आप अच्छी तरह से जानते हैं कि प्रक्षेप पथ के आकार के आधार पर गति को विभाजित किया जाता है सीधाऔर वक्रीय. पिछले पाठों में हमने सीखा कि सीधीरेखीय गति के साथ कैसे काम किया जाए, अर्थात् इस प्रकार की गति के लिए यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल किया जाए।

हालाँकि, यह स्पष्ट है कि वास्तविक दुनिया में हम अक्सर वक्रीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह की गति के उदाहरण हैं क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड का प्रक्षेप पथ, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति, और यहां तक ​​कि आपकी आंखों की गति का प्रक्षेप पथ, जो अब इस नोट का अनुसरण कर रहे हैं।

यह पाठ इस प्रश्न के प्रति समर्पित होगा कि वक्रीय गति के मामले में यांत्रिकी की मुख्य समस्या को कैसे हल किया जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए यह निर्धारित करें कि रेक्टिलिनियर मूवमेंट के सापेक्ष वक्रीय मूवमेंट (चित्र 1) में क्या मूलभूत अंतर मौजूद हैं और इन अंतरों के कारण क्या होता है।

चावल। 1. वक्ररेखीय गति का प्रक्षेपवक्र

आइए इस बारे में बात करें कि वक्रीय गति के दौरान किसी पिंड की गति का वर्णन करना कितना सुविधाजनक है।

गति को अलग-अलग खंडों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में गति को सीधा-रेखीय माना जा सकता है (चित्र 2)।

चावल। 2. वक्ररेखीय गति को खंडों में विभाजित करना सीधीरेखीय गति

हालाँकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। हम इस गति की कल्पना वृत्ताकार चापों के अनुदिश कई गतियों के संयोजन के रूप में करेंगे (चित्र 3)। कृपया ध्यान दें कि पिछले मामले की तुलना में ऐसे कम विभाजन हैं, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन घुमावदार है। इसके अलावा, एक वृत्त में गति के उदाहरण प्रकृति में बहुत आम हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वक्ररेखीय गति का वर्णन करने के लिए, आपको एक वृत्त में गति का वर्णन करना सीखना होगा, और फिर वृत्ताकार चापों के साथ गति के सेट के रूप में मनमानी गति का प्रतिनिधित्व करना होगा।

चावल। 3. वृत्ताकार चापों के अनुदिश गति में वक्ररेखीय गति का विभाजन

तो, आइए एक वृत्त में एकसमान गति का अध्ययन करके वक्ररेखीय गति का अध्ययन शुरू करें। आइए जानें कि वक्ररेखीय गति और सीधीरेखीय गति के बीच मूलभूत अंतर क्या हैं। आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि नौवीं कक्षा में हमने इस तथ्य का अध्ययन किया था कि एक वृत्त में घूमते समय किसी पिंड की गति प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर निर्देशित होती है (चित्र 4)। वैसे, आप इस तथ्य को प्रयोगात्मक रूप से देख सकते हैं यदि आप देखें कि धारदार पत्थर का उपयोग करते समय चिंगारी कैसे चलती है।

आइए एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश किसी पिंड की गति पर विचार करें (चित्र 5)।

चावल। 5. वृत्त में घूमते समय शरीर की गति

कृपया ध्यान दें कि इसमें इस मामले मेंकिसी बिंदु पर पिंड के वेग का मापांक उस बिंदु पर पिंड के वेग के मापांक के बराबर होता है:

हालाँकि, एक वेक्टर एक वेक्टर के बराबर नहीं है। तो, हमारे पास एक वेग अंतर वेक्टर है (चित्र 6):

चावल। 6. वेग अंतर वेक्टर

इसके अलावा, गति में बदलाव कुछ समय बाद हुआ। तो हमें परिचित संयोजन मिलता है:

यह समय के साथ गति में बदलाव या किसी पिंड के त्वरण से अधिक कुछ नहीं है। एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

घुमावदार पथ पर गति तेज हो जाती है। इस त्वरण की प्रकृति वेग वेक्टर की दिशा में निरंतर परिवर्तन है।

आइए एक बार फिर से ध्यान दें कि, भले ही यह कहा जाए कि शरीर एक चक्र में समान रूप से चलता है, इसका मतलब यह है कि शरीर के वेग का मापांक नहीं बदलता है। हालाँकि, इस तरह की गति हमेशा तेज होती है, क्योंकि गति की दिशा बदल जाती है।

नौवीं कक्षा में आपने अध्ययन किया कि यह त्वरण किसके बराबर होता है और इसे कैसे निर्देशित किया जाता है (चित्र 7)। अभिकेंद्रीय त्वरण सदैव वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है जिसके अनुदिश पिंड घूम रहा है।

