रैखिक समीकरणों को सही ढंग से कैसे हल करें. रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

इस वीडियो में हम रैखिक समीकरणों के पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे जिन्हें एक ही एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किया जाता है - यही कारण है कि उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और किसे सबसे सरल कहा जाता है?

एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री तक।

सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:

एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम बना दिया गया है:

1. कोष्ठक, यदि कोई हो, विस्तृत करें;
2. एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक ओर ले जाएँ, और बिना चर वाले पदों को दूसरी ओर ले जाएँ;
3. समान चिह्न के बाएँ और दाएँ के लिए समान पद दीजिए;
4. परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।

बेशक, यह एल्गोरिथम हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी इन सभी साजिशों के बाद चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:

1. समीकरण का कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, जब $0\cdot x=8$ जैसा कुछ निकलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में हम कई कारणों पर गौर करेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
2. समाधान सभी संख्याएँ हैं। यह एकमात्र मामला है जब यह संभव है जब समीकरण को $0\cdot x=0$ की संरचना में घटा दिया गया हो। यह काफी तर्कसंगत है कि चाहे हम $x$ को किसी भी स्थान पर रखें, फिर भी यह "शून्य, शून्य के बराबर है" ही निकलेगा, यानी। सही संख्यात्मक समानता.

अब आइए देखें कि वास्तविक जीवन के उदाहरणों का उपयोग करके यह सब कैसे काम करता है।

समीकरण हल करने के उदाहरण

आज हम रैखिक समीकरणों और केवल सबसे सरल समीकरणों से निपट रहे हैं। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का मतलब किसी भी समानता से होता है जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।

ऐसे निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:

1. सबसे पहले, आपको कोष्ठक का विस्तार करना होगा, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
2. फिर समान मिला लें
3. अंत में, वेरिएबल को अलग करें, यानी वेरिएबल से जुड़ी हर चीज को - वे शब्द जिनमें यह निहित है - एक तरफ ले जाएं, और जो कुछ भी इसके बिना रहता है उसे दूसरी तरफ ले जाएं।

फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद जो कुछ बचा है उसे "x" के गुणांक से विभाजित करना है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आक्रामक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, त्रुटियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय या "प्लस" और "माइनस" की गणना करते समय की जाती हैं।

इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई समाधान नहीं होता है, या समाधान पूरी संख्या रेखा होती है, यानी। कोई संख्या। आज के पाठ में हम इन सूक्ष्मताओं पर गौर करेंगे। लेकिन हम शुरुआत करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, उसी से सरल कार्य.

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

सबसे पहले, मैं एक बार फिर सरलतम रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखूंगा:

1. कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
2. हम चरों को अलग करते हैं, अर्थात्। हम हर उस चीज़ को एक तरफ ले जाते हैं जिसमें "X" है, और हर चीज़ को बिना "X" के दूसरी तरफ ले जाते हैं।
3. हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं।
4. हम हर चीज़ को "x" के गुणांक से विभाजित करते हैं।

बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है; इसमें कुछ बारीकियाँ और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

कार्य क्रमांक 1

पहले चरण में हमें कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में हमें वेरिएबल्स को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शब्दों के बारे में बात कर रहे हैं। आइए इसे लिखें:

हम बाएँ और दाएँ समान शब्द प्रस्तुत करते हैं, लेकिन यह यहाँ पहले ही किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: गुणांक से विभाजित करें:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

तो हमें जवाब मिल गया.

कार्य क्रमांक 2

हम इस समस्या में कोष्ठक देख सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:

बाईं ओर और दाईं ओर दोनों पर हम लगभग एक ही डिज़ाइन देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। चरों को अलग करना:

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए. इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।

कार्य क्रमांक 3

तीसरा रैखिक समीकरण अधिक दिलचस्प है:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जाता है, उनके पहले बस अलग-अलग चिह्न होते हैं। आइए उन्हें तोड़ें:

हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण निष्पादित करते हैं:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

आइए गणित करें:

हम अंतिम चरण अपनाते हैं - हर चीज़ को "x" के गुणांक से विभाजित करते हैं:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

यदि हम बहुत सरल कार्यों को नजरअंदाज करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:

• जैसा कि मैंने ऊपर कहा, प्रत्येक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल ही नहीं होता;
• यदि जड़ें हैं भी, तो उनमें शून्य भी हो सकता है - इसमें कुछ भी गलत नहीं है।

शून्य अन्य संख्याओं के समान ही है; आपको इसके साथ किसी भी तरह का भेदभाव नहीं करना चाहिए या यह नहीं मानना ​​चाहिए कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।

एक अन्य विशेषता कोष्ठक के खुलने से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम का उपयोग करके खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।

इस सरल तथ्य को समझने से आपको हाई स्कूल में मूर्खतापूर्ण और दुखद गलतियाँ करने से बचने में मदद मिलेगी, जब ऐसी चीजें करने को हल्के में लिया जाता है।

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

आइए अधिक जटिल समीकरणों की ओर बढ़ते हैं। अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात फलन दिखाई देगा। हालाँकि, हमें इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक की योजना के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल कर रहे हैं, तो परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान द्विघात फलन वाले सभी एकपदी अनिवार्य रूप से रद्द हो जाएंगे।

उदाहरण क्रमांक 1

जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:

आइए अब गोपनीयता पर एक नजर डालते हैं:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, इसलिए हम इसे उत्तर में लिखेंगे:

\[\कुछ भी नहीं\]

या कोई जड़ें नहीं हैं.

उदाहरण क्रमांक 2

हम वही क्रियाएं करते हैं. पहला कदम:

आइए एक वेरिएबल के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिखेंगे:

\[\कुछ नहीं\],

या कोई जड़ें नहीं हैं.

समाधान की बारीकियां

दोनों समीकरण पूर्णतः हल हो गये हैं। उदाहरण के रूप में इन दो अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हुए, हम एक बार फिर आश्वस्त हो गए कि सबसे सरल रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक, या कोई नहीं, या अनंत रूप से कई जड़ें हो सकती हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों का कोई मूल नहीं है।

लेकिन मैं आपका ध्यान एक अन्य तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठकों के साथ कैसे काम करें और यदि उनके सामने ऋण चिह्न हो तो उन्हें कैसे खोलें। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:

खोलने से पहले, आपको हर चीज़ को "X" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करता है प्रत्येक व्यक्तिगत पद. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा।

और इन प्रतीत होने वाले प्राथमिक, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, क्या आप इस तथ्य के दृष्टिकोण से ब्रैकेट खोल सकते हैं कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हाँ, हाँ: केवल अब, जब परिवर्तन पूरा हो जाता है, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि नीचे सब कुछ बस चिह्न बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।

हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, महत्वहीन लगने वाले तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा प्रारंभिक परिवर्तनों का एक क्रम होता है, जहां स्पष्ट रूप से और सक्षम रूप से सरल कार्यों को करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और फिर से ऐसे सरल समीकरणों को हल करना सीखते हैं।

निःसंदेह, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता की हद तक निखार लेंगे। अब आपको हर बार इतने सारे परिवर्तन नहीं करने पड़ेंगे, आप सब कुछ एक पंक्ति में लिखेंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।

और भी अधिक जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

अब हम जो हल करने जा रहे हैं उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।

कार्य क्रमांक 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

आइए पहले भाग के सभी तत्वों को गुणा करें:

आइए कुछ गोपनीयता बरतें:

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

आइए अंतिम चरण पूरा करें:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है. और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फलन वाले गुणांक थे, उन्होंने एक-दूसरे को रद्द कर दिया, जो समीकरण को द्विघात नहीं बल्कि रैखिक बनाता है।

कार्य क्रमांक 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

आइए पहले चरण को ध्यानपूर्वक पूरा करें: पहले ब्रैकेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे ब्रैकेट के प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल चार नए पद होने चाहिए:

आइए अब प्रत्येक पद में सावधानीपूर्वक गुणन करें:

आइए "X" वाले शब्दों को बाईं ओर और बिना वाले शब्दों को दाईं ओर ले जाएं:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

यहाँ समान शब्द हैं:

एक बार फिर हमें अंतिम उत्तर मिल गया है.

