एकसमान वक्ररेखीय गति की परिभाषा. असमान गति

हम जानते हैं कि कब सीधी गतिवेग वेक्टर की दिशा सदैव गति की दिशा से मेल खाती है। वक्र गति के दौरान वेग की दिशा और विस्थापन के बारे में क्या कहा जा सकता है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम उसी तकनीक का उपयोग करेंगे जिसका उपयोग हमने पिछले अध्याय में रेक्टिलिनियर गति की तात्कालिक गति का अध्ययन करते समय किया था।

चित्र 56 एक निश्चित घुमावदार प्रक्षेपवक्र दिखाता है। आइए मान लें कि एक पिंड इसके अनुदिश बिंदु A से बिंदु B तक गति करता है।

इस मामले में, शरीर द्वारा तय किया गया पथ एक चाप ए बी है, और इसका विस्थापन एक वेक्टर है, हम यह नहीं मान सकते हैं कि आंदोलन के दौरान शरीर की गति विस्थापन वेक्टर के साथ निर्देशित होती है। आइए हम बिंदु ए और बी (चित्र 57) के बीच तारों की एक श्रृंखला बनाएं और कल्पना करें कि शरीर की गति ठीक इन तारों के साथ होती है। उनमें से प्रत्येक पर शरीर सीधा चलता है और वेग वेक्टर को जीवा के साथ निर्देशित किया जाता है।

आइए अब हम अपने सीधे खंडों (जीवाओं) को छोटा करें (चित्र 58)। पहले की तरह, उनमें से प्रत्येक पर वेग वेक्टर को जीवा के अनुदिश निर्देशित किया जाता है। लेकिन यह स्पष्ट है कि चित्र 58 में टूटी हुई रेखा पहले से ही एक चिकने वक्र के समान है।

इसलिए, यह स्पष्ट है कि सीधे खंडों की लंबाई कम करना जारी रखते हुए, हम उन्हें बिंदुओं में खींच लेंगे और टूटी हुई रेखा एक चिकने वक्र में बदल जाएगी। इस वक्र के प्रत्येक बिंदु पर गति इस बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होगी (चित्र 59)।

वक्रीय प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर किसी पिंड की गति की गति उस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है।

तथ्य यह है कि वक्रीय गति के दौरान एक बिंदु की गति वास्तव में एक स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित होती है, उदाहरण के लिए, गोचनला के संचालन के अवलोकन से आश्वस्त होता है (चित्र 60)। यदि आप स्टील की छड़ के सिरों को घूमते हुए ग्राइंडस्टोन पर दबाते हैं, तो पत्थर से निकलने वाले गर्म कण चिंगारी के रूप में दिखाई देंगे। ये कण जिस गति से उड़ते हैं

पत्थर से अलग होने के क्षण में उनके पास था। यह स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है कि चिंगारी की दिशा हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा से मेल खाती है जहां छड़ी पत्थर को छूती है। फिसलती हुई कार के पहियों से निकलने वाले छींटे भी स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ते हैं (चित्र 61)।

इस प्रकार, वक्रीय प्रक्षेपवक्र के विभिन्न बिंदुओं पर किसी पिंड के तात्कालिक वेग की अलग-अलग दिशाएँ होती हैं, जैसा कि चित्र 62 में दिखाया गया है। वेग का परिमाण प्रक्षेपवक्र के सभी बिंदुओं पर समान हो सकता है (चित्र 62 देखें) या अलग-अलग बिंदुओं पर भिन्न हो सकता है। बिंदु, समय में एक क्षण से दूसरे तक (चित्र 63)।

प्रक्षेप पथ के आकार के आधार पर, गति को सीधा और घुमावदार में विभाजित किया जा सकता है। जब प्रक्षेपवक्र को वक्र के रूप में दर्शाया जाता है तो अक्सर आपको वक्रीय गतियों का सामना करना पड़ता है। इस प्रकार की गति का एक उदाहरण क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड का मार्ग, सूर्य, ग्रहों आदि के चारों ओर पृथ्वी की गति है।

चित्र 1 । घुमावदार गति में प्रक्षेपवक्र और गति

परिभाषा 1

वक्ररेखीय गतिएक गति कहलाती है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है। यदि कोई पिंड घुमावदार पथ पर चलता है, तो विस्थापन वेक्टर s → जीवा के अनुदिश निर्देशित होता है, जैसा चित्र 1 में दिखाया गया है, और l पथ की लंबाई है। शरीर की गति की तात्कालिक गति की दिशा प्रक्षेपवक्र के उसी बिंदु पर स्पर्शरेखा रूप से जाती है जहां पर इस पलचलती हुई वस्तु स्थित है, जैसा चित्र 2 में दिखाया गया है।