चावल। 7. अभिकेन्द्रीय त्वरण

अभिकेन्द्रीय त्वरण के मॉड्यूल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए हम एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति के विवरण की ओर आगे बढ़ें। चलिए इस बात पर सहमत हैं कि अनुवादात्मक गति के वर्णन के दौरान आपने जो गति का उपयोग किया था, उसे अब कहा जाएगा रैखिक गति. और रैखिक गति से हम घूमते हुए पिंड के प्रक्षेप पथ के बिंदु पर तात्कालिक गति को समझेंगे।

चावल। 8. डिस्क बिंदुओं का संचलन

एक डिस्क पर विचार करें जो निश्चितता के लिए दक्षिणावर्त घूमती है। इसकी त्रिज्या पर हम दो बिंदु अंकित करते हैं और (चित्र 8)। आइए उनके आंदोलन पर विचार करें. समय के साथ, ये बिंदु वृत्त के चाप के साथ आगे बढ़ेंगे और बिंदु बन जाएंगे। जाहिर है बात बात से ज्यादा आगे बढ़ गई है. इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोई बिंदु घूर्णन अक्ष से जितना दूर होगा, उसकी रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी

हालाँकि, यदि आप बिंदुओं को करीब से देखें, तो हम कह सकते हैं कि जिस कोण से वे घूर्णन अक्ष के सापेक्ष घूमे, वह अपरिवर्तित रहा। यह कोणीय विशेषताएँ हैं जिनका उपयोग हम एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए करेंगे। ध्यान दें कि वृत्ताकार गति का वर्णन करने के लिए हम इसका उपयोग कर सकते हैं कोनाविशेषताएँ।

आइए एक वृत्त में गति पर सबसे सरल मामले से विचार करना शुरू करें - एक वृत्त में एकसमान गति। आइए याद रखें कि एकसमान अनुवादात्मक गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर किसी भी समान अवधि में समान गति करता है। सादृश्य द्वारा, हम एक वृत्त में एकसमान गति की परिभाषा दे सकते हैं।

एकसमान वृत्ताकार गति एक ऐसी गति है जिसमें वस्तु समय के किसी भी समान अंतराल पर समान कोणों से घूमती है।

रैखिक वेग की अवधारणा के समान, कोणीय वेग की अवधारणा पेश की गई है।

एकसमान गति का कोणीय वेग (बुलाया भौतिक मात्रा, उस कोण के अनुपात के बराबर जिसके माध्यम से शरीर घूम गया और उस समय के दौरान जिसके दौरान यह घुमाव हुआ।

भौतिकी में, कोण के रेडियन माप का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोण b रेडियन के बराबर है। कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है:

आइए एक बिंदु के घूर्णन की कोणीय गति और इस बिंदु की रैखिक गति के बीच संबंध खोजें।

चावल। 9. कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध

घूमते समय, एक बिंदु एक कोण पर घूमते हुए लंबाई के चाप से गुजरता है। किसी कोण की रेडियन माप की परिभाषा से हम लिख सकते हैं:

आइए समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को उस समय की अवधि से विभाजित करें जिसके दौरान गति की गई थी, फिर कोणीय और रैखिक वेगों की परिभाषा का उपयोग करें:

कृपया ध्यान दें कि कोई बिंदु घूर्णन अक्ष से जितना दूर होगा, उसकी रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी। तथा घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदु स्वयं गतिहीन होते हैं। इसका एक उदाहरण हिंडोला है: आप हिंडोले के केंद्र के जितना करीब होंगे, आपके लिए उस पर बने रहना उतना ही आसान होगा।

रैखिक और कोणीय वेगों की इस निर्भरता का उपयोग भूस्थैतिक उपग्रहों (उपग्रह जो हमेशा पृथ्वी की सतह पर एक ही बिंदु से ऊपर स्थित होते हैं) में किया जाता है। ऐसे उपग्रहों की बदौलत हम टेलीविजन सिग्नल प्राप्त करने में सक्षम हैं।

आइए याद रखें कि पहले हमने आवर्त और घूर्णन की आवृत्ति की अवधारणाओं का परिचय दिया था।

घूर्णन अवधि एक पूर्ण क्रांति का समय है।घूर्णन अवधि को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और SI सेकंड में मापा जाता है:

घूर्णन आवृत्ति एक भौतिक मात्रा है जो किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में किए गए चक्करों की संख्या के बराबर होती है।

आवृत्ति को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और पारस्परिक सेकंड में मापा जाता है:

वे संबंध से संबंधित हैं:

कोणीय वेग और पिंड के घूमने की आवृत्ति के बीच एक संबंध है। यदि हम याद रखें कि एक पूर्ण क्रांति बराबर होती है, तो यह देखना आसान है कि कोणीय वेग है:

इन अभिव्यक्तियों को कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध में प्रतिस्थापित करके, हम अवधि या आवृत्ति पर रैखिक गति की निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं:

