आप अच्छी तरह से जानते हैं कि प्रक्षेप पथ के आकार के आधार पर गति को विभाजित किया जाता है सीधाऔर वक्रीय. हमने पिछले पाठों में सीखा कि रेक्टिलिनियर गति के साथ कैसे काम किया जाए, अर्थात् इस प्रकार की गति के लिए यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल किया जाए।

हालाँकि, यह स्पष्ट है कि वास्तविक दुनिया में हम अक्सर वक्रीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह की गति के उदाहरण हैं क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड का प्रक्षेप पथ, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति, और यहां तक ​​कि आपकी आंखों की गति का प्रक्षेप पथ, जो अब इस नोट का अनुसरण कर रहे हैं।

यह पाठ इस प्रश्न के प्रति समर्पित होगा कि वक्ररेखीय गति के मामले में यांत्रिकी की मुख्य समस्या को कैसे हल किया जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए यह निर्धारित करें कि रेक्टिलिनियर मूवमेंट के सापेक्ष वक्रीय मूवमेंट (चित्र 1) में क्या मूलभूत अंतर मौजूद हैं और इन अंतरों के कारण क्या होता है।

चावल। 1. वक्ररेखीय गति का प्रक्षेपवक्र

आइए इस बारे में बात करें कि वक्रीय गति के दौरान किसी पिंड की गति का वर्णन करना कितना सुविधाजनक है।

गति को अलग-अलग खंडों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में गति को सीधा-रेखीय माना जा सकता है (चित्र 2)।

चावल। 2. वक्ररेखीय गति को सरलरेखीय गति के वर्गों में विभाजित करना

हालाँकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। हम इस गति की कल्पना वृत्ताकार चापों के अनुदिश कई गतियों के संयोजन के रूप में करेंगे (चित्र 3)। कृपया ध्यान दें कि पिछले मामले की तुलना में ऐसे कम विभाजन हैं, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन घुमावदार है। इसके अलावा, एक वृत्त में गति के उदाहरण प्रकृति में बहुत आम हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वर्णन करने के लिए वक्ररेखीय गति, आपको एक वृत्त में गति का वर्णन करना सीखना होगा, और फिर स्वैच्छिक कार्यवृत्ताकार चापों के अनुदिश गतियों के सेट के रूप में दर्शाया गया है।

चावल। 3. वृत्ताकार चापों के अनुदिश गति में वक्ररेखीय गति का विभाजन

तो, आइए एक वृत्त में एकसमान गति का अध्ययन करके वक्ररेखीय गति का अध्ययन शुरू करें। आइए जानें कि वक्ररेखीय गति और सीधीरेखीय गति के बीच मूलभूत अंतर क्या हैं। आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि नौवीं कक्षा में हमने इस तथ्य का अध्ययन किया था कि एक वृत्त में घूमते समय किसी पिंड की गति प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर निर्देशित होती है (चित्र 4)। वैसे, आप इस तथ्य को प्रयोगात्मक रूप से देख सकते हैं यदि आप देखें कि धार तेज करने वाले पत्थर का उपयोग करते समय चिंगारी कैसे चलती है।

आइए एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश किसी पिंड की गति पर विचार करें (चित्र 5)।

चावल। 5. वृत्त में घूमते समय किसी पिंड की गति

कृपया ध्यान दें कि इसमें इस मामले मेंकिसी बिंदु पर पिंड के वेग का मापांक उस बिंदु पर पिंड के वेग के मापांक के बराबर होता है:

हालाँकि, एक वेक्टर एक वेक्टर के बराबर नहीं है। तो, हमारे पास एक वेग अंतर वेक्टर है (चित्र 6):

चावल। 6. वेग अंतर वेक्टर

इसके अलावा, गति में बदलाव कुछ समय बाद हुआ। तो हमें परिचित संयोजन मिलता है:

यह समय के साथ गति में बदलाव या किसी पिंड के त्वरण से अधिक कुछ नहीं है। एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

घुमावदार पथ पर गति तेज हो जाती है। इस त्वरण की प्रकृति वेग वेक्टर की दिशा में निरंतर परिवर्तन है।

आइए एक बार फिर से ध्यान दें कि, भले ही यह कहा जाए कि शरीर एक सर्कल में समान रूप से चलता है, इसका मतलब यह है कि शरीर के वेग का मापांक नहीं बदलता है। हालाँकि, इस तरह की गति हमेशा तेज होती है, क्योंकि गति की दिशा बदल जाती है।

नौवीं कक्षा में आपने अध्ययन किया कि यह त्वरण किसके बराबर होता है और इसे कैसे निर्देशित किया जाता है (चित्र 7)। अभिकेंद्रीय त्वरण सदैव वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है जिसके अनुदिश पिंड घूम रहा है।

चावल। 7. अभिकेन्द्रीय त्वरण

अभिकेंद्रीय त्वरण के मॉड्यूल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए हम एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति के विवरण की ओर आगे बढ़ें। आइए सहमत हैं कि अनुवादात्मक गति का वर्णन करते समय आपने जिस गति का उपयोग किया था, उसे अब रैखिक गति कहा जाएगा। और रैखिक गति से हम घूमते हुए पिंड के प्रक्षेप पथ के बिंदु पर तात्कालिक गति को समझेंगे।