चित्र 2। घुमावदार गति के दौरान तात्कालिक गति

परिभाषा 2

किसी भौतिक बिंदु की वक्ररेखीय गतिजब वेग मॉड्यूल स्थिर (गोलाकार गति) होता है, तो इसे एकसमान कहा जाता है, और जब दिशा और वेग मॉड्यूल बदल रहे होते हैं (किसी फेंके गए पिंड की गति) तो इसे समान रूप से त्वरित कहा जाता है।

वक्ररेखीय गति सदैव त्वरित होती है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि अपरिवर्तित वेग मॉड्यूल और बदली हुई दिशा के साथ भी, त्वरण हमेशा मौजूद होता है।

किसी भौतिक बिंदु की वक्ररेखीय गति का अध्ययन करने के लिए दो विधियों का उपयोग किया जाता है।

पथ को अलग-अलग खंडों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक पर इसे सीधा माना जा सकता है, जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है।

चित्र तीन। वक्ररेखीय गति को अनुवादात्मक गति में विभाजित करना

अब सरलरेखीय गति का नियम प्रत्येक अनुभाग पर लागू किया जा सकता है। इस सिद्धांत की अनुमति है.

सबसे सुविधाजनक समाधान विधि पथ को गोलाकार चापों के साथ कई आंदोलनों के एक सेट के रूप में प्रस्तुत करना माना जाता है, जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है। विभाजन की संख्या पिछली पद्धति की तुलना में बहुत कम होगी, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन पहले से ही घुमावदार है।

चित्र 4. वृत्ताकार चापों के अनुदिश गति में वक्ररेखीय गति का विभाजन

नोट 1

वक्रीय गति को रिकॉर्ड करने के लिए, आपको एक वृत्त में गति का वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए, और इन वृत्तों के चापों के साथ गति के सेट के रूप में मनमानी गति का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।

वक्रीय गति के अध्ययन में एक गतिज समीकरण का संकलन शामिल है जो इस गति का वर्णन करता है और उपलब्ध प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर गति की सभी विशेषताओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण 1

एक वक्र के अनुदिश गतिमान एक भौतिक बिंदु दिया गया है, जैसा चित्र 4 में दिखाया गया है। वृत्त O 1, O 2, O 3 के केंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। विस्थापन ढूंढने की जरूरत है
s → और पथ की लंबाई l बिंदु A से B तक जाते समय।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि वृत्त के केंद्र एक ही सीधी रेखा से संबंधित हैं, इसलिए:

एस → = आर 1 + 2 आर 2 + आर 3।

चूँकि गति का प्रक्षेप पथ अर्धवृत्तों का योग है, तो:

एल ~ ए बी = π आर 1 + आर 2 + आर 3।

उत्तर:एस → = आर 1 + 2 आर 2 + आर 3, एल ~ ए बी = π आर 1 + आर 2 + आर 3।

उदाहरण 2

समय पर पिंड द्वारा तय की गई दूरी की निर्भरता समीकरण s (t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0.1 m/s 2, D = 0.003 m/s) द्वारा दर्शाई गई है। 3). गणना करें कि गति शुरू होने के कितने समय बाद शरीर का त्वरण 2 m/s 2 के बराबर होगा

समाधान

उत्तर: t = 60 s.

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यह विषय और अधिक कवर करेगा जटिल दृश्यआंदोलन - वक्रीय. जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, वक्ररेखीय एक गति है जिसका प्रक्षेप पथ एक घुमावदार रेखा है. और, चूँकि यह गति सीधी रेखा की तुलना में अधिक जटिल है, इसलिए वे भौतिक मात्राएँ जो पिछले अध्याय में सूचीबद्ध थीं, अब इसका वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

वक्रीय गति के गणितीय विवरण के लिए, मात्राओं के 2 समूह हैं: रैखिक और कोणीय।

रैखिक मात्राएँ.