आइए हम अभिकेन्द्रीय त्वरण और इन मात्राओं के बीच संबंध भी लिखें:

इस प्रकार, हम एकसमान वृत्तीय गति की सभी विशेषताओं के बीच संबंध को जानते हैं।

आइए संक्षेप करें. इस पाठ में हमने वक्ररेखीय गति का वर्णन करना शुरू किया। हमने समझा कि हम वक्ररेखीय गति को वृत्ताकार गति से कैसे जोड़ सकते हैं। वृत्ताकार गति हमेशा त्वरित होती है, और त्वरण की उपस्थिति इस तथ्य को निर्धारित करती है कि गति हमेशा अपनी दिशा बदलती है। इस त्वरण को अभिकेन्द्रीय त्वरण कहते हैं। अंत में, हमने वृत्ताकार गति की कुछ विशेषताओं (रैखिक गति, कोणीय गति, अवधि और घूर्णन की आवृत्ति) को याद किया और उनके बीच संबंध पाया।

ग्रन्थसूची

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गृहकार्य

इस पाठ की समस्याओं को हल करने के बाद, आप राज्य परीक्षा के प्रश्न 1 और एकीकृत राज्य परीक्षा के प्रश्न A1, A2 की तैयारी करने में सक्षम होंगे।

1. समस्याएँ 92, 94, 98, 106, 110 - शनि। समस्याएं ए.पी. रिमकेविच, एड. 10
2. घड़ी की मिनट, सेकंड और घंटे की सूइयों के कोणीय वेग की गणना करें। यदि इनमें से प्रत्येक की त्रिज्या एक मीटर है तो इन तीरों की नोकों पर लगने वाले अभिकेन्द्रीय त्वरण की गणना करें।

हम जानते हैं कि सीधी रेखा गति के दौरान, वेग वेक्टर की दिशा हमेशा गति की दिशा से मेल खाती है। वक्र गति के दौरान गति की दिशा और विस्थापन के बारे में क्या कहा जा सकता है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम उसी तकनीक का उपयोग करेंगे जिसका उपयोग हमने पिछले अध्याय में रेक्टिलिनियर गति की तात्कालिक गति का अध्ययन करते समय किया था।

चित्र 56 एक निश्चित घुमावदार प्रक्षेपवक्र दिखाता है। आइए मान लें कि एक पिंड इसके अनुदिश बिंदु A से बिंदु B तक गति करता है।

इस मामले में, शरीर द्वारा तय किया गया पथ एक चाप ए बी है, और इसका विस्थापन एक वेक्टर है, हम यह नहीं मान सकते हैं कि आंदोलन के दौरान शरीर की गति विस्थापन वेक्टर के साथ निर्देशित होती है। आइए हम बिंदु ए और बी (चित्र 57) के बीच तारों की एक श्रृंखला बनाएं और कल्पना करें कि शरीर की गति ठीक इन तारों के साथ होती है। उनमें से प्रत्येक पर शरीर सीधा चलता है और वेग वेक्टर को जीवा के साथ निर्देशित किया जाता है।

आइए अब हम अपने सीधे खंडों (जीवाओं) को छोटा करें (चित्र 58)। पहले की तरह, उनमें से प्रत्येक पर वेग वेक्टर को जीवा के अनुदिश निर्देशित किया जाता है। लेकिन यह स्पष्ट है कि चित्र 58 में टूटी हुई रेखा पहले से ही एक चिकने वक्र के समान है।

इसलिए, यह स्पष्ट है कि सीधे खंडों की लंबाई कम करना जारी रखते हुए, हम उन्हें बिंदुओं में खींच लेंगे और टूटी हुई रेखा एक चिकने वक्र में बदल जाएगी। इस वक्र के प्रत्येक बिंदु पर गति इस बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होगी (चित्र 59)।

वक्रीय प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर किसी पिंड की गति की गति उस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है।

तथ्य यह है कि वक्रीय गति के दौरान एक बिंदु की गति वास्तव में एक स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित होती है, उदाहरण के लिए, गोचनला के संचालन के अवलोकन से आश्वस्त होता है (चित्र 60)। यदि आप स्टील की छड़ के सिरों को घूमते हुए ग्राइंडस्टोन पर दबाते हैं, तो पत्थर से निकलने वाले गर्म कण चिंगारी के रूप में दिखाई देंगे। ये कण जिस गति से उड़ते हैं

पत्थर से अलग होने के क्षण में उनके पास था। यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि चिंगारी की दिशा हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है जहां छड़ी पत्थर को छूती है। फिसलती हुई कार के पहियों से निकलने वाले छींटे भी स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ते हैं (चित्र 61)।

