अनुक्रम का सामान्य पद $u_n=n^2$ है। $n=1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$ u_1=1^2=1. $$

यह अनुक्रम का पहला पद है. $n=2$ को $u_n=n^2$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अनुक्रम का दूसरा पद प्राप्त होता है:

$$ u_2=2^2=4. $$

यदि हम $n=3$ को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें अनुक्रम का तीसरा पद प्राप्त होता है:

$$ u_3=3^2=9. $$

इसी प्रकार हम अनुक्रम के चौथे, पांचवें, छठे और अन्य पदों को ज्ञात करते हैं। इस प्रकार हमें संगत संख्याएँ प्राप्त होती हैं:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

$u_n=n^3$ अनुक्रम की शर्तों को ध्यान में रखना भी उचित है। यहां इसके कुछ प्रथम सदस्य हैं:

\begin(समीकरण)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots\end(समीकरण)

इसके अलावा, किसी श्रृंखला का सामान्य पद बनाने के लिए, अनुक्रम $u_n=n!$ का उपयोग अक्सर किया जाता है, जिसके पहले कुछ पद इस प्रकार हैं:

\begin(समीकरण)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots\end(समीकरण)

रिकॉर्डिंग "एन!" (पढ़ें "एन फैक्टोरियल") सभी के उत्पाद को दर्शाता है प्राकृतिक संख्या 1 से n तक, यानी

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

परिभाषा के अनुसार, यह माना जाता है कि $0!=1!=1$. उदाहरण के लिए, आइए 5 खोजें!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति का भी अक्सर उपयोग किया जाता है। यदि अंकगणितीय प्रगति का पहला पद $a_1$ के बराबर है, और अंतर $d$ के बराबर है, तो अंकगणितीय प्रगति का सामान्य पद निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके लिखा जाता है:

\begin(समीकरण)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(समीकरण)

अंकगणितीय प्रगति क्या है? छिपा हुया दिखाओ

अंकगणितीय प्रगति संख्याओं का एक क्रम है जिसमें अगले और पिछले पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है। इस निरंतर अंतर को कहा जाता है प्रगति अंतर

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

कृपया ध्यान दें कि हम चाहे पड़ोसी तत्वों का कोई भी जोड़ा लें, अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर और 7 के बराबर रहेगा:

\begin(संरेखित) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(संरेखित)

यह संख्या, यानी 7, और एक प्रगति अंतर है। इसे आमतौर पर $d$ अक्षर से दर्शाया जाता है, यानी। $d=7$. प्रगति का पहला तत्व $a_1=3$ है। हम सूत्र का उपयोग करके इस प्रगति का सामान्य पद लिखते हैं। इसमें $a_1=3$ और $d=7$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

स्पष्टता के लिए, आइए अंकगणितीय प्रगति के पहले कुछ पदों को खोजने के लिए सूत्र $a_n=7n-4$ का उपयोग करें:

\begin(संरेखित) और a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(संरेखित)

संख्या $n$ के किसी भी मान को सूत्र $a_n=7n-4$ में प्रतिस्थापित करके, आप अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य प्राप्त कर सकते हैं।

यह ज्यामितीय प्रगति पर भी ध्यान देने योग्य है। यदि प्रगति का पहला पद $b_1$ के बराबर है, और हर $q$ के बराबर है, तो ज्यामितीय प्रगति का सामान्य पद निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

\begin(समीकरण)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(समीकरण)

क्या हुआ है ज्यामितीय अनुक्रम? छिपा हुया दिखाओ

ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक क्रम है जिसमें अगले और पिछले पदों के बीच संबंध स्थिर होता है। यह निरंतर संबंध कहलाता है प्रगति का भाजक. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अनुक्रम पर विचार करें:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

कृपया ध्यान दें कि हम चाहे पड़ोसी तत्वों का कोई भी जोड़ा लें, अगले और पिछले तत्वों का अनुपात हमेशा स्थिर रहेगा और 3 के बराबर होगा:

\begin(allined) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(संरेखित)

यह संख्या, यानी 3 प्रगति का हर है. इसे आमतौर पर $q$ अक्षर से दर्शाया जाता है, यानी। $q=3$. प्रगति का पहला तत्व $b_1=6$ है। हम सूत्र का उपयोग करके इस प्रगति का सामान्य पद लिखते हैं। इसमें $b_1=6$ और $q=3$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

स्पष्टता के लिए, आइए ज्यामितीय प्रगति के पहले कुछ पदों को खोजने के लिए सूत्र $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ का उपयोग करें:

\begin(संरेखित) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(संरेखित)

संख्या $n$ के किसी भी मान को सूत्र $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ में प्रतिस्थापित करके, आप ज्यामितीय प्रगति का कोई भी पद प्राप्त कर सकते हैं।

नीचे दिए गए सभी उदाहरणों में, हम श्रृंखला के सदस्यों को $u_1$ (श्रृंखला का पहला सदस्य), $u_2$ (श्रृंखला का दूसरा सदस्य), इत्यादि अक्षरों से निरूपित करेंगे। अंकन $u_n$ श्रृंखला के सामान्य पद को दर्शाएगा।

उदाहरण क्रमांक 1

श्रृंखला $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ का सामान्य पद ज्ञात कीजिये।

ऐसे कार्यों का सार उस पैटर्न पर ध्यान देना है जो श्रृंखला के पहले सदस्यों में निहित है। और इस पैटर्न के आधार पर, सामान्य सदस्य के प्रकार के बारे में निष्कर्ष निकालें। वाक्यांश "सामान्य शब्द खोजें" का क्या अर्थ है? इसका अर्थ यह है कि $n=1$ को प्रतिस्थापित करते हुए एक ऐसा व्यंजक खोजना आवश्यक है जिसमें हमें श्रृंखला का पहला पद प्राप्त हो, अर्थात्। $\frac(1)(7)$; $n=2$ को प्रतिस्थापित करने पर हमें श्रृंखला का दूसरा पद प्राप्त होता है, अर्थात्। $\frac(2)(9)$; $n=3$ को प्रतिस्थापित करने पर हमें श्रृंखला का तीसरा पद प्राप्त होता है, अर्थात्। $\frac(3)(11)$ इत्यादि। हम श्रृंखला के पहले चार पद जानते हैं:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

