अनेक चरों के कार्यों की चरम सीमा। चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त. चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति. सशर्त चरम. लैग्रेंज गुणक विधि. सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ढूँढना।

व्याख्यान 5.

परिभाषा 5.1.डॉट म 0 (x 0, y 0)बुलाया अधिकतम बिंदुकार्य जेड = एफ (एक्स, वाई),अगर एफ (एक्स ओ , वाई ओ) > एफ(एक्स,वाई)सभी बिंदुओं के लिए (एक्स, वाई) म 0.

परिभाषा 5.2.डॉट म 0 (x 0, y 0)बुलाया न्यूनतम बिंदुकार्य जेड = एफ (एक्स, वाई),अगर एफ (एक्स ओ , वाई ओ) < एफ(एक्स,वाई)सभी बिंदुओं के लिए (एक्स, वाई)किसी बिंदु के किसी पड़ोस से म 0.

नोट 1. अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदुअनेक चरों के कार्य.

टिप्पणी 2. किसी भी संख्या में चर वाले फ़ंक्शन के लिए चरम बिंदु समान तरीके से निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय 5.1 (आवश्यक शर्तेंचरम). अगर म 0 (x 0, y 0)- फ़ंक्शन का चरम बिंदु जेड = एफ (एक्स, वाई),तो इस बिंदु पर इस फ़ंक्शन के प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

सबूत।

आइए वेरिएबल का मान ठीक करें पर, गिनती य = य 0. फिर फ़ंक्शन एफ (एक्स, वाई 0)एक वेरिएबल का एक फ़ंक्शन होगा एक्स, जिसके लिए एक्स = एक्स 0चरम बिंदु है. इसलिए, फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार, या अस्तित्व में नहीं है। के लिए भी यही कथन इसी प्रकार सिद्ध होता है।

परिभाषा 5.3.कई चर वाले किसी फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित बिंदु, जिस पर फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं, कहलाते हैं स्थिर बिंदुयह फ़ंक्शन.

टिप्पणी। इस प्रकार, चरम सीमा तक केवल स्थिर बिंदुओं पर ही पहुंचा जा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह उनमें से प्रत्येक पर देखा जाए।

प्रमेय 5.2(चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थितियाँ)। चलो बिंदु के कुछ पड़ोस में म 0 (x 0, y 0), जो फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु है जेड = एफ (एक्स, वाई),इस फ़ंक्शन में तीसरे क्रम तक निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं। आइए फिर निरूपित करें:

1) एफ(एक्स,वाई)बिंदु पर है म 0अधिकतम यदि एसी-बी² > 0, ए < 0;

2) एफ(एक्स,वाई)बिंदु पर है म 0न्यूनतम यदि एसी-बी² > 0, ए > 0;

3) यदि क्रांतिक बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है एसी-बी² < 0;

4) यदि एसी-बी² = 0, आगे शोध की आवश्यकता है।

सबूत।

आइए फ़ंक्शन के लिए दूसरे क्रम का टेलर सूत्र लिखें एफ(एक्स,वाई),याद रखें कि एक स्थिर बिंदु पर प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं:

कहाँ यदि खंड के बीच का कोण म0 म, कहाँ एम (x 0 +Δ एक्स, वाई 0 +Δ पर), और O अक्ष एक्सनिरूपित करें φ, फिर Δ एक्स =Δ ρ ओल φ, Δ आप=Δρsinφ. इस मामले में, टेलर का सूत्र यह रूप लेगा:। मान लीजिए फिर हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को विभाजित और गुणा कर सकते हैं ए. हम पाते हैं:

आइए अब हम चार पर विचार करें संभावित मामले:

1) एसी-बी² > 0, ए < 0. Тогда , и पर्याप्त रूप से छोटे Δρ पर। इसलिए, कुछ पड़ोस में म 0 च (x 0 + Δ एक्स, वाई 0 +Δ य)< एफ (एक्स 0 , वाई 0), वह है म 0– अधिकतम बिंदु.

2) चलो एसी-बी² > 0, ए > 0.तब , और म 0– न्यूनतम बिंदु.

3) चलो एसी-बी² < 0, ए> 0. किरण φ = 0 के अनुदिश तर्कों की वृद्धि पर विचार करें। फिर (5.1) से यह निष्कर्ष निकलता है कि , अर्थात इस किरण के अनुदिश गति करने पर कार्य बढ़ जाता है। यदि हम एक किरण के अनुदिश इस प्रकार चलें कि tg φ 0 = -ए/बी,वह , इसलिए, इस किरण के साथ चलते समय, फ़ंक्शन कम हो जाता है। तो, अवधि म 0चरम बिंदु नहीं है.

3`) कब एसी-बी² < 0, ए < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

पिछले वाले के समान.

3``) यदि एसी-बी² < 0, ए= 0, फिर . वहीं . फिर पर्याप्त रूप से छोटे φ के लिए अभिव्यक्ति 2 बी cosφ + सीपाप φ 2 के करीब है में, अर्थात, यह एक स्थिर चिन्ह बनाए रखता है, लेकिन बिंदु के आसपास के क्षेत्र में synφ चिन्ह बदल देता है म 0.इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन की वृद्धि एक स्थिर बिंदु के आसपास के क्षेत्र में संकेत बदलती है, जो इसलिए एक चरम बिंदु नहीं है।

4) यदि एसी-बी² = 0, और , , अर्थात वृद्धि का चिन्ह 2α 0 के चिन्ह से निर्धारित होता है। साथ ही, एक चरम के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए और अधिक शोध आवश्यक है।

उदाहरण। आइए फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें जेड = एक्स² - 2 xy + 2य²+2 एक्स।स्थिर बिंदु खोजने के लिए, हम सिस्टम को हल करते हैं . तो, स्थिर बिंदु (-2,-1) है। जिसमें ए = 2, में = -2, साथ= 4. फिर एसी-बी² = 4 > 0, इसलिए, एक स्थिर बिंदु पर एक चरम, अर्थात न्यूनतम (चूंकि) पहुंच जाता है ए > 0).

परिभाषा 5.4.यदि फ़ंक्शन तर्क देता है एफ (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन)जुड़े हुए अतिरिक्त शर्तोंजैसा एमसमीकरण ( एम< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ मी ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

जहां फ़ंक्शन φ i में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होते हैं, तो समीकरण (5.2) कहलाते हैं कनेक्शन समीकरण.

परिभाषा 5.5.समारोह का चरम एफ (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन)जब शर्तें (5.2) पूरी हो जाती हैं, तो इसे कहा जाता है सशर्त चरम.

टिप्पणी। हम दो चर वाले फ़ंक्शन के सशर्त चरम की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या की पेशकश कर सकते हैं: फ़ंक्शन के तर्क दें एफ(एक्स,वाई)समीकरण φ से संबंधित (एक्स,वाई)= 0, जो O तल में कुछ वक्र को परिभाषित करता है xy. इस वक्र के प्रत्येक बिंदु से समतल O पर लंबों का पुनर्निर्माण करना xyजब तक यह सतह के साथ अंतरित न हो जाए जेड = एफ (एक्स,वाई),हमें वक्र φ के ऊपर सतह पर स्थित एक स्थानिक वक्र प्राप्त होता है (एक्स,वाई)= 0. कार्य परिणामी वक्र के चरम बिंदुओं को ढूंढना है, जो निश्चित रूप से, सामान्य मामलाफ़ंक्शन के बिना शर्त चरम बिंदुओं से मेल नहीं खाते एफ(एक्स,वाई).

