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पूर्णांक. प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता

यह लेख सामग्री से शुरू होता है पूर्णांकों का विभाज्यता सिद्धांत. यहां हम विभाज्यता की अवधारणा का परिचय देते हैं और स्वीकृत शर्तों और नोटेशन को इंगित करते हैं। यह हमें विभाज्यता के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करने और उचित ठहराने की अनुमति देगा।

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विभाज्यता की अवधारणा

विभाज्यता की अवधारणाअंकगणित और संख्या सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। हम विभाज्यता के बारे में और विशेष मामलों में - विभाज्यता के बारे में बात करेंगे। तो, आइए पूर्णांकों के समुच्चय पर विभाज्यता का एक विचार दें।

पूर्णांक ए शेयरोंएक पूर्णांक b द्वारा, जो शून्य से भिन्न है, यदि कोई पूर्णांक है (इसे q द्वारा निरूपित करें) जैसे कि समानता a=b·q सत्य है। इस मामले में हम यह भी कहते हैं कि बी विभाजितएक। इस स्थिति में, पूर्णांक b कहा जाता है डिवाइडरसंख्या a, पूर्णांक a कहलाता है गुणकोंसंख्या b (भाजक और गुणज पर अधिक जानकारी के लिए, भाजक और गुणज लेख देखें), और पूर्णांक q को कहा जाता है निजी.

यदि उपरोक्त अर्थ में एक पूर्णांक a पूर्णांक b से विभाज्य है, तो a को b से विभाज्य कहा जा सकता है पूरी तरह. इस मामले में "पूरी तरह से" शब्द इस बात पर जोर देता है कि पूर्णांक a को पूर्णांक b से विभाजित करने का भागफल एक पूर्णांक है।

कुछ मामलों में, दिए गए पूर्णांक a और b के लिए, कोई पूर्णांक q नहीं है जिसके लिए समानता a=b·q सत्य है। ऐसे मामलों में, हम कहते हैं कि पूर्णांक a, पूर्णांक b से विभाज्य नहीं है (अर्थात a, b से विभाज्य नहीं है)। हालाँकि, इन मामलों में वे इसका सहारा लेते हैं।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके विभाज्यता की अवधारणा को समझें।

कोई भी पूर्णांक a, संख्या a से, संख्या −a से, a से, एक से और संख्या −1 से विभाज्य होता है।

आइए हम विभाज्यता के इस गुण को सिद्ध करें।

किसी भी पूर्णांक a के लिए, समानताएं a=a·1 और a=1·a मान्य हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a, a से विभाज्य है, और भागफल एक के बराबर है, और a, 1 से विभाज्य है, और भागफल a के बराबर है. किसी भी पूर्णांक a के लिए समानताएं a=(−a)·(−1) और a=(−1)·(−a) भी मान्य हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a, a के विपरीत संख्या से भी विभाज्य है। चूँकि a ऋणात्मक इकाई से विभाज्य है।

ध्यान दें कि किसी पूर्णांक a की स्वयं से विभाज्यता के गुण को प्रतिवर्तीता का गुण कहा जाता है।

विभाज्यता का अगला गुण बताता है कि शून्य किसी भी पूर्णांक b से विभाज्य है।

दरअसल, चूँकि किसी भी पूर्णांक b के लिए 0=b·0 है, तो शून्य किसी भी पूर्णांक से विभाज्य है।

विशेष रूप से, शून्य भी शून्य से विभाज्य है। यह समानता 0=0·q की पुष्टि करता है, जहां q कोई पूर्णांक है। इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि शून्य से विभाजित शून्य का भागफल कोई पूर्णांक होता है।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि शून्य के अलावा कोई अन्य पूर्णांक 0 से विभाज्य नहीं है। आइये इसे समझाते हैं. यदि शून्य किसी पूर्णांक को शून्य से भिन्न विभाजित करता है, तो समानता a=0·q सत्य होनी चाहिए, जहां q कुछ पूर्णांक है, और अंतिम समानता केवल तभी संभव है जब a=0.

यदि एक पूर्णांक a, पूर्णांक b से विभाज्य है और a, b के मापांक से कम है, तो a शून्य के बराबर है। शाब्दिक रूप में, विभाज्यता का यह गुण इस प्रकार लिखा जाता है: यदि ab और , तो a=0.

सबूत।

चूँकि a, b से विभाज्य है, एक पूर्णांक q है जिसके लिए समानता a=b·q सत्य है। फिर समानता भी सत्य होनी चाहिए और गुण से स्वरूप की समानता भी सत्य होनी चाहिए। यदि q शून्य के बराबर नहीं है, तो यह इस प्रकार है। प्राप्त असमानता को ध्यान में रखते हुए, समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि। लेकिन यह शर्त के विपरीत है. इस प्रकार, q केवल शून्य के बराबर हो सकता है, और हमें a=b·q=b·0=0 प्राप्त होता है, जिसे हमें साबित करने की आवश्यकता है।

यदि एक पूर्णांक a शून्येतर है और पूर्णांक b से विभाज्य है, तो a का मापांक b के मापांक से कम नहीं है। अर्थात्, यदि a≠0 और ab, तो । विभाज्यता का यह गुण पिछले वाले से सीधे अनुसरण करता है।

एकता के एकमात्र विभाजक पूर्णांक 1 और −1 हैं।

सबसे पहले, आइए दिखाते हैं कि 1, 1 और −1 से विभाज्य है। यह समानता 1=1·1 और 1=(−1)·(−1) से अनुसरण करता है।

यह सिद्ध करना बाकी है कि कोई अन्य पूर्णांक एकता का विभाजक नहीं है।

मान लीजिए कि एक पूर्णांक b, 1 और −1 से भिन्न, एकता का भाजक है। चूँकि एकता b से विभाज्य है, तो, विभाज्यता के पिछले गुण के कारण, असमानता को संतुष्ट किया जाना चाहिए, जो असमानता के बराबर है। यह असमानता केवल तीन पूर्णांकों से संतुष्ट होती है: 1, 0, और -1। चूँकि हमने मान लिया कि b, 1 और −1 से भिन्न है, तो केवल b=0 ही बचता है। लेकिन b=0 एकता का भाजक नहीं हो सकता (जैसा कि हमने विभाज्यता के दूसरे गुण का वर्णन करते समय दिखाया था)। इससे सिद्ध होता है कि 1 और −1 के अलावा कोई भी संख्या एकता की विभाजक नहीं है।

किसी पूर्णांक a के पूर्णांक b से विभाज्य होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि संख्या a का मापांक, संख्या b के मापांक से विभाज्य हो।

आइए पहले आवश्यकता सिद्ध करें।

मान लीजिए a को b से विभाजित किया जाता है, तो एक पूर्णांक q इस प्रकार होता है कि a=b·q। तब . चूँकि यह एक पूर्णांक है, समानता का अर्थ है कि संख्या a का मापांक संख्या b के मापांक से विभाज्य है।

अब पर्याप्तता.

मान लीजिए कि संख्या a के मापांक को संख्या b के मापांक से विभाजित किया जाता है, तो एक पूर्णांक q मौजूद होता है जैसे कि। यदि संख्या a और b धनात्मक हैं, तो समानता a=b·q सत्य है, जो a की b से विभाज्यता सिद्ध करती है। यदि a और b नकारात्मक हैं, तो समानता −a=(−b)·q सत्य है, जिसे a=b·q के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यदि एक - एक ऋणात्मक संख्या, और b सकारात्मक है, तो हमारे पास −a=b·q है, यह समानता समानता a=b·(−q) के बराबर है। यदि a सकारात्मक है और b नकारात्मक है, तो हमारे पास a=(−b)·q , और a=b·(−q) है। चूँकि q और −q दोनों पूर्णांक हैं, परिणामी समानताएँ साबित करती हैं कि a, b से विभाज्य है।

परिणाम 1.

यदि एक पूर्णांक a एक पूर्णांक b से विभाज्य है, तो a विपरीत संख्या −b से भी विभाज्य है।

परिणाम 2.

यदि एक पूर्णांक a, पूर्णांक b से विभाज्य है, तो −a, b से भी विभाज्य है।

विभाज्यता की अभी चर्चा की गई संपत्ति के महत्व को अधिक महत्व देना मुश्किल है - विभाज्यता के सिद्धांत को सकारात्मक पूर्णांकों के सेट पर वर्णित किया जा सकता है, और विभाज्यता की यह संपत्ति इसे नकारात्मक पूर्णांकों तक विस्तारित करती है।

विभाज्यता में परिवर्तनशीलता का गुण होता है: यदि एक पूर्णांक a को किसी पूर्णांक m से विभाजित किया जाता है, और बदले में संख्या m को किसी पूर्णांक b से विभाजित किया जाता है, तो a, b से विभाज्य होता है। अर्थात यदि am और mb है तो ab.