इस प्रकार, वक्रीय प्रक्षेपवक्र के विभिन्न बिंदुओं पर किसी पिंड के तात्कालिक वेग की अलग-अलग दिशाएँ होती हैं, जैसा कि चित्र 62 में दिखाया गया है। वेग का परिमाण प्रक्षेपवक्र के सभी बिंदुओं पर समान हो सकता है (चित्र 62 देखें) या अलग-अलग बिंदुओं पर भिन्न हो सकता है। बिंदु, समय में एक क्षण से दूसरे तक (चित्र 63)।

प्रक्षेपवक्र के आकार के आधार पर, गति को सीधा और घुमावदार में विभाजित किया गया है। वास्तविक दुनिया में, हम अक्सर वक्ररेखीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह की गति के उदाहरण हैं क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड का प्रक्षेप पथ, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति, ग्रहों की गति, डायल पर घड़ी की सुई का अंत आदि।

चित्र 1. घुमावदार गति के दौरान प्रक्षेपवक्र और विस्थापन

परिभाषा

वक्ररेखीय गति एक ऐसी गति है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है (उदाहरण के लिए, एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय)। एक घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ चलते समय, विस्थापन वेक्टर $\overrightarrow(s)$ को जीवा के साथ निर्देशित किया जाता है (छवि 1), और एल प्रक्षेपवक्र की लंबाई है। शरीर की तात्कालिक गति (अर्थात, प्रक्षेप पथ के किसी दिए गए बिंदु पर शरीर की गति) प्रक्षेप पथ के उस बिंदु पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है जहां पर इस पलएक गतिशील पिंड है (चित्र 2)।

चित्र 2. घुमावदार गति के दौरान तात्कालिक गति

हालाँकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। इस गति को वृत्ताकार चापों के साथ कई गतियों के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 4 देखें)। पिछले मामले की तुलना में इस तरह के विभाजन कम होंगे; इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन स्वयं घुमावदार है।

चित्र 4. वृत्ताकार चापों के अनुदिश गति में वक्ररेखीय गति का टूटना

निष्कर्ष

वक्ररेखीय गति का वर्णन करने के लिए, आपको एक वृत्त में गति का वर्णन करना सीखना होगा, और फिर वृत्ताकार चापों के साथ गति के सेट के रूप में मनमानी गति का प्रतिनिधित्व करना होगा।

किसी भौतिक बिंदु की वक्ररेखीय गति का अध्ययन करने का कार्य एक गतिज समीकरण संकलित करना है जो इस गति का वर्णन करता है और दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर, इस गति की सभी विशेषताओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

हम जानते हैं कि कोई भी वक्रीय गति गति के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में होती है। किसी वृत्त के चारों ओर एकसमान गति की स्थिति में यह कोण समकोण होगा। वास्तव में, उदाहरण के लिए, यदि आप एक गेंद को रस्सी से बांधकर घुमाते हैं, तो किसी भी समय गेंद की गति की दिशा रस्सी के लंबवत होती है।

रस्सी का तनाव बल, जो गेंद को वृत्त पर रखता है, रस्सी के साथ-साथ घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, यह बल शरीर को उसी दिशा में गति करने का कारण बनेगा। घूर्णन के केंद्र की ओर रेडियल रूप से निर्देशित त्वरण कहलाता है केन्द्राभिमुख त्वरण .

आइए हम अभिकेन्द्रीय त्वरण का परिमाण निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

सबसे पहले, ध्यान दें कि वृत्ताकार गति एक जटिल गति है। अभिकेन्द्रीय बल के प्रभाव में, पिंड घूर्णन के केंद्र की ओर बढ़ता है और साथ ही, जड़ता द्वारा, इस केंद्र से स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ता है।

मान लीजिए कि समय t के दौरान एक पिंड, गति v के साथ समान रूप से चलते हुए, D से E की ओर चला गया है। आइए मान लें कि जिस समय शरीर बिंदु D पर था, अभिकेन्द्रीय बल उस पर कार्य करना बंद कर देगा। फिर समय t में यह स्पर्श रेखा DL पर स्थित बिंदु K पर पहुँच जाएगी। मैं फ़िन आरंभिक क्षणपिंड केवल एक अभिकेन्द्रीय बल (जड़ता से गतिमान नहीं) के प्रभाव में होगा, फिर समय t में, समान रूप से त्वरित गति से चलते हुए, यह सीधी रेखा DC पर स्थित बिंदु F पर चला जाएगा। समय t के साथ इन दो गतियों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, चाप DE के अनुदिश परिणामी गति प्राप्त होती है।

सेंट्ररपेटल फ़ोर्स

वह बल जो एक घूमते हुए पिंड को एक वृत्त पर रखता है और घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, कहलाता है सेंट्ररपेटल फ़ोर्स .

अभिकेन्द्रीय बल के परिमाण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो किसी भी वक्ररेखीय गति पर लागू होता है।

अभिकेन्द्रीय त्वरण का मान a = v 2 / R को सूत्र F = ma में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अभिकेन्द्रीय बल का सूत्र प्राप्त होता है:

एफ = एमवी 2 / आर

अभिकेन्द्रीय बल का परिमाण पिंड के द्रव्यमान गुणा रैखिक वेग के वर्ग को त्रिज्या से विभाजित करने के गुणनफल के बराबर होता है।.