1. चलती. खंड 1.1 में हमने अवधारणा के बीच अंतर स्पष्ट नहीं किया है

चित्र 1.3 पथ (दूरी) और गति की अवधारणा,

चूँकि ये सीधीरेखीय गति में हैं

मतभेद मौलिक भूमिका नहीं निभाते, और

इन मात्राओं को एक ही अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है -

चीख़ एस. लेकिन जब वक्रीय गति से निपटते हैं,

इस मुद्दे को स्पष्ट करने की जरूरत है. तो रास्ता क्या है

(या दूरी)? - यह प्रक्षेपवक्र की लंबाई है

आंदोलनों. यानी, यदि आप प्रक्षेपवक्र को ट्रैक करते हैं

शरीर की गति और इसे मापें (मीटर, किलोमीटर, आदि में), आपको पथ (या दूरी) नामक एक मान मिलेगा एस(चित्र 1.3 देखें)। इस प्रकार, पथ एक अदिश राशि है जिसे केवल एक संख्या द्वारा दर्शाया जाता है।

चित्र 1.4 और गति के बीच की न्यूनतम दूरी है

पथ का प्रारंभिक बिंदु और पथ का अंतिम बिंदु। और तबसे

आंदोलन की शुरुआत से ही सख्त दिशा है

इसके अंत तक का पथ, तो यह एक सदिश राशि है

और इसकी विशेषता न केवल संख्यात्मक मान है, बल्कि यह भी है

दिशा (चित्र 1.3)। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि क्या होगा

शरीर एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है, फिर

जिस क्षण यह प्रारंभिक स्थिति में लौटेगा, विस्थापन शून्य होगा (चित्र 1.4 देखें)।

2 . रेखीय गति. खंड 1.1 में हमने इस मात्रा की परिभाषा दी है, और यह मान्य है, हालाँकि तब हमने यह निर्दिष्ट नहीं किया था कि यह गति रैखिक है। रैखिक वेग वेक्टर की दिशा क्या है? आइए चित्र 1.5 की ओर मुड़ें। यहां एक टुकड़ा दिखाया गया है

शरीर का वक्ररेखीय प्रक्षेप पथ. कोई भी घुमावदार रेखा विभिन्न वृत्तों के चापों के बीच एक संबंध है। चित्र 1.5 उनमें से केवल दो को दिखाता है: वृत्त (O 1, r 1) और वृत्त (O 2, r 2)। जिस समय पिंड किसी दिए गए वृत्त के चाप के साथ गुजरता है, उसका केंद्र इस वृत्त की त्रिज्या के बराबर त्रिज्या के साथ घूर्णन का एक अस्थायी केंद्र बन जाता है।

घूर्णन के केंद्र से उस बिंदु तक खींचा गया वेक्टर जहां पिंड वर्तमान में स्थित है, त्रिज्या वेक्टर कहलाता है।चित्र 1.5 में, त्रिज्या सदिशों को सदिशों और द्वारा दर्शाया गया है। यह आंकड़ा रैखिक वेग वेक्टर को भी दिखाता है: रैखिक वेग वेक्टर हमेशा गति की दिशा में प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है। इसलिए, वेक्टर और त्रिज्या वेक्टर के बीच का कोण खींचा गया है इस बिंदुप्रक्षेप पथ सदैव 90° होता है। यदि कोई पिंड एक स्थिर रैखिक गति से चलता है, तो वेक्टर का परिमाण नहीं बदलेगा, जबकि इसकी दिशा प्रक्षेपवक्र के आकार के आधार पर हर समय बदलती रहती है। चित्र 1.5 में दिखाए गए मामले में, गति एक चर रैखिक गति के साथ की जाती है, इसलिए वेक्टर का मापांक बदल जाता है। लेकिन, चूँकि वक्ररेखीय गति के दौरान वेक्टर की दिशा हमेशा बदलती रहती है, इससे एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है:

वक्ररेखीय गति में सदैव त्वरण होता है! (भले ही गति एक स्थिर रैखिक गति से की जाती हो।) इसके अलावा, त्वरण पर चर्चा की गई है इस मामले में, जिसे हम निम्नलिखित में रैखिक त्वरण कहेंगे।

3 . रैखिक त्वरण. मैं आपको याद दिला दूं कि त्वरण तब होता है जब गति बदलती है। तदनुसार, रैखिक गति में परिवर्तन होने पर रैखिक त्वरण प्रकट होता है। ए रैखिक गतिवक्रीय गति के दौरान, स्पिनर मापांक और दिशा में बदल सकता है। इस प्रकार, कुल रैखिक त्वरण दो घटकों में विघटित हो जाता है, जिनमें से एक वेक्टर की दिशा को प्रभावित करता है, और दूसरा इसके परिमाण को प्रभावित करता है। आइए इन त्वरणों पर विचार करें (चित्र 1.6)। इस तस्वीर में

चावल। 1.6

के बारे में

एक पिंड को बिंदु O पर घूर्णन केंद्र के साथ एक वृत्ताकार पथ पर चलते हुए दिखाया गया है।

