नोवोसिबिर्स्क राज्य वास्तुकला और निर्माण संस्थान
विश्वविद्यालय (सिबस्ट्रिन)
सैद्धांतिक यांत्रिकी पर व्याख्यान.
गतिकी
व्याख्यान 3.
ठोस की समतल गति
निकायों
सैद्धांतिक यांत्रिकी विभाग

व्याख्यान की रूपरेखा

परिचय।
समतल गति का नियम.
शरीर के बिंदुओं का वेग.
शरीर के बिंदुओं का त्वरण।
.
निष्कर्ष।

पिछले व्याख्यानों में

हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं:
-बिंदु की गतिकी
-आगे बढ़ना ठोस
-घूर्णी गतिठोस
आज के व्याख्यान का विषय:
किसी ठोस की समतल गति
शरीर
क्यू
हे
परिभाषा। समतल
इस आंदोलन को कहा जाता है
पी
कठोर शरीर जिसके लिए सभी एक्स
इसके बिंदु M(t) अंदर की ओर बढ़ते हैं
समतल Q समानांतर
कुछ तय
विमान पी.
एम
जैसा
य

व्याख्यान का उद्देश्य

समतल गति सीखें
ठोस

परिचय
उदाहरण:
-घूर्णी गति (विमान पी -
घूर्णन अक्ष के लंबवत)
- क्रूज़िंग मोड में विमान की आवाजाही
(विमान P पंखों के फैलाव के लंबवत है)
-सीधी सड़क पर कार के पहियों का चलना
(विमान पी - कार बॉडी के साथ)
-सपाट तंत्र का संचलन:
वीबी
वीए
सी
ए
बी
एन
एम
डी
इ

परिचय
क्यू
हे
पी
एम
जैसा
य
एक्स
कथन। सीधी रेखा AM के सभी बिंदु,
पी के लंबवत, उसी तरह आगे बढ़ें।
सबूत। क्योंकि शरीर ठोस है, तो AM=const;
क्योंकि P, Q के समानांतर है, तो खंड AM रहता है
पी के लंबवत. तो उसका आंदोलन
उत्तरोत्तर. इसलिए इसके सभी बिंदु
उसी तरह आगे बढ़ें.
निष्कर्ष: कार्य गति का अध्ययन करना है
समतल पी में अनुभाग एस.

य
आंदोलन सपाट आकृतिएस
ऑक्सी सिस्टम के सापेक्ष
पूरी तरह से निर्धारित किया जाएगा
ए
फिर
खंड AB का संचलन
हे
एक्सए (टी), वाई ए (टी)
बी
φ
एक्सए
- पोल ए की गति निर्धारित करें।
t - ध्रुव A के चारों ओर AB के घूर्णन को परिभाषित करता है।
एक्सए एक्सए (टी), वाई ए वाई ए (टी), (टी)
- किसी कठोर पिंड की समतल गति का नियम
एक्स

किसी कठोर पिंड की समतल गति का नियम
व्याख्या। आइए हम सहायक Y का परिचय दें
प्रणोदक प्रणाली:
एक्स1 वाई1; Ax1, Ox के समानांतर है,
बी
1
x1
ए
Ay1, Oy के समानांतर है;
हे
सिस्टम Ax1 y1 में शरीर घूमता है
एक्स
शारीरिक हलचल. सिस्टम Ax1 y1 चलता है
ऑक्सी के सापेक्ष उत्तरोत्तर
समतल गति अनुवादात्मक का योग है
ध्रुव ए और घूर्णी के साथ एक साथ आंदोलन
पोल ए के सापेक्ष गति
x A (t), y A (t) अनुवादात्मक गति को निर्दिष्ट करता है
(टी) घूर्णी गति निर्दिष्ट करता है

व्याख्या

1
ए)
ए
बी
2
बी"
1"
1
बी)
φ
ए"
1"
2
बी
ए
बी"
φ
ए"
अनुभाग को स्थिति 1 से स्थिति 2 पर स्थानांतरित किया जा सकता है
दो आंदोलनों का सुपरपोजिशन माना जाता है:
1 से 1" तक अनुवादात्मक और 1" से 2 तक घूर्णी
बिंदु A के आसपास।"
आप किसी भी बिंदु को ध्रुव के रूप में चुन सकते हैं। पर
चावल। बी) बिंदु बी को ध्रुव के रूप में चुना गया है।
ध्यान दें: ट्रांसलेशनल मूवमेंट के दौरान पथ की लंबाई बदल गई है, लेकिन घूर्णन का कोण वही रहता है!
वे। अनुवादात्मक भाग पोल की पसंद पर निर्भर करता है, और
घूर्णी भाग निर्भर नहीं करता है!

शरीर के बिंदुओं की गति और प्रक्षेपवक्र का नियम

आरएम (टी) आरए (टी) (टी)
एक्सएम (टी) एक्स ए (टी) (टी) कॉस((टी))
y1
य
आर एम
yM (t) y A (t) (t) पाप((t))
उदाहरण (दीर्घवृत्त गति)
एबी एल, एएम बी;
य
हे
आरए
बी
x1
एक्स
गति का नियम निर्धारित करें
और बिंदु M का प्रक्षेप पथ
एम
बी
एक्सएम (टी) (बी एल) कॉस (टी)
ए
ए
एम
ρ
हे
एक्स
yM (t) b पाप (t) गति का नियम
एक्सएम2
yM2
2 1 दीर्घवृत्त
2
(बी एल)
बी

शरीर बिंदु वेग

y1
आरएम (टी) आरए (टी) (टी)
य
आर एम
विभेदन करने पर, हमें प्राप्त होता है:
एम
ρ
बी
x1
ए
वी एम वी ए वी एमए
एक्स
आर
हे
v एक ध्रुव गति
डी
वी एम.ए
ध्रुव के चारों ओर घूमने की गति
डीटी
(v MA स्पीड M सिस्टम Ax1 y1 में)।
ए
वीएम
वीएमए एएम
वी एम.ए
वीए
ए
एम
वीए

बिंदु वेगों के लिए सूत्र के परिणाम

परिणाम 1. किसी ठोस के दो बिंदुओं के वेगों का प्रक्षेपण
वीबी
उन्हें जोड़ने वाली सीधी रेखा पर स्थित पिंड बराबर होते हैं।
सबूत।
वी बी वी ए वी बीए
वी बी कॉस वी ए कॉस
परिणाम 2. यदि अंक
A,B,C एक पर स्थित हैं
सीधे, फिर सिरे
वैक्टर वी ए , वी बी , वी सी
एक ही सीधी रेखा पर लेट जाएं
और एबी/बीसी एबी/बीसी
वीए
ए
वीबीए
β
α
α
बी
वीए