समाधान की बारीकियां

इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण नोट निम्नलिखित है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें एक से अधिक पद होते हैं, यह निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: हम पहले से पहला पद लेते हैं और प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं दूसरा; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे तत्व से प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास चार पद होंगे।

बीजगणितीय योग के बारे में

इस अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा तात्पर्य एक साधारण निर्माण से है: एक में से सात घटाएँ। बीजगणित में, इससे हमारा तात्पर्य निम्नलिखित है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम है "शून्य सात"। इस प्रकार एक बीजगणितीय योग एक सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।

जैसे ही, सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणन करते समय, आपको ऊपर वर्णित संरचनाओं के समान संरचनाएं दिखाई देने लगती हैं, आपको बहुपदों और समीकरणों के साथ काम करते समय बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।

अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा अभी देखे गए से भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए हमें अपने मानक एल्गोरिदम को थोड़ा विस्तारित करना होगा।

भिन्न वाले समीकरणों को हल करना

ऐसे कार्यों को हल करने के लिए हमें अपने एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं आपको हमारे एल्गोरिदम की याद दिला दूं:

1. कोष्ठक खोलना।
2. अलग चर.
3. समान लाओ.
4. अनुपात से विभाजित करें.

अफसोस, यह अद्भुत एल्गोरिदम, अपनी सभी प्रभावशीलता के बावजूद, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं साबित होता है जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, उसमें दोनों समीकरणों में बाएँ और दाएँ दोनों तरफ एक भिन्न है।

इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ने की आवश्यकता है, जिसे पहली क्रिया से पहले और बाद में दोनों किया जा सकता है, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाना। तो एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. भिन्नों से छुटकारा पाएं.
2. कोष्ठक खोलना।
3. अलग चर.
4. समान लाओ.
5. अनुपात से विभाजित करें.

"भिन्नों से छुटकारा पाने" का क्या मतलब है? और यह पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों समय क्यों किया जा सकता है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न अपने हर में संख्यात्मक हैं, अर्थात। हर जगह हर एक संख्या ही है. इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों को इस संख्या से गुणा करें, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिल जाएगा।

उदाहरण क्रमांक 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

कृपया ध्यान दें: प्रत्येक चीज़ को एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो कोष्ठक हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। आइए लिखें:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

अब आइए विस्तार करें:

हम चर को अलग करते हैं:

हम समान शर्तों की कमी करते हैं:

\[-4x=-1\बाएँ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

हमें मिला अंतिम निर्णय, चलिए दूसरे समीकरण पर चलते हैं।

उदाहरण क्रमांक 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

यहां हम वही सभी क्रियाएं करते हैं:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

समस्या सुलझ गई है।

वास्तव में, मैं आज आपको बस यही बताना चाहता था।

प्रमुख बिंदु

मुख्य निष्कर्ष हैं:

• रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
• कोष्ठक खोलने की क्षमता.
• यदि आप देखें तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में वे कम हो जाएंगे।
• रैखिक समीकरणों में तीन प्रकार की जड़ें होती हैं, यहां तक ​​कि सबसे सरल भी: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, और कोई जड़ नहीं होती।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको संपूर्ण गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय पर महारत हासिल करने में मदद करेगा। यदि कुछ स्पष्ट नहीं है तो साइट पर जाएं और वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, कई और दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!

रेखीय समीकरण। समाधान, उदाहरण.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

रेखीय समीकरण।

रेखीय समीकरण- स्कूली गणित में सबसे कठिन विषय नहीं। लेकिन कुछ तरकीबें ऐसी हैं जो एक प्रशिक्षित छात्र को भी हैरान कर सकती हैं। आइए इसका पता लगाएं?)

आमतौर पर एक रैखिक समीकरण को निम्न प्रकार के समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है:

कुल्हाड़ी + बी = 0 कहाँ ए और बी- कोई भी संख्या।

2x + 7 = 0. यहाँ ए=2, बी=7

0.1x - 2.3 = 0 यहाँ ए=0.1, बी=-2.3

12x + 1/2 = 0 यहाँ ए=12, बी=1/2

कुछ भी जटिल नहीं, है ना? खासकर यदि आप शब्दों पर ध्यान नहीं देते हैं: "जहाँ a और b कोई संख्याएँ हैं"... और यदि आप ध्यान दें और लापरवाही से इसके बारे में सोचें?) आख़िरकार, यदि ए=0, बी=0(कोई भी संख्या संभव है?), तब हमें एक अजीब अभिव्यक्ति मिलती है:

लेकिन वह सब नहीं है! अगर, कहो, ए=0,ए बी=5,यह बिल्कुल सामान्य से हटकर कुछ हुआ:

जो कष्टप्रद है और गणित में आत्मविश्वास को कम करता है, हाँ...) विशेषकर परीक्षा के दौरान। लेकिन इन अजीब भावों में से आपको एक्स भी ढूंढना होगा! जिसका कोई अस्तित्व ही नहीं है. और, आश्चर्य की बात यह है कि इस एक्स को ढूंढना बहुत आसान है। हम ऐसा करना सीखेंगे. इस पाठ में.

किसी रैखिक समीकरण को उसके स्वरूप से कैसे पहचानें? यह किस पर निर्भर करता है उपस्थिति.) युक्ति यह है कि केवल रूप के समीकरणों को ही रैखिक समीकरण नहीं कहा जाता है कुल्हाड़ी + बी = 0 , लेकिन कोई भी समीकरण जिसे परिवर्तन और सरलीकरण द्वारा इस रूप में घटाया जा सकता है। और कौन जानता है कि यह नीचे आएगा या नहीं?)

कुछ मामलों में एक रैखिक समीकरण को स्पष्ट रूप से पहचाना जा सकता है। मान लीजिए, यदि हमारे पास एक समीकरण है जिसमें केवल पहली डिग्री और संख्याएं अज्ञात हैं। और समीकरण में कोई नहीं है भिन्नों से विभाजित अज्ञात , क्या यह महत्वपूर्ण है! और विभाजन द्वारा संख्या,या एक संख्यात्मक अंश - इसका स्वागत है! उदाहरण के लिए:

यह एक रेखीय समीकरण है. यहां भिन्न हैं, लेकिन वर्ग, घन आदि में कोई x नहीं है, और हर में कोई x नहीं है, यानी। नहीं x द्वारा विभाजन. और यहाँ समीकरण है

रैखिक नहीं कहा जा सकता. यहां एक्स सभी पहली डिग्री में हैं, लेकिन हैं एक्स के साथ अभिव्यक्ति द्वारा विभाजन. सरलीकरणों और परिवर्तनों के बाद, आप एक रैखिक समीकरण, एक द्विघात समीकरण, या अपनी पसंद की कोई भी चीज़ प्राप्त कर सकते हैं।

यह पता चला है कि कुछ जटिल उदाहरणों में रैखिक समीकरण को तब तक पहचानना असंभव है जब तक आप इसे लगभग हल नहीं कर लेते। यह परेशान करने वाला है. लेकिन असाइनमेंट में, एक नियम के रूप में, वे समीकरण के रूप के बारे में नहीं पूछते हैं, है ना? असाइनमेंट समीकरण पूछते हैं तय करना।यह मुझे आनंद देता है।)

रैखिक समीकरणों को हल करना. उदाहरण।

रैखिक समीकरणों के संपूर्ण समाधान में समीकरणों के समान परिवर्तन शामिल होते हैं। वैसे, ये परिवर्तन (उनमें से दो!) समाधान का आधार हैं गणित के सभी समीकरण.दूसरे शब्दों में, समाधान कोईसमीकरण इन्हीं परिवर्तनों से शुरू होता है। रैखिक समीकरणों के मामले में, यह (समाधान) इन परिवर्तनों पर आधारित होता है और पूर्ण उत्तर के साथ समाप्त होता है। लिंक का अनुसरण करना उचित है, है ना?) इसके अलावा, वहां रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण भी हैं।

सबसे पहले, आइए सबसे सरल उदाहरण देखें। बिना किसी ख़तरे के. मान लीजिए हमें इस समीकरण को हल करना है।