आइए हम इस विभाज्यता गुण का प्रमाण दें।

चूँकि a, m से विभाज्य है, इसलिए कुछ पूर्णांक a 1 है जैसे कि a=m·a 1। इसी प्रकार, चूँकि m, b से विभाज्य है, तो कुछ पूर्णांक m 1 है जैसे कि m=b·m 1। तब ए=एम ए 1 =(बी एम 1) ए 1 =बी (एम 1 ए 1). चूँकि दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक है, तो m 1 ·a 1 कोई पूर्णांक है। इसे q दर्शाते हुए, हम समानता a=b·q पर पहुंचते हैं, जो विचाराधीन विभाज्यता के गुण को सिद्ध करता है।

विभाज्यता में एंटीसिममेट्री का गुण होता है, अर्थात, यदि a को b से विभाजित किया जाता है और साथ ही b को a से विभाजित किया जाता है, तो या तो पूर्णांक a और b, या संख्याएँ a और −b, बराबर होती हैं।

a से b और b से a की विभाज्यता से, हम पूर्णांक q 1 और q 2 के अस्तित्व के बारे में बात कर सकते हैं जैसे कि a=b·q 1 और b=a·q 2। दूसरी समानता में a के बजाय b·q 1 को प्रतिस्थापित करने पर, या पहली समानता में b के बजाय a·q 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि q 1 ·q 2 =1, और यह देखते हुए कि q 1 और q 2 पूर्णांक हैं, यह केवल तभी संभव है जब q 1 =q 2 =1 या जब q 1 =q 2 =−1 हो। यह इस प्रकार है कि a=b या a=−b (या, वही क्या है, b=a या b=−a )।

किसी भी पूर्णांक और गैर-शून्य संख्या b के लिए, एक पूर्णांक a है, जो b के बराबर नहीं है, जो कि b से विभाज्य है।

यह संख्या a=b·q में से कोई भी संख्या होगी, जहां q कोई पूर्णांक है जो एक के बराबर नहीं है। हम विभाज्यता की अगली संपत्ति पर आगे बढ़ सकते हैं।

यदि दो पूर्णांक पदों a और b में से प्रत्येक एक पूर्णांक c से विभाज्य है, तो योग a+b भी c से विभाज्य है।

चूँकि a और b, c से विभाज्य हैं, हम a=c·q 1 और b=c·q 2 लिख सकते हैं। तब ए+बी=सी क्यू 1 +सी क्यू 2 =सी (क्यू 1 +क्यू 2)(अंतिम संक्रमण के कारण संभव है)। चूँकि दो पूर्णांकों का योग एक पूर्णांक होता है, समानता a+b=c·(q 1 +q 2) योग a+b की c से विभाज्यता सिद्ध करती है।

इस संपत्ति को तीन, चार या अधिक शर्तों के योग तक बढ़ाया जा सकता है।

यदि हमें यह भी याद है कि एक पूर्णांक a में से एक पूर्णांक b घटाने पर संख्या −b के साथ संख्या a का योग होता है (देखें), तो विभाज्यता का यह गुण संख्याओं के अंतर के लिए भी सत्य है। उदाहरण के लिए, यदि पूर्णांक a और b, c से विभाज्य हैं, तो अंतर a−b भी c से विभाज्य है।

यदि यह ज्ञात है कि k+l+…+n=p+q+…+s रूप की समानता में एक को छोड़कर सभी पद किसी पूर्णांक b से विभाज्य हैं, तो यह एक पद भी b से विभाज्य है।

मान लीजिए कि यह पद p है (हम समानता के किसी भी पद को ले सकते हैं, जो तर्क को प्रभावित नहीं करेगा)। फिर p=k+l+…+n−q−…−s । समानता के दाईं ओर प्राप्त अभिव्यक्ति को पिछले गुण के कारण b से विभाजित किया जाता है। इसलिए, संख्या p भी b से विभाज्य है।

यदि एक पूर्णांक a, पूर्णांक b से विभाज्य है, तो गुणनफल a·k, जहां k एक मनमाना पूर्णांक है, b से विभाजित होता है।

चूँकि a, b से विभाज्य है, समानता a=b·q सत्य है, जहाँ q कोई पूर्णांक है। फिर a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (अंतिम परिवर्तन के कारण किया गया था)। चूँकि दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होता है, समानता a·k=b·(q·k) गुणनफल a·k की b से विभाज्यता सिद्ध करती है।

उपफल: यदि एक पूर्णांक a पूर्णांक b से विभाज्य है, तो गुणनफल a·k 1 ·k 2 ·…·k n, जहां k 1, k 2, …, k n कुछ पूर्णांक हैं, b से विभाज्य है।

यदि पूर्णांक a और b, c से विभाज्य हैं, तो a·u+b·v रूप के गुणनफल a·u और b·v का योग, जहां u और v मनमाना पूर्णांक हैं, c से विभाजित होता है।

इस विभाज्यता गुण का प्रमाण पिछले दो के समान है। स्थिति से हमारे पास a=c·q 1 और b=c·q 2 है। तब a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). चूँकि योग q 1 ·u+q 2 ·v एक पूर्णांक है, तो रूप की समानता a u+b v=c (q 1 u+q 2 v)सिद्ध करता है कि a·u+b·v c से विभाज्य है।

इससे विभाज्यता के मूल गुणों की हमारी समीक्षा समाप्त होती है।

ग्रंथ सूची.

विलेनकिन एन.वाई.ए. और अन्य। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल सिद्धांत.
मिखेलोविच श.एच. संख्या सिद्धांत।
कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलभौतिकी और गणित के छात्रों के लिए। शैक्षणिक संस्थानों की विशिष्टताएँ।

गिनती के लिए प्रयुक्त संख्याओं के नाम बताइए। गणनीय वस्तुओं की प्रत्येक संख्या एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से मेल खाती है। यदि गिनने के लिए कोई वस्तु नहीं है, तो संख्या 0 का उपयोग किया जाता है, लेकिन वस्तुओं की गिनती करते समय हम कभी भी 0 से शुरू नहीं करते हैं, और तदनुसार संख्या 0 को प्राकृतिक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या एक है। कोई सबसे बड़ी प्राकृत संख्या नहीं है, क्योंकि कोई भी संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो, आप हमेशा उसमें 1 जोड़ सकते हैं और अगली प्राकृत संख्या लिख सकते हैं।

आइए इसे सुलझाएं सबसे सरल उदाहरणविभाजन: संख्या 30 को संख्या 5 से विभाजित करें (संख्या 30 को संख्या 5 से विभाजित करने पर शेषफल 0 होता है), क्योंकि 30 = 5। 6. अतः संख्या 30, संख्या 5 से विभाज्य है। संख्या 5 है डिवाइडरसंख्या 30 है, और संख्या 30 है एकाधिकनंबर 5।

प्राकृतिक संख्या क एन, यदि ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या है एम, जिसके लिए समानता रखती है क = एन . एम.

या दूसरे शब्दों में , एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको एक तीसरी संख्या ढूंढनी होगी, जिसे दूसरी से गुणा करने पर पहली संख्या प्राप्त हो

यदि एक प्राकृतिक संख्या कएक प्राकृतिक संख्या से विभाज्य एन, फिर संख्या कबुलाया संख्या के गुणज,

संख्या एन — किसी संख्या का भाजक क.

संख्याएँ 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 भी 30 की विभाजक हैं, और 30 इनमें से प्रत्येक संख्या का गुणज है। ध्यान दें कि संख्या 30, उदाहरण के लिए, संख्या 7 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, संख्या 7, संख्या 30 का भाजक नहीं है, और संख्या 30, संख्या 7 का गुणज नहीं है।

विभाजन संचालन करने के बाद वे कहते हैं: “संख्या कएक संख्या से विभाज्य एन", "संख्या एनकिसी संख्या का भाजक है क", "संख्या कसंख्या का गुणज एन", "संख्या कसंख्या का गुणज है एन».

संख्या 6 के सभी भाजक को लिखना आसान है। ये संख्याएँ 1, 2, 3 और 6 हैं। क्या उन सभी संख्याओं को सूचीबद्ध करना संभव है जो संख्या 6 के गुणज हैं? संख्याएँ 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5, आदि संख्याएँ 6 के गुणज हैं। हम पाते हैं कि ऐसी अनन्त संख्याएँ हैं जो संख्या 6 के गुणज हैं। इसलिए, उन सभी को सूचीबद्ध करना असंभव है।

सामान्य तौर पर, किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए कप्रत्येक संख्या

क . 1, क . 2, क . 3, क . 4 , ...

संख्या का गुणज है क.

न्यूनतम भाजककोई प्राकृतिक संख्या कनंबर 1 है, और सबसे बड़ा विभाजक- संख्या ही क.

उन संख्याओं में से जो गुणज हैं क, कोई सबसे बड़ा नहीं है, लेकिन सबसे छोटा है - यह संख्या ही है क.

संख्या 21 और 36 में से प्रत्येक संख्या 3 से विभाज्य है, और उनका योग, संख्या 57, संख्या 3 से भी विभाज्य है। सामान्य तौर पर, यदि प्रत्येक संख्या कऔर एनएक संख्या से विभाज्य एम, तो योग क+नएक संख्या से भी विभाज्य है एम.

4 और 8 में से प्रत्येक संख्या नहीं है शेयरोंसंख्या 3 से एक पूर्णांक है, और उनका योग, संख्या 12, संख्या 3 से समान रूप से विभाज्य नहीं है। 9 और 7 में से प्रत्येक संख्या, संख्या 5 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, और उनका योग, संख्या 16, है संख्या 5 से समान रूप से विभाज्य नहीं। सामान्य तौर पर, यदि न तो संख्या क, नंबर नहीं है एनकिसी संख्या से समान रूप से विभाज्य नहीं हैं एम, तो योग क + एनपूर्ण संख्या से विभाज्य हो भी सकता है और नहीं भी एम।

संख्या 35 बिना किसी शेषफल के संख्या 7 से विभाज्य है, लेकिन संख्या 17, संख्या 7 से विभाज्य नहीं है। 35 + 17 का योग भी संख्या 7 से विभाज्य नहीं है। सामान्य तौर पर, यदि संख्या कएक संख्या से विभाज्य एमऔर संख्या एनकिसी संख्या से विभाज्य नहीं है एम, तो योग क + एनकिसी संख्या से विभाज्य नहीं है एम।

लाखदेनपोख नगरपालिका जिले के स्कूली बच्चों का क्षेत्रीय अनुसंधान सम्मेलन

"भविष्य में कदम रखें"

विषय पर गणित परियोजना:

द्वारा पूर्ण: गलकिना नताल्या

सातवीं कक्षा का छात्र

एमकेओयू "एलिसेंवारा सेकेंडरी स्कूल"

प्रमुख: वसीलीवा

लारिसा व्लादिमिरोव्ना

गणित शिक्षक

एमकेओयू "एलिसेंवारा सेकेंडरी स्कूल"

परिचय 3 पृष्ठ

गणित के इतिहास से 4 पृष्ठ।

बुनियादी अवधारणाएँ 4 पृष्ठ।

विभाज्यता के संकेतों का वर्गीकरण: 5 पृष्ठ।

संख्याओं की विभाज्यता अंतिम अंक 5-6 पृष्ठों द्वारा निर्धारित की जाती है।
संख्याओं की विभाज्यता संख्या के अंकों के योग से निर्धारित होती है: 6 पृष्ठ।
संख्याओं की विभाज्यता 6-9 पृष्ठों की संख्या के अंकों पर कुछ क्रियाएँ करने के बाद निर्धारित की जाती है।
किसी संख्या की विभाज्यता ज्ञात करने के लिए अन्य चिह्नों का प्रयोग 9-10 पृष्ठों में किया जाता है।

अभ्यास में विभाज्यता मानदंड का अनुप्रयोग 10 - 11 पृष्ठ।

निष्कर्ष 11 पृष्ठ

ग्रंथ सूची 12 पृष्ठ.

