किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण

पी. रोमानोव, टी. रोमानोवा,
मैग्नीटोगोर्स्क,
चेल्याबिंस्क क्षेत्र

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण

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पर आधुनिक मंचशिक्षा का विकास, इसका एक मुख्य कार्य रचनात्मक सोच वाले व्यक्तित्व का निर्माण है। छात्रों में रचनात्मकता की क्षमता तभी विकसित हो सकती है जब वे अनुसंधान गतिविधियों की मूल बातों में व्यवस्थित रूप से शामिल हों। छात्रों के लिए अपनी रचनात्मक शक्तियों, क्षमताओं और प्रतिभाओं का उपयोग करने की नींव पूर्ण ज्ञान और कौशल से बनती है। इस संबंध में, स्कूली गणित पाठ्यक्रम के प्रत्येक विषय के लिए बुनियादी ज्ञान और कौशल की एक प्रणाली बनाने की समस्या का कोई छोटा महत्व नहीं है। साथ ही, पूर्ण कौशल एक उपदेशात्मक लक्ष्य नहीं होना चाहिए व्यक्तिगत कार्य, लेकिन उनकी सावधानीपूर्वक सोची-समझी प्रणाली। व्यापक अर्थ में, एक सिस्टम को परस्पर जुड़े हुए अंतःक्रियात्मक तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जिनमें अखंडता और एक स्थिर संरचना होती है।

आइए छात्रों को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए समीकरण लिखने का तरीका सिखाने की एक तकनीक पर विचार करें। अनिवार्य रूप से, स्पर्शरेखा समीकरण खोजने की सभी समस्याएं रेखाओं के एक सेट (बंडल, परिवार) से चयन करने की आवश्यकता पर आती हैं जो एक निश्चित आवश्यकता को पूरा करती हैं - वे एक निश्चित फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, लाइनों का सेट जिससे चयन किया जाता है, दो तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

a) xOy समतल पर स्थित एक बिंदु (रेखाओं की केंद्रीय पेंसिल);
बी) कोणीय गुणांक (सीधी रेखाओं की समानांतर किरण)।

इस संबंध में, सिस्टम के तत्वों को अलग करने के लिए "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा" विषय का अध्ययन करते समय, हमने दो प्रकार की समस्याओं की पहचान की:

1) स्पर्शरेखा पर समस्याएँ उस बिंदु द्वारा दी जाती हैं जिससे वह गुजरती है;
2) इसकी ढलान द्वारा दी गई स्पर्शरेखा पर समस्याएं।

ए.जी. द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके स्पर्शरेखा समस्याओं को हल करने का प्रशिक्षण दिया गया। मोर्दकोविच. पहले से ज्ञात लोगों से इसका मूलभूत अंतर यह है कि स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a (x0 के बजाय) द्वारा दर्शाया जाता है, और इसलिए स्पर्शरेखा समीकरण का रूप लेता है

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) से तुलना करें)। व्यवस्थित तकनीकहमारी राय में, छात्रों को जल्दी और आसानी से यह समझने की अनुमति मिलती है कि सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण में वर्तमान बिंदु के निर्देशांक कहाँ लिखे गए हैं, और स्पर्शरेखा बिंदु कहाँ हैं।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम

1. स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को अक्षर a से निर्दिष्ट करें।
2. f(a) खोजें।
3. f "(x) और f "(a) खोजें।
4. पाई गई संख्याओं a, f(a), f "(a) को इसमें प्रतिस्थापित करें सामान्य समीकरणस्पर्श रेखा y = f(a) = f "(a)(x – a).

इस एल्गोरिदम को छात्रों की संचालन की स्वतंत्र पहचान और उनके कार्यान्वयन के अनुक्रम के आधार पर संकलित किया जा सकता है।

अभ्यास से पता चला है कि एल्गोरिदम का उपयोग करके प्रत्येक प्रमुख समस्या का अनुक्रमिक समाधान आपको चरणों में किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखने के कौशल को विकसित करने की अनुमति देता है, और एल्गोरिदम के चरण कार्यों के लिए संदर्भ बिंदु के रूप में कार्य करते हैं . यह दृष्टिकोण पी.वाई.ए. द्वारा विकसित मानसिक क्रियाओं के क्रमिक गठन के सिद्धांत से मेल खाता है। गैल्परिन और एन.एफ. तालिज़िना।

पहले प्रकार के कार्यों में, दो प्रमुख कार्यों की पहचान की गई:

• स्पर्शरेखा वक्र पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरती है (समस्या 1);
• स्पर्शरेखा एक ऐसे बिंदु से होकर गुजरती है जो वक्र पर नहीं है (समस्या 2)।

कार्य 1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें बिंदु M(3; – 2) पर।

समाधान। चूँकि बिंदु M(3; – 2) एक स्पर्शरेखा बिंदु है

1. ए = 3 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = – 2.
3. एफ "(एक्स) = एक्स 2 – 4, एफ "(3) = 5.
y = - 2 + 5(x - 3), y = 5x - 17 - स्पर्शरेखा समीकरण।

समस्या 2. फ़ंक्शन y = - x 2 - 4x + 2 के ग्राफ़ पर बिंदु M(- 3; 6) से गुजरने वाली सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें।

समाधान। बिंदु M(-3; 6) एक स्पर्शरेखा बिंदु नहीं है, क्योंकि f(-3) 6 (चित्र 2)।

2. एफ(ए) = - ए 2 - 4ए + 2.
3. एफ "(एक्स) = - 2एक्स - 4, एफ "(ए) = - 2ए - 4.
4. y = - a 2 - 4a + 2 - 2(a + 2)(x - a) - स्पर्शरेखा समीकरण।

स्पर्शरेखा बिंदु M(-3; 6) से होकर गुजरती है, इसलिए, इसके निर्देशांक स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

6 = - ए 2 - 4ए + 2 - 2(ए + 2)(- 3 - ए),
ए 2 + 6ए + 8 = 0^ ए 1 = - 4, ए 2 = - 2।

यदि a = – 4 है, तो स्पर्शरेखा समीकरण y = 4x + 18 है।

यदि a = – 2 है, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप y = 6 है।

दूसरे प्रकार में, प्रमुख कार्य निम्नलिखित होंगे:

• स्पर्शरेखा किसी रेखा के समानांतर है (समस्या 3);
• स्पर्शरेखा दी गई रेखा से एक निश्चित कोण पर गुजरती है (समस्या 4)।

समस्या 3. फलन y = x 3 – 3x 2 + 3 के ग्राफ की सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरण, रेखा y = 9x + 1 के समानांतर लिखें।

समाधान।

1. ए - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज.
2. एफ(ए) = ए 3 - 3ए 2 + 3.
3. एफ "(एक्स) = 3एक्स 2 - 6एक्स, एफ "(ए) = 3ए 2 - 6ए।

लेकिन, दूसरी ओर, f'(a) = 9 (समानांतर स्थिति)। इसका मतलब है कि हमें समीकरण 3a 2 - 6a = 9 को हल करने की आवश्यकता है। इसके मूल a = - 1, a = 3 हैं (चित्र 3) ).