चलिए धीरे-धीरे आगे बढ़ते हैं. हमें ज्ञात श्रृंखला के सभी सदस्य भिन्न हैं, इसलिए यह मान लेना उचित है कि श्रृंखला के सामान्य सदस्य को भी भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

हमारा कार्य यह पता लगाना है कि अंश और हर में प्रश्न चिह्न के नीचे क्या छिपा है। आइए पहले अंश को देखें। हमें ज्ञात श्रृंखला के सदस्यों की संख्याएँ 1, 2, 3 और 4 हैं। ध्यान दें कि श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य की संख्या अंश के बराबर है। पहले पद का अंश एक है, दूसरे का दो है, तीसरे का तीन है और चौथे का चार है।

यह मान लेना तर्कसंगत है कि nवें पद के अंश में $n$ होगा:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

वैसे, हम इस निष्कर्ष पर दूसरे तरीके से, अधिक औपचारिक रूप से पहुंच सकते हैं। क्रम 1, 2, 3, 4 क्या है? ध्यान दें कि इस अनुक्रम का प्रत्येक अगला सदस्य पिछले वाले से 1 बड़ा है। हम अंकगणितीय प्रगति के चार पदों से निपट रहे हैं, जिनमें से पहला पद $a_1=1$ है, और अंतर $d=1$ है। सूत्र का उपयोग करके, हम प्रगति के सामान्य पद के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

इसलिए, अनुमान लगाना या औपचारिक गणना करना रुचि का विषय है। मुख्य बात यह है कि हमने श्रृंखला के सामान्य पद का अंश लिख लिया है। चलिए हर की ओर बढ़ते हैं।

हर में हमारे पास अनुक्रम 7, 9, 11, 13 हैं। ये अंकगणितीय प्रगति के चार पद हैं, जिनमें से पहला पद $b_1=7$ के बराबर है, और अंतर $d=2$ है। हम सूत्र का उपयोग करके प्रगति का सामान्य पद ज्ञात करते हैं:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

परिणामी अभिव्यक्ति, अर्थात् $2n+5$, और श्रृंखला के सामान्य पद का हर होगा। इसलिए:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

श्रृंखला का सामान्य पद प्राप्त होता है। आइए जांचें कि क्या हमें जो सूत्र मिला वह $u_n=\frac(n)(2n+5)$ श्रृंखला के पहले से ज्ञात शब्दों की गणना के लिए उपयुक्त है। आइए सूत्र $u_n=\frac(n)(2n+5)$ का उपयोग करके शब्द $u_1$, $u_2$, $u_3$ और $u_4$ खोजें। परिणाम, स्वाभाविक रूप से, शर्त के अनुसार हमें दी गई श्रृंखला के पहले चार शब्दों से मेल खाना चाहिए।

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

यह सही है, परिणाम वही हैं. शर्त में निर्दिष्ट श्रृंखला अब निम्नलिखित रूप में लिखी जा सकती है: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. श्रृंखला के सामान्य पद का रूप $u_n=\frac(n)(2n+5)$ है।

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

क्या ऐसी श्रृंखला को अस्तित्व में रहने का अधिकार नहीं है? यह अभी भी है. और इस श्रृंखला के लिए हम वह लिख सकते हैं

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (एन≥ 5). $$

आप एक और निरंतरता लिख ​​सकते हैं. उदाहरण के लिए, यह:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

और ऐसी निरंतरता किसी भी चीज़ का खंडन नहीं करती है। ऐसे में हम वो लिख सकते हैं

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (एन≥ 5). $$

यदि पहले दो विकल्प आपको बहुत औपचारिक लगते हैं, तो मैं तीसरा सुझाव दूंगा। आइए सामान्य शब्द को इस प्रकार लिखें:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

आइए प्रस्तावित सामान्य पद सूत्र का उपयोग करके श्रृंखला के पहले चार पदों की गणना करें:

\begin(संरेखित) और u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(संरेखित)

जैसा कि आप देख सकते हैं, सामान्य पद के लिए प्रस्तावित सूत्र बिल्कुल सही है। और आप अनंत संख्या में ऐसी विविधताएँ लेकर आ सकते हैं, उनकी संख्या असीमित है। में मानक उदाहरणनिस्संदेह, कुछ ज्ञात अनुक्रमों (प्रगति, शक्तियाँ, भाज्य, आदि) का एक मानक सेट उपयोग किया जाता है। हालाँकि, ऐसे कार्यों में हमेशा अनिश्चितता बनी रहती है, और इसे याद रखना उचित है।

बाद के सभी उदाहरणों में यह अस्पष्टता निर्दिष्ट नहीं की जाएगी। हम उन मानक तरीकों का उपयोग करके हल करेंगे जो अधिकांश समस्या पुस्तकों में स्वीकार किए जाते हैं।

उत्तर: श्रृंखला का सामान्य पद: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

उदाहरण क्रमांक 2

श्रृंखला का सामान्य पद लिखें $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

हम श्रृंखला के पहले पाँच पद जानते हैं:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

हमें ज्ञात श्रृंखला के सभी पद भिन्न हैं, जिसका अर्थ है कि हम श्रृंखला के सामान्य पद को भिन्न के रूप में देखेंगे:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

आइए तुरंत अंश पर ध्यान दें। सभी अंशों में इकाइयाँ होती हैं, इसलिए श्रृंखला के सामान्य पद के अंश में भी एक शामिल होगा, अर्थात।

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

अब आइए हर को देखें। हमें ज्ञात श्रृंखला के पहले पदों के हर में संख्याओं के गुणनफल शामिल हैं: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$। इनमें से पहली संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7, 9. इस अनुक्रम में पहला पद $a_1=1$ है, और प्रत्येक बाद वाला पिछले एक से संख्या $d=2$ जोड़कर प्राप्त किया जाता है। दूसरे शब्दों में, ये अंकगणितीय प्रगति के पहले पांच पद हैं, जिनका सामान्य पद सूत्र का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

