घर मुंह डेलाउने खाली गेंद विधि. सामान्य मामले में निर्माण

मुंह

डेलाउने खाली गेंद विधि. सामान्य मामले में निर्माण

20 अगस्त 2012 रात्रि 10:41 बजे

परिवृत्त समीकरण और उसके अनुप्रयोग के माध्यम से डेलाउने स्थिति की जाँच के लिए एल्गोरिदम का अनुकूलन

मैं आपको दो त्रिभुजों के लिए डेलाउने स्थिति की शीघ्र जांच करने के तरीके के बारे में एक रहस्य बताऊंगा।
दरअसल, अनुकूलन को थोड़ा नीचे वर्णित किया गया है (देखें "सर्कमसर्कल समीकरण के माध्यम से डेलाउने स्थिति की जांच के लिए एल्गोरिदम का अनुकूलन"), लेकिन मैं आपको क्रम से सबकुछ बताऊंगा।

मेरे मामले में, विमान को आदिम क्षेत्रों (त्रिकोण) में विभाजित करने के लिए छवि अनुरेखण में त्रिभुज का उपयोग किया जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, इसे भी कई चरणों में विभाजित किया गया है: समायोजन, सीमाओं की पहचान करना, सीमाओं के चारों ओर घूमना, रूपरेखा को स्पष्ट करना। यह बहुत में है सामान्य रूप से देखें. मुझे लगता है, मैं वास्तव में रुकना चाहूँगा कठिन चरण: विमान को साफ़ करना.

प्रवेश पर

सीमाओं का पता लगाने और उन्हें पार करने के बाद, मुझे आउटपुट पर बहुत सारे बाहरी लूप मिले। प्रत्येक स्पर्श समोच्च है अलग - अलग रंग. ऐसे प्रत्येक सर्किट में ज्ञात संख्या में आंतरिक सर्किट भी होते हैं।
इस प्रकार, "विमान को साफ़ करने" के दृष्टिकोण से, यदि हम बाहरी आकृतियों पर अलग से विचार करते हैं, तो हमारे पास बिंदुओं का एक सेट होता है, जिनमें से प्रत्येक के दाएं और बाएं एक पड़ोसी होता है। वे। सभी बिंदु एक श्रृंखला में बंद हैं, एक भी "लटका हुआ" बिंदु नहीं है, और प्रत्येक श्रृंखला में कम से कम 3 बिंदु होते हैं (चित्र 1)।

चित्र 1

क्या करने की जरूरत है

आपको आकृति को त्रिभुजों से ढकने की आवश्यकता है।

खोज

पुस्तक पढ़ने के बाद, मुझे डेलाउने त्रिभुज के निर्माण की एक भी (कम से कम एक) विधि नहीं मिली जो कम से कम मेरे मामले के लिए कुछ हद तक उपयुक्त हो। मैंने अन्य पुस्तकों की तलाश नहीं की। और यह काफी था, इसने मेरे दिमाग में विचारों को व्यवस्थित कर दिया। परिणामस्वरूप, उन्होंने अपनी खुद की "साइकिल" का आविष्कार किया।

कलन विधि

1) आइए, शुरुआत के लिए, मान लें कि विचाराधीन आंकड़े में केवल एक अनुक्रम है। फिर यह सब क्रमिक रूप से त्रिकोण लेने पर आ जाता है। हम कोई भी बिंदु लेते हैं और पड़ोसी बिंदुओं के साथ एक त्रिभुज बनाने का प्रयास करते हैं। यदि एक त्रिभुज बनाना संभव नहीं था (इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा पहले से बने बिंदुओं के साथ प्रतिच्छेद करती है या रेखा बहिष्करण क्षेत्र (चित्रा 2) में गुजरती है, तो हम अगले बिंदु पर जाते हैं, दाईं ओर कहते हैं। जब अगला त्रिभुज पाया जाता है, हम इसे सूची में जोड़ते हैं (चित्र 3), और हम उस बिंदु को हटा देते हैं जहां से इसे बनाया गया था (चित्र 4)।

चित्र 2

चित्र तीन

चित्र 4

एक और बात: अगले त्रिभुज को सहेजते समय, शीर्षों को दक्षिणावर्त ट्रैवर्सल (सही समन्वय प्रणाली में) में रिकॉर्ड करना आवश्यक है। यह भविष्य में कंप्यूटिंग संसाधनों को कम करने में उपयोगी होगा।

2) चरण 1 को तब तक दोहराएँ जब तक हम पूरे विमान को साफ़ न कर लें।

3) यदि कई अनुक्रम हैं, अर्थात्। एक, और इसके अंदर एक या अधिक आंतरिक आकृतियाँ होती हैं (चित्र 1)। यहां प्रत्येक क्रम पर अलग से विचार करना आवश्यक है। आइए एक और आंतरिक रूपरेखा लें। एक बाहरी और एक आंतरिक से हम दो सिंगल सर्किट बनाएंगे। ऐसा करने के लिए, आपको एक सर्किट से दूसरे सर्किट में दो "पोर्ट" ढूंढने होंगे। "बंदरगाहों" के लिए शर्त: उन्हें एक-दूसरे के साथ प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए (यहां तक कि उनके सिरे भी स्पर्श नहीं करने चाहिए), और समोच्च रेखाओं (चित्रा 5) के साथ प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए।

चित्र 5

चित्र 6
4) इसके बाद, आपको एक-एक करके सभी आंतरिक अनुक्रमों को एक-दूसरे से अलग करके पहले से बने अनुक्रमों में दर्ज करना चाहिए (बिंदु 3)। आपको इसे उसी के साथ मर्ज करना होगा जिसमें नया शामिल है। परिभाषा के अनुसार, कोई भी आंतरिक अनुक्रम दूसरों (एक बाहरी और सभी संभव आंतरिक दोनों) को छूता या काटता नहीं है, इसलिए सब कुछ सुचारू रूप से चलेगा।
पोर्ट (चित्र 6) मिलने के बाद, नए अनुक्रमों का निर्माण करना और वर्तमान एल्गोरिदम (चित्रा 7) के बिंदु 1 और 2 का उपयोग करके उन्हें बायपास करना आसान है।

चित्र 7

5) चौथे चरण के बाद हमारे पास त्रिभुजों की एक सूची है (चित्र 8)। ऐसा लगता है जैसे कार्य पहले ही पूरा हो चुका है, लेकिन जो कुछ बचा है वह चित्र को सुंदर बनाना है: जांचें कि डेलाउने शर्त पूरी हो गई है (चित्र 9)।

आंकड़ा 8

चित्र 9

6) आगे देखते हुए, मैं आपको छठे बिंदु के बारे में बताऊंगा। इसमें चरण संख्या 5 का उपयोग करके प्राप्त त्रिभुजों की सूची को क्रमिक रूप से चलाना शामिल है। सबसे पहले, हम सभी त्रिकोणों को "गंदा" के रूप में चिह्नित करते हैं। प्रत्येक चक्र में हम प्रत्येक त्रिभुज के लिए डेलाउने स्थिति की जाँच करते हैं। यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो हम पुनर्निर्माण करते हैं और पड़ोसियों और वर्तमान त्रिकोण को "गंदा" के रूप में चिह्नित करते हैं। यदि शर्त पूरी हो जाती है, तो हम इसे साफ़ चिह्नित कर देते हैं। एल्गोरिथम के मेरे कार्यान्वयन में, प्रत्येक त्रिभुज का उसके पड़ोसियों से एक लिंक होता है। इस मामले में, बिंदु 6 सबसे तेज़ काम करता है।

पांचवें चरण के बारे में अधिक जानकारी

अब, जहाँ तक मुझे पता है, दो हैं संभावित तरीकेनिर्धारित करें कि त्रिभुज डेलाउने शर्त को पूरा करते हैं या नहीं: 1) सम्मुख कोणों का योग जाँचें। यह 180 से कम होना चाहिए। 2) परिचालित वृत्त के केंद्र की गणना करें और चौथे बिंदु की दूरी की गणना करें। हर कोई जानता है कि यदि बिंदु परिचालित वृत्त के बाहर है तो डेलाउने की स्थिति संतुष्ट होती है।

कंप्यूटिंग शक्ति #1: 10 गुणा/विभाजन और 13 जोड़/घटाना।
कंप्यूटिंग शक्ति #2: 29 गुणा/भाग संचालन और 24 जोड़/घटाव संचालन।

कंप्यूटिंग शक्ति के दृष्टिकोण से, जिसकी गणना उदाहरण के लिए पुस्तक में की गई है, विकल्प संख्या 1 अधिक लाभदायक है। मैंने इसे लागू कर दिया होता, यदि नहीं... (चित्र 10)। जैसा कि उत्पादन के बाद पता चला यह विधि"कन्वेयर बेल्ट" पर, परिणाम अनिश्चितता था। यह एक विकल्प है जब कोण A स्वयं 180 डिग्री से अधिक हो। पुस्तक में इसे व्यक्तिगत निजी तरीकों में से एक माना गया है। और इसके साथ ही इसकी सारी सुंदरता, पारदर्शिता और प्रदर्शन गायब हो जाता है। और बाद में यह भी पता चला कि विधि संख्या 2 को बहुत महत्वपूर्ण रूप से अनुकूलित किया जा सकता है।

चित्र 10

सर्कमसर्कल समीकरण के माध्यम से डेलाउने स्थिति की जांच के लिए एल्गोरिदम का अनुकूलन

अगला शुद्ध गणित है.

