आज पाठ में हम खोजना सीखेंगे सशर्तया, जैसा कि उन्हें भी कहा जाता है, सापेक्ष चरमकई चर के कार्य, और, सबसे पहले, हम निश्चित रूप से, सशर्त चरम सीमा के बारे में बात करेंगे दो के कार्यऔर तीन चर, जो अधिकांश विषयगत समस्याओं में पाए जाते हैं।

आपको क्या जानने और करने में सक्षम होने की आवश्यकता है इस पल? इस तथ्य के बावजूद कि यह लेख विषय के "बाहरी इलाके" पर है, सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए बहुत अधिक आवश्यकता नहीं है। इस बिंदु पर आपको बुनियादी बातों के बारे में पता होना चाहिए अंतरिक्ष की सतहें, खोजने में सक्षम हो आंशिक अवकलज (कम से कम औसत स्तर पर)और, जैसा कि निर्दयी तर्क बताता है, समझने के लिए बिना शर्त चरम. लेकिन फिर भी यदि आप कम स्तरतैयारी, छोड़ने में जल्दबाजी न करें - सभी लापता ज्ञान/कौशल वास्तव में "रास्ते में उठाए जा सकते हैं", और बिना किसी घंटों की पीड़ा के।

सबसे पहले, आइए स्वयं अवधारणा का विश्लेषण करें और साथ ही सबसे आम की त्वरित पुनरावृत्ति करें सतह. तो यह क्या है सशर्त चरम? ...यहाँ तर्क भी कम निर्दयी नहीं है =) किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम शब्द के सामान्य अर्थ में एक चरम है, जो एक निश्चित स्थिति (या शर्तें) पूरी होने पर प्राप्त होता है।

एक मनमाना "तिरछा" कल्पना कीजिए विमानवी कार्तीय प्रणाली. कोई नहीं चरमइसका यहां कोई निशान नहीं है. लेकिन ये फिलहाल के लिए है. चलो गौर करते हैं अण्डाकार सिलेंडर, सादगी के लिए - अक्ष के समानांतर एक अंतहीन गोल "पाइप"। जाहिर है, यह "पाइप" हमारे विमान से "कट" जाएगा अंडाकार, जिसके परिणामस्वरूप इसके ऊपरी बिंदु पर अधिकतम होगा, और इसके निचले बिंदु पर न्यूनतम होगा। दूसरे शब्दों में, विमान को परिभाषित करने वाला कार्य चरम सीमा तक पहुँच जाता है मान लें कियह एक दिए गए गोलाकार सिलेंडर द्वारा पार किया गया था। बिल्कुल "प्रदान किया गया"! इस तल को प्रतिच्छेद करने वाला एक अन्य अण्डाकार सिलेंडर लगभग निश्चित रूप से भिन्न न्यूनतम और अधिकतम मान उत्पन्न करेगा।

यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है, तो स्थिति का वास्तविक रूप से अनुकरण किया जा सकता है (हालांकि अंदर उल्टे क्रम) : एक कुल्हाड़ी ले लो, बाहर जाओ और काट डालो... नहीं, ग्रीनपीस तुम्हें बाद में माफ नहीं करेगा - ड्रेनपाइप को ग्राइंडर से काटना बेहतर है =)। सशर्त न्यूनतम और सशर्त अधिकतम इस बात पर निर्भर करेगा कि किस ऊंचाई पर और किसके नीचे (गैर-क्षैतिज)कट एक कोण पर किया जाता है।

गणनाओं को गणितीय जामा पहनाने का समय आ गया है। चलो गौर करते हैं अण्डाकार परवलयिक, जो है पूर्णतः न्यूनतमबिंदु पर. आइए अब चरम का पता लगाएं मान लें कि. यह विमानअक्ष के समानांतर, जिसका अर्थ है कि यह परवलयज से "काटता" है परवलय. इस परवलय का शीर्ष सशर्त न्यूनतम होगा। इसके अलावा, विमान निर्देशांक की उत्पत्ति से नहीं गुजरता है, इसलिए, बिंदु अप्रासंगिक रहेगा। चित्र नहीं दिया? आइए तुरंत लिंक का अनुसरण करें! इसमें कई, कई बार और समय लगेगा।

प्रश्न: इस सशर्त चरम सीमा का पता कैसे लगाएं? सबसे सरल तरीकासमाधान वह है जो समीकरण से (जिसे - कहा जाता है) स्थितिया कनेक्शन समीकरण) व्यक्त करें, उदाहरण के लिए: - और इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें:

परिणाम एक चर का एक फ़ंक्शन है जो एक परवलय को परिभाषित करता है, जिसके शीर्ष की गणना आपकी आंखें बंद करके की जाती है। पता लगाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु:

- महत्वपूर्ण बिन्दू।

उपयोग करने के लिए अगली सबसे आसान चीज़ है चरम सीमा के लिए दूसरी पर्याप्त स्थिति:

विशेष रूप से: इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन न्यूनतम बिंदु पर पहुंचता है। इसकी गणना सीधे तौर पर की जा सकती है: लेकिन हम अधिक अकादमिक रास्ता अपनाएंगे। आइए "गेम" समन्वय खोजें:
,

सशर्त न्यूनतम बिंदु लिखें, सुनिश्चित करें कि यह वास्तव में विमान में स्थित है (युग्मन समीकरण को संतुष्ट करता है):

और फ़ंक्शन के सशर्त न्यूनतम की गणना करें:
मान लें कि ("एडिटिव" आवश्यक है!!!).

विचाराधीन पद्धति को बिना किसी संदेह के व्यवहार में लागू किया जा सकता है, हालाँकि, इसके कई नुकसान भी हैं। सबसे पहले, समस्या की ज्यामिति हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, और दूसरी बात, कनेक्शन समीकरण से "x" या "y" को व्यक्त करना अक्सर लाभहीन होता है (यदि कुछ भी व्यक्त करने का कोई तरीका है). और अब हम सशर्त एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए एक सार्वभौमिक विधि पर विचार करेंगे, जिसे कहा जाता है लैग्रेंज गुणक विधि:

उदाहरण 1

तर्कों के कनेक्शन के निर्दिष्ट समीकरण के साथ फ़ंक्शन का सशर्त चरम खोजें।

क्या आप सतहों को पहचानते हैं? ;-)...मुझे आपके खुश चेहरे देखकर खुशी हुई=)

वैसे, इस समस्या के निरूपण से यह स्पष्ट हो जाता है कि इस स्थिति को क्यों कहा जाता है कनेक्शन समीकरण- फ़ंक्शन तर्क जुड़े हुएएक अतिरिक्त शर्त, अर्थात् पाया गया चरम बिंदु आवश्यक रूप से एक गोलाकार सिलेंडर से संबंधित होना चाहिए।

समाधान: पहले चरण में आपको कनेक्शन समीकरण को फॉर्म में प्रस्तुत करना होगा और रचना करनी होगी लैग्रेंज फ़ंक्शन:
, तथाकथित लैग्रेंज गुणक कहां है।

हमारे मामले में और:

सशर्त एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए एल्गोरिदम "सामान्य" को खोजने की योजना के समान है चरम. पता लगाते हैं आंशिक अवकलजलैग्रेंज फ़ंक्शन, जबकि "लैम्ब्डा" को एक स्थिरांक के रूप में माना जाना चाहिए:

आइए लिखें और हल करें निम्नलिखित प्रणाली:

उलझन को मानक के रूप में सुलझाया गया है:
पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं ;
दूसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं .

आइए समीकरण में कनेक्शनों को प्रतिस्थापित करें और सरलीकरण करें:

परिणामस्वरूप, हमें दो स्थिर बिंदु प्राप्त होते हैं। तो अगर:

तो अगर:

यह देखना आसान है कि दोनों बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं . ईमानदार लोग भी पूरी जांच कर सकते हैं: इसके लिए आपको विकल्प की आवश्यकता है सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण में, और फिर सेट के साथ भी ऐसा ही करें . हर चीज़ को "एक साथ आना" चाहिए।

आइए निष्पादन की जाँच करें पर्याप्त स्थितिपाए गए स्थिर बिंदुओं के लिए चरम सीमा। मैं इस मुद्दे को हल करने के लिए तीन दृष्टिकोणों पर चर्चा करूंगा:

1) पहली विधि ज्यामितीय औचित्य है।

आइए स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

इसके बाद, हम लगभग निम्नलिखित सामग्री के साथ एक वाक्यांश लिखते हैं: एक गोलाकार सिलेंडर द्वारा एक विमान का एक खंड एक दीर्घवृत्त होता है, जिसके ऊपरी शीर्ष पर अधिकतम पहुंच जाता है, और निचले शीर्ष पर न्यूनतम होता है। इस प्रकार, बड़ा मान एक सशर्त अधिकतम है, और छोटा मान एक सशर्त न्यूनतम है।

यदि संभव हो, तो इस पद्धति का उपयोग करना बेहतर है - यह सरल है, और शिक्षक इस निर्णय को गिनते हैं (एक बड़ा प्लस यह है कि आपने समझदारी दिखाई ज्यामितीय अर्थकार्य). हालाँकि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि क्या और कहाँ से मिलता है, और फिर विश्लेषणात्मक सत्यापन बचाव में आता है:

2) दूसरी विधि दूसरे क्रम के विभेदक संकेतों के उपयोग पर आधारित है। यदि यह पता चलता है कि एक स्थिर बिंदु पर, तो फ़ंक्शन वहां अधिकतम तक पहुंच जाता है, लेकिन यदि ऐसा होता है, तो यह न्यूनतम तक पहुंच जाता है।

पता लगाते हैं दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न:

और यह अंतर बनाएं:

जब, इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन बिंदु पर अपने अधिकतम तक पहुंच जाता है;
पर, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन बिंदु पर न्यूनतम तक पहुंचता है .

माना गया तरीका बहुत अच्छा है, लेकिन इसका नुकसान यह है कि कुछ मामलों में दूसरे अंतर का चिह्न निर्धारित करना लगभग असंभव है (आमतौर पर ऐसा तब होता है जब और/या अलग-अलग संकेत हों). और फिर "भारी तोपखाना" बचाव के लिए आता है:

3) आइए कनेक्शन समीकरण को "X" और "Y" से अलग करें:

और निम्नलिखित लिखें सममित आव्यूह:

यदि किसी स्थिर बिंदु पर है, तो फ़ंक्शन वहां पहुंचता है ( ध्यान!) न्यूनतम, यदि - तो अधिकतम।

आइए मान और संबंधित बिंदु के लिए मैट्रिक्स लिखें:

चलिए इसका हिसाब लगाते हैं सिद्ध:
, इस प्रकार, फ़ंक्शन का बिंदु पर अधिकतम होता है।

इसी प्रकार मूल्य और बिंदु के लिए:

इस प्रकार, फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है।

उत्तर: मान लें कि :

सामग्री के गहन विश्लेषण के बाद, मैं आपको कुछ सामग्री पेश करने से बच नहीं सकता विशिष्ट कार्यस्व-परीक्षण के लिए:

उदाहरण 2

यदि फ़ंक्शन के तर्क समीकरण से संबंधित हैं तो फ़ंक्शन का सशर्त चरम खोजें

उदाहरण 3

शर्त को देखते हुए फलन का चरम ज्ञात कीजिए

और फिर, मैं कार्यों के ज्यामितीय सार को समझने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं, विशेष रूप से अंतिम उदाहरण में, जहां पर्याप्त स्थिति का विश्लेषणात्मक सत्यापन कोई उपहार नहीं है। याद है क्या द्वितीय क्रम पंक्तिसमीकरण सेट करता है, और क्या सतहयह रेखा अंतरिक्ष में उत्पन्न होती है। विश्लेषण करें कि सिलेंडर किस वक्र के साथ विमान को काटेगा और इस वक्र पर कहां न्यूनतम होगा और कहां अधिकतम होगा।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

प्रश्न में समस्या का पता चलता है व्यापक अनुप्रयोगविभिन्न क्षेत्रों में, विशेष रूप से - हम ज्यामिति में ज्यादा दूर नहीं जाएंगे। आइए आधा लीटर की बोतल से जुड़ी हर किसी की पसंदीदा समस्या का समाधान करें (लेख का उदाहरण 7 देखेंअत्यधिक चुनौतियाँ ) दूसरा तरीका:

उदाहरण 4

एक बेलनाकार टिन के डिब्बे का आयाम क्या होना चाहिए ताकि डिब्बे को बनाने में कम से कम सामग्री का उपयोग किया जाए, यदि डिब्बे का आयतन बराबर हो

समाधान: एक परिवर्तनीय आधार त्रिज्या, एक परिवर्तनीय ऊंचाई पर विचार करें और कैन की कुल सतह के क्षेत्र का एक फ़ंक्शन बनाएं:
(दो आवरणों का क्षेत्रफल + पार्श्व सतह क्षेत्रफल)

• ट्यूटोरियल

सब लोग शुभ दिन. इस लेख में मैं इनमें से एक दिखाना चाहता हूं ग्राफिक तरीकेनिर्माण गणितीय मॉडलगतिशील प्रणालियों के लिए, जिसे कहा जाता है बांड ग्राफ("बॉन्ड" - कनेक्शन, "ग्राफ़" - ग्राफ़)। रूसी साहित्य में, मुझे इस पद्धति का विवरण केवल टॉम्स्की की पाठ्यपुस्तक में मिला बहुशिल्प विश्वविद्यालय, ए.वी. वोरोनिन "मॉडलिंग ऑफ़ मेक्ट्रोनिक सिस्टम्स" 2008 भी दिखाएं क्लासिक विधिदूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण के माध्यम से।

लैग्रेंज विधि

मैं सिद्धांत का वर्णन नहीं करूंगा, मैं कुछ टिप्पणियों के साथ गणना के चरण दिखाऊंगा। व्यक्तिगत रूप से, मेरे लिए सिद्धांत को 10 बार पढ़ने की तुलना में उदाहरणों से सीखना आसान है। मुझे ऐसा लगा कि रूसी साहित्य में, इस पद्धति की व्याख्या, और वास्तव में सामान्य रूप से गणित या भौतिकी, बहुत समृद्ध है जटिल सूत्र, जिसके लिए तदनुसार एक गंभीर गणितीय पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है। लैग्रेंज पद्धति का अध्ययन करते समय (मैं ट्यूरिन, इटली के पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय में अध्ययन करता हूं), मैंने गणना विधियों की तुलना करने के लिए रूसी साहित्य का अध्ययन किया, और मेरे लिए इस पद्धति को हल करने की प्रगति का अनुसरण करना कठिन था। खार्कोव एविएशन इंस्टीट्यूट में मॉडलिंग पाठ्यक्रमों को याद करते हुए भी, ऐसे तरीकों की व्युत्पत्ति बहुत बोझिल थी, और किसी ने भी इस मुद्दे को समझने की कोशिश करने की जहमत नहीं उठाई। यह वही है जो मैंने लिखने का फैसला किया, लैग्रेंज के अनुसार गणितीय मॉडल के निर्माण के लिए एक मैनुअल, जैसा कि यह पता चला कि यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है, यह जानना पर्याप्त है कि समय और आंशिक डेरिवेटिव के संबंध में डेरिवेटिव की गणना कैसे करें। अधिक जटिल मॉडलों के लिए, रोटेशन मैट्रिसेस भी जोड़े जाते हैं, लेकिन उनमें भी कुछ भी जटिल नहीं है।

मॉडलिंग विधियों की विशेषताएं:

• न्यूटन-यूलर: गतिशील संतुलन पर आधारित वेक्टर समीकरण बलऔर क्षणों
• लैग्रेंज: गतिज और क्षमता से जुड़े राज्य कार्यों पर आधारित अदिश समीकरण ऊर्जा
• बांड गणना: प्रवाह आधारित विधि शक्तिसिस्टम तत्वों के बीच

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं सरल उदाहरण. स्प्रिंग और डम्पर के साथ द्रव्यमान। हम गुरुत्वाकर्षण बल को नजरअंदाज कर देते हैं।

चित्र .1. स्प्रिंग और डम्पर के साथ द्रव्यमान

सबसे पहले, हम नामित करते हैं:

• प्रारंभिक प्रणाली COORDINATES(एनएसके) या फिक्स्ड एसके R0(i0,j0,k0). कहाँ? आप अपनी उंगली आकाश की ओर उठा सकते हैं, लेकिन मस्तिष्क में न्यूरॉन्स की युक्तियों को घुमाकर, एनएससी को एम1 शरीर की गति की रेखा पर रखने का विचार आता है।
• द्रव्यमान के साथ प्रत्येक पिंड के लिए समन्वय प्रणाली(हमारे पास एम1 है आर1(आई1,जे1,के1)), अभिविन्यास मनमाना हो सकता है, लेकिन अपने जीवन को जटिल क्यों बनाएं, इसे एनएससी से न्यूनतम अंतर के साथ सेट करें
• सामान्यीकृत निर्देशांक q_i(चर की न्यूनतम संख्या जो आंदोलन का वर्णन कर सकती है), इस उदाहरण में एक सामान्यीकृत समन्वय है, केवल जे अक्ष के साथ आंदोलन

अंक 2. हमने समन्वय प्रणालियाँ और सामान्यीकृत निर्देशांक नीचे रखे हैं

चित्र 3. शरीर की स्थिति और गति M1

फिर हम सूत्रों का उपयोग करके डैम्पर के लिए गतिज (सी) और संभावित (पी) ऊर्जा और विघटनकारी फ़ंक्शन (डी) पाएंगे:

चित्र 4. पूरा फार्मूलागतिज ऊर्जा

हमारे उदाहरण में कोई घूर्णन नहीं है, दूसरा घटक 0 है।

चित्र 5. गतिज, स्थितिज ऊर्जा और विघटनकारी कार्य की गणना

लैग्रेंज समीकरण का निम्नलिखित रूप है:

चित्र 6. लैग्रेंज समीकरण और लैग्रेंजियन

डेल्टा W_iयह लागू बलों और क्षणों द्वारा किया गया आभासी कार्य है। आइए उसे खोजें:

चित्र 7. आभासी कार्य की गणना

कहाँ डेल्टा q_1आभासी हलचल.

हम सब कुछ लैग्रेंज समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

चित्र 8. स्प्रिंग और डैम्पर के साथ परिणामी द्रव्यमान मॉडल

यहीं पर लैग्रेंज की पद्धति समाप्त हो गई। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह उतना जटिल नहीं है, लेकिन यह अभी भी एक बहुत ही सरल उदाहरण है, जिसके लिए संभवतः न्यूटन-यूलर विधि और भी सरल होगी। अधिक जटिल प्रणालियों के लिए, जहां विभिन्न कोणों पर एक-दूसरे के सापेक्ष कई पिंड घूमेंगे, लैग्रेंज विधि आसान होगी।

बॉन्ड ग्राफ़ विधि

मैं आपको तुरंत दिखाऊंगा कि द्रव्यमान, स्प्रिंग और डैम्पर के उदाहरण के लिए बॉन्ड-ग्राफ़ में मॉडल कैसा दिखता है:

चित्र 9. स्प्रिंग और डैम्पर के साथ बॉन्ड-ग्राफ द्रव्यमान

यहां आपको एक छोटी सी थ्योरी बतानी होगी, जो बनाने के लिए काफी होगी सरल मॉडल. यदि किसी को रुचि हो, तो आप पुस्तक पढ़ सकते हैं ( बॉन्ड ग्राफ़ पद्धति) या ( वोरोनिन ए.वी. मेक्ट्रोनिक सिस्टम की मॉडलिंग: ट्यूटोरियल. - टॉम्स्क: टॉम्स्क पॉलिटेक्निक यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 2008).

आइए सबसे पहले यह निर्धारित करें जटिल प्रणालियाँकई डोमेन से मिलकर बना है. उदाहरण के लिए, एक विद्युत मोटर में विद्युत और यांत्रिक भाग या डोमेन होते हैं।

बांड ग्राफइन डोमेन, उपप्रणालियों के बीच शक्ति के आदान-प्रदान पर आधारित। ध्यान दें कि बिजली विनिमय, किसी भी रूप में, हमेशा दो चर द्वारा निर्धारित होता है ( परिवर्तनशील शक्ति) जिसकी सहायता से हम एक गतिशील प्रणाली के भीतर विभिन्न उपप्रणालियों की परस्पर क्रिया का अध्ययन कर सकते हैं (तालिका देखें)।

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, शक्ति की अभिव्यक्ति लगभग हर जगह समान है। सारांश, शक्ति- यह काम " प्रवाह - एफ" पर " प्रयास - ई».

एक प्रयास(अंग्रेज़ी) कोशिश) विद्युत क्षेत्र में यह वोल्टेज (ई) है, यांत्रिक क्षेत्र में यह बल (एफ) या टॉर्क (टी) है, हाइड्रोलिक्स में यह दबाव (पी) है।

प्रवाह(अंग्रेज़ी) प्रवाह) विद्युत क्षेत्र में यह धारा (i) है, यांत्रिक क्षेत्र में यह गति (v) या है कोणीय वेग(ओमेगा), हाइड्रोलिक्स में - द्रव प्रवाह या प्रवाह दर (क्यू)।

इन नोटेशनों को लेते हुए, हमें शक्ति के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

चित्र 10. शक्ति चर के माध्यम से शक्ति सूत्र

बॉन्ड-ग्राफ़ भाषा में, शक्ति का आदान-प्रदान करने वाले दो उपप्रणालियों के बीच संबंध को एक बॉन्ड द्वारा दर्शाया जाता है। गहरा संबंध). इसीलिए इस विधि को कहा जाता है बांड-ग्राफया जी राफ-कनेक्शन, कनेक्टेड ग्राफ़. चलो गौर करते हैं ब्लॉक आरेखइलेक्ट्रिक मोटर वाले मॉडल में कनेक्शन (यह अभी तक बॉन्ड-ग्राफ़ नहीं है):

चित्र 11. डोमेन के बीच विद्युत प्रवाह का ब्लॉक आरेख

यदि हमारे पास एक वोल्टेज स्रोत है, तो तदनुसार यह वोल्टेज उत्पन्न करता है और इसे वाइंडिंग के लिए मोटर में स्थानांतरित करता है (यही कारण है कि तीर मोटर की ओर निर्देशित होता है), वाइंडिंग के प्रतिरोध के आधार पर, ओम के नियम (निर्देशित) के अनुसार एक करंट प्रकट होता है मोटर से स्रोत तक)। तदनुसार, एक वेरिएबल सबसिस्टम के लिए एक इनपुट है, और दूसरा होना चाहिए बाहर निकलनासबसिस्टम से. यहाँ वोल्टेज ( कोशिश) - आगत बहाव ( प्रवाह) - बाहर निकलना।

यदि आप वर्तमान स्रोत का उपयोग करते हैं, तो आरेख कैसे बदलेगा? सही। करंट को मोटर की ओर और वोल्टेज को स्रोत की ओर निर्देशित किया जाएगा। फिर वर्तमान ( प्रवाह) - इनपुट वोल्टेज ( कोशिश) - बाहर निकलना।

आइए यांत्रिकी में एक उदाहरण देखें। किसी द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल।

चित्र 12. द्रव्यमान पर बल लगाया गया

ब्लॉक आरेख इस प्रकार होगा:

चित्र 13. ब्लॉक आरेख

इस उदाहरण में, ताकत ( कोशिश) - द्रव्यमान के लिए इनपुट चर। (द्रव्यमान पर लगाया गया बल)
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार:

मास तेजी से प्रतिक्रिया करता है:

इस उदाहरण में, यदि एक चर ( बल - कोशिश) है प्रवेश द्वारयांत्रिक डोमेन में, फिर एक और शक्ति चर ( रफ़्तार - प्रवाह)- स्वचालित रूप से बन जाता है बाहर निकलना.

यह भेद करने के लिए कि इनपुट कहां है और आउटपुट कहां है, तत्वों के बीच तीर (कनेक्शन) के अंत में एक ऊर्ध्वाधर रेखा का उपयोग किया जाता है, इस रेखा को कहा जाता है कारणता का संकेत या करणीय संबंध (करणीय संबंध). यह पता चला: लागू बल कारण है, और गति प्रभाव है। सिस्टम मॉडल के सही निर्माण के लिए यह संकेत बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि कार्य-कारण एक परिणाम है शारीरिक व्यवहारऔर दो उपप्रणालियों की शक्तियों का आदान-प्रदान, इसलिए कारण चिह्न के स्थान का चुनाव मनमाना नहीं हो सकता।

चित्र 14. कारणता का पदनाम

यह ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाती है कि कौन सा उपतंत्र बल प्राप्त करता है ( कोशिश) और परिणामस्वरूप एक प्रवाह उत्पन्न होता है ( प्रवाह). द्रव्यमान वाले उदाहरण में यह इस प्रकार होगा:

चित्र 14. द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल के लिए कारण संबंध

तीर से स्पष्ट है कि द्रव्यमान का इनपुट है - बल, और आउटपुट है रफ़्तार. ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि आरेख को तीरों से अव्यवस्थित न किया जाए और मॉडल के निर्माण को व्यवस्थित किया जा सके।

अगला महत्वपूर्ण बिंदु. सामान्यीकृत आवेग(आंदोलन की मात्रा) और चलती(ऊर्जा चर).

विभिन्न डोमेन में शक्ति और ऊर्जा चर की तालिका

उपरोक्त तालिका बॉन्ड-ग्राफ विधि में प्रयुक्त दो अतिरिक्त भौतिक मात्राओं का परिचय देती है। उन्हें बुलाया गया है सामान्यीकृत आवेग (आर) और सामान्यीकृत आंदोलन (क्यू) या ऊर्जा चर, और उन्हें समय के साथ शक्ति चर को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है:

चित्र 15. शक्ति और ऊर्जा चर के बीच संबंध

विद्युत क्षेत्र में :

फैराडे के नियम के आधार पर, वोल्टेजकंडक्टर के सिरों पर इस कंडक्टर के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के व्युत्पन्न के बराबर है।

ए वर्तमान ताकत - भौतिक मात्रा, कुछ समय t से गुजरने वाले आवेश Q की मात्रा के अनुपात के बराबर क्रॉस सेक्शनकंडक्टर, समय की इस अवधि के मूल्य के लिए।

यांत्रिक डोमेन:

न्यूटन के दूसरे नियम से, बल– आवेग का समय व्युत्पन्न

और तदनुसार, रफ़्तार- विस्थापन का समय व्युत्पन्न:

आइए संक्षेप करें:

बुनियादी तत्व

गतिशील प्रणालियों के सभी तत्वों को दो-ध्रुव और चार-ध्रुव घटकों में विभाजित किया जा सकता है।
चलो गौर करते हैं द्विध्रुवीय घटक:

सूत्रों का कहना है
प्रयास और प्रवाह दोनों के स्रोत हैं। विद्युत क्षेत्र में सादृश्य: प्रयास का स्रोत – वोल्टेज स्रोत, स्ट्रीम स्रोत – वर्तमान स्रोत. स्रोतों के लिए कारण चिह्न ऐसे ही होने चाहिए।

चित्र 16. कारण संबंध और स्रोतों का पदनाम

घटक आर - विघटनकारी तत्व

घटक I – जड़ तत्व

घटक सी – कैपेसिटिव तत्व

जैसा कि आंकड़ों से देखा जा सकता है, अलग-अलग तत्व एक जैसे हैं आर, सी, आई टाइप करेंसमान समीकरणों द्वारा वर्णित। केवल विद्युत धारिता में अंतर है, आपको बस इसे याद रखने की आवश्यकता है!

चतुष्कोणीय घटक:

आइए दो घटकों को देखें: एक ट्रांसफार्मर और एक जाइरेटर।

बॉन्ड-ग्राफ़ विधि में अंतिम महत्वपूर्ण घटक कनेक्शन हैं। नोड दो प्रकार के होते हैं:

घटकों के साथ बस इतना ही।

बॉन्ड-ग्राफ़ के निर्माण के बाद कारण संबंध स्थापित करने के मुख्य चरण:

1. सभी को कारणात्मक संबंध दें सूत्रों का कहना है
2. सभी नोड्स से गुजरें और बिंदु 1 के बाद कारण संबंधों को लिखें
3. के लिए घटक Iएक इनपुट कारण संबंध निर्दिष्ट करें (इस घटक में प्रयास शामिल है)। घटक सीआउटपुट कार्य-कारण निर्दिष्ट करें (प्रयास इस घटक से निकलता है)
4. बिंदु 2 दोहराएँ
5. के लिए कारणात्मक संबंध डालें आर घटक

यह सिद्धांत पर लघु पाठ्यक्रम का समापन करता है। अब हमारे पास मॉडल बनाने के लिए आवश्यक सभी चीजें मौजूद हैं।
आइए कुछ उदाहरण हल करें। आइए एक विद्युत परिपथ से शुरू करें, बॉन्ड-ग्राफ के निर्माण की सादृश्यता को समझना बेहतर है।

उदाहरण 1

आइए एक वोल्टेज स्रोत के साथ एक बॉन्ड-ग्राफ़ बनाना शुरू करें। बस Se लिखें और एक तीर लगा दें.

देखिये, सब कुछ सरल है! आइए आगे देखें, आर और एल श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें समान धारा प्रवाहित होती है, अगर हम शक्ति चर में बोलते हैं - समान प्रवाह। किस नोड का प्रवाह समान है? सही उत्तर 1-नोड है। हम स्रोत, प्रतिरोध (घटक - आर) और अधिष्ठापन (घटक - I) को 1-नोड से जोड़ते हैं।

इसके बाद, हमारे पास समानांतर में समाई और प्रतिरोध है, जिसका अर्थ है कि उनके पास समान वोल्टेज या बल है। 0-नोड किसी अन्य की तरह उपयुक्त नहीं है। हम कैपेसिटेंस (घटक सी) और प्रतिरोध (घटक आर) को 0-नोड से जोड़ते हैं।

हम नोड 1 और 0 को भी एक दूसरे से जोड़ते हैं। तीरों की दिशा मनमाने ढंग से चुनी जाती है; कनेक्शन की दिशा केवल समीकरणों में चिह्न को प्रभावित करती है।

आपको निम्नलिखित कनेक्शन ग्राफ़ मिलेगा:

अब हमें कार्य-कारण संबंध स्थापित करने की आवश्यकता है। उनके प्लेसमेंट के क्रम के निर्देशों का पालन करते हुए, आइए स्रोत से शुरू करें।

1. हमारे पास वोल्टेज (प्रयास) का एक स्रोत है, ऐसे स्रोत में कार्य-कारण का केवल एक ही प्रकार है - आउटपुट। चलो इसे लगाओ.
2. अगला घटक I है, आइए देखें कि वे क्या अनुशंसा करते हैं। हम रखतें है
3. हमने इसे 1-नोड के लिए नीचे रख दिया। खाओ
4. 0-नोड में एक इनपुट और सभी आउटपुट कारण कनेक्शन होने चाहिए। अभी हमारे पास एक दिन की छुट्टी है। हम घटक सी या आई की तलाश कर रहे हैं। हमने इसे पाया। हम रखतें है
5. आइए सूचीबद्ध करें कि क्या बचा है

बस इतना ही। बॉन्ड ग्राफ बनाया गया है. हुर्रे, साथियों!

जो कुछ बचा है वह हमारे सिस्टम का वर्णन करने वाले समीकरण लिखना है। ऐसा करने के लिए, 3 कॉलम वाली एक तालिका बनाएं। पहले में सिस्टम के सभी घटक शामिल होंगे, दूसरे में प्रत्येक तत्व के लिए इनपुट वैरिएबल होगा, और तीसरे में उसी घटक के लिए आउटपुट वैरिएबल होगा। हम पहले ही कारण संबंधों द्वारा इनपुट और आउटपुट को परिभाषित कर चुके हैं। इसलिए कोई समस्या नहीं होनी चाहिए.

आइए स्तरों को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए प्रत्येक कनेक्शन को क्रमांकित करें। हम घटकों सी, आर, आई की सूची से प्रत्येक तत्व के लिए समीकरण लेते हैं।

एक तालिका संकलित करने के बाद, हम राज्य चर को परिभाषित करते हैं, इस उदाहरण में उनमें से 2 हैं, p3 और q5। आगे आपको राज्य के समीकरण लिखने होंगे:

बस, मॉडल तैयार है।

उदाहरण 2. मैं फोटो की गुणवत्ता के लिए तुरंत माफी मांगना चाहूंगा, मुख्य बात यह है कि आप पढ़ सकते हैं

आइए एक यांत्रिक प्रणाली के लिए एक और उदाहरण हल करें, वही उदाहरण जिसे हमने लैग्रेंज विधि का उपयोग करके हल किया था। मैं बिना किसी टिप्पणी के समाधान दिखाऊंगा। आइए देखें कि इनमें से कौन सा तरीका सरल और आसान है।

मतबाला में, समान मापदंडों वाले दोनों गणितीय मॉडल संकलित किए गए थे, जो लैग्रेंज विधि और बॉन्ड-ग्राफ द्वारा प्राप्त किए गए थे। परिणाम नीचे है: टैग जोड़ें

सबसे पहले, आइए दो चर वाले फ़ंक्शन के मामले पर विचार करें। किसी फ़ंक्शन का सशर्त चरम $z=f(x,y)$ बिंदु $M_0(x_0;y_0)$ पर इस फ़ंक्शन का चरम है, जो इस शर्त के तहत प्राप्त किया जाता है कि चर $x$ और $y$ में हैं इस बिंदु के आसपास कनेक्शन समीकरण $\ varphi (x,y)=0$ को संतुष्ट करता है।

"सशर्त" चरम नाम इस तथ्य के कारण है कि चर इसके अधीन हैं अतिरिक्त शर्त$\varphi(x,y)=0$. यदि एक चर को कनेक्शन समीकरण से दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, तो सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या एक चर के फ़ंक्शन के सामान्य चरम को निर्धारित करने की समस्या में कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि कनेक्शन समीकरण $y=\psi(x)$ को दर्शाता है, तो $y=\psi(x)$ को $z=f(x,y)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक वेरिएबल $z का एक फ़ंक्शन प्राप्त होता है =f\बाएं (x,\psi(x)\दाएं)$. में सामान्य मामलाहालाँकि, यह विधि बहुत कम उपयोग की है, इसलिए एक नए एल्गोरिदम की शुरूआत की आवश्यकता है।

दो चरों के कार्यों के लिए लैग्रेंज गुणक विधि।

लैग्रेंज गुणक विधि में एक सशर्त चरम को खोजने के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन का निर्माण शामिल है: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ पैरामीटर कहा जाता है लैग्रेंज गुणक)। चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्तें समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं जिससे स्थिर बिंदु निर्धारित होते हैं:

$$ \left \( \begin(aline) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(संरेखित) \दाएं.

एक पर्याप्त स्थिति जिससे कोई चरम की प्रकृति निर्धारित कर सकता है वह चिह्न है $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. यदि एक स्थिर बिंदु पर $d^2F > 0$, तो फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का इस बिंदु पर एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, то условный максимум.

चरम की प्रकृति को निर्धारित करने का एक और तरीका है। युग्मन समीकरण से हमें प्राप्त होता है: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, इसलिए किसी भी स्थिर बिंदु पर हमारे पास है:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \दाएं)$$

दूसरा कारक (कोष्ठक में स्थित) इस रूप में दर्शाया जा सकता है:

निर्धारक $\left| के तत्वों को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (सरणी)\दाएं|$, जो लैग्रेंज फ़ंक्शन का हेसियन है। यदि $H > 0$, तो $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, अर्थात हमारे पास फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का एक सशर्त न्यूनतम है।

निर्धारक $H$ के अंकन के संबंध में एक नोट। छिपा हुया दिखाओ

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") और F_(xy)^("") \\ varphi_(y)^(") और F_(xy)^("") और F_(yy)^("") \ अंत(सरणी) \दाएँ| $$

इस स्थिति में, ऊपर बनाया गया नियम इस प्रकार बदल जाएगा: यदि $H > 0$, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, और यदि $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

एक सशर्त चरम सीमा के लिए दो चर के एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम

1. लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. सिस्टम को हल करें $ \left \( \begin(allined) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(संरेखित) \right.$
3. पिछले पैराग्राफ में पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, निम्न में से किसी एक विधि का उपयोग करें:
   • $H$ का सारणिक लिखें और उसका चिह्न ज्ञात करें
   • युग्मन समीकरण को ध्यान में रखते हुए, $d^2F$ के चिह्न की गणना करें

n चरों के कार्यों के लिए लैग्रेंज गुणक विधि

मान लें कि हमारे पास $n$ वेरिएबल्स $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ और $m$ युग्मन समीकरण ($n > m$) का एक फ़ंक्शन है:

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों को $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ के रूप में दर्शाते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाते हैं:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

एक सशर्त चरम की उपस्थिति के लिए आवश्यक शर्तें समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती हैं, जिसमें से स्थिर बिंदुओं के निर्देशांक और लैग्रेंज गुणक के मान पाए जाते हैं:

$$\left\(\begin(align) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ओवरलाइन(1,एम)) \अंत(संरेखित) \दाएं.$$

आप $d^2F$ चिह्न का उपयोग करके पहले की तरह पता लगा सकते हैं कि किसी फ़ंक्शन में पाए गए बिंदु पर सशर्त न्यूनतम या सशर्त अधिकतम है या नहीं। यदि पाए गए बिंदु पर $d^2F > 0$, तो फ़ंक्शन में एक सशर्त न्यूनतम है, लेकिन यदि $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

मैट्रिक्स का निर्धारक $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(1)\आंशिक x_(3)) और\ldots और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(1)\आंशिक x_(n)) \\ \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(2)\आंशिक x_1) और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(2)^(2)) और \frac(\आंशिक^2F )(\आंशिक x_(2)\आंशिक x_(3)) &\ldots और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(2)\आंशिक x_(n))\\ \frac(\आंशिक^2F )(\आंशिक x_(3) \आंशिक x_(1)) और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(3)\आंशिक x_(2)) और \frac(\आंशिक^2F)(\आंशिक x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(3)\आंशिक x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(n)\आंशिक x_(1)) और \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(n)\आंशिक x_(2)) और \ frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(n)\आंशिक x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\आंशिक x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, मैट्रिक्स $L$ में लाल रंग में हाइलाइट किया गया, लैग्रेंज फ़ंक्शन का हेसियन है। हम निम्नलिखित नियम का उपयोग करते हैं:

• यदि कोणीय अवयस्कों के चिह्न $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ आव्यूह $L$ $(-1)^m$ के चिह्न के साथ मेल खाते हैं, तो अध्ययन के तहत स्थिर बिंदु फ़ंक्शन $ का सशर्त न्यूनतम बिंदु है z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• यदि कोणीय अवयस्कों के चिह्न $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ वैकल्पिक, और लघु $H_(2m+1)$ का चिह्न संख्या $(-1)^(m+1) के चिह्न के साथ मेल खाता है )$, तो स्थिर बिंदु फ़ंक्शन $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ का सशर्त अधिकतम बिंदु है।

उदाहरण क्रमांक 1

$x^2+y^2=10$ शर्त के तहत फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ का सशर्त चरम ज्ञात करें।

इस समस्या की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है: आपको सबसे बड़ा और खोजने की आवश्यकता है सबसे छोटा मूल्यसिलेंडर $x^2+y^2=10$ के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं के लिए विमान $z=x+3y$ के अनुप्रयोग।

युग्मन समीकरण से एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना और इसे फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ में प्रतिस्थापित करना कुछ हद तक कठिन है, इसलिए हम लैग्रेंज विधि का उपयोग करेंगे।

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ को दर्शाते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाते हैं:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\आंशिक x)=1+2\lambda x; \frac(\आंशिक F)(\आंशिक y)=3+2\lambda y. $$

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली लिखें:

$$ \left \( \begin(aline) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (संरेखित)\दाएं.$$

यदि हम $\lambda=0$ मान लें, तो पहला समीकरण बन जाता है: $1=0$। परिणामी विरोधाभास इंगित करता है कि $\lambda\neq 0$। शर्त $\lambda\neq 0$ के तहत, पहले और दूसरे समीकरण से हमारे पास है: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. प्राप्त मानों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(संरेखित) और \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(संरेखित) \दाएं.\\ \begin(संरेखित) और \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(संरेखित) $$

तो, सिस्टम के दो समाधान हैं: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ और $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. आइए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं: $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु पर $H$ के निर्धारक की गणना करते हैं।

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 और \varphi_(x)^(") और \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") और F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ varphi_(y)^(") और F_(xy)^("") और F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

बिंदु $M_1(1;3)$ पर हमें मिलता है: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, तो बिंदु $M_1(1;3)$ फ़ंक्शन $z(x,y)=x+3y$ की एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

इसी प्रकार, बिंदु $M_2(-1,-3)$ पर हम पाते हैं: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. चूँकि $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

मैं ध्यान देता हूं कि प्रत्येक बिंदु पर निर्धारक $H$ के मूल्य की गणना करने के बजाय, इसे इसमें विस्तारित करना अधिक सुविधाजनक है सामान्य रूप से देखें. विवरण के साथ पाठ को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैं इस विधि को एक नोट के नीचे छिपाऊंगा।

निर्धारक $H$ को सामान्य रूप में लिखना। छिपा हुया दिखाओ

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

सिद्धांत रूप में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि $H$ का चिन्ह क्या है। चूँकि $M_1$ या $M_2$ में से कोई भी बिंदु मूल बिंदु से मेल नहीं खाता है, तो $y^2+x^2>0$। इसलिए, $H$ का चिन्ह $\lambda$ के चिन्ह के विपरीत है। आप गणना पूरी कर सकते हैं:

$$ \begin(संरेखित) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(संरेखित) $$

स्थिर बिंदुओं $M_1(1;3)$ और $M_2(-1;-3)$ पर चरम की प्रकृति के बारे में प्रश्न को निर्धारक $H$ का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है। आइए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $d^2F$ का चिह्न ढूंढें:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

मुझे ध्यान दें कि नोटेशन $dx^2$ का मतलब बिल्कुल $dx$ है जिसे दूसरी घात तक बढ़ाया गया है, यानी। $\left(dx \right)^2$. इसलिए हमारे पास है: $dx^2+dy^2>0$, इसलिए, $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ के साथ हमें $d^2F मिलता है< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

उत्तर: बिंदु $(-1;-3)$ पर फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम $z_(\min)=-10$ है। बिंदु $(1;3)$ पर फ़ंक्शन की एक सशर्त अधिकतम सीमा होती है, $z_(\max)=10$

उदाहरण क्रमांक 2

$x+y=0$ शर्त के तहत फ़ंक्शन $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ का सशर्त चरम ज्ञात करें।

पहली विधि (लैग्रेंज गुणक विधि)

$\varphi(x,y)=x+y$ को दर्शाते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाते हैं: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\आंशिक F)(\आंशिक x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(allined) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ लैम्ब्डा=0; \\ & x+y=0.

सिस्टम को हल करने के बाद, हमें मिलता है: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ और $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. हमारे पास दो स्थिर बिंदु हैं: $M_1(0;0)$ और $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. आइए निर्धारक $H$ का उपयोग करके प्रत्येक स्थिर बिंदु पर चरम की प्रकृति का पता लगाएं।

$$H=\बाएँ| \begin(array) (ccc) 0 और \varphi_(x)^(") और \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") और F_(xx)^("") और F_(xy)^("") \\ varphi_(y)^(") और F_(xy)^("") और F_(yy)^("") \end(array) \right|= \बाएं| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

बिंदु पर $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, इसलिए इस बिंदु पर फ़ंक्शन का एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

हम $d^2F$ के चिह्न के आधार पर, एक अलग विधि का उपयोग करके प्रत्येक बिंदु पर चरम की प्रकृति की जांच करते हैं:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

कनेक्शन समीकरण $x+y=0$ से हमारे पास है: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$।

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

चूँकि $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, तो $M_1(0;0)$ फ़ंक्शन का सशर्त न्यूनतम बिंदु है $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. इसी प्रकार, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

दूसरा तरीका

कनेक्शन समीकरण $x+y=0$ से हमें मिलता है: $y=-x$. फ़ंक्शन $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ में $y=-x$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें वेरिएबल $x$ का कुछ फ़ंक्शन प्राप्त होता है। आइए इस फ़ंक्शन को $u(x)$ के रूप में निरूपित करें:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

इस प्रकार, हमने दो चर वाले फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने की समस्या को एक चर के फ़ंक्शन के चरम को निर्धारित करने की समस्या में कम कर दिया है।

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9); \;

हमें अंक $M_1(0;0)$ और $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ प्राप्त हुए। आगे के शोध को एक चर के कार्यों के अंतर कलन के पाठ्यक्रम से जाना जाता है। प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $u_(xx)^("")$ के चिह्न की जांच करके या पाए गए बिंदुओं पर $u_(x)^(")$ के चिह्न में परिवर्तन की जांच करके, हम वही निष्कर्ष प्राप्त करते हैं जब पहली विधि को हल करते हुए, उदाहरण के लिए, हम चिह्न $u_(xx)^("")$ की जाँच करेंगे।

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

चूँकि $u_(xx)^("")(M_1)>0$, तो $M_1$ फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु $u(x)$ है, और $u_(\min)=u(0)=0 $ . चूँकि $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

किसी दिए गए कनेक्शन स्थिति के लिए फ़ंक्शन $u(x)$ के मान फ़ंक्शन $z(x,y)$ के मानों से मेल खाते हैं, अर्थात। फ़ंक्शन $u(x)$ का पाया गया एक्स्ट्रेमा फ़ंक्शन $z(x,y)$ का मांगा गया सशर्त एक्स्ट्रेमा है।

उत्तर: बिंदु $(0;0)$ पर फ़ंक्शन का एक सशर्त न्यूनतम $z_(\min)=0$ है। बिंदु $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ पर फ़ंक्शन का एक सशर्त अधिकतम है, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें जिसमें हम $d^2F$ का चिह्न निर्धारित करके चरम की प्रकृति को स्पष्ट करेंगे।

उदाहरण संख्या 3

फ़ंक्शन $z=5xy-4$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें यदि चर $x$ और $y$ सकारात्मक हैं और युग्मन समीकरण $\frac(x^2)(8)+\frac( को संतुष्ट करते हैं) y^2)(2) -1=0$.

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाएं: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु खोजें:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(align) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(संरेखित) \दाएं।

आगे के सभी परिवर्तन $x > 0 को ध्यान में रखते हुए किए जाते हैं; \; y > 0$ (यह समस्या विवरण में निर्दिष्ट है)। दूसरे समीकरण से हम $\lambda=-\frac(5x)(y)$ व्यक्त करते हैं और पाए गए मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. तीसरे समीकरण में $x=2y$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $य =1$.

चूँकि $y=1$, तो $x=2$, $\lambda=-10$। हम $d^2F$ के चिह्न के आधार पर बिंदु $(2;1)$ पर चरम की प्रकृति निर्धारित करते हैं।

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

चूँकि $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, तो:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

सिद्धांत रूप में, यहां आप तुरंत स्थिर बिंदु $x=2$, $y=1$ और पैरामीटर $\lambda=-10$ के निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, प्राप्त करते हुए:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

हालाँकि, सशर्त चरम पर अन्य समस्याओं में कई स्थिर बिंदु हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, $d^2F$ को सामान्य रूप में प्रस्तुत करना बेहतर होता है, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति में प्रत्येक पाए गए स्थिर बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना बेहतर होता है:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

चूँकि $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

उत्तर: बिंदु $(2;1)$ पर फ़ंक्शन की सशर्त अधिकतम सीमा $z_(\max)=6$ है।

अगले भाग में हम बड़ी संख्या में चर वाले कार्यों के लिए लैग्रेंज विधि के अनुप्रयोग पर विचार करेंगे।

लैग्रेंज गुणक विधि.

लैग्रेंज मल्टीप्लायर विधि उन विधियों में से एक है जो आपको समस्याओं को बिना हल करने की अनुमति देती है रैखिक प्रोग्रामिंग.

नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग गणितीय प्रोग्रामिंग की एक शाखा है जो नॉनलाइनर ऑब्जेक्टिव फ़ंक्शन और नॉनलाइनियर बाधाओं द्वारा परिभाषित व्यवहार्य समाधानों के क्षेत्र के साथ चरम समस्याओं को हल करने के तरीकों का अध्ययन करती है। अर्थशास्त्र में, यह इस तथ्य से मेल खाता है कि परिणाम (दक्षता) संसाधन उपयोग के पैमाने (या, जो समान है, उत्पादन के पैमाने) में परिवर्तन के अनुपातहीन रूप से बढ़ता या घटता है: उदाहरण के लिए, उत्पादन लागत के विभाजन के कारण परिवर्तनीय और अर्ध-स्थिर में उद्यम; माल की मांग की संतृप्ति के कारण, जब प्रत्येक अगली इकाई को पिछली इकाई की तुलना में बेचना अधिक कठिन होता है, आदि।

नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग समस्या को किसी निश्चित का इष्टतम खोजने की समस्या के रूप में प्रस्तुत किया जाता है उद्देश्य समारोह

एफ(एक्स 1 ,…एक्स एन), एफ (एक्स) → अधिकतम

जब शर्तें पूरी हो जाती हैं

जी जे (एक्स 1 ,…एक्स एन)≥0, जी (एक्स) ≤ बी , एक्स ≥ 0

कहाँ एक्स-आवश्यक चर के वेक्टर;

एफ (एक्स) -उद्देश्य समारोह;

जी (एक्स) - बाधा समारोह (लगातार भिन्न);

बी - बाधा स्थिरांक का वेक्टर.

एक अरेखीय प्रोग्रामिंग समस्या (वैश्विक अधिकतम या न्यूनतम) का समाधान या तो सीमा से संबंधित हो सकता है या स्वीकार्य सेट के आंतरिक भाग से संबंधित हो सकता है।

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के विपरीत, एक गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या में इष्टतम आवश्यक रूप से बाधाओं द्वारा परिभाषित क्षेत्र की सीमा पर स्थित नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, कार्य असमानताओं के रूप में प्रतिबंधों की एक प्रणाली के अधीन, चर के ऐसे गैर-नकारात्मक मूल्यों का चयन करना है, जिसके तहत किसी दिए गए फ़ंक्शन का अधिकतम (या न्यूनतम) प्राप्त किया जाता है। इस मामले में, न तो उद्देश्य फ़ंक्शन और न ही असमानताओं के रूप निर्दिष्ट किए गए हैं। हो सकता है अलग-अलग मामले: उद्देश्य फ़ंक्शन अरेखीय है, और बाधाएं रैखिक हैं; उद्देश्य फ़ंक्शन रैखिक है, और बाधाएँ (उनमें से कम से कम एक) अरेखीय हैं; वस्तुनिष्ठ कार्य और बाधाएँ दोनों अरेखीय हैं।

नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग की समस्या प्राकृतिक विज्ञान, प्रौद्योगिकी, अर्थशास्त्र, गणित और के क्षेत्र में पाई जाती है व्यापार संबंधऔर सरकार के विज्ञान में।

उदाहरण के लिए, नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग एक बुनियादी आर्थिक समस्या से संबंधित है। इस प्रकार, सीमित संसाधनों के आवंटन की समस्या में, या तो दक्षता या, यदि उपभोक्ता का अध्ययन किया जा रहा है, तो संसाधनों की कमी की स्थितियों को व्यक्त करने वाले प्रतिबंधों की उपस्थिति में खपत अधिकतम हो जाती है। ऐसे सामान्य सूत्रीकरण में, समस्या का गणितीय सूत्रीकरण असंभव हो सकता है, लेकिन विशिष्ट अनुप्रयोगों में सभी कार्यों का मात्रात्मक रूप सीधे निर्धारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, औद्योगिक उद्यमप्लास्टिक उत्पाद बनाती है। यहां उत्पादन दक्षता को लाभ से मापा जाता है, और प्रतिबंधों की व्याख्या नकदी के रूप में की जाती है कार्यबल, उत्पादन क्षेत्र, उपकरण प्रदर्शन, आदि।

लागत-प्रभावशीलता पद्धति नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग योजना में भी फिट बैठती है। यह विधिसरकार में निर्णय लेने में उपयोग के लिए विकसित किया गया था। दक्षता का एक सामान्य कार्य कल्याण है। यहां दो गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याएं उत्पन्न होती हैं: पहला सीमित लागत पर प्रभाव को अधिकतम करना है, दूसरा लागत को कम करना है बशर्ते कि प्रभाव एक निश्चित न्यूनतम स्तर से ऊपर हो। यह समस्या आमतौर पर नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग का उपयोग करके अच्छी तरह से मॉडलिंग की जाती है।

नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के परिणाम सरकारी निर्णय लेने में सहायक होते हैं। परिणामी समाधान निश्चित रूप से अनुशंसित है, इसलिए अंतिम निर्णय लेने से पहले नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग समस्या की मान्यताओं और सटीकता की जांच करना आवश्यक है।

अरैखिक समस्याएँ जटिल होती हैं; उन्हें अक्सर रैखिक समस्याओं की ओर ले जाकर सरल बनाया जाता है। ऐसा करने के लिए, पारंपरिक रूप से यह माना जाता है कि किसी विशेष क्षेत्र में उद्देश्य फ़ंक्शन स्वतंत्र चर में परिवर्तन के अनुपात में बढ़ता या घटता है। इस दृष्टिकोण को टुकड़े-टुकड़े रैखिक सन्निकटन की विधि कहा जाता है, हालाँकि, यह केवल कुछ प्रकार की अरेखीय समस्याओं पर लागू होता है;

कुछ शर्तों के तहत नॉनलाइनर समस्याओं को लैग्रेंज फ़ंक्शन का उपयोग करके हल किया जाता है: इसके सैडल बिंदु को ढूंढकर, समस्या का समाधान ढूंढा जाता है। कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम के बीच एन.पी. बढ़िया जगहपर कब्जा ग्रेडिएंट तरीके. अरैखिक समस्याओं के लिए कोई सार्वभौमिक तरीका नहीं है और, जाहिर है, हो भी नहीं सकता, क्योंकि वे बेहद विविध हैं। बहु-चरम समस्याओं को हल करना विशेष रूप से कठिन है।

उन तरीकों में से एक जो आपको समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या को कम करने की अनुमति देता है, अनिश्चितकालीन गुणकों की लैग्रेंज विधि है।

लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग करके, हम अनिवार्य रूप से स्थापित करते हैं आवश्यक शर्तें, समानता के रूप में बाधाओं के साथ अनुकूलन समस्याओं में इष्टतम बिंदुओं की पहचान करने की अनुमति देता है। इस मामले में, प्रतिबंधों की समस्या एक समकक्ष समस्या में बदल जाती है बिना शर्त अनुकूलन, जिसमें कुछ अज्ञात पैरामीटर शामिल हैं जिन्हें लैग्रेंज मल्टीप्लायर कहा जाता है।

लैग्रेंज मल्टीप्लायर विधि में सशर्त चरम पर समस्याओं को एक सहायक फ़ंक्शन के बिना शर्त चरम पर समस्याओं को कम करना शामिल है - तथाकथित। लैग्रेंज फ़ंक्शन.

किसी फ़ंक्शन की चरम सीमा की समस्या के लिए एफ(एक्स 1, एक्स 2,..., एक्स एन) शर्तों के तहत (बाधा समीकरण) φ मैं(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन) = 0, मैं= 1, 2,..., एम, लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप है

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

मल्टीप्लायरों λ 1 , λ 2 , ..., λmबुलाया लैग्रेंज गुणक।

यदि मान एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , λ 1 , λ 2 , ..., λmसमीकरणों के समाधान का सार जो लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करता है, अर्थात्, अलग-अलग कार्यों के लिए समीकरणों की प्रणाली के समाधान हैं

फिर काफी सामान्य धारणाओं के तहत x 1 , x 2 , ..., x n फ़ंक्शन f का एक चरम प्रदान करता है।

समानता के रूप में एक बाधा के अधीन n चर के एक फ़ंक्शन को छोटा करने की समस्या पर विचार करें:

f(x 1, x 2… x n) को छोटा करें (1)

प्रतिबंधों के तहत h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

लैग्रेंज गुणक विधि के अनुसार, यह समस्या निम्नलिखित अप्रतिबंधित अनुकूलन समस्या में बदल जाती है:

न्यूनतम L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

जहां फ़ंक्शन L(x;λ) को लैग्रेंज फ़ंक्शन कहा जाता है,

λ एक अज्ञात स्थिरांक है, जिसे लैग्रेंज गुणक कहा जाता है। λ के चिन्ह के लिए कोई आवश्यकता नहीं है।

मान लीजिए, किसी दिए गए मान λ=λ 0 के लिए, x के संबंध में फ़ंक्शन L(x,λ) का बिना शर्त न्यूनतम बिंदु x=x 0 पर प्राप्त किया जाता है और x 0 समीकरण h 1 (x 0)=0 को संतुष्ट करता है . फिर, जैसा कि देखना आसान है, x 0 (2) को ध्यान में रखते हुए (1) को न्यूनतम करता है, क्योंकि x के सभी मान (2) को संतुष्ट करते हैं, h 1 (x)=0 और L(x,λ)=min एफ(एक्स).

बेशक, मान λ=λ 0 का चयन करना आवश्यक है ताकि बिना शर्त न्यूनतम बिंदु x 0 का समन्वय समानता (2) को संतुष्ट कर सके। यह तब किया जा सकता है जब λ को एक चर के रूप में मानते हुए, फ़ंक्शन λ के रूप में फ़ंक्शन (3) का बिना शर्त न्यूनतम ढूंढें, और फिर λ का मान चुनें जिस पर समानता (2) संतुष्ट होती है। आइए इसे एक विशिष्ट उदाहरण से स्पष्ट करें।

f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0 को न्यूनतम करें

बाधा के तहत h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

संबंधित अप्रतिबंधित अनुकूलन समस्या इस प्रकार लिखी गई है:

न्यूनतम L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

समाधान। ग्रेडिएंट एल के दो घटकों को शून्य के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

यह जांचने के लिए कि क्या स्थिर बिंदु x° न्यूनतम से मेल खाता है, हम फ़ंक्शन L(x;u) के हेसियन मैट्रिक्स के तत्वों की गणना करते हैं, जिन्हें x का फ़ंक्शन माना जाता है,

जो सकारात्मक रूप से निश्चित होता है।

इसका मतलब यह है कि L(x,u) x का उत्तल फलन है। नतीजतन, निर्देशांक x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 वैश्विक न्यूनतम बिंदु निर्धारित करते हैं। इष्टतम मूल्यλ मान x 1 0 और x 2 0 को समीकरण 2x 1 + x 2 =2 में प्रतिस्थापित करके पाया जाता है, जिसमें से 2λ+λ/2=2 या λ 0 =4/5। इस प्रकार, सशर्त न्यूनतम x 1 0 =4/5 और x 2 0 =2/5 पर प्राप्त किया जाता है और न्यूनतम f(x) = 4/5 के बराबर होता है।

उदाहरण की समस्या को हल करते समय, हमने L(x;λ) को दो चर x 1 और x 2 के एक फ़ंक्शन के रूप में माना और इसके अलावा, यह मान लिया कि पैरामीटर λ का मान चुना गया था ताकि बाधा संतुष्ट हो। यदि सिस्टम का समाधान

जे=1,2,3,…,एन

λ को स्पष्ट कार्यों के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है, फिर x और λ के मान n+1 अज्ञात के साथ n+1 समीकरणों से युक्त निम्नलिखित प्रणाली को हल करके पाए जाते हैं:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

सबको ढूँढने के लिए संभव समाधानयह प्रणाली संख्यात्मक खोज विधियों (उदाहरण के लिए, न्यूटन की विधि) का उपयोग कर सकती है। प्रत्येक समाधान के लिए (), हमें x के फ़ंक्शन के रूप में माने जाने वाले फ़ंक्शन L के हेसियन मैट्रिक्स के तत्वों की गणना करनी चाहिए, और पता लगाना चाहिए कि क्या यह मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित (स्थानीय न्यूनतम) या नकारात्मक निश्चित (स्थानीय अधिकतम) है ).

लैग्रेंज गुणक विधि को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां समस्या में समानता के रूप में कई बाधाएं हैं। एक सामान्य समस्या पर विचार करें जिसकी आवश्यकता है

f(x) को छोटा करें

प्रतिबंधों के तहत h k =0, k=1, 2, ..., K.

लैग्रेंज फ़ंक्शन निम्नलिखित रूप लेता है:

यहाँ λ 1 , λ 2 , ..., λk-लैग्रेंज मल्टीप्लायर, यानी। अज्ञात पैरामीटर जिनके मान निर्धारित करने की आवश्यकता है। एक्स के संबंध में एल के आंशिक व्युत्पन्न को शून्य से बराबर करने पर, हमें एन अज्ञात के साथ एन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

यदि वेक्टर λ के कार्यों के रूप में उपरोक्त प्रणाली का समाधान ढूंढना मुश्किल हो जाता है, तो आप समानता के रूप में प्रतिबंधों को शामिल करके सिस्टम का विस्तार कर सकते हैं

विस्तारित प्रणाली का समाधान, जिसमें n + K अज्ञात के साथ n + K समीकरण शामिल हैं, फ़ंक्शन L के स्थिर बिंदु को निर्धारित करता है। फिर न्यूनतम या अधिकतम की जाँच के लिए एक प्रक्रिया लागू की जाती है, जो गणना के आधार पर की जाती है फ़ंक्शन L के हेसियन मैट्रिक्स के तत्वों को x के फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है, जैसा कि एक बाधा वाली समस्या के मामले में किया गया था। कुछ समस्याओं के लिए, n+K अज्ञात के साथ n+K समीकरणों की विस्तारित प्रणाली का कोई समाधान नहीं हो सकता है, और लैग्रेंज गुणक विधि अनुपयुक्त हो जाती है। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसे कार्य व्यवहार में काफी दुर्लभ हैं।

चलो गौर करते हैं विशेष मामला सामान्य कार्यगैर-रेखीय प्रोग्रामिंग, यह मानते हुए कि बाधाओं की प्रणाली में केवल समीकरण होते हैं, चर की गैर-नकारात्मकता के लिए कोई शर्त नहीं होती है और - कार्य उनके आंशिक व्युत्पन्न के साथ निरंतर होते हैं। इसलिए, समीकरणों की प्रणाली (7) को हल करके, हम सभी बिंदु प्राप्त करते हैं जिन पर फ़ंक्शन (6) के चरम मान हो सकते हैं।

लैग्रेंज गुणक विधि के लिए एल्गोरिदम

1. लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें.

2. चर x J,λ i के संबंध में लैग्रेंज फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें और उन्हें शून्य के बराबर करें।

3. हम समीकरणों की प्रणाली (7) को हल करते हैं, उन बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर समस्या के उद्देश्य फ़ंक्शन का चरम हो सकता है।

4. चरम सीमा के लिए संदिग्ध बिंदुओं में से, हम उन बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर चरम सीमा पहुंच जाती है, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन (6) के मूल्यों की गणना करते हैं।

उदाहरण।

आरंभिक डेटा:उत्पादन योजना के अनुसार, कंपनी को 180 उत्पादों का उत्पादन करने की आवश्यकता है। इन उत्पादों का निर्माण दो तकनीकी तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि का उपयोग करके x 1 उत्पादों का उत्पादन करते समय, लागत 4x 1 +x 1 2 रूबल होती है, और दूसरी विधि का उपयोग करके x 2 उत्पादों का उत्पादन करते समय, वे 8x 2 +x 2 2 रूबल होते हैं। निर्धारित करें कि प्रत्येक विधि का उपयोग करके कितने उत्पाद उत्पादित किए जाने चाहिए ताकि उत्पादन की लागत न्यूनतम हो।

बताई गई समस्या के लिए उद्देश्य फ़ंक्शन का रूप है
® मिनशर्तों के तहत x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें
.
2. हम x 1, x 2, λ के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर करते हैं:

3. समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करने पर, हम x 1 =91,x 2 =89 पाते हैं

4. उद्देश्य फ़ंक्शन x 2 =180-x 1 में प्रतिस्थापन करने पर, हमें एक चर का एक फ़ंक्शन प्राप्त होता है, अर्थात् f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

हम गणना करते हैं या 4x 1 -364=0 ,

जहां से हमारे पास x 1 * =91, x 2 * =89 है।

उत्तर: पहली विधि द्वारा निर्मित उत्पादों की संख्या x 1 =91 है, दूसरी विधि द्वारा x 2 =89 है, जबकि उद्देश्य फ़ंक्शन का मूल्य 17,278 रूबल के बराबर है।

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n - 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = एफ(टी)

सामान्य समाधान में मनमाना स्थिरांक सीके को प्रतिस्थापित करना शामिल है

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

सीएनजेएन(टी)

संगत सजातीय समीकरण

an(t)z(n)(t) + an - 1(t)z(n - 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

सहायक कार्यों ck(t) के लिए, जिनके व्युत्पन्न रैखिक बीजगणितीय प्रणाली को संतुष्ट करते हैं

सिस्टम (1) का निर्धारक फ़ंक्शंस z1,z2,...,zn का व्रोन्स्कियन है, जो इसके संबंध में इसकी अद्वितीय सॉल्वेबिलिटी सुनिश्चित करता है।

यदि एकीकरण स्थिरांक के निश्चित मूल्यों पर लिए गए एंटीडेरिवेटिव हैं, तो फ़ंक्शन

मूल रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण का एक समाधान है। एकीकरण अमानवीय समीकरणसंगत सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान की उपस्थिति में, इसे इस प्रकार चतुर्भुजों में घटा दिया जाता है।

लैग्रेंज विधि (मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि)

किसी अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करने की एक विधि, किसी विशेष समाधान को खोजे बिना किसी सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान जानना।

nवें क्रम के एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

जहाँ y = y(x) एक अज्ञात फलन है, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) ज्ञात हैं, सतत, सत्य: 1) रैखिक रूप से n हैं स्वतंत्र समाधान समीकरण y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) स्थिरांक c1, c2, ..., cn के किसी भी मान के लिए, फ़ंक्शन y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) एक है समीकरण का समाधान; 3) किसी भी प्रारंभिक मान x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 के लिए मान c*1, c*n, ..., c*n हैं जैसे कि समाधान y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) x = x0 पर प्रारंभिक शर्तें y*(x0)=y0, (y) को संतुष्ट करता है *)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

व्यंजक y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) कहलाता है सामान्य निर्णय nवें क्रम का रैखिक सजातीय अंतर समीकरण।

nवें क्रम y1(x), y2(x), ..., yn(x) के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के n रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के सेट को समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली कहा जाता है।

एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए स्थिर गुणांकसमाधानों की एक मौलिक प्रणाली के निर्माण के लिए एक सरल एल्गोरिदम है। हम समीकरण का हल y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) के रूप में खोजेंगे। " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, यानी संख्या l मूल है विशेषता समीकरण ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. अभिलक्षणिक समीकरण के बाएँ पक्ष को रैखिक अवकल समीकरण का अभिलक्षणिक बहुपद कहा जाता है: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. इस प्रकार, स्थिर गुणांकों के साथ nवें क्रम के एक रैखिक सजातीय समीकरण को हल करने की समस्या एक बीजगणितीय समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाती है।

यदि विशेषता समीकरण में n विभिन्न वास्तविक जड़ें l1№ l2 № ... № ln हैं, तो समाधान की मौलिक प्रणाली में फ़ंक्शन y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), शामिल हैं। .., yn (x) = exp(lnx), और सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)।

समाधान की एक मौलिक प्रणाली और सरल वास्तविक जड़ों के मामले के लिए एक सामान्य समाधान।

यदि विशेषता समीकरण की वास्तविक जड़ों में से किसी को आर बार (आर-एकाधिक रूट) दोहराया जाता है, तो समाधान की मौलिक प्रणाली में इसके अनुरूप आर फ़ंक्शन होते हैं; यदि lk=lk+1 = ... = lk+r-1, तो में मौलिक प्रणालीसमीकरण के समाधान में r फ़ंक्शन शामिल हैं: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1(x) =xr-1 exp(lnx).

उदाहरण 2. एकाधिक वास्तविक जड़ों के मामले के लिए समाधान की मौलिक प्रणाली और सामान्य समाधान।

यदि विशेषता समीकरण में जटिल जड़ें हैं, तो समाधान की मौलिक प्रणाली में सरल (बहुलता 1 के साथ) जटिल जड़ों की प्रत्येक जोड़ी lk,k+1=ak ± ibk कार्यों की एक जोड़ी से मेल खाती है yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

उदाहरण 4. सरल जटिल जड़ों के मामले के लिए समाधान की मौलिक प्रणाली और सामान्य समाधान। काल्पनिक जड़ें.

यदि जड़ों की एक जटिल जोड़ी में बहुलता r है, तो ऐसी जोड़ी lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, समाधान की मौलिक प्रणाली में फ़ंक्शन exp(akx)cos( से मेल खाती है bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx)।

उदाहरण 5. एकाधिक जटिल जड़ों के मामले के लिए समाधान की मौलिक प्रणाली और सामान्य समाधान।

इस प्रकार, स्थिर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजने के लिए, किसी को: विशेषता समीकरण लिखना चाहिए; अभिलक्षणिक समीकरण l1, l2, ..., ln के सभी मूल ज्ञात कीजिए; समाधान y1(x), y2(x), ..., yn(x) की मौलिक प्रणाली लिखिए; सामान्य समाधान y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) के लिए व्यंजक लिखिए। कॉची समस्या को हल करने के लिए, आपको प्रारंभिक स्थितियों में सामान्य समाधान के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने और स्थिरांक c1,..., cn के मान निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो रैखिक प्रणाली के समाधान हैं बीजगणितीय समीकरण c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

nवें क्रम के रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण के लिए

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

जहाँ y = y(x) एक अज्ञात फलन है, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) ज्ञात, सतत, वैध हैं: 1 ) यदि y1(x) और y2(x) एक गैर-सजातीय समीकरण के दो समाधान हैं, तो फ़ंक्शन y(x) = y1(x) - y2(x) संबंधित सजातीय समीकरण का एक समाधान है; 2) यदि y1(x) एक अमानवीय समीकरण का समाधान है, और y2(x) संबंधित सजातीय समीकरण का एक समाधान है, तो फ़ंक्शन y(x) = y1(x) + y2(x) एक समाधान है अमानवीय समीकरण; 3) यदि y1(x), y2(x), ..., yn(x) एक सजातीय समीकरण के n रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, और ych(x) - मनमाना निर्णयअमानवीय समीकरण, तो किसी भी प्रारंभिक मान x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 के लिए मान c*1, c*n, ..., c*n मौजूद हैं जैसे कि समाधान y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है y*(x0)=y0 , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

अभिव्यक्ति y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) को nवें क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है।

अमानवीय के विशेष समाधान खोजने के लिए विभेदक समीकरणफॉर्म के दाहिनी ओर निरंतर गुणांक के साथ: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), जहां Pk(x), Qm(x) बहुपद हैं डिग्री k और m के अनुसार, एक विशेष समाधान के निर्माण के लिए एक सरल एल्गोरिदम है, जिसे चयन विधि कहा जाता है।

चयन विधि, या विधि अनिश्चित गुणांक, इस प्रकार है। समीकरण का आवश्यक समाधान इस रूप में लिखा गया है: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, जहां Pr(x), Qr(x ) अज्ञात गुणांक pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 के साथ घात r = max(k, m) के बहुपद हैं। कारक xs को अनुनाद कारक कहा जाता है। अनुनाद उन मामलों में होता है जहां विशेषता समीकरण की जड़ों के बीच बहुलता एस की जड़ एल = ए ± आईबी होती है। वे। यदि संबंधित सजातीय समीकरण की विशेषता समीकरण की जड़ों में से एक ऐसा है कि इसका वास्तविक भाग घातांक के घातांक में गुणांक के साथ मेल खाता है, और इसका काल्पनिक भाग तर्क में गुणांक के साथ मेल खाता है त्रिकोणमितीय फलनसमीकरण के दाईं ओर, और इस मूल की बहुलता s है, तो आवश्यक आंशिक समाधान में एक गुंजयमान कारक xs होता है। यदि ऐसा कोई संयोग नहीं है (s=0), तो कोई अनुनादी कारक नहीं है।

विशेष समाधान के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करना बाईं तरफसमीकरण, हमें समीकरण के दाईं ओर बहुपद के समान रूप का एक सामान्यीकृत बहुपद प्राप्त होता है, जिसके गुणांक अज्ञात हैं।

दो सामान्यीकृत बहुपद समान होते हैं यदि और केवल यदि समान घात t के साथ xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) रूप के कारकों के गुणांक बराबर हों। ऐसे कारकों के गुणांकों को बराबर करने पर, हमें 2(r+1) अज्ञात के लिए 2(r+1) रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसी प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है।