आइए पहले निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत करके दो चरों के एक फ़ंक्शन के लिए सशर्त चरम के लिए आवश्यक शर्तें निर्धारित करें:

परिभाषा 5.6.समारोह एल (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन) = एफ (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन) + λ 1 φ 1 (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

कहाँ मैं -कुछ स्थिर हैं, कहलाते हैं लैग्रेंज फ़ंक्शन, और संख्याएँ मैं– अनिश्चितकालीन लैग्रेंज गुणक.

प्रमेय 5.3(सशर्त चरम के लिए आवश्यक शर्तें)। किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम जेड = एफ (एक्स, वाई)युग्मन समीकरण की उपस्थिति में φ ( एक्स, वाई)= 0 केवल लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं पर ही प्राप्त किया जा सकता है एल (एक्स, वाई) = एफ (एक्स, वाई) + λφ (एक्स, वाई)।

सबूत। युग्मन समीकरण एक अंतर्निहित संबंध निर्दिष्ट करता है परसे एक्स, इसलिए हम यह मान लेंगे परसे एक फ़ंक्शन है एक्स: वाई = वाई(एक्स).तब जेडसे एक जटिल कार्य है एक्स, और इसके महत्वपूर्ण बिंदु स्थिति द्वारा निर्धारित होते हैं: . (5.4) युग्मन समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है . (5.5)

आइए समानता (5.5) को किसी संख्या λ से गुणा करें और इसे (5.4) में जोड़ें। हम पाते हैं:

, या ।

अंतिम समानता स्थिर बिंदुओं पर संतुष्ट होनी चाहिए, जिससे यह निम्नानुसार है:

(5.6)

तीन अज्ञातों के लिए तीन समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है: एक्स, वाईऔर λ, और पहले दो समीकरण लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु के लिए स्थितियां हैं। सिस्टम (5.6) से सहायक अज्ञात λ को बाहर करके, हम उन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं जिन पर मूल फ़ंक्शन में एक सशर्त चरम हो सकता है।

टिप्पणी 1. पाए गए बिंदु पर एक सशर्त चरम की उपस्थिति को प्रमेय 5.2 के अनुरूप लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न का अध्ययन करके जांचा जा सकता है।

टिप्पणी 2. वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम तक पहुंचा जा सकता है एफ (एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन)जब शर्तें (5.2) पूरी हो जाती हैं, तो इसे सिस्टम के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (5.7)

उदाहरण। आइए फ़ंक्शन का सशर्त चरम खोजें z = xyमान लें कि एक्स + वाई= 1. आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). सिस्टम (5.6) इस तरह दिखता है:

जहाँ -2λ=1, λ=-0.5, एक्स = वाई = -λ = 0.5. जिसमें एल(एक्स,वाई)रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है एल(एक्स, वाई) = - 0,5 (एक्स-y)² + 0.5 ≤ 0.5, इसलिए पाए गए स्थिर बिंदु पर एल(एक्स,वाई)अधिकतम और है जेड = एक्सवाई -सशर्त अधिकतम.

सशर्त चरम.

अनेक चरों वाले किसी फलन की एक्स्ट्रेमा

न्यूनतम वर्ग विधि.

एफएनपी का स्थानीय चरम

फ़ंक्शन दिया जाए और= एफ(पी), РÎDÌR एनऔर मान लीजिए बिंदु P 0 ( ए 1 , ए 2 , ..., एक पी) –आंतरिकसेट का बिंदु डी.

परिभाषा 9.4.

1)बिंदु पी0 कहलाता है अधिकतम बिंदु कार्य और= एफ(पी), यदि इस बिंदु का पड़ोस यू (पी 0) एम डी है जैसे कि किसी भी बिंदु पी के लिए ( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन)ओ यू(पी 0) , Р¹Р 0 , शर्त पूरी हो गई एफ(पी) £ एफ(पृ0) . अर्थ एफ(पी 0) फ़ंक्शन को अधिकतम बिंदु पर कहा जाता है फ़ंक्शन का अधिकतम और नामित किया गया है एफ(पी0) = अधिकतम एफ(पी) ।

2)बिंदु पी 0 कहलाता है न्यूनतम बिंदु कार्य और= एफ(पी), यदि इस बिंदु यू(पी 0)Ì डी का कोई पड़ोस है जैसे कि किसी भी बिंदु पी( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन)OU(P 0), Р¹Р 0 , शर्त संतुष्ट है एफ(पी)³ एफ(पृ0) . अर्थ एफ(पी0) न्यूनतम बिंदु पर फलन कहलाता है न्यूनतम कार्य और नामित किया गया है एफ(प0)=मिन एफ(पी)।

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम बिंदु कहलाते हैं चरम बिंदु, चरम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान कहलाते हैं समारोह की चरम सीमा.

परिभाषा के अनुसार, असमानताएँ एफ(पी) £ एफ(प0) , एफ(पी)³ एफ(पी 0) केवल बिंदु पी 0 के एक निश्चित पड़ोस में संतुष्ट होना चाहिए, न कि फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे क्षेत्र में, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन में एक ही प्रकार के कई चरम हो सकते हैं (कई मिनीमा, कई मैक्सिमा) . इसलिए, ऊपर परिभाषित एक्स्ट्रेमा कहलाते हैं स्थानीय(स्थानीय) चरम.

प्रमेय 9.1 (एफएनपी के चरम के लिए आवश्यक शर्त)

यदि फ़ंक्शन और= एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन) का बिंदु P 0 पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर इसका प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न या तो शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

सबूत।माना बिंदु P 0 पर ( ए 1 , ए 2 , ..., एक पी) समारोह और= एफ(पी) का एक चरम है, उदाहरण के लिए, अधिकतम। आइए तर्कों को ठीक करें एक्स 2 , ..., एक्स एन, डालना एक्स 2 =ए 2 ,..., एक्स एन = एक पी. तब और= एफ(पी)= एफ 1 ((एक्स 1 , ए 2 , ..., एक पी) एक वेरिएबल का एक फ़ंक्शन है एक्स 1 . चूंकि यह फ़ंक्शन है एक्स 1 = ए 1 चरम (अधिकतम), फिर एफ 1 ¢=0या कब अस्तित्व में नहीं है एक्स 1 =ए 1 (एक चर के फलन के चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)। लेकिन, इसका मतलब है या बिंदु P 0 - चरम बिंदु पर मौजूद नहीं है। इसी प्रकार, हम अन्य चरों के संबंध में आंशिक व्युत्पन्नों पर विचार कर सकते हैं। सीटीडी.

किसी फ़ंक्शन के डोमेन में वे बिंदु जिन पर प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु यह फ़ंक्शन.

