विवेचक का उपयोग करके अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें। द्विघात समीकरण, इसके प्रकार

"द्विघात समीकरण" शब्द में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में आवश्यक रूप से एक चर (वही x) वर्ग शामिल होना चाहिए, और तीसरी (या अधिक) घात के लिए xes नहीं होना चाहिए।

कई समीकरणों का हल सटीक रूप से हल करने पर निर्भर करता है द्विघातीय समीकरण.

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि यह एक द्विघात समीकरण है, कोई अन्य समीकरण नहीं।

उदाहरण 1।

आइए हर से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को इससे गुणा करें

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और पदों को X की घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें

अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह समीकरण द्विघात है!

उदाहरण 2.

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालाँकि यह मूल रूप से इसमें था, द्विघात नहीं है!

उदाहरण 3.

आइए हर चीज़ को इससे गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री... हालाँकि, यदि हम प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक सरल द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4.

ऐसा लगता है कि यह वहां है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

देखिए, यह कम हो गया है - और अब यह एक सरल रैखिक समीकरण है!

अब स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन से समीकरण द्विघात हैं और कौन से नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

1. वर्ग;
2. वर्ग;
3. चौकोर नहीं;
4. चौकोर नहीं;
5. चौकोर नहीं;
6. वर्ग;
7. चौकोर नहीं;
8. वर्ग।

गणितज्ञ परंपरागत रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्नलिखित प्रकारों में विभाजित करते हैं:

• पूर्ण द्विघात समीकरण- ऐसे समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (जैसा कि उदाहरण में है)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरण भी मौजूद हैं दिया गया- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)

• अपूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  वे अपूर्ण हैं क्योंकि उनमें कुछ तत्वों की कमी है। लेकिन समीकरण में हमेशा x का वर्ग होना चाहिए!!! अन्यथा, यह अब द्विघात समीकरण नहीं, बल्कि कोई अन्य समीकरण होगा।

वे ऐसा विभाजन क्यों लेकर आये? ऐसा प्रतीत होता है कि कोई X वर्ग है, और ठीक है। यह विभाजन समाधान विधियों द्वारा निर्धारित होता है। आइए उनमें से प्रत्येक को अधिक विस्तार से देखें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान केंद्रित करें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण के प्रकार हैं:

1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
2. , इस समीकरण में मुक्त पद बराबर है।
3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं. क्योंकि हम निकालना जानते हैं वर्गमूल, तो आइए इस समीकरण से व्यक्त करें

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

और यदि, तो हमें दो जड़ें मिलती हैं। इन सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। मुख्य बात यह है कि आपको जानना चाहिए और हमेशा याद रखना चाहिए कि यह कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बस बायीं और दायीं तरफ से जड़ निकालना बाकी है। आख़िरकार, आपको याद है कि जड़ें कैसे निकाली जाती हैं?

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

ओह! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अर्थात समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनकी कोई जड़ नहीं है, गणितज्ञ एक विशेष चिह्न - (खाली सेट) लेकर आए हैं। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:

इस प्रकार,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं.

उत्तर:

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, ठीक है?)। जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

हम यहां उदाहरणों से दूर रहेंगे।

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि एक पूर्ण द्विघात समीकरण, समीकरण के रूप का एक समीकरण है

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना इनसे थोड़ा अधिक कठिन (थोड़ा सा) है।

याद करना, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी.

अन्य विधियाँ आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन यदि आपको द्विघात समीकरणों में समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस पद्धति का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है; मुख्य बात क्रियाओं के अनुक्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

यदि, तो समीकरण का एक मूल है। विशेष ध्यानचरण लें। विवेचक () हमें समीकरण की जड़ों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण में सूत्र कम हो जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• यदि, तो हम कदम-कदम पर विभेदक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब है कि समीकरण की दो जड़ें हैं।

चरण 3।

उत्तर:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में प्रस्तुत किया गया है, इसलिए स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक मूल है।

उत्तर:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में प्रस्तुत किया गया है, इसलिए स्टेप 1हम छोड़ देते हैं.

चरण दो।

हम विभेदक पाते हैं:

इसका मतलब है कि हम विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं.

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही ढंग से कैसे लिखा जाए।

उत्तर:कोई जड़ नहीं

2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

यदि आपको याद हो, तो एक प्रकार का समीकरण होता है जिसे घटा हुआ कहा जाता है (जब गुणांक a बराबर हो):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण बराबर होता है और मूलों का गुणनफल बराबर होता है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

इस समीकरण को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग बराबर है, अर्थात हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद इसके बराबर है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• और। राशि बराबर है;
• और। राशि बराबर है;
• और। रकम बराबर है.

और सिस्टम का समाधान हैं:

उत्तर: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

उत्तर:

द्विघातीय समीकरण। औसत स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण उस रूप का समीकरण है, जहां - अज्ञात, - कुछ संख्याएं, और।

संख्या को उच्चतम अथवा कहा जाता है पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, ए - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि यदि समीकरण तुरंत रैखिक हो जाता है, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस स्थिति में, और शून्य के बराबर हो सकता है. इसमें कुर्सी का समीकरण अधूरा बताया गया है. यदि सभी पद यथास्थान हैं, तो समीकरण पूरा हो गया है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों का समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियों को देखें - वे सरल हैं।

हम निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को अलग कर सकते हैं:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

तृतीय. , इस समीकरण में मुक्त पद बराबर है।

आइए अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के समाधान पर नजर डालें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब आप दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी। इसीलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

यदि हमारी दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अर्थात समीकरण

कोई जड़ नहीं.