4.1) ए = – 1;
2) एफ(-1) =-1;
3) एफ "(- 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 - स्पर्शरेखा समीकरण;

1) ए = 3;
2) एफ(3) = 3;
3) एफ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – स्पर्शरेखा समीकरण.

समस्या 4. फ़ंक्शन y = 0.5x 2 - 3x + 1 के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखें, जो सीधी रेखा y = 0 से 45° के कोण पर गुजरती है (चित्र 4)।

समाधान। शर्त f'(a) = tan 45° से हम पाते हैं a: a - 3 = 1^ए = 4.

1. ए = 4 - स्पर्शरेखा बिंदु का भुज।
2. एफ(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. एफ "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – स्पर्श रेखा समीकरण.

यह दिखाना आसान है कि किसी भी अन्य समस्या का समाधान एक या अधिक प्रमुख समस्याओं के समाधान से ही संभव होता है। उदाहरण के तौर पर निम्नलिखित दो समस्याओं पर विचार करें।

1. परवलय y = 2x 2 - 5x - 2 की स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें, यदि स्पर्शरेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और उनमें से एक भुज 3 वाले बिंदु पर परवलय को छूती है (चित्र 5)।

समाधान। चूँकि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज दिया गया है, समाधान का पहला भाग मुख्य समस्या 1 तक कम हो गया है।

1. ए = 3 - समकोण की किसी एक भुजा के स्पर्श बिंदु का भुज।
2. एफ(3) = 1.
3. एफ "(एक्स) = 4एक्स - 5, एफ "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – प्रथम स्पर्श रेखा का समीकरण।

चलो ए – प्रथम स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण. चूँकि स्पर्शरेखाएँ लंबवत हैं, तो दूसरी स्पर्शरेखा का झुकाव कोण है। समीकरण y = 7x – 20 से पहली स्पर्श रेखा से हमें tg प्राप्त होता हैए = 7. आइए खोजें

इसका मतलब है कि दूसरी स्पर्श रेखा का ढलान बराबर है।

आगे का समाधान मुख्य कार्य 3 पर आता है।

मान लीजिए कि B(c; f(c)) दूसरी रेखा का स्पर्श बिंदु है

1.- स्पर्शरेखा के दूसरे बिंदु का भुज.
2.
3.
4.
– दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण.

टिप्पणी। यदि छात्रों को लंबवत रेखाओं k 1 k 2 = - 1 के गुणांकों का अनुपात पता हो तो स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक अधिक आसानी से पाया जा सकता है।

2. फलन के ग्राफ़ में सभी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें

समाधान। कार्य सामान्य स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा बिंदुओं के भुज को खोजने के लिए नीचे आता है, अर्थात, मुख्य समस्या 1 को सामान्य रूप में हल करना, समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना और फिर इसे हल करना (चित्र 6)।

1. मान लीजिए a फ़ंक्शन y = x 2 + x + 1 के ग्राफ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है।
2. एफ(ए) = ए 2 + ए + 1.
3. एफ "(ए) = 2ए + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2।

1. मान लीजिए c फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है
2.
3. एफ "(सी) = सी।
4.

चूँकि स्पर्शरेखाएँ सामान्य हैं, तो

तो y = x + 1 और y = - 3x - 3 उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं।

विचार किए गए कार्यों का मुख्य लक्ष्य छात्रों को अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय मुख्य समस्या के प्रकार को स्वतंत्र रूप से पहचानने के लिए तैयार करना है, जिसके लिए कुछ शोध कौशल (विश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण, एक परिकल्पना को आगे बढ़ाने की क्षमता, आदि) की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में कोई भी कार्य शामिल होता है जिसमें मुख्य कार्य एक घटक के रूप में शामिल होता है। आइए एक उदाहरण के रूप में स्पर्शरेखाओं के परिवार से एक फ़ंक्शन खोजने की समस्या (समस्या 1 के विपरीत) पर विचार करें।

3. किसके लिए b और c रेखाएँ y = x और y = - 2x हैं जो फ़ंक्शन y = x 2 + bx + c के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा हैं?

समाधान।

मान लीजिए t परवलय y = x 2 + bx + c के साथ सीधी रेखा y = x के स्पर्श बिंदु का भुज है; p, परवलय y = x 2 + bx + c के साथ सीधी रेखा y = - 2x के स्पर्श बिंदु का भुज है। तब स्पर्शरेखा समीकरण y = x, y = (2t + b)x + c – t 2 का रूप लेगा, और स्पर्शरेखा समीकरण y = – 2x, y = (2p + b)x + c – p 2 का रूप लेगा। .

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और हल करें

उत्तर:

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. फ़ंक्शन y = 2x 2 - 4x + 3 के ग्राफ पर खींची गई स्पर्शरेखाओं के समीकरण को रेखा y = x + 3 के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर लिखें।

उत्तर: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. a के किन मानों के लिए फ़ंक्शन y = x 2 – ax के ग्राफ़ के भुज x 0 = 1 वाले बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु M(2; 3) से होकर गुजरती है?

उत्तर: ए = 0.5.

3. p के किन मानों के लिए सीधी रेखा y = px – 5 वक्र y = 3x 2 – 4x – 2 को स्पर्श करती है?

उत्तर: पी 1 = – 10, पी 2 = 2.

4. फ़ंक्शन y = 3x – x 3 के ग्राफ़ के सभी सामान्य बिंदु और बिंदु P(0; 16) के माध्यम से इस ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा ज्ञात करें।

उत्तर: ए(2;-2), बी(-4;52).

5. परवलय y = x 2 + 6x + 10 और सीधी रेखा के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

उत्तर:

6. वक्र y = x 2 – x + 1 पर, वह बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर ग्राफ़ की स्पर्श रेखा सीधी रेखा y – 3x + 1 = 0 के समानांतर है।

उत्तर: एम(2; 3).