प्रमेय 9.1 के अनुसार, फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच एफएनपी के चरम बिंदुओं की तलाश की जानी चाहिए। लेकिन, जहां तक ​​एक चर के फ़ंक्शन का सवाल है, प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है।

प्रमेय 9.2 (एफएनपी के चरम के लिए पर्याप्त शर्त)

मान लीजिए P 0 फ़ंक्शन का क्रांतिक बिंदु है और= एफ(पी) और इस फ़ंक्शन का दूसरा क्रम अंतर है। तब

और अगर डी 2 यू(P 0) > 0 पर, तो P 0 एक बिंदु है न्यूनतमकार्य और= एफ(पी);

बी) यदि डी 2 यू(प0)< 0 при , то Р 0 – точка अधिकतमकार्य और= एफ(पी);

ग) यदि डी 2 यू(पी 0) संकेत द्वारा परिभाषित नहीं है, तो पी 0 एक चरम बिंदु नहीं है;

हम इस प्रमेय पर बिना प्रमाण के विचार करेंगे।

ध्यान दें कि प्रमेय उस मामले पर विचार नहीं करता है जब डी 2 यू(पी 0) = 0 या अस्तित्व में नहीं है। इसका मतलब यह है कि ऐसी परिस्थितियों में बिंदु P 0 पर एक चरम की उपस्थिति का प्रश्न खुला रहता है - हमें इसकी आवश्यकता है अतिरिक्त शोधउदाहरण के लिए, इस बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि का अध्ययन करना।

अधिक विस्तृत गणित पाठ्यक्रमों में यह सिद्ध होता है कि, विशेष रूप से फ़ंक्शन के लिए जेड = एफ(एक्स,य) दो चरों का, दूसरे क्रम का अंतर, फॉर्म का योग है

क्रांतिक बिंदु P 0 पर एक चरम की उपस्थिति के अध्ययन को सरल बनाया जा सकता है।

आइए निरूपित करें , , . आइए एक निर्धारक की रचना करें

.

पता चला है:

डी 2 जेड> 0 बिंदु P 0 पर, अर्थात्। पी 0 - न्यूनतम बिंदु, यदि ए(पी 0) > 0 और डी (पी 0) > 0;

डी 2 जेड < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ए(प0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

यदि डी(पी0)< 0, то डी 2 जेडबिंदु P 0 के आसपास यह संकेत बदलता है और बिंदु P 0 पर कोई चरम सीमा नहीं है;

यदि D(Р 0) = 0, तो क्रांतिक बिंदु Р 0 के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन का अतिरिक्त अध्ययन भी आवश्यक है।

इस प्रकार, समारोह के लिए जेड = एफ(एक्स,य) दो चरों में से एक चरम खोजने के लिए हमारे पास निम्नलिखित एल्गोरिदम है (चलिए इसे "एल्गोरिदम डी" कहते हैं):

1) परिभाषा D का डोमेन खोजें( एफ) कार्य.

2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात। डी से अंक( एफ), जिसके लिए और शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

3) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पी 0 पर, चरम के लिए पर्याप्त स्थितियों की जांच करें। ऐसा करने के लिए, खोजें , कहां , , और डी (पी 0) और की गणना करें ए(पृ0) .फिर :

यदि D(P 0) >0, तो बिंदु P 0 पर एक चरम है, और यदि ए(पी 0) > 0 - तो यह न्यूनतम है, और यदि ए(प0)< 0 – максимум;

यदि डी(पी0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

यदि डी(पी 0) = 0, तो अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

4) पाए गए चरम बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

उदाहरण 1।

फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें जेड = एक्स 3 + 8य 3 – 3xy .

समाधान।इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण समन्वय तल है। आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

, , Þ पी 0 (0,0) , .

आइए जाँच करें कि चरम सीमा के लिए पर्याप्त शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं। हम ढूंढ लेंगे

6एक्स, = -3, = 48परऔर = 288xy – 9.

तब D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

डी(पी 1) = 36-9>0 - बिंदु पी 1 पर एक चरम है, और चूंकि ए(पी 1) = 3 >0, तो यह चरम न्यूनतम है। तो मि जेड=जेड(प 1)= .

उदाहरण 2.

फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें .

समाधान: डी( एफ) =आर 2 . महत्वपूर्ण बिंदु: ; अस्तित्व में नहीं है जब पर= 0, जिसका अर्थ है कि P 0 (0,0) इस फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु है।

2, = 0, = , = , लेकिन D(P 0) परिभाषित नहीं है, इसलिए इसके चिह्न का अध्ययन करना असंभव है।

इसी कारण से, प्रमेय 9.2 को सीधे लागू करना असंभव है - डी 2 जेडइस बिंदु पर मौजूद नहीं है.

आइए फ़ंक्शन की वृद्धि पर विचार करें एफ(एक्स, य)बिंदु P 0 पर। यदि डी एफ =एफ(पी) - एफ(पी 0)>0 "पी, तो पी 0 न्यूनतम बिंदु है, लेकिन यदि डी एफ < 0, то Р 0 – точка максимума.

हमारे मामले में हमारे पास है

डी एफ = एफ(एक्स, य) – एफ(0, 0) = एफ(0+डी एक्स,0+डी य) – एफ(0, 0) = .

डी पर एक्स= 0.1 और डी य= -0.008 हमें D प्राप्त होता है एफ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dएक्स= 0.1 और डी य= 0.001 डी एफ= 0.01 + 0.1 > 0, अर्थात बिंदु P 0 के आसपास कोई भी शर्त D संतुष्ट नहीं है एफ <0 (т.е. एफ(एक्स, य) < एफ(0, 0) और इसलिए पी 0 अधिकतम बिंदु नहीं है), न ही स्थिति डी एफ>0 (अर्थात् एफ(एक्स, य) > एफ(0, 0) और फिर P 0 न्यूनतम बिंदु नहीं है)। इसका मतलब है, चरम की परिभाषा के अनुसार, इस फ़ंक्शन का कोई चरम नहीं है।

सशर्त चरम.

फ़ंक्शन के सुविचारित चरम को कहा जाता है बिना शर्त, क्योंकि फ़ंक्शन तर्कों पर कोई प्रतिबंध (शर्तें) नहीं लगाया गया है।

परिभाषा 9.2.समारोह का चरम और = एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन), इस शर्त के तहत पाया गया कि इसके तर्क एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एनसमीकरणों को संतुष्ट करें जे 1 ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0, …, जे टी(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0, जहां पी ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) ओ डी( एफ), बुलाया सशर्त चरम .

समीकरण जे क(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0 , क = 1, 2,..., एम, कहा जाता है कनेक्शन समीकरण.

आइए कार्यों पर नजर डालें जेड = एफ(एक्स,य) दो चर। यदि कनेक्शन समीकरण एक है, अर्थात , तो एक सशर्त चरम सीमा खोजने का मतलब है कि चरम सीमा फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे क्षेत्र में नहीं, बल्कि डी में स्थित कुछ वक्र पर मांगी गई है। एफ) (अर्थात, यह सतह का उच्चतम या निम्नतम बिंदु नहीं है जिसे खोजा गया है जेड = एफ(एक्स,य), और सिलेंडर के साथ इस सतह के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच उच्चतम या निम्नतम बिंदु, चित्र 5)।

किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम जेड = एफ(एक्स,य) दो वेरिएबल्स को निम्नलिखित तरीके से पाया जा सकता है( उन्मूलन विधि). समीकरण से, एक चर को दूसरे के एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त करें (उदाहरण के लिए, लिखें ) और, चर के इस मान को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हुए, बाद वाले को एक चर के एक फ़ंक्शन के रूप में लिखें (मामले में विचार किया गया है) ). एक चर के परिणामी फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

परिभाषा1: किसी फ़ंक्शन को किसी बिंदु पर स्थानीय अधिकतम कहा जाता है यदि उस बिंदु का पड़ोस किसी भी बिंदु के लिए होता है एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता रखती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि< 0.

परिभाषा2: किसी फ़ंक्शन को किसी बिंदु पर स्थानीय न्यूनतम कहा जाता है यदि उस बिंदु का पड़ोस किसी भी बिंदु के लिए होता है एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता रखती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि > 0.

परिभाषा 3: स्थानीय न्यूनतम एवं अधिकतम के बिंदु कहलाते हैं चरम बिंदु.

