यह प्रतिस्थापन पाइथागोरस के प्रारंभिक प्रमेय से स्पष्ट समानता रखता है, जिसके बारे में माना जाता है कि इसे 4 ईस्वी में अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा तैयार किया गया था। इ।

निचला आंकड़ा प्रमाण की प्रगति को दर्शाता है। आइए त्रिभुज के बाईं ओर देखें। बाएँ हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी उतना ही है बाईं तरफनीला समांतर चतुर्भुज क्योंकि उनका आधार एक ही है बीऔर ऊंचाई एच. साथ ही, बाएं हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल शीर्ष चित्र में बाएं हरे समांतर चतुर्भुज के समान है क्योंकि उनका आधार एक समान है (शीर्ष) बाएं हाथ की ओरत्रिभुज) और त्रिभुज की उस भुजा पर लंबवत कुल ऊँचाई। त्रिभुज की दाईं ओर के समान तर्क का उपयोग करते हुए, हम साबित करेंगे कि निचले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो हरे समांतर चतुर्भुजों के समान है।

जटिल आंकड़े

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए किया जाता है, और यह प्रमेय सभी वास्तविक निर्देशांकों के लिए मान्य है: दूरी एसदो बिंदुओं के बीच ( ए, बी) और ( सी, डी) बराबर है

यदि सम्मिश्र संख्याओं को वास्तविक घटकों वाले सदिशों के रूप में माना जाए तो सूत्र में कोई समस्या नहीं है एक्स + मैं y = (एक्स, य). . उदाहरण के लिए, दूरी एस 0 + 1 के बीच मैंऔर 1 + 0 मैंवेक्टर के मापांक के रूप में गणना की गई (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), या

हालाँकि, जटिल निर्देशांक वाले वैक्टर के साथ संचालन के लिए, पाइथागोरस सूत्र में कुछ सुधार करना आवश्यक है। बिंदुओं के बीच की दूरी जटिल आंकड़े (ए, बी) और ( सी, डी); ए, बी, सी, और डीसभी जटिल, आइए हम इसका उपयोग करके तैयार करें सम्पूर्ण मूल्य. दूरी एसवेक्टर अंतर के आधार पर (ए − सी, बी − डी) निम्नलिखित रूप में: अंतर बताएं ए − सी = पी+मैं क्यू, कहाँ पी- अंतर का वास्तविक हिस्सा, क्यूकाल्पनिक भाग है, और i = √(−1). वैसे ही चलो बी − डी = आर+मैं एस. तब:

के लिए सम्मिश्र संयुग्म संख्या कहाँ है? उदाहरण के लिए, बिंदुओं के बीच की दूरी (ए, बी) = (0, 1) और (सी, डी) = (मैं, 0) , आइए अंतर की गणना करें (ए − सी, बी − डी) = (−मैं, 1) और यदि जटिल संयुग्मों का उपयोग नहीं किया गया तो परिणाम 0 होगा। इसलिए, बेहतर सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

मॉड्यूल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

स्टीरियोमेट्री

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए पाइथागोरस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण डी गोय का प्रमेय है, जिसका नाम जे.-पी के नाम पर रखा गया है। डे गोइस: यदि एक चतुष्फलक में एक समकोण है (जैसे कि एक घन में), तो समकोण के विपरीत फलक के क्षेत्रफल का वर्ग अन्य तीन फलकों के क्षेत्रफलों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस निष्कर्ष को संक्षेप में " एन-आयामी पाइथागोरस प्रमेय":

पाइथागोरस प्रमेय त्रि-आयामी स्थानविकर्ण AD को तीन भुजाओं से जोड़ता है।

एक और सामान्यीकरण: पाइथागोरस प्रमेय को निम्नलिखित रूप में स्टीरियोमेट्री पर लागू किया जा सकता है। चित्र में दिखाए अनुसार एक आयताकार समांतर चतुर्भुज पर विचार करें। आइए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण BD की लंबाई ज्ञात करें:

जहां तीन भुजाएं एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। हम विकर्ण AD की लंबाई ज्ञात करने के लिए क्षैतिज विकर्ण BD और ऊर्ध्वाधर किनारे AB का उपयोग करते हैं, इसके लिए हम फिर से पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:

या, यदि हम सब कुछ एक समीकरण में लिखें:

यह परिणाम वेक्टर के परिमाण को निर्धारित करने के लिए एक त्रि-आयामी अभिव्यक्ति है वी(विकर्ण AD), इसके लंबवत घटकों के संदर्भ में व्यक्त किया गया ( वी k ) (तीन परस्पर लंबवत भुजाएँ):

इस समीकरण को बहुआयामी अंतरिक्ष के लिए पाइथागोरस प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। हालाँकि, परिणाम वास्तव में पाइथागोरस प्रमेय को क्रमिक रूप से लंबवत विमानों में समकोण त्रिभुजों के अनुक्रम में बार-बार लागू करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदिश स्थल

सदिशों की ऑर्थोगोनल प्रणाली के मामले में, एक समानता होती है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय भी कहा जाता है:

यदि - ये समन्वय अक्षों पर वेक्टर के प्रक्षेपण हैं, तो यह सूत्र यूक्लिडियन दूरी के साथ मेल खाता है - और इसका मतलब है कि वेक्टर की लंबाई इसके घटकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है।

सदिशों की अनंत प्रणाली के मामले में इस समानता के अनुरूप को पार्सेवल की समानता कहा जाता है।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों से लिया गया है और वास्तव में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए उस रूप में मान्य नहीं है जिस रूप में यह ऊपर लिखा गया है। (अर्थात्, पाइथागोरस प्रमेय एक प्रकार से यूक्लिड के समांतरता के अभिधारणा के समतुल्य है) दूसरे शब्दों में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में एक त्रिभुज की भुजाओं के बीच का संबंध आवश्यक रूप से पाइथागोरस प्रमेय से भिन्न रूप में होगा। उदाहरण के लिए, गोलाकार ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ (मान लीजिए ए, बीऔर सी), जो इकाई गोले के अष्टक (आठवें भाग) को सीमित करता है, उसकी लंबाई π/2 है, जो पाइथागोरस प्रमेय का खंडन करता है, क्योंकि ए 2 + बी 2 ≠ सी 2 .

आइए यहां गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के दो मामलों पर विचार करें - गोलाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति; दोनों मामलों में, समकोण त्रिभुजों के लिए यूक्लिडियन स्थान के लिए, परिणाम, जो पाइथागोरस प्रमेय को प्रतिस्थापित करता है, कोसाइन प्रमेय से होता है।

हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय हाइपरबोलिक और अण्डाकार ज्यामिति के लिए मान्य रहता है यदि आवश्यकता है कि त्रिभुज आयताकार है, इस शर्त से प्रतिस्थापित किया जाता है कि त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे के बराबर होना चाहिए, मान लीजिए ए+बी = सी. तब भुजाओं के बीच का संबंध इस प्रकार दिखता है: व्यास वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग एऔर बीव्यास वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर सी.

गोलाकार ज्यामिति

त्रिज्या वाले गोले पर किसी समकोण त्रिभुज के लिए आर(उदाहरण के लिए, यदि किसी त्रिभुज में कोण γ समकोण है) भुजाओं के साथ ए, बी, सीपार्टियों के बीच संबंध इस तरह दिखेगा:

इस समानता को इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है एक विशेष मामलागोलाकार कोज्या प्रमेय, जो सभी गोलाकार त्रिभुजों के लिए मान्य है:

जहां cosh हाइपरबोलिक कोसाइन है। यह सूत्र हाइपरबोलिक कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो सभी त्रिकोणों के लिए मान्य है:

जहां γ वह कोण है जिसका शीर्ष भुजा के विपरीत है सी.

कहाँ जी आईजेमीट्रिक टेंसर कहा जाता है। यह पद का कार्य हो सकता है. इस तरह के घुमावदार स्थानों में रीमैनियन ज्यामिति शामिल है सामान्य उदाहरण. वक्ररेखीय निर्देशांक का उपयोग करते समय यह सूत्रीकरण यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए भी उपयुक्त है। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक के लिए:

वेक्टर कलाकृति

पाइथागोरस प्रमेय एक वेक्टर उत्पाद के परिमाण के लिए दो अभिव्यक्तियों को जोड़ता है। एक क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने के लिए एक दृष्टिकोण के लिए आवश्यक है कि यह समीकरण को संतुष्ट करे:

यह सूत्र डॉट उत्पाद का उपयोग करता है। दाहिनी ओरसमीकरण को ग्राम निर्धारक कहा जाता है एऔर बी, जो इन दोनों सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इस आवश्यकता के आधार पर, साथ ही यह आवश्यकता कि वेक्टर उत्पाद अपने घटकों के लंबवत हो एऔर बीइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि, 0- और 1-आयामी स्थान से तुच्छ मामलों को छोड़कर, क्रॉस उत्पाद को केवल तीन और सात आयामों में परिभाषित किया गया है। हम कोण की परिभाषा का उपयोग करते हैं एन-आयामी स्थान:

किसी क्रॉस उत्पाद का यह गुण उसका परिमाण इस प्रकार बताता है:

पाइथागोरस की मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान के माध्यम से हमें इसका मान लिखने का एक और रूप प्राप्त होता है:

किसी क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका इसके परिमाण के लिए एक अभिव्यक्ति का उपयोग करना है। फिर, विपरीत क्रम में तर्क करते हुए, हम अदिश गुणनफल के साथ एक संबंध प्राप्त करते हैं:

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

1. इतिहास विषय: बेबीलोनियाई गणित में पाइथागोरस का प्रमेय
2. ( , पृ. 351) पृ. 351
3. ( , खंड I, पृष्ठ 144)
4. बहस ऐतिहासिक तथ्य(, पृ. 351) पृ. 351 में दिया गया है
5. कर्ट वॉन फ्रिट्ज़ (अप्रैल, 1945)। "मेटापोंटम के हिप्पासस द्वारा असंगति की खोज"। गणित के इतिहास, दूसरी श्रृंखला(गणित के इतिहास) 46 (2): 242–264.
6. लुईस कैरोल, "द स्टोरी विद नॉट्स", एम., मीर, 1985, पृ. 7
7. असगर आबोगणित के प्रारंभिक इतिहास के प्रसंग। - मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका, 1997. - पी. 51. - आईएसबीएन 0883856131
8. पायथन प्रस्तावएलीशा स्कॉट लूमिस द्वारा
9. यूक्लिड का तत्वों: पुस्तक VI, प्रस्ताव VI 31: "समकोण त्रिभुजों में समकोण को अंतरित करने वाली भुजा पर बनी आकृति समकोण वाली भुजा पर समान और समान रूप से वर्णित आकृतियों के बराबर होती है।"
10. लॉरेंस एस लेफ़ उद्धृत कार्य. - बैरोन की शैक्षिक श्रृंखला - पी. 326. - आईएसबीएन 0764128922
11. हावर्ड व्हिटली ईव्स§4.8:...पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण // गणित में महान क्षण (1650 से पहले)। - मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका, 1983. - पी. 41. - आईएसबीएन 0883853108
12. ताबित इब्न क़ोरा (पूरा नाम थाबित इब्न क़ुर्रा इब्न मारवान अल-सबी अल-अर्रानी) (826-901 ईस्वी) बगदाद में रहने वाले एक चिकित्सक थे जिन्होंने यूक्लिड के तत्वों और अन्य गणितीय विषयों पर विस्तार से लिखा था।
13. आयदीन सायिली (मार्च 1960)। "थाबिट इब्न कुर्रा" का पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण। आइसिस 51 (1): 35-37. डीओआई:10.1086/348837।
14. जूडिथ डी. सैली, पॉल सैलीअभ्यास 2.10 (ii) // उद्धृत कार्य। - पी. 62. - आईएसबीएन 0821844032
15. ऐसे निर्माण के विवरण के लिए देखें जॉर्ज जेनिंग्सचित्र 1.32: सामान्यीकृत पायथागॉरियन प्रमेय // अनुप्रयोगों के साथ आधुनिक ज्यामिति: 150 आंकड़ों के साथ। - तीसरा. - स्प्रिंगर, 1997. - पी. 23. - आईएसबीएन 038794222एक्स
16. अर्लेन ब्राउन, कार्ल एम. पियर्सीवस्तु सी: मनमाना के लिए आदर्श एन-टुपल... // विश्लेषण का परिचय। - स्प्रिंगर, 1995. - पी. 124. - आईएसबीएन 0387943692पृष्ठ 47-50 भी देखें।
17. अल्फ्रेड ग्रे, एल्सा अब्बेना, साइमन सलामोनगणित के साथ वक्रों और सतहों की आधुनिक विभेदक ज्यामिति। - तीसरा. - सीआरसी प्रेस, 2006. - पी. 194. - आईएसबीएन 1584884487
18. राजेंद्र भाटियामैट्रिक्स विश्लेषण. - स्प्रिंगर, 1997. - पी. 21. - आईएसबीएन 0387948465
19. स्टीफन डब्ल्यू हॉकिंग उद्धृत कार्य. - 2005. - पी. 4. - आईएसबीएन 0762419229
20. एरिक डब्ल्यू वीसस्टीनसीआरसी गणित का संक्षिप्त विश्वकोश। - दूसरा. - 2003. - पी. 2147. - आईएसबीएन 1584883472
21. अलेक्जेंडर आर प्रुस