उत्पादों में $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ दूसरी संख्याएँ हैं: 5, 8, 11, 14, 17. ये हैं अंकगणितीय प्रगति के तत्व, जिसका पहला पद $b_1=5$ है, और हर $d=3$ है। हम इस प्रगति का सामान्य पद उसी सूत्र का उपयोग करके लिखते हैं:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

आइए परिणामों को एक साथ रखें। श्रृंखला के सामान्य पद के हर में उत्पाद है: $(2n-1)(3n+2)$. और श्रृंखला के सामान्य पद का स्वयं निम्नलिखित रूप है:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

प्राप्त परिणाम की जांच करने के लिए, हम श्रृंखला के पहले चार पदों को खोजने के लिए सूत्र $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ का उपयोग करते हैं जिन्हें हम जानते हैं:

\begin(संरेखित) और u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end(संरेखित)

तो, सूत्र $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ आपको स्थिति से ज्ञात श्रृंखला की शर्तों की सटीक गणना करने की अनुमति देता है। यदि चाहें तो दी गई श्रृंखला को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

उत्तर: श्रृंखला का सामान्य पद: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

हम इस विषय को दूसरे और तीसरे भाग में जारी रखेंगे।

बहुत से लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के बारे में सुना है, लेकिन हर किसी को इसका अच्छा अंदाज़ा नहीं है कि यह क्या है। इस लेख में हम संबंधित परिभाषा देंगे, और अंकगणितीय प्रगति का अंतर कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न पर भी विचार करेंगे और कई उदाहरण देंगे।

गणितीय परिभाषा

इसलिए, यदि हम अंकगणित या बीजगणितीय प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं (ये अवधारणाएं एक ही चीज़ को परिभाषित करती हैं), तो इसका मतलब है कि एक निश्चित संख्या श्रृंखला है जो निम्नलिखित कानून को संतुष्ट करती है: श्रृंखला में प्रत्येक दो आसन्न संख्याएं समान मान से भिन्न होती हैं। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

यहां n का अर्थ अनुक्रम में तत्व a n की संख्या है, और संख्या d प्रगति का अंतर है (इसका नाम प्रस्तुत सूत्र से आता है)।

अंतर जानने का क्या मतलब है? इसके बारे में कि पड़ोसी संख्याएँ एक दूसरे से कितनी "दूर" हैं। हालाँकि, डी का ज्ञान आवश्यक है, लेकिन नहीं पर्याप्त स्थितिसंपूर्ण प्रगति को निर्धारित (पुनर्स्थापित) करना। एक और संख्या जानना जरूरी है, जो विचाराधीन श्रृंखला का बिल्कुल कोई भी तत्व हो सकता है, उदाहरण के लिए, 4, ए10, लेकिन, एक नियम के रूप में, वे पहले नंबर का उपयोग करते हैं, यानी 1।

प्रगति तत्वों के निर्धारण के लिए सूत्र

सामान्य तौर पर, उपरोक्त जानकारी विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ने के लिए पहले से ही पर्याप्त है। फिर भी, इससे पहले कि अंकगणितीय प्रगति दी जाए, और इसका अंतर ज्ञात करना आवश्यक होगा, हम कुछ प्रस्तुत करते हैं उपयोगी सूत्र, जिससे समस्याओं को हल करने की आगामी प्रक्रिया सुविधाजनक हो जाती है।

यह दिखाना आसान है कि संख्या n वाले अनुक्रम का कोई भी तत्व निम्नानुसार पाया जा सकता है:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी

दरअसल, कोई भी इस सूत्र को सरल खोज द्वारा जांच सकता है: यदि आप n = 1 प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको पहला तत्व मिलता है, यदि आप n = 2 प्रतिस्थापित करते हैं, तो अभिव्यक्ति पहली संख्या और अंतर का योग देती है, और इसी तरह।

कई समस्याओं की स्थितियाँ इस तरह से बनाई गई हैं कि, संख्याओं की एक ज्ञात जोड़ी को देखते हुए, जिनकी संख्याएँ अनुक्रम में भी दी गई हैं, संपूर्ण संख्या श्रृंखला का पुनर्निर्माण करना आवश्यक है (अंतर और पहला तत्व खोजें)। अब हम इस समस्या का समाधान सामान्य रूप में करेंगे।

तो, मान लीजिए संख्या n और m वाले दो तत्व दिए गए हैं। ऊपर प्राप्त सूत्र का उपयोग करके, आप दो समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी;

ए एम = ए 1 + (एम - 1) * डी

अज्ञात मात्राएँ ज्ञात करने के लिए हम ज्ञात का उपयोग करते हैं सरल तरकीबऐसी प्रणाली का समाधान: बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़े में घटाएँ, समानता मान्य रहेगी। हमारे पास है:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) * डी;

ए एन - ए एम = (एन - 1) * डी - (एम - 1) * डी = डी * (एन - एम)

इस प्रकार, हमने एक अज्ञात (ए 1) को बाहर कर दिया है। अब हम d निर्धारित करने के लिए अंतिम अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

डी = (ए एन - ए एम) / (एन - एम), जहां एन > एम

हमें बहुत कुछ मिला सरल सूत्र: समस्या की स्थितियों के अनुसार अंतर डी की गणना करने के लिए, आपको केवल तत्वों और उनके बीच के अंतर का अनुपात लेने की आवश्यकता है क्रम संख्याएँ. एक पर ध्यान देना चाहिए महत्वपूर्ण बिंदुध्यान: अंतर "वरिष्ठ" और "कनिष्ठ" सदस्यों के बीच लिया जाता है, अर्थात, n > m ("वरिष्ठ" का अर्थ अनुक्रम की शुरुआत से आगे खड़ा होना है, इसका निरपेक्ष मूल्य"कनिष्ठ" तत्व से बड़ा या छोटा हो सकता है)।