परिचय

अनुसंधान की प्रासंगिकता: विभाज्यता के संकेतों में हमेशा अलग-अलग समय और लोगों के वैज्ञानिकों की दिलचस्पी रही है। गणित के पाठों में "2, 3, 5, 9, 10 से संख्याओं की विभाज्यता के लक्षण" विषय का अध्ययन करते समय, मुझे विभाज्यता के लिए संख्याओं का अध्ययन करने में रुचि हो गई। यह मान लिया गया था कि यदि इन संख्याओं द्वारा संख्याओं की विभाज्यता निर्धारित करना संभव है, तो ऐसे संकेत होने चाहिए जिनके द्वारा कोई विभाज्यता निर्धारित कर सके प्राकृतिक संख्याऔर अन्य नंबरों के लिए. कुछ मामलों में, यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई प्राकृत संख्या विभाज्य है एएक प्राकृतिक संख्या के लिए बीशेषफल के बिना इन संख्याओं को विभाजित करना आवश्यक नहीं है। विभाज्यता के कुछ लक्षण जानना ही पर्याप्त है।

परिकल्पना- यदि प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता 2, 3, 5, 9 और 10 से होने के संकेत हैं, तो अन्य संकेत भी हैं जिनके द्वारा प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता निर्धारित की जा सकती है।

इस अध्ययन का उद्देश्य - समग्र रूप से प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के पहले से ज्ञात संकेतों को पूरक करें, स्कूल में अध्ययन करें और विभाज्यता के इन संकेतों को व्यवस्थित करें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित को हल करना आवश्यक है कार्य:

संख्याओं की विभाज्यता की स्वतंत्र रूप से जाँच करें।

विभाज्यता के अन्य लक्षणों से परिचित होने के लिए अतिरिक्त साहित्य का अध्ययन करें।

विभिन्न स्रोतों से सुविधाओं को संयोजित और सारांशित करें।

एक निष्कर्ष निकालो।

अध्ययन का उद्देश्य– विभाज्यता के सभी संभावित संकेतों का अध्ययन।

अध्ययन का विषय– विभाज्यता के लक्षण.

तलाश पद्दतियाँ- सामग्री का संग्रह, डेटा प्रोसेसिंग, तुलना, विश्लेषण, संश्लेषण।

नवीनता:परियोजना के दौरान, मैंने प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के बारे में अपने ज्ञान का विस्तार किया।

गणित के इतिहास से

ब्लेस पास्कल(1623 में जन्म) - सबसे अधिक में से एक मशहूर लोगमानव जाति के इतिहास में. पास्कलुमर, जब वह 39 वर्ष के थे, लेकिन इसके बावजूद छोटा जीवन, एक उत्कृष्ट गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी, दार्शनिक और लेखक के रूप में इतिहास में दर्ज हुए। दबाव की इकाई (पास्कल) और आज एक बहुत लोकप्रिय प्रोग्रामिंग भाषा का नाम उनके नाम पर रखा गया है। ब्लेज़ पास्कल ने एक सामान्य पाया

पास्कल परीक्षण एक ऐसी विधि है जो आपको किसी भी संख्या से विभाज्यता के संकेत प्राप्त करने की अनुमति देती है। एक प्रकार का "विभाजन का सार्वभौमिक संकेत"।

पास्कल की विभाज्यता परीक्षण: प्राकृतिक संख्या एकिसी अन्य प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाएगा बीकेवल यदि संख्या के अंकों के गुणनफल का योग हो एअंकों की इकाइयों को संख्या से विभाजित करके प्राप्त संगत शेषफलों में बी, को इस संख्या से विभाजित किया जाता है.

उदाहरण के लिए : संख्या 2814, 7 से विभाज्य है, क्योंकि 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35, 7 से विभाज्य है। (यहां 1000 को 7 से विभाजित करने पर 6 शेषफल है, 100 को 7 से विभाजित करने पर 2 शेषफल है) और 10 को 7 से विभाजित करने पर 3 शेषफल आता है)।

बुनियादी अवधारणाओं

आइए कुछ गणितीय अवधारणाओं को याद रखें जिनकी हमें इस विषय का अध्ययन करते समय आवश्यकता होगी।

विभाज्यता परीक्षणएक नियम है जिसके द्वारा, विभाजन किए बिना, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक संख्या दूसरे से विभाज्य है या नहीं।

डिवाइडरप्राकृतिक संख्या ए उस प्राकृतिक संख्या का नाम बताइए जिसे ए शेषफल के बिना विभाजित.

सरलप्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं जिनमें एक और स्वयं के अलावा कोई अन्य प्राकृतिक भिन्न भाजक नहीं होता है।

कम्पोजिटवे संख्याएँ हैं जिनमें 1 और स्वयं के अलावा अन्य प्राकृतिक भाजक होते हैं।

विभाज्यता के लक्षण

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के सभी लक्षण जिन पर मैंने इस कार्य में विचार किया है, उन्हें 4 समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

आइए इनमें से प्रत्येक समूह पर करीब से नज़र डालें।

संख्याओं की विभाज्यता अंतिम अंक द्वारा निर्धारित होती है

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के पहले समूह पर मैंने विचार किया जिसमें 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 और अंक इकाइयों 10, 100, आदि से विभाज्यता के संकेत शामिल हैं।

2 से विभाज्यता का परीक्षण करें: कोई संख्या 2 से विभाज्य होती है जब उस संख्या का अंतिम अंक 2 से विभाज्य हो (अर्थात अंतिम अंक एक सम संख्या हो)।

उदाहरण के लिए: 32217864 : 2

4 से विभाज्यता का परीक्षण करें : कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है जब उसके अंतिम दो अंक शून्य हों, या जब उसके अंतिम दो अंकों से बनी दो अंकों की संख्या 4 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए, 35324 : 4; 6600 : 4

5 से विभाज्यता परीक्षण : कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक 5 या 0 हो।

उदाहरण के लिए: 36780 : 5 या 12326 5 : 5

8 से विभाज्यता का परीक्षण:कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है जब वह 8 से विभाज्य होती है तीन अंकों की संख्या, इस संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनता है।

उदाहरण के लिए: 432240 : 8

20 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 20 से विभाज्य होती है जब अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 20 से विभाज्य होती है। (एक अन्य सूत्रीकरण: एक संख्या 20 से विभाज्य होती है जब संख्या का अंतिम अंक 0 हो और अंतिम अंक सम हो)।

उदाहरण के लिए: 59640 : 20

25 से विभाज्यता का परीक्षण:वे संख्याएँ जिनके अंतिम दो अंक शून्य हैं या ऐसी संख्या बनाते हैं जो 25 से विभाज्य है, वे 25 से विभाज्य हैं।

उदाहरण के लिए: 667975 : 25 या 77689 00 : 25

50 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 50 से विभाज्य होती है जब उसके दो न्यूनतम दशमलव अंकों से बनी संख्या 50 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए: 564350 :50 या 5543 00 :50

125 से विभाज्यता परीक्षण:एक संख्या 125 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक शून्य हों या ऐसी संख्या बनती हो जो 125 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 32157000 :125 या 3216 250 :125

वे प्राकृतिक संख्याएँ जिनके शून्यों की संख्या अंक इकाई के शून्यों की संख्या से अधिक या उसके बराबर होती है, उन्हें एक अंक इकाई में विभाजित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, 12,000 10, 100 और 1000 से विभाज्य है।

संख्याओं की विभाज्यता संख्या के अंकों के योग से निर्धारित होती है

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के इस समूह में 3, 9, 11 से विभाज्यता के चिह्न शामिल हैं जिन पर मैंने विचार किया।

3 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 5421: 3 टीके। 5+4+2+1=12, (12:3)

9 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 653022: 9 टीके। 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

11 से विभाज्यता का परीक्षण:वे संख्याएँ 11 से विभाज्य होती हैं यदि विषम स्थानों के अंकों का योग या तो सम स्थानों के अंकों के योग के बराबर हो या 11 के गुणज से भिन्न हो।

उदाहरण के लिए: 865948732:11 क्योंकि 8+5+4+7+2=26 और 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 क्योंकि 8+5+4+7+2=26 और 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

संख्याओं की विभाज्यता इस संख्या के अंकों पर कुछ क्रियाएं करने के बाद निर्धारित की जाती है

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के इस समूह में विभाज्यता के संकेत शामिल हैं: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

6 से विभाज्यता का परीक्षण:

चिन्ह 1: कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है जब सैकड़ों के बाद की संख्या में से सैकड़ों की संख्या को दोगुना घटाने पर प्राप्त परिणाम 6 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 138:6 क्योंकि 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 क्योंकि 44 – 7·2=30, (30:6)

संकेत 2: एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि इकाइयों की संख्या में दहाई की संख्या को चार गुना करने पर वह 6 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए, 768:6 क्योंकि 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

7 से विभाज्यता:

चिन्ह 1: संख्या से विभाज्य है 7 तिगुना होने पर इकाइयों की संख्या में जोड़ी गई दहाई की संख्या 7 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए,संख्या 154:7, क्योंकि 15 3 + 4 = 49 (49:7) 7 से विभाजित है

संकेत 2: एक संख्या 7 से विभाज्य होती है जब तीन अंकों (एक से शुरू करके) के विषम समूह बनाने वाली संख्याओं के बीजगणितीय योग का मापांक "+" चिह्न के साथ लिया जाता है, और "-" चिह्न के साथ सम संख्याएं 7 से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए, 138689257:7, क्योंकि 138-689+257ǀ=294 (294:7)

11 से विभाज्यता:

चिन्ह 1: एक संख्या 11 से विभाज्य होती है जब विषम स्थानों वाले अंकों के योग और सम स्थानों वाले अंकों के योग के बीच अंतर का मापांक 11 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 9163627:11, क्योंकि (9+6+6+7)-(1+3+2)=22 (22:11)

संकेत 2: एक संख्या 11 से विभाज्य होती है जब दो अंकों (एक से शुरू करके) के समूह बनाने वाली संख्याओं का योग 11 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 103785:11, क्योंकि 10+37+85=132 और 01+32=33 (33:11)

13 से विभाज्यता:

चिन्ह 1: एक संख्या 13 से विभाज्य होती है जब दहाई संख्या और चार इकाईयों का योग 13 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 845:13, क्योंकि 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

संकेत 2: एक संख्या 13 से विभाज्य होती है जब दहाई की संख्या और इकाई की संख्या के नौ गुना के बीच का अंतर 13 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 845:13, क्योंकि 84-5 9=39 (39:13)

17 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 17 से विभाज्य होती है जब दहाई की संख्या और इकाई की संख्या के पांच गुना के बीच अंतर का मापांक 17 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 221:17, क्योंकि ǀ22-5·1ǀ=17

19 से विभाज्यता के लक्षण:एक संख्या 19 से विभाज्य होती है जब इकाइयों की संख्या के दोगुने में दहाई की संख्या जोड़ने पर 19 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 646:19, क्योंकि 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23 से विभाज्यता के लिए परीक्षण:

चिन्ह 1: एक संख्या 23 से विभाज्य होती है जब सैकड़ों की संख्या जोड़ने पर अंतिम दो अंकों से बनी संख्या को तीन गुना करने पर 23 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 28842:23, क्योंकि 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

संकेत 2: संख्या से विभाज्य है 23 जब दहाई की संख्या को इकाई की संख्या के सात गुना में जोड़ा जाता है तो वह 23 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 391:23, क्योंकि 3 9+7 1=46 (46:23)

चिन्ह 3: संख्या से विभाज्य है 23 जब सैकड़ों की संख्या को दहाई की संख्या से सात गुना और इकाइयों की संख्या को तीन गुना करने पर 23 से विभाज्य हो जाता है।

उदाहरण के लिए, 391:23, क्योंकि 3+7·9+3·1=69 (69:23)

27 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 27 से विभाज्य होती है जब तीन अंकों (एक से शुरू करके) के समूह बनाने वाली संख्याओं का योग 27 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 2705427:27 क्योंकि 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

29 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 29 से विभाज्य होती है जब इकाइयों की संख्या के तीन गुना में दहाई की संख्या जोड़ने पर 29 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 261:29, क्योंकि 26+3·1=29 (29:29)

31 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 31 से विभाज्य होती है जब दहाई की संख्या और इकाई की संख्या के तीन गुना के बीच अंतर का मापांक 31 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 217:31, क्योंकि 21-3·7ǀ= 0, (0:31)

33 से विभाज्यता के लिए परीक्षण:यदि किसी संख्या को दाएँ से बाएँ दो अंकों के समूहों में विभाजित करने पर बना योग 33 से विभाज्य है, तो वह संख्या 33 से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए, 396:33, क्योंकि 96+3=99 (99:33)

37 से विभाज्यता मानदंड:

चिन्ह 1: एक संख्या 37 से विभाज्य होती है, जब संख्या को तीन अंकों के समूहों (एक से शुरू) में विभाजित करते समय, इन समूहों का योग 37 का गुणज होता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 100048:37, क्योंकि 100+048=148, (148:37)

संकेत 2: एक संख्या 37 से विभाज्य होती है जब सैकड़ों की संख्या के तिगुने का मापांक जोड़कर दहाई की संख्या को चौगुना करने पर इकाई की संख्या को सात से गुणा करने पर 37 से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 481:37 है, क्योंकि यह 37 से विभाज्य हैǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

41 से विभाज्यता मानदंड:

चिन्ह 1: एक संख्या 41 से विभाज्य होती है जब दहाई की संख्या और इकाइयों की संख्या के चार गुना के बीच अंतर का मापांक 41 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 369:41, क्योंकि ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

संकेत 2: यह जांचने के लिए कि कोई संख्या 41 से विभाज्य है या नहीं, उसे दाएं से बाएं ओर 5-5 अंकों के समूहों में विभाजित करना चाहिए। फिर प्रत्येक समूह में, दाईं ओर के पहले अंक को 1 से गुणा करें, दूसरे अंक को 10 से गुणा करें, तीसरे को 18 से, चौथे को 16 से, पांचवें को 37 से गुणा करें और सभी परिणामी उत्पादों को जोड़ें। यदि परिणाम41 से विभाज्य होगी, तो वह संख्या स्वयं 41 से विभाज्य होगी।

59 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 59 से विभाज्य होती है जब इकाई की संख्या में 6 से गुणा करने पर दहाई की संख्या जोड़ने पर 59 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 767:59, क्योंकि 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

79 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 79 से विभाज्य होती है जब इकाई की संख्या में 8 से गुणा करने पर दहाई की संख्या जोड़ने पर 79 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 711:79, क्योंकि 71+8·1=79, (79:79)

99 से विभाज्यता परीक्षण:एक संख्या 99 से विभाज्य होती है जब दो अंकों (एक से शुरू करके) के समूह बनाने वाली संख्याओं का योग 99 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 12573:99, क्योंकि 1+25+73=99, (99:99)

101 से विभाज्यता परीक्षण:एक संख्या 101 से विभाज्य होती है जब दो अंकों (एक से शुरू) के विषम समूह बनाने वाली संख्याओं के बीजगणितीय योग का मापांक "+" चिह्न के साथ लिया जाता है, और "-" चिह्न के साथ सम संख्याएं 101 से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए

किसी संख्या की विभाज्यता निर्धारित करने के लिए अन्य विभाज्यता मानदंड का उपयोग किया जाता है

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के इस समूह में विभाज्यता के संकेत शामिल हैं: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, आदि। ये सभी भाज्य संख्याएँ हैं। भाज्य संख्याओं के लिए विभाज्यता मानदंड अभाज्य संख्याओं के लिए विभाज्यता मानदंड पर आधारित होते हैं, जिसमें किसी भी भाज्य संख्या को विघटित किया जा सकता है।

6 से विभाज्यता का परीक्षण:

चिन्ह 1: कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है जब वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो, अर्थात यदि वह सम हो और उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए, 768:6, क्योंकि 7+6+8=21 (21:3) और संख्या 768 में अंतिम अंक सम है।

12 से विभाज्यता परीक्षण: एक संख्या 12 से विभाज्य होती है जब वह एक ही समय में 3 और 4 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए, 408:12, क्योंकि 4+0+8=12 (12:3) और अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं (08:4)

14 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 14 से विभाज्य होती है जब वह 2 और 7 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए,संख्या 45612:14 क्योंकि यह 2 और 7 दोनों से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि यह 14 से विभाज्य है।

15 से विभाज्यता का परीक्षण:एक संख्या 15 से विभाज्य होती है जब वह 3 और 5 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए, 1146795:15 क्योंकि यह संख्या 3 और 5 दोनों से विभाज्य है।

27 से विभाज्यता के लिए परीक्षण:एक संख्या 27 से विभाज्य होती है जब वह 3 और 9 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए, 511704:27 क्योंकि 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 और 18:9)

30 से विभाज्यता के लक्षण:एक संख्या 30 से विभाज्य होती है जब वह 0 पर समाप्त होती है और सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 510:30 क्योंकि 5+1+0=6 (6:3) और संख्या 510 में (अंतिम अंक 0)

60 से विभाज्यता के लक्षण:किसी संख्या के 60 से विभाज्य होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वह 4, 3, या 5 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए, 1620:60 क्योंकि 1+6+2+0=9 (9:3), संख्या 1620 0 पर समाप्त होती है, अर्थात। 5 और 1620:4 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम दो अंक 20:4

कार्य का व्यावहारिक अनुप्रयोग है। इसका उपयोग स्कूली बच्चों और वयस्कों द्वारा वास्तविक स्थितियों को हल करते समय किया जा सकता है; शिक्षक, गणित पाठ संचालित करते समय और वैकल्पिक पाठ्यक्रम दोनों में अतिरिक्त कक्षाएंपुनरावृत्ति के लिए.

ये अध्ययनविद्यार्थियों के लिए कब उपयोगी होगा आत्म प्रशिक्षणअंतिम और प्रवेश परीक्षा के लिए. यह उन छात्रों के लिए भी उपयोगी होगा जिनका लक्ष्य सिटी ओलंपियाड में उच्च स्थान प्राप्त करना है।

कार्य क्रमांक 1 . क्या केवल संख्या 3 और 4 का उपयोग करके यह लिखना संभव है:

एक संख्या जो 10 से विभाज्य है;

सम संख्या;

एक संख्या जो 5 का गुणज है;

विषम संख्या

समस्या क्रमांक 2

कुछ नौ अंकों की संख्या लिखें जिसमें कोई दोहराव वाला अंक न हो (सभी अंक अलग-अलग हों) और शेषफल के बिना 1 से विभाज्य हो।

इनमें से सबसे बड़ी संख्या लिखिए।

इनमें से सबसे छोटी संख्या लिखिए।

उत्तरः 987652413; 102347586

समस्या क्रमांक 3

चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसके सभी अंक अलग-अलग हैं और जो 2, 5, 9, 11 से विभाज्य है।

उत्तर: 8910

समस्या क्रमांक 4

ओल्या ने तीन अंकों की एक साधारण संख्या निकाली, जिसके सभी अंक अलग-अलग हैं। यदि इसका अंतिम अंक पहले दो के योग के बराबर है तो इसका अंत किस अंक पर हो सकता है? ऐसी संख्याओं के उदाहरण दीजिए।

उत्तर: केवल 7 से। 4 संख्याएँ हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करती हैं: 167, 257, 347, 527

समस्या क्रमांक 5

दोनों कक्षाओं में मिलाकर 70 छात्र हैं। एक कक्षा में, 7/17 छात्र कक्षाओं में नहीं आए, और दूसरे में, 2/9 को गणित में उत्कृष्ट ग्रेड प्राप्त हुए। प्रत्येक कक्षा में कितने छात्र हैं?