जब आपने पहली बार वर्गमूलों के बारे में सीखना शुरू किया और अपरिमेय समीकरणों (मूल चिन्ह के नीचे अज्ञात को शामिल करने वाले समीकरण) को कैसे हल किया जाए, तो आपको संभवतः उनके व्यावहारिक उपयोग का पहला स्वाद मिला। निकालने की क्षमता वर्गमूलपाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए संख्याओं से भी आवश्यक है। यह प्रमेय किसी भी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से संबंधित है।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई (वे दो भुजाएँ जो समकोण पर मिलती हैं) को अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, और कर्ण की लंबाई (समकोण के विपरीत स्थित त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा) को द्वारा निर्दिष्ट किया जाएगा। अक्षर। फिर संगत लंबाईयाँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

यह समीकरण आपको एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है जब इसकी अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात होती है। इसके अलावा, यह आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि प्रश्न में त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, बशर्ते कि तीनों भुजाओं की लंबाई पहले से ज्ञात हो।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके निम्नलिखित समस्याओं को हल करेंगे।

तो, दिया गया:

1. एक पैर की लंबाई 48 है, कर्ण 80 है।
2. पैर की लंबाई 84 है, कर्ण 91 है।

आइए समाधान पर जाएं:

ए) उपरोक्त समीकरण में डेटा को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

48 2 + बी 2 = 80 2

2304 + बी 2 = 6400

बी 2 = 4096

बी= 64 या बी = -64

चूँकि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई व्यक्त नहीं की जा सकती ऋणात्मक संख्या, दूसरा विकल्प स्वतः ही खारिज हो जाता है।

पहली तस्वीर का उत्तर: बी = 64.

बी) दूसरे त्रिकोण के पैर की लंबाई उसी तरह पाई जाती है:

84 2 + बी 2 = 91 2

7056 + बी 2 = 8281

बी 2 = 1225

बी= 35 या बी = -35

पिछले मामले की तरह, एक नकारात्मक निर्णय को खारिज कर दिया जाता है।

दूसरे चित्र का उत्तर: बी = 35

हम दे रहे हैं:

1. त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 45 और 55 है, और बड़ी भुजाओं की लंबाई 75 है।
2. त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 28 और 45 है, और बड़ी भुजाओं की लंबाई 53 है।

आइए समस्या का समाधान करें:

ए) यह जांचना आवश्यक है कि क्या किसी दिए गए त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग बड़े त्रिभुज की लंबाई के वर्ग के बराबर है:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

इसलिए, पहला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

बी) वही ऑपरेशन किया जाता है:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

इसलिए, दूसरा त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

सबसे पहले, आइए निर्देशांक (-2, -3) और (5, -2) वाले बिंदुओं से बने सबसे बड़े खंड की लंबाई ज्ञात करें। इसके लिए हम प्रयोग करते हैं सुप्रसिद्ध सूत्रआयताकार समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए:

इसी प्रकार, हम निर्देशांक (-2, -3) और (2, 1) वाले बिंदुओं के बीच घिरे खंड की लंबाई पाते हैं:

अंत में, हम निर्देशांक (2, 1) और (5, -2) वाले बिंदुओं के बीच खंड की लंबाई निर्धारित करते हैं:

चूँकि समानता रखती है:

तो संगत त्रिभुज समकोण है।

इस प्रकार, हम समस्या का उत्तर तैयार कर सकते हैं: चूँकि सबसे छोटी लंबाई वाली भुजाओं के वर्गों का योग सबसे बड़ी लंबाई वाली भुजाओं के वर्ग के बराबर होता है, बिंदु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष होते हैं।

