घर रोकथाम द्विघात त्रिपद से एक पूर्ण वर्ग। गुणनखंडन बहुपद

द्विघात त्रिपद से एक पूर्ण वर्ग। गुणनखंडन बहुपद

इस पाठ में, हम बहुपद के गुणनखंडन की पहले से अध्ययन की गई सभी विधियों को याद करेंगे और उनके अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करेंगे, इसके अलावा, हम अध्ययन करेंगे नई विधि- एक पूर्ण वर्ग की पहचान करने की विधि और विभिन्न समस्याओं को हल करने में इसे लागू करना सीखें।

विषय:गुणनखंडन बहुपद

पाठ:गुणनखंडन बहुपद. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि. विधियों का संयोजन

आइए बहुपद के गुणनखंडन की उन बुनियादी विधियों को याद करें जिनका पहले अध्ययन किया गया था:

किसी उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने की विधि, अर्थात वह गुणनखंड जो बहुपद के सभी पदों में मौजूद हो। आइए एक उदाहरण देखें:

याद रखें कि एकपदी घातों और संख्याओं का गुणनफल है। हमारे उदाहरण में, दोनों शब्दों में कुछ सामान्य, समान तत्व हैं।

तो, आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

;

हम आपको याद दिला दें कि निकाले गए गुणनखंड को कोष्ठक से गुणा करके आप निकाले गए गुणनखंड की शुद्धता की जांच कर सकते हैं।

समूहीकरण विधि. बहुपद में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, आपको इसके सदस्यों को समूहों में इस तरह से विभाजित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक समूह में आप एक सामान्य कारक निकाल सकें और उसे तोड़ने का प्रयास कर सकें ताकि समूहों में से कारकों को निकालने के बाद, एक सामान्य कारक दिखाई दे। संपूर्ण अभिव्यक्ति, और आप अपघटन जारी रख सकते हैं। आइए एक उदाहरण देखें:

आइए पहले पद को चौथे के साथ, दूसरे को पांचवें के साथ और तीसरे को छठे के साथ समूहित करें:

आइए समूहों में सामान्य कारकों को निकालें:

अभिव्यक्ति में अब एक सामान्य कारक है। आइए इसे बाहर निकालें:

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग. आइए एक उदाहरण देखें:

;

आइए अभिव्यक्ति को विस्तार से लिखें:

जाहिर है, हमारे सामने वर्ग अंतर का सूत्र है, क्योंकि यह दो भावों के वर्गों का योग है और इसमें से उनका दोहरा गुणनफल घटाया जाता है। आइए सूत्र का उपयोग करें:

आज हम एक और विधि सीखेंगे - एक पूर्ण वर्ग चुनने की विधि। यह योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्र पर आधारित है। आइए उन्हें याद दिलाएं:

योग (अंतर) के वर्ग का सूत्र;

इन सूत्रों की विशेषता यह है कि इनमें दो भावों के वर्ग और उनका दोहरा गुणनफल होता है। आइए एक उदाहरण देखें:

आइए अभिव्यक्ति लिखें:

तो, पहली अभिव्यक्ति है, और दूसरी है।

किसी योग या अंतर के वर्ग का सूत्र बनाने के लिए, व्यंजकों के गुणनफल का दोगुना पर्याप्त नहीं है। इसे जोड़ने और घटाने की आवश्यकता है:

आइए योग का वर्ग पूरा करें:

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

आइए वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू करें, याद रखें कि दो अभिव्यक्तियों के वर्गों का अंतर उनके अंतर का गुणनफल और योग है:

इसलिए, यह विधिसबसे पहले, अभिव्यक्ति ए और बी की पहचान करना आवश्यक है जो वर्ग हैं, यानी, यह निर्धारित करने के लिए कि इस उदाहरण में कौन से अभिव्यक्ति वर्ग हैं। इसके बाद, आपको दोहरे उत्पाद की उपस्थिति की जांच करनी होगी और यदि यह नहीं है, तो इसे जोड़ें और घटाएं, इससे उदाहरण का अर्थ नहीं बदलेगा, लेकिन बहुपद को वर्ग के सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। यदि संभव हो तो वर्गों का योग या अंतर और अंतर।

