आइए मूल समीकरण को समकक्ष समीकरण से बदलें और नियम के अनुसार पुनरावृत्तियों का निर्माण करें 
. इस प्रकार, सरल पुनरावृत्ति विधि एक-चरणीय पुनरावृत्तीय प्रक्रिया है। इस प्रक्रिया को शुरू करने के लिए, आपको प्रारंभिक सन्निकटन जानने की आवश्यकता है। आइए विधि के अभिसरण और प्रारंभिक सन्निकटन के चुनाव के लिए शर्तों का पता लगाएं।
टिकट#29
सीडेल विधि
सीडेल विधि (कभी-कभी गॉस-सीडेल विधि भी कहा जाता है) सरल पुनरावृत्ति विधि का एक संशोधन है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि अगले सन्निकटन x (k+1) की गणना करते समय (सूत्र (1.13), (1.14) देखें) पहले से प्राप्त घटक x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) का उपयोग तुरंत x i (k+1) की गणना करने के लिए किया जाता है।
समन्वय संकेतन रूप में, सीडेल विधि का रूप है:
एक्स 1 (के+1) = सी 11 एक्स 1 (के) + सी 12 एक्स 2 (के) + ... + सी 1एन-1 एक्स एन-1 (के) + सी 1एन एक्स एन (के) + डी 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + डी.एन
जहां x (0) समाधान का कुछ प्रारंभिक सन्निकटन है।
इस प्रकार, (k+1)-वें सन्निकटन के i-वें घटक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
जब सटीकता ε सरलीकृत रूप में प्राप्त की जाती है तो सीडेल पुनरावृत्तीय प्रक्रिया के अंत की स्थिति का रूप इस प्रकार है:
|| एक्स (के+1) - एक्स (के) || ≤ ε.
टिकट#30
पासिंग विधि
त्रिविकर्ण मैट्रिक्स के साथ सिस्टम ए एक्स = बी को हल करने के लिए, स्वीप विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है, जो इस मामले में गॉस विधि का एक अनुकूलन है।
आइए समीकरणों की प्रणाली लिखें
डी 1 एक्स 1 + ई 1 एक्स 2 = बी 1
सी 2 एक्स 1 + डी 2 एक्स 2 + ई 2 एक्स 3 = बी 2
सी 3 एक्स 2 + डी 3 एक्स 3 + ई 3 एक्स 4 = बी 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
सी एन एक्स एन-1 + डी एन एक्स एन = बी एन
मैट्रिक्स रूप में: ए एक्स = बी कहां
ए= 
आइए हम स्वीप विधि के सूत्रों को उनके अनुप्रयोग के क्रम में लिखें।
1. स्वीप विधि का सीधा स्ट्रोक (सहायक मात्राओं की गणना):
| ए 2 = -ई 1 / डी 1 बी 2 = बी 1 / डी 1 ए आई+1 = -ई आई / , आई=2, ..., एन-1 बी आई+1 = [-सी आई बी आई + बी आई ] / , मैं=2, ..., एन-1 | (1.9) |
2. उलटा स्ट्रोकस्वीप विधि (समाधान ढूंढना):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
टिकट#31
सरल पुनरावृत्ति विधि
विधि का सार सरल पुनरावृत्तियाँसमीकरण से आगे बढ़ने में शामिल है
एफ(एक्स)= 0 (*)
समतुल्य समीकरण के लिए
एक्स=φ(x). (**)
यह परिवर्तन किया जा सकता है विभिन्न तरीके, प्रकार पर निर्भर करता है एफ(एक्स). उदाहरण के लिए, आप डाल सकते हैं
φ(x) = एक्स+BF(x),(***)
कहाँ बी= स्थिरांक, और जड़ें मूल समीकरणबदलेगा नहीं।
यदि मूल का प्रारंभिक सन्निकटन ज्ञात हो एक्स 0, फिर नया सन्निकटन
एक्स 1=φx(0),
वे। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया की सामान्य योजना:
एक्स के+1=φ(x k).(****)
प्रक्रिया को समाप्त करने का सबसे सरल मानदंड
|एक्स के +1 -एक्स के |<ε.