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि किसी समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

उत्तर:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उत्तर:

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:

यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक समाधान है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

आइए समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें और मूल खोजें:

उत्तर:

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विवेकशील

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के अनुक्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी.

क्या आपने जड़ों के सूत्र में विवेचक से मूल पर ध्यान दिया? लेकिन विवेचक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण की जड़ों की संख्या बताता है।

• यदि, तो समीकरण की जड़ें हैं:
• यदि, तो समीकरण की जड़ें समान हैं, और वास्तव में, एक जड़:

  ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ें कहा जाता है।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

जड़ों की भिन्न संख्या क्यों संभव है? आइये आगे बढ़ते हैं ज्यामितीय बोधद्विघात समीकरण। फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है। इसका मतलब यह है कि द्विघात समीकरण की जड़ें भुज अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। एक परवलय अक्ष को बिल्कुल भी नहीं काट सकता है, या इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित होता है) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि, तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

उत्तर: ।

उत्तर:

इसका मतलब यह है कि कोई समाधान नहीं है.

उत्तर: ।

2. विएटा का प्रमेय

विएटा के प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको बस संख्याओं की एक जोड़ी चुननी होगी जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा के प्रमेय को केवल इसमें ही लागू किया जा सकता है कम द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

इस समीकरण को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद इसके बराबर है:

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल बराबर हो और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• और। राशि बराबर है;
• और। राशि बराबर है;
• और। रकम बराबर है.

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: ; .

उदाहरण #2:

समाधान:

आइए गुणनफल में दी गई संख्याओं के जोड़े का चयन करें, और फिर जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

और: वे कुल मिलाकर देते हैं।

और: वे कुल मिलाकर देते हैं। प्राप्त करने के लिए, यह केवल कथित जड़ों के संकेतों को बदलने के लिए पर्याप्त है: और, आखिरकार, उत्पाद।

उत्तर:

उदाहरण #3:

समाधान:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल है एक ऋणात्मक संख्या. यह तभी संभव है जब एक जड़ नकारात्मक हो और दूसरी सकारात्मक। अतः मूलों का योग बराबर है उनके मॉड्यूल के अंतर.

आइए हम उन संख्याओं के युग्मों का चयन करें जो गुणनफल में आते हैं, और जिनका अंतर इसके बराबर है:

और: उनका अंतर बराबर है - फिट नहीं बैठता;

तथा:-उपयुक्त नहीं;

तथा:-उपयुक्त नहीं;

तथा:- उपयुक्त. बस यह याद रखना बाकी है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, छोटे मापांक वाला मूल ऋणात्मक होना चाहिए:। हम जाँच:

उत्तर:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल नकारात्मक और दूसरा सकारात्मक हो।

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल बराबर हो, और फिर निर्धारित करें कि किन जड़ों पर ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें ही पहली स्थिति के लिए उपयुक्त हैं:

उत्तर:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण दिया गया है, जिसका अर्थ है:

मूलों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक मूल ऋणात्मक है। लेकिन चूंकि उनका उत्पाद सकारात्मक है, इसका मतलब है कि दोनों जड़ों पर ऋण चिह्न है।

आइए संख्याओं के ऐसे जोड़े चुनें जिनका गुणनफल इसके बराबर हो:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

उत्तर:

सहमत हूं, इस घृणित भेदभाव को गिनने के बजाय, मौखिक रूप से जड़ों के बारे में सोचना बहुत सुविधाजनक है। जितनी बार संभव हो विएटा के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए विएटा के प्रमेय की आवश्यकता है। इसके उपयोग से लाभ उठाने के लिए, आपको कार्यों को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें. लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल विएटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों का समाधान:

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम चयन की शुरुआत इस अंश से करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वही है जो आपको चाहिए।

उत्तर: ; .

कार्य 2.

और फिर से हमारा पसंदीदा विएटा प्रमेय: योग बराबर होना चाहिए, और उत्पाद बराबर होना चाहिए।

लेकिन चूंकि यह नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेत बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

उत्तर: ; .

कार्य 3.

हम्म... वह कहाँ है?

आपको सभी शर्तों को एक भाग में ले जाना होगा:

मूलों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

ठीक है, रुको! समीकरण नहीं दिया गया है. लेकिन विएटा का प्रमेय केवल दिए गए समीकरणों में ही लागू होता है। तो सबसे पहले आपको एक समीकरण देना होगा। यदि आप नेतृत्व नहीं कर सकते, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, एक विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण देने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को बराबर बनाना:

महान। तब मूलों का योग और गुणनफल के बराबर होता है।

यहां इसे चुनना नाशपाती के छिलके जितना आसान है: आखिरकार, यह एक अभाज्य संख्या है (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

उत्तर: ; .

कार्य 4.

मुक्त सदस्य नकारात्मक है. इसमें क्या खास है? और सच तो यह है कि जड़ों के अलग-अलग लक्षण होंगे। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल में अंतर की जाँच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन एक उत्पाद है।

तो, जड़ें और के बराबर हैं, लेकिन उनमें से एक शून्य है। विएटा का प्रमेय हमें बताता है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है, अर्थात। इसका मतलब यह है कि छोटी जड़ में माइनस होगा: और, चूंकि।

उत्तर: ; .

कार्य 5.