MCS एक बिंदु है जिसकी गति
ए
शून्य के बराबर इस पलसमय।
सी
उदाहरण। बिना फिसले लुढ़कना
वानिया डिस्क. एमसीएस-बिंदु सी.
कथन। अगर कोणीय वेगशून्य के बराबर नहीं
किसी दिए गए टी के लिए, तो एमसीएस मौजूद है और अद्वितीय है।
वीए
सबूत।
ए
क्योंकि 0 फिर ए और बी, वी ए वी बी।
सी
यदि v A और v B समानांतर नहीं हैं: B A
वी ए वी सी वी एसी ; वी बी वी सी वी बीसी
यदि वी सी 0 तो वी ए एसी, वी बी बीसी
सी मिला.
बी
वीबी

तात्कालिक वेग केंद्र (आईवीसी)

यदि v A और vB समानांतर हैं:
ए
बी
सी
वी)
बी)
ए)
वीए
ए
वीए
वीबी
सी
वीबी
वीए
ए
बी
वीबी
बी
यदि 0 है तो स्थिति c) असंभव है
(प्रक्षेपण प्रमेय द्वारा)
यदि 0 है तो सभी ए, बी के लिए: वी ए वी बी
और एमसीएस मौजूद नहीं है

एमसीएस के गुण.
मान लीजिए P MCS है। P को ध्रुव के रूप में चुनने पर, हमें प्राप्त होता है:
वी ए ω पीए; वी बी ω पीबी;
वी ए पीए; वी बी पीबी
वीबी
वीए वीबी वीसी
या:
...
एपी बीपी सीपी
इसके अलावा वी पीसी के साथ
वी बी पीबी
ए
पी
वीए
ω
बी
निष्कर्ष। यदि MCS (बिंदु P) को ध्रुव के रूप में लिया जाए, तो
किसी दिए गए t के लिए समतल गति है
बिंदु P के चारों ओर शुद्ध घूर्णन

एमसीयू (उदाहरण)
उदाहरण। पहिया बिना फिसले चलता है
सीधे सड़क।
ए
बी
वीए
सी
वीबी
कुलपति
डी
ω
वीडी
पी.ई
वीए
ए
बी
वीबी
डी
वीडी

उदाहरण (एक फ्लैट तंत्र की गति की गणना)
दिया गया है: OA , r1 r2 r, BD CD l
वी ए, वी बी, वी डी, बीडी निर्धारित करें; सीडी
समाधान।
ए
हे
ओए: वी ए ओए ओए ;
एबी: पी1 - एमसीएस एबी बनाम बी बीपी1;
वीए
पी1
वीबी
डी
बी
45ºपी
बी.डी
वीडी
ω एबी वी ए /एपी1 वी बी /बीपी1 वी बी 2 2आर ओए
बीडी: पीबीडी МЦСBD बीडी वी बी / बीपीबीडी वी डी / डीपीबीडी
बीडी 4आर ओए/एल, वी डी 2 2आर ओए
सीडी: वी डी सीडी, सीडी वी डी / सीडी 2 2आर ओए / एल
सी

शरीर के बिंदुओं का त्वरण।

हमारे पास समानता है: v B v A ω ρ
आइए इसे अलग करें:
डी वी बी डीवी ए डीω डी ρ
अब
ρ ω
डीटी
डीटी
डीटी
डीटी
जेड
एए ε ρ ω ω ρ
य
बी
प्रतिबंध
आबा
वीबीए
ए
हे
जेड 1
ω
आ
ɛ
एक्स
एन
एबीए ; एबीए वीबीए
एन
एबी ए ए एबीए एबीए
बिंदु B का त्वरण ध्रुव A और के त्वरण के योग के बराबर है
ध्रुव A के चारों ओर बिंदु B के घूर्णन का त्वरण

बिंदु त्वरण के लिए सूत्र का परिणाम

सी
ए
आ
ए
बी
अब
बी
एसी
सी.एक्स
चावल। 13.19
परिणाम। यदि अंक
एक सीधी रेखा पर
ए, बी, सी
झूठ
फिर सदिशों के सिरे aA , aB , aC
एक ही सीधी रेखा पर लेटें, और ab/bc AB/BC

त्वरित त्वरण केंद्र (IAC)

MCU बिंदु Q है, जिसका त्वरण किसी दिए गए बिंदु पर है
समय t शून्य है.
कथन। एमसीयू के गैर-अनुवादात्मक आंदोलन के लिए
में
मौजूद है और अद्वितीय है.
ए
बी
ए
आ
सबूत।
aA aQ a AQ ; क्यू एमसीयू
2
एए ए एक्यू ; टीजी/;
एसी
सी
क्यू
ए ए एक्यू 2 4 एक्यू ए ए/2 4
त्वरण का वितरण वही होता है जो Q के चारों ओर घूमते समय होता है।
एए/एक्यू एबी/बीक्यू एसी/सीक्यू
2
टिप्पणी। एमसीएस और एमसीयू अलग-अलग बिंदु हैं!
4

एक समतल तंत्र की गतिज गणना

उदाहरण। दिया गया: OA , OA
परिभाषित करना:
वी ए , वी बी , एबी ,
बीसी, एए, एबी, एबी, एबी
समाधान आरेख.
1. गति की गणना.
ओए: वी ए ओए; वी ए ओए;
एबी: वी बी बीसी पीएबी एमसीएस एबी ; ωएबी वी ए /एपीएबी वी बी /बीपीएबी
बीसी: ωबीसी बनाम बी /बीसी

एक समतल तंत्र की गतिज गणना

2. त्वरण की गणना.
OA: एक 2OA; ए ए ओए;
एन एन
2
एबी: एबी ए ए एबीए एबीए ; एबीए एबी
एबी; ए बीए एबी एबी;
एन
2
बीसी: एबी एबी एबी (*); एबीएन बीसी
बी.सी.; ए बी बीसी बीसी
एन एन
एन
एबी एबी ए ए ए ए एबीए एबीए (**)
(**) में दो अज्ञात हैं: एबी, बीसी। (**) पर प्रक्षेपित करना
दो कुल्हाड़ियाँ, आइए उन्हें खोजें। हम (*) से त्वरण aB ज्ञात करते हैं।

एक और उदाहरण

ओए 0 , ओए एल1; एबी एल2 ; बीडी एल3; डीई एल4
निर्धारित करें वी ई
दिया गया:

निष्कर्ष

निष्कर्ष
1. समतल गति का नियम व्युत्पन्न है।
2. यह दिखाया गया है कि समतल गति का प्रतिनिधित्व किया जाता है
सबसे सरल आंदोलनों का योग - अनुवादात्मक
ध्रुव के साथ मिलकर चारों ओर घूम रहा है
डंडे.
3. गति के बीच संबंध का सूत्र निकाला जाता है
अंक और उसके परिणाम.
4. एमसीएस की अवधारणा को परिभाषित और दर्शाया गया है
स्वोत्स्त्व.
5. त्वरणों के बीच संबंध का सूत्र निकाला गया है
अंक और उसके परिणाम.
6. गतिज गणना के उदाहरणों पर विचार किया जाता है
समतल तंत्र.

