अर्थशास्त्र में गेम थ्योरी का उपयोग करना। गेम थ्योरी के गणितीय मॉडल

3.4.1. गेम थ्योरी की बुनियादी अवधारणाएँ

वर्तमान में, उत्पादन, आर्थिक या वाणिज्यिक गतिविधियों में समस्याओं के कई समाधान निर्णय निर्माता के व्यक्तिपरक गुणों पर निर्भर करते हैं। अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय चुनते समय, मनमानी का तत्व और इसलिए जोखिम हमेशा अपरिहार्य होता है।

पूर्ण या आंशिक अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने की समस्याओं को गेम थ्योरी द्वारा निपटाया जाता है सांख्यिकीय समाधान. अनिश्चितता दूसरे पक्ष के विरोध का रूप ले सकती है, जो विरोधी लक्ष्यों का पीछा करता है, कुछ कार्यों या राज्यों में हस्तक्षेप करता है बाहरी वातावरण. ऐसे मामलों में, विपरीत पक्ष के व्यवहार के संभावित विकल्पों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

दोनों पक्षों के लिए संभावित व्यवहार विकल्प और विकल्पों और राज्यों के प्रत्येक संयोजन के लिए उनके परिणामों को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है गणित का मॉडलजिसे खेल कहा जाता है.संघर्ष के दोनों पक्ष आपसी कार्रवाइयों की सटीक भविष्यवाणी नहीं कर सकते। इतनी अनिश्चितता के बावजूद, संघर्ष के प्रत्येक पक्ष को निर्णय लेना होता है।

खेल सिद्धांत- यह गणितीय सिद्धांत संघर्ष की स्थितियाँ. इस सिद्धांत की मुख्य सीमाएँ दुश्मन की पूर्ण ("आदर्श") तर्कसंगतता की धारणा और संघर्ष को हल करते समय सबसे सतर्क "पुनर्बीमा" निर्णय को अपनाना हैं।

परस्पर विरोधी दलों को बुलाया जाता है खिलाड़ियों, खेल का एक कार्यान्वयन – दल, खेल का परिणाम - जीतना या हारना.

इस कदम परगेम थ्योरी में नियमों और उसके कार्यान्वयन द्वारा प्रदान की गई क्रियाओं में से एक का चुनाव होता है।

व्यक्तिगत रूप सेइनमें से किसी एक को खिलाड़ी की सचेत पसंद कहा जाता है संभावित विकल्पक्रियाएँ और उनका कार्यान्वयन।

यादृच्छिक चालएक खिलाड़ी की पसंद कहा जाता है जो नहीं बनी है स्वैच्छिक निर्णय सेखिलाड़ी, लेकिन किसी कार्रवाई और उसके कार्यान्वयन के लिए संभावित विकल्पों में से एक के यादृच्छिक चयन (सिक्का उछालना, कार्ड बांटना आदि) के कुछ तंत्र द्वारा।

खिलाड़ी की रणनीतिनियमों का एक समूह है जो खेल के दौरान उत्पन्न होने वाली स्थिति के आधार पर, इस खिलाड़ी की प्रत्येक व्यक्तिगत चाल के लिए कार्रवाई की पसंद निर्धारित करता है

इष्टतम रणनीतिप्लेयर एक ऐसी रणनीति है, जो व्यक्तिगत और यादृच्छिक चालों वाले खेल में कई बार दोहराए जाने पर, खिलाड़ी को यथासंभव अधिकतम प्रदान करती है औसतजीत (या, वही, न्यूनतम संभव औसतनुकसान)।

परिणामों की अनिश्चितता पैदा करने वाले कारणों के आधार पर खेलों को निम्नलिखित मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

- मिश्रितऐसे खेल जिनमें नियम, सिद्धांत रूप में, प्रत्येक खिलाड़ी को हर चीज़ का विश्लेषण करने की अनुमति देते हैं विभिन्न विकल्पव्यवहार और, इन विकल्पों की तुलना करते हुए, सर्वोत्तम को चुनें। यहां अनिश्चितता यह है कि बहुत सारे विकल्प हैं जिनका विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

- जुआऐसे खेल जिनमें यादृच्छिक कारकों के प्रभाव के कारण परिणाम अनिश्चित होता है।

- सामरिकऐसे खेल जिनमें परिणाम की अनिश्चितता इस तथ्य के कारण होती है कि निर्णय लेते समय प्रत्येक खिलाड़ी को यह नहीं पता होता है कि खेल में अन्य प्रतिभागी किस रणनीति का पालन करेंगे, क्योंकि प्रतिद्वंद्वी (साझेदार) के बाद के कार्यों के बारे में कोई जानकारी नहीं है ).

- खेल को युगल कहा जाता है, यदि खेल में दो खिलाड़ी शामिल हैं।

- खेल को एकाधिक कहा जाता है, यदि खेल में दो से अधिक खिलाड़ी हैं।

- खेल को शून्य योग कहा जाता है, यदि प्रत्येक खिलाड़ी दूसरे की कीमत पर जीतता है, और एक पक्ष की जीत और हार का योग दूसरे के बराबर है।

- शून्य-राशि युगल खेलबुलाया विरोधी खेल.

- खेल को परिमित कहा जाता है, यदि प्रत्येक खिलाड़ी के पास रणनीतियों की केवल एक सीमित संख्या है। अन्यथा यह एक खेल है अनंत।

- एक कदम खेलजब खिलाड़ी किसी एक रणनीति को चुनता है और एक चाल चलता है।

- मल्टी-स्टेप गेम मेंखिलाड़ी अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए कई कदम उठाते हैं, जो खेल के नियमों द्वारा सीमित हो सकते हैं या तब तक जारी रह सकते हैं जब तक कि किसी खिलाड़ी के पास खेल जारी रखने के लिए कोई संसाधन न बचे।

- व्यवसायिक खेलविभिन्न संगठनों और उद्यमों में संगठनात्मक और आर्थिक बातचीत का अनुकरण करें। किसी वास्तविक वस्तु की तुलना में गेम सिमुलेशन के फायदे हैं:

लिए गए निर्णयों के परिणामों की दृश्यता;

परिवर्तनीय समय पैमाना;

सेटिंग्स में बदलाव के साथ मौजूदा अनुभव की पुनरावृत्ति;

घटनाओं और वस्तुओं का परिवर्तनशील कवरेज।

तत्वों खेल मॉडल हैं:

- खेल के प्रतिभागी.

- खेल के नियम।

- सूचना सारणी, प्रतिरूपित प्रणाली की स्थिति और गति को प्रतिबिंबित करना।

खेलों का वर्गीकरण और समूहीकरण करने से आपको खोजने की अनुमति मिलती है सामान्य तरीकेनिर्णय लेने में विकल्पों की खोज करना, गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में संघर्ष स्थितियों के विकास के दौरान कार्रवाई के सबसे तर्कसंगत तरीके पर सिफारिशें विकसित करना।

3.4.2. खेल के उद्देश्य निर्धारित करना

एक परिमित शून्य-राशि युग्म खेल पर विचार करें। खिलाड़ी A के पास m रणनीतियाँ (A 1 A 2 A m) हैं, और खिलाड़ी B के पास n रणनीतियाँ (B 1, B 2 Bn) हैं। ऐसे खेल को आयाम mxn का खेल कहा जाता है। मान लीजिए कि a ij ऐसी स्थिति में खिलाड़ी A का भुगतान है जहां खिलाड़ी A ने रणनीति A i चुनी है, और खिलाड़ी B ने रणनीति B j चुनी है। इस स्थिति में खिलाड़ी का भुगतान b ij द्वारा दर्शाया जाएगा। एक शून्य-राशि वाला खेल, इसलिए, a ij = - b ij। विश्लेषण करने के लिए, खिलाड़ियों में से केवल एक के भुगतान को जानना पर्याप्त है, ए का कहना है।

यदि खेल में केवल व्यक्तिगत चालें शामिल हैं, तो रणनीति का चुनाव (ए आई, बी जे) विशिष्ट रूप से खेल के परिणाम को निर्धारित करता है। यदि खेल में यादृच्छिक चालें भी शामिल हैं, तो अपेक्षित जीत औसत मूल्य (गणितीय अपेक्षा) है।

आइए मान लें कि ij का मान रणनीतियों की प्रत्येक जोड़ी (A i, B j) के लिए जाना जाता है। आइए एक आयताकार तालिका बनाएं, जिसकी पंक्तियाँ खिलाड़ी A की रणनीतियों के अनुरूप हों, और कॉलम खिलाड़ी B की रणनीतियों के अनुरूप हों। इस तालिका को कहा जाता है भुगतान मैट्रिक्स.

खिलाड़ी ए का लक्ष्य अपनी जीत को अधिकतम करना है, और खिलाड़ी बी का लक्ष्य अपने नुकसान को कम करना है।

इस प्रकार, भुगतान मैट्रिक्स इस प्रकार दिखता है:

कार्य यह निर्धारित करना है:

1) रणनीतियों ए 1 ए 2 ए एम में से खिलाड़ी ए की सर्वोत्तम (इष्टतम) रणनीति;

2) रणनीतियों बी 1, बी 2 बीएन से खिलाड़ी बी की सर्वोत्तम (इष्टतम) रणनीति।

समस्या को हल करने के लिए, सिद्धांत लागू किया जाता है जिसके अनुसार खेल में भाग लेने वाले समान रूप से बुद्धिमान होते हैं और उनमें से प्रत्येक अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए सब कुछ करता है।

3.4.3. खेल की समस्याओं को हल करने के तरीके

मिनिमैक्स सिद्धांत

आइए हम खिलाड़ी A की प्रत्येक रणनीति का क्रमिक रूप से विश्लेषण करें। यदि खिलाड़ी A रणनीति A 1 चुनता है, तो खिलाड़ी B ऐसी रणनीति B j चुन सकता है, जिसमें खिलाड़ी A का भुगतान सबसे छोटी संख्या 1j के बराबर होगा। आइए इसे 1 से निरूपित करें:

अर्थात्, 1 पहली पंक्ति की सभी संख्याओं का न्यूनतम मान है।

इसे सभी पंक्तियों तक बढ़ाया जा सकता है. इसलिए, खिलाड़ी ए को वह रणनीति चुननी होगी जिसके लिए संख्या ए आई अधिकतम है।

वैल्यू ए एक गारंटीकृत जीत है जिसे खिलाड़ी बी के किसी भी व्यवहार के लिए खिलाड़ी अपने लिए सुरक्षित कर सकता है। वैल्यू ए को खेल की कम कीमत कहा जाता है।

खिलाड़ी बी अपने नुकसान को कम करने में रुचि रखता है, यानी खिलाड़ी ए की जीत को न्यूनतम तक कम करना चाहता है। इष्टतम रणनीति चुनने के लिए, उसे प्रत्येक कॉलम में अधिकतम भुगतान मूल्य ढूंढना होगा और उनमें से सबसे छोटे का चयन करना होगा।

आइए प्रत्येक कॉलम में अधिकतम मान को b j से निरूपित करें:

सबसे कम मूल्य b j को b से निरूपित करें।

बी = न्यूनतम अधिकतम ए आईजे

बी कहा जाता है ऊपरी सीमाखेल. वह सिद्धांत जो यह निर्देश देता है कि खिलाड़ी उचित रणनीतियाँ चुनें, मिनिमैक्स सिद्धांत कहलाता है।

ऐसे मैट्रिक्स गेम हैं जिनके लिए गेम की कम कीमत ऊपरी कीमत के बराबर होती है; ऐसे गेम को सैडल पॉइंट गेम कहा जाता है। इस मामले में, g=a=b को खेल का शुद्ध मूल्य कहा जाता है, और इस मूल्य को प्राप्त करने की अनुमति देने वाली रणनीतियों A * i, B * j को इष्टतम कहा जाता है। जोड़ी (ए * आई, बी * जे) को मैट्रिक्स का सैडल पॉइंट कहा जाता है, क्योंकि तत्व ए आईजे = जी एक साथ आई-पंक्ति में न्यूनतम और जे-कॉलम में अधिकतम है। इष्टतम रणनीतियाँए * आई, बी * जे, और शुद्ध कीमत शुद्ध रणनीतियों में गेम का समाधान है, यानी, यादृच्छिक चयन तंत्र को शामिल किए बिना।

उदाहरण 1।

एक भुगतान मैट्रिक्स दिया जाए. गेम का समाधान ढूंढें, यानी गेम की निचली और ऊपरी कीमतें और न्यूनतम रणनीतियां निर्धारित करें।

यहाँ a 1 =min a 1 j =min(5,3,8,2) =2

ए =अधिकतम न्यूनतम ए आईजे = अधिकतम(2,1,4) =4

बी = न्यूनतम अधिकतम ए आईजे = न्यूनतम(9,6,8,7) =6

इस प्रकार, कम कीमतखेल का (ए=4) रणनीति ए 3 से मेल खाता है। इस रणनीति को चुनकर, खिलाड़ी ए को खिलाड़ी बी के किसी भी व्यवहार के लिए कम से कम 4 का भुगतान प्राप्त होगा। खेल की ऊपरी कीमत (बी=6) से मेल खाती है खिलाड़ी बी की रणनीति। ये रणनीतियाँ न्यूनतम हैं। यदि दोनों पक्ष इन रणनीतियों का पालन करते हैं, तो भुगतान 4 (33) होगा।

उदाहरण 2.

भुगतान मैट्रिक्स दिया गया है. खेल की निचली और ऊपरी कीमतें ज्ञात करें।

ए =अधिकतम न्यूनतम ए आईजे = अधिकतम(1,2,3) =3

बी = न्यूनतम अधिकतम ए आईजे = न्यूनतम(5,6,3) =3

इसलिए, a =b=g=3. काठी बिंदु जोड़ी (ए * 3, बी * 3) है। यदि किसी मैट्रिक्स गेम में सैडल पॉइंट होता है, तो इसका समाधान मिनिमैक्स सिद्धांत का उपयोग करके पाया जाता है।

मिश्रित रणनीति वाले खेलों को हल करना

यदि भुगतान मैट्रिक्स में सैडल पॉइंट नहीं है (a मिश्रित रणनीति.