चावल। 8. डिस्क बिंदुओं का संचलन

एक डिस्क पर विचार करें जो निश्चितता के लिए दक्षिणावर्त घूमती है। इसकी त्रिज्या पर हम दो बिंदु अंकित करते हैं और (चित्र 8)। आइए उनके आंदोलन पर विचार करें. समय के साथ, ये बिंदु वृत्त के चाप के साथ आगे बढ़ेंगे और बिंदु बन जाएंगे। जाहिर है बात बात से ज्यादा आगे बढ़ गई है. इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोई बिंदु घूर्णन अक्ष से जितना दूर होगा, उसकी रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी

हालाँकि, यदि आप बिंदुओं को करीब से देखें, तो हम कह सकते हैं कि जिस कोण से वे घूर्णन अक्ष के सापेक्ष घूमे, वह अपरिवर्तित रहा। यह कोणीय विशेषताएँ हैं जिनका उपयोग हम एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए करेंगे। ध्यान दें कि वृत्ताकार गति का वर्णन करने के लिए हम इसका उपयोग कर सकते हैं कोनाविशेषताएँ।

आइए एक वृत्त में गति पर सबसे सरल मामले से विचार करना शुरू करें - एक वृत्त में एकसमान गति। आइए याद रखें कि एकसमान अनुवादात्मक गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर किसी भी समान अवधि में समान गति करता है। सादृश्य द्वारा, हम एक वृत्त में एकसमान गति की परिभाषा दे सकते हैं।

एकसमान वृत्ताकार गति एक ऐसी गति है जिसमें वस्तु समय के किसी भी समान अंतराल पर समान कोणों से घूमती है।

रैखिक वेग की अवधारणा के समान, कोणीय वेग की अवधारणा पेश की गई है।

एकसमान गति का कोणीय वेग (बुलाया भौतिक मात्रा, उस कोण के अनुपात के बराबर जिसके माध्यम से शरीर घूम गया और उस समय के दौरान जिसके दौरान यह घुमाव हुआ।

भौतिकी में, कोण के रेडियन माप का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोण b रेडियन के बराबर है। कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है:

आइए एक बिंदु के घूर्णन की कोणीय गति और इस बिंदु की रैखिक गति के बीच संबंध खोजें।

चावल। 9. कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध

घूमते समय, एक बिंदु एक कोण पर घूमते हुए लंबाई के चाप से गुजरता है। किसी कोण की रेडियन माप की परिभाषा से हम लिख सकते हैं:

आइए समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उस समय की अवधि से विभाजित करें जिसके दौरान गति की गई थी, फिर कोणीय और रैखिक वेगों की परिभाषा का उपयोग करें:

कृपया ध्यान दें कि कोई बिंदु घूर्णन अक्ष से जितना दूर होगा, उसकी रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी। तथा घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदु स्वयं गतिहीन होते हैं। इसका एक उदाहरण हिंडोला है: आप हिंडोले के केंद्र के जितना करीब होंगे, आपके लिए उस पर बने रहना उतना ही आसान होगा।

रैखिक और कोणीय वेगों की इस निर्भरता का उपयोग भूस्थैतिक उपग्रहों (उपग्रह जो हमेशा पृथ्वी की सतह पर एक ही बिंदु से ऊपर स्थित होते हैं) में किया जाता है। ऐसे उपग्रहों की बदौलत हम टेलीविजन सिग्नल प्राप्त करने में सक्षम हैं।

आइए याद रखें कि पहले हमने आवर्त और घूर्णन की आवृत्ति की अवधारणाओं का परिचय दिया था।

घूर्णन अवधि एक पूर्ण क्रांति का समय है।घूर्णन अवधि को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और SI सेकंड में मापा जाता है:

घूर्णन आवृत्ति एक भौतिक मात्रा है जो किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में किए गए चक्करों की संख्या के बराबर होती है।

आवृत्ति को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और पारस्परिक सेकंड में मापा जाता है:

वे संबंध से संबंधित हैं:

कोणीय वेग और पिंड के घूमने की आवृत्ति के बीच एक संबंध है। यदि हम याद रखें कि एक पूर्ण क्रांति बराबर होती है, तो यह देखना आसान है कि कोणीय वेग है:

इन अभिव्यक्तियों को कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध में प्रतिस्थापित करके, हम अवधि या आवृत्ति पर रैखिक गति की निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं:

आइए हम अभिकेन्द्रीय त्वरण और इन मात्राओं के बीच संबंध भी लिखें:

इस प्रकार, हम एकसमान वृत्तीय गति की सभी विशेषताओं के बीच संबंध को जानते हैं।

आइए संक्षेप करें. इस पाठ में हमने वक्ररेखीय गति का वर्णन करना शुरू किया। हमने समझा कि हम वक्ररेखीय गति को वृत्ताकार गति से कैसे जोड़ सकते हैं। वृत्ताकार गति हमेशा त्वरित होती है, और त्वरण की उपस्थिति इस तथ्य को निर्धारित करती है कि गति हमेशा अपनी दिशा बदलती है। इस त्वरण को अभिकेन्द्रीय त्वरण कहते हैं। अंत में, हमने वृत्ताकार गति की कुछ विशेषताओं (रैखिक गति, कोणीय गति, अवधि और घूर्णन की आवृत्ति) को याद किया और उनके बीच संबंध पाया।