एक्स - 3 = 2 - 4x

यह एक रेखीय समीकरण है. एक्स सभी पहली शक्ति में हैं, एक्स द्वारा कोई विभाजन नहीं है। लेकिन, वास्तव में, हमारे लिए यह मायने नहीं रखता कि यह किस प्रकार का समीकरण है। हमें इसका समाधान निकालना होगा. यहां योजना सरल है. समीकरण के बायीं ओर X वाली सभी चीज़ें, दाईं ओर बिना X वाली सभी चीज़ें (संख्याएँ) एकत्रित करें।

ऐसा करने के लिए आपको स्थानांतरण करना होगा - 4x इंच बाईं तरफ, संकेत के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से, और - 3 - दांई ओर। वैसे, ये है समीकरणों का पहला समान परिवर्तन।हैरान? इसका मतलब है कि आपने लिंक का अनुसरण नहीं किया, लेकिन व्यर्थ...) हमें मिलता है:

x + 4x = 2 + 3

यहां ऐसे ही कुछ हैं, जिन पर हम विचार करते हैं:

पूर्ण सुख के लिए हमें क्या चाहिए? हाँ, ताकि बाईं ओर एक शुद्ध X हो! पांच रास्ते में है. पाँचों की मदद से छुटकारा पा रहे हैं समीकरणों का दूसरा समान परिवर्तन।अर्थात्, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करते हैं। हमें एक तैयार उत्तर मिलता है:

निःसंदेह, एक प्रारंभिक उदाहरण। यह वार्मअप के लिए है।) यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि मुझे यहां समान परिवर्तन क्यों याद आए? ठीक है। आइए बैल को सींगों से पकड़ें।) आइए कुछ और ठोस निर्णय लें।

उदाहरण के लिए, यहाँ समीकरण है:

हम कहाँ शुरू करें? X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर? ऐसा हो सकता है. लंबी सड़क पर छोटे-छोटे कदम। या आप तुरंत, सार्वभौमिक रूप से और कर सकते हैं सशक्त तरीके से. यदि, निश्चित रूप से, आपके शस्त्रागार में समीकरणों के समान परिवर्तन हैं।

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता हूं: इस समीकरण में आपको सबसे अधिक नापसंद क्या है?

100 में से 95 लोग उत्तर देंगे: अंशों ! उत्तर सही है. तो आइए इनसे छुटकारा पाएं। इसलिए, हम तुरंत शुरुआत करते हैं दूसरा पहचान परिवर्तन. आपको बाईं ओर के भिन्न को किससे गुणा करने की आवश्यकता है ताकि हर पूरी तरह से कम हो जाए? यह सही है, 3 बजे। और दाहिनी ओर? 4 से। लेकिन गणित हमें दोनों पक्षों को इससे गुणा करने की अनुमति देता है वही संख्या. हम कैसे बाहर निकल सकते हैं? आइए दोनों पक्षों को 12 से गुणा करें! वे। एक सामान्य भाजक के लिए. फिर तीन और चार दोनों कम हो जायेंगे. यह मत भूलिए कि आपको प्रत्येक भाग को गुणा करना होगा पूरी तरह से. पहला चरण इस प्रकार दिखता है:

कोष्ठक का विस्तार:

टिप्पणी! मीटर (एक्स+2)मैंने इसे कोष्ठक में रखा है! ऐसा इसलिए है क्योंकि भिन्नों को गुणा करने पर संपूर्ण अंश को गुणा किया जाता है! अब आप भिन्नों को कम कर सकते हैं:

शेष कोष्ठकों का विस्तार करें:

कोई उदाहरण नहीं, बल्कि शुद्ध आनंद!) अब आइए मंत्र को याद करें कनिष्ठ वर्ग: X के साथ - बाईं ओर, बिना X के - दाईं ओर!और इस परिवर्तन को लागू करें:

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

और दोनों भागों को 25 से विभाजित करें, अर्थात। दूसरा परिवर्तन पुनः लागू करें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स=0,16

कृपया ध्यान दें: मूल भ्रमित करने वाले समीकरण को अच्छे रूप में लाने के लिए, हमने दो (केवल दो!) का उपयोग किया। पहचान परिवर्तन– चिह्न परिवर्तन के साथ बाएँ-दाएँ अनुवाद और एक ही संख्या से समीकरण का गुणन-विभाजन। यह एक सार्वभौमिक विधि है! हम इसी तरह से काम करेंगे कोई समीकरण! बिल्कुल कोई भी. इसीलिए मैं इन समान परिवर्तनों के बारे में थकाऊ रूप से दोहराता रहता हूं।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों को हल करने का सिद्धांत सरल है। हम समीकरण लेते हैं और समान परिवर्तनों का उपयोग करके इसे तब तक सरल बनाते हैं जब तक हमें उत्तर नहीं मिल जाता। यहां मुख्य समस्याएं गणना में हैं, समाधान के सिद्धांत में नहीं।

लेकिन... सबसे प्राथमिक रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में ऐसे आश्चर्य होते हैं कि वे आपको एक मजबूत स्तब्धता में डाल सकते हैं...) सौभाग्य से, ऐसे केवल दो आश्चर्य हो सकते हैं। चलिए उन्हें विशेष मामले कहते हैं।

रैखिक समीकरणों को हल करने में विशेष मामले।

पहला आश्चर्य.

मान लीजिए कि आपको एक बहुत ही बुनियादी समीकरण मिलता है, कुछ इस तरह:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

थोड़ा ऊबकर, हम इसे एक्स के साथ बायीं ओर ले जाते हैं, बिना एक्स के - दाहिनी ओर... संकेत में बदलाव के साथ, सब कुछ सही है... हमें मिलता है:

2x-5x+3x=5-2-3

हम गिनते हैं, और...उफ़!!! हम पाते हैं:

यह समानता अपने आप में आपत्तिजनक नहीं है. शून्य वास्तव में शून्य है. लेकिन एक्स गायब है! और हमें उत्तर में लिखना होगा, x किसके बराबर है?अन्यथा, समाधान मायने नहीं रखता, ठीक है...) गतिरोध?

शांत! ऐसे संदिग्ध मामलों में, सबसे सामान्य नियम आपको बचाएंगे। समीकरण कैसे हल करें? किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? इसका मतलब यह है, x के सभी मान ज्ञात करें, जिन्हें प्रतिस्थापित करने पर मूल समीकरण, हमें सच्ची समानता देगा।

लेकिन हमारे पास सच्ची समानता है पहले सेघटित! 0=0, कितना अधिक सटीक?! यह पता लगाना बाकी है कि यह किस x पर होता है। X के किन मानों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है? मूलसमीकरण यदि ये x है क्या वे अब भी शून्य हो जायेंगे?चलो भी?)

हाँ!!! X को प्रतिस्थापित किया जा सकता है कोई भी!आप कौन सा चाहते हैं? कम से कम 5, कम से कम 0.05, कम से कम -220। वे अभी भी सिकुड़ेंगे. यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं।) X के किसी भी मान को इसमें प्रतिस्थापित करें मूलसमीकरण और गणना. हर समय आपको शुद्ध सत्य मिलेगा: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 इत्यादि।

यहाँ आपका उत्तर है: x - कोई भी संख्या।

उत्तर विभिन्न गणितीय प्रतीकों में लिखा जा सकता है, सार नहीं बदलता। यह पूर्णतया सही एवं पूर्ण उत्तर है।

दूसरा आश्चर्य.

आइए वही प्रारंभिक रैखिक समीकरण लें और उसमें केवल एक संख्या बदलें। हम यही निर्णय लेंगे:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

उन्हीं समान परिवर्तनों के बाद, हमें कुछ दिलचस्प मिलता है:

इस कदर। हमने एक रैखिक समीकरण हल किया और एक अजीब समानता प्राप्त की। बोला जा रहा है गणितीय भाषा, हमें मिला झूठी समानता.और बोल रहा हूँ सरल भाषा में, यह सच नहीं है। बड़बड़ाना. लेकिन फिर भी, यह बकवास समीकरण को सही ढंग से हल करने का एक बहुत अच्छा कारण है।)

फिर से हम इसके आधार पर सोचते हैं सामान्य नियम. मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x हमें क्या देगा सत्यसमानता? हाँ, कोई नहीं! ऐसा कोई एक्स नहीं है. कुछ भी डालो, सब कम हो जाएगा, सिर्फ बकवास रह जाएगी।)

यहाँ आपका उत्तर है: कोई समाधान नहीं हैं.