वह त्वरण जो किसी सदिश की दिशा बदल देता है, कहलाता है सामान्य और नामित किया गया है. इसे सामान्य कहा जाता है क्योंकि यह स्पर्शरेखा के लंबवत (सामान्य) निर्देशित होता है, अर्थात। त्रिज्या के अनुदिश मोड़ के केंद्र तक . इसे अभिकेन्द्रीय त्वरण भी कहते हैं।

वह त्वरण जो सदिश के परिमाण को परिवर्तित करता है, कहलाता है स्पज्या का और नामित किया गया है. यह स्पर्शरेखा पर स्थित है और इसे या तो वेक्टर की दिशा की ओर या उसके विपरीत दिशा में निर्देशित किया जा सकता है :

यदि रैखिक गति बढ़ता है, तो > 0 और उनके सदिश कोड-दिशात्मक होते हैं;

यदि रैखिक गति तो घट जाती है< 0 и их вектора противоположно

निर्देशित.

इस प्रकार, ये दोनों त्वरण हमेशा एक दूसरे के साथ समकोण (90º) बनाते हैं और कुल रैखिक त्वरण के घटक होते हैं, अर्थात। कुल रैखिक त्वरण सामान्य और स्पर्शरेखीय त्वरण का सदिश योग है:

मुझे ध्यान दें कि इस मामले में हम विशेष रूप से एक सदिश योग के बारे में बात कर रहे हैं, लेकिन किसी भी मामले में एक अदिश योग के बारे में नहीं। और का संख्यात्मक मान ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय (त्रिभुज के कर्ण का वर्ग संख्यात्मक रूप से होता है) का उपयोग करना आवश्यक है योग के बराबरइस त्रिभुज के पैरों का वर्ग):

(1.8).

यह संकेत करता है:

(1.9).

हम थोड़ी देर बाद विचार करेंगे कि किन सूत्रों का उपयोग करके गणना की जाए।

कोणीय मान.

1 . घूर्णन का कोण φ . वक्ररेखीय गति के दौरान, पिंड न केवल किसी दिशा में जाता है और कुछ गति करता है, बल्कि एक निश्चित कोण से घूमता भी है (चित्र 1.7(ए) देखें)। इसलिए, इस तरह के आंदोलन का वर्णन करने के लिए, एक मात्रा पेश की जाती है जिसे रोटेशन का कोण कहा जाता है, जिसे ग्रीक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है φ (पढ़ें "फाई") एसआई प्रणाली में, घूर्णन के कोण को रेडियन (प्रतीक "रेड") में मापा जाता है। मैं आपको याद दिला दूं कि एक पूर्ण क्रांति 2π रेडियन के बराबर है, और संख्या π एक स्थिरांक है: π ≈ 3.14। चित्र में 1.7(ए) त्रिज्या के एक वृत्त के अनुदिश एक पिंड के प्रक्षेपवक्र को दर्शाता है आर बिंदु O पर केंद्र के साथ। घूर्णन का कोण स्वयं समय के कुछ क्षणों में शरीर के त्रिज्या वैक्टर के बीच का कोण है।

2 . कोणीय वेग ω – यह एक मात्रा है जो दर्शाती है कि प्रति इकाई समय में घूर्णन का कोण कैसे बदलता है। (ω - ग्रीक अक्षर, पढ़ें "ओमेगा"।) चित्र में। 1.7(बी) समय के अंतराल पर बिंदु O पर केंद्र के साथ एक गोलाकार पथ पर घूमते हुए एक भौतिक बिंदु की स्थिति को दर्शाता है Δt . यदि इन अंतरालों के दौरान पिंड जिन कोणों से घूमता है वे समान हैं, तो कोणीय वेग स्थिर है, और इस गति को एक समान माना जा सकता है। और यदि घूर्णन के कोण भिन्न हैं, तो गति असमान है। और, चूंकि कोणीय वेग से पता चलता है कि कितने रेडियन हैं

पिंड एक सेकंड में घूमता है तो इसकी माप की इकाई रेडियन प्रति सेकंड है

(द्वारा चिह्नित " रेड/एस »).

