घर मुँह से बदबू आना अनंत ज्यामितीय प्रगति और उसका योग। हमेशा मूड में रहें

मुँह से बदबू आना

अनंत ज्यामितीय प्रगति और उसका योग। हमेशा मूड में रहें

संख्या श्रृंखला के गुणों का उपयोग करके भौतिकी और गणित की कुछ समस्याओं को हल किया जा सकता है। स्कूलों में पढ़ाए जाने वाले दो सबसे सरल संख्या क्रम बीजगणितीय और ज्यामितीय हैं। इस लेख में, हम इस प्रश्न पर बारीकी से विचार करेंगे कि अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए।

प्रगति ज्यामितीय

इन शब्दों का अर्थ वास्तविक संख्याओं की एक श्रृंखला है जिनके तत्व अभिव्यक्ति को संतुष्ट करते हैं:

यहां i श्रृंखला में तत्व की संख्या है, r एक स्थिर संख्या है जिसे हर कहा जाता है।

यह परिभाषा दर्शाती है कि, प्रगति के किसी भी सदस्य और उसके हर को जानकर, आप संख्याओं की पूरी श्रृंखला को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 10वां तत्व ज्ञात है, तो इसे r से विभाजित करने पर 9वां तत्व मिलेगा, फिर इसे फिर से विभाजित करने पर 8वां तत्व मिलेगा और इसी तरह। ये सरल तर्क हमें एक अभिव्यक्ति लिखने की अनुमति देते हैं जो विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए मान्य है:

2 के हर के साथ प्रगति का एक उदाहरण निम्नलिखित श्रृंखला होगी:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

यदि हर -2 के बराबर है, तो एक पूरी तरह से अलग श्रृंखला प्राप्त होती है:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

ज्यामितीय प्रगति बीजगणितीय प्रगति की तुलना में बहुत तेज होती है, अर्थात इसके पद तेजी से बढ़ते हैं और तेजी से घटते हैं।

प्रगति की शर्तों का योग

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, विचाराधीन संख्यात्मक अनुक्रम के कई तत्वों के योग की गणना करना अक्सर आवश्यक होता है। इस मामले के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य है:

एस आई = ए 1 *(आर आई -1)/(आर-1)

यह देखा जा सकता है कि i पदों के योग की गणना करने के लिए, आपको केवल दो संख्याओं को जानने की आवश्यकता है: a 1 और r, जो तार्किक है, क्योंकि वे विशिष्ट रूप से पूरे अनुक्रम को निर्धारित करते हैं।

घटता क्रम और उसके पदों का योग

अब आइये विचार करें विशेष मामला. हम मान लेंगे कि हर r का मापांक एक, यानी -1 से अधिक नहीं है

घटती हुई ज्यामितीय प्रगति पर विचार करना दिलचस्प है क्योंकि इसके पदों का अनंत योग एक सीमित वास्तविक संख्या की ओर प्रवृत्त होता है।

आइए योग का सूत्र प्राप्त करें। यदि आप पिछले पैराग्राफ में दिए गए S i के लिए अभिव्यक्ति लिखते हैं तो यह करना आसान है। हमारे पास है:

एस आई = ए 1 *(आर आई -1)/(आर-1)

आइए उस मामले पर विचार करें जब i->∞. चूँकि हर का मापांक 1 से कम है, इसे अनंत घात तक बढ़ाने पर शून्य प्राप्त होगा। इसे r=0.5 के उदाहरण का उपयोग करके जांचा जा सकता है:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

परिणामस्वरूप, अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग इस प्रकार होगा:

इस सूत्र का उपयोग अक्सर व्यवहार में किया जाता है, उदाहरण के लिए, आंकड़ों के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए। इसका उपयोग कछुए और अकिलिस के साथ एलिया के ज़ेनो के विरोधाभास को हल करने के लिए भी किया जाता है।

यह स्पष्ट है कि अनंत ज्यामितीय बढ़ती प्रगति (r>1) के योग पर विचार करने से परिणाम S ∞ = +∞ आएगा।

प्रगति का पहला पद खोजने का कार्य

आइए हम किसी समस्या को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके उपरोक्त सूत्रों को लागू करने का तरीका दिखाएं। यह ज्ञात है कि एक अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग 11 है। इसके अलावा, इसका 7वां पद तीसरे पद से 6 गुना कम है। इस संख्या श्रृंखला का पहला तत्व क्या है?

सबसे पहले, आइए 7वें और तीसरे तत्व को निर्धारित करने के लिए दो अभिव्यक्तियाँ लिखें। हम पाते हैं:

पहले व्यंजक को दूसरे से विभाजित करने और हर को व्यक्त करने पर, हमें प्राप्त होता है:

ए 7 /ए 3 = आर 4 => आर = 4 √(ए 7 /ए 3)

चूँकि सातवें और तीसरे पद का अनुपात समस्या कथन में दिया गया है, आप इसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं और r ज्ञात कर सकते हैं:

आर = 4 √(ए 7 /ए 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894

हमने दशमलव के पाँच स्थानों तक r की गणना की। चूँकि परिणामी मान एक से कम है, प्रगति कम हो रही है, जो इसके अनंत योग के लिए सूत्र के उपयोग को उचित ठहराती है। आइए पहले पद के लिए व्यंजक S ∞ के योग के रूप में लिखें:

हम ज्ञात मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

ए 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166।

तेज़ अकिलिस और धीमे कछुए के साथ ज़ेनो का प्रसिद्ध विरोधाभास

एलिया के ज़ेनो एक प्रसिद्ध यूनानी दार्शनिक हैं जो ईसा पूर्व 5वीं शताब्दी में रहते थे। इ। इसके कई चरमोत्कर्ष या विरोधाभास आज तक पहुँच गए हैं, जिनमें गणित में असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे की समस्या तैयार की गई है।

ज़ेनो के प्रसिद्ध विरोधाभासों में से एक अकिलिस और कछुए के बीच प्रतिस्पर्धा है। ज़ेनो का मानना था कि अगर अकिलिस ने कछुए को दूरी में कुछ फायदा दिया, तो वह कभी भी उसे पकड़ नहीं पाएगा। उदाहरण के लिए, अकिलिस को रेंगने वाले जानवर की तुलना में 10 गुना तेज दौड़ने दें, जो उदाहरण के लिए, उसके सामने 100 मीटर है। जब योद्धा 100 मीटर दौड़ता है, तो कछुआ 10 मीटर दूर रेंगता है। 10 मीटर फिर से दौड़ने के बाद, अकिलिस देखता है कि कछुआ 1 मीटर और रेंगता है। आप इस तरह अनंत काल तक बहस कर सकते हैं, प्रतिस्पर्धियों के बीच की दूरी वास्तव में कम हो जाएगी, लेकिन कछुआ हमेशा आगे रहेगा।

ज़ेनो को इस निष्कर्ष पर पहुँचाया कि गति मौजूद नहीं है, और वस्तुओं की सभी आसपास की गतिविधियाँ एक भ्रम हैं। निःसंदेह, प्राचीन यूनानी दार्शनिक गलत थे।

विरोधाभास का समाधान इस तथ्य में निहित है कि लगातार घटते खंडों का अनंत योग एक सीमित संख्या की ओर प्रवृत्त होता है। उपरोक्त मामले में, अकिलिस ने जितनी दूरी तक दौड़ लगाई, उसके लिए हमें यह मिलता है:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एस ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 मीटर

इस परिणाम से पता चलता है कि अकिलिस कछुए को तब पकड़ लेगा जब वह केवल 11.111 मीटर रेंगेगा।