आइए उदाहरणों को हल करने की ओर आगे बढ़ें।

उदाहरण 1 - गुणनखंडन:

आइए ऐसे व्यंजक खोजें जो वर्गांकित हों:

आइए लिखें कि उनका दोहरा उत्पाद क्या होना चाहिए:

आइए उत्पाद को दोगुना जोड़ें और घटाएं:

आइए योग का वर्ग पूरा करें और समान योग दें:

आइए इसे वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके लिखें:

उदाहरण 2 - समीकरण हल करें:

;

समीकरण के बायीं ओर एक त्रिपद है। आपको इसे कारकों में शामिल करने की आवश्यकता है। हम वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास पहली अभिव्यक्ति का वर्ग और दोहरा उत्पाद है, दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग गायब है, आइए इसे जोड़ें और घटाएं:

आइए एक पूर्ण वर्ग को मोड़ें और समान पद दें:

आइए वर्गों के अंतर का सूत्र लागू करें:

तो हमारे पास समीकरण है

हम जानते हैं कि कोई उत्पाद शून्य के बराबर तभी होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो। आइए इसके आधार पर निम्नलिखित समीकरण बनाएं:

आइए पहला समीकरण हल करें:

आइए दूसरा समीकरण हल करें:

उत्तर: या

;

हम पिछले उदाहरण की तरह ही आगे बढ़ते हैं - अंतर का वर्ग चुनें।

एक्स को बुलाया गया

1.2.3. संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाओं का उपयोग करना

उदाहरण। फ़ैक्टर x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4।

1.2.4. एक बहुपद का गुणनखंड उसकी जड़ों का उपयोग करके करना

प्रमेय. माना बहुपद P x का मूल x 1 है। फिर इस बहुपद को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: P x x x 1 S x, जहां S x कुछ बहुपद है जिसकी डिग्री एक कम है

P x के लिए अभिव्यक्ति में वैकल्पिक रूप से मान। हम प्राप्त करते हैं कि जब x 2 आप-

अभिव्यक्ति 0 में बदल जाएगी, अर्थात, P 2 0, जिसका अर्थ है कि x 2 एक बहु का मूल है-

सदस्य। बहुपद P x को x 2 से विभाजित करें।

एक्स 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 एक्स

x2 x12

12x 2412x 24

पी एक्स एक्स 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. एक पूर्ण वर्ग का चयन करना

एक पूर्ण वर्ग का चयन करने की विधि सूत्रों के उपयोग पर आधारित है: a 2 2ab b 2 a b 2, a 2 2ab b 2 a b 2।

एक पूर्ण वर्ग को अलग करना एक पहचान परिवर्तन है जिसमें एक दिए गए त्रिपद को द्विपद के वर्ग के योग या अंतर और कुछ संख्यात्मक या वर्णमाला अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जाता है।

एक चर के संबंध में एक वर्ग त्रिपद रूप की अभिव्यक्ति देता है

ax 2 bx c , जहां a , b और c दिए गए नंबर हैं और a 0 ।

आइए हम द्विघात त्रिपद ax 2 bx c को निम्नानुसार रूपांतरित करें।

x2:

गुणक

फिर हम अभिव्यक्ति b x को 2b x (गुणनफल का दोगुना) के रूप में निरूपित करते हैं

एक्स ):ए एक्स

कोष्ठक में दिए गए व्यंजक में हम संख्या जोड़ते और घटाते हैं

जो एक संख्या का वर्ग है

परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

अब ध्यान आ रहा है कि

हम पाते हैं

4ए 2

उदाहरण। एक पूर्ण वर्ग चुनें.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 ए 2,

1.4. अनेक चर वाले बहुपद

कई चर वाले बहुपद, जैसे एक चर वाले बहुपद, को जोड़ा, गुणा किया जा सकता है और एक प्राकृतिक घात तक बढ़ाया जा सकता है।