चावल। 1.7

ए)। बी)। Δt

Δt

Δt

के बारे में φ के बारे में Δt

3 . कोणीय त्वरण ε एक मात्रा है जो दर्शाती है कि यह प्रति इकाई समय में कैसे बदलती है। और कोणीय त्वरण के बाद से ε तब प्रकट होता है जब कोणीय वेग बदलता है ω , तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोणीय त्वरण केवल गैर-समान वक्रीय गति के मामले में होता है। कोणीय त्वरण के माप की इकाई है " रेड/एस 2 » (रेडियन प्रति सेकंड वर्ग)।

इस प्रकार, तालिका 1.1 को तीन और मूल्यों के साथ पूरक किया जा सकता है:

तालिका 1.2

№	भौतिक मात्रा	मात्रा का निर्धारण	मात्रा पदनाम	इकाई
1.	पथ	किसी पिंड द्वारा अपनी गति के दौरान तय की गई दूरी है	एस	मी (मीटर)
2.	रफ़्तार	यह वह दूरी है जो एक वस्तु प्रति इकाई समय में तय करती है (उदाहरण के लिए, 1 सेकंड)	υ	एम/एस (मीटर प्रति सेकंड)
3.	त्वरण	वह मात्रा है जिसके द्वारा किसी पिंड की गति प्रति इकाई समय में बदलती है	ए	मी/से 2 (मीटर प्रति सेकंड वर्ग)
4.	समय		टी	एस (दूसरा)
5.	घूर्णन का कोण	यह वह कोण है जिससे वस्तु वक्ररेखीय गति के दौरान घूमती है	φ	रेडियन
6.	कोणीय वेग	यह वह कोण है जिससे वस्तु प्रति इकाई समय में घूमती है (उदाहरण के लिए, 1 सेकंड में)	ω	रेड/एस (रेडियन प्रति सेकंड)
7.	कोणीय त्वरण	यह वह राशि है जिससे कोणीय वेग प्रति इकाई समय में बदलता है	ε	रेड/एस 2 (रेडियन प्रति सेकंड वर्ग)

अब हम सीधे सभी प्रकार की वक्रीय गति पर विचार करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और उनमें से केवल तीन हैं।

किसी पिंड की वक्ररेखीय गति पर विचार करने पर हम देखेंगे कि अलग-अलग क्षणों में इसकी गति अलग-अलग होती है। यहां तक ​​कि ऐसे मामले में जहां वेग का परिमाण नहीं बदलता है, फिर भी वेग की दिशा में परिवर्तन होता है। में सामान्य मामलावेग का परिमाण और दिशा दोनों बदल जाते हैं।

इस प्रकार, वक्ररेखीय गति के दौरान गति लगातार बदलती रहती है, जिससे यह गति त्वरण के साथ होती है। इस त्वरण (परिमाण और दिशा में) को निर्धारित करने के लिए, गति में परिवर्तन को एक वेक्टर के रूप में खोजना आवश्यक है, अर्थात, वेग के परिमाण में वृद्धि और उसकी दिशा में परिवर्तन का पता लगाना आवश्यक है।

चावल। 49. घुमावदार गति के दौरान गति में परिवर्तन

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक बिंदु, वक्ररेखीय रूप से घूम रहा है (चित्र 49), किसी क्षण में एक गति है, और थोड़े समय के बाद - एक गति है। गति वृद्धि वेक्टर और के बीच का अंतर है। चूँकि इन सदिशों की दिशाएँ अलग-अलग हैं, इसलिए आपको उनका सदिश अंतर लेना होगा। गति वृद्धि को विकर्ण और दूसरे पक्ष के साथ समांतर चतुर्भुज के किनारे द्वारा दर्शाए गए वेक्टर द्वारा व्यक्त किया जाएगा। त्वरण गति में वृद्धि और उस समयावधि का अनुपात है जिसके दौरान यह वृद्धि हुई। इसका मतलब है त्वरण

दिशा वेक्टर से मेल खाती है.

पर्याप्त रूप से छोटा चुनने पर, हम तात्कालिक त्वरण की अवधारणा पर पहुंचते हैं (सीएफ. § 16); जब मनमाना, वेक्टर समय की अवधि में औसत त्वरण का प्रतिनिधित्व करेगा।

वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण की दिशा वेग की दिशा से मेल नहीं खाती है, जबकि सीधीरेखीय गति के लिए ये दिशाएँ मेल खाती हैं (या विपरीत हैं)। वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण की दिशा जानने के लिए, प्रक्षेप पथ के दो करीबी बिंदुओं पर वेगों की दिशाओं की तुलना करना पर्याप्त है। चूंकि वेग प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा से निर्देशित होते हैं, तो प्रक्षेपवक्र के आकार से ही कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि प्रक्षेपवक्र से त्वरण किस दिशा में निर्देशित है। दरअसल, चूंकि प्रक्षेप पथ के दो करीबी बिंदुओं पर गति में अंतर हमेशा उस दिशा में निर्देशित होता है जहां प्रक्षेप पथ घुमावदार होता है, इसका मतलब है कि त्वरण हमेशा प्रक्षेप पथ की समतलता की ओर निर्देशित होता है। उदाहरण के लिए, जब एक गेंद एक घुमावदार ढलान के साथ लुढ़कती है (चित्र 50), तो इसका त्वरण खंडों में होता है और इसे तीरों द्वारा दिखाए गए अनुसार निर्देशित किया जाता है, और यह इस पर निर्भर नहीं करता है कि गेंद एक दिशा से दूसरी दिशा में लुढ़कती है या विपरीत दिशा में।