व्याख्यान के लिए परीक्षण प्रश्न

1. एक कठोर पिंड की स्वतंत्रता की कितनी डिग्री होती है?
एक समतल गति बना रहे हैं?
2. किसी कठोर पिंड की समतल गति का नियम लिखिए।
3. किसी कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेग किस प्रकार संबंधित हैं?
शरीर समतल गति में है?
4. किसी कठोर पिंड के घूर्णन का कोणीय वेग क्या है?
5. दो के वेगों के प्रक्षेपण के बारे में एक प्रमेय तैयार करें
समतल गति में किसी कठोर पिंड के बिंदु।
6. वेगों का तात्कालिक केन्द्र किसे कहा जाता है?
7. एमसीएस निर्धारित करने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?
8. कौन से घटक किसी बिंदु का त्वरण बनाते हैं?
एक कठोर पिंड समतल गति से गुजर रहा है?
9. किसी बिंदु की घूर्णन गति का त्वरण क्या है?
ध्रुव के चारों ओर शरीर सहित?

किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति।

1. समतल-समानांतर गति के समीकरण

समतल-समानांतर (या समतल) एक कठोर पिंड की गति है जिसमें इसके सभी बिंदु किसी निश्चित तल P के समानांतर चलते हैं।

आइए हम किसी तल द्वारा शरीर के अनुभाग S पर विचार करें हेxy, समतल के समानांतर पी. समतल-समानांतर गति में, शरीर के सभी बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं एमएम / , अनुभाग के लंबवत (एस) , यानी हवाई जहाज़ तक पी समान रूप से आगे बढ़ें और समय के प्रत्येक क्षण में समान गति और त्वरण रखें। इसलिए, पूरे शरीर की गति का अध्ययन करने के लिए, यह अध्ययन करना पर्याप्त है कि अनुभाग कैसे चलता है एस विमान में शव हेxy.

(4.1)

समीकरण (4.1) चालू गति के नियम को निर्धारित करते हैं और कहलाते हैं किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति के समीकरण।

2. समतल-समानांतर गति का अनुवादात्मक गति में अपघटन

ध्रुव के साथ मिलकर ध्रुव के चारों ओर घूम रहा है

आइए हम दिखाते हैं कि समतल गति में अनुवादात्मक और घूर्णी गति शामिल होती है। ऐसा करने के लिए, दो क्रमिक पदों I और II पर विचार करें, जिन पर अनुभाग का कब्जा है एससमय के क्षणों में शरीर का हिलना टी 1 और टी 2= टी 1 + Δt . यह देखना आसान है कि अनुभाग एस, और इसके साथ पूरे शरीर को स्थिति I से स्थिति II तक इस प्रकार लाया जा सकता है: पहले हम शरीर को अनुवादात्मक रूप से घुमाते हैं, ताकि ध्रुव ए, अपने पथ पर चलते हुए एक स्थिति में आ गया ए 2. इस मामले में, खंड ए 1 बी 1एक स्थिति लेगा, और फिर ध्रुव के चारों ओर अनुभाग को घुमाएगा ए 2एक कोण पर Δφ 1.

नतीजतन, एक कठोर शरीर की समतल-समानांतर गति स्थानान्तरणीय गति से बनी होती है, जिसमें शरीर के सभी बिंदु ध्रुव की तरह ही चलते हैं और इस ध्रुव के चारों ओर घूमने वाली गति से भी।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शरीर की घूर्णी गति विमान के लंबवत अक्ष के चारों ओर होती है पी और पोल से गुजर रहा है ए. हालाँकि, संक्षिप्तता के लिए, हम अब से इस गति को केवल ध्रुव के चारों ओर घूमना कहेंगे ए.

समतल-समानांतर गति का अनुवादात्मक भाग स्पष्ट रूप से समीकरणों के पहले दो (2.1) और ध्रुव के चारों ओर घूमने द्वारा वर्णित है ए -समीकरणों का तीसरा (2.1)।

समतल गति की बुनियादी गतिक विशेषताएँ

आप शरीर पर किसी भी बिंदु को ध्रुव के रूप में चुन सकते हैं

निष्कर्ष : समतल गति का घूर्णी घटक ध्रुव की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए, कोणीय वेगω और कोणीय त्वरणइसभी ध्रुवों के लिए सामान्य हैं और कहलाते हैंएक समतल आकृति का कोणीय वेग और कोणीय त्वरण

वेक्टर और ध्रुव से गुजरने वाली धुरी के साथ निर्देशित होते हैं और आकृति के विमान के लंबवत होते हैं

3डी छवि

3. शरीर बिंदुओं के वेग का निर्धारण

प्रमेय: किसी समतल आकृति पर किसी बिंदु की गति बराबर होती है ज्यामितीय योगध्रुव की गति और ध्रुव के चारों ओर उस बिंदु की घूर्णन गति।

प्रमाण में, हम इस तथ्य से आगे बढ़ेंगे कि एक कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति स्थानांतरीय गति से बनी होती है, जिसमें पिंड के सभी बिंदु गति से चलते हैं वीएऔर इस ध्रुव के चारों ओर घूर्णी गति से। इन दो प्रकार की गति को अलग करने के लिए, हम दो संदर्भ प्रणालियाँ पेश करते हैं: ऑक्सी - स्थिर, और ऑक्स 1 वाई 1 - ध्रुव के साथ अनुवादिक रूप से चलती हुई एक।गतिमान संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष, एक बिंदु की गति एम"ध्रुव के चारों ओर घूर्णनशील" होगा ए».

इस प्रकार, पिंड के किसी भी बिंदु M की गति ज्यामितीय रूप से किसी अन्य बिंदु की गति का योग है ए, एक ध्रुव के रूप में लिया गया, और बिंदु की गति एमइस ध्रुव के चारों ओर शरीर के साथ अपनी घूर्णी गति में।

प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या

परिणाम 1. किसी कठोर पिंड के दो बिंदुओं के वेगों का इन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर प्रक्षेपण एक दूसरे के बराबर होता है।

इस परिणाम से किसी पिंड के दिए गए बिंदु की गति का पता लगाना आसान हो जाता है यदि इस बिंदु की गति की दिशा और उसी पिंड के किसी अन्य बिंदु की गति ज्ञात हो।

शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय रूसी संघ

संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"क्यूबन स्टेट टेक्नोलॉजिकल यूनिवर्सिटी"

सैद्धांतिक यांत्रिकी

लेक्चर नोट्स

कुंवारे लोगों के लिए ZiDO

तकनीकी क्षेत्र

गतिकी

संकलनकर्ता: तकनीकी विज्ञान के डॉक्टर, प्रो. स्मेल्यागिन ए.आई.

पीएच.डी., एसोसिएट प्रोफेसर केगेल्स वी.एल.