कई चर वाले बहुपद का एक महत्वपूर्ण पहचान परिवर्तन गुणनखंडन है। यहां, गुणनखंडन की ऐसी विधियों का उपयोग किया जाता है जैसे सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना, समूह बनाना, संक्षिप्त गुणन पहचान का उपयोग करना, एक पूर्ण वर्ग को अलग करना और सहायक चर पेश करना।

1. बहुपद P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 का गुणनखंड करें।

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. गुणनखंड P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . आइए समूहीकरण विधि लागू करें

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. गुणनखंड P x ,y x 4 4y 4 . आइए एक पूर्ण वर्ग चुनें:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. किसी भी तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुण

किसी भी तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. ए आर 1ए आर 2ए आर 1आर 2,

ए आर 1ए आर 2ए आर 1आर 2,

3. ए आर 1आर 2 ए आर 1आर 2,

4.एबीआर 1 एआर 1 बीआर 1,

एक आर 1

एआर 1

ब्र 1

जहाँ a 0;b 0;r 1;r 2 मनमानी परिमेय संख्याएँ हैं।

1. गुणा 8

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. गुणनखंड करना

एक 2x 3

1.6. स्वयं करने योग्य व्यायाम

1. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके क्रियाएँ करें। 1)एक 52 ;

2) 3 ए 72 ;

3) ए नायब एन2 .

4) 1 x 3 ;

3 य 3 ;

7) 8 ए 2 8ए 2 ;

8) ए एनबी का केबी ना एनबी का केबी एन।

9) ए 2 बी ए2 2 एबी4 बी2 ;

10) ए 3ए 2 3ए 9 ;

11) ए 2बी 2ए 4ए 2बी 2बी 4.3

2. संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गणना करें:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. पहचान सिद्ध करें:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) ए 2बी 2 2 2 एबी 2 ए 2बी 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2।

4. निम्नलिखित बहुपदों का गुणनखंड करें:

1) 3 एक्स ए2 ए2;

2) एसी 7 बीसी3 ए21 बी;

3) 63 मीटर 4एन 327 मीटर 3एन 445 मीटर 5एन 7;

4) 5 बी2 सी3 2 बीसी2 के2 के2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 एएक्स38 बीएक्स12 ए19 बी;

7) 25 ए ​​21 बी 2क्यू 2;

8) 9 5 ए 4बी 2 64ए 2 ;

9) 121 एन 2 3एन 2टी 2 ;

10) 4 टी 2 20टीएन 25एन 2 36;

11) पी 4 6 पी2 के9 के2 ;

12) 16 पी 3 क्यू 8 72पी 4 क्यू 7 81पी 5 क्यू 6;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 कुल्हाड़ी 3 45 कुल्हाड़ी 2 45 कुल्हाड़ी 15 ए ;

15) 9 ए 3 एन 1 4.5 ए 2 एन 1 ;

16) 5 पी 2 एन क्यू एन 15पी 5 एन क्यू 2 एन ;

17) 4 ए 7बी 232 ए 4बी 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 टी 3 27टी 6 .

5. सबसे सरल तरीके से गणना करें:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. एक बहुपद का भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिएबहुपद द्वारा P xQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) पी एक्स 2 एक्स 2; क्यू एक्स एक्स3 2 एक्स2 एक्स; 3) पी एक्स एक्स 6 1; क्यू एक्स एक्स4 4 एक्स2।

7. सिद्ध कीजिए कि बहुपद x 2 2x 2 का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

8. बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए:

1) एक्स 3 4 एक्स;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. कारक:

1) 6 ए 2 ए 5 5ए 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. एक पूरा वर्ग अलग करके समीकरण हल करें:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. भावों के अर्थ खोजें:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. गणना करें:

16 0,25

16 0,25

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, अभिन्न कलन में भिन्न को एकीकृत करने के लिए कोई सुविधाजनक सूत्र नहीं है। और इसलिए, एक दुखद प्रवृत्ति है: अंश जितना अधिक परिष्कृत होगा, उसके अभिन्न को खोजना उतना ही कठिन होगा। इस सिलसिले में आपको कई तरकीबों का सहारा लेना होगा, जिनके बारे में अब मैं आपको बताऊंगा। तैयार पाठक तुरंत लाभ उठा सकते हैं विषयसूची:

  • सरल भिन्नों के लिए विभेदक चिह्न को सम्मिलित करने की विधि

कृत्रिम अंश रूपांतरण विधि

उदाहरण 1

वैसे, विचारित समाकलन को परिवर्तनीय विधि, निरूपित करके भी हल किया जा सकता है, लेकिन समाधान लिखने में अधिक समय लगेगा।

उदाहरण 2

खोजो अनिश्चितकालीन अभिन्न. जाँच करें.

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि अब यहां काम नहीं करेगी।

ध्यान दें, महत्वपूर्ण! उदाहरण संख्या 1, 2 विशिष्ट हैं और अक्सर घटित होते हैं. विशेष रूप से, ऐसे अभिन्न अंग अक्सर अन्य अभिन्नों के समाधान के दौरान उत्पन्न होते हैं, विशेष रूप से, जब अपरिमेय कार्यों (मूलों) को एकीकृत करते हैं।

विचाराधीन तकनीक भी मामले में काम करती है यदि अंश की उच्चतम डिग्री हर की उच्चतम डिग्री से अधिक है.

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. जाँच करें.

हम अंश का चयन करना शुरू करते हैं।

अंश का चयन करने के लिए एल्गोरिदम कुछ इस प्रकार है:

1) अंश में मुझे व्यवस्थित करने की आवश्यकता है, लेकिन वहां। क्या करें? मैंने इसे कोष्ठक में रखा और इससे गुणा किया:।

2) अब मैं इन कोष्ठकों को खोलने का प्रयास करता हूँ, क्या होता है? . हम्म... यह बेहतर है, लेकिन प्रारंभ में अंश में कोई दो नहीं है। क्या करें? आपको इससे गुणा करना होगा:

3) मैं कोष्ठक फिर से खोलता हूं: . और यहाँ पहली सफलता है! यह बिल्कुल सही निकला! लेकिन समस्या यह है कि एक अतिरिक्त शब्द सामने आ गया है. क्या करें? अभिव्यक्ति को बदलने से रोकने के लिए, मुझे इसे अपने निर्माण में जोड़ना होगा:
. जिंदगी आसान हो गई है. क्या अंश में पुनः व्यवस्थित करना संभव है?

4) यह संभव है. आओ कोशिश करते हैं: . दूसरे पद के कोष्ठक खोलें:
. क्षमा करें, लेकिन पिछले चरण में मेरे पास वास्तव में नहीं था। क्या करें? आपको दूसरे पद को इससे गुणा करना होगा:

5) फिर से, जाँच करने के लिए, मैं दूसरे पद में कोष्ठक खोलता हूँ:
. अब यह सामान्य है: बिंदु 3 के अंतिम निर्माण से प्राप्त! लेकिन फिर से एक छोटा सा "लेकिन" है, एक अतिरिक्त शब्द सामने आया है, जिसका अर्थ है कि मुझे अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ना होगा:

यदि सब कुछ सही ढंग से किया गया है, तो जब हम सभी कोष्ठक खोलते हैं तो हमें इंटीग्रैंड का मूल अंश प्राप्त होना चाहिए। हम जाँच:
कनटोप।

इस प्रकार:

तैयार। पिछले कार्यकाल में, मैंने किसी फ़ंक्शन को एक अंतर के अंतर्गत समाहित करने की विधि का उपयोग किया था।

यदि हम उत्तर का व्युत्पन्न ढूंढते हैं और अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर तक कम करते हैं, तो हमें बिल्कुल मूल इंटीग्रैंड फ़ंक्शन मिलेगा। किसी योग में अपघटन की सुविचारित विधि किसी व्यंजक को एक सामान्य हर में लाने की विपरीत क्रिया से अधिक कुछ नहीं है।