मिश्रित रणनीतियों का उपयोग करने के लिए निम्नलिखित शर्तों की आवश्यकता होती है:

1) गेम में कोई सैडल पॉइंट नहीं है।

2) खिलाड़ी संगत संभावनाओं के साथ शुद्ध रणनीतियों के यादृच्छिक मिश्रण का उपयोग करते हैं।

3) खेल को समान परिस्थितियों में कई बार दोहराया जाता है।

4) प्रत्येक चाल के दौरान, खिलाड़ी को दूसरे खिलाड़ी द्वारा चुनी गई रणनीति के बारे में सूचित नहीं किया जाता है।

5) खेल के परिणामों का औसत निकालने की अनुमति है।

गेम थ्योरी में यह सिद्ध है कि प्रत्येक शून्य-राशि युग्मित गेम में कम से कम एक मिश्रित रणनीति समाधान होता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक परिमित गेम की लागत g होती है। जी- औसत जीत, प्रति बैच, संतोषजनक स्थिति a<=g<=b . Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии.

खिलाड़ियों की इष्टतम मिश्रित रणनीतियों में उनकी रणनीतियों को सक्रिय कहा जाता है।

सक्रिय रणनीतियों पर प्रमेय.

एक इष्टतम मिश्रित रणनीति का अनुप्रयोग एक खिलाड़ी को खेल की लागत के बराबर अधिकतम औसत जीत (या न्यूनतम औसत हानि) प्रदान करता है, भले ही दूसरा खिलाड़ी क्या कार्रवाई करता है, जब तक कि वह सीमा से आगे नहीं जाता है उनकी सक्रिय रणनीतियाँ।

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

पी 1 पी 2 ... पी एम - खिलाड़ी ए द्वारा रणनीतियों ए 1 ए 2 ..... ए एम का उपयोग करने की संभावना;

Q 1 Q 2 …Q n खिलाड़ी B द्वारा रणनीतियों B 1, B 2….. Bn का उपयोग करने की संभावना

हम खिलाड़ी A की मिश्रित रणनीति को इस प्रकार लिखते हैं:

ए 1 ए 2…. पूर्वाह्न

Р 1 Р 2 ... Р एम

हम खिलाड़ी B की मिश्रित रणनीति को इस प्रकार लिखते हैं:

बी 1 बी 2…. बटालियन

भुगतान मैट्रिक्स ए को जानकर, आप औसत जीत (गणितीय अपेक्षा) एम (ए, पी, क्यू) निर्धारित कर सकते हैं:

एम(ए,पी,क्यू)=एस सा आईजे पी आई क्यू जे

खिलाड़ी ए की औसत जीत:

ए =अधिकतम न्यूनतमएम(ए,पी,क्यू)

खिलाड़ी बी की औसत हानि:

बी = न्यूनतम अधिकतमएम(ए,पी,क्यू)

आइए हम इष्टतम मिश्रित रणनीतियों के अनुरूप वैक्टर को पी ए * और क्यू बी * द्वारा निरूपित करें जिसके तहत:

अधिकतम न्यूनतमएम(ए,पी,क्यू) = न्यूनतम अधिकतमएम(ए,पी,क्यू)= एम(ए,पी ए * ,क्यू बी *)

इस मामले में, निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:

अधिकतमएम(ए,पी,क्यू बी *)<=maxМ(А,P А * ,Q В *)<= maxМ(А,P А * ,Q)

किसी गेम को हल करने का अर्थ है गेम की कीमत और इष्टतम रणनीतियों का पता लगाना।

खेल की कीमतें और इष्टतम रणनीतियाँ निर्धारित करने के लिए ज्यामितीय विधि

(गेम 2X2 के लिए)

लंबाई 1 का एक खंड भुज अक्ष पर अंकित है। इस खंड का बायां छोर रणनीति ए 1 से मेल खाता है, दायां छोर रणनीति ए 2 से मेल खाता है।

Y-अक्ष जीत को 11 और 12 दर्शाता है।

जीत ए 21 और ए 22 को बिंदु 1 से कोटि अक्ष के समानांतर एक रेखा के साथ प्लॉट किया गया है।

यदि खिलाड़ी बी रणनीति बी 1 का उपयोग करता है, तो हम अंक ए 11 और ए 21 को जोड़ते हैं, यदि बी 2, तो ए 12 और ए 22।

औसत जीत को बिंदु N द्वारा दर्शाया जाता है, जो सीधी रेखाओं B 1 B 1 और B 2 B 2 का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इस बिंदु का भुज P 2 के बराबर है, और खेल की कीमत का कोटि g है।

पिछली तकनीक की तुलना में लाभ 55% है।

गेम थ्योरी खेलों में इष्टतम रणनीतियों का अध्ययन करने के लिए एक गणितीय विधि है। "गेम" शब्द को दो या दो से अधिक पार्टियों की बातचीत के रूप में समझा जाना चाहिए जो अपने हितों को साकार करना चाहते हैं। प्रत्येक पक्ष की अपनी रणनीति भी होती है, जो जीत या हार का कारण बन सकती है, जो इस बात पर निर्भर करती है कि खिलाड़ी कैसा व्यवहार करते हैं। गेम थ्योरी के लिए धन्यवाद, अन्य खिलाड़ियों और उनकी क्षमता के बारे में विचारों को ध्यान में रखते हुए, सबसे प्रभावी रणनीति ढूंढना संभव हो जाता है।

गेम थ्योरी संचालन अनुसंधान की एक विशेष शाखा है। ज्यादातर मामलों में, गेम थ्योरी विधियों का उपयोग अर्थशास्त्र में किया जाता है, लेकिन कभी-कभी अन्य सामाजिक विज्ञानों में भी, उदाहरण के लिए, राजनीति विज्ञान, समाजशास्त्र, नैतिकता और कुछ अन्य। 20वीं सदी के 70 के दशक से, इसका उपयोग जीवविज्ञानियों द्वारा जानवरों के व्यवहार और विकास के सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए भी किया जाने लगा। इसके अलावा, आज साइबरनेटिक्स के क्षेत्र में गेम थ्योरी बहुत महत्वपूर्ण है। इसलिए हम आपको इसके बारे में बताना चाहते हैं.

गेम थ्योरी का इतिहास

वैज्ञानिकों ने 18वीं शताब्दी में गणितीय मॉडलिंग के क्षेत्र में सबसे इष्टतम रणनीतियों का प्रस्ताव रखा था। 19वीं शताब्दी में, कम प्रतिस्पर्धा वाले बाजार में मूल्य निर्धारण और उत्पादन की समस्याओं पर, जो बाद में गेम थ्योरी के उत्कृष्ट उदाहरण बन गए, जोसेफ बर्ट्रेंड और एंटोनी कौरनोट जैसे वैज्ञानिकों द्वारा विचार किया गया। और 20वीं सदी की शुरुआत में, उत्कृष्ट गणितज्ञ एमिल बोरेल और अर्न्स्ट ज़र्मेलो ने हितों के टकराव के गणितीय सिद्धांत के विचार को सामने रखा।

गणितीय खेल सिद्धांत की उत्पत्ति नवशास्त्रीय अर्थशास्त्र में खोजी जानी चाहिए। प्रारंभ में, इस सिद्धांत की नींव और पहलुओं को 1944 में ऑस्कर मॉर्गनस्टर्न और जॉन वॉन न्यूमैन के काम, "द थ्योरी ऑफ गेम्स एंड इकोनॉमिक बिहेवियर" में रेखांकित किया गया था।

प्रस्तुत गणितीय क्षेत्र का कुछ प्रतिबिम्ब सामाजिक संस्कृति में भी पाया गया। उदाहरण के लिए, 1998 में, सिल्विया नासर (अमेरिकी पत्रकार और लेखक) ने अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार विजेता और गेम सिद्धांतकार जॉन नैश को समर्पित एक पुस्तक प्रकाशित की। 2001 में, इस काम के आधार पर, फिल्म "ए ब्यूटीफुल माइंड" बनाई गई थी। और कई अमेरिकी टेलीविज़न शो, जैसे "NUMB3RS", "एलियास" और "फ्रेंड या फ़ो" भी समय-समय पर अपने प्रसारण में गेम थ्योरी का उल्लेख करते हैं।

लेकिन जॉन नैश के बारे में विशेष उल्लेख किया जाना चाहिए।

1949 में, उन्होंने गेम थ्योरी पर एक शोध प्रबंध लिखा और 45 साल बाद उन्हें अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। खेल सिद्धांत की प्रारंभिक अवधारणाओं में, विरोधी प्रकार के खेलों का विश्लेषण किया गया, जिसमें ऐसे खिलाड़ी होते हैं जो हारने वालों की कीमत पर जीतते हैं। लेकिन जॉन नैश ने विश्लेषणात्मक तरीके विकसित किये जिसके अनुसार सभी खिलाड़ी या तो हारते हैं या जीतते हैं।

नैश द्वारा विकसित स्थितियों को बाद में "नैश संतुलन" कहा गया। वे इस मायने में भिन्न हैं कि खेल के सभी पक्ष सबसे इष्टतम रणनीतियों का उपयोग करते हैं, जो एक स्थिर संतुलन बनाता है। संतुलन बनाए रखना खिलाड़ियों के लिए बहुत फायदेमंद है, क्योंकि अन्यथा एक बदलाव उनकी स्थिति पर नकारात्मक प्रभाव डाल सकता है।

जॉन नैश के काम के लिए धन्यवाद, गेम थ्योरी को इसके विकास में एक शक्तिशाली प्रोत्साहन मिला। इसके अलावा, आर्थिक मॉडलिंग के गणितीय उपकरणों में एक बड़ा संशोधन किया गया। जॉन नैश यह साबित करने में सक्षम थे कि प्रतिस्पर्धा के मुद्दे पर शास्त्रीय दृष्टिकोण, जहां हर कोई केवल अपने लिए खेलता है, इष्टतम नहीं है, और सबसे प्रभावी रणनीतियां वे हैं जिनमें खिलाड़ी शुरू में दूसरों को बेहतर बनाकर खुद को बेहतर बनाते हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि गेम थ्योरी में शुरुआत में अपने दृष्टिकोण के क्षेत्र में आर्थिक मॉडल शामिल थे, पिछली शताब्दी के 50 के दशक तक यह केवल गणित के ढांचे द्वारा सीमित एक औपचारिक सिद्धांत था। हालाँकि, 20वीं सदी के उत्तरार्ध से, अर्थशास्त्र, मानव विज्ञान, प्रौद्योगिकी, साइबरनेटिक्स और जीव विज्ञान में इसका उपयोग करने का प्रयास किया गया है। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान और उसके अंत के बाद, गेम थ्योरी पर सेना द्वारा विचार किया जाने लगा, जिन्होंने इसमें रणनीतिक निर्णयों के विकास के लिए एक गंभीर उपकरण देखा।

60-70 के दशक के दौरान, इस सिद्धांत में रुचि कम हो गई, इस तथ्य के बावजूद कि इसने अच्छे गणितीय परिणाम दिए। लेकिन 80 के दशक से, व्यवहार में गेम थ्योरी का सक्रिय अनुप्रयोग शुरू हुआ, मुख्यतः प्रबंधन और अर्थशास्त्र में। पिछले कुछ दशकों में, इसकी प्रासंगिकता काफी बढ़ गई है, और इसके बिना कुछ आधुनिक आर्थिक रुझानों की कल्पना करना पूरी तरह से असंभव है।

यह कहना भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि खेल सिद्धांत के विकास में एक महत्वपूर्ण योगदान अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार विजेता थॉमस शेलिंग के 2005 के काम "संघर्ष की रणनीति" द्वारा किया गया था। अपने काम में, शेलिंग ने संघर्ष संबंधी बातचीत में प्रतिभागियों द्वारा उपयोग की जाने वाली कई रणनीतियों की जांच की। ये रणनीतियाँ संघर्ष प्रबंधन रणनीति और विश्लेषणात्मक सिद्धांतों के साथ मेल खाती हैं, साथ ही संगठनों में संघर्ष को प्रबंधित करने के लिए उपयोग की जाने वाली रणनीति भी।

मनोवैज्ञानिक विज्ञान और कई अन्य विषयों में, "खेल" की अवधारणा का गणित की तुलना में थोड़ा अलग अर्थ है। "गेम" शब्द की सांस्कृतिक व्याख्या जोहान हुइज़िंगा की पुस्तक "होमो लुडेंस" में प्रस्तुत की गई है, जहां लेखक नैतिकता, संस्कृति और न्याय में गेम के उपयोग के बारे में बात करता है, और यह भी बताता है कि गेम अपने आप में काफी बेहतर है इंसानों की उम्र इसलिए होती है क्योंकि जानवर भी खेलने के इच्छुक होते हैं।

इसके अलावा, "गेम" की अवधारणा एरिक बर्न की अवधारणा में पाई जा सकती है, जिसे "" पुस्तक से जाना जाता है। हालाँकि, यहाँ हम विशेष रूप से मनोवैज्ञानिक खेलों के बारे में बात कर रहे हैं, जिनका आधार लेन-देन विश्लेषण है।

खेल सिद्धांत का अनुप्रयोग

अगर हम गणितीय खेल सिद्धांत की बात करें तो यह वर्तमान में सक्रिय विकास के चरण में है। लेकिन गणितीय आधार स्वाभाविक रूप से बहुत महंगा है, इस कारण से इसका उपयोग मुख्य रूप से केवल तभी किया जाता है जब साध्य साधन को उचित ठहराते हैं, अर्थात्: राजनीति में, एकाधिकार का अर्थशास्त्र और बाजार शक्ति का वितरण, आदि। अन्यथा, गेम थ्योरी का उपयोग बड़ी संख्या में स्थितियों में मानव और पशु व्यवहार के अध्ययन में किया जाता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, गेम थ्योरी सबसे पहले आर्थिक विज्ञान की सीमाओं के भीतर विकसित हुई, जिससे विभिन्न स्थितियों में आर्थिक एजेंटों के व्यवहार को निर्धारित करना और व्याख्या करना संभव हो गया। लेकिन बाद में, इसके अनुप्रयोग का दायरा काफी बढ़ गया और इसमें कई सामाजिक विज्ञान शामिल होने लगे, जिसकी बदौलत गेम थ्योरी आज मनोविज्ञान, समाजशास्त्र और राजनीति विज्ञान में मानव व्यवहार की व्याख्या करती है।

विशेषज्ञ गेम थ्योरी का उपयोग न केवल मानव व्यवहार को समझाने और भविष्यवाणी करने के लिए करते हैं - बेंचमार्क व्यवहार विकसित करने के लिए इस सिद्धांत का उपयोग करने के कई प्रयास किए गए हैं। इसके अलावा, दार्शनिकों और अर्थशास्त्रियों ने लंबे समय से अच्छे या योग्य व्यवहार को यथासंभव सर्वोत्तम समझने की कोशिश करने के लिए इसका उपयोग किया है।

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गेम थ्योरी कई विज्ञानों के विकास में एक वास्तविक मोड़ बन गया है, और आज यह मानव व्यवहार के विभिन्न पहलुओं के अध्ययन की प्रक्रिया का एक अभिन्न अंग है।

निष्कर्ष के बजाय:जैसा कि आपने देखा, गेम थ्योरी संघर्ष विज्ञान के साथ काफी निकटता से जुड़ा हुआ है - एक विज्ञान जो संघर्ष बातचीत की प्रक्रिया में मानव व्यवहार के अध्ययन के लिए समर्पित है। और, हमारी राय में, यह क्षेत्र न केवल उन क्षेत्रों में सबसे महत्वपूर्ण है जिनमें गेम थ्योरी को लागू किया जाना चाहिए, बल्कि उन क्षेत्रों में भी है जिनका एक व्यक्ति को स्वयं अध्ययन करना चाहिए, क्योंकि संघर्ष, चाहे कोई कुछ भी कहे, हमारे जीवन का हिस्सा है। .