पहले पद का मान प्राप्त करने के लिए समस्या को हल करने की शुरुआत में अंतर डी प्रगति के लिए अभिव्यक्ति को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी विकास के हमारे युग में, कई स्कूली बच्चे इंटरनेट पर अपने असाइनमेंट का समाधान खोजने का प्रयास करते हैं, इसलिए अक्सर इस प्रकार के प्रश्न उठते हैं: ऑनलाइन अंकगणितीय प्रगति का अंतर ढूंढें। ऐसे अनुरोध के लिए, खोज इंजन कई वेब पेज लौटाएगा, जिस पर जाकर आपको स्थिति से ज्ञात डेटा दर्ज करना होगा (यह या तो प्रगति के दो पद हो सकते हैं या उनमें से एक निश्चित संख्या का योग हो सकता है) ) और तुरंत उत्तर प्राप्त करें। हालाँकि, समस्या को हल करने का यह दृष्टिकोण छात्र के विकास और उसे सौंपे गए कार्य के सार की समझ के संदर्भ में अनुत्पादक है।

सूत्रों का उपयोग किए बिना समाधान

आइए दिए गए किसी भी सूत्र का उपयोग किए बिना पहली समस्या को हल करें। मान लीजिए श्रृंखला के तत्व दिए गए हैं: a6 = 3, a9 = 18. अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।

ज्ञात तत्व एक पंक्ति में एक दूसरे के करीब खड़े हैं। सबसे बड़ा पाने के लिए अंतर d को सबसे छोटे में कितनी बार जोड़ना होगा? तीन बार (पहली बार d जोड़ने पर, हमें 7वां तत्व मिलता है, दूसरी बार - आठवां, अंत में, तीसरी बार - नौवां)। 18 प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या को तीन में तीन बार जोड़ना होगा? ये पांचवा नंबर है. वास्तव में:

इस प्रकार, अज्ञात अंतर d = 5.

बेशक, समाधान उचित फॉर्मूले का उपयोग करके किया जा सकता था, लेकिन ऐसा जानबूझकर नहीं किया गया। विस्तृत विवरणसमस्या का समाधान स्पष्ट होना चाहिए और एक ज्वलंत उदाहरणअंकगणितीय प्रगति क्या है?

पिछले वाले के समान ही एक कार्य

आइए अब इसी तरह की समस्या का समाधान करें, लेकिन इनपुट डेटा बदलें। तो, आपको पता लगाना चाहिए कि क्या a3 = 2, a9 = 19 है।

बेशक, आप फिर से "हेड-ऑन" समाधान पद्धति का सहारा ले सकते हैं। लेकिन चूंकि श्रृंखला के तत्व दिए गए हैं, जो एक दूसरे से अपेक्षाकृत दूर हैं, इसलिए यह विधि पूरी तरह से सुविधाजनक नहीं होगी। लेकिन परिणामी सूत्र का उपयोग करने से हमें तुरंत उत्तर मिल जाएगा:

डी = (ए 9 - ए 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2.83

यहां हमने अंतिम संख्या को पूर्णांकित कर दिया है। इस पूर्णांकन के कारण किस हद तक त्रुटि हुई, इसका अंदाजा परिणाम की जाँच से लगाया जा सकता है:

ए 9 = ए 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

यह परिणाम शर्त में दिए गए मान से केवल 0.1% भिन्न है। इसलिए, निकटतम सौवें तक प्रयुक्त पूर्णांकन को एक सफल विकल्प माना जा सकता है।

किसी पद के लिए सूत्र लागू करने से जुड़ी समस्याएँ

आइए अज्ञात d को निर्धारित करने के लिए एक समस्या के क्लासिक उदाहरण पर विचार करें: यदि a1 = 12, a5 = 40 है तो अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करें।

जब किसी अज्ञात बीजगणितीय अनुक्रम की दो संख्याएँ दी गई हों, और उनमें से एक तत्व a 1 हो, तो आपको अधिक समय तक सोचने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि तुरंत a n पद के लिए सूत्र लागू करना चाहिए। में इस मामले मेंहमारे पास है:

ए 5 = ए 1 + डी * (5 - 1) => डी = (ए 5 - ए 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

विभाजित करते समय हमें सटीक संख्या प्राप्त हुई, इसलिए गणना किए गए परिणाम की सटीकता की जांच करने का कोई मतलब नहीं है, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में किया गया था।

आइए इसी तरह की एक और समस्या हल करें: हमें एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करना होगा यदि a1 = 16, a8 = 37 है।

हम पिछले वाले के समान दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

ए 8 = ए 1 + डी * (8 - 1) => डी = (ए 8 - ए 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

अंकगणितीय प्रगति के बारे में आपको और क्या जानना चाहिए?

किसी अज्ञात अंतर या व्यक्तिगत तत्वों को खोजने की समस्याओं के अलावा, किसी अनुक्रम के पहले पदों के योग की समस्याओं को हल करना अक्सर आवश्यक होता है। हालाँकि, इन कार्यों पर विचार करना लेख के दायरे से परे है, हालाँकि, हम जो जानकारी प्रस्तुत करते हैं उसकी संपूर्णता के लिए सामान्य सूत्रकिसी श्रृंखला में n संख्याओं के योग के लिए:

∑ एन आई = 1 (ए आई) = एन * (ए 1 + ए एन) / 2

निर्देश

एक अंकगणितीय प्रगति a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d के रूप का एक क्रम है। नंबर डी चरण प्रगति.यह स्पष्ट है कि अंकगणित के एक मनमाना एन-वें पद का सामान्य प्रगतिइसका रूप है: An = A1+(n-1)d. फिर सदस्यों में से एक को जानना प्रगति, सदस्य प्रगतिऔर कदम प्रगति, आप कर सकते हैं, अर्थात, प्रगति सदस्य की संख्या। जाहिर है, यह सूत्र n = (An-A1+d)/d द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

आइए अब mवाँ पद ज्ञात करें प्रगतिऔर एक अन्य सदस्य प्रगति- nवां, लेकिन n , जैसा कि पिछले मामले में था, लेकिन यह ज्ञात है कि n और m चरण मेल नहीं खाते हैं प्रगतिसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: d = (An-Am)/(n-m)। तब n = (An-Am+md)/d.