चावल। 50. वक्ररेखीय गति के दौरान त्वरण हमेशा प्रक्षेपवक्र की समतलता की ओर निर्देशित होते हैं

चावल। 51. अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र प्राप्त करना

आइए हम एक वक्ररेखीय प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की एकसमान गति पर विचार करें। हम पहले से ही जानते हैं कि यह एक त्वरित आंदोलन है। आइए त्वरण ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, एक वृत्त में एकसमान गति के विशेष मामले के लिए त्वरण पर विचार करना पर्याप्त है। आइए दो करीबी स्थितियों और एक गतिमान बिंदु को लें, जो थोड़े समय के अंतर से अलग हो (चित्र 51, ए)। किसी गतिमान बिंदु के वेग परिमाण में समान होते हैं, लेकिन दिशा में भिन्न होते हैं। आइए त्रिभुज नियम (चित्र 51, बी) का उपयोग करके इन गतियों के बीच अंतर खोजें। त्रिभुज और समरूप होते हैं, समान शीर्ष कोणों वाले समद्विबाहु त्रिभुज की तरह। समय की अवधि में गति में वृद्धि को दर्शाने वाली भुजा की लंबाई को बराबर सेट किया जा सकता है, जहां वांछित त्वरण का मापांक है। इसके समान पक्ष चाप की जीवा है; चाप के छोटे होने के कारण इसकी जीवा की लंबाई चाप की लंबाई के लगभग बराबर हो सकती है, अर्थात। . आगे, ; , प्रक्षेप पथ की त्रिज्या कहां है. त्रिभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि उनमें समान भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:

जहां से हम वांछित त्वरण का मापांक पाते हैं:

त्वरण की दिशा जीवा के लंबवत् होती है। पर्याप्त रूप से कम समय अंतराल के लिए, हम यह मान सकते हैं कि चाप की स्पर्श रेखा व्यावहारिक रूप से उसकी जीवा से मेल खाती है। इसका मतलब यह है कि त्वरण को प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के लंबवत (सामान्य रूप से) निर्देशित माना जा सकता है, अर्थात, वृत्त के केंद्र की त्रिज्या के साथ। इसलिए, ऐसे त्वरण को सामान्य या अभिकेन्द्रीय त्वरण कहा जाता है।

यदि प्रक्षेपवक्र एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक मनमानी घुमावदार रेखा है, तो सूत्र (27.1) में किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के निकटतम वृत्त की त्रिज्या लेनी चाहिए। इस मामले में सामान्य त्वरण की दिशा भी किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की स्पर्शरेखा के लंबवत होगी। यदि वक्रीय गति के दौरान त्वरण परिमाण और दिशा में स्थिर है, तो इसे उस समय की अवधि के लिए गति में वृद्धि के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है जिसके दौरान यह वृद्धि हुई, समय की यह अवधि जो भी हो। इसका मतलब यह है कि इस मामले में त्वरण सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

सीधीरेखीय गति के लिए सूत्र (17.1) के समान निरंतर त्वरण. यहाँ शरीर की गति है आरंभिक क्षण, ए समय के क्षण में गति है।

इस पाठ की सहायता से आप स्वतंत्र रूप से “सरलरेखीय और वक्ररेखीय गति” विषय का अध्ययन कर सकते हैं। किसी पिंड की एक वृत्त में निरंतर पूर्ण गति से गति करना।" सबसे पहले, हम इस बात पर विचार करके सरलरेखीय और वक्ररेखीय गति का वर्णन करेंगे कि इस प्रकार की गति में वेग वेक्टर और शरीर पर लागू बल कैसे संबंधित हैं। आगे हम विचार करेंगे विशेष मामलाजब कोई पिंड एक स्थिर निरपेक्ष गति से एक वृत्त में घूमता है।

पिछले पाठ में हमने सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से संबंधित मुद्दों पर गौर किया था। आज के पाठ का विषय इस नियम से निकटता से संबंधित है, हम एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति की ओर मुड़ेंगे।