यदि शरीर का कोणीय वेग दिया गया है, तो सूत्र का उपयोग करके अभिकेन्द्रीय बल की गणना करना अधिक सुविधाजनक है: F = m? 2 आर, कहाँ? 2 आर - अभिकेन्द्रीय त्वरण।

पहले सूत्र से यह स्पष्ट है कि समान गति से, वृत्त की त्रिज्या जितनी छोटी होगी, अभिकेन्द्रीय बल उतना ही अधिक होगा। इसलिए, सड़क के मोड़ पर, एक गतिशील वस्तु (ट्रेन, कार, साइकिल) को वक्र के केंद्र की ओर कार्य करना चाहिए, जितना अधिक बल होगा, मोड़ उतना ही तेज होगा, अर्थात, वक्र की त्रिज्या उतनी ही छोटी होगी।

अभिकेन्द्रीय बल रैखिक गति पर निर्भर करता है: जैसे-जैसे गति बढ़ती है, यह भी बढ़ता है। यह सभी स्केटर्स, स्कीयर और साइकिल चालकों को अच्छी तरह से पता है: आप जितनी तेज़ी से आगे बढ़ेंगे, मोड़ लेना उतना ही कठिन होगा। ड्राइवर अच्छी तरह जानते हैं कि तेज गति से कार को तेजी से मोड़ना कितना खतरनाक है।

रेखीय गति

केन्द्रापसारक तंत्र

क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति

आइए किसी पिंड को क्षितिज के एक कोण पर फेंकें। इसकी गति को देखते हुए, हम देखेंगे कि शरीर पहले ऊपर उठता है, एक वक्र के साथ चलते हुए, फिर एक वक्र के साथ नीचे भी गिरता है।

यदि आप पानी की एक धारा को क्षितिज के विभिन्न कोणों पर निर्देशित करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि सबसे पहले, जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, धारा आगे और आगे टकराती है। क्षितिज से 45° के कोण पर (यदि आप वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखते हैं), तो सीमा सबसे बड़ी होती है। जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, सीमा घटती जाती है।

क्षितिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड के प्रक्षेप पथ का निर्माण करने के लिए, हम एक क्षैतिज सीधी रेखा OA खींचते हैं और एक दिए गए कोण पर एक सीधी रेखा OS खींचते हैं।

चयनित पैमाने पर ओएस लाइन पर हम ऐसे खंड बनाते हैं जो संख्यात्मक रूप से फेंकने की दिशा (0-1, 1-2, 2-3, 3-4) में तय किए गए पथ के बराबर होते हैं। बिंदु 1, 2, 3, आदि से, हम OA पर लंबवत डालते हैं और उन पर खंड बनाते हैं जो संख्यात्मक रूप से 1 सेकंड (1-I), 2 सेकंड (2-II) के लिए स्वतंत्र रूप से गिरने वाले शरीर द्वारा तय किए गए पथ के बराबर होते हैं। ), 3 सेकंड (3-III), आदि। हम बिंदु 0, I, II, III, IV, आदि को एक चिकने वक्र से जोड़ते हैं।

पिंड का प्रक्षेपवक्र बिंदु IV से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के सापेक्ष सममित है।

वायु प्रतिरोध उड़ान सीमा और दोनों को कम कर देता है सबसे बड़ी ऊंचाईउड़ान, और प्रक्षेप पथ विषम हो जाता है। उदाहरण के लिए, ये गोले और गोलियों के प्रक्षेप पथ हैं। चित्र में, ठोस वक्र योजनाबद्ध रूप से हवा में एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र को दर्शाता है, और बिंदीदार वक्र वायुहीन अंतरिक्ष में दिखाता है। वायु प्रतिरोध से उड़ान सीमा में कितना परिवर्तन होता है, इसे निम्नलिखित उदाहरण से देखा जा सकता है। वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, क्षितिज से 20° के कोण पर दागा गया 76-मिमी तोप का गोला 24 किमी तक उड़ान भरेगा। हवा में यह प्रक्षेप्य लगभग 7 कि.मी. तक उड़ान भरता है।

न्यूटन का तीसरा नियम

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड की गति

आंदोलनों की स्वतंत्रता

कोई भी वक्रीय गति एक जटिल गति है जिसमें जड़ता द्वारा गति और शरीर की गति के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में गति शामिल होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में दिखाया जा सकता है।