7. फलन y = x 2 + 2x – | के ग्राफ की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखिए। 4x |, जो इसे दो बिंदुओं पर छूता है। एक चित्र बनाओ.

उत्तर: y = 2x – 4.

8. सिद्ध कीजिए कि रेखा y = 2x – 1 वक्र y = x 4 + 3x 2 + 2x को नहीं काटती है। उनके निकटतम बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

9. परवलय y = x 2 पर, भुज x 1 = 1, x 2 = 3 के साथ दो बिंदु लिए गए हैं। इन बिंदुओं के माध्यम से एक छेदक खींचा गया है। परवलय के किस बिंदु पर उसकी स्पर्शरेखा छेदक रेखा के समानांतर होगी? छेदक और स्पर्शरेखा समीकरण लिखिए।

उत्तर: y = 4x – 3 – छेदक समीकरण; y = 4x – 4 – स्पर्शरेखा समीकरण.

10. कोण q ज्ञात कीजिए फ़ंक्शन y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखाओं के बीच, भुज 0 और 1 वाले बिंदुओं पर खींची गई।

उत्तर: q = 45°.

11. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा किन बिंदुओं पर ऑक्स अक्ष के साथ 135° का कोण बनाती है?

उत्तर: ए(0; – 1), बी(4; 3).

12. वक्र के बिंदु A(1; 8) पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है. निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्शरेखा खंड की लंबाई ज्ञात करें।

उत्तर:

13. फलन y = x 2 – x + 1 और y = 2x 2 – x + 0.5 के ग्राफ़ पर सभी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण लिखें।

उत्तर: y = – 3x और y = x.

14. फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें x-अक्ष के समानांतर.

उत्तर:

15. निर्धारित करें कि परवलय y = x 2 + 2x – 8, x-अक्ष को किस कोण पर काटता है।

उत्तर: क्यू 1 = आर्कटन 6, क्यू 2 = आर्कटन (-6)।

16. फ़ंक्शन ग्राफ़ सभी बिंदु खोजें, जिनमें से प्रत्येक पर इस ग्राफ़ की स्पर्शरेखा निर्देशांक के सकारात्मक अर्ध-अक्षों को काटती है, उनसे समान खंडों को काटती है।

उत्तर: ए(- 3; 11).

17. रेखा y = 2x + 7 और परवलय y = x 2 - 1 बिंदु M और N पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु M और N पर परवलय की स्पर्शरेखा रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु K का पता लगाएं।

उत्तर: K(1; – 9).

18. b के किन मानों के लिए रेखा y = 9x + b फ़ंक्शन y = x 3 – 3x + 15 के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है?

उत्तर 1; 31.

19. k के किन मानों के लिए सीधी रेखा y = kx – 10 में फलन y = 2x 2 + 3x – 2 के ग्राफ के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है? K के पाए गए मानों के लिए, बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें।

उत्तर: k 1 = – 5, ए(– 2; 0); के 2 = 11, बी(2; 12).

20. b के किन मानों के लिए फ़ंक्शन y = bx 3 – 2x 2 – 4 के ग्राफ पर भुज x 0 = 2 वाले बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु M(1; 8) से होकर गुजरती है?

उत्तर: बी = – 3.

21. ऑक्स अक्ष पर शीर्ष वाला एक परवलय बिंदु A(1; 2) और B(2; 4) से होकर गुजरने वाली रेखा को बिंदु B पर स्पर्श करता है। परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

22. गुणांक k के किस मान पर परवलय y = x 2 + kx + 1 ऑक्स अक्ष को स्पर्श करता है?

उत्तर: के = डी 2.

23. सीधी रेखा y = x + 2 और वक्र y = 2x 2 + 4x – 3 के बीच के कोण ज्ञात कीजिए।

29. 45° के कोण पर ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा और जेनरेटर के बीच की दूरी ज्ञात करें।

उत्तर:

30. रेखा y = 4x – 1 की स्पर्श रेखा y = x 2 + ax + b के रूप के सभी परवलयों के शीर्षों का स्थान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सीधी रेखा y = 4x + 3.

साहित्य

1. ज़वाविच एल.आई., श्ल्यापोचनिक एल.वाई.ए., चिंकिना एम.वी. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: स्कूली बच्चों और विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों के लिए 3600 समस्याएं। - एम., बस्टर्ड, 1999।
2. मोर्दकोविच ए. युवा शिक्षकों के लिए सेमिनार चार। विषय: व्युत्पन्न अनुप्रयोग। - एम., "गणित", संख्या 21/94।
3. मानसिक क्रियाओं के क्रमिक आत्मसात के सिद्धांत के आधार पर ज्ञान और कौशल का निर्माण। / ईडी। पी.या. गैल्पेरीना, एन.एफ. तालिज़िना। - एम., मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1968।

लेख ग्राफिक नोटेशन के साथ परिभाषाओं, व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ का विस्तृत विवरण प्रदान करता है। स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण पर उदाहरण सहित विचार किया जाएगा, द्वितीय क्रम के वक्रों की स्पर्शरेखा के समीकरण मिलेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

सीधी रेखा y = k x + b के झुकाव के कोण को कोण α कहा जाता है, जिसे x अक्ष की सकारात्मक दिशा से सीधी रेखा y = k x + b तक सकारात्मक दिशा में मापा जाता है।

चित्र में, x दिशा को हरे तीर और हरे चाप द्वारा और झुकाव के कोण को लाल चाप द्वारा दर्शाया गया है। नीली रेखा सीधी रेखा को संदर्भित करती है।

परिभाषा 2

सीधी रेखा y = k x + b की ढलान को संख्यात्मक गुणांक k कहा जाता है।

कोणीय गुणांक सीधी रेखा की स्पर्शरेखा के बराबर है, दूसरे शब्दों में k = t g α।

• एक सीधी रेखा के झुकाव का कोण केवल 0 के बराबर होता है यदि वह x के समानांतर हो और ढलान शून्य के बराबर हो, क्योंकि शून्य की स्पर्श रेखा 0 के बराबर होती है। इसका मतलब है कि समीकरण का रूप y = b होगा.
• यदि सीधी रेखा y = k x + b का झुकाव कोण न्यून कोण है, तो स्थितियाँ 0 संतुष्ट होती हैं< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, और ग्राफ़ में वृद्धि हुई है।
• यदि α = π 2, तो रेखा का स्थान x पर लंबवत है। समानता x = c द्वारा निर्दिष्ट की जाती है, जिसका मान c एक वास्तविक संख्या है।
• यदि सीधी रेखा y = k x + b का झुकाव कोण अधिक है, तो यह शर्तों π 2 के अनुरूप है< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