ऐसा हमने पहले कहा था आंदोलन -यह समय के साथ अन्य पिंडों के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक पिंड की स्थिति में बदलाव है। गति और गति की दिशा भी गति की विशेषता है। गति में परिवर्तन और गति का प्रकार स्वयं बल की कार्रवाई से जुड़ा हुआ है। यदि किसी पिंड पर कोई बल कार्य करता है तो पिंड अपनी गति बदल देता है।

यदि बल को शरीर की गति के समानांतर निर्देशित किया जाए, तो ऐसी गति होगी सीधा(चित्र .1)।

चावल। 1. सीधी-रेखा गति

वक्रीयऐसी गति तब होगी जब पिंड की गति और इस पिंड पर लगाया गया बल एक दूसरे के सापेक्ष एक निश्चित कोण पर निर्देशित हों (चित्र 2)। इस स्थिति में, गति अपनी दिशा बदल देगी।

चावल। 2. वक्ररेखीय गति

तो कब सीधी गतिवेग वेक्टर को उसी दिशा में निर्देशित किया जाता है जिस दिशा में शरीर पर लगाया गया बल होता है। ए वक्ररेखीय गतियह एक ऐसी गति है जब वेग वेक्टर और शरीर पर लगाया गया बल एक दूसरे से एक निश्चित कोण पर स्थित होते हैं।

आइए वक्ररेखीय गति के एक विशेष मामले पर विचार करें, जब कोई पिंड निरपेक्ष मान में स्थिर वेग के साथ एक वृत्त में घूमता है। जब कोई पिंड एक वृत्त में घूमता है निरंतर गति, तभी वेग की दिशा बदल जाती है। निरपेक्ष मान में यह स्थिर रहता है, लेकिन वेग की दिशा बदल जाती है। गति में इस परिवर्तन से शरीर में त्वरण की उपस्थिति होती है, जिसे कहा जाता है केंद्र की ओर जानेवाला.

चावल। 6. घुमावदार पथ पर गति

यदि किसी पिंड की गति का प्रक्षेपवक्र एक वक्र है, तो इसे गोलाकार चाप के साथ गति के एक सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 6.

चित्र में. चित्र 7 दिखाता है कि वेग वेक्टर की दिशा कैसे बदलती है। इस तरह की गति के दौरान गति स्पर्शरेखीय रूप से उस वृत्त की ओर निर्देशित होती है जिसके चाप के अनुदिश शरीर गति करता है। इस प्रकार इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है। भले ही पूर्ण गति स्थिर रहे, गति में परिवर्तन से त्वरण होता है:

इस मामले में त्वरणवृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाएगा। इसीलिए इसे सेंट्रिपेटल कहा जाता है।

अभिकेंद्रीय त्वरण केंद्र की ओर क्यों निर्देशित होता है?

याद रखें कि यदि कोई पिंड घुमावदार पथ पर चलता है, तो उसकी गति स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है। वेग एक सदिश राशि है. एक वेक्टर का एक संख्यात्मक मान और एक दिशा होती है। जैसे-जैसे शरीर चलता है गति लगातार अपनी दिशा बदलती रहती है। अर्थात्, सीधीरेखीय एकसमान गति के विपरीत, समय के विभिन्न क्षणों में गति में अंतर शून्य () के बराबर नहीं होगा।

इसलिए, एक निश्चित अवधि में हमारी गति में बदलाव होता है। का अनुपात त्वरण है. हम इस निष्कर्ष पर पहुँचे हैं कि, भले ही गति निरपेक्ष मान में न बदलती हो, एक वृत्त में एकसमान गति करने वाले पिंड में त्वरण होता है।

यह त्वरण कहाँ निर्देशित है? आइए चित्र देखें। 3. कुछ पिंड वक्ररेखीय (चाप के अनुदिश) गति करते हैं। बिंदु 1 और 2 पर शरीर की गति स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है। शरीर समान रूप से चलता है, अर्थात, वेग मॉड्यूल बराबर हैं:, लेकिन वेग की दिशाएं मेल नहीं खाती हैं।

चावल। 3. शरीर का एक वृत्त में घूमना

इसमें से गति घटाएं और वेक्टर प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों वैक्टर की शुरुआत को जोड़ना होगा। समानांतर में, वेक्टर को वेक्टर की शुरुआत में ले जाएं। हम एक त्रिभुज बनाते हैं। त्रिभुज की तीसरी भुजा वेग अंतर सदिश होगी (चित्र 4)।