आइए मान लें कि गेंद मेज के चारों ओर समान रूप से और सीधी रेखा में चलती है। जब गेंद मेज से लुढ़कती है, तो उसका वजन मेज के दबाव बल से संतुलित नहीं होता है और जड़ता द्वारा, एक समान और रैखिक गति बनाए रखते हुए, एक साथ गिरना शुरू हो जाता है। गतिविधियों के योग के परिणामस्वरूप - जड़ता द्वारा एकसमान सीधा और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में समान रूप से त्वरित - गेंद एक घुमावदार रेखा के साथ चलती है।

प्रयोगात्मक रूप से यह दिखाया जा सकता है कि ये गतियाँ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

चित्र में एक स्प्रिंग दिखाया गया है, जो हथौड़े के प्रहार के नीचे झुककर, एक गेंद को क्षैतिज दिशा में गति में सेट कर सकता है और साथ ही दूसरी गेंद को छोड़ सकता है, ताकि वे दोनों एक ही क्षण में चलना शुरू कर सकें : पहला वक्र के अनुदिश, दूसरा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर। दोनों गेंदें एक ही समय में फर्श पर गिरेंगी; इसलिए, दोनों गेंदों का गिरने का समय समान है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गेंद की गति इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि गेंद शुरुआती क्षण में आराम की स्थिति में थी या क्षैतिज दिशा में घूम रही थी।

यह प्रयोग यांत्रिकी में एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु को दर्शाता है, जिसे कहा जाता है आंदोलनों की स्वतंत्रता का सिद्धांत.

एक वृत्त के चारों ओर एकसमान गति

वक्रीय गति के सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकारों में से एक एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति है। उदाहरण के लिए, चक्के के हिस्से, पृथ्वी की सतह पर बिंदु पृथ्वी के दैनिक घूर्णन के दौरान एक वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, आदि।

आइए हम उन मात्राओं का परिचय दें जो इस आंदोलन की विशेषता बताती हैं। आइए ड्राइंग को देखें. मान लीजिए कि जब कोई पिंड घूमता है, तो समय t के दौरान उसका एक बिंदु A से B की ओर गति करता है। बिंदु A को वृत्त के केंद्र से जोड़ने वाली त्रिज्या एक कोण से घूमती है? (ग्रीक "फी")। किसी बिंदु के घूर्णन की गति को कोण अनुपात के परिमाण द्वारा दर्शाया जा सकता है? समय t के अनुसार, अर्थात ? /टी।

कोणीय वेग

गतिमान बिंदु को घूर्णन के केंद्र से जोड़ने वाली त्रिज्या के घूर्णन कोण का उस समयावधि से अनुपात, जिसके दौरान यह घूर्णन होता है, कहलाता है कोणीय वेग.

कोणीय वेग को ग्रीक अक्षर से निरूपित करें? ("ओमेगा"), आप लिख सकते हैं:

? = ? /टी

कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में घूर्णन के कोण के बराबर होता है।

एक वृत्त में एकसमान गति के साथ, कोणीय वेग एक स्थिर मात्रा है।

कोणीय वेग की गणना करते समय, घूर्णन का कोण आमतौर पर रेडियन में मापा जाता है। रेडियन एक केंद्रीय कोण है जिसकी चाप की लंबाई उस चाप की त्रिज्या के बराबर होती है।

गति के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत पिंडों की गति

सीधीरेखीय गति पर विचार करने पर यह ज्ञात हुआ कि यदि किसी पिंड पर गति की दिशा में कोई बल कार्य करता है तो पिंड की गति सीधीरेखीय ही रहेगी। सिर्फ गति बदलेगी. इसके अलावा, यदि बल की दिशा गति की दिशा से मेल खाती है, तो गति सीधी और त्वरित होगी। बल की विपरीत दिशा की स्थिति में गति सीधी और धीमी होगी। ये हैं, उदाहरण के लिए, ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर फेंके गए किसी पिंड की गति और ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर फेंके गए शरीर की गति।

आइए अब विचार करें कि वेग की दिशा के कोण पर निर्देशित बल के प्रभाव में कोई पिंड कैसे गति करेगा।

आइए पहले अनुभव देखें। आइए एक चुंबक के पास स्टील की गेंद की गति का एक प्रक्षेप पथ बनाएं। हमने तुरंत देखा कि चुंबक से दूर गेंद एक सीधी रेखा में चली गई, लेकिन चुंबक के पास आने पर, गेंद का प्रक्षेप पथ मुड़ गया और गेंद एक वक्र के साथ चली गई। उसकी गति की दिशा लगातार बदलती रहती थी. इसका कारण गेंद पर चुम्बक की क्रिया थी।

यदि हम एक सीधी रेखा में गतिमान वस्तु को धक्का देते हैं, उससे बंधे धागे को खींचते हैं, इत्यादि, तब तक हम एक सीधी रेखा में गतिमान पिंड को घुमा सकते हैं, जब तक कि बल को पिंड की गति की गति के कोण पर निर्देशित किया जाता है।

तो, किसी पिंड की वक्ररेखीय गति पिंड के वेग की दिशा के कोण पर निर्देशित बल की क्रिया के तहत होती है।

शरीर पर लगने वाले बल की दिशा और परिमाण के आधार पर, वक्रीय गतियाँ बहुत विविध हो सकती हैं। अधिकांश सरल प्रकारवक्ररेखीय गतियाँ एक वृत्त, परवलय और दीर्घवृत्त में होने वाली गतियाँ हैं।

अभिकेन्द्रीय बल की क्रिया के उदाहरण

कुछ मामलों में, अभिकेन्द्रीय बल एक वृत्त में घूम रहे किसी पिंड पर कार्य करने वाले दो बलों का परिणाम होता है।

आइए ऐसे कुछ उदाहरण देखें.

