सरलरेखीय गति और वक्ररेखीय गति क्या है? असमान गति

प्रक्षेप पथ के आकार के आधार पर, गति को सीधा और घुमावदार में विभाजित किया जा सकता है। जब प्रक्षेपवक्र को वक्र के रूप में दर्शाया जाता है तो अक्सर आपको वक्रीय गतियों का सामना करना पड़ता है। इस प्रकार की गति का एक उदाहरण क्षितिज पर एक कोण पर फेंके गए पिंड का मार्ग, सूर्य, ग्रहों आदि के चारों ओर पृथ्वी की गति है।

चित्र 1 । घुमावदार गति में प्रक्षेपवक्र और गति

परिभाषा 1

वक्ररेखीय गतिएक गति कहलाती है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है। यदि कोई पिंड घुमावदार पथ पर चलता है, तो विस्थापन वेक्टर s → जीवा के अनुदिश निर्देशित होता है, जैसा चित्र 1 में दिखाया गया है, और l पथ की लंबाई है। शरीर की गति की तात्कालिक गति की दिशा प्रक्षेपवक्र के उसी बिंदु पर स्पर्शरेखा रूप से जाती है जहां पर इस पलचित्र 2 में दर्शाए अनुसार गतिमान वस्तु स्थित है।

चित्र 2। घुमावदार गति के दौरान तात्कालिक गति

परिभाषा 2

किसी भौतिक बिंदु की वक्ररेखीय गतिजब वेग मॉड्यूल स्थिर (गोलाकार गति) होता है, तो इसे एकसमान कहा जाता है, और जब दिशा और वेग मॉड्यूल बदल रहे होते हैं (किसी फेंके गए पिंड की गति) तो इसे समान रूप से त्वरित कहा जाता है।

वक्ररेखीय गति सदैव त्वरित होती है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि अपरिवर्तित वेग मॉड्यूल और बदली हुई दिशा के साथ भी, त्वरण हमेशा मौजूद होता है।

किसी भौतिक बिंदु की वक्ररेखीय गति का अध्ययन करने के लिए दो विधियों का उपयोग किया जाता है।

पथ को अलग-अलग खंडों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक पर इसे सीधा माना जा सकता है, जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है।

चित्र तीन। वक्ररेखीय गति को अनुवादात्मक गति में विभाजित करना

अब सरलरेखीय गति का नियम प्रत्येक अनुभाग पर लागू किया जा सकता है। इस सिद्धांत की अनुमति है.

सबसे सुविधाजनक समाधान विधि पथ को वृत्ताकार चापों के साथ कई आंदोलनों के एक सेट के रूप में प्रस्तुत करना माना जाता है, जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है। विभाजन की संख्या पिछली पद्धति की तुलना में बहुत कम होगी, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन पहले से ही घुमावदार है।

चित्र 4. वृत्ताकार चापों के अनुदिश गति में वक्ररेखीय गति का विभाजन

नोट 1

वक्ररेखीय गति को रिकॉर्ड करने के लिए, आपको एक वृत्त में गति का वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए, स्वैच्छिक कार्यइन वृत्तों के चापों के अनुदिश गतियों के समुच्चय के रूप में दर्शाया गया है।

वक्रीय गति के अध्ययन में एक गतिज समीकरण का संकलन शामिल है जो इस गति का वर्णन करता है और उपलब्ध प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर, गति की सभी विशेषताओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण 1

एक वक्र के अनुदिश गतिमान एक भौतिक बिंदु दिया गया है, जैसा चित्र 4 में दिखाया गया है। वृत्त O 1, O 2, O 3 के केंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। विस्थापन ढूंढने की जरूरत है
s → और पथ की लंबाई l बिंदु A से B तक जाते समय।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि वृत्त के केंद्र एक ही सीधी रेखा से संबंधित हैं, इसलिए:

एस → = आर 1 + 2 आर 2 + आर 3।

चूँकि गति का प्रक्षेप पथ अर्धवृत्तों का योग है, तो:

एल ~ ए बी = π आर 1 + आर 2 + आर 3।

उत्तर:एस → = आर 1 + 2 आर 2 + आर 3, एल ~ ए बी = π आर 1 + आर 2 + आर 3।

उदाहरण 2

समय पर पिंड द्वारा तय की गई दूरी की निर्भरता समीकरण s (t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0.1 m/s 2, D = 0.003 m/s) द्वारा दर्शाई गई है। 3). गणना करें कि गति शुरू होने के कितने समय बाद शरीर का त्वरण 2 m/s 2 के बराबर होगा

समाधान

उत्तर: t = 60 s.