परिभाषा 3

सेकेंट एक रेखा है जो फ़ंक्शन f (x) के 2 बिंदुओं से होकर गुजरती है। दूसरे शब्दों में, एक छेदक एक सीधी रेखा है जो किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर किन्हीं दो बिंदुओं से होकर गुजरती है।

चित्र से पता चलता है कि A B एक छेदक है, और f (x) एक काला वक्र है, α एक लाल चाप है, जो छेदक के झुकाव के कोण को दर्शाता है।

जब एक सीधी रेखा का कोणीय गुणांक झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है, तो यह स्पष्ट है कि एक समकोण त्रिभुज A B C की स्पर्शरेखा को आसन्न भुजा के विपरीत पक्ष के अनुपात से पाया जा सकता है।

परिभाषा 4

हमें प्रपत्र का छेदक ज्ञात करने का एक सूत्र मिलता है:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, जहां बिंदु A और B के भुज x A, x B, और f (x A), f (x) के मान हैं बी) इन बिंदुओं पर मान कार्य हैं।

जाहिर है, छेदक का कोणीय गुणांक समानता k = f (x B) - f (x A) x B - x A या k = f (x A) - f (x B) x A - x B का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। , और समीकरण को y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) या के रूप में लिखा जाना चाहिए
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

सेकेंट ग्राफ़ को दृश्य रूप से 3 भागों में विभाजित करता है: बिंदु A के बाईं ओर, A से B तक, B के दाईं ओर। नीचे दिए गए चित्र से पता चलता है कि तीन सेकेंट हैं जिन्हें संपाती माना जाता है, अर्थात, उन्हें a का उपयोग करके सेट किया गया है समान समीकरण.

परिभाषा के अनुसार, यह स्पष्ट है कि एक सीधी रेखा और उसमें छेदक रेखा इस मामले मेंमेल खाना।

एक सेकेंट किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को कई बार काट सकता है। यदि किसी छेदक के लिए y = 0 के रूप का समीकरण है, तो साइनसॉइड के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या अनंत है।

परिभाषा 5

बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा; f (x 0) किसी दिए गए बिंदु x 0 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है; f (x 0), एक खंड की उपस्थिति के साथ जिसमें x 0 के करीब कई x मान हैं।

उदाहरण 1

आइए नीचे दिए गए उदाहरण पर करीब से नज़र डालें। तब यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y = x + 1 द्वारा परिभाषित रेखा को निर्देशांक (1; 2) वाले बिंदु पर y = 2 x की स्पर्शरेखा माना जाता है। स्पष्टता के लिए, (1; 2) के करीब मान वाले ग्राफ़ पर विचार करना आवश्यक है। फ़ंक्शन y = 2 x को काले रंग में दिखाया गया है, नीली रेखा स्पर्शरेखा रेखा है, और लाल बिंदु प्रतिच्छेदन बिंदु है।

जाहिर है, y = 2 x रेखा y = x + 1 के साथ विलीन हो जाता है।

स्पर्शरेखा निर्धारित करने के लिए, हमें स्पर्शरेखा A B के व्यवहार पर विचार करना चाहिए क्योंकि बिंदु B बिंदु A पर अनंत रूप से पहुंचता है। स्पष्टता के लिए, हम एक चित्र प्रस्तुत करते हैं।

नीली रेखा द्वारा दर्शाया गया छेदक A B, स्वयं स्पर्शरेखा की स्थिति की ओर झुकता है, और छेदक α के झुकाव का कोण स्वयं स्पर्शरेखा α x के झुकाव के कोण की ओर झुकना शुरू कर देगा।

परिभाषा 6

बिंदु A पर फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा को छेदक A B की सीमित स्थिति माना जाता है क्योंकि B, A की ओर झुकता है, अर्थात B → A।

आइए अब एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें।

आइए फ़ंक्शन f (x) के लिए छेदक A B पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें, जहां A और B निर्देशांक x 0, f (x 0) और x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), और ∆ x के साथ है तर्क की वृद्धि के रूप में दर्शाया गया है। अब फलन ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) का रूप लेगा। स्पष्टता के लिए, आइए एक चित्र का उदाहरण दें।

आइए परिणाम पर विचार करें सही त्रिकोण A B C. हम हल करने के लिए स्पर्शरेखा की परिभाषा का उपयोग करते हैं, अर्थात, हम संबंध ∆ y ∆ x = t g α प्राप्त करते हैं। स्पर्शरेखा की परिभाषा से यह पता चलता है कि lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x। एक बिंदु पर व्युत्पन्न के नियम के अनुसार, हमारे पास यह है कि बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न f (x) को तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, जहां ∆ x → 0 , तो हम इसे f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x के रूप में निरूपित करते हैं।

यह इस प्रकार है कि f" (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, जहां k x को स्पर्श रेखा के ढलान के रूप में दर्शाया गया है।

अर्थात्, हम पाते हैं कि f' (x) बिंदु x 0 पर मौजूद हो सकता है और स्पर्शरेखा की तरह हो सकता है शेड्यूल दिया गयास्पर्शरेखा के बिंदु पर फ़ंक्शन x 0, f 0 (x 0) के बराबर है, जहां बिंदु पर स्पर्शरेखा के ढलान का मान बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न के बराबर है। तब हमें वह मिलता है k x = f " (x 0) .

ज्यामितीय अर्थकिसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न यह है कि उसी बिंदु पर ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के अस्तित्व की अवधारणा दी गई है।

किसी समतल पर किसी सीधी रेखा का समीकरण लिखने के लिए उस बिंदु के साथ कोणीय गुणांक का होना आवश्यक है जिससे वह गुजरती है। चौराहे पर इसका अंकन x 0 माना जाता है।

बिंदु x 0, f 0 (x 0) पर फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ का स्पर्शरेखा समीकरण y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) का रूप लेता है।

इसका मतलब यह है कि व्युत्पन्न f "(x 0) का अंतिम मान स्पर्शरेखा की स्थिति निर्धारित कर सकता है, अर्थात लंबवत, बशर्ते कि lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ और lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ या स्थिति lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) के तहत बिल्कुल भी अनुपस्थिति।

स्पर्शरेखा का स्थान उसके कोणीय गुणांक k x = f "(x 0) के मान पर निर्भर करता है। जब o x अक्ष के समानांतर होता है, तो हमें वह k k = 0 प्राप्त होता है, जब o y - k x = ∞ के समानांतर होता है, और का रूप स्पर्श रेखा समीकरण x = x 0 k x > 0 के साथ बढ़ता है, k x के साथ घटता है< 0 .

