स्कूल में, बहुत से लोग इंटीग्रल को हल करने में असफल हो जाते हैं या उनमें कोई कठिनाई होती है। यह लेख आपको इसका पता लगाने में मदद करेगा, क्योंकि आपको इसमें सब कुछ मिलेगा। अभिन्न तालिकाएँ.
अभिन्नगणितीय विश्लेषण में मुख्य गणनाओं और अवधारणाओं में से एक है। इसका स्वरूप दो उद्देश्यों से उत्पन्न हुआ:
पहला गोल- किसी फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके पुनर्स्थापित करें।
दूसरा गोल- सीधी रेखा पर ग्राफ़ से फ़ंक्शन f(x) की दूरी पर स्थित क्षेत्र की गणना, जहां a, b और x-अक्ष से बड़ा या x के बराबर है।
ये लक्ष्य हमें निश्चित और अनिश्चित अभिन्नता की ओर ले जाते हैं। इन अभिन्नों के बीच संबंध गुणों की खोज और गणना में निहित है। लेकिन सब कुछ प्रवाहित होता है और समय के साथ सब कुछ बदल जाता है, नए समाधान खोजे गए, परिवर्धन की पहचान की गई, जिससे एकीकरण के अन्य रूपों में निश्चित और अनिश्चित अभिन्नताएं पैदा हुईं।
क्या हुआ है अनिश्चितकालीन अभिन्न आप पूछना। यह b से अधिक x से अधिक अंतराल में एक चर x का एक प्रतिअवकलन फलन F(x) है। किसी फ़ंक्शन F(x) को कहा जाता है, किसी भी पदनाम x के लिए दिए गए अंतराल में, व्युत्पन्न F(x) के बराबर होता है। यह स्पष्ट है कि F(x) अंतराल में f(x) के लिए प्रतिअवकलन है, a, x से अधिक है, b से अधिक है। इसका मतलब है F1(x) = F(x) + C. C - किसी दिए गए अंतराल में f(x) के लिए कोई स्थिरांक और प्रतिअवकलन है। यह कथन उलटा है; फ़ंक्शन f(x) - 2 के लिए प्रतिअवकलज केवल स्थिरांक में भिन्न होते हैं। अभिन्न कलन के प्रमेय के आधार पर, यह पता चलता है कि अंतराल में प्रत्येक निरंतर
समाकलन परिभाषित करें अभिन्न योगों में एक सीमा के रूप में समझा जाता है, या किसी पंक्ति (ए, बी) पर परिभाषित किसी दिए गए फ़ंक्शन एफ (एक्स) की स्थिति में उस पर एक एंटीडेरिवेटिव एफ होता है, जिसका अर्थ है किसी दी गई पंक्ति के अंत में इसकी अभिव्यक्तियों का अंतर एफ(बी) - एफ(ए)।
इस विषय के अध्ययन को स्पष्ट करने के लिए, मैं वीडियो देखने का सुझाव देता हूं। यह विस्तार से बताता है और दिखाता है कि इंटीग्रल कैसे खोजें।
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प्रतिअवकलन फलन और अनिश्चित समाकलन
तथ्य 1. एकीकरण विभेदीकरण की विपरीत क्रिया है, अर्थात्, इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करना। इस प्रकार कार्य बहाल हो गया एफ(एक्स) कहा जाता है antiderivativeसमारोह के लिए एफ(एक्स).
परिभाषा 1. कार्य एफ(एक्स एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, यदि सभी मानों के लिए एक्सइस अंतराल से समानता कायम रहती है एफ "(एक्स)=एफ(एक्स), वह है यह फ़ंक्शन एफ(एक्स) प्रतिअवकलन फलन का व्युत्पन्न है एफ(एक्स). .
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ(एक्स) = पाप एक्स फ़ंक्शन का एक प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स संपूर्ण संख्या रेखा पर, चूँकि x के किसी भी मान के लिए (पाप एक्स)" = (क्योंकि एक्स) .
परिभाषा 2. किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग एफ(एक्स) इसके सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय है. इस मामले में, संकेतन का उपयोग किया जाता है
∫
एफ(एक्स)डीएक्स
,संकेत कहाँ है ∫ अभिन्न चिन्ह, फलन कहा जाता है एफ(एक्स) - इंटीग्रैंड फ़ंक्शन, और एफ(एक्स)डीएक्स -एकात्म अभिव्यक्ति.
इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) - के लिए कुछ प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स) , वह
∫
एफ(एक्स)डीएक्स = एफ(एक्स) +सी
कहाँ सी - मनमाना स्थिरांक (स्थिर)।
किसी फलन के प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चित समाकलन के रूप में समझने के लिए निम्नलिखित सादृश्य उपयुक्त है। चलो एक दरवाजा (पारंपरिक लकड़ी का दरवाजा) हो। इसका कार्य "दरवाजा बनना" है। दरवाजा किससे बना है? लकड़ी का बना हुआ। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन "टू बी ए डोर" के इंटीग्रैंड के एंटीडेरिवेटिव्स का सेट, यानी, इसका अनिश्चित अभिन्न अंग, फ़ंक्शन "टू बी ए ट्री + सी" है, जहां सी एक स्थिरांक है, जो इस संदर्भ में हो सकता है उदाहरण के लिए, पेड़ के प्रकार को निरूपित करें। जिस प्रकार एक दरवाजा कुछ उपकरणों का उपयोग करके लकड़ी से बनाया जाता है, उसी प्रकार एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का उपयोग करके "बनाया" जाता है व्युत्पन्न का अध्ययन करते समय हमने जो सूत्र सीखे .
फिर सामान्य वस्तुओं और उनके संगत प्रतिअवकलजों के कार्यों की तालिका ("एक दरवाजा होना" - "एक पेड़ होना", "एक चम्मच होना" - "धातु होना", आदि) मूल की तालिका के समान है अनिश्चितकालीन समाकलन, जो नीचे दिया जाएगा। अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका सामान्य कार्यों को उन प्रतिअवकलजों के संकेत के साथ सूचीबद्ध करती है जिनसे ये कार्य "बने" होते हैं। अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की समस्याओं के एक भाग में, ऐसे समाकलन दिए गए हैं जिन्हें बिना अधिक प्रयास के सीधे एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात अनिश्चितकालीन समाकलन की तालिका का उपयोग करके। अधिक जटिल समस्याओं में, इंटीग्रैंड को पहले रूपांतरित किया जाना चाहिए ताकि टेबल इंटीग्रल्स का उपयोग किया जा सके।
तथ्य 2. किसी फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव के रूप में पुनर्स्थापित करते समय, हमें एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) को ध्यान में रखना चाहिए सी, और 1 से अनंत तक विभिन्न स्थिरांकों के साथ प्रतिअवकलजों की सूची न लिखने के लिए, आपको एक मनमाना स्थिरांक के साथ प्रतिअवकलजों का एक सेट लिखना होगा सी, उदाहरण के लिए, इस तरह: 5 एक्स³+सी. अतः, प्रतिअवकलन की अभिव्यक्ति में एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) शामिल है, क्योंकि प्रतिअवकलन एक फलन हो सकता है, उदाहरण के लिए, 5 एक्स³+4 या 5 एक्स³+3 और जब विभेदित किया जाता है, 4 या 3, या कोई अन्य स्थिरांक शून्य हो जाता है।
आइए एकीकरण समस्या प्रस्तुत करें: इस फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) ऐसा फ़ंक्शन ढूंढें एफ(एक्स), जिसका व्युत्पन्नके बराबर एफ(एक्स).
उदाहरण 1।किसी फ़ंक्शन के प्रतिअवकलन का समुच्चय ज्ञात कीजिए
समाधान। इस फ़ंक्शन के लिए, प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है
समारोह एफ(एक्स) को फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है एफ(एक्स), यदि व्युत्पन्न एफ(एक्स) के बराबर है एफ(एक्स), या, जो एक ही चीज़ है, अंतर एफ(एक्स) बराबर है एफ(एक्स) डीएक्स, अर्थात।
(2)
इसलिए, फलन, फलन का प्रतिअवकलन है। हालाँकि, यह इसका एकमात्र प्रतिव्युत्पन्न नहीं है। वे कार्य भी करते हैं
कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक. इसे विभेदन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।
इस प्रकार, यदि किसी फलन के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो उसके लिए अनंत संख्या में प्रतिअवकलन होते हैं जो एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं। किसी फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव उपरोक्त फॉर्म में लिखे गए हैं। यह निम्नलिखित प्रमेय से अनुसरण करता है।
प्रमेय (तथ्य 2 का औपचारिक विवरण)।अगर एफ(एक्स) - फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, फिर इसके लिए कोई अन्य प्रतिअवकलन एफ(एक्स) उसी अंतराल पर फॉर्म में दर्शाया जा सकता है एफ(एक्स) + सी, कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.
अगले उदाहरण में, हम अभिन्नों की तालिका की ओर मुड़ते हैं, जो अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों के बाद पैराग्राफ 3 में दी जाएगी। ऐसा हम पूरी तालिका को पढ़ने से पहले करते हैं ताकि उपरोक्त का सार स्पष्ट हो जाए। और तालिका और गुणों के बाद, हम एकीकरण के दौरान उनका संपूर्ण उपयोग करेंगे।
उदाहरण 2.प्रतिअवकलन फलनों के समुच्चय खोजें:
समाधान। हम प्रतिअवकलन फलनों के समुच्चय पाते हैं जिनसे ये फलन "बनते" हैं। अभिन्नों की तालिका से सूत्रों का उल्लेख करते समय, अभी के लिए बस यह स्वीकार करें कि वहाँ ऐसे सूत्र हैं, और हम अनिश्चित अभिन्नों की तालिका का थोड़ा और आगे अध्ययन करेंगे।
1) इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (7) लागू करना एन= 3, हमें प्राप्त होता है
2) इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (10) का उपयोग करना एन= 1/3, हमारे पास है
3) चूंकि
फिर सूत्र (7) के अनुसार एन= -1/4 हम पाते हैं
यह फ़ंक्शन स्वयं नहीं है जो अभिन्न चिह्न के नीचे लिखा गया है एफ, और अंतर द्वारा इसका उत्पाद डीएक्स. यह मुख्य रूप से यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि किस चर द्वारा प्रतिअवकलन की मांग की जाती है। उदाहरण के लिए,
,
;
यहां दोनों मामलों में इंटीग्रैंड बराबर है, लेकिन विचार किए गए मामलों में इसके अनिश्चित इंटीग्रल अलग-अलग हो जाते हैं। पहले मामले में, इस फ़ंक्शन को वेरिएबल का एक फ़ंक्शन माना जाता है एक्स, और दूसरे में - के एक कार्य के रूप में जेड .
किसी फ़ंक्शन के अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को उस फ़ंक्शन को एकीकृत करना कहा जाता है।
अनिश्चितकालीन अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ
मान लीजिए हमें एक वक्र ढूंढ़ना है y=F(x)और हम पहले से ही जानते हैं कि इसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा एक दिया हुआ फलन है एफ(एक्स)इस बिंदु का भुज.
के अनुसार ज्यामितीय बोधव्युत्पन्न, वक्र पर किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा कोण का स्पर्शरेखा y=F(x) मूल्य के बराबरयौगिक एफ"(x). इसलिए हमें ऐसा कोई फ़ंक्शन ढूंढने की आवश्यकता है एफ(एक्स), जिसके लिए एफ"(एक्स)=एफ(एक्स). कार्य में आवश्यक फ़ंक्शन एफ(एक्स)का प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स). समस्या की स्थितियाँ एक वक्र से नहीं, बल्कि वक्रों के एक परिवार से संतुष्ट होती हैं। y=F(x)- ऐसे वक्रों में से एक, और इससे कोई अन्य वक्र अक्ष के अनुदिश समानांतर अनुवाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ओए.
आइए के प्रतिअवकलन फलन के ग्राफ़ को कॉल करें एफ(एक्स)अभिन्न वक्र. अगर एफ"(एक्स)=एफ(एक्स), फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=F(x)एक अभिन्न वक्र है.
तथ्य 3. अनिश्चितकालीन अभिन्न को ज्यामितीय रूप से सभी अभिन्न वक्रों के परिवार द्वारा दर्शाया जाता है , जैसा कि नीचे चित्र में है। निर्देशांक की उत्पत्ति से प्रत्येक वक्र की दूरी एक मनमाना एकीकरण स्थिरांक द्वारा निर्धारित की जाती है सी.
अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण
तथ्य 4. प्रमेय 1. अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर है, और इसका अंतर समाकलन के बराबर है।
तथ्य 5. प्रमेय 2. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चित अभिन्न अंग एफ(एक्स) फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) एक स्थिर अवधि तक , अर्थात।
(3)
प्रमेय 1 और 2 दर्शाते हैं कि विभेदीकरण और एकीकरण परस्पर विपरीत संक्रियाएँ हैं।
तथ्य 6. प्रमेय 3. समाकलन में स्थिर कारक को अनिश्चितकालीन समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है , अर्थात।
एकीकरण की चार मुख्य विधियाँ नीचे सूचीबद्ध हैं।
1)
किसी राशि या अंतर को एकीकृत करने का नियम.
.
यहां और नीचे u, v, w एकीकरण चर x के कार्य हैं।
2)
स्थिरांक को पूर्णांक चिन्ह से बाहर ले जाना।
मान लीजिए c, x से एक अचर स्वतंत्र है। तब इसे अभिन्न चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।
3)
परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि.
आइए अनिश्चितकालीन अभिन्न पर विचार करें।
यदि हम ऐसा कोई फ़ंक्शन φ पा सकते हैं (एक्स)एक्स से, तो
,
फिर, चर t = φ(x) को प्रतिस्थापित करके, हमारे पास है
.
4)
भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र.
,
जहां u और v एकीकरण चर के कार्य हैं।
अनिश्चितकालीन अभिन्नों की गणना का अंतिम लक्ष्य, परिवर्तनों के माध्यम से, दिए गए अभिन्न को सरलतम अभिन्नों में कम करना है, जिन्हें सारणीबद्ध अभिन्न कहा जाता है। तालिका इंटीग्रल को प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है ज्ञात सूत्र.
इंटीग्रल की तालिका >>> देखें
उदाहरण
अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करें
समाधान
हम ध्यान दें कि समाकलन तीन पदों का योग और अंतर है:
, और ।
विधि को लागू करना 1
.
इसके बाद, हम ध्यान दें कि नए अभिन्नों के समाकलन को स्थिरांक से गुणा किया जाता है 5, 4,
और 2
, क्रमश। विधि को लागू करना 2
.
अभिन्नों की तालिका में हमें सूत्र मिलता है
.
यह मानते हुए कि n = 2
, हम पहला अभिन्न पाते हैं।
आइए हम दूसरे अभिन्न को फॉर्म में फिर से लिखें
.
हम उस पर ध्यान देते हैं। तब
आइए तीसरी विधि का उपयोग करें। हम वेरिएबल t = φ बदलते हैं (एक्स) = लॉग एक्स.
.
अभिन्नों की तालिका में हमें सूत्र मिलता है
चूँकि एकीकरण के चर को किसी भी अक्षर से दर्शाया जा सकता है
आइए तीसरे अभिन्न अंग को फिर से इस रूप में लिखें
.
हम भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र लागू करते हैं।
चलिए डालते हैं.
तब
;
;
;
;
.
अंततः हमारे पास है
.
आइए x के साथ पद एकत्रित करें 3
.
.
उत्तर
सन्दर्भ:
एन.एम. गुंटर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, "लैन", 2003।
प्रिंसिपल इंटीग्रल जो हर छात्र को पता होना चाहिए
सूचीबद्ध अभिन्न अंग आधार हैं, मूल सिद्धांतों का आधार हैं। इन सूत्रों को जरूर याद रखना चाहिए. अधिक जटिल समाकलनों की गणना करते समय, आपको उनका लगातार उपयोग करना होगा।
भुगतान करें विशेष ध्यानसूत्र (5), (7), (9), (12), (13), (17) और (19)। एकीकृत करते समय अपने उत्तर में एक मनमाना स्थिरांक C जोड़ना न भूलें!
एक स्थिरांक का अभिन्न अंग
∫ ए डी एक्स = ए एक्स + सी (1)पावर फ़ंक्शन को एकीकृत करना
वास्तव में, स्वयं को केवल सूत्रों (5) और (7) तक सीमित रखना संभव था, लेकिन इस समूह के बाकी अभिन्न अंग इतनी बार आते हैं कि उन पर थोड़ा ध्यान देना उचित है।
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | एक्स | +सी(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)
घातांकीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों का समाकलन
बेशक, सूत्र (8) (शायद याद रखने के लिए सबसे सुविधाजनक) के रूप में माना जा सकता है विशेष मामलासूत्र (9). अतिपरवलयिक ज्या और अतिपरवलयिक कोज्या के समाकलों के लिए सूत्र (10) और (11) आसानी से सूत्र (8) से प्राप्त किए जा सकते हैं, लेकिन इन संबंधों को केवल याद रखना बेहतर है।
∫ ई एक्स डी एक्स = ई एक्स + सी (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ एस एच एक्स डी एक्स = सी एच एक्स + सी (10)
∫ सी एच एक्स डी एक्स = एस एच एक्स + सी (11)
त्रिकोणमितीय कार्यों के बुनियादी अभिन्न अंग
एक गलती जो छात्र अक्सर करते हैं वह यह है कि वे सूत्र (12) और (13) में संकेतों को भ्रमित कर देते हैं। यह याद रखते हुए कि साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है, किसी कारण से कई लोग मानते हैं कि फ़ंक्शन साइनएक्स का अभिन्न अंग कॉसएक्स के बराबर है। यह सच नहीं है! साइन का इंटीग्रल "माइनस कोसाइन" के बराबर है, लेकिन कॉसएक्स का इंटीग्रल "जस्ट साइन" के बराबर है:
∫ पाप x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = पाप x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 पाप 2 x d x = - c t g x + C (15)
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने वाले समाकलन
सूत्र (16), जो चापस्पर्शज्या की ओर ले जाता है, स्वाभाविक रूप से a=1 के लिए सूत्र (17) का एक विशेष मामला है। इसी प्रकार, (18) (19) का एक विशेष मामला है।
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = आर्क्सिन x + C = - आर्ककोस x + C (18)
∫ 1 ए 2 - एक्स 2 डी एक्स = आर्क्सिन एक्स ए + सी = - आर्ककोस एक्स ए + सी (ए > 0) (19)
अधिक जटिल अभिन्न अंग
इन सूत्रों को याद रखने की भी सलाह दी जाती है। इनका उपयोग भी अक्सर किया जाता है और इनका आउटपुट काफी थकाऊ होता है।
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | +सी (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | +सी (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 आर्क्सिन x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | + सी (ए > 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | + सी (ए > 0) (24)
एकीकरण के सामान्य नियम
1)दो कार्यों के योग का समाकलन योग के बराबरसंगत समाकलन: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) दो कार्यों के अंतर का अभिन्न अंग संबंधित अभिन्नों के अंतर के बराबर है: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)
3) स्थिरांक को पूर्णांक चिन्ह से निकाला जा सकता है: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
यह देखना आसान है कि गुण (26) केवल गुण (25) और (27) का संयोजन है।
4) एक जटिल फ़ंक्शन का अभिन्न अंग, यदि आंतरिक कार्यरैखिक है: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
यहां F(x) फ़ंक्शन f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है। कृपया ध्यान दें: यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब आंतरिक कार्य Ax + B हो।
महत्वपूर्ण: अस्तित्व में नहीं है सार्वभौमिक सूत्रदो कार्यों के उत्पाद के अभिन्न अंग के लिए, साथ ही एक भिन्न के अभिन्न अंग के लिए:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (तीस)
बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि किसी अंश या उत्पाद को एकीकृत नहीं किया जा सकता है। बात बस इतनी है कि हर बार जब आप (30) जैसा कोई अभिन्न अंग देखते हैं, तो आपको उससे "लड़ने" का एक तरीका ईजाद करना होगा। कुछ मामलों में, भागों द्वारा एकीकरण आपकी मदद करेगा, अन्य में आपको चर में बदलाव करना होगा, और कभी-कभी "स्कूल" बीजगणित या त्रिकोणमिति सूत्र भी मदद कर सकते हैं।
अनिश्चितकालीन समाकलन की गणना का एक सरल उदाहरण
उदाहरण 1. अभिन्न खोजें: ∫ (3 x 2 + 2 पाप x - 7 e x + 12) d xआइए हम सूत्र (25) और (26) का उपयोग करें (कार्यों के योग या अंतर का अभिन्न अंग संबंधित अभिन्नों के योग या अंतर के बराबर है। हम प्राप्त करते हैं: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 पाप x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 डी एक्स
आइए याद रखें कि स्थिरांक को अभिन्न चिह्न (सूत्र (27)) से बाहर निकाला जा सकता है। अभिव्यक्ति रूप में परिवर्तित हो जाती है
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ पाप x d x - 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
आइए अब बुनियादी अभिन्नों की तालिका का उपयोग करें। हमें सूत्र (3), (12), (8) और (1) लागू करने की आवश्यकता होगी। आइए एकीकृत करें ऊर्जा समीकरण, साइन, घातांकीय और स्थिरांक 1. आइए अंत में एक मनमाना स्थिरांक C जोड़ना न भूलें:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
प्रारंभिक परिवर्तनों के बाद हमें अंतिम उत्तर मिलता है:
एक्स 3 - 2 कॉस एक्स - 7 ई एक्स + 12 एक्स + सी
विभेदीकरण द्वारा स्वयं का परीक्षण करें: परिणामी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें और सुनिश्चित करें कि यह मूल इंटीग्रैंड के बराबर है।
अभिन्नों की सारांश तालिका
| ∫ ए डी एक्स = ए एक्स + सी |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | एक्स | +सी |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) |
| ∫ ई एक्स डी एक्स = ई एक्स + सी |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ सी एच एक्स डी एक्स = एस एच एक्स + सी |
| ∫ पाप x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = पाप x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 पाप 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 - x 2 d x = आर्क्सिन x + C = - आर्ककोस x + C |
| ∫ 1 ए 2 - एक्स 2 डी एक्स = आर्क्सिन एक्स ए + सी = - आर्ककोस एक्स ए + सी (ए > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | +सी |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | +सी |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 आर्क्सिन x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | + सी (ए > 0) |
| ∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | + सी (ए > 0) |
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आइए हम इसके अभिन्नों को सूचीबद्ध करें प्राथमिक कार्य, जिन्हें कभी-कभी सारणीबद्ध कहा जाता है:
उपरोक्त किसी भी सूत्र को दाहिनी ओर का व्युत्पन्न लेकर सिद्ध किया जा सकता है (परिणाम इंटीग्रैंड होगा)।
एकीकरण के तरीके
आइए कुछ बुनियादी एकीकरण विधियों पर नजर डालें। इसमे शामिल है:
1. अपघटन विधि(प्रत्यक्ष एकीकरण).
यह विधि सारणीबद्ध इंटीग्रल्स के प्रत्यक्ष उपयोग के साथ-साथ अनिश्चित इंटीग्रल के गुण 4 और 5 के उपयोग पर आधारित है (यानी, स्थिर कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना और/या इंटीग्रैंड को कार्यों के योग के रूप में प्रस्तुत करना - अपघटन) इंटीग्रैंड के शब्दों में)।
उदाहरण 1।उदाहरण के लिए, (dx/x 4) को खोजने के लिए आप सीधे x n dx के लिए तालिका इंटीग्रल का उपयोग कर सकते हैं। वास्तव में,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
आइए कुछ और उदाहरण देखें.
उदाहरण 2.इसे खोजने के लिए, हम उसी अभिन्न अंग का उपयोग करते हैं:
उदाहरण 3.इसे खोजने के लिए आपको लेने की जरूरत है
उदाहरण 4.खोजने के लिए, हम फॉर्म में इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं 
और घातीय फ़ंक्शन के लिए तालिका अभिन्न का उपयोग करें:
आइए एक स्थिर कारक कोष्ठक के उपयोग पर विचार करें।
उदाहरण 5.
उदाहरण के लिए, आइए खोजें 
. उस पर विचार करने पर हमें प्राप्त होता है
उदाहरण 6.हम इसे ढूंढ लेंगे. क्योंकि 
आइए तालिका अभिन्न का उपयोग करें 
हम पाते हैं
निम्नलिखित दो उदाहरणों में, आप ब्रैकेटिंग और टेबल इंटीग्रल्स का भी उपयोग कर सकते हैं:
उदाहरण 7.
(हम और का उपयोग करते हैं 
);
उदाहरण 8.
(हम उपयोग करते हैं 
और 
).
आइए अधिक जटिल उदाहरण देखें जो योग अभिन्न का उपयोग करते हैं।
उदाहरण 9.उदाहरण के लिए, आइए खोजें 
. अंश में विस्तार विधि लागू करने के लिए, हम योग घन सूत्र का उपयोग करते हैं, और फिर परिणामी बहुपद को हर से, पद दर पद विभाजित करते हैं।
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समाधान के अंत में एक सामान्य स्थिरांक C लिखा जाता है (और प्रत्येक पद को एकीकृत करते समय अलग-अलग नहीं)। भविष्य में, समाधान प्रक्रिया में व्यक्तिगत शब्दों के एकीकरण से स्थिरांक को हटाने का भी प्रस्ताव है जब तक कि अभिव्यक्ति में कम से कम एक अनिश्चित अभिन्न अंग शामिल हो (हम समाधान के अंत में एक स्थिरांक लिखेंगे)।
उदाहरण 10.हम ढूंढ लेंगे 
. इस समस्या को हल करने के लिए, आइए अंश का गुणनखंड करें (इसके बाद हम हर को कम कर सकते हैं)।
उदाहरण 11.हम इसे ढूंढ लेंगे. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग यहां किया जा सकता है।
कभी-कभी, किसी अभिव्यक्ति को शब्दों में विघटित करने के लिए, आपको अधिक जटिल तकनीकों का उपयोग करना पड़ता है।
उदाहरण 12.हम ढूंढ लेंगे 
. इंटीग्रैंड में हम भिन्न के पूरे भाग का चयन करते हैं 
. तब
उदाहरण 13.हम ढूंढ लेंगे
2. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)
विधि निम्नलिखित सूत्र पर आधारित है: f(x)dx=f((t))`(t)dt, जहां x =(t) विचाराधीन अंतराल पर अवकलनीय एक फ़ंक्शन है।
सबूत। आइए बाईं ओर से चर t के संबंध में व्युत्पन्न खोजें सही भागसूत्र.
ध्यान दें कि बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन है जिसका मध्यवर्ती तर्क x = (t) है। इसलिए, इसे t के संबंध में अलग करने के लिए, हम पहले x के संबंध में अभिन्न को अलग करते हैं, और फिर t के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न लेते हैं।
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
दाईं ओर से व्युत्पन्न:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
चूँकि ये व्युत्पन्न समान हैं, लैग्रेंज के प्रमेय के परिणाम से, सिद्ध किए जा रहे सूत्र के बाएँ और दाएँ पक्ष एक निश्चित स्थिरांक से भिन्न होते हैं। चूँकि अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग स्वयं अनिश्चितकालीन स्थिर पद तक परिभाषित होते हैं, इस स्थिरांक को अंतिम संकेतन से छोड़ा जा सकता है। सिद्ध किया हुआ।
चर का एक सफल परिवर्तन आपको मूल अभिन्न अंग को सरल बनाने की अनुमति देता है, और सबसे सरल मामलों में, इसे एक सारणीबद्ध रूप में कम कर देता है। इस पद्धति के अनुप्रयोग में, रैखिक और अरेखीय प्रतिस्थापन विधियों के बीच अंतर किया जाता है।
ए) रैखिक प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें.
उदाहरण 1।
. मान लीजिए t= 1 – 2x, तो
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नए वेरिएबल को स्पष्ट रूप से लिखने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे मामलों में, वे किसी फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के तहत बदलने या अंतर चिह्न के तहत स्थिरांक और चर पेश करने के बारे में बात करते हैं, यानी। हे अंतर्निहित परिवर्तनीय प्रतिस्थापन.
उदाहरण 2.उदाहरण के लिए, आइए cos(3x + 2)dx खोजें। अंतर के गुणों द्वारा dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), फिरcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
विचार किए गए दोनों उदाहरणों में, अभिन्नों को खोजने के लिए रैखिक प्रतिस्थापन t=kx+b(k0) का उपयोग किया गया था।
सामान्य स्थिति में, निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।
रैखिक प्रतिस्थापन प्रमेय. मान लीजिए F(x) फलन f(x) का कुछ प्रतिअवकलन है। फिरf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, जहां k और b कुछ स्थिरांक हैं,k0.
सबूत।
अभिन्न अंग की परिभाषा के अनुसार f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. आइए अभिन्न चिह्न से स्थिर कारक k निकालें: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. अब हम समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं और स्थिर पद के पदनाम तक सिद्ध होने वाला कथन प्राप्त कर सकते हैं।
यह प्रमेय बताता है कि यदि अभिन्न f(x)dx= F(x) + C की परिभाषा में तर्क x के बजाय हम अभिव्यक्ति (kx+b) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो इससे एक अतिरिक्त की उपस्थिति होगी प्रतिअवकलन के सामने कारक 1/k.
सिद्ध प्रमेय का उपयोग करके, हम निम्नलिखित उदाहरणों को हल करते हैं।
उदाहरण 3.
हम ढूंढ लेंगे 
. यहाँ kx+b= 3 –x, यानी k= -1,b= 3. फिर
उदाहरण 4.
हम इसे ढूंढ लेंगे. यहाँkx+b= 4x+ 3, यानी k= 4,b= 3. फिर
उदाहरण 5.
हम ढूंढ लेंगे 
. यहाँ kx+b= -2x+ 7, यानी k= -2,b= 7. फिर
.
उदाहरण 6.हम ढूंढ लेंगे 
. यहां kx+b= 2x+ 0, यानी k= 2,b= 0.
.
आइए प्राप्त परिणाम की तुलना उदाहरण 8 से करें, जिसे विस्तार विधि द्वारा हल किया गया था। एक ही समस्या को भिन्न विधि से हल करने पर हमें उत्तर मिल गया 
. आइए परिणामों की तुलना करें: इस प्रकार, ये अभिव्यक्तियाँ एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होती हैं 
, अर्थात। प्राप्त उत्तर एक-दूसरे का खंडन नहीं करते।
उदाहरण 7.हम ढूंढ लेंगे 
. आइए हर में एक पूर्ण वर्ग चुनें।
कुछ मामलों में, एक वेरिएबल को बदलने से इंटीग्रल को सीधे सारणीबद्ध रूप में कम नहीं किया जा सकता है, बल्कि समाधान को सरल बनाया जा सकता है, जिससे अगले चरण में विस्तार विधि का उपयोग करना संभव हो जाता है।
उदाहरण 8.उदाहरण के लिए, आइए खोजें 
. t=x+ 2 को प्रतिस्थापित करें, फिर dt=d(x+ 2) =dx। तब
,
जहाँ C = C 1 – 6 (पहले दो पदों के स्थान पर व्यंजक (x+ 2) को प्रतिस्थापित करने पर हमें ½x 2 -2x– 6 प्राप्त होता है)।
उदाहरण 9.हम ढूंढ लेंगे 
. माना t= 2x+ 1, फिर dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
आइए अभिव्यक्ति (2x+ 1) को t के स्थान पर रखें, कोष्ठक खोलें और समान कोष्ठक दें।
ध्यान दें कि परिवर्तनों की प्रक्रिया में हम दूसरे स्थिर पद की ओर चले गए, क्योंकि परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान स्थिर पदों के समूह को छोड़ा जा सकता है।
बी) अरेखीय प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें.
उदाहरण 1।
. लेट = -x 2. इसके बाद, कोई x को t के संदर्भ में व्यक्त कर सकता है, फिर dx के लिए एक अभिव्यक्ति ढूंढ सकता है और वांछित अभिन्न अंग में चर के परिवर्तन को लागू कर सकता है। लेकिन इस मामले में चीजों को अलग तरीके से करना आसान है। आइए खोजेंdt=d(-x 2) = -2xdx. ध्यान दें कि अभिव्यक्ति xdx वांछित इंटीग्रल के इंटीग्रैंड का एक कारक है। आइए हम इसे परिणामी समानताxdx= - ½dt से व्यक्त करें। तब