अभिसरण मानदंडसरल पुनरावृत्ति विधि:
यदि जड़ के पास | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого एक्स, तो पुनरावृत्तियाँ किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण होती हैं।
आइए स्थिरांक की पसंद का पता लगाएं बीअधिकतम अभिसरण गति सुनिश्चित करने की दृष्टि से। अभिसरण मानदंड के अनुसार, अभिसरण की उच्चतम गति कब सुनिश्चित की जाती है |φ / (x)| = 0. साथ ही, (***) के आधार पर, बी = -1/एफ / (एक्स),और पुनरावृत्ति सूत्र (****) में चला जाता है x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).-वे। न्यूटन की विधि के सूत्र में. इस प्रकार, न्यूटन की विधि सरल पुनरावृत्ति विधि का एक विशेष मामला है, जो किसी फ़ंक्शन को चुनने के लिए सभी संभावित विकल्पों के अभिसरण की उच्चतम गति प्रदान करती है। φ(एक्स).
टिकट#32
न्यूटन की विधि
विधि का मुख्य विचार इस प्रकार है: काल्पनिक मूल के पास एक प्रारंभिक सन्निकटन निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद सन्निकटन बिंदु पर अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया जाता है, जिसके लिए एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन पाया जाता है। इस बिंदु को अगले सन्निकटन के रूप में लिया जाता है। और इसी तरह जब तक आवश्यक सटीकता हासिल नहीं हो जाती।
मान लीजिए यह एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक अंतराल पर परिभाषित होता है और उस पर अवकलनीय होता है। फिर पुनरावृत्तीय सन्निकटन कलन का सूत्र इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:
जहां α बिंदु पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण है।
इसलिए, के लिए आवश्यक अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार है:
टिकट#33
स्वर्ण अनुपात विधि
स्वर्णिम अनुपात विधि आपको प्रत्येक पुनरावृत्ति पर केवल एक फ़ंक्शन मान की गणना करके अंतराल को समाप्त करने की अनुमति देती है। दो सुविचारित फ़ंक्शन मानों के परिणामस्वरूप, भविष्य में उपयोग किया जाने वाला अंतराल निर्धारित होता है। इस अंतराल में पिछले बिंदुओं में से एक होगा और अगला बिंदु इसके सममित रूप से रखा जाएगा। बिंदु अंतराल को दो भागों में विभाजित करता है ताकि पूरे और बड़े हिस्से का अनुपात बड़े हिस्से से छोटे हिस्से के अनुपात के बराबर हो, यानी तथाकथित "स्वर्णिम अनुपात" के बराबर हो।
अंतराल को असमान भागों में विभाजित करने से आप और भी अधिक प्रभावी विधि ढूंढ सकते हैं। आइए हम खंड के अंत में फ़ंक्शन की गणना करें [ ए,बी] और रखें ए=एक्स 1 , बी=एक्स 2. आइए हम दो आंतरिक बिंदुओं पर फ़ंक्शन की भी गणना करें एक्स 3 , एक्स 4 . आइए फ़ंक्शन के सभी चार मानों की तुलना करें और उनमें से सबसे छोटा चुनें। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि यह सबसे छोटा है एफ(एक्स 3). जाहिर है, न्यूनतम इसके निकटवर्ती खंडों में से एक में होना चाहिए। इसलिए खंड [ एक्स 4 ,बी] को खारिज किया जा सकता है और खंड को छोड़ा जा सकता है। 
पहला कदम उठाया जा चुका है. खंड पर, आपको फिर से दो आंतरिक बिंदुओं का चयन करना होगा, उन पर और सिरों पर फ़ंक्शन मानों की गणना करनी होगी और अगला कदम उठाना होगा। लेकिन गणना के पिछले चरण में, हमें पहले से ही नए खंड के अंत में और उसके आंतरिक बिंदुओं में से एक पर फ़ंक्शन मिल गया था एक्स 4 . इसलिए, अंदर एक और बिंदु का चयन करना पर्याप्त है एक्स 5इसमें फ़ंक्शन का मान निर्धारित करें और आवश्यक तुलना करें। यह प्रक्रिया के प्रत्येक चरण के लिए आवश्यक गणना की मात्रा को चौगुना कर देता है। अंक लगाने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? हर बार शेष खंड को तीन भागों में विभाजित किया जाता है और फिर बाहरी खंडों में से एक को हटा दिया जाता है।
आइए हम प्रारंभिक अनिश्चितता अंतराल को निरूपित करें डी.