सशर्त चरम

कई चरों वाले किसी फलन का चरम ढूँढ़ते समय अक्सर तथाकथित से संबंधित समस्याएँ उत्पन्न होती हैं सशर्त चरम.इस अवधारणा को दो चर वाले फ़ंक्शन के उदाहरण का उपयोग करके समझाया जा सकता है।

मान लीजिए एक फ़ंक्शन और एक लाइन दी गई है एलसतह पर 0xy. कार्य लाइन पर आना है एलऐसा कोई बिंदु खोजो पी(एक्स, वाई),जिसमें किसी फ़ंक्शन का मान रेखा पर बिंदुओं पर इस फ़ंक्शन के मानों की तुलना में सबसे बड़ा या सबसे छोटा होता है एल, बिंदु के पास स्थित है पी. ऐसे बिंदु पीकहा जाता है सशर्त चरम बिंदुऑनलाइन कार्य करता है एल. सामान्य चरम बिंदु के विपरीत, सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की तुलना उसके कुछ पड़ोस के सभी बिंदुओं पर नहीं, बल्कि केवल उन बिंदुओं पर की जाती है जो लाइन पर स्थित हैं एल.

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि साधारण चरम की बात (वे भी कहते हैं बिना शर्त चरम) इस बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए एक सशर्त चरम बिंदु भी है। निस्संदेह, इसका विपरीत सत्य नहीं है: सशर्त चरम बिंदु सामान्य चरम बिंदु नहीं हो सकता है। मैंने जो कहा उसे एक सरल उदाहरण से समझाता हूँ। फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊपरी गोलार्ध है (परिशिष्ट 3 (चित्र 3))।

इस फ़ंक्शन के मूल में अधिकतम है; शीर्ष इससे मेल खाता है एमगोलार्ध यदि रेखा एलबिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा है एऔर में(उसका समीकरण x+y-1=0), तो यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि इस रेखा के बिंदुओं के लिए उच्चतम मूल्यकार्यों को बिंदुओं के मध्य में स्थित एक बिंदु पर प्राप्त किया जाता है एऔर में।यह इस रेखा पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम (अधिकतम) का बिंदु है; यह गोलार्ध पर बिंदु एम 1 से मेल खाता है, और चित्र से यह स्पष्ट है कि यहां किसी भी सामान्य चरम की कोई बात नहीं हो सकती है।

ध्यान दें कि किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने की समस्या के अंतिम भाग में, हमें इस क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के चरम मान को ढूंढना होगा, अर्थात। किसी लाइन पर, और इस प्रकार सशर्त चरम समस्या का समाधान करें।

आइए अब हम फ़ंक्शन Z= f(x, y) के सशर्त चरम बिंदुओं की व्यावहारिक खोज के लिए आगे बढ़ें, बशर्ते कि चर x और y समीकरण (x, y) = 0 से संबंधित हों। हम इस संबंध को कहेंगे कनेक्शन समीकरण. यदि युग्मन समीकरण से y को x: y=(x) के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है, तो हमें एक चर Z= f(x, (x)) = Ф(x) का एक फ़ंक्शन प्राप्त होता है।

वह मान x ज्ञात करने के बाद जिस पर यह फ़ंक्शन चरम सीमा तक पहुंचता है, और फिर कनेक्शन समीकरण से संबंधित y मान निर्धारित करते हैं, हम सशर्त चरम के वांछित बिंदु प्राप्त करते हैं।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, संबंध समीकरण x+y-1=0 से हमारे पास y=1-x है। यहाँ से

यह जाँचना आसान है कि z x = 0.5 पर अपनी अधिकतम सीमा तक पहुँच जाता है; लेकिन फिर कनेक्शन समीकरण y = 0.5 से, और हमें बिल्कुल बिंदु P मिलता है, जो ज्यामितीय विचारों से पाया जाता है।

सशर्त चरम की समस्या बहुत आसानी से हल हो जाती है, भले ही कनेक्शन समीकरण का प्रतिनिधित्व किया जा सके पैरामीट्रिक समीकरण x=x(t), y=y(t). x और y के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करना यह फ़ंक्शन, हम फिर से एक चर के फलन का चरम ज्ञात करने की समस्या पर आते हैं।

यदि युग्मन समीकरण से अधिक है जटिल रूपऔर हम या तो एक चर को दूसरे के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त करने में असमर्थ हैं, या इसे पैरामीट्रिक समीकरणों के साथ प्रतिस्थापित करने में असमर्थ हैं, तो सशर्त चरम को खोजने का कार्य अधिक कठिन हो जाता है। हम यह मानते रहेंगे कि फ़ंक्शन z= f(x, y) की अभिव्यक्ति में चर (x, y) = 0 है। फ़ंक्शन z= f(x, y) का कुल व्युत्पन्न इसके बराबर है:

जहां अंतर्निहित फ़ंक्शन के विभेदन के नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न y` पाया जाता है। सशर्त चरम के बिंदुओं पर, पाया गया कुल व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए; यह x और y से संबंधित एक समीकरण देता है। चूँकि उन्हें युग्मन समीकरण को भी संतुष्ट करना होगा, हमें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है

आइए पहले समीकरण को अनुपात के रूप में लिखकर और एक नया सहायक अज्ञात प्रस्तुत करके इस प्रणाली को और अधिक सुविधाजनक में बदल दें:

(सामने ऋण चिह्न सुविधा के लिए है)। इन समानताओं से निम्नलिखित प्रणाली में जाना आसान है:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

जो, कनेक्शन समीकरण (x, y) = 0 के साथ, अज्ञात x, y और के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली बनाता है।

इन समीकरणों (*) को निम्नलिखित नियम का उपयोग करके याद रखना सबसे आसान है: उन बिंदुओं को खोजने के लिए जो फ़ंक्शन के सशर्त चरम के बिंदु हो सकते हैं

Z= f(x, y) कनेक्शन समीकरण (x, y) = 0 के साथ, आपको एक सहायक फ़ंक्शन बनाने की आवश्यकता है

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

कुछ स्थिरांक कहां है, और इस फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने के लिए समीकरण बनाएं।