समाधान:इनमें से पहले वर्ग में ये हो सकते हैं: 17, 34, 51... - वे संख्याएँ जो 17 के गुणज हैं। दूसरे वर्ग में: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - वे संख्याएँ जो 17 के गुणज हैं 9. हमें पहले अनुक्रम से 1 संख्या चुननी है, और 2 दूसरे से एक संख्या है ताकि उनका योग 70 हो जाए। इसके अलावा, इन अनुक्रमों में केवल कुछ ही पद बच्चों की संभावित संख्या को व्यक्त कर सकते हैं। कक्षा। यह विचार विकल्पों के चयन को महत्वपूर्ण रूप से सीमित करता है। एकमात्र संभावित विकल्प जोड़ी (34, 36) थी।

समस्या क्रमांक 6

के लिए 9वीं कक्षा में परीक्षा 1/7 छात्रों को ए, 1/3 को बी, ½ को सी प्राप्त हुआ। शेष कार्य असंतोषजनक निकला। ऐसी कितनी नौकरियाँ थीं?

समाधान:समस्या का समाधान एक ऐसी संख्या होनी चाहिए जो संख्याओं का गुणज हो: 7, 3, 2. आइए पहले इनमें से सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें। एलसीएम (7, 3, 2) = 42. आप समस्या की स्थितियों के अनुसार एक अभिव्यक्ति बना सकते हैं: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 असफल। गणितीय संबंध समस्याएँ मानती हैं कि कक्षा में छात्रों की संख्या 84, 126, आदि है। इंसान। लेकिन सामान्य ज्ञान बताता है कि सबसे स्वीकार्य उत्तर संख्या 42 है।

उत्तर: 1 नौकरी.

निष्कर्ष:

इस कार्य के परिणामस्वरूप, मुझे पता चला कि 2, 3, 5, 9 और 10 से विभाज्यता के संकेतों के अलावा, जो मैं जानता हूं, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के अन्य संकेत भी हैं। प्राप्त ज्ञान कई समस्याओं के समाधान में काफी तेजी लाता है। और मैं इस ज्ञान का उपयोग अपने में कर सकता हूं शैक्षणिक गतिविधियां, गणित के पाठों में और दोनों में पाठ्येतर गतिविधियां. यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ विभाज्यता मानदंडों का सूत्रीकरण जटिल है। शायद इसीलिए इन्हें स्कूल में नहीं पढ़ाया जाता. मैं भविष्य में प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के अध्ययन पर काम करना जारी रखने की उम्मीद करता हूं।

विश्वकोश शब्दकोशयुवा गणितज्ञ. सविन ए.पी. मॉस्को "शिक्षाशास्त्र" 1989।

अंक शास्त्र। गणित पाठों के लिए अतिरिक्त सामग्री, ग्रेड 5-11। रियाज़ानोव्स्की ए.आर., जैतसेव ई.ए. मॉस्को "बस्टर्ड" 2002।

गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। विलेनकिन एन.वाई.ए., डेपमैन आई.वाई.ए. एम.: शिक्षा, 1989।

ग्रेड 6-8 में गणित में पाठ्येतर कार्य। मास्को. "ज्ञानोदय" 1984 वी. ए. गुसेव, ए. आई. ओर्लोव, ए. एल. रोसेन्थल।

“1001 प्रश्न और उत्तर। ज्ञान की बड़ी किताब" मास्को। "किताबों की दुनिया" 2004.

गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम. निकोलसकाया आई.एल. - मास्को। ज्ञानोदय 1991.

गणित में ओलंपियाड की समस्याएं और उन्हें हल करने की विधियां। फ़ार्कोव ए.वी. - मास्को। 2003

इंटरनेट संसाधन.

प्रस्तुति सामग्री देखें
"प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेत"

स्कूली बच्चों के लिए क्षेत्रीय अनुसंधान सम्मेलन

लखदेनपोख नगरपालिका जिला "भविष्य की ओर कदम"

"प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेत"

द्वारा पूर्ण: गलकिना नताल्या

सातवीं कक्षा का छात्र

एमकेओयू "एलिसेंवारा सेकेंडरी स्कूल"

प्रमुख: वसीलीवा लारिसा व्लादिमिरोव्ना

एमकेओयू "एलिसेंवार्स्काया" में गणित के शिक्षक माध्यमिक विद्यालय"

2014

अनुसंधान की प्रासंगिकता : विभाज्यता के संकेतों में हमेशा अलग-अलग समय और लोगों के वैज्ञानिकों की दिलचस्पी रही है। गणित के पाठों में "2, 3, 5, 9, 10 से संख्याओं की विभाज्यता के लक्षण" विषय का अध्ययन करते समय, मुझे विभाज्यता के लिए संख्याओं का अध्ययन करने में रुचि हो गई। यह मान लिया गया था कि यदि इन संख्याओं द्वारा संख्याओं की विभाज्यता निर्धारित करना संभव है, तो ऐसे संकेत होने चाहिए जिनके द्वारा कोई अन्य संख्याओं द्वारा प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता निर्धारित कर सके। कुछ मामलों में, यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई प्राकृत संख्या विभाज्य है ए एक प्राकृतिक संख्या के लिए बी शेषफल के बिना इन संख्याओं को विभाजित करना आवश्यक नहीं है। विभाज्यता के कुछ लक्षण जानना ही पर्याप्त है। परिकल्पना - यदि प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता 2, 3, 5, 9 और 10 से होने के संकेत हैं, तो अन्य संकेत भी हैं जिनके द्वारा प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता निर्धारित की जा सकती है। इस अध्ययन का उद्देश्य - समग्र रूप से प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के पहले से ज्ञात संकेतों को पूरक करें, स्कूल में अध्ययन करें और विभाज्यता के इन संकेतों को व्यवस्थित करें। इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित को हल करना आवश्यक है कार्य:

संख्याओं की विभाज्यता की स्वतंत्र रूप से जाँच करें।
विभाज्यता के अन्य लक्षणों से परिचित होने के लिए अतिरिक्त साहित्य का अध्ययन करें।
विभिन्न स्रोतों से सुविधाओं को संयोजित और सारांशित करें।
एक निष्कर्ष निकालो। अध्ययन का उद्देश्य – प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता. अध्ययन का विषय – विभाज्यता के लक्षण. तलाश पद्दतियाँ - सामग्री का संग्रह, डेटा प्रोसेसिंग, तुलना, विश्लेषण, सामान्यीकरण. नवीनता : प्रोजेक्ट के दौरान मैंने अपना ज्ञान बढ़ाया प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के मानदंड पर।

गणित के इतिहास से

ब्लेस पास्कल (जन्म 1623) - मानव इतिहास में सबसे प्रसिद्ध लोगों में से एक। पास्कल की मृत्यु तब हुई जब वह 39 वर्ष के थे, लेकिन इतने छोटे जीवन के बावजूद, वह इतिहास में एक उत्कृष्ट गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी, दार्शनिक और लेखक के रूप में दर्ज हुए। दबाव की इकाई (पास्कल) और आज एक बहुत लोकप्रिय प्रोग्रामिंग भाषा का नाम उनके नाम पर रखा गया है। ब्लेज़ पास्कल ने एक सामान्य पाया किसी पूर्णांक की किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्यता के चिह्न खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म।

पास्कल की विभाज्यता परीक्षण: एक प्राकृत संख्या a को किसी अन्य प्राकृत संख्या b से तभी विभाजित किया जाएगा जब अंक इकाइयों को संख्या b से विभाजित करने पर प्राप्त संबंधित शेषफलों द्वारा संख्या a के अंकों के गुणनफल का योग इस संख्या से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए : संख्या 2814, 7 से विभाज्य है, क्योंकि 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35, 7 से विभाज्य है। (यहां 1000 को 7 से विभाजित करने पर 6 शेषफल है, 100 को 7 से विभाजित करने पर 2 शेषफल है) और 10 को 7 से विभाजित करने पर 3 शेषफल आता है)।

बुनियादी अवधारणाओं

आइए कुछ गणितीय अवधारणाओं को याद रखें जिनकी हमें इस विषय का अध्ययन करते समय आवश्यकता होगी:

विभाज्यता परीक्षण एक नियम है जिसके द्वारा, विभाजन किए बिना, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक संख्या दूसरे से विभाज्य है या नहीं।

डिवाइडर प्राकृतिक संख्या ए किसी प्राकृतिक नंबर पर कॉल करें बी , किसको ए शेषफल के बिना विभाजित.

सरल प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं जिनमें एक और स्वयं के अलावा कोई अन्य प्राकृतिक भिन्न भाजक नहीं होता है।

कम्पोजिट वे संख्याएँ हैं जिनमें 1 और स्वयं के अलावा अन्य प्राकृतिक भाजक होते हैं।

विभाज्यता के लक्षण

मैं

मैं . संख्याओं की विभाज्यता अंतिम अंक द्वारा निर्धारित होती है

2 से विभाज्यता का परीक्षण करें : कोई संख्या 2 से विभाज्य होती है जब उस संख्या का अंतिम अंक 2 से विभाज्य हो (अर्थात अंतिम अंक एक सम संख्या हो)।

उदाहरण के लिए : 3221786 4 : 2

4 से विभाज्यता का परीक्षण करें : कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है जब उसके अंतिम दो अंक शून्य हों, या जब उसके अंतिम दो अंकों से बनी दो अंकों की संख्या 4 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 353 24 : 4; 66 00 : 4

5 से विभाज्यता परीक्षण : कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक 5 या 0 हो।

उदाहरण के लिए: 3678 0 : 5 या 12326 5 : 5

8 से विभाज्यता का परीक्षण: कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है जब उस संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनी तीन अंकों की संख्या 8 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए: 432 240 : 8

20 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 20 से विभाज्य होती है जब वह संख्या दो से बनती है अंतिम संख्याएँ, 20 से विभाज्य। (एक अन्य सूत्रीकरण: संख्या विभाज्य है 20 तक जब संख्या का अंतिम अंक 0 है, और अंतिम से दूसरा अंक सम है)।