तो हमारे पास:
बिंदु A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) से गुजरने वाले वृत्त के समीकरण द्वारा बिंदु M(X, Y) के लिए स्थिति की जाँच इस प्रकार लिखी जा सकती है:

(a ⋅ (X^2 + Y^ 2) - b ⋅ X + c ⋅ Y - d) ⋅ चिन्ह a ≥ 0

विवरण उत्कृष्ट पुस्तक में पाया जा सकता है। (नहीं, मैं लेखक नहीं हूं)
तो, चिह्न ए ट्रैवर्सल दिशा चिह्न है, शुरुआत से ही मैंने त्रिकोणों को दक्षिणावर्त बनाया है, इसलिए इसे छोड़ा जा सकता है (यह एक के बराबर है)।

A(x1 - X, y1 - Y), B(x2 - X, y2 - Y), B(x3 - X, y3 - Y);

डी>=0

चित्र 11

सरल है ना?

पुस्तक के अनुसार, फिर से,

(x1^2 + y1^2)*(y2*x3 - x2*y3) + (x2^2 + y2^2)*(x1*y3 - y1*x3) + (x3^2 + y3^2)* (y1*x2 - x1*y2)<= 0

हमारे पास: 15 गुणा/भाग संक्रियाएँ और 14 जोड़/घटाव संक्रियाएँ हैं।

आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद! मैं आलोचना का इंतजार कर रहा हूं.

ग्रन्थसूची

1. स्कोवर्त्सोव ए.वी. डेलाउने त्रिभुज और उसका अनुप्रयोग। - टॉम्स्क: पब्लिशिंग हाउस टॉम। विश्वविद्यालय, 2002.-128 पी. आईएसबीएन 5-7511-1501-5

जीआरआईडी मॉडल नियमित कोशिकाओं के मॉडल हैं।

समन्वय प्रणाली शुरू की जाए
और और
. उपयोगकर्ता सेट
और नमूनाकरण चरण
.

- बिंदु के भौतिक निर्देशांक.

हम हिसाब लगाते हैं
और
,
- बिट ग्रिड.

- परिमाणित मान. असली:

- एल्गोरिदम पैरामीटर - अंकों की संख्या, - वज़न। बिंदु जितना करीब होगा, वजन उतना ही अधिक होगा।

- दूरी की डिग्री (1 या 2)।

सामान्यीकरण कारक:

कैसे 1 के करीब, अधिक भार वाले अधिक अंक ध्यान में रखे जाते हैं।

यह आईडीडब्ल्यू विधि है - लंबी, प्रत्येक टी के लिए पड़ोसियों को ढूंढना आवश्यक है। पड़ोसियों का समूह कुशलता से पाया जा सकता है - निकटतम। प्रत्येक बिंदु एक निश्चित ऊंचाई का "खूंटी" उत्पन्न करता है। बहुत कुछ बिंदु निर्धारित करने की अनियमितता पर निर्भर करता है, इसके लिए वे इसे लेते हैं
या
वे। सेक्टरों में बांटा गया और आसपास प्वाइंट बनाए गए।

फ़ायदा– सरलता

गलती:

------टिकट 14. टिन मॉडल। डेलाउने त्रिकोणासन एल्गोरिदम------

1) त्रिकोणासन (टिन)।

त्रिकोणीयकरण- टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्यों के एक सेट के रूप में एक फ़ंक्शन का निर्माण

त्रिकोणीयकरण- उत्तल क्षेत्र के भीतर प्रक्षेप।

त्रिकोणीयकरण- एक समतलीय ग्राफ़, जिसके सभी आंतरिक किनारे त्रिभुज हैं; ओवरलैप के बिना एक दूसरे से सटे त्रिकोणों के रूप में अंतरिक्ष का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका। त्रिभुज कई प्रकार से बिंदुओं के समूह पर बनाया जाता है।

इष्टतम त्रिभुज के निर्माण के लिए एक एल्गोरिदम की आवश्यकता होती है।

एक विमान 3 बिंदुओं से होकर गुजर रहा है।

1) एक त्रिभुज खोजें
;

2)
- समतल का एक समीकरण बनाएं।

यह जांचने के लिए कि बिंदु त्रिभुज के अंदर हैं या नहीं, आपको रेखाओं के समीकरण - त्रिभुज के किनारों में मान को प्रतिस्थापित करना होगा। यदि सभी 3 समीकरण > 0, तो अंदर।

प्रस्तुति संरचना:

प्रत्येक त्रिभुज में त्रिभुजों की संख्या समान होती है।

, कहाँ – आंतरिक बिंदुओं की संख्या,
- अंकों की राशि.

लालची त्रिकोणासन.

हम सभी बिंदुओं को किनारों से जोड़ते हैं, न्यूनतम का चयन करते हैं, और उन्हें त्रिकोण में जोड़ते हैं। इसके बाद, हम अगला न्यूनतम लेते हैं जो पिछले वाले आदि के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है। परिणाम लालची त्रिकोण है.

डेलाउने त्रिकोणासन.

किसी भी त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के अंदर अन्य त्रिभुजों के बिंदु शामिल नहीं होते हैं। इसे एक ही तरीके से बनाया गया है.

फ्लिप किनारों का स्थानांतरण है। यह आपको पारंपरिक त्रिभुज से डेलाउने त्रिभुज की ओर जाने की अनुमति देता है। यह जाँचने के लिए कि कोई बिंदु वृत्त का है या नहीं: यदि स्थानापन्न करें< R, то внутри.

डेलौने की स्थिति.

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण:

यदि शून्य से कम है, तो बाहरी, अन्यथा - आंतरिक।

- डेलौने की स्थिति।

डेलाउने त्रिभुज के निर्माण के लिए एल्गोरिदम:

1) जांच के तहत बिंदु जोड़ना- एक सरल पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म:

एक सेट है
त्रिकोण में जोड़ें, निर्माण किया जाता है
त्रिकोण विभाजन
पुनर्निर्माण। शून्य चरण में, हम 3-4 काल्पनिक बिंदु जोड़ते हैं, जो स्पष्ट रूप से हमारे लिफाफे, अंदर के सभी बिंदुओं को कवर करते हैं। फिर हम बिंदु को फेंकते हैं, देखते हैं कि यह किस त्रिभुज से टकराता है, इसे 3 में विभाजित करते हैं, प्रत्येक त्रिभुज के लिए हम डेलाउने स्थिति की जांच करते हैं और किनारों का फ्लिप स्थानांतरण करते हैं। लेन परिवर्तन की औसत संख्या तीन है।

सैद्धांतिक जटिलता

2) त्वरण के तरीके।सांख्यिकीय रूप से निर्भर बिंदुओं पर आधारित. बीज त्रिकोण वह त्रिकोण है जिसमें पिछला बिंदु गिरा था। फिर हम दो बिंदुओं को जोड़ते हैं - पिछला और नया।

हम पहले बिंदु से दूसरे बिंदु की ओर बढ़ते हैं।

20 अगस्त 2012 रात्रि 10:41 बजे

परिवृत्त समीकरण और उसके अनुप्रयोग के माध्यम से डेलाउने स्थिति की जाँच के लिए एल्गोरिदम का अनुकूलन