यदि आपको यह समझने की इच्छा है कि सामान्य तौर पर व्यवहार संबंधी रणनीतियाँ क्या मौजूद हैं, तो हमारा सुझाव है कि आप हमारा आत्म-ज्ञान पाठ्यक्रम लें, जो आपको पूरी तरह से ऐसी जानकारी प्रदान करेगा। लेकिन, इसके अलावा, हमारा पाठ्यक्रम पूरा करने के बाद, आप सामान्य रूप से अपने व्यक्तित्व का व्यापक मूल्यांकन करने में सक्षम होंगे। इसका मतलब यह है कि आपको पता चल जाएगा कि संघर्ष की स्थिति में कैसे व्यवहार करना है, और आपके व्यक्तिगत फायदे और नुकसान, जीवन मूल्य और प्राथमिकताएं, काम करने की प्रवृत्ति और रचनात्मकता और भी बहुत कुछ क्या हैं। सामान्य तौर पर, यह विकास के लिए प्रयास करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए एक बहुत ही उपयोगी और आवश्यक उपकरण है।

हमारा कोर्स जारी है - बेझिझक आत्म-ज्ञान शुरू करें और खुद को बेहतर बनाएं।

हम आपकी सफलता और किसी भी खेल में विजेता बनने की क्षमता की कामना करते हैं!

गेम थ्योरी अनुभाग को तीन द्वारा दर्शाया गया है ऑनलाइन कैलकुलेटर:

1. मैट्रिक्स गेम को हल करना. ऐसी समस्याओं में, एक भुगतान मैट्रिक्स निर्दिष्ट किया जाता है। खिलाड़ियों की शुद्ध या मिश्रित रणनीतियों को ढूंढना आवश्यक है और, खेल की कीमत. हल करने के लिए, आपको मैट्रिक्स का आयाम और समाधान विधि निर्दिष्ट करनी होगी।
2. बिमैट्रिक्स गेम। आमतौर पर ऐसे खेल में पहले और दूसरे खिलाड़ियों के भुगतान के समान आकार के दो मैट्रिक्स निर्दिष्ट किए जाते हैं। इन मैट्रिक्स की पंक्तियाँ पहले खिलाड़ी की रणनीतियों के अनुरूप होती हैं, और मैट्रिक्स के कॉलम दूसरे खिलाड़ी की रणनीतियों के अनुरूप होते हैं। इस मामले में, पहला मैट्रिक्स पहले खिलाड़ी की जीत का प्रतिनिधित्व करता है, और दूसरा मैट्रिक्स दूसरे की जीत का प्रतिनिधित्व करता है।
3. प्रकृति के साथ खेल. इसका उपयोग तब किया जाता है जब मैक्सिमैक्स, बेयस, लाप्लास, वाल्ड, सैवेज, हर्विट्ज़ के मानदंडों के अनुसार प्रबंधन निर्णय का चयन करना आवश्यक होता है।

व्यवहार में, हम अक्सर ऐसी समस्याओं का सामना करते हैं जिनमें अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेना आवश्यक होता है, अर्थात। ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जिनमें दो पक्ष अलग-अलग लक्ष्य अपनाते हैं और प्रत्येक पक्ष के कार्यों के परिणाम दुश्मन (या भागीदार) की गतिविधियों पर निर्भर करते हैं।

ऐसी स्थिति जिसमें एक पक्ष द्वारा लिए गए निर्णय की प्रभावशीलता दूसरे पक्ष के कार्यों पर निर्भर करती है, कहलाती है टकराव. संघर्ष हमेशा किसी न किसी प्रकार की असहमति से जुड़ा होता है (यह जरूरी नहीं कि एक विरोधी विरोधाभास हो)।

संघर्ष की स्थिति कहलाती है विरोधी, यदि किसी एक पक्ष की जीत में एक निश्चित राशि की वृद्धि से दूसरे पक्ष की जीत में उसी राशि की कमी हो जाती है, और इसके विपरीत।

अर्थशास्त्र में, संघर्ष की स्थितियाँ बहुत बार घटित होती हैं और विविध प्रकृति की होती हैं। उदाहरण के लिए, आपूर्तिकर्ता और उपभोक्ता, खरीदार और विक्रेता, बैंक और ग्राहक के बीच संबंध। उनमें से प्रत्येक के अपने-अपने हित हैं और वे इष्टतम निर्णय लेने का प्रयास करते हैं जो उनके लक्ष्यों को अधिकतम सीमा तक प्राप्त करने में मदद करते हैं। साथ ही, हर किसी को न केवल अपने लक्ष्यों को ध्यान में रखना होगा, बल्कि अपने साथी के लक्ष्यों को भी ध्यान में रखना होगा और उन निर्णयों को भी ध्यान में रखना होगा जो ये साझेदार लेंगे (वे पहले से अज्ञात हो सकते हैं)। संघर्ष की स्थितियों में इष्टतम निर्णय लेने के लिए, संघर्ष स्थितियों का एक गणितीय सिद्धांत बनाया गया है, जिसे कहा जाता है खेल सिद्धांत . इस सिद्धांत का उद्भव 1944 में हुआ, जब जे. वॉन न्यूमैन का मोनोग्राफ "गेम थ्योरी एंड इकोनॉमिक बिहेवियर" प्रकाशित हुआ था।

यह गेम वास्तविक संघर्ष की स्थिति का गणितीय मॉडल है. संघर्ष में शामिल पक्षों को खिलाड़ी कहा जाता है। संघर्ष के परिणाम को जीत कहा जाता है। खेल के नियम स्थितियों की एक प्रणाली हैं जो कार्रवाई के लिए खिलाड़ियों के विकल्पों को निर्धारित करते हैं; प्रत्येक खिलाड़ी के पास अपने साझेदारों के व्यवहार के बारे में कितनी जानकारी है; कार्यों के प्रत्येक सेट से मिलने वाला प्रतिफल।

खेल कहा जाता है भाप से भरा कमरा, यदि इसमें दो खिलाड़ी शामिल हैं, और एकाधिक, यदि खिलाड़ियों की संख्या दो से अधिक है। हम केवल युगल खेलों पर विचार करेंगे। खिलाड़ियों को नामित किया गया है एऔर बी.

खेल कहा जाता है विरोधी (शून्य राशि), यदि खिलाड़ियों में से एक का लाभ दूसरे के नुकसान के बराबर है।

नियमों द्वारा प्रदान किए गए विकल्पों में से किसी एक का चयन और कार्यान्वयन कहा जाता है प्रगतिखिलाड़ी. चालें व्यक्तिगत और यादृच्छिक हो सकती हैं।
व्यक्तिगत कदम- यह खिलाड़ी द्वारा कार्रवाई के विकल्पों में से एक का सचेत विकल्प है (उदाहरण के लिए, शतरंज में)।
यादृच्छिक चालएक यादृच्छिक रूप से चयनित क्रिया है (उदाहरण के लिए, पासा फेंकना)। हम केवल व्यक्तिगत कदमों पर विचार करेंगे।

खिलाड़ी की रणनीतिनियमों का एक समूह है जो प्रत्येक व्यक्तिगत चाल के दौरान खिलाड़ी के व्यवहार को निर्धारित करता है। आमतौर पर खेल के दौरान प्रत्येक चरण में खिलाड़ी विशिष्ट स्थिति के आधार पर एक चाल चुनता है। यह भी संभव है कि सभी निर्णय खिलाड़ी द्वारा पहले ही ले लिए गए हों (अर्थात खिलाड़ी ने एक निश्चित रणनीति चुनी हो)।

खेल कहा जाता है अंतिम, यदि प्रत्येक खिलाड़ी के पास रणनीतियों की एक सीमित संख्या है, और अनंत- अन्यथा।

गेम थ्योरी का उद्देश्य- प्रत्येक खिलाड़ी के लिए इष्टतम रणनीति निर्धारित करने के तरीके विकसित करें।

खिलाड़ी की रणनीति कहलाती है इष्टतम, यदि यह इस खिलाड़ी को खेल के कई दोहराव के साथ अधिकतम संभव औसत जीत (या प्रतिद्वंद्वी के व्यवहार की परवाह किए बिना न्यूनतम संभव औसत हानि) प्रदान करता है।

उदाहरण 1।प्रत्येक खिलाड़ी एया बी, दूसरे से स्वतंत्र रूप से, संख्याएँ 1, 2 और 3 लिख सकते हैं। यदि खिलाड़ियों द्वारा लिखी गई संख्याओं के बीच का अंतर सकारात्मक है, तो एअंकों के बीच के अंतर के बराबर अंकों की जीत होती है। यदि अंतर 0 से कम है, तो वह जीत जाता है बी. यदि अंतर 0 है, तो यह ड्रा है।
खिलाड़ी A के पास तीन रणनीतियाँ (क्रिया विकल्प) हैं: A 1 = 1 (लिखें 1), A 2 = 2, A 3 = 3, खिलाड़ी के पास भी तीन रणनीतियाँ हैं: B 1, B 2, B 3।

बी ए	बी 1 =1	बी2=2	बी 3 =3
ए 1 = 1	0	-1	-2
ए 2 = 2	1	0	-1
ए 3 = 3	2	1	0

खिलाड़ी ए का कार्य अपनी जीत को अधिकतम करना है। खिलाड़ी बी का कार्य अपने नुकसान को कम करना है, अर्थात। लाभ को कम करें A. यह शून्य-राशि युगल खेल.

प्रस्तावना

इस लेख का उद्देश्य पाठक को गेम थ्योरी की बुनियादी अवधारणाओं से परिचित कराना है। लेख से, पाठक सीखेंगे कि गेम थ्योरी क्या है, गेम थ्योरी के संक्षिप्त इतिहास पर विचार करें, और गेम थ्योरी के बुनियादी सिद्धांतों से परिचित हों, जिसमें मुख्य प्रकार के गेम और उनके प्रतिनिधित्व के रूप शामिल हैं। लेख शास्त्रीय समस्या और गेम थ्योरी की मूलभूत समस्या पर चर्चा करेगा। लेख का अंतिम भाग प्रबंधन निर्णय लेने के लिए गेम थ्योरी का उपयोग करने की समस्याओं और प्रबंधन में गेम थ्योरी के व्यावहारिक अनुप्रयोग पर विचार करने के लिए समर्पित है।

परिचय।

21 शताब्दी। सूचना का युग, तेजी से विकसित हो रही सूचना प्रौद्योगिकी, नवाचार और तकनीकी नवाचार। लेकिन सूचना युग क्यों? समाज में होने वाली लगभग सभी प्रक्रियाओं में सूचना महत्वपूर्ण भूमिका क्यों निभाती है? सब कुछ बहुत सरल है. जानकारी हमें अमूल्य समय देती है, और कुछ मामलों में इससे आगे निकलने का अवसर भी देती है। आखिरकार, यह कोई रहस्य नहीं है कि जीवन में आपको अक्सर उन कार्यों से निपटना पड़ता है जिनमें आपको अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने की आवश्यकता होती है, आपके कार्यों की प्रतिक्रियाओं के बारे में जानकारी के अभाव में, यानी ऐसी स्थितियां उत्पन्न होती हैं जिनमें दो (या अधिक) पक्ष होते हैं विभिन्न लक्ष्यों का पीछा करते हैं, और प्रत्येक पक्ष की किसी भी कार्रवाई के परिणाम भागीदार की गतिविधियों पर निर्भर करते हैं। ऐसी स्थितियाँ आये दिन उत्पन्न होती रहती हैं। उदाहरण के लिए, शतरंज, चेकर्स, डोमिनोज़ इत्यादि खेलते समय। इस तथ्य के बावजूद कि खेल प्रकृति में मुख्य रूप से मनोरंजक हैं, उनकी प्रकृति से वे संघर्ष स्थितियों से संबंधित हैं जिनमें संघर्ष पहले से ही खेल के लक्ष्य में अंतर्निहित है - भागीदारों में से एक की जीत। साथ ही, प्रत्येक खिलाड़ी की चाल का परिणाम प्रतिद्वंद्वी की प्रतिक्रिया चाल पर निर्भर करता है। अर्थशास्त्र में, संघर्ष की स्थितियाँ बहुत बार घटित होती हैं और विविध प्रकृति की होती हैं, और उनकी संख्या इतनी बड़ी होती है कि कम से कम एक दिन में बाज़ार में उत्पन्न होने वाली सभी संघर्ष स्थितियों को गिनना असंभव है। अर्थव्यवस्था में संघर्ष की स्थितियों में, उदाहरण के लिए, आपूर्तिकर्ता और उपभोक्ता, खरीदार और विक्रेता, बैंक और ग्राहक के बीच संबंध शामिल हैं। उपरोक्त सभी उदाहरणों में, संघर्ष की स्थिति भागीदारों के हितों में अंतर और उनमें से प्रत्येक की इष्टतम निर्णय लेने की इच्छा से उत्पन्न होती है जो उनके लक्ष्यों को सबसे बड़ी सीमा तक साकार करती है। साथ ही, हर किसी को न केवल अपने लक्ष्यों को, बल्कि अपने साथी के लक्ष्यों को भी ध्यान में रखना होगा, और पहले से अज्ञात निर्णयों को भी ध्यान में रखना होगा जो ये भागीदार लेंगे। संघर्ष स्थितियों में समस्याओं को सक्षम रूप से हल करने के लिए वैज्ञानिक रूप से आधारित तरीकों की आवश्यकता होती है। ऐसी विधियों को संघर्ष स्थितियों के गणितीय सिद्धांत द्वारा विकसित किया जाता है, जिसे कहा जाता है खेल सिद्धांत।

गेम थ्योरी क्या है?