चावल। 4. वेग अंतर वेक्टर

वेक्टर वृत्त की ओर निर्देशित है।

आइए वेग सदिश और अंतर सदिश द्वारा निर्मित एक त्रिभुज पर विचार करें (चित्र 5)।

चावल। 5. वेग सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज

यह त्रिभुज समद्विबाहु है (वेग मापांक बराबर हैं)। इसका मतलब यह है कि आधार पर कोण बराबर हैं। आइए हम एक त्रिभुज के कोणों के योग के लिए समानता लिखें:

आइए जानें कि प्रक्षेप पथ के किसी दिए गए बिंदु पर त्वरण कहाँ निर्देशित होता है। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु 2 को बिंदु 1 के करीब लाना शुरू करेंगे। ऐसे असीमित परिश्रम के साथ, कोण 0 की ओर प्रवृत्त होगा, और कोण की ओर प्रवृत्त होगा। वेग परिवर्तन वेक्टर और स्वयं वेग वेक्टर के बीच का कोण है। गति को स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है, और गति परिवर्तन का वेक्टर वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इसका मतलब यह है कि त्वरण भी वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित है। इसीलिए यह त्वरण कहा जाता है केंद्र की ओर जानेवाला.

अभिकेन्द्रीय त्वरण कैसे ज्ञात करें?

आइए उस प्रक्षेप पथ पर विचार करें जिसके साथ शरीर चलता है। इस स्थिति में यह एक गोलाकार चाप है (चित्र 8)।

चावल। 8. शरीर का एक वृत्त में घूमना

चित्र दो त्रिभुज दिखाता है: एक त्रिभुज जो वेग से बनता है, और एक त्रिभुज जो त्रिज्या और विस्थापन वेक्टर से बनता है। यदि बिंदु 1 और 2 बहुत करीब हैं, तो विस्थापन वेक्टर पथ वेक्टर के साथ मेल खाएगा। दोनों त्रिभुज समान शीर्ष कोण वाले समद्विबाहु हैं। इस प्रकार, त्रिभुज समरूप हैं। इसका मतलब यह है कि त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान रूप से संबंधित हैं:

विस्थापन गति और समय के गुणनफल के बराबर है:। स्थानापन्न यह सूत्र, हम अभिकेन्द्रीय त्वरण के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं:

कोणीय वेगग्रीक अक्षर ओमेगा (ω) द्वारा निरूपित, यह उस कोण को इंगित करता है जिसके माध्यम से शरीर प्रति इकाई समय में घूमता है (चित्र 9)। यह डिग्री में चाप का परिमाण है, जो कुछ समय में शरीर द्वारा पार किया जाता है।

चावल। 9. कोणीय वेग

कृपया ध्यान दें कि यदि ठोसघूमता है, तो इस पिंड पर किसी भी बिंदु के लिए कोणीय वेग एक स्थिर मान होगा। यह महत्वपूर्ण नहीं है कि बिंदु घूर्णन के केंद्र के करीब स्थित है या उससे दूर, अर्थात यह त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है।

इस मामले में माप की इकाई या तो डिग्री प्रति सेकंड () या रेडियन प्रति सेकंड () होगी। अक्सर "रेडियन" शब्द नहीं लिखा जाता है, बल्कि बस लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए जानें कि पृथ्वी का कोणीय वेग क्या है। पृथ्वी एक घंटे में पूरा चक्कर लगाती है, और इस स्थिति में हम कह सकते हैं कि कोणीय वेग बराबर है:

कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध पर भी ध्यान दें:

रैखिक गति त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है। त्रिज्या जितनी बड़ी होगी, रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी। इस प्रकार, घूर्णन के केंद्र से दूर जाकर, हम अपनी रैखिक गति बढ़ाते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्थिर गति पर गोलाकार गति गति का एक विशेष मामला है। हालाँकि, वृत्त के चारों ओर गति असमान हो सकती है। गति न केवल दिशा में बदल सकती है और परिमाण में समान रह सकती है, बल्कि उसके मान में भी परिवर्तन हो सकता है, अर्थात दिशा में परिवर्तन के अलावा, वेग के परिमाण में भी परिवर्तन होता है। इस मामले में हम एक वृत्त में तथाकथित त्वरित गति के बारे में बात कर रहे हैं।

रेडियन क्या है?

कोण मापने की दो इकाइयाँ हैं: डिग्री और रेडियन। भौतिकी में, एक नियम के रूप में, कोण का रेडियन माप मुख्य है।

आइए एक केंद्रीय कोण बनाएं जो लंबाई के चाप पर टिका हो।