मूर्ति प्रोद्योगिकी ,
प्रोग्रामिंग

मेरे मामले में, विमान को आदिम क्षेत्रों (त्रिकोण) में विभाजित करने के लिए छवि अनुरेखण में त्रिभुज का उपयोग किया जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, इसे भी कई चरणों में विभाजित किया गया है: समायोजन, सीमाओं की पहचान करना, सीमाओं के चारों ओर घूमना, रूपरेखा को स्पष्ट करना। यह सबसे सामान्य शब्दों में है. मुझे लगता है कि मैं सबसे कठिन चरण में रुकना चाहूंगा: विमान को साफ करना।

प्रवेश पर

सीमाओं का पता लगाने और उन्हें पार करने के बाद, मुझे आउटपुट पर बहुत सारे बाहरी लूप मिले। प्रत्येक स्पर्श करने वाली रूपरेखा का एक अलग रंग होता है। ऐसे प्रत्येक सर्किट में ज्ञात संख्या में आंतरिक सर्किट भी होते हैं।
इस प्रकार, "विमान को साफ़ करने" के दृष्टिकोण से, यदि हम बाहरी आकृतियों पर अलग से विचार करते हैं, तो हमारे पास बिंदुओं का एक सेट होता है, जिनमें से प्रत्येक के दाएं और बाएं एक पड़ोसी होता है। वे। सभी बिंदु एक श्रृंखला में बंद हैं, एक भी "लटका हुआ" बिंदु नहीं है, और प्रत्येक श्रृंखला में कम से कम 3 बिंदु होते हैं (चित्र 1)।

चित्र 1

क्या करने की जरूरत है

आपको आकृति को त्रिभुजों से ढकने की आवश्यकता है।

खोज

कलन विधि

चित्र 2

चित्र तीन

चित्र 4

2) चरण 1 को तब तक दोहराएँ जब तक हम पूरे विमान को साफ़ न कर लें।

पांचवें चरण के बारे में अधिक जानकारी

अब, जहां तक मुझे पता है, यह निर्धारित करने के दो संभावित तरीके हैं कि त्रिभुज डेलाउने शर्त को पूरा करते हैं या नहीं: 1) विपरीत कोणों का योग जांचें। यह 180 से कम होना चाहिए। 2) परिचालित वृत्त के केंद्र की गणना करें और चौथे बिंदु की दूरी की गणना करें। हर कोई जानता है कि यदि बिंदु परिचालित वृत्त के बाहर है तो डेलाउने की स्थिति संतुष्ट होती है।

कंप्यूटिंग शक्ति के दृष्टिकोण से, जिसकी गणना उदाहरण के लिए पुस्तक में की गई है, विकल्प संख्या 1 अधिक लाभदायक है। मैंने इसे लागू कर दिया होता, यदि नहीं... (चित्र 10)। जैसा कि यह निकला, इस विधि को "कन्वेयर" पर डालने के बाद अनिश्चितता उत्पन्न हुई। यह एक विकल्प है जब कोण A स्वयं 180 डिग्री से अधिक हो। पुस्तक में इसे व्यक्तिगत निजी तरीकों में से एक माना गया है। और इसके साथ ही इसकी सारी सुंदरता, पारदर्शिता और प्रदर्शन गायब हो जाता है। और बाद में यह भी पता चला कि विधि संख्या 2 को बहुत महत्वपूर्ण रूप से अनुकूलित किया जा सकता है।

चित्र 10

सर्कमसर्कल समीकरण के माध्यम से डेलाउने स्थिति की जांच के लिए एल्गोरिदम का अनुकूलन

अगला शुद्ध गणित है.

(a ⋅ (X^2 + Y^ 2) - b ⋅ X + c ⋅ Y - d) ⋅ चिन्ह a ≥ 0

A(x1 - X, y1 - Y), B(x2 - X, y2 - Y), B(x3 - X, y3 - Y);

डी>=0

चित्र 11

सरल है ना?

पुस्तक के अनुसार, फिर से,

(x1^2 + y1^2)*(y2*x3 - x2*y3) + (x2^2 + y2^2)*(x1*y3 - y1*x3) + (x3^2 + y3^2)* (y1*x2 - x1*y2)<= 0

हमारे पास: 15 गुणा/भाग संक्रियाएँ और 14 जोड़/घटाव संक्रियाएँ हैं।

आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद! मैं आलोचना का इंतजार कर रहा हूं.

ग्रन्थसूची

बुनियादी परिभाषाएँ और गुण

त्रिभुज एक समतलीय ग्राफ है जिसके सभी आंतरिक क्षेत्र त्रिभुज होते हैं।

गुण:

· डेलाउने त्रिभुज बिंदुओं के समान सेट के लिए वोरोनोई आरेख से एक-से-एक मेल खाता है।

· परिणामस्वरूप: यदि कोई भी चार बिंदु एक ही वृत्त पर नहीं हैं, तो डेलाउने त्रिभुज अद्वितीय है।

· डेलौने त्रिभुज सभी निर्मित त्रिभुजों के सभी कोणों के बीच न्यूनतम कोण को अधिकतम करता है, जिससे "पतले" त्रिभुजों से बचा जा सकता है।

· डेलौने त्रिभुज अंकित गोले की त्रिज्या के योग को अधिकतम करता है।

· डेलाउने त्रिकोणासन असतत डिरिचलेट कार्यात्मकता को कम करता है।

· डेलाउने त्रिभुज न्यूनतम परिवेश क्षेत्र की अधिकतम त्रिज्या को न्यूनतम करता है।

· समतल पर डेलौने त्रिभुज में सभी संभावित त्रिभुजों के बीच त्रिभुजों के चारों ओर वर्णित वृत्तों की त्रिज्याओं का योग न्यूनतम होता है।

चित्र 1. त्रिकोणासन.

उत्तल त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसके लिए सभी त्रिभुजों को घेरने वाला न्यूनतम बहुभुज उत्तल होता है। वह त्रिभुज जो उत्तल नहीं है, गैर-उत्तल कहलाता है।

द्वि-आयामी बिंदुओं के दिए गए सेट से एक त्रिकोण बनाने की समस्या, दिए गए बिंदुओं को गैर-प्रतिच्छेदी खंडों द्वारा जोड़ने की समस्या है ताकि एक त्रिकोण बन जाए।

ऐसा कहा जाता है कि एक त्रिभुज डेलाउने स्थिति को संतुष्ट करता है यदि दिए गए त्रिभुज बिंदुओं में से कोई भी किसी निर्मित त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के अंदर नहीं आता है।

एक त्रिभुज को डेलाउने त्रिभुज कहा जाता है यदि यह उत्तल है और डेलाउने स्थिति को संतुष्ट करता है।

चित्र 2. डेलाउने त्रिभुज।

डेलाउने खाली गेंद विधि. सामान्य मामले में निर्माण

आइए एक खाली गेंद का उपयोग करें, जिसे हम घुमाएंगे, उसका आकार बदलेंगे ताकि वह सिस्टम (ए) के बिंदुओं को छू सके, लेकिन हमेशा खाली रहेगी।

तो, आइए हम अंकों की प्रणाली (ए) में एक खाली डेलाउने गेंद रखें। यदि आप काफी छोटी गेंद चुनते हैं तो यह हमेशा संभव है। आइए गेंद के केंद्र को यथास्थान छोड़कर, इसकी त्रिज्या बढ़ाना शुरू करें। किसी बिंदु पर गेंद की सतह सिस्टम (ए) के कुछ बिंदु i से मिलेगी। यह निश्चित रूप से होगा, क्योंकि हमारे सिस्टम में कोई असीम रूप से बड़ी रिक्तियां नहीं हैं। हम खाली गेंद की त्रिज्या बढ़ाना जारी रखेंगे ताकि बिंदु i उसकी सतह पर बना रहे। ऐसा करने के लिए, आपको गेंद के केंद्र को बिंदु i से स्थानांतरित करना होगा। देर-सबेर गेंद अपनी सतह के साथ सिस्टम (ए) के किसी अन्य बिंदु पर पहुंच जाएगी।

चित्र 3

डेलाउने सिम्प्लेक्स बिना अंतराल या ओवरलैप के जगह भरते हैं।

किसी भी सिम्प्लेक्स का वर्णित क्षेत्र सिस्टम के अन्य बिंदुओं को अपने भीतर समाहित नहीं करता है।