गेम थ्योरी एक जटिल, बहुआयामी अवधारणा है, इसलिए केवल एक परिभाषा का उपयोग करके गेम थ्योरी की व्याख्या करना असंभव लगता है। आइए गेम थ्योरी को परिभाषित करने के तीन दृष्टिकोण देखें।

1.गेम थ्योरी खेलों में इष्टतम रणनीतियों का अध्ययन करने के लिए एक गणितीय विधि है। खेल एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें दो या दो से अधिक पक्ष भाग लेते हैं, अपने हितों की प्राप्ति के लिए लड़ते हैं। प्रत्येक पक्ष का अपना लक्ष्य होता है और वह कुछ रणनीति का उपयोग करता है जिससे जीत या हार हो सकती है - यह अन्य खिलाड़ियों के व्यवहार पर निर्भर करता है। गेम थ्योरी अन्य प्रतिभागियों, उनके संसाधनों और उनके संभावित कार्यों के बारे में विचारों को ध्यान में रखते हुए सर्वोत्तम रणनीतियों को चुनने में मदद करती है।

2. गेम थ्योरी अनुप्रयुक्त गणित, या अधिक सटीक रूप से, संचालन अनुसंधान की एक शाखा है। सबसे अधिक बार, गेम थ्योरी विधियों का उपयोग अर्थशास्त्र में किया जाता है, और अन्य सामाजिक विज्ञानों में थोड़ा कम - समाजशास्त्र, राजनीति विज्ञान, मनोविज्ञान, नैतिकता और अन्य। 1970 के दशक से, जीवविज्ञानियों द्वारा जानवरों के व्यवहार और विकास के सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए इसे अपनाया गया है। आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस और साइबरनेटिक्स के लिए गेम थ्योरी बहुत महत्वपूर्ण है।

3.सबसे महत्वपूर्ण चरों में से एक जिस पर किसी संगठन की सफलता निर्भर करती है वह है प्रतिस्पर्धात्मकता। जाहिर है, प्रतिस्पर्धियों के कार्यों की भविष्यवाणी करने की क्षमता का मतलब किसी भी संगठन के लिए लाभ है। गेम थ्योरी प्रतिस्पर्धियों पर किसी निर्णय के प्रभाव को मॉडलिंग करने की एक विधि है।

गेम थ्योरी का इतिहास

गणितीय मॉडलिंग में इष्टतम समाधान या रणनीतियाँ 18वीं शताब्दी में प्रस्तावित की गई थीं। अल्पाधिकार स्थितियों के तहत उत्पादन और मूल्य निर्धारण की समस्याओं पर, जो बाद में खेल सिद्धांत के पाठ्यपुस्तक उदाहरण बन गए, 19वीं शताब्दी में विचार किया गया। ए. कौरनॉट और जे. बर्ट्रेंड। 20वीं सदी की शुरुआत में. ई. लास्कर, ई. ज़र्मेलो, ई. बोरेल ने हितों के टकराव के गणितीय सिद्धांत के विचार को सामने रखा।

गणितीय खेल सिद्धांत की उत्पत्ति नवशास्त्रीय अर्थशास्त्र से हुई है। सिद्धांत के गणितीय पहलुओं और अनुप्रयोगों को पहली बार जॉन वॉन न्यूमैन और ऑस्कर मॉर्गनस्टर्न की क्लासिक 1944 की पुस्तक, गेम थ्योरी और इकोनॉमिक बिहेवियर में रेखांकित किया गया था।

जॉन नैश ने कार्नेगी पॉलिटेक्निक इंस्टीट्यूट से दो डिग्री - एक स्नातक और एक मास्टर डिग्री - के साथ स्नातक होने के बाद प्रिंसटन विश्वविद्यालय में प्रवेश किया, जहां उन्होंने जॉन वॉन न्यूमैन के व्याख्यान में भाग लिया। अपने लेखन में, नैश ने "प्रबंधकीय गतिशीलता" के सिद्धांत विकसित किए। गेम थ्योरी की पहली अवधारणाओं में शून्य-राशि वाले खेलों का विश्लेषण किया गया, जहां हारने वाले और जीतने वाले अपने खर्च पर होते हैं। नैश ने विश्लेषण के ऐसे तरीके विकसित किए हैं जिनमें शामिल सभी लोग या तो जीतते हैं या हारते हैं। इन स्थितियों को "नैश संतुलन" या "असहयोगी संतुलन" कहा जाता है; स्थिति में, पार्टियां इष्टतम रणनीति का उपयोग करती हैं, जिससे एक स्थिर संतुलन का निर्माण होता है। यह संतुलन बनाए रखना खिलाड़ियों के लिए फायदेमंद है, क्योंकि किसी भी बदलाव से उनकी स्थिति खराब हो जाएगी। नैश के इन कार्यों ने खेल सिद्धांत के विकास में गंभीर योगदान दिया और आर्थिक मॉडलिंग के गणितीय उपकरणों को संशोधित किया गया। जॉन नैश दिखाते हैं कि प्रतिस्पर्धा के प्रति ए. स्मिथ का क्लासिक दृष्टिकोण, जहां हर कोई अपने लिए है, उप-इष्टतम है। अधिक इष्टतम रणनीतियाँ तब होती हैं जब हर कोई दूसरों के लिए बेहतर करते हुए अपने लिए बेहतर करने का प्रयास करता है। 1949 में, जॉन नैश ने गेम थ्योरी पर एक शोध प्रबंध लिखा और 45 साल बाद उन्हें अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार मिला।

हालाँकि गेम थ्योरी मूल रूप से आर्थिक मॉडल से संबंधित थी, यह 1950 के दशक तक गणित के भीतर एक औपचारिक सिद्धांत बना रहा। लेकिन पहले से ही 1950 के दशक से। गेम थ्योरी विधियों को न केवल अर्थशास्त्र में, बल्कि जीव विज्ञान, साइबरनेटिक्स, प्रौद्योगिकी और मानव विज्ञान में भी लागू करने के प्रयास शुरू हो रहे हैं। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान और उसके तुरंत बाद, सेना को गेम थ्योरी में गंभीरता से रुचि हो गई, जिन्होंने इसे रणनीतिक निर्णयों का अध्ययन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण के रूप में देखा।

1960 - 1970 में उस समय तक प्राप्त महत्वपूर्ण गणितीय परिणामों के बावजूद, गेम थ्योरी में रुचि कम हो रही है। 1980 के दशक के मध्य से। खेल सिद्धांत का सक्रिय व्यावहारिक उपयोग शुरू होता है, विशेषकर अर्थशास्त्र और प्रबंधन में। पिछले 20-30 वर्षों में, गेम थ्योरी का महत्व और रुचि काफी बढ़ रही है; आधुनिक आर्थिक सिद्धांत के कुछ क्षेत्रों को गेम थ्योरी के उपयोग के बिना प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

गेम थ्योरी के अनुप्रयोग में एक बड़ा योगदान 2005 में अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार विजेता थॉमस शेलिंग का काम, "संघर्ष की रणनीति" था। टी. शेलिंग संघर्ष में भाग लेने वालों के व्यवहार की विभिन्न "रणनीतियों" पर विचार करते हैं। ये रणनीतियाँ संघर्ष प्रबंधन रणनीति और संघर्ष विज्ञान और संगठनात्मक संघर्ष प्रबंधन में संघर्ष विश्लेषण के सिद्धांतों से मेल खाती हैं।

गेम थ्योरी के मूल सिद्धांत

आइए गेम थ्योरी की बुनियादी अवधारणाओं से परिचित हों। संघर्ष की स्थिति का गणितीय मॉडल कहलाता है खेल,संघर्ष में शामिल पक्ष - खिलाड़ियों. किसी खेल का वर्णन करने के लिए, आपको पहले उसके प्रतिभागियों (खिलाड़ियों) की पहचान करनी होगी। जब शतरंज आदि जैसे सामान्य खेलों की बात आती है तो यह शर्त आसानी से पूरी हो जाती है। "बाज़ार के खेल" के साथ स्थिति अलग है। यहां सभी खिलाड़ियों को पहचानना हमेशा आसान नहीं होता, यानी। वर्तमान या संभावित प्रतिस्पर्धी। अभ्यास से पता चलता है कि सभी खिलाड़ियों की पहचान करना आवश्यक नहीं है; सबसे महत्वपूर्ण खिलाड़ियों की खोज करना आवश्यक है। खेल आम तौर पर कई अवधियों तक चलते हैं जिसके दौरान खिलाड़ी अनुक्रमिक या एक साथ कार्रवाई करते हैं। नियमों द्वारा प्रदान की गई क्रियाओं में से किसी एक का चुनाव और कार्यान्वयन कहा जाता है प्रगतिखिलाड़ी. चालें व्यक्तिगत और यादृच्छिक हो सकती हैं। व्यक्तिगत कदम- यह खिलाड़ी द्वारा संभावित क्रियाओं में से एक का सचेत चुनाव है (उदाहरण के लिए, शतरंज के खेल में एक चाल)। यादृच्छिक चालएक बेतरतीब ढंग से चुनी गई क्रिया है (उदाहरण के लिए, फेंटे गए डेक से एक कार्ड चुनना)। कार्रवाइयां कीमतों, बिक्री की मात्रा, अनुसंधान और विकास लागत आदि से संबंधित हो सकती हैं। वह अवधि जिसके दौरान खिलाड़ी अपनी चालें चलते हैं, कहलाती है चरणोंखेल. प्रत्येक चरण में चुनी गई चालें अंततः निर्धारित करती हैं "भुगतान"प्रत्येक खिलाड़ी की (जीत या हार), जिसे भौतिक संपत्ति या धन में व्यक्त किया जा सकता है। इस सिद्धांत में एक अन्य अवधारणा खिलाड़ी रणनीति है। रणनीतिएक खिलाड़ी नियमों का एक समूह है जो वर्तमान स्थिति के आधार पर प्रत्येक व्यक्तिगत कदम पर उसकी कार्रवाई का विकल्प निर्धारित करता है। आमतौर पर खेल के दौरान, प्रत्येक व्यक्तिगत चाल के साथ, खिलाड़ी विशिष्ट स्थिति के आधार पर चुनाव करता है। हालाँकि, सैद्धांतिक रूप से यह संभव है कि सभी निर्णय खिलाड़ी द्वारा पहले से ही लिए जाएं (किसी भी स्थिति के जवाब में)। इसका मतलब है कि खिलाड़ी ने एक विशिष्ट रणनीति चुनी है, जिसे नियमों या कार्यक्रम की सूची के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। (इस तरह आप कंप्यूटर का उपयोग करके गेम खेल सकते हैं।) दूसरे शब्दों में, रणनीति उन संभावित कार्रवाइयों को संदर्भित करती है जो खेल के प्रत्येक चरण में खिलाड़ी को एक निश्चित संख्या में वैकल्पिक विकल्पों में से वह कदम चुनने की अनुमति देती है जो उसे अन्य खिलाड़ियों के कार्यों के लिए "सर्वोत्तम प्रतिक्रिया" लगता है। रणनीति की अवधारणा के संबंध में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि खिलाड़ी न केवल उन चरणों के लिए अपने कार्यों को निर्धारित करता है, जिन तक एक विशेष खेल वास्तव में पहुंचा है, बल्कि उन सभी स्थितियों के लिए भी, जिनमें वे भी शामिल हैं जो किसी दिए गए खेल के दौरान उत्पन्न नहीं हो सकती हैं। खेल कहा जाता है भाप से भरा कमरा, यदि इसमें दो खिलाड़ी शामिल हैं, और एकाधिक, यदि खिलाड़ियों की संख्या दो से अधिक है। प्रत्येक औपचारिक खेल के लिए, नियम पेश किए जाते हैं, अर्थात्। स्थितियों की एक प्रणाली जो निर्धारित करती है: 1) खिलाड़ियों के कार्यों के लिए विकल्प; 2) प्रत्येक खिलाड़ी के पास अपने साझेदारों के व्यवहार के बारे में कितनी जानकारी है; 3) कार्यों के प्रत्येक सेट से होने वाला लाभ। आमतौर पर, जीत (या हार) की मात्रा निर्धारित की जा सकती है; उदाहरण के लिए, आप हार का मूल्य शून्य, जीत का मूल्य एक और ड्रा का आधा मान सकते हैं। एक खेल को शून्य-राशि खेल या विरोधी खेल कहा जाता है, यदि खिलाड़ियों में से एक का लाभ दूसरे के नुकसान के बराबर है, यानी, खेल को पूरा करने के लिए, उनमें से एक के मूल्य को इंगित करना पर्याप्त है। यदि हम नामित करते हैं ए- खिलाड़ियों में से एक की जीत, बी- दूसरे की जीत, फिर शून्य-राशि वाले गेम के लिए बी = -ए,इसलिए, उदाहरण के लिए, इस पर विचार करना पर्याप्त है एक।खेल कहा जाता है अंतिम,यदि प्रत्येक खिलाड़ी के पास रणनीतियों की एक सीमित संख्या है, और अनंत- अन्यथा। के लिए तय करनाखेल, या खोजें खेल समाधान, आपको प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक ऐसी रणनीति चुननी चाहिए जो शर्त को पूरा करती हो इष्टतमता,वे। खिलाड़ियों में से एक को प्राप्त करना होगा अधिकतम जीतजब दूसरा अपनी रणनीति पर अड़ा रहता है. उसी समय, दूसरे खिलाड़ी के पास होना चाहिए न्यूनतम हानि, यदि पहला व्यक्ति अपनी रणनीति पर कायम रहता है। ऐसा रणनीतियाँकहा जाता है इष्टतम. इष्टतम रणनीतियों को भी शर्त पूरी करनी चाहिए वहनीयता, यानी, इस खेल में अपनी रणनीति को छोड़ना किसी भी खिलाड़ी के लिए नुकसानदेह होगा। यदि खेल को कई बार दोहराया जाता है, तो खिलाड़ियों को प्रत्येक विशिष्ट खेल में जीतने और हारने में नहीं, बल्कि इसमें रुचि हो सकती है औसत जीत (हार)सभी बैचों में. उद्देश्य गेम थ्योरी इष्टतम का निर्धारण करना है प्रत्येक खिलाड़ी के लिए रणनीतियाँ. एक इष्टतम रणनीति चुनते समय, यह मान लेना स्वाभाविक है कि दोनों खिलाड़ी अपने हितों के अनुसार उचित व्यवहार करते हैं।