उदाहरण 2

निर्देशांक (1; 3) वाले बिंदु पर फ़ंक्शन y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 के ग्राफ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण संकलित करें और झुकाव का कोण निर्धारित करें।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। हम पाते हैं कि शर्त द्वारा निर्दिष्ट निर्देशांक वाला बिंदु, (1; 3) स्पर्शरेखा का एक बिंदु है, तो x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

मान-1 वाले बिंदु पर अवकलज ज्ञात करना आवश्यक है। हमें वह मिल गया

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

स्पर्शरेखा के बिंदु पर f' (x) का मान स्पर्शरेखा का ढलान है, जो ढलान की स्पर्शरेखा के बराबर है।

फिर k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

यह इस प्रकार है कि α x = a r c t g 3 3 = π 6

उत्तर:स्पर्श रेखा समीकरण का रूप ले लेती है

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

स्पष्टता के लिए, हम ग्राफिक चित्रण में एक उदाहरण देते हैं।

मूल फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए काले रंग का उपयोग किया जाता है, नीला रंग- स्पर्शरेखा की छवि, लाल बिंदु - स्पर्शरेखा का बिंदु। दाईं ओर का चित्र एक विस्तृत दृश्य दिखाता है।

उदाहरण 3

किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के अस्तित्व का निर्धारण करें
y = 3 · x - 1 5 + 1 निर्देशांक वाले बिंदु पर (1 ; 1) . एक समीकरण लिखें और झुकाव का कोण निर्धारित करें।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का सेट माना जाता है।

आइए व्युत्पन्न खोजने के लिए आगे बढ़ें

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

यदि x 0 = 1, तो f' (x) अपरिभाषित है, लेकिन सीमाएं lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 के रूप में लिखी जाती हैं · 1 + 0 = + ∞ और lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , जिसका अर्थ है बिंदु (1; 1) पर ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा का अस्तित्व।

उत्तर:समीकरण x = 1 का रूप लेगा, जहां झुकाव का कोण π 2 के बराबर होगा।

स्पष्टता के लिए, आइए इसे ग्राफ़िक रूप से चित्रित करें।

उदाहरण 4

फ़ंक्शन y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 के ग्राफ़ पर बिंदु खोजें, जहां

1. कोई स्पर्शरेखा नहीं है;
2. स्पर्शरेखा x के समानांतर है;
3. स्पर्शरेखा रेखा y = 8 5 x + 4 के समानांतर है।

समाधान

परिभाषा के दायरे पर ध्यान देना जरूरी है. शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन सभी वास्तविक संख्याओं के सेट पर परिभाषित किया गया है। हम मॉड्यूल का विस्तार करते हैं और सिस्टम को अंतराल x ∈ - ∞ के साथ हल करते हैं; 2 और [-2 ; + ∞) . हमें वह मिल गया

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

कार्य में अंतर करना आवश्यक है। हमारे पास वह है

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

जब x = − 2, तब व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता क्योंकि उस बिंदु पर एकतरफा सीमाएँ समान नहीं होती हैं:

लिम x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 लिम x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

हम बिंदु x = - 2 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं, जहां हमें वह मिलता है

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, अर्थात् बिंदु पर स्पर्श रेखा ( - 2; - 2) अस्तित्व में नहीं होगा.
2. जब ढलान शून्य हो तो स्पर्शरेखा x के समानांतर होती है। तब k x = t g α x = f "(x 0)। यानी, ऐसे x के मान ज्ञात करना आवश्यक है जब फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इसे शून्य में बदल देता है। अर्थात, f का मान ' (x) स्पर्शरेखा के बिंदु होंगे, जहां स्पर्शरेखा x के समानांतर है।

जब x ∈ - ∞ ; - 2, तो - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, और x ∈ (- 2; + ∞) के लिए हमें 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 मिलता है।

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 डी = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

संगत फ़ंक्शन मानों की गणना करें

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 वाई 3 = वाई (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 वाई 4 = वाई (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

अतः - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 को फ़ंक्शन ग्राफ़ के आवश्यक बिंदु माना जाता है।

आइए समाधान का चित्रमय प्रतिनिधित्व देखें।

काली रेखा फ़ंक्शन का ग्राफ़ है, लाल बिंदु स्पर्शरेखा बिंदु हैं।

1. जब रेखाएँ समानांतर होती हैं, तो कोणीय गुणांक बराबर होते हैं। फिर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर उन बिंदुओं की खोज करना आवश्यक है जहां ढलान मान 8 5 के बराबर होगा। ऐसा करने के लिए, आपको फॉर्म y "(x) = 8 5 के समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। फिर, यदि x ∈ - ∞; - 2, तो हम प्राप्त करते हैं - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, और यदि x ∈ ( - 2 ; + ∞), तो 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

पहले समीकरण का कोई मूल नहीं है क्योंकि विवेचक शून्य से कम है। चलो उसे लिख लें

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 डी = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

तो फिर, एक अन्य समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

आइए फ़ंक्शन के मान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ें। हमें वह मिल गया

वाई 1 = वाई (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 वाई 2 = वाई (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

मान वाले अंक - 1; 4 15, 5; 8 3 वे बिंदु हैं जिन पर स्पर्शरेखाएँ रेखा y = 8 5 x + 4 के समानांतर हैं।

उत्तर:काली रेखा - फ़ंक्शन का ग्राफ, लाल रेखा - y = 8 5 x + 4 का ग्राफ, नीली रेखा - बिंदुओं पर स्पर्शरेखा - 1; 4 15, 5; 8 3.