आपको पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, समीकरण दीजिए:

पुनः: हम संख्या के गुणनखंडों का चयन करते हैं, और उनका अंतर इसके बराबर होना चाहिए:

जड़ें और के बराबर हैं, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि ऋण का मूल बड़ा होगा।

उत्तर: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:

1. विएटा के प्रमेय का उपयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, आप चयन द्वारा, मौखिक रूप से जड़ें पा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या कोई समीकरण नहीं मिला है उपयुक्त जोड़ीमुक्त पद के गुणक, जिसका अर्थ है कि कोई पूर्ण जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, एक विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन सूत्रों से शब्दों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर को प्रतिस्थापित करने के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

में सामान्य रूप से देखेंपरिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या आपको कुछ भी याद नहीं दिलाता? यह भेदभावपूर्ण बात है! ठीक इसी तरह हमें विभेदक सूत्र प्राप्त हुआ।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

द्विघात समीकरण- यह उस रूप का समीकरण है, जहां - अज्ञात, - द्विघात समीकरण के गुणांक, - मुक्त पद।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

कम किया गया द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अपूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर है:

• यदि गुणांक, समीकरण इस प्रकार दिखता है: ,
• यदि कोई मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप इस प्रकार है: ,
• यदि और, तो समीकरण इस प्रकार दिखता है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां, :

1) आइए अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के चिह्न की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां, :

1) आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें: ,

2) यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. प्रपत्र का अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का सदैव एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

2.1. विवेचक का उपयोग कर समाधान

1) आइए समीकरण को मानक रूप में लाएं: ,

2) आइए सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करें:, जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

• यदि, तो समीकरण की जड़ें हैं, जो सूत्र द्वारा पाई जाती हैं:
• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

2.2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (जहां के रूप का समीकरण) की जड़ों का योग बराबर है, और जड़ों का उत्पाद बराबर है, यानी। , एक।

2.3. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि द्वारा समाधान

यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल हों तो उसे इस रूप में लिखा जा सकता है: .

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, कम बजट में कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...

जिन लोगों को प्राप्त हुआ एक अच्छी शिक्षा, उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाएं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिये...

एकीकृत राज्य परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंततः... अधिक खुश रहने के लिए क्या करना होगा?

इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।

परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

आपको चाहिये होगा समय रहते समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या आपके पास समय नहीं होगा।

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साइट के संपूर्ण जीवन के लिए सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच प्रदान की जाती है।

निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत पर मत रुकें।

"समझ गया" और "मैं हल कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है.

समस्याएं ढूंढें और उनका समाधान करें!

कोपयेव्स्काया ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

प्रमुख: पैट्रीकीवा गैलिना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक

गांव कोपेवो, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों की रचना और समाधान कैसे किया

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-खोरज़मी द्वारा द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप XIII - XVII सदियों में द्विघात समीकरण

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, यहां तक ​​​​कि प्राचीन काल में भी, भूमि भूखंडों के क्षेत्रों को खोजने और सैन्य प्रकृति के उत्खनन कार्यों से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। जैसा कि खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ ही हुआ। द्विघात समीकरणों को लगभग 2000 ईसा पूर्व हल किया जा सका था। इ। बेबीलोनियन।

आधुनिक बीजगणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में, अपूर्ण लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं:

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

बेबीलोनियाई ग्रंथों में निर्धारित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनवासी इस नियम तक कैसे पहुंचे। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में दिए गए समाधानों के साथ समस्याएं प्रदान करते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्हें कैसे खोजा गया था।

इसके बावजूद उच्च स्तरबेबीलोन में बीजगणित के विकास के कारण, कीलाकार ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा का अभाव है सामान्य तरीकेद्विघात समीकरणों को हल करना.

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों की रचना और समाधान कैसे किया।

डायोफैंटस के अंकगणित में बीजगणित की एक व्यवस्थित प्रस्तुति शामिल नहीं है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला शामिल है, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों का निर्माण करके हल किया गया है।

समीकरण बनाते समय, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाने के लिए कुशलता से अज्ञात का चयन करता है।

उदाहरण के लिए, यहाँ उनके कार्यों में से एक है।

समस्या 11."दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनका योग 20 है और उनका गुणनफल 96 है"

डायोफैंटस का कारण इस प्रकार है: समस्या की स्थितियों से यह पता चलता है कि आवश्यक संख्याएँ समान नहीं हैं, क्योंकि यदि वे समान होतीं, तो उनका गुणनफल 96 के बराबर नहीं, बल्कि 100 के बराबर होता। इस प्रकार, उनमें से एक इससे अधिक होगा उनकी राशि का आधा, यानी. 10 + एक्स, दूसरा कम है, यानी। 10 का. उनके बीच का अंतर 2x .

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

यहाँ से एक्स = 2. आवश्यक संख्याओं में से एक के बराबर है 12 , अन्य 8 . समाधान एक्स = -2डायोफैंटस मौजूद नहीं है, क्योंकि ग्रीक गणित केवल सकारात्मक संख्याएं जानता था।

यदि हम आवश्यक संख्याओं में से किसी एक को अज्ञात के रूप में चुनकर इस समस्या को हल करते हैं, तो हम समीकरण के समाधान पर पहुंच जाएंगे

वाई(20 - वाई) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

यह स्पष्ट है कि आवश्यक संख्याओं के आधे अंतर को अज्ञात के रूप में चुनकर, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाता है; वह समस्या को अपूर्ण द्विघात समीकरण (1) को हल करने में सक्षम बनाता है।

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरणों पर समस्याएँ भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय ग्रंथ "आर्यभट्टियम" में पहले से ही पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) ने इसकी रूपरेखा प्रस्तुत की सामान्य नियमद्विघात समीकरणों के समाधान को एकल विहित रूप में घटाया गया:

आह 2+ बी एक्स = सी, ए > 0. (1)

समीकरण (1) में, गुणांकों को छोड़कर ए, नकारात्मक भी हो सकता है। ब्रह्मगुप्त का शासन मूलतः हमारे जैसा ही है।

में प्राचीन भारतकठिन समस्याओं को सुलझाने में सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ आम थीं। पुरानी भारतीय पुस्तकों में से एक ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से तारों को ग्रहण कर लेता है, वैसे ही विद्वान व्यक्तिदूसरे की महिमा पर ग्रहण लगा देगा लोगों की सभाएँ, बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव करना और हल करना। समस्याओं को प्रायः काव्यात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

यह 12वीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक है। भास्कर.