चूँकि सामान्य स्थिति में किसी भी खंड को छोड़ा जा सकता है एक्स 1, एक्स 3या एक्स 4, एक्स 2फिर बिंदुओं का चयन करें एक्स 3और एक्स 4ताकि इन खंडों की लंबाई समान हो:
एक्स 3 -एक्स 1 =एक्स 4 -एक्स 2.
त्यागने के बाद, हमें एक नई लंबाई अनिश्चितता अंतराल मिलती है डी'.
आइए हम संबंध को निरूपित करें डी/डी'पत्र φ:
यानी, आइए निर्धारित करें कि अगला अनिश्चितता अंतराल कहां है। लेकिन
पिछले चरण में छोड़े गए खंड की लंबाई के बराबर, यानी
इसलिए हमें मिलता है:
.
यह समीकरण या समकक्ष की ओर ले जाता है 
.
इस समीकरण का सकारात्मक मूल देता है
.
टिकट#34
कार्यों का प्रक्षेप, अर्थात् किसी दिए गए फ़ंक्शन का उपयोग करना, एक अन्य (आमतौर पर सरल) फ़ंक्शन का निर्माण करना जिसके मान एक निश्चित संख्या में बिंदुओं पर दिए गए फ़ंक्शन के मानों से मेल खाते हों। इसके अलावा, प्रक्षेप का व्यावहारिक और सैद्धांतिक दोनों महत्व है।
सरल पुनरावृत्ति विधि, जिसे क्रमिक सन्निकटन विधि भी कहा जाता है, किसी अज्ञात मात्रा को धीरे-धीरे परिष्कृत करके उसका मूल्य ज्ञात करने के लिए एक गणितीय एल्गोरिदम है। इस पद्धति का सार यह है कि, जैसा कि नाम से पता चलता है, प्रारंभिक सन्निकटन से बाद की विधियों को धीरे-धीरे व्यक्त करने से अधिक से अधिक परिष्कृत परिणाम प्राप्त होते हैं। इस पद्धति का उपयोग किसी दिए गए फ़ंक्शन में एक चर के मान को खोजने के लिए किया जाता है, साथ ही रैखिक और गैर-रेखीय दोनों समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय भी किया जाता है।
आइए विचार करें कि SLAE को हल करते समय यह विधि कैसे लागू की जाती है। सरल पुनरावृत्ति विधि में निम्नलिखित एल्गोरिदम है:
1. मूल मैट्रिक्स में अभिसरण शर्त की पूर्ति की जाँच करना। अभिसरण प्रमेय: यदि सिस्टम के मूल मैट्रिक्स में विकर्ण प्रभुत्व है (यानी, प्रत्येक पंक्ति में, मुख्य विकर्ण के तत्व पूर्ण मूल्य में द्वितीयक विकर्णों के तत्वों के योग से पूर्ण मूल्य में अधिक होने चाहिए), तो सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसारी है।
2. मूल प्रणाली के मैट्रिक्स में हमेशा विकर्ण प्रधानता नहीं होती है। ऐसे मामलों में, सिस्टम को परिवर्तित किया जा सकता है। जो समीकरण अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करते हैं उन्हें अछूता छोड़ दिया जाता है, और जो समीकरण नहीं करते हैं उनके साथ रैखिक संयोजन बनाए जाते हैं, यानी। वांछित परिणाम प्राप्त होने तक गुणा करें, घटाएं, समीकरणों को एक दूसरे से जोड़ें।
यदि परिणामी प्रणाली में मुख्य विकर्ण पर असुविधाजनक गुणांक हैं, तो ऐसे समीकरण के दोनों पक्षों में i * x i के साथ फॉर्म की शर्तों को जोड़ा जाता है, जिनके संकेत विकर्ण तत्वों के संकेतों के साथ मेल खाना चाहिए।
3. परिणामी प्रणाली का सामान्य रूप में परिवर्तन:
एक्स - =β - +α*x -
यह कई तरीकों से किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह: पहले समीकरण से, x 1 को अन्य अज्ञात के संदर्भ में व्यक्त करें, दूसरे से - x 2, तीसरे से - x 3, आदि। इस मामले में हम सूत्रों का उपयोग करते हैं:
α ij = -(a ij / a ii)
मैं = बी मैं /ए ii