यदि किसी अंकगणितीय समीकरण के कई तत्वों का योग ज्ञात हो प्रगति, साथ ही इसके पहले और अंतिम, तो अंकगणित का योग भी निर्धारित किया जा सकता है प्रगतिइसके बराबर होगा: S = ((A1+An)/2)n. तब n = 2S/(A1+An) - chdenov प्रगति. इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि An = A1+(n-1)d, इस सूत्र को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: n = 2S/(2A1+(n-1)d)। इससे हम n को हल करके व्यक्त कर सकते हैं द्विघात समीकरण.

अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं का एक क्रमबद्ध समूह है, जिसका प्रत्येक सदस्य, पहले को छोड़कर, पिछले वाले से समान मात्रा में भिन्न होता है। इस स्थिर मान को प्रगति या उसके चरण का अंतर कहा जाता है और इसकी गणना अंकगणितीय प्रगति के ज्ञात शब्दों से की जा सकती है।

निर्देश

यदि पहले और दूसरे या आसन्न पदों के किसी अन्य जोड़े का मान समस्या की स्थितियों से ज्ञात हो, तो अंतर की गणना करने के लिए (डी) बस अगले पद से पिछले एक को घटा दें। परिणामी मान या तो सकारात्मक हो सकता है या ऋणात्मक संख्या- यह इस पर निर्भर करता है कि प्रगति बढ़ रही है या नहीं। में सामान्य फ़ॉर्मप्रगति के पड़ोसी पदों की मनमाने ढंग से चुनी गई जोड़ी (aᵢ और aᵢ₊₁) के लिए समाधान इस प्रकार लिखें: d = aᵢ₊₁ - aᵢ।

ऐसी प्रगति के पदों की एक जोड़ी के लिए, जिनमें से एक पहला (ए₁) है, और दूसरा कोई अन्य मनमाने ढंग से चुना गया है, अंतर (डी) खोजने के लिए एक सूत्र बनाना भी संभव है। हालाँकि, इस मामले में, अनुक्रम के एक मनमाने ढंग से चयनित सदस्य की क्रम संख्या (i) ज्ञात होनी चाहिए। अंतर की गणना करने के लिए, दोनों संख्याओं को जोड़ें और परिणामी परिणाम को एक से कम किए गए मनमाने पद की क्रमिक संख्या से विभाजित करें। सामान्य तौर पर, इस सूत्र को इस प्रकार लिखें: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1)।

यदि, क्रमसूचक संख्या i के साथ अंकगणितीय प्रगति के एक मनमाना सदस्य के अलावा, क्रमसूचक संख्या u वाला कोई अन्य सदस्य ज्ञात है, तो पिछले चरण से सूत्र को तदनुसार बदलें। इस मामले में, प्रगति का अंतर (डी) इन दो शब्दों के योग को उनके क्रमिक संख्याओं के अंतर से विभाजित किया जाएगा: डी = (एᵢ+एᵥ)/(आई-वी)।

अंतर (डी) की गणना करने का सूत्र कुछ अधिक जटिल हो जाता है यदि समस्या की स्थितियाँ इसके पहले पद (ए₁) का मान और अंकगणित अनुक्रम के पहले शब्दों के दिए गए संख्या (i) का योग (एसᵢ) देती हैं। वांछित मान प्राप्त करने के लिए, योग को इसे बनाने वाले पदों की संख्या से विभाजित करें, अनुक्रम में पहली संख्या का मान घटाएं और परिणाम को दोगुना करें। परिणामी मान को उन पदों की संख्या से विभाजित करें जो योग को एक से घटाकर बनाते हैं। सामान्य तौर पर, विवेचक की गणना के लिए सूत्र इस प्रकार लिखें: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1)।

लक्ष्य:

1. अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा का परिचय दें।
2. अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र का उपयोग करके मुख्य प्रकार की समस्याओं पर विचार करें।
3. पाठ में विकासात्मक शिक्षा के तत्वों का उपयोग करें।
4. छात्रों की विश्लेषणात्मक सोच विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

अध्यापक।पिछले पाठ में, हमने अनंत संख्या अनुक्रम की अवधारणा को प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन के रूप में पेश किया और पाया कि अनुक्रम अनंत और परिमित, बढ़ते और घटते हो सकते हैं, और उन्हें परिभाषित करने के तरीकों के बारे में भी सीखा। उनकी सूची बनाओ।

छात्र.

1. विश्लेषणात्मक (सूत्र का उपयोग करके)।
2. मौखिक (विवरण के साथ अनुक्रम निर्धारित करना)।
3. आवर्ती (जब अनुक्रम का कोई भी सदस्य, कुछ से शुरू होकर, पिछले सदस्यों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है)।

अभ्यास 1।यदि संभव हो तो प्रत्येक अनुक्रम का 7वां पद इंगित करें।

(ए एन): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(बीएन): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(सीएन): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3.8; -2.6; -1.4; -0.2; 1; 2.2…
(वाई एन): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

अध्यापक. अनुक्रम b n और y n के प्रश्न का उत्तर देना असंभव क्यों है?

छात्र. इन अनुक्रमों में कोई विशिष्ट पैटर्न नहीं है, हालाँकि (b n) में प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग होते हैं, लेकिन उन्हें मनमाने क्रम में लिया जाता है, और (y n) दर्शाता है मनमानी श्रृंखलासंख्याएँ, इसलिए सातवाँ स्थान कोई भी संख्या हो सकता है।

अध्यापक।अनुक्रमों के लिए (ए एन); (सीएन); (x n) आप सभी 7वां पद सही ढंग से ढूंढने में सक्षम थे।

कार्य 2.ऐसे अनुक्रम का अपना उदाहरण लेकर आएं। इसके प्रथम 4 सदस्यों को इंगित करें। अपने डेस्क पड़ोसी के साथ नोटबुक का आदान-प्रदान करें और इस क्रम का 5वां पद निर्धारित करें।

अध्यापक।ऐसे अनुक्रमों में कौन सी सामान्य संपत्ति होती है?