यह भी पूर्णतः पूर्ण उत्तर है। गणित में अक्सर ऐसे उत्तर मिल जाते हैं.

इस कदर। अब, मुझे आशा है, किसी भी (सिर्फ रैखिक नहीं) समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में एक्स का गायब होना आपको बिल्कुल भी भ्रमित नहीं करेगा। यह पहले से ही एक परिचित मामला है।)

अब जब हमने रैखिक समीकरणों की सभी कमियों से निपट लिया है, तो उन्हें हल करना समझ में आता है।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

इस पाठ में हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की विधियों पर गौर करेंगे। उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को अलग-अलग कार्यों के रूप में हल करने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, "क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके प्रणाली को हल करें" और अन्य समस्याओं को हल करने के दौरान। उच्च गणित की लगभग सभी शाखाओं में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से निपटना पड़ता है।

सबसे पहले, थोड़ा सिद्धांत. क्या अंदर इस मामले मेंगणितीय शब्द "रैखिक" का अर्थ क्या है? इसका मतलब है कि सिस्टम के समीकरण सभीचर शामिल हैं पहली डिग्री में: बिना किसी फैंसी सामान के आदि, जिससे केवल गणितीय ओलंपियाड में भाग लेने वाले ही प्रसन्न होते हैं।

उच्च गणित में, चरों को दर्शाने के लिए न केवल बचपन से परिचित अक्षरों का उपयोग किया जाता है।
एक काफी लोकप्रिय विकल्प इंडेक्स के साथ वेरिएबल है:।
या प्रारंभिक अक्षर लैटिन वर्णमाला, छोटा और बड़ा:
ग्रीक अक्षर मिलना इतना दुर्लभ नहीं है: - कई लोग "अल्फा, बीटा, गामा" के रूप में जाने जाते हैं। और सूचकांकों के साथ एक सेट भी, मान लीजिए, अक्षर "म्यू" के साथ:

अक्षरों के एक या दूसरे सेट का उपयोग उच्च गणित के उस भाग पर निर्भर करता है जिसमें हमारा सामना रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से होता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अभिन्नों को हल करते समय सामने आने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों में, विभेदक समीकरणसंकेतन का उपयोग करना पारंपरिक है

लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चर कैसे निर्दिष्ट किए गए हैं, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के सिद्धांत, तरीके और तरीके नहीं बदलते हैं। इस प्रकार, यदि आपके सामने कुछ डरावना जैसा आता है, तो डर के मारे समस्या पुस्तिका को बंद करने में जल्दबाजी न करें, आखिरकार, आप इसके स्थान पर सूर्य, इसके स्थान पर एक पक्षी और इसके स्थान पर एक चेहरा (शिक्षक) बना सकते हैं। और, यह भले ही अजीब लगे, लेकिन इन नोटेशन के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को भी हल किया जा सकता है।

मुझे लग रहा है कि लेख काफी लंबा हो जाएगा, इसलिए विषय-सूची छोटी है। तो, क्रमिक "डीब्रीफिंग" इस प्रकार होगी:

- प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना (" स्कूल पद्धति») ;
- सिस्टम समीकरणों के टर्म-दर-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम को हल करना;
- क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम का समाधान;
- व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करना;
- गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना.

स्कूली गणित पाठ्यक्रमों से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से हर कोई परिचित है। मूलतः, हम दोहराव से शुरू करते हैं।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

यह विधिइसे "स्कूल पद्धति" या अज्ञात को ख़त्म करने की पद्धति भी कहा जा सकता है। लाक्षणिक रूप से कहें तो इसे "एक अधूरी गाऊसी पद्धति" भी कहा जा सकता है।

उदाहरण 1

यहां हमें दो अज्ञात वाले दो समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। ध्यान दें कि मुक्त पद (संख्या 5 और 7) समीकरण के बाईं ओर स्थित हैं। सामान्यतया, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे कहाँ हैं, बायीं ओर या दायीं ओर, यह सिर्फ इतना है कि उच्च गणित की समस्याओं में वे अक्सर उसी तरह स्थित होते हैं। और ऐसी रिकॉर्डिंग से भ्रम की स्थिति पैदा नहीं होनी चाहिए, यदि आवश्यक हो, तो सिस्टम हमेशा "हमेशा की तरह" लिखा जा सकता है:। यह मत भूलिए कि किसी पद को एक भाग से दूसरे भाग में ले जाते समय, उसे अपना चिह्न बदलने की आवश्यकता होती है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का क्या मतलब है? समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके कई समाधान खोजना। किसी सिस्टम का समाधान उसमें शामिल सभी चरों के मानों का एक समूह है, जो सिस्टम के हर समीकरण को सच्ची समानता में बदल देता है। इसके अलावा, सिस्टम हो सकता है गैर संयुक्त (कोई समाधान नहीं है).चिंता मत करो, यह है सामान्य परिभाषा=) हमारे पास केवल एक मान "x" और एक मान "y" होगा, जो प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करता है।

मौजूद ग्राफ़िक विधिसिस्टम का समाधान, जो कक्षा में पाया जा सकता है एक पंक्ति के साथ सबसे सरल समस्याएँ. वहां मैंने बात की ज्यामितीय बोध दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली। लेकिन अब यह बीजगणित और अंक-अंक, क्रिया-क्रिया का युग है।

आइये निर्णय करें: पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं:
हम परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम कोष्ठक खोलते हैं, समान पद जोड़ते हैं और मान ज्ञात करते हैं:

इसके बाद, हमें याद है कि हमने किसके लिए नृत्य किया था:
हम पहले से ही मूल्य जानते हैं, जो कुछ बचा है वह खोजना है:

उत्तर:

समीकरणों की किसी भी प्रणाली को किसी भी तरह से हल करने के बाद, मैं दृढ़ता से जाँच करने की अनुशंसा करता हूँ (मौखिक रूप से, ड्राफ्ट पर या कैलकुलेटर पर). सौभाग्य से, यह आसानी से और जल्दी से किया जाता है।

1) पाए गए उत्तर को पहले समीकरण में रखें:

– सही समानता प्राप्त होती है.

2) पाए गए उत्तर को दूसरे समीकरण में रखें:

– सही समानता प्राप्त होती है.

या, इसे और अधिक सरलता से कहें तो, "सबकुछ एक साथ आया"

समाधान की सुविचारित विधि एकमात्र नहीं है जिसे पहले समीकरण से व्यक्त किया जा सकता है, और नहीं।
आप इसके विपरीत कर सकते हैं - दूसरे समीकरण से कुछ व्यक्त करें और उसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें। वैसे, ध्यान दें कि चार तरीकों में से सबसे नुकसानदायक दूसरे समीकरण से व्यक्त करना है:

परिणाम भिन्न है, लेकिन क्यों? एक अधिक तर्कसंगत समाधान है.

हालाँकि, कुछ मामलों में आप अभी भी भिन्नों के बिना काम नहीं चला सकते। इस संबंध में, मैं आपका ध्यान इस ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि मैंने अभिव्यक्ति को कैसे लिखा। ऐसा नहीं है: और किसी भी मामले में ऐसा नहीं है: .

यदि आप उच्च गणित से निपट रहे हैं भिन्नात्मक संख्याएँ, फिर सभी गणनाओं को सामान्य अनुचित भिन्नों में करने का प्रयास करें।

बिल्कुल, और नहीं या!