मान लीजिए कि यह बिंदु j है। आइए अपनी गेंद की सतह पर दोनों बिंदुओं को ध्यान में रखते हुए उसकी त्रिज्या को बढ़ाना जारी रखें। जैसे-जैसे गेंद बढ़ती है, यह सिस्टम के किसी तीसरे बिंदु, बिंदु k पर पहुंच जाएगी। द्वि-आयामी मामले में, हमारा "खाली सर्कल" इस समय तय हो जाएगा, यानी। वृत्त को खाली रखते हुए इसकी त्रिज्या को और बढ़ाना असंभव हो जाएगा। उसी समय, हम एक निश्चित त्रिभुज को परिभाषित करते हुए तीन बिंदुओं (i, j, k) के प्राथमिक दो-आयामी विन्यास की पहचान करते हैं, जिसकी ख़ासियत यह है कि इसके परिवृत्त के अंदर सिस्टम (ए) के कोई अन्य बिंदु नहीं हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक गेंद को तीन बिंदुओं से परिभाषित नहीं किया जाता है। आइए इसकी सतह पर पाए जाने वाले सभी तीन बिंदुओं को ध्यान में रखते हुए, इसकी त्रिज्या को बढ़ाना जारी रखें। यह तब तक संभव होगा जब तक गेंद की सतह सिस्टम के चौथे बिंदु एल से नहीं मिलती। इसके बाद खाली गेंद का मूवमेंट और ग्रोथ असंभव हो जाएगा. पाए गए चार बिंदु (i,j,k,l) टेट्राहेड्रोन के शीर्षों को परिभाषित करते हैं, जो इस तथ्य से विशेषता है कि इसके परिचालित क्षेत्र के अंदर सिस्टम (ए) के कोई अन्य बिंदु नहीं हैं। ऐसे चतुष्फलक को डेलाउने सिम्प्लेक्स कहा जाता है।

गणित में, एक सिम्प्लेक्स किसी दिए गए आयाम के स्थान में सबसे सरल आकृति है: एक टेट्राहेड्रोन - त्रि-आयामी अंतरिक्ष में; त्रिकोण - दो आयामों में. सिस्टम के मनमाने ढंग से तीन (चार) बिंदु जो एक ही विमान में नहीं होते हैं, हमेशा एक निश्चित सिंप्लेक्स को परिभाषित करते हैं। हालाँकि, यह डेलाउने सिम्प्लेक्स तभी होगा जब इसका वर्णित क्षेत्र खाली हो। दूसरे शब्दों में, डेलाउने सरलीकरण प्रणाली (ए) में बिंदुओं के त्रिक (चौगुने) की एक विशेष पसंद द्वारा निर्धारित किया जाता है।

हमने एक डेलाउने सिम्प्लेक्स का निर्माण किया है, लेकिन खाली गेंद को अलग-अलग स्थानों पर रखकर और उसी प्रक्रिया को दोहराकर, हम दूसरों को परिभाषित कर सकते हैं। यह कहा गया है कि सिस्टम (ए) के सभी डेलाउने सरलताओं का सेट ओवरलैप और अंतराल के बिना जगह भरता है, यानी। अंतरिक्ष के विभाजन को लागू करता है, लेकिन इस बार टेट्राहेड्रोन में। इस विभाजन को कहा जाता है डेलाउने टाइलिंग(चित्र 3)।

डेलाउने त्रिभुज का अनुप्रयोग

डेलाउने त्रिभुजों का उपयोग अक्सर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किया जाता है। यूक्लिडियन न्यूनतम फैले हुए पेड़ को डेलाउने त्रिभुज पर स्थित होने की गारंटी है, इसलिए कुछ एल्गोरिदम त्रिभुज का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, डेलाउने ट्राइंगुलेशन के माध्यम से, यूक्लिडियन ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या लगभग हल हो गई है।

2डी इंटरपोलेशन में, डेलाउने ट्राइएंग्यूलेशन विमान को सबसे अधिक मोटे त्रिभुजों में विभाजित करता है, जिससे बहुत तेज और बहुत अधिक मोटे कोणों से बचा जा सकता है। इन त्रिभुजों का उपयोग करके, आप उदाहरण के लिए, द्विरेखीय प्रक्षेप का निर्माण कर सकते हैं।

भू-सूचना विज्ञान में एक और अक्सर सामने आने वाली समस्या ढलान एक्सपोज़र का निर्माण है। यहां कार्डिनल दिशा द्वारा ढलानों की प्रमुख दिशाओं को निर्धारित करना और सतह को उन क्षेत्रों में विभाजित करना आवश्यक है जिनमें एक निश्चित दिशा हावी है। चूँकि सतह के क्षैतिज क्षेत्रों के लिए एक्सपोज़र का निर्धारण करने का कोई मतलब नहीं है, जो क्षेत्र क्षैतिज हैं या जिनमें थोड़ी ढलान है, उन्हें एक अलग क्षेत्र में आवंटित किया जाता है, उदाहरण के लिए<5 о. По странам света деление обычно выполняется на 4, 8 или 16 частей.

चित्र.4.

ढलान एक्सपोज़र की गणना करने की समस्या का उपयोग आमतौर पर पृथ्वी की रोशनी का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। इस संबंध में, अक्सर सूर्य की वर्तमान स्थिति को अतिरिक्त रूप से ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है, अर्थात। एक्सपोज़र की गणना त्रिकोण के सामान्य और सूर्य की दिशा के बीच की दिशा के रूप में की जाती है।

इस प्रकार, प्रत्येक त्रिभुज त्रिभुज को किसी विशेष क्षेत्र से संबंधित सिद्धांत के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। इसके बाद, आपको बस क्षेत्र चयन एल्गोरिदम को कॉल करना होगा।

त्रिकोणासन एक प्रतिरूपित वस्तु की सतह का सन्निकटन है जो उससे एक निश्चित निर्दिष्ट मान 6 से अधिक दूरी पर स्थित त्रिकोणीय प्लेटों द्वारा नहीं होता है। सभी त्रिकोणीय प्लेटों को एक साथ जोड़ा जाना चाहिए। उनके शीर्ष सतह पर स्थित हैं। सामान्य सतह की तुलना में त्रिकोणीय प्लेटों के एक सेट के साथ काम करना आसान होता है। हम त्रिभुजाकार प्लेटों को त्रिभुज कहेंगे। एक त्रिभुज के लिए, किसी दिए गए बिंदु की दूरी या अंतरिक्ष में दी गई रेखा के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु की तुरंत गणना की जाती है। ज्यामितीय मॉडल की दृश्य धारणा के लिए चेहरों का त्रिकोणीकरण किया जाता है, इसलिए त्रिकोणों के किनारों का चयन किया जाता है ताकि आंख किंक पर ध्यान न दे सके।

सतहों के पैरामीट्रिक विमानों पर त्रिकोणों द्वारा ज्यामितीय वस्तुओं को प्रदर्शित करते समय, शरीर के चेहरों का एक स्थानिक त्रिभुज अंतरिक्ष में बिंदुओं की एक सरणी और इन बिंदुओं पर शरीर के चेहरों के लिए सामान्यों की एक सरणी की गणना करके बनाया जाना चाहिए। द्वि-आयामी बिंदु। पिंडों को शीघ्रता से प्रदर्शित करने के लिए, उनके चेहरों को उन पर बनी त्रिकोणीय प्लेटों द्वारा अनुमानित किया जाता है। शरीर के चेहरों के साथ संपर्क करने वाली प्रकाश किरणों के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए सामान्य बिंदुओं की आवश्यकता होती है। पिछले अध्यायों और इस अध्याय में स्वर चित्र त्रिकोणासन का उपयोग करके बनाए गए हैं।

सतह त्रिभुज के परिणामस्वरूप, हम एक पैरामीट्रिक विमान पर दो-आयामी बिंदुओं की एक सरणी और पूर्णांकों के त्रिक की एक सरणी चाहते हैं, जो पहले उल्लिखित सरणी में बिंदुओं की संख्या है। इस प्रकार, प्रत्येक त्रिभुज को पैरामीटर सरणी में उसके शीर्षों की तीन संख्याओं द्वारा दर्शाया जाएगा। पैरामीट्रिक डोमेन के प्रत्येक द्वि-आयामी बिंदु के लिए, सतह पर एक स्थानिक बिंदु और उसमें सामान्य सतह की गणना की जा सकती है। स्थानिक बिंदुओं और मानदंडों को 2डी बिंदु सरणी के समान सरणियों में संग्रहीत किया जा सकता है।

आइए त्रिकोणासन की कुछ विधियों पर नजर डालें। सपाट सतहों के लिए, लागत प्रभावी त्रिकोणासन विधियां हैं जिनमें सतह के सीमा बिंदुओं पर त्रिकोण का निर्माण किया जाता है और पैरामीट्रिक क्षेत्र के अंदर बिंदुओं की खोज करने की कोई आवश्यकता नहीं होती है।

डेलाउने त्रिकोणासन.