ग्रन्थसूची

1. जी.या. मयाकिशेव, बी.बी. बुखोवत्सेव, एन.एन. सोत्स्की। भौतिकी 10. - एम.: शिक्षा, 2008।
2. ए.पी. रिमकेविच। भौतिक विज्ञान। समस्या पुस्तक 10-11. - एम.: बस्टर्ड, 2006।
3. ओ.या. सवचेंको। भौतिक विज्ञान की समस्याएँ. - एम.: नौका, 1988।
4. ए.वी. पेरीश्किन, वी.वी. क्राउक्लिस। भौतिकी पाठ्यक्रम. टी. 1. - एम.: राज्य. अध्यापक ईडी। मि. आरएसएफएसआर की शिक्षा, 1957।

1. Аyp.ru ()।
2. विकिपीडिया ()।

गृहकार्य

इस पाठ की समस्याओं को हल करने के बाद, आप राज्य परीक्षा के प्रश्न 1 और एकीकृत राज्य परीक्षा के प्रश्न A1, A2 की तैयारी करने में सक्षम होंगे।

1. समस्याएँ 92, 94, 98, 106, 110 - शनि। समस्याएं ए.पी. रिमकेविच, एड. 10
2. घड़ी की मिनट, सेकंड और घंटे की सूइयों के कोणीय वेग की गणना करें। यदि प्रत्येक की त्रिज्या एक मीटर है तो इन तीरों की नोक पर अभिनय करने वाले अभिकेन्द्रीय त्वरण की गणना करें।

समान रूप से त्वरित वक्ररेखीय गति

वक्ररेखीय गतियाँ वे गतियाँ हैं जिनके प्रक्षेप पथ सीधे नहीं, बल्कि घुमावदार रेखाएँ हैं। ग्रह और नदी का पानी वक्ररेखीय प्रक्षेप पथ पर चलते हैं।

वक्ररेखीय गति सदैव त्वरण के साथ गति होती है, भले ही वेग का निरपेक्ष मान स्थिर हो। वक्ररेखीय गति के साथ निरंतर त्वरणहमेशा उस तल में होता है जिसमें त्वरण सदिश और बिंदु के प्रारंभिक वेग स्थित होते हैं। xOy तल में निरंतर त्वरण के साथ वक्ररेखीय गति के मामले में, Ox और Oy अक्षों पर इसके वेग के प्रक्षेपण vx और vy और किसी भी समय t पर बिंदु के x और y निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

नहीं एकसमान गति. उग्र गति

कोई भी वस्तु हर समय एक समान गति से नहीं चलती। जब कार चलना शुरू करती है, तो वह और तेज़ चलती है। यह कुछ समय तक स्थिर रूप से चल सकता है, लेकिन फिर धीमा हो जाता है और रुक जाता है। इस मामले में, कार एक ही समय में अलग-अलग दूरी तय करती है।

वह गति जिसमें कोई वस्तु समय के समान अंतराल में असमान लंबाई की यात्रा करती है, असमान कहलाती है। ऐसी गति से गति अपरिवर्तित नहीं रहती। इस मामले में हम केवल औसत गति के बारे में ही बात कर सकते हैं।

औसत गति उस दूरी को दर्शाती है जो एक वस्तु प्रति इकाई समय में तय करती है। यह शरीर के विस्थापन और गति के समय के अनुपात के बराबर है। औसत गति, एक समान गति के दौरान किसी पिंड की गति की तरह, एक सेकंड से विभाजित मीटर में मापी जाती है। गति को अधिक सटीक रूप से चित्रित करने के लिए, भौतिकी में तात्कालिक गति का उपयोग किया जाता है।

शरीर की गति में इस पलसमय या प्रक्षेपवक्र में किसी दिए गए बिंदु पर गति को तात्कालिक गति कहा जाता है। तात्क्षणिक गति एक सदिश राशि है और विस्थापन सदिश की तरह ही निर्देशित होती है। आप स्पीडोमीटर का उपयोग करके तात्कालिक गति माप सकते हैं। अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, तात्कालिक गति को सेकंड से विभाजित मीटर में मापा जाता है।

बिंदु गति गति असमान

किसी पिंड का वृत्त में घूमना

वक्ररेखीय गति प्रकृति और प्रौद्योगिकी में बहुत आम है। यह एक सीधी रेखा की तुलना में अधिक जटिल है, क्योंकि इसमें कई घुमावदार प्रक्षेप पथ हैं; यह गति हमेशा त्वरित होती है, तब भी जब वेग मॉड्यूल नहीं बदलता है।

लेकिन किसी भी घुमावदार पथ पर गति को मोटे तौर पर एक वृत्त के चाप के अनुदिश गति के रूप में दर्शाया जा सकता है।

जब कोई पिंड किसी वृत्त में घूमता है, तो वेग वेक्टर की दिशा एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदलती रहती है। इसलिए, जब वे ऐसी गति की गति के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब तात्कालिक गति से होता है। वेग वेक्टर को वृत्त की स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है, और विस्थापन वेक्टर को जीवाओं के अनुदिश निर्देशित किया जाता है।

एकसमान वृत्ताकार गति एक ऐसी गति है जिसके दौरान गति वेग का मॉड्यूल नहीं बदलता है, केवल इसकी दिशा बदलती है। ऐसी गति का त्वरण सदैव वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और अभिकेन्द्रीय कहलाता है। किसी वृत्त में घूम रहे किसी पिंड का त्वरण ज्ञात करने के लिए गति के वर्ग को वृत्त की त्रिज्या से विभाजित करना आवश्यक है।

त्वरण के अलावा, एक वृत्त में किसी पिंड की गति को निम्नलिखित मात्राओं द्वारा दर्शाया जाता है:

किसी पिंड के घूमने की अवधि वह समय है जिसके दौरान पिंड एक पूर्ण क्रांति करता है। घूर्णन अवधि को टी अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और इसे सेकंड में मापा जाता है।

किसी पिंड के घूमने की आवृत्ति प्रति इकाई समय में क्रांतियों की संख्या है। क्या घूर्णन गति को किसी अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है? और हर्ट्ज़ में मापा जाता है। आवृत्ति ज्ञात करने के लिए, आपको एक को अवधि से विभाजित करना होगा।

रैखिक गति किसी पिंड की गति और समय का अनुपात है। किसी वृत्त में किसी पिंड की रैखिक गति ज्ञात करने के लिए, परिधि को अवधि से विभाजित करना आवश्यक है (परिधि 2 के बराबर है? त्रिज्या से गुणा)।

कोणीय वेग एक भौतिक मात्रा है जो वृत्त की त्रिज्या के घूर्णन कोण और गति के समय के अनुपात के बराबर होती है। कोणीय वेग को किस अक्षर से दर्शाया जाता है? और प्रति सेकंड विभाजित रेडियन में मापा जाता है। क्या आप कोणीय वेग को 2 से विभाजित करके ज्ञात कर सकते हैं? की अवधि के लिए। आपस में कोणीय वेग और रैखिक वेग। रैखिक गति ज्ञात करने के लिए कोणीय गति को वृत्त की त्रिज्या से गुणा करना आवश्यक है।

चित्र 6. वृत्ताकार गति, सूत्र।

पिछले पाठों में हमने कमोबेश सीखा कि रेक्टिलिनियर गति के साथ कैसे काम किया जाए, अर्थात् इस प्रकार की गति के लिए यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल किया जाए।

हालाँकि, यह स्पष्ट है कि वास्तविक दुनिया में हम अक्सर वक्रीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह की गति के उदाहरण हैं क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड का प्रक्षेप पथ, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति, और यहां तक ​​कि आपकी आंखों की गति का प्रक्षेप पथ, जो अब इस नोट का अनुसरण कर रहे हैं।

यह पाठ इस प्रश्न के प्रति समर्पित होगा कि वक्ररेखीय गति के मामले में यांत्रिकी की मुख्य समस्या को कैसे हल किया जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए यह निर्धारित करें कि रेक्टिलिनियर मूवमेंट के सापेक्ष वक्रीय मूवमेंट (चित्र 1) में क्या मूलभूत अंतर मौजूद हैं, और इन अंतरों के कारण क्या होता है।

चावल। 1. वक्ररेखीय गति का प्रक्षेपवक्र

आइए इस बारे में बात करें कि वक्रीय गति के दौरान किसी पिंड की गति का वर्णन करना कितना सुविधाजनक है।

गति को अलग-अलग खंडों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में गति को सीधा-रेखीय माना जा सकता है (चित्र 2)।

चावल। 2. वक्ररेखीय गति को अनुवादात्मक गतियों में विभाजित करना

हालाँकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। हम इस गति की कल्पना वृत्ताकार चापों के अनुदिश कई गतियों के संयोजन के रूप में करेंगे (चित्र 3 देखें)। कृपया ध्यान दें कि पिछले मामले की तुलना में ऐसे कम विभाजन हैं, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन घुमावदार है। इसके अलावा, वृत्ताकार गति के उदाहरण प्रकृति में बहुत आम हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वक्ररेखीय गति का वर्णन करने के लिए, आपको एक वृत्त में गति का वर्णन करना सीखना होगा, और फिर वृत्ताकार चापों के साथ गति के सेट के रूप में मनमानी गति का प्रतिनिधित्व करना होगा।

चावल। 3. वृत्ताकार चापों के अनुदिश गति में वक्ररेखीय गति का विभाजन

तो, आइए एक वृत्त में एकसमान गति का अध्ययन करके वक्ररेखीय गति का अध्ययन शुरू करें। आइए जानें कि वक्ररेखीय गति और सीधीरेखीय गति के बीच मूलभूत अंतर क्या हैं। आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि नौवीं कक्षा में हमने इस तथ्य का अध्ययन किया था कि एक वृत्त में घूमते समय किसी पिंड की गति प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा से निर्देशित होती है। वैसे, आप इस तथ्य को प्रयोगात्मक रूप से देख सकते हैं यदि आप देखें कि धार तेज करने वाले पत्थर का उपयोग करते समय चिंगारी कैसे चलती है।

आइए एक वृत्त में किसी पिंड की गति पर विचार करें (चित्र 4)।

चावल। 4. वृत्त में घूमते समय शरीर की गति

कृपया ध्यान दें कि इस मामले में, बिंदु A पर पिंड के वेग का मापांक बिंदु B पर पिंड के वेग के मापांक के बराबर है।

हालाँकि, एक वेक्टर एक वेक्टर के बराबर नहीं है। तो, हमारे पास एक वेग अंतर वेक्टर है (चित्र 5 देखें)।

चावल। 5. बिंदु A और B पर गति का अंतर.