अल्पविराम का उपयोग कभी-कभी ही किया जा सकता है, विशेष रूप से यदि यह किसी समस्या का अंतिम उत्तर है, और इस संख्या के साथ आगे कोई कार्रवाई करने की आवश्यकता नहीं है।

कई पाठकों ने शायद सोचा होगा “ऐसा क्यों करते हैं? विस्तृत विवरण, जहां तक ​​सुधार वर्ग का सवाल है, और इसलिए सब कुछ स्पष्ट है।" ऐसा कुछ नहीं है, यह बहुत सरल लगता है स्कूल का उदाहरण, और कितने बहुत महत्वपूर्ण निष्कर्ष! यहाँ एक और है:

आपको किसी भी कार्य को सबसे तर्कसंगत तरीके से पूरा करने का प्रयास करना चाहिए. यदि केवल इसलिए कि इससे समय और घबराहट की बचत होती है, और गलती होने की संभावना भी कम हो जाती है।

यदि उच्च गणित की समस्या में आपको दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है, तो आप हमेशा प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं (जब तक कि यह संकेत न दिया जाए कि प्रणाली को किसी अन्य विधि से हल करने की आवश्यकता है) एक भी शिक्षक नहीं सोचेगा कि आप एक मूर्ख हैं और "स्कूल पद्धति" का उपयोग करने के लिए अपना ग्रेड कम कर देंगे।
इसके अलावा, कुछ मामलों में बड़ी संख्या में चर के साथ प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

उदाहरण 2

तीन अज्ञातों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

तथाकथित विधि का उपयोग करते समय समीकरणों की एक समान प्रणाली अक्सर उत्पन्न होती है अनिश्चित गुणांकजब हम किसी भिन्नात्मक परिमेय फलन का समाकलन पाते हैं। प्रश्नगत सिस्टम मेरे द्वारा वहां से लिया गया था।

अभिन्न को खोजते समय, लक्ष्य है तेज़गुणांकों के मान ज्ञात करें, न कि क्रैमर के सूत्रों, विधि का सहारा लें उलटा मैट्रिक्सवगैरह। इसलिए, इस मामले में, प्रतिस्थापन विधि उपयुक्त है.

जब समीकरणों की कोई प्रणाली दी जाती है, तो सबसे पहले यह पता लगाना वांछनीय है कि क्या इसे तुरंत किसी तरह सरल बनाना संभव है? सिस्टम के समीकरणों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि सिस्टम के दूसरे समीकरण को 2 से विभाजित किया जा सकता है, जो हम करते हैं:

संदर्भ:गणितीय चिह्न का अर्थ है "इससे वह अनुसरण करता है" और इसका उपयोग अक्सर समस्या समाधान में किया जाता है।

अब आइए समीकरणों का विश्लेषण करें, हमें कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने की आवश्यकता है। मुझे कौन सा समीकरण चुनना चाहिए? आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि इस उद्देश्य के लिए सबसे आसान तरीका सिस्टम का पहला समीकरण लेना है:

यहां, कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस चर को व्यक्त करना है, कोई भी उतनी ही आसानी से या व्यक्त कर सकता है।

इसके बाद, हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

हम कोष्ठक खोलते हैं और समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:

तीसरे समीकरण को 2 से विभाजित करें:

दूसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

लगभग सब कुछ तैयार है, तीसरे समीकरण से हम पाते हैं:
दूसरे समीकरण से:
पहले समीकरण से:

जांचें: सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर चर के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

1)
2)
3)

समीकरणों के संगत दाएँ पक्ष प्राप्त किए जाते हैं, इस प्रकार समाधान सही पाया जाता है।

उदाहरण 3

4 अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय(पाठ के अंत में उत्तर दें)।

सिस्टम समीकरणों के पद-दर-पद जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम को हल करना

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, आपको "स्कूल पद्धति" का नहीं, बल्कि प्रणाली के समीकरणों के शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) की विधि का उपयोग करने का प्रयास करना चाहिए। क्यों? इससे समय की बचत होती है और गणनाएँ सरल हो जाती हैं, हालाँकि, अब सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण 4

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

मैंने पहले उदाहरण जैसा ही सिस्टम लिया।
समीकरणों की प्रणाली का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि चर के गुणांक परिमाण में समान और चिह्न (-1 और 1) में विपरीत हैं। ऐसी स्थिति में, समीकरणों को पद दर पद जोड़ा जा सकता है:

लाल घेरे में क्रियाएँ मानसिक रूप से की जाती हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, पद-दर-अवधि योग के परिणामस्वरूप, हमने चर खो दिया। यह, वास्तव में, यही है विधि का सार किसी एक चर से छुटकारा पाना है.

स्कूली गणित में रैखिक समीकरण एक काफी हानिरहित और समझने योग्य विषय है। लेकिन, अजीब तरह से, रैखिक समीकरणों को हल करते समय अचानक त्रुटियों की संख्या अन्य विषयों की तुलना में थोड़ी ही कम होती है - द्विघातीय समीकरण, लघुगणक, त्रिकोणमिति और अन्य। अधिकांश त्रुटियों का कारण समीकरणों के सामान्य समान परिवर्तन हैं। सबसे पहले, यह समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में शब्दों को स्थानांतरित करते समय संकेतों में भ्रम है, साथ ही भिन्न और भिन्नात्मक गुणांक के साथ काम करते समय त्रुटियां भी हैं। हां हां! रैखिक समीकरणों में भी भिन्न दिखाई देते हैं! चारो ओर। नीचे हम निश्चित रूप से ऐसे बुरे समीकरणों का विश्लेषण करेंगे।)

खैर, आइए बिल्ली को पूंछ से न खींचे और इसका पता लगाना शुरू करें, है ना? फिर हम पढ़ते हैं और उसमें गहराई से उतरते हैं।)

रैखिक समीकरण क्या है? उदाहरण।

आमतौर पर रैखिक समीकरण इस तरह दिखता है:

कुल्हाड़ी + बी = 0,

जहाँ a और b कोई संख्याएँ हैं। किसी भी प्रकार: पूर्णांक, भिन्न, ऋणात्मक, अपरिमेय - सभी प्रकार की चीज़ें हो सकती हैं!

उदाहरण के लिए:

7x + 1 = 0 (यहाँ a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (यहाँ a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (यहाँ a = 1/2, b = -1.1)

सामान्य तौर पर, आप समझते हैं, मुझे आशा है।) सब कुछ सरल है, जैसे किसी परी कथा में। फिलहाल... और यदि आप सामान्य संकेतन ax+b=0 पर करीब से नज़र डालें, और थोड़ा सोचें? आख़िरकार, ए और बी हैं कोई संख्या! और यदि हमारे पास, मान लीजिए, a = 0 और b = 0 है (कोई भी संख्या ली जा सकती है!), तो हमें क्या मिलेगा?

0 = 0

लेकिन यह पूरा मजा नहीं है! क्या होगा यदि, कहें, a = 0, b = -10? तब यह किसी प्रकार की बकवास साबित होती है:

0 = 10.

जो बहुत, बहुत कष्टप्रद है और गणित में उस भरोसे को कमजोर करता है जो हमने खून-पसीने से हासिल किया है... खासकर परीक्षणों और परीक्षाओं के दौरान। लेकिन इन समझ से बाहर और अजीब समानताओं में से आपको एक्स भी ढूंढना होगा! जिसका अस्तित्व ही नहीं है! और यहाँ, यहाँ तक कि अच्छी तरह से तैयार छात्र भी कभी-कभी उस स्थिति में आ सकते हैं जिसे स्तब्धता कहा जाता है... लेकिन चिंता न करें! इस पाठ में हम ऐसे सभी आश्चर्यों पर भी नज़र डालेंगे। और हम निश्चित रूप से ऐसी समानताओं से एक एक्स ढूंढ लेंगे।) इसके अलावा, यह वही एक्स बहुत ही सरलता से पाया जा सकता है। हां हां! आश्चर्य की बात है लेकिन सच है.)