सहयोगी और असहयोगी

खेल को सहकारी कहा जाता है, या गठबंधन, यदि खिलाड़ी समूहों में एकजुट हो सकते हैं, अन्य खिलाड़ियों के प्रति कुछ दायित्व निभा सकते हैं और अपने कार्यों का समन्वय कर सकते हैं। यह गैर-सहकारी खेलों से भिन्न है जिसमें हर किसी को अपने लिए खेलना होता है। मनोरंजक खेल शायद ही कभी सहयोगी होते हैं, लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी में ऐसे तंत्र असामान्य नहीं हैं।

अक्सर यह माना जाता है कि जो चीज सहकारी खेलों को अलग बनाती है वह है खिलाड़ियों की एक-दूसरे के साथ संवाद करने की क्षमता। सामान्य तौर पर यह सच नहीं है. ऐसे खेल हैं जिनमें संचार की अनुमति है, लेकिन खिलाड़ी व्यक्तिगत लक्ष्यों का पीछा करते हैं, और इसके विपरीत।

दो प्रकार के खेलों में से, असहयोगी खेल स्थितियों का बहुत विस्तार से वर्णन करते हैं और अधिक सटीक परिणाम देते हैं। सहकारी समितियाँ खेल प्रक्रिया पर समग्र रूप से विचार करती हैं।

हाइब्रिड खेलों में सहकारी और गैर-सहकारी खेलों के तत्व शामिल हैं। उदाहरण के लिए, खिलाड़ी समूह बना सकते हैं, लेकिन खेल असहयोगात्मक शैली में खेला जाएगा। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक खिलाड़ी अपने समूह के हितों का पीछा करेगा, साथ ही व्यक्तिगत लाभ हासिल करने की कोशिश करेगा।

सममित और असममित

असममित खेल

खेल सममित होगा जब खिलाड़ियों की संबंधित रणनीतियाँ समान होंगी, यानी उनके पास समान भुगतान होंगे। दूसरे शब्दों में, यदि खिलाड़ी स्थान बदल सकते हैं और समान चालों के लिए उनकी जीत नहीं बदलेगी। अध्ययन किए गए कई दो-खिलाड़ियों वाले खेल सममित हैं। विशेष रूप से, ये हैं: "कैदी की दुविधा", "हिरण शिकार"। दाईं ओर के उदाहरण में, पहली नज़र में खेल समान रणनीतियों के कारण सममित लग सकता है, लेकिन ऐसा नहीं है - आखिरकार, रणनीति प्रोफाइल (ए, ए) और (बी, बी) वाले दूसरे खिलाड़ी का भुगतान होगा पहले से अधिक बड़ा हो.

शून्य-योग और गैर-शून्य-योग

शून्य-राशि खेल एक विशेष प्रकार के स्थिर-राशि वाले खेल हैं, अर्थात, जहां खिलाड़ी उपलब्ध संसाधनों, या गेम फंड को बढ़ा या घटा नहीं सकते हैं। इस मामले में, सभी जीतों का योग किसी भी चाल के सभी नुकसानों के योग के बराबर होता है। दाईं ओर देखें - संख्याएँ खिलाड़ियों को भुगतान दर्शाती हैं - और प्रत्येक सेल में उनका योग शून्य है। ऐसे खेलों के उदाहरणों में पोकर शामिल है, जहां कोई अन्य के सभी दांव जीतता है; रिवर्सी, जहां दुश्मन के टुकड़ों को पकड़ लिया जाता है; या साधारण चोरी.

गणितज्ञों द्वारा अध्ययन किए गए कई खेल, जिनमें पहले से उल्लेखित "कैदी की दुविधा" भी शामिल है, एक अलग प्रकार के हैं: गैर-शून्य योग खेलएक खिलाड़ी की जीत का मतलब जरूरी नहीं कि दूसरे की हार हो, और इसके विपरीत भी। ऐसे गेम का नतीजा शून्य से कम या ज्यादा भी हो सकता है. ऐसे खेलों को शून्य राशि में परिवर्तित किया जा सकता है - यह परिचय द्वारा किया जाता है काल्पनिक खिलाड़ी, जो अधिशेष को "विनियोजित" करता है या धन की कमी को पूरा करता है।

गैर-शून्य योग वाला एक और खेल है व्यापार, जहां प्रत्येक भागीदार को लाभ होता है। इसमें चेकर्स और शतरंज भी शामिल हैं; अंतिम दो में, खिलाड़ी लाभ प्राप्त करते हुए अपने साधारण टुकड़े को मजबूत टुकड़े में बदल सकता है। इन सभी मामलों में, खेल की राशि बढ़ जाती है। एक प्रसिद्ध उदाहरण जहां यह घटता है युद्ध.

समानांतर और धारावाहिक

समानांतर खेलों में, खिलाड़ी एक साथ चलते हैं, या कम से कम उन्हें तब तक दूसरों की पसंद के बारे में पता नहीं होता है सभीअपना कदम नहीं उठाएंगे. क्रमानुसार, या गतिशीलखेलों में, प्रतिभागी पूर्व निर्धारित या यादृच्छिक क्रम में चालें चल सकते हैं, लेकिन साथ ही उन्हें दूसरों के पिछले कार्यों के बारे में कुछ जानकारी भी प्राप्त होती है। ये जानकारी भी हो सकती है बिल्कुल पूरा नहींउदाहरण के लिए, एक खिलाड़ी अपनी दस रणनीतियों से यह पता लगा सकता है कि उसका प्रतिद्वंद्वी क्या है निश्चित रूप से नहीं चुनापाँचवाँ, दूसरों के बारे में कुछ भी सीखे बिना।

समानांतर और अनुक्रमिक खेलों की प्रस्तुति में अंतर पर ऊपर चर्चा की गई थी। पूर्व को आमतौर पर सामान्य रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और बाद को व्यापक रूप में।

पूरी या अधूरी जानकारी के साथ

अनुक्रमिक खेलों का एक महत्वपूर्ण उपसमूह संपूर्ण जानकारी वाले खेल हैं। ऐसे खेल में, प्रतिभागियों को वर्तमान क्षण तक की गई सभी चालों के साथ-साथ अपने विरोधियों की संभावित रणनीतियों के बारे में पता होता है, जो उन्हें कुछ हद तक खेल के बाद के विकास की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। समानांतर खेलों में पूरी जानकारी उपलब्ध नहीं होती, क्योंकि विरोधियों की वर्तमान चालें अज्ञात होती हैं। गणित में अध्ययन किए जाने वाले अधिकांश खेलों में अधूरी जानकारी शामिल होती है। उदाहरण के लिए, सभी "नमक" कैदियों की दुविधाइसकी अपूर्णता में निहित है.

संपूर्ण जानकारी वाले खेलों के उदाहरण: शतरंज, चेकर्स और अन्य।

संपूर्ण जानकारी की अवधारणा को अक्सर समान जानकारी के साथ भ्रमित किया जाता है - उत्तम जानकारी. उत्तरार्द्ध के लिए, विरोधियों के लिए उपलब्ध सभी रणनीतियों को जानना ही पर्याप्त है; उनकी सभी चालों का ज्ञान आवश्यक नहीं है।

अनंत चरणों वाले खेल

वास्तविक दुनिया में खेल, या अर्थशास्त्र में अध्ययन किए गए खेल, टिके रहते हैं अंतिमचालों की संख्या. गणित इतना सीमित नहीं है, और सेट सिद्धांत विशेष रूप से उन खेलों से संबंधित है जो अनिश्चित काल तक जारी रह सकते हैं। इसके अलावा, सभी चालों के अंत तक विजेता और उसकी जीत का निर्धारण नहीं किया जाता है।

इस मामले में आम तौर पर जो कार्य सामने आता है वह इष्टतम समाधान ढूंढना नहीं है, बल्कि कम से कम जीतने की रणनीति ढूंढना है।

अलग और निरंतर खेल

अधिकांश खेलों का अध्ययन किया गया अलग: उनके पास खिलाड़ियों, चालों, घटनाओं, परिणामों आदि की एक सीमित संख्या होती है। हालाँकि, इन घटकों को कई वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है। जिन खेलों में ऐसे तत्व शामिल होते हैं उन्हें अक्सर विभेदक खेल कहा जाता है। वे किसी प्रकार के भौतिक पैमाने (आमतौर पर समय पैमाने) से जुड़े होते हैं, हालांकि उनमें होने वाली घटनाएं प्रकृति में भिन्न हो सकती हैं। विभेदक खेल इंजीनियरिंग और प्रौद्योगिकी, भौतिकी में अपना अनुप्रयोग पाते हैं।

मेटागेम्स

ये ऐसे गेम हैं जिनके परिणामस्वरूप दूसरे गेम के लिए नियमों का एक सेट तैयार होता है (जिसे कहा जाता है)। लक्ष्यया खेल-वस्तु). मेटागेम्स का लक्ष्य दिए गए नियमों की उपयोगिता को बढ़ाना है।

खेल प्रस्तुति प्रपत्र

गेम थ्योरी में खेलों के वर्गीकरण के साथ-साथ खेल की प्रस्तुति का रूप भी बहुत बड़ी भूमिका निभाता है। आमतौर पर, एक सामान्य या मैट्रिक्स रूप को प्रतिष्ठित किया जाता है और एक विस्तारित रूप को, एक पेड़ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। एक साधारण खेल के लिए ये फॉर्म चित्र में दिखाए गए हैं। 1ए और 1बी.

नियंत्रण के दायरे के साथ पहला संबंध स्थापित करने के लिए, खेल का वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है। समान उत्पाद बनाने वाले दो उद्यमों को एक विकल्प का सामना करना पड़ता है। एक मामले में, वे उच्च कीमत निर्धारित करके बाजार में पैर जमा सकते हैं, जो उन्हें औसत कार्टेल लाभ पीके प्रदान करेगा। भयंकर प्रतिस्पर्धा में प्रवेश करने पर, दोनों को लाभ PW प्राप्त होता है। यदि प्रतिस्पर्धियों में से एक ऊंची कीमत निर्धारित करता है, और दूसरा कम कीमत निर्धारित करता है, तो बाद वाले को एकाधिकार लाभ (पीएम) का एहसास होता है, जबकि दूसरे को नुकसान (पीजी) होता है। उदाहरण के लिए, ऐसी ही स्थिति उत्पन्न हो सकती है, जब दोनों कंपनियों को अपनी कीमत की घोषणा करनी होगी, जिसे बाद में संशोधित नहीं किया जा सकता है।

सख्त शर्तों के अभाव में कम कीमत निर्धारित करना दोनों उद्यमों के लिए फायदेमंद है। "कम कीमत" की रणनीति किसी भी फर्म के लिए प्रमुख है: कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्रतिस्पर्धी फर्म कौन सी कीमत चुनती है, कम कीमत निर्धारित करना हमेशा बेहतर होता है। लेकिन इस मामले में, कंपनियों को एक दुविधा का सामना करना पड़ता है, क्योंकि लाभ पीके (जो दोनों खिलाड़ियों के लिए लाभ पीडब्ल्यू से अधिक है) हासिल नहीं किया जाता है।

संबंधित भुगतानों के साथ "कम कीमत/कम कीमत" का रणनीतिक संयोजन नैश संतुलन का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें किसी भी खिलाड़ी के लिए चुनी गई रणनीति से अलग हटना नुकसानदेह होता है। संतुलन की यह अवधारणा रणनीतिक स्थितियों को हल करने में मौलिक है, लेकिन कुछ परिस्थितियों में इसमें अभी भी सुधार की आवश्यकता है।

जहां तक ​​उपरोक्त दुविधा का सवाल है, इसका समाधान, विशेष रूप से, खिलाड़ियों की चाल की मौलिकता पर निर्भर करता है। यदि उद्यम के पास अपने रणनीतिक चर (इस मामले में कीमत) पर पुनर्विचार करने का अवसर है, तो खिलाड़ियों के बीच कठोर समझौते के बिना भी समस्या का एक सहकारी समाधान पाया जा सकता है। अंतर्ज्ञान से पता चलता है कि खिलाड़ियों के बीच बार-बार संपर्क से स्वीकार्य "मुआवजा" प्राप्त करने के अवसर पैदा होते हैं। इस प्रकार, कुछ परिस्थितियों में, यदि भविष्य में "मूल्य युद्ध" उत्पन्न हो सकता है, तो मूल्य डंपिंग के माध्यम से अल्पकालिक उच्च लाभ के लिए प्रयास करना अनुचित है।