प्राचीन यूनानियों को यह नहीं पता था कि गणित में अनंत मात्राओं के साथ कैसे काम किया जाए। हालाँकि, इस विरोधाभास को हल किया जा सकता है यदि हम उन अनंत अंतरालों पर ध्यान न दें जिन्हें एच्लीस को पार करना होगा, बल्कि धावक को अपने लक्ष्य तक पहुंचने के लिए आवश्यक कदमों की सीमित संख्या पर ध्यान देना चाहिए।

पाठ का उद्देश्य: छात्रों को एक नए प्रकार के अनुक्रम से परिचित कराना - एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।
कार्य:
संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा का प्रारंभिक विचार तैयार करना;
अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग करके अनंत आवधिक अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित करने के दूसरे तरीके से परिचित होना;
स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के बौद्धिक गुणों का विकास जैसे तार्किक सोच, मूल्यांकनात्मक कार्य करने की क्षमता और सामान्यीकरण;
गतिविधि, पारस्परिक सहायता, सामूहिकता और विषय में रुचि को बढ़ावा देना।

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विषय पर पाठ "असीम रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति" (बीजगणित, 10वीं कक्षा)

पाठ का उद्देश्य: छात्रों को एक नए प्रकार के अनुक्रम से परिचित कराना - एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

कार्य:

संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा का प्रारंभिक विचार तैयार करना; अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग करके अनंत आवधिक अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित करने के दूसरे तरीके से परिचित होना;

स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के बौद्धिक गुणों का विकास जैसे तार्किक सोच, मूल्यांकनात्मक कार्य करने की क्षमता और सामान्यीकरण;

गतिविधि, पारस्परिक सहायता, सामूहिकता और विषय में रुचि को बढ़ावा देना।

उपकरण: कंप्यूटर क्लास, प्रोजेक्टर, स्क्रीन।

पाठ का प्रकार: पाठ - एक नया विषय सीखना।

कक्षाओं के दौरान

मैं. संगठन. पल। पाठ का विषय और उद्देश्य बताएं।

द्वितीय. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।

9वीं कक्षा में आपने अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया।

प्रशन

1. परिभाषा अंकगणितीय प्रगति.

(अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य

दूसरे से शुरू करके, यह उसी संख्या में जोड़े गए पिछले पद के बराबर है)।

2. सूत्र n अंकगणितीय प्रगति का वां पद

3. प्रथम के योग का सूत्रएन अंकगणितीय प्रगति की शर्तें.

( या )

4. ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा.

(एक ज्यामितीय प्रगति गैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है

जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद से गुणा के बराबर है

एक जैसी संख्या)।

5. सूत्र n ज्यामितीय प्रगति का वां पद

6. प्रथम के योग का सूत्रएन एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य।

7. आप अन्य कौन से सूत्र जानते हैं?

(, कहाँ ; ;

; , )

कार्य

1. अंकगणितीय प्रगति सूत्र द्वारा दी गई हैए एन = 7 – 4 एन . 10 खोजें. (-33)

2. अंकगणितीय प्रगति मेंए 3 = 7 और ए 5 = 1। एक 4 खोजें. (4)

3. अंकगणितीय प्रगति मेंए 3 = 7 और ए 5 = 1। एक 17 खोजें. (-35)

4. अंकगणितीय प्रगति मेंए 3 = 7 और ए 5 = 1। एस 17 खोजें। (-187)

5. ज्यामितीय प्रगति के लिएपाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।

6. ज्यामितीय प्रगति के लिए nवाँ पद ज्ञात कीजिए।

7. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2. बी 4 खोजें। (4)

8. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2. बी 1 और क्यू खोजें।

9. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2. S5 खोजें. (62)

तृतीय. एक नया विषय सीखना(प्रस्तुति का प्रदर्शन).

1 के बराबर भुजा वाले एक वर्ग पर विचार करें। आइए एक और वर्ग बनाएं जिसकी भुजा पहले वर्ग के आकार की आधी हो, फिर एक और वर्ग बनाएं जिसकी भुजा दूसरे वर्ग की आधी हो, फिर अगला वर्ग बनाएं, आदि। हर बार नए वर्ग की भुजा पिछले वर्ग के आधे के बराबर होती है।

परिणामस्वरूप, हमें वर्गों की भुजाओं का एक क्रम प्राप्त हुआहर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाना.

और, जो बहुत महत्वपूर्ण है, हम जितना अधिक ऐसे वर्ग बनाएंगे, वर्ग की भुजा उतनी ही छोटी होगी।उदाहरण के लिए ,

वे। जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, प्रगति की शर्तें शून्य के करीब पहुंचती हैं।

इस आंकड़े का उपयोग करके, आप एक अन्य अनुक्रम पर विचार कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, वर्गों के क्षेत्रफलों का क्रम:

और, फिर से, यदि एन अनिश्चित काल तक बढ़ता है, फिर क्षेत्र शून्य के करीब जितना चाहे उतना करीब पहुंचता है।

आइए एक और उदाहरण देखें. एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 1 सेमी के बराबर हैं। आइए, त्रिभुज की मध्य रेखा के बारे में प्रमेय के अनुसार, पहले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं के शीर्षों के साथ निम्नलिखित त्रिभुज का निर्माण करें - दूसरे की भुजा पहले की आधी भुजा के बराबर है, तीसरे की भुजा के बराबर है दूसरे आदि की आधी भुजा के बराबर है। पुनः हमें त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई का एक क्रम प्राप्त होता है।

पर ।

यदि हम एक ज्यामितीय प्रगति पर विचार करें नकारात्मक विभाजक.

फिर, बढ़ती संख्या के साथएन प्रगति की शर्तें शून्य तक पहुंचती हैं।

आइए इन अनुक्रमों के हरों पर ध्यान दें। हर जगह हर का पूर्ण मान 1 से कम था।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घटती जाएगी यदि इसके हर का मापांक 1 से कम है।

ललाट कार्य.

परिभाषा:

ज्यामितीय अनुक्रमइसे अपरिमित रूप से घटता हुआ कहा जाता है यदि इसके हर का मापांक एक से कम हो।.

परिभाषा का उपयोग करके, आप यह तय कर सकते हैं कि एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है या नहीं।

काम

क्या अनुक्रम एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है यदि इसे सूत्र द्वारा दिया गया है:

समाधान:

आइए q खोजें।

; ; ; .

यह ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है।

बी) यह क्रम असीमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति नहीं है।

1 के बराबर भुजा वाले एक वर्ग पर विचार करें। इसे आधे में विभाजित करें, आधे में से एक को आधे में विभाजित करें, आदि। सभी परिणामी आयतों के क्षेत्रफल एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं:

इस प्रकार प्राप्त सभी आयतों के क्षेत्रफलों का योग पहले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर और 1 के बराबर होगा।

लेकिन इस समानता के बाईं ओर अनंत पदों का योग है।

आइए पहले n पदों के योग पर विचार करें।

सूत्र के अनुसार किसी ज्यामितीय प्रगति के प्रथम n पदों का योग इसके बराबर होता है.

यदि एन फिर, बिना किसी सीमा के बढ़ता है

या । इसलिए, यानी .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योगएक अनुक्रम सीमा हैएस 1, एस 2, एस 3, …, एस एन, ….

उदाहरण के लिए, प्रगति के लिए,

हमारे पास है

क्योंकि

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योगसूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है.

तृतीय. समझ और समेकन(कार्य पूरा करना)।

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

चतुर्थ. संक्षेपण।

आज आप किस क्रम से परिचित हुए?

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करें।

कैसे साबित करें कि एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है?