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प्रक्षेपवक्र के आकार के आधार पर, गति को सीधा और घुमावदार में विभाजित किया गया है। वास्तविक दुनिया में, हम अक्सर वक्ररेखीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह की गति के उदाहरण हैं क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड का प्रक्षेप पथ, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति, ग्रहों की गति, डायल पर घड़ी की सुई का अंत, आदि।

चित्र 1. घुमावदार गति के दौरान प्रक्षेपवक्र और विस्थापन

परिभाषा

वक्ररेखीय गति एक ऐसी गति है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है (उदाहरण के लिए, एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय)। एक घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ चलते समय, विस्थापन वेक्टर $\overrightarrow(s)$ को जीवा के साथ निर्देशित किया जाता है (चित्र 1), और l प्रक्षेपवक्र की लंबाई है। शरीर की तात्कालिक गति (अर्थात्, प्रक्षेप पथ के किसी दिए गए बिंदु पर शरीर की गति) प्रक्षेप पथ के उस बिंदु पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है जहां गतिमान पिंड वर्तमान में स्थित है (चित्र 2)।

चित्र 2. घुमावदार गति के दौरान तात्कालिक गति

हालाँकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। इस गति की कल्पना वृत्ताकार चापों के साथ कई गतियों के संयोजन के रूप में की जा सकती है (चित्र 4 देखें)। पिछले मामले की तुलना में इस तरह के विभाजन कम होंगे, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन स्वयं घुमावदार है।

चित्र 4. वृत्ताकार चापों के अनुदिश गति में वक्ररेखीय गति का टूटना

निष्कर्ष

वक्ररेखीय गति का वर्णन करने के लिए, आपको एक वृत्त में गति का वर्णन करना सीखना होगा, और फिर वृत्ताकार चापों के साथ गति के सेट के रूप में मनमानी गति का प्रतिनिधित्व करना होगा।

किसी भौतिक बिंदु की वक्ररेखीय गति का अध्ययन करने का कार्य एक गतिज समीकरण संकलित करना है जो इस गति का वर्णन करता है और दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर, इस गति की सभी विशेषताओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

एक बिंदु की गतिकी. पथ। चलती। गति और त्वरण. समन्वय अक्षों पर उनके प्रक्षेपण। तय की गई दूरी की गणना. औसत मान.

एक बिंदु की गतिकी- गतिकी की एक शाखा जो भौतिक बिंदुओं की गति के गणितीय विवरण का अध्ययन करती है। गतिकी का मुख्य कार्य इस गति के कारणों की पहचान किए बिना गणितीय उपकरण का उपयोग करके गति का वर्णन करना है।

पथ और गति.वह रेखा जिसके अनुदिश शरीर पर कोई बिंदु गति करता है, कहलाती है आंदोलन का प्रक्षेप पथ. पथ की लंबाई कहलाती है पथ यात्रा की. प्रक्षेप पथ के आरंभ और अंत बिंदुओं को जोड़ने वाले वेक्टर को कहा जाता है चलती। रफ़्तार- वेक्टर भौतिक मात्रा, किसी पिंड की गति की गति को दर्शाते हुए, संख्यात्मक रूप से इस अंतराल के मूल्य के लिए एक छोटी अवधि में गति के अनुपात के बराबर। यदि गति पर हो तो समयावधि काफी छोटी मानी जाती है असमान गतिइस अवधि के दौरान नहीं बदला. गति को परिभाषित करने का सूत्र v = s/t है। गति की इकाई m/s है। व्यवहार में, उपयोग की जाने वाली गति इकाई किमी/घंटा (36 किमी/घंटा = 10 मीटर/सेकेंड) है। स्पीड को स्पीडोमीटर से मापा जाता है.