समीकरणों की संकेतित प्रणाली, एक नियम के रूप में, केवल आवश्यक शर्तें प्रदान करती है, अर्थात। इस प्रणाली को संतुष्ट करने वाले x और y मानों की प्रत्येक जोड़ी आवश्यक रूप से एक सशर्त चरम बिंदु नहीं है। मैं सशर्त चरम बिंदुओं के लिए पर्याप्त शर्तें नहीं दूंगा; अक्सर समस्या की विशिष्ट सामग्री ही बताती है कि पाया गया बिंदु क्या है। सशर्त चरम पर समस्याओं को हल करने के लिए वर्णित तकनीक को लैग्रेंज गुणक विधि कहा जाता है।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन z - /(x, y) को किसी डोमेन D में परिभाषित किया गया है और Mo(xo, Vo) को इस डोमेन का एक आंतरिक बिंदु माना जाता है। परिभाषा। यदि कोई संख्या ऐसी है कि सभी शर्तों को संतुष्ट करने के लिए असमानता सत्य है, तो बिंदु Mo(xo, yo) को फ़ंक्शन का स्थानीय अधिकतम बिंदु कहा जाता है /(x, y); यदि सभी Dx, Du, शर्तों को पूरा करते हैं | तब बिंदु Mo(xo,yo) को पतला स्थानीय न्यूनतम कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, बिंदु M0(x0, y0) फ़ंक्शन f(x, y) के अधिकतम या न्यूनतम का एक बिंदु है यदि बिंदु A/o(x0, y0) का 6-पड़ोसी मौजूद है जैसे कि बिल्कुल पड़ोस में इसके बिंदु M(x, y) पर, फ़ंक्शन की वृद्धि इसके चिह्न को बनाए रखती है। उदाहरण। 1. फ़ंक्शन बिंदु के लिए - न्यूनतम बिंदु (चित्र 17)। 2. फ़ंक्शन के लिए, बिंदु 0(0,0) अधिकतम बिंदु है (चित्र 18)। 3. किसी फ़ंक्शन के लिए, बिंदु 0(0,0) एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है। 4 वास्तव में, बिंदु 0(0, 0) का एक पड़ोस है, उदाहरण के लिए, त्रिज्या j का एक वृत्त (चित्र 19 देखें), जिसके किसी भी बिंदु पर, बिंदु 0(0,0) से भिन्न है। फ़ंक्शन का मान /(x,y) 1 से कम = हम केवल सख्त अधिकतम और न्यूनतम फ़ंक्शन के बिंदुओं पर विचार करेंगे जब कुछ छिद्रित 6-पड़ोस से सभी बिंदुओं M(x) y) के लिए सख्त असमानता या सख्त असमानता संतुष्ट होती है बिंदु का Mq. अधिकतम बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान अधिकतम कहा जाता है, और न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान इस फ़ंक्शन का न्यूनतम कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहलाते हैं, और फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु स्वयं इसके चरम बिंदु कहलाते हैं। प्रमेय 11 (एक चरम के लिए आवश्यक शर्त)। यदि एक्स्ट्रीमम फ़ंक्शन कई का एक फ़ंक्शन है चर अवधारणाकई चरों वाले किसी फ़ंक्शन का चरम। एक चरम के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें सशर्त चरम निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों का एक चरम बिंदु पर होता है तो इस बिंदु पर प्रत्येक आंशिक व्युत्पन्न यू या तो गायब हो जाता है या मौजूद नहीं होता है। मान लीजिए कि फलन z = f(x) y) का चरम बिंदु M0(x0, yо) पर है। आइए वेरिएबल y को oo मान दें। तब फ़ंक्शन z = /(x, y) एक चर x का एक फ़ंक्शन होगा\ चूंकि x = xo पर इसका एक चरम (अधिकतम या न्यूनतम, चित्र 20) है, तो x = "o" के संबंध में इसका व्युत्पन्न है। | (*o,l>)" शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है। इसी तरह, हम आश्वस्त हैं कि) या तो शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है। जिन बिंदुओं पर = 0 और χ = 0 या अस्तित्व में नहीं है उन्हें क्रिटिकल कहा जाता है फ़ंक्शन के बिंदु z = Dx, y) जिन बिंदुओं पर $£ = φ = 0 को फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु भी कहा जाता है, वे चरम के लिए केवल आवश्यक शर्तों को व्यक्त करते हैं, जो पर्याप्त नहीं हैं फ़ंक्शन स्ट्रम के इम्वेट पर पतला है, वास्तव में, फ़ंक्शन बिंदु 0(0,0) पर शून्य के बराबर है और बिंदु M(x,y) पर सकारात्मक मान लेता है, मनमाने ढंग से बिंदु 0(0) के करीब है। ,0), और नकारात्मक मान। इसके लिए बिंदुओं पर (0, y) मनमाने ढंग से छोटे के लिए संकेतित प्रकार के बिंदु 0(0,0) को न्यूनतम बिंदु कहा जाता है (चित्र 21)। दो चरों के फलन के चरम को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है। प्रमेय 12 (दो चरों के फलन के चरम के लिए पर्याप्त शर्तें)। मान लीजिए कि बिंदु Mo(x, y) फलन f(x, y) का एक स्थिर बिंदु है ), और बिंदु / के कुछ पड़ोस में, बिंदु मो सहित, फ़ंक्शन /(आर, वाई) में दूसरे क्रम तक निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होता है। फिर"। बिंदु Mo(xo, V0) पर फ़ंक्शन /(xo, y) का कोई चरम नहीं है यदि D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>फलन f(x, y) का चरम मौजूद हो भी सकता है और नहीं भी। इस मामले में अभी और शोध की जरूरत है. आइए हम स्वयं को प्रमेय के कथन 1) और 2) को सिद्ध करने तक सीमित रखें। आइए फ़ंक्शन /(i, y): कहां के लिए दूसरे क्रम का टेलर सूत्र लिखें। शर्त के अनुसार, यह स्पष्ट है कि वृद्धि का चिह्न D/ (1) के दाहिनी ओर त्रिपद के चिह्न से निर्धारित होता है, अर्थात, दूसरे अंतर d2f का चिह्न। आइए इसे संक्षिप्तता के लिए निरूपित करें। तब समानता (एल) को इस प्रकार लिखा जा सकता है: मान लीजिए बिंदु एमक्यू(तो, वी0) पर हमारे पास... चूंकि, शर्त के अनुसार, फ़ंक्शन एफ(एस, वाई) के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं, तो असमानता (3) बिंदु M0(s0,yo) के कुछ पड़ोस पर भी बनी रहेगी। यदि शर्त संतुष्ट है (बिंदु А/0 पर, और निरंतरता के आधार पर व्युत्पन्न /,z(s,y) बिंदु Af0 के कुछ पड़ोस में अपना चिह्न बनाए रखेगा। उस क्षेत्र में जहां А Ф 0, हमारे पास है इससे यह स्पष्ट है कि यदि बिंदु M0(x0) y0 के किसी पड़ोस में ЛС - В2 > 0 है, तो त्रिपद AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 का चिह्न बिंदु पर A के चिह्न से मेल खाता है। , V0) (साथ ही C के चिन्ह के साथ, क्योंकि AC - B2 > 0 के लिए A और C के अलग-अलग चिन्ह नहीं हो सकते हैं)। चूँकि बिंदु (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) पर योग AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 का चिह्न अंतर का चिह्न निर्धारित करता है, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर आते हैं: यदि फ़ंक्शन के लिए /(s,y) at स्थिर बिंदु (s0, V0) स्थिति, तो पर्याप्त रूप से छोटे के लिए || असमानता संतुष्ट होगी. इस प्रकार, बिंदु (वर्ग, V0) पर फलन /(s, y) का अधिकतम मान होता है। यदि स्थिति स्थिर बिंदु (s0, y0) पर संतुष्ट है, तो सभी के लिए पर्याप्त रूप से छोटे |Dr| और |दु| असमानता सत्य है, जिसका अर्थ है कि बिंदु (so,yo) पर फ़ंक्शन /(s, y) का न्यूनतम है। उदाहरण। 1. एक चरम के लिए फ़ंक्शन की जांच करें 4 एक चरम के लिए आवश्यक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं की तलाश करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम आंशिक व्युत्पन्न u पाते हैं और उन्हें शून्य के बराबर करते हैं। हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं जहाँ से - एक स्थिर बिंदु। आइए अब प्रमेय 12 का उपयोग करें। हमारे पास इसका मतलब है कि बिंदु Ml पर एक चरम है। क्योंकि यह न्यूनतम है. यदि हम फ़ंक्शन r को फॉर्म में बदलते हैं, तो इसे देखना आसान है दाहिना भाग(“) न्यूनतम होगा जब इस फ़ंक्शन का पूर्ण न्यूनतम होगा। 