जैसा कि उल्लेख किया गया है, दोनों चित्र एक ही खेल का वर्णन करते हैं। सामान्य स्थिति में खेल को सामान्य रूप में प्रस्तुत करना "समकालिकता" को दर्शाता है। हालाँकि, इसका मतलब घटनाओं की "एक साथता" नहीं है, बल्कि यह इंगित करता है कि खिलाड़ी की रणनीति का चुनाव प्रतिद्वंद्वी की पसंद की रणनीति की अनदेखी में किया जाता है। विस्तृत रूप में यह स्थिति एक अंडाकार स्थान (सूचना क्षेत्र) के माध्यम से व्यक्त होती है। इस स्थान की अनुपस्थिति में, खेल की स्थिति एक अलग चरित्र लेती है: पहले, एक खिलाड़ी को निर्णय लेना होगा, और दूसरा उसके बाद यह कर सकता है।

गेम थ्योरी में क्लासिक समस्या

आइए गेम थ्योरी में एक क्लासिक समस्या पर विचार करें। हिरण का शिकारगेम थ्योरी से एक सहकारी सममित गेम है जो व्यक्तिगत हितों और सार्वजनिक हितों के बीच संघर्ष का वर्णन करता है। खेल का वर्णन सबसे पहले 1755 में जीन-जैक्स रूसो द्वारा किया गया था:

"यदि वे एक हिरण का शिकार कर रहे थे, तो हर कोई समझता था कि इसके लिए वह अपने पद पर बने रहने के लिए बाध्य था; लेकिन अगर कोई खरगोश शिकारियों में से किसी एक के पास भागता था, तो इसमें कोई संदेह नहीं था कि यह शिकारी, बिना किसी विवेक के, उसका पीछा करना शुरू कर दिया और शिकार को पकड़ लिया, बहुत कम लोगों को इस बात का दुख होगा कि इस तरह उसने अपने साथियों को शिकार से वंचित कर दिया।

हिरण का शिकार मनुष्य को अपने स्वार्थ के लिए प्रलोभित करते हुए सार्वजनिक हित प्रदान करने की चुनौती का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। क्या शिकारी को अपने साथियों के साथ रहना चाहिए और पूरी जनजाति को बड़ा शिकार देने के लिए कम अनुकूल अवसर पर दांव लगाना चाहिए, या क्या उसे अपने साथियों को छोड़ देना चाहिए और खुद को एक अधिक विश्वसनीय अवसर पर सौंप देना चाहिए जो उसके अपने परिवार को एक खरगोश देने का वादा करता है?

गेम थ्योरी में मौलिक समस्या

गेम थ्योरी में कैदी की दुविधा नामक एक मूलभूत समस्या पर विचार करें।

कैदी की दुविधागेम थ्योरी में एक मूलभूत समस्या, खिलाड़ी हमेशा एक-दूसरे के साथ सहयोग नहीं करेंगे, भले ही ऐसा करना उनके सर्वोत्तम हित में हो। यह माना जाता है कि खिलाड़ी ("कैदी") दूसरों के लाभ की परवाह किए बिना अपने स्वयं के भुगतान को अधिकतम करेगा। समस्या का सार 1950 में मेरिल फ्लड और मेल्विन ड्रेशर द्वारा तैयार किया गया था। इस दुविधा का नाम गणितज्ञ अल्बर्ट टकर ने दिया था।

कैदी की दुविधा में, विश्वासघात सख्ती से हावी हैसहयोग पर, इसलिए एकमात्र संभावित संतुलन दोनों प्रतिभागियों का विश्वासघात है। सीधे शब्दों में कहें तो, चाहे दूसरा खिलाड़ी कुछ भी करे, विश्वासघात करने पर हर कोई अधिक जीतेगा। चूँकि किसी भी स्थिति में सहयोग करने की तुलना में विश्वासघात करना अधिक लाभदायक है, सभी तर्कसंगत खिलाड़ी विश्वासघात को चुनेंगे।

व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत व्यवहार करते हुए, एक साथ प्रतिभागी एक तर्कहीन निर्णय पर आते हैं: यदि दोनों विश्वासघात करते हैं, तो उन्हें सहयोग करने की तुलना में कुल मिलाकर एक छोटा भुगतान प्राप्त होगा (इस खेल में एकमात्र संतुलन नहीं होता है) पेरेटो-इष्टतमनिर्णय, अर्थात् एक ऐसा निर्णय जिसे अन्य तत्वों की स्थिति खराब किए बिना सुधारा नहीं जा सकता।) यहीं दुविधा है.

बार-बार होने वाली कैदी की दुविधा में, खेल समय-समय पर होता है, और प्रत्येक खिलाड़ी पहले सहयोग न करने के लिए दूसरे को "दंडित" कर सकता है। ऐसे खेल में, सहयोग एक संतुलन बन सकता है, और विश्वासघात करने का प्रोत्साहन सज़ा की धमकी से अधिक हो सकता है।

क्लासिक कैदी की दुविधा

सभी न्यायिक प्रणालियों में, दस्यु (एक संगठित समूह के हिस्से के रूप में अपराध करना) के लिए सज़ा अकेले किए गए समान अपराधों की तुलना में बहुत भारी है (इसलिए वैकल्पिक नाम - "दस्यु की दुविधा")।

कैदी की दुविधा का क्लासिक सूत्रीकरण है:

दो अपराधियों, ए और बी, को समान अपराधों के लिए लगभग एक ही समय में पकड़ा गया था। यह मानने का कारण है कि उन्होंने साजिश के तहत काम किया, और पुलिस, उन्हें एक-दूसरे से अलग करते हुए, उन्हें एक ही सौदे की पेशकश करती है: यदि कोई दूसरे के खिलाफ गवाही देता है, और वह चुप रहता है, तो पहले को जांच में मदद करने के लिए रिहा कर दिया जाता है, और दूसरे को अधिकतम सज़ा कारावास (10 वर्ष) (20 वर्ष) मिलती है। यदि दोनों चुप रहते हैं, तो उनके कृत्य पर हल्के लेख के तहत आरोप लगाया जाता है, और उन्हें 6 महीने (1 वर्ष) की सजा सुनाई जाती है। अगर दोनों एक-दूसरे के खिलाफ गवाही देते हैं तो उन्हें कम से कम 2 साल (5 साल) की सजा मिलती है। प्रत्येक कैदी चुनता है कि चुप रहना है या दूसरे के खिलाफ गवाही देनी है। हालाँकि, उनमें से कोई भी नहीं जानता कि दूसरा क्या करेगा। क्या हो जाएगा?

खेल को निम्नलिखित तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है:

दुविधा तब उत्पन्न होती है जब हम मान लें कि दोनों केवल अपनी जेल की सजा को कम करने के बारे में चिंतित हैं।

आइए एक कैदी के तर्क की कल्पना करें। यदि आपका साथी चुप है, तो उसे धोखा देना और मुक्त हो जाना बेहतर है (अन्यथा - छह महीने जेल में)। यदि साथी गवाही देता है, तो 2 वर्ष (अन्यथा - 10 वर्ष) पाने के लिए उसके विरुद्ध भी गवाही देना बेहतर है। "गवाही देना" रणनीति "चुप रहो" रणनीति पर सख्ती से हावी है। इसी तरह एक और कैदी भी इसी नतीजे पर पहुंचता है.

समूह (इन दो कैदियों) के दृष्टिकोण से, एक-दूसरे के साथ सहयोग करना, चुप रहना और छह-छह महीने का समय लेना सबसे अच्छा है, क्योंकि इससे जेल की कुल अवधि कम हो जाएगी। कोई अन्य समाधान कम लाभदायक होगा.

सामान्यीकृत रूप

1. खेल में दो खिलाड़ी और एक बैंकर शामिल हैं। प्रत्येक खिलाड़ी के पास 2 कार्ड होते हैं: एक कहता है "सहयोग करें", दूसरा कहता है "दोष" (यह खेल की मानक शब्दावली है)। प्रत्येक खिलाड़ी बैंकर के सामने एक कार्ड उल्टा रखता है (अर्थात, कोई भी किसी और के निर्णय को नहीं जानता है, हालांकि किसी और के निर्णय को जानने से प्रभुत्व विश्लेषण प्रभावित नहीं होता है)। बैंकर कार्ड खोलता है और जीत की राशि बताता है।
2. यदि दोनों सहयोग करना चुनते हैं, तो दोनों को प्राप्त होता है सी. यदि एक ने "विश्वासघात करना" चुना, तो दूसरे ने "सहयोग करना" चुना - पहले को प्राप्त होता है डी, दूसरा साथ. यदि दोनों ने "विश्वासघात" चुना, तो दोनों को प्राप्त होता है डी.
3. वेरिएबल C, D, c, d के मान किसी भी चिन्ह के हो सकते हैं (उपरोक्त उदाहरण में, सभी 0 से कम या उसके बराबर हैं)। खेल को कैदी की दुविधा (पीडी) बनाने के लिए असमानता डी > सी > डी > सी को संतुष्ट किया जाना चाहिए।
4. यदि खेल दोहराया जाता है, यानी लगातार 1 से अधिक बार खेला जाता है, तो सहयोग से कुल भुगतान उस स्थिति में कुल भुगतान से अधिक होना चाहिए जहां एक विश्वासघात करता है और दूसरा नहीं करता है, यानी 2सी > डी + सी .

ये नियम डगलस हॉफ़स्टैटर द्वारा स्थापित किए गए थे और विशिष्ट कैदी की दुविधा का विहित विवरण बनाते हैं।

समान लेकिन भिन्न खेल

हॉफस्टैटर ने सुझाव दिया कि लोग कैदी की दुविधा जैसी समस्याओं को अधिक आसानी से समझते हैं यदि उन्हें एक अलग गेम या ट्रेडिंग प्रक्रिया के रूप में प्रस्तुत किया जाए। एक उदाहरण है " बंद बैग का आदान-प्रदान»:

दो लोग मिलते हैं और बंद बैगों का आदान-प्रदान करते हैं, यह महसूस करते हुए कि उनमें से एक में पैसा है, दूसरे में सामान है। प्रत्येक खिलाड़ी सौदे का सम्मान कर सकता है और जो सहमति हुई थी उसे बैग में रख सकता है, या खाली बैग देकर साथी को धोखा दे सकता है।

इस खेल में, धोखाधड़ी हमेशा सबसे अच्छा समाधान होगा, जिसका अर्थ यह भी है कि तर्कसंगत खिलाड़ी कभी भी खेल नहीं खेलेंगे और बंद बैग के व्यापार के लिए कोई बाजार नहीं होगा।

रणनीतिक प्रबंधन निर्णय लेने के लिए गेम थ्योरी का अनुप्रयोग

उदाहरणों में एक सैद्धांतिक मूल्य निर्धारण नीति के कार्यान्वयन, नए बाजारों में प्रवेश, सहयोग और संयुक्त उद्यमों के निर्माण, नवाचार के क्षेत्र में नेताओं और कलाकारों की पहचान, ऊर्ध्वाधर एकीकरण आदि से संबंधित निर्णय शामिल हैं। गेम थ्योरी के सिद्धांतों का सैद्धांतिक रूप से सभी प्रकार के निर्णयों के लिए उपयोग किया जा सकता है यदि वे अन्य अभिनेताओं से प्रभावित हों। इन व्यक्तियों या खिलाड़ियों का बाज़ार में प्रतिस्पर्धी होना ज़रूरी नहीं है; उनकी भूमिका उप-आपूर्तिकर्ताओं, अग्रणी ग्राहकों, संगठनों के कर्मचारियों के साथ-साथ कार्य सहयोगियों की भी हो सकती है।

 प्रक्रिया में प्रतिभागियों के बीच महत्वपूर्ण निर्भरता होने पर गेम थ्योरी टूल का उपयोग करना विशेष रूप से उचित है भुगतान के क्षेत्र में. संभावित प्रतिस्पर्धियों के साथ स्थिति चित्र में दिखाई गई है। 2.