आपको फिर से यह सुनिश्चित करना चाहिए कि सामान्य रूप की परिणामी प्रणाली अभिसरण शर्त को पूरा करती है:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, जबकि i= 1,2,...n
4. हम वास्तव में, क्रमिक सन्निकटन की विधि को ही लागू करना शुरू करते हैं।
x (0) प्रारंभिक सन्निकटन है, हम इसके माध्यम से x (1) को व्यक्त करेंगे, फिर हम x (2) को x (1) के माध्यम से व्यक्त करेंगे। मैट्रिक्स रूप में सामान्य सूत्र इस प्रकार दिखता है:
x (n) = β - +α*x (n-1)
हम तब तक गणना करते हैं जब तक हम आवश्यक सटीकता प्राप्त नहीं कर लेते:
अधिकतम |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
तो, आइए सरल पुनरावृत्ति विधि को व्यवहार में लाएँ। उदाहरण:
SLAE को हल करें:
4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 सटीकता के साथ ε=10 -3
आइए देखें कि मापांक में विकर्ण तत्वों की प्रधानता है या नहीं।
हम देखते हैं कि केवल तीसरा समीकरण ही अभिसरण शर्त को संतुष्ट करता है। आइए पहले और दूसरे को रूपांतरित करें, और दूसरे को पहले समीकरण में जोड़ें:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
तीसरे से हम पहले को घटाते हैं:
2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
हमने मूल प्रणाली को समकक्ष प्रणाली में परिवर्तित कर दिया:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
अब सिस्टम को उसके सामान्य स्वरूप में लाते हैं:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
हम पुनरावृत्तीय प्रक्रिया के अभिसरण की जाँच करते हैं:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, अर्थात्। शर्त पूरी हो गई है.
0,3947
प्रारंभिक अनुमान x(0) = 0.4762
0,8511
इन मानों को सामान्य रूप समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
0,08835
एक्स(1) = 0.486793
0,446639
नए मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:
0,215243
एक्स(2) = 0.405396
0,558336
हम तब तक गणना जारी रखते हैं जब तक हम उन मूल्यों तक नहीं पहुंच जाते जो दी गई शर्त को पूरा करते हैं।
एक्स (7) = 0.441091
आइए प्राप्त परिणामों की सत्यता की जाँच करें:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
पाए गए मानों को मूल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने से प्राप्त परिणाम समीकरण की शर्तों को पूरी तरह से संतुष्ट करते हैं।
जैसा कि हम देख सकते हैं, सरल पुनरावृत्ति विधि काफी सटीक परिणाम देती है, लेकिन इस समीकरण को हल करने के लिए हमें बहुत समय खर्च करना पड़ता है और बोझिल गणनाएँ करनी पड़ती हैं।
मान लीजिए कि n अज्ञात वाले n बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:
सरल पुनरावृत्ति विधि के लिए एल्गोरिदम:
ध्यान दें कि यहां और अब से निचला सूचकांक अज्ञात के वेक्टर के संबंधित घटक को दर्शाता है, और ऊपरी सूचकांक पुनरावृत्ति (अनुमान) संख्या को दर्शाता है।
फिर एक चक्रीय गणितीय प्रक्रिया बनती है, जिसका प्रत्येक चक्र एक पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, अज्ञात के वेक्टर का एक नया मान प्राप्त होता है। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया को व्यवस्थित करने के लिए, हम सिस्टम (1) को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं। इस स्थिति में, मुख्य विकर्ण पर पद सामान्यीकृत हो जाते हैं और समान चिह्न के बाईं ओर बने रहते हैं, और बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। समीकरणों की कम प्रणालीइसका रूप है:
नोटिस जो कभी भी हासिल नहीं किया जाएगा, लेकिन प्रत्येक बाद की पुनरावृत्ति के साथ अज्ञात का वेक्टर सटीक समाधान के करीब पहुंच जाता है।
12. अरैखिक समीकरण को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि में उपयोग किया जाने वाला मूल पुनरावृत्ति सूत्र:
13. एक अरैखिक समीकरण को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि में पुनरावृत्तीय प्रक्रिया को रोकने का मानदंड:
यदि अज्ञात वेक्टर के प्रत्येक i-वें घटक के लिए सटीकता प्राप्त करने की शर्त पूरी हो जाती है, तो पुनरावृत्त प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।
नोटिस जो सरल पुनरावृत्ति विधि में सटीक समाधानहालाँकि, इसे कभी हासिल नहीं किया जाएगा, प्रत्येक बाद की पुनरावृत्ति के साथ अज्ञात का वेक्टर सटीक समाधान के और करीब आता जाता है
14. अंतराल के पुनरावृत्त खंड के लिए सहायक फ़ंक्शन F(x) चुनने का मानदंड:
सरल पुनरावृत्ति विधि को हल करने पर गणित में परीक्षा देते समय, सबसे पहले अभिसरण स्थिति की जाँच की जानी चाहिए। अभिसरण की विधि के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स ए में सभी विकर्ण तत्वों का पूर्ण मान संबंधित पंक्ति में अन्य सभी तत्वों के मॉड्यूल के योग से अधिक हो:
पुनरावृत्तीय विधियों का नुकसानयह एक सख्त अभिसरण शर्त है, जो समीकरणों की सभी प्रणालियों के लिए संतुष्ट नहीं है।
यदि अभिसरण की स्थिति पूरी हो जाती है, तो अगले चरण में अज्ञात के वेक्टर का प्रारंभिक सन्निकटन निर्दिष्ट करना आवश्यक है, जो आमतौर पर शून्य वेक्टर होता है:
15. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली गॉस विधि प्रदान करती है:
यह विधि एक मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में परिवर्तित करने पर आधारित है। यह सिस्टम समीकरणों से अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करके प्राप्त किया जाता है।
सरल पुनरावृत्ति विधि मूल समीकरण को समकक्ष समीकरण से बदलने पर आधारित है:
मूल का आरंभिक सन्निकटन ज्ञात करें एक्स = एक्स 0. इसे समीकरण (2.7) के दाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक नया सन्निकटन प्राप्त होता है 
, फिर उसी प्रकार हमें प्राप्त होता है 
वगैरह।:
. (2.8)
 |
सभी परिस्थितियों में पुनरावृत्तीय प्रक्रिया समीकरण के मूल में परिवर्तित नहीं होती है एक्स. आइए इस प्रक्रिया पर करीब से नज़र डालें। चित्र 2.6 एक-तरफ़ा अभिसरण और अपसारी प्रक्रिया की चित्रमय व्याख्या दिखाता है। चित्र 2.7 दो-तरफ़ा अभिसरण और अपसारी प्रक्रियाओं को दर्शाता है। एक भिन्न प्रक्रिया को तर्क और फ़ंक्शन के मूल्यों में तेजी से वृद्धि और संबंधित कार्यक्रम की असामान्य समाप्ति की विशेषता है।
 |
दो-तरफ़ा प्रक्रिया के साथ, साइकिल चलाना संभव है, अर्थात, समान फ़ंक्शन और तर्क मानों की अंतहीन पुनरावृत्ति। लूपिंग एक अपसारी प्रक्रिया को एक अभिसारी प्रक्रिया से अलग करती है।