क्रास्नोडार 2011

1 किनेमैटिक्स। सामान्य अवधारणाएँ 2

2 बिंदु 2 की गतिकी

3 कठोर पिंड की गतिकी 7

3.1 कठोर पिंड की स्थानान्तरणीय गति 7

3.2 किसी कठोर पिंड का एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना 7

3.3 किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर (समतल) गति 9

3.4 गोलाकार गति 15

बिंदु 17 की 4 जटिल गति

1 किनेमैटिक्स। सामान्य अवधारणाएँ

किनेमेटिक्स सैद्धांतिक यांत्रिकी का एक खंड है जो इस आंदोलन के कारणों को ध्यान में रखे बिना भौतिक निकायों के आंदोलन का अध्ययन करता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी में, भौतिक निकायों की गति को त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में माना जाता है, और समय को संदर्भ प्रणाली से स्वतंत्र, पूर्ण माना जाता है।

एक संदर्भ प्रणाली एक समन्वय प्रणाली है जो हमेशा शरीर से जुड़ी होती है जिसके संबंध में अध्ययन की जा रही वस्तुओं की गति पर विचार किया जाता है।

यदि संदर्भ तंत्र विरामावस्था में है तो उसके सापेक्ष वस्तु की गति निरपेक्ष कहलाती है। किसी गतिशील संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष किसी वस्तु की गति को सापेक्ष कहा जाता है।

किनेमैटिक्स विधियाँ विचाराधीन संदर्भ प्रणाली में अध्ययन की जा रही वस्तु की स्थिति निर्धारित करना संभव बनाती हैं, साथ ही किसी भी समय उसकी गति और त्वरण का पता लगाना संभव बनाती हैं।

अनुभाग का अध्ययन एक बिंदु (पृथक, एक ठोस पिंड या एक सतत माध्यम से संबंधित) की गतिकी से शुरू होता है, फिर ठोस पिंडों और उनकी प्रणालियों की गति पर विचार करने के लिए आगे बढ़ता है।

2 प्वाइंट किनेमेटिक्स

किसी भी समय किसी बिंदु की गति की विशेषताएँ उसकी स्थिति, गति और त्वरण हैं।

किसी बिंदु की क्रमिक स्थितियों के ज्यामितीय स्थान को प्रक्षेप पथ कहा जाता है।

किसी बिंदु की गति और प्रक्षेपवक्र की विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए, इसकी गति को निर्दिष्ट करने की तीन विधियों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है - वेक्टर, समन्वय और प्राकृतिक।

गति निर्दिष्ट करने की सदिश विधि

पदकिसी भी समय बिंदु त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है , किसी निश्चित केंद्र से खींचा गया।

गति का समीकरण:
.

प्रक्षेपवक्रबिंदु वेक्टर होडोग्राफ़ हैं .

समय Δt के दौरान एक बिंदु की औसत गति

, कहाँ
.

रफ़्तारसमय पर अंक टी

.

में वेग वेक्टर को किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है।

समय के साथ एक बिंदु का औसत त्वरण Δt

, कहाँ
.

त्वरणसमय पर अंक टी

.

इस पद्धति का उपयोग, एक नियम के रूप में, आंदोलन के पैटर्न के सैद्धांतिक विश्लेषण में किया जाता है।

इसलिए,
;
;
.

गति निर्दिष्ट करने की समन्वित विधि

किसी बिंदु की गति का वर्णन करने के लिए, समन्वय प्रणालियों का उपयोग किया जाता है: कार्टेशियन, ध्रुवीय, बेलनाकार, गोलाकार, आदि।

पदकार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किसी भी समय एक बिंदु उसके निर्देशांक x, y, z द्वारा निर्धारित होता है।

एक बिंदु की गति का समीकरण

ये समीकरण किसी बिंदु के प्रक्षेप पथ को पैरामीट्रिक रूप में परिभाषित करते हैं।

किसी बिंदु के प्रक्षेपवक्र समीकरण को निर्देशांक रूप में प्राप्त किया जा सकता है

समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में, गति के समीकरणों से पैरामीटर टी को बाहर करना
,
.

रफ़्तार .

इस प्रकार,
,
,
.

स्पीड मॉड्यूल
.

दिशा कोसाइन

;
;
.

त्वरण ,

तब
,
,
.

त्वरण मॉड्यूल
.

दिशा कोसाइन
;
;
.

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय निज़नी नोवगोरोड राज्यवास्तुशिल्प और निर्माणविश्वविद्यालय

मुक्त दूरस्थ शिक्षा संस्थान

ऐस्तोव ए.एस., बारानोवा ए.एस., ट्रायनिना एन.यू.

सैद्धांतिक यांत्रिकी

भाग द्वितीय। किनेमेटिक्स और कठोर शरीर की गतिशीलता

विश्वविद्यालय की संपादकीय एवं प्रकाशन परिषद द्वारा अनुमोदित

एक शिक्षण सहायता के रूप में

निज़नी नोवगोरोड - 2004

बीबीके 22.21 टी 11

ऐस्तोव ए.एस., बारानोवा ए.एस., ट्रायनिना एन.यू. सैद्धांतिक यांत्रिकी. भाग द्वितीय। एक कठोर शरीर की गतिकी और गतिकी। ट्यूटोरियल.- एन. नोवगोरोड: निज़नी नोवगोरोड। राज्य वास्तुकार-निर्माण विश्वविद्यालय, 2004.- 69 पी.

आईएसबीएन 5-87941-303-9

पाठ्यपुस्तक में एक कठोर पिंड की गतिकी और गतिकी की बुनियादी जानकारी और सैद्धांतिक सिद्धांत शामिल हैं। के लिए असाइनमेंट शामिल हैं परीक्षणगतिकी और गतिकी पर, संक्षिप्त जानकारीसिद्धांत से, समस्याओं को हल करने के लिए सिफारिशें, विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरण।

आईएसबीएन 5-87941-303-9

खंड 1. किनेमेटिक्स

परिचय

किनेमेटिक्स सैद्धांतिक यांत्रिकी की एक शाखा है जो यांत्रिक गति का अध्ययन करती है, अर्थात। किसी अन्य पिंड के सापेक्ष एक पिंड की स्थिति में परिवर्तन जिसके साथ एक संदर्भ प्रणाली जुड़ी होती है, जो अभिनय बलों को ध्यान में रखे बिना गतिशील या स्थिर हो सकती है।

मौलिक विज्ञान के अनुभाग से संबंधित, सैद्धांतिक यांत्रिकी और गतिकी महत्वपूर्ण हैं अवयवयह उच्च तकनीकी विद्यालयों में अध्ययन किए जाने वाले कई विषयों के अध्ययन का आधार है।

सैद्धान्तिक यांत्रिकी के नियम एवं विधियाँ पाई जाती हैं व्यापक अनुप्रयोगपढ़ाई में सबसे महत्वपूर्ण कार्यतकनीकें, जैसे विभिन्न संरचनाओं, मशीनों और तंत्रों का डिज़ाइन, ब्रह्मांडीय पिंडों की गति का अध्ययन, वायुगतिकी, बैलिस्टिक और अन्य की समस्याओं को हल करना।