ठीक है, यह समझ में आता है। लेकिन आप कार्य की उपस्थिति से कैसे बता सकते हैं कि यह एक रैखिक समीकरण है और कोई अन्य समीकरण नहीं है? दुर्भाग्य से, केवल दिखावे से समीकरण के प्रकार को पहचानना हमेशा संभव नहीं होता है। मुद्दा यह है कि न केवल फॉर्म ax+b=0 के समीकरणों को रैखिक कहा जाता है, बल्कि किसी भी अन्य समीकरण को भी, एक तरह से या किसी अन्य, समान परिवर्तनों द्वारा इस रूप में कम किया जा सकता है। आपको कैसे पता चलेगा कि यह जुड़ता है या नहीं? जब तक आप उदाहरण को मुश्किल से हल नहीं कर पाते - लगभग बिल्कुल भी नहीं। यह परेशान करने वाला है. लेकिन कुछ प्रकार के समीकरणों के लिए, आप तुरंत एक नज़र में निश्चित रूप से बता सकते हैं कि यह रैखिक है या नहीं।

ऐसा करने के लिए, आइए एक बार फिर किसी रैखिक समीकरण की सामान्य संरचना पर नज़र डालें:

कुल्हाड़ी + बी = 0

कृपया ध्यान दें: रैखिक समीकरण में हमेशाकेवल वेरिएबल x मौजूद है पहली डिग्री मेंऔर कुछ संख्याएँ! बस इतना ही! और कुछ नहीं। साथ ही, वर्ग में, घन में, मूल के नीचे, लघुगणक के नीचे और अन्य विदेशी चीज़ों में कोई X नहीं है। और (सबसे महत्वपूर्ण बात!) कोई भिन्न नहीं हैं हर में X के साथ!लेकिन हर या विभाजन में संख्याओं के साथ भिन्न प्रति संख्या- आसानी से!

उदाहरण के लिए:

यह एक रेखीय समीकरण है. समीकरण में केवल X की पहली घात और संख्याएँ शामिल हैं। और उच्च घातों में कोई X नहीं है - वर्ग, घन, इत्यादि। हां, यहां भिन्न हैं, लेकिन साथ ही भिन्नों के हर भी शामिल हैं केवल संख्याएँ.अर्थात् - दो और तीन। दूसरे शब्दों में, वहाँ नहीं है x द्वारा विभाजन.

और यहाँ समीकरण है

इसे अब रैखिक नहीं कहा जा सकता, हालाँकि यहाँ भी, केवल संख्याएँ और पहली घात तक X हैं। क्योंकि अन्य बातों के अलावा भिन्न भी होते हैं हर में X के साथ. और सरलीकरण और परिवर्तन के बाद, ऐसा समीकरण कुछ भी बन सकता है: रैखिक, द्विघात - कुछ भी।

रैखिक समीकरण कैसे हल करें? उदाहरण।

तो आप रैखिक समीकरणों को कैसे हल करते हैं? आगे पढ़ें और आश्चर्यचकित हो जाएं।) रैखिक समीकरणों का संपूर्ण समाधान केवल दो मुख्य बातों पर आधारित है। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें।

1) गणित की प्रारंभिक क्रियाओं और नियमों का एक सेट।

इनमें कोष्ठकों का उपयोग करना, कोष्ठकों को खोलना, भिन्नों के साथ काम करना, ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करना, गुणन सारणी इत्यादि शामिल हैं। यह ज्ञान और कौशल न केवल रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए, बल्कि सामान्य रूप से सभी गणित के लिए आवश्यक हैं। और, यदि आपको इससे कोई समस्या है, तो निम्न ग्रेड याद रखें। अन्यथा आपके लिए कठिन समय होगा...

2)

उनमें से केवल दो हैं. हां हां! इसके अलावा, ये बहुत ही बुनियादी पहचान परिवर्तन न केवल रैखिक, बल्कि आम तौर पर किसी भी गणितीय समीकरण के समाधान का आधार बनते हैं! एक शब्द में, किसी अन्य समीकरण का हल - द्विघात, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, अपरिमेय, आदि। - एक नियम के रूप में, इसकी शुरुआत इन्हीं बुनियादी परिवर्तनों से होती है। लेकिन रैखिक समीकरणों का समाधान, वास्तव में, उनके (परिवर्तनों) के साथ समाप्त होता है। उत्तर तैयार है।) इसलिए आलसी न हों और लिंक पर एक नज़र डालें।) इसके अलावा, रैखिक समीकरणों का भी वहां विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।

खैर, मुझे लगता है कि अब उदाहरणों पर गौर करना शुरू करने का समय आ गया है।

आरंभ करने के लिए, वार्म-अप के रूप में, आइए कुछ बुनियादी चीज़ों पर नज़र डालें। बिना किसी अंश या अन्य घंटियों और सीटियों के। उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

x – 2 = 4 – 5x

यह एक क्लासिक रैखिक समीकरण है. सभी X अधिकतम प्रथम घात में हैं और कहीं भी X द्वारा कोई विभाजन नहीं है। ऐसे समीकरणों में समाधान योजना हमेशा एक जैसी और बहुत सरल होती है: X वाले सभी पदों को बाईं ओर एकत्र किया जाना चाहिए, और तो चलिए संग्रह करना शुरू करें।

ऐसा करने के लिए, हम पहला पहचान परिवर्तन लॉन्च करते हैं। हमें -5x को बाईं ओर ले जाना है, और -2 को दाईं ओर ले जाना है। चिन्ह के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से।) तो हम स्थानांतरित करते हैं:

एक्स + 5एक्स = 4 + 2

हेयर यू गो। आधी लड़ाई हो चुकी है: एक्स को ढेर में इकट्ठा कर लिया गया है, और संख्याएँ भी। अब हम बाईं ओर समान प्रस्तुत करते हैं, और हम उन्हें दाईं ओर गिनते हैं। हम पाते हैं:

6x = 6

पूर्ण सुख के लिए अब हमारे पास क्या कमी है? हाँ, ताकि शुद्ध X बायीं ओर रहे! और छक्का रास्ते में आ जाता है. मैं इससे छुटकारा कैसे पाऊं? अब हम दूसरा पहचान परिवर्तन चलाते हैं - समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करें। और - वोइला! उत्तर तैयार है.)

एक्स = 1

बेशक, उदाहरण पूरी तरह से आदिम है। सामान्य विचार प्राप्त करने के लिए. खैर, आइए कुछ और महत्वपूर्ण निर्णय लें। उदाहरण के लिए, आइए इस समीकरण को देखें:

आइए इसे विस्तार से देखें।) यह भी एक रैखिक समीकरण है, हालाँकि ऐसा प्रतीत होता है कि यहाँ भिन्न हैं। लेकिन भिन्नों में दो से विभाजन होता है और तीन से विभाजन होता है, लेकिन एक्स वाले व्यंजक से कोई विभाजन नहीं होता है! तो चलिए निर्णय लेते हैं. समान समान परिवर्तनों का उपयोग करना, हाँ।)

हमें पहले क्या करना चाहिए? X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर? सिद्धांत रूप में, यह संभव है. व्लादिवोस्तोक के रास्ते सोची के लिए उड़ान भरें।) या आप एक सार्वभौमिक और शक्तिशाली विधि का उपयोग करके तुरंत सबसे छोटा रास्ता अपना सकते हैं। यदि आप निश्चित रूप से पहचान परिवर्तनों को जानते हैं।)

सबसे पहले, मैं एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता हूं: इस समीकरण के बारे में आपको सबसे अधिक क्या पसंद है और क्या नापसंद है? 100 में से 99 लोग कहेंगे: अंश!और वे सही होंगे।) तो आइए पहले उनसे छुटकारा पाएं। समीकरण के लिए ही सुरक्षित।) इसलिए, आइए तुरंत शुरू करें दूसरा पहचान परिवर्तन- गुणन से. हमें बाएँ पक्ष को किससे गुणा करना चाहिए ताकि हर सफलतापूर्वक कम हो जाए? यह सही है, एक दो. ए दाहिनी ओर? तीन के लिए! लेकिन...गणित एक मनमौजी महिला है। आप देखिए, उसे केवल दोनों पक्षों को गुणा करने की आवश्यकता है एक ही नंबर के लिए!प्रत्येक भाग को उसकी अपनी संख्या से गुणा करने से काम नहीं चलता... हम क्या करने जा रहे हैं? कुछ... किसी समझौते की तलाश करें। हमारी इच्छाओं को पूरा करने के लिए (भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए) और गणित को अपमानित न करने के लिए। आइए दोनों भागों को छह से गुणा करें!) यानी, समीकरण में शामिल सभी भिन्नों के उभयनिष्ठ हर से। फिर एक ही झटके में दो और तीन दोनों कम हो जायेंगे!)