ग्राफ़ से यह स्पष्ट है कि एक-तरफ़ा और दो-तरफ़ा दोनों प्रक्रियाओं के लिए, जड़ तक अभिसरण जड़ के पास वक्र के ढलान से निर्धारित होता है। ढलान जितना छोटा होगा, अभिसरण उतना ही बेहतर होगा। जैसा कि ज्ञात है, किसी वक्र की ढलान की स्पर्शरेखा किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के व्युत्पन्न के बराबर होती है।
इसलिए, जड़ के पास जितनी छोटी संख्या होगी, प्रक्रिया उतनी ही तेजी से एकत्रित होगी।
पुनरावृत्ति प्रक्रिया को अभिसरण करने के लिए, निम्नलिखित असमानता को जड़ के पड़ोस में संतुष्ट किया जाना चाहिए:
फ़ंक्शन के प्रकार के आधार पर समीकरण (2.1) से समीकरण (2.7) में संक्रमण विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है एफ(एक्स).ऐसे संक्रमण में, फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है ताकि अभिसरण स्थिति (2.9) संतुष्ट हो।
आइए समीकरण (2.1) से समीकरण (2.7) में संक्रमण के लिए सामान्य एल्गोरिदम में से एक पर विचार करें।
आइए समीकरण (2.1) के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा करें बीऔर अज्ञात को दोनों भागों में जोड़ें एक्स।इस मामले में, मूल समीकरण की जड़ें नहीं बदलेंगी:
आइए हम संकेतन का परिचय दें 
और आइए हम संबंध (2.10) से समीकरण (2.8) की ओर बढ़ें।
 |
स्थिरांक का मनमाना चयन बीअभिसरण शर्त (2.9) की पूर्ति सुनिश्चित करेगा। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया को समाप्त करने की कसौटी शर्त (2.2) होगी। चित्र 2.8 प्रतिनिधित्व की वर्णित विधि का उपयोग करके सरल पुनरावृत्तियों की विधि की एक ग्राफिकल व्याख्या दिखाता है (एक्स और वाई अक्षों के साथ पैमाने अलग-अलग हैं)।
यदि किसी फ़ंक्शन को फॉर्म में चुना जाता है, तो इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होगा। अभिसरण की उच्चतम गति तब होगी 
और पुनरावृत्ति सूत्र (2.11) न्यूटन के सूत्र में चला जाता है। इस प्रकार, न्यूटन की विधि में सभी पुनरावृत्त प्रक्रियाओं के अभिसरण की उच्चतम डिग्री है।
सरल पुनरावृत्ति विधि का सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन एक सबरूटीन प्रक्रिया के रूप में किया जाता है Iteras(कार्यक्रम 2.1).
पूरी प्रक्रिया में व्यावहारिक रूप से एक पुनरावृत्ति शामिल है ... चक्र तक, पुनरावृत्ति प्रक्रिया को रोकने की स्थिति को ध्यान में रखते हुए सूत्र (2.11) को लागू करना (सूत्र (2.2))।
प्रक्रिया में निटर वेरिएबल का उपयोग करके लूप की संख्या की गणना करके अंतर्निहित लूप सुरक्षा है। व्यावहारिक कक्षाओं में, आपको प्रोग्राम चलाकर यह सुनिश्चित करना होगा कि गुणांक का चुनाव कैसे प्रभावित करता है बीऔर जड़ की खोज की प्रक्रिया में प्रारंभिक सन्निकटन। गुणांक बदलते समय बीअध्ययनाधीन फ़ंक्शन के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया की प्रकृति बदल जाती है। यह पहले दो-तरफा हो जाता है, और फिर लूप (चित्र 2.9)। अक्ष तराजू एक्सऔर वाईकुछ अलग हैं। मापांक b का और भी बड़ा मान एक भिन्न प्रक्रिया की ओर ले जाता है।
समीकरणों के अनुमानित समाधान के लिए विधियों की तुलना
समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए ऊपर वर्णित विधियों की तुलना एक प्रोग्राम का उपयोग करके की गई थी जो आपको पीसी स्क्रीन पर ग्राफिकल रूप में रूट खोजने की प्रक्रिया का निरीक्षण करने की अनुमति देता है। इस कार्यक्रम में शामिल प्रक्रियाएं और तुलनात्मक तरीकों को लागू करना नीचे दिया गया है (कार्यक्रम 2.1)।