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र दीजिए।

वी. होमवर्क.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

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असीमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति ग्रेड 10

मैं। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति. प्रश्न 1. अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा। अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले पद के बराबर होता है। 2. अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र। 3. अंकगणितीय प्रगति के प्रथम n पदों के योग का सूत्र। 4. ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा. एक ज्यामितीय प्रगति गैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद को उसी संख्या 5 से गुणा करने के बराबर होता है। ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र। 6. ज्यामितीय प्रगति के प्रथम n पदों के योग का सूत्र।

द्वितीय. अंकगणितीय प्रगति। कार्य एक अंकगणितीय प्रगति सूत्र a n = 7 - 4 n द्वारा दी गई है a 10 खोजें। (-33) 2. अंकगणितीय प्रगति में, a 3 = 7 और a 5 = 1। एक 4 खोजें. (4) 3. अंकगणितीय प्रगति में a 3 = 7 और a 5 = 1. एक 17 खोजें. (-35) 4. अंकगणितीय प्रगति में, a 3 = 7 और a 5 = 1। एस 17 खोजें। (-187)

द्वितीय. ज्यामितीय अनुक्रम। कार्य 5. एक ज्यामितीय प्रगति के लिए, पाँचवाँ पद खोजें 6. एक ज्यामितीय प्रगति के लिए, nवाँ पद खोजें। 7. ज्यामितीय प्रगति में b 3 = 8 और b 5 = 2. बी 4 खोजें। (4) 8. ज्यामितीय प्रगति में बी 3 = 8 और बी 5 = 2। बी 1 और क्यू खोजें। 9. ज्यामितीय प्रगति में b 3 = 8 और b 5 = 2. S5 खोजें. (62)

परिभाषा: एक ज्यामितीय प्रगति को अनंत रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इसके हर का मापांक एक से कम है।

समस्या संख्या 1 क्या अनुक्रम एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है यदि इसे सूत्र द्वारा दिया गया है: समाधान: ए) यह ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है। बी) यह क्रम असीमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति नहीं है।

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग अनुक्रम S 1, S 2, S 3, ..., S n, ... की सीमा है। उदाहरण के लिए, प्रगति के लिए हमारे पास चूंकि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

कार्यों को पूरा करना पहले पद 3, दूसरे 0.3 के साथ अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात कीजिए। 2. क्रमांक 13; नंबर 14; पाठ्यपुस्तक, पृष्ठ 138 3. क्रमांक 15(1;3); नं.16(1;3) नं.18(1;3); 4. नंबर 19; नंबर 20.

आज आप किस क्रम से परिचित हुए? असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करें। कैसे साबित करें कि एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है? अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र दीजिए। प्रशन

प्रसिद्ध पोलिश गणितज्ञ ह्यूगो स्टीनहॉस मजाक में दावा करते हैं कि एक कानून है जो इस प्रकार तैयार किया गया है: एक गणितज्ञ इसे बेहतर करेगा। अर्थात्, यदि आप दो लोगों को, जिनमें से एक गणितज्ञ है, किसी अपरिचित कार्य को करने के लिए सौंपते हैं, तो परिणाम हमेशा निम्नलिखित होगा: गणितज्ञ इसे बेहतर ढंग से करेगा। ह्यूगो स्टीनहॉस 01/14/1887-02/25/1972

संख्यात्मक अनुक्रम VI

§ एल48. अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग

अब तक, योगों के बारे में बात करते समय, हमने हमेशा यह माना है कि इन योगों में पदों की संख्या सीमित है (उदाहरण के लिए, 2, 15, 1000, आदि)। लेकिन कुछ समस्याओं (विशेषकर उच्च गणित) को हल करते समय व्यक्ति को अनंत पदों के योग से निपटना पड़ता है

एस= ए 1 + ए 2 + ... + ए एन + ... . (1)

ये राशियाँ क्या हैं? ए-प्राथमिकता अनंत पदों का योग ए 1 , ए 2 , ..., ए एन , ... को योग S की सीमा कहा जाता है एन पहला पी संख्याएँ जब पी -> ∞ :

एस=एस एन = (ए 1 + ए 2 + ... + ए एन ). (2)

सीमा (2), निस्संदेह, अस्तित्व में हो भी सकती है और नहीं भी। तदनुसार, वे कहते हैं कि योग (1) मौजूद है या मौजूद नहीं है।

हम कैसे पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक विशिष्ट मामले में योग (1) मौजूद है या नहीं? सामान्य निर्णययह मुद्दा हमारे कार्यक्रम के दायरे से कहीं आगे तक जाता है। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है जिस पर अब हमें विचार करना चाहिए। हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के बारे में बात करेंगे।

होने देना ए 1 , ए 1 क्यू , ए 1 क्यू 2, ... एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। इसका मतलब यह है कि | क्यू |< 1. Сумма первых पी इस प्रगति की शर्तें समान हैं

चरों की सीमाओं पर बुनियादी प्रमेयों से (§ 136 देखें) हम प्राप्त करते हैं:

लेकिन 1 = 1, ए क्यू.एन = 0. इसलिए

तो, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग इस प्रगति के पहले पद को इस प्रगति के हर से एक घटाकर विभाजित करने के बराबर होता है।

1) ज्यामितीय प्रगति 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... का योग बराबर है

और ज्यामितीय प्रगति का योग 12 है; -6; 3; - 3 / 2 , ...बराबर

2) एक साधारण आवर्त भिन्न 0.454545 ... को एक साधारण भिन्न में बदलें।

इस समस्या को हल करने के लिए, इस भिन्न को एक अनंत योग के रूप में कल्पना करें:

दाहिना भागयह समानता एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, जिसका पहला पद 45/100 के बराबर है, और हर 1/100 है। इसीलिए

वर्णित विधि का प्रयोग करके भी इसे प्राप्त किया जा सकता है सामान्य नियमसरल आवर्त भिन्नों को सामान्य अंशों में बदलना (अध्याय II, § 38 देखें):

एक साधारण आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न में बदलने के लिए, आपको निम्नानुसार आगे बढ़ना होगा: अंश में दशमलव भिन्न का आवर्त डालें, और हर में - नौ से बनी एक संख्या, जितनी बार आवर्त में अंक हों, उतनी बार लें दशमलव अंश का.

3) मिश्रित आवर्त भिन्न 0.58333 .... को साधारण भिन्न में बदलें।

आइए इस अंश को एक अनंत योग के रूप में कल्पना करें:

इस समानता के दाईं ओर, 3/1000 से शुरू होने वाले सभी पद, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं, जिसका पहला पद 3/1000 के बराबर है, और हर 1/10 है। इसीलिए

वर्णित विधि का उपयोग करके, मिश्रित आवधिक अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित करने का एक सामान्य नियम प्राप्त किया जा सकता है (अध्याय II, § 38 देखें)। हम जानबूझकर इसे यहां प्रस्तुत नहीं कर रहे हैं। इस बोझिल नियम को याद रखने की कोई जरूरत नहीं है. यह जानना अधिक उपयोगी है कि किसी भी मिश्रित आवधिक अंश को अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति और एक निश्चित संख्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और सूत्र

एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए, आपको निश्चित रूप से याद रखना चाहिए।

एक अभ्यास के रूप में, हमारा सुझाव है कि आप, नीचे दी गई समस्या संख्या 995-1000 के अलावा, एक बार फिर समस्या संख्या 301 § 38 की ओर मुड़ें।

अभ्यास

995. अनन्त रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग क्या कहलाता है?

996. अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात कीजिए:

997. किन मूल्यों पर एक्स प्रगति

क्या यह असीम रूप से घट रहा है? ऐसी प्रगति का योग ज्ञात कीजिए।

998. भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज में ए इसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़कर एक नया त्रिभुज अंकित किया जाता है; इस त्रिभुज में उसी प्रकार एक नया त्रिभुज अंकित है, और इसी प्रकार अनंत काल तक।

ए) इन सभी त्रिभुजों की परिमापों का योग;

बी) उनके क्षेत्रों का योग।

999. भुजा सहित वर्ग ए इसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़कर एक नया वर्ग अंकित किया जाता है; इस वर्ग में उसी प्रकार एक वर्ग अंकित है, और इसी प्रकार अनंत काल तक। इन सभी वर्गों की परिमापों का योग और उनके क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए।

1000. एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति इस प्रकार बनाएं कि इसका योग 25/4 के बराबर हो, और इसके पदों के वर्गों का योग 625/24 के बराबर हो।

प्रथम स्तर

ज्यामितीय अनुक्रम। व्यापक मार्गदर्शिकाउदाहरण सहित (2019)

संख्या क्रम

तो, आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे हैं)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (वें संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।

संख्या वाले अंक को अनुक्रम का nवाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

हमारे मामले में:

प्रगति के सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय और ज्यामितीय हैं। इस विषय में हम दूसरे प्रकार के बारे में बात करेंगे - ज्यामितीय अनुक्रम.

ज्यामितीय प्रगति की आवश्यकता क्यों है और इसका इतिहास क्या है?

प्राचीन काल में भी, पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो (जिन्हें फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता था) व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं से निपटते थे। भिक्षु को यह निर्धारित करने के कार्य का सामना करना पड़ा कि किसी उत्पाद को तौलने के लिए उपयोग किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? अपने कार्यों में, फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की ऐसी प्रणाली इष्टतम है: यह पहली स्थितियों में से एक है जिसमें लोगों को ज्यामितीय प्रगति से निपटना पड़ा, जिसके बारे में आपने शायद पहले ही सुना होगा और कम से कम सामान्य सिद्धांत. एक बार जब आप विषय को पूरी तरह से समझ लें, तो सोचें कि ऐसी प्रणाली इष्टतम क्यों है?

वर्तमान में, जीवन अभ्यास में, बैंक में पैसा निवेश करते समय ज्यामितीय प्रगति स्वयं प्रकट होती है, जब पिछली अवधि के लिए खाते में जमा राशि पर ब्याज की राशि अर्जित होती है। दूसरे शब्दों में, यदि आप बचत बैंक में सावधि जमा पर पैसा लगाते हैं, तो एक वर्ष के बाद जमा मूल राशि से बढ़ जाएगी, अर्थात। नई राशि योगदान के गुणा के बराबर होगी। एक और वर्ष में, यह राशि बढ़ जाएगी, अर्थात। उस समय प्राप्त राशि को फिर से और इसी तरह से गुणा किया जाएगा। तथाकथित गणना की समस्याओं में एक समान स्थिति का वर्णन किया गया है चक्रवृद्धि ब्याज- पिछले ब्याज को ध्यान में रखते हुए, खाते में मौजूद राशि से हर बार प्रतिशत लिया जाता है। हम इन कार्यों के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

ऐसे और भी कई सरल मामले हैं जहां ज्यामितीय प्रगति लागू होती है। उदाहरण के लिए, इन्फ्लूएंजा का प्रसार: एक व्यक्ति ने दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, उन्होंने, बदले में, दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, और इस प्रकार संक्रमण की दूसरी लहर एक व्यक्ति है, और उन्होंने, बदले में, दूसरे को संक्रमित किया... इत्यादि.. .

वैसे, एक वित्तीय पिरामिड, वही एमएमएम, ज्यामितीय प्रगति के गुणों पर आधारित एक सरल और शुष्क गणना है। दिलचस्प? आइए इसका पता लगाएं।

ज्यामितीय अनुक्रम।

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या क्रम है:

आप तुरंत उत्तर देंगे कि यह आसान है और ऐसे अनुक्रम का नाम इसके पदों के अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है। इस बारे में कैसा है:

यदि आप पिछली संख्या को अगली संख्या से घटाते हैं, तो आप देखेंगे कि हर बार आपको एक नया अंतर मिलता है (और इसी तरह), लेकिन अनुक्रम निश्चित रूप से मौजूद है और नोटिस करना आसान है - प्रत्येक बाद की संख्या पिछली संख्या से कई गुना बड़ी है!

इस प्रकार का संख्या क्रम कहलाता है ज्यामितीय अनुक्रमऔर नामित किया गया है.

ज्यामितीय प्रगति () एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न होता है, और दूसरे से शुरू होने वाला प्रत्येक पद, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर होता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

प्रतिबंध कि पहला पद ( ) समान नहीं है और यादृच्छिक नहीं है। आइए मान लें कि कोई भी नहीं है, और पहला पद अभी भी बराबर है, और q बराबर है, हम्म.. रहने दो, फिर यह पता चलता है:

सहमत हूँ कि यह अब कोई प्रगति नहीं है।

जैसा कि आप समझते हैं, शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या होने पर भी हमें वही परिणाम मिलेंगे। इन मामलों में, कोई प्रगति नहीं होगी, क्योंकि पूरी संख्या श्रृंखला या तो सभी शून्य होगी, या एक संख्या होगी, और बाकी सभी शून्य होंगे।

आइए अब ज्यामितीय प्रगति के हर के बारे में अधिक विस्तार से बात करते हैं, यानी ओ।

आइए दोहराएँ:- यह संख्या है प्रत्येक आगामी पद कितनी बार बदलता है?ज्यामितीय अनुक्रम।

आपके विचार से ये क्या हो सकता है? यह सही है, सकारात्मक और नकारात्मक, लेकिन शून्य नहीं (हमने इसके बारे में थोड़ा ऊपर बात की)।

चलिए मान लेते हैं कि हमारा सकारात्मक है. आइए हमारे मामले में, ए. दूसरे पद का मान क्या है? आप इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं:

यह सही है। तदनुसार, यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का एक ही चिह्न है - वे सकारात्मक हैं.

यदि यह नकारात्मक है तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, ए. दूसरे पद का मान क्या है?

यह बिल्कुल अलग कहानी है

इस प्रगति की शर्तों को गिनने का प्रयास करें। आपको कितना मिला? मेरे पास है। इस प्रकार, यदि, तो ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के संकेत वैकल्पिक होते हैं। अर्थात्, यदि आप इसके सदस्यों के लिए वैकल्पिक संकेतों के साथ प्रगति देखते हैं, तो इसका हर नकारात्मक है। इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय यह ज्ञान आपको स्वयं को परखने में मदद कर सकता है।

आइए अब थोड़ा अभ्यास करें: यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम एक ज्यामितीय प्रगति हैं और कौन से एक अंकगणितीय प्रगति हैं:

समझ गया? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

ज्यामितीय प्रगति - 3, 6.
अंकगणितीय प्रगति - 2, 4.
यह न तो अंकगणित है और न ही ज्यामितीय प्रगति - 1, 5, 7।

आइए अपनी अंतिम प्रगति पर लौटें और अंकगणित की तरह, इसके सदस्य को खोजने का प्रयास करें। जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, इसे खोजने के दो तरीके हैं।

हम प्रत्येक पद को क्रमिक रूप से गुणा करते हैं।

तो, वर्णित ज्यामितीय प्रगति का वां पद बराबर है।

जैसा कि आपने पहले ही अनुमान लगाया था, अब आप स्वयं एक सूत्र प्राप्त करेंगे जो आपको ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को खोजने में मदद करेगा। या क्या आपने पहले ही इसे अपने लिए विकसित कर लिया है, जिसमें बताया गया है कि चरण दर चरण वें सदस्य को कैसे खोजा जाए? यदि हां, तो अपने तर्क की सत्यता की जांच करें।

आइए हम इसे इस प्रगति के वें पद को खोजने के उदाहरण से स्पष्ट करें:

दूसरे शब्दों में:

दी गई गुणोत्तर श्रेणी के पद का मान स्वयं ज्ञात कीजिए।

घटित? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

कृपया ध्यान दें कि जब हमने ज्यामितीय प्रगति के प्रत्येक पिछले पद को क्रमिक रूप से गुणा किया था, तो आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या प्राप्त हुई थी।
आइए "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें यह सूत्र- आइए इसे सामान्य रूप में रखें और प्राप्त करें:

व्युत्पन्न सूत्र सभी मूल्यों के लिए सत्य है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करके इसे स्वयं जांचें निम्नलिखित शर्तें: , एक।

क्या आपने गिनती की? आइए परिणामों की तुलना करें:

सहमत हूँ कि किसी पद की तरह ही प्रगति का एक पद खोजना संभव होगा, हालाँकि, गलत गणना करने की संभावना है। और यदि हमने पहले ही ज्यामितीय प्रगति का वां पद पा लिया है, तो सूत्र के "काटे गए" भाग का उपयोग करने से अधिक सरल क्या हो सकता है।

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

हाल ही में, हमने इस तथ्य के बारे में बात की कि यह या तो शून्य से अधिक या कम हो सकता है, हालांकि, ऐसे विशेष मूल्य हैं जिनके लिए ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है असीम रूप से घट रहा है.