उदाहरण के लिए: 596 40 : 20

25 से विभाज्यता का परीक्षण: वे संख्याएँ जिनके अंतिम दो अंक शून्य हैं या ऐसी संख्या बनाते हैं जो 25 से विभाज्य है, वे 25 से विभाज्य हैं।

उदाहरण के लिए: 6679 75 : 25 या 77689 00 : 25

50 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 50 से विभाज्य होती है जब उसके दो न्यूनतम दशमलव अंकों से बनी संख्या 50 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए : 5643 50 : 50 या 5543 00 : 50

125 से विभाज्यता परीक्षण: एक संख्या 125 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक शून्य हों या ऐसी संख्या बनती हो जो 125 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 32157 000 : 125 या 3216 250 : 125

अंक इकाई 10, 100, 1000, आदि द्वारा विभाज्यता के संकेत: वे प्राकृतिक संख्याएँ जिनके शून्यों की संख्या अंक इकाई के शून्यों की संख्या से अधिक या उसके बराबर होती है, उन्हें एक अंक इकाई में विभाजित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, 12,000 10, 100 और 1000 से विभाज्य है

द्वितीय

द्वितीय . संख्याओं की विभाज्यता संख्या के अंकों के योग से निर्धारित होती है

3 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 5421: 3 टीके. 5+4+2+1=12, (12:3)

9 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 653022:9 क्योंकि 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

11 से विभाज्यता का परीक्षण: वे संख्याएँ 11 से विभाज्य होती हैं यदि विषम स्थानों के अंकों का योग या तो सम स्थानों के अंकों के योग के बराबर हो या 11 के गुणज से भिन्न हो।

उदाहरण के लिए: 865948732:11 क्योंकि 8+5+4+7+2=26 और 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 क्योंकि 8+5+4+7+2=26 और 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

तृतीय . संख्याओं की विभाज्यता कुछ क्रियाओं को करने के बाद निर्धारित की जाती है

इस संख्या के अंकों के ऊपर

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के इस समूह में विभाज्यता के संकेत शामिल हैं: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

6 से विभाज्यता का परीक्षण:

चिह्न 1: एक संख्या 6 से विभाज्य होती है जब सैकड़ों के बाद की संख्या में से सैकड़ों की संख्या को दोगुना घटाने पर परिणाम 6 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए: 138:6 क्योंकि 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 क्योंकि 44 – 7·2=30, (30:6)

संकेत 2: एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी यदि इकाई की संख्या में दहाई की चौगुनी संख्या जोड़ी जाए तो वह 6 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए: 768:6 क्योंकि 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

7 से विभाज्यता:

चिह्न 1: एक संख्या 7 से विभाज्य होती है जब इकाई की संख्या में दहाई की संख्या को तिगुना जोड़ने पर वह 7 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए: संख्या 154:7, क्योंकि 15 3 + 4 = 49 (49:7) 7 से विभाजित है

चिन्ह 2: एक संख्या 7 से विभाज्य होती है जब तीन अंकों (एक से शुरू) के विषम समूह बनाने वाली संख्याओं के बीजगणितीय योग का मापांक "+" चिन्ह के साथ लिया जाता है, और "-" चिन्ह के साथ सम संख्याएँ किसके द्वारा विभाज्य होती हैं 7.

उदाहरण के लिए, 138689257:7, क्योंकि 138-689+257ǀ=294 (294:7)

11 से विभाज्यता:

चिह्न 1: एक संख्या 11 से विभाज्य होती है जब विषम स्थानों वाले अंकों के योग और सम स्थानों वाले अंकों के योग के बीच अंतर का मापांक 11 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 9163627:11, क्योंकि (9+6+6+7)-(1+3+2)=22 (22:11)

चिह्न 2: एक संख्या 11 से विभाज्य होती है जब दो अंकों (एक से शुरू करके) के समूह बनाने वाली संख्याओं का योग 11 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 103785:11, क्योंकि 10+37+85=132 और 01+32=33 (33:11)

13 से विभाज्यता:

चिह्न 1: एक संख्या 13 से विभाज्य होती है जब दहाई की संख्या और इकाई की संख्या का चौगुना का योग 13 से विभाज्य होता है

उदाहरण के लिए, 845:13, क्योंकि 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

संकेत 2: एक संख्या 13 से विभाज्य होती है जब दहाई की संख्या और इकाई की संख्या के नौ गुना के बीच का अंतर 13 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 845:13, क्योंकि 84-5 9=39 (39:13)

17 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 17 से विभाज्य होती है जब दहाई की संख्या और इकाई की संख्या के पांच गुना के बीच अंतर का मापांक 17 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 221:17, क्योंकि ǀ22-5·1ǀ=17

19 से विभाज्यता के लक्षण: एक संख्या 19 से विभाज्य होती है जब संख्या दहाई हो के साथ झूठा 19 से विभाज्य इकाइयों की संख्या को दोगुना करें।

उदाहरण के लिए, 646:19, क्योंकि 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23 से विभाज्यता के लिए परीक्षण:

चिह्न 1: एक संख्या 23 से विभाज्य होती है जब अंतिम दो अंकों से बनी संख्या को तिगुना करने के लिए सैकड़ों की संख्या जोड़ने पर वह 23 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 28842:23, क्योंकि 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

चिह्न 2: एक संख्या 23 से विभाज्य होती है जब इकाइयों की संख्या के सात गुना में दहाई की संख्या जोड़ने पर 23 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 391:23, क्योंकि 39+7·1=46 (46:23)

संकेत 3: एक संख्या 23 से विभाज्य होती है जब सैकड़ों की संख्या को दसियों की संख्या से सात गुना और इकाइयों की संख्या को तीन गुना करने पर जोड़ा जाता है, 23 से विभाज्य.

उदाहरण के लिए, 391:23, क्योंकि 3+7·9+3·1=69 (69:23)

27 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 27 से विभाज्य होती है जब तीन अंकों (एक से शुरू करके) के समूह बनाने वाली संख्याओं का योग 27 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 2705427:27 क्योंकि 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

29 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 29 से विभाज्य होती है जब इकाइयों की संख्या के तीन गुना में दहाई की संख्या जोड़ने पर 29 से विभाज्य हो जाती है

उदाहरण के लिए, 261:29, क्योंकि 26+3·1=29 (29:29)

31 से विभाज्यता का परीक्षण: दहाई की संख्या के अंतर का मापांक होने पर एक संख्या 31 से विभाज्य होती है और इकाइयों की तीन गुनी संख्या को 31 से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, 217:31, क्योंकि 21-3·7ǀ= 0, (0:31)

33 से विभाज्यता के लिए परीक्षण: यदि किसी संख्या को दाएँ से बाएँ दो अंकों के समूहों में विभाजित करने पर बना योग 33 से विभाज्य है, तो वह संख्या 33 से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए, 396:33, क्योंकि 96+3=99 (99:33)

37 से विभाज्यता मानदंड:

चिन्ह 1 : एक संख्या 37 से विभाज्य होती है, जब संख्या को तीन अंकों के समूहों (एक से शुरू) में विभाजित करते समय, इन समूहों का योग 37 का गुणज होता है।

उदाहरण के लिए , संख्या 100048:37, क्योंकि 100+048=148, (148:37)

संकेत 2: एक संख्या 37 से विभाज्य होती है जब सैकड़ों की संख्या को तिगुना करने का मॉड्यूल, दहाई की संख्या को चौगुना करने के लिए जोड़ा जाता है, इकाई की संख्या को सात से गुणा करने पर, 37 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 481:37, चूँकि ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37, 37 से विभाज्य है

41 से विभाज्यता मानदंड:

चिन्ह 1: एक संख्या 41 से विभाज्य होती है जब दहाई की संख्या और इकाई की संख्या के चार गुना के बीच अंतर का मापांक 41 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 369:41, क्योंकि ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

चिह्न 2: यह जांचने के लिए कि कोई संख्या 41 से विभाज्य है या नहीं, उसे दाएं से बाएं ओर 5-5 अंकों के समूहों में विभाजित किया जाना चाहिए। फिर प्रत्येक समूह में, दाईं ओर के पहले अंक को 1 से गुणा करें, दूसरे अंक को 10 से गुणा करें, तीसरे को 18 से, चौथे को 16 से, पांचवें को 37 से गुणा करें और सभी परिणामी उत्पादों को जोड़ें। यदि परिणाम 41 से विभाज्य है, तो संख्या ही 41 से विभाज्य होगा.

59 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 59 से विभाज्य होती है जब इकाई की संख्या में 6 से गुणा करने पर दहाई की संख्या जोड़ने पर 59 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 767:59, क्योंकि 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

79 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 79 से विभाज्य होती है जब इकाई की संख्या में 8 से गुणा करने पर दहाई की संख्या जोड़ने पर 79 से विभाज्य हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 711:79, क्योंकि 71+8·1=79, (79:79)

99 से विभाज्यता परीक्षण: एक संख्या 99 से विभाज्य होती है जब दो अंकों (एक से शुरू करके) के समूह बनाने वाली संख्याओं का योग 99 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 12573:99, क्योंकि 1+25+73=99, (99:99)

101 से विभाज्यता परीक्षण: एक संख्या 101 से विभाज्य होती है जब दो अंकों (एक से शुरू) के विषम समूह बनाने वाली संख्याओं के बीजगणितीय योग का मापांक "+" चिह्न के साथ लिया जाता है, और "-" चिह्न के साथ सम संख्याएं 101 से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए, 590547:101, क्योंकि ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

चतुर्थ . किसी संख्या की विभाज्यता निर्धारित करने के लिए अन्य विभाज्यता मानदंड का उपयोग किया जाता है

6 से विभाज्यता का परीक्षण: कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है जब वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो, अर्थात यदि वह सम हो और उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए, 768:6, क्योंकि 7+6+8=21 (21:3) और संख्या 768 में अंतिम अंक सम है।

12 से विभाज्यता परीक्षण : एक संख्या 12 से विभाज्य होती है जब वह एक ही समय में 3 और 4 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए, 408:12, क्योंकि 4+0+8=12 (12:3) और अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं (08:4)