चावल। 2.3-2.5, 2.8, 2.9 पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अंत में पीसी स्क्रीन की प्रतियां हैं।
सभी मामलों में, द्विघात समीकरण x 2 -x-6 = 0 को अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के रूप में लिया गया था, जिसका विश्लेषणात्मक समाधान x 1 = -2 और x 2 = 3 था। त्रुटि और प्रारंभिक अनुमान सभी तरीकों के लिए समान माने गए थे। मूल खोज परिणाम एक्स= 3, आंकड़ों में प्रस्तुत इस प्रकार हैं। द्विभाजन विधि सबसे धीमी गति से अभिसरण करती है - 22 पुनरावृत्तियाँ, सबसे तेज़ सरल पुनरावृत्ति विधि है जिसमें b = -0.2 - 5 पुनरावृत्तियाँ होती हैं। यहां इस कथन में कोई विरोधाभास नहीं है कि न्यूटन की विधि सबसे तेज़ है।
बिंदु पर अध्ययनाधीन फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक्स= 3 -0.2 के बराबर है, अर्थात, इस मामले में गणना समीकरण के मूल के बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य के साथ न्यूटन की विधि द्वारा व्यावहारिक रूप से की गई थी। गुणांक बदलते समय बीअभिसरण की दर कम हो जाती है और धीरे-धीरे अभिसरण प्रक्रिया पहले चक्रों में चलती है और फिर अपसारी हो जाती है।
(2.1) के अनुरूप, सिस्टम (5.1) को निम्नलिखित समकक्ष रूप में दर्शाया जा सकता है:
जहां g(x) वेक्टर तर्क का एक पुनरावृत्त वेक्टर फ़ंक्शन है। अरेखीय समीकरणों की प्रणालियाँ अक्सर सीधे (5.2) रूप में उत्पन्न होती हैं (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक योजनाओं में); इस मामले में, समीकरणों (5.1) को प्रणाली (5.2) में बदलने के लिए किसी अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता नहीं होती है। यदि हम एक समीकरण के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के साथ सादृश्य जारी रखते हैं, तो समीकरण (5.2) के आधार पर पुनरावृत्ति प्रक्रिया को निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है:
- 1) कुछ प्रारंभिक वेक्टर x ((,) e 5 o (x 0, ए)(यह माना जाता है कि x* e 5„(x 0, ए));
- 2) बाद के अनुमानों की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है
तब पुनरावृत्ति प्रक्रिया पूरी हो जाती है और
पहले की तरह, हमें यह पता लगाना होगा कि किन परिस्थितियों में
आइए एक सरल विश्लेषण करके इस मुद्दे पर चर्चा करें। सबसे पहले हम ith सन्निकटन की त्रुटि को e(^ = x(i) - x* के रूप में प्रस्तुत करते हैं। फिर हम लिख सकते हैं
आइए इन अभिव्यक्तियों को (5.3) में प्रतिस्थापित करें और g(x* + e (/i)) को घातों में विस्तारित करें ई(के> x* के पड़ोस में वेक्टर तर्क के एक फ़ंक्शन के रूप में (यह मानते हुए कि फ़ंक्शन g(x) के सभी आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं)। उस x* = g(x*) को भी ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं
या मैट्रिक्स रूप में
बी = (बीएनएम)= I (x*)1 - पुनरावृत्ति मैट्रिक्स।