आपको क्या लगता है यह नाम क्यों दिया गया है?
सबसे पहले, आइए पदों से युक्त कुछ ज्यामितीय प्रगति लिखें।
तो फिर मान लीजिए:

हम देखते हैं कि प्रत्येक अगला पद पिछले पद से एक गुणनखंड से कम है, लेकिन क्या कोई संख्या होगी? आप तुरंत उत्तर देंगे - "नहीं"। इसीलिए यह अनंत रूप से घट रहा है - यह घटता और घटता रहता है, लेकिन कभी शून्य नहीं होता।

यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि यह देखने में कैसा दिखता है, आइए अपनी प्रगति का एक ग्राफ़ बनाने का प्रयास करें। तो, हमारे मामले के लिए, सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

ग्राफ़ पर हम निर्भरता की साजिश रचने के आदी हैं, इसलिए:

अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है: पहली प्रविष्टि में हमने एक ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य की उसकी क्रमिक संख्या पर निर्भरता दिखाई, और दूसरी प्रविष्टि में हमने बस एक ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य को इस प्रकार लिया , और क्रमसूचक संख्या को इस रूप में नहीं, बल्कि इस रूप में निर्दिष्ट किया गया है। बस एक ग्राफ बनाना बाकी है।
हम देखते हैं तुम्हें क्या मिला। यहां वह ग्राफ है जो मैं लेकर आया हूं:

क्या आप देखते हैं? फ़ंक्शन घटता है, शून्य की ओर जाता है, लेकिन इसे कभी पार नहीं करता है, इसलिए यह असीम रूप से घट रहा है। आइए ग्राफ़ पर अपने बिंदुओं को चिह्नित करें, और साथ ही निर्देशांक और इसका मतलब क्या है:

यदि किसी ज्यामितीय प्रगति का पहला पद भी बराबर है तो उसके ग्राफ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करने का प्रयास करें। विश्लेषण करें कि हमारे पिछले ग्राफ़ से क्या अंतर है?

क्या आप संभाल पाओगे? यह वह ग्राफ है जिसके साथ मैं आया हूं:

अब जब आप ज्यामितीय प्रगति के विषय की मूल बातें पूरी तरह से समझ गए हैं: आप जानते हैं कि यह क्या है, आप जानते हैं कि इसका पद कैसे ज्ञात किया जाता है, और आप यह भी जानते हैं कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति क्या है, तो आइए इसके मुख्य गुण पर चलते हैं।

ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति.

क्या आपको अंकगणितीय प्रगति के पदों का गुण याद है? हाँ, हाँ, किसी प्रगति की एक निश्चित संख्या का मान कैसे ज्ञात करें जब इस प्रगति की शर्तों के पिछले और बाद के मान हों। तुम्हे याद है? यह:

अब हम ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के लिए बिल्कुल उसी प्रश्न का सामना कर रहे हैं। ऐसा सूत्र प्राप्त करने के लिए, आइए चित्र बनाना और तर्क करना शुरू करें। आप देखेंगे, यह बहुत आसान है, और यदि आप भूल जाते हैं, तो आप इसे स्वयं निकाल सकते हैं।

आइए एक और सरल ज्यामितीय प्रगति लें, जिसमें हम जानते हैं और। कैसे ढूंढें? अंकगणितीय प्रगति के साथ यह आसान और सरल है, लेकिन यहां क्या? वास्तव में, ज्यामितीय में कुछ भी जटिल नहीं है - आपको बस सूत्र के अनुसार हमें दिए गए प्रत्येक मान को लिखना होगा।

आप पूछ सकते हैं कि अब हमें इसके बारे में क्या करना चाहिए? हाँ, बहुत सरल. सबसे पहले, आइए इन सूत्रों को चित्र में चित्रित करें और उनके साथ करने का प्रयास करें विभिन्न जोड़तोड़किसी मूल्य पर पहुंचने के लिए.

आइए उन संख्याओं का सार निकालें जो हमें दी गई हैं, आइए केवल सूत्र के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति पर ध्यान केंद्रित करें। हमें नारंगी रंग में हाइलाइट किए गए मान को ढूंढना होगा, उसके निकटवर्ती शब्दों को जानना होगा। आइए उनके साथ उत्पादन करने का प्रयास करें विभिन्न क्रियाएंजिसके परिणाम स्वरूप हम प्राप्त कर सकते हैं।

जोड़ना।
आइए दो अभिव्यक्तियाँ जोड़ने का प्रयास करें और हमें प्राप्त होता है:

इस अभिव्यक्ति से, जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इसे किसी भी तरह से व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए, हम एक और विकल्प - घटाव का प्रयास करेंगे।

घटाव.

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इसे व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए आइए इन अभिव्यक्तियों को एक-दूसरे से गुणा करने का प्रयास करें।

गुणन.

अब ध्यान से देखें कि हमें दिए गए ज्यामितीय प्रगति के पदों को जो पाना है उसकी तुलना में गुणा करके हमारे पास क्या है:

सोचो मैं किस बारे में बात कर रहा हूँ? यह सही है, खोजने के लिए हमें लेने की जरूरत है वर्गमूलवांछित से सटे ज्यामितीय प्रगति संख्याओं को एक दूसरे से गुणा करने से:

हेयर यू गो। आपने स्वयं ज्यामितीय प्रगति का गुण प्राप्त किया है। इस सूत्र को लिखने का प्रयास करें सामान्य रूप से देखें. घटित?

शर्त भूल गए? इस बारे में सोचें कि यह क्यों महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, इसकी गणना स्वयं करने का प्रयास करें। इस मामले में क्या होगा? यह सही है, पूरी तरह बकवास है क्योंकि सूत्र इस तरह दिखता है:

तदनुसार, इस सीमा को मत भूलना.