इसके अलावा, गति में बदलाव कुछ समय बाद हुआ। तो हमें परिचित संयोजन मिलता है:

,

यह समय के साथ गति में परिवर्तन या किसी पिंड के त्वरण से अधिक कुछ नहीं है। एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

घुमावदार पथ पर गति तेज हो जाती है। इस त्वरण की प्रकृति वेग वेक्टर की दिशा में निरंतर परिवर्तन है।

आइए एक बार फिर ध्यान दें कि भले ही यह कहा जाए कि कोई पिंड एक वृत्त में समान रूप से चलता है, इसका मतलब यह है कि शरीर के वेग का मापांक नहीं बदलता है, लेकिन ऐसी गति हमेशा त्वरित होती है, क्योंकि गति की दिशा बदल जाती है।

नौवीं कक्षा में आपने पढ़ा कि यह त्वरण क्या है और इसे कैसे निर्देशित किया जाता है (चित्र 6 देखें)। अभिकेंद्रीय त्वरण सदैव वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है जिसके अनुदिश पिंड घूम रहा है।

चावल। 6.अभिकेन्द्रीय त्वरण

अभिकेन्द्रीय त्वरण के मापांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

आइए हम एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति के विवरण की ओर आगे बढ़ें। आइए सहमत हैं कि अनुवादात्मक गति का वर्णन करते समय आपने जिस गति का उपयोग किया था, उसे अब रैखिक गति कहा जाएगा। और रैखिक गति से हम घूमते हुए पिंड के प्रक्षेप पथ के बिंदु पर तात्कालिक गति को समझेंगे।

चावल। 7. डिस्क बिंदुओं का संचलन

एक डिस्क पर विचार करें जो निश्चितता के लिए दक्षिणावर्त घूमती है। इसकी त्रिज्या पर हम दो बिंदु A और B अंकित करते हैं और उनकी गति पर विचार करते हैं। समय के साथ, ये बिंदु गोलाकार चाप के साथ आगे बढ़ेंगे और बिंदु A' और B' बन जाएंगे। यह स्पष्ट है कि बिंदु A, बिंदु B से अधिक गति कर चुका है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु घूर्णन अक्ष से जितना दूर होगा, उसकी रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी।

हालाँकि, यदि आप बिंदु A और B को करीब से देखते हैं, तो आप कह सकते हैं कि कोण θ जिससे वे घूर्णन अक्ष के सापेक्ष घूमे, अपरिवर्तित रहा। यह कोणीय विशेषताएं हैं जिनका उपयोग हम एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए करेंगे। ध्यान दें कि किसी वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं कोनाविशेषताएँ। सबसे पहले, आइए हम कोणों के रेडियन माप की अवधारणा को याद करें।

1 रेडियन का कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

इस प्रकार, यह नोटिस करना आसान है कि, उदाहरण के लिए, कोण रेडियन के बराबर है। और, तदनुसार, आप डिग्री में दिए गए किसी भी कोण को से गुणा करके और विभाजित करके रेडियन में बदल सकते हैं। पर घूर्णन कोण घूर्णी गतिअनुवादात्मक गति के समान। ध्यान दें कि रेडियन एक आयामहीन मात्रा है:

इसलिए पदनाम "रेड" अक्सर छोड़ दिया जाता है।

आइए एक वृत्त में गति पर सबसे सरल मामले से विचार करना शुरू करें - एक वृत्त में एकसमान गति। आइए याद रखें कि एकसमान अनुवादात्मक गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर किसी भी समान अवधि में समान गति करता है। वैसे ही,

एकसमान वृत्ताकार गति एक ऐसी गति है जिसमें वस्तु समय के किसी भी समान अंतराल पर समान कोणों से घूमती है।

रैखिक वेग की अवधारणा के समान, कोणीय वेग की अवधारणा पेश की गई है।

कोणीय वेग एक भौतिक मात्रा है जो उस कोण के अनुपात के बराबर है जिसके माध्यम से शरीर घूम गया और उस समय के दौरान जब यह घूर्णन हुआ।

कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड या केवल पारस्परिक सेकंड में मापा जाता है।

आइए एक बिंदु के घूर्णन की कोणीय गति और इस बिंदु की रैखिक गति के बीच संबंध खोजें।

चावल। 9. कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध

बिंदु A, कोण φ से घूमते हुए, लंबाई S के एक चाप के माध्यम से घूमता है। किसी कोण की रेडियन माप की परिभाषा से हम इसे लिख सकते हैं

आइए समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उस समय की अवधि से विभाजित करें जिसके दौरान गति की गई थी, फिर कोणीय और रैखिक वेग की परिभाषा का उपयोग करें

.

कृपया ध्यान दें कि कोई बिंदु घूर्णन अक्ष से जितना दूर होगा, उसकी कोणीय और रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी। तथा घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदु स्वयं गतिहीन होते हैं। इसका एक उदाहरण हिंडोला है: आप हिंडोले के केंद्र के जितना करीब होंगे, आपके लिए उस पर बने रहना उतना ही आसान होगा।

आइए याद रखें कि पहले हमने आवर्त और घूर्णन की आवृत्ति की अवधारणाओं का परिचय दिया था।

घूर्णन अवधि एक पूर्ण क्रांति का समय है।रोटेशन अवधि को एक अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और एसआई प्रणाली में सेकंड में मापा जाता है:

घूर्णन आवृत्ति प्रति इकाई समय में क्रांतियों की संख्या है।आवृत्ति को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और पारस्परिक सेकंड में मापा जाता है:

वे संबंध से संबंधित हैं:

कोणीय वेग और पिंड के घूमने की आवृत्ति के बीच एक संबंध है। यदि हम याद रखें कि एक पूर्ण क्रांति बराबर होती है, तो यह देखना आसान है कि कोणीय वेग है:

इसके अलावा, अगर हम याद रखें कि हमने रेडियन की अवधारणा को कैसे परिभाषित किया है, तो यह स्पष्ट हो जाएगा कि किसी पिंड की रैखिक गति को कोणीय गति से कैसे जोड़ा जाए:

.