समस्या 13.

"खूंखार बंदरों का झुंड, और बेलों के किनारे बारह...

अधिकारियों ने खाना खाकर मौज-मस्ती की। वे कूदने लगे, लटकने लगे...

वे वर्ग में हैं, भाग आठ। वहां कितने बंदर थे?

मैं समाशोधन में आनंद ले रहा था। मुझे बताओ, इस पैक में?

भास्कर का समाधान इंगित करता है कि वह जानता था कि द्विघात समीकरणों की जड़ें दो-मूल्य वाली हैं (चित्र 3)।

समस्या 13 से संबंधित समीकरण है:

( एक्स /8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर इस आड़ में लिखते हैं:

x 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को वर्ग में पूरा करने के लिए, दोनों पक्षों को जोड़ें 32 2 , फिर प्राप्त करना:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(एक्स - 32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 अल-खोरेज़मी में द्विघात समीकरण

अल-खोरज़मी के बीजगणितीय ग्रंथ में रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक ने 6 प्रकार के समीकरण गिनाए हैं और उन्हें इस प्रकार व्यक्त किया है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं," अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

2) "वर्ग संख्याओं के बराबर होते हैं", अर्थात्। कुल्हाड़ी 2 = सी.

3) "मूल संख्या के बराबर होते हैं," अर्थात। आह = एस.

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं," अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्याओं के बराबर होते हैं", अर्थात्। आह 2+ बीएक्स = एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं," अर्थात। बीएक्स + सी = कुल्हाड़ी 2।

अल-खोरज़मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण के पद जोड़ हैं, घटाने योग्य नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक ने अल-जबर और अल-मुकाबला की तकनीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीके निर्धारित किए हैं। निःसंदेह, उनके निर्णय हमारे निर्णयों से पूरी तरह मेल नहीं खाते। यह उल्लेख करने की आवश्यकता नहीं है कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय

अल-खोरेज़मी, 17वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं में यह कोई मायने नहीं रखता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय आंशिक पर अल-खोरज़मी संख्यात्मक उदाहरणसमाधान के लिए नियम और फिर ज्यामितीय प्रमाण प्रस्तुत करता है।

समस्या 14.“वर्ग और संख्या 21, 10 मूलों के बराबर हैं। जड़ खोजें" (समीकरण x 2 + 21 = 10x का मूल दर्शाते हुए)।

लेखक का समाधान कुछ इस प्रकार है: जड़ों की संख्या को आधे में विभाजित करें, आपको 5 मिलता है, 5 को स्वयं से गुणा करें, गुणनफल में से 21 घटाएं, जो बचता है वह 4 है। 4 से मूल निकालें, आपको 2 मिलता है। 5 में से 2 घटाएं। , आपको 3 मिलता है, यह वांछित रूट होगा। अथवा 5 में 2 जोड़ने पर 7 प्राप्त होता है, यह भी एक मूल है।

अल-खोरज़मी का ग्रंथ पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जो व्यवस्थित रूप से द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण निर्धारित करती है और उनके समाधान के लिए सूत्र देती है।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण तेरहवें - XVII बी बी

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी की तर्ज पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले अबेकस की पुस्तक में दिए गए थे, जो 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखी गई थी। यह विशाल कार्य, जो इस्लामी देशों और दोनों पर गणित के प्रभाव को दर्शाता है प्राचीन ग्रीस, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों द्वारा प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। अबेकस की पुस्तक की कई समस्याओं का उपयोग 16वीं - 17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में किया गया था। और आंशिक रूप से XVIII.

द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने का सामान्य नियम:

एक्स 2+ बीएक्स = सी,

गुणांक चिह्नों के सभी संभावित संयोजनों के लिए बी , साथयूरोप में केवल 1544 में एम. स्टिफ़ेल द्वारा तैयार किया गया था।

सामान्य रूप में द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र की व्युत्पत्ति वियत से उपलब्ध है, लेकिन वियत ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी के पहले गणितज्ञों में से थे। सकारात्मक जड़ों के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखा जाता है। केवल 17वीं शताब्दी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि आधुनिक रूप लेती है।

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और उसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला प्रमेय, जिसे विएटा के नाम पर रखा गया है, उनके द्वारा पहली बार 1591 में इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी + डी, से गुणा ए - ए 2 , बराबर है बी.डी, वह एके बराबर होती है मेंऔर बराबर डी ».

विएटा को समझने के लिए हमें यह याद रखना चाहिए ए, किसी भी स्वर अक्षर की तरह, का अर्थ अज्ञात (हमारा) था एक्स), स्वर में, डी- अज्ञात के लिए गुणांक. आधुनिक बीजगणित की भाषा में उपरोक्त विएटा सूत्रीकरण का अर्थ है: यदि है

(ए+ बी )एक्स - एक्स 2 = अब ,

एक्स 2 - (ए + बी )एक्स + ए बी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 = बी .