आइए विमान के कुछ क्षेत्र पर विचार करें। हम किसी क्षेत्र को उत्तल कहेंगे यदि, उसकी सीमा के साथ चलते समय, आपको केवल एक दिशा में (केवल बाईं ओर या केवल दाईं ओर) मुड़ना पड़े। डेलाउने एल्गोरिथ्म का उपयोग उत्तल तलीय क्षेत्रों को त्रिभुजित करने के लिए किया जा सकता है। हम मुक्त रूप वाली सतहों को त्रिकोण बनाने के लिए इस एल्गोरिदम को सीधे लागू नहीं कर पाएंगे, लेकिन हम त्रिकोण बनाने के लिए इसकी विधि का उपयोग करेंगे।

चावल। 9.7.1. अंदर दिए गए बिंदुओं के साथ उत्तल क्षेत्र

मान लीजिए कि एक बंद टूटी हुई रेखा से घिरा कुछ उत्तल द्वि-आयामी क्षेत्र और इस क्षेत्र के अंदर बिंदुओं का एक सेट दिया गया है (चित्र 9.7.1)।

निर्दिष्ट क्षेत्र को त्रिभुजों में विभाजित करना आवश्यक है, जिसके शीर्ष क्षेत्र के अंदर दिए गए बिंदु हैं और इसे बांधने वाली टूटी हुई रेखा के शीर्ष हैं। त्रिभुजों को एक-दूसरे पर ओवरलैप नहीं करना चाहिए, और उनकी भुजाएँ केवल शीर्षों पर ही प्रतिच्छेद कर सकती हैं।

एक निर्दिष्ट क्षेत्र को भरने के लिए त्रिभुजों के कई अलग-अलग सेट बनाए जा सकते हैं। सभी मामलों में, त्रिकोणों की संख्या बराबर है, जहां K बाउंडिंग पॉलीलाइन के शीर्षों की संख्या है, I क्षेत्र के अंदर दिए गए बिंदुओं की संख्या है।

चावल। 9.7.2. डेलाउने एल्गोरिथम के तीसरे बिंदु का चयन करना

यदि प्रत्येक त्रिभुज के चारों ओर वर्णित वृत्त के अंदर अन्य त्रिभुजों के कोई शीर्ष नहीं हैं, तो किसी क्षेत्र का त्रिभुज एक डेलाउने त्रिभुज होगा। डेलाउने त्रिभुज यथासंभव समकोणीय त्रिभुजों का निर्माण करता है (अनुचित रूप से लम्बे त्रिभुजों के निर्माण की अनुमति नहीं देता है)।

इसे संतुलित कहा जा सकता है. यदि कोई चार शीर्ष एक ही वृत्त पर न हों तो एक डेलाउने त्रिभुज अद्वितीय होगा।

आइए डेलाउने त्रिभुज पर विचार करें। हम क्षेत्र को घेरने वाली पॉलीलाइन के शीर्षों और क्षेत्र के अंदर दिए गए बिंदुओं को त्रिभुज के शीर्ष कहेंगे। हम त्रिभुजों की भुजाओं को किनारा कहेंगे। किनारों के बीच, हम बाउंडिंग पॉलीलाइन के खंडों का चयन करते हैं, जिन्हें हम सीमा किनारे कहेंगे। आइए सभी सीमा किनारों को उन्मुख करें ताकि उत्तल क्षेत्र प्रत्येक किनारे के बाईं ओर स्थित हो। मान लीजिए कि एक त्रिभुज बनाना आवश्यक है, जिसकी भुजा सीमा भुजा AB है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 9.7.2.

शीर्ष A, B और किसी भी शीर्ष से होकर जो उनके साथ एक ही रेखा पर नहीं है, एक वृत्त खींचा जा सकता है। त्रिभुज के तीसरे शीर्ष के रूप में, हम शीर्ष V को चुनते हैं, संबंधित वृत्त में खंड AB के सापेक्ष उसी तरफ अन्य शीर्ष नहीं होते हैं जिस पर बिंदु V स्थित है। एक सीमा किनारे के लिए, सामान्य स्थिति में, ऐसा एक शीर्ष हो सकता है पाया जाना। हम इसे निकटतम कहेंगे। बिंदु A, B और V से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र खंड AB, BV और VA के मध्य बिंदुओं पर लंबवत के चौराहे पर स्थित है। वृत्त के केंद्र की स्थिति को खंड एमएन के पैरामीटर टी द्वारा दर्शाया जाएगा, जो किनारे एबी के लंबवत है, लंबाई के बराबर है और किनारे एबी के मध्य से गुजर रहा है।

चावल। 9.7.3. डेलाउने त्रिकोणासन प्रक्रिया

खंड AB के बाईं ओर स्थित सभी शीर्षों के लिए, निकटतम शीर्ष का पैरामीटर t सबसे छोटा है। निकटतम शीर्ष के संगत वृत्त में खंड AB के बाईं ओर अन्य शीर्ष शामिल नहीं हैं। मान लीजिए कि शीर्ष A, B और V को क्रमशः द्वि-आयामी त्रिज्या वैक्टर द्वारा वर्णित किया गया है। खंड AB और BV के मध्य बिंदुओं के त्रिज्या सदिश बराबर होंगे

बिंदु A, B और V से गुजरने वाले वृत्त के केंद्र की स्थिति के अनुरूप रेखा के पैरामीटर t का मान बराबर है

खंड AB के बाईं ओर निकटतम शीर्ष के लिए, पैरामीटर t का न्यूनतम मान है।

आइए सभी सीमा किनारों को उन्मुख करें ताकि त्रिकोणित किया जाने वाला क्षेत्र उनमें से प्रत्येक के बाईं ओर स्थित हो। हम किसी भी सीमा किनारे से त्रिभुज बनाना शुरू करते हैं। आइए हम इसके लिए निकटतम शीर्ष खोजें, जिसके संगत वृत्त में अन्य शीर्ष शामिल नहीं हैं। मान लीजिए कि सीमा किनारे AB के लिए निकटतम शीर्ष V पाया जाता है। फिर हम एक त्रिभुज ABV बनाते हैं और किनारे AB को निष्क्रिय की श्रेणी में स्थानांतरित करते हैं। हम निष्क्रिय किनारों और शीर्षों को कॉल करेंगे जो त्रिभुज एल्गोरिथ्म में भाग नहीं लेते हैं। यदि सीमा किनारों के बीच कोई किनारा BV नहीं है, तो हम खंड VB पर एक नया सीमा किनारा बनाते हैं। यदि सीमा किनारों के बीच कोई किनारा BV है, तो हम इसे और शीर्ष B को निष्क्रिय की श्रेणी में स्थानांतरित करते हैं। यदि सीमा किनारों के बीच कोई किनारा VA नहीं है, तो हम खंड AV पर एक नया सीमा किनारा बनाएंगे। यदि सीमा किनारों के बीच कोई किनारा VA है, तो हम इसे और शीर्ष A को निष्क्रिय की श्रेणी में स्थानांतरित करते हैं। त्रिकोणासन प्रक्रिया चित्र में दिखाई गई है। 9.7.3.

चावल। 9.7.4. डेलाउने त्रिकोणासन

हम त्रिभुजन तब समाप्त करते हैं जब सभी शीर्ष और किनारे निष्क्रिय हो जाते हैं। किसी दिए गए क्षेत्र के त्रिभुज का परिणाम चित्र में दिखाया गया है। 9.7.4.