आइए हम अभिकेन्द्रीय त्वरण और इन मात्राओं के बीच संबंध भी लिखें:

.

इस प्रकार, हम एकसमान वृत्तीय गति की सभी विशेषताओं के बीच संबंध को जानते हैं।

आइए संक्षेप करें. इस पाठ में हमने वक्ररेखीय गति का वर्णन करना शुरू किया। हमने समझा कि हम वक्ररेखीय गति को वृत्ताकार गति से कैसे जोड़ सकते हैं। वृत्ताकार गति हमेशा त्वरित होती है, और त्वरण की उपस्थिति इस तथ्य को निर्धारित करती है कि गति हमेशा अपनी दिशा बदलती है। इस त्वरण को अभिकेन्द्रीय त्वरण कहते हैं। अंत में, हमें वृत्ताकार गति (रैखिक गति, कोणीय गति, अवधि और घूर्णन की आवृत्ति) की कुछ विशेषताओं को याद आया, और उनके बीच संबंध पाया।

ग्रंथ सूची:

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1. विश्वकोश ()।
2. Аyp.ru ()।
3. विकिपीडिया ()।

गृहकार्य:

इस पाठ की समस्याओं को हल करने के बाद, आप राज्य परीक्षा के प्रश्न 1 और एकीकृत राज्य परीक्षा के प्रश्न A1, A2 की तैयारी करने में सक्षम होंगे।

1. समस्याएँ 92, 94, 98, 106, 110 एसबी। समस्याएं ए. पी. रिमकेविच एड. 10 ()
2. घड़ी की मिनट, सेकंड और घंटे की सूइयों के कोणीय वेग की गणना करें। यदि प्रत्येक की त्रिज्या एक मीटर है तो इन तीरों की नोक पर अभिनय करने वाले अभिकेन्द्रीय त्वरण की गणना करें।
3. निम्नलिखित प्रश्नों और उनके उत्तरों पर विचार करें:

सवाल:क्या पृथ्वी की सतह पर ऐसे बिंदु हैं जिन पर पृथ्वी के दैनिक घूर्णन से जुड़ा कोणीय वेग शून्य है?

उत्तर:खाओ। ये बिंदु पृथ्वी के भौगोलिक ध्रुव हैं। इन बिंदुओं पर गति शून्य है क्योंकि इन बिंदुओं पर आप घूर्णन अक्ष पर होंगे।

किसी पिंड की वक्ररेखीय गति पर विचार करने पर हम देखेंगे कि अलग-अलग क्षणों में इसकी गति अलग-अलग होती है। यहां तक ​​कि ऐसे मामले में जहां वेग का परिमाण नहीं बदलता है, फिर भी वेग की दिशा में परिवर्तन होता है। में सामान्य मामलावेग का परिमाण और दिशा दोनों बदल जाते हैं।

इस प्रकार, वक्ररेखीय गति के दौरान गति लगातार बदलती रहती है, जिससे यह गति त्वरण के साथ होती है। इस त्वरण (परिमाण और दिशा में) को निर्धारित करने के लिए, गति में परिवर्तन को एक वेक्टर के रूप में खोजना आवश्यक है, अर्थात, वेग के परिमाण में वृद्धि और उसकी दिशा में परिवर्तन का पता लगाना आवश्यक है।

चावल। 49. घुमावदार गति के दौरान गति में परिवर्तन

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक बिंदु, वक्ररेखीय रूप से घूम रहा है (चित्र 49), किसी क्षण में एक गति है, और थोड़े समय के बाद - एक गति है। गति वृद्धि वेक्टर और के बीच का अंतर है। चूँकि इन सदिशों की दिशाएँ अलग-अलग हैं, इसलिए आपको उनका सदिश अंतर लेना होगा। गति वृद्धि को विकर्ण और दूसरे पक्ष के साथ समांतर चतुर्भुज के किनारे द्वारा दर्शाए गए वेक्टर द्वारा व्यक्त किया जाएगा। त्वरण गति में वृद्धि और उस समयावधि का अनुपात है जिसके दौरान यह वृद्धि हुई। इसका अर्थ है त्वरण

दिशा वेक्टर से मेल खाती है.

पर्याप्त रूप से छोटा चुनने पर, हम तात्कालिक त्वरण की अवधारणा पर पहुंचते हैं (सीएफ. § 16); जब मनमाना, वेक्टर समय की अवधि में औसत त्वरण का प्रतिनिधित्व करेगा।

वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण की दिशा वेग की दिशा से मेल नहीं खाती है, जबकि सीधीरेखीय गति के लिए ये दिशाएँ मेल खाती हैं (या विपरीत हैं)। वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण की दिशा जानने के लिए, प्रक्षेप पथ के दो करीबी बिंदुओं पर वेगों की दिशाओं की तुलना करना पर्याप्त है। चूँकि वेग प्रक्षेप पथ के स्पर्शरेखा से निर्देशित होते हैं, तो प्रक्षेप पथ के आकार से ही कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि प्रक्षेप पथ से किस दिशा में त्वरण निर्देशित है। दरअसल, चूंकि प्रक्षेप पथ के दो करीबी बिंदुओं पर गति में अंतर हमेशा उस दिशा में निर्देशित होता है जहां प्रक्षेप पथ घुमावदार होता है, इसका मतलब है कि त्वरण हमेशा प्रक्षेप पथ की समतलता की ओर निर्देशित होता है। उदाहरण के लिए, जब एक गेंद एक घुमावदार ढलान के साथ लुढ़कती है (चित्र 50), तो इसका त्वरण खंडों में होता है और इसे तीरों द्वारा दिखाए गए अनुसार निर्देशित किया जाता है, और यह इस पर निर्भर नहीं करता है कि गेंद एक दिशा से दूसरी दिशा में लुढ़कती है या विपरीत दिशा में।