अरस्तू, आर्किमिडीज़, गैलीलियो और न्यूटन के कार्यों पर आधारित सैद्धांतिक यांत्रिकी को शास्त्रीय यांत्रिकी कहा जाता है; यह प्रकाश की गति से बहुत कम गति पर पिंडों की गति पर विचार करता है।

अंतरिक्ष में समय के साथ यांत्रिक गति होती है, जबकि शास्त्रीय यांत्रिकी में अंतरिक्ष को यूक्लिडियन ज्यामिति के अधीन त्रि-आयामी माना जाता है; सभी संदर्भ प्रणालियों में समय को निरंतर और समान रूप से प्रवाहित माना जाता है।

1. किनेमेटिक्स की बुनियादी अवधारणाएँ

किसी पिंड या उसके व्यक्तिगत बिंदु (दूरी, गति, त्वरण, आदि) की गति को दर्शाने वाली सभी गतिक मात्राएँ समय के कार्य के रूप में मानी जाती हैं।

गतिकी समस्या को हल करने का अर्थ है शरीर के प्रत्येक बिंदु के प्रक्षेपवक्र, स्थिति, गति और त्वरण का पता लगाना।

बिंदु प्रक्षेपवक्र- यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु द्वारा गति करते समय उसके द्वारा ग्रहण की गई क्रमिक स्थितियों का ज्यामितीय स्थान है।

एक बिंदु की गति एक वेक्टर मात्रा है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति में परिवर्तन की गति को दर्शाती है।

किसी बिंदु का त्वरण एक सदिश राशि है जो गति में परिवर्तन की दर को दर्शाती है।

2. एक कठोर शरीर की सरल गतियाँ

2.1. एक कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति

ट्रांसलेशनल मोशन किसी कठोर पिंड की ऐसी गति है जिसमें पिंड के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड स्वयं के समानांतर चलता है।

किसी कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति के दौरान, पिंड के सभी बिंदुओं के वेग और त्वरण ज्यामितीय रूप से समान होते हैं और सभी बिंदुओं के प्रक्षेप पथ समान होते हैं, अर्थात। जब आरोपित किया जाता है, तो वे मेल खाते हैं, इसलिए यह शरीर के एक बिंदु की गति की विशेषताओं को सटीक रूप से जानने के लिए पर्याप्त है।

2.2. किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति

2.2.1. कोणीय वेग और कोणीय त्वरण

घूर्णी गति एक कठोर पिंड की गति है जिसमें शरीर के कम से कम दो बिंदु गतिहीन रहते हैं। इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा को घूर्णन अक्ष कहा जाता है। घूर्णन के दौरान धुरी पर स्थित शरीर के सभी बिंदु गतिहीन रहते हैं। पिंड के अन्य सभी बिंदु घूर्णन अक्ष के लंबवत तलों में चलते हैं और वृत्तों का वर्णन करते हैं, जिनके केंद्र अक्ष पर स्थित होते हैं, और त्रिज्या बिंदुओं से अक्ष की दूरी के बराबर होती है (चित्र 1)। बिंदु A और B को क्रमशः एक थ्रस्ट बेअरिंग और एक बेअरिंग द्वारा गतिहीन रखा जाता है।

आइए z अक्ष की सकारात्मक दिशा चुनें और इसके माध्यम से एक निश्चित विमान I खींचें, और अक्ष के माध्यम से एक दूसरा विमान II खींचें और इसे शरीर से जोड़ें। घूमते समय, समतल II समतल I के साथ एक कोण बनाएगा। इस गतिमान कोण के रैखिक कोण ϕ को घूर्णन कोण कहा जाता है। यदि फ़ंक्शन ϕ = f (t) ज्ञात है, तो घूर्णी गति दी गई मानी जाती है। घूर्णन कोण में परिवर्तन की गति को दर्शाने वाली मात्रा कहलाती है कोणीय वेग. कोणीय वेग ω को घूर्णन कोण के समय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है

ω= dt ϕ =ϕ& (रेड/सेकंड) या (s-1)

कोणीय वेग में परिवर्तन की दर को दर्शाने वाली मात्रा कहलाती है कोणीय त्वरण, जिसे समय के संबंध में घूर्णन कोण के दूसरे व्युत्पन्न या कोणीय वेग के पहले व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है

	डी 2 ϕ
	डीटी 2 डीटी

ε=ϕ&&=ω& (rad/sec2) या (s-2)

यदि समय के संबंध में कोण ϕ के पहले और दूसरे व्युत्पन्न का चिह्न समान है, तो घूर्णन तेज हो जाता है यदि अलग संकेत- कुछ धीमा. यदि कोणीय वेग स्थिर है, तो घूर्णन एक समान है (इस मामले में, कोणीय त्वरण ε = 0)।

2.2.2. घूमते हुए पिंड के एक बिंदु की गति और त्वरण

वृत्त में किसी पिंड पर किसी बिंदु की गति की गति कहलाती है घूर्णन गति,और इसका मापांक बिंदु से घूर्णन अक्ष की दूरी पर निर्भर करता है।

वी = ω ओम

वेग वेक्टर को घूर्णन की दिशा में बिंदु द्वारा वर्णित वृत्त की त्रिज्या के लंबवत निर्देशित किया जाता है (चित्र 2)।

घूमते हुए पिंड पर एक बिंदु के त्वरण के दो घटक होते हैं - अभिकेन्द्रीय और घूर्णी त्वरण।

एसीएस = ω 2 ओएम एवीआर = ε ओएम

वेक्टर a cs को बिंदु से घूर्णन अक्ष की ओर निर्देशित किया जाता है, वेक्टर a bp को ε की ओर त्रिज्या के लंबवत निर्देशित किया जाता है।

कुल त्वरण वेक्टर a, a cs और a wr के ज्यामितीय योग के बराबर है

ए = ए सीएस + ए वीआर,

और कुल त्वरण मॉड्यूल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

ए = ओएम ω 4 +ε 2

2.2.3. एक घूमते हुए पिंड के बिंदुओं की गति, अभिकेन्द्रीय और घूर्णी त्वरण की वेक्टर अभिव्यक्ति

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि कोणीय वेग और कोणीय त्वरण घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित वेक्टर हैं, और वेक्टर ω को अक्ष के साथ इस तरह से निर्देशित किया जाता है कि इसके अंत से घूर्णन वामावर्त होता हुआ प्रतीत होता है, कोणीय त्वरण का वेक्टर ε इसे अक्ष के अनुदिश उसी दिशा में निर्देशित किया जाता है जैसे त्वरित घूर्णन के दौरान ω, या धीमी गति से घूर्णन के दौरान विपरीत दिशा में।

एक बिंदु की घूर्णी गति, अभिकेंद्री और घूर्णी त्वरण को वेक्टर उत्पादों (छवि 3) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