सुधार विधि द्वारा त्रिकोणासन।

आइए मापदंडों को परिभाषित करने के लिए एक आयताकार डोमेन के साथ एक निश्चित सतह के त्रिकोणीकरण पर विचार करें। आइए सतह मापदंडों को परिभाषित करने के लिए डोमेन को दो-आयामी रेखाओं के साथ आयताकार कोशिकाओं में विभाजित करें। ये रेखाएं एक आयताकार ग्रिड बनाती हैं। आइए हम सूत्र (9.4.7) के अनुसार आसन्न रेखाओं के बीच पैरामीट्रिक दूरियों को बराबर मानें

आइए हम सूत्र (9.4.8) के अनुसार आसन्न रेखाओं के बीच पैरामीट्रिक दूरियों को बराबर मानें

सभी आयताकार कोशिकाओं में विकर्णों का निर्माण करके, हम सतह का एक त्रिकोण प्राप्त करते हैं (हम त्रिकोणों का एक सेट प्राप्त करते हैं जो आवश्यकताओं को पूरा करता है)। चित्र में. 9.7.5 वर्णित विधि का उपयोग करके क्रांति की सतह के त्रिकोणीकरण को दर्शाता है।

आइए एक मनमानी सीमा वाली सतह के त्रिभुज पर विचार करें। हम मापदंडों को निर्धारित करने के लिए एक आयताकार क्षेत्र के साथ ऊपर वर्णित सतह त्रिभुज की सीमा आकृतियों द्वारा सुधार पर त्रिभुज विधि का निर्माण करेंगे।

चावल। 9.7.5. मापदंडों को परिभाषित करने के लिए एक आयताकार डोमेन के साथ सतह का त्रिकोणीकरण

मान लें कि पैरामीटर परिभाषा डोमेन में सतह सीमा को कई गैर-प्रतिच्छेदी द्वि-आयामी आकृति (2.12.7) द्वारा वर्णित किया गया है। आकृतियों में से एक बाहरी है और इसमें शेष आकृतियाँ शामिल हैं। प्रत्येक समोच्च के लिए सकारात्मक दिशा के लिए हम वह दिशा लेंगे जिसके साथ चलते समय, सामान्य सतह की ओर देखने पर सतह परिभाषा क्षेत्र हमेशा समोच्च के बाईं ओर होता है। आइए सतह परिभाषा क्षेत्र की सीमा आकृति की सकारात्मक दिशा में बहुभुज का निर्माण करें। सीमा बहुभुज का निर्माण करने के लिए, आपको कुछ परिवर्तनशील चरणों के साथ सतह की सीमा आकृति के साथ चलना होगा और दो-आयामी बिंदुओं की एक श्रृंखला भरनी होगी, जिनके निर्देशांक सतह पैरामीटर हैं। हम एक पैरामीट्रिक विमान पर बिंदुओं से एक बहुभुज का निर्माण करेंगे, लेकिन एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर जाने पर कदम स्थानिक ज्यामिति से निर्धारित किया जाएगा, अर्थात्, इस शर्त से कि आसन्न बिंदुओं के बीच वक्र चाप का विक्षेपण दिए गए से अधिक नहीं है कीमत। हम सूत्र (9.4.4) का उपयोग करके सतह सीमा समोच्च वक्र के लिए बहुभुज के निर्माण के लिए पैरामीट्रिक चरणों की गणना करते हैं।

प्रत्येक बहुभुज में द्वि-आयामी बिंदुओं का एक क्रमबद्ध सेट होता है। बहुभुज के प्रत्येक खंड को दो आसन्न बिंदुओं पर निर्मित दो-आयामी सीधी रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। हम ऐसे क्षेत्रों को सीमा किनारों के रूप में उपयोग करेंगे, और बहुभुज के बिंदु जिन पर किनारे आधारित हैं, त्रिकोणीय शीर्षों के रूप में उपयोग किए जाएंगे। चूँकि सतह मापदंडों को निर्धारित करने का क्षेत्र सीमा बहुभुज के बाईं ओर स्थित है, प्रत्येक सीमा त्रिभुज किनारे के लिए त्रिकोण का निर्माण करते समय, आपको किनारे के बाईं ओर त्रिकोण के तीसरे शीर्ष को देखना चाहिए।

आइए निर्धारित करें कि कौन से नोड सीमा बहुभुज के अंदर स्थित हैं, और कौन से सीमा पर या सतह परिभाषा क्षेत्र के बाहर स्थित हैं। इस जानकारी का उपयोग करके, हम आयताकार ग्रिड कोशिकाओं को दो समूहों में क्रमबद्ध करते हैं। पहले समूह में वे कोशिकाएँ शामिल हैं जो पूरी तरह से उस क्षेत्र के भीतर स्थित हैं जहाँ सतह पैरामीटर निर्धारित किए जाते हैं (कोशिकाओं को सीमा बहुभुज को नहीं छूना चाहिए)। दूसरे समूह में शेष कोशिकाएँ (सतह परिभाषा क्षेत्र के बाहर स्थित या सीमा बहुभुज द्वारा प्रतिच्छेदित) शामिल हैं।

चावल। 9.7.6. अधूरा सतह त्रिकोणीकरण

पहले समूह की प्रत्येक कोशिका के अंदर, एक विकर्ण का उपयोग करके, हम दो त्रिकोण बनाएंगे। इस प्रकार हमें एक अधूरा त्रिभुज प्राप्त होता है। आकृति द्वारा सीमित क्रांति की सतह के लिए पहले समूह की कोशिकाओं में त्रिकोण बनाने का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है। 9.7.6.

हम दूसरे समूह की कोशिकाओं के अप्रतिच्छेदित किनारों पर सीमा किनारों का निर्माण करेंगे और उन्हें निर्देशित करेंगे ताकि संबंधित कोशिका किनारे के बाईं ओर हो। पहले समूह की कोशिकाओं के चारों ओर, हम एक बंद टूटी हुई रेखा (संभवतः कई बंद रेखाएं) का निर्माण करेंगे ताकि जब इसके साथ आगे बढ़ें, तो क्षेत्र का वह हिस्सा जो त्रिकोणों में विभाजित नहीं है, सामान्य सतह की ओर देखने पर बाईं ओर स्थित हो . हम इस टूटी हुई रेखा के सीधे खंडों को सीमा किनारों के रूप में भी उपयोग करेंगे। हम सभी किनारों को समान मानेंगे। त्रिभुज को पूरा करने के लिए, हमें सीमा किनारों के बीच त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है। प्रत्येक किनारे के लिए हम एक शीर्ष की तलाश करेंगे जो उसके बाईं ओर स्थित हो और जिसका उपयोग त्रिभुज बनाने के लिए किया जा सके। हम केवल उन शीर्षों के बीच एक शीर्ष की खोज करेंगे जो किनारे के साथ एक ही सेल में स्थित हैं। एक शीर्ष का चयन करने के लिए, हम ऊपर वर्णित डेलाउने विधि का उपयोग करते हैं और चित्र में दिखाया गया है। 9.7.2. यदि ऐसा कोई शीर्ष पाया जाता है, तो आपको जांचना चाहिए कि क्या त्रिभुज के दो नए किनारे किसी सीमा किनारे से प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि सीमा किनारे AB के लिए निकटतम शीर्ष V पाया जाता है और जाँच करें कि खंड BV और VA अन्य सीमा किनारों को नहीं काटते हैं। फिर हम त्रिभुज ABV का निर्माण करेंगे और किनारे AB को निष्क्रिय श्रेणी में स्थानांतरित करेंगे। यदि सीमा किनारों के बीच कोई किनारा बीवी नहीं है, तो हम खंड वीबी पर एक नया सीमा किनारा बनाएंगे, लेकिन यदि सीमा किनारों के बीच कोई किनारा बीवी है, तो हम इसे और शीर्ष बी को निष्क्रिय की श्रेणी में स्थानांतरित कर देंगे। यदि सीमा किनारों के बीच कोई किनारा VA नहीं है, तो हम खंड AV पर एक नया सीमा किनारा बनाएंगे, लेकिन यदि सीमा किनारों के बीच कोई किनारा VA है, तो हम इसे और शीर्ष A को निष्क्रिय की श्रेणी में स्थानांतरित कर देंगे।

यदि कोई खंड या वीए अन्य सीमा किनारों को काटता है, तो हम दूसरे सीमा किनारे के लिए निकटतम शीर्ष की खोज के लिए आगे बढ़ते हैं। सभी किनारों और शीर्षों को निष्क्रिय के रूप में वर्गीकृत किए जाने के बाद त्रिभुज पूरा हो जाएगा।

चावल। 9.7.7. सुधार विधि द्वारा त्रिकोणासन

चित्र में. 9.7.7 सीमा रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित कोशिकाओं में त्रिभुजों को सही करने की विधि द्वारा सतह त्रिभुज को दर्शाता है। चित्र में. 9.7.8, परिणामी त्रिभुज का उपयोग करके, सतह स्वयं प्रदर्शित होती है।

यदि सीमा बहुभुज और सतह में कुछ समरूपता है, तो सुधार विधि द्वारा त्रिभुज में समान समरूपता होगी।