 चतुर्भुज 1 और 2 ऐसी स्थिति का वर्णन करें जहां प्रतिस्पर्धियों की प्रतिक्रिया का कंपनी के भुगतान पर महत्वपूर्ण प्रभाव न पड़े। ऐसा उन मामलों में होता है जहां प्रतिस्पर्धी के पास कोई प्रेरणा नहीं होती (फ़ील्ड)। 1 ) या क्षमताएं (फ़ील्ड 2 ) जवाबी हमला। इसलिए, प्रतिस्पर्धियों के प्रेरित कार्यों की रणनीति के विस्तृत विश्लेषण की कोई आवश्यकता नहीं है।

एक समान निष्कर्ष निकलता है, हालांकि एक अलग कारण से, और चतुर्थांश द्वारा प्रतिबिंबित स्थिति के लिए 3 . यहां, प्रतिस्पर्धियों की प्रतिक्रिया का कंपनी पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ सकता है, लेकिन चूंकि उसके अपने कार्य किसी प्रतिस्पर्धी के भुगतान को बहुत अधिक प्रभावित नहीं कर सकते हैं, तो किसी को उसकी प्रतिक्रिया से डरना नहीं चाहिए। एक उदाहरण बाज़ार में प्रवेश करने का निर्णय है: कुछ परिस्थितियों में, बड़े प्रतिस्पर्धियों के पास छोटी कंपनी के ऐसे निर्णय पर प्रतिक्रिया करने का कोई कारण नहीं होता है।

केवल स्थिति चतुर्थांश में दिखाई गई है 4 (बाजार साझेदारों द्वारा प्रतिशोधात्मक कदमों की संभावना) के लिए गेम थ्योरी प्रावधानों के उपयोग की आवश्यकता होती है। हालाँकि, ये केवल आवश्यक हैं लेकिन प्रतिस्पर्धियों से मुकाबला करने के लिए गेम थ्योरी ढांचे के उपयोग को उचित ठहराने के लिए पर्याप्त शर्तें नहीं हैं। ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब एक रणनीति निस्संदेह अन्य सभी पर हावी हो जाएगी, चाहे प्रतिस्पर्धी कोई भी कदम उठाए। यदि हम, उदाहरण के लिए, दवा बाजार को लेते हैं, तो किसी कंपनी के लिए अक्सर यह महत्वपूर्ण होता है कि वह बाजार में एक नया उत्पाद पेश करने वाली पहली कंपनी हो: "पहली प्रस्तावक" का लाभ इतना महत्वपूर्ण हो जाता है कि अन्य सभी " खिलाड़ी" केवल अपनी नवप्रवर्तन गतिविधियों को तेजी से बढ़ा सकते हैं।

 गेम थ्योरी के दृष्टिकोण से "प्रमुख रणनीति" का एक तुच्छ उदाहरण निम्नलिखित से संबंधित निर्णय है एक नये बाज़ार में प्रवेश.आइए एक ऐसे उद्यम को लें जो किसी भी बाजार में एकाधिकार के रूप में कार्य करता है (उदाहरण के लिए, 80 के दशक की शुरुआत में पर्सनल कंप्यूटर बाजार में आईबीएम)। एक अन्य उद्यम, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर परिधीय उपकरणों के बाजार में काम कर रहा है, अपने उत्पादन को पुन: कॉन्फ़िगर करके व्यक्तिगत कंप्यूटर बाजार में प्रवेश करने के मुद्दे पर विचार कर रहा है। कोई बाहरी कंपनी बाज़ार में प्रवेश करने या न करने का निर्णय ले सकती है। एक एकाधिकारवादी कंपनी किसी नए प्रतिस्पर्धी के उभरने पर आक्रामक या मैत्रीपूर्ण प्रतिक्रिया कर सकती है। दोनों कंपनियां दो चरणों वाले खेल में प्रवेश करती हैं जिसमें बाहरी कंपनी पहला कदम उठाती है। भुगतान दर्शाने वाली खेल स्थिति चित्र 3 में एक पेड़ के रूप में दिखाई गई है।

 उसी खेल स्थिति को सामान्य रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है (चित्र 4)।

यहां दो अवस्थाएं दर्शाई गई हैं - "प्रवेश/अनुकूल प्रतिक्रिया" और "गैर-प्रवेश/आक्रामक प्रतिक्रिया"। जाहिर है, दूसरा संतुलन अस्थिर है। विस्तारित रूप से यह पता चलता है कि एक कंपनी के लिए जो पहले से ही बाजार में पैर जमा चुकी है, एक नए प्रतियोगी के उद्भव पर आक्रामक प्रतिक्रिया करना अनुचित है: आक्रामक व्यवहार के साथ, वर्तमान एकाधिकारवादी को 1 (भुगतान) मिलता है, और मित्रता के साथ व्यवहार - 3. बाहरी कंपनी यह भी जानती है कि एकाधिकारवादी के लिए उसे विस्थापित करने के लिए कार्रवाई शुरू करना तर्कसंगत नहीं है, और इसलिए वह बाजार में प्रवेश करने का निर्णय लेती है। बाहरी कंपनी (-1) के खतरे वाले नुकसान को सहन नहीं करेगी।

ऐसा तर्कसंगत संतुलन "आंशिक रूप से बेहतर" खेल की विशेषता है, जो जानबूझकर बेतुकी चालों को बाहर करता है। व्यवहार में, सिद्धांत रूप में, ऐसी संतुलन अवस्थाओं को खोजना काफी आसान है। किसी भी परिमित खेल के संचालन अनुसंधान के क्षेत्र से एक विशेष एल्गोरिदम का उपयोग करके संतुलन विन्यास की पहचान की जा सकती है। निर्णय लेने वाला इस प्रकार आगे बढ़ता है: सबसे पहले, खेल के अंतिम चरण में "सर्वश्रेष्ठ" चाल का चुनाव किया जाता है, फिर अंतिम चरण में पसंद को ध्यान में रखते हुए, पिछले चरण में "सर्वश्रेष्ठ" चाल का चयन किया जाता है। और इसी तरह, जब तक गेम पेड़ के शुरुआती नोड तक नहीं पहुंच जाता।

गेम थ्योरी-आधारित विश्लेषण से कंपनियां कैसे लाभान्वित हो सकती हैं? उदाहरण के लिए, आईबीएम और टेलेक्स के बीच हितों के टकराव का एक प्रसिद्ध मामला है। बाज़ार में प्रवेश के लिए उत्तरार्द्ध की प्रारंभिक योजनाओं की घोषणा के संबंध में, आईबीएम प्रबंधन की एक "संकट" बैठक आयोजित की गई, जिसमें नए प्रतियोगी को नए बाज़ार में प्रवेश करने के अपने इरादे को छोड़ने के लिए मजबूर करने के उपायों का विश्लेषण किया गया। टेलेक्स को स्पष्ट रूप से इन घटनाओं के बारे में पता चल गया। गेम थ्योरी पर आधारित एक विश्लेषण से पता चला कि उच्च लागत के कारण आईबीएम को होने वाले खतरे निराधार हैं। इससे पता चलता है कि कंपनियों के लिए अपने गेमिंग साझेदारों की संभावित प्रतिक्रियाओं पर विचार करना उपयोगी है। अलग-अलग आर्थिक गणनाएँ, यहाँ तक कि निर्णय लेने के सिद्धांत पर आधारित, अक्सर, वर्णित स्थिति के अनुसार, प्रकृति में सीमित होती हैं। इस प्रकार, एक बाहरी कंपनी "गैर-प्रवेश" कदम चुन सकती है यदि प्रारंभिक विश्लेषण से उसे विश्वास हो जाए कि बाजार में प्रवेश के कारण एकाधिकारवादी की ओर से आक्रामक प्रतिक्रिया होगी। इस मामले में, अपेक्षित मूल्य मानदंड के अनुसार, 0.5 की आक्रामक प्रतिक्रिया की संभावना के साथ "गैर-हस्तक्षेप" कदम चुनना उचित है।

 निम्नलिखित उदाहरण क्षेत्र में कंपनियों की प्रतिद्वंद्विता से संबंधित है तकनीकी नेतृत्व.प्रारंभिक स्थिति तब होती है जब उद्यम 1 पहले तकनीकी श्रेष्ठता थी, लेकिन वर्तमान में अपने प्रतिद्वंद्वी की तुलना में अनुसंधान और विकास (आरएंडडी) के लिए कम वित्तीय संसाधन हैं। दोनों कंपनियों को यह तय करना होगा कि बड़े पूंजी निवेश के माध्यम से अपने संबंधित प्रौद्योगिकी क्षेत्र में वैश्विक बाजार प्रभुत्व हासिल करने का प्रयास किया जाए या नहीं। यदि दोनों प्रतिस्पर्धी व्यवसाय में बड़ी मात्रा में धन निवेश करते हैं, तो उद्यम की सफलता की संभावनाएँ बढ़ जाती हैं 1 बेहतर होगा, हालाँकि इसमें बड़े वित्तीय खर्च (उद्यम की तरह) होंगे 2 ). चित्र में. 5 इस स्थिति को नकारात्मक मूल्यों वाले भुगतानों द्वारा दर्शाया गया है।

उद्यम के लिए 1 यह सर्वोत्तम होगा यदि उद्यम 2 प्रतिस्पर्धा करने से इनकार कर दिया. इस मामले में उसका लाभ 3 (भुगतान) होगा। सबसे अधिक संभावना उद्यम 2 जब उद्यम प्रतियोगिता जीतेगा 1 कम निवेश कार्यक्रम और उद्यम को स्वीकार करेगा 2 - व्यापक. यह स्थिति मैट्रिक्स के ऊपरी दाएँ चतुर्थांश में परिलक्षित होती है।

स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि संतुलन उद्यम की उच्च अनुसंधान एवं विकास लागत पर होता है 2 और कम उद्यम 1 . किसी भी अन्य परिदृश्य में, प्रतिस्पर्धियों में से एक के पास रणनीतिक संयोजन से विचलित होने का एक कारण होता है: उदाहरण के लिए, एक उद्यम के लिए 1 यदि उद्यम हो तो कम बजट बेहतर है 2 प्रतियोगिता में भाग लेने से इंकार कर देंगे; एक ही समय में उद्यम के लिए 2 यह ज्ञात है कि जब किसी प्रतियोगी की लागत कम होती है, तो उसके लिए अनुसंधान और विकास में निवेश करना लाभदायक होता है।

तकनीकी लाभ वाला एक उद्यम अंततः अपने लिए इष्टतम परिणाम प्राप्त करने के लिए गेम थ्योरी के आधार पर स्थिति का विश्लेषण कर सकता है। एक निश्चित संकेत की मदद से, उसे यह दिखाना होगा कि वह अनुसंधान और विकास पर बड़ा खर्च करने के लिए तैयार है। यदि ऐसा कोई संकेत प्राप्त नहीं होता है, तो उद्यम के लिए 2 यह स्पष्ट है कि उद्यम 1 कम लागत वाला विकल्प चुनता है।

सिग्नल की विश्वसनीयता उद्यम के दायित्वों से प्रमाणित होनी चाहिए। इस मामले में, यह उद्यम का निर्णय हो सकता है 1 नई प्रयोगशालाओं की खरीद या अतिरिक्त अनुसंधान कर्मियों की नियुक्ति पर।

खेल सिद्धांत के दृष्टिकोण से, ऐसे दायित्व खेल के पाठ्यक्रम को बदलने के बराबर हैं: एक साथ निर्णय लेने की स्थिति को क्रमिक चालों की स्थिति से बदल दिया जाता है। कंपनी 1 बड़े व्यय, उद्यम करने के इरादे को दृढ़ता से प्रदर्शित करता है 2 यह कदम दर्ज करता है और उसके पास अब प्रतिद्वंद्विता में भाग लेने का कोई कारण नहीं है। नया संतुलन "उद्यम की गैर-भागीदारी" परिदृश्य से उत्पन्न होता है 2 " और "उद्यम के अनुसंधान और विकास की उच्च लागत 1 ".

 गेम थ्योरी विधियों के अनुप्रयोग के प्रसिद्ध क्षेत्र भी शामिल हैं मूल्य निर्धारण रणनीति, संयुक्त उद्यमों का निर्माण, नए उत्पाद विकास का समय।

गेम थ्योरी के उपयोग में महत्वपूर्ण योगदान आते हैं प्रयोगिक काम. कई सैद्धांतिक गणनाओं का परीक्षण प्रयोगशाला स्थितियों में किया जाता है, और प्राप्त परिणाम अभ्यासकर्ताओं के लिए प्रेरणा के रूप में काम करते हैं। सैद्धांतिक रूप से, यह स्पष्ट किया गया कि किन परिस्थितियों में दो स्वार्थी विचारधारा वाले भागीदारों के लिए सहयोग करना और अपने लिए बेहतर परिणाम प्राप्त करना उचित है।

इस ज्ञान का उपयोग उद्यम अभ्यास में दो कंपनियों को जीत-जीत की स्थिति हासिल करने में मदद करने के लिए किया जा सकता है। आज, गेमिंग-प्रशिक्षित सलाहकार तेजी से और स्पष्ट रूप से उन अवसरों की पहचान करते हैं जिनका लाभ व्यवसाय ग्राहकों, उप-आपूर्तिकर्ताओं, विकास भागीदारों और इसी तरह के स्थिर, दीर्घकालिक अनुबंधों को सुरक्षित करने के लिए उठा सकते हैं।

प्रबंधन में व्यावहारिक अनुप्रयोग की समस्याएं

बेशक, यह बताया जाना चाहिए कि गेम थ्योरी के विश्लेषणात्मक उपकरणों के अनुप्रयोग की कुछ सीमाएँ हैं। निम्नलिखित मामलों में, इसका उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब अतिरिक्त जानकारी प्राप्त हो।

पहले तो,यह वह स्थिति है जब व्यवसायों के पास उस खेल के बारे में अलग-अलग विचार होते हैं जो वे खेल रहे हैं, या जब उन्हें एक-दूसरे की क्षमताओं के बारे में पर्याप्त जानकारी नहीं होती है। उदाहरण के लिए, किसी प्रतिस्पर्धी के भुगतान (लागत संरचना) के बारे में अस्पष्ट जानकारी हो सकती है। यदि जानकारी जो बहुत जटिल नहीं है, उसमें अपूर्णता है, तो कुछ अंतरों को ध्यान में रखते हुए, समान मामलों की तुलना करके काम चलाया जा सकता है।

दूसरी बात,गेम थ्योरी को कई संतुलन स्थितियों पर लागू करना कठिन है। यह समस्या एक साथ रणनीतिक निर्णयों वाले सरल खेलों के दौरान भी उत्पन्न हो सकती है।

तीसरा,यदि रणनीतिक निर्णय लेने की स्थिति बहुत जटिल है, तो खिलाड़ी अक्सर अपने लिए सर्वोत्तम विकल्प नहीं चुन सकते हैं। ऊपर चर्चा की गई स्थिति की तुलना में अधिक जटिल बाज़ार प्रवेश स्थिति की कल्पना करना आसान है। उदाहरण के लिए, कई उद्यम अलग-अलग समय पर बाज़ार में प्रवेश कर सकते हैं, या पहले से ही वहां काम कर रहे उद्यमों की प्रतिक्रिया आक्रामक या मैत्रीपूर्ण होने की तुलना में अधिक जटिल हो सकती है।

यह प्रयोगात्मक रूप से सिद्ध हो चुका है कि जब खेल दस या अधिक चरणों तक विस्तारित हो जाता है, तो खिलाड़ी उपयुक्त एल्गोरिदम का उपयोग करने और संतुलन रणनीतियों के साथ खेल जारी रखने में सक्षम नहीं होते हैं।