वी =ω एक्स आर,

ए सीएस = ω एक्स वी = ω एक्स ω एक्स आर

एक समय = ε x r

सैद्धांतिक यांत्रिकीयांत्रिकी का एक खंड है जो भौतिक निकायों की यांत्रिक गति और यांत्रिक अंतःक्रिया के बुनियादी नियमों को निर्धारित करता है।

सैद्धांतिक यांत्रिकी एक विज्ञान है जो समय के साथ पिंडों की गति (यांत्रिक गति) का अध्ययन करता है। यह यांत्रिकी की अन्य शाखाओं (लोच का सिद्धांत, सामग्री की ताकत, प्लास्टिसिटी का सिद्धांत, तंत्र और मशीनों का सिद्धांत, हाइड्रोएरोडायनामिक्स) और कई तकनीकी विषयों के लिए आधार के रूप में कार्य करता है।

यांत्रिक गति- यह समय के साथ भौतिक निकायों की अंतरिक्ष में सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन है।

यांत्रिक अंतःक्रिया- यह एक अंतःक्रिया है जिसके परिणामस्वरूप यांत्रिक गति बदल जाती है या शरीर के अंगों की सापेक्ष स्थिति बदल जाती है।

कठोर शरीर स्थैतिक

स्थिति-विज्ञानसैद्धांतिक यांत्रिकी का एक खंड है जो ठोस निकायों के संतुलन और बलों की एक प्रणाली के उसके समकक्ष दूसरे में परिवर्तन की समस्याओं से संबंधित है।

स्थैतिक की बुनियादी अवधारणाएँ और नियम
• बिल्कुल कठोर शरीर(ठोस पिंड, पिंड) एक भौतिक पिंड है, जिसके किसी भी बिंदु के बीच की दूरी नहीं बदलती।
• सामग्री बिंदुएक ऐसा निकाय है जिसके आयामों को, समस्या की स्थितियों के अनुसार, उपेक्षित किया जा सकता है।
• मुक्त निकाय- यह एक ऐसी संस्था है जिसके आवागमन पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है।
• मुक्त (बंधा हुआ) शरीरएक निकाय है जिसका आंदोलन प्रतिबंधों के अधीन है।
• सम्बन्ध- ये ऐसे निकाय हैं जो संबंधित वस्तु (एक निकाय या निकायों की प्रणाली) की गति को रोकते हैं।
• संचार प्रतिक्रियाएक बल है जो एक ठोस पिंड पर बंधन की क्रिया को दर्शाता है। यदि हम उस बल पर विचार करें जिसके साथ एक ठोस वस्तु एक बंधन पर कार्य करती है, तो बंधन की प्रतिक्रिया एक प्रतिक्रिया होती है। इस मामले में, बल-क्रिया कनेक्शन पर लागू होती है, और कनेक्शन की प्रतिक्रिया ठोस शरीर पर लागू होती है।
• यांत्रिक प्रणालीपरस्पर जुड़े हुए निकायों या भौतिक बिंदुओं का एक संग्रह है।
• ठोसइसे एक यांत्रिक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है, जिसके बिंदुओं के बीच की स्थिति और दूरी नहीं बदलती है।
• बलएक सदिश राशि है जो एक भौतिक पिंड की दूसरे पर यांत्रिक क्रिया को दर्शाती है।
  एक वेक्टर के रूप में बल को अनुप्रयोग के बिंदु, कार्रवाई की दिशा और द्वारा चित्रित किया जाता है निरपेक्ष मूल्य. बल मापांक की इकाई न्यूटन है।
• बल की क्रिया की रेखाएक सीधी रेखा है जिसके अनुदिश बल वेक्टर निर्देशित होता है।
• केंद्रित शक्ति- एक बिंदु पर बल लगाया गया।
• वितरित बल (वितरित भार)- ये किसी पिंड के आयतन, सतह या लंबाई के सभी बिंदुओं पर कार्य करने वाली शक्तियाँ हैं।
  वितरित भार प्रति इकाई आयतन (सतह, लंबाई) पर कार्य करने वाले बल द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।
  वितरित भार का आयाम N/m 3 (N/m 2, N/m) है।
• बाहरी बलएक ऐसे पिंड से कार्य करने वाला बल है जो विचाराधीन यांत्रिक प्रणाली से संबंधित नहीं है।
• अंदरूनी शक्तिविचाराधीन प्रणाली से संबंधित किसी अन्य भौतिक बिंदु से एक यांत्रिक प्रणाली के भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाला बल है।
• बल प्रणालीएक यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाली शक्तियों का एक समूह है।
• समतल बल प्रणालीबलों की एक प्रणाली है जिसकी कार्य रेखाएं एक ही तल में होती हैं।
• बलों की स्थानिक प्रणालीयह बलों की एक प्रणाली है जिसकी कार्य रेखाएं एक ही तल में नहीं होती हैं।
• अभिसरण बलों की प्रणालीयह बलों की एक प्रणाली है जिसकी कार्य रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
• बलों की मनमानी व्यवस्थायह बलों की एक प्रणाली है जिसकी कार्य रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
• समतुल्य बल प्रणालियाँ- ये बलों की प्रणालियाँ हैं, जिनमें से एक को दूसरे के साथ बदलने से शरीर की यांत्रिक स्थिति में कोई बदलाव नहीं आता है।
  स्वीकृत पदनाम: .
• संतुलन- यह एक ऐसी अवस्था है जिसमें कोई पिंड, बलों की कार्रवाई के तहत, गतिहीन रहता है या एक सीधी रेखा में समान रूप से चलता है।
• बलों की संतुलित प्रणाली- यह बलों की एक प्रणाली है, जो एक मुक्त ठोस शरीर पर लागू होने पर, इसकी यांत्रिक स्थिति को नहीं बदलती है (इसे संतुलन से बाहर नहीं फेंकती है)।
  .
• पारिणामिक शक्तिएक बल है जिसकी किसी पिंड पर कार्रवाई बलों की एक प्रणाली की कार्रवाई के बराबर होती है।
  .
• शक्ति का क्षणएक बल की घूर्णन क्षमता को दर्शाने वाली मात्रा है।
• बलों की जोड़ीसमान परिमाण और विपरीत दिशा में निर्देशित दो समानांतर बलों की एक प्रणाली है।
  स्वीकृत पदनाम: .
  बलों की एक जोड़ी के प्रभाव में, शरीर एक घूर्णी गति करेगा।
• अक्ष पर बल का प्रक्षेपण- यह इस अक्ष पर बल वेक्टर के आरंभ और अंत से खींचे गए लंबवत के बीच घिरा एक खंड है।
  यदि खंड की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा से मेल खाती है तो प्रक्षेपण सकारात्मक है।
• किसी समतल पर बल का प्रक्षेपणएक विमान पर एक वेक्टर है, जो इस विमान पर बल वेक्टर की शुरुआत और अंत से खींचे गए लंबवत के बीच घिरा हुआ है।
• नियम 1 (जड़त्व का नियम)।एक पृथक सामग्री बिंदु आराम की स्थिति में है या समान रूप से और आयताकार रूप से चलता है।
  किसी भौतिक बिंदु की एकसमान और सीधी गति जड़त्व द्वारा गति है। किसी भौतिक बिंदु और कठोर पिंड के संतुलन की स्थिति को न केवल आराम की स्थिति के रूप में समझा जाता है, बल्कि जड़ता द्वारा गति के रूप में भी समझा जाता है। एक ठोस शरीर के लिए वहाँ हैं विभिन्न प्रकारजड़ता द्वारा गति, उदाहरण के लिए, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर का एकसमान घूमना।
• कानून 2.एक कठोर पिंड दो बलों की कार्रवाई के तहत केवल तभी संतुलन में होता है जब ये बल परिमाण में समान होते हैं और कार्रवाई की एक सामान्य रेखा के साथ विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं।
  इन दोनों शक्तियों को संतुलन कहा जाता है।
  सामान्य तौर पर, बलों को संतुलित कहा जाता है यदि वह ठोस वस्तु जिस पर ये बल लागू होते हैं, आराम की स्थिति में है।
• कानून 3.किसी कठोर पिंड की स्थिति (यहाँ "अवस्था" शब्द का अर्थ गति या आराम की स्थिति है) को परेशान किए बिना, कोई भी संतुलन बलों को जोड़ और अस्वीकार कर सकता है।
  परिणाम। ठोस पिंड की स्थिति को परेशान किए बिना, बल को उसकी क्रिया रेखा के साथ शरीर के किसी भी बिंदु पर स्थानांतरित किया जा सकता है।
  बलों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनमें से एक को ठोस शरीर की स्थिति को परेशान किए बिना दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
• कानून 4.एक बिंदु पर लगाए गए दो बलों का परिणाम, एक ही बिंदु पर लगाए गए, इन बलों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के परिमाण के बराबर होता है, और इसके साथ निर्देशित होता है
  विकर्ण.
  परिणामी का पूर्ण मान है:
  