अवशोषण विधि द्वारा त्रिकोणासन।

आइए एक और त्रिकोणासन विधि पर विचार करें। गति के मामले में, यह डेलाउने ट्राइंगुलेशन और इसके संशोधनों से कमतर है। त्रिकोणासन प्रक्रिया शुरू करने के लिए, सतह की सीमा को बंद बहुभुजों के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है। त्रिकोणासन प्रक्रिया के दौरान, हमें सतह के मापदंडों के आधार पर चरण निर्धारित करने की आवश्यकता होगी। गति की ज्ञात दिशा के साथ, ये चरण सूत्रों (9.4.6) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। सतह मापदंडों के लिए अनुमानित चरण निम्नानुसार पाए जा सकते हैं। आइए हम एक निश्चित बिंदु के चारों ओर पैरामीटर विमान पर एक क्षेत्र को इस तरह से परिभाषित करें कि इस क्षेत्र में बिंदु से बिंदु तक कोई भी स्थानिक खंड सतह से दिए गए मान एस से अधिक नहीं होगा।

ऐसा करने के लिए, हम समन्वय रेखाओं के साथ मापदंडों की अनुमेय वृद्धि की गणना करते हैं

बिंदु पर सतह के पहले और दूसरे द्विघात रूपों के गुणांक कहां हैं। वांछित क्षेत्र की सीमा के रूप में, हम एक बिंदु और अर्ध-अक्ष पर केंद्र के साथ एक दीर्घवृत्त लेते हैं। इस दीर्घवृत्त में समीकरण है

यदि आप समतल पर किसी बिंदु के बगल में और अक्ष के साथ कोण द्वारा दी गई दिशा में एक बिंदु ढूंढना चाहते हैं, तो इसके पैरामीटर होंगे

सबसे पहले, आइए एक सरल मामले पर विचार करें जब सतह के मापदंडों का क्षेत्र एक बाहरी समोच्च तक सीमित हो। हम पैरामीट्रिक डोमेन पर एक बंद बहुभुज द्वारा सतह सीमा का अनुमान लगाते हैं। त्रिभुज का निर्माण करते समय, हम कार्यशील बहुभुज का उपयोग करेंगे, जिसे इस मामले में हम बाहरी समोच्च के बहुभुज के रूप में लेंगे। हम बहुभुज बिंदुओं को द्वि-आयामी बिंदुओं के परिणामी सरणी में जोड़ देंगे। हम कार्य क्षेत्र के किनारे से त्रिकोण बनाएंगे, इसे तब तक संकीर्ण करेंगे जब तक कि कार्य क्षेत्र में केवल तीन बिंदु न रह जाएं।

आइए कार्यशील बहुभुज में एक शीर्ष ढूंढें जिस पर यह क्षेत्र में बदल जाता है। ऐसा बिंदु हमेशा मौजूद रहता है और उस पर घूर्णन का कोण छोटा होता है। आइए इस बिंदु को O से निरूपित करें, और इसके मापदंडों को इस बिंदु के निकट हम घूर्णन के कोण के आधार पर एक या दो त्रिभुजों का निर्माण करेंगे। यदि कोण छोटा है, तो हम इन तीन बिंदुओं पर एक त्रिभुज बनाएंगे (चित्र 9.7.9)। अन्यथा, हम इस पर दो त्रिभुज बनाएंगे, दो पड़ोसी और एक नया बिंदु (चित्र 9.7.11)। नया बिंदु P द्वारा निर्दिष्ट है। हम समांतर चतुर्भुज B OS P के विकर्ण पर बिंदु P की तलाश करेंगे। यदि समांतर चतुर्भुज का शीर्ष दीर्घवृत्त के अंदर स्थित है (चित्र 9.7.10), तो हम इसे बिंदु P के रूप में लेंगे। अन्यथा, हम दीर्घवृत्त और समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के प्रतिच्छेदन को बिंदु P के रूप में लेंगे। बाद के मामले में, दीर्घवृत्त और खंड के प्रतिच्छेदन को देखना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है।

बिंदु P के निर्देशांक बिंदु O BC के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं

क्षैतिज के साथ खंड ओपी का कोण समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

(9.7.8)

ये डेटा दीर्घवृत्त (9.7.5) के सापेक्ष बिंदु P की स्थिति निर्धारित करना संभव बनाते हैं।

छवि में दिखाये गये मामले में। 9.7.9, आइए एक त्रिभुज बनाएं (इसके शीर्षों की संख्या याद रखें) और कार्य क्षेत्र में बिंदु O हटा दें। चित्र में दिखाए गए मामले में। 9.7.11, हम दो त्रिभुज बनाएंगे और कार्य क्षेत्र में हम बिंदु O को बिंदु P से बदल देंगे और बाद वाले को बिंदुओं के परिणामी सरणी में रखेंगे। चित्र में. चित्र 9.7.12 दो त्रिभुजों के निर्माण और बिंदु O को हटाने के बाद प्राप्त बहुभुज को दर्शाता है। दोनों ही मामलों में, बिंदु O को कार्यशील बहुभुज से हटा दिया जाएगा और कार्यशील बहुभुज संकीर्ण हो जाएगा। ध्यान दें कि त्रिभुज का निर्माण केवल तभी किया जा सकता है जब कार्य क्षेत्र, संकीर्ण होने के बाद, स्वयं को नहीं काटता है।

चावल। 9.7.9. त्रिभुज का निर्माण

चावल। 9.7.10. परिणाम बहुभुज

चावल। 9.7.11. दो त्रिभुजों का निर्माण

चावल। 9.7.12. परिणाम बहुभुज

ऐसी स्थितियों को चित्र में दिखाया गया है। 9.7.13. वे तब घटित हो सकते हैं जब निर्मित त्रिभुजों की भुजाएँ कार्य क्षेत्र की उन भुजाओं को काटती हैं जो उनके समीप नहीं हैं। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, एक नया त्रिभुज बनाने से पहले। 9.7.9, और चित्र में दिखाए गए मामले में। 9.7.11, यह सुनिश्चित करने के लिए जांच की जानी चाहिए कि परिणामी बहुभुज स्वयं को नहीं काटता है।

इसके अलावा, बिंदु पी की स्थिति निर्धारित करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि यह कार्य क्षेत्र के अन्य बिंदुओं से पर्याप्त दूरी पर हो और क्षेत्र के बिंदुओं को जोड़ने वाले खंडों के करीब न आए। अन्यथा, भविष्य में त्रिभुज बनाते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं। इसलिए, कार्यशील बहुभुज को संकीर्ण करने से पहले, आपको स्व-प्रतिच्छेदन के लिए परिणामी बहुभुज की जांच करनी चाहिए। यदि बिंदु O के पास एक त्रिभुज (त्रिकोण) बनाना असंभव है, तो इसके बजाय आपको एक और बिंदु ढूंढना चाहिए, जिस पर बहुभुज दूसरों की तुलना में समोच्च के अंदर अधिक लपेटता है, और उस पर वर्णित क्रियाएं करें।

इसके बाद, संशोधित कार्य क्षेत्र के साथ, हम वही कार्य करेंगे जिनका हमने अभी वर्णन किया है। आइए कार्यशील बहुभुज में एक बिंदु ढूंढें जिस पर यह अन्य बिंदुओं की तुलना में क्षेत्र के अंदर अधिक घूमता है, एक या दो त्रिकोण बनाकर इसमें बहुभुज को संकीर्ण करने की संभावना की जांच करें और बहुभुज को संकीर्ण करें।

चावल। 9.7.13. आप इस कोने में त्रिकोण नहीं बना सकते।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम द्वि-आयामी बिंदुओं की सरणी और त्रिकोणों की सरणी का विस्तार करेंगे, और साथ ही हम कार्यशील बहुभुज को संकीर्ण कर देंगे, जिससे इसके द्वारा कवर किए जाने वाले क्षेत्र और इसके बिंदुओं की संख्या कम हो जाएगी। इन क्रियाओं के किसी चरण में हमें तीन बिंदुओं वाला एक कार्यशील बहुभुज प्राप्त होगा। आइए इन बिंदुओं पर अंतिम त्रिभुज बनाएं, कार्य क्षेत्र को हटा दें और त्रिभुज को समाप्त करें। वर्णित त्रिकोणासन विधि में, कार्य क्षेत्र द्वारा सीमित क्षेत्र को त्रिकोणों को काटकर समाप्त कर दिया जाता है।