1. एक कार अवतल पुल पर v गति से चल रही है, कार का द्रव्यमान t है, और पुल की वक्रता त्रिज्या R है। पुल के निम्नतम बिंदु पर कार द्वारा लगाए गए दबाव का बल क्या है?

आइए सबसे पहले यह स्थापित करें कि कार पर कौन सी ताकतें कार्य करती हैं। ऐसे दो बल हैं: कार का वजन और कार पर पुल का दबाव बल। (हम इसमें और इसके बाद के सभी विजेताओं में घर्षण बल को विचार से बाहर रखते हैं)।

जब कार स्थिर होती है, तो ये बल, परिमाण में समान और विपरीत दिशाओं में निर्देशित होने के कारण, एक दूसरे को संतुलित करते हैं।

जब एक कार किसी पुल पर चलती है, तो, एक वृत्त में घूमने वाले किसी भी पिंड की तरह, उस पर एक अभिकेन्द्रीय बल कार्य करता है। इस शक्ति का स्रोत क्या है? इस बल का स्रोत केवल कार पर पुल की क्रिया ही हो सकती है। वह बल Q जिसके साथ पुल चलती कार पर दबाव डालता है, उसे न केवल कार P के वजन को संतुलित करना चाहिए, बल्कि उसे एक सर्कल में घूमने के लिए भी मजबूर करना चाहिए, जिसके लिए आवश्यक सेंट्रिपेटल बल F का निर्माण हो सकता है बल P और Q, क्योंकि यह एक गतिशील वाहन और एक पुल के बीच परस्पर क्रिया का परिणाम है।

एक बिंदु की गतिकी. पथ। चलती। गति और त्वरण. समन्वय अक्षों पर उनके प्रक्षेपण। तय की गई दूरी की गणना. औसत मान.

एक बिंदु की गतिकी- गतिकी की एक शाखा जो भौतिक बिंदुओं की गति के गणितीय विवरण का अध्ययन करती है। गतिकी का मुख्य कार्य इस गति के कारणों की पहचान किए बिना गणितीय उपकरण का उपयोग करके गति का वर्णन करना है।

पथ और गति.वह रेखा जिसके अनुदिश शरीर पर कोई बिंदु गति करता है, कहलाती है आंदोलन का प्रक्षेप पथ. पथ की लंबाई कहलाती है पथ यात्रा की. प्रक्षेप पथ के आरंभ और अंत बिंदुओं को जोड़ने वाले वेक्टर को कहा जाता है चलती। रफ़्तार- एक वेक्टर भौतिक मात्रा जो किसी पिंड की गति की गति को दर्शाती है, संख्यात्मक रूप से इस अंतराल के मूल्य के लिए एक छोटी अवधि में गति के अनुपात के बराबर होती है। यदि गति पर हो तो समयावधि काफी छोटी मानी जाती है असमान गतिइस अवधि के दौरान नहीं बदला. गति को परिभाषित करने का सूत्र v = s/t है। गति की इकाई m/s है। व्यवहार में, उपयोग की जाने वाली गति इकाई किमी/घंटा (36 किमी/घंटा = 10 मीटर/सेकेंड) है। स्पीड को स्पीडोमीटर से मापा जाता है.

त्वरण- वेक्टर भौतिक मात्रा जो गति में परिवर्तन की दर को दर्शाती है, संख्यात्मक रूप से उस समय की अवधि में गति में परिवर्तन के अनुपात के बराबर होती है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ। यदि संपूर्ण गति के दौरान गति समान रूप से बदलती है, तो त्वरण की गणना सूत्र a=Δv/Δt का उपयोग करके की जा सकती है। त्वरण इकाई - एम/एस 2

घुमावदार गति के दौरान गति और त्वरण. स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण.