• नियम 5 (क्रिया और प्रतिक्रिया की समानता का नियम). वे बल जिनके साथ दो पिंड एक दूसरे पर कार्य करते हैं, परिमाण में समान होते हैं और एक ही सीधी रेखा के साथ विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं।
  इसका ध्यान रखना चाहिए कार्रवाई- शरीर पर लगाया गया बल बी, और विरोध- शरीर पर लगाया गया बल ए, संतुलित नहीं हैं, क्योंकि वे विभिन्न निकायों पर लागू होते हैं।
• नियम 6 (ठोसीकरण का नियम). किसी अठोस पिंड के जमने पर उसका संतुलन नहीं बिगड़ता।
  यह नहीं भूलना चाहिए कि संतुलन की स्थितियाँ, जो एक ठोस शरीर के लिए आवश्यक और पर्याप्त हैं, संबंधित गैर-ठोस शरीर के लिए आवश्यक लेकिन अपर्याप्त हैं।
• नियम 7 (बंधनों से मुक्ति का नियम)।एक गैर-मुक्त ठोस शरीर को स्वतंत्र माना जा सकता है यदि इसे मानसिक रूप से बंधनों से मुक्त किया जाता है, बांड की कार्रवाई को बांड की संबंधित प्रतिक्रियाओं से बदल दिया जाता है।

कनेक्शन और उनकी प्रतिक्रियाएँ
• सौम्य सतहसमर्थन सतह पर सामान्य गति को सीमित करता है। प्रतिक्रिया सतह पर लंबवत निर्देशित होती है।
• व्यक्त चल समर्थनसंदर्भ तल तक शरीर की सामान्य गति को सीमित करता है। प्रतिक्रिया सामान्य रूप से सहायक सतह की ओर निर्देशित होती है।
• व्यक्त निश्चित समर्थनघूर्णन अक्ष के लंबवत समतल में किसी भी गति का प्रतिकार करता है।
• व्यक्त भारहीन छड़छड़ की रेखा के साथ शरीर की गति का प्रतिकार करता है। प्रतिक्रिया छड़ की रेखा के अनुदिश निर्देशित होगी।
• अंधी मुहरविमान में किसी भी गति और घुमाव का प्रतिकार करता है। इसकी क्रिया को दो घटकों और एक पल के साथ बलों की एक जोड़ी के रूप में दर्शाए गए बल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

गतिकी

गतिकी- सैद्धांतिक यांत्रिकी का एक खंड जो अंतरिक्ष और समय में होने वाली प्रक्रिया के रूप में यांत्रिक गति के सामान्य ज्यामितीय गुणों की जांच करता है। गतिमान वस्तुओं को ज्यामितीय बिंदु या ज्यामितीय निकाय माना जाता है।

किनेमेटिक्स की बुनियादी अवधारणाएँ
• एक बिंदु (शरीर) की गति का नियम- यह समय पर अंतरिक्ष में एक बिंदु (पिंड) की स्थिति की निर्भरता है।
• बिंदु प्रक्षेपवक्र- यह अपनी गति के दौरान अंतरिक्ष में एक बिंदु की ज्यामितीय स्थिति है।
• एक बिंदु (शरीर) की गति- यह अंतरिक्ष में एक बिंदु (पिंड) की स्थिति के समय में परिवर्तन की एक विशेषता है।
• एक बिंदु (शरीर) का त्वरण– यह एक बिंदु (पिंड) की गति के समय में परिवर्तन की विशेषता है।

किसी बिंदु की गतिक विशेषताओं का निर्धारण
• बिंदु प्रक्षेपवक्र
  एक वेक्टर संदर्भ प्रणाली में, प्रक्षेपवक्र को अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है:।
  समन्वय संदर्भ प्रणाली में, प्रक्षेपवक्र बिंदु की गति के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है और अभिव्यक्तियों द्वारा वर्णित किया जाता है जेड = एफ(एक्स,वाई)- अंतरिक्ष में, या वाई = एफ(एक्स)- वायुयान में।
  प्राकृतिक संदर्भ प्रणाली में, प्रक्षेप पथ पहले से निर्दिष्ट होता है।
• एक वेक्टर समन्वय प्रणाली में एक बिंदु की गति निर्धारित करना
  वेक्टर समन्वय प्रणाली में किसी बिंदु की गति को निर्दिष्ट करते समय, समय अंतराल में गति के अनुपात को इस समय अंतराल पर गति का औसत मूल्य कहा जाता है:।
  समय अंतराल को एक अतिसूक्ष्म मान मानते हुए, हम किसी दिए गए समय पर गति मान (तात्कालिक गति मान) प्राप्त करते हैं: .
  औसत वेग वेक्टर को बिंदु की गति की दिशा में वेक्टर के साथ निर्देशित किया जाता है, तात्कालिक वेग वेक्टर को बिंदु की गति की दिशा में प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा से निर्देशित किया जाता है।
  निष्कर्ष: किसी बिंदु की गति गति के नियम के समय व्युत्पन्न के बराबर एक वेक्टर मात्रा है।
  व्युत्पन्न संपत्ति: समय के संबंध में किसी भी मात्रा का व्युत्पन्न इस मात्रा के परिवर्तन की दर निर्धारित करता है।
• एक समन्वय संदर्भ प्रणाली में एक बिंदु की गति निर्धारित करना
  बिंदु निर्देशांक के परिवर्तन की दर:
  .
  आयताकार समन्वय प्रणाली वाले एक बिंदु के कुल वेग का मापांक बराबर होगा:
  .
  वेग वेक्टर की दिशा दिशा कोणों की कोसाइन द्वारा निर्धारित की जाती है:
  ,
  वेग वेक्टर और निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण कहां हैं।
• प्राकृतिक संदर्भ प्रणाली में एक बिंदु की गति निर्धारित करना
  प्राकृतिक संदर्भ प्रणाली में एक बिंदु की गति को बिंदु की गति के नियम के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:।
  पिछले निष्कर्षों के अनुसार, वेग वेक्टर को बिंदु की गति की दिशा में प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है और अक्षों में केवल एक प्रक्षेपण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