2. एक चरम के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। हम फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु पाते हैं, जिसके लिए हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं, ताकि बिंदु स्थिर हो। चूँकि, प्रमेय 12 के आधार पर, बिंदु M पर कोई चरम नहीं है। * 3. फ़ंक्शन के चरम की जांच करें। फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु खोजें। समीकरणों की प्रणाली से हम इसे प्राप्त करते हैं, इसलिए बिंदु स्थिर है। आगे हमारे पास यह है कि प्रमेय 12 किसी चरम की उपस्थिति या अनुपस्थिति के बारे में प्रश्न का उत्तर नहीं देता है। आइए इसे इस तरह से करें. बिंदु से भिन्न सभी बिंदुओं के बारे में एक फ़ंक्शन के लिए, परिभाषा के अनुसार, और बिंदु A/o(0,0) फ़ंक्शन r का एक पूर्ण न्यूनतम है। समान गणनाओं द्वारा हम स्थापित करते हैं कि फ़ंक्शन का बिंदु पर अधिकतम होता है, लेकिन फ़ंक्शन का बिंदु पर कोई चरम नहीं होता है। मान लें कि n स्वतंत्र चरों का एक फ़ंक्शन एक बिंदु पर भिन्न हो सकता है, यदि प्रमेय 13 (एक चरम के लिए पर्याप्त शर्तों तक) बिंदु मो को फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु कहा जाता है। मान लें कि फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है और फाइन माउंट (xi...) के कुछ पड़ोस में दूसरे क्रम के निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं, जो एक स्थिर फाइन फ़ंक्शन है यदि द्विघात रूप (फाइन में फ़ंक्शन एफ का दूसरा अंतर सकारात्मक है) निश्चित (नकारात्मक निश्चित), फ़ंक्शन f का न्यूनतम बिंदु (क्रमशः, ठीक अधिकतम) ठीक है। यदि द्विघात रूप (4) संकेत-प्रत्यावर्ती है, तो यह स्थापित करने के लिए कि ठीक LG0 में कोई चरम नहीं है द्विघात रूप (4) सकारात्मक या नकारात्मक निश्चित है, उदाहरण के लिए, आप द्विघात रूप 15.2 की सकारात्मक (नकारात्मक) निश्चितता के लिए सिल्वेस्टर मानदंड का उपयोग कर सकते हैं स्थानीय चरम एक फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में, जब फ़ंक्शन के तर्क किसी भी अतिरिक्त शर्तों से बंधे नहीं होते हैं। ऐसी चरम सीमा को बिना शर्त कहा जाता है। हालाँकि, तथाकथित सशर्त चरम सीमा का पता लगाने में अक्सर समस्याएं होती हैं। मान लें कि फ़ंक्शन z = /(x, y) को डोमेन D में परिभाषित किया गया है। आइए मान लें कि इस डोमेन में एक वक्र L दिया गया है, और हमें केवल उनमें से फ़ंक्शन f(x> y) का एक्स्ट्रेमा खोजने की आवश्यकता है इसके मान जो वक्र L के बिंदुओं के अनुरूप हैं। उसी एक्स्ट्रेमा को वक्र L पर फ़ंक्शन z = f(x) y) का सशर्त एक्स्ट्रेमा कहा जाता है। परिभाषा वे कहते हैं कि वक्र L पर स्थित एक बिंदु पर , फ़ंक्शन f(x, y) में एक सशर्त अधिकतम (न्यूनतम) होता है यदि असमानता सभी बिंदुओं M (s, y) y) वक्र L पर संतुष्ट होती है, जो बिंदु M0(x0, V0) के कुछ पड़ोस से संबंधित है और अलग है बिंदु M0 से (यदि वक्र L एक समीकरण द्वारा दिया गया है, तो वक्र पर फ़ंक्शन r - f(x,y) के सशर्त चरम को खोजने की समस्या निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: फ़ंक्शन x का चरम खोजें = /(z, y) क्षेत्र D में, बशर्ते कि इस प्रकार, फ़ंक्शन z = y का सशर्त चरम ज्ञात करते समय, वाइल्डबीस्ट के तर्कों को अब स्वतंत्र चर के रूप में नहीं माना जा सकता है: वे एक दूसरे से संबंधित हैं संबंध y) = 0, जिसे कनेक्शन समीकरण कहा जाता है। बिना शर्त और सशर्त चरम के बीच अंतर को स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें जहां फ़ंक्शन की बिना शर्त अधिकतम (छवि 23) एक के बराबर है और बिंदु (0,0) पर हासिल की जाती है। यह बिंदु M से मेल खाता है - pvvboloid का शीर्ष। आइए कनेक्शन समीकरण y = j जोड़ें। तब सशर्त अधिकतम स्पष्ट रूप से इसके बराबर होगा। यह बिंदु (ओ,|) पर पहुंच गया है, और यह गेंद के शीर्ष एएफजे से मेल खाता है, जो विमान वाई = जे के साथ गेंद के चौराहे की रेखा है। बिना शर्त mvximum के मामले में, हमारे पास सतह के सभी vpplicvt के बीच एक mvximum एप्लिकेट है * = 1 - l;2 ~ y1; summvv सशर्त - केवल vllikvt बिंदुओं के बीच pvraboloidv, सीधी रेखा y = j के बिंदु * के अनुरूप है, xOy विमान नहीं। उपस्थिति और कनेक्शन में किसी फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने के तरीकों में से एक इस प्रकार है। मान लीजिए कि कनेक्शन समीकरण y) - O, y को तर्क x के एक अद्वितीय विभेदक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करता है: फ़ंक्शन में y के बजाय एक फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें एक तर्क का एक फ़ंक्शन प्राप्त होता है जिसमें कनेक्शन की स्थिति को पहले से ही ध्यान में रखा जाता है। फ़ंक्शन का (बिना शर्त) चरम वांछित सशर्त चरम है। उदाहरण। कई चर वाले किसी फ़ंक्शन के चरम की स्थिति के तहत किसी फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं। कई चर वाले फ़ंक्शन के चरम की अवधारणा। एक चरम के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें सशर्त चरम निरंतर कार्यों का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ए कनेक्शन समीकरण (2") से हम y = 1-x पाते हैं। इस मान y को (V) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक तर्क x का एक फ़ंक्शन प्राप्त होता है: आइए हम इसे चरम के लिए जांचें: जहां से x = 1 महत्वपूर्ण बिंदु है; , ताकि यह फ़ंक्शन r का एक सशर्त न्यूनतम प्रदान कर सके (चित्र 24)। आइए हम सशर्त चरम समस्या को हल करने का एक और तरीका बताएं, जिसे लैग्रेंज मल्टीप्लायर विधि कहा जाता है। मान लीजिए कि कनेक्शन की उपस्थिति में किसी फ़ंक्शन का एक सशर्त चरम बिंदु है। आइए मान लें कि कनेक्शन समीकरण बिंदु xx के एक निश्चित पड़ोस में एक अद्वितीय निरंतर भिन्न फ़ंक्शन को परिभाषित करता है। यह ध्यान में रखते हुए कि हम पाते हैं कि बिंदु xq पर फ़ंक्शन /(r, ip(x)) के x के संबंध में व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए या, जो इसके बराबर है, f(x, y) का अंतर बिंदु मो" ओ शून्य के बराबर होना चाहिए) कनेक्शन समीकरण से हमारे पास (5) अंतिम समानता को एक अभी तक अनिर्धारित संख्यात्मक कारक ए से गुणा करना और समानता (4) के साथ पद दर पद जोड़ना, हमारे पास होगा (हम मानते हैं कि ) फिर, dx की मनमानी के कारण, हम समानताएं (6) और (7) प्राप्त करते हैं जो एक फ़ंक्शन के एक बिंदु पर बिना शर्त चरम के लिए आवश्यक शर्तों को व्यक्त करते हैं जिसे लैग्रेंज फ़ंक्शन कहा जाता है फ़ंक्शन /(x, y), यदि, आवश्यक रूप से लैग्रेंज फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु है जहां ए एक निश्चित संख्यात्मक गुणांक है। यहां से हम सशर्त चरम को खोजने के लिए एक नियम प्राप्त करते हैं: उन बिंदुओं को खोजने के लिए जो के बिंदु हो सकते हैं एक कनेक्शन की उपस्थिति में एक फ़ंक्शन का सामान्य चरम: 1) हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं, 2) इस फ़ंक्शन के डेरिवेटिव और यू को शून्य के बराबर करके और परिणामी समीकरणों में कनेक्शन समीकरण जोड़कर, हम तीन समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं जिससे हम A का मान ज्ञात करते हैं और x, y संभावित चरम बिंदुओं का समन्वय करते हैं। सशर्त चरम के अस्तित्व और प्रकृति का प्रश्न (8) से प्राप्त x0, V0, A मानों की मानी गई प्रणाली के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे अंतर के संकेत के अध्ययन के आधार पर हल किया गया है, बशर्ते कि यदि , फिर बिंदु (x0, V0) पर फ़ंक्शन /(x, y ) का एक सशर्त अधिकतम है; यदि d2F > 0 - तो एक सशर्त न्यूनतम। विशेष रूप से, यदि एक स्थिर बिंदु (xo, J/o) पर फ़ंक्शन F(x, y) के लिए निर्धारक D सकारात्मक है, तो बिंदु (®o, Yo) पर फ़ंक्शन f( x, y), यदि और फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम /(x, y), यदि उदाहरण। आइए हम फिर से पिछले उदाहरण की शर्तों की ओर मुड़ें: इस शर्त के तहत फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें कि x + y = 1. हम लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान करेंगे। लैग्रेंज फ़ंक्शन में इस मामले में स्थिर बिंदुओं को खोजने के लिए, हम एक प्रणाली बनाते हैं। प्रणाली के पहले दो समीकरणों से, हमें वह x = y प्राप्त होता है। फिर सिस्टम के तीसरे समीकरण (कनेक्शन समीकरण) से हम पाते हैं कि x - y = j संभावित चरम बिंदु के निर्देशांक हैं। इस मामले में (यह दर्शाया गया है कि A = -1। इस प्रकार, लैग्रेंज फ़ंक्शन। इस स्थिति के तहत फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु * = x2 + y2 है। लैग्रेंज फ़ंक्शन के लिए कोई बिना शर्त चरम सीमा नहीं है। P(x, y) ) का अभी तक किसी कनेक्शन की उपस्थिति में फ़ंक्शन /(x, y) के लिए सशर्त चरम की अनुपस्थिति का मतलब नहीं है उदाहरण: शर्त y 4 के तहत किसी फ़ंक्शन का चरम खोजें हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं और इसके लिए एक सिस्टम लिखते हैं ए और संभावित चरम बिंदुओं के निर्देशांक का निर्धारण: पहले दो समीकरणों से हमें x + y = 0 मिलता है और हम उस सिस्टम पर आते हैं जहां से x = y = A = 0. इस प्रकार, संबंधित लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप बिंदु पर होता है (0,0), फ़ंक्शन F(x, y; 0) में बिना शर्त चरम सीमा नहीं है, हालांकि, फ़ंक्शन r = xy का एक सशर्त चरम है जब y = x। वास्तव में, इस मामले में r = x2। यहां से यह स्पष्ट है कि बिंदु (0,0) पर एक सशर्त न्यूनतम है "लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि को किसी भी संख्या में तर्कों के कार्यों के मामले में स्थानांतरित किया जाता है। आइए हम उपस्थिति में फ़ंक्शन के चरम को देखें आइए हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें जहां A|, Az,..., A„, अनिश्चित स्थिर कारक हैं। फ़ंक्शन F के सभी प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्नों को शून्य के बराबर करने और परिणामी समीकरणों में कनेक्शन समीकरण (9) जोड़ने पर, हमें n + m समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है, जिससे हम Ab A3|..., At और निर्देशांक x निर्धारित करते हैं। \)x2). »सशर्त चरम सीमा के संभावित बिंदुओं का xn। यह प्रश्न कि क्या लैग्रेंज विधि का उपयोग करके पाए गए बिंदु वास्तव में एक सशर्त चरम सीमा के बिंदु हैं, अक्सर भौतिक या ज्यामितीय प्रकृति के विचारों के आधार पर हल किया जा सकता है। 15.3. निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान मान लीजिए कि कुछ बंद सीमित डोमेन डी में निरंतर फ़ंक्शन z = / (x, y) का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान ढूंढना आवश्यक है। प्रमेय 3 के अनुसार, इस डोमेन में एक बिंदु (xo, V0) है जिस पर फ़ंक्शन सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान लेता है। यदि बिंदु (xo, y0) डोमेन D के अंदर स्थित है, तो फ़ंक्शन / में अधिकतम (न्यूनतम) है, इसलिए इस मामले में हमारे लिए रुचि का बिंदु फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं में समाहित है /(x, य). हालाँकि, फ़ंक्शन /(x, y) क्षेत्र की सीमा पर अपने सबसे बड़े (सबसे छोटे) मान तक पहुँच सकता है। इसलिए, एक सीमित बंद क्षेत्र 2 में फ़ंक्शन z = /(x, y) द्वारा लिए गए सबसे बड़े (सबसे छोटे) मान को खोजने के लिए, आपको इस क्षेत्र के अंदर प्राप्त फ़ंक्शन के सभी अधिकतम (न्यूनतम) को खोजने की आवश्यकता है, साथ ही इस क्षेत्र की सीमा में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान। इन सभी संख्याओं में से सबसे बड़ा (सबसे छोटा) क्षेत्र 27 में फ़ंक्शन z = /(x,y) का वांछित सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान होगा। आइए हम दिखाते हैं कि एक भिन्न फ़ंक्शन के मामले में यह कैसे किया जाता है। प्रमम्र. क्षेत्र 4 के फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें। हम क्षेत्र डी के अंदर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। यहां से हमें x = y « 0 मिलता है बिंदु 0 (0,0) फ़ंक्शन x का महत्वपूर्ण बिंदु है। चूँकि अब हम क्षेत्र D की सीमा Г पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करते हैं। सीमा के भाग पर हमारे पास y = 0 एक महत्वपूर्ण बिंदु है, और चूँकि = तब इस बिंदु पर फ़ंक्शन z है = 1 + y2 का न्यूनतम एक के बराबर है। खंड Г" के अंत में, बिंदुओं पर (, हमारे पास है। समरूपता विचारों का उपयोग करते हुए, हम सीमा के अन्य हिस्सों के लिए समान परिणाम प्राप्त करते हैं। अंत में हम प्राप्त करते हैं: सबसे छोटा मूल्यक्षेत्र में फ़ंक्शन z = x2+y2 "बी शून्य के बराबर है और इसे क्षेत्र के आंतरिक बिंदु 0(0, 0) पर प्राप्त किया जाता है, और इस फ़ंक्शन का अधिकतम मान, दो के बराबर, चार बिंदुओं पर प्राप्त किया जाता है सीमा की (चित्र 25) चित्र 25 अभ्यास कार्यों की परिभाषा का क्षेत्र खोजें: कार्यों की स्तर रेखाओं का निर्माण करें: 9 तीन स्वतंत्र चर के कार्यों की स्तर सतहों का पता लगाएं: कार्यों की सीमाओं की गणना करें: कार्यों और उनके आंशिक व्युत्पन्न खोजें पूर्ण अंतर : जटिल कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: 3 जे खोजें। कई चर के एक समारोह के चरम की अवधारणा कई चर के एक समारोह के चरम की अवधारणा। एक चरम के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें सशर्त चरम निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य 34. दो चर के एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना, खोजें और फ़ंक्शन: 35. एक जटिल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना दो चरों का फलन खोजें |J और फलन: स्पष्ट रूप से दिए गए jj फलन ​​खोजें: 40. सीधी रेखा x = 3 के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्शरेखा वक्र का कोणीय गुणांक ज्ञात करें। 41. वे बिंदु खोजें जिन पर स्पर्शरेखा है वक्र x का मान ऑक्स अक्ष के समानांतर है। . निम्नलिखित समस्याओं में, खोजें और T: स्पर्शरेखा तल और सतह के अभिलंब के समीकरण लिखें: 49. सतह x2 + 2y2 + 3z2 = 21 के स्पर्शरेखा तलों के समीकरण लिखें, तल x + 4y के समानांतर + 6z = 0. टेलर सूत्र का उपयोग करके विस्तार के पहले तीन या चार पद खोजें: 50. बिंदु (0, 0) के आसपास y। किसी फ़ंक्शन के चरम की परिभाषा का उपयोग करते हुए, चरम के लिए निम्नलिखित कार्यों की जांच करें:)। दो चर वाले फ़ंक्शन के चरम के लिए पर्याप्त शर्तों का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन के चरम की जांच करें: 84. एक बंद सर्कल में फ़ंक्शन z = x2 - y2 के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें 85. सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें सीधी रेखाओं x = 0, y = 0, x + y = b से घिरे त्रिभुज में फलन * = x2y(4-x-y) का। 88. एक आयताकार खुले पूल के आयाम निर्धारित करें जिसकी सतह सबसे छोटी हो, बशर्ते कि इसका आयतन V के बराबर हो। 87. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आयाम ज्ञात करें जिसका कुल सतह 5 दिए जाने पर अधिकतम आयतन हो। उत्तर 1. और | अपनी भुजाओं सहित रेखाखंड x द्वारा निर्मित एक वर्ग। 3. संकेंद्रित वलय का परिवार 2= 0,1,2,... .4. सीधी रेखाओं पर बिंदुओं को छोड़कर संपूर्ण तल। परवलय y = -x? के ऊपर स्थित समतल का भाग। 8. वृत्त के बिंदु x. सीधी रेखाओं को छोड़कर संपूर्ण तल एल जो एक अनंत श्रृंखला के बराबर है फ़ंक्शन को बिंदुओं में परिभाषित किया गया है। ए) सीधी रेखा x के समानांतर सीधी रेखाएं बी) मूल बिंदु पर केंद्र के साथ संकेंद्रित वृत्त। 10. a) परवलय y) परवलय y a) परवलय b) अतिपरवलय | .विमान xc. 13. प्राइम - ओज़ अक्ष के चारों ओर घूमने की एकल-गुहा हाइपरबोलॉइड्स; जब और ओज़ अक्ष के चारों ओर घूर्णन के दो-शीट हाइपरबोलॉइड होते हैं, तो सतहों के दोनों परिवारों को एक शंकु द्वारा अलग किया जाता है; कोई सीमा नहीं है, बी) 0. 18. आइए हम y = kxt फिर z lim z = -2 सेट करें, इसलिए बिंदु (0,0) पर दिए गए फ़ंक्शन की कोई सीमा नहीं है। 19. ए) प्वाइंट (0,0); बी) बिंदु (0,0)। 20. ए) ब्रेक लाइन - सर्कल x2 + y2 = 1; बी) ब्रेक लाइन सीधी रेखा y = x है। 21. ए) ब्रेक लाइनें - समन्वय अक्ष ऑक्स और ओए; बी) 0 (खाली सेट)। 22. सभी बिंदु (एम, एन), जहां और एन पूर्णांक हैं