दिए गए फलन के लिए स्पर्शरेखाओं की अनंत संख्या हो सकती है।

उदाहरण 5

फ़ंक्शन y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 की सभी उपलब्ध स्पर्शरेखाओं के समीकरण लिखें, जो सीधी रेखा y = - 2 x + 1 2 के लंबवत स्थित हैं।

समाधान

स्पर्शरेखा समीकरण संकलित करने के लिए रेखाओं की लंबवतता की स्थिति के आधार पर स्पर्शरेखा बिंदु के गुणांक और निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। परिभाषा इस प्रकार है: कोणीय गुणांकों का गुणनफल जो सीधी रेखाओं के लंबवत होते हैं - 1 के बराबर होते हैं, अर्थात k x · k ⊥ = - 1 के रूप में लिखा जाता है। शर्त से हमारे पास यह है कि कोणीय गुणांक रेखा के लंबवत स्थित है और k ⊥ = - 2 के बराबर है, तो k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

अब आपको स्पर्श बिंदुओं के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है। आपको किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए x और फिर उसका मान ढूंढना होगा। ध्यान दें कि बिंदु पर व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ से
x 0 से हम पाते हैं कि k x = y "(x 0)। इस समानता से हम संपर्क बिंदुओं के लिए x का मान पाते हैं।

हमें वह मिल गया

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - पाप 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 पाप 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 पाप 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 पाप 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ पाप 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

इस त्रिकोणमितीय समीकरण का उपयोग स्पर्शरेखा बिंदुओं के निर्देशांक की गणना के लिए किया जाएगा।

3 2 x 0 - π 4 = ए आर सी पाप - 1 9 + 2 πk या 3 2 x 0 - π 4 = π - ए आर सी पाप - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - ए आर सी पाप 1 9 + 2 πk या 3 2 x 0 - π 4 = π + ए आर सी पाप 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c पाप 1 9 + 2 πk या x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c पाप 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z पूर्णांकों का एक समूह है.

संपर्क के x बिंदु पाए गए हैं. अब आपको y के मानों की खोज के लिए आगे बढ़ना होगा:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - पाप 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 या y 0 = 3 - 1 - पाप 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

वाई 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 या वाई 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 या y 0 = - 4 5 + 1 3

इससे हमें यह प्राप्त होता है कि 2 3 π 4 - a r c syn 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + ए आर सी पाप 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 स्पर्शरेखा के बिंदु हैं।

उत्तर:आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिखे जायेंगे

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c पाप 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c पाप 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

एक दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए, एक समन्वय रेखा पर एक फ़ंक्शन और एक स्पर्शरेखा पर विचार करें।

चित्र से पता चलता है कि स्थान कार्य आ रहे हैंअंतराल पर [-10 ; 10 ], जहां काली रेखा फ़ंक्शन का ग्राफ है, नीली रेखाएं स्पर्शरेखाएं हैं, जो फॉर्म y = - 2 x + 1 2 की दी गई रेखा के लंबवत स्थित हैं। लाल बिंदु स्पर्श बिंदु हैं.

दूसरे क्रम के वक्रों के विहित समीकरण एकल-मूल्य वाले फ़ंक्शन नहीं हैं। उनके लिए स्पर्शरेखा समीकरण ज्ञात योजनाओं के अनुसार संकलित किए जाते हैं।

एक वृत्त की स्पर्शरेखा

बिंदु x c e n t e r पर केन्द्रित एक वृत्त को परिभाषित करना; y c e n t e r और त्रिज्या R, सूत्र x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 लागू करें।

इस समानता को दो कार्यों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है:

वाई = आर 2 - एक्स - एक्स सी ई एन टी ई आर 2 + वाई सी ई एन टी ई आर वाई = - आर 2 - एक्स - एक्स सी ई एन टी ई आर 2 + वाई सी ई एन टी ई आर

पहला फ़ंक्शन शीर्ष पर स्थित है, और दूसरा नीचे, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

बिंदु x 0 पर एक वृत्त का समीकरण संकलित करने के लिए; y 0, जो ऊपरी या निचले अर्धवृत्त में स्थित है, आपको फॉर्म y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r या y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + के फ़ंक्शन के ग्राफ़ का समीकरण ढूंढना चाहिए संकेतित बिंदु पर वाई सी ई एन टी ई आर।

जब बिंदुओं पर x c e n t e r ; वाई सी ई एन टी ई आर + आर और एक्स सी ई एन टी ई आर; y c e n t e r - R स्पर्श रेखाएं समीकरण y = y c e n t e r + R और y = y c e n t e r - R द्वारा दी जा सकती हैं, और बिंदुओं x c e n t e r + R पर; वाई सी ई एन टी ई आर और
एक्स सी ई एन टी ई आर - आर ; y c e n t e r, o y के समानांतर होगा, तो हमें x = x c e n t e r + R और x = x c e n t e r - R के रूप के समीकरण प्राप्त होते हैं।

एक दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा

जब दीर्घवृत्त का केंद्र x c e n t e r पर हो; y c e n t e r अर्ध-अक्ष a और b के साथ, तो इसे समीकरण x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

एक दीर्घवृत्त और एक वृत्त को दो कार्यों, अर्थात् ऊपरी और निचले आधे-दीर्घवृत्त को मिलाकर निरूपित किया जा सकता है। तब हमें वह मिलता है

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

यदि स्पर्शरेखाएँ दीर्घवृत्त के शीर्षों पर स्थित हैं, तो वे x के बारे में या y के बारे में समानांतर हैं। स्पष्टता के लिए नीचे दिए गए आंकड़े पर विचार करें।

उदाहरण 6

दीर्घवृत्त x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 की स्पर्शरेखा का समीकरण x = 2 के बराबर x के मान वाले बिंदुओं पर लिखें।

समाधान

उन स्पर्शरेखा बिंदुओं को खोजना आवश्यक है जो मान x = 2 के अनुरूप हैं। हम दीर्घवृत्त के मौजूदा समीकरण को प्रतिस्थापित करते हैं और उसे पाते हैं

एक्स - 3 2 4 एक्स = 2 + वाई - 5 2 25 = 1 1 4 + वाई - 5 2 25 = 1 ⇒ वाई - 5 2 = 3 4 25 ⇒ वाई = ± 5 3 2 + 5

फिर 2 ; 5 3 2 + 5 और 2; - 5 3 2 + 5 स्पर्शरेखा बिंदु हैं जो ऊपरी और निचले आधे-दीर्घवृत्त से संबंधित हैं।

आइए y के संबंध में दीर्घवृत्त के समीकरण को खोजने और हल करने के लिए आगे बढ़ें। हमें वह मिल गया

एक्स - 3 2 4 + वाई - 5 2 25 = 1 वाई - 5 2 25 = 1 - एक्स - 3 2 4 (वाई - 5) 2 = 25 1 - एक्स - 3 2 4 वाई - 5 = ± 5 1 - एक्स - 3 2 4 वाई = 5 ± 5 2 4 - एक्स - 3 2

जाहिर है, ऊपरी अर्ध-दीर्घवृत्त को y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 के रूप के एक फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, और निचला आधा दीर्घवृत्त y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।

आइए एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाने के लिए एक मानक एल्गोरिदम लागू करें। आइए हम लिखते हैं कि बिंदु 2 पर पहली स्पर्शरेखा के लिए समीकरण; 5 3 2 + 5 जैसा दिखेगा