ऐसे उदाहरणों में अंश का चयन करने के लिए एल्गोरिदम ड्राफ्ट फॉर्म में सबसे अच्छा किया जाता है। कुछ कौशल के साथ यह मानसिक रूप से काम करेगा। मुझे एक रिकॉर्ड तोड़ने वाला मामला याद है जब मैं 11वीं घात के लिए चयन कर रहा था, और अंश के विस्तार में वर्ड की लगभग दो पंक्तियाँ लग गईं।

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें. जाँच करें.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

सरल भिन्नों के लिए विभेदक चिह्न को सम्मिलित करने की विधि

आइए अगले प्रकार के भिन्नों पर विचार करें।
, , , (गुणांक और शून्य के बराबर नहीं हैं)।

वास्तव में, पाठ में आर्कसाइन और आर्कटेंजेंट के कुछ मामलों का पहले ही उल्लेख किया जा चुका है अनिश्चितकालीन अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि. ऐसे उदाहरणों को फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के अंतर्गत समाहित करके और तालिका का उपयोग करके आगे एकीकृत करके हल किया जाता है। यहाँ एक और है विशिष्ट उदाहरणलंबे और उच्च लघुगणक के साथ:

उदाहरण 5

उदाहरण 6

यहां यह सलाह दी जाती है कि इंटीग्रल की एक तालिका चुनें और देखें कि कौन से सूत्र और हैं कैसेपरिवर्तन होता है. टिप्पणी, कैसे और क्योंइन उदाहरणों में वर्गों को हाइलाइट किया गया है। विशेष रूप से, उदाहरण 6 में हमें सबसे पहले हर को रूप में प्रस्तुत करना होगा , फिर इसे विभेदक चिह्न के अंतर्गत लाएँ। और यह सब मानक सारणीबद्ध सूत्र का उपयोग करने के लिए किया जाना आवश्यक है .

क्यों देखें, उदाहरण संख्या 7, 8 को स्वयं हल करने का प्रयास करें, खासकर जब से वे काफी छोटे हैं:

उदाहरण 7

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यदि आप भी इन उदाहरणों को जाँचने में सफल हो जाते हैं, तो बहुत सम्मान की बात है - आपकी विभेदीकरण कौशल उत्कृष्ट हैं।

पूर्ण वर्ग चयन विधि

प्रपत्र का अभिन्न अंग (गुणांक और शून्य के बराबर नहीं हैं) हल हो गए हैं पूर्ण वर्ग निष्कर्षण विधि, जो पहले ही पाठ में दिखाई दे चुका है ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन.

वास्तव में, इस तरह के इंटीग्रल उन चार सारणीबद्ध इंटीग्रल्स में से एक में बदल जाते हैं जिन्हें हमने अभी देखा है। और यह परिचित संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

सूत्रों को सटीक रूप से इसी दिशा में लागू किया जाता है, अर्थात, विधि का विचार कृत्रिम रूप से भावों को हर में व्यवस्थित करना है, और फिर उन्हें तदनुसार किसी एक में परिवर्तित करना है।

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह सबसे सरल उदाहरण, जिसमें पद के साथ - इकाई गुणांक(और कोई संख्या या ऋण नहीं)।

आइए हर को देखें, यहां पूरा मामला स्पष्ट रूप से संयोग पर आकर टिक जाता है। आइए हर को परिवर्तित करना शुरू करें:

जाहिर है, आपको 4 जोड़ने की जरूरत है। और, ताकि अभिव्यक्ति न बदले, वही चार घटाएं:

अब आप सूत्र लागू कर सकते हैं:

रूपांतरण पूरा होने के बाद हमेशाप्रदर्शन करना उचित है उलटा स्ट्रोक: , सब कुछ ठीक है, कोई त्रुटि नहीं है।

प्रश्न में उदाहरण का अंतिम डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

तैयार। "फ्रीबी" का सारांश जटिल कार्यविभेदक चिह्न के तहत:, सिद्धांत रूप में, उपेक्षित किया जा सकता है

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है, इसका उत्तर पाठ के अंत में है

उदाहरण 11

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

जब सामने माइनस हो तो क्या करें? इस मामले में, हमें ऋण को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा और शब्दों को उस क्रम में व्यवस्थित करना होगा जिसकी हमें आवश्यकता है:। स्थिर("दो" इंच) इस मामले में) मत छुओ!