दो चरों के कार्यों के चरम के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त स्थितियाँ।एक बिंदु को किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु के एक निश्चित पड़ोस में फ़ंक्शन परिभाषित होता है और असमानता को संतुष्ट करता है (क्रमशः, अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है।

चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त. यदि चरम बिंदु पर किसी फ़ंक्शन में पहले आंशिक व्युत्पन्न होते हैं, तो वे इस बिंदु पर गायब हो जाते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि ऐसे फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने के लिए, समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना होगा जिनके निर्देशांक इस प्रणाली को संतुष्ट करते हैं, उन्हें फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है। उनमें अधिकतम अंक, न्यूनतम अंक और ऐसे बिंदु भी हो सकते हैं जो चरम बिंदु नहीं हैं।

महत्वपूर्ण बिंदुओं के एक सेट से चरम बिंदुओं की पहचान करने के लिए पर्याप्त चरम स्थितियों का उपयोग किया जाता है और उन्हें नीचे सूचीबद्ध किया गया है।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन में महत्वपूर्ण बिंदु पर निरंतर दूसरा आंशिक व्युत्पन्न है। यदि इस बिंदु पर यह सच है

स्थिति तब यह एक न्यूनतम बिंदु है और अधिकतम बिंदु है यदि एक महत्वपूर्ण बिंदु पर है तो यह चरम बिंदु नहीं है। इस मामले में, महत्वपूर्ण बिंदु की प्रकृति का अधिक सूक्ष्म अध्ययन आवश्यक है, जो इस मामले में चरम बिंदु हो भी सकता है और नहीं भी।

तीन चरों के कार्यों की चरम सीमा.तीन चर वाले फ़ंक्शन के मामले में, चरम बिंदुओं की परिभाषाएँ दो चर वाले फ़ंक्शन के लिए संबंधित परिभाषाओं को शब्दशः दोहराती हैं। हम स्वयं को एक चरम सीमा के लिए किसी फलन का अध्ययन करने की प्रक्रिया प्रस्तुत करने तक ही सीमित रखते हैं। समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय, किसी को फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं को ढूंढना चाहिए, और फिर प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर मानों की गणना करनी चाहिए

यदि तीनों मात्राएँ सकारात्मक हैं, तो प्रश्न में महत्वपूर्ण बिंदु न्यूनतम बिंदु है; यदि तब यह महत्वपूर्ण बिंदु अधिकतम बिंदु है।

दो चर वाले फ़ंक्शन का सशर्त चरम।एक बिंदु को किसी फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु कहा जाता है, बशर्ते कि उस बिंदु का एक पड़ोस हो जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है और जिसमें (क्रमशः) सभी बिंदुओं के लिए जिनके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं

सशर्त चरम बिंदु खोजने के लिए, लैग्रेंज फ़ंक्शन का उपयोग करें

जहां संख्या को लैग्रेंज गुणक कहा जाता है। तीन समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

लैग्रेंज फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु (साथ ही सहायक कारक ए का मान) ढूंढें। इन महत्वपूर्ण बिंदुओं पर सशर्त चरम सीमा हो सकती है। उपरोक्त प्रणाली एक चरम सीमा के लिए केवल आवश्यक शर्तें प्रदान करती है, लेकिन पर्याप्त नहीं: इसे उन बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट किया जा सकता है जो एक सशर्त चरम सीमा के बिंदु नहीं हैं। हालाँकि, समस्या के सार के आधार पर, महत्वपूर्ण बिंदु की प्रकृति को स्थापित करना अक्सर संभव होता है।

कई चरों वाले किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम।आइए हम चरों के कार्य पर इस शर्त के तहत विचार करें कि वे समीकरणों से संबंधित हैं