त्वरण- वेक्टर भौतिक मात्रा जो गति में परिवर्तन की दर को दर्शाती है, संख्यात्मक रूप से गति में परिवर्तन के उस समय की अवधि के अनुपात के बराबर होती है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ। यदि संपूर्ण गति के दौरान गति समान रूप से बदलती है, तो त्वरण की गणना सूत्र a=Δv/Δt का उपयोग करके की जा सकती है। त्वरण इकाई - एम/एस 2

घुमावदार गति के दौरान गति और त्वरण. स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण.

वक्ररेखीय गतियाँ- ऐसे आंदोलन जिनके प्रक्षेप पथ सीधे नहीं, बल्कि घुमावदार रेखाएं हैं।

वक्ररेखीय गति- यह हमेशा त्वरण के साथ गति होती है, भले ही पूर्ण गति स्थिर हो। वक्ररेखीय गति के साथ निरंतर त्वरणहमेशा उस तल में होता है जिसमें त्वरण सदिश और बिंदु के प्रारंभिक वेग स्थित होते हैं। समतल में स्थिर त्वरण के साथ वक्ररेखीय गति के मामले में xOyअनुमान वी एक्सऔर वी वाईअक्ष पर इसकी गति बैलऔर ओएऔर समन्वय करता है एक्सऔर यकिसी भी समय अंक टीसूत्रों द्वारा निर्धारित

v x =v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2

वक्ररेखीय गति का एक विशेष मामला गोलाकार गति है। वृत्ताकार गति, यहां तक ​​कि एकसमान, हमेशा त्वरित गति होती है: वेग मॉड्यूल हमेशा प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है, लगातार दिशा बदलता रहता है, इसलिए वृत्ताकार गति हमेशा अभिकेन्द्रीय त्वरण के साथ होती है |a|=v 2 /r जहां आर– वृत्त की त्रिज्या.

किसी वृत्त में घूमते समय त्वरण वेक्टर वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और वेग वेक्टर के लंबवत होता है।

वक्ररेखीय गति में, त्वरण को सामान्य और स्पर्शरेखा घटकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरण प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होता है और दिशा में गति में परिवर्तन को दर्शाता है:

वी -तात्कालिक गति मान, आर- किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है और गति मापांक में परिवर्तन को दर्शाता है।

कुल त्वरण जिसके साथ एक भौतिक बिंदु चलता है बराबर है:

स्पर्शरेखीय त्वरणसंख्यात्मक मान द्वारा गति की गति में परिवर्तन की गति को दर्शाता है और प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है।

इस तरह

सामान्य त्वरणदिशा में गति में परिवर्तन की दर को दर्शाता है। आइए वेक्टर की गणना करें:

4.किनेमेटिक्स ठोस. एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना। कोणीय वेग और त्वरण. कोणीय और रैखिक वेग और त्वरण के बीच संबंध।

घूर्णी गति की गतिकी.

शरीर की गति या तो अनुवादात्मक या घूर्णी हो सकती है। इस मामले में, शरीर को कठोरता से जुड़े भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाता है।

स्थानांतरीय गति के दौरान, शरीर में खींची गई कोई भी सीधी रेखा स्वयं के समानांतर चलती है। प्रक्षेपवक्र के आकार के अनुसार, अनुवादात्मक गति सीधा या घुमावदार हो सकती है। स्थानांतरीय गति के दौरान, एक कठोर पिंड के सभी बिंदु समान समयावधि के दौरान परिमाण और दिशा में समान गति करते हैं। परिणामस्वरूप, किसी भी समय शरीर के सभी बिंदुओं के वेग और त्वरण भी समान होते हैं। अनुवादात्मक गति का वर्णन करने के लिए, एक बिंदु की गति निर्धारित करना पर्याप्त है।

घूर्णी गतिएक निश्चित अक्ष के चारों ओर कठोर शरीरऐसी गति कहलाती है जिसमें शरीर के सभी बिंदु वृत्तों में घूमते हैं, जिनके केंद्र एक ही सीधी रेखा (घूर्णन अक्ष) पर स्थित होते हैं।

घूर्णन की धुरी शरीर से होकर गुजर सकती है या उसके बाहर स्थित हो सकती है। यदि घूर्णन की धुरी पिंड से होकर गुजरती है, तो पिंड के घूमने पर अक्ष पर स्थित बिंदु स्थिर रहते हैं। घूर्णन अक्ष से अलग-अलग दूरी पर स्थित एक कठोर पिंड के बिंदु समान समयावधि में अलग-अलग दूरी तय करते हैं और इसलिए, उनका रैखिक वेग भी अलग-अलग होता है।