समीकरणों के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध व्यक्त करना सामान्य सूत्रप्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, वियत का प्रतीकवाद अभी भी दूर है आधुनिक रूप. वह ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी मूल सकारात्मक थे।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। द्विघात समीकरण पाये जाते हैं व्यापक अनुप्रयोगत्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और पारलौकिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (8वीं कक्षा) से लेकर स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

मुझे आशा है कि इस लेख का अध्ययन करने के बाद आप सीखेंगे कि पूर्ण द्विघात समीकरण के मूल कैसे ज्ञात करें।

विवेचक का उपयोग करके, केवल पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है; अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है, जो आपको लेख "अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना" में मिलेगा।

किस द्विघात समीकरण को पूर्ण कहा जाता है? यह ax 2 + b x + c = 0 के रूप के समीकरण, जहां गुणांक ए, बी और सी शून्य के बराबर नहीं हैं। इसलिए, एक पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, हमें विवेचक डी की गणना करने की आवश्यकता है।

डी = बी 2 - 4एसी।

विवेचक के मूल्य के आधार पर, हम उत्तर लिखेंगे।

यदि विवेचक एक ऋणात्मक संख्या है (D< 0),то корней нет.

यदि विवेचक शून्य है, तो x = (-b)/2a. जब विवेचक एक धनात्मक संख्या (D > 0) हो,

तब x 1 = (-b - √D)/2a, और x 2 = (-b + √D)/2a।

उदाहरण के लिए। प्रश्न हल करें एक्स 2– 4x + 4= 0.

डी = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

उत्तर: 2.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + एक्स + 3 = 0.

डी = 1 2 – 4 2 3 = – 23

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + 5x – 7 = 0.

डी = 5 2 – 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

उत्तर:- 3.5; 1.

तो आइए चित्र 1 में दिए गए आरेख का उपयोग करके पूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान की कल्पना करें।

इन सूत्रों का उपयोग करके आप किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। आपको बस सावधान रहने की जरूरत है समीकरण को बहुपद के रूप में लिखा गया था मानक दृश्य

ए एक्स 2 + बीएक्स + सी,अन्यथा आप गलती कर सकते हैं. उदाहरण के लिए, समीकरण x + 3 + 2x 2 = 0 लिखते समय, आप गलती से यह तय कर सकते हैं कि

ए = 1, बी = 3 और सी = 2. फिर

डी = 3 2 – 4 1 2 = 1 और फिर समीकरण के दो मूल हैं। और ये सच नहीं है. (ऊपर उदाहरण 2 का समाधान देखें)।

इसलिए, यदि समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में नहीं लिखा गया है, तो पहले पूर्ण द्विघात समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा जाना चाहिए (सबसे बड़े घातांक वाला एकपदी पहले आना चाहिए, अर्थात) ए एक्स 2 , फिर कम के साथ – बीएक्सऔर फिर एक स्वतंत्र सदस्य साथ।

दूसरे पद में घटे हुए द्विघात समीकरण और सम गुणांक वाले द्विघात समीकरण को हल करते समय, आप अन्य सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। आइये इन सूत्रों से परिचित होते हैं। यदि पूर्ण द्विघात समीकरण में दूसरे पद का गुणांक सम (b = 2k) है, तो आप चित्र 2 में आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल कर सकते हैं।

यदि गुणांक पर हो तो पूर्ण द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है एक्स 2 एक के बराबर है और समीकरण का रूप ले लेता है एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0. ऐसा समीकरण समाधान के लिए दिया जा सकता है, या समीकरण के सभी गुणांकों को गुणांक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है ए, पर खड़ा है एक्स 2 .

चित्र 3 घटे हुए वर्ग को हल करने के लिए एक आरेख दिखाता है
समीकरण. आइए इस आलेख में चर्चा किए गए सूत्रों के अनुप्रयोग का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

3एक्स 2 + 6x – 6 = 0.

आइए चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।

डी = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

उत्तर:-1 – √3; –1 + √3

आप देख सकते हैं कि इस समीकरण में x का गुणांक एक सम संख्या है, अर्थात b = 6 या b = 2k, जहाँ से k = 3. तो आइए आकृति D के आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल करने का प्रयास करें 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(डी 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

उत्तर:-1 – √3; –1 + √3. यह ध्यान में रखते हुए कि इस द्विघात समीकरण में सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं और विभाजन करने पर, हमें लघु द्विघात समीकरण x 2 + 2x – 2 = 0 प्राप्त होता है। लघु द्विघात समीकरण के सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।
समीकरण चित्र 3.

डी 2 = 2 2 – 4 (-2) = 4 + 8 = 12

√(डी 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

उत्तर:-1 – √3; –1 + √3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करने पर, हमें एक ही उत्तर प्राप्त हुआ। इसलिए, चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों में पूरी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप हमेशा किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे।

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में आधुनिक समाजचर वर्ग वाले समीकरणों के साथ संचालन करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और वैज्ञानिक और तकनीकी विकास में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसका प्रमाण समुद्र और नदी के जहाजों, विमानों और मिसाइलों के डिजाइन में पाया जा सकता है। ऐसी गणनाओं का उपयोग करते हुए, सबसे अधिक गति के प्रक्षेप पथ अलग-अलग शरीर, जिसमें अंतरिक्ष वस्तुएं भी शामिल हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान वाले उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान, इमारतों के डिजाइन और निर्माण में किया जाता है, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। लंबी पैदल यात्रा यात्राओं पर, खेल आयोजनों में, दुकानों में खरीदारी करते समय और अन्य बहुत सामान्य स्थितियों में उनकी आवश्यकता हो सकती है।