आइए सामान्य मामले पर विचार करें जब सतह मापदंडों का क्षेत्र एक बाहरी समोच्च और कई आंतरिक समोच्चों द्वारा सीमित होता है जो पूरी तरह से बाहरी समोच्च के अंदर स्थित होते हैं। हम पैरामीट्रिक डोमेन पर बंद बहुभुजों द्वारा सतह सीमा का अनुमान लगाते हैं। प्रत्येक समोच्च के लिए हम अपना स्वयं का बहुभुज बनाएंगे। आकृतियों की तरह, उन पर बने बहुभुजों के लिए, उनके पारस्परिक अभिविन्यास के नियम को पूरा किया जाना चाहिए। आंतरिक बहुभुज का अभिविन्यास बाहरी बहुभुज के अभिविन्यास के विपरीत होना चाहिए। आइए बाहरी समोच्च बहुभुज के साथ त्रिभुज का निर्माण शुरू करें। आइए इसके बिंदुओं को द्वि-आयामी बिंदुओं के परिणामी सरणी में रखें, और बहुभुज को स्वयं एक कार्यशील बनाएं।

हम त्रिभुजों का निर्माण उसी प्रकार करेंगे जैसे किसी सरल रूप से जुड़े हुए क्षेत्र के मामले में करते हैं। आइए कार्य क्षेत्र में बिंदु O ढूंढें, वहां कार्य क्षेत्र को संकीर्ण करने की संभावना की जांच करें और क्षेत्र को संकीर्ण करें। यदि आंतरिक आकृतियाँ हैं, तो चयनित बिंदु पर कार्य क्षेत्र को संकीर्ण करने की संभावना की जाँच करना अधिक कठिन हो जाता है। कार्य क्षेत्र की भुजाओं के साथ त्रिभुजों की भुजाओं के प्रतिच्छेदन के लिए वर्णित जाँचों के अलावा, सभी आंतरिक बहुभुजों की भुजाओं के साथ त्रिभुजों की भुजाओं के प्रतिच्छेदन की जाँच करना भी आवश्यक है।

आइए हम बिंदु O (चित्र 9.7.11) पर दो त्रिकोण बनाने की संभावना की जांच करें, और पता लगाएं कि नया बिंदु P, एक बार निर्मित होने के बाद, आंतरिक बहुभुजों में से एक के अंदर आएगा या उसके खंडों के अस्वीकार्य निकटता में होगा। इस मामले में, हम बिंदु P का निर्माण नहीं करेंगे, बल्कि चित्र में दिखाए गए दो त्रिकोणों का निर्माण करके इस आंतरिक बहुभुज को कार्यशील बहुभुज में शामिल करेंगे। 9.7.14.

कार्यशील बहुभुज में किसी एक आंतरिक बहुभुज के बिंदुओं को शामिल करने के लिए, हम आंतरिक बहुभुज के बिंदुओं के बीच कार्यशील बहुभुज के बिंदु C (बिंदु O के निकट) के निकटतम बिंदु को ढूंढते हैं।

आइए बिंदु OCF और CEF पर त्रिकोण बनाएं और कार्य क्षेत्र के बिंदु O और C के बीच आंतरिक बहुभुज के बिंदु डालें, बिंदु F से शुरू करें और बिंदु E पर समाप्त करें। इस प्रकार, हम खंड OS पर कार्य क्षेत्र को तोड़ देंगे, तोड़ देंगे खंड EF पर आंतरिक बहुभुज बनाएं और उन्हें खंड OF और EU के साथ जोड़ें।

चावल। 9.7.14. दो त्रिभुजों का निर्माण

चावल। 9.7.15. बाहरी और आंतरिक बहुभुजों का विलय

विलय का परिणाम चित्र में दिखाया गया है। 9.7.15. बेशक, बाहरी और आंतरिक बहुभुजों को मर्ज करने से पहले, इस ऑपरेशन की शुद्धता सुनिश्चित करने के लिए जांच की जानी चाहिए।

इसके बाद, हम कार्य क्षेत्र को वर्णित तरीके से तब तक सीमित करना जारी रखेंगे जब तक कि हम खुद को किसी अन्य आंतरिक क्षेत्र के करीब न पा लें और उसे कार्य क्षेत्र में शामिल न कर लें। परिणामस्वरूप, सभी आंतरिक बहुभुजों को कार्यशील बहुभुज में शामिल किया जाएगा, जिसे अंतिम तीन बिंदुओं तक सीमित किया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, सतह मापदंडों को निर्धारित करने के लिए संपूर्ण गुणा से जुड़ा क्षेत्र त्रिकोणों से ढका होगा।

चावल। 9.7.16. आप इस कोने में त्रिकोण नहीं बना सकते।

ऐसी स्थितियाँ हो सकती हैं जब दिए गए बहुभुजों पर एक एकल त्रिभुज बनाना असंभव हो। चित्र में. चित्र 9.7.16 दो बहुभुजों द्वारा सीमित एक क्षेत्र दिखाता है, जिनमें से प्रत्येक में चार खंड होते हैं। बाहरी बहुभुज के लिए, हम त्रिभुज बनाना जारी नहीं रख सकते क्योंकि आंतरिक बहुभुज रास्ते में है। इस मामले में, हमें बहुभुज के दो पड़ोसी बिंदु B और C मिलेंगे, जिनके लिए हम एक त्रिभुज HRV का निर्माण कर सकते हैं। बिंदु P को भुजा BC के मध्य में प्रक्षेपित किया गया है और यह उससे इतनी दूरी पर स्थित है कि नया त्रिभुज बहुभुजों को नहीं काटता है।

त्रिकोणासन की अन्य विधियाँ.

त्रिकोणासन के अन्य तरीके भी हैं। उदाहरण के लिए, सतह परिभाषा क्षेत्र के बाहरी और आंतरिक आकृति के बहुभुज का निर्माण करने के बाद, त्रिकोण के निर्माण के लिए एक अलग रणनीति चुनी जा सकती है। एक अन्य विकल्प त्रिकोणासन शुरू करने से पहले बाहरी और आंतरिक बहुभुजों को एक बहुभुज में संयोजित करना है। आप एक निश्चित एल्गोरिदम का उपयोग करके पैरामीटर परिभाषा क्षेत्र के अंदर बिंदुओं को "स्केच" कर सकते हैं और उनका और सीमा समोच्च बहुभुज के बिंदुओं का उपयोग करके डेलाउने त्रिभुज का प्रदर्शन कर सकते हैं। ऐसे एल्गोरिदम हैं जो पहले बड़े त्रिकोण बनाते हैं और फिर उन्हें प्रबंधनीय आकारों में विभाजित करते हैं।

शरीर का त्रिकोणासन.

किसी पिंड का त्रिभुजाकार उसके चेहरों की सतहों को त्रिभुजाकार करके प्राप्त त्रिभुजों का एक समूह है। अलग-अलग सतहों का त्रिकोणासन शरीर के चेहरों के त्रिकोणासन से भिन्न होता है, जिसमें बाद वाले मामले में, आसन्न चेहरों के लिए सीमा बहुभुज सुसंगत होने चाहिए (चित्र 9.7.17)।

चावल। 9.7.17. शारीरिक चेहरा सीमा बहुभुज संगति

समान किनारों से गुजरने वाले आसन्न फलकों के बहुभुजों के खंड सुसंगत होंगे यदि उनके बिंदु अंतरिक्ष में संपाती हों।

त्रिकोणासन का अनुप्रयोग.

त्रिकोणासन के परिणामस्वरूप निर्मित त्रिकोणों का उपयोग टोन छवियां प्राप्त करने के लिए किया जाता है। चित्र में. 9.7.18 और 9.7.19 एक शीट बॉडी के चेहरे के त्रिकोण दिखाते हैं, जिसकी टोन छवि चित्र में दिखाई गई है। 6.5.1.

चावल। 9.7.18. सुधार विधि का उपयोग करके शरीर के चेहरे का त्रिकोणीकरण

सतह मापदंडों को त्रिकोणों में निर्धारित करने के डोमेन को निकायों की ज्यामितीय विशेषताओं की गणना करते समय अभिन्न (8.6.2), (8.6.3), (8.6.12), (8.7.17)-(8.7.22) में विभाजित किया जा सकता है। . संख्यात्मक एकीकरण के दौरान, वक्रों के लिए पैरामीट्रिक चरण की गणना सूत्र (8.11.5) का उपयोग करके की जानी चाहिए, और सतहों के लिए, पैरामीट्रिक चरणों की गणना सूत्र (8.11.1) और (8.11.2) का उपयोग करके की जानी चाहिए।