अब हम कोष्ठक में एक जोड़ते हैं। अभिव्यक्ति का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि हमें कोष्ठक के बाहर एक जोड़ने की आवश्यकता है:

यहां हमें सूत्र मिलता है, लागू करें:

हमेशाहम ड्राफ्ट की जांच करते हैं:
, जिसे जाँचने की आवश्यकता थी।

साफ़ उदाहरण कुछ इस तरह दिखता है:

कार्य को और अधिक कठिन बनाना

उदाहरण 12

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यहां यह शब्द अब एक इकाई गुणांक नहीं है, बल्कि "पांच" है।

(1) यदि कोई स्थिरांक है तो हम उसे तुरंत कोष्ठक से बाहर निकाल देते हैं।

(2) सामान्य तौर पर, इस स्थिरांक को अभिन्न के बाहर ले जाना हमेशा बेहतर होता है ताकि यह रास्ते में न आए।

(3) जाहिर है, सब कुछ सूत्र पर आ जाएगा। हमें इस शब्द को समझने की जरूरत है, अर्थात् "दो" को समझने की।

(4) हाँ, . इसका मतलब यह है कि हम व्यंजक में समान भिन्न जोड़ते हैं और घटाते हैं।

(5) अब एक पूर्ण वर्ग का चयन करें। में सामान्य मामलाहमें गणना करने की भी आवश्यकता है, लेकिन यहां हमारे पास लंबे लघुगणक का सूत्र है , और कार्रवाई करने का कोई मतलब नहीं है; क्यों नीचे स्पष्ट हो जाएगा।

(6) वास्तव में, हम सूत्र को लागू कर सकते हैं , केवल "X" के स्थान पर हमारे पास है, जो तालिका अभिन्न की वैधता को नकारता नहीं है। कड़ाई से बोलते हुए, एक कदम चूक गया - एकीकरण से पहले, फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के अंतर्गत शामिल किया जाना चाहिए था: , लेकिन, जैसा कि मैंने बार-बार नोट किया है, इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है।

(7) उत्तर में मूल के नीचे सभी कोष्ठकों को पीछे की ओर विस्तारित करने की सलाह दी जाती है:

कठिन? यह इंटीग्रल कैलकुलस का सबसे कठिन हिस्सा नहीं है। हालाँकि, विचाराधीन उदाहरण इतने जटिल नहीं हैं क्योंकि उनके लिए अच्छी कंप्यूटिंग तकनीकों की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 13

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। उत्तर पाठ के अंत में है।

हर में जड़ों के साथ अभिन्न अंग होते हैं, जो प्रतिस्थापन का उपयोग करके, विचार किए गए प्रकार के अभिन्नों में कम हो जाते हैं; आप उनके बारे में लेख में पढ़ सकते हैं जटिल अभिन्न अंग, लेकिन यह बहुत तैयार छात्रों के लिए डिज़ाइन किया गया है।

अंश को अवकल चिह्न के अंतर्गत सम्मिलित करना

यह पाठ का अंतिम भाग है, हालाँकि, इस प्रकार के अभिन्न अंग काफी सामान्य हैं! यदि आप थके हुए हैं, तो शायद कल पढ़ना बेहतर रहेगा? ;)

जिन अभिन्नों पर हम विचार करेंगे वे पिछले पैराग्राफ के अभिन्नों के समान हैं, उनका रूप है: या (गुणांक, और शून्य के बराबर नहीं हैं)।

यानी अंश में हमारे पास है रैखिक प्रकार्य. ऐसे अभिन्नों को कैसे हल करें?