14 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 14 से विभाज्य होती है जब वह 2 और 7 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 45612:14 क्योंकि यह 2 और 7 दोनों से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि यह 14 से विभाज्य है

15 से विभाज्यता का परीक्षण: एक संख्या 15 से विभाज्य होती है जब वह 3 और 5 से विभाज्य होती है।

उदाहरण के लिए, 1146795:15 क्योंकि यह संख्या 3 और 5 दोनों से विभाज्य है

27 से विभाज्यता के लिए परीक्षण: एक संख्या 27 से विभाज्य होती है जब वह 3 और 9 से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, 511704:27 क्योंकि 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 और 18:9)

30 से विभाज्यता के लक्षण: एक संख्या 30 से विभाज्य होती है जब वह 0 पर समाप्त होती है और सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है।

उदाहरण के लिए, 510:30 क्योंकि 5+1+0=6 (6:3) और संख्या 510 में (अंतिम अंक 0)

60 से विभाज्यता के लक्षण: किसी संख्या के 60 से विभाज्य होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वह 4, 3, या 5 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए, 1620:60 क्योंकि 1+6+2+0=9 (9:3), संख्या 1620 0 पर समाप्त होती है, अर्थात। 5 और 1620:4 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम दो अंक 20:4

व्यवहार में विभाज्यता मानदंड का अनुप्रयोग

कार्य का व्यावहारिक अनुप्रयोग है। इसका उपयोग स्कूली बच्चों और वयस्कों द्वारा वास्तविक स्थितियों को हल करते समय किया जा सकता है; शिक्षक, गणित पाठ के दौरान और वैकल्पिक पाठ्यक्रम और अतिरिक्त पुनरीक्षण कक्षाओं दोनों में।

यह अध्ययन छात्रों के लिए अंतिम और प्रवेश परीक्षाओं की स्वतंत्र तैयारी में उपयोगी होगा। यह उन छात्रों के लिए भी उपयोगी होगा जिनका लक्ष्य सिटी ओलंपियाड में उच्च स्थान प्राप्त करना है।

कार्य क्रमांक 1 . क्या केवल संख्या 3 और 4 का उपयोग करके यह लिखना संभव है:

एक संख्या जो 10 से विभाज्य है;
सम संख्या;
एक संख्या जो 5 का गुणज है;
विषम संख्या

समस्या क्रमांक 3 : चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें, जिसके सभी अंक अलग-अलग हों और जो 2, 5, 9, 11 से विभाज्य हो।

उत्तर: 8910

कार्य #4: ओल्या ने तीन अंकों की एक साधारण संख्या निकाली, जिसके सभी अंक अलग-अलग हैं। यदि इसका अंतिम अंक पहले दो के योग के बराबर है तो इसका अंत किस अंक पर हो सकता है? ऐसी संख्याओं के उदाहरण दीजिए।

उत्तर: केवल 7 से। 4 संख्याएँ हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करती हैं: 167, 257, 347, 527

समस्या क्रमांक 5 : दो कक्षाओं में मिलाकर 70 छात्र हैं। एक कक्षा में, 7/17 छात्र कक्षाओं में नहीं आए, और दूसरे में, 2/9 को गणित में उत्कृष्ट ग्रेड प्राप्त हुए। प्रत्येक कक्षा में कितने छात्र हैं?

समाधान: इनमें से पहले वर्ग में ये हो सकते हैं: 17, 34, 51... - वे संख्याएँ जो 17 के गुणज हैं। दूसरे वर्ग में: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - वे संख्याएँ जो 17 के गुणज हैं 9. हमें पहले अनुक्रम से 1 संख्या चुननी है, और 2 दूसरे से एक संख्या है ताकि उनका योग 70 हो जाए। इसके अलावा, इन अनुक्रमों में केवल कुछ ही पद बच्चों की संभावित संख्या को व्यक्त कर सकते हैं। कक्षा। यह विचार विकल्पों के चयन को महत्वपूर्ण रूप से सीमित करता है। एकमात्र संभावित विकल्प जोड़ी (34, 36) थी।

समस्या क्रमांक 6 : 9वीं कक्षा में, 1/7 छात्रों को परीक्षण के लिए ए प्राप्त हुआ, 1/3 को प्राप्त हुआ चार, ½ - तीन। शेष कार्य असंतोषजनक निकला। ऐसे कितने काम थे?

समाधान: समस्या का समाधान एक ऐसी संख्या होनी चाहिए जो संख्याओं का गुणज हो: 7, 3, 2. आइए पहले खोजें इनमें से सबसे छोटी संख्या. एलसीएम (7, 3, 2) = 42. आप एक व्यंजक बना सकते हैं समस्या की शर्तों के अनुसार: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 असफल। गणितीय संबंध समस्याएँ मानती हैं कि संख्या कक्षा 84, 126, आदि में छात्र। इंसान। लेकिन सामान्य ज्ञान के कारणों से इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सबसे स्वीकार्य उत्तर संख्या 42 है।

उत्तर: 1 नौकरी.

निष्कर्ष:

इस कार्य के परिणामस्वरूप, मुझे पता चला कि 2, 3, 5, 9 और 10 से विभाज्यता के संकेतों के अलावा, जो मैं जानता हूं, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के अन्य संकेत भी हैं। प्राप्त ज्ञान कई समस्याओं के समाधान में काफी तेजी लाता है। और मैं इस ज्ञान का उपयोग अपनी शैक्षिक गतिविधियों, गणित के पाठों और पाठ्येतर गतिविधियों दोनों में कर सकूंगा। यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ विभाज्यता मानदंडों का सूत्रीकरण जटिल है। शायद इसीलिए इन्हें स्कूल में नहीं पढ़ाया जाता. मैं भविष्य में प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के अध्ययन पर काम करना जारी रखने की उम्मीद करता हूं।

एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश। सविन ए.पी. मॉस्को "शिक्षाशास्त्र" 1989।
अंक शास्त्र। गणित पाठों के लिए अतिरिक्त सामग्री, ग्रेड 5-11। रियाज़ानोव्स्की ए.आर., जैतसेव ई.ए. मॉस्को "बस्टर्ड" 2002।
गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। विलेनकिन एन.वाई.ए., डेपमैन आई.वाई.ए. एम.: शिक्षा, 1989.
ग्रेड 6-8 में गणित में पाठ्येतर कार्य। मास्को. "ज्ञानोदय" 1984 वी. ए. गुसेव, ए. आई. ओर्लोव, ए. एल. रोसेन्थल।
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गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम. निकोलसकाया आई.एल. - मास्को। ज्ञानोदय 1991.
गणित में ओलंपियाड की समस्याएं और उन्हें हल करने की विधियां। फ़ार्कोव ए.वी. - मास्को। 2003
इंटरनेट संसाधन.

पूर्णांकों

गिनती या स्थानांतरण के लिए उपयोग की जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट।

औपचारिक रूप से, प्राकृतिक संख्याओं के सेट को पीनो स्वयंसिद्ध प्रणाली का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

साथपीनो स्वयंसिद्ध प्रणाली

एक इकाई - एक प्राकृतिक संख्या जो किसी भी संख्या का अनुसरण नहीं करती।

2. किसी प्राकृत संख्या के लिए मौजूद एकवचन
जो तुरंत अनुसरण करता है।

3. प्रत्येक प्राकृत संख्या
तुरंत केवल एक नंबर को फॉलो करता है।

4. यदि कुछ सेट
इसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के साथ-साथ उसके ठीक बाद वाली संख्या भी शामिल होती है
(प्रेरण का अभिगृहीत)।

एक सेट पर संचालन

गुणा

घटाव :

घटाव गुण: यदि
वह

अगर
वह

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता

विभाजन : द्वारा विभाजित
ऐसा है कि

गुणसंचालन:

1. यदि
में विभाजित हैं वह
द्वारा विभाजित

2. यदि
और
में विभाजित हैं वह
द्वारा विभाजित

3. यदि
और उससे विभाजित होने वाला

4. यदि तब तक विभाज्य है
द्वारा विभाजित

5. यदि
a से विभाज्य हैं इसे इस और उस में विभाजित नहीं किया गया है
से विभाज्य नहीं है

6. यदि या उससे विभाजित
द्वारा विभाजित

7. यदि विभाज्य हो
फिर इसे विभाजित किया जाता है और द्वारा विभाजित किया गया है

प्रमेयशेषफल सहित विभाजन के बारे मेंकिसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए
केवल सकारात्मक संख्याएँ हैं
ऐसा है कि
और

सबूत. होने देना
निम्नलिखित एल्गोरिथम पर विचार करें:

अगर

अगर
तो चलिए एक और घटाव करते हैं

हम घटाने की प्रक्रिया तब तक जारी रखते हैं जब तक शेषफल संख्या से कम न हो जाए

एक संख्या है ऐसा है कि

आइए इस एल्गोरिदम की सभी पंक्तियों को जोड़ें और आवश्यक अभिव्यक्ति प्राप्त करें, जहां

हम विरोधाभास द्वारा प्रतिनिधित्व की विशिष्टता साबित करेंगे।

मान लीजिए कि दो अभ्यावेदन हैं

और
एक अभिव्यक्ति को दूसरे से घटाएं और
पूर्णांकों में अंतिम समानता केवल तब से ही संभव है
पर
□

परिणाम 1. किसी भी प्राकृतिक संख्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
या या

परिणाम 2. अगर
क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ, तो उनमें से एक से विभाज्य है

परिणाम 3. अगर
दो लगातार सम संख्याएँ, तो उनमें से एक से विभाज्य है

परिभाषा। प्राकृतिक संख्या अभाज्य तब कहलाता है जब इसमें एक और स्वयं के अलावा कोई भाजक न हो।

परिणाम4. प्रत्येक अभाज्य संख्या का रूप होता है
या

वास्तव में, किसी भी संख्या को इस रूप में दर्शाया जा सकता है, सिवाय इसके कि इस श्रृंखला की सभी संख्याएँ;
निश्चित रूप से मिश्रित हैं. □