विद्यार्थी. प्रत्येक आगामी पद पिछले पद से समान संख्या में भिन्न होता है।

अध्यापक।इस प्रकार के अनुक्रमों को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। वे आज हमारे अध्ययन का विषय होंगे। पाठ का विषय तैयार करें।

(छात्र विषय का पहला भाग आसानी से तैयार कर सकता है। शिक्षक दूसरा भाग स्वयं तैयार कर सकता है)

अध्यापक. इस विषय के आधार पर पाठ के उद्देश्य तैयार करें।

(यह महत्वपूर्ण है कि छात्र अपने सीखने के लक्ष्यों को यथासंभव पूर्ण और सटीक रूप से तैयार करें, फिर वे उन्हें स्वीकार करें और उन्हें प्राप्त करने का प्रयास करें)

छात्र.

1. अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करें।
2. अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें।
3. किसी विषय पर समस्याओं को हल करना सीखें (विचार करें)। विभिन्न प्रकार केकार्य)।

फिर छात्रों के लिए शिक्षक के लक्ष्यों को स्क्रीन पर प्रदर्शित करना सहायक होता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि उनके समान लक्ष्य हैं।

अध्यापक।थोड़ा इतिहास. शब्द "प्रगति" लैटिन प्रोग्रेसिव से आया है, जिसका अर्थ है "आगे बढ़ना", और इसे छठी शताब्दी ईस्वी में रोमन लेखक बोथियस द्वारा पेश किया गया था। और प्राप्त किया इससे आगे का विकासफाइबोनैचि, चुक्वेट, गॉस और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों में।

परिभाषा।अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर होता है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे d से दर्शाया जाता है।

(ए एन): ए 1 ; ए 2 ; ए 3 ; ...a n ...अंकगणितीय प्रगति।
डी = ए 2 – ए 1 = ए 3 – ए 2 = … = ए एन+1 - ए एन

कार्य 3.मान लीजिए a 1 = 7; डी = 0.

अनुक्रम के अगले 3 पदों के नाम बताइए।

छात्र. 7; 7; 7

अध्यापक. ऐसे अनुक्रमों को स्थिर या स्थिर कहा जाता है।

मान लीजिए a 1 = -12; d = 3. इस अनुक्रम के 3 सदस्यों के नाम बताइए।

विद्यार्थी। -9; -6; -3

अध्यापक. यदि मैं संख्याओं का नाम बताऊं तो क्या मैं सही होऊंगा: -15; -18; -21?

एक नियम के रूप में, अधिकांश छात्र सोचते हैं कि यह सही है। फिर आपको उनसे प्रत्येक सदस्य की संख्या पहचानने के लिए कहना चाहिए। चूँकि अनुक्रम के किसी सदस्य की संख्या को एक प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए, नामित संख्याएँ इस अनुक्रम में मौजूद नहीं हो सकती हैं।

कार्य 4.अंकगणितीय प्रगति में 1 ; ए 2 ; 6; 4; ए 5 ए 1 खोजें; ए 2 ; एक 5.

कार्य जोड़ियों में किया जाता है, यदि वांछित हो तो एक छात्र इसे पूरा करता है विपरीत पक्षबोर्ड.

समाधान:

डी = 4 – 6 = -2
ए 5 = ए 4 + डी = 4 – 2 = 2
ए 2 = ए 3 – डी = 6 – (-2) = 8
ए 1 = ए 2 – डी = 8 – (-2) = 10

इस अनुक्रम के लिए 8 और 126 निर्दिष्ट करें

छात्र. a 8 = -4 और 126 निर्दिष्ट किया जा सकता है, लेकिन इसे गिनने में बहुत समय लगता है।

अध्यापक।इसका मतलब है कि हमें एक ऐसा तरीका खोजने की ज़रूरत है जो हमें अनुक्रम के किसी भी सदस्य को तुरंत ढूंढने की अनुमति देगा। अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करें।

आप एक मजबूत छात्र को बोर्ड में बुला सकते हैं और स्पष्ट रूप से पूछे गए प्रश्नों और कक्षा की मदद से सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

सूत्र की व्युत्पत्ति:

ए 2 = ए 1 + डी
ए 3 = ए 2 + डी = ए 1 + 2डी
ए 4 = ए 3 + डी = ए 1 + 3डी
वगैरह।

एएन = ए 1 + (एन – 1) डी- सूत्रअंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद।

अध्यापक. तो, अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को निर्धारित करने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

छात्र. ए 1 और डी

अध्यापक।इस सूत्र का उपयोग करके 126 ज्ञात कीजिए।

छात्र.ए 126 = ए 1 + 125डी = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 - 250 = - 240

कार्य 5. मान लीजिए (b n): एक अंकगणितीय प्रगति जिसमें b 1 पहला पद है और d अंतर है। त्रुटियाँ ढूँढ़ें:

बी 4 = बी 1 + 3डी		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
बी 9 = बी 1 + 10डी		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
बी -3 = बी 1 - 4डी		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

कार्य 6.आइए अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र पर विचार करें। आइए जानें कि इस फॉर्मूले का उपयोग करके किस प्रकार की समस्याओं का समाधान किया जा सकता है। एक सीधी समस्या तैयार करें.

छात्र. a 1 और d के मानों को देखते हुए, एक n ज्ञात कीजिए।

अध्यापक।क्या व्युत्क्रम समस्याएँ निर्धारित की जा सकती हैं?

छात्र.

1. एक 1 और एक एन दिया गया है। डी खोजें।
2. d और a n दिया गया है। 1 खोजें.
3. ए 1, डी और ए एन दिया गया है। एन खोजें।

कार्य 7. अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए जिसमें y 1 = 10; y 5 = 22

बोर्ड में समाधान:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4डी
4डी = 12
घ=3

कार्य 8. क्या अंकगणितीय प्रगति में 2 शामिल है; 9; ...संख्या 156?