आइए अभिव्यक्ति को उसके घटक कारकों में विभाजित करें

किसी समीकरण की डिग्री अभिव्यक्ति में शामिल चर की डिग्री के अधिकतम मान से निर्धारित होती है। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को द्विघात कहा जाता है।

यदि हम सूत्रों की भाषा में कहें तो संकेतित भाव, चाहे वे कैसे भी दिखें, हमेशा उसी रूप में लाये जा सकते हैं जब बाईं तरफअभिव्यक्ति में तीन पद होते हैं। उनमें से: ax 2 (अर्थात, इसके गुणांक के साथ एक चर का वर्ग), bx (इसके गुणांक के साथ एक वर्ग के बिना एक अज्ञात) और c (एक मुक्त घटक, अर्थात, एक साधारण संख्या)। दाहिनी ओर यह सब 0 के बराबर है। ऐसे मामले में जब ऐसे बहुपद में ax 2 के अपवाद के साथ इसके घटक पदों में से एक का अभाव होता है, तो इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान वाले उदाहरणों पर पहले विचार किया जाना चाहिए, जिनमें चर के मान खोजना आसान है।

यदि अभिव्यक्ति ऐसी दिखती है जैसे इसके दाईं ओर दो पद हैं, अधिक सटीक रूप से ax 2 और bx, तो x को खोजने का सबसे आसान तरीका चर को कोष्ठक से बाहर रखना है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x(ax+b). इसके बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x=0, या समस्या निम्नलिखित अभिव्यक्ति से एक चर खोजने पर आती है: ax+b=0। यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित होता है। नियम कहता है कि दो कारकों का गुणनफल तभी 0 होता है जब उनमें से एक शून्य हो।

उदाहरण

x=0 या 8x - 3 = 0

परिणामस्वरूप, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस प्रकार के समीकरण गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत पिंडों की गति का वर्णन कर सकते हैं, जो निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लिए गए एक निश्चित बिंदु से चलना शुरू करते हैं। यहाँ गणितीय संकेतननिम्नलिखित रूप लेता है: y = v 0 t + gt 2 /2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करके, दाईं ओर को 0 के बराबर करके और संभावित अज्ञात का पता लगाकर, आप उस समय का पता लगा सकते हैं जो शरीर के उठने के क्षण से उसके गिरने के क्षण तक गुजरता है, साथ ही कई अन्य मात्राएँ भी। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे.

एक अभिव्यक्ति का गुणनखंडन

ऊपर वर्णित नियम इन समस्याओं को और अधिक हल करना संभव बनाता है कठिन मामले. आइए इस प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण देखें।

एक्स 2 - 33x + 200 = 0

यह द्विघात त्रिपदतैयार है। सबसे पहले, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें और उसका गुणनखंड करें। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) = 0. परिणामस्वरूप, हमारे पास दो जड़ें 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण इस विधि को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के भावों में भी चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. जब दाएँ पक्ष को एक चर वाले कारकों में विभाजित किया जाता है, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात्, (x+1), (x-3) और (x+) 3).

परिणामस्वरूप, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस समीकरण के तीन मूल हैं: -3; -1; 3.

वर्गमूल

अपूर्ण दूसरे क्रम के समीकरण का एक और मामला अक्षरों की भाषा में इस तरह से प्रस्तुत एक अभिव्यक्ति है दाहिना भागइसका निर्माण घटकों ax 2 और c से किया गया है। यहां, चर का मान प्राप्त करने के लिए, मुक्त पद को स्थानांतरित किया जाता है दाहिनी ओर, और उसके बाद समानता के दोनों ओर से वर्गमूल निकाला जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि में इस मामले मेंआमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद वे समानताएँ हो सकती हैं जिनमें कोई भी पद शामिल नहीं होता है, जहाँ चर शून्य के बराबर होता है, साथ ही अभिव्यक्ति के प्रकार भी होते हैं जब दाहिना पक्ष नकारात्मक हो जाता है। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं है, क्योंकि उपरोक्त क्रियाएं जड़ों के साथ नहीं की जा सकतीं। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस स्थिति में, समीकरण की जड़ें संख्याएँ -4 और 4 होंगी।

भूमि क्षेत्र की गणना

इस प्रकार की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई देती थी, क्योंकि उन दूर के समय में गणित का विकास काफी हद तक भूमि भूखंडों के क्षेत्रों और परिधि को सबसे बड़ी सटीकता के साथ निर्धारित करने की आवश्यकता से निर्धारित होता था।

हमें इस प्रकार की समस्याओं के आधार पर द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर भी विचार करना चाहिए।

तो, मान लीजिए कि जमीन का एक आयताकार भूखंड है, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 16 मीटर अधिक है। यदि आप जानते हैं कि साइट का क्षेत्रफल 612 वर्ग मीटर है तो आपको साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि ज्ञात करनी चाहिए।

आरंभ करने के लिए, आइए पहले आवश्यक समीकरण बनाएं। आइए हम क्षेत्र की चौड़ाई को x से निरूपित करें, तो इसकी लंबाई (x+16) होगी। जो लिखा गया है उससे यह पता चलता है कि क्षेत्रफल अभिव्यक्ति x(x+16) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो, हमारी समस्या की शर्तों के अनुसार, 612 है। इसका मतलब है कि x(x+16) = 612.