चावल। 50. वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण हमेशा प्रक्षेपवक्र की समतलता की ओर निर्देशित होते हैं

चावल। 51. अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र प्राप्त करना

आइए हम एक वक्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की एकसमान गति पर विचार करें। हम पहले से ही जानते हैं कि यह एक त्वरित आंदोलन है। आइए त्वरण ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, एक वृत्त में एकसमान गति के विशेष मामले के लिए त्वरण पर विचार करना पर्याप्त है। आइए दो करीबी स्थितियों और एक गतिमान बिंदु को लें, जो थोड़े समय के अंतर से अलग हो (चित्र 51, ए)। किसी गतिमान बिंदु के वेग परिमाण में समान होते हैं, लेकिन दिशा में भिन्न होते हैं। आइए त्रिभुज नियम (चित्र 51, बी) का उपयोग करके इन गतियों के बीच अंतर खोजें। त्रिभुज और समरूप होते हैं, समान शीर्ष कोणों वाले समद्विबाहु त्रिभुज की तरह। समय की अवधि में गति में वृद्धि को दर्शाने वाली भुजा की लंबाई को बराबर सेट किया जा सकता है, जहां वांछित त्वरण का मापांक है। इसके समान पक्ष चाप की जीवा है; चाप के छोटे होने के कारण इसकी जीवा की लंबाई चाप की लंबाई के लगभग बराबर हो सकती है, अर्थात। . आगे, ; , प्रक्षेप पथ की त्रिज्या कहां है. त्रिभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि उनमें समान भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:

जहाँ से हम वांछित त्वरण का मापांक पाते हैं:

त्वरण की दिशा जीवा के लंबवत् होती है। पर्याप्त रूप से कम समय अंतराल के लिए, हम यह मान सकते हैं कि चाप की स्पर्श रेखा व्यावहारिक रूप से उसकी जीवा से मेल खाती है। इसका मतलब यह है कि त्वरण को प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के लंबवत (सामान्य रूप से) निर्देशित माना जा सकता है, अर्थात, वृत्त के केंद्र की त्रिज्या के साथ। इसलिए, ऐसे त्वरण को सामान्य या अभिकेन्द्रीय त्वरण कहा जाता है।

यदि प्रक्षेपवक्र एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक मनमानी घुमावदार रेखा है, तो सूत्र (27.1) में किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के निकटतम वृत्त की त्रिज्या लेनी चाहिए। इस मामले में सामान्य त्वरण की दिशा भी किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की स्पर्शरेखा के लंबवत होगी। यदि वक्रीय गति के दौरान त्वरण परिमाण और दिशा में स्थिर है, तो इसे उस समय की अवधि के लिए गति में वृद्धि के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है जिसके दौरान यह वृद्धि हुई, समय की यह अवधि जो भी हो। इसका मतलब यह है कि इस मामले में त्वरण सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

स्थिर त्वरण के साथ सीधीरेखीय गति के लिए सूत्र (17.1) के समान। यहाँ शरीर की गति है आरंभिक क्षण, a समय के क्षण में गति है।

6. वक्ररेखीय गति. किसी पिंड का कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग और त्वरण। किसी पिंड की वक्ररेखीय गति के दौरान पथ और विस्थापन।

वक्ररेखीय गति– यह एक गति है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है (उदाहरण के लिए, एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय)। वक्ररेखीय गति का एक उदाहरण ग्रहों की गति, डायल के साथ घड़ी की सुई का अंत आदि है। सामान्य रूप में वक्ररेखीय गतिपरिमाण और दिशा में परिवर्तन।

किसी भौतिक बिंदु की वक्ररेखीय गतियदि मॉड्यूल को एकसमान गति माना जाता है रफ़्तार स्थिरांक (उदाहरण के लिए, एक वृत्त में एक समान गति), और यदि मॉड्यूल और दिशा समान रूप से त्वरित हो रफ़्तार परिवर्तन (उदाहरण के लिए, क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति)।

चावल। 1.19. वक्रीय गति के दौरान गति का प्रक्षेपवक्र और वेक्टर।

घुमावदार रास्ते पर चलते समय विस्थापन वेक्टर जीवा के अनुदिश निर्देशित (चित्र 1.19), और एल- लंबाई ट्रेजेकटोरीज़ . पिंड की तात्कालिक गति (अर्थात्, प्रक्षेप पथ के किसी दिए गए बिंदु पर पिंड की गति) प्रक्षेप पथ के उस बिंदु पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है जहां गतिमान पिंड वर्तमान में स्थित है (चित्र 1.20)।

चावल। 1.20. घुमावदार गति के दौरान तात्कालिक गति.