ऑनलाइन कैलकुलेटर.
एक द्विपद के वर्ग को अलग करना और एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना।

यह गणित कार्यक्रम वर्ग द्विपद को वर्ग त्रिपद से अलग करता है, अर्थात। ऐसा परिवर्तन करता है:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) और एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन करता है: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

वे। समस्याएँ संख्याओं \(p, q\) और \(n, m\) को खोजने तक सीमित हो जाती हैं

प्रोग्राम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया भी प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी हो सकता है माध्यमिक स्कूलोंतैयारी के लिए परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित में? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप द्विघात त्रिपद दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

द्विघात बहुपद दर्ज करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), आदि।

संख्याओं को पूर्ण या आंशिक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.
दशमलव में अंशपूर्ण से पूर्णविराम या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप प्रवेश कर सकते हैं दशमलवइस तरह: 2.5x - 3.5x^2

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
संपूर्ण भागएम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया गया: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

एक अभिव्यक्ति दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

विस्तृत समाधान का उदाहरण

एक द्विपद का वर्ग अलग करना.$$ ax^2+bx+c \दायां तीर a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ उत्तर:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ गुणनखंडीकरण।$$ ax^2+bx+c \दायां तीर a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\बाएं(x^2+x-2 \दाएं) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \दाएं) = $$ $$ 2 \बाएं(x -1 \दाएं) \बाएं(x +2 \दाएं) $$ उत्तर:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

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थोड़ा सिद्धांत.

एक द्विपद के वर्ग को एक वर्ग त्रिपद से अलग करना

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c को a(x+p) 2 +q के रूप में दर्शाया जाता है, जहां p और q वास्तविक संख्याएं हैं, तो हम कहते हैं कि से वर्ग त्रिपद, द्विपद का वर्ग हाइलाइट किया गया है.

त्रिपद 2x 2 +12x+14 से हम द्विपद का वर्ग निकालते हैं।


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


ऐसा करने के लिए, 2*3*x के गुणनफल के रूप में 6x की कल्पना करें, और फिर 3 2 जोड़ें और घटाएँ। हम पाते हैं:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

वह। हम वर्ग त्रिपद से वर्ग द्विपद निकालें, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c को a(x+n)(x+m) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n और m वास्तविक संख्याएं हैं, तो कहा जाता है कि ऑपरेशन निष्पादित हो गया है द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन.

आइये एक उदाहरण से दिखाते हैं कि यह परिवर्तन कैसे किया जाता है।

आइए द्विघात त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करें।

आइए गुणांक को कोष्ठक से बाहर निकालें, अर्थात्। 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

आइए अभिव्यक्ति को कोष्ठक में रूपांतरित करें।
ऐसा करने के लिए, 2x को 3x-1x के अंतर के रूप में और -3 को -1*3 के रूप में कल्पना करें। हम पाते हैं:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

वह। हम द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन किया, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ध्यान दें कि द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन तभी संभव है जब, द्विघात समीकरण, इस त्रिपद के अनुरूप जड़ें हैं।
वे। हमारे मामले में, यदि द्विघात समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के मूल हैं तो त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करना संभव है। गुणनखंडन की प्रक्रिया में, हमने स्थापित किया कि समीकरण 2x 2 + 4x-6 = 0 के दो मूल 1 और -3 हैं, क्योंकि इन मानों के साथ, समीकरण 2(x-1)(x+3)=0 एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

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परिभाषा

2 x 2 + 3 x + 5 के रूप के व्यंजक द्विघात त्रिपद कहलाते हैं। सामान्य तौर पर, एक वर्ग त्रिपद a x 2 + b x + c के रूप की अभिव्यक्ति है, जहां a, b, c a, b, c मनमानी संख्याएं हैं, और a ≠ 0 है।

द्विघात त्रिपद x 2 - 4 x + 5 पर विचार करें। आइए इसे इस रूप में लिखें: x 2 - 2 · 2 · x + 5. आइए इस अभिव्यक्ति में 2 2 जोड़ें और 2 2 घटाएं, हमें मिलता है: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5। ध्यान दें कि x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, इसलिए x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1। हमने जो परिवर्तन किया उसे कहते हैं "एक द्विघात त्रिपद से एक पूर्ण वर्ग को अलग करना".