जब कोई पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो शरीर के बिंदु समान समयावधि में समान कोणीय गति से गुजरते हैं। मॉड्यूल समय में धुरी के चारों ओर शरीर के घूर्णन के कोण के बराबर है, शरीर के घूर्णन की दिशा के साथ कोणीय विस्थापन वेक्टर की दिशा पेंच नियम से जुड़ी हुई है: यदि आप पेंच के घूर्णन की दिशाओं को जोड़ते हैं शरीर के घूर्णन की दिशा के साथ, तो वेक्टर पेंच के अनुवादकीय आंदोलन के साथ मेल खाएगा। वेक्टर को घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित किया जाता है।

कोणीय विस्थापन में परिवर्तन की दर कोणीय वेग - ω द्वारा निर्धारित होती है। रैखिक गति के अनुरूप, अवधारणाएँ औसत और तात्कालिक कोणीय वेग :

कोणीय वेग- वेक्टर क्वांटिटी।

कोणीय वेग में परिवर्तन की दर की विशेषता है औसत और तात्कालिक

कोणीय त्वरण.

वेक्टर और वेक्टर के साथ मेल खा सकता है और इसके विपरीत हो सकता है

हम जानते हैं कि सीधी रेखा गति के दौरान, वेग वेक्टर की दिशा हमेशा गति की दिशा से मेल खाती है। वक्र गति के दौरान गति की दिशा और विस्थापन के बारे में क्या कहा जा सकता है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम उसी तकनीक का उपयोग करेंगे जिसका उपयोग हमने पिछले अध्याय में रेक्टिलिनियर गति की तात्कालिक गति का अध्ययन करते समय किया था।

चित्र 56 एक निश्चित घुमावदार प्रक्षेपवक्र दिखाता है। आइए मान लें कि एक पिंड इसके अनुदिश बिंदु A से बिंदु B तक गति करता है।

इस मामले में, पिंड द्वारा तय किया गया पथ एक चाप A B है, और इसका विस्थापन एक वेक्टर है, बेशक, हम यह नहीं मान सकते हैं कि गति के दौरान शरीर की गति विस्थापन वेक्टर के साथ निर्देशित होती है। आइए बिंदु ए और बी (चित्र 57) के बीच तारों की एक श्रृंखला बनाएं और कल्पना करें कि शरीर की गति ठीक इन तारों के साथ होती है। उनमें से प्रत्येक पर शरीर सीधा चलता है और वेग वेक्टर को जीवा के साथ निर्देशित किया जाता है।

आइए अब हम अपने सीधे खंडों (जीवाओं) को छोटा करें (चित्र 58)। पहले की तरह, उनमें से प्रत्येक पर वेग वेक्टर को जीवा के अनुदिश निर्देशित किया जाता है। लेकिन यह स्पष्ट है कि चित्र 58 में टूटी हुई रेखा पहले से ही एक चिकने वक्र के समान है।

इसलिए, यह स्पष्ट है कि सीधे खंडों की लंबाई कम करना जारी रखते हुए, हम उन्हें बिंदुओं में खींच लेंगे और टूटी हुई रेखा एक चिकने वक्र में बदल जाएगी। इस वक्र के प्रत्येक बिंदु पर गति इस बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होगी (चित्र 59)।

वक्रीय प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर किसी पिंड की गति की गति उस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है।

तथ्य यह है कि वक्रीय गति के दौरान एक बिंदु की गति वास्तव में एक स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित होती है, उदाहरण के लिए, गोचनला के संचालन के अवलोकन से आश्वस्त होता है (चित्र 60)। यदि आप स्टील की छड़ के सिरों को घूमते हुए ग्राइंडस्टोन पर दबाते हैं, तो पत्थर से निकलने वाले गर्म कण चिंगारी के रूप में दिखाई देंगे। ये कण जिस गति से उड़ते हैं

पत्थर से अलग होने के क्षण में उनके पास था। यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि चिंगारी की दिशा हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है जहां छड़ी पत्थर को छूती है। फिसलती हुई कार के पहियों से निकलने वाले छींटे भी स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ते हैं (चित्र 61)।