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना, और यह अभिव्यक्ति बिल्कुल वैसी ही है, उसी तरह से नहीं किया जा सकता है। क्यों? हालाँकि बाईं ओर अभी भी दो कारक हैं, उनका उत्पाद बिल्कुल भी 0 के बराबर नहीं है, इसलिए यहां विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है।

विभेदक

सबसे पहले, आइए आवश्यक परिवर्तन करें उपस्थितियह अभिव्यक्ति इस तरह दिखेगी: x 2 + 16x - 612 = 0. इसका मतलब है कि हमें पहले निर्दिष्ट मानक के अनुरूप एक अभिव्यक्ति प्राप्त हुई है, जहां a=1, b=16, c=-612.

यह विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहाँ आवश्यक गणनायोजना के अनुसार निर्मित होते हैं: D = b 2 - 4ac। यह सहायक मात्रा न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक मात्राएँ खोजना संभव बनाती है, बल्कि मात्रा निर्धारित करती है संभावित विकल्प. यदि D>0, तो उनमें से दो हैं; D=0 के लिए एक मूल है। मामले में डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विवेचक इसके बराबर है: 256 - 4(-612) = 2704। इससे पता चलता है कि हमारी समस्या का उत्तर है। यदि आप k जानते हैं, तो नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान जारी रखना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 =18, x 2 =-34. इस दुविधा में दूसरा विकल्प कोई समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि भूमि भूखंड के आयामों को ऋणात्मक मात्रा में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि x (अर्थात् भूखंड की चौड़ाई) 18 मीटर है। यहां से हम लंबाई की गणना करते हैं: 18 +16=34, और परिमाप 2(34+ 18)=104(एम2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अपना अध्ययन जारी रखते हैं। उनमें से कई के उदाहरण और विस्तृत समाधान नीचे दिए जाएंगे।

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

आइए सब कुछ समानता के बाईं ओर ले जाएं, एक परिवर्तन करें, यानी, हम समीकरण का प्रकार प्राप्त करेंगे जिसे आमतौर पर मानक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर करें।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोड़ने पर, हम विवेचक निर्धारित करते हैं: डी = 49 - 48 = 1। इसका मतलब है कि हमारे समीकरण की दो जड़ें होंगी। आइए उपरोक्त सूत्र के अनुसार उनकी गणना करें, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 के बराबर होगा, और दूसरा 1 के बराबर होगा।

2) अब आइए एक अलग तरह के रहस्यों को सुलझाएं।

आइए जानें कि क्या यहां x 2 - 4x + 5 = 1 का कोई मूल है? व्यापक उत्तर प्राप्त करने के लिए, आइए बहुपद को संगत सामान्य रूप में घटाएँ और विवेचक की गणना करें। उपरोक्त उदाहरण में, द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह समस्या का सार ही नहीं है। इस मामले में, D = 16 - 20 = -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

विएटा का प्रमेय

उपरोक्त सूत्रों और विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना सुविधाजनक होता है, जब वर्गमूल को बाद वाले के मान से लिया जाता है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता. हालाँकि, इस मामले में चर के मान प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। उसका नाम उस व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16वीं शताब्दी में फ्रांस में रहता था और उसने अपनी गणितीय प्रतिभा और अदालत में संबंधों की बदौलत एक शानदार करियर बनाया। लेख में उनका चित्र देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी ने जिस पैटर्न पर ध्यान दिया वह इस प्रकार था। उन्होंने साबित किया कि समीकरण की जड़ें संख्यात्मक रूप से -p=b/a से जुड़ती हैं, और उनका उत्पाद q=c/a से मेल खाता है।

आइए अब विशिष्ट कार्यों पर नजर डालें।

3x 2 + 21x - 54 = 0

सरलता के लिए, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

x 2 + 7x - 18 = 0

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करें, इससे हमें निम्नलिखित मिलेगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। यहां से हमें पता चलता है कि समीकरण की जड़ें संख्याएं -9 और 2 हैं। जांच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये चर मान वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट बैठते हैं।

परवलय ग्राफ और समीकरण

द्विघात फलन और द्विघात समीकरण की अवधारणाएँ निकटता से संबंधित हैं। इसके उदाहरण पहले ही दिये जा चुके हैं। आइए अब कुछ गणितीय पहेलियों को थोड़ा और विस्तार से देखें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण को दृश्य रूप से दर्शाया जा सकता है। ग्राफ़ के रूप में खींचे गए ऐसे संबंध को परवलय कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे चित्र में प्रस्तुत किये गये हैं।

किसी भी परवलय का एक शीर्ष होता है, अर्थात एक बिंदु जहाँ से उसकी शाखाएँ निकलती हैं। यदि a>0, तो वे अनंत तक ऊपर जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

फ़ंक्शंस का दृश्य निरूपण द्विघात समीकरणों सहित किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करता है। इस विधि को ग्राफिकल कहा जाता है। और x वेरिएबल का मान उन बिंदुओं पर भुज निर्देशांक है जहां ग्राफ़ रेखा 0x के साथ प्रतिच्छेद करती है। शीर्ष के निर्देशांक दिए गए सूत्र x 0 = -b/2a का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। और परिणामी मान को फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके, आप y 0 प्राप्त कर सकते हैं, अर्थात, परवलय के शीर्ष का दूसरा निर्देशांक, जो कोटि अक्ष से संबंधित है।

भुज अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

द्विघात समीकरणों को हल करने के बहुत सारे उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर नजर डालें. यह स्पष्ट है कि a>0 के लिए 0x अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन केवल तभी संभव है जब 0 नकारात्मक मान लेता है। और एक के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