वक्ररेखीय गतियाँ- ऐसे आंदोलन जिनके प्रक्षेप पथ सीधे नहीं, बल्कि घुमावदार रेखाएं हैं।

वक्ररेखीय गति- यह हमेशा त्वरण के साथ गति होती है, भले ही पूर्ण गति स्थिर हो। वक्ररेखीय गति के साथ निरंतर त्वरणहमेशा उस तल में होता है जिसमें त्वरण सदिश और बिंदु के प्रारंभिक वेग स्थित होते हैं। समतल में स्थिर त्वरण के साथ वक्ररेखीय गति के मामले में xOyअनुमान वी एक्सऔर वी वाईअक्ष पर इसकी गति बैलऔर ओएऔर समन्वय करता है एक्सऔर यकिसी भी समय अंक टीसूत्रों द्वारा निर्धारित

v x =v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2

वक्ररेखीय गति का एक विशेष मामला गोलाकार गति है। वृत्ताकार गति, यहां तक ​​कि एकसमान, हमेशा त्वरित गति होती है: वेग मॉड्यूल हमेशा प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है, लगातार दिशा बदलता रहता है, इसलिए वृत्ताकार गति हमेशा अभिकेन्द्रीय त्वरण के साथ होती है |a|=v 2 /r जहां आर– वृत्त की त्रिज्या.

किसी वृत्त में घूमते समय त्वरण वेक्टर वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और वेग वेक्टर के लंबवत होता है।

वक्रीय गति में, त्वरण को सामान्य और स्पर्शरेखीय घटकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरण प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होता है और दिशा में गति में परिवर्तन को दर्शाता है:

वी -तात्कालिक गति मान, आर- किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है और गति मापांक में परिवर्तन को दर्शाता है।

कुल त्वरण जिसके साथ एक भौतिक बिंदु चलता है बराबर है:

स्पर्शरेखीय त्वरणसंख्यात्मक मान द्वारा गति की गति में परिवर्तन की गति को दर्शाता है और प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है।

इस तरह

सामान्य त्वरणदिशा में गति में परिवर्तन की दर को दर्शाता है। आइए वेक्टर की गणना करें:

4.किनेमेटिक्स ठोस. एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना। कोणीय वेग और त्वरण. कोणीय और रैखिक वेग और त्वरण के बीच संबंध।

घूर्णी गति की गतिकी.

शरीर की गति या तो अनुवादात्मक या घूर्णी हो सकती है। इस मामले में, शरीर को कठोरता से जुड़े भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाता है।

स्थानांतरीय गति के दौरान, शरीर में खींची गई कोई भी सीधी रेखा स्वयं के समानांतर चलती है। प्रक्षेपवक्र के आकार के अनुसार, अनुवादात्मक गति सीधा या घुमावदार हो सकती है। स्थानांतरीय गति के दौरान, एक कठोर पिंड के सभी बिंदु समान समयावधि के दौरान परिमाण और दिशा में समान गति करते हैं। परिणामस्वरूप, किसी भी समय शरीर के सभी बिंदुओं के वेग और त्वरण भी समान होते हैं। अनुवादात्मक गति का वर्णन करने के लिए, एक बिंदु की गति निर्धारित करना पर्याप्त है।

घूर्णी गतिएक निश्चित अक्ष के चारों ओर कठोर शरीरऐसी गति कहलाती है जिसमें शरीर के सभी बिंदु वृत्तों में घूमते हैं, जिनके केंद्र एक ही सीधी रेखा (घूर्णन अक्ष) पर स्थित होते हैं।

घूर्णन की धुरी शरीर से होकर गुजर सकती है या उसके बाहर स्थित हो सकती है। यदि घूर्णन की धुरी पिंड से होकर गुजरती है, तो पिंड के घूमने पर अक्ष पर स्थित बिंदु स्थिर रहते हैं। घूर्णन अक्ष से अलग-अलग दूरी पर स्थित एक कठोर पिंड के बिंदु समान समयावधि में अलग-अलग दूरी तय करते हैं और इसलिए, उनके रैखिक वेग भी अलग-अलग होते हैं।

जब कोई पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो शरीर के बिंदु समान समयावधि में समान कोणीय गति से गुजरते हैं। मॉड्यूल समय में धुरी के चारों ओर शरीर के घूर्णन के कोण के बराबर है, शरीर के घूर्णन की दिशा के साथ कोणीय विस्थापन वेक्टर की दिशा पेंच नियम से जुड़ी हुई है: यदि आप पेंच के घूर्णन की दिशाओं को जोड़ते हैं शरीर के घूर्णन की दिशा के साथ, तो वेक्टर पेंच के अनुवादकीय आंदोलन के साथ मेल खाएगा। वेक्टर को घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया जाता है।

कोणीय विस्थापन में परिवर्तन की दर कोणीय वेग - ω द्वारा निर्धारित होती है। रैखिक गति के अनुरूप, अवधारणाएँ औसत और तात्कालिक कोणीय वेग:

कोणीय वेग- वेक्टर क्वांटिटी।

कोणीय वेग में परिवर्तन की दर की विशेषता है औसत और तात्कालिक

कोणीय त्वरण.

वेक्टर और वेक्टर के साथ मेल खा सकता है और इसके विपरीत हो सकता है