यदि त्रुटि दर ||e®|| काफी छोटा है, तो अभिव्यक्ति (5.4) के दाईं ओर दूसरा पद उपेक्षित किया जा सकता है, और फिर यह अभिव्यक्ति (2.16) के साथ मेल खाता है। नतीजतन, सटीक समाधान के निकट पुनरावृत्त प्रक्रिया (5.3) के अभिसरण की स्थिति प्रमेय 3.1 द्वारा वर्णित है।
सरल पुनरावृत्ति विधि का अभिसरण. आवश्यक और पर्याप्त स्थितिपुनरावृत्तीय प्रक्रिया के अभिसरण के लिए (5.3): 
और एक पर्याप्त शर्त:
ये स्थितियाँ व्यावहारिक महत्व के बजाय सैद्धांतिक हैं, क्योंकि हम x' नहीं जानते हैं। (1.11) के अनुरूप, हमें एक ऐसी स्थिति प्राप्त होती है जो उपयोगी हो सकती है। मान लीजिए x* e 5 o (x 0, ए)और फ़ंक्शन g(x) के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स
सभी x e के लिए मौजूद है एस एन (एक्स 0 , ए) (ध्यान दें कि C(x*) = B)। यदि मैट्रिक्स C(x) के तत्व असमानता को संतुष्ट करते हैं
सभी x e 5„(x 0 के लिए, ए),तब किसी भी मैट्रिक्स मानदंड के लिए पर्याप्त शर्त (5.5) भी संतुष्ट होती है।
उदाहरण 5.1 (सरल पुनरावृत्ति विधि) पर विचार करें निम्नलिखित प्रणालीसमीकरण:
इस प्रणाली को समकक्ष रूप (5.2) में प्रस्तुत करने की एक संभावना व्यक्त करना है एक्सपहले समीकरण से और एक्स 2दूसरे समीकरण से: 
फिर पुनरावृत्ति योजना का स्वरूप होता है
सटीक समाधान x* e 5„((2, 2), 1) है। आइए प्रारंभिक वेक्टर x (0) = (2,2) और चुनें ? पी =सीटी 5. गणना परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 5.1.
तालिका 5.1
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||एक्स - एक्स (i_1 > | 2 / एक्स (ए) 2 |
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ये नतीजे बताते हैं कि अभिसरण काफी धीमा है। अभिसरण की मात्रात्मक विशेषता प्राप्त करने के लिए, हम x (1/) को एक सटीक समाधान मानते हुए एक सरल विश्लेषण करते हैं। हमारे पुनरावृत्तीय फ़ंक्शन के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स C(x) का रूप है
तब मैट्रिक्स बी का अनुमान लगभग लगाया जाता है
यह जांचना आसान है कि न तो शर्त (5.5) और न ही शर्त (5.6) संतुष्ट हैं, लेकिन 5(बी) ~ 0.8 के बाद से अभिसरण होता है।
गणना प्रक्रिया को थोड़ा बदलकर सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण को तेज करना अक्सर संभव होता है। इस संशोधन का विचार बहुत सरल है: गणना करना पीवें वेक्टर घटक एक्स (ए+1)न केवल उपयोग किया जा सकता है (टी = एन,..., एन), लेकिन अगले सन्निकटन वेक्टर के पहले से ही गणना किए गए घटक भी एक्स के^ (/= 1,पी - 1). इस प्रकार, संशोधित सरल पुनरावृत्ति विधि को निम्नलिखित पुनरावृत्ति योजना के रूप में दर्शाया जा सकता है:
यदि पुनरावृत्तीय प्रक्रिया (5.3) द्वारा उत्पन्न अनुमान अभिसरण करते हैं, तो सूचना के अधिक पूर्ण उपयोग के कारण पुनरावृत्तीय प्रक्रिया (5.8) तेजी से अभिसरण होती है।
उदाहरण 5.2 (संशोधित सरल पुनरावृत्ति विधि) सिस्टम (5.7) के लिए संशोधित सरल पुनरावृत्ति को इस प्रकार दर्शाया गया है
पहले की तरह, हम प्रारंभिक वेक्टर x (0) = (2, 2) और चुनते हैं जी आर = = 10 -5. गणना परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 5.2.
तालिका 5.2
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गणना के क्रम में बड़े बदलाव के कारण पुनरावृत्तियों की संख्या आधी हो गई, और इसलिए संचालन की संख्या भी आधी हो गई।