परवलय के ग्राफ से आप मूल भी निर्धारित कर सकते हैं। उल्टा भी सही है। अर्थात्, यदि किसी द्विघात फलन का दृश्य प्रतिनिधित्व प्राप्त करना आसान नहीं है, तो आप अभिव्यक्ति के दाहिने पक्ष को 0 के बराबर कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जानने से ग्राफ़ बनाना आसान हो जाता है।

इतिहास से

वर्ग चर वाले समीकरणों का उपयोग करके, पुराने दिनों में वे न केवल गणितीय गणनाएँ करते थे और ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल भी निर्धारित करते थे। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के साथ-साथ ज्योतिषीय पूर्वानुमान लगाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिकों का सुझाव है, बेबीलोन के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग से चार शताब्दी पहले हुआ था। निःसंदेह, उनकी गणनाएँ वर्तमान में स्वीकृत गणनाओं से मौलिक रूप से भिन्न थीं और बहुत अधिक आदिम निकलीं। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कोई जानकारी नहीं थी। वे अन्य बारीकियों से भी अपरिचित थे जो कोई भी आधुनिक स्कूली बच्चा जानता है।

शायद बेबीलोन के वैज्ञानिकों से भी पहले, भारत के ऋषि बौधायमा ने द्विघात समीकरणों को हल करना शुरू कर दिया था। यह ईसा से लगभग आठ शताब्दी पूर्व हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के जो तरीके उन्होंने दिए, वे सबसे सरल थे। उनके अलावा, पुराने दिनों में चीनी गणितज्ञ भी इसी तरह के सवालों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को 13वीं शताब्दी की शुरुआत में ही हल किया जाना शुरू हुआ, लेकिन बाद में न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों ने अपने कार्यों में उनका उपयोग किया।

द्विघात समीकरण पर विचार करें:
(1) .
द्विघात समीकरण की जड़ें(1) सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं:
; .
इन सूत्रों को इस प्रकार जोड़ा जा सकता है:
.
जब एक द्विघात समीकरण की जड़ें ज्ञात होती हैं, तो दूसरी डिग्री के बहुपद को कारकों (कारक) के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:
.

आगे हम मान लेते हैं कि ये वास्तविक संख्याएँ हैं।
चलो गौर करते हैं द्विघात समीकरण का विभेदक:
.
यदि विवेचक सकारात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं:
; .
तब द्विघात त्रिपद के गुणनखंडन का रूप होता है:
.
यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो गुणज (समान) वास्तविक मूल हैं:
.
गुणनखंडन:
.
यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो जटिल संयुग्मी मूल हैं:
;
.
यहाँ काल्पनिक इकाई है, ;
और जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं:
; .
तब

.

ग्राफिक व्याख्या

यदि आप फ़ंक्शन को प्लॉट करते हैं
,
जो एक परवलय है, तो अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण की जड़ें होंगी
.
पर, ग्राफ़ x-अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
जब, ग्राफ़ एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।
जब, ग्राफ़ x-अक्ष को पार नहीं करता है।

नीचे ऐसे ग्राफ़ के उदाहरण दिए गए हैं।

द्विघात समीकरण से सम्बंधित उपयोगी सूत्र

(एफ.1) ;
(एफ.2) ;
(f.3) .

द्विघात समीकरण के मूलों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

हम परिवर्तन करते हैं और सूत्र (f.1) और (f.3) लागू करते हैं:




,
कहाँ
; .

तो, हमें दूसरी डिग्री के बहुपद का सूत्र इस रूप में मिला:
.
इससे पता चलता है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया गया
और ।
अर्थात्, और द्विघात समीकरण के मूल हैं
.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के उदाहरण

उदाहरण 1

(1.1) .

समाधान

.
हमारे समीकरण (1.1) से तुलना करने पर, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
हम विभेदक पाते हैं:
.
चूँकि विवेचक सकारात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं:
;
;
.

यहां से हमें द्विघात त्रिपद का गुणनखंड प्राप्त होता है:

.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है। यह भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर पार करता है:
और ।
ये बिंदु मूल समीकरण (1.1) की जड़ें हैं।

उत्तर

;
;
.

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(2.1) .

समाधान

आइए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखें:
.
मूल समीकरण (2.1) से तुलना करने पर, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
हम विभेदक पाते हैं:
.
चूँकि विवेचक शून्य है, समीकरण के दो एकाधिक (समान) मूल हैं:
;
.

तब त्रिपद के गुणनखंडन का रूप होता है:
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = x 2 - 4 एक्स + 4एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है। यह एक बिंदु पर x-अक्ष (अक्ष) को स्पर्श करता है:
.
यह बिंदु मूल समीकरण (2.1) का मूल है। क्योंकि इस मूल का दो बार गुणनखंड किया गया है:
,
तो ऐसे मूल को आमतौर पर एकाधिक कहा जाता है। अर्थात्, उनका मानना ​​है कि दो समान जड़ें हैं:
.

उत्तर

;
.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(3.1) .

समाधान

आइए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखें:
(1) .
आइए मूल समीकरण (3.1) को फिर से लिखें:
.
(1) से तुलना करने पर, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
हम विभेदक पाते हैं:
.
विभेदक नकारात्मक है, . इसलिए कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आप जटिल जड़ें पा सकते हैं:
;
;

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है। यह x-अक्ष (अक्ष) को प्रतिच्छेद नहीं करता है। इसलिए कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं. जटिल जड़ें:
;
;
.