तो चलिए गुणा करें. पूरा बायां हिस्सा और पूरा दायां हिस्सा! इसलिए, हम कोष्ठक का उपयोग करते हैं। यह प्रक्रिया स्वयं इस प्रकार दिखती है:

अब हम इन्हीं कोष्ठकों को खोलते हैं:

अब, 6 को 6/1 के रूप में दर्शाते हुए, आइए बाएँ और दाएँ प्रत्येक भिन्न से छह को गुणा करें। यह भिन्नों का सामान्य गुणन है, लेकिन ऐसा ही हो, मैं इसका विस्तार से वर्णन करूंगा:

और यहाँ - ध्यान! मैंने अंश (x-3) को कोष्ठक में रखा है! यह सब इसलिए है क्योंकि भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को पूर्णतः, पूर्णतः गुणा किया जाता है! और x-3 अभिव्यक्ति को एक अभिन्न संरचना के रूप में काम करना चाहिए। लेकिन यदि आप अंश को इस प्रकार लिखते हैं:

6x – 3,

लेकिन हमारे पास सब कुछ ठीक है और हमें इसे अंतिम रूप देने की जरूरत है।' आगे क्या करना है? बाईं ओर अंश में कोष्ठक खोलें? किसी भी मामले में नहीं! आपने और मैंने भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए दोनों पक्षों को 6 से गुणा किया, और कोष्ठक खोलने की चिंता नहीं की। इस स्तर पर हमें जरूरत है हमारे अंशों को कम करें.गहरी संतुष्टि की भावना के साथ, हम सभी हरों को घटाते हैं और एक पंक्ति में बिना किसी भिन्न के एक समीकरण प्राप्त करते हैं:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

और अब शेष कोष्ठक खोले जा सकते हैं:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

समीकरण बेहतर से बेहतर होता जा रहा है! आइए अब पहले समान परिवर्तन के बारे में फिर से याद करें। सीधे चेहरे के साथ हम जूनियर कक्षाओं का मंत्र दोहराते हैं: X के साथ - बाईं ओर, बिना X के - दाईं ओर. और इस परिवर्तन को लागू करें:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

हम बाईं ओर समान प्रस्तुत करते हैं और दाईं ओर गिनती करते हैं:

13x = 39

दोनों भागों को 13 से विभाजित करना बाकी है। यानी दूसरा परिवर्तन फिर से लागू करें। हम विभाजित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

एक्स = 3

काम पूरा हो गया. जैसा कि आप देख सकते हैं, इस समीकरण में हमें पहले परिवर्तन (शब्दों को स्थानांतरित करना) को एक बार और दूसरे को दो बार लागू करना था: समाधान की शुरुआत में हमने भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए गुणन (6 से) का उपयोग किया था, और अंत में एक्स के सामने गुणांक से छुटकारा पाने के लिए हमने समाधान का विभाजन (13 से) का उपयोग किया। और किसी भी (हाँ, किसी भी!) रैखिक समीकरण के समाधान में एक अनुक्रम या किसी अन्य में इन्हीं परिवर्तनों का संयोजन होता है। वास्तव में कहां से शुरू करना है यह विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। कुछ स्थानों पर स्थानांतरण से शुरुआत करना अधिक लाभदायक है, और अन्य स्थानों पर (जैसा कि इस उदाहरण में है) गुणा (या विभाजन) से शुरू करना अधिक लाभदायक है।

हम सरल से जटिल की ओर काम करते हैं। आइए अब पूर्ण क्रूरता पर विचार करें। भिन्नों और कोष्ठकों के समूह के साथ। और मैं तुम्हें बताऊंगा कि कैसे अपने आप पर अधिक दबाव न डालें।)

उदाहरण के लिए, यहाँ समीकरण है:

हम एक मिनट के लिए समीकरण को देखते हैं, भयभीत हो जाते हैं, लेकिन फिर भी खुद को संभाल लेते हैं! मुख्य समस्या यह है कि शुरुआत कहां से करें? आप दाहिनी ओर भिन्न जोड़ सकते हैं. आप कोष्ठकों में भिन्नों को घटा सकते हैं. आप दोनों भागों को किसी चीज़ से गुणा कर सकते हैं। या विभाजित करें... तो अब भी क्या संभव है? उत्तर: सब कुछ संभव है! गणित सूचीबद्ध किसी भी क्रिया को प्रतिबंधित नहीं करता है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कार्यों और परिवर्तनों का कौन सा क्रम चुनते हैं, उत्तर हमेशा एक ही होगा - सही। जब तक, निश्चित रूप से, किसी कदम पर आप अपने परिवर्तनों की पहचान का उल्लंघन नहीं करते हैं और, इस प्रकार, त्रुटियाँ पैदा करते हैं...

और, गलतियाँ न करने के लिए, इस जैसे परिष्कृत उदाहरणों में, इसकी उपस्थिति का मूल्यांकन करना और अपने दिमाग में यह पता लगाना हमेशा सबसे उपयोगी होता है: उदाहरण में क्या किया जा सकता है ताकि अधिकतमइसे एक चरण में सरल बनाएं?

तो चलिए इसका पता लगाते हैं। बाईं ओर हर में छक्के हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं उन्हें पसंद नहीं करता, और उन्हें हटाना बहुत आसान है। मुझे समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने दीजिए! फिर बाईं ओर के छक्कों को सफलतापूर्वक कम कर दिया जाएगा, कोष्ठक में अंश अभी तक कहीं नहीं जाएंगे। ख़ैर, यह ठीक है। हम उनसे थोड़ी देर बाद निपटेंगे।) लेकिन दाईं ओर, हमारे पास हर 2 और 3 रद्द हो रहे हैं (6 से गुणा करके) हम एक चरण में अधिकतम सरलीकरण प्राप्त करते हैं!

गुणा करने के बाद हमारा पूरा दुष्ट समीकरण इस प्रकार बन जाता है:

यदि आप ठीक से नहीं समझ पा रहे हैं कि यह समीकरण कैसे बना, तो आपने पिछले उदाहरण के विश्लेषण को अच्छी तरह से नहीं समझा है। और मैंने कोशिश की, वैसे...

तो चलिए खुलासा करते हैं:

अब सबसे तार्किक कदम बाईं ओर के भिन्नों को अलग करना और दाईं ओर 5x भेजना होगा। साथ ही, हम दाहिनी ओर समान प्रस्तुत करेंगे। हम पाते हैं:

पहले से काफी बेहतर. अब बायीं ओर ने खुद को गुणा-भाग के लिए तैयार कर लिया है. हमें बाएँ पक्ष को किससे गुणा करना चाहिए ताकि पाँच और चार दोनों एक साथ कम हो जाएँ? 20 को! लेकिन समीकरण के दोनों पक्षों में हमें नुकसान भी है। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 20 से नहीं, बल्कि -20 से गुणा करना सबसे सुविधाजनक होगा। फिर एक ही झटके में ऋण और भिन्न दोनों गायब हो जायेंगे।

तो हम गुणा करते हैं:

जो कोई भी अभी भी इस चरण को नहीं समझता है उसका मतलब है कि समस्या समीकरणों में नहीं है। समस्याएँ बुनियादी बातों में हैं! आइए फिर से याद करें सुनहरा नियमकोष्ठक खोलना:

यदि किसी संख्या को कोष्ठक में किसी अभिव्यक्ति से गुणा किया जाता है, तो इस संख्या को क्रमिक रूप से इसी अभिव्यक्ति के प्रत्येक पद से गुणा किया जाना चाहिए। इसके अलावा, यदि संख्या धनात्मक है, तो विस्तार के बाद भावों के चिह्न सुरक्षित रहते हैं। यदि नकारात्मक है, तो विपरीत में बदलें:

ए(बी+सी) = एबी+एसी

-ए(बी+सी) = -एबी-एसी

दोनों पक्षों को -20 से गुणा करने के बाद हमारा विपक्ष गायब हो गया। और अब हम बायीं ओर भिन्नों वाले कोष्ठकों को पूर्णांक से गुणा करते हैं सकारात्मक संख्या 20. इसलिये जब इन कोष्ठकों को खोला जाता है, तो उनके अन्दर जो चिन्ह थे वे सब सुरक्षित रहते हैं। लेकिन भिन्नों के अंशों में कोष्ठक कहाँ से आते हैं, मैं पहले ही पिछले उदाहरण में विस्तार से बता चुका हूँ।