वक्ररेखीय गति सदैव त्वरित गति होती है। वह है घुमावदार गति के दौरान त्वरणहमेशा मौजूद रहता है, भले ही गति मॉड्यूल नहीं बदलता है, लेकिन केवल गति की दिशा बदलती है। प्रति इकाई समय में गति में परिवर्तन होता है स्पर्शरेखीय त्वरण :

या

कहाँ वी τ ,वी 0 – समय के क्षण में वेग मान टी 0 +Δtऔर टी 0 क्रमश।

स्पर्शरेखीय त्वरण प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर, दिशा शरीर की गति की गति की दिशा से मेल खाती है या इसके विपरीत है।

सामान्य त्वरण प्रति इकाई समय दिशा में गति में परिवर्तन है:

सामान्य त्वरणप्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या के अनुदिश (घूर्णन अक्ष की ओर) निर्देशित। सामान्य त्वरण वेग की दिशा के लंबवत होता है।

केन्द्राभिमुख त्वरण- किसी वृत्त में एकसमान गति के दौरान यह सामान्य त्वरण है।

किसी पिंड की एकसमान वक्ररेखीय गति के दौरान कुल त्वरणबराबर:

घुमावदार पथ पर किसी पिंड की गति को लगभग कुछ वृत्तों के चापों के अनुदिश गति के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 1.21)।

चावल। 1.21. वक्ररेखीय गति के दौरान शरीर की गति।

वक्ररेखीय गति

वक्ररेखीय गतियाँ- ऐसे आंदोलन जिनके प्रक्षेप पथ सीधे नहीं, बल्कि घुमावदार रेखाएं हैं। ग्रह और नदी का पानी वक्ररेखीय प्रक्षेप पथ पर चलते हैं।

वक्ररेखीय गति सदैव त्वरण के साथ गति होती है, भले ही वेग का निरपेक्ष मान स्थिर हो। स्थिर त्वरण के साथ वक्ररेखीय गति हमेशा उस तल में होती है जिसमें त्वरण सदिश और बिंदु के प्रारंभिक वेग स्थित होते हैं। समतल में स्थिर त्वरण के साथ वक्ररेखीय गति के मामले में xOyअनुमान वी एक्सऔर वी यअक्ष पर इसकी गति बैलऔर ओएऔर समन्वय करता है एक्सऔर यकिसी भी समय अंक टीसूत्रों द्वारा निर्धारित

वक्ररेखीय गति का एक विशेष मामला गोलाकार गति है। वृत्ताकार गति, यहां तक ​​कि एकसमान, हमेशा त्वरित गति होती है: वेग मॉड्यूल हमेशा प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है, लगातार दिशा बदलता रहता है, इसलिए वृत्ताकार गति हमेशा अभिकेन्द्रीय त्वरण के साथ होती है जहां आर– वृत्त की त्रिज्या.

किसी वृत्त में घूमते समय त्वरण वेक्टर वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और वेग वेक्टर के लंबवत होता है।

वक्रीय गति में, त्वरण को सामान्य और स्पर्शरेखीय घटकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरण प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होता है और दिशा में गति में परिवर्तन को दर्शाता है:

वी -तात्कालिक गति मान, आर- किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है और गति मापांक में परिवर्तन को दर्शाता है।

कुल त्वरण जिसके साथ एक भौतिक बिंदु चलता है बराबर है:

अभिकेन्द्रीय त्वरण के अलावा, एकसमान वृत्तीय गति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएँ परिक्रमण की अवधि और आवृत्ति हैं।

संचलन अवधि- यह वह समय है जब शरीर को एक चक्कर पूरा करने में लगता है .

अवधि पत्र द्वारा दर्शायी गयी है टी(सी) और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ टी-परिसंचरण समय, पी- इस दौरान पूरी की गई क्रांतियों की संख्या।

आवृत्ति- यह संख्यात्मक रूप से समय की प्रति इकाई पूरी की गई क्रांतियों की संख्या के बराबर मात्रा है।

आवृत्ति को ग्रीक अक्षर (nu) द्वारा दर्शाया जाता है और इसे सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

आवृत्ति को 1/s में मापा जाता है।

अवधि और आवृत्ति परस्पर प्रतिलोम मात्राएँ हैं:

यदि कोई वस्तु एक वृत्त में तेजी से घूमती है वी,एक चक्कर लगाता है, तो गति को गुणा करके इस पिंड द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात की जा सकती है वीएक क्रांति के समय के लिए:

एल = वीटी.दूसरी ओर, यह पथ वृत्त की परिधि 2π के बराबर है आर. इसीलिए

वीटी = 2π आर,

कहाँ डब्ल्यू(एस -1) - कोणीय वेग।

एक स्थिर घूर्णन आवृत्ति पर, अभिकेन्द्रीय त्वरण गतिमान कण से घूर्णन के केंद्र तक की दूरी के सीधे आनुपातिक होता है।

कोणीय वेग (डब्ल्यू) - उस त्रिज्या के घूर्णन कोण के अनुपात के बराबर मूल्य जिस पर घूर्णन बिंदु स्थित है और उस समय की अवधि जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ:

.

रैखिक और कोणीय गति के बीच संबंध:

किसी पिंड की गति तभी ज्ञात मानी जा सकती है जब यह ज्ञात हो कि उसका प्रत्येक बिंदु किस प्रकार गति करता है। ठोस पिंडों की सबसे सरल गति अनुवादात्मक होती है। प्रगतिशीलआंदोलन कहा जाता है ठोस, जिसमें इस पिंड में खींची गई कोई भी सीधी रेखा स्वयं के समानांतर चलती है।