अब आइए गणना करें कि यह किसके बराबर है

सही जवाब - ! यदि आप गणना करते समय दूसरा नहीं भूले संभव अर्थ, तो आप एक महान साथी हैं और तुरंत प्रशिक्षण के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और यदि आप भूल गए हैं, तो नीचे जो चर्चा की गई है उसे पढ़ें और ध्यान दें कि उत्तर में दोनों जड़ों को लिखना क्यों आवश्यक है।

आइए हमारी दोनों ज्यामितीय प्रगति बनाएं - एक मूल्य के साथ और दूसरा मूल्य के साथ और जांचें कि क्या उन दोनों को अस्तित्व का अधिकार है:

यह जांचने के लिए कि ऐसी ज्यामितीय प्रगति मौजूद है या नहीं, यह देखना आवश्यक है कि क्या इसके दिए गए सभी पद समान हैं? पहले और दूसरे मामले के लिए q की गणना करें।

देखिये हमें दो उत्तर क्यों लिखने पड़ते हैं? क्योंकि जिस शब्द को आप खोज रहे हैं उसका चिन्ह इस बात पर निर्भर करता है कि वह सकारात्मक है या नकारात्मक! और चूँकि हम नहीं जानते कि यह क्या है, हमें प्लस और माइनस दोनों उत्तर लिखने होंगे।

अब जब आपने मुख्य बिंदुओं पर महारत हासिल कर ली है और ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति के लिए सूत्र प्राप्त कर लिया है, तो खोजें, जानें और

अपने उत्तरों की सही उत्तरों से तुलना करें:

आप क्या सोचते हैं, क्या होगा यदि हमें वांछित संख्या के निकट ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के मान नहीं दिए गए, बल्कि उससे समान दूरी पर दिए गए। उदाहरण के लिए, हमें खोजने की जरूरत है, और दिया गया है। क्या हम इस मामले में प्राप्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं? इस संभावना की उसी तरह पुष्टि या खंडन करने का प्रयास करें, जिसमें प्रत्येक मान में क्या शामिल है, इसका वर्णन किया गया हो, जैसा आपने मूल रूप से सूत्र प्राप्त करते समय किया था।
तुम्हें क्या मिला?

अब दोबारा ध्यान से देखिए.
और तदनुसार:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूत्र काम करता है सिर्फ पड़ोसी के साथ नहींज्यामितीय प्रगति की वांछित शर्तों के साथ, लेकिन साथ भी समान दूरीसदस्य क्या खोज रहे हैं।

इस प्रकार, हमारा प्रारंभिक सूत्र यह रूप लेता है:

अर्थात्, यदि पहले मामले में हमने ऐसा कहा था, तो अब हम कहते हैं कि यह किसी के भी बराबर हो सकता है प्राकृतिक संख्या, जो छोटा है. मुख्य बात यह है कि यह दिए गए दोनों नंबरों के लिए समान है।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ अभ्यास करें, बस बेहद सावधान रहें!

, . खोजो।
, . खोजो।
, . खोजो।

फैसला किया? मुझे आशा है कि आप बेहद चौकस थे और एक छोटी सी कैच पर ध्यान दिया होगा।

आइए परिणामों की तुलना करें।

पहले दो मामलों में, हम शांतिपूर्वक उपरोक्त सूत्र को लागू करते हैं और निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

तीसरे मामले में, करीब से जांच करने पर क्रम संख्याएँहमें दी गई संख्याएँ, हम समझते हैं कि वे उस संख्या से समान दूरी पर नहीं हैं जिसे हम खोज रहे हैं: यह पिछली संख्या है, लेकिन स्थिति में हटा दी गई है, इसलिए सूत्र को लागू करना संभव नहीं है।

इसे कैसे हल करें? यह वास्तव में उतना कठिन नहीं है जितना लगता है! आइए हम लिखें कि हमें दी गई प्रत्येक संख्या और हम जिस संख्या की तलाश कर रहे हैं उसमें क्या शामिल है।

तो हमारे पास और है। आइए देखें कि हम उनके साथ क्या कर सकते हैं? मैं विभाजित करने का सुझाव देता हूं। हम पाते हैं:

हम अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

अगला चरण जो हम पा सकते हैं वह है - इसके लिए हमें परिणामी संख्या का घनमूल निकालना होगा।

अब आइए फिर से देखें कि हमारे पास क्या है। यह हमारे पास है, लेकिन हमें इसे खोजने की जरूरत है, और यह, बदले में, इसके बराबर है:

हमें गणना के लिए सभी आवश्यक डेटा मिल गए। सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

हमारा उत्तर: .

इसी तरह की एक अन्य समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें:
दिया गया: ,
खोजो:

आपको कितना मिला? मेरे पास है - ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, अनिवार्य रूप से आपको इसकी आवश्यकता है बस एक सूत्र याद रखें- . बाकी सारा पैसा आप खुद ही बिना किसी परेशानी के कभी भी निकाल सकते हैं. ऐसा करने के लिए, बस कागज के एक टुकड़े पर सबसे सरल ज्यामितीय प्रगति लिखें और ऊपर वर्णित सूत्र के अनुसार लिखें कि इसकी प्रत्येक संख्या किसके बराबर है।

ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग.

आइए अब उन सूत्रों को देखें जो हमें किसी दिए गए अंतराल में ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग की शीघ्र गणना करने की अनुमति देते हैं:

किसी परिमित ज्यामितीय अनुक्रम के पदों के योग का सूत्र प्राप्त करने के लिए, उपरोक्त समीकरण के सभी भागों को इससे गुणा करें। हम पाते हैं:

ध्यान से देखें: अंतिम दो सूत्रों में क्या समानता है? यह सही है, उदाहरण के लिए, सामान्य सदस्य, इत्यादि, पहले और अंतिम सदस्य को छोड़कर। आइए दूसरे समीकरण से पहले को घटाने का प्रयास करें। तुम्हें क्या मिला?

अब ज्यामितीय प्रगति के पद को सूत्र के माध्यम से व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

अभिव्यक्ति को समूहित करें. आपको मिलना चाहिये:

जो कुछ करना बाकी है वह व्यक्त करना है:

तदनुसार, इस मामले में.

क्या हो अगर? तो फिर कौन सा फॉर्मूला काम करता है? एक ज्यामितीय प्रगति की कल्पना करें। वह किसके जैसी है? समान संख्याओं की एक श्रृंखला सही है, इसलिए सूत्र इस तरह दिखेगा:

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति दोनों के बारे में कई किंवदंतियाँ हैं। उनमें से एक शतरंज के निर्माता सेट की किंवदंती है।

बहुत से लोग जानते हैं कि शतरंज के खेल का आविष्कार भारत में हुआ था। जब हिंदू राजा उससे मिले, तो वह उसकी बुद्धि और उसमें संभावित विभिन्न पदों से प्रसन्न हुआ। यह जानने पर कि इसका आविष्कार उसकी प्रजा में से एक ने किया था, राजा ने उसे व्यक्तिगत रूप से पुरस्कृत करने का निर्णय लिया। उसने आविष्कारक को अपने पास बुलाया और उससे वह सब कुछ माँगने का आदेश दिया जो वह चाहता था, यहाँ तक कि सबसे कुशल इच्छा को भी पूरा करने का वादा किया।

सेता ने सोचने के लिए समय मांगा, और जब अगले दिन सेता राजा के सामने उपस्थित हुआ, तो उसने अपने अनुरोध की अभूतपूर्व विनम्रता से राजा को आश्चर्यचकित कर दिया। उन्होंने शतरंज की बिसात के पहले खाने के लिए गेहूं का एक दाना, दूसरे के लिए गेहूं का एक दाना, तीसरे, चौथे के लिए गेहूं का एक दाना आदि देने को कहा।

राजा क्रोधित हो गया और उसने सेठ को यह कहते हुए भगा दिया कि नौकर का अनुरोध राजा की उदारता के योग्य नहीं था, लेकिन उसने वादा किया कि नौकर को बोर्ड के सभी वर्गों के लिए अपना अनाज मिलेगा।

और अब प्रश्न: ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के सूत्र का उपयोग करके, गणना करें कि सेठ को कितने अनाज प्राप्त होने चाहिए?