विश्लेषण: तर्क से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि क्योंकि अनुक्रम में प्रत्येक संख्या की अपनी संख्या होती है, जिसे एक प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, फिर आपको अनुक्रम के सदस्य की संख्या ज्ञात करनी होगी और यह पता लगाना होगा कि क्या यह प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित है। यदि संबंधित है, तो अनुक्रम में दी गई संख्या शामिल है, अन्यथा नहीं;

बोर्ड में समाधान:

ए एन = ए 1 + (एन - 1) डी
156 = 2 + 7 (एन – 1)
7 (एन – 1) = 154
एन – 1 = 22
एन = 23

उत्तर: ए 23 = 156

कार्य 9.जिसमें अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद ज्ञात कीजिए

ए 1 + ए 5 = 24;
ए 2 ∙ए 3 =60

हम कार्य का विश्लेषण करते हैं, समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं जिसे हम घर पर हल करने का प्रस्ताव करते हैं।

ए 1 + ए 1 + 4डी = 24;
(ए 1 + डी)∙(ए 1 + 4डी)= 60.

उपसंहार कुल पाठ।

आज आपने कक्षा में क्या नया सीखा? आपने क्या सीखा?

गृहकार्य. पाठ्यपुस्तक के अनुच्छेद 25 में दी गई सामग्री पढ़ें। अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा और nवें पद का सूत्र जानें। इसमें शामिल सभी मात्राओं को एक सूत्र से व्यक्त करने में सक्षम हो। कार्य 9 के लिए सिस्टम को हल करें। पाठ्यपुस्तक संख्या 575 (ए, बी) का पालन करें; 576; 578(ए); 579(ए).

अतिरिक्त मूल्यांकन असाइनमेंट: चलो एक 1 ; ए 2 ; ए 3 ; ...a n ...अंकगणितीय प्रगति। सिद्ध कीजिए कि a n+1 = (a n + a n+2) : 2

प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

संख्या क्रम

तो, आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे हैं)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (वें संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या वाले अंक को अनुक्रम का वां पद कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और समान है।
उदाहरण के लिए:

वगैरह।
इस संख्या क्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
"प्रगति" शब्द को रोमन लेखक बोथियस ने 6वीं शताब्दी में पेश किया था और इसे व्यापक अर्थ में एक अनंत संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसका अध्ययन प्राचीन यूनानियों द्वारा किया गया था।

यह एक संख्या क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और निर्दिष्ट किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर वापस लौटें और इसके वें पद का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका.

1. विधि

हम प्रगति संख्या को पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मूल्य:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का वां पद बराबर है।

2. विधि

यदि हमें प्रगति के वें पद का मान ज्ञात करना हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक समय लगेगा, और यह सच नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हम गलतियाँ नहीं करेंगे।
बेशक, गणितज्ञों ने एक ऐसा तरीका खोज लिया है जिसमें अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान में जोड़ना आवश्यक नहीं है। खींची गई तस्वीर को करीब से देखें... निश्चित रूप से आपने पहले ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दिया है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के वें पद का मान क्या है:


दूसरे शब्दों में:

इस प्रकार किसी दी गई अंकगणितीय प्रगति के सदस्य का मान स्वयं ज्ञात करने का प्रयास करें।

क्या आपने गणना की? उत्तर के साथ अपने नोट्स की तुलना करें:

कृपया ध्यान दें कि आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या प्राप्त हुई थी, जब हमने क्रमिक रूप से अंकगणितीय प्रगति के पदों को पिछले मान में जोड़ा था।
आइए "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें यह सूत्र- चलो उसे लेकर आते हैं सामान्य फ़ॉर्मऔर हमें मिलता है:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण.

अंकगणितीय प्रगति बढ़ या घट सकती है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक आगामी मान पिछले मान से अधिक हो।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक अगला मान पिछले वाले से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में जांचें।
हमें एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है जिसमें निम्नलिखित संख्याएँ शामिल हैं: आइए देखें कि यदि हम इसकी गणना करने के लिए अपने सूत्र का उपयोग करते हैं तो इस अंकगणितीय प्रगति की वीं संख्या क्या होगी:

के बाद से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त हैं कि सूत्र घटती और बढ़ती अंकगणितीय प्रगति दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति का वां और वां पद स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए समस्या को जटिल बनाएं - हम अंकगणितीय प्रगति का गुण प्राप्त करेंगे।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आसान है, आप कहते हैं और उस सूत्र के अनुसार गिनती शुरू करें जो आप पहले से जानते हैं:

चलो, आह, फिर:

एकदम सही। इससे पता चलता है कि हम पहले ढूंढते हैं, फिर उसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मानों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएं दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब इस बारे में सोचें कि क्या किसी फॉर्मूले का उपयोग करके इस समस्या को एक चरण में हल करना संभव है? बिल्कुल हाँ, और अब हम यही सामने लाने का प्रयास करेंगे।

आइए हम अंकगणितीय प्रगति के आवश्यक पद को इस प्रकार निरूपित करें, इसे खोजने का सूत्र हमें ज्ञात है - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, तब:

• प्रगति का पिछला पद है:
• प्रगति का अगला पद है:

आइए प्रगति की पिछली और बाद की शर्तों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

इससे पता चलता है कि प्रगति के पिछले और बाद के पदों का योग उनके बीच स्थित प्रगति पद के दोगुने मान के बराबर है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और क्रमिक मानों के साथ प्रगति पद का मान ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और विभाजित करना होगा।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को सुरक्षित करें। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत अच्छा! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाना बाकी है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस द्वारा आसानी से निकाला गया था...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तब एक शिक्षक, जो अन्य कक्षाओं में छात्रों के काम की जाँच करने में व्यस्त था, ने कक्षा में निम्नलिखित कार्य पूछा: "से लेकर (अन्य स्रोतों के अनुसार) तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें।" शिक्षक के आश्चर्य की कल्पना कीजिए जब उनके एक छात्र (यह कार्ल गॉस था) ने एक मिनट बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि साहसी के अधिकांश सहपाठियों को लंबी गणना के बाद गलत परिणाम मिला...