परिणाम5 . अगर
फिर अभाज्य संख्या
द्वारा विभाजित

वास्तव में,
तीन लगातार प्राकृतिक संख्याएँ, और
सम, और
अजीब प्रधान. इसलिए, सम संख्याओं में से एक
और
4 से विभाज्य है, और एक भी से विभाज्य है □

उदाहरण 2 . निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1. किसी विषम संख्या के वर्ग को 8 से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त होता है

2. किसी प्राकृत संख्या n के लिए वह संख्या n 2 +1 नहीं है जो 3 से विभाज्य हो।

3. केवल संख्याओं 2, 3, 7, 8 (संभवतः कई बार) का उपयोग करके, किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग करना असंभव है।

सबूत1. किसी भी विषम संख्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
या
आइए इनमें से प्रत्येक संख्या का वर्ग करें और आवश्यक विवरण प्राप्त करें।

प्रमाण 2.प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
फिर अभिव्यक्ति
किसी एक भाव के बराबर होगा
जिन्हें विभाजित नहीं किया गया है

सबूत3. दरअसल, किसी प्राकृतिक संख्या के वर्ग का अंतिम अंक इनमें से किसी भी अंक पर समाप्त नहीं हो सकता है।

विभाज्यता के लक्षण

परिभाषा। किसी प्राकृतिक संख्या का दशमलव निरूपण किसी संख्या के रूप में निरूपण है

संक्षेप संकेतन

में विभाज्यता के लक्षण

स्वीकृत 6होने देना
किसी संख्या का दशमलव निरूपण तब:

1. संख्या विभाज्य है
जब संख्या - यहां तक की;

2. संख्या विभाज्य है जब संख्या दो अंकों की हो
द्वारा विभाजित

3. संख्या विभाज्य है कब
या

4. संख्या विभाज्य है
कब

5. संख्या विभाज्य है
जब संख्या दो अंकों की हो
- द्वारा विभाजित

6. संख्या विभाज्य है

7. संख्या विभाज्य है जब किसी संख्या के अंकों के योग को विभाजित किया जाता है

8. संख्या विभाज्य है
जब किसी संख्या के अंकों के योग को एकांतर चिह्नों से विभाजित किया जाता है

सबूत।लक्षण 1)-5) का प्रमाण आसानी से प्राप्त हो जाता है दशमलव अंकनआइए हम 6) और 7) को सिद्ध करें। वास्तव में,

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि विभाज्य (या
तो संख्या के अंकों का योग भी विभाजित होता है

आइये 11) सिद्ध करें। मान लीजिए कि यह विभाज्य है, आइए संख्या को रूप में निरूपित करें

चूँकि सभी जोड़ी गई राशियाँ विभाज्य हैं
फिर राशि को □ से भी विभाजित किया जाता है

उदाहरण 3 . फॉर्म की सभी पाँच अंकों की संख्याएँ खोजें
, जो 45 से विभाज्य हैं।

सबूत।
इसलिए, संख्या 5 से विभाज्य है, और इसका अंतिम अंक 0 या 5 है, अर्थात।
या
मूल संख्या भी 9 से विभाज्य है, इसलिए यह 9 से विभाज्य है, अर्थात।
या 9 से विभाज्य, अर्थात्।

उत्तर:

विभाज्यता परीक्षणपर और

स्वीकृत 7माना कि किसी संख्या का दशमलव निरूपण संख्या संख्या से विभाज्य है
जब अंतिम तीन अंकों वाली संख्या और अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या के बीच के अंतर को विभाजित किया जाता है

सबूत।आइए इसे संख्या के रूप में प्रस्तुत करें
और से विभाजित
वह
और □ से विभाज्य

उदाहरण 4 . होने देना
तब
इसलिए संख्या से विभाज्य है
द्वारा विभाजित

होने देना
तब

तब संख्या से विभाज्य
द्वारा विभाजित

प्रमुख संख्या

एराटोस्थनीज की छलनी

(सभी अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करने के लिए सरल एल्गोरिदम)

कलन विधि।हम 1 से 100 तक की सभी संख्याएँ लिखते हैं और पहले सभी सम संख्याओं को काट देते हैं। फिर, शेष में से हम 3, 5, 7 आदि से विभाज्य को काट देते हैं। परिणामस्वरूप, केवल अभाज्य संख्याएँ ही रह जाएँगी।

यूक्लिड का प्रमेय. अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है।

सबूत"विरोधाभास से।" माना अभाज्य संख्याओं की संख्या परिमित है -
संख्या पर विचार करें
प्रश्न: संख्या - सरल या यौगिक?

यदि यह एक भाज्य संख्या है, तो यह किसी अभाज्य संख्या से विभाज्य है और इसलिए एक को इस अभाज्य संख्या से विभाजित किया जाता है। विरोधाभास।

यदि यह एक अभाज्य संख्या है, तो यह किसी भी अभाज्य संख्या से बड़ी है
और हमने सभी अभाज्य संख्याओं को लिखा और क्रमांकित किया। फिर एक विरोधाभास. □

स्वीकृत 8यदि कोई संख्या भाज्य है, तो उसका एक अभाज्य भाजक ऐसा होता है

सबूत।यदि किसी भाज्य संख्या का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है
वह

परिणाम।यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या अभाज्य है, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या इसमें अभाज्य गुणनखंड हैं

उदाहरण 5 . होने देना
यह जांचने के लिए कि कोई संख्या है या नहीं
सरल, आपको यह जांचना होगा कि क्या यह अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है उत्तर: संख्या
सरल।

अभाज्य संख्या जनरेटर

परिकल्पना:फॉर्म के सभी नंबर
सरल।

पर
- ये अभाज्य संख्याएँ हैं
के लिए
यह मैन्युअल रूप से और कंप्यूटर की सहायता से सिद्ध किया गया है कि सभी संख्याएँ संयुक्त हैं।

उदाहरण के लिए, (यूलर)

परिकल्पना:फॉर्म के सभी नंबर
सरल।

पर
यह सच है, एह
17 से विभाज्य.

परिकल्पना: फॉर्म के सभी नंबर
सरल।

पर
यह सच है, एह

परिकल्पना:प्रपत्र के सभी नंबर अभाज्य हैं. पर
यह सच है, एह

प्रमेय.(फैक्टरिंग की फ़र्मेट विधि) विषम पूर्णांक अभाज्य नहीं है
ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं
सबूत।

□

उदाहरण 6 . गुणनखंड संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में बदलें

उदाहरण 7 . किसी संख्या का गुणनखंड करें
यह संख्या 3 से विभाज्य है
इसके अलावा, कारकों के चयन की विधि के अनुसार,

उदाहरण 8 . किस पूर्णांक पर

सरल?

ध्यान दें कि तब से
सरल, तो या तो
या
उत्तर:

अनुमत 10जब कोई प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग होती है तो क्या उसमें भाजक की संख्या विषम होती है?

सबूत।अगर
भाजक
फिर भाजक के दो अलग-अलग जोड़े हैं
और
और जब
दोनों जोड़े बराबर होंगे.

उदाहरण 9 . संख्याओं में बिल्कुल 99 भाजक होते हैं। क्या किसी संख्या में ठीक 100 भाजक हो सकते हैं?

उत्तर: नहीं. दरअसल, पिछली संपत्ति से और - पूर्ण वर्ग, लेकिन उनका काम नहीं है.

उदाहरण 10 . नंबर
सरल। खोजो

समाधान।किसी भी संख्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
अगर
तो आपको तीन अभाज्य संख्याएँ मिलेंगी
समस्या की शर्तों को संतुष्ट करना। अगर
वह
समग्र. अगर
वह नंबर
द्वारा विभाजित और अगर
वह नंबर
से विभाज्य है इस प्रकार, सभी विचारित विकल्पों में तीन अभाज्य संख्याएँ प्राप्त नहीं की जा सकतीं। उत्तर:

परिभाषा। संख्या संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है और यदि यह विभाजित होता है तो और ऐसी संख्याओं में सबसे बड़ा होता है।

पद का नाम:

परिभाषा . संख्याओं को अपेक्षाकृत अभाज्य कहा जाता है यदि

उदाहरण 1 2 . समीकरण को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान।होने देना

इसलिए, समीकरण इस तरह दिखता है उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।

के बारे मेंअंकगणित का मौलिक प्रमेय

प्रमेय.इससे बड़ी कोई भी प्राकृतिक संख्या या तो एक अभाज्य संख्या होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडों के क्रम तक अद्वितीय होता है।

परिणाम 1.होने देना

तब
सबसे छोटी डिग्री वाले सभी सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है।

परिणाम 2.होने देना
तब
सबसे बड़ी शक्तियों वाले सभी विभिन्न अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है। द्वारा विभाजित

10. खोजें पिछले अंकअंक 7 2011 + 9 2011.

11. वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो इकाई अंक और दहाई अंक के बीच शून्य डालने पर 9 गुना बढ़ जाती हैं।

12. किसी दो अंकीय संख्या में बाएँ और दाएँ एक जोड़ा जाता था। परिणाम मूल संख्या से 23 गुना बड़ा था। इस नंबर को खोजें.

सिद्धांत या अभ्यास के बारे में प्रश्न वालेरी पेत्रोविच चुवाकोव से पूछे जा सकते हैं

CGV @ uriit . आरयू

अतिरिक्त साहित्य

1. विलेनकिन एन.वाई.ए. और अन्य। गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। अंकगणित। बीजगणित. -एम.: शिक्षा, 2008.

2. सेव्रीयुकोव पी.एफ. गणित में ओलंपियाड समस्याओं को हल करने की तैयारी। -एम.: इलेक्सा, 2009.

3. कनेल-बेलोव ए.या., कोवाल्डज़ी ए.के. वे कैसे निर्णय लेते हैं गैर मानक कार्य. -एम। एमसीएनएमओ, 2009।

4. अगाखानोव एन.ए., पोडलिप्स्की ओ.के. मॉस्को क्षेत्र के गणितीय ओलंपियाड। -एम.: फ़िज़मैटनिगा, 2006

5. गोर्बाचेव एन.वी. ओलंपियाड समस्याओं का संग्रह, -एम.:एमसीएनएमओ, 2004

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