आइए तर्क करना शुरू करें। चूंकि, शर्त के अनुसार, सेठ ने शतरंज की बिसात के पहले वर्ग के लिए, दूसरे के लिए, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, आदि के लिए गेहूं का एक दाना मांगा, तो हम देखते हैं कि समस्या एक ज्यामितीय प्रगति के बारे में है। इस मामले में यह क्या बराबर है?
सही।

शतरंज की बिसात के कुल वर्ग. क्रमश, । हमारे पास सारा डेटा है, जो कुछ बचा है उसे सूत्र में प्लग करना और गणना करना है।

किसी दी गई संख्या के कम से कम "पैमाने" की कल्पना करने के लिए, हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके रूपांतरित करते हैं:

निःसंदेह, यदि आप चाहें, तो आप एक कैलकुलेटर ले सकते हैं और गणना कर सकते हैं कि अंत में आपको कौन सी संख्या मिलेगी, और यदि नहीं, तो आपको मेरी बात माननी होगी: अभिव्यक्ति का अंतिम मान होगा।
वह है:

क्विंटिलियन क्वाड्रिलियन ट्रिलियन बिलियन मिलियन हजार।

ओफ़्फ़) यदि आप इस संख्या की विशालता की कल्पना करना चाहते हैं, तो अनुमान लगाएं कि अनाज की पूरी मात्रा को समायोजित करने के लिए कितने बड़े खलिहान की आवश्यकता होगी।
यदि खलिहान मीटर ऊंचा और मीटर चौड़ा है, तो इसकी लंबाई किमी तक बढ़नी होगी, यानी। पृथ्वी से सूर्य तक दुगुनी दूरी।

यदि राजा गणित में मजबूत होता, तो वह वैज्ञानिक को स्वयं अनाज गिनने के लिए आमंत्रित कर सकता था, क्योंकि दस लाख अनाज गिनने के लिए, उसे कम से कम एक दिन के अथक प्रयास की आवश्यकता होती, और यह देखते हुए कि क्विंटल अनाज गिनना आवश्यक है, अनाज जीवन भर गिनाना होगा।

आइए अब ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग से जुड़ी एक सरल समस्या को हल करें।
कक्षा 5ए का एक छात्र वास्या फ्लू से बीमार पड़ गया, लेकिन उसने स्कूल जाना जारी रखा। वास्या हर दिन दो लोगों को संक्रमित करती है, जो बदले में दो और लोगों को संक्रमित करते हैं, इत्यादि। कक्षा में केवल लोग हैं। कितने दिनों में पूरी कक्षा फ्लू से बीमार हो जाएगी?

तो, ज्यामितीय प्रगति का पहला पद वस्या है, अर्थात एक व्यक्ति। ज्यामितीय प्रगति का वां पद वे दो लोग हैं जिन्हें उसने अपने आगमन के पहले दिन संक्रमित किया था। कुल राशिप्रगति के सदस्यों की संख्या 5ए में छात्रों की संख्या के बराबर है। तदनुसार, हम एक प्रगति के बारे में बात करते हैं जिसमें:

आइए ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

कुछ ही दिनों में पूरी कक्षा बीमार हो जाएगी। सूत्रों और संख्याओं पर विश्वास नहीं करते? छात्रों के "संक्रमण" को स्वयं चित्रित करने का प्रयास करें। घटित? देखो यह मेरे लिए कैसा दिखता है:

स्वयं गणना करें कि छात्रों को फ्लू से बीमार होने में कितने दिन लगेंगे यदि प्रत्येक छात्र एक व्यक्ति को संक्रमित करता है, और कक्षा में केवल एक व्यक्ति होता है।

आपको क्या मूल्य मिला? पता चला कि एक दिन बाद सभी लोग बीमार पड़ने लगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसा कार्य और उसके लिए चित्र एक पिरामिड जैसा दिखता है, जिसमें प्रत्येक बाद वाला नए लोगों को "लाता है"। हालाँकि, देर-सबेर एक क्षण ऐसा आता है जब उत्तरार्द्ध किसी को आकर्षित नहीं कर पाता। हमारे मामले में, यदि हम कल्पना करते हैं कि वर्ग अलग-थलग है, तो व्यक्ति श्रृंखला को बंद कर देता है ()। इस प्रकार, यदि कोई व्यक्ति इसमें शामिल था वित्तीय पिरामिड, जिसमें पैसा दिया जाता था यदि आप दो अन्य प्रतिभागियों को लाते थे, तो व्यक्ति (या सामान्य मामला) किसी को नहीं लाया होता, और तदनुसार, उन्होंने इस वित्तीय घोटाले में अपना निवेश किया हुआ सब कुछ खो दिया होता।

ऊपर जो कुछ भी कहा गया वह घटती या बढ़ती ज्यामितीय प्रगति को संदर्भित करता है, लेकिन, जैसा कि आपको याद है, हमारे पास एक विशेष प्रकार है - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। इसके सदस्यों के योग की गणना कैसे करें? और इस प्रकार की प्रगति में कुछ विशेषताएं क्यों होती हैं? आइए इसे एक साथ समझें।

तो, सबसे पहले, आइए अपने उदाहरण से अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के इस चित्र को फिर से देखें:

अब आइए ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र पर नजर डालें, जो थोड़ा पहले निकाला गया था:
या

हम किसके लिए प्रयास कर रहे हैं? यह सही है, ग्राफ़ दिखाता है कि यह शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। अर्थात्, क्रमशः लगभग बराबर होगा, गणना करते समय हमें जो व्यंजक मिलेगा वह लगभग होगा। इस संबंध में, हमारा मानना है कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग की गणना करते समय, इस ब्रैकेट को उपेक्षित किया जा सकता है, क्योंकि यह बराबर होगा।

- सूत्र एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग है।

महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें योग ज्ञात करने की आवश्यकता है अनंतसदस्यों की संख्या.

यदि एक विशिष्ट संख्या n निर्दिष्ट है, तो हम n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, भले ही या।

अब चलो अभ्यास करें.

और के साथ ज्यामितीय प्रगति के पहले पदों का योग ज्ञात कीजिए।
और के साथ एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग ज्ञात कीजिए।

मुझे आशा है कि आप बेहद सावधान थे। आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं, और यह सिद्धांत से अभ्यास की ओर बढ़ने का समय है। परीक्षा में आने वाली सबसे आम ज्यामितीय प्रगति समस्याएं चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करने में समस्याएं हैं। ये वे हैं जिनके बारे में हम बात करेंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में समस्याएँ.

आपने संभवतः तथाकथित चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूले के बारे में सुना होगा। क्या आप समझते हैं इसका मतलब क्या है? यदि नहीं, तो आइए इसका पता लगाएं, क्योंकि एक बार जब आप इस प्रक्रिया को समझ लेंगे, तो आप तुरंत समझ जाएंगे कि ज्यामितीय प्रगति का इससे क्या लेना-देना है।

हम सभी बैंक जाते हैं और जानते हैं कि वहाँ हैं अलग-अलग स्थितियाँजमा पर: यह अवधि, और अतिरिक्त सेवा, और दो के साथ ब्याज है विभिन्न तरीकेइसकी गणना - सरल और जटिल.

साथ साधारण ब्याजसब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: ब्याज जमा अवधि के अंत में एक बार अर्जित होता है। अर्थात्, यदि हम कहें कि हम एक वर्ष के लिए 100 रूबल जमा करते हैं, तो वे वर्ष के अंत में ही जमा किये जायेंगे। तदनुसार, जमा के अंत तक हमें रूबल प्राप्त होंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज- यह एक विकल्प है जिसमें यह होता है ब्याज पूंजीकरण, अर्थात। जमा राशि में उनका जोड़ और बाद में आय की गणना प्रारंभिक से नहीं, बल्कि संचित जमा राशि से की जाती है। पूंजीकरण लगातार नहीं होता है, बल्कि कुछ आवृत्ति के साथ होता है। एक नियम के रूप में, ऐसी अवधियाँ बराबर होती हैं और अधिकतर बैंक एक महीने, तिमाही या वर्ष का उपयोग करते हैं।

आइए मान लें कि हम सालाना समान रूबल जमा करते हैं, लेकिन जमा राशि के मासिक पूंजीकरण के साथ। हम क्या कर रहे हैं?