अब आप भिन्नों को कम कर सकते हैं:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

शेष कोष्ठक खोलें. फिर, हम इसे सही ढंग से प्रकट करते हैं। पहले कोष्ठक को धनात्मक संख्या 4 से गुणा किया जाता है और इसलिए, जब उन्हें खोला जाता है तो सभी चिह्न संरक्षित रहते हैं। लेकिन दूसरे कोष्ठक से गुणा किया जाता है नकारात्मकसंख्या -5 है और इसलिए, सभी चिह्न उलटे हैं:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

बस छोटी-छोटी बातें ही बची हैं. बाईं ओर X के साथ, दाईं ओर X के बिना:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

लगभग इतना ही. बाईं ओर आपको शुद्ध X की आवश्यकता है, लेकिन संख्या -35 रास्ते में है। इसलिए हम दोनों पक्षों को (-35) से विभाजित करते हैं। मैं आपको याद दिला दूं कि दूसरा पहचान परिवर्तन हमें दोनों पक्षों को गुणा और विभाजित करने की अनुमति देता है जो कुछ भीसंख्या। नकारात्मक सहित।) जब तक यह शून्य न हो! बेझिझक विभाजित करें और उत्तर प्राप्त करें:

एक्स = 2/35

इस बार एक्स भिन्नात्मक निकला। कोई बात नहीं। ऐसा उदाहरण.)

जैसा कि हम देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों (यहां तक ​​कि सबसे जटिल वाले) को हल करने का सिद्धांत काफी सरल है: हम मूल समीकरण लेते हैं और, समान परिवर्तनों का उपयोग करके, उत्तर प्राप्त होने तक इसे क्रमिक रूप से सरल बनाते हैं। बेशक, बुनियादी बातों के साथ! यहां मुख्य समस्याएं बुनियादी बातों का पालन करने में विफलता हैं (उदाहरण के लिए, कोष्ठक के सामने एक शून्य है, और वे विस्तार करते समय संकेतों को बदलना भूल गए), साथ ही साथ सामान्य अंकगणित में भी। इसलिए बुनियादी बातों की उपेक्षा न करें! वे अन्य सभी गणित की नींव हैं!

रैखिक समीकरणों को हल करते समय करने योग्य कुछ मज़ेदार चीज़ें। या विशेष अवसर.

सब कुछ ठीक हो जायेगा. हालाँकि... रैखिक समीकरणों के बीच ऐसे मज़ेदार मोती भी हैं जिन्हें हल करने की प्रक्रिया में आप एक मजबूत स्तब्धता में पड़ सकते हैं। यहां तक ​​कि एक उत्कृष्ट छात्र भी।)

उदाहरण के लिए, यहां एक अहानिकर दिखने वाला समीकरण है:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

व्यापक रूप से जम्हाई लेते हुए और थोड़ा ऊबते हुए, हम बाईं ओर सभी एक्स और दाईं ओर सभी संख्याएँ एकत्र करते हैं:

7x-4x-3x = 5-2-3

हम ऐसे ही प्रस्तुत करते हैं, गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

0 = 0

इतना ही! मैंने एक तरकीब का उदाहरण दिया! यह समानता अपने आप में कोई आपत्ति नहीं उठाती: शून्य वास्तव में शून्य के बराबर है। लेकिन एक्स गायब है! एक का पता लगाए बिना! और हमें उत्तर में लिखना होगा, x किसके बराबर है. अन्यथा, निर्णय मायने नहीं रखता, हाँ।) क्या करें?

घबड़ाएं नहीं! ऐसे गैर-मानक मामलों में, सबसे अधिक सामान्य अवधारणाएँऔर गणित के सिद्धांत. एक समीकरण क्या है? समीकरण कैसे हल करें? किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है?

किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है खोजना सभीवेरिएबल x का मान, जिसे, जब प्रतिस्थापित किया जाता है मूलसमीकरण हमें सही समानता (पहचान) देगा!

लेकिन हमारे पास सच्ची समानता है यह पहले ही हो चुका है! 0=0, या बल्कि, कहीं नहीं!) हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि किस एक्स पर हमें यह समानता मिलती है। किस प्रकार के X को प्रतिस्थापित किया जा सकता है? मूलसमीकरण यदि, प्रतिस्थापन पर, वे सभी क्या वे अब भी शून्य हो जायेंगे?क्या आपने अभी तक इसका पता नहीं लगाया है?

अवश्य! X को प्रतिस्थापित किया जा सकता है कोई!!! बिल्कुल कोई भी. जो चाहो जमा करो. कम से कम 1, कम से कम -23, कम से कम 2.7 - जो भी हो! वे फिर भी कम हो जायेंगे और परिणामस्वरूप, शुद्ध सत्य बना रहेगा। इसे आज़माएं, इसे प्रतिस्थापित करें और स्वयं देखें।)

यहाँ आपका उत्तर है:

x - कोई भी संख्या.

में वैज्ञानिक रिकार्डयह समानता इस प्रकार लिखी गई है:

यह प्रविष्टि इस प्रकार है: "X कोई वास्तविक संख्या है।"

या किसी अन्य रूप में, अंतराल पर:

इसे उस तरीके से डिज़ाइन करें जो आपको सबसे अच्छा लगे। यह एक सही और पूर्ण उत्तर है!

अब मैं हमारे मूल समीकरण में केवल एक संख्या बदलने जा रहा हूँ। आइए अब इस समीकरण को हल करें:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

फिर से हम शर्तों को स्थानांतरित करते हैं, गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

और आप इस मजाक के बारे में क्या सोचते हैं? एक साधारण रैखिक समीकरण था, लेकिन यह एक समझ से बाहर समानता बन गया

0 = 1…

वैज्ञानिक रूप से कहें तो, हमें मिल गया झूठी समानता.लेकिन रूसी में यह सच नहीं है. बकवास. बकवास।) क्योंकि शून्य किसी भी तरह से एक के बराबर नहीं है!

और अब आइए फिर से पता लगाएं कि मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें किस प्रकार का X मिलेगा सच्ची समानता?कौन सा? लेकिन कोई नहीं! इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा एक्स प्रतिस्थापित करते हैं, सब कुछ अभी भी छोटा हो जाएगा और सब कुछ बकवास बना रहेगा।)

यहाँ उत्तर है: कोई समाधान नहीं.

में गणितीय संकेतनऐसी प्रतिक्रिया इस प्रकार स्वरूपित की जाती है:

इसमें लिखा है: "X खाली सेट से संबंधित है।"

गणित में भी ऐसे उत्तर अक्सर होते हैं: हमेशा किसी भी समीकरण की जड़ें सैद्धांतिक रूप से नहीं होती हैं। कुछ समीकरणों की जड़ें बिल्कुल भी नहीं हो सकती हैं। बिल्कुल भी।

यहाँ दो आश्चर्य हैं. मुझे उम्मीद है कि अब समीकरण से एक्स का अचानक गायब होना आपको हमेशा के लिए भ्रमित नहीं करेगा। यह काफी परिचित है।)

और फिर मैंने एक तार्किक प्रश्न सुना: क्या वे ओजीई या एकीकृत राज्य परीक्षा में होंगे? एकीकृत राज्य परीक्षा अपने आप में एक कार्य है - नहीं। बहुत सरल। लेकिन OGE में या शब्द समस्याओं में - आसानी से! तो अब आइए प्रशिक्षण लें और निर्णय लें:

उत्तर (अव्यवस्था में):-2; -1; कोई संख्या; 2; कोई समाधान नहीं; 7/13.

सब कुछ ठीक हो गया? महान! परीक्षा में आपके पास अच्छा मौका है.

क्या कुछ नहीं जुड़ता? हम्म... उदासी, बिल्कुल। इसका मतलब है कि अभी भी कहीं न कहीं कमियां हैं. या तो बुनियादी बातों में या समान परिवर्तनों में। या यह महज़ साधारण असावधानी का मामला है। पाठ को दोबारा पढ़ें. क्योंकि यह ऐसा विषय नहीं है जिसे गणित में इतनी आसानी से छोड़ा जा सके...

आपको कामयाबी मिले! वह निश्चित रूप से आप पर मुस्कुराएगी, मेरा विश्वास करो!)