गेम थ्योरी का प्रयोग बहुत बार नहीं किया जाता है। दुर्भाग्य से, वास्तविक दुनिया की स्थितियाँ अक्सर बहुत जटिल होती हैं और इतनी तेज़ी से बदलती हैं कि सटीक भविष्यवाणी करना असंभव है कि प्रतिस्पर्धी किसी फर्म की बदलती रणनीति पर कैसे प्रतिक्रिया देंगे। हालाँकि, जब प्रतिस्पर्धी निर्णय लेने की स्थिति में विचार करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण कारकों की पहचान करने की बात आती है तो गेम थ्योरी उपयोगी होती है। यह जानकारी महत्वपूर्ण है क्योंकि यह प्रबंधन को अतिरिक्त चर या कारकों पर विचार करने की अनुमति देती है जो स्थिति को प्रभावित कर सकते हैं, जिससे निर्णय की प्रभावशीलता बढ़ जाती है।

निष्कर्ष में, इस बात पर विशेष रूप से जोर दिया जाना चाहिए कि गेम थ्योरी ज्ञान का एक बहुत ही जटिल क्षेत्र है। इसे संभालते समय, आपको सावधान रहना चाहिए और इसके उपयोग की सीमाओं को स्पष्ट रूप से जानना चाहिए। बहुत सरल व्याख्याएं, चाहे फर्म द्वारा स्वयं अपनाई गई हों या सलाहकारों की मदद से, छिपे हुए खतरों से भरी होती हैं। उनकी जटिलता के कारण, गेम थ्योरी विश्लेषण और परामर्श की सिफारिश केवल विशेष रूप से महत्वपूर्ण समस्या क्षेत्रों के लिए की जाती है। फर्मों के अनुभव से पता चलता है कि बड़े सहयोग समझौतों को तैयार करने सहित एकमुश्त, मौलिक रूप से महत्वपूर्ण योजनाबद्ध रणनीतिक निर्णय लेते समय उपयुक्त उपकरणों का उपयोग बेहतर होता है।

ग्रन्थसूची

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व्यावहारिक गतिविधियों में, अक्सर दूसरे पक्ष के विरोध का सामना करते हुए निर्णय लेना आवश्यक होता है, जो विरोध या अन्य लक्ष्यों का पीछा कर सकता है, या बाहरी वातावरण के कुछ कार्यों या राज्यों द्वारा इच्छित लक्ष्य की प्राप्ति में बाधा उत्पन्न कर सकता है। इसके अलावा, विपरीत दिशा से ये प्रभाव निष्क्रिय या सक्रिय हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, विपरीत पक्ष के संभावित व्यवहार विकल्पों, प्रतिशोधात्मक कार्रवाइयों और उनके संभावित परिणामों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

दोनों पक्षों के लिए संभावित व्यवहार विकल्प और विकल्पों और राज्यों के प्रत्येक संयोजन के लिए उनके परिणामों को अक्सर गणितीय मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे खेल कहा जाता है .

यदि विरोधी पार्टी एक निष्क्रिय, निष्क्रिय पार्टी है जो जानबूझकर इच्छित लक्ष्य की प्राप्ति का विरोध नहीं करती है इस गेम को कहा जाता है प्रकृति के साथ खिलवाड़. प्रकृति को आमतौर पर परिस्थितियों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जिसमें निर्णय लेने होते हैं (मौसम की स्थिति की अनिश्चितता, वाणिज्यिक गतिविधियों में ग्राहकों का अज्ञात व्यवहार, नए प्रकार की वस्तुओं और सेवाओं के प्रति जनसंख्या की प्रतिक्रिया की अनिश्चितता आदि)

अन्य स्थितियों में, विपरीत पक्ष सक्रिय रूप से, जानबूझकर इच्छित लक्ष्य की उपलब्धि का विरोध करता है। ऐसे मामलों में, विरोधी हितों, विचारों और विचारों का टकराव होता है। ऐसी स्थितियाँ संघर्ष कहलाते हैं , और दुश्मन के व्यवहार की अनिश्चितता के कारण संघर्ष की स्थिति में निर्णय लेना कठिन होता है। यह ज्ञात है कि दुश्मन सबसे बड़ी सफलता सुनिश्चित करने के लिए जानबूझकर आपके लिए कम से कम लाभकारी कार्य करना चाहता है। यह अज्ञात है कि दुश्मन किस हद तक स्थिति और संभावित परिणामों का आकलन करना जानता है, वह आपकी क्षमताओं और इरादों का आकलन कैसे करता है। दोनों पक्ष आपसी कार्रवाइयों की भविष्यवाणी नहीं कर सकते। इतनी अनिश्चितता के बावजूद, संघर्ष के प्रत्येक पक्ष को निर्णय लेना होता है

अर्थशास्त्र में, संघर्ष की स्थितियाँ बहुत बार घटित होती हैं और विविध प्रकृति की होती हैं। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, आपूर्तिकर्ता और उपभोक्ता, खरीदार और विक्रेता, बैंक और ग्राहक आदि के बीच संबंध। इन सभी उदाहरणों में, संघर्ष की स्थिति भागीदारों के हितों में अंतर और उनमें से प्रत्येक की इच्छा से उत्पन्न होती है। इष्टतम निर्णय. साथ ही, हर किसी को न केवल अपने लक्ष्यों, बल्कि अपने साथी के लक्ष्यों को भी ध्यान में रखना होगा और पहले से अज्ञात उसके संभावित कार्यों को भी ध्यान में रखना होगा।

संघर्ष की स्थितियों में इष्टतम निर्णयों को उचित ठहराने की आवश्यकता उभरी है खेल सिद्धांत।

खेल सिद्धांत - यह संघर्ष स्थितियों का गणितीय सिद्धांत है. इस सिद्धांत के शुरुआती बिंदु दुश्मन की पूर्ण "आदर्श" तर्कसंगतता की धारणा और संघर्ष को हल करते समय सबसे सतर्क निर्णय अपनाना हैं।

परस्पर विरोधी दलों को बुलाया जाता है खिलाड़ियों , खेल का एक कार्यान्वयन - दल , खेल का परिणाम है जीतना या हारना . किसी खिलाड़ी के लिए कोई भी संभावित कार्रवाई (खेल के दिए गए नियमों के भीतर) उसकी कहलाती है रणनीति .

खेल का मुद्दा यह है कि प्रत्येक खिलाड़ी, खेल के दिए गए नियमों के भीतर, उस रणनीति को लागू करने का प्रयास करता है जो उसके लिए इष्टतम है, अर्थात वह रणनीति जो उसके लिए सर्वोत्तम परिणाम की ओर ले जाएगी। इष्टतम (समीचीन) व्यवहार के सिद्धांतों में से एक संतुलन की स्थिति की उपलब्धि है, जिसके उल्लंघन में किसी भी खिलाड़ी की दिलचस्पी नहीं है।

यह संतुलन की स्थिति है जो खिलाड़ियों के बीच स्थिर समझौतों का विषय हो सकती है। इसके अलावा, संतुलन की स्थिति प्रत्येक खिलाड़ी के लिए फायदेमंद होती है: संतुलन की स्थिति में, प्रत्येक खिलाड़ी को सबसे बड़ा भुगतान मिलता है, इस हद तक कि यह उस पर निर्भर करता है।

संघर्ष की स्थिति का गणितीय मॉडल खेल कहा जाता है , संघर्ष में शामिल पक्ष, खिलाड़ी कहलाते हैं.

प्रत्येक औपचारिक खेल के लिए, नियम पेश किए जाते हैं। सामान्य तौर पर, खेल के नियम खिलाड़ियों के लिए कार्रवाई के विकल्प स्थापित करते हैं; प्रत्येक खिलाड़ी के पास अपने साझेदारों के व्यवहार के बारे में कितनी जानकारी है; कार्यों के प्रत्येक सेट से मिलने वाला प्रतिफल।

समय के साथ खेल का विकास क्रमिक रूप से, चरणों या चालों में होता है। गेम थ्योरी में एक चाल को कहा जाता है खेल के नियमों द्वारा प्रदान की गई क्रियाओं में से एक का चयन और उसका कार्यान्वयन। चालें व्यक्तिगत और यादृच्छिक हैं. व्यक्तिगत रूप से कार्रवाई और उसके कार्यान्वयन के लिए संभावित विकल्पों में से एक के बारे में खिलाड़ी की सचेत पसंद को कॉल करें। यादृच्छिक चाल वे खिलाड़ी के स्वैच्छिक निर्णय द्वारा नहीं, बल्कि किसी प्रकार के यादृच्छिक चयन तंत्र (सिक्का उछालना, पास करना, कार्ड बांटना, आदि) द्वारा किए गए विकल्प को कहते हैं।

परिणामों की अनिश्चितता पैदा करने वाले कारणों के आधार पर खेलों को निम्नलिखित मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

संयुक्त खेल, जिसमें नियम, सिद्धांत रूप में, प्रत्येक खिलाड़ी को अपने व्यवहार के लिए सभी विभिन्न विकल्पों का विश्लेषण करने का अवसर प्रदान करते हैं और, इन विकल्पों की तुलना करके, उस विकल्प को चुनते हैं जो इस खिलाड़ी के लिए सर्वोत्तम परिणाम की ओर ले जाता है। परिणाम की अनिश्चितता आमतौर पर इस तथ्य के कारण होती है कि संभावित व्यवहार विकल्पों (चालों) की संख्या बहुत बड़ी है और खिलाड़ी व्यावहारिक रूप से उन सभी को छांटने और उनका विश्लेषण करने में असमर्थ है।

जुआ , जिसमें विभिन्न यादृच्छिक कारकों के प्रभाव के कारण परिणाम अनिश्चित है। जुए के खेल में केवल यादृच्छिक चालें होती हैं, जिसका विश्लेषण संभाव्यता के सिद्धांत का उपयोग करता है। गणितीय खेल सिद्धांत जुए से संबंधित नहीं है।

रणनीतिक खेल , जिसमें पसंद की पूरी अनिश्चितता इस तथ्य से उचित है कि प्रत्येक खिलाड़ी, आगामी चाल की पसंद पर निर्णय लेते समय, यह नहीं जानता कि खेल में अन्य प्रतिभागी किस रणनीति का पालन करेंगे, और खिलाड़ी की अज्ञानता साझेदारों का व्यवहार और इरादे मौलिक हैं, क्योंकि दुश्मन (साझेदार) के बाद के कार्यों के बारे में कोई जानकारी नहीं है।

ऐसे खेल हैं जो संयुक्त और जुआ खेल के गुणों को जोड़ते हैं; खेलों की रणनीतिक प्रकृति को संयोजकता आदि के साथ जोड़ा जा सकता है।

खेल में भाग लेने वालों की संख्या पर निर्भर करता है युग्मित और एकाधिक में विभाजित हैं। युगल खेल में प्रतिभागियों की संख्या दो होती है, एकाधिक खेल में प्रतिभागियों की संख्या दो से अधिक होती है। एकाधिक खेल में भाग लेने वाले गठबंधन बना सकते हैं। ऐसे में गेम्स को बुलाया जाता है गठबंधन . यदि इसके प्रतिभागी दो स्थायी गठबंधन बनाते हैं तो एक बहु खेल दोहरा खेल बन जाता है।

गेम थ्योरी की मूल अवधारणाओं में से एक रणनीति है। खिलाड़ी की रणनीति नियमों का एक समूह है जो खेल के दौरान उत्पन्न होने वाली स्थिति के आधार पर, इस खिलाड़ी की प्रत्येक व्यक्तिगत चाल के लिए कार्रवाई का विकल्प निर्धारित करता है।

इष्टतम रणनीति एक खिलाड़ी एक ऐसी रणनीति कहलाती है, जो व्यक्तिगत और यादृच्छिक चालों वाले खेल में कई बार दोहराए जाने पर, प्रतिद्वंद्वी के व्यवहार की परवाह किए बिना, खिलाड़ी को अधिकतम संभव औसत जीत या न्यूनतम संभव हार प्रदान करती है।

खेल कहा जाता है अंतिम , यदि खिलाड़ी रणनीतियों की संख्या सीमित है, और अनंत , यदि कम से कम एक खिलाड़ी के पास अनंत संख्या में रणनीतियाँ हैं।

मल्टी-मूव गेम थ्योरी समस्याओं में, "रणनीति" और "संभावित कार्यों के विकल्प" की अवधारणाएं एक दूसरे से काफी भिन्न होती हैं। सरल (एक-चाल) खेल समस्याओं में, जब प्रत्येक खेल में प्रत्येक खिलाड़ी एक चाल चल सकता है, तो ये अवधारणाएँ मेल खाती हैं, और इसलिए, खिलाड़ी की रणनीतियों का सेट सभी संभावित कार्यों को शामिल करता है जो वह किसी भी संभावित स्थिति में और किसी भी संभावित स्थिति में कर सकता है। वास्तविक स्थिति. जानकारी.

खेलों को जीत की मात्रा के आधार पर भी अलग किया जाता है। खेल कहा जाता है शून्य के साथ खेल जोड़ वां, यदि प्रत्येक खिलाड़ी दूसरे की कीमत पर जीतता है, और एक पक्ष की जीत की राशि दूसरे की हार की राशि के बराबर होती है। शून्य-राशि युगल खेल में, खिलाड़ियों के हितों का सीधे तौर पर विरोध किया जाता है। शून्य-राशि युग्म खेल कहा जाता है मैंविरोधी खेल .

ऐसे खेल जिनमें एक खिलाड़ी का लाभ और दूसरे की हानि बराबर नहीं होती कहा जाता हैगैर-शून्य योग खेल .

खेलों का वर्णन करने के दो तरीके हैं: स्थितीय और सामान्य . स्थितिगत विधि खेल के विस्तारित रूप से जुड़ी है और इसे क्रमिक चरणों (गेम ट्री) के ग्राफ में घटा दिया गया है। सामान्य तरीका खिलाड़ी की रणनीतियों के सेट को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना है भुगतान समारोह . खेल में भुगतान फ़ंक्शन खिलाड़ियों द्वारा चुनी गई रणनीतियों के प्रत्येक सेट के लिए प्रत्येक पक्ष की जीत निर्धारित करता है।