युवा कार्ल गॉस ने एक निश्चित पैटर्न देखा जिसे आप भी आसानी से नोटिस कर सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -वें पद शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के इन पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। निःसंदेह, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों का योग कर सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि कार्य को उसके पदों का योग खोजने की आवश्यकता हो, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए हमें दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं पर बारीकी से नज़र डालें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


या तुमने कोशिश की? आपने क्या नोटिस किया? सही! उनका योग बराबर है

अब बताओ, हमें दी गई प्रगति में ऐसे कुल कितने जोड़े हैं? बेशक, सभी संख्याओं का बिल्कुल आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान जोड़े बराबर हैं, हम यह प्राप्त करते हैं कुल राशिके बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में हम वां पद नहीं जानते, लेकिन हम प्रगति का अंतर जानते हैं। वें पद के सूत्र को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत अच्छा! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस से पूछी गई थी: अपने लिए गणना करें कि वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग किसके बराबर है और वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि पदों का योग और पदों का योग बराबर है। क्या आपने यही निर्णय लिया है?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के पदों के योग का सूत्र तीसरी शताब्दी में प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, बुद्धिमान लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का पूरा उपयोग किया।
उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए प्राचीन मिस्रऔर उस समय की सबसे बड़ी निर्माण परियोजना - पिरामिड का निर्माण... चित्र इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं, यहाँ प्रगति कहाँ है? ध्यान से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न ढूंढें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि यदि आधार पर ब्लॉक ईंटें रखी गई हैं तो एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता होगी। मुझे आशा है कि मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाते समय आप गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ भी कहा था वह सब याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:।
अंकगणितीय प्रगति अंतर.
अंकगणितीय प्रगति के पदों की संख्या.
आइए अपने डेटा को अंतिम सूत्रों में प्रतिस्थापित करें (2 तरीकों से ब्लॉकों की संख्या की गणना करें)।

विधि 1.

विधि 2.

और अब आप मॉनिटर पर गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। समझ गया? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के nवें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर मौजूद ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन किससे? यह गणना करने का प्रयास करें कि इस स्थिति में दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता होगी।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

प्रशिक्षण

कार्य:

1. माशा गर्मियों के लिए आकार में आ रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या बढ़ा देती है। यदि माशा ने पहले प्रशिक्षण सत्र में स्क्वाट किया तो वह सप्ताह में कितनी बार स्क्वाट करेगी?
2. इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग संग्रहीत करते समय, लकड़हारे उन्हें इस तरह से ढेर करते हैं कि प्रत्येक ऊपरी परतपिछले वाले की तुलना में एक कम लॉग है। यदि चिनाई की नींव लकड़ियाँ हैं, तो एक चिनाई में कितने लकड़ियाँ होती हैं?

उत्तर:

1. आइए हम अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन).

   उत्तर:दो सप्ताह में माशा को दिन में एक बार स्क्वाट करना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या.
   अंकगणितीय प्रगति अंतर.
   हालाँकि, विषम संख्याओं की संख्या आधी है, आइए अंकगणितीय प्रगति के वें पद को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   आइए उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

   उत्तर:इसमें शामिल सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. आइए पिरामिडों के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, तो कुल मिलाकर परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   आइए डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

   उत्तर:चिनाई में लकड़ियाँ हैं।

आइए इसे संक्षेप में बताएं

1. - एक संख्या क्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ या घट सकता है.
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का वां पद सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - संख्याओं की संख्या क्रम में कहां है।
4. अंकगणितीय प्रगति के पदों का योगदो तरीकों से पाया जा सकता है:
   
   , मानों की संख्या कहां है.

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्या क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, इत्यादि, यानी, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या क्रम का एक उदाहरण है.

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या और एक अद्वितीय संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या वाले अंक को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का वां पद किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सके। उदाहरण के लिए, सूत्र

क्रम निर्धारित करता है:

और सूत्र निम्नलिखित क्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला पद बराबर है, और अंतर है)। या (, अंतर)।

nवाँ पद सूत्र

हम एक सूत्र को आवर्ती कहते हैं जिसमें, वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, रहने दो। तब:

खैर, क्या अब यह स्पष्ट है कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। कौन सा? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब और अधिक सुविधाजनक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है. क्या अंतर है? यहाँ क्या है:

(इसीलिए इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक पदों के अंतर के बराबर है)।

तो, सूत्र:

तब सौवाँ पद इसके बराबर है:

से लेकर सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल के लड़के के रूप में कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की थी। उसने देखा कि पहले और का योग अंतिम तिथीबराबर है, दूसरे और अंतिम का योग समान है, अंत से तीसरे और तीसरे का योग समान है, इत्यादि। ऐसे कुल कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की बिल्कुल आधी संख्या, अर्थात। इसलिए,

किसी अंकगणितीय प्रगति के प्रथम पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी का योग ज्ञात कीजिये दोहरे अंकों की संख्या, गुणक।

समाधान:

ऐसा पहला नंबर ये है. प्रत्येक अगली संख्या को पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, जिन संख्याओं में हम रुचि रखते हैं वे पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं।

इस प्रगति के लिए वें पद का सूत्र:

प्रगति में कितने पद हैं यदि उन सभी को दो-अंकीय होना है?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय करें:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में अधिक मीटर दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ता है तो वह एक सप्ताह में कुल कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक प्रतिदिन पिछले दिन की तुलना में अधिक किलोमीटर की यात्रा करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. की यात्रा की। उसे एक किलोमीटर की दूरी तय करने में कितने दिन लगेंगे? अपनी यात्रा के अंतिम दिन में वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. एक स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल समान मात्रा से घट जाती है। निर्धारित करें कि प्रत्येक वर्ष रेफ्रिजरेटर की कीमत में कितनी कमी आई है, यदि इसे रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा गया था, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले पदों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है: , पाया जाना चाहिए।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   मूल स्पष्ट रूप से फिट नहीं बैठता है, इसलिए उत्तर है।
   आइए वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय किए गए पथ की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । खोजो: ।
   यह इससे अधिक सरल नहीं हो सकता:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

यह एक संख्या क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ती () और घटती () हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र

सूत्र द्वारा लिखा जाता है, जहाँ संख्याओं की संख्या क्रमानुसार होती है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

यह आपको किसी प्रगति का एक पद आसानी से ढूंढने की अनुमति देता है यदि उसके पड़ोसी पद ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

अंकगणितीय प्रगति के पदों का योग

राशि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मानों की संख्या कहां है.

मानों की संख्या कहां है.