इस प्रकार, वक्रीय प्रक्षेपवक्र के विभिन्न बिंदुओं पर किसी पिंड के तात्कालिक वेग की अलग-अलग दिशाएँ होती हैं, जैसा कि चित्र 62 में दिखाया गया है। वेग का परिमाण प्रक्षेपवक्र के सभी बिंदुओं पर समान हो सकता है (चित्र 62 देखें) या अलग-अलग बिंदुओं पर भिन्न हो सकता है। बिंदु, समय में एक क्षण से दूसरे तक (चित्र 63)।

किनेमेटिक्स इस गति का कारण बनने वाले कारणों की पहचान किए बिना गति का अध्ययन करता है। किनेमेटिक्स यांत्रिकी की एक शाखा है। किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य समय में बिंदुओं या पिंडों की गति की स्थिति और विशेषताओं का गणितीय निर्धारण है।

मूल गतिक मात्राएँ:

- कदम() -आरंभ और अंत बिंदुओं को जोड़ने वाला एक वेक्टर।

आर - त्रिज्या वेक्टर, अंतरिक्ष में एमटी की स्थिति निर्धारित करता है।

- रफ़्तार- पथ और समय का अनुपात .

- पथ- बिंदुओं का समूह जिससे होकर शरीर गुजरा।

- त्वरण -गति के परिवर्तन की दर, यानी गति का पहला व्युत्पन्न।

2. घुमावदार गति के दौरान त्वरण: सामान्य और स्पर्शरेखीय त्वरण। सपाट घुमाव. कोणीय वेग, त्वरण.

वक्ररेखीय गतिएक गति है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है। वक्ररेखीय गति का एक उदाहरण ग्रहों की गति, डायल के साथ घड़ी की सुई का अंत आदि है।

वक्ररेखीय गति- यह सदैव त्वरित गति है। अर्थात्, वक्रीय गति के दौरान त्वरण हमेशा मौजूद रहता है, भले ही वेग मॉड्यूल नहीं बदलता है, लेकिन केवल वेग की दिशा बदलती है।

प्रति इकाई समय में गति में परिवर्तन - यह स्पर्शरेखा त्वरण है:

जहां 𝛖 τ , 𝛖 0 क्रमशः समय t 0 + Δt और t 0 पर गति मान हैं। स्पर्शरेखीय त्वरणप्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर, दिशा शरीर की गति की गति की दिशा से मेल खाती है या इसके विपरीत है।

सामान्य त्वरणप्रति इकाई समय दिशा में गति में परिवर्तन है:

सामान्य त्वरणप्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या के अनुदिश (घूर्णन अक्ष की ओर) निर्देशित। सामान्य त्वरण वेग की दिशा के लंबवत होता है।

पूर्ण त्वरणशरीर की समान रूप से परिवर्तनशील वक्ररेखीय गति के साथ यह बराबर है:

-कोणीय वेगवह कोण दर्शाता है जिससे एक बिंदु प्रति इकाई समय में एक वृत्त में एकसमान गति के दौरान घूमता है। एसआई इकाई रेड/एस है।

सपाट घुमावएक तल में शरीर बिंदुओं के सभी वेग सदिशों का घूमना है।

3. किसी भौतिक बिंदु के वेग सदिशों और कोणीय वेग के बीच संबंध। सामान्य, स्पर्शरेखा और पूर्ण त्वरण।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण- यह गति प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित त्वरण वेक्टर का घटक है। स्पर्शरेखीय त्वरण वक्ररेखीय गति के दौरान गति मापांक में परिवर्तन की विशेषता बताता है।

सामान्य (केन्द्राभिमुख) त्वरणशरीर के प्रक्षेप पथ पर किसी दिए गए बिंदु पर गति के प्रक्षेप पथ के सामान्य के साथ निर्देशित त्वरण वेक्टर का घटक है। अर्थात्, सामान्य त्वरण वेक्टर गति की रैखिक गति के लंबवत है (चित्र 1.10 देखें)। सामान्य त्वरण दिशा में गति में परिवर्तन को दर्शाता है और इसे अक्षर n द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्य त्वरण वेक्टर प्रक्षेपवक्र की वक्रता त्रिज्या के अनुदिश निर्देशित होता है।

पूर्ण त्वरणवक्रीय गति में, इसमें वेक्टर जोड़ के नियम के अनुसार स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण होते हैं और यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।