क्या आप यहाँ सब कुछ समझते हैं? यदि नहीं, तो आइए इसे चरण दर चरण समझें।

हम बैंक में रूबल लाए। महीने के अंत तक, हमारे खाते में हमारे रूबल और उन पर ब्याज सहित एक राशि होनी चाहिए, जो है:

सहमत होना?

हम इसे कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं और फिर हमें मिलता है:

सहमत हूं, यह फॉर्मूला पहले से ही वैसा ही है जैसा हमने शुरुआत में लिखा था। जो कुछ बचा है वह प्रतिशत का पता लगाना है

समस्या विवरण में हमें वार्षिक दरों के बारे में बताया गया है। जैसा कि आप जानते हैं, हम गुणा नहीं करते - हम प्रतिशत को में बदलते हैं दशमलव, वह है:

सही? अब आप पूछ सकते हैं कि यह नंबर कहां से आया? बहुत सरल!
मैं दोहराता हूं: समस्या कथन के बारे में कहता है वार्षिकब्याज जो अर्जित होता है महीने के. जैसा कि आप जानते हैं, वर्ष के महीनों में, तदनुसार, बैंक हमसे प्रति माह वार्षिक ब्याज का एक हिस्सा वसूल करेगा:

इसका एहसास हुआ? अब यह लिखने का प्रयास करें कि सूत्र का यह भाग कैसा दिखेगा यदि मैं कहूं कि ब्याज की गणना प्रतिदिन की जाती है।
क्या आप संभाल पाओगे? आइए परिणामों की तुलना करें:

बहुत अच्छा! आइए अपने कार्य पर लौटते हैं: लिखें कि दूसरे महीने में हमारे खाते में कितना जमा किया जाएगा, यह ध्यान में रखते हुए कि संचित जमा राशि पर ब्याज अर्जित होता है।
यहाँ मुझे क्या मिला:

या, दूसरे शब्दों में:

मुझे लगता है कि आप पहले ही एक पैटर्न देख चुके हैं और इस सब में एक ज्यामितीय प्रगति देख चुके हैं। लिखें कि इसका सदस्य कितना होगा, या दूसरे शब्दों में, महीने के अंत में हमें कितनी धनराशि प्राप्त होगी।
किया? की जाँच करें!

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप साधारण ब्याज दर पर एक वर्ष के लिए बैंक में पैसा लगाते हैं, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे, और यदि चक्रवृद्धि ब्याज दर पर, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे। लाभ छोटा है, लेकिन यह केवल वें वर्ष के दौरान होता है, लेकिन अधिक के लिए एक लंबी अवधिपूंजीकरण कहीं अधिक लाभदायक है:

आइए चक्रवृद्धि ब्याज से जुड़ी एक अन्य प्रकार की समस्या पर नजर डालें। आपने जो समझ लिया है उसके बाद यह आपके लिए प्राथमिक होगा। तो, कार्य:

ज़्वेज़्दा कंपनी ने 2000 में डॉलर में पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2001 के बाद से हर साल इसे पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफ़ा मिला है। यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया तो 2003 के अंत में ज़्वेज़्दा कंपनी को कितना लाभ प्राप्त होगा?

2000 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2001 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2002 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2003 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।

या हम संक्षेप में लिख सकते हैं:

हमारे मामले के लिए:

2000, 2001, 2002 और 2003.

क्रमश:
रूबल
कृपया ध्यान दें कि इस समस्या में हमारे पास या तो द्वारा या द्वारा कोई विभाजन नहीं है, क्योंकि प्रतिशत वार्षिक रूप से दिया जाता है और इसकी गणना वार्षिक रूप से की जाती है। अर्थात्, चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई समस्या पढ़ते समय इस बात पर ध्यान दें कि कितना प्रतिशत दिया गया है और इसकी गणना किस अवधि में की गई है, और उसके बाद ही गणना के लिए आगे बढ़ें।
अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं।

प्रशिक्षण।

यदि यह ज्ञात हो कि, और, तो ज्यामितीय प्रगति का पद ज्ञात कीजिए
यदि यह ज्ञात हो कि, और, तो ज्यामितीय प्रगति के प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए
एमडीएम कैपिटल कंपनी ने 2003 में डॉलर में पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2004 के बाद से हर साल इसे पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफ़ा मिला है। MSK कैश फ्लो कंपनी ने 2005 में उद्योग में $10,000 की राशि से निवेश करना शुरू किया और 2006 में इस राशि से लाभ कमाना शुरू किया। 2007 के अंत में एक कंपनी की पूंजी दूसरे की तुलना में कितने डॉलर अधिक है, यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया था?

उत्तर:

चूँकि समस्या कथन यह नहीं कहता है कि प्रगति अनंत है और इसके पदों की एक विशिष्ट संख्या का योग ज्ञात करना आवश्यक है, गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
एमडीएम कैपिटल कंपनी:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100% यानी 2 गुना बढ़ जाता है।
क्रमश:
रूबल
एमएसके कैश फ्लो कंपनी:
2005, 2006, 2007.
- यानी कई गुना बढ़ जाता है।
क्रमश:
रूबल
रूबल

आइए संक्षेप करें.

1) ज्यामितीय प्रगति ( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और दूसरे से शुरू होने वाला प्रत्येक पद, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

2) ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का समीकरण है।

3) और को छोड़कर कोई भी मान ले सकता है।

यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का चिह्न एक ही है - वे सकारात्मक हैं;
यदि, तो प्रगति की सभी बाद की शर्तें वैकल्पिक संकेत;
जब - प्रगति को असीम रूप से घटते हुए कहा जाता है।

4) , के साथ - ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति (आसन्न पद)

या
, (समदूरस्थ शर्तों पर)

जब तुम्हें यह मिल जाए, तो उसे मत भूलना दो उत्तर होने चाहिए.

उदाहरण के लिए,

5) ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
या

यदि प्रगति अपरिमित रूप से घट रही है, तो:
या

महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें अनंत पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है।

6) चक्रवृद्धि ब्याज से जुड़ी समस्याओं की गणना भी ज्यामितीय प्रगति के वें पद के सूत्र का उपयोग करके की जाती है, बशर्ते कि नकदसंचलन से वापस नहीं लिया गया:

ज्यामितीय अनुक्रम। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

ज्यामितीय अनुक्रम( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर है। इस नंबर पर कॉल किया जाता है ज्यामितीय प्रगति का हर.

ज्यामितीय प्रगति का भाजकऔर को छोड़कर कोई भी मूल्य ले सकता है।

यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का चिह्न एक ही है - वे सकारात्मक हैं;
यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्य वैकल्पिक संकेत देते हैं;
जब - प्रगति को असीम रूप से घटते हुए कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के पदों का समीकरण - .

ज्यामितीय प्रगति के पदों का योगसूत्र द्वारा गणना:
या

विषय पर पाठ "असीम रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति" (बीजगणित, 10वीं कक्षा)

पाठ का उद्देश्य:छात्रों को एक नए प्रकार के अनुक्रम से परिचित कराना - एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

उपकरण:प्रक्षेपक स्क्रीन।

पाठ का प्रकार:पाठ - एक नया विषय सीखना।

कक्षाओं के दौरान

मैं . संगठन. पल। पाठ का विषय और उद्देश्य बताएं।

द्वितीय . छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।

9वीं कक्षा में आपने अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया।

प्रशन

1. अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा. (अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर होता है)।

2. सूत्र एनअंकगणितीय प्रगति का वां पद (
)

3. प्रथम के योग का सूत्र एनअंकगणितीय प्रगति की शर्तें.

(
या
)

4. ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा. (एक ज्यामितीय प्रगति गैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर होता है)।

5. सूत्र एनज्यामितीय प्रगति का वां पद (

)