आधार (सख्ती से क्षैतिज रूप से स्थित), जंब (सख्ती से लंबवत रूप से स्थित) और केबल (विकर्ण रूप से फैला हुआ) क्रमशः एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, केबल की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है:

इस प्रकार, केबल की लंबाई लगभग 3.6 मीटर होगी।

दिया गया है: बिंदु R से बिंदु P (त्रिभुज का पैर) की दूरी 24 है, बिंदु R से बिंदु Q (कर्ण) की दूरी 26 है।

तो, आइए वीटा को समस्या सुलझाने में मदद करें। चूँकि चित्र में दिखाए गए त्रिभुज की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं, आप तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:

अत: तालाब की चौड़ाई 10 मीटर है।

सर्गेई वेलेरिविच

पाइथागोरस प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेयों में से एक, संबंध स्थापित करना

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच.

ऐसा माना जाता है कि इसे यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने सिद्ध किया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया।

पाइथागोरस प्रमेय का ज्यामितीय सूत्रीकरण।

प्रमेय मूल रूप से इस प्रकार तैयार किया गया था:

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है,

पैरों पर बनाया गया.

पाइथागोरस प्रमेय का बीजगणितीय सूत्रीकरण।

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

अर्थात् त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को इससे निरूपित करना सी, और पैरों की लंबाई के माध्यम से एऔर बी:

दोनों सूत्रीकरण पाइथागोरस प्रमेयसमतुल्य हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, ऐसा नहीं है

क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता है। अर्थात् दूसरे कथन को क्षेत्र के बारे में कुछ भी जाने बिना सत्यापित किया जा सकता है

एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई मापकर।

पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम।

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो

सही त्रिकोण।

या, दूसरे शब्दों में:

धनात्मक संख्याओं के प्रत्येक त्रिक के लिए ए, बीऔर सी, ऐसा है कि

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है एऔर बीऔर कर्ण सी.

समद्विबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण.

वर्तमान में, इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किए गए हैं। संभवतः प्रमेय

पाइथागोरस एकमात्र प्रमेय है जिसके प्रमाणों की इतनी प्रभावशाली संख्या है। इतनी विविधता

ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व द्वारा ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध:

सबूत क्षेत्र विधि, सिद्धऔर विदेशी साक्ष्य(उदाहरण के लिए,

का उपयोग करके विभेदक समीकरण).

1. समान त्रिभुजों का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है

सीधे स्वयंसिद्धों से। विशेष रूप से, यह किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीसमकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊँचाई खींचिए सीऔर निरूपित करें

इसकी नींव के माध्यम से एच.

त्रिकोण आकएक त्रिकोण के समान अबदो कोनों पर सी. इसी प्रकार, त्रिकोण सीबीएचसमान एबीसी.

संकेतन का परिचय देकर:

हम पाते हैं:

,

जो मेल खाता है -

मुड़ा हुआ ए 2 और बी 2, हमें मिलता है:

या, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

2. क्षेत्र विधि का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

नीचे दिए गए प्रमाण, अपनी स्पष्ट सरलता के बावजूद, बिल्कुल भी इतने सरल नहीं हैं। उन सभी को

क्षेत्रफल के गुणों का उपयोग करें, जिनके प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से भी अधिक जटिल हैं।

• समपूरकता के माध्यम से प्रमाण.

आइए चार समान आयताकारों की व्यवस्था करें

त्रिभुज जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

दायी ओर।

भुजाओं वाला चतुर्भुज सी- वर्ग,

चूँकि दो न्यून कोणों का योग 90° होता है, और

खुला कोण - 180°.

संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल, एक ओर, है

भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल ( ए+बी), और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग और

क्यू.ई.डी.

3. इनफिनिटसिमल विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

​

चित्र में दिखाए गए चित्र को देखते हुए और

पक्ष बदलते हुए देखनाए, हम कर सकते हैं

अपरिमित के लिए निम्नलिखित संबंध लिखिए

छोटा पार्श्व वृद्धिसाथऔर ए(समानता का उपयोग करते हुए

त्रिभुज):

परिवर्तनीय पृथक्करण विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

दोनों तरफ वृद्धि के मामले में कर्ण में परिवर्तन के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति:

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं:

जैसा कि देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता रैखिक के कारण प्रकट होती है

त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच आनुपातिकता, जबकि योग स्वतंत्र से संबंधित है

विभिन्न पैरों की वृद्धि से योगदान.

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मान लें कि पैरों में से किसी एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है

(इस मामले में पैर बी). फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हमें प्राप्त होता है:

पाइथागोरस प्रमेय

अन्य प्रमेयों और समस्याओं का भाग्य अजीब है... उदाहरण के लिए, पाइथागोरस प्रमेय पर गणितज्ञों और गणित प्रेमियों की ओर से इस तरह के असाधारण ध्यान को कैसे समझाया जाए? उनमें से कई लोग पहले से ही ज्ञात साक्ष्यों से संतुष्ट क्यों नहीं थे, लेकिन उन्हें अपना साक्ष्य मिल गया, जिससे पच्चीस अपेक्षाकृत निकट भविष्य में सदियों से साक्ष्यों की संख्या कई सौ तक पहुंच गई?
जब पाइथागोरस प्रमेय की बात आती है, तो असामान्यता इसके नाम से शुरू होती है। ऐसा माना जाता है कि यह पाइथागोरस नहीं थे जिन्होंने सबसे पहले इसे तैयार किया था। यह भी संदिग्ध माना जा रहा है कि उन्होंने इसका सबूत दिया. यदि पाइथागोरस एक वास्तविक व्यक्ति है (कुछ को इस पर भी संदेह है!), तो वह संभवतः 6ठी-5वीं शताब्दी में रहता था। ईसा पूर्व इ। उन्होंने खुद कुछ नहीं लिखा, खुद को एक दार्शनिक कहा, जिसका अर्थ उनकी समझ में, "ज्ञान के लिए प्रयास करना" था, और पाइथागोरसियन संघ की स्थापना की, जिसके सदस्यों ने संगीत, जिमनास्टिक, गणित, भौतिकी और खगोल विज्ञान का अध्ययन किया। जाहिरा तौर पर, वह एक उत्कृष्ट वक्ता भी थे, जैसा कि क्रोटन शहर में उनके प्रवास से संबंधित निम्नलिखित किंवदंती से प्रमाणित है: “क्रोटन में लोगों के सामने पाइथागोरस की पहली उपस्थिति युवाओं के लिए एक भाषण के साथ शुरू हुई, जिसमें वह इतने सख्त, लेकिन एक ही समय में युवकों के कर्तव्यों को इतना आकर्षक ढंग से रेखांकित किया गया, और शहर के बुजुर्गों ने उन्हें निर्देश के बिना नहीं छोड़ने के लिए कहा। इस दूसरे भाषण में उन्होंने परिवार की नींव के रूप में नैतिकता की वैधता और शुद्धता की ओर इशारा किया; अगले दो में उन्होंने बच्चों और महिलाओं को संबोधित किया। अंतिम भाषण का परिणाम, जिसमें उन्होंने विशेष रूप से विलासिता की निंदा की, यह था कि हजारों कीमती पोशाकें हेरा के मंदिर में पहुंचा दी गईं, क्योंकि अब एक भी महिला ने उन्हें सड़क पर दिखाने की हिम्मत नहीं की..." हालाँकि, यहां तक ​​​​कि दूसरी शताब्दी ईस्वी में, यानी 700 वर्षों के बाद, वे पूरी तरह से जीवित रहे और काम किया सच्चे लोग, असाधारण वैज्ञानिक जो स्पष्ट रूप से पाइथागोरस गठबंधन से प्रभावित थे और किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस ने जो कुछ बनाया, उसके प्रति उनके मन में बहुत सम्मान था।
इसमें भी कोई संदेह नहीं है कि प्रमेय में रुचि इस तथ्य के कारण है कि यह गणित में केंद्रीय स्थानों में से एक पर है, और प्रमाणों के लेखकों की संतुष्टि के कारण, जिन्होंने रोमन कवि क्विंटस होरेस फ्लैकस की कठिनाइयों पर काबू पाया। जो हमारे युग से पहले रहते थे, उन्होंने ठीक ही कहा था: "प्रसिद्ध तथ्यों को व्यक्त करना कठिन है।"
प्रारंभ में, प्रमेय ने एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रों के बीच संबंध स्थापित किया:
.
बीजगणितीय सूत्रीकरण:
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।
अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को c से और पैरों की लंबाई को a और b से निरूपित करना: a 2 + b 2 =c 2। प्रमेय के दोनों सूत्रीकरण समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है; अर्थात्, दूसरे कथन को क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और केवल एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई मापकर सत्यापित किया जा सकता है।
पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम। धनात्मक संख्याओं a, b और c के किसी त्रिक के लिए ऐसा
a 2 + b 2 = c 2, पैरों a और b और कर्ण c के साथ एक समकोण त्रिभुज है।

सबूत

वर्तमान में, इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किए गए हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाणों वाला एकमात्र प्रमेय है। ऐसी विविधता को केवल ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व द्वारा ही समझाया जा सकता है।
बेशक, वैचारिक रूप से उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों के माध्यम से

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण, स्वयंसिद्धों से सीधे निर्मित, सबसे सरल प्रमाण है। विशेष रूप से, यह किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।
माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। C से ऊँचाई खींचिए और इसके आधार को H से निरूपित कीजिए। त्रिभुज ACH दो कोणों पर त्रिभुज ABC के समान है।
इसी प्रकार, त्रिभुज CBH, ABC के समरूप है। संकेतन का परिचय देकर

हम पाते हैं

समतुल्य क्या है

इसे जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

या

क्षेत्र विधि का उपयोग कर प्रमाण

नीचे दिए गए प्रमाण, अपनी स्पष्ट सरलता के बावजूद, बिल्कुल भी इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्रफल के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से भी अधिक जटिल है।

समसंपूरकता के माध्यम से प्रमाण

1. चित्र में दिखाए अनुसार चार समान समकोण त्रिभुज रखें।
2. भुजाओं वाला एक चतुर्भुज एक वर्ग है, क्योंकि दो न्यून कोणों का योग 90° और सीधा कोण 180° होता है।
3. संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल, एक ओर, भुजा (a + b) वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है और भीतरी वर्ग.



क्यू.ई.डी.

तुल्यता के माध्यम से प्रमाण

ऐसे ही एक प्रमाण का उदाहरण दाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है, जहां कर्ण पर बने एक वर्ग को पैरों पर बने दो वर्गों में पुनर्व्यवस्थित किया गया है।

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग का आधा क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के योग के बराबर है, और फिर क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं। आइए बाईं ओर के चित्र को देखें। इस पर हमने एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर वर्ग बनाए और समकोण C के शीर्ष से कर्ण AB के लंबवत एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों - BHJI और HAKJ में काटती है, क्रमश। इससे पता चलता है कि इन आयतों का क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बिल्कुल बराबर है। आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करेंगे: समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया गया आयत दिए गए आयत के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। यह एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK के क्षेत्रफल के बराबर है (चित्र में नहीं दिखाया गया है), जो बदले में आयत AHJK के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। आइए अब सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। इसके लिए केवल एक चीज जो करने की जरूरत है वह है त्रिभुज ACK और BDA की समानता सिद्ध करना (चूंकि त्रिभुज BDA का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति के अनुसार वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है, त्रिभुजों की दोनों भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर होता है। अर्थात् - AB=AK,AD=AC - कोण CAK और BAD की समानता को गति की विधि से सिद्ध करना आसान है: हम त्रिभुज CAK को 90° वामावर्त घुमाते हैं, तो यह स्पष्ट है कि दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ प्रश्न संपाती होगा (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)। वर्ग बीसीएफजी और आयत बीएचजीआई के क्षेत्रफलों की समानता का तर्क पूरी तरह समान है। इस प्रकार, हमने साबित किया कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल से बना होता है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

आइए ड्राइंग पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड सीआई वर्ग एबीएचजे को दो समान भागों में काटता है (क्योंकि त्रिकोण एबीसी और जेएचआई निर्माण में बराबर हैं)। 90-डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करके, हम छायांकित आकृतियों CAJI और GDAB की समानता देखते हैं। अब यह स्पष्ट है कि जिस आकृति को हमने छायांकित किया है उसका क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह कर्ण पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। प्रमाण का अंतिम चरण पाठक पर छोड़ दिया गया है।