द्विघात त्रिपद 9 x 2 + 3 x + 1 से पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए।

ध्यान दें कि 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. फिर `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. परिणामी अभिव्यक्ति में `(1/2)^2` जोड़ें और घटाएं, हमें मिलता है

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

हम दिखाएंगे कि कैसे एक द्विघात त्रिपद से एक पूर्ण वर्ग को अलग करने की विधि का उपयोग एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करने के लिए किया जाता है।

द्विघात त्रिपद 4 x 2 - 12 x + 5 का गुणनखंड करें।

हम द्विघात त्रिपद से पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. अब हम सूत्र a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) लागू करते हैं, हमें मिलता है: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 एक्स - 1 ) .

द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करें - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. अब हम देखते हैं कि 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2।

हम व्यंजक 9 x 2 - 12 x में पद 2 2 जोड़ते हैं, हमें प्राप्त होता है:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 एक्स - 2 2 .

हम वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू करते हैं, हमारे पास है:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

द्विघात त्रिपद 3 x 2 - 14 x - 5 का गुणनखंड करें।

हम व्यंजक 3 x 2 को किसी व्यंजक के वर्ग के रूप में निरूपित नहीं कर सकते, क्योंकि हमने अभी तक स्कूल में इसका अध्ययन नहीं किया है। आप इसे बाद में पढ़ेंगे और टास्क नंबर 4 में हम अध्ययन करेंगे वर्गमूल. आइए दिखाएं कि आप किसी दिए गए द्विघात त्रिपद का गुणनखंड कैसे कर सकते हैं:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

हम आपको दिखाएंगे कि द्विघात त्रिपद का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग कैसे करें।
द्विघात त्रिपद x 2 - x + 3 पर विचार करें। एक पूर्ण वर्ग चुनें:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. ध्यान दें कि जब `x=1/2` द्विघात त्रिपद का मान `11/4` होता है, और जब `x!=1/2` `11/4` के मान में एक सकारात्मक संख्या जोड़ी जाती है, तो हम `11/4` से बड़ी संख्या प्राप्त करें। इस प्रकार, सबसे छोटा मूल्यद्विघात त्रिपद `11/4` है और यह तब प्राप्त होता है जब `x=1/2` होता है।

द्विघात त्रिपद का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें - 16 2 + 8 x + 6।

हम एक द्विघात त्रिपद से एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

जब `x=1/4` द्विघात त्रिपद का मान 7 होता है, और जब `x!=1/4` संख्या 7 में से एक धनात्मक संख्या घटा दी जाती है, अर्थात हमें 7 से कम संख्या प्राप्त होती है। तो संख्या 7 है उच्चतम मूल्यद्विघात त्रिपद, और यह तब प्राप्त होता है जब `x=1/4`.

भिन्न `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` के अंश और हर का गुणनखंड करें और भिन्न को कम करें।

ध्यान दें कि भिन्न का हर x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 है। आइए एक वर्ग त्रिपद से एक पूर्ण वर्ग को अलग करने की विधि का उपयोग करके भिन्न के अंश का गुणनखंड करें। एक्स 2 + 2 एक्स - 15 = एक्स 2 + 2 एक्स 1 + 1 - 1 - 15 = एक्स + 1 2 - 16 = एक्स + 1 2 - 4 2 = = (एक्स + 1 + 4) (एक्स + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

इस अंश को (x - 3) से घटाने के बाद `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` के रूप में घटाया गया, हमें `(x+5)/(x-3) मिलता है )`.

बहुपद x 4 - 13 x 2 + 36 का गुणनखंड करें।

आइए इस बहुपद में एक पूर्ण वर्ग को अलग करने की विधि लागू करें। `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



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