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

हम पाते हैं कि बिंदु पर एक मान के साथ दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण
2 ; - 5 3 2 + 5 का रूप लेता है

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

ग्राफ़िक रूप से, स्पर्शरेखाओं को इस प्रकार निर्दिष्ट किया गया है:

अतिशयोक्ति का स्पर्शरेखा

जब हाइपरबोला का केंद्र x c e n t e r पर होता है; y c e n t e r और शीर्ष x c e n t e r + α ; वाई सी ई एन टी ई आर और एक्स सी ई एन टी ई आर - α ; y c e n t e r , असमानता x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 होती है, यदि शीर्ष x c e n t e r के साथ; वाई सी ई एन टी ई आर + बी और एक्स सी ई एन टी ई आर; y c e n t e r - b , फिर असमानता x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है।

एक हाइपरबोला को फॉर्म के दो संयुक्त कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r या y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (एक्स - एक्स सी ई एन टी ई आर) 2 + ए 2 + वाई सी ई एन टी ई आर

पहले मामले में हमारे पास यह है कि स्पर्शरेखाएँ y के समानांतर हैं, और दूसरे में वे x के समानांतर हैं।

इसका तात्पर्य यह है कि हाइपरबोला के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने के लिए, यह पता लगाना आवश्यक है कि स्पर्शरेखा का बिंदु किस फ़ंक्शन से संबंधित है। इसे निर्धारित करने के लिए, समीकरणों में स्थानापन्न करना और पहचान की जांच करना आवश्यक है।

उदाहरण 7

बिंदु 7 पर अतिपरवलय x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें; - 3 3 - 3 .

समाधान

2 फ़ंक्शंस का उपयोग करके हाइपरबोला खोजने के लिए समाधान रिकॉर्ड को बदलना आवश्यक है। हमें वह मिल गया

एक्स - 3 2 4 - वाई + 3 2 9 = 1 ⇒ वाई + 3 2 9 = एक्स - 3 2 4 - 1 ⇒ वाई + 3 2 = 9 एक्स - 3 2 4 - 1 ⇒ वाई + 3 = 3 2 एक्स - 3 2 - 4 और y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

यह पहचानना आवश्यक है कि यह किस फ़ंक्शन से संबंधित है निर्दिष्ट बिंदूनिर्देशांक 7 के साथ; - 3 3 - 3 .

जाहिर है, पहले फ़ंक्शन की जांच करने के लिए यह आवश्यक है y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, तो बिंदु ग्राफ़ से संबंधित नहीं है, चूंकि समानता कायम नहीं है.

दूसरे फ़ंक्शन के लिए हमारे पास है कि y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, जिसका अर्थ है कि बिंदु दिए गए ग्राफ़ से संबंधित है। यहां से आपको ढलान ढूंढनी चाहिए.

हमें वह मिल गया

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

उत्तर:स्पर्शरेखा समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

इसे इस प्रकार स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है:

एक परवलय की स्पर्शरेखा

बिंदु x 0, y (x 0) पर परवलय y = a x 2 + b x + c की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाने के लिए, आपको एक मानक एल्गोरिदम का उपयोग करना होगा, फिर समीकरण y = y "(x) का रूप लेगा 0) x - x 0 + y ( x 0)। शीर्ष पर ऐसी स्पर्शरेखा x के समानांतर है।

आपको परवलय x = a y 2 + b y + c को दो कार्यों के मिलन के रूप में परिभाषित करना चाहिए। इसलिए, हमें y के समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। हमें वह मिल गया

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - बी - बी 2 - 4 ए (सी - एक्स) 2 ए

रेखांकन के रूप में दर्शाया गया है:

यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई बिंदु x 0, y (x 0) किसी फ़ंक्शन से संबंधित है, मानक एल्गोरिदम के अनुसार धीरे से आगे बढ़ें। ऐसी स्पर्शरेखा परवलय के सापेक्ष y के समानांतर होगी।

उदाहरण 8

ग्राफ़ x - 2 y 2 - 5 y + 3 की स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें जब हमारे पास 150° का स्पर्शरेखा कोण हो।

समाधान

हम परवलय को दो कार्यों के रूप में निरूपित करके समाधान शुरू करते हैं। हमें वह मिल गया

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

ढलान का मान इस फ़ंक्शन के बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न के मान के बराबर है और झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पाते हैं:

के एक्स = वाई "(एक्स 0) = टी जी α एक्स = टी जी 150 ° = - 1 3

यहां से हम संपर्क बिंदुओं के लिए x मान निर्धारित करते हैं।

पहला फ़ंक्शन इस प्रकार लिखा जाएगा

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

जाहिर है, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, क्योंकि हमें नकारात्मक मूल्य मिला है। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ऐसे फलन के लिए 150° के कोण वाली कोई स्पर्शरेखा नहीं है।

दूसरा फ़ंक्शन इस प्रकार लिखा जाएगा

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ वाई (एक्स 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

हमारे पास यह है कि संपर्क के बिंदु 23 4 हैं; - 5 + 3 4 .

उत्तर:स्पर्श रेखा समीकरण का रूप ले लेती है

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

आइए इसे आलेखीय रूप से इस प्रकार चित्रित करें:

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क्या आप पहले से ही जानते हैं कि व्युत्पन्न क्या है? यदि नहीं, तो पहले विषय पढ़ें। तो आप कहते हैं कि आप व्युत्पन्न जानते हैं। आइए अब इसकी जाँच करें। जब तर्क की वृद्धि बराबर हो तो फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें। क्या आप संभाल पाओगे? यह काम करना चाहिए। अब एक बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। उत्तर: । घटित? यदि आपको इनमें से किसी भी उदाहरण से कोई कठिनाई है, तो मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप विषय पर वापस आएं और इसका दोबारा अध्ययन करें। मैं जानता हूं कि विषय बहुत बड़ा है, लेकिन अन्यथा आगे बढ़ने का कोई मतलब नहीं है। कुछ फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें:

आइए ग्राफ़ रेखा पर एक निश्चित बिंदु का चयन करें। मान लीजिए कि यह भुज है, तो कोटि बराबर है। फिर हम बिंदु के निकट भुज के साथ बिंदु का चयन करते हैं; इसका क्रम है:

आइए इन बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींचें। इसे सेकेंट कहा जाता है (बिल्कुल ज्यामिति की तरह)। आइए हम अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को इस प्रकार निरूपित करें। त्रिकोणमिति की तरह, इस कोण को x-अक्ष की सकारात्मक दिशा से वामावर्त मापा जाता है। कोण क्या मान ले सकता है? इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इस सीधी रेखा को कितना झुकाते हैं, आधा हिस्सा अभी भी चिपक जाएगा। इसलिए, अधिकतम संभव कोण है, और न्यूनतम संभव कोण है। मतलब, । कोण शामिल नहीं है, क्योंकि इस मामले में सीधी रेखा की स्थिति बिल्कुल मेल खाती है, और एक छोटा कोण चुनना अधिक तर्कसंगत है। आइए चित्र में एक बिंदु लें जैसे कि सीधी रेखा भुज अक्ष के समानांतर हो और a कोटि अक्ष हो:

चित्र से यह देखा जा सकता है कि, ए. तो वृद्धि अनुपात है:

(चूँकि यह आयताकार है)।

चलिए अब इसे कम करते हैं. फिर बात मुद्दे पर आ जायेगी. जब यह अतिसूक्ष्म हो जाता है, तो अनुपात बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर हो जाता है। सेकेंट का क्या होगा? बिंदु बिंदु के असीम रूप से करीब होगा, ताकि उन्हें एक ही बिंदु माना जा सके। लेकिन एक सीधी रेखा जिसमें वक्र के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, इससे अधिक कुछ नहीं है स्पर्शरेखा(इस मामले में, यह शर्त केवल एक छोटे से क्षेत्र में पूरी होती है - बिंदु के पास, लेकिन यह पर्याप्त है)। उनका कहना है कि इस मामले में सेकेंट लेता है सीमा स्थिति.

आइए अक्ष पर छेदक के झुकाव का कोण कहते हैं। तब यह पता चलता है कि व्युत्पन्न

वह है व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

चूँकि स्पर्शरेखा एक रेखा है, आइए अब रेखा के समीकरण को याद करें:

गुणांक किसके लिए उत्तरदायी है? सीधी रेखा के ढलान के लिए. इसे ही कहते हैं: ढलान. इसका मतलब क्या है? और तथ्य यह है कि यह सीधी रेखा और अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है! तो यही होता है:

लेकिन हमें यह नियम एक बढ़ते हुए फलन पर विचार करके प्राप्त हुआ। यदि फ़ंक्शन कम हो रहा है तो क्या परिवर्तन होगा? चलो देखते हैं:
अब कोण कुंठित हैं। और फ़ंक्शन की वृद्धि ऋणात्मक है. आइए फिर से विचार करें: . दूसरी ओर, । हमें मिलता है: यानी सब कुछ पिछली बार जैसा ही है। आइए हम फिर से बिंदु को बिंदु पर निर्देशित करें, और छेदक एक सीमित स्थिति लेगा, यानी, यह बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा में बदल जाएगा। तो, आइए अंतिम नियम बनाएं:
किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, या (जो समान है) इस स्पर्शरेखा का ढलान:

यह वही है व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ.ठीक है, यह सब दिलचस्प है, लेकिन हमें इसकी आवश्यकता क्यों है? यहाँ उदाहरण:
यह चित्र एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ और भुज बिंदु पर उसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें।
समाधान।
जैसा कि हमें हाल ही में पता चला है, स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, जो बदले में भुज अक्ष पर इस स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है:। इसका मतलब यह है कि अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए हमें स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शज्या ज्ञात करनी होगी। चित्र में हमने स्पर्शरेखा पर स्थित दो बिंदुओं को चिह्नित किया है, जिनके निर्देशांक हमें ज्ञात हैं। तो आइए इन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले एक समकोण त्रिभुज का निर्माण पूरा करें और स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शज्या ज्ञात करें!

अक्ष पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण है। आइए इस कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात करें: . इस प्रकार, एक बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बराबर होता है।
उत्तर:. अब इसे स्वयं आज़माएँ:

उत्तर:

जानने व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ, हम इस नियम को बहुत सरलता से समझा सकते हैं कि बिंदु पर व्युत्पन्न स्थानीय अधिकतमया न्यूनतम शून्य है. वास्तव में, इन बिंदुओं पर ग्राफ़ की स्पर्शरेखा "क्षैतिज" है, अर्थात, x-अक्ष के समानांतर:

समांतर रेखाओं के बीच का कोण कितना होता है? बेशक, शून्य! और शून्य की स्पर्शरेखा भी शून्य है. तो व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

इसके बारे में "कार्यों की एकरसता" विषय में और पढ़ें। चरम बिंदु।"

आइए अब मनमानी स्पर्शरेखाओं पर ध्यान दें। मान लीजिए कि हमारे पास कुछ फ़ंक्शन है, उदाहरण के लिए,। हमने इसका ग्राफ़ खींच लिया है और किसी बिंदु पर इसकी स्पर्श रेखा खींचना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर. हम एक रूलर लेते हैं, उसे ग्राफ़ से जोड़ते हैं और बनाते हैं:

हम इस पंक्ति के बारे में क्या जानते हैं? निर्देशांक तल पर एक रेखा के बारे में जानने के लिए सबसे महत्वपूर्ण बात क्या है? क्योंकि एक सीधी रेखा एक छवि है रैखिक प्रकार्य, इसका समीकरण जानना बहुत सुविधाजनक होगा। यानी समीकरण में गुणांक

लेकिन हम पहले से ही जानते हैं! यह स्पर्शरेखा का ढलान है, जो उस बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है:

हमारे उदाहरण में यह इस प्रकार होगा:

अब तो बस उसे ढूंढना ही बाकी रह गया है. यह नाशपाती के छिलके जितना सरल है: आख़िरकार - का मूल्य। आलेखीय रूप से, यह कोटि अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन का निर्देशांक है (आखिरकार, अक्ष के सभी बिंदुओं पर):

आइए इसे बनाएं (ताकि यह आयताकार हो)। फिर (स्पर्शरेखा और x-अक्ष के बीच समान कोण पर)। क्या हैं और किसके बराबर हैं? यह आंकड़ा स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि, ए. तब हमें मिलता है:

हम सभी प्राप्त सूत्रों को एक सीधी रेखा के समीकरण में जोड़ते हैं:

अब आप स्वयं निर्णय करें:

1. खोजो स्पर्शरेखा समीकरणकिसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के लिए.
2. परवलय की स्पर्शरेखा अक्ष को एक कोण पर काटती है। इस स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
3. रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजें।
4. रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजें।

समाधान और उत्तर:

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

किसी विशेष बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा या इस स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण:

स्पर्शरेखा समीकरण ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम:

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