कठोर शरीर कीनेमेटिक्स
• कठोर पिंडों की गतिकी में, दो मुख्य समस्याएं हल होती हैं:
  1) गति निर्धारित करना और समग्र रूप से शरीर की गतिज विशेषताओं का निर्धारण करना;
  2) शरीर के बिंदुओं की गतिक विशेषताओं का निर्धारण।
• एक कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति
  ट्रांसलेशनल मोशन एक ऐसी गति है जिसमें किसी पिंड के दो बिंदुओं से होकर खींची गई एक सीधी रेखा अपनी मूल स्थिति के समानांतर रहती है।
  प्रमेय: स्थानांतरीय गति के दौरान, शरीर के सभी बिंदु समान प्रक्षेप पथ के साथ चलते हैं और समय के प्रत्येक क्षण में गति और त्वरण का परिमाण और दिशा समान होती है.
  निष्कर्ष: किसी कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति उसके किसी भी बिंदु की गति से निर्धारित होती है, और इसलिए, उसकी गति का कार्य और अध्ययन बिंदु की गतिकी तक कम हो जाता है।.
• किसी कठोर पिंड की एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति
  एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड की घूर्णी गति एक कठोर पिंड की गति है जिसमें शरीर से संबंधित दो बिंदु गति के पूरे समय के दौरान गतिहीन रहते हैं।
  पिंड की स्थिति घूर्णन के कोण से निर्धारित होती है। कोण की माप की इकाई रेडियन है। (रेडियन एक वृत्त का केंद्रीय कोण है, जिसकी चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है; वृत्त के कुल कोण में शामिल है 2πरेडियन.)
  एक निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी पिंड की घूर्णी गति का नियम।
  हम विभेदन विधि का उपयोग करके शरीर के कोणीय वेग और कोणीय त्वरण का निर्धारण करते हैं:
  — कोणीय वेग, रेड/एस;
  — कोणीय त्वरण, रेड/एस²।
  यदि आप शरीर को अक्ष के लंबवत समतल से विच्छेदित करते हैं, तो घूर्णन अक्ष पर एक बिंदु का चयन करें साथऔर एक मनमाना बिंदु एम, फिर बिंदु एमएक बिंदु के आसपास वर्णन करेंगे साथवृत्त त्रिज्या आर. दौरान डीटीएक कोण और बिंदु के माध्यम से एक प्रारंभिक घूर्णन होता है एमप्रक्षेप पथ पर कुछ दूरी तक चलेगा .
  रैखिक गति मॉड्यूल:
  .
  बिंदु त्वरण एमएक ज्ञात प्रक्षेपवक्र के साथ, यह इसके घटकों द्वारा निर्धारित होता है:
  ,
  कहाँ .
  परिणामस्वरूप, हमें सूत्र प्राप्त होते हैं
  स्पर्शरेखीय त्वरण: ;
  सामान्य त्वरण: .

गतिकी

गतिकीसैद्धांतिक यांत्रिकी का एक खंड है जिसमें भौतिक निकायों के यांत्रिक आंदोलनों का अध्ययन उन कारणों के आधार पर किया जाता है जो उन्हें पैदा करते हैं।

गतिकी की बुनियादी अवधारणाएँ
• जड़ता- यह आराम या एकरूपता की स्थिति बनाए रखने के लिए भौतिक निकायों की संपत्ति है सीधीरेखीय गति, अलविदा बाहरी ताक़तेंयह स्थिति नहीं बदलेगी.
• वज़नकिसी पिंड की जड़ता का एक मात्रात्मक माप है। द्रव्यमान का मात्रक किलोग्राम (किग्रा) है।
• सामग्री बिंदु- यह द्रव्यमान वाला एक पिंड है, जिसके आयामों को इस समस्या को हल करते समय उपेक्षित कर दिया जाता है।
• एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र — ज्यामितीय बिंदु, जिसके निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
  
  कहाँ एम के, एक्स के, वाई के, जेड के— द्रव्यमान और निर्देशांक क-यांत्रिक प्रणाली का वह बिंदु, एम- सिस्टम का द्रव्यमान।
  गुरुत्वाकर्षण के एक समान क्षेत्र में, द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति से मेल खाती है।
• किसी अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक पिंड की जड़ता का क्षणघूर्णी गति के दौरान जड़ता का एक मात्रात्मक माप है।
  अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण अक्ष से बिंदु की दूरी के वर्ग द्वारा बिंदु के द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर होता है:
  .
  अक्ष के सापेक्ष सिस्टम (निकाय) की जड़ता का क्षण सभी बिंदुओं की जड़ता के क्षणों के अंकगणितीय योग के बराबर है:
  
• किसी भौतिक बिंदु का जड़त्व बलएक सदिश राशि है जो मापांक में एक बिंदु के द्रव्यमान और त्वरण मापांक के गुणनफल के बराबर होती है और त्वरण वेक्टर के विपरीत दिशा में निर्देशित होती है:
• किसी भौतिक शरीर की जड़ता का बलएक वेक्टर मात्रा है जो शरीर के द्रव्यमान के उत्पाद और शरीर के द्रव्यमान के केंद्र के त्वरण के मापांक के मापांक के बराबर होती है और द्रव्यमान के केंद्र के त्वरण वेक्टर के विपरीत दिशा में निर्देशित होती है: ,
  पिंड के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण कहां है.
• बल का प्राथमिक आवेगबल वेक्टर और समय की एक अनंत अवधि के उत्पाद के बराबर एक वेक्टर मात्रा है डीटी:
  .
  Δt के लिए कुल बल आवेग प्राथमिक आवेगों के अभिन्न अंग के बराबर है:
  .
• बल का प्राथमिक कार्यएक अदिश राशि है